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Théorie de hodge, III

Théorie de hodge, III THEORIE DE HODGE, III par PIERRE DELIGNE SOMMAIRE INTRODUCTION .............................................................................. 6 TEPJ~INOLOGIE ET NOTATIONS .................................................................. 5- Descente cohomologlque ............................................................... 8 x. Espaces topologiques simpliciaux ....................................................... 8 2. Cohomologie des espaces topologiques simpliciaux ........................................ I2 S. Descente cohomologique ............................................................... I4 6. Exemples d'espaces topologlques simpllclat~ .......................................... i6 i. Espaces classifiants ................................................................... i6 2. Construction d'hyperrecouvrements ..................................................... I9 3. Cohomologie relative .................................................................. 2! 4. Espaces multisimpliciaux ............................................................... 22 7. Compl~ments au w 1 .................................................................. i. Cat~gorle d~riv& filtr& ................................................................ 2. Compldments au lemme des deux filtrations ............................................. 8. Th~orie de Hodge des espaces alg~briques ............................................ 28 i. Complexes de Hodge ................................................................. 28 2. Espaces alg~briques s6par~s ............................................................. 3. Th~orie de Hodge des schemas simpliciaux .............................................. 4 I 9- E.xemples et applications .............................................................. x. Cohomologie des groupes et des classifiants .............................................. 2. Th6orie de Hodge des hypersurfaces lisses, d'apr~s Griffiths ............................... 3. Construction de complexes d'opdrateurs diff&entiels du Ier ordre .......................... 5 ~ i o. Th~orle de Hodge en nlveau < 1 ...................................................... i. i-motifs .............................................................................. 2. i-motifs et bicxtensions ................................................................ 60 3- Interpr&ation alg~brique du H 1 mixte : cas des courbes ................................. 4- Traduction d'un th~or~me de Picard ................................................... BIBLIOGRAPHIE .............................................................................. 77 Introduction Cet article fait suitc ~ [4] et [5], cit6s Iet II. La num6rotation de ses paragraphes prolonge celle de II (qui contient les w167 I ~ 4). Pour renvoyer ~t un r~sultat de II, on mentionne simplement son numdro. Par exemple : (3-2. I7). Dans I, nous avons exposfi le yoga qui sous-tend II et le prdsent article III. Toutefois, II et III sont logiquement ind~pendants de I. Ils ne contiennent pas tousles r6sultats qui sont annonc~s dans I. Dans II, nous avons exposd la th6orie de Hodge des vari6t6s alg6briques non singuli~res (non ndcessairement comp|~tes). On traite ici le cas de singularitds quelconques. A partir du w 7, un usage essentiel sera fait des r~sultats des w167 I /t 3 de II. Dans le cas d'une vari6t6 algdbrique singuli~re complkte X, l'id6e fondamentale est d'utiliser la r~solution des singularit~s pour (~ remplacer >) X par un syst~me simplicial de sch6mas projectifs et lisses X. <--.. > ..... X2 <..._ > XI ~- > Xo (ou, comme nous dirons, par un sch6ma simplicial projectif et lisse). Les r~sultats des w167 5 et 6 permettent de trouver de tels schdmas simpliciaux X. ayant, en un sens convenable, mfime cohomologie que X. On peut alors (< exprimer >>, via une suite spectrale, la coho- mologie de X en terme de celle des X,. En conformit6 avec leg principes gfinfiraux de I, on peut alors, sur chacun des Xn, utiliser la th6orie de Hodge classique, et en d~duire une structure de Hodge mixte sur la cohomologie de X. Dans le cas d'une varifit6 alg6brique quelconque X, on <( remplace >> X par un schfima sirnplicial lisse X., compactifi6 par un schfima simplicial projeetif et lisse X,. On se d~brouille de plus pour que X,--X, soit un diviseur ~ croisements normaux, r6union de diviseurs lisses D,,~. On ~ exprime >> alors via une suite spectrale la cohomologie de X en terme de la cohomologie des intersections p ~ p des D,,~ (n~ o, p~ o), et on en dfiduit une structure de Hodge mixte sur H'(X). Les w167 5 et 6 constituent un rfisumfi (sans d~monstrations) de la th~orie de la ~( descente cohomologique >>. Cette th~orie, dans le cadre plus g~n~ral des topos, est exposfie par B. Saint-Donat dans S.G.A.4, V bis. Au w 7 n~ i, on reprend dans le langage des cat6gories d6rivdes fihrfies certains des r6sultats obtenus ant~rieurement. Le n ~ ~ contient une d6monstration du lemme des deux filtrations plus simple que celle du w i, n ~ 3. Le rebutant n ~ ~ du w 8 est le coeur de ce travail. Le r6sultat essentiel cst le th~or~me (8. I. ~5)- Dans sa d~monstration, pour pouvoir appliquer le lemme des deux THI0,ORIE DE HODGE, III filtrations, on utilise que tout morphisme de structures de Hodge mixtes est strictement compatible aux filtrations Wet F (2.3.5). Au n ~ 2, on ddfinit la structure de Hodge mixte de Hn(X, Z) (X sch6ma sdparfi). On montre que les nombres de Hodge h pq de Ha(X, Z) ne peuvent ~tre non nuls que pour (p, q)e[o, n]� hi. Pour n>dim X, on a un r~sultat plus prficis (8.2.4). Si X est lisse (resp. eomplet) ils ne peuvent fitre non nuls que si de plus p+q~n (resp. p+q<n). Si X est un sous-sch6ma complet de compldment U d'un schfima Z, complet et lisse de dimension n, on peut, d'apr~s N. Katz, interprfiter cette << dualit6 >> entre les cas complets et lisses comme provenant de la << dualitd d'Alexander >> ... H'(Z, Q) + H'(X, Q) --~ (H2"-'-I(U, Q))* -+ H'+I(Z, Q) ... Des propri~t~s de fonctorialitd de la th~orie construite, on d~duit les utiles corollaires (8.2.5) ~ (8.2.8), qui s'6noncent en termes ind~pendants de toute thdorie de Hodge. Au w 8, n ~ 3, on munit la cohomologie de tout schdma simplicial X. d'une structure de Hodge mixte. Cette g~n~ralitd n'est pas illusoire. a) On peut interpr6ter des espaces de colaomologie relative comme 6tant la cohomologie de schemas simpliciaux convenables. b) Soit B o l'espace classifiant du groupe de Lie sous-jacent ~ un groupe alg~- brique G. On peut interpr6ter la cohomologie de B o comme dtant celle d'un sch6ma simplicial convenable. Au w 9, n~ I, apr6s avoir calcul6 la structure de Hodge mixte de la cohomologie de Bo (pour G lindaire), on en d6duit celle de G. Comme corollaire, on trouve que si un groupe lin6aire G agit sur une vari~td complete non singuli~re X, alors l'app|ication H'(X, Q) ~ H'(X, Q) | Q) se factorise par H'(X, Q)|176 Q) cH'(X, Q)| Q). Au w io, on interprSte en terme de schdmas abdliens les structures de Hodge mixtes purement de type { (-- i, -- I), (-- I, o), (% -- I), (o, o) } (III.o 5), et on consid re en ddtail le H 1 des courbes. La th5orie ddveloppSe jusqu'ici est une th6orie absolue (on n'y ~tudie pas les foncteurs Rf.), et ne concerne que des coefficients constants. Je conjecture que si o%f est une variation de structures de Hodge polarisable (au sens de Griffiths [6]) sur un schdma X, alors la cohomologie de X k coefficients dans le systSme local .$r est munie d'une structure de Hodge mixte naturelle. Je ne puis le prouver que pour X complet. Termlnologie et notations (III.o.x) Soit u:X~Y une application continue entre espaces topologiques. Nous dirons que u est propre si elle est proprc au sens de Bourbaki (i.e. universellement ferm6e) et de plus s~parde (i.e. si la diagonale de X� est ferm~e). PIERRE DELIGNE (HI.o.z) Suivant en cela Gabriel et Zisman, nous dirons simplicial 1~ off autrefois on disait semi-simplicial. (llI.o.3) Nous ddsignerons par A un sous-anneau noethfirien de R tel que A| soit un corps. Les cas utiles sont A=Z, O ou R. (HI.o.4) Une A-structure de Hodge mixte consiste en un A-module de type fini Ha, une filtration finie croissante W du A| HA|174 et une filtration finie ddcroissante F du C-veetoriel H e = H,| On exige que les (GrW(HA| GrW(F)) soient des AGO-structures de Hodge. Pour A=Z (resp. O) on retrouve (2.3. I) (resp. 2.3.8); les rdsultats de (2.3) se transposent tels quels. (HI.o.5) Soit @ une partie de Z xZ. Une structure de Hodge nfixte H est de type ~ si scs nombres de Hodge h m sont nuls pour (p, q)Cg. (HI. o. 6) Nous noterons d~sormais ~)x(log D) ce que nous notions ~x< D> (3-i. 2). (IH.o.7) Sauf mention explicitc du contraire, schema signific ~ schema de type fini sur C ,, ct un faisceau sur un schema X est un faisccau sur l'espace topologiquc sous-jaccnt ~ X~.. 5- DESCENTE COHOMOLOGIQUE 5. x. Espaces topologlques simpllclaux. Ce num&o commence par des rappels pour lesquels on peut renvoyer au sdminaire homotopique de Strasbourg, 63/64. (5. x. I) On utilisera les notations suivantes. =catfigorie oppos~e d'une catfigorie d. Hom(.~t, .~)= catdgorie des foncteurs de d dans ,~. D~signons par net k des entiers >- I. A,=l'ensemble fini totalement ordonnfi [o, n]. ~ : A,-+A,+t=l'injection croissante telle que ir (o<i<n+ I). si : A,+t-+A,=la surjection croissante telle que sdi)=si(i+I) (o<i<n). a : A_l-+A,=l'uniquc application dc A_ 1 dans A. (A+)=la cat6goric ayant pour objcts les A (n_>--i), ct pour fl~ches les applications croissantes entre les A. (A) =la sous-cat~gorie pleine de (A +) d'objets les A, (n>o). (A+)k=la sous-catfigoric pleinc de (A +) d'objets les A (k>n). (A)k =la sous-cat6goric pleine de (A +) d'objets les A, (k> n> o). TH~ORIE DE HODGE, III Pour toute catdgorie cg, un objet simplicial (resp. objet simplicial k-tronqug) de cg est un objet de Hom((A) ~ ~) (resp. Hom((A) ~ ~)). De m~me, un objet cosimplicial (resp .... ) de cE est un objet de Hom((A), cg) (resp .... ). Le foncteur squelette sqk est, pour k>--i, le foncteur de restriction sq k : Hom((A)O, cg) -+ Hom((A)O, ~). Le foncteur cosquelette cosqk est le foncteur adjoint ~ droite ~t sqk cosq~ : Hom((A) ~ ~) -+ Hom((A) ~ 5). Soit Y un objet simplicial de c6. On appelle encore squelette le foncteur sqk : Hom((A) ~ ~)/Y -+ nom((A) ~ c6')/sqk(Y ). Son adjoint ~t droite se note cosq~ (cosquelette relatif ~t Y) cosq~ : nom((A) ~ ~)/sq~ Y -+ nom((A) ~ ~)/Y. Les foncteurs cosquelettes sont ddfinis si les limites projectives finies existent dans cE. Lcs foncteurs cosq~ existent dos qu'existent lcs produits fibrds. On a cosq~(X) = cosqk(X ) Xeosq k sqk(y)Y. (5.1.~,) Si X. : (A)~ est un objet simplicial de c6, on pose Xn=X.(An) , 8~=X.(8~ :An-+An+l) :Xn+t-+Xn et s~=X.(s i:An+t-+A.) :Xn-+X.+ 1. 8, So Bo X.: X~+-~ ' Xl '0 Xo St 8x "<---" 8t (5. 9 .3) Soit SeOb cE. L'objet simplicial constant S. est l'objet simplicial pour lequel S n = Set 8i = s i = Id s. Un objet simplicial (resp. simplicial k-tronqud) de cE, augmentg vers S, est un morphisme a :X -+S. (resp. a :X -+sqk(S.) ). Nous identifierons les objets simpliciaux (resp. simpliciaux k-tronquds) de c6, augmentds vers S, a : X. -+ S. (resp .... ) aux objets X + de Hom((A+) ~ cg) (resp. Hom((A+) ~ ~)), tels que X+(A_I)= S. On a a n =X+(~ : A_t-+A,). Ces objets seront d6signds par une notation du type a : X-+S. Les cosquelettes relatifs seront surtout utilis6s dans ce cadre, et notds cosq s ou sim- plement cosq~. (5.x.4) Le cosquelette de l'objet simplicial o-tronqud augment6 a o :X-+S est l'objet simplicial augment6 vers S de composantes les puissances cartdsiennes de X dans ff/S cosq0(X -+ S) = (((X/S)a"),>__0 -+ S). (5.x.5) Soient u :X-+Y une application continue entre espaces topologiques, Fun faisceau sur X et Gun faisccau sur Y. L'ensemble Homu(G , F) des u-morphisraes de G dans F est l'ensemble Hom(u'G, F)~Hom(G, u.F). 2 IO PIERRE DELIGNE Se donner un u-morphisme f de G dans F revient ~ se donner, pour tout couple d'ouverts UCX et VcY tel que u(U) cV, une application fuv:G(V)-~-F(U); ces applications doivent vdrifier la condition (*) Pour U'cUcX, V'cVcY, u(U) cV et u(U')cV', le diagramme G(V) , G(V') , i F(U) , F(U') est commutatif. (5-I. 6) Un espace topologique simplicial est un objet simplicial de la catdgorie d'objets les espaces topologiques, et de morphismes les applications continues. Un faisceau F" sur un espace topologique simplicial X~ consiste en a) une famille F" de faisceaux sur les X, ; b) pour f:A --+A , un X.(f)-morphisme F'(f) de F" dans Fm. On exige de plus que F'(fog)=F'(f)oF'(g). Un morphisme u de F" dans G" est une famille de morphismes u" : F"-+G" telle que pour f~Hom(A)(A~, A,,), on ait u'F'(f)=G'(f) u ~. (5.x.7) Pour U un ouvert de X,, soit F'(U)=Fn(U). Pour f: A -~.A,,, UCX, et V dans X m tels que X.(f)(V)cU, soit F'(f, V, U) :F'(U) -+F'(V) l'application induite par F'(f). On v6rifie aussit6t que le syst~me des ensembles F'(U) (indexes par n et UcX,) et des applications F'(f, V, U) dfitermine F" uniquement (cs (5.I.5)). Pour qu'un tel syst~me provienne d'un faisceau sur X., il faut et il suffit que : a) F'(fg, U, W)=F'(f, U, V) F'(g, V, W) chaque lois que cela a un sens; b) quel que soit n, les F'(U) pour UcX, forment un faisceau sur X,. (5" 9 .8) Ceci montre que les faisceaux sur X. peuvcnt s'interprEter comme les faisceaux sur un site convenable, et en particulier forment un topos (X.) ~. On utilisera librement, pour les faisceaux sur X., la terminologie en usage pour les faisceaux sur un site. Ainsi, un faisceau en groupes abdliens (resp. un faisceau d'anneaux, ...) F" est un syst~me de faisceaux en groupes ab~liens (resp. de faisceaux d'anneaux, ...) F n sur les Xn, et de morphismes F'(f). (5.x.9) Exemples. (I) Soit X. un espace analytique simplicial. Lcs faisceaux structuraux d)x. forment un faisceau d'anneaux sur X. (II) Soit X. un espace analytique simplicial augmentfi vers S. Les faisceaux f~,ls forment un faisceau de O-modules sur X.. Sa puissance extdrieure i-~me est le faisceau 10 THI~ORIE DE HODGE, III de ~-modules i i (f~x./s),>0, not4 [)x./s. Les complexes de De Rham (K)x,/s),~, 0 forment un complexe de faisceaux sur X.. (III) Soit F" un faisceau des groupes ab61iens sur X. Les r6solutions flasques canoniques de Godement CC(F") forment un complexe de faisceaux sur X, et une r6solution de F'. (IV) Soit Sun espace topologique. Les faisceaux F" sur l'espace simplicial constant S. s'identifient aux faisceaux cosimpliciaux sur S. En particulier, un faisceau abdlien F" sur S. ddfinit un complexe diffdrentiel (F", d--~ (--I) iSi). Un complexe de faisceaux abdliens K sur S ddfinit un double complexe (K n,m) encore not6 K (m=degr6 cosim- plicial) de complexe simple associ6 sK : (5.x.9.x) p+q=n et (5-I.9.2) = aK(X" ) -+ E (-- On notera L la seconde filtration de sK : (S-X'9.3) U(sK) -- @ Km. q'>r (5. x. IO) Soit u : X. § un morphisme d'espaces topologiques simpliciaux, de composantes u, : X,--~Y,. Si G (resp. F) est un faisceau sur Y. (resp. sur X.), alors (u~G"),_> 0 (resp. (u,.F"),>0) est un faisceau sur X. (resp. sur Y.); on le note u*G (resp. u.F). Les foncteurs u. et u* sont adjoints; ce sont les morphismes image directe et r6ci- proque d'un morphisme de topos u :(X.) ~ +(Y.)~. (5.1.II) Soit a :X.-->S un espace topologique simplicial augmentd vers S. Si F est un faisceau sur S, a*F=(a,]F)n>0 ~< est >> un faisceau sur X.. Le foncteur a* a un adjoint ~ droite (5-l. II.l) a. : F't->Ker(a0.F ~ ax.F1). si Les foncteurs a. et a* sont les foncteurs image directe et rdciproque d'un morphisme de topos a : (X.) ~ -+ (S) ~. (5.x.x2) Soient S. l'espace simplicial constant associd ~ Set a. :X.--+S. le morphisme d6fini par a. Pour F" un faisceau ab6lien sur X, on identifie a..(F') ~ un faisceau cosimplicial sur S ((5. i-9) (IV)). Pour K un complexe de faisceaux ab61iens sur X, si K ~ est la composante de degrd p de la restriction de K ~ Xq, les composantes du complexe simple associd au double complexe ddfini par a..K sont (5.i.x2.x) (sa.,K)"=- @ aq, K p'. p+q=n 11 12 PIERRE DELIGNE La suite spectrale d6finie par la filtration L ((5.1.9-3)) de sa..K s'6crit (s I .2 2) = He(a,. (K I X')) H" + r K). (5-'.'3) Faisons S=P t (espace topologique r6duit k un point). On trouve que, pour F" un faisceau sur X., les P(X~, F n) sont les composantes d'un ensemble cosimplicial F'(X., F'). Le foncteur P (sections globales) est le foncteur (5-'-'3.') P : F'~Ker(P(Xo, F~ F1)). Si K est un complexe de faisceaux abfiliens, on dfisigne par P'(X, K) le complexe diff6rentiel de composantes les groupes ab~liens cosimpliciaux P'(X, K") et par sP'(X., K) le complexe simple associd. 5.2. Cohomologle des espaces topologlques slmpllclaux. (5.2. x ) A chaque egpace topologique simplicial X. est attach~ un espace topologique usuel IX.I, appel6 sa rdalisation gfiomdtrique (voir ci-dessous). Dans le cas particulier off les X~ sont discrets, on retrouve la notion habituelle de r6alisation gdomdtrique d'un ensemble simplicial. Dans [I4] , G. Segal d6finit la cohomologie de X ~ valeurs dans un groupe ab61ien A comme 6tant H'([X.], A). Sous des hypothSses convenables, la filtration de I X.I par les squelettes successifs fournit une suite spectrale. (5.2.i.x) Et~q-= Hq(Xp, A)=> H~+q(X., a). Un des intSrfits de cette ddfinition est qu'elle s'applique aussi bien, par exemple, la ddfinition de groupes K(X.). Nous en adopterons une autre, mieux adapt~e aux techniques faisceautiques. R/alisation gdomdtrique. -- Pour n entier > o, on d~signe par I An ]le simplexe dans R a" de sommets l'ensemble des vecteurs de base. On identifie A n k l'ensemble des sommets de I Anl. Toute fonction f: A ~A m se prolonge par lin6aritfi en If[ : ] An I -->] Am ]" Soit X. un espace topologique simplicial. Soit Y= I.I (X.� Soit R la plus n>'0 fine des relations d'6quivalence sur Y pour lesquelles, quels que soient f:An-+A m clans (A), xm~X m et a~]A.], on ait (xm, If[ (a)) - (f(xm), a) (mod R). La r/alisation gdomdtrique de X. est par d6finition I x. I = Y/R. Dgfinition (5.2.2). -- Soit X un espace topologique simplicial. Les foncteurs cohomologie /l coefficients dans le faisceau abNien F" sur X, Hi(X, F'), sont lesfoncteurs d/rivds du foncteur P (5. I. 13. I). Cette d~finition ~quivaut A la suivante, parfois plus maniable. 12 THI~ORIE DE HODGE, III I3 (5.2.3) Soit F" un faisceau abdlien sur X.. On montre (par exemple ~ l'aide de (5.1.9) (III)) que F" admet toujours des rdsolutions ~t droite K telles que Hr(Xq, K p' q) = o pour p, q> o et r~>o. Si K est une telle rdsolution, on a canoniquement (S.2.3.x) H"(X., F')__ H"(sP'(X., K)). I1 cst facile de v6rifier directement que lc membre de droite est ind~pendant (~ isomor- phisme unique pros) du choix de K; pour cc qui suit, il serait loisible de dgfinir H'(X, F') par (5.2.3. I). On vdrifie de plus quc la suite spectrale du complexe sF'(X., K), filtrd par L ((5.1.9.3) et (5.I.I2.2) pour S----P t) (5.2.3. ~') E~q = Hq(Xp, F ~) =~ H p + q(X., F') est inddpendante (~ isomorphisme unique pros) du choix de K (cf. (5.2. I. I)). (5.2.4) I1 y a lieu de pr6ciscr la construction qui prdc~de en passant aux catdgories ddrivdes, et d'en donner une variante relative. Soient a : X ~S, S l'espace simplicial constant ddfini par S, a : X ~S ddduit de aet ~. : S. ~S le morphisme d'augmentation. On a (S.2.4.x) a.=a.a..: (X.)~~(S) ~. Gette formule se ddrivc en (5.2.4-2) Ra,=R~.Ra., : D+(X.) ~D+(S) (D+(X.)=Ia catdgorie ddrivde bornde inf~rieurement de la catdgorie des faisceaux abdliens sur X.). Calculons Ra.. et R~.. (5-2.5) Soit u :X.-+Y. un morphisme d'espaces topologiques simpliciaux. Le foncteur Ru. :D+(X.)-+D+(Y.) se calcule <~ composante par composante , : si K est un complexe de faisceaux ab~liens sur X., pour calculer Ru. K, on prend une rdso- lution K-~K' telle que les composantes F de K' v6rifient R~(FP)=o pour i>o, p>~o (cf. (5.I.9) (III)); on a alors RuoK~u.K'. (5.2.6) Le foncteur s:C+(S.)-~C+(S) transforme complexe acyclique en complexe acyclique. I1 se d~rive done trivialement en s: D+ (S.) --->D+ (S). Pour F un faisceau injectif sur S., le complcxc diffdrcntiel sF est une r~solution de ~.F. On en ddduit un isomorphisme R~.~s et (5.2.4.2) devient (5" 2.6., ) Ra. = sRa... 13 14 PIERRE DELIGNE (5.2.7) Jointe ?i (5.2.5) et spdcialisde au cas S-~P e, cette formule prouve (5.2.3. I). En termes concrets, elle signifie que pour calculer Ra, K, on peut proc~der en deux fitapes : a) on prend une rdsolution K ~K', telle que les composantes F de K' v6rifient Riav,(F p) =o pour i>o. Le complexe a.,K'eD+(S.) (catdgorie d~riv~e de la cat6gorie des faisceaux abdliens cosimpliciaux sur S) s'identifie ~ Ra.,K. b) Ra, K est le simple complexe sa.,K' associd au double complexe a.,K'. La suite spectrale (5.2.3.2) se gdndralise en une suite spectrale ddduite de (5.I-I2.2) (5.2.7. x) Efq = Rq %. (K I Xp) ~ R p +qa. K. 5-3. Descente cohomologique. (5.3-I) Soit a :X.--->S un espace topologique simplicial augmentd. Pour tout faisceau F sur S, on dispose d'un morphisme d'adjonction : F -+a,a*F. Ce morphisme se d~rive en un morphisme de foncteurs de D+(S) dans D+(S) : (5.3.I.I) qO : Id-->Ra, a*. D(finition (5.3.2). -- On dit que a est de descente cohomologique si pour tout faisceau abglien F sur S, on a * 9 F Ker(a0,a0F -+al, alF ) et Ria, a*F ~-- o pour i>o. I1 revient au mfime de demander que (5.3. I. I) soit un isomorphisme. (5.3.3) Si a est de descente cohomologique, alors, pour Ke Ob D + (S), l'application canonique (513.3 . I) Rr(S, K)--,RF(S, Ra, a*K)~RP(X., a'K) est un isomorphisme. En particulier, pour Fun faisceau ab~lien sur S, on a une suite spectrale (5- 2.3.2) (5.3.3- 2) E1 pq = Hq(X,, a;F) =~ H" + q(S, F). Pour un complexe, on a encore, en hypercohomologie, une suite spectrale (5-3.3.3) E~q=Hq(Xv ., apK)~HP+q(s, K). Dans les deux cas, les E~ q (q fixe) forment un groupe simplicial, et 4=W(--I)iSi : Elv, q -+ E~ +l,q 14 THI~ORIE DE HODGE, III i5 Dgfinition (5.3.4)- -- Une application continue a : X -~- S est de descente cohomologique si le morphisme d'augmentation de cosq(X ~S) : ((x/s?").>0 -* s est de descente cohomologique. On dit que a est de descente cohomologique universelle si pour tout u : S'-+S, l'application continue a' : X� est de descente cohomologique. (5-3-5) Les rdsultats fondamentaux, dfimontr6s dans S.G.A.4, V bis, sont les suivants. (I) Les applications continues de descente cohomologique universelle forment une topologie de Grothendieck sur la catdgorie des espaces topologiques. On l'appelle la topologie de la descente cohomologique universelle. (II) Une application propre (III. o. I) et surjective est de descente cohomologique universelle. (III) Une application a : X ~S admettant des sections localement sur S est de descente cohomologique universelle. (IV) Soit a : X. )-S un espace simplicial augment6 k-tronqu6 (--I <k~oo). Pour k> n>-- I, soit ~?n : cosq X. +cosq sqnX" la fl~che dvidente. On dit que X. est un hyperrecouvrement k-tronqud de S, pour la topologie de la descente cohomologique universelle, si les applications (5.3.5 -I) (9,),+,: X,+l-+(c~ (--i<n<k--i) sont de descente cohomologique universelle. Si X. est un tel hyperrecouvrement, alors l'espace simplicial augment6 vers S, cosq(X.), est de descente cohomologique. (V) Soit a un morphisme d'espaces topologiques simpliciaux augmentd vers S X. ~) Y. S .... S On dit que a est un hyperrecouvrement pour la topologie de la descente cohomologique universelle si les applications dvidentes X,c § (cosq,YL 1 sq,_ 1X.)n sont de descente cohomo- logique universelle. Si a est un tel hyperrecouvrement, alors, pour tout K~Ob D+(S) a* : Ry.y'K -~ Rx.x*K. (5.3.6) Pour k~-oo, (IV) affirme que a : X.-§ est de descente cohomologique si les (q0,),+ 1 sont de descente cohomologique universelle. Pour n~---x ou o, ces applications sont n==--I : X o ~ S n--o : X~ (8"~) Xo � Xo . 15 PIERRE DELIGNE x6 Pour n= I, (cosq sql(X.))l est le sous-espace de X x � Xx � X~ form6 des triplets (x,y, z) tels que 3oX=~oy, 8lX=3oZ et 3ty=8az. L'application (qh)2 est x.~(3oX , Sax, 82x). Pour k = o, (IV) est la definition (5-3.4). Exemple (5" 3-7)" -- Soit o//= (Ui) i e I un recouvrement ouvert, ou un recouvrement ferm6 localement fmi de S. Soit X = H Ui. Alors, a : X ~S est de descente cohomo- iEI logique. La suite spectrale (5- 3- 3- 2) pour X. -- cosq (X -+ S) n'est autre que la suite spectrale de Leray du recouvrement ~. (5.3.8) Soit a : X.-+S comme en (5.3.5) (IV). On dit que X. est un h.)per- recouvrement propre k-tronqug de S si les fl~ches (5.3.5. i) sont propres et surjectives. Pour k = 0% on parle simplement d'hyperrecouvrement propre. 