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Un aperçu de l’oeuvre de Thom en topologie différentielle (jusqu’en 1957)

Un aperçu de l’oeuvre de Thom en topologie différentielle (jusqu’en 1957) UN APER~U DE L'OSUVRE DE THOM EN TOPOLOGIE DIFF]~RENTIELLE (jusqu'en 1957)* par AmsR#. HAEFLIGER Rend Thom est dl~ve ~t l'~cole normale supdrieure de Paris de 1943 ~t 1946. Henri Cartan y enseigne depuis 1940 et, de 1945 ~t 1947, il retoume/i Strasbourg. Rend Thom reqoit un poste d'attachd au C.N.R.S. et suit Cartan b. Strasbourg. Strasbourg &ait un centre tr6s vivant. Outre Henri Cartan, parmi les professeurs figuraient Ehresmann, Lichnerowicz, Chabauty. Reeb y achevait sa th~se sous la direction d'Ebxesmann et Koszul travaillait ~ la sienne sous la direction de H. Cartan. Plusieurs jeunes Chinois et Japonais (tels Kobayashi, Nomizu et plus tard Wu Wen Tsun) attirds par Eh~esmann et Koszul sdjournaient ~t Strasbourg. Le sdminaire de topologie d'Ehres- mann, off venaient parler de nombreux confdrenciers &rangers (tels Hopf, Whitney, etc.), &ait une source d'information tr& pr&ieuse sur routes les nouveaut& en topologie qui n'avait pas son dquivalent en France. Caftan propose ~ Thorn d'&udier les mdmoires d'Oka sur les iddaux de fonctions analytiques. Ce serait plut6t les id6aux de fonctions diffdrentiables qui int&esseraient Thorn, mais rien n'est connu sur ce sujet sur lequel Thorn reviendra plus tard. Thorn cherche sa voie, et il faut attendre jusqu'en mars 1949 pour que sorte sa premi&e note aux comptes rendus de l'Acad6mie des Sciences. I1 &ait temps, car les responsables du C.N.R.S. se demandaient s'il fallait continuer ~ soutenir ce jeune mathdmaticien si peu productif. A-t-on rdalisd ~t l'dpoque l'importance de cette courte note [1] 1 intitulde << Sur une partition en cellules associde ~ une fonction sur une varidtd )), introduisant une idde fondamentale nouvelle qui a suscitd un ddveloppement considdrable? II s'agit d'un raffinement de la thdorie de Morse. Thorn consid~re une fonction diffdrentiablef sur une varidtd compacte n'ayant que des points singuliers non ddgdndrds et son champ de gradient relativement b. une mdtrique riemannienne bien adaptde ~t f. * Texte d'une aUocution prononcde lors de la s&tnce d'ouverture du Colloque en l'honneur de Rend Thorn, tenu A Paris du 25 au 30 septembre 1988. 1. Les nombres entre crochets renvoient ~t la liste de Publications de Rend Thorn, en t~te du volume. 14 ANDRI~ HAEFLIGER I1 constate que toute trajectoire de ce champ part d'un point critique et aboutit ~ un point critique et que la r~union des trajectoires issues d'un point critique d'indice p est une p-cellule ouverte (appel6e maintenant la varidt~ instable de ce point critique). IIen ddduit notamment une d6monstration des infigalit~s de Morse. Cette note a ~t6 g~n~ralis6e d'abord par Reeb (Sur certaines propri~tfis topologiques des trajectoires des syst~mes dynamiques, Acad. Roy. Belg. Cl. Sci. M6ra., 27, n ~ 9, 1952), puis par Smale dans son fameux mdmoire On Morse inequalities for dynamical systems, Bull. A.M.S., 66, 1960, 43-49. Cette precision de la thdorie de Morse a figalement conduit ~ la technique de chirurgie utilisfie par Milnor et Kervaire. Dans un article intitulfi A procedure for killing homotopy groups of differentiable manifolds, Proc. Syrup. Pure Math., vol. III, 39-65, A.M.S., 1961, Milnor remercie Thorn de lui avoir expliqu~ le procddfi de chirurgie et son utilisation pour tuer les groupes d'homotopie. Concernant la thfiorie de Morse, je voudrais ~galement signaler que dans leur article intitul6 The Lefschetz Theorem on Hyperplane Sections, Ann. of Math., 69, 1959 (re~u en octobre 1958), 713-717, A. Andreotti et Th. Frankel mentionnent que Thom a donnd une ddmonstration non publifie du thfior~me de Lefschetz en utilisant la th~orie de Morse, et que la dfimonstration qui figure dans leur article est inspir~e de celle de Thorn. Ace propos j'ai retrouv~ un manuscrit de Thorn dat6 de ffivrier 1957 off il montre plus g~n~ralement qu'un domaine q-convexe de dimension complexe nse rfitracte par d~formation sur un CW-complexe de dimension au plus 2n q 1. Cet exemple, et il y en a beaucoup d'autres, montre bien que les ~crits publi~s de Thom ne donnent qu'une idde tr~s partielle de sa crdativitd mathdmatique. Bouil- lonnant d'idfies, il a 6tfi en g~nfiral peu soucieux de leur donner une forme dfifinitive, de