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Zur elementaren zahlentheorie.

Zur elementaren zahlentheorie. Yon ARNOLD WALFIBZ in Warschau. In seiner Abhandlung ,,Vereinfachter Beweis eines Satzes yon Kloosterman" (diese Abhandiungen, Bd. VII (1929), S. 82--98, insbesondere S. 83--87) beweist TH. ESTERMANN folgenden Hilfssatz: Es sei p eine Primzahl, m eine natiirliche Zahl. hi, b~, hs und h, seien ga.nze Zahlen, die den Bedingungen (1) (h~,p) ~- 1, h~h'=--- 1 (modFn), v= 1, 2, 3,4; (2) h~+h~ ~ hs+h,, hi+h~ --~ h~+h'4 (modp 'n) .qeni'.ulen. ~o (pro) = p~_ p,~-~ bezeichne die Eulersche Funktion. Die Anzahl L der obigen Zahlenquadrupel mod p'~ e~illt dann die Ungleichung (3) L ~ 2(2m~-1)~ 1, 1, 9 Der Estermannsche Beweis yon (3) erfordert zahlreiche Fallunter- scheidungen und ist ziemlich umsti~ndlich. Daher mag die folgende ein- fachere Begrfindung, die in der Idee auf KLOOSTERMAN zurtickgeht'), nfitzlich sein. Die Anzahl aller Quadrupel h,, ..., h4 rood p~, die neben (1) und (2) die Kongruenzen (4) hl4-h~ =-- O: hs-t-h~ -~- 0 (moQ p") erffillen, ist denn h~, hs haben nach (1) beide den Spielraum ? (p"), und zu jedem Paar h~, hs gibt es nach (4) h0chstens ein Paar h2, h~. Bestehen die Kongruenzen (4) nicht, dannist ftir ein geeignetes r aus tier Reihe 1 bis m (5) P"~ I http://www.deepdyve.com/assets/images/DeepDyve-Logo-lg.png Abhandlungen aus dem Mathematischen Seminar der Universität Hamburg Springer Journals

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Publisher
Springer Journals
Copyright
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Subject
Mathematics; Mathematics, general; Algebra; Differential Geometry; Number Theory; Topology; Geometry
ISSN
0025-5858
eISSN
1865-8784
DOI
10.1007/BF02941168
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Abstract

Yon ARNOLD WALFIBZ in Warschau. In seiner Abhandlung ,,Vereinfachter Beweis eines Satzes yon Kloosterman" (diese Abhandiungen, Bd. VII (1929), S. 82--98, insbesondere S. 83--87) beweist TH. ESTERMANN folgenden Hilfssatz: Es sei p eine Primzahl, m eine natiirliche Zahl. hi, b~, hs und h, seien ga.nze Zahlen, die den Bedingungen (1) (h~,p) ~- 1, h~h'=--- 1 (modFn), v= 1, 2, 3,4; (2) h~+h~ ~ hs+h,, hi+h~ --~ h~+h'4 (modp 'n) .qeni'.ulen. ~o (pro) = p~_ p,~-~ bezeichne die Eulersche Funktion. Die Anzahl L der obigen Zahlenquadrupel mod p'~ e~illt dann die Ungleichung (3) L ~ 2(2m~-1)~ 1, 1, 9 Der Estermannsche Beweis yon (3) erfordert zahlreiche Fallunter- scheidungen und ist ziemlich umsti~ndlich. Daher mag die folgende ein- fachere Begrfindung, die in der Idee auf KLOOSTERMAN zurtickgeht'), nfitzlich sein. Die Anzahl aller Quadrupel h,, ..., h4 rood p~, die neben (1) und (2) die Kongruenzen (4) hl4-h~ =-- O: hs-t-h~ -~- 0 (moQ p") erffillen, ist denn h~, hs haben nach (1) beide den Spielraum ? (p"), und zu jedem Paar h~, hs gibt es nach (4) h0chstens ein Paar h2, h~. Bestehen die Kongruenzen (4) nicht, dannist ftir ein geeignetes r aus tier Reihe 1 bis m (5) P"~ I

Journal

Abhandlungen aus dem Mathematischen Seminar der Universität Hamburg – Springer Journals

Published: Aug 28, 2008

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