6. EXEMPLES D'ESPACES TOPOLOGIQUES SIMPLICIAUX 6. I. Espaces dassifiants. (6. I. I) Soit u : X--~S une application continue. Pour tout faisceau F sur S, le faisceau u*F est muni d'une << donnEe de descente >> relativement ~ u : on dispose d'un isomorphisme entre les deux images rEciproques de u*F sur X � et cet isomorphisme vdrifie une condition de cocycles. Si, localement sur S, u admet une section, cette construction ddfinit une Equivalence entre la categoric des faisceaux sur S et celle des faisccaux sur X, munis d'une donnEe de descente. Prenons pour X un espace principal homogEne (~t gauche) de groupe G sur un espace S. Les faisceaux G-Equivariants sur X ne sont autres que les faisceaux munis d'une donnEe de descente : tout faisceau 6quivariant sur X est d'une et d'une seule faw (en tant que faisceau 6quivariant) image rEciproque d'un faisceau sur S = X/G. (6.1.2) Si un groupe topologique G agit sur un espace X, alors G agit sur G a"� par g. (go, ..., gn, x)=(gog-~, "", gng-~, gx). On dEsigne par [X/G]. l'espace simplicial (6. I. 2. I) [X/G]. = ((G a" � X)/G)n>0. a) Si X est un espacc principal homog~ne de groupe G sur S=X/G, alors l'application GA"� ~ XA" : (go, ''',g,, x)~(gox, ." ",g,x) identifie [X/G], au produit fibre itdrE (X/S) a" : cosq(X ~ S) =(IX/G]. ~ S). 16 THI~ORIE DE HODGE, III x7 En particulier, on a (5.3.5 (III)) (6.I.2.2) H'([X/G].)_~H'(X/G) (pour un espace principal homog~ne). b) Pour tout n, G a" � X est un espace principal homog&ne de groupe G sur [X/G],. Pour tout faisceau dquivariant F sur X, pr;.F est un faisceau dquivariant sur Ga"� ; d'apr&s (6. I. x), ce dernier est image rdciproque de F" sur [X/G],. Tout faisceau ~quivariant F sur X d~finit ainsi un faisceau sur [X/G] . It est facile de vdrifier qu'on obtient ainsi une dquivalence de la catdgorie des faisceaux dquivariants sur X avec la catdgorie des faisceaux F ~ sur [X/G]. qui v~rifient (.) Pour tout f : A,-+A,,, le morphisme structural f*F"-+F" est un isomorphisme. c) La construction b) est naturelle en (G, X, F). On pose (6.x.2.3) H'(X, G; F)= H'([X/G]., F') (cohomologie mixtc dc X, G ~ coefficients dans F). Sous les hypotheses de a), si F est image r~ciproquc dc F -t sur S=X/G, on a (6.x.~,.4) H'(X, G; F)=H'(X/G, F -t) (pour un espace principal homog~ne). Ceci gEndralise (6.1.2.2) (qui est le cas F=Z). (6. x. 3) Soit 1 ~ l'espace topologique rfiduit ~ un point. On appelle espace classifiant simplicial de G et on note B Q l'espace simplicial B.G = [Pt/G].. Soit Pun espace principal homog~ne de groupe G sur S. Le morphisme ~vident cosq(P ~ S) = [P/G]. --> [V/G], = B.o d~finit un morphisme compos6 , H'([P/G].) (~ H'(S). (6.x.3.I) [P]: H'(B.Q) 6.1.2.2 On verra ci-dessous que dans les bons cas H'(Ba)=H'(Bo), et que l'image de [P] est formde des classes caractgristiques de P. (6. 9 Soient Gun groupe de Lie, B o un espace classifiant pour G et a : U a-+B o le G-espace principal homog6ne universel. Soit X un G-espace; X � U a est un G-espace principal homog6ne sur X � Uo/G, de sorte que pour tout faisceau ~quivariant F sur X, pr~F est image r6ciproque d'un faisceau F a sur X� Puisque U 0 est contractile et d'apr~s (6. i .2.2), on a (6 x.4., ) H'(X,G;F)~H'(X� G;pr~F)~-H'(X�176 En particulier, pour X = pt (6. 9 .4.~) H'(B.o) = H'(Bo). 17 PIERRE DELIGNE On vdrifie que l'isomorphisme (6. i.4.2 ) est le cas particulier de (6. I.3.I ) pour S=Bo, P=U o. (6.x.5) La suite spectrale (5.2.3.2) pour B o E~ ~ ---- Hq(GaP/G) ~ H' + q (B.o) ---- Hn + q (B~) est essenticllement la suite spectrale d'Eilenberg-Moore. Rappelons bri6vemcnt comment eUc pcrmet dc relier les cohomologics rationnelles dc G et dc Bo, pour G connexe. a) L'alg6bre H'(G, Q) est une alg6bre de Hopf gradu6e eonnexe de dimension finie sur Q. Si P'(G) est lc module gradud de ses 6l~mcnts primitifs, on a donc H'(G, Q) =AP'(G), et les gdn~rateurs de P'(G) sont de degrds impairs. b) L'alg~bre simplieiale (Er')p> 0 est E~" = A (P'(G)~P/P'(G)) ; c'est l'alg~bre extdrieure de la suspension du module cosimplicial constant P'(G); on a done (Quillen [I2]) E~'= SymZ(P'(G)). Les termes E~ * ne sont non nuls que pour p + q pair; on a donc F_~ = E~ q et, pour une filtration convenable, on a canoniquement Gr H'(Ba, Q)~ Sym'(P'(G)[--i]) et non canoniquement H'(Ba, Q)_~ Sym'(P'(G)[--i]). (6. i. 6) Prenons pour G un groupe alg~brique lindaire (complexe). a) Si Test un tore maximal de G, de groupe de Weyl W, on a (6.1.6.1) H.(Ba, Q) __% H.(BT, Q)W. b) Pour un tore T de groupe de caract~res X(T), on a (6. x. 6.2) H'(T, Z) ___ ~kX(T) (isomorphisme d'alg~bres de Hopf gradu6es). Nous n'utiliserons a) que sous la forme affaiblie suivante : a') L'application H'(Bo, Q) -+H'(BT, Q) est injective (splitting principle). Pour ~tre complet, rappelons une d6monstration de a'). Si B est un sous-groupe de Borel de G, le fibr~ Uo/B sur B o est un fibr~ en espaces de drapeaux. D'apr~s ([3] ~- I + 2.6.3) mieux expliqu6 dans P. A. Griffiths, Periods III, Publ. Math. LH.E.S., 3 8, prop. (3.I), ou d'apr~s [I], la suite spectrale de Leray de U~/B -+B o d6gdn6re en cohomologie rationnelle On a done H'(Ba, Q) ~ H'(Ua/B, Q). On conclut en notant que UQ/B,~BB,~B T. 18 THI~ORIE DE HODGE, III 6.2. Construction d'hyperrecouvrements. (6.2.I) Soit X. un ensemble simplicial. D6signons par D(A,, Am) l'ensemble des applications surjectives croissantcs de A, dans A,,, (op6rateurs de d6g6n6rescence), et posons (6.2.I.I) N(X.)= X,-- O s(X, t). sE D(An, An- t) Rappelons que pour tout n, l'application (6.2.x.2) Hs 11 I1 N(Xm)--~Xn m<_<n z~D(An, Am) est bijective. Dgfinition (6.2.2). -- Un espace topologique simplicial est dit s-scind~ si les appli- cations (6.2. I. 2) sont des hom/omorphismes. Soit X~ un ensemble simplicial k-tronquC Pour n<k, on d6finit encore N(Xn) par (6.2. I. I), et (6.2. I. 2) est une bijection. Un espace topologique simplicial k-tronqu~ est dit s-scind/si (6.~. ~ .~) est un hom~omorphisme pour n<k. (6.2.3) Pour X un espace topologique simplicial (n § I )-tronqu6 s-scind~, augment~ vers S, soit ~(X) le triplet consistant en sq,(X), NXn+t et en l'application ~vidente de NX,+ 1 dans (cosq sqnX),+1. Ce triplet (Y, N, 9) vdrifie (.) Y est un espace topologique simplicial n-tronqud s-scind6 augmentd wws S, et est une application continue de N dans (cosq Y),+I. Proposition (6.2.4) (S.G.A.4, V bis (5.I-3))- -- Soit (Y, N, 9) v/rifiant (*) ci-dessus. (i) A isomorphisme unique prks, il existe un et un seul espace topologique X, (n-~- i )-tronqu/ s-scind/augment/vers S, avec ~(X)- (Y, N, 9). (ii) //revient au mgme de se donner f: X ~ Z ou de se donner : a) un morphisme f' :Y-~sq,(Z), b) un morphisme f" :N~Z,+ 1 rendant commutatif le diagramme N ~ > (cosqY),+l [,, f' Z.+ 1 > (cosq sq.Z).+l Cette proposition (6.2.4) s'applique aussi aux objcts simpliciaux d'autres cat6- gories ~ que celle des espaces topologiques. II suftit que ~ v6rifie 19 2O PIERRE DELIGNE (6.2.4.x) Les limites projectives finies existent. Les sommes finies existent, sont disjointes et universelles. (6.2.5) Cette proposition permet de construire comme suit, par induction, des hyperrecouvrements propres de S. o) On prend f0 : X0-~-S, propre et surjectif. {X0} est un hyperrecouvrement propre o-tronquE de S (5.3.8), il est s-scindE. i) On prend fl : Nl-+cosq({X0})l, i.e. fl:N1-+Xo� Appliquant (6.2.4) , on associe ~ fl l'espace topologique simplicial I-tronqu6 augmentE s-scindE 1X." NluX o ~ X o , S. On suppose ft choisi de telle sorte que A' : N,,,Xo + XoxsXo soit propre et surjectif (par exemple f~ propre et surjectif). Alors, iX. est un hyper- rccouvrement propre I-tronquE s-scindE de S. .... ..o.,o.~ k + I) Soit ddj~ construit un hyperrecouvrement proprc k-tronqud s-scindd kX -+S. On prend fk+l : Nk+l ~(cosq(kX.))k+l, et, appliquant (6.2.4), on associe ~t fk+z un espace topologique semi-simplicial k + I-tronqud augmentd s-scind6 4+ iX. 9 On suppose quefk+l est tel que fk'+l : ~+lXk+l -~ cosq(kX.)k+l soit propre et surjectif (par exemple f~+ ~ propre et surjectif). Alors, ~ + ~X. est un hyper- recouvrement propre k + I-tronquE s-scindd de S. 9 .... ~ , ,.., , oo) Les ~X ainsi construits sont les squelettes successifs d'un hyperrecouvrement propre s-scind6 de S. (6.2.6) Un schema simplicial X. sur C sera dit lisse si les X, sont lisses; il sera dit propre si les X. sont compacts. Un diviseur ~ croisements normaux D. de X., suppose lisse, est une famille D.CX, de diviseurs ~t croisements normaux (3.I.2) telle que les U,=X,--D, forment un sous-schdma simplicial U. de X.. Gette definition est justifiEe par le lemme suivant. Lemme (6.2.7). -- Si D. est un diviseur g~ croisements normaux de X., alors les complexes de De Rham logarithmiques (~(log D,)),,>0, munis de la ,filtration par le poids (3.I.5), forment un complexe filtrg sur X . R&ulte de (3.1.3 (ii)). Le complexe (f~,(log D,)),>__0 se notera f2x.(log D.). (6.2.8) En utilisant (6.2.5) , on montre que pour tout schema sEpar6 S sur C, il existe : 20 THI~ORIE DE HODGE, III 2! a) un schfma simplicial X. sur C, propre et lisse, qu'on peut prendre s-scind6; [3) un diviseur ~ croisements normaux D dans X ; posons U =X--D; y) une augmentation a : U.-+ S qui fasse de U~ nun hyperrecouvrement propre de S *~ De plus, deux tels syst6mes sont coiffds par un m6me troisi6me, un morphisme u :S~T peut &re coiff~ par un morphisme X ~Y /-/- U ~V S " ~T de tels syst~mes... (voir S.G.A.4, V bis). 6.3. Cohomologie relative. (6. 3. x) La construction c~ne d'application pour les morphismes d'ensemble~ sim- pliciaux se transpose telle quelle aux objets simpliciaux de toute cat6gorie c~ ayant un objet final e et des sommes finies. Pour u :Y-+X , le c6ne C(u) v~rifie C(u)n = Xnu <H Y~ue. Nous prendrons pour ~ : a) la cat6gorie des espaces topologiques et applications continues (objet final : I~); b) la cat6gorie des couples (X, F) formds d'un espace topologique X et d'un faisceau ab61ien F sur X, une fl&he (u,f) : (Y, F) ~ (X, G) &ant une application continue u : Y---~X, plus un u-morphisme (5.I .5) f: G~F (objet final : (pt, o)). (6.3.2) Soient u :Y~X. un morphisme d'espaces topologiques simpliciaux, de c6ne C(u), Fun faisceau ab61ien sur X, Gun faisceau ab61ien sur Y. et f: G-+F un u-morphisme. Le c6ne C(f) de f est un faisceau ab61ien sur C(u), et on pose (6.3.2. x) Hn(C(u), C(f))= H"(X. mod Y., F mod G). Ce sont les groupes de cohomologie relative. On vdrifie facilement q&ils s'ins~rent dans une suite exacte longue (6.3.2.2) ...-+H~(X mod Y, F mod G)-+H'(X., F)-*H~(Y., G)-~... (6.3.3) Plus gdn6ralement, soient L et K des complexes bornds infdrieurement de faisceaux ab~liens sur Y, et X., et soit un u-morphisme f: K-+L. On en d6duit un complexe C(f) sur C(u). On pose encore en hypercohomologie Hn(C(u), C(f))----Hn(X. rood Y., K mod L). 21 22 PIERRE DELIGNE Ces groupes figurent dans une suite exacte analogue fi (6. 3.2.2), provenant, dans la cat~gorie dfiriv~e convenable, d'un triangle distingud RI'(Y, K) {6,3.3.I ) / \ Rr(C(u), C{f)) > RP{X., L) (6.3.4) La construction pr~sentfic plus haut n'est pas la seule possible. Elle a l'inconvfinient que, mfime si on part de vrais espaces topologiques X et Y (i.e. d'espaces simpliciaux constants), on est conduit ~ considdrer des espaces simpliciaux non constants. 6. 4. Espaces multislmpliciaux. (6.4.x) Soit run entier >o. Un objet r-simplicial Z. d'une catdgorie ~ est un foncteur contravariant de (A)" dans ~. L'objet simplicial diagonal ~Z. est le foncteur compos6 (A) ~(A)r-+~. (6.4.2) On ddfinit comme en (5-1.6) le topos des faisceaux sur un espace topo- logique r-simplicial. Soit P" le foncteur ..... +)) des faisccaux sur X. dans les ensembles r-cosimpliciaux. Pour r petit, on le notera souvent plut6t I" ..... (r points). On dispose d'une co-augmentation l'(X., F') --> P'(X., F'). Les foncteurs cohomologie ~ valeur dans unfaisceau abgien F sont les d~rivds du foncteur << section globale >> P. Ils peuvent se calculer par un proc~dd parall~le ~ (5.2.3) : (6.4.2.i) RP=sRP" : D+(X.)-+D+((Ab)). Un faisceau F sur un espace topologique r-simplicial X. induit un faisceau ~F sur l'espace simplicial diagonal 3X. I1 r~sulte du th~or~me de Cartier-Eilenberg-Zilber que {6.4.2.2 ) RP(X., K) -~ RP(SX., 3K). (6.4.3) Limitons-nous au cas r= 2. Un objet bisimplicial I-augmentS vers un objet simplicial S est un foncteur contravariant de (A +) � (A) dans ~, tel que S. soit le foncteur compos~ (A) ;) (A+)� (A) > Pour d~signer un objet bisimplicial I-augmentS vers S., d'objet bisimplicial sous- jacent X~176 on utilisera une notation du type a: X.. -+ S.. 22 THI~,ORIE DE HODGE, III Pour n>o, a : (X..)-+S. est un objet simplicial augmentE vers S.. Si F est un faisceau sur X.., les (a.(F[X..) sur S.).>0 forment un faisceau sur S.; on dEfinit ainsi un mor- phisme de topos : x s7. On explique dans S.G.A.4, V bisque Ra. sc calcule (~ composantc par composante )) : Ra.K I S . = P.a.(K f X.. ). II en rEsulte que si, pour chaque n, a : (X.)~S. est de descente cohomologique, alors a " X..---> S~ est de descente cohomologique : pour tout complexe de faisceaux abEliens KeD+(S.), on a K ~Ra.a*K. (6.4.4) Dans S.G.A.4, V bis, on montre que pour tout schema simplicial sEpard S., il existe un schema bisimplicial X.. i-augmentd vers S., et i : X. ,-+X.. tels que : a) Les X,,, sont projectifs et lisses; X,,, est le complement d'un diviseur ~t croi- sements normaux D,,,, dans X,,,. On peut supposer D.,, reunion de diviseurs lisses. b) Pour n> o, X., est un hypcrrecouvrement propre de S.. On peut le supposer s-scindE. La construction procEde comme en (6.2), mais la recurrence est plus compliquEe. Les assertions d'unicit6 (6.2.8) restent valables, mutatis rnutandis. 7- COMPL~MENTS AU w x 7.I. CatSgorle dErlv~e filtr~,e. Ce numEro complete le w i, n ~ 4- (7-x. 9 Soit ~' une categoric abdlienne. Posons : FJa/ (resp. F~d)=la categoric dcs objets filtrfs (rcsp. bifiltrEs) de filtration(s) finic(s) de d. K+F,~r (resp. K+F2d)=la categoric des complexes filtrEs (resp. bifiltrEs) bornEs infE- rieurement d'objets de d, ~t homotopic respectant la filtration (resp. les filtrations) pr~s. D+Fz~r (resp. D+F~.~)=la categoric triangulEe dEduite de K+Fz~ r (resp. K+Fz.~ r en inversant les quasi-isomorphismes filtr6s (resp. bifiltrEs) (I.3.6). C'est la catEgorie d~riv~e filtrge (resp. bifiltrge). (7- 9 2) Un quasi-isomorphisme filtrd u : (K, F) -+ (K', F') induit un isomorphisme de suites spectrales u : E:'(K, F) ~ E:~ ', F'). Un objet K de D+Fd dEfinit done 23 PIERRE DELIGNE une suite spectrale E]'(K). De m~me, un objet L de D + F2,~r dEfinit un amoncellement de suites spectrales du type considErd en (I.4.9). (7.1.3) Soit T un foncteur exact ~ gauche de ,~r dans une catEgorie abElienne ,~. On suppose que tout objet de ~ s'injecte dans un objet injectif. Le foncteur T se <~ derive ~> alors en des foncteurs (7.I.3.x) RT : D+(~) -+ D+(~) (pour mEmoire) (7.x.3.2) RT : D+F(~ r -+ D+F(~), (7.x.3.3) RT : D+F2(,~) ~ D+F2(~). Ils se calculent ainsi : si K' cst unc resolution (resp. une resolution ftltrde, resp. unc resolution bifiltrde) T-acyclique de K ((I "4"5), (I .4. I I)), alors RT(K)=T(K'). La suite spectrale d'hypercohomologie (pour T) de KeOb D+F(.~ r est la suite spectrale de R.TKeOb D+F(~) (cf. (I.4.5)). (7.I.4) Nous aurons besoin de rEsultats plus precis pour les foncteurs R,a., a : X.-+ S Etant une augmentation d'un espace topologique simplicial. Le cas S = P~, Ra. = RF nous suffirait. Reprenons les notations de (5. I. I2), et rappelons la formule (5.2.6. I) : Ra, = sRa.,. Pour tout complexe KeOb C+(S.), le simple complexe sK est muni d'une fihra- tion naturelle L (5.1.9.3). Un quasi-isomorphisme u :K'-%K" induit un quasi- isomorphisme ffltrE u : (sK', L) ~ (sK", L). D6s lors, s se factorise par s : D+(S.) ~ D+F(S) et Ra. se factorise par Ra, : D+(X.) -+ D+F(S). La suite spectrale du complexe filtrE (Ra.K, L)eD+F(S) n'est autre quc (5.2.7-i). (7-x.5) Si K est filtr4 (resp. bifiltrE), alors Ra..K est ftltrE (bifiltrE) : on dispose de (7.I.5.I) ea., : D+F(X.) -~ D+F(S.) (7.x.5.2) Ra.. : D+F2(X.) ---~D+F2(S.). (7" x. 6) Soit K un complexe de faisceaux cosimpliciaux sur S, muni d'une filtration croissante W. On appelle filtration diagonale 8(W, L) de Wet L la filtration croissante suivante de sK (7. x. 6. x ) 8(W, L), (sK) = @ W, +p(K p,q) P, q = Es(W.+p(K)) n L'(sK). 24 THI~ORIE DE HODGE, III On a Gr~(W, LI (sK) ~ 0 Gr~W+p(K'~) [--p]. (7.x.6.2) Le foncteur (K, W)~(sK, 3(W, L)) transforme quasi-isomorphismes filtrEs en quasi-isomorphismes filtrEs et dEfinit (7.i.6.3) (s, 3) : (K, W) ~ (sK, 3(W, L)) : D+F(S.) ~ D+F(S) d'ofl par composition avec (7-1.5-i) (7.x.6.4) (RP, 3( , L)) : (K, W) ~-, (KPK, 3(W, L)) : D+F(X.) ~ D+F(S). On tire de (7- 1.6.2) que (7-x. 6.5) Gr~(W'L)(Ra. K) = @ R%.(GrW+,K) [--p]. (7.x.7) Si (K, W, F) est un complexe de faisceaux cosimpliciaux bifiltrd, alors sK est muni des trois filtrations W, F et Let dEfinit divers complexes bifiltrEs. Par exemple, pour W croissante, le foncteur (K, W, F) ~ (K, 3(W, L), F) trans- forme quasi-isomorphisme bifiltrE en quasi-isomorphisme bifiltrE, donc dEfinit (7- x. 7- x) (K, W, F) ~ (K, 3(W, L), F) : D + F2(S.) --* D + Vz(S ). Par composition avec (7.1-5.2), on en dEduit (K, W, F) ~ (RUK, 3(W, L), F) : D+F2(X.) ~ D+Fz(S), (7.x-7.2) ct on a Gr,8(W,L)(KPK, F)= @ R%.(GrW+,K, F)[--p] (7.x.7.3) dans D + F(S). 7.2. Compl~ments au lernme des deux filtrations. Dans ce numEro, nous donnons une nouvelle demonstration du lemme des deux filtrations (I.3. I6) et quelques complements. (7.2.I) Soit (K, F, W) un complexe bifiltr6 borne infErieurement d'objets d'une categoric abElienne ~1. La filtration F est supposEe birEguli&e. On dit que (K, F, W) est F-scindable si le complexe filtrE (K, W) peut se representer comme une somme de complexes filtrEs (K,, W,),~z (K, W)= @ (K,, W,) tl avec F"K= O K,,. n' ~n 4 PIERRE DELIGNE Soit r 0 un entier ~ o, ou + oo. La condition suivante a ~t~ consid6r~e en (i. 3. i6), (i-3. I7) : (7-2.2; r 0) Pour tout entier positif ou nul r < r0, les difffirentielles d r du complexe gradufi Er(K, W) sont strictement compatibles ~t la filtration rficurrente d~finie par F. (7.2.3) I1 est clair que si (K, F, W) est F-scindable, la condition (7.2.2; oo) est v~rififie. Rficiproquement, il semble que lorsque la condition (7-2.2; oo) est v~rifi~e, tout se passe comme si le foncteur Gr F Etait exact. Par exemple, nous montrerons que le Gr F de la suite spectrale E(K, W) s'identifie alors ~t la suite spectrale E(GrFK , W), et que la suite spectrale E(K, F) d~gdn~re (E 1-- E~o). (7.2.4) On d~duit aussit6t de la d6finition (I.3.8) que la premi6re filtration directe de E,(K, W) est la filtration F a de E,(K, W) par les images FaP(E,(K, W))= Im(E,(F'K, W) -+ E,(K, W)). Dualement, la seconde filtration directe (i.3.9) de E,(K, W) est la filtration Fa, de E,(K, W) par les noyaux F~,(E,(K, W))= Ker(E,(K, W) -+ E~(K/FPK, W)). La filtration rdcurrente F,o o de Er(K, W) est intermddiaire entre ces deux filtrations (i-3.13 (iii)). Proposition (7- 2.5). -- Supposons que (K, F, W) vdrifie (7.2.2 ; ro). Alors (i) (F~K/FbK, F, W) vdrifie encore (7.2.2; r0). (ii) Pour r<ro, la suite o --> E~(PK, W) -> E~(K, W) --> Er(K/FPK, W) -> o est exacte; pour r = r o + I, la suite E,(FPK, W) -+ E,(K, W) -+ E,(K/FPK, W) est exacte. En particulier pour r_< r o + I, les deux filtrations directes et la filtration rdcurrente de E,(K, W) cofncident. Fixons un entier p et prouvons par recurrence sur r l'assertion (,), Si r<ro, E,(FPK, W) s'injecte dans E,(K, W); si r<ro+I , son image est F~oo(E,(K, W)). L'assertion (*)o est toujours vraie. Admettons (*)r et prouvons (*),+t. On peut supposer que o < r< r o. On dispose d'un diagramme E,(K, W) ,/r ~ Er(K ' W) d, ~- E,(K, W) J J J E,(F'K, W) ~ Er(F'K , W) ~ Er(FPK, W), 26 THI~ORIE DE HODGE, III 2 7 et l'image des inclusions verticales est F~o0(E,(K , W)). Parce que i est injectif F,P~,(E,+a(K, W))= Im(Ker(F,no~E,(K, W) dz~ E,(K, W)) ~ E,+t(K , W)) = Im(Ker(E,(F'K, W) ~- E,(F'K, W)) ~ E,+I(K, W)) ---Im(Er+x(F'K , W) -+ E,+I(K , W)). Si r<ro, d, est strictement compatible ~t Fr~, d'o/a 4E,(K, W) n E,(FPK, W) = 4E,(FPK, W), et Er+I(FPK, W) s'injecte donc dans Er+t(K, W). Ceci prouve (*),+t. Les assertions (*)r, jointes aux assertions duales, impliquent (ii). I1 rgsulte de (ii) que pour r<r o et a<<.b, E,(FbK, W) s'injecte dans E,(F~ W) et que la diff4rentielle d, de Er(F"K, W) est strictement compatible a la premihre filtration directe de Er(FaK, W). On en d4duit par r4currence sur r<r o que la premiare filtration directe de E,(FaK, W) coincide avec la filtration rdcurrente, et (i) en rdsulte. (7.2.6) Si la condition (7.2.2; ro) est v~rifi~e, et que r<ro+ I, on ddsignera par F la filtration F a = Fa. = F,~, de E,(K, W). Les suites exactes (7.2.5) (ii) o ~ E,(K/FPK, W) < E,(K/F p ~'K, W) o //~,(K, W~ /jj~ E, IGr~ K, W~N,N o ~ E,(FP~'K, W) > E,(F~K, W) o dgfinissent pour r<r o un isomorphisme (autodual) compatible aux diff4rentielles dr (7.2.6.1) Gr~(Er(K , W)) -~ E,(Gr~K, W) (r<_ro). (7.2.7) Si la condition (7.2.2; oo) est v4rifi4e, les suites o -~ Er(FPK, W) --. E,(K, W) -. E,(K/FPK, W) --. o sont exactes pour tout r. Si la filtration West birdgulihre, la suite o --~ E~o(FPK, W) --* E=(K, W) + E~o(K/FPK, W) --> o est done exacte. On peut r46crire cette suite o -§ Grw(H(F'K)) -+ Grw(U(K)) -~ Grw(H(K/F'K)) -+ o. Lemme (7.2.7- 9 ).- Soit L un complexe muni d'une .filtration birgguli&e G. Pour que Gra(L ) soit acyclique, il faut et il suffit que L soit acyclique et que les diffdrentielles de L soient strictement compatibles g~ la filtration G. C'est un cas particulier de (I.3.2). 27 28 PIERRE DELIGNE Appliquons ce lemme, en prenant pour Lle complexe o ~ H(F'K) ~ H(K) -+ H(K/FVK) § o. On trouve que : a) cette suite est exacte, i.e. lcs diffdrentiellcs de K sont strictcment compatiblcs ~t la filtration F; b) la filtration de H(FPK), ddduitc de la filtration W de F~K, coincide avecla filtration induitc par la filtration W dc H(K); c) un dnonc6 analogue vaut pour K/FPK. En conclusion : Proposition (7.2.8). -- Si (K, F, W) vgrifie (7.2.2; ~), la suite spectrale E(K, F) dgggntre (E I = Er On a de plus un isomorphisme de suites spectrales Gr~,(E.(K, W)) _ E.(Gr~K, W). 8. TH~ORIE DE HODGE DES ESPACES ALG~.,BRIQUES 8. X. Complexes de Hodge. (8. x. x ) Soit A comme en (III. o. 3)- Un A-complexe de Hodge K de poids n consiste en : 0c) un complexe KAeObD+(A), tel que Hk(KA) soit un A-module de type fini pour tout k; ~) une filtration F sur KA| , i.e. un complexe filtr6 (Ka, F)eObD+F(C), et un isomorphisme ~ : Ko_~ KA| dans D+(C). Les axiomes suivants doivent 6tre vfrifi6s : (GH I) la diff6rentielle d de K0 est strictement compatible h la filtration F; en d'autres termes, la suite spectrale d6finie par (Ko, F) d6g6n6re en E 1 (El= E~) (r.3.2); (GH2) pour tout k, la filtration F sur Hk(Kc)_~Hk(KA)| d6finit une A-structure de Hodge de poids n+k sur Hk(KA) : la filtration F est (n+k)-oppos6e ~t sa complexe conjugu6e (cela a un sens car AcR). (8. x .2) Soit X un espace topologique. Un A-complexe de Hodge cohomologique de poids n sur X, K, consistc en : ~) un complexe KA~ObD+(X, A), ~) un complexe filtr6 (Kc, F)~ObD+F(X, C), y) un isomorphisme ~ : Kc~ KAQC dans D+(X, C). L'axiome suivant doit 6tre v6rifi6 : (GHG) Le triplet (RF(Ka), RF((Ko, F)), RF(,)) est un complexe de Hodge de poids n. 28 THI~ORIE DE HODGE, III ~9 Lorsque A = Z, on parlera simplement de complexe de Hodge et de complexe de Hodge cohomologique. L'Enonc~ suivant reformule une partie de la thEorie de Hodge classique (ef. (2.2. i)). &holie (8. x. 3). -- Soit X une varigtd kiihldrienne compacte. Soient K z le complexe Z[o] rdduit au faisceau constant Z, K c le complexe de De Rham holomorphe ~ et F sa filtration bgte. On dispose de ~ : KzNC~_C[o] %~)x (lemme de Poincard), et (Kz, (Kc, F), 0c) est un complexe de Hodge cohomologique de poids o. Remarque (8. 9 -- Si K est un complexe de Hodge (resp. de Hodge cohomo- logique) de poids n, alors K[m] est un complexe de Hodge (resp. de Hodge cohomo- logique) de poids n + m. (8. 9 .5) Un A-complexe de Hodge mixte K consiste en : ~) un complexe KAeObD+(A) tel que Hk(KA) soit un A-module de type fini pour tout k; 9) un eomplexe filtr4 (KA| W)~ObD+F(A| (W filtration croissante) et un iso- morphisme KA|174 Q dans D+(A| y) un eomplexe bifiltr6 (Kc, W, F)eOb D+F2(C) (W filtration croissante et F filtration dgcroissante) et un isomorphisme ~ : (Kc, W)=(KA| W)| dans D+F(C). L'axiome suivant doit &tre v~rifi6 : (CHM) Pour tout n, le syst~me form~ du complexe GrW(KA| D+(ANQ), du complexe GrW(Kc)eObD+F(C) filtr~ par F et de l'isomorphisme GrW(=) : GrW(KA| | OrW(K0), est un A| de Hodge de poids n. (8, I, 6) Un A-complexe de Hodge mixte cohomologique K sur un espace topologique X consiste en : 0~) un complexe KAsObD+(X, A), tel que les H~(X, KA) soient des A-modules de type fini, et que H'(X, KA)| H'(X, KA| ; 9) un complexe filtr6 (KA| W)eObDF+(X, A| (W une filtration croissante) et un isomorphisme KA| KA| Q dans D+(X, A| y) un complexe bifiltrfi (K0, W, F)eObD+F~(X, C) (W une filtration croissante et F une filtration dgcroissante) et un isomorphisme ~ : (Ke, W) ~ _ (KA| W)| dans D+ F(X, C). L'axiome suivant doit ~tre vfirifi6 : (CH1VIC) Pour tout n, le syst~me form6 du complexe GrW(KA| D+(X, AQC), du complexe GrW(Kc)eObD+F(X, C) filtr6 par F et de l'isomorphisme GrW(a) : OrW(K=)~ GrW(KA|174 est un AQQ-complexe de Hodge cohomologique de poids n. 29 PIERRE DELIGNE 3o On v~rifie trivialement : Proposition (8.x.7). -- Si K=(KA, (KA| W), (Kc, W, F)) est un A-complexe de Hodge mixte cohomologique, alors RFK----(RI'KA, RI'(KA| W), RI'(K c, W, F)) est un A-complexe de Hodge mixte. Scholie (8. x .8). -- Soient U le compllment, dans un schdma propre et lisse X, d'un diviseur gl croisements normaux D, et j : U~--~X le morphisme d'inclusion. Soit W la filtration canonique de Rj.Q--Rj.Z| W,(Rj.Q)=-=_<,(Rj.Q). On a (3.