les pousser jusqu'au bout ou d'en revendiquer la paternitY. Cependant, ses iddes et les probl6mes qu'il a posds ont dtd une source d'inspiration pour toute une g~n~ration de mathfimaticiens. Revenons en arri~re pour examiner la deuxi~me note de Thorn aux Comptes Rendus, soumise ~ l'acadfimie en janvier 1950 (Classes caract~ristiques et i-carr~s [2]); elle introduit une autre notion fondamentale qui jouera un r61e considfirable dans le ddveloppement de la topologie alg~brique, ~ savoir ce que l'on appelle maintenant l'isomorphisme de Thorn. l~,voquons d'abord les circonstances. C'est Koszul qui a attird l'attention de Thorn sur le travail de Steenrod, Products of cocycles and Extension of Mappings, Ann. of Math., 48, 1947, 290-320. D'autre part Wu Wen Tsun, fil~ve de Chern, fitait arriv~ ~. Strasbourg en 1948, il avait ddj~ publi~ une d~monstration du th~or~me de dualitfi de Whitney (qui donne la relation entre les classes de Stiefel-Whitney d'une somme de fibrils vectoriels en fonction de celles des facteurs) publide dans Ann. of Math., 49, 1948, 641-653. I1 avait aussi signal6 ~ Thorn le fameux expos6 de Whitney : On the Topology of Differentiable Manifolds, Lectures in Topology, Univ. of Michigan Press, 1941, que l'on peut considfirer comme le point de ddpart de la topologie difffirentielle. La note aux Comptes Rendus de Thorn est prdcfid~e d'une note de H. Cartan off il dfimontre UN APER~U DE L'(EUVRE DE THOM EN TOPOLOGIE DIFFI~RENTIELLE 15 en particulier la formule de dualitd reliant les carrds de Steenrod d'un produit ~t ceux des facteurs et mentionne que cette formule lui a dtd suggdrde par Tb.om et Wu Wen Tsun. Dans le premier paragraphe de sa note, Thorn consid~re un fibre E en spheres S ~- 1 de base un complexe cellulaire K et appelle Ale fibrd en boules B * associd. I1 remarque que, ~ toute cellule Z~ de dimension p de K correspond par image rdciproque de la projection une cellule Z, � b k de dimension p -k- k de A, et que cette correspondance induit un isomorphisme q~ de H~ Z) sur H~ E; Z'), oft Z' est le syst~me local des entiers tordus par l'orientation du fibre A. En appelant U, l'image de 1 par cet isomorphisme (la classe de Thom du fibrd A) et W, la r-i~me classe de Stiefel-Whitney de E, il montre la fameuse formule Sq' U k = ~W,. Dans une deuxi~me note parue quinze jours plus tard intitulde <~ Varidtds plongdes et i-carrds >~ [3], Thorn montre comment on peut en ddduire l'invariance topologique des classes de Stiefel-Whitney d'une varidtfi diffdrentiable V en considfirant le plongement diagonal de V dans V � V. En fait, Thom avait d'abord ddcouvert la formule prficddente dans ce cas particulier en rempla~ant r par 1' Umkehrung Homomorphismus de Gysin. Dans une note prdsentde ~t la m~me sdance (<< Classes caractdristiques et i-carrds d'une varidtd )>, p. 508-511), Wu Wen Tsun ddduit de la formule de Thom l'invariance homotopique des classes de Stiefel-Whitney d'une varidtd en fitablissant les fameuses formules de Wu. Ces deux notes de Thom constituent l'essentiel de sa th~se [6] rddigde sous la direction de H. Cartan et dont la forme finale doit beaucoup ~t ce dernier; eUe rut sou- tenue en 1951 5. la Facultd des Sciences de Paris. C'est aussi pendant ces premieres armdes strasbourgeoises que Tb.om est re~u tr~s cordialement dans le groupe de Bourbaki comme << cobaye ~>. I1 est invite/~ participer aux congr~s Bourbaki; lorsque les discussions des a~nds aboutissaient 5. une impasse, la coutume dtait de consulter les cobayes pour obtenir leur avis. Apr~s une discussion interminable sur l'alg~bre multilindaire, au moment de s'adresser au jeune Thorn, on constata qu'il s'dtait endormi et l'on comprit de part et d'autre qu'il n'dtait pas adaptd ~t ce genre d'exercice. Une troisi/~me grande idde de Thorn appara~t dans un expose donne au CoUoque de Topologie de Strasbourg [4] en mars 1951. C'est l~t qu'il donne pour la premiere lois la definition des groupes de cobordisme orientd et non orientd. II remarque que les hombres de Pontrjagin et de Stiefel-Whitney sont des invariants de cobordisme, ainsi que la signature et il montre en particulier que les groupes de cobordismes des varidtds de dimension 3 sont triviaux (rdsultat ddmontrfi inddpendamment par Rocb_lin (Doklady Akad. Nauk. S.