Get 20M+ Full-Text Papers For Less Than $1.50/day. Start a 14-Day Trial for You or Your Team.

Learn More →

Un Théorème De Littlewood Pour Les Nombres Premiers De Beurling

Un Théorème De Littlewood Pour Les Nombres Premiers De Beurling En 1914, Littlewood a montré, contre l'opinion courante à l'époque, qu'il existe des valeurs de x pour lesquelles le nombre de nombres premiers inférieurs à x, π(x), dépasse le logarithme intégral de x, li x. Plus précisément, il a établi que, pour un K > 0 convenable, il existe une infinité de valeurs de x pour lesquelles π(x)−li x>K√xlogxlog log log x, et aussi [1] une infinité de valeurs de x pour lesquelles li x−π(x)>K√xlogxlog log log x. En 1937, Beurling a instauré une nouvelle manière de considérer les problèmes sur les nombres premiers, en introduisant les ‘nombres premiers généralisés’ [2]. L'idée est de partir d'une fonction croissante P(x) (x ⩾ 0), nulle sur [0, 1], qui joue le rôle de π(x). On lui associe la fonction dzeta et la fonction croissante N(x) (qui joue le rôle de la partie entière de x) selon la formule ζ(s)=∫0∞x−sdN(x)=exp∫0∞log(1−x−s)−1dP(x); l'hypothèse est toujours que les intégrales ci‐dessus existent lorque σ > 1 (s = σ + it). Le but de Beurling est, partant de propriétés convenables de la fonction N(x), d'obtenir pour P(x) le ‘théorème des nombres premiers’, P(x) ∼ li x (x → ∞). Nous allons, au contraire, partir d'une hypothèse simple sur P(x) (par exemple, P(x) < li x) et en tirer des conséquences pour la fonction ζ(x), en laissant de côté la fonction N(x). Bien entendu, nous verrons en passant que l'hypothèse P(x) < li x est incompatible avec le fait que ζ(s) soit la fonction dzeta de Riemann. http://www.deepdyve.com/assets/images/DeepDyve-Logo-lg.png Bulletin of the London Mathematical Society Wiley

Un Théorème De Littlewood Pour Les Nombres Premiers De Beurling

Download PDF
7 pages

Loading next page...
 
/lp/wiley/un-th-or-me-de-littlewood-pour-les-nombres-premiers-de-beurling-kPUN0F0uxT

References (2)

Publisher
Wiley
Copyright
© London Mathematical Society
ISSN
0024-6093
eISSN
1469-2120
DOI
10.1112/S0024609398005700
Publisher site
See Article on Publisher Site

Abstract

En 1914, Littlewood a montré, contre l'opinion courante à l'époque, qu'il existe des valeurs de x pour lesquelles le nombre de nombres premiers inférieurs à x, π(x), dépasse le logarithme intégral de x, li x. Plus précisément, il a établi que, pour un K > 0 convenable, il existe une infinité de valeurs de x pour lesquelles π(x)−li x>K√xlogxlog log log x, et aussi [1] une infinité de valeurs de x pour lesquelles li x−π(x)>K√xlogxlog log log x. En 1937, Beurling a instauré une nouvelle manière de considérer les problèmes sur les nombres premiers, en introduisant les ‘nombres premiers généralisés’ [2]. L'idée est de partir d'une fonction croissante P(x) (x ⩾ 0), nulle sur [0, 1], qui joue le rôle de π(x). On lui associe la fonction dzeta et la fonction croissante N(x) (qui joue le rôle de la partie entière de x) selon la formule ζ(s)=∫0∞x−sdN(x)=exp∫0∞log(1−x−s)−1dP(x); l'hypothèse est toujours que les intégrales ci‐dessus existent lorque σ > 1 (s = σ + it). Le but de Beurling est, partant de propriétés convenables de la fonction N(x), d'obtenir pour P(x) le ‘théorème des nombres premiers’, P(x) ∼ li x (x → ∞). Nous allons, au contraire, partir d'une hypothèse simple sur P(x) (par exemple, P(x) < li x) et en tirer des conséquences pour la fonction ζ(x), en laissant de côté la fonction N(x). Bien entendu, nous verrons en passant que l'hypothèse P(x) < li x est incompatible avec le fait que ζ(s) soit la fonction dzeta de Riemann.

Journal

Bulletin of the London Mathematical Society – Wiley

Published: Jul 1, 1999

There are no references for this article.