~.8) (Rj.Q)| ~- Rj.C ~.j.~2[. ~- f~(log D). Soient W la filtration par le poids de ~)x(logD) et F sa filtration de Hodge (par les ,>p). Alors, (3.:.8) .fournit clans D+F(X,C)un isomorphisme (Rj, Q,W)| W) et, d'aprOs (3-:.5) et (3-1"9) (Rj.Z, (Rj.Q, W), ([2x(log D), W, F)) est un complexe de Hodge mixte cohomologique sur X. Le rdsultat suivant est une version <~ abstraite >> du num~ro (3.2). Scholie (8. x. 9). -- Soit K un A-complexe de Hodge mixte. (i) Sur les termes wE~ q de la suite spectrale de (Kc, W), la filtration rdcurrente et les deux .filtrations directes, ddfinies par F coincident. (ii) La filtration W[n] (:.:.2) de H"(KA|174 Q et la filtration F de H"(Kc)~H"(KA)QAC ddfinissent sur H"(KA) une A-structure de Hodge mixte ((2.3.I) amplifid par (III .o.4) ). (iii) Les morphismes wd: : w~t~m-+w~lrP+t'q sont compatibles ~ la bigraduation de Hod~e; en particulier, ils sont strictement compatibles glla filtration de Hodge. (iv) La suite spectrale de (KA| W) dgggnkre en Ee :wE2:wE~o. (v) La suite spectrale de (K0, F) dgggnkre en E 1 :rE1 = vE~. (vi) La suite spectrate du complexe Gr~(Kc), muni de la .filtration induite par W, dLggn~re e?z E 2 . La dfimonstration de (i), (ii), (iii), (iv) est parallele U eelle de (3.2.5). L'analogue des lemmes (3.2.6) et (3.2.7) a ete pris pour axiome (CH i et CH 2). Les d6mons- trations de (3.2.8), (3.2.9) et (3.2.1o) se transposent alors telles quelles, et comme en (3.2.1o), on en d6duit (i), (ii), (iii), (iv). Les assertions (v), (vi) r6sultent alors de (7.2.8). (8. X. ao) Nous abr~gerons <~ diff6rentiel gradu~ >> en DG et <~ difffirentiel gradud degrds bornds inf~rieurement >> en DG +. Un complexe de A-modules DG peut ~tre vu comme un double complexe de A-modules; le premier degr6 est celui du complexe, le second est celui ddfini par la graduation des modules DG. On d6signe par D+ ((A-mod DG)+) 30 THI~ORIE DE HODGE, III la cat6gorie ddrivde de la cat6gorie des complexes born6s inf~rieurement de A-modules DG, degr6s uniformfiment bornds infdrieurement. Un A-complexe de Hodge K mixte DG consiste en : a) un complexe KAeOb D+((A-mod DG) +) ; b) un complexe filtr6 (KA| W)eObD+F((A| et un isomorphisme KA|174 Q dans D+; c) un complexe bifiltr6 (Kc, F, W)eObD+F2((C-modDG)+), et un isomorphisme KA|174 c dans D+F. On exige que, pour chaque n, la composante (K'", F, W) de second degrd n de K soit un A-complexe de Hodge mixte. On ddsigne par L la filtration par le second degrd de sK. On ddsigne par Dec 1W la filtration de KA| Q ddduite par d6calage (t.3.3) de W. On ne confondra pas la filtration qu'elle induit sur sKa| Q (encore not6e DeclW ) avec la filtration d6cal6e de la filtration induite sur sKA| Q par W. Variante (8. x. xo. x ). -- On d6finit de m~me les A-complexes de Hodge mixtes cosim- pliciaux (resp. r-cosimpliciaux) en rempla~ant partout DG par cosimplicial (resp. r-cosim- plicial). Le foncteur (A-module cosimplicial)-+ (A-module DG) transforme A-complexes de Hodge mixtes cosimpliciaux en A-complexes de Hodge mixtes DG. De m~me pour r-cosimplicial. (8. x. xx) Soit X. un espace topologique simplicial. Un A-complexe de Hodge mixte cohomologique K sur X. consiste en : ~) un complexe KaeOb D + (X., A) ; ~) un complexe filtr6 (KA| W) eOb D+F(X., A| et un isomorphisme Kx|174 dans D+(X., A| 2") un complexe bifiltrd (Ke, W, F)~ObD+F2(X., C), et un isomorphisme (Kc, W)~ (KA| W)| dans D +F(X., C). L'axiome suivant doit ~tre v6rifis : (CHM.) La restriction de K ~t chacun des X n est un A-complexe de Hodge mixte cohomologique. Pour A =Z, on parlera simplement de complexe de Hodge mixte cohomologique. Exemple (8. x. x2).- Soit X. un schdma simplicial propre et lisse (sur C) et soit Y. un diviseur ~t croisements normaux dans X.. On pose U. = X,--Y. et on ddsigne parj l'inclusion de U. dans X.. Les constructions (8. I. 8) peuvent atre effectu6es << unifor- 31 3 2 PIERRE DELIGNE m~ment en X, >) eomme (5.2.5) et (6.2.7) le montrent. Elles fournissent done un complexe de Hodge mixte cohomologique (P,.j. Z, (Rj.Q, z_<), (~)x.(log Y.), W, r)) sur X.. (8.*. x3) Soit K un A-complexe de Hodge mixte cohomologique sur X.. Appli- quons ~t K le foncteur RF'. On obtient a) un complexe cosimplicial RP" K aeOb D + ((A-modules cosimpliciaux)) ; b) un complexe filtrd cosimplicial RF'(KA| W)eObD+F((A| cosim- pliciaux)) ; c) un eomplexe bifiltr6 eosimplicial P,P'(Kc, W, F)cOb D + F2((C-vectoriels cosimplieiaux)) ; d) des isomorphismes (8. i. io.b), c)) entre ees objets. I1 est clair que RF'(K, W, F) d4crit ci-dessus est un A-complexe de Hodge mixte cosimplicial. I1 ddfinit un A-complexe de Hodge mixte DG (8. i. xo. i). (8.,.,4) Soit K un A-complexe de Hodge mixte DG et eonsiddrons la suite speetrale d'aboutissement la cohomologie de sK qui est d6finie par la fltration L. Par hypoth~se, les termes E 1 de eette suite spectrale sont munis de A-structures de Hodge mixtes. Le contenu du th6or~me ei-dessous est que toute la suite spectrale, y eompris son aboutissement, est munie d'une A-structure de Hodge mixte. En d'autres termes, c' est une suite spectrale dans la catdgorie abdlienne des A-structures de Hodge mixtes. La structure sur l'aboutissement correspond /~ une ~ structure , de A-complexe de Hodge mixte naturelle sur sK. Thgor~me (8. x. ,5). -- Soit K un A-complexe de Hodge mixte DG. (i) Avec les notations de (8. i. io), (8. I.xo. i) et (7.1.6), (sK, 8(W, L), F) est un A-complexe de Hodge mixte. (ii) On a (8.I.I5.I) 8(w,L)E~(sK| Z H'(Gr~VK"V); b=~+~ le complexe (~(W,L)E[ b, dl) est le complexe simple associ~ au complexe double de A| de Hodge de poids b suivant Hb-(~ + 1)(Gr~V+ x K" ~ + 1) o , Hb_ ~(Gr~V K., v+l) o , Hb-(~-l)(Gr~V_lK ",~+t) d" ] (8.x.,5.2) d,' H b- ~(Gr~V K., v) , Hb-I~-')(Gr~V_lK ",~) 32 TH~OmE DE HODGE, nI 3a (iii) Sur les termes E, de la suite spectrale d~finie par (sKA| L), la filtration r~currente et les deux filtrations directes ddfinies par DecI(W ) cofncident; de mgme, sur les LEr(sKc), la filtration re'currente et les deux filtrations directes induites par F cofncident. On notera ces filtra- tions Wet F. (iv) Pour r>x, (LEt, W, F) est une A-structure de Hodge mixte (III.o.4). Les diffi- rentielles d r sont des morphismes de A-structures de Hodge mixtes. (v) La .filtration L de H'(sK) est une filtration dans la catdgorie des structures de Hodge mixtes, et (8. x. x 5. 3) Gr~(H' + q(sK), 8(W, L) [p + q], F) = (LET, W, F). Remarque (8.I.16). -- Dans (8.I.15) , la filtration Deq(W) (8.I.IO) joue un plus grand r61e que W. On a (8. I. I6.I ) Dec(S(W, L)) = Dect(W) sur sK, et (8. I. I5.3) se r6&rit (8. x. 16.2) GrL(H(K), DeqW, F)= (LE,, W, F). Dans le mfime esprit, notons que, avec les notations de (8. i .8) Rr(Rj.Z, (Rj.Q, Dec W), (f~k(log D), Dec W, V)) ne d6pend que de U et non de la compactification choisie X. (8. x. I7) Prouvons (8. I. I5). Les assertions (i) et (ii) r&ultent de ce que Or~CW, L)(sK| E GrWGr[(sK| 5] (GrW K" q) [_ q] p--q=n p--q=n (cet isomorphisme est compatible ~ F, et on applique (8.1.4)). La vdrification de (8. i. 15.2 ) est laissde au lecteur. Soient les assertions : (a,) Les morphismes d r de LEr(sKA~Q) sont strictement compatibles ~ la filtration r&urrente ddfinie par Deq(W). (br) Les morphismes dr de LEr(sK=) sont strictement compatibles ~ la fltration r&urrente d~finie par F. (c,) LE~, muni des filtrations considdr&s en (at), (br), est une A-structure de Hodge mixte. (dr) Les dr sont des morphismes de A-structures de Hodge rnixtes. Nous prouverons (at) (r~o), (b,) (r>o), (cr) (r>I), (dr) (r>x) par une r&urrence simultande. A) Preuvede (ao) : ona p. ,p (T.E 0 (sKA| , DectW ) =(KA| Dec W). D'apr~s (8.1.9) (iv), la suite spectrale de (K~%Q, W) ddgdn~re en E2. D'apr& (i-3.4), la suite spectrale de (K~Q, Dec W) d6g~n~re en Et, et ceci prouve (a0) (I .3.2). 5 PIERRE DELIGNE B) Preuve de (b0) : on a (LEg" (sKc) , F) = (K~, F). On applique (8.1.9) (v) et (I.3.2). C) Preuve de (Cl) : il faut montrer que H"(K]~P), muni des filtrations induites par DecW sur H=(K~V~Q)=H"(K~V)| et F sur H"(K~P)=H"(K~)| est une A-structure de Hodge mixte. Dec W induit sur H"(Kk%q) la m4me filtration que W[n], et on conclut par (8. I. 9) (ii). I3) Preuve de (c,)-i-(d~) => (a,)-i-(b,)-i-(c,+x) : c'est Ic point clef de ia d4monstration, et une simple application de (2.3.5) (amplifid par (III.o.4)). E) Preuve de (a~),~_,,_2-b(b,)~,_2§ =~ (dr.) : D'apr6s (I.3. I6), la filtration r4currente et les filtrations directes induites par DeqW (resp. F) sur L E, coincident pour r~ro, et on applique (i. 3.13) (i). Ceci termine la d4monstration par r4currence de (a), (b), (c), (at). L'assertion (iii) a ~t~ prouvGe dans la partie E dc Ia rdcurrencc et tes assertions de (iv) sont (c~) et (dr). On prouvera (8. i. 15.3) sous la tbrme (8.1.16.2). GrL(H(sK~ | DeqW) -= (LE~(sKA| W) r~sulte de (a~) et ([.3. ~7). Q]m Gr~(H(sKc), F) = (LE~(sKr F) r6sulte de (b,) et (i .3. I7). On conclut par le lemme suivant, dont la v6rification est laissde au lecteur " Lemme (8. ~. xS). -- Soit H = (H,t, W, F) ur~ A-structure de Hodge mixte. Pour qu'une filtration L de H A provienne d'une filtration de H, clans la catggorie abilienne des A-structures de Hodge mixtes, il faut et il suffit que pour tout n, (Gr~,(HA) , Gr~.(W), Gr~(F)) soit une A-structure de Hodge mixte. (8.x.x9) Appliquons (8. I. 13) et (8.1. :5) ~ I'cxemple (8.1. I2). On obtient un complexe de Hodge mixte consistant en a), b), c) ci-dessous. a) Le complexe RFRj.Z~RI'(U., Z), ayant pour groupes de cohomologie les H"(U., Z). b) La filtration ~(W, L) dc RFj.Q-~ RI'(U., Q). Avec les notations de (3. :.4), on a. GrSCW' L)RI"(U., Q) ~ @ GrW~mR['(U,,, Q) I--m] (7.1.6.5) m _- "~ l'l -I.- ??l tl -}-~l ~ @ RI'(Y,, ,~, [--n--m])[-.m] | Rr(9. "+m, r [- n - 34 TH~ORIE DE HODGE, III Le terme E~ de la suite spectrale correspondante est somme de groupes du type H'(~/;,,~); ee dernier contribue au H'+q+*(U.); il correspond au Gr~ (w'FI pour p+2r=(p+q+r)+a : (8.I.I9.Z) ~(W,L)E[-a'b= @ H'(Y~, ~) ~ H-~+b(U. Q). p + 2r = b q--r~ --a c) La bifiltration (8(W, L), F) de RFRj.C_~ sRl"f~x(log D). La filtration F munit ~(w, L)E1 -"' b d'une structure de Hodge de poids b, et les diffdren- tielles d 1 de s(w, L/E sont des morphismes de Q-structures de Hodge. Le complexe 81w, LIE~b est le complexe simple associ6 au complexe double suivant, de composantes des structures de Hodge de poids b : > x" k~q+l, ~l)(-r) ~ Hb-2(r-2)(?;~l, ~t-1)(-r'-~I) ~ \~q+l ~ Oysin ~(- 1) i 8i ~:(- 11' *i I' Les indices des composantes dans E~ b vdrifient --a-= q--r. En particulier, les Hn(U,, Z) se trouvent munis de structures de Hodge mixtes (8.1.9). Proposition (8. 1.2o). -- Sous les hypothkses pr/c/dentes : (i) La structure de godge mixte de H"(U., Z) est fonctorielle en le couple (U., X.). (ii) En cohomologie rationnelle, la suite spectrale (8. I. 1 9. i) d/gdnkre en E 2 (E 2 = E~) et aboutit g~ la filtration par le poids de Hn(U., Q). La structure de Hodge de E2 induite par ceUe de E 1 est aussi ceUe de GrwH"(U., Q). (iii) Les hombres de Hodge de H"(U., Z) ve'r~ent h'q4-o =*, o~p~n et o~q~n. (iv) Pour Y. =0, les nombres de Hodge de H"(X., Z) v/r~ent h,,,o :,- o<p<n, o<_q<_n et p+q<_n. (i) et (ii) r6sultent de la thdorie gfindrale (8. I. 9). Pour prouver (iii), on contemple (8. i. 1 9.2), et on remarque que les structures de Hodge Hr(Y~, ~a) (-- r) (p + q + r = n) vfirifient (iii). Pour prouver (iv), on remarque que les structures de Hodge HP(Xq) (p + q = n) v~rifient (iv). (8. 9 .2I) On ddfinit un A-complexe de Hodge mixte cohomologique sur un espace topo- logique r-simplicial en transposant (8. I. 1 I). Si K est un tel complexe, on voit comme en (8. I. 13) que ILP'K est un A-complexe de Hodge mixte r-cosimplicial (8. i. io. i). 35 PIERRE DEL1GNE Soit X. un schema propre et lisse r-simplicial. Un diviseur ~ croisements nor- maux D. dans X est un syst~me de diviseurs ~ croisements normaux dans les X, tel que X. --D. =U. soit un sous-sch~ma r-simplicial de X.. Soit j : U.,-+X.. On d~finit comme en (8. I. I2) un complexe de Hodge mixte cohomologique Rj.Z sur X.. On pourrait comme en (8.1.2o) en d~duire une structure de Hodge mixte sur H'(U., Z), mais, puisque H'(u', z)= z), ceci ne nous apprendrait rien de neuf (l'~galitd pr6c6dente serait une identitfi entre structures de Hodge mixtes). (8. x.22) Faisons r=:2. Pour tout complexe bicosimplicial K= (K ""'"') (p=degr~ diff6.rcntiel, ni=i-~me degr6 simplicial) born6 inf~rieurement, on d&ignera par slK le complexe cosimplicial de degrd simplicial n2, donnfi par ("1K)'"' = "*K" ""' On d~signera par L 1 la filtration de stK qui, sur chaque sK .... induit la filtration par le degrfi simplicial n 1. Soit K un A-complexe de Hodge mixte bicosimplicial. II r&ulte de (8. i. 15) que (slK , 3(W, L1), F) est un complexe de Hodge mixte cosimplicial. Soit L~ la filtration de sK=s`*lK par le degrd simplicial n 2. D'apr~s (8. i. 14) , (8. I. 15) , la suite spectrale d~finie par L2 provient d'une suite spectrale dans ia cat~gorie ab~lienne des A-structures de Hodge mixtes (~.I.'~2.I) L,E1 pq=Hq(SK "~ :>" }{P +q('*K), Dans cette suite spectrale, la A-structure de Hodge mixte sur F~q est la A-structure de Hodge mixte ((8.I.9) (ii)) de la cohornologie du A-complexe de Hodge mixte ('*K "'v, ~(W, L1), F). La A-structure de Hodge mixte de l'aboutissement est la A-structure de Hodge mixte de la cohomologie du A-complexe de Hodge mixte ('*K, 8(~(W, L~), L~), F). La filtration ~(3(W, L,), L~) ~ 3(W, L~, L2) est donn& par 3(W, LI, L2)k (KV"'"') =Wk+,,+, K r'''"'. (8.x.23) En particulier, un A-complexe de Hodge mixte cohomologique sur un espace topologiquc bisimplicial X.. ddfinit une suite spectrale de A-structures de Hodge mixtes (s.,. 23. 9 - Hq(X.p, K) H, K). Dans le cas particulier consid&~ en (8. I. 2 I), pour r = 2, on a A = Z et (8. i. 23. t) s'&rit (8. 9 .23.2) E~ q = Hq(U.~, Z) * HP+q(U.., Z). 36 THI~ORIE DE HODGE, III (8, I.~) Si K' et K" sont deux A-complexes de Hodge mixtes, leur produit tensoriel K'| ddfini par l. (K'@K"), = K~ | K]', ((K'@K")A| , W)=(K;~| W')| (K~'| W"), ((K'@K")c, W, F)=(K~, W', F')| (K~', W", F"), est encore un A-complexe de Hodge mixte. Soit U' (resp. U") le compl4ment d'un diviseur a croisements normaux Y' (resp. Y") dans un sch4ma propre et lisse X' (resp. X"). Alors, U= U'� U" est le compl~ment d'un diviseur k croisements normaux Y dans X=X'x X". Soitj (resp.j',j") l'inclusion de U (resp. U', U") dans X (resp. X', X"). On dispose d'un quasi-isomorphisme L L Rj'Z [] Rj"Z ~ pr~Rj: ZN pr~Rj,"Z --% Rj, Z, d'un quasi-isomorphisme filtr~ (P.j: o., .~)a (Rj:' o.., .~)-~ (P.j.o, .~), et d'un morphisme bifiltr6 (f~k,(log Y'), W, F) [] (f2k,,(log Y"), W, F) -~ (ak(log Y), W, F). Appliquons le foncteur R.F; d'apr~s la formule de Kfinneth, et d'apr& son analogue en cohomologie des faisceaux analytiques coh6rents, on obtient un isomorphisme de complexes de Hodge mixtes Rr(U', Z)| Z) -~ RP(U, Z), d'ofl un isomorphisme de Q-structures de Hodge mixtes H'(U', Q,) | Q) -% H'(U, Q). (8.x.25) Des arguments standards, basds sur le thfior~me de Cartier-Eilenberg- Zilber, fournissent la variante simpliciale suivante de (8.1.24). Soit U; (resp. U~') le compl~ment d'un diviseur /t croisements normaux dans un schdma simplicial propre et lisse X'. (resp. X'.'). Soit U. =U'. � U'.' et X. = X'. � X". On a un isomorphisme de complexes de Hodge mixtes I. Rr(U:, z)| z) ~ v,.r(w., z), et en particulier un isomorphisme de O-structures de Hodge mixtes H'(U:, Q,)| Q) ~ H'(U., 0). (8.I.26) Soit U~. (resp. U2;) le compl6ment d'un diviseur ~t croisements normaux dans un sch6ma bisimplicial propre et lisse X'.. (resp. X;'.). Soient U.. =U'..� et 37 PIERRE DELIGNE X.. = X'.. � Des raisonnements standards montrent que, en cohomologie ration- nelle, la suite spectrale (8.1.23.2), pour U.., est produit tensoriel des suites spec- trales (8.1.23 . 2) pour U2. et U~. 8.2. Espaces alg~briques s6par6s. (8.1l. I) Soit X un schema (ou un espace algdbrique) de type fini sur C, suppose sdpard. II existe alors un diagramme Y.~ ~Y. (8.2.x.I) dans lequel Y. est le complement d'un diviseur ~ croisements normaux dans un schema_ simplicial propre et lisse Y., et est un hyperrecouvrement propre de X. On a (5.3.5 (II)) (8.2.z.2) H'(X) ~ H'(Y.). En (8. i. 19) , on a muni H'(Y.) d'une structure de Hodge mixte. Soit ,;g~(a) la structure de Hodge mixte sur H'(X) qui s'en dEduit par (8.2.1.2). Proposition (8.2.2). -- Avec les notations prgc/dentes, la structure de Hodge mixte o,~(~) sur H'(X) est ind/pendante du choix de o~. On l' appelle la structure de Hodge mixte de H'(X, Z). Pour tout morphisme de sch/mas f: XI-+X2, f" :H'(X2)-+H'(Xj) est un morphisme de structures de IIodge mixtes. La demonstration utilise (6.2.8), et est parall~le h celle de (3.2. II C)) (cf. aussi (8.3.3)). Remarque (8.2.3). -- Pour X lisse, on vErifie en prenant pour Y. un schema_ simplicial constant que la structure de Hodge mixte (8.2.2) coincide avec ceIle dEfinie en (3.2. x2). Th/or~me (8.2.4). -- Les couples (p, q) tels que le nombre de Hodge h pq de H"(X) soit non nul v/rifient les conditions suivantes (i) (p, q) e[% n] � [o, n]. (ii) Si dim X--N, et que n> N, alors (p, q) ~ In -- N, N-] � In -- N, N]. (iii) Si X est propre, alors p+q<n. (iv) Si X est lisse, alors p + q> n. La mgme conclusion vaut pour X une << rational homology manifold >> /quidimensionneUe de dimension N, i.e. si pour tout xeX, H},I(X, Q)= si i~2N, =Q si i-2N. 38 THI~ORIE DE HODGE, III q~ ~p ~--p N n n>N n<N L'assertion (ii) sera prouvde en (8.3.1o). L'assertion (i) rdsulte de (8.1.2o (iii)). Pour X propre, on peut trouver un diagramme (8.2. i. i) dans lequel Y. =Y. et (iii) rdsulte de (8. I. 20 (iv)). Pour X lisse, (iv) rdsulte de (8.2.3) et (3-2. I5). Le cas g~ndral en r~sulte : si p : ,~ ~ X est une rdsolution des singularit6s de X, p* : H" (X, Q) -~- H'(X, Q) est injeetif, ear le transpos~ par dualitfi de Poincar6 p, de p* : H;(X, Q)-~H;(X, Q) enest une rdtraction. Proposition (8.2.5)- -- Supposons X propre. Si u : Y -+ X est un morphisme propre surjectif, avec Y lisse, alors le quotient de poids n de H"(X, Q,) est l~ma~e de H"(X, Q,) dans H"(Y, Q). La suite {8.2.5.x ) H"(X,Q) > H"(Y,Q) Pr[--pr~ H"(Y� est exacte. SoitY. eomme en (8.2.1.I), avee Y0--Y et Y.---Y.. D'apr~s ((8.I.2O (ii))), on a une suite exacte ~0 (8.2.5.2) o --+ H"(X, Q.)/W"-IH"(X, Q.) --+ H"(Yo, Q.) ~ H"(Y1, Q.) qui implique (8.2.5) (rdciproquement, cette suite exacte se d6duit ais~ment de (8.2.5) et (8.2.7) ci-dessous). Proposition (8.2.6). -- Soient des morphismes de scMmas 7 Lx&'X. On suppose que Y est propre, que X est lisse et que X est une compactification lisse de X. Alors, H'(X, Q) et H'(X, Q) ont mgme image dans H'(Y, Q). La d6monstration est parall~le ~t celle de (3.2.18). II suffit de prouver que, quels 9 que soient i et n GrW(f ") et Gr~V((jf) ~ ont m~me image dans GrWH"(Y, Q). a) Pour i>n, ees images sont nulles car GrWH"(Y, Q)=o (8.2.4 (iii)). b) Pour i<n, ces images sont nulles car GrWH"(X, Q)=o (8.2.4 (iv)). c) Pour i=n, ces images sont dgales ear GrW(j ") est surjectif (3-2-17). 89 PIERRE DEI. IGNE 4 ~ Proposition (8.2.7). -- Soient des morphismes de scMmas -+X ~Y. On suppose que Y est lisse, que X est propre, que X est propre et lisse et que ~ est surjectif. Alors, les noyaux de f* et de (fro) ~ dans H'(Y, Q) sont ggaux. Prouvons que Ker GrW(f ") = Ker(GrW((fn)*)) dans GrW(H"(Y, Q)). a) Pour i<n, ces noyaux sont nuls car GrWH"(Y, Q)=o ((8.2. 4 (iv))). b) Pour i>n, ces noyaux sont tout GrW(H"(Y,Q)) car GrWH"(X,Q)--o ((8.2.4 (iii))). c) Pour i=n, ces noyaux sont 6gaux car GrW(~ *) est injectif (8.2.5.2). CoroUaire (8.2.8). -- Soient des morphhmes de scMmas ~Xt~y. On suppose que Y est propre et lisse, que X est un sous-scMma fermg de Yet que X est une rgsolution des singularitgs de X. Soient q=fn et U=Y--X. Alors, la suite ..~ ql (8.2.8.,) H'(X, Q) -~ H'(Y, Q) -+ H'(U, Q) est exacte. D'apr~s (8.2.7), on a Ker(f* : H'(Y, Q) ~ H'(X, Q))= Ker(q* : H'(Y, Q) ~ H'(X, Q)). La suite exacte longue de cohomologie du couple (Y, X) fournit done une suite exacte (8.2.8.2) H:(U, Q) -+ H'(Y, Q) --+ H'(X, Q), et (8.2.8. I) est la suite transposde de (8.2.8.2) par dualitd de Poincard. Remarque (8.2.9). -- Le corollaire (8.2.8) est utilisd sous des hypotheses plu~ gdn~rales dans ([8], (9.7), P. I6I). Comme l'a fait remarquer Lieberman, la justificati n donnde dans loc. cit. est insuffisante. On ddduit de (8.1.25) que Proposition (8.2. I o). -- Les isomorphismes de Kiinneth H'(X � Q)___ H'(X, Q)| Q) sont des isomorphismes de structures de Hodge mixtes. Corollaire (8.2. xx ). -- Le cup-produit H'(X)| --+ H'(X) est un morphisme de structures de Hodge mixtes. R6sulte de (8.2. io) et de (8.2.2) appliqufi h l'application diagonale A : X-+X � X. 40 THI~ORIE DE I-IODGE, III 4x 8. 3. Th6orie de Hodge des schemas simpliciaux. (8.3. 9 Pour X" un schema (ou espace algEbrique) simplicial s~parE, nous aurons /~ considErer des diagrammes de schemas simpliciaux r 9 z5 (8.3.,.x) X. v~rifiant : a) jest une immersion ouverte d'image dense; Z. est propre. b) Les morphismes dvidents Z,-~-(cosqX'_lsq,_lZ.), sont propres et surjectifs. Pour Z. r6duit, on peut regarder j comme un objet simplicial de la categoric ~' des couples (Y, Y) formEs d'un schdma propre rEduit Y et d'un ouvert (de Zariski) dense Y de Y. La categoric c~ vdrifie (6.2.4- I), ce qui permet de lui appliquer l'analogue de (6.2.4). Proposition (8.3.2). -- (i) Pour tout scMma simplicial sgpar~ X., il existe un dia- gramme (8.3. I. I ) vgrifiant a), b) et tel que Z. soit propre et lisse et Z. le complgment cl'un diviseur ~t croisements normaux. (ii) Soit F : X. 1 ~ X. 2 un morphisme de schgmas simpliciaux sgpards. Soient (X,, Z.i, Z.i)~=l, 2 deux diagrammes (8. 3 . i. i) vdrifiant a) et b). Il existe alors (X.1, Z., Z.) comme en (i) et un diagramme commutatif X.~ ~-X. 2 La d6monstration, analogue en plus compliqu6 ~ (6.2.5), est laissdc au Iecteur. (8.3.3) Soit un diagramme (8. 3. i. I) comme en (8.3.2 (i)). D'apr6s (5.3.5 (V)), l'application H'(X., Z)-+ H'(Z., Z) est un isomorphisme. En (8. i. 19) et (8. I .2o), nous avons muni H'(Z., Z) d'une structure de Hodge mixte, &off une structure de 4t 6 PIERRE DELIGNE 4~ Hodge mixte sur H'(X., Z). Elte est ind~pendante du choix du diagramme (8. 3. I. I) : d'apr6s (8.3.2 (ii)) pour f=Id, deux systbmes (Z.i, Z.i,P~)i=l,~ sont toujours coiffds par un troisi~me (Z~ Z., p), d'ofl un diagramme commutatif d'isomorphismes H'(X., Z) H'(Z.1 , Z) ~ H'(Z., Z) < H'(Z.2 , Z) D~finition (8.3.4). -- La structure de Hodge mixte de H'(X., Z) est celle difinie plus haut. II rfisulte de (8.3.2) (ii) que cette structure de Hodge mixte est fonctorielle en X.. Proposition (8.3-5). -- Soit X. un schdma simpIicial s~parg. La suite spectrale E~ v' = H~(Xv, Z) ~ H' '~ q(X., Z) est une suite spectrale de structures de Hodge mixtes. Pour un diagramme comrnc en (8.3. I), les applications Pn : Zn--> X, sont propres et surjectives. On peut alors appliquer (6.2.4) A la cat6gorie des objets simpliciaux de la cat~gorie W (8.3. i) pour obtenir comme en (6.2.5) le lemme suivant : Lemme (8.3.6). -- Soit X. un schgma simplicial sgparg. Il existe un schgma bisimplicial Z.. augmentd vers X. : ~n,m " Zn, m----> Xn et i : Z.. ~ Z.. tels que : a) Z.. est un schgma bisimplicial propre et lisse, et Z.. le compldment d'un diviseur gl croisements normaux de Z.. ; b) pour tout n, le schgma simplicial augmentd Z,.-+X, est un hyperrecouvrement propre de X,. En (8. I .2. I), nous avons muni H'(Z.., Z) d'une structure de Hodge mixte. Si ~Z.. est le schdma simplicial diagonal de Z.., on a un diagramme commutatif de morphismes H'(X., Z) "~- H'(Z.., Z) 42 THI~;OR[E DE HODGE, III 43 dans lequel [~ et y sont des isomorphismes, et ~ et ~ des morphismes de structures de t-Iodge mixtes; y est donc un isomorphisme de structures de Hodge mixtes. On a un morphisme de suites spectrales Hq(X,, Z) =~ Hv+a(X., Z) (5.2.3) nq(zv. , Z) -- -~ HV+q(Z.., Z) (8.I.23.I) ce morphisme est un isomorphisme compatible aux structures de Hodge mixtes, de sorte que (8.3.5) rdsulte de (8.1.23). Exemple (8.3.7). -- Soit X. un sch~ma simplicial non n6cessairement s6parC I1 existe alors un schdma simplicial sdpar6 Y. et u : Y.-~-X. tel que pour n> o, l'appli- cation u~ : Y,-+ (cosqXLtsqn_tY.),~ soit 6tale et surjective (par exemple la somme des ouverts d'un recouvrement ouvert). L'application u" : H'(X., Z) -+ H'(Y., Z) est un isomorphisme ((5.3.5) (V) et (III)). Par ddfinition, la structure de Hodge mixte de H'(X., Z) se d~duit de celle de H'(Y., Z) via u'. Elle ne ddpend pas du choix de Y.. Pour X un schdma non sdpar~, la structure de Hodge mixte de H'(X, Z) est celle de H'(X., Z), pour X. le schdma simplicial constant d6fini par X. I1 est vraisemblable, mais non ddmontr6, que (8.2.4) (iv) reste valable pour X lisse non sdpar6. Exemple (8.3.8). -- Soit u : X.