&S.R., 81, 1951, p. 355)). Thorn passe l'annde acaddmique 1951-1952 au Graduate College de l'Universitd de Princeton; il y rencontre Steenrod avec qui il a des rapports tr~s cordiaux. A son retour il fait un expose dans le Colloque de Topologie de Strasbourg sur << Une tb.dorie intrins~que des puissances de Steenrod ~ [5] o~ il les relie b. l'action du groupe cyclique 16 ANDR]~ HAEFLIGER au voisinage de la diagonale X dans XP. Cette idde sera dtablie plus tard en toute rigueur par Steenrod (Cohomology operations, Ann. of Math. Studies, Princeton Univ. Press, 1962). Puis seront publides quatre notes aux C. R. Acad. Sc. [7], [8] et [9] qui aboutiront t~ l'article : Quelques propridtds globales des varidtds diff~rentiables [10], paru aux Comm. Math. Helv. en 1954. Ce travail monumental qui lui a valu la mddaille Fields en 1958 a dtd le point de ddpart d'une sdrie impressionnante de travaux. I1 prdsente un caract~re achevd (gr~tce aussi ~ l'aide de Serre pour certains calculs) qui n'a pas son dgal darts l'ceuvre de Thom. Apr~s la prddominance pendant et apr~s la guerre des techniques algdbriques en topologie, il marque un retour ~ la gdomdtrie qui n'a fait que se confirmer jusqu'tt nos jours. Une idde fondamentale nouvelle y est exploitde : la possibilitd de rendre une application d'une varidtd M dans une varidtd N transverse t~ une sous-varidtd S de N (ceci grace au thdor~me de Sard signald "~ Thom par G. de Rham). C'est en utilisant cette technique qu'il montre que les groupes de cobordisme sont iso- morphes aux groupes d'homotopie stables d'un espace associd au groupe orthogonal appeld maintenant le complexe de Thorn. I1 montre aussi dans ce mdmoire qu'il existe des obstructions de nature cohomologique t~ rdaliser une classe d'homologie par rimage d'une varidtd, mais que c'est tout de m~me possible pour un multiple convenable de cette classe. Rappelons que Hirzebruch a immddiatement utilisd la ddtermination des groupes de cobordisme pour ddmontrer le thdor~me de la signature. Entre 1955 et 1956, Thom trace les grandes lignes de la thdorie de l'homotopie rationnelle dans deux articles remarquables (un exposd au Sdminaire Cartan intituld : << Opdrations en Cohomologie rdelle ~ [12] et un exposd au Colloque de Topologie de Louvain : <~ L'homologie des espaces fonctionnels ~ [14]). Cette thdorie a trouvd son plein accomplissement avec O uillen et Sullivan quinze ans plus tard. Je me permets d'intercaler maintenant quelques souvenirs personnels. En automne 1954, je suis arrivd t~ Strasbourg comme boursier du gouvernement fran~ais avec rintention de prdparer une th6se sous la direction de Ehresmann. A cette dpoque Wu Wen Tsun et Reeb n'dtaient plus ~ Strasbourg. J'dtais le seul dtudiant prdparant un doctorat. Peu de temps apr~s mon arrivde, Ehresmann partit en voyage pour plusieurs mois, mais j'eus la chance exeeptionnelle de rencontrer rdguli6rement Thom et j'ai tird un immense profit des conversations que j'ai eues avec lui. En particulier c'est lui qui m'a expliqud les iddes de base d'Ehresmann sur l'holonomie des feuilletages. L'annde suivante, alors que j'avais suivi Ehresmann ~ Paris, je revenais rdguli~rement ~ Stras- bourg pour voir Thorn et c'est peu apr~s une conversation avec lui que la non-existence des feuilletages analytiques sur S ~ m'est apparue clairement. C'est le lieu de rappeler que Thorn a souvent rdpdtd qu'il devait beaucoup ~. Ehresmann chez qui il apprdciait le goflt pour la gdomdtrie. C'est ~ cette dpoque (prdci- sdment en dtd 1955) que Thom a commencd t~ s'intdresser sdrieusement aux singularitds des applications diffdrentiables (cf. [13]), et la thdorie des jets d'Ehresmann dtait le cadre tout naturel pour cette dtude. L'armde 1956 est tr~s productive pour Thorn. Outre l'exposd au Colloque de UN APERQU DE L'(EUV'R.E DE THOM EN TOPOLOGIE DIFF~,RENTIELLE 17 Topologie alg~brique de Louvain mentionn~ plus haut, il annonce avec Dold dans une note aux C. R. Acad. Sc. Paris, 242 (1956), 1680-1682 (voir aussi [18]) le fameux th~o- r~me sur l'homotopie des produits sym~triques infinis. Je me souviens d'avoir rencontr~ Thom en ~t~ 1956 ~ son d~part pour le Sym- posium de Topologie algfibrique de Mexico. I1 avait dans sa valise deux manuscrits importants. Dans le premier [17], il ~tablissait une d~finition des classes de Pontrjagin rationnelles d'une vari~t~ semi-lin~aire utilisant son travail ult~rieur sur le cobordisme et le polyn6me L de Hirzebruch intervenant dans le th~or~me de la signature. Ceci montrait l'invariance combinatoire