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Umkehrung eines Satzes von Archimedes über die Kugel

Umkehrung eines Satzes von Archimedes über die Kugel Umkehrung eines Satzes von ArcMmedes fiber die Kugel Von OTTO STAMM aus Essen A ufgabenstellung : Der Inhalt eines Sttickes der Oberfl~che, das von zwei parallelen Ebenen aus einer Kugeloberfl~iche herausgeschnitten wird, ist: (1) ~' = 2~R-h wenn h der Abstand der Ebenen ist. Ftir eine beliebige Eifl~che gelte ftir ein ebenso gebildetes Stfick der Oberfl~iche: (2) F = C-h. Darin sei C unabh~ngig yon der Richtung des Normalvektors der Ebenen. Man zeigt dann leicht, daft die Fl~che konstante GauBsche Krtimmung hat und mithin eine Kugel sein muB2). Der Beweis ergibt sich weiter unten aUgemein, sei abet hier angeffihrt. Nach BLASCHKE a.a.O, besteht zwischen der Konstanten in (2) und der GauBschen Kriimmung im Beriihrungspunkt einer den betrachteten Ebenen parallelen Tangential- ebene die Beziehung: lim {2#h~'= [2#h~__ __ (3) K mit konstantem C und damit K. Die einzigen Eifl~ichen mit konstanter Gaul3scher Kriimmung sind aber Kugelna). Es sei noch eine einfache Beziehung hergeleitet. Wenn D die Breite der Eifl~che, d.h. der Abstand paraUeler Tangentialebenen ist, C die zu ihrer Normalenrichtung geh0rige Konstante aus (2), O die Gesamt- oberflRche der Eifl~che, so ist: 2#D (4) O----D-C-- V-K" (Fig.l) K ist die GauBsche Krfimmung in den Beriihrungspunkten der Tangential- ebenen, in beiden http://www.deepdyve.com/assets/images/DeepDyve-Logo-lg.png Abhandlungen aus dem Mathematischen Seminar der Universität Hamburg Springer Journals

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References (6)

Publisher
Springer Journals
Copyright
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Subject
Mathematics; Mathematics, general; Algebra; Differential Geometry; Number Theory; Topology; Geometry
ISSN
0025-5858
eISSN
1865-8784
DOI
10.1007/BF02950746
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Abstract

Umkehrung eines Satzes von ArcMmedes fiber die Kugel Von OTTO STAMM aus Essen A ufgabenstellung : Der Inhalt eines Sttickes der Oberfl~che, das von zwei parallelen Ebenen aus einer Kugeloberfl~iche herausgeschnitten wird, ist: (1) ~' = 2~R-h wenn h der Abstand der Ebenen ist. Ftir eine beliebige Eifl~che gelte ftir ein ebenso gebildetes Stfick der Oberfl~iche: (2) F = C-h. Darin sei C unabh~ngig yon der Richtung des Normalvektors der Ebenen. Man zeigt dann leicht, daft die Fl~che konstante GauBsche Krtimmung hat und mithin eine Kugel sein muB2). Der Beweis ergibt sich weiter unten aUgemein, sei abet hier angeffihrt. Nach BLASCHKE a.a.O, besteht zwischen der Konstanten in (2) und der GauBschen Kriimmung im Beriihrungspunkt einer den betrachteten Ebenen parallelen Tangential- ebene die Beziehung: lim {2#h~'= [2#h~__ __ (3) K mit konstantem C und damit K. Die einzigen Eifl~ichen mit konstanter Gaul3scher Kriimmung sind aber Kugelna). Es sei noch eine einfache Beziehung hergeleitet. Wenn D die Breite der Eifl~che, d.h. der Abstand paraUeler Tangentialebenen ist, C die zu ihrer Normalenrichtung geh0rige Konstante aus (2), O die Gesamt- oberflRche der Eifl~che, so ist: 2#D (4) O----D-C-- V-K" (Fig.l) K ist die GauBsche Krfimmung in den Beriihrungspunkten der Tangential- ebenen, in beiden

Journal

Abhandlungen aus dem Mathematischen Seminar der Universität HamburgSpringer Journals

Published: Sep 8, 2008

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