-~-Y. un morphisme de schdmas simpliciaux. Les groupes de cohomologie relative H"(Y. mod X., Z) sont par ddfinition (6.3.2) les groupes de cohomologie du sch6ma simplicial C(u). Ils sont donc munis d'une suucture de Hodge mixte. Proposition (8. 3.9). -- La suite exacte longue de cohomologie relative H"(Y., Z) -~ H"(X., Z) .L H"+'(Y. mod X., Z) --+ H"+I(Y, Z) est une suite exacte longue de structures de Hodge mixtes. On se ram~ne au cas off X. et Y. sont lisses, et off, de plus, il existe un diagramme commutatif X. ~Y. X. avec X. et Y. propres et lisses, et X. et Y. compl~ments de diviseurs ~ croisements normaux D. et E. dans X. et Y.. 43 PIERRE DELIGNE II existe alors des r6solutions bifiltr~cs (de gradu6 ~ composantes acycliques) a : g)~.(log D.) ~ K et b : ~.(log E.) ~ L qui s'ins~rent dans un diagramme commu- tatif de complexes bifiltr~s ~)x.(log D.) <7'" ~.(log E.) [ b i~ ' 1 K ~ L (~* et v sont des ~-morphismes). La suite exacte longue (8.3.9) s'identifie alors ~t la suite exacte d6duite du triangle distingu6 PL ~ FK Le complexe C(v) sur C(U) est une rdsolution bifiltr6e de C(u* : f2~.(log E.) -+ Dd2..(log D.)). De 1~ rdsulte que les filtrations de Hodge et par le poids de H'(Y. mod X., G) se d6duisent des filtrations du c6ne C(Fv), et (8.3.9) en r6sulte formellement. (8.3.xo) Dgmonstration de (8.2.4) (ii). La d6monstration proc~de par rdcurrence sur N = dim(X). On peut supposer X r6duit. Soit U un ouvert de Zariski dense lisse de X et Y ~- X -- U. D'apr6s la r6solution des singularit6s, il existe un morphisme propre birationnel p : X'~X de source lisse qui induise un isomorphisme de p-1(U) avec U. Soit y,=p-l(y). Consid6rons pour n~N, le cljagramme de structures de Hodge mixtes H"(X modY, Z) > H"(X, Z) > H"(Y, Z) p* > H" (X' rood Y', Z) > H" (X', Z) > H" (Y', Z) H"-~(Y ', Z) Soit (I) la famille de supports sur U form~ des A cU tels que, dans X (ou X', cela revient au m~me), ACU. On a H"(X modY, Z) = Hg(U, Z) =- H" (X' mod Y', Z) de sorte que la fl~che marqu6e p" est un isomorphisme. Pour h vq un nombre de Hodge non nul d'une des structures de Hodge mixtes enjeu, on a : 44 THI~ORIE DE HODGE, III a) pour H" (X', Z) : (p, q) ~ [n-- N, N] � [n-- N, N] b) pour H"-I(Y',Z) : (p,q)e[n--N,N--i]� c) pour H"(X' modY', Z)=H"(X modY, Z) : (p, q)s[n--N, NI � In--N, N] d) pour H"(Y,Z) : (p,q)e[n--N+i,N--I]� e) pour H'* (X, Z) : (p, q) ~ In-- N, N] � [n-- N, N]. a) r~sulte de ce que X' est lisse, et que l'assertion est vraie pour les termes wE1 de la suite spectrale (3.2.4.1) . b) et d) r~sultent de l'hypoth~se de rdcurrence : on a dim Y, dim Y'<N--I. c) r~sulte de a) et b) et e) rdsulte de c) et d). Ceci ach~ve la dfimonstration. 9. EXEMPLES ET APPLICATIONS 9" x. Cohomologie des groupes et des classifiants. Soit Gun groupe alg~brique lin~aire connexe complexe. On se propose de calculer la structure de Hodge mixte de H'(G). On commencera par calculer celle de H'(B.G), par rdduction au cas des tores; on calculera ensuite celle de H'(G) via la suite spectrale d'Eilenberg-Moore (6. I-5). En prime, on obtient l'dtrange thdor~me (9. i. 7). Thdorkme (9.x.x). -- Soit G un groupe alggbrique lingaire. On a t-I~"+t(B.a, Q)=o, et t-I~"(B.G, Q) | C est purement de type (n, n) (III. o. 5). Soit G o la composante neutre de G et soit TcG~ un tore maximal. Puisque H.(B.G ' Q)=H.(B.G0, Q)o/Q~ on a d'apr~s le splitting principle (voir (6.1.6)) H" (B.~, Q) ,-+ H" (B.T, Q). Cette inclusion est un morphisme de structures de Hodge mixtes 9 il suflit de traiter le cas d'un tore, voire m~me, d'apr~s la formule de Kfinneth, le cas off G =G,,. Voici deux d6monstrations de (9-i. i) dans ce cas. lre d#aonstration. -- La cohomologie de G,, (=la droite projective moins deux points) est : H ~ = Z, H 1 = Z. Les seuls hombres de Hodge h m de Ht(Gm) qui pourraient ~tre non nuls sont h ~ =h t~ et h u ((8.2.4) (i) (iv)). Puisque h ~ +h l~ +hal-- 2h ~ +hit= i on a h~ et Hi(G,,) est purement de type (i, I) (pour une autre d6monstration, voir (xo. 3.8)). Le terme E~' q de la suite spectrale (6. i. 5), nul pour p + q impair, est onc 9 e dgmonstration. -- On sait que P'(C), muni de 0(1), est une << approximation >> de B6m : l'homomorphisme [&(I)] : Hi(B.om) -, H~(Pr(C)) est bijectif pour i<2r. Le groupe de cohomologie H 21(pr(C)) est engendrfi par la classe de cohomologie d'un cycle algdbrique (~t savoir, un sous-espace lin6aire), donc est de type (i, i). La proposition suivante permet d'en ddduire que I-Pi(Bo,,) est de type (i, i). 45 PIERRE DELIGNE 4 6 Proposition (9. x. 2). -- Soient G un groupe alggbrique (sur C) et Pun espace principat homogkne (alggbrique) de groupe G sur un scMma X. Le morphisme [P] : H'(BG) = H'(B.~) -~- H'(X) est un morphisme de structures de Hodge mixtes. Rdsulte de la ddfinition (6.~.3.~) dc [P] ct de la fonctorialitd (8.3.4). Corollaire (9.x.3). -- Les classes caractgristiques, clans H~"(S), d'un espace principal homogkne (alg~brique) P sur S, de groupe structural un groupe lingaire G, sont purement de type (n, n) : elles proviennent de morphismes Q.(- n) -~- H 2n (S, Q.). Dans le cas particulier off S est quasi-projectifet lisse, on sait que les classes caract~- ristiques de P sont m~me algfibriques, i.e. dans l'image de l'anneau de Chow (| (9. I'4) Soit G un groupe alg6brique lindaire sur un corps fini Fq, et soit G/Fr le groupe qui s'en d~duit par extension des scalaires "~ une cl6ture algdbrique de Fq. Une ddmonstration parall61e k (9. I. I) montre que, en cohomologie tO-adique, les valeurs propres du Frobenius (g6om6trique) agissant sur H2"(B.~, Qz) sont de la forme qn.~ (~ racine de l'unit6). Ceci est en accord avec la philosophic (I.3). De marne, l'dnoncd (9.1.5) ci-dessous est inspird des formules donnant les nombres de points des groupes rdductifs sur les corps finis. Thgor?me (9. x .5). -- Soit Gun groupe alggbrique lingaire connexe. Soit P'(G) CH'(G, Q) la partie primitive de l'algkbre de Hopf H'(G, O). C'est une sous-structure de Hodge mixte. On a PZi(G)--o, et P2i-J(G) est purement de type (i, i). Enfin, l'isomorphisme (9.x.s.x) AP'(G) ---> H'(G, Q,) est un isomorphisme de structures de Hodge mixtes. Dans la suite spectrale (6. I. 5), E~ q =o pour q>o. Pour n>o, le edge homomorphism W"(B0, Q) ---> EI,2,,- H2--~(G, Q) est un morphisme de structures de Hodge mixtes (8.3.5) ; son image P2n-I(G) est donc une sous-structure de Hodge mixte, cllc est purement de type (n, n) d'apr~s (9. I. I). L'isomorphisme (9.1.5. i) est donn6 par le cup-produit, et on conclut par (8.2. II). CoroUaire (9.x.6). -- Soit Gun groupe alggbrique lingaire. Pour n>o, on a W.(H" (G, Q)) =o. On se ram~ne "X supposer G connexe, et on applique (9.1.5). TMorOme (9. x. 7). -- Soit X un espace alggbrique propre et lisse sur lequel agit un groupe algdbrique lingaire connexe G. Soit p : G � X-+ X. Le diagramme 46 THI~ORIE DE HODGE, III 47 p* H'(X, Q) ....... + H'(X, Q)| Q) H'(X, Q)| ---- H'(X, Q)|176 Q) est commutatif. Puisque l'application composde H'(X, Q) -+ H'(X, Q)| Q) ~ H'(X, Q)|176 Q)=H'(X, Q) est l'identitd (le composd X={e}xX~GxX-~-X est l'idcntitfi), il suffit dc prouver que pour i>o, la i-~me composantc de Kfinneth de p* p; : H"(X, Q) -~ H"-'(X, Q)eH'(G, Q) est nulle. Puisque H"(X, Q) est puremcnt de poids net que H"-~(X, Q) est purement de poids n--i, on a Im(H"(X, Q))cW,(H"-r Q) | Q))= H"-'(X, Q) | W,I-~(G, Q). D'apr& (9-1.6), cette image est donc nulle. Variant| (9- 9 .8). -- Soit X un | alggbrique s(paN sur lequel agit un group| algdbrique lin~aire connexe G. (i) Si X est lisse et que X est une compactification de X, le diagramme H'(X, Q) ------~ H'(X, Q) r H'(X, Q,)iH'(G, Q) H'(X, Q) |176 Q) H'(X, Q) est commutatif. (ii) Si X est propre et que X est une Nsolution des singulariHs de X, le diagramme H'(X, Q) ~ H'(X, Q)| Q) > H'(X, Q)| Q) H'(X, Q)|176 Q) H'(X, Q) :--- est commutatif. 47 4 8 PIERRE DELIGNE Ii SUffit de prouver que pour i>o, les composantes de Kfinncth H"(X, Q) -+ I-In (X, Q) -+ H"-'(X, Q)| Q) H"(X, Q) --+ H"-'(X, Q)| Q) -+ H"-'(X, Q)| Q) sont rcspcctivemcnt nullcs. Dans le cas (i) (rcsp. (ii)), on a (8.2.4) WnHn(.X, Q)=Hn(X, Q) (resp. WnHn(X, Q):Hn(X, Q)), tandis que, par (8.2.4) et (9.1.6) W,(Hn-'(X, Q)| Q))=o (resp. W,(Hn-'(X, Q)| Q))=o) d'o~ l'asscrtion. 9.2. Th~orie de Hodge des hypersurfaces lisses, d'apr~s Griffiths. Ce num6ro ne d~pend que des w167 I ~ 3. On y explique le thfior~me (8.6) de [7]- (9.2.I) Soient X une varidtd algdbrique propre ct lisse, et Y un diviseur lisse dans X. Soitj l'inclusion de U-----X--Y dans X. On a Rij, Z=o pour i4=o, iet la suite spectrale de Leray pour j s'identifie ~ la suite exacte longue de cohomologie (9.2. x. x) ... -, H (X) --, H" (X) -+ H" (U) -+... H~ (X) = Hn-2(Y, 9r Pour une raison rendue claire en (3.I.9), nous identifierons ~ au faisceau constant Z(--I)z. La suite spectrale de Leray de j convergeant par dfifinition vers la structure de Hodge mixte de H"(U), on trouve que la suite exacte (9.2.,.2) ... -~- H"-2(Y, Z)(--,) ~ H"(X, Z) -> H"(U, Z) -.... est une suite exacte de structures de Hodge mixtes. La suite spectrale de Leray de jest aussi la suite spectrale du complexe filtr6 ([~(log Y), W); la suite exacte pr6c~dente s'identifie done encore A celle ddduite de la suite exacte courte (9.2. x.3) o -+ ~1~ -+ x(]Og Y)Re~ ~ ~--~0. Pour cette raison, l'homomorphisme 0 dans (9.2. I. 2) porte encore le nom d'ope'rateur re'sidu. (9- 2.2) L'op6rateur r~sidu (9.2.2.x) Res : Hn+I(U, Z) ~ H"(Y, Z)(--I) cst strictement compatible ~ la filtration de Hodge. La filtration de Hodge de H" (U, C) d6termine done celle de Ker(Hn(Y, C) -+ Hn+2(X, C)). 48 TH~OR_IE DE HODGE, III Supposons Y ample. Si X est purement de dimension N+ i, on a alors H~(X,Z)-%H~(Y,Z) pour i<N (Lefschetz). Par dualitd de Poincard, pour i+N, H~(Y, C) se calcule done ~t partir de H'(X, C). Posons H~(Y, C)= Ker(H~(Y, C) -+ H~+2(X, C)) -----orthogonal dc HN(X, C) ,-+ HN(Y, C) (partic dvanescente de la cohomologie). On a H~(Y, C): H~(Y, C)| C) et on obtient donc beaucoup d'information sur la structure de Hodge de H'(Y, C) quand on connait celle de H'(X, C) et la fdtration de Hodge de Hs+I(U, C). (9.2.3) Par ddfinition, la filtration de Hodge de H'(U, C) est l'aboutissement de la suite spectrale dgggngrge en E t Efq.----Hq(X, f~(log Y)) ~ H'+q(U, C). D'apr~s (3. I. II), cette suite spectrale coincide avec la suite spectrale du complexe j. ft[,, muni de la filtration par l'ordrc du p6tc P. En particulier, on a F'(H'(U, C))=I-I'(X, P'(/.f~-)). Rappelons que PP(j.f~j) est lc complexe suivant, de premiere composante non nulle cn degr~ p t2~(Y) -+ f~+'(2Y) -~ ... -~ ft~((i--p + ~)V) -~- ... Si Hi(X,f~(nY))=o pour i>o, n>o et p>o, on a simplement H'(X, P'(j.~)}j)) ---- H'(r(X, P,(j.fi)))), d'ofl le r~sultat suivant : Proposition (9.2-4). -- Supposons que Hi(X, fl~(nY))=o pour i>o, n>o et p>o (tel est le cas si Y est suffisamment ample). Alors une classe de cohomologie cell d (U, C) est de filtration de Hodge >__psi et seulement si elle peut se reprgsenter par une d-forme fermge ~ sur U, avec un pdle d'ordre <d--p + I le long de Y. Si ~ est une forme fermge sur U, avec un pdle d'ordre k le long de Y, et si la classe de ~ dans H d (U, C) est nulle, alors ~ = d~, avec ~ pr~sentant un p6le d' ordre < k-- i le long de Y; pour k <1, on a mgme 0~=o. (9.2.5) II est bien connu (th~or~me de Bott) que les hypotheses de (9.2.4) sont vfirifi~es pour Y une hypersurface darts l'espace projectif I'"(C) (n>,), i.e. que Hi(P"(C), flJ(m))-----o pour i>o, m>o (une d6monstration figure par exemple dans SGA 7 XI). De plus, pour n>I, l'appli- cation rfisidu identifie H"(U, C) ~ la pattie primitive de la cohomologie de Hn-I(Y, C). D6s lors ([7], (8.6)) : 49 PIERRE DELIGNE 5 ~ Proposition (9.2.6). -- Soit Y une hypersurface lisse de P"(C) (n > I ) et U = P"(C) -- Y. (i) Pour qu' une classe de cohomologieprimitive ceH"-x(y, C) soit de filtration de Hodge ~p, il faut et il suffit qu'elle soit le rgsidu d'une n-forme diffirentielle rgguli~re sur U, avec un p6le d'ordre ~ n--p le long de Y. (ii) Soit ~ une n-forme dif, fgrentielle rgguli~re sur U, avec un pdle d'ordre k>i le long de Y. Pour que Res (:c) E H"- ~(Y, C) soit nul, il faut et il suffit que ~ = d~, pour une (n-- I )-forme sur U, avec un pdle d'ordre ~k-- i le long de Y. 9.3- Construction de complexes d'op6rateurs diff~rentiels du x er ordre. Ce num~ro ne ddpend que des w167 5 et 6. On y prouve le th~or~me suivant. Proposition (9.3. x ). -- Soit X un scMma quasi-projectif (sur C). II existe sur X un complexe de faisceaux K ayant les proprigtds suivantes. a) Les K" sont des faisceaux algdbriques coMrents et K"=o pour n<o. b) Les diffgrentielles d : K"-+ K" + 1 sont des opdrateurs diffgrentiels alggbriques du 1 er ordre. c) Le complexe de faisceaux analytiques cohgrents K ~ sur X ~ est une rgsolution du faisceau constant C. Plus prgcisdment, 3fi(K) = o pour i>o, et il existe f : g2x-+K avec f" alggbrique line'aire, tel que l'application composge C-+(Yx~K ~ identifie C_ ~ ,~f~~ d) L' application naturelle H'(X, K) -~ H'(X ~", K S") ~- H'(X "", C) (e) est un isomorphisme. Comme corollairc, on rctrouve un cas particulicr d'un thdorhme de Bloom et Hcrrcra [2]. Corollaire (9.3.2). -- L' application ddduite de C_-+ ~2x ~n : H'(X C) -+ n'(X identifie I-I'(X a", C) hun facteur direct de H'(X ~", ~'). Nous prouverons d'abord le corollaire. La proposition s'obtiendra en reprenant la d~monstration au niveau des complexes. Soit r un schdma simplicial augment6 vers X. On suppose que ~ est un hyperrecouvrement propre et que les X, sont lisses. On dispose d'un diagramme commutatif H-(x =, c) "" H'(x. c) (9.3.2.I) H'(x 50 THI~,ORIE DE HODGE, III 5~ La flbche Iest bijectivc d'apr6s (5.3.5) (II) (IV). La fl6chc 2 est bijective, car f2x. est une rdsolution de C (lemme de Poincard sur les X,). Le diagramme (9- 3.2. I) fournit une rdtraction, compatible au cup-produit, de H'(X ~, s sur H'(X ~, C), et ceci prouve (9.3.2). (9.3.3) Le complexe K que nous voulons construire ne sera autre, dans la catdgorie d6rivde, que sR~.,~)x.. Nous ne traiterons que le cas off l'espace simplicial augmentd X. est s-scindd, ddfini comme en (6.2.5) par des applications propres et surjectives, de sources quasi-projectives et lisses fk' : Nk--~ (cosq Sqk--l(X.))/ (k2o). Nous allons construire un <( systbme compatible >) de recouvrements ouverts affines des X,. II y a intdr~t, pour cette construction, ~ regarder un recouvrement ouvert d'un espace Y comme un diagramme Y2-U~I avec I discret, u surjectif et u i :U~d-~q0-1(i)~--~Y un plongement ouvert. Procddant comme en (6.2.5), on construit un diagramme (9.3.3.I) X. ~- U. L I. du type suivant. a) I. est un ensemble simplicial discret. Les I, sont finis. b) Pour tout k~_o, (9.3.3-x) induit un diagramme (cosqsqk_I(X.)) k ( (cosqsqk_t(U.))k ~', (cosqsqk_l(I.))k r; 4 T r r NkIV.) c) Dans le diagramme b), pour iecosq sqk_t(I.)k , les q~-t(j) pour a~(j)=i forment un recouvrement ouvert affine de Nk � ,q~_l(x.))k r 1(i)" d) (rdsulte par rdcurrencc dc c)). La premi&re (et donc la deuxi~mc) ligne du diagramme b) ddfinit un recouvrcment ouvert. Les Xk~-Uk-+Ik forment donc aussi des rccouvrements ouverts. e) (rdsulte d'un choix convcnable dcs recouvrcments affines en c)). U.i=~l(i) est lc compldmcnt d'un sous-schdma D., i de X., rdunion de quclqucs composantes connexcs de X. et d'un diviscur. Pour tout faisccau cohdrent o~- sur X n ct des cntiers (ai)iei. (ai~o), on pose l o sur les composantes de X, contenues dans un D,, i avec ai>o ,~'(~alD,,i) = .,~-| .~ aiD,,i) sur les autres. ai>O 51 PIERRE DELIGNE Dans la construction inductive de (9.3.3. I), les recouvrements ouverts (c)sont choisis arbitrairement. Ceci permet de supposer f) Quels que soient Ics ai>o (iEIk) Rt ~.k. (~2~k(~i ai Dk, i) ) = o pour t>o. g) Quel que soit e : A,.~A nct iEI,,, on a X.(~)-~(D.,,.(i)) cD.,i (comme schdma). Pour chaque k, le eomplexe de faisceaux sur X R~,(~) peut se calculer de fa~on ~echiste. Si, pour PcIk, jp est l'inclusion de Up-= flU k iEI ' dans Xk, c'est le complexe simple associd au double complexe des . .. q ~P=p+t Ce complcxe double admet comme sous-complexe double le complexe de composantes les faisceaux cohdrents K~,V, q -= Y~ t zk. [2~,((q + I ) i~rDk,~). ~V=p+ Pour k et q fixes, il rdsulte de f) que l'inclusion dc K ~''' q dans I~ k''' q est un quasi- isomorphismc. Pour k fixc, l'inclusion de K ~'''' dans I~ k'''' cllc aussi cst un quasi- isomorphismc. Enfin, pour k variable, ]es K k'''' forment, d'apr~s g), un complcxc double simplicial. Le complexc simple associd K coincide avec R~..f~r dans la catdgorie ddrivde. Prouvons quc K vdrific (9.3.I). Lcs propridtds a) ct b) dc K sont claircs; on ddfinit f: f2x->K par lcs applications dvidentes des ~. dans les K ~176 Dans la catdgoric anaIytiquc, Ic complexc de faisceaux analytiqucs cohdrents K ~ cst donnd par les m~mcs formules que K. On a un diagrammc commutatif H'i X, K) "~ tl'(X., f2;~.) (i) H' X% K "~) ~ H'(X?, n;e-) et I est l'aboutissement d'un morphisme de suites spectrales H~(Xb, ~.) ===" H~ ~L) n~ ~x.,n) =* H"+b(X.% nx:n). Ce morphisme est un isomorplfisme d'apr~s [9], d'ofl d). 52 THI~ORIE I)E HODGE, III Pour prouver c), on consid&e le diagramme commutatif R~.,C t~_Kan ~ . ,-,an 9 1~.~., X&X. QHe I soit un quasi-isomorphisme r~sulte de (5-3.5). Que 2 en soit un r&ulte du lemme de Poincar~ sur les X,. L'assertion c) en r&ulte. (9.3-4) La m~me construction fournit des rfisolutions v&ifiant a), b) pour d'autres faisceaux o~- sur X an que le faisceau constant C (on peut sans doute prendre pour o~ n'importe quel faisceau << alg6briquement constructible >>). 1V[alheureusement, je ne puis pas prouver que les r&olutions obtenues sont essentiellement uniques (dans une cat6gorie dfiriv~e convenable). En l'absence d'une telle unicitd, (9-3-i) est sans grand intdr&. xo. TH~ORIE DE HODGE EN NIVEAU < 9 IO. I, I-mot~s Dgfinition (xo. x. x ). --- (i) Une structure de Hodge mixte H est sans torsion si H zest sans torsion. (ii) Si H est sans torsion, on ddsigne encore par W la filtration de HzCH Q i~duite par W. On ddsigne par GrW(H) le Z-module sans torsion Gr~V(Hz), muni de sa structure de Hodge de poids n. Ddfinition (xo. x.2). -- Un 1-motif sur un corps algdbriquement clos k consiste en : a) un Z-module libre de type fini X, une varigtd abgienne A et un tore T; b) une extension G de A par T; c) un homomorphisme u :X-~-G(k). I1 est souvent utile de regarder un 1-motif M comme &ant un complexe de schdmas en groupes, concentr6 en degr& o et i it M= [X-+ G]. Construction (Io.x.3).- On construira une dquivalence M~T(M) de la catdgorie des I-motifs sur C avec la catdgorie des structures de Hodge mixtes sans torsion H de type ((0, 0), (0... --I), (--I, 0), (--I, --I)} 53 PIERRE DELIGNE telles que GrWl(H) soit polarisable. De plus, on construira des isomorphismes naturels en N[= (X, A, T, G, u) : Hi(T, Z) _~ Gr_W2T(M)z HI(A , Z) _~ GrWlT(M) (isomorphisme de structures de Hodge) X ~ GrWT(M)z Soit M un z-motif. L'application exponcntiellc exp: Lic(G)-~G a pour noyau HI(G ). On d6finit Tz(~V[ ) (que nous notcrons plut6t Tz(~3r comme &ant lc produit fibr6 de Lie(G) et X au-dessus de G o , HI(G ) e~p G ) o , Lie(G) ll (IO-I.3.I) ) Tz(M ) o ~ HI(G ) ~ X ) o On pose W_I(Tz(M)) = Kcr(~) = Hi(G) W_2(Tz(M)) = HI(T ) = Ker(HI(G ) -~ Hi(A)). Ceci ddfinit la filtration par le poids. Le morphisme 0~ se prolonge en % : Tz(M)| ~ Lie(G). On posc F~174 et ceci d6finit lafiltration de Hodge dc Tc(M ) = Tz(M ) | C. Lemme (xo.x.3.',). -- Le triplet T(M)= (Tz(M), W, F) est une structure de Hodge mixte sans torsion de type { (o, o) (o, -- z ) (-- z, o) (-- I, -- x ) } et Gr w 1 (T(M)) est polarisable. 0 0 nFo ,~ > Ker(%,e ) W_~(Tc(~)) o > H:(T, Z)| 9 ) H~(G,Z)| , HI(A , Z)| ) O t(A, C ~l ~G, C o , (T) , Lie(G) Li A) ) O 54 THI~ORIE DE HODGE, III a) On a W_z(Te(M))nF~ car i est injectif : d6s lors, (W_z(Te(M)) ,F) est une structure de Hodge de type (--I, --I). b) Puisque 2 est surjectif, F induit sur Gr_Wt(Tz(M))| Z)NC la fil- tration de Hodge de HI(A,Z)| : e'est une structure de Hodge polarisable de type (-- i, o) -J- (o, -- i) (cf. (4- 4.3)). c) o 4- 0 > W_I(Tc(M)) oF ~ --- ,F ~ ~V---+o ~t , HI(G , Z)| Tz(M)| - > X| 9 o Lie(G) =- Lie(G) F ~ s'envoie sur Gr0W(T0(M)), qui est donc de type (o, o). Ceci termine la construction de T(M). 11 est clair que T(IV[) est fonctoriel en M. Soit H une structure de Hodge mixte sans torsion de type {(O, O)(O,--I) (--I, O) (--I,--I)}. Supposons GrWl(H) polarisable; le tore complexe A= Hz\ GrW_ l(Hc)/F~ Gr_Wt (He) est alors une varidtd abdlienne (cf. (4-4.3)). Soit Tle tore de groupe de caract6res le dual de GrW_2(Hz) : HI(T ) = GrW2(Hz). Le groupe analytique complexe G = W_ t(Hz) \W_ 1(He)/V ~ n W_ 1(He) est une extension de A par T. Lemme (xo. x .:3.3). -- Le foncteur E~E an est une dquivalence de la catdgorie des groupes algdbriques extensions de A par T avec celle des groupes analytiques extensions de A par T. 55 PIERRE DELIGNE On se ramSne au cas ot~ T = Gm. D'aprSs G.A.G.A., E ~ E "n est alors plus g~nd- ralement une 6quivalence de la catdgorie des torseurs sous G,, sur A avec celle des torseurs sous G,, sur A a". On dispose done de G, extension de A par T. Soit X =GrW(Hz). On ddfinit ainsi u :X--->G (cs (2.2.1)) : o > W_I(Hz) > W_I(Hc)/W_,(Hc)r~F ~ , G > o II I o/Fo o > W_l(Hz) , H z ....... > X > o II est clair que la construction pr~c6dente, qui "X H associe un 1-motif sans torsion, est inverse de T, et est fonctorielle. Si G~ (i= I, 2) est extension d'une vari~tfi abfilienne A i par un tore Ti, pour tout morphisme u : G1--->G2, u(T,)CT 2 et Ker(u:A1-->A2)~ : G1--->G2)--->A1) ~ Ceci correspond au fait qu'un morphisme de Q-structures de Hodge mixtes est stric- tement compatible t~ la filtration par le poids. (IO, I "4) Soit H une structure de Hodge mixte sans torsion de type {(0, O)(0,--I) (--I, O)(--I,--I)}, La filtration W de H z ddfinit alors une filtration de H par des sous-structures de Hodge mixtes. Parall~lement, si 1V[=(X, A, T, G, u) est un 1-motif, on d6signe par W la filtration croissante suivante de 1V[ : W~(.~,I) = o pour i<-- 2 et Wi(M ) = M pour i>_ o; W_,(M)= G (i.e. ((o}, A, T, G, o)); W_2(M)=T (i.e. ({o}, o, T, T, o)). En un sens ~vident, les GrW(1V[) successifs pour i--o, --I, --2 sont X, A et T. (IO,I.5) La construction (IO,I-3) qui ~ un 1-motif 1V[ sur C associe Tz(M ) est transcendante. Nous allons montrer que T (~-V[) = Tz(M ) | = ~ Tz(]V[) | Z t peut se ddfinir de fa~on purement algdbrique. Soit ]V[ un 1-motif sur un corps k algdbriquement clos de caract6ristique o. On identifie M t~ un complexe [X Z>G] (degr~ oet I). Pour tout entier n>o, soit le complexe [Z 2+Z] (degrd --I et o), et soit Tz/,z(M ) le H ~ du complexe [x 2,. G]Q [Z & Z] : g6 THI~ORIE DE HODGE, III X u> G X ~> G On a Tz/,z(M ) ={ (x, g) lu(x) = ng}/{ (nx, u(x)) lxeX }. Dans la catdgorie ddrivde, on a Tz/.z(M) = H~174 Z/nZ). on ddfinit des morphismes de transition Pour n = md, ~Om, . : Tz/.z(M ) -+ TZ/mz(M ) par q~m,.((x, g))- (x, dg). On pose t (IV[) = Hm Tzl.z (M). La filtration W de M induit une filtration W des Tz/.z(M ) et de T(M). On a GroW(T (M)) -- X| GrW, (]" (M))----limA. =T(A) GrW2(T(M)) =lim T. = Y@7.(I), pour Y le dual du groupe des caract~res de T= W 2(]V[ ). Construction (IO. x. 6). -- Soit N[= [X "-> G] un i-motifsur C,. On a (to. ,. 6. I) T(M) = Tz(M) | Le morphisme naturel [Tz(M ) --* Lie(G)] ~ [X-+ G] est unquasi-isomorphisme. Les quasi-isomorphismes "> LTz "> Lie(G)J [Tz ~> fournissent des isomorphismes (xo. x. 6.2) Tzl,z(M ) ~ Tz/nY z. Par cet isomorphismc, "~ teW_l(Tz) on associe exp(t/n)eG,. Par passage $ la limite, on ddduit (IO.I.6.I) dc (lO.I.6.2). Des techniques de Grothendieck permettent de transposer en cohomologie de De Kham ce que nous venons de faire en cohomologie/-adique. Soit M un i-motif sur un corps algdbriquement clos k. g7 8 PIERRE DELIGNE 5 8 Construction (lO.X.7).- Construisons un espace vectorM TDR(M ) sur k, muni de fil- trations Wet F. Soit M =(X, A, T, G, u), et considdrons M comme un eomplexe concentrd en degrds -- Iet o. Une extension de M par G. est une extension de M par le complexe rdduit /~ G. placd en degrd o. On a Hom(G, 13.) = Extl(X, t3.) : o. D~s lors : a) les extensions de M par G. n'ont pas d'automorphismes; b) la suite o -~- Horn(X, G.) --~ Extt(M, G~) -+ Extt(G, G~) -+ o est exacte. On a Hom(T, G,)=ExtI(T, G,)=o, de sorte que c) Extl(A, %) -% gxtl(G, 13.). L'espace vectoriel Extl(M, G~) est done de dimension finie et, d'apr~s a), il existe done une extension universelle de M par un groupe vectoriel; on la note M ~ : X-+G ~. 