des classes de Pontrjagin rationnelles (peu apr6s, en f6vrier 1957, Rochlin et gvarc montraient ind6pendamment ce m6me r6sultat avec une mdtb.ode semblable, cf. The combinatorial invariance of Pontrjagin classes, Dokl. Akad. Nauk S.S.S.R., 114 (1957), 490-493). Cet article de Thorn a dt6 le premier pas vers la construction des classes de Pontrjagin rationnelles pour les varidt6s topologiques donn~es par Novikov en 1965 (Topological invariance of rational Pontrjagin classes, Dokl. Akad. Nauk S.S.S.R., 163 (1965), 298-230). A ce m~me colloque, Milnor annon~ait l'existence de structures diff6rentiables exotiques sur la sph6re de dimension 7; mis ensemble, ces deux r6sultats montraient l'existence d'une varidt6 combinatoire de dimen- sion 8 sans structure diff6rentiable compatible. A ce propos, en 1958 (cf. [20] et [21]), Tbom a esquiss6 avec t6m6rit6 pour l'6poque une th6orie d'obstructions, b. valeurs dans les groupes I', des classes d'isotopies de diffdomorphismes de S"-1, pour construire une structure diff6rentiable compatible sur une vari6t6 triangulde. Cette tentative qui n'a pas abouti immddiatement a 6t6 raise au point plus tard, par M. W. Hirsch notamment. Dans le second manuscrit [15], Tb.om d6montrait le lemme de transversalit6 dans l'espace des jets. I1 s'agit lb. d'un outil fondamental pour l'6tude des singularit6s des applications diff~rentiables que Whitney, le grand pr6curseur dans ce domaine, ne poss6dait pas et que l'on peut consid~rer comme l'une des iddes les plus fdcondes de Thom. Dans son article ant~rieur [13] sur les singularitds des applications diffdrentiables, dont parle Teissier dans l'expos6 faisant suite b. celui-ci, il avait d6jb. rdalisd son impor- tance pour le probl6me de la stabilit6 des applications diffdrentiables. Rappelons que sif est une application diff6rentiable d'une vari6t6 M dans une varidt~ N transverse b. une sous-vari~t~ S de N, alors f(S) est une sous-vari~t~ dont la classe de cohomologie duale est l'image par f~ de la classe duale b. S. Dans le cas plus gdnfiral considdrfi par Thorn, S est une sous-vari~t~ dans le fibrd J'(M, N) -+ M � N des r-jets d'applications diff~rentiables de M dans Net il s'agit d'approcher une appli- cation diff~rentiable de M dans N par une application f dont le r-jet j'f est transverse ~t S. Mais pour l'dtude des singularitfis, et c'est lb. aussi une idde nouvelle tr~s importante, il faut considdrer plus g~nfiralement le cas o~ S est un sous-fibrfi de J'(M, N) invariant par les diff~omorphismes de Met Net dont la fibre est une varidt~ algdbrique r~elle (par exemple l'adh~rence d'une orbite sous le groupe DiffM x DiffN). Thorn esquisse la d~monstration qu'une telle vari~t~ porte une classe fondamentale modulo 2, et un peu plus tard [16], il d~montrera que l'ensemble (j,f)-i des points singuliers de f de 3 ANDR]~ HAEFLIGER type S porte une classe fondamentale duale ~t un polyn6me universel (appelE polyn6me de Thorn) dans les classes de Stiefel-Whimey de M et les images par f" de celles de N. De plus, S n'est pas une sous-variEtE lisse, mais une reunion de sous-variEtEs lisses (les strates), et l'on veut quej'f soit transverse ~t chaque strate. Ces considerations ont motive tons les travaux postErieurs fondamentaux de Whitney sur les stratifications. Pour terminer ce bref survol, je voudrais encore signaler une remarque trEs utile de Thorn dans un expose du sEminaire Bourbaki 1957-1958 ([19]), ~ savoir la propriEtE d'extension des isotopies d'une sous-varidtE ~t la variEtE ambiante. D'ailleurs dans cet exposE, consacrE au thEorEme des immersions de Smale, Thorn a su mettre en Evidence les points fondamentaux de la demonstration, ouvrant ainsi la voie ~t ses multiples gEnE- ralisations (en particulier la these de Gromov). Ce que je viens de mentionner sur la thEorie des singularitEs n'est que le point de depart d'une Etude beaucoup plus profonde que Teissier Evoque ci-aprEs, et aussi l'amorce d'une vision beaucoup plus large qui dEbordera le cadre strict des mathEmatiques. UniversitE de Gen6ve Section de MathEmatique 2-4, rue du Li~vre CH-1211 Gen6ve Manuscrit refu le 4 avril 1989. http://www.deepdyve.com/assets/images/DeepDyve-Logo-lg.png Publications mathématiques de l'IHÉS Springer Journals

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Publisher
Springer Journals
Copyright
Copyright © 1988 by Publications Mathématiques de L’I.É.E.S.
Subject
Mathematics; Mathematics, general; Algebra; Analysis; Geometry; Number Theory
ISSN
0073-8301
eISSN
1618-1913
DOI
10.1007/BF02698538
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Abstract

UN APER~U DE L'OSUVRE DE THOM EN TOPOLOGIE DIFF]~RENTIELLE (jusqu'en 1957)* par AmsR#. HAEFLIGER Rend Thom est dl~ve ~t l'~cole normale supdrieure de Paris de 1943 ~t 1946. Henri Cartan y enseigne depuis 1940 et, de 1945 ~t 1947, il retoume/i Strasbourg. Rend Thom reqoit un poste d'attachd au C.N.R.S. et suit Cartan b. Strasbourg. Strasbourg &ait un centre tr6s vivant. Outre Henri Cartan, parmi les professeurs figuraient Ehresmann, Lichnerowicz, Chabauty. Reeb y achevait sa th~se sous la direction d'Ebxesmann et Koszul travaillait ~ la sienne sous la direction de H. Cartan. Plusieurs jeunes Chinois et Japonais (tels Kobayashi, Nomizu et plus tard Wu Wen Tsun) attirds par Eh~esmann et Koszul sdjournaient ~t Strasbourg. Le sdminaire de topologie d'Ehres- mann, off venaient parler de nombreux confdrenciers &rangers (tels Hopf, Whitney, etc.), &ait une source d'information tr& pr&ieuse sur routes les nouveaut& en topologie qui n'avait pas son dquivalent en France. Caftan propose ~ Thorn d'&udier les mdmoires d'Oka sur les iddaux de fonctions analytiques. Ce serait plut6t les id6aux de fonctions diffdrentiables qui int&esseraient Thorn, mais rien n'est connu sur ce sujet sur lequel Thorn reviendra plus tard. Thorn cherche sa voie, et il faut attendre jusqu'en mars 1949 pour que sorte sa premi&e note aux comptes rendus de l'Acad6mie des Sciences. I1 &ait temps, car les responsables du C.N.R.S. se demandaient s'il fallait continuer ~ soutenir ce jeune mathdmaticien si peu productif. A-t-on rdalisd ~t l'dpoque l'importance de cette courte note [1] 1 intitulde << Sur une partition en cellules associde ~ une fonction sur une varidtd )), introduisant une idde fondamentale nouvelle qui a suscitd un ddveloppement considdrable? II s'agit d'un raffinement de la thdorie de Morse. Thorn consid~re une fonction diffdrentiablef sur une varidtd compacte n'ayant que des points singuliers non ddgdndrds et son champ de gradient relativement b. une mdtrique riemannienne bien adaptde ~t f. * Texte d'une aUocution prononcde lors de la s&tnce d'ouverture du Colloque en l'honneur de Rend Thorn, tenu A Paris du 25 au 30 septembre 1988. 1. Les nombres entre crochets renvoient ~t la liste de Publications de Rend Thorn, en t~te du volume. 14 ANDRI~ HAEFLIGER I1 constate que toute trajectoire de ce champ part d'un point critique et aboutit ~ un point critique et que la r~union des trajectoires issues d'un point critique d'indice p est une p-cellule ouverte (appel6e maintenant la varidt~ instable de ce point critique). IIen ddduit notamment une d6monstration des infigalit~s de Morse. Cette note a ~t6 g~n~ralis6e d'abord par Reeb (Sur certaines propri~tfis topologiques des trajectoires des syst~mes dynamiques, Acad. Roy. Belg. Cl. Sci. M6ra., 27, n ~ 9, 1952), puis par Smale dans son fameux mdmoire On Morse inequalities for dynamical systems, Bull. A.M.S., 66, 1960, 43-49. Cette precision de la thdorie de Morse a figalement conduit ~ la technique de chirurgie utilisfie par Milnor et Kervaire. Dans un article intitulfi A procedure for killing homotopy groups of differentiable manifolds, Proc. Syrup. Pure Math., vol. III, 39-65, A.M.S., 1961, Milnor remercie Thorn de lui avoir expliqu~ le procddfi de chirurgie et son utilisation pour tuer les groupes d'homotopie. Concernant la thfiorie de Morse, je voudrais ~galement signaler que dans leur article intitul6 The Lefschetz Theorem on Hyperplane Sections, Ann. of Math., 69, 1959 (re~u en octobre 1958), 713-717, A. Andreotti et Th. Frankel mentionnent que Thom a donnd une ddmonstration non publifie du thfior~me de Lefschetz en utilisant la th~orie de Morse, et que la dfimonstration qui figure dans leur article est inspir~e de celle de Thorn. Ace propos j'ai retrouv~ un manuscrit de Thorn dat6 de ffivrier 1957 off il montre plus g~n~ralement qu'un domaine q-convexe de dimension complexe nse rfitracte par d~formation sur un CW-complexe de dimension au plus 2n q 1. Cet exemple, et il y en a beaucoup d'autres, montre bien que les ~crits publi~s de Thom ne donnent qu'une idde tr~s partielle de sa crdativitd mathdmatique. Bouil- lonnant d'idfies, il a 6tfi en g~nfiral peu soucieux de leur donner