0 >X ..... X o > Extl(M, G.)" > G~ > G , o On pose TDR(M ) =Lie(G ~) F~ = Ker(Lie G~ -+ Lie G) ~_ (Extt(M, G~))'. TDR est fonctoriel en M (ainsi que M~), et on ddfinit la filtration W de TDR(M ) comme provenant de la fltration W de M. Construction (xo.x.8). -- Soit M un I-motif sur C. On a (TDR(M), F, W) --- (Tc(M), F, W). Les Ex((X, G.), ExtZ(A, G,) et Exti(T, G,) (i=o, I) sont les m~mes dans les catd- gories algdbrique et analytique. Soit l'application Te(M )- Tz(1V[)| -+ Lie(G) ~ G. Le diagramme X , To(M)/HI(G ) X > G 58 THI~ORIE DE HODGE, III d6finit une extension de M an par le groupe vectoriel F~ donc une extension de M par ce groupe. II nous faut prouvcr que c'est l'extension universellc. Pour cela, il suffit de vdrifier que la cat6gorie des extensions de [X -~- Te(1V[ )/HI(G)] par G a est triviale (un seul objet, pas d'automorphisme). C'est aussi la cat6gorie des extensions de Tc(M)/Tz(M ) par G~, et on a en effet Exd(Tc(M )/Tz(M), G~) = 0 pour i -- o, I. Remarque (xo.I.9). -- M ~est caract6risd par le diagramme commutatif X ......... -+ G ~ ..... > G , I i I Tz(M ) > Lie(G~) > Lie(G) de carr6 extdrieur (I o. I. 3-I), et induisant un isomorphisme Tc(M ) -~ Lie(G~.). Variante (xo. l. XO). -- Un 1-motif lisse M sur un schdma S consiste cn : a) un sch6ma en groupes X sur S, qui localement pour la topologie 6tale est un sch6ma en groupes constants ddfini par un Z-module libre de type fini; un schdma abdlien A sur S, et un tore T sur S; b) une extension G de A par T; c) un morphisme u : X~G. Pour tout entier n, une construction analogue ~ (zo.i.5) associe ~t un 1-motif lisse M sur Sun schdma en groupes Tz/,z(M ) fini et plat sur S. Pour g inversible sur S, le syst6me projectif Tt(M ) =lira Tz/t.z(M ) est un Zt-faisceau sur S. En g6ndral, Tt(N[ ) correspond ~t un groupe g-divisible (= de Barsotti-Tate) sur S. La filtration W de M, d6finie comme en (1o. i -4), ddfinit unc filtration W de Tt(M ). On a encore Or0WTt(M) -- X| GrWl Tt (M) -- Tt(A) GrW~Tt(M) = Y| ) pour Y = Horn(T, Gm) v De m~me, une construction analogue ~t (IO.I.7) associe ~t M un fibrd vec- toriel TDR(M ). Terminologie (xo. I. xx). -- Soit M un I-motif. On appelle T(M), Tt(M ) et TDn(M ) les r~alisations de Hodge, g-adique et de De Rham du I-motif IVL 59 6o PIERRE DELIGNE io. 2. x-motifs et biextensions Les r6sultats de ce num6ro ne seront pas utilis6s dans la suite de ce paragraphe. Nous ferons usage de la notion de biextension (S.G.A. 7, VII (2. I)) et de la g6n6rali- sation suivante. (zo.2. x) Soient Ki: [A~-+Bi] (i= I, 2) deux complexes de faisceaux, concentr~s en degr6 0 et -- i (sur un topos quelconque). Une biextension de K 1 et K 2 par un faisceau abflien H consiste en : a) une biextension P de B 1 et B 2 par H, i.e. un H-torseur P sur BI� avec Pb, b, d6pendant biadditivement de b~ et b2; b) une trivialisation (=section biadditive) de la biextension de B~ et A 2 par H, image rdciproque de P; c) une trivialisation de la biextcnsion de A t et B2 par H, image rdciproque de P; on exige que les trivialisations b) et c) coincident sur AI� 2. On d~signe par Bie~t.(K1, K2; H) la cat~gorie des biextensions de K1 et K 2 par H. C'est une catfgorie de Picard (les objets s'additionnent). Le groupe Biext~ K2; H) des automorphismes d'une quelconqae biextension de K 1 et K~ par H est Biext~ K~; H)----Hom(H~174176 H). On note Biextt(Kx, K2; H) le groupe des classes d'isomorphismes de biextensions. On vdrifie comme clans (S.G.A. 7, VII (3.6.5)) que Biext~(K~, K2; H) = Ex((Kt| H) (i=o, i). Sur cette formule, ou de fa~on 616mentaire, on vdrifie que si K~---~K i. est un quasi- isomorphisme (i= I, 2), il revient au m~me de se donner une biextension de K 1 et K 2 par H ou de K' 1 et K' 2 par H. Ceci s'applique encore en remplaqant ~ faisceaux >) par ~ groupes alg6briques >) (resp. ~( groupes analytiques complexes ~)) : on peut interpr6ter ceux-ci comme des faisceaux sur un site convenable. (xo.2.2) Dans ce paragraphe, nous identifierons un I-motif M = (X, T, A, G, u) un complexe concentr~ en degrgs o et --I ,vi: IX--G]. Sur e, nous d6signerons par M ~ le complexe de groupes analytiques complcxcs [X~ G~]. On a le rdsultat dc rigiditd : Lemme (xo.2.2.x). -- Soient 1Vii, = (X,, A,, T~, Gi, us) (i= I, 2) deux I-motifs. On a Biext~ M2; Gin) = o. Sur 13, on a de mgme Biext~ ", M~n; Gm)=o. Tout morphisme biad.ditif GI� est en effet trivial. 60 THI~ORIE DE HODGE, III 61 Construction (xo.~,.3). -- Soient l~.=(Xi, Ai, Ti, Gi, ui) (i= I, 2) deux x-motifs sur C. On a Biext'(Ml, M2; Gin) = Hom(T(NIa)| Z(I)). Nous allons d'abord calculer Biextt(M~ ", M~n; Gin). Si V et W sont deux espaces vectoriels, on a clans la catggorie analflique (xo.2.3. x)~ Biext~ W; G,,) ~- Hom(V| C) exp (xo. 2.3.2)~, Biextl(V, W; G,,) = o. De ce qu'une extension de W par Gin, sur une base quelconque, est toujours localement triviale, il r6sulte en effet formellement que Biext'(V, W; Gin)= Ext'(V, Hom(W, G,,)) = Ext'(V, W') (i = I, 2). Soient V z et Wz deux Z-modules libres de rang fini. Puisque [V, -~ Ve] -~ [o -~ V0/V d est un quasi-isomorphisme, Ie foncteur ~ image rficiproque )> est une ~quivalence. (xo.2.3.3)~n Biext(Vc/Vz, Wo/Wz; Gin) --~ Bieaet([V z -+ Vr [W z -+ Wc] ; Gin). Tout morphisme biadditif de Vc/V z � Wo/W z dans Gm est trivial, d'ofl a) ci-dessous : Lemme (xo.2.3.4) a) Biext~ Wo/Wz; Gin)= o. b) Biextl(Vc/Vz, Wc/Wz; Gm)=Hom(Vz| Z(I)). Soient +i: Vc| deux applications bilinfiaires, avec + = +t--+3 a valeurs dans Z(I)= 2~iZ sur Vz| z. Soit P(+I, +3) la biextension suivante de [Vz-+Vc] et [Wz-+Wc] par G m : la biextension triviale de V o et W c par G,,, munie des trivialisations ?t = exp +1 : Vz| -+ G,, et ?z = exp +3 : Vc| -~ G,,. D'aprbs (m.2.3.2), toute biextension cst de cette forme; d'apr~s (Io.2.3. i) P(+I, +3) --- P(+'I, +2) si et seulement si +'l--+~= +a--+~- Les P(+, o) repr6sentent done chaque biextension une lois et une seule. (xo.2.3.5) Sous les hypotheses g~nfirales de (Io.2.I), soient des complexes K~=[A~.+Fi-+BJ (i=I, 2). Soit K~ le sous-complexe [AI-~B~]. On v6rifie qu'il rcvient au mfime de se donner soit une biextension de K 1 et K 2 par H, soit : a) une biextension P de K~ et K~ par H; et b) des trivialisations des biextensions de [o-+Ft] et K~ (resp. K~ et [o-+F2] ) par H, images r6ciproques de P; ces trivialisations doivent coincider sur F~� 2. Dans le cas particulier oll Biext~(Ft, K'2; H)=o (i= I, 2) et Biexti(K'l, F2; H)=o (i-- I, 2), 61 62 PIERRE DELIGNE il existe une etune seule trivialisation %, section de P sur F,� 2 (resp. q~2, section de P sur B,� comme en b). La cat6gorie Biea~t(K,, K2; H) s'identifie alors ~t la sous-catdgorie de Biext(K't, K~; H) formde des P pour lesquels % = q~2 sur F 1 � F 2. (IO.2. 3. 6) Soient V z et W z deux Z-modules libres de type fini, et F, G des sous- espaccs vcctoriels dc V cct W e. On a Bicxti(F, [W z ~ We] ; G,~) = o. Pour i=o, cela r6suhe de (IO.2.3. I) et dc cc qu'une application bilin6airc B : FxWr avcc B(F, Wz)CZ(I ) est nulle. Pour i--I, cela r6sulte de ce que tout morphisme biadditif FxWz~G,, provicnt d'un morphismc biadditif F xWc~G m. Autrcmcnt dit, on utilisc la suite exactc longue o -+ Bicxt~ [W z ~ Wc]; Gin) -+ Bicxt~ We; Gin) ~ Biext~ Wz; Gin) -+ Biextt(F, [Wz ~ We]; G,,) ~ Bicxtt(F, We; G,n). Nous pouvons donc appliquer (to.2.3.5) aux complexes KI=[VzeF~Vc} ct K2=[Wz| On trouve que les biextensions de K~ ct K 2 par G m s'iden- tifient ~ certaines biextcnsions dc Vc/V z ct We/W z par Gin, i.e. ~t ccrtaincs formes q~ :Vz| (Io.2.3.4). Pour que P(~bl,~b2) (Io.2.3.ff) provienne d'unc bicxtension de K 1 et K 2 par G,,, il faut et suffit quc exp +~:FxWo~G,, et cxp +1 : VcxG~G m coincident sur FxG, c'cst-~-dire quc ~b(F, G)=o. Lemme (io.2.3.7). -- Avec les notations pr&gaentes, on a Biext~ K2; G,,)=o et Biextl(K1, K2; G,,) s'identifie ?t l' ensemble des formes qb : Vz| ) de complexifi&s v#ifiant q~(F, G) = o. Pour + comme en (Io.2.3.7), avee qa=+t--q~2, la biextension correspondant ~t + est donn6e par les trivialisations suivantes de la biextension trivial| de V e et W e par Gm: sur (Vz|215 c : exp ~l(Vz, wc).exp ~2(f, we) sur Ve�174 ) : exp (r162 Wz).ex p qq(Vc, g ). (xo.2.3.8) Pour les i-motifs Mi, on a des quasi-isomorphismes Tz(M,)|176 , Tz(M,) , X, Tc(M,)- , Lic(Gi) , Gi 62 TH~ORIE DE HODGE, III 63 Le groupe Biextl(M~ ", M~"; G,,) s'identifie done au groupe des applications + : Tz(M~)| ) --~ Z(i) de complexifid compatible ~ 1~ filtration de Hodge. Lemme (zo.~'.3.9). -- L'application Biext~(M~, M_a; G,,) ~ Biext~(M~ ", M~"; G,.) est injective. Son image est formle des biextensions P dont la restriction ?z G t � G~ est image r~ciproque d'une biextension de A t et A~ par G,.. On a Biextt(A~, A2; G,.) -% Biext~(G1, G2; G,.) (S.G.A. 7, VIII (3.5)) et Biextl(A~, A2; G,.) -% Biext~(A] ", A~"; G,.) (G.A.G.A.). Soit P une biextension de M Iet ]VI a par G,,. Si 1 ~" est trivial, alors : a) la restriction de P ~ G 1 � G 2 est image d'une biextension P0 de A 1 et Ao par Gin; cette dernibre est triviale. Sinon e11e serait analytiquement non triviale, donnerait lieu une forme bilindaire non nulle ~b0, et la forme ~ correspondant ~ P serait non nulle afortiori. La restriction de P ~ G1 � G2 est done triviale (et uniquement trivialisable, m~me analytiquement). b) P est done dEfini par des applications biadditives X 1 � G2 -~- G,, et G 1 � X 2 ~ Gm. Celles-ci sont nulles dans la categoric analytique, done sont nulles, et P est trivial. Soit P une biextension de M~" et M~ n par G,, qui vdrifie la condition (IO. 2.3-9)- II reste ~ prouver que Pest algEbrisable. Par hypoth~se et G.A.G.A., sa restriction P1 GI� 2 l'est. On conclut en montrant qu'une trivialisation de P1 sur XIxG 2 (resp. GI� est automatiquement algdbrique : Pt s'interpr&e comme une extension de XI| z par G,", ce qui ram~ne ~ montrer que Ext'(Gt, Gin) -% Ext'(G~", 13,.) (i=o, i). Cela r&ulte de la mfime assertion pour une vari&d abfilienne (G.A.G.A.) et pour G,". D'apr& (Io. 2.3.9), Biex((!V[1, Me; G,.) s'identifie "X l'ensemble des + : Tz(M~)| ~ Z(I) tels que : a) + est compatible ~t la filtration de Hodge (Io.2.3.8); b) la restriction de + h W ~Tz(M~)NW iTz(Me ) provient d'une forme sur GrW~ T z (M1) | G rWt T z (Me). La condition b) signifie que + est compatible ~t W, et eeci aeh~ve la construc- tion (IO.2.3). Remarque (xo.2.4). -- Une biextension P de M1 et ~ par G," d~finit de fagon Evidente une biextension p0 de M~ et M1 par G m. Si + (resp. d? ~ est la forme bilinEaire 63 PIERRE DELIGNE d6finie par P (resp. p0), on a +(x,y):--kb~ C'est clair sur les formules de (Io.~.3.7). La construction (io.2.3) a des analogues purement algdbriques en cohomologie t-adique ou de De Rham. Construction (IO.2.5), -- Soient 1VIi.=(Xi, Ai. , Ti, Gi, u~) (i= i, 2) deux I-motifs sur un corps algdbriquement clos k de caractdristique o. Soit P une biextension de M 1 et M 2 par G m. On lui associe un morphisme Tz/,z (M~) | Tz/,z (MJ ~ Z lnZ ( I ). Soit mi~Tz/,z(MJ, repr&entd par (xi, gi)avee ui(xi):ng i. Construisons deux isomorphismes a~ eta 2 de P| avec le torseur trivial G,, : gx gt a'a : P~,"a, -% Va,,,,a, = Pa,,-(.,) = G,.. On pose a~ = @(m~, m2)a~. On vfirifie que @(m~, rn.a) ne d~pend pas du choix des (x~, g~) et est une racine n-i~me de Funk& C'est la forme cherch&. Proposition (IO. 2.6). -- ~UF C, laforme (Io. 2.5) se ddduit de celle construite en (IO. 2.3) par rdduction modulo n. Cela se v~rifie /~ l'aide des formules donn&s en (Io.2.3.7). Construction (xo.2.7). -- Soient M~.=(X~, Ai, Ti, Gi, ui) deux i-motifs sur un corps algdbriquement clos k. Soit P une biextension de 1V[ 1 et M~ par Gin. On lui associe un morphisme TDR(IV[~) | -~ k. P,.appelons les ddfinitions (dues & Grothendieck) des ~-extensions et biextensions. (xO.2.7.X) Une ~-extension d'un groupe commutatif lisse G par un groupe commutatif lisse H consiste en : a) une extension E de G par H; si ~ : G� est l'addition, on regarde E eomme un H-torseur sur G muni d'un morphisme de H-torseurs sur G� G (l'addition) v : pr~E+pr~E ~ ~'E; b) une connexion sur le H-torseur E, telle que l'application ~ soit horizontale. Cette connexion est automatiquement ~ courbure nulle. Si G est extension d'une varidt6 ab61ienne par un tore, toute extension de G par G,, admet une ~-structure; deux b-structures different par une forme invariante sur G ('X valeurs dans l'alg~bre de Lie de G,,). On dfifinit de fa~on fividente la somme de Baer de deux ~-extensions. 64 THI~ORIE DE HODGE, III (xo.2.7.2) Soit P une biextension de G 1 et G 2 par H. Regardons P comme un H-torseur P sur GI� muni de morphismes v~ : pr~3P+pr~P ---> (~x� sur Gt�215 ~2 : Pr~2P+Pr~aP-~ (Id� sur GI�215 2. Une t~-i-structure sur Pest une connexion sur le H-torseur P, relative ~ Ga� 2 (la ddrivde covariante n'est d~finie que pour des champs de vecteurs parall~les ~ G~), teIle que vx et v 2 soient horizontaux. On ddfinit de m6me les l-~-structures. Une q-structure est la donnde d'une q-I-structure et d'une ~-~-structure. C'est aussi une connexion sur le H-torseur P, telle que vl et ve soient horizontaux. La courbure R d'une ~-biextension Pest la courbure de la connexion de P. C'est une 2-forme invariante par translation sur G~� ~ valeurs duns Lie(H), i.e. c'est une forme alternde sur Lie(G~)� Lie(G2), 5 valeurs dans Lie(H). Sa restriction ~ Lie(G~) et ~ Lie(G2) est nulle, de sorte que R d6finit un accouplement (encore appeld courbure de P) (zo.2.7.a) ~, : Lie(Gt)| ~ Lie(H), avec R(ga +g~., gi +g~) = @(g~, g~)--~(g~, g2)- Pour des complexes de groupes lisses Ki:[Ai~Bi], une ~-biextension (resp. ~-i-biextension) de K 1 et K 2 par H est une ~-biextension (resp. ~-i-biextension) de B 1 et B 2 par H, munie de trivialisations (en tout que ~-biextension, resp. ~-i-biextension) comme en Proposition (IO.2.7.4). -- 5oit P~ la biextension de .'g[~ et M~ par G~ image rgciproque de P. Il existe sur P~ une et une seule h-structure. Prouvons l'unicitd 9 il faut vdrifier que sur la biextension triviale de M~ et M~ par Gin, toute q-structure est triviale. Une q-structure est d'abord une connexion sur le G,,-torseur trivial sur G~ � G~, i.e. un champ de formcs sur G~ � G~, soit Po,, g,(tl + t2)" L'axiome des q-structures donne que l'a~,(tl +t2)= Ol(g,, t2)-~- q)2(tl, g2) avec q)x et q)2 biadditifs. G[. ~ est extension de Xi| par l'extension universelle G~ de G i par un groupe additif. Tout morphisme G~---~G, est trivial. D~s lors, q)l se factorise par (Xl|174 Enfin, la restriction de P ~ XI� ~ doit ~tre triviale, done aussi la restriction de q)l ~ XtxLie(G~). On a donc q)l=o. De mfime, q)2- o, et F=o. Pour prouver l'existence, il suffit de construire une ~-2-structure sur la biextension de ~-V[} et .-VI: 2 par G,, image r6ciproque de P : par image r6ciproque, on obtiendra une ~-2-structure sur pl et, sym~triquement, une q-I-structure. Pour geG1, Pg est une extension de G 2 par Gm. Soit Cg l'ensemble des q-structures sur Pg. C'est un torseur sous Lie(G2)'. Pour geG1, les C o sont les fibres d'un torseur C sur G1; l'addition de Baer des q-extensions t=ait mfime de C une extension de G t par 65 PIERRE DELIGNE Lie(G,)*. Relevons u a : X-+G 1 en u~ : X-+C en associant ~t x~X la connexion triviale de l'extension trivialisEe P-,(*I" On obtient ainsi une ~-2-structure sur la biextension de [X~C] et M2 par G,, image rdciproque de P. Vu la propri&E universelle de M~, il existe un unique diagramme commutatif [x > G] / \ prenant une image r6ciproque par v, on trouve la ~-2-structure cherch&. Par d~finition, l'accouplement (IO.2.7) est l'opposd de la courbure de la ~-biextension (i o. 2.7.4). Proposition (xo.2.8). -- Sur C, l'accouplement (io.2.7) est le complexifig de l'accou- plement (IO.2.3). La ~-biextension P~ d~finit, clans la catdgorie analytique, une ~-biextension de [Tz(Ma)-+Tc(N[x) ] et [Tz(M~.)-+Tc(M2) ] par G,,. La proposition (to.2.8) rdsulte alors du Lemme (I0.2.9). -- Soient V z et Wz deux Z-modules libres de rang fini, et P une ~-biextension de [Vz-+Vc] et [Wz-+Wc] par Gin, de biextension sous-jacente P. Alors, la courbure ~ : Vc| de P~ coincide avec l' opposg de la complexifige de la forme correspondant ~ P par (I o. 2.3.4)- Prenons P=P(+I,+~) (t~ Une ~-structure sur Pest d'abord une connexion sur le Gm-torseur trivial sur V c � We, i.e. un champ de formes P~.w(v'+ w') sur Vex W e. Cette connexion dfifinit une ~-structure sur ce torseur si et seu|ement si l~,w(v' + w') = r w') + r w) avec r et r bilindaires. Les trivialisations exp +l(Vz, We) et exp +2(Vc, Wz) sont horizontales si et seulement si @i--~--~i. La courbure de la connexion est le champ de 2-formes dP : K..~(v' + w', v" + w")-- r w") + %(v", w') -- ,I,y', w') -- %(v', w"). La courbure de Pest done la forme a,~(0', w")-%(~', w")--(+y, w")-+~(~', w"))--- +(v', w"). (zo.2.xo) Soit M un i-motif sur C. A N[ correspond une structure de Hodge mixte T(M) de type { (o, o) (o, -- ~) (-- I, o) (-- I, -- I) }. La structure de Hodge mixte Hom(T(M), Z(I)) est encore de ce type, done ddfinit un I-motif M*. L'application dvidente T(M)| ddfinit une biextension P de Met M* par Gin. Le I-motif M*, muni de la biextension P, est le dual de Cartier de 1V[. On appelle P la biextension de PoincarL 66 THI~ORIE DE HODGE, III (IO.2,XI) La construction (I0.2. I0) peut ~tre rendue purement alg~brique. A un I-motif M = (X, A, T, G, u) sur un corps algdbriquement clos k, nous allons associer un dual de Cartier M*= (X', A', T', G', u') : a) X' est le groupe des caract~res de T, A' la varidtd ab~lienne duale de A et T' le tore de groupe de caract~res X. b) Traitons tout d'abord le cas off T = o. Une extension de M par G,. consiste alors en une extension E de A par 13,., plus une trivialisation ~ de l'extension u*E de X par G,. o ~13,. ) E > A > 0 On dispose d'une suite exacte o -+ Hom(X, G,,) -~ Exti(M, G,") -~ Extl(A, G,.) -)- o. Les extensions de M par 13, n'ont pas d'automorphisme non trivial. Le foncteur des classes d'isomorphie d'extensions est reprdsentable; on d6finit G' comme 6tant le groupe algdbrique qui reprdsente ce foncteur; c'est une extension de A' par T'. On dispose d'une biextension P de IV[ et G' par G,". c) Dans le cas gfindral, on pose G' =Extt(M/W 2 M, G,.). La biextension natu- relle P" de M/W_2M et G' par G," induit une biextension P' de Met G' par Gm. Pour chaque Ze X', l'extension M de M/W_2M par T d6finit une extension de M/W_ 2 par G,,, d'ofi u'(z) eG'. o--+ T > M > M/W_2M ; o > P~('z) > M/W_2M > o 0 ) 13,n L'application v trivialise l'extension P,',(x) de M par 13,. o ) G,. ) P~cx) ~ M 9 o H ;/1 13,. > P'~(x) M/W-2M Ges trivialisations font de P' une biextension de M et M*=[X'-~G'] par 13,.. Le i-motif M*, muni de P', est le dual de Cartier cherch6. 67 68 PIERRE DELIGNE (IO. 2. I2) Cette construction permet de donner des 1-motifs une description plus sym&rique. Soit M----(X, A, T, G, u) un 1-motif, de dual de Cartier IV['----(X', A', T', G', u'), et soit P0 la biextension de Poincard. Les morphismes u et u' d6finissent par passage au quotient des morphismes (IO.2.X2.I) /2" X-+A et ~-': X'-+A'. La biextension de G et G' par G m dfiduite de P0 est image r&iproque de la biextension de Poincar6 P de A et A' par Gm. Par hypoth~se, les trivialisations (des images rficiproques) de P sur X� et G� coincident sur X� d'ofa (I0.2.I2.2) une trivialisation + de (ff� Un morphisme f : .-V[t -+ Ma, de transpos6 (en un sens ~vident) M~ -+ M~ donne lieu k des diagrammes commutatifs X 1 9 A t Xl 9 A i (xo.2. x2.3) X 2 9 A 2 X~ , A' 2 De plus, fA etf~ sont transpos& et, via l'isomorphisme (i,f~)*Pl= (f~, 1)*P 2 on a I l t P (xo. 2. x2.4) Vl(xt,fx(X~)) ---- +2(fx(Xt), x2) X l� +' 9 (P~sur AtxAI) XI� ~ .......... § (1,f~)*Pl=(fA, 1)*P 2 sur At� X 2� ~' 9 (P2 sur A 2� (IO, 2, I3) On obtient ainsi un foncteur de la cat6gorie des 1-motifs dans la cat6gorie suivante. Les objets consistent en : a) deux varidt& abdliennes en dualit6 Aet A'; b) deux Z-modules libres de rang fini X et X'; c) des morphismes v :X--~A et v' :X'-+A'; d) une trivialisation + de l'image rdciproque par (v, v') de la biextension de Poincar6 de A et A' par Gm. 68 THI~ORIE DE HODGE, III Les fl~ches consistent en les diagrammes (Io.2.12.3) vdrifiant les conditions de (IO.2. I2). Proposition (IO. 2. x/). -- Le foncteur (Io. 2. I3) est une dquivalence de catggories. La vdrification est laissde en exercice au lecteur. zo. 3. Interpr6tation alg6brlque du H 1 mi~te : cas des courbes. (xo.3.i) Soit X 0 une courbe algdbrique sur un corps algdbriquement clos k. Soit p : X'-+X 0 la normalisde de X0, et soit X' la courbe projective non singuli~re dont X' est un ouvert dense. On ddsignera par X (resp. par X) la courbe ddduite de X' (resp. de X') en contractant en un point chacun des ensembles finis p-l(s) pour seX 0. X' .~=~, X.' X r .>X x. On peut caractdriser X et X par les propridtds suivantes. a) Po est fini et radiciel, donc induit des isomorphismes H'(Xo, Zt) --+ H'(X, Zt) (t premier k la caractdristique). b) Les singularitds de X sont analytiquement isomorphes k celles que pr6sente une rdunion d'axes de coordonndes dans l'espace affine. c) X est projective et X--X est un ensemble fini de points o~ X est lisse. (xo.3.2) Le groupe de Picard Pic(X) se ddvisse comme suit. a) Soit I l'ensemble des composantes irr6ductibles de X (= l'ensemble des compo- santes irrdductibles de X0). Pour chaque composante irr~ductible Y de X, le degr6 de la restriction ~t Y d'un faisceau inversible est un homomorphisme deg z : Pic(X) ~ Z : ~ --> degr(,s ). On en ddduit deg : Pic(X) ---> Z I. Cet homomorphisme cst surjcctif, de noyau Pic~ b) Le morphisme dc Pic~ dans la vari6t6 abdlicnnc Pic~ ') cst surjectif. Son noyau est un torc. 69 7 ~ PIERRE DEI, IGNE (xo.3.3) Soient S l'ensemble fini X--X, % : S ~I l'application qui ~ sES assoeie l'unique composante irrdductible de X telle que s~%(s) et soit ~ :ZS-~-Z I induit par %. Chaque seS dfifinit un faisceau inversible 0(s), d'ofl u 0 :ZS-~Pic(X). On a deg uo = o~, D~finition (xo.3.4). -- Le H ~ motivique de Xo, notl H~(X0) (I) est le I-motif Ker (~) -+ Pie ~ (X). Par ddfinition, on a done H~,,(Xo)(I)--H~(X)(I). Remarques (xo.3.5). -- (i) On a Gr0W(H~(X) (i)) = Ker(a : Z s ~ Z') GrWl(H~(X) (~)) = Vic0(X'). (ii) Le conoyau de e est sans torsion : il s'identifie au Z-module libre de base I--%(S). On dispose d'une suite exacte courte de complexes et d'un quasi- isomorphisme o , [Ker(.) , Pic~ , [Z s , Pic(Xo)] , [Im(~) > Z I] > o [o , coker(a)] Construction (zo.3.6). -- Pour nun entier >o premier ~ la caract&istique de k, nous construisons un isomorphisme Ht(X, Z/nZ) (I)=Ht(X, ~.)x Tz/.z(H~(X ) (I)). On sait que Hi(X, W,) s'identifie ~ l'ensemble des classes d'isomorphie de faisceaux inversibles ~ sur X, munis d'un isomorphisme c.W| Puisque p0:X0-~X est fini et radicie[, on a Hi(X, Z/n) ~ Hi(X0, Z/n), et Hi(X, ~,) est encore l'ensemble des classes d'isomorphie de couples (.W, ,) pour oLP un i~aisceau inversible sur Xo, et un isomorphisme ~ : .L~v| ~ 0. Soit un tel couple (.~, ~). Le faisceau inversible ~ se prolonge en .LP sur X, et il existe un diviseur D de support S tel que, se prolonge en ~ : 'oW | -~ 0(D). S'il existe un isomorphisme ~ de 'o~ | avec O(E), eet isomorphisme est uniquement d&ermind multiplication pr& par un 61~ment du groupe divisible H~ ~). On en d6duit que (54', D) d&ermine (.~r ~) k isomorphisme pr~s. Pour qu'un couple (.~, D) provienne d'un couple eonvenable (~, 00, il faut et il suffit que n[~] = [0(D)] dans Pie(X). I1 provient de (0x. , o) si et seulement s'il est de la forme (~xo(D), nD). 70 THI~,ORIE DE HODGE, III 7' [Z s ~Pic(R)] Ccci identifie Ht(X, ~t,) au H ~ du complexe produit tensoricl de (degr~s o et i) et [Z-~Z] (degr6s --i et o) : zS u, > Pic(X) Z s ~'> Pic(X) Hi(X, ptn) ~ H~ s ~ Pic(X)]| Puisque coker(0t) est sans torsion, on lit sur (Io.3.5) (ii) que L L Ht(X, t~,)~ H~ s -+ Pic()()]| ~- H~ Tz/,z(Ht~(X) (1)). Variante (Io.3.7). -- Pour g premier ~ la caractlristique p de k, on a Ha(Xo, Zt(I))_~ Tt(H~(Xo) (x)). Construction (IO.3.8). -- Soit X 0 une courbe sur C. On construira un isomorphisme de structures de Hodge mixtes Ha(X0) (i)~ T(Ha,,(X0)(,)). Nous pouvons supposer ct supposcrons que X == X o. Construction (xo.3.9).- (i) Soit j.~ le sous-faisceau des fonctions mdromorphes clans J; r On a Ha(X, Z(1))=Ha(X, [r '"'~" ~e~x])- (ii) H~(X, C)=H~(X, [02 L r~2~,(log S)]). (iii) L'inclusion de Ha(X, Z) dans Ha(X, C) est ddfinie par le morphisme de complexes ~m k P, xp "m ., > J.~x Soit le diagramme commutatif Hi(X, Z(,)) ~7 Ha(X, [$x '*p' ~x]) *~ H'('X, [j0 x ,xp j.~x]) ' ~ H'(X,C) H'(X, [C x d --- , <n ,Oog s)]) > 9 , n'(X, [LG 71 PIERRE DELIGNE Les fl~ches horizontales du carr6 I sont des isomorphismes, car les suites O > Z(I) > d) x exp> , Cx ~ o o , C ~ d) x ~, r.f~, > o sont exactes. Celles de 2 le sont car Rtj.O x-- o. Celles de 3 le sont car les morphismes de complexes qui les d6finissent sont des quasi-isomorphismes. Ce diagramme d6finit (IO.3.9). (IO.3.IO) Rappelons que si d : F-+G est un morphisme de faisceaux abdliens sur un espace Z, alors ttI(Z, [F---~G]) s'identifie ~ l'ensemble des classes d'isomorphismes de couples (P, ~), og Pest un F-torseur (=espace principal homog6ne sous F) et o6 est une trivialisation du G-torseur dP. En particulier : a) HI(X, " 1 [62~r f~2,(log S)]) s'identifie ~t l'ensemble des classes d'isomorphie de couples (c~, ~), pour .~o un faisceau inversible sur X, et e une connexion sur ~*~, holo- morphe sur X' et pouvant pr6senter un p61e simple en les points de S. Soit a la projection de X sur Spec(C) (= un point). En topologie fppf, le faisceau Rta.