une forme dfifinitive, de les pousser jusqu'au bout ou d'en revendiquer la paternitY. Cependant, ses iddes et les probl6mes qu'il a posds ont dtd une source d'inspiration pour toute une g~n~ration de mathfimaticiens. Revenons en arri~re pour examiner la deuxi~me note de Thorn aux Comptes Rendus, soumise ~ l'acadfimie en janvier 1950 (Classes caract~ristiques et i-carr~s [2]); elle introduit une autre notion fondamentale qui jouera un r61e considfirable dans le ddveloppement de la topologie alg~brique, ~ savoir ce que l'on appelle maintenant l'isomorphisme de Thorn. l~,voquons d'abord les circonstances. C'est Koszul qui a attird l'attention de Thorn sur le travail de Steenrod, Products of cocycles and Extension of Mappings, Ann. of Math., 48, 1947, 290-320. D'autre part Wu Wen Tsun, fil~ve de Chern, fitait arriv~ ~. Strasbourg en 1948, il avait ddj~ publi~ une d~monstration du th~or~me de dualitfi de Whitney (qui donne la relation entre les classes de Stiefel-Whitney d'une somme de fibrils vectoriels en fonction de celles des facteurs) publide dans Ann. of Math., 49, 1948, 641-653. I1 avait aussi signal6 ~ Thorn le fameux expos6 de Whitney : On the Topology of Differentiable Manifolds, Lectures in Topology, Univ. of Michigan Press, 1941, que l'on peut considfirer comme le point de ddpart de la topologie difffirentielle. La note aux Comptes Rendus de Thorn est prdcfid~e d'une note de H. Cartan off il dfimontre UN APER~U DE L'(EUVRE DE THOM EN TOPOLOGIE DIFFI~RENTIELLE 15 en particulier la formule de dualitd reliant les carrds de Steenrod d'un produit ~t ceux des facteurs et mentionne que cette formule lui a dtd suggdrde par Tb.om et Wu Wen Tsun. Dans le premier paragraphe de sa note, Thorn consid~re un fibre E en spheres S ~- 1 de base un complexe cellulaire K et appelle Ale fibrd en boules B * associd. I1 remarque que, ~ toute cellule Z~ de dimension p de K correspond par image rdciproque de la projection une cellule Z, � b k de dimension p -k- k de A, et que cette correspondance induit un isomorphisme q~ de H~ Z) sur H~ E; Z'), oft Z' est le syst~me local des entiers tordus par l'orientation du fibre A. En appelant U, l'image de 1 par cet isomorphisme (la classe de Thom du fibrd A) et W, la r-i~me classe de Stiefel-Whitney de E, il montre la fameuse formule Sq' U k = ~W,. Dans une deuxi~me note parue quinze jours plus tard intitulde <~ Varidtds plongdes et i-carrds >~ [3], Thorn montre comment on peut en ddduire l'invariance topologique des classes de Stiefel-Whitney d'une varidtfi diffdrentiable V en considfirant le plongement diagonal de V dans V � V. En fait, Thom avait d'abord ddcouvert la formule prficddente dans ce cas particulier en rempla~ant r par 1' Umkehrung Homomorphismus de Gysin. Dans une note prdsentde ~t la m~me sdance (<< Classes caractdristiques et i-carrds d'une varidtd )>, p. 508-511), Wu Wen Tsun ddduit de la formule de Thom l'invariance homotopique des classes de Stiefel-Whitney d'une varidtd en fitablissant les fameuses formules de Wu. Ces deux notes de Thom constituent l'essentiel de sa th~se [6] rddigde sous la direction de H. Cartan et dont la forme finale doit beaucoup ~t ce dernier; eUe rut sou- tenue en 1951 5. la Facultd des Sciences de Paris. C'est aussi pendant ces premieres armdes strasbourgeoises que Tb.om est re~u tr~s cordialement dans le groupe de Bourbaki comme << cobaye ~>. I1 est invite/~ participer aux congr~s Bourbaki; lorsque les discussions des a~nds aboutissaient 5. une impasse, la coutume dtait de consulter les cobayes pour obtenir leur avis. Apr~s une discussion interminable sur l'alg~bre multilindaire, au moment de s'adresser au jeune Thorn, on constata qu'il s'dtait endormi et l'on comprit de part et d'autre qu'il n'dtait pas adaptd ~t ce genre d'exercice. Une troisi/~me grande idde de Thorn appara~t dans un expose donne au CoUoque de Topologie de Strasbourg [4] en mars 1951. C'est l~t qu'il donne pour la premiere lois la definition des groupes de cobordisme orientd et non orientd. II remarque que les hombres de Pontrjagin et de Stiefel-Whitney sont des invariants de cobordisme, ainsi que la signature et il montre en particulier que les groupes de cobordismes des varidtds de dimension 3 sont triviaux (rdsultat ddmontrfi inddpendamment par Rocb_lin (Doklady Akad. Nauk. S.&S.R., 81, 1951, p. 355)). Thorn passe l'annde acaddmique 1951-1952 au Graduate College de l'Universitd de Princeton; il y rencontre Steenrod avec qui il a des rapports tr~s cordiaux. A son retour il fait un expose dans le Colloque de Topologie de Strasbourg sur << Une tb.dorie intrins~que des puissances de Steenrod ~ [5] o~ il les relie b. l'action du groupe cyclique 16 ANDR]~ HAEFLIGER au voisinage de la diagonale X dans XP. Cette idde sera dtablie plus tard en toute rigueur par Steenrod (Cohomology operations, Ann. of Math. Studies, Princeton Univ. Press, 1962). Puis seront publides quatre notes aux C. R. Acad. Sc. [7], [8] et [9] qui aboutiront t~ l'article : Quelques propridtds globales des varidtds diff~rentiables [10], paru aux Comm. Math. Helv. en 1954. Ce travail monumental qui lui a valu la mddaille Fields en 1958 a dtd le point de ddpart d'une sdrie impressionnante de travaux. I1 prdsente un caract~re achevd (gr~tce aussi ~ l'aide de Serre pour certains calculs) qui n'a pas son dgal darts l'ceuvre de Thom. Apr~s la prddominance pendant et apr~s la guerre des techniques algdbriques en topologie, il marque un retour ~ la gdomdtrie qui n'a fait que se confirmer jusqu'tt nos jours. Une idde fondamentale nouvelle y est exploitde : la possibilitd de rendre une application d'une varidtd M dans une varidtd N transverse t~ une sous-varidtd S de N (ceci grace au thdor~me de Sard signald "~ Thom par G. de Rham). C'est en utilisant cette technique qu'il montre que les groupes de cobordisme sont iso- morphes aux groupes d'homotopie stables d'un espace associd au groupe orthogonal appeld maintenant le complexe de Thorn. I1 montre aussi dans ce mdmoire qu'il existe des obstructions de nature cohomologique t~ rdaliser une classe d'homologie par rimage d'une varidtd, mais que c'est tout de m~me possible pour un multiple convenable de cette classe. Rappelons que Hirzebruch a immddiatement utilisd la ddtermination des groupes de cobordisme pour ddmontrer le thdor~me de la signature. Entre 1955 et 1956, Thom trace les grandes lignes de la thdorie de l'homotopie rationnelle dans deux articles remarquables (un exposd au Sdminaire Cartan intituld : << Opdrations en Cohomologie rdelle ~ [12] et un exposd au Colloque de Topologie de Louvain : <~ L'homologie des espaces fonctionnels ~ [14]). Cette thdorie a trouvd son plein accomplissement avec O uillen et Sullivan quinze ans plus tard. Je me permets d'intercaler maintenant quelques souvenirs personnels. En automne 1954, je suis arrivd t~ Strasbourg comme boursier du gouvernement fran~ais avec rintention de prdparer une th6se sous la direction de Ehresmann. A cette dpoque Wu Wen Tsun et Reeb n'dtaient plus ~ Strasbourg. J'dtais le seul dtudiant prdparant un doctorat. Peu de temps apr~s mon arrivde, Ehresmann partit en voyage pour plusieurs mois, mais j'eus la chance exeeptionnelle de rencontrer rdguli6rement Thom et j'ai tird un immense profit des conversations que j'ai eues avec lui. En particulier c'est lui qui m'a expliqud les iddes de base d'Ehresmann sur l'holonomie des feuilletages. L'annde suivante, alors que j'avais suivi Ehresmann ~ Paris, je revenais rdguli~rement ~ Stras- bourg pour voir Thorn et c'est peu apr~s une conversation avec lui que la non-existence des feuilletages analytiques sur S ~ m'est apparue clairement. C'est le lieu de rappeler que Thorn a souvent rdpdtd qu'il devait beaucoup ~. Ehresmann chez qui il apprdciait le goflt pour la gdomdtrie. C'est ~ cette dpoque (prdci- sdment en dtd 1955) que Thom a commencd t~ s'intdresser sdrieusement aux singularitds des applications diffdrentiables (cf. [13]), et la thdorie des jets d'Ehresmann dtait le cadre tout naturel pour cette dtude. L'armde 1956 est tr~s productive pour Thorn. Outre l'exposd au Colloque de UN APERQU DE L'(EUV'R.E DE THOM EN TOPOLOGIE DIFF~,RENTIELLE 17 Topologie alg~brique de Louvain mentionn~ plus haut, il annonce avec Dold dans une note aux C. R. Acad. Sc. Paris, 242 (1956), 1680-1682 (voir aussi [18]) le fameux th~o- r~me sur l'homotopie des produits sym~triques infinis. Je me souviens d'avoir rencontr~ Thom en ~t~ 1956 ~ son d~part pour le Sym- posium de Topologie algfibrique de Mexico. I1 avait dans sa valise deux manuscrits importants. Dans le premier [17], il ~tablissait une d~finition des classes de Pontrjagin rationnelles d'une vari~t~ semi-lin~aire utilisant son travail ult~rieur sur le cobordisme et le polyn6me L de Hirzebruch intervenant dans le