([0x-+rf~},(log S)]) est reprfsentable par un sch6ma en groupes Pic~(X), dont I-II(X, [6 2 ~ r.n},(log s)]) est l'ensemble des points. Pic~(X) est une extension d'un sous-groupe de Pie(X), contenant Pic~ par H~ ', f2},(log S)). On d6finit une application (xo. 3 . xo. x ) zS-+ Pic~ (X) en associant ~t chaque diviseur D de X, concentr6 en S, le faisceau inversible 0(D). b) Hi(X, C)=Ht(X, [d) x -~-r.f2~,(log S)]) est l'alg~bre de Lie de Pic~(X). C'est l'ensemble des classes d'isomorphie de couples (P, ~), pour Pun 02-torseur et ~ une connexion comme en a) sur P. c) Hi(X, Z(~))=HI(X, [d72---~gyd)x]) est l'ensemble des classes d'isomorphie de couples (P, e), pour Pun dTx-torseur , et e un isomorphisme du faisceau inversible exp(P) avec un faisceau inversible (gx(D) (D concentrd en S). L'application Aut(P) -- 13 ~ Aut(exp(P))-- C* est smjective. Ceci permet encore d'identifier Hi(X, Z(i)) ~t l'ensemble des couples (p, d), pourp une classe d'isomorphie de d)k-torseurs, i.e. un dldment de Lie(Pic X), et d~Ker(~), ddfinissant un diviseur concentrd en S ayant exp(p) pour image dans Pic~ En d'autres termes, on a d6fini un isomorphisme (,o. 3. 2) H (X, z(i)) De la partie (i) du lemme suivant, on ddduit que cet isomorphisme est compatible ~t la filtration par le poids. 72 THI~ORIE DE HODGE, III Lemme (IO,3.II). -- (i) On a W*(Ha(X, Z)) ---- Im(Ha(X, Z) ~ H*(X, Z)) W~ Z))= Ker(H*(X, Z) ~ Ha(X ', Z)). (ii) La suite spectrale dgfinie par la filtration bgte de [0~.~x,(log S)] d~ggnkre et aboutit ~ la filtration de Hodge de H~ C). Prouvons (i). II suffit de prouver la premibre assertion : la seconde r~sultc de (8.2.5). Comparons les suites exactes Ha(X, Z) > H~(X, Z) I-~(X mod X, Z) HI(X ', Z) > H~(X ', Z) ~ > I-P(X' rood X', Z) > t-P(X', Z) I1 rfsulte de (8.3.7) et (3.2.I7) que I-~(X'modX, Z), donc I-P(XmodX, Z) est purcment de poids 2. Compte tenu de (8.2.4), ceci prouve (i). Pour prouver (ii), il nous faudra rcvenir ~ la d6finition (8.2. i) et utiliser que le sch6ma simplicial ((X'/X)a"),>0 est lisse (le produit fibrd itdr6 (n-k-I)-uple (X'/X) A" est somme disjointc de X', diagonal, ct d'un nombre fini de points) et qu'il admet ((X'/X)a"),>_o pour compactification lisse. Soit z : ((X'/X)a"),>0-+X le morphisme d'augmentation. Soit (K, F) le complexe r S) sur ((X'/X)A"),>0 , muni de la filtration b6te. On disposc d'un morphismc d'augmentation ~: [02 ~ ~ a},(log S)] --> sz.K. Le diagramme K) H~(X, C) =Ha(((X'/X)a")., K) < Hx(~K, [0~: .. > ~-,(log S)]) H~(X, C) est commutatif, et I est un isomorphisme car les c, sont finis, de sorte que R%,,.=o pour i>o. L'assertion r6sulte alors de ce que ~ est un quasi-isomorphisme filtr6. lO H](X,s.. PIERRE DELIGNE (IO. 3. I2 ) Achevons la construction (i o. 3- 8). Le diagramme HI(X,Z(I)) ~, Tz(H~(X)(I)) 9 Lie Pic(R)=H~(.X, 0~) H'(X, C) "% Lie Pica(X) , Lie Pic(i~)=Hl(.~ , 0~) est eommutatif. D'apr6s (I o. 3. i x ) (ii) et la d6fmition des filtrations de Hodge, (, o. 3. x o. 2) est compatible ~ la filtration de Hodge. Corollaire (IO.3.x3). -- H~(X)(I)~ est l'extension Ker(~) ~ Pica(X) ~ de H~(X)(I) ddduite de (IO. 3. IO. I). On a en effet un diagramme commutatif Ker(~) , Pic~(X) ~ , Pic~ Hi(X, Z) > Lie Pic~(X) 9 Lie Pic(X), et on applique (io. I .9). Exercice (xo. 3. x4). --Vdrifier que le diagramme Hi(X, Z(I)) -- Tz(I-~(X)(I)) Hi( X, ~n) Tz/a(H~ (X) (i) ) est commutatif. Remarque (i o. 3. IS). -- L'isomorphisme ddduit de (I o. 3.8) et (i o. 3.9) (ii), entre -- 1 H(X, 0x ~r.~,(logS)) (qu'on peut appeler HI3R(X)) et TDR(H~(X)(I)) , 6gal ~l Lie Pic~(X) d'apr6s (1o.3. I3), a 6td d6fini de fa~on purement alg6brique. 74 THI~ORIE DE HODGE, III xo.4. Traduction d'un th6or~me de Picard. (IO. 4. I) Soit )V une structure de Hodge mixte telle que h~q=o pour p ou q< o (resp. pour p ou q> n). Je noterai provisoirement I(3(f) (resp. II,(~)) le 1-motif ddfini par la plus grande sous-structure de Hodge mixte de (o~fz]torsion)(I) (resp. par le plus grand quotient de (~z/torsion)(n) qui soit purement de type {(-1,-1), (-1, o), (o, o)}. Si X est une vari~td algfibrique complexe de dimension ~N, je conjecture que les 1-motifs I(H"(X, Z)), II,(H"(X, Z)) (pour n~m) et IIN(H"(X, Z)) (pour n>N) admettent une d6finition purement alg~brique. Les morphismes Tt(I(H"(X, Z))) ~ (H"(X, Zt)/torsion)(i ) Tt(II,(H"(X , Z))) +- H"(X, Zt)(n ) (pour n<N) Tt(IIs(H"(X , Z))) +- H"(X, Zt)(N) (pour n_>N) et leurs analogues en cohomologie de De Rham devraient aussi admettre une d6finition purement alg6brique. C'est ce que nous avons vdrifi6 pour dim(X) = i. Voici un autre exemple. (xo.4.2) Soient S une surface projective et lisse, U un ouvert (de Zariski) dense de Set C=S--U. Posons H~(U, Z) = Ker(H2(U, Z) -+ H~(S, Z)). D'apr~s [8] w 9, ce groupe ne ddpend pas de la compactification lisse choisie S de U. Modulo groupes finis, ce n'est autre (3.2.17) que W_3H2(U,Z ) (H2(U, Q)), dual de H*(U, Q), est muni de la structure de Hodge mixte duale). On pest v6rifier que le 1-motif d~fini par (H~~ Z) /torsion) (-- l) admet la description suivante : a) Par dualit6 de Poincar6, on a H,(U, Z) ----H2c(U, Z). La suite exacte longue de cohomologie de (S, C) fournit une suite exacte Hi(S, Z) --~ Hi(G, Z) -+ H~~ Z) --)- o. b) Soit H~(C) le quotient dc Pic~ par son radical unipotcnt. On salt que Hi(C, Z)=Tz(H~(C)) ct Hi(S, Z)=Tz(Pic~ On dispose donc d'une application Z) -+ T,(Hk(C)/Pic~ qui est un isomorphisme modulo groupcs finis'. c) L'application ddduite de b) (xo.4.2.x) (H~~ Z)/torsion)(--I) ~ Tz(H~(C)/Pic~ est un morphisme de structures de Hodge mixte (et un isomorphisme modulo groupes finis). 75 PIERRE DELIGNE On peut d~finir de fa~on purement algdbrique les isomorphismes (modulo groupes finis) d~duits de (IO.4.~.I) entre les analogues de H~(U,Z)(--I) en cohomologie t-adique ou de De Rham, et les r~alisations g-adiques ou de De Rham de H~(C)/Pic*(S). (xo.4.3) Nous ne d~montrerons pas les constructions et compatibilit~s pr~c6dentes. Le r~sultat est en germe dans le th6or~me suivant de E. Picard ([I I], tome I, p. 62). Pet A y d~signent des polyn6mes. Tout rdsidu de l'intdgrale double dy ff A(x,y) peut ~tre regard~ comme une pdriode logarithmique ou cyclique d'une intdgrale abglienne. Je rappelle que : a) Une intggrale k-uple sur une varifit~ projective non singuli~re V de dimension d est une k-forme rationneUe ferm6e sur V : c'est un ~l~ment 0tEH~ if'), pour U un ouvert dense de V, qui vdrifie d0~-----o. Ici, k=2 et V-=P 2, de sorte que k=dimV et que la condition d0~ = o est vide. b) Une intfigrale k-uple ~ d6finit un filament encore notd ~ de Hk(U, C). Les pgriodes de ~ sont les hombres <0~, c> pour ceHk(U, Z). Si c est d~fini par une chalne singuliSre C, on a (o~,c)= fc~. c) Les rdsidus d'une int~grale k-uple ~H~ f~) sont les nombres (~, c} pour ceKer(H,(U, Z) -+ Hk(V , Z)). Dans le cas consid6r6 par Picard, l'application H2(U , Z)~H~(P 2, Z) est nulle et il n'y a pas lieu de distinguer entre p~riodes et r~sidus. Pour le cas g~n~ral, of. Lefschetz, [io], note I. d) Par ~ pfiriode logarithmique ou cyclique d'une intfigrale abr >>, Picard entend simplement ~ p~riode d'une intfigrale simple 8 sur une courbe Y ,. II est sous- entendu que ~ et Y sont ddterminds rationnellement par P et A. (IO.4.t) Traduisons ce th~or~me. Soient donc Set U comme en (IO.4.2) (par exemple S=P2(C)), une intdgrale double ~eH~ f2]j) et un cycle c~H~~ Z). Par d~finition est un r6sidu de ~. Soit A=H~(C)(I)/Pic~ (une extension d'une varifit~ abfilienne par un tore). La 2-forme ~ dfifinit une classe de cohomologie cl(~)eH~m(U ) et induit 76 THI~ORIE DE HODGE, III une forme lin6aire ~' sur H~(U) = T~R(A ). La correspondance ~ [~' est rationnelle. La classe c d6finit c'~Tz(A)| et on a (IO.4. 4. I) ( ~, C) = ~z~i( ~', C' ). On peut repr6senter c' par un cycle sur C, et ~' comme une intdgrale simple sur C. BIBLIOGRAPHIE [i] A. B~CIIARD, Sur les vari~t~s analytiques complexes, Ann. Sc. E.aV.S., 73 (1956). [2] T. BLOOM and M. 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Théorie de hodge, III

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Springer Journals
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Copyright © 1974 by Publications mathématiques de l’I.H.É.S
Subject
Mathematics; Mathematics, general; Algebra; Analysis; Geometry; Number Theory
ISSN
0073-8301
eISSN
1618-1913
DOI
10.1007/BF02685881
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Abstract

THEORIE DE HODGE, III par PIERRE DELIGNE SOMMAIRE INTRODUCTION .............................................................................. 6 TEPJ~INOLOGIE ET NOTATIONS .................................................................. 5- Descente cohomologlque ............................................................... 8 x. Espaces topologiques simpliciaux ....................................................... 8 2. Cohomologie des espaces topologiques simpliciaux ........................................ I2 S. Descente cohomologique ............................................................... I4 6. Exemples d'espaces topologlques simpllclat~ .......................................... i6 i. Espaces classifiants ................................................................... i6 2. Construction d'hyperrecouvrements ..................................................... I9 3. Cohomologie relative .................................................................. 2! 4. Espaces multisimpliciaux ............................................................... 22 7. Compl~ments au w 1 .................................................................. i. Cat~gorle d~riv& filtr& ................................................................ 2. Compldments au lemme des deux filtrations ............................................. 8. Th~orie de Hodge des espaces alg~briques ............................................ 28 i. Complexes de Hodge ................................................................. 28 2. Espaces alg~briques s6par~s ............................................................. 3. Th~orie de Hodge des schemas simpliciaux .............................................. 4 I 9- E.xemples et applications .............................................................. x. Cohomologie des groupes et des classifiants .............................................. 2. Th6orie de Hodge des hypersurfaces lisses, d'apr~s Griffiths ............................... 3. Construction de complexes d'opdrateurs diff&entiels du Ier ordre .......................... 5 ~ i o. Th~orle de Hodge en nlveau < 1 ...................................................... i. i-motifs .............................................................................. 2. i-motifs et bicxtensions ................................................................ 60 3- Interpr&ation alg~brique du H 1 mixte : cas des courbes ................................. 4- Traduction d'un th~or~me de Picard ................................................... BIBLIOGRAPHIE .............................................................................. 77 Introduction Cet article fait suitc ~ [4] et [5], cit6s Iet II. La num6rotation de ses paragraphes prolonge celle de II (qui contient les w167 I ~ 4). Pour renvoyer ~t un r~sultat de II, on mentionne simplement son numdro. Par exemple : (3-2. I7). Dans I, nous avons exposfi le yoga qui sous-tend II et le prdsent article III. Toutefois, II et III sont logiquement ind~pendants de I. Ils ne contiennent pas tousles r6sultats qui sont annonc~s dans I. Dans II, nous avons exposd la th6orie de Hodge des vari6t6s alg6briques non singuli~res (non ndcessairement comp|~tes). On traite ici le cas de singularitds quelconques. A partir du w 7, un usage essentiel sera fait des r~sultats des w167 I /t 3 de II. Dans le cas d'une vari6t6 algdbrique singuli~re complkte X, l'id6e fondamentale est d'utiliser la r~solution des singularit~s pour (~ remplacer >) X par un syst~me simplicial de sch6mas projectifs et lisses X. <--.. > ..... X2 <..._ > XI ~- > Xo (ou, comme nous dirons, par un sch6ma simplicial projectif et lisse). Les r~sultats des w167 5 et 6 permettent de trouver de tels schdmas simpliciaux X. ayant, en un sens convenable, mfime cohomologie que X. On peut alors (< exprimer >>, via une suite spectrale, la coho- mologie de X en terme de celle des X,. En conformit6 avec leg principes gfinfiraux de I, on peut alors, sur chacun des Xn, utiliser la th6orie de Hodge classique, et en d~duire une structure de Hodge mixte sur la cohomologie de X. Dans le cas d'une varifit6 alg6brique quelconque X, on <( remplace >> X par un schfima sirnplicial lisse X., compactifi6 par un schfima simplicial projeetif et lisse X,. On se d~brouille de plus pour que X,--X, soit un diviseur ~ croisements normaux, r6union de diviseurs lisses D,,~. On ~ exprime >> alors via une suite spectrale la cohomologie de X en terme de la cohomologie des intersections p ~ p des D,,~ (n~ o, p~ o), et on en dfiduit une structure de Hodge mixte sur H'(X). Les w167 5 et 6 constituent un rfisumfi (sans d~monstrations) de la th~orie de la ~( descente cohomologique >>. Cette th~orie, dans le cadre plus g~n~ral des topos, est exposfie par B. Saint-Donat dans S.G.A.4, V bis. Au w 7 n~ i, on reprend dans le langage des cat6gories d6rivdes fihrfies certains des r6sultats obtenus ant~rieurement. Le n ~ ~ contient une d6monstration du lemme des deux filtrations plus simple que celle du w i, n ~ 3. Le rebutant n ~ ~ du w 8 est le coeur de ce travail. Le r6sultat essentiel cst le th~or~me (8. I. ~5)- Dans sa d~monstration, pour pouvoir appliquer le lemme des deux THI0,ORIE DE HODGE, III filtrations, on utilise que tout morphisme de structures de Hodge mixtes est strictement compatible aux filtrations Wet F (2.3.5). Au n ~ 2, on ddfinit la structure de Hodge mixte de Hn(X, Z) (X sch6ma sdparfi). On montre que les nombres de Hodge h pq de Ha(X, Z) ne peuvent ~tre non nuls que pour (p, q)e[o, n]� hi. Pour n>dim X, on a un r~sultat plus prficis (8.2.4). Si X est lisse (resp. eomplet) ils ne peuvent fitre non nuls que si de plus p+q~n (resp. p+q<n). Si X est un sous-sch6ma complet de compldment U d'un schfima Z, complet et lisse de dimension n, on peut, d'apr~s N. Katz, interprfiter cette << dualit6 >> entre les cas complets et lisses comme provenant de la << dualitd d'Alexander >> ... H'(Z, Q) + H'(X, Q) --~ (H2"-'-I(U, Q))* -+ H'+I(Z, Q) ... Des propri~t~s de fonctorialitd de la th~orie construite, on d~duit les utiles corollaires (8.2.5) ~ (8.2.8), qui s'6noncent en termes ind~pendants de toute thdorie de Hodge. Au w 8, n ~ 3, on munit la cohomologie de tout schdma simplicial X. d'une structure de Hodge mixte. Cette g~n~ralitd n'est pas illusoire. a) On peut interpr6ter des espaces de colaomologie relative comme 6tant la cohomologie de schemas simpliciaux convenables. b) Soit B o l'espace classifiant du groupe de Lie sous-jacent ~ un groupe alg~- brique G. On peut interpr6ter la cohomologie de B o comme dtant celle d'un sch6ma simplicial convenable. Au w 9, n~ I, apr6s avoir calcul6 la structure de Hodge mixte de la cohomologie de Bo (pour G lindaire), on en d6duit celle de G. Comme corollaire, on trouve que si un groupe lin6aire G agit sur une vari~td complete non singuli~re X, alors l'app|ication H'(X, Q) ~ H'(X, Q) | Q) se factorise par H'(X, Q)|176 Q) cH'(X, Q)| Q). Au w io, on interprSte en terme de schdmas abdliens les structures de Hodge mixtes purement de type { (-- i, -- I), (-- I, o), (% -- I), (o, o) } (III.o 5), et on consid re en ddtail le H 1 des courbes. La th5orie ddveloppSe jusqu'ici est une th6orie absolue (on n'y ~tudie pas les foncteurs Rf.), et ne concerne que des coefficients constants. Je conjecture que si o%f est une variation de structures de Hodge polarisable (au sens de Griffiths [6]) sur un schdma X, alors la cohomologie de X k coefficients dans le systSme local .$r est munie d'une structure de Hodge mixte naturelle. Je ne puis le prouver que pour X complet. Termlnologie et notations (III.o.x) Soit u:X~Y une application continue entre espaces topologiques. Nous dirons que u est propre si elle est proprc au sens de Bourbaki (i.e. universellement ferm6e) et de plus s~parde (i.e. si la diagonale de X� est ferm~e). PIERRE DELIGNE (HI.o.z) Suivant en cela Gabriel et Zisman, nous dirons simplicial 1~ off autrefois on disait semi-simplicial. (llI.o.3) Nous ddsignerons par A un sous-anneau noethfirien de R tel que A| soit un corps. Les cas utiles sont A=Z, O ou R. (HI.o.4) Une A-structure de Hodge mixte consiste en un A-module de type fini Ha, une filtration finie croissante W du A| HA|174 et une filtration finie ddcroissante F du C-veetoriel H e = H,| On exige que les (GrW(HA| GrW(F)) soient des AGO-structures de Hodge. Pour A=Z (resp. O) on retrouve (2.3. I) (resp. 2.3.8); les rdsultats de (2.3) se transposent tels quels. (HI.o.5) Soit @ une partie de Z xZ. Une structure de Hodge nfixte H est de type ~ si scs nombres de Hodge h m sont nuls pour (p, q)Cg. (HI. o. 6) Nous noterons d~sormais ~)x(log D) ce que nous notions ~x< D> (3-i. 2). (IH.o.7) Sauf mention explicitc du contraire, schema signific ~ schema de type fini sur C ,, ct un faisceau sur un schema X est un faisccau sur l'espace topologiquc sous-jaccnt ~ X~.. 5- DESCENTE COHOMOLOGIQUE 5. x. Espaces topologlques simpllclaux. Ce num&o commence par des rappels pour lesquels on peut renvoyer au sdminaire homotopique de Strasbourg, 63/64. (5. x. I) On utilisera les notations suivantes. =catfigorie oppos~e d'une catfigorie d. Hom(.~t, .~)= catdgorie des foncteurs de d dans ,~. D~signons par net k des entiers >- I. A,=l'ensemble fini totalement ordonnfi [o, n]. ~ : A,-+A,+t=l'injection croissante telle que ir (o<i<n+ I). si : A,+t-+A,=la surjection croissante telle que sdi)=si(i+I) (o<i<n). a : A_l-+A,=l'uniquc application dc A_ 1 dans A. (A+)=la cat6goric ayant pour objcts les A (n_>--i), ct pour fl~ches les applications croissantes entre les A. (A) =la sous-cat~gorie pleine de (A +) d'objets les A, (n>o). (A+)k=la sous-catfigoric pleinc de (A +) d'objets les A (k>n). (A)k =la sous-cat6goric pleine de (A +) d'objets les A, (k> n> o). TH~ORIE DE HODGE, III Pour toute catdgorie cg, un objet simplicial (resp. objet simplicial k-tronqug) de cg est un objet de Hom((A) ~ ~) (resp. Hom((A) ~ ~)). De m~me, un objet cosimplicial (resp .... ) de cE est un objet de Hom((A), cg) (resp .... ). Le foncteur squelette sqk est, pour k>--i, le foncteur de restriction sq k : Hom((A)O, cg) -+ Hom((A)O, ~). Le foncteur cosquelette cosqk est le foncteur adjoint ~ droite ~t sqk cosq~ : Hom((A) ~ ~) -+ Hom((A) ~ 5). Soit Y un objet simplicial de c6. On appelle encore squelette le foncteur sqk : Hom((A) ~ ~)/Y -+ nom((A) ~ c6')/sqk(Y ). Son adjoint ~t droite se note cosq~ (cosquelette relatif ~t Y) cosq~ : nom((A) ~ ~)/sq~ Y -+ nom((A) ~ ~)/Y. Les foncteurs cosquelettes sont ddfinis si les limites projectives finies existent dans cE. Lcs foncteurs cosq~ existent dos qu'existent lcs produits fibrds. On a cosq~(X) = cosqk(X ) Xeosq k sqk(y)Y. (5.1.~,) Si X. : (A)~ est un objet simplicial de c6, on pose Xn=X.(An) , 8~=X.(8~ :An-+An+l) :Xn+t-+Xn et s~=X.(s i:An+t-+A.) :Xn-+X.+ 1. 8, So Bo X.: X~+-~ ' Xl '0 Xo St 8x "<---" 8t (5. 9 .3) Soit SeOb cE. L'objet simplicial constant S. est l'objet simplicial pour lequel S n = Set 8i = s i = Id s. Un objet simplicial (resp. simplicial k-tronqud) de cE, augmentg vers S, est un morphisme a :X -+S. (resp. a :X -+sqk(S.) ). Nous identifierons les objets simpliciaux (resp. simpliciaux k-tronquds) de c6, augmentds vers S, a : X. -+ S. (resp .... ) aux objets X + de Hom((A+) ~ cg) (resp. Hom((A+) ~ ~)), tels que X+(A_I)= S. On a a n =X+(~ : A_t-+A,). Ces objets seront d6signds par une notation du type a : X-+S. Les cosquelettes relatifs seront surtout utilis6s dans ce cadre, et notds cosq s ou sim- plement cosq~. (5.x.4) Le cosquelette de l'objet simplicial o-tronqud augment6 a o :X-+S est l'objet simplicial augment6 vers S de composantes les puissances cartdsiennes de X dans ff/S cosq0(X -+ S) = (((X/S)a"),>__0 -+ S). (5.x.5) Soient u :X-+Y une application continue entre espaces topologiques, Fun faisceau sur X et Gun faisccau sur Y. L'ensemble Homu(G , F) des u-morphisraes de G dans F est l'ensemble Hom(u'G, F)~Hom(G, u.F). 2 IO PIERRE DELIGNE Se donner un u-morphisme f de G dans F revient ~ se donner, pour tout couple d'ouverts UCX et VcY tel que u(U) cV, une application fuv:G(V)-~-F(U); ces applications doivent vdrifier la condition (*) Pour U'cUcX, V'cVcY, u(U) cV et u(U')cV', le diagramme G(V) , G(V') , i F(U) , F(U') est commutatif. (5-I. 6) Un espace topologique simplicial est un objet simplicial de la catdgorie d'objets les espaces topologiques, et de morphismes les applications continues. Un faisceau F" sur un espace topologique simplicial X~ consiste en a) une famille F" de faisceaux sur les X, ; b) pour f:A --+A , un X.(f)-morphisme F'(f) de F" dans Fm. On exige de plus que F'(fog)=F'(f)oF'(g). Un morphisme u de F" dans G" est une famille de morphismes u" : F"-+G" telle que pour f~Hom(A)(A~, A,,), on ait u'F'(f)=G'(f) u ~. (5.x.7) Pour U un ouvert de X,, soit F'(U)=Fn(U). Pour f: A -~.A,,, UCX, et V dans X m tels que X.(f)(V)cU, soit F'(f, V, U) :F'(U) -+F'(V) l'application induite par F'(f). On v6rifie aussit6t que le syst~me des ensembles F'(U) (indexes par n et UcX,) et des applications F'(f, V, U) dfitermine F" uniquement (cs (5.I.5)). Pour qu'un tel syst~me provienne d'un faisceau sur X., il faut et il suffit que : a) F'(fg, U, W)=F'(f, U, V) F'(g, V, W) chaque lois que cela a un sens; b) quel que soit n, les F'(U) pour UcX, forment un faisceau sur X,. (5" 9 .8) Ceci montre que les faisceaux sur X. peuvcnt s'interprEter comme les faisceaux sur un site convenable, et en particulier forment un topos (X.) ~. On utilisera librement, pour les faisceaux sur X., la terminologie en usage pour les faisceaux sur un site. Ainsi, un faisceau en groupes abdliens (resp. un faisceau d'anneaux, ...) F" est un syst~me de faisceaux en groupes ab~liens (resp. de faisceaux d'anneaux, ...) F n sur les Xn, et de morphismes F'(f). (5.x.9) Exemples. (I) Soit X. un espace analytique simplicial. Lcs faisceaux structuraux d)x. forment un faisceau d'anneaux sur X. (II) Soit X. un espace analytique simplicial augmentfi vers S. Les faisceaux f~,ls forment un faisceau de O-modules sur X.. Sa puissance extdrieure i-~me est le faisceau 10 THI~ORIE DE HODGE, III de ~-modules i i (f~x./s),>0, not4 [)x./s. Les complexes de De Rham (K)x,/s),~, 0 forment un complexe de faisceaux sur X.. (III) Soit F" un faisceau des groupes ab61iens sur X. Les r6solutions flasques canoniques de Godement CC(F") forment un complexe de faisceaux sur X, et une r6solution de F'. (IV) Soit Sun espace topologique. Les faisceaux F" sur l'espace simplicial constant S. s'identifient aux faisceaux cosimpliciaux sur S. En particulier, un faisceau abdlien F" sur S. ddfinit un complexe diffdrentiel (F", d--~ (--I) iSi). Un complexe de faisceaux abdliens K sur S ddfinit un double complexe (K n,m) encore not6 K (m=degr6 cosim- plicial) de complexe simple associ6 sK : (5.x.9.x) p+q=n et (5-I.9.2) = aK(X" ) -+ E (-- On notera L la seconde filtration de sK : (S-X'9.3) U(sK) -- @ Km. q'>r (5. x. IO) Soit u : X. § un morphisme d'espaces topologiques simpliciaux, de composantes u, : X,--~Y,. Si G (resp. F) est un faisceau sur Y. (resp. sur X.), alors (u~G"),_> 0 (resp. (u,.F"),>0) est un faisceau sur X. (resp. sur Y.); on le note u*G (resp. u.F). Les foncteurs u. et u* sont adjoints; ce sont les morphismes image directe et r6ci- proque d'un morphisme de topos u :(X.) ~ +(Y.)~. (5.1.II) Soit a :X.-->S un espace topologique simplicial augmentd vers S. Si F est un faisceau sur S, a*F=(a,]F)n>0 ~< est >> un faisceau sur X.. Le foncteur a* a un adjoint ~ droite (5-l. II.l) a. : F't->Ker(a0.F ~ ax.F1). si Les foncteurs a. et a* sont les foncteurs image directe et rdciproque d'un morphisme de topos a : (X.) ~ -+ (S) ~. (5.x.x2) Soient S. l'espace simplicial constant associd ~ Set a. :X.--+S. le morphisme d6fini par a. Pour F" un faisceau ab6lien sur X, on identifie a..(F') ~ un faisceau cosimplicial sur S ((5. i-9) (IV)). Pour K un complexe de faisceaux ab61iens sur X, si K ~ est la composante de degrd p de la restriction de K ~ Xq, les composantes du complexe simple associd au double complexe ddfini par a..K sont (5.i.x2.x) (sa.,K)"=- @ aq, K p'. p+q=n 11 12 PIERRE DELIGNE La suite spectrale d6finie par la filtration L ((5.1.9-3)) de sa..K s'6crit (s I .2 2) = He(a,. (K I X')) H" + r K). (5-'.'3) Faisons S=P t (espace topologique r6duit k un point). On trouve que, pour F" un faisceau sur X., les P(X~, F n) sont les composantes d'un ensemble cosimplicial F'(X., F'). Le foncteur P (sections globales) est le foncteur (5-'-'3.') P : F'~Ker(P(Xo, F~ F1)). Si K est un complexe de faisceaux abfiliens, on dfisigne par P'(X, K) le complexe diff6rentiel de composantes les groupes ab~liens cosimpliciaux P'(X, K") et par sP'(X., K) le complexe simple associd. 