th~or~me de la signature. Ceci montrait l'invariance combinatoire des classes de Pontrjagin rationnelles (peu apr6s, en f6vrier 1957, Rochlin et gvarc montraient ind6pendamment ce m6me r6sultat avec une mdtb.ode semblable, cf. The combinatorial invariance of Pontrjagin classes, Dokl. Akad. Nauk S.S.S.R., 114 (1957), 490-493). Cet article de Thorn a dt6 le premier pas vers la construction des classes de Pontrjagin rationnelles pour les varidt6s topologiques donn~es par Novikov en 1965 (Topological invariance of rational Pontrjagin classes, Dokl. Akad. Nauk S.S.S.R., 163 (1965), 298-230). A ce m~me colloque, Milnor annon~ait l'existence de structures diff6rentiables exotiques sur la sph6re de dimension 7; mis ensemble, ces deux r6sultats montraient l'existence d'une varidt6 combinatoire de dimen- sion 8 sans structure diff6rentiable compatible. A ce propos, en 1958 (cf. [20] et [21]), Tbom a esquiss6 avec t6m6rit6 pour l'6poque une th6orie d'obstructions, b. valeurs dans les groupes I', des classes d'isotopies de diffdomorphismes de S"-1, pour construire une structure diff6rentiable compatible sur une vari6t6 triangulde. Cette tentative qui n'a pas abouti immddiatement a 6t6 raise au point plus tard, par M. W. Hirsch notamment. Dans le second manuscrit [15], Tb.om d6montrait le lemme de transversalit6 dans l'espace des jets. I1 s'agit lb. d'un outil fondamental pour l'6tude des singularit6s des applications diff~rentiables que Whitney, le grand pr6curseur dans ce domaine, ne poss6dait pas et que l'on peut consid~rer comme l'une des iddes les plus fdcondes de Thom. Dans son article ant~rieur [13] sur les singularitds des applications diffdrentiables, dont parle Teissier dans l'expos6 faisant suite b. celui-ci, il avait d6jb. rdalisd son impor- tance pour le probl6me de la stabilit6 des applications diffdrentiables. Rappelons que sif est une application diff6rentiable d'une vari6t6 M dans une varidt~ N transverse b. une sous-vari~t~ S de N, alors f(S) est une sous-vari~t~ dont la classe de cohomologie duale est l'image par f~ de la classe duale b. S. Dans le cas plus gdnfiral considdrfi par Thorn, S est une sous-vari~t~ dans le fibrd J'(M, N) -+ M � N des r-jets d'applications diff~rentiables de M dans Net il s'agit d'approcher une appli- cation diff~rentiable de M dans N par une application f dont le r-jet j'f est transverse ~t S. Mais pour l'dtude des singularitfis, et c'est lb. aussi une idde nouvelle tr~s importante, il faut considdrer plus g~nfiralement le cas o~ S est un sous-fibrfi de J'(M, N) invariant par les diff~omorphismes de Met Net dont la fibre est une varidt~ algdbrique r~elle (par exemple l'adh~rence d'une orbite sous le groupe DiffM x DiffN). Thorn esquisse la d~monstration qu'une telle vari~t~ porte une classe fondamentale modulo 2, et un peu plus tard [16], il d~montrera que l'ensemble (j,f)-i des points singuliers de f de 3 ANDR]~ HAEFLIGER type S porte une classe fondamentale duale ~t un polyn6me universel (appelE polyn6me de Thorn) dans les classes de Stiefel-Whimey de M et les images par f" de celles de N. De plus, S n'est pas une sous-variEtE lisse, mais une reunion de sous-variEtEs lisses (les strates), et l'on veut quej'f soit transverse ~t chaque strate. Ces considerations ont motive tons les travaux postErieurs fondamentaux de Whitney sur les stratifications. Pour terminer ce bref survol, je voudrais encore signaler une remarque trEs utile de Thorn dans un expose du sEminaire Bourbaki 1957-1958 ([19]), ~ savoir la propriEtE d'extension des isotopies d'une sous-varidtE ~t la variEtE ambiante. D'ailleurs dans cet exposE, consacrE au thEorEme des immersions de Smale, Thorn a su mettre en Evidence les points fondamentaux de la demonstration, ouvrant ainsi la voie ~t ses multiples gEnE- ralisations (en particulier la these de Gromov). Ce que je viens de mentionner sur la thEorie des singularitEs n'est que le point de depart d'une Etude beaucoup plus profonde que Teissier Evoque ci-aprEs, et aussi l'amorce d'une vision beaucoup plus large qui dEbordera le cadre strict des mathEmatiques. UniversitE de Gen6ve Section de MathEmatique 2-4, rue du Li~vre CH-1211 Gen6ve Manuscrit refu le 4 avril 1989.

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Publications mathématiques de l'IHÉSSpringer Journals

Published: Aug 30, 2007

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