5.2. Cohomologle des espaces topologlques slmpllclaux. (5.2. x ) A chaque egpace topologique simplicial X. est attach~ un espace topologique usuel IX.I, appel6 sa rdalisation gfiomdtrique (voir ci-dessous). Dans le cas particulier off les X~ sont discrets, on retrouve la notion habituelle de r6alisation gdomdtrique d'un ensemble simplicial. Dans [I4] , G. Segal d6finit la cohomologie de X ~ valeurs dans un groupe ab61ien A comme 6tant H'([X.], A). Sous des hypothSses convenables, la filtration de I X.I par les squelettes successifs fournit une suite spectrale. (5.2.i.x) Et~q-= Hq(Xp, A)=> H~+q(X., a). Un des intSrfits de cette ddfinition est qu'elle s'applique aussi bien, par exemple, la ddfinition de groupes K(X.). Nous en adopterons une autre, mieux adapt~e aux techniques faisceautiques. R/alisation gdomdtrique. -- Pour n entier > o, on d~signe par I An ]le simplexe dans R a" de sommets l'ensemble des vecteurs de base. On identifie A n k l'ensemble des sommets de I Anl. Toute fonction f: A ~A m se prolonge par lin6aritfi en If[ : ] An I -->] Am ]" Soit X. un espace topologique simplicial. Soit Y= I.I (X.� Soit R la plus n>'0 fine des relations d'6quivalence sur Y pour lesquelles, quels que soient f:An-+A m clans (A), xm~X m et a~]A.], on ait (xm, If[ (a)) - (f(xm), a) (mod R). La r/alisation gdomdtrique de X. est par d6finition I x. I = Y/R. Dgfinition (5.2.2). -- Soit X un espace topologique simplicial. Les foncteurs cohomologie /l coefficients dans le faisceau abNien F" sur X, Hi(X, F'), sont lesfoncteurs d/rivds du foncteur P (5. I. 13. I). Cette d~finition ~quivaut A la suivante, parfois plus maniable. 12 THI~ORIE DE HODGE, III I3 (5.2.3) Soit F" un faisceau abdlien sur X.. On montre (par exemple ~ l'aide de (5.1.9) (III)) que F" admet toujours des rdsolutions ~t droite K telles que Hr(Xq, K p' q) = o pour p, q> o et r~>o. Si K est une telle rdsolution, on a canoniquement (S.2.3.x) H"(X., F')__ H"(sP'(X., K)). I1 cst facile de v6rifier directement que lc membre de droite est ind~pendant (~ isomor- phisme unique pros) du choix de K; pour cc qui suit, il serait loisible de dgfinir H'(X, F') par (5.2.3. I). On vdrifie de plus quc la suite spectrale du complexe sF'(X., K), filtrd par L ((5.1.9.3) et (5.I.I2.2) pour S----P t) (5.2.3. ~') E~q = Hq(Xp, F ~) =~ H p + q(X., F') est inddpendante (~ isomorphisme unique pros) du choix de K (cf. (5.2. I. I)). (5.2.4) I1 y a lieu de pr6ciscr la construction qui prdc~de en passant aux catdgories ddrivdes, et d'en donner une variante relative. Soient a : X ~S, S l'espace simplicial constant ddfini par S, a : X ~S ddduit de aet ~. : S. ~S le morphisme d'augmentation. On a (S.2.4.x) a.=a.a..: (X.)~~(S) ~. Gette formule se ddrivc en (5.2.4-2) Ra,=R~.Ra., : D+(X.) ~D+(S) (D+(X.)=Ia catdgorie ddrivde bornde inf~rieurement de la catdgorie des faisceaux abdliens sur X.). Calculons Ra.. et R~.. (5-2.5) Soit u :X.-+Y. un morphisme d'espaces topologiques simpliciaux. Le foncteur Ru. :D+(X.)-+D+(Y.) se calcule <~ composante par composante , : si K est un complexe de faisceaux ab~liens sur X., pour calculer Ru. K, on prend une rdso- lution K-~K' telle que les composantes F de K' v6rifient R~(FP)=o pour i>o, p>~o (cf. (5.I.9) (III)); on a alors RuoK~u.K'. (5.2.6) Le foncteur s:C+(S.)-~C+(S) transforme complexe acyclique en complexe acyclique. I1 se d~rive done trivialement en s: D+ (S.) --->D+ (S). Pour F un faisceau injectif sur S., le complcxc diffdrcntiel sF est une r~solution de ~.F. On en ddduit un isomorphisme R~.~s et (5.2.4.2) devient (5" 2.6., ) Ra. = sRa... 13 14 PIERRE DELIGNE (5.2.7) Jointe ?i (5.2.5) et spdcialisde au cas S-~P e, cette formule prouve (5.2.3. I). En termes concrets, elle signifie que pour calculer Ra, K, on peut proc~der en deux fitapes : a) on prend une rdsolution K ~K', telle que les composantes F de K' v6rifient Riav,(F p) =o pour i>o. Le complexe a.,K'eD+(S.) (catdgorie d~riv~e de la cat6gorie des faisceaux abdliens cosimpliciaux sur S) s'identifie ~ Ra.,K. b) Ra, K est le simple complexe sa.,K' associd au double complexe a.,K'. La suite spectrale (5.2.3.2) se gdndralise en une suite spectrale ddduite de (5.I-I2.2) (5.2.7. x) Efq = Rq %. (K I Xp) ~ R p +qa. K. 5-3. Descente cohomologique. (5.3-I) Soit a :X.--->S un espace topologique simplicial augmentd. Pour tout faisceau F sur S, on dispose d'un morphisme d'adjonction : F -+a,a*F. Ce morphisme se d~rive en un morphisme de foncteurs de D+(S) dans D+(S) : (5.3.I.I) qO : Id-->Ra, a*. D(finition (5.3.2). -- On dit que a est de descente cohomologique si pour tout faisceau abglien F sur S, on a * 9 F Ker(a0,a0F -+al, alF ) et Ria, a*F ~-- o pour i>o. I1 revient au mfime de demander que (5.3. I. I) soit un isomorphisme. (5.3.3) Si a est de descente cohomologique, alors, pour Ke Ob D + (S), l'application canonique (513.3 . I) Rr(S, K)--,RF(S, Ra, a*K)~RP(X., a'K) est un isomorphisme. En particulier, pour Fun faisceau ab~lien sur S, on a une suite spectrale (5- 2.3.2) (5.3.3- 2) E1 pq = Hq(X,, a;F) =~ H" + q(S, F). Pour un complexe, on a encore, en hypercohomologie, une suite spectrale (5-3.3.3) E~q=Hq(Xv ., apK)~HP+q(s, K). Dans les deux cas, les E~ q (q fixe) forment un groupe simplicial, et 4=W(--I)iSi : Elv, q -+ E~ +l,q 14 THI~ORIE DE HODGE, III i5 Dgfinition (5.3.4)- -- Une application continue a : X -~- S est de descente cohomologique si le morphisme d'augmentation de cosq(X ~S) : ((x/s?").>0 -* s est de descente cohomologique. On dit que a est de descente cohomologique universelle si pour tout u : S'-+S, l'application continue a' : X� est de descente cohomologique. (5-3-5) Les rdsultats fondamentaux, dfimontr6s dans S.G.A.4, V bis, sont les suivants. (I) Les applications continues de descente cohomologique universelle forment une topologie de Grothendieck sur la catdgorie des espaces topologiques. On l'appelle la topologie de la descente cohomologique universelle. (II) Une application propre (III. o. I) et surjective est de descente cohomologique universelle. (III) Une application a : X ~S admettant des sections localement sur S est de descente cohomologique universelle. (IV) Soit a : X. )-S un espace simplicial augment6 k-tronqu6 (--I <k~oo). Pour k> n>-- I, soit ~?n : cosq X. +cosq sqnX" la fl~che dvidente. On dit que X. est un hyperrecouvrement k-tronqud de S, pour la topologie de la descente cohomologique universelle, si les applications (5.3.5 -I) (9,),+,: X,+l-+(c~ (--i<n<k--i) sont de descente cohomologique universelle. Si X. est un tel hyperrecouvrement, alors l'espace simplicial augment6 vers S, cosq(X.), est de descente cohomologique. (V) Soit a un morphisme d'espaces topologiques simpliciaux augmentd vers S X. ~) Y. S .... S On dit que a est un hyperrecouvrement pour la topologie de la descente cohomologique universelle si les applications dvidentes X,c § (cosq,YL 1 sq,_ 1X.)n sont de descente cohomo- logique universelle. Si a est un tel hyperrecouvrement, alors, pour tout K~Ob D+(S) a* : Ry.y'K -~ Rx.x*K. (5.3.6) Pour k~-oo, (IV) affirme que a : X.-§ est de descente cohomologique si les (q0,),+ 1 sont de descente cohomologique universelle. Pour n~---x ou o, ces applications sont n==--I : X o ~ S n--o : X~ (8"~) Xo � Xo . 15 PIERRE DELIGNE x6 Pour n= I, (cosq sql(X.))l est le sous-espace de X x � Xx � X~ form6 des triplets (x,y, z) tels que 3oX=~oy, 8lX=3oZ et 3ty=8az. L'application (qh)2 est x.~(3oX , Sax, 82x). Pour k = o, (IV) est la definition (5-3.4). Exemple (5" 3-7)" -- Soit o//= (Ui) i e I un recouvrement ouvert, ou un recouvrement ferm6 localement fmi de S. Soit X = H Ui. Alors, a : X ~S est de descente cohomo- iEI logique. La suite spectrale (5- 3- 3- 2) pour X. -- cosq (X -+ S) n'est autre que la suite spectrale de Leray du recouvrement ~. (5.3.8) Soit a : X.-+S comme en (5.3.5) (IV). On dit que X. est un h.)per- recouvrement propre k-tronqug de S si les fl~ches (5.3.5. i) sont propres et surjectives. Pour k = 0% on parle simplement d'hyperrecouvrement propre. 6. EXEMPLES D'ESPACES TOPOLOGIQUES SIMPLICIAUX 6. I. Espaces dassifiants. (6. I. I) Soit u : X--~S une application continue. Pour tout faisceau F sur S, le faisceau u*F est muni d'une << donnEe de descente >> relativement ~ u : on dispose d'un isomorphisme entre les deux images rEciproques de u*F sur X � et cet isomorphisme vdrifie une condition de cocycles. Si, localement sur S, u admet une section, cette construction ddfinit une Equivalence entre la categoric des faisceaux sur S et celle des faisccaux sur X, munis d'une donnEe de descente. Prenons pour X un espace principal homogEne (~t gauche) de groupe G sur un espace S. Les faisceaux G-Equivariants sur X ne sont autres que les faisceaux munis d'une donnEe de descente : tout faisceau 6quivariant sur X est d'une et d'une seule faw (en tant que faisceau 6quivariant) image rEciproque d'un faisceau sur S = X/G. (6.1.2) Si un groupe topologique G agit sur un espace X, alors G agit sur G a"� par g. (go, ..., gn, x)=(gog-~, "", gng-~, gx). On dEsigne par [X/G]. l'espace simplicial (6. I. 2. I) [X/G]. = ((G a" � X)/G)n>0. a) Si X est un espacc principal homog~ne de groupe G sur S=X/G, alors l'application GA"� ~ XA" : (go, ''',g,, x)~(gox, ." ",g,x) identifie [X/G], au produit fibre itdrE (X/S) a" : cosq(X ~ S) =(IX/G]. ~ S). 16 THI~ORIE DE HODGE, III x7 En particulier, on a (5.3.5 (III)) (6.I.2.2) H'([X/G].)_~H'(X/G) (pour un espace principal homog~ne). b) Pour tout n, G a" � X est un espace principal homog&ne de groupe G sur [X/G],. Pour tout faisceau dquivariant F sur X, pr;.F est un faisceau dquivariant sur Ga"� ; d'apr&s (6. I. x), ce dernier est image rdciproque de F" sur [X/G],. Tout faisceau ~quivariant F sur X d~finit ainsi un faisceau sur [X/G] . It est facile de vdrifier qu'on obtient ainsi une dquivalence de la catdgorie des faisceaux dquivariants sur X avec la catdgorie des faisceaux F ~ sur [X/G]. qui v~rifient (.) Pour tout f : A,-+A,,, le morphisme structural f*F"-+F" est un isomorphisme. c) La construction b) est naturelle en (G, X, F). On pose (6.x.2.3) H'(X, G; F)= H'([X/G]., F') (cohomologie mixtc dc X, G ~ coefficients dans F). Sous les hypotheses de a), si F est image r~ciproquc dc F -t sur S=X/G, on a (6.x.~,.4) H'(X, G; F)=H'(X/G, F -t) (pour un espace principal homog~ne). Ceci gEndralise (6.1.2.2) (qui est le cas F=Z). (6. x. 3) Soit 1 ~ l'espace topologique rfiduit ~ un point. On appelle espace classifiant simplicial de G et on note B Q l'espace simplicial B.G = [Pt/G].. Soit Pun espace principal homog~ne de groupe G sur S. Le morphisme ~vident cosq(P ~ S) = [P/G]. --> [V/G], = B.o d~finit un morphisme compos6 , H'([P/G].) (~ H'(S). (6.x.3.I) [P]: H'(B.Q) 6.1.2.2 On verra ci-dessous que dans les bons cas H'(Ba)=H'(Bo), et que l'image de [P] est formde des classes caractgristiques de P. (6. 9 Soient Gun groupe de Lie, B o un espace classifiant pour G et a : U a-+B o le G-espace principal homog6ne universel. Soit X un G-espace; X � U a est un G-espace principal homog6ne sur X � Uo/G, de sorte que pour tout faisceau ~quivariant F sur X, pr~F est image r6ciproque d'un faisceau F a sur X� Puisque U 0 est contractile et d'apr~s (6. i .2.2), on a (6 x.4., ) H'(X,G;F)~H'(X� G;pr~F)~-H'(X�176 En particulier, pour X = pt (6. 9 .4.~) H'(B.o) = H'(Bo). 17 PIERRE DELIGNE On vdrifie que l'isomorphisme (6. i.4.2 ) est le cas particulier de (6. I.3.I ) pour S=Bo, P=U o. (6.x.5) La suite spectrale (5.2.3.2) pour B o E~ ~ ---- Hq(GaP/G) ~ H' + q (B.o) ---- Hn + q (B~) est essenticllement la suite spectrale d'Eilenberg-Moore. Rappelons bri6vemcnt comment eUc pcrmet dc relier les cohomologics rationnelles dc G et dc Bo, pour G connexe. a) L'alg6bre H'(G, Q) est une alg6bre de Hopf gradu6e eonnexe de dimension finie sur Q. Si P'(G) est lc module gradud de ses 6l~mcnts primitifs, on a donc H'(G, Q) =AP'(G), et les gdn~rateurs de P'(G) sont de degrds impairs. b) L'alg~bre simplieiale (Er')p> 0 est E~" = A (P'(G)~P/P'(G)) ; c'est l'alg~bre extdrieure de la suspension du module cosimplicial constant P'(G); on a done (Quillen [I2]) E~'= SymZ(P'(G)). Les termes E~ * ne sont non nuls que pour p + q pair; on a donc F_~ = E~ q et, pour une filtration convenable, on a canoniquement Gr H'(Ba, Q)~ Sym'(P'(G)[--i]) et non canoniquement H'(Ba, Q)_~ Sym'(P'(G)[--i]). (6. i. 6) Prenons pour G un groupe alg~brique lindaire (complexe). a) Si Test un tore maximal de G, de groupe de Weyl W, on a (6.1.6.1) H.(Ba, Q) __% H.(BT, Q)W. b) Pour un tore T de groupe de caract~res X(T), on a (6. x. 6.2) H'(T, Z) ___ ~kX(T) (isomorphisme d'alg~bres de Hopf gradu6es). Nous n'utiliserons a) que sous la forme affaiblie suivante : a') L'application H'(Bo, Q) -+H'(BT, Q) est injective (splitting principle). Pour ~tre complet, rappelons une d6monstration de a'). Si B est un sous-groupe de Borel de G, le fibr~ Uo/B sur B o est un fibr~ en espaces de drapeaux. D'apr~s ([3] ~- I + 2.6.3) mieux expliqu6 dans P. A. Griffiths, Periods III, Publ. Math. LH.E.S., 3 8, prop. (3.I), ou d'apr~s [I], la suite spectrale de Leray de U~/B -+B o d6gdn6re en cohomologie rationnelle On a done H'(Ba, Q) ~ H'(Ua/B, Q). On conclut en notant que UQ/B,~BB,~B T. 18 THI~ORIE DE HODGE, III 6.2. Construction d'hyperrecouvrements. (6.2.I) Soit X. un ensemble simplicial. D6signons par D(A,, Am) l'ensemble des applications surjectives croissantcs de A, dans A,,, (op6rateurs de d6g6n6rescence), et posons (6.2.I.I) N(X.)= X,-- O s(X, t). sE D(An, An- t) Rappelons que pour tout n, l'application (6.2.x.2) Hs 11 I1 N(Xm)--~Xn m<_<n z~D(An, Am) est bijective. Dgfinition (6.2.2). -- Un espace topologique simplicial est dit s-scind~ si les appli- cations (6.2. I. 2) sont des hom/omorphismes. Soit X~ un ensemble simplicial k-tronquC Pour n<k, on d6finit encore N(Xn) par (6.2. I. I), et (6.2. I. 2) est une bijection. Un espace topologique simplicial k-tronqu~ est dit s-scind/si (6.~. ~ .~) est un hom~omorphisme pour n<k. (6.2.3) Pour X un espace topologique simplicial (n § I )-tronqu6 s-scind~, augment~ vers S, soit ~(X) le triplet consistant en sq,(X), NXn+t et en l'application ~vidente de NX,+ 1 dans (cosq sqnX),+1. Ce triplet (Y, N, 9) vdrifie (.) Y est un espace topologique simplicial n-tronqud s-scind6 augmentd wws S, et est une application continue de N dans (cosq Y),+I. Proposition (6.2.4) (S.G.A.4, V bis (5.I-3))- -- Soit (Y, N, 9) v/rifiant (*) ci-dessus. (i) A isomorphisme unique prks, il existe un et un seul espace topologique X, (n-~- i )-tronqu/ s-scind/augment/vers S, avec ~(X)- (Y, N, 9). (ii) //revient au mgme de se donner f: X ~ Z ou de se donner : a) un morphisme f' :Y-~sq,(Z), b) un morphisme f" :N~Z,+ 1 rendant commutatif le diagramme N ~ > (cosqY),+l [,, f' Z.+ 1 > (cosq sq.Z).+l Cette proposition (6.2.4) s'applique aussi aux objcts simpliciaux d'autres cat6- gories ~ que celle des espaces topologiques. II suftit que ~ v6rifie 19 2O PIERRE DELIGNE (6.2.4.x) Les limites projectives finies existent. Les sommes finies existent, sont disjointes et universelles. (6.2.5) Cette proposition permet de construire comme suit, par induction, des hyperrecouvrements propres de S. o) On prend f0 : X0-~-S, propre et surjectif. {X0} est un hyperrecouvrement propre o-tronquE de S (5.3.8), il est s-scindE. i) On prend fl : Nl-+cosq({X0})l, i.e. fl:N1-+Xo� Appliquant (6.2.4) , on associe ~ fl l'espace topologique simplicial I-tronqu6 augmentE s-scindE 1X." NluX o ~ X o , S. On suppose ft choisi de telle sorte que A' : N,,,Xo + XoxsXo soit propre et surjectif (par exemple f~ propre et surjectif). Alors, iX. est un hyper- rccouvrement propre I-tronquE s-scindE de S. .... ..o.,o.~ k + I) Soit ddj~ construit un hyperrecouvrement proprc k-tronqud s-scindd kX -+S. On prend fk+l : Nk+l ~(cosq(kX.))k+l, et, appliquant (6.2.4), on associe ~t fk+z un espace topologique semi-simplicial k + I-tronqud augmentd s-scind6 4+ iX. 9 On suppose quefk+l est tel que fk'+l : ~+lXk+l -~ cosq(kX.)k+l soit propre et surjectif (par exemple f~+ ~ propre et surjectif). Alors, ~ + ~X. est un hyper- recouvrement propre k + I-tronquE s-scindd de S. 9 .... ~ , ,.., , oo) Les ~X ainsi construits sont les squelettes successifs d'un hyperrecouvrement propre s-scind6 de S. (6.2.6) Un schema simplicial X. sur C sera dit lisse si les X, sont lisses; il sera dit propre si les X. sont compacts. Un diviseur ~ croisements normaux D. de X., suppose lisse, est une famille D.CX, de diviseurs ~t croisements normaux (3.I.2) telle que les U,=X,--D, forment un sous-schdma simplicial U. de X.. Gette definition est justifiEe par le lemme suivant. Lemme (6.2.7). -- Si D. est un diviseur g~ croisements normaux de X., alors les complexes de De Rham logarithmiques (~(log D,)),,>0, munis de la ,filtration par le poids (3.I.5), forment un complexe filtrg sur X . R&ulte de (3.1.3 (ii)). Le complexe (f~,(log D,)),>__0 se notera f2x.(log D.). (6.2.8) En utilisant (6.2.5) , on montre que pour tout schema sEpar6 S sur C, il existe : 20 THI~ORIE DE HODGE, III 2! a) un schfma simplicial X. sur C, propre et lisse, qu'on peut prendre s-scind6; [3) un diviseur ~ croisements normaux D dans X ; posons U =X--D; y) une augmentation a : U.-+ S qui fasse de U~ nun hyperrecouvrement propre de S *~ De plus, deux tels syst6mes sont coiffds par un m6me troisi6me, un morphisme u :S~T peut &re coiff~ par un morphisme X ~Y /-/- U ~V S " ~T de tels syst~mes... (voir S.G.A.4, V bis). 6.3. Cohomologie relative. (6. 3. x) La construction c~ne d'application pour les morphismes d'ensemble~ sim- pliciaux se transpose telle quelle aux objets simpliciaux de toute cat6gorie c~ ayant un objet final e et des sommes finies. Pour u :Y-+X , le c6ne C(u) v~rifie C(u)n = Xnu <H Y~ue. Nous prendrons pour ~ : a) la cat6gorie des espaces topologiques et applications continues (objet final : I~); b) la cat6gorie des couples (X, F) formds d'un espace topologique X et d'un faisceau ab61ien F sur X, une fl&he (u,f) : (Y, F) ~ (X, G) &ant une application continue u : Y---~X, plus un u-morphisme (5.I .5) f: G~F (objet final : (pt, o)). (6.3.2) Soient u :Y~X. un morphisme d'espaces topologiques simpliciaux, de c6ne C(u), Fun faisceau ab61ien sur X, Gun faisceau ab61ien sur Y. et f: G-+F un u-morphisme. Le c6ne C(f) de f est un faisceau ab61ien sur C(u), et on pose (6.3.2. x) Hn(C(u), C(f))= H"(X. mod Y., F mod G). Ce sont les groupes de cohomologie relative. On vdrifie facilement q&ils s'ins~rent dans une suite exacte longue (6.3.2.2) ...-+H~(X mod Y, F mod G)-+H'(X., F)-*H~(Y., G)-~... (6.3.3) Plus gdn6ralement, soient L et K des complexes bornds infdrieurement de faisceaux ab~liens sur Y, et X., et soit un u-morphisme f: K-+L. On en d6duit un complexe C(f) sur C(u). On pose encore en hypercohomologie Hn(C(u), C(f))----Hn(X. rood Y., K mod L). 21 22 PIERRE DELIGNE Ces groupes figurent dans une suite exacte analogue fi (6. 3.2.2), provenant, dans la cat~gorie dfiriv~e convenable, d'un triangle distingud RI'(Y, K) {6,3.3.I ) / \ Rr(C(u), C{f)) > RP{X., L) (6.3.4) La construction pr~sentfic plus haut n'est pas la seule possible. Elle a l'inconvfinient que, mfime si on part de vrais espaces topologiques X et Y (i.e. d'espaces simpliciaux constants), on est conduit ~ considdrer des espaces simpliciaux non constants. 6. 4. Espaces multislmpliciaux. (6.4.x) Soit run entier >o. Un objet r-simplicial Z. d'une catdgorie ~ est un foncteur contravariant de (A)" dans ~. L'objet simplicial diagonal ~Z. est le foncteur compos6 (A) ~(A)r-+~. (6.4.2) On ddfinit comme en (5-1.6) le topos des faisceaux sur un espace topo- logique r-simplicial. Soit P" le foncteur ..... +)) des faisccaux sur X. dans les ensembles r-cosimpliciaux. Pour r petit, on le notera souvent plut6t I" ..... (r points). On dispose d'une co-augmentation l'(X., F') --> P'(X., F'). Les foncteurs cohomologie ~ valeur dans unfaisceau abgien F sont les d~rivds du foncteur << section globale >> P. Ils peuvent se calculer par un proc~dd parall~le ~ (5.2.3) : (6.4.2.i) RP=sRP" : D+(X.)-+D+((Ab)). Un faisceau F sur un espace topologique r-simplicial X. induit un faisceau ~F sur l'espace simplicial diagonal 3X. I1 r~sulte du th~or~me de Cartier-Eilenberg-Zilber que {6.4.2.2 ) RP(X., K) -~ RP(SX., 3K). (6.4.3) Limitons-nous au cas r= 2. Un objet bisimplicial I-augmentS vers un objet simplicial S est un foncteur contravariant de (A +) � (A) dans ~, tel que S. soit le foncteur compos~ (A) ;) (A+)� (A) > Pour d~signer un objet bisimplicial I-augmentS vers S., d'objet bisimplicial sous- jacent X~176 on utilisera une notation du type a: X.. -+ S.. 22 THI~,ORIE DE HODGE, III Pour n>o, a : (X..)-+S. est un objet simplicial augmentE vers S.. Si F est un faisceau sur X.., les (a.(F[X..) sur S.).>0 forment un faisceau sur S.; on dEfinit ainsi un mor- phisme de topos : x s7. On explique dans S.G.A.4, V bisque Ra. sc calcule (~ composantc par composante )) : Ra.K I S . = P.a.(K f X.. ). II en rEsulte que si, pour chaque n, a : (X.)~S. est de descente cohomologique, alors a " X..---> S~ est de descente cohomologique : pour tout complexe de faisceaux abEliens KeD+(S.), on a K ~Ra.a*K. (6.4.4) Dans S.G.A.4, V bis, on montre que pour tout schema simplicial sEpard S., il existe un schema bisimplicial X.. i-augmentd vers S., et i : X. ,-+X.. tels que : a) Les X,,, sont projectifs et lisses; X,,, est le complement d'un diviseur ~t croi- sements normaux D,,,, dans X,,,. On peut supposer D.,, reunion de diviseurs lisses. b) Pour n> o, X., est un hypcrrecouvrement propre de S.. On peut le supposer s-scindE. La construction procEde comme en (6.2), mais la recurrence est plus compliquEe. Les assertions d'unicit6 (6.2.8) restent valables, mutatis rnutandis. 7- COMPL~MENTS AU w x 7.I. CatSgorle dErlv~e filtr~,e. Ce numEro complete le w i, n ~ 4- (7-x. 9 Soit ~' une categoric abdlienne. Posons : FJa/ (resp. F~d)=la categoric dcs objets filtrfs (rcsp. bifiltrEs) de filtration(s) finic(s) de d. K+F,~r (resp. K+F2d)=la categoric des complexes filtrEs (resp. bifiltrEs) bornEs infE- rieurement d'objets de d, ~t homotopic respectant la filtration (resp. les filtrations) pr~s. D+Fz~r (resp. D+F~.~)=la categoric triangulEe dEduite de K+Fz~ r (resp. K+Fz.~ r en inversant les quasi-isomorphismes filtr6s (resp. bifiltrEs) (I.3.6). C'est la catEgorie d~riv~e filtrge (resp. bifiltrge). (7- 9 2) Un quasi-isomorphisme filtrd u : (K, F) -+ (K', F') induit un isomorphisme de suites spectrales u : E:'(K, F) ~ E:~ ', F'). Un objet K de D+Fd dEfinit done 23 PIERRE DELIGNE une suite spectrale E]'(K). De m~me, un objet L de D + F2,~r dEfinit un amoncellement de suites spectrales du type considErd en (I.4.9). (7.1.3) Soit T un foncteur exact ~ gauche de ,~r dans une catEgorie abElienne ,~. On suppose que tout objet de ~ s'injecte dans un objet injectif. Le foncteur T se <~ derive ~> alors en des foncteurs (7.I.3.x) RT : D+(~) -+ D+(~) (pour mEmoire) (7.x.3.2) RT : D+F(~ r -+ D+F(~), (7.x.3.3) RT : D+F2(,~) ~ D+F2(~). Ils se calculent ainsi : si K' cst unc resolution (resp. une resolution ftltrde, resp. unc resolution bifiltrde) T-acyclique de K ((I "4"5), (I .4. I I)), alors RT(K)=T(K'). La suite spectrale d'hypercohomologie (pour T) de KeOb D+F(.~ r est la suite spectrale de R.TKeOb D+F(~) (cf. (I.4.5)). (7.I.4) Nous aurons besoin de rEsultats plus precis pour les foncteurs R,a., a : X.-+ S Etant une augmentation d'un espace topologique simplicial. Le cas S = P~, Ra. = RF nous suffirait. Reprenons les notations de (5. I. I2), et rappelons la formule (5.2.6. I) : Ra, = sRa.,. Pour tout complexe KeOb C+(S.), le simple complexe sK est muni d'une fihra- tion naturelle L (5.1.9.3). Un quasi-isomorphisme u :K'-%K" induit un quasi- isomorphisme ffltrE u : (sK', L) ~ (sK", L). D6s lors, s se factorise par s : D+(S.) ~ D+F(S) et Ra. se factorise par Ra, : D+(X.) -+ D+F(S). La suite spectrale du complexe filtrE (Ra.K, L)eD+F(S) n'est autre quc (5.2.7-i). (7-x.5) Si K est filtr4 (resp. bifiltrE), alors Ra..K est ftltrE (bifiltrE) : on dispose de (7.I.5.I) ea., : D+F(X.) -~ D+F(S.) (7.x.5.2) Ra.. : D+F2(X.) ---~D+F2(S.). (7" x. 6) Soit K un complexe de faisceaux cosimpliciaux sur S, muni d'une filtration croissante W. On appelle filtration diagonale 8(W, L) de Wet L la filtration croissante suivante de sK (7. x. 6. x ) 8(W, L), (sK) = @ W, +p(K p,q) P, q = Es(W.+p(K)) n L'(sK). 24 THI~ORIE DE HODGE, III On a Gr~(W, LI (sK) ~ 0 Gr~W+p(K'~) [--p]. (7.x.6.2) Le foncteur (K, W)~(sK, 3(W, L)) transforme quasi-isomorphismes filtrEs en quasi-isomorphismes filtrEs et dEfinit (7.i.6.3) (s, 3) : (K, W) ~ (sK, 3(W, L)) : D+F(S.) ~ D+F(S) d'ofl par composition avec (7-1.5-i) (7.x.6.4) (RP, 3( , L)) : (K, W) ~-, (KPK, 3(W, L)) : D+F(X.) ~ D+F(S). On tire de (7- 1.6.2) que (7-x. 6.5) Gr~(W'L)(Ra. K) = @ R%.(GrW+,K) [--p]. (7.x.7) Si (K, W, F) est un complexe de faisceaux cosimpliciaux bifiltrd, alors sK est muni des trois filtrations W, F et Let dEfinit divers complexes bifiltrEs. Par exemple, pour W croissante, le foncteur (K, W, F) ~ (K, 3(W, L), F) trans- forme quasi-isomorphisme bifiltrE en quasi-isomorphisme bifiltrE, donc dEfinit (7- x. 7- x) (K, W, F) ~ (K, 3(W, L), F) : D + F2(S.) --* D + Vz(S ). Par composition avec (7.1-5.2), on en dEduit (K, W, F) ~ (RUK, 3(W, L), F) : D+F2(X.) ~ D+Fz(S), (7.x-7.2) ct on a Gr,8(W,L)(KPK, F)= @ R%.(GrW+,K, F)[--p] (7.x.7.3) dans D + F(S). 7.2. Compl~ments au lernme des deux filtrations. Dans ce numEro, nous donnons une nouvelle demonstration du lemme des deux filtrations (I.3. I6) et quelques complements. (7.2.I) Soit (K, F, W) un complexe bifiltr6 borne infErieurement d'objets d'une categoric abElienne ~1. La filtration F est supposEe birEguli&e. On dit que (K, F, W) est F-scindable si le complexe filtrE (K, W) peut se representer comme une somme de complexes filtrEs (K,, W,),~z (K, W)= @ (K,, W,) tl avec F"K= O K,,. n' ~n 4 PIERRE DELIGNE Soit r 0 un entier ~ o, ou + oo. La condition suivante a ~t~ consid6r~e en (i. 3. i6), (i-3. I7) : (7-2.2; r 0) Pour tout entier positif ou nul r < r0, les difffirentielles d r du complexe gradufi Er(K, W) sont strictement compatibles ~t la filtration rficurrente d~finie par F. (7.2.3) I1 est clair que si (K, F, W) est F-scindable, la condition (7.2.2; oo) est v~rififie. Rficiproquement, il semble que lorsque la condition (7-2.2; oo) est v~rifi~e, tout se passe comme si le foncteur Gr F Etait exact. Par exemple, nous montrerons que le Gr F de la suite spectrale E(K, W) s'identifie alors ~t la suite spectrale E(GrFK , W), et que la suite spectrale E(K, F) d~gdn~re (E 1-- E~o). (7.2.4) On d~duit aussit6t de la d6finition (I.3.8) que la premi6re filtration directe de E,(K, W) est la filtration F a de E,(K, W) par les images FaP(E,(K, W))= Im(E,(F'K, W) -+ E,(K, W)). Dualement, la seconde filtration directe (i.3.9) de E,(K, W) est la filtration Fa, de E,(K, W) par les noyaux F~,(E,(K, W))= Ker(E,(K, W) -+ E~(K/FPK, W)). La filtration rdcurrente F,o o de Er(K, W) est intermddiaire entre ces deux filtrations (i-3.13 (iii)). Proposition (7- 2.5). -- Supposons que (K, F, W) vdrifie (7.2.2 ; ro). Alors (i) (F~K/FbK, F, W) vdrifie encore (7.2.2; r0). (ii) Pour r<ro, la suite o --> E~(PK, W) -> E~(K, W) --> Er(K/FPK, W) -> o est exacte; pour r = r o + I, la suite E,(FPK, W) -+ E,(K, W) -+ E,(K/FPK, W) est exacte. En particulier pour r_< r o + I, les deux filtrations directes et la filtration rdcurrente de E,(K, W) cofncident. Fixons un entier p et prouvons par recurrence sur r l'assertion (,), Si r<ro, E,(FPK, W) s'injecte dans E,(K, W); si r<ro+I , son image est F~oo(E,(K, W)). L'assertion (*)o est toujours vraie. Admettons (*)r et prouvons (*),+t. On peut supposer que o < r< r o. On dispose d'un diagramme E,(K, W) ,/r ~ Er(K ' W) d, ~- E,(K, W) J J J E,(F'K, W) ~ Er(F'K , W) ~ Er(FPK, W), 26 THI~ORIE DE HODGE, III 2 7 et l'image des inclusions verticales est F~o0(E,(K , W)). Parce que i est injectif F,P~,(E,+a(K, W))= Im(Ker(F,no~E,(K, W) dz~ E,(K, W)) ~ E,+t(K , W)) = Im(Ker(E,(F'K, W) ~- E,(F'K, W)) ~ E,+I(K, W)) ---Im(Er+x(F'K , W) -+ E,+I(K , W)). Si r<ro, d, est strictement compatible ~t Fr~, d'o/a 4E,(K, W) n E,(FPK, W) = 4E,(FPK, W), et Er+I(FPK, W) s'injecte donc dans Er+t(K, W). Ceci prouve (*),+t. Les assertions (*)r, jointes aux assertions duales, impliquent (ii). I1 rgsulte de (ii) que pour r<r o et a<<.b, E,(FbK, W) s'injecte dans E,(F~ W) et que la diff4rentielle d, de Er(F"K, W) est strictement compatible a la premihre filtration directe de Er(FaK, W). On en d4duit par r4currence sur r<r o que la premiare filtration directe de E,(FaK, W) coincide avec la filtration rdcurrente, et (i) en rdsulte. (7.2.6) Si la condition (7.2.2; ro) est v~rifi~e, et que r<ro+ I, on ddsignera par F la filtration F a = Fa. = F,~, de E,(K, W). Les suites exactes (7.2.5) (ii) o ~ E,(K/FPK, W) < E,(K/F p ~'K, W) o //~,(K, W~ /jj~ E, IGr~ K, W~N,N o ~ E,(FP~'K, W) > E,(F~K, W) o dgfinissent pour r<r o un isomorphisme (autodual) compatible aux diff4rentielles dr (7.2.6.1) Gr~(Er(K , W)) -~ E,(Gr~K, W) (r<_ro). (7.2.7) Si la condition (7.2.2; oo) est v4rifi4e, les suites o -~ Er(FPK, W) --. E,(K, W) -. E,(K/FPK, W) --. o sont exactes pour tout r. Si la filtration West birdgulihre, la suite o --~ E~o(FPK, W) --* E=(K, W) + E~o(K/FPK, W) --> o est done exacte. On peut r46crire cette suite o -§ Grw(H(F'K)) -+ Grw(U(K)) -~ Grw(H(K/F'K)) -+ o. Lemme (7.2.7- 9 ).- Soit L un complexe muni d'une .filtration birgguli&e G. Pour que Gra(L ) soit acyclique, il faut et il suffit que L soit acyclique et que les diffdrentielles de L soient strictement compatibles g~ la filtration G. C'est un cas particulier de (I.3.2). 27 28 PIERRE DELIGNE Appliquons ce lemme, en prenant pour Lle complexe o ~ H(F'K) ~ H(K) -+ H(K/FVK) § o. On trouve que : a) cette suite est exacte, i.e. lcs diffdrentiellcs de K sont strictcment compatiblcs ~t la filtration F; b) la filtration de H(FPK), ddduitc de la filtration W de F~K, coincide avecla filtration induitc par la filtration W dc H(K); c) un dnonc6 analogue vaut pour K/FPK. En conclusion : Proposition (7.2.8). -- Si (K, F, W) vgrifie (7.2.2; ~), la suite spectrale E(K, F) dgggntre (E I = Er On a de plus un isomorphisme de suites spectrales Gr~,(E.(K, W)) _ E.(Gr~K, W). 8. TH~ORIE DE HODGE DES ESPACES ALG~.,BRIQUES 8. X. Complexes de Hodge. (8. x. x ) Soit A comme en (III. o. 3)- Un A-complexe de Hodge K de poids n consiste en : 0c) un complexe KAeObD+(A), tel que Hk(KA) soit un A-module de type fini pour tout k; ~) une filtration F sur KA| , i.e. un complexe filtr6 (Ka, F)eObD+F(C), et un isomorphisme ~ : Ko_~ KA| dans D+(C). Les axiomes suivants doivent 6tre vfrifi6s : (GH I) la diff6rentielle d de K0 est strictement compatible h la filtration F; en d'autres termes, la suite spectrale d6finie par (Ko, F) d6g6n6re en E 1 (El= E~) (r.3.2); (GH2) pour tout k, la filtration F sur Hk(Kc)_~Hk(KA)| d6finit une A-structure de Hodge de poids n+k sur Hk(KA) : la filtration F est (n+k)-oppos6e ~t sa complexe conjugu6e (cela a un sens car AcR). (8. x .2) Soit X un espace topologique. Un A-complexe de Hodge cohomologique de poids n sur X, K, consistc en : ~) un complexe KA~ObD+(X, A), ~) un complexe filtr6 (Kc, F)~ObD+F(X, C), y) un isomorphisme ~ : Kc~ KAQC dans D+(X, C). L'axiome suivant doit 6tre v6rifi6 : (GHG) Le triplet (RF(Ka), RF((Ko, F)), RF(,)) est un complexe de Hodge de poids n. 28 THI~ORIE DE HODGE, III ~9 Lorsque A = Z, on parlera simplement de complexe de Hodge et de complexe de Hodge cohomologique. L'Enonc~ suivant reformule une partie de la thEorie de Hodge classique (ef. (2.2. i)). &holie (8. x. 3). -- Soit X une varigtd kiihldrienne compacte. Soient K z le complexe Z[o] rdduit au faisceau constant Z, K c le complexe de De Rham holomorphe ~ et F sa filtration bgte. On dispose de ~ : KzNC~_C[o] %~)x (lemme de Poincard), et (Kz, (Kc, F), 0c) est un complexe de Hodge cohomologique de poids o. Remarque (8. 9 -- Si K est un complexe de Hodge (resp. de Hodge cohomo- logique) de poids n, alors K[m] est un complexe de Hodge (resp. de Hodge cohomo- logique) de poids n + m. (8. 9 .5) Un A-complexe de Hodge mixte K consiste en : ~) un complexe KAeObD+(A) tel que Hk(KA) soit un A-module de type fini pour tout k; 9) un eomplexe filtr4 (KA| W)~ObD+F(A| (W filtration croissante) et un iso- morphisme KA|174 Q dans D+(A| y) un eomplexe bifiltr6 (Kc, W, F)eOb D+F2(C) (W filtration croissante et F filtration dgcroissante) et un isomorphisme ~ : (Kc, W)=(KA| W)| dans D+F(C). L'axiome suivant doit &tre v~rifi6 : (CHM) Pour tout n, le syst~me form~ du complexe GrW(KA| D+(ANQ), du complexe GrW(Kc)eObD+F(C) filtr~ par F et de l'isomorphisme GrW(=) : GrW(KA| | OrW(K0), est un A| de Hodge de poids n. (8, I, 6) Un A-complexe de Hodge mixte cohomologique K sur un espace topologique X consiste en : 0~) un complexe KAsObD+(X, A), tel que les H~(X, KA) soient des A-modules de type fini, et que H'(X, KA)| H'(X, KA| ; 9) un complexe filtr6 (KA| W)eObDF+(X, A| (W une filtration croissante) et un isomorphisme KA| KA| Q dans D+(X, A| y) un complexe bifiltrfi (K0, W, F)eObD+F~(X, C) (W une filtration croissante et F une filtration dgcroissante) et un isomorphisme ~ : (Ke, W) ~ _ (KA| W)| dans D+ F(X, C). L'axiome suivant doit ~tre vfirifi6 : (CH1VIC) Pour tout n, le syst~me form6 du complexe GrW(KA| D+(X, AQC), du complexe GrW(Kc)eObD+F(X, C) filtr6 par F et de l'isomorphisme GrW(a) : OrW(K=)~ GrW(KA|174 est un AQQ-complexe de Hodge cohomologique de poids n. 29 PIERRE DELIGNE 3o On v~rifie trivialement : Proposition (8.x.7). -- Si K=(KA, (KA| W), (Kc, W, F)) est un A-complexe de Hodge mixte cohomologique, alors RFK----(RI'KA, RI'(KA| W), RI'(K c, W, F)) est un A-complexe de Hodge mixte. Scholie (8. x .8). -- Soient U le compllment, dans un schdma propre et lisse X, d'un diviseur gl croisements normaux D, et j : U~--~X le morphisme d'inclusion. Soit W la filtration canonique de Rj.Q--Rj.Z| W,(Rj.Q)=-=_<,(Rj.Q). On a (3.~.8) (Rj.Q)| ~- Rj.C ~.j.~2[. ~- f~(log D). Soient W la filtration par le poids de ~)x(logD) et F sa filtration de Hodge (par les ,>p). Alors, (3.:.8) .fournit clans D+F(X,C)un isomorphisme (Rj, Q,W)| W) et, d'aprOs (3-:.5) et (3-1"9) (Rj.Z, (Rj.Q, W), ([2x(log D), W, F)) est un complexe de Hodge mixte cohomologique sur X. Le rdsultat suivant est une version <~ abstraite >> du num~ro (3.2). Scholie (8. x. 9). -- Soit K un A-complexe de Hodge mixte. (i) Sur les termes wE~ q de la suite spectrale de (Kc, W), la filtration rdcurrente et les deux .filtrations directes, ddfinies par F coincident. (ii) La filtration W[n] (:.:.2) de H"(KA|174 Q et la filtration F de H"(Kc)~H"(KA)QAC ddfinissent sur H"(KA) une A-structure de Hodge mixte ((2.3.I) amplifid par (III .o.4) ). (iii) Les morphismes wd: : w~t~m-+w~lrP+t'q sont compatibles ~ la bigraduation de Hod~e; en particulier, ils sont strictement compatibles glla filtration de Hodge. (iv) La suite spectrale de (KA| W) dgggnkre en Ee :wE2:wE~o. (v) La suite spectrale de (K0, F) dgggnkre en E 1 :rE1 = vE~. (vi) La suite spectrate du complexe Gr~(Kc), muni de la .filtration induite par W, dLggn~re e?z E 2 . La dfimonstration de (i), (ii), (iii), (iv) est parallele U eelle de (3.2.5). L'analogue des lemmes (3.2.6) et (3.2.7) a ete pris pour axiome (CH i et CH 2). Les d6mons- trations de (3.2.8), (3.2.9) et (3.2.1o) se transposent alors telles quelles, et comme en (3.2.1o), on en d6duit (i), (ii), (iii), (iv). Les assertions (v), (vi) r6sultent alors de (7.2.8). (8. X. ao) Nous abr~gerons <~ diff6rentiel gradu~ >> en DG et <~ difffirentiel gradud degrds bornds inf~rieurement >> en DG +. Un complexe de A-modules DG peut ~tre vu comme un double complexe de A-modules; le premier degr6 est celui du complexe, le second est celui ddfini par la graduation des modules DG. On d6signe par D+ ((A-mod DG)+) 30 THI~ORIE DE HODGE, III la cat6gorie ddrivde de la cat6gorie des complexes born6s inf~rieurement de A-modules DG, degr6s uniformfiment bornds infdrieurement. Un A-complexe de Hodge K mixte DG consiste en : a) un complexe KAeOb D+((A-mod DG) +) ; b) un complexe filtr6 (KA| W)eObD+F((A| et un isomorphisme KA|174 Q dans D+; c) un complexe bifiltr6 (Kc, F, W)eObD+F2((C-modDG)+), et un isomorphisme KA|174 c dans D+F. On exige que, pour chaque n, la composante (K'", F, W) de second degrd n de K soit un A-complexe de Hodge mixte. On ddsigne par L la filtration par le second degrd de sK. On ddsigne par Dec 1W la filtration de KA| Q ddduite par d6calage (t.3.3) de W. On ne confondra pas la filtration qu'elle induit sur sKa| Q (encore not6e DeclW ) avec la filtration d6cal6e de la filtration induite sur sKA| Q par W. Variante (8. x. xo. x ). -- On d6finit de m~me les A-complexes de Hodge mixtes cosim- pliciaux (resp. r-cosimpliciaux) en rempla~ant partout DG par cosimplicial (resp. r-cosim- plicial). Le foncteur (A-module cosimplicial)-+ (A-module DG) transforme A-complexes de Hodge mixtes cosimpliciaux en A-complexes de Hodge mixtes DG. De m~me pour r-cosimplicial. (8. x. xx) Soit X. un espace topologique simplicial. Un A-complexe de Hodge mixte cohomologique K sur X. consiste en : ~) un complexe KaeOb D + (X., A) ; ~) un complexe filtr6 (KA| W) eOb D+F(X., A| et un isomorphisme Kx|174 dans D+(X., A| 2") un complexe bifiltrd (Ke, W, F)~ObD+F2(X., C), et un isomorphisme (Kc, W)~ (KA| W)| dans D +F(X., C). L'axiome suivant doit ~tre v6rifis : (CHM.) La restriction de K ~t chacun des X n est un A-complexe de Hodge mixte cohomologique. Pour A =Z, on parlera simplement de complexe de Hodge mixte cohomologique. Exemple (8. x. x2).- Soit X. un schdma simplicial propre et lisse (sur C) et soit Y. un diviseur ~t croisements normaux dans X.. On pose U. = X,--Y. et on ddsigne parj l'inclusion de U. dans X.. Les constructions (8. I. 8) peuvent atre effectu6es << unifor- 31 3 2 PIERRE DELIGNE m~ment en X, >) eomme (5.2.5) et (6.2.7) le montrent. Elles fournissent done un complexe de Hodge mixte cohomologique (P,.j. Z, (Rj.Q, z_<), (~)x.(log Y.), W, r)) sur X.. (8.*. x3) Soit K un A-complexe de Hodge mixte cohomologique sur X.. Appli- quons ~t K le foncteur RF'. On obtient a) un complexe cosimplicial RP" K aeOb D + ((A-modules cosimpliciaux)) ; b) un complexe filtrd cosimplicial RF'(KA| W)eObD+F((A| cosim- pliciaux)) ; c) un eomplexe bifiltr6 eosimplicial P,P'(Kc, W, F)cOb D + F2((C-vectoriels cosimplieiaux)) ; d) des isomorphismes (8. i. io.b), c)) entre ees objets. I1 est clair que RF'(K, W, F) d4crit ci-dessus est un A-complexe de Hodge mixte cosimplicial. I1 ddfinit un A-complexe de Hodge mixte DG (8. i. xo. i). (8.,.,4) Soit K un A-complexe de Hodge mixte DG et eonsiddrons la suite speetrale d'aboutissement la cohomologie de sK qui est d6finie par la fltration L. Par hypoth~se, les termes E 1 de eette suite spectrale sont munis de A-structures de Hodge mixtes. Le contenu du th6or~me ei-dessous est que toute la suite spectrale, y eompris son aboutissement, est munie d'une A-structure de Hodge mixte. En d'autres termes, c' est une suite spectrale dans la catdgorie abdlienne des A-structures de Hodge mixtes. La structure sur l'aboutissement correspond /~ une ~ structure , de A-complexe de Hodge mixte naturelle sur sK. Thgor~me (8. x. ,5). -- Soit K un A-complexe de Hodge mixte DG. (i) Avec les notations de (8. i. io), (8. I.xo. i) et (7.1.6), (sK, 8(W, L), F) est un A-complexe de Hodge mixte. (ii) On a (8.I.I5.I) 8(w,L)E~(sK| Z H'(Gr~VK"V); b=~+~ le complexe (~(W,L)E[ b, dl) est le complexe simple associ~ au complexe double de A| de Hodge de poids b suivant Hb-(~ + 1)(Gr~V+ x K" ~ + 1) o , Hb_ ~(Gr~V K., v+l) o , Hb-(~-l)(Gr~V_lK ",~+t) d" ] (8.x.,5.2) d,' H b- ~(Gr~V K., v) , Hb-I~-')(Gr~V_lK ",~) 32 TH~OmE DE HODGE, nI 3a (iii) Sur les termes E, de la suite spectrale d~finie par (sKA| L), la filtration r~currente et les deux filtrations directes ddfinies par DecI(W ) cofncident; de mgme, sur les LEr(sKc), la filtration re'currente et les deux filtrations directes induites par F cofncident. On notera ces filtra- tions Wet F. (iv) Pour r>x, (LEt, W, F) est une A-structure de Hodge mixte (III.o.4). Les diffi- rentielles d r sont des morphismes de A-structures de Hodge mixtes. (v) La .filtration L de H'(sK) est une filtration dans la catdgorie des structures de Hodge mixtes, et (8. x. x 5. 3) Gr~(H' + q(sK), 8(W, L) [p + q], F) = (LET, W, F). Remarque (8.I.16). -- Dans (8.I.15) , la filtration Deq(W) (8.I.IO) joue un plus grand r61e que W. On a (8. I. I6.I ) Dec(S(W, L)) = Dect(W) sur sK, et (8. I. I5.3) se r6&rit (8. x. 16.2) GrL(H(K), DeqW, F)= (LE,, W, F). Dans le mfime esprit, notons que, avec les notations de (8. i .8) Rr(Rj.Z, (Rj.Q, Dec W), (f~k(log D), Dec W, V)) ne d6pend que de U et non de la compactification choisie X. (8. x. I7) Prouvons (8. I. I5). Les assertions (i) et (ii) r&ultent de ce que Or~CW, L)(sK| E GrWGr[(sK| 5] (GrW K" q) [_ q] p--q=n p--q=n (cet isomorphisme est compatible ~ F, et on applique (8.1.4)). La vdrification de (8. i. 15.2 ) est laissde au lecteur. Soient les assertions : (a,) Les morphismes d r de LEr(sKA~Q) sont strictement compatibles ~ la filtration r&urrente ddfinie par Deq(W). (br) Les morphismes dr de LEr(sK=) sont strictement compatibles ~ la fltration r&urrente d~finie par F. (c,) LE~, muni des filtrations considdr&s en (at), (br), est une A-structure de Hodge mixte. (dr) Les dr sont des morphismes de A-structures de Hodge rnixtes. Nous prouverons (at) (r~o), (b,) (r>o), (cr) (r>I), (dr) (r>x) par une r&urrence simultande. A) Preuvede (ao) : ona p. ,p (T.E 0 (sKA| , DectW ) =(KA| Dec W). D'apr~s (8.1.9) (iv), la suite spectrale de (K~%Q, W) ddgdn~re en E2. D'apr& (i-3.4), la suite spectrale de (K~Q, Dec W) d6g~n~re en Et, et ceci prouve (a0) (I .3.2). 5 PIERRE DELIGNE B) Preuve de (b0) : on a (LEg" (sKc) , F) = (K~, F). On applique (8.1.9) (v) et (I.3.2). C) Preuve de (Cl) : il faut montrer que H"(K]~P), muni des filtrations induites par DecW sur H=(K~V~Q)=H"(K~V)| et F sur H"(K~P)=H"(K~)| est une A-structure de Hodge mixte. Dec W induit sur H"(Kk%q) la m4me filtration que W[n], et on conclut par (8. I. 9) (ii). I3) Preuve de (c,)-i-(d~) => (a,)-i-(b,)-i-(c,+x) : c'est Ic point clef de ia d4monstration, et une simple application de (2.3.5) (amplifid par (III.o.4)). E) Preuve de (a~),~_,,_2-b(b,)~,_2§ =~ (dr.) : D'apr6s (I.3. I6), la filtration r4currente et les filtrations directes induites par DeqW (resp. F) sur L E, coincident pour r~ro, et on applique (i. 3.13) (i). Ceci termine la d4monstration par r4currence de (a), (b), (c), (at). L'assertion (iii) a ~t~ prouvGe dans la partie E dc Ia rdcurrencc et tes assertions de (iv) sont (c~) et (dr). On prouvera (8. i. 15.3) sous la tbrme (8.1.16.2). GrL(H(sK~ | DeqW) -= (LE~(sKA| W) r~sulte de (a~) et ([.3. ~7). Q]m Gr~(H(sKc), F) = (LE~(sKr F) r6sulte de (b,) et (i .3. I7). On conclut par le lemme suivant, dont la v6rification est laissde au lecteur " Lemme (8. ~. xS). -- Soit H = (H,t, W, F) ur~ A-structure de Hodge mixte. Pour qu'une filtration L de H A provienne d'une filtration de H, clans la catggorie abilienne des A-structures de Hodge mixtes, il faut et il suffit que pour tout n, (Gr~,(HA) , Gr~.(W), Gr~(F)) soit une A-structure de Hodge mixte. (8.x.x9) Appliquons (8. I. 13) et (8.1. :5) ~ I'cxemple (8.1. I2). On obtient un complexe de Hodge mixte consistant en a), b), c) ci-dessous. a) Le complexe RFRj.Z~RI'(U., Z), ayant pour groupes de cohomologie les H"(U., Z). b) La filtration ~(W, L) dc RFj.Q-~ RI'(U., Q). Avec les notations de (3. :.4), on a. GrSCW' L)RI"(U., Q) ~ @ GrW~mR['(U,,, Q) I--m] (7.1.6.5) m _- "~ l'l -I.- ??l tl -}-~l ~ @ RI'(Y,, ,~, [--n--m])[-.m] | Rr(9. "+m, r [- n - 34 TH~ORIE DE HODGE, III Le terme E~ de la suite spectrale correspondante est somme de groupes du type H'(~/;,,~); ee dernier contribue au H'+q+*(U.); il correspond au Gr~ (w'FI pour p+2r=(p+q+r)+a : (8.I.I9.Z) ~(W,L)E[-a'b= @ H'(Y~, ~) ~ H-~+b(U. Q). p + 2r = b q--r~ --a c) La bifiltration (8(W, L), F) de RFRj.C_~ sRl"f~x(log D). La filtration F munit ~(w, L)E1 -"' b d'une structure de Hodge de poids b, et les diffdren- tielles d 1 de s(w, L/E sont des morphismes de Q-structures de Hodge. Le complexe 81w, LIE~b est le complexe simple associ6 au complexe double suivant, de composantes des structures de Hodge de poids b : > x" k~q+l, ~l)(-r) ~ Hb-2(r-2)(?;~l, ~t-1)(-r'-~I) ~ \~q+l ~ Oysin ~(- 1) i 8i ~:(- 11' *i I' Les indices des composantes dans E~ b vdrifient --a-= q--r. En particulier, les Hn(U,, Z) se trouvent munis de structures de Hodge mixtes (8.1.9). Proposition (8. 1.2o). -- Sous les hypothkses pr/c/dentes : (i) La structure de godge mixte de H"(U., Z) est fonctorielle en le couple (U., X.). (ii) En cohomologie rationnelle, la suite spectrale (8. I. 1 9. i) d/gdnkre en E 2 (E 2 = E~) et aboutit g~ la filtration par le poids de Hn(U., Q). La structure de Hodge de E2 induite par ceUe de E 1 est aussi ceUe de GrwH"(U., Q). (iii) Les hombres de Hodge de H"(U., Z) ve'r~ent h'q4-o =*, o~p~n et o~q~n. (iv) Pour Y. =0, les nombres de Hodge de H"(X., Z) v/r~ent h,,,o :,- o<p<n, o<_q<_n et p+q<_n. (i) et (ii) r6sultent de la thdorie gfindrale (8. I. 9). Pour prouver (iii), on contemple (8. i. 1 9.2), et on remarque que les structures de Hodge Hr(Y~, ~a) (-- r) (p + q + r = n) vfirifient (iii). Pour prouver (iv), on remarque que les structures de Hodge HP(Xq) (p + q = n) v~rifient (iv). (8. 9 .2I) On ddfinit un A-complexe de Hodge mixte cohomologique sur un espace topo- logique r-simplicial en transposant (8. I. 1 I). Si K est un tel complexe, on voit comme en (8. I. 13) que ILP'K est un A-complexe de Hodge mixte r-cosimplicial (8. i. io. i). 35 PIERRE DEL1GNE Soit X. un schema propre et lisse r-simplicial. Un diviseur ~ croisements nor- maux D. dans X est un syst~me de diviseurs ~ croisements normaux dans les X, tel que X. --D. =U. soit un sous-sch~ma r-simplicial de X.. Soit j : U.,-+X.. On d~finit comme en (8. I. I2) un complexe de Hodge mixte cohomologique Rj.Z sur X.. On pourrait comme en (8.1.2o) en d~duire une structure de Hodge mixte sur H'(U., Z), mais, puisque H'(u', z)= z), ceci ne nous apprendrait rien de neuf (l'~galitd pr6c6dente serait une identitfi entre structures de Hodge mixtes). (8. x.22) Faisons r=:2. Pour tout complexe bicosimplicial K= (K ""'"') (p=degr~ diff6.rcntiel, ni=i-~me degr6 simplicial) born6 inf~rieurement, on d&ignera par slK le complexe cosimplicial de degrd simplicial n2, donnfi par ("1K)'"' = "*K" ""' On d~signera par L 1 la filtration de stK qui, sur chaque sK .... induit la filtration par le degrfi simplicial n 1. Soit K un A-complexe de Hodge mixte bicosimplicial. II r&ulte de (8. i. 15) que (slK , 3(W, L1), F) est un complexe de Hodge mixte cosimplicial. Soit L~ la filtration de sK=s`*lK par le degrd simplicial n 2. D'apr~s (8. i. 14) , (8. I. 15) , la suite spectrale d~finie par L2 provient d'une suite spectrale dans ia cat~gorie ab~lienne des A-structures de Hodge mixtes (~.I.'~2.I) L,E1 pq=Hq(SK "~ :>" }{P +q('*K), Dans cette suite spectrale, la A-structure de Hodge mixte sur F~q est la A-structure de Hodge mixte ((8.I.9) (ii)) de la cohornologie du A-complexe de Hodge mixte ('*K "'v, ~(W, L1), F). La A-structure de Hodge mixte de l'aboutissement est la A-structure de Hodge mixte de la cohomologie du A-complexe de Hodge mixte ('*K, 8(~(W, L~), L~), F). La filtration ~(3(W, L,), L~) ~ 3(W, L~, L2) est donn& par 3(W, LI, L2)k (KV"'"') =Wk+,,+, K r'''"'. (8.x.23) En particulier, un A-complexe de Hodge mixte cohomologique sur un espace topologiquc bisimplicial X.. ddfinit une suite spectrale de A-structures de Hodge mixtes (s.,. 23. 9 - Hq(X.p, K) H, K). Dans le cas particulier consid&~ en (8. I. 2 I), pour r = 2, on a A = Z et (8. i. 23. t) s'&rit (8. 9 .23.2) E~ q = Hq(U.~, Z) * HP+q(U.., Z). 36 THI~ORIE DE HODGE, III (8, I.~) Si K' et K" sont deux A-complexes de Hodge mixtes, leur produit tensoriel K'| ddfini par l. (K'@K"), = K~ | K]', ((K'@K")A| , W)=(K;~| W')| (K~'| W"), ((K'@K")c, W, F)=(K~, W', F')| (K~', W", F"), est encore un A-complexe de Hodge mixte. Soit U' (resp. U") le compl4ment d'un diviseur a croisements normaux Y' (resp. Y") dans un sch4ma propre et lisse X' (resp. X"). Alors, U= U'� U" est le compl~ment d'un diviseur k croisements normaux Y dans X=X'x X". Soitj (resp.j',j") l'inclusion de U (resp. U', U") dans X (resp. X', X"). On dispose d'un quasi-isomorphisme L L Rj'Z [] Rj"Z ~ pr~Rj: ZN pr~Rj,"Z --% Rj, Z, d'un quasi-isomorphisme filtr~ (P.j: o., .~)a (Rj:' o.., .~)-~ (P.j.o, .~), et d'un morphisme bifiltr6 (f~k,(log Y'), W, F) [] (f2k,,(log Y"), W, F) -~ (ak(log Y), W, F). Appliquons le foncteur R.F; d'apr~s la formule de Kfinneth, et d'apr& son analogue en cohomologie des faisceaux analytiques coh6rents, on obtient un isomorphisme de complexes de Hodge mixtes Rr(U', Z)| Z) -~ RP(U, Z), d'ofl un isomorphisme de Q-structures de Hodge mixtes H'(U', Q,) | Q) -% H'(U, Q). (8.x.25) Des arguments standards, basds sur le thfior~me de Cartier-Eilenberg- Zilber, fournissent la variante simpliciale suivante de (8.1.24). Soit U; (resp. U~') le compl~ment d'un diviseur /t croisements normaux dans un schdma simplicial propre et lisse X'. (resp. X'.'). Soit U. =U'. � U'.' et X. = X'. � X". On a un isomorphisme de complexes de Hodge mixtes I. Rr(U:, z)| z) ~ v,.r(w., z), et en particulier un isomorphisme de O-structures de Hodge mixtes H'(U:, Q,)| Q) ~ H'(U., 0). (8.I.26) Soit U~. (resp. U2;) le compl6ment d'un diviseur ~t croisements normaux dans un sch6ma bisimplicial propre et lisse X'.. (resp. X;'.). Soient U.. =U'..� et 37 PIERRE DELIGNE X.. = X'.. � Des raisonnements standards montrent que, en cohomologie ration- nelle, la suite spectrale (8.1.23.2), pour U.., est produit tensoriel des suites spec- trales (8.1.23 . 2) pour U2. et U~. 8.2. Espaces alg~briques s6par6s. (8.1l. I) Soit X un schema (ou un espace algdbrique) de type fini sur C, suppose sdpard. II existe alors un diagramme Y.~ ~Y. (8.2.x.I) dans lequel Y. est le complement d'un diviseur ~ croisements normaux dans un schema_ simplicial propre et lisse Y., et est un hyperrecouvrement propre de X. On a (5.3.5 (II)) (8.2.z.2) H'(X) ~ H'(Y.). En (8. i. 19) , on a muni H'(Y.) d'une structure de Hodge mixte. Soit ,;g~(a) la structure de Hodge mixte sur H'(X) qui s'en dEduit par (8.2.1.2). Proposition (8.2.2). -- Avec les notations prgc/dentes, la structure de Hodge mixte o,~(~) sur H'(X) est ind/pendante du choix de o~. On l' appelle la structure de Hodge mixte de H'(X, Z). Pour tout morphisme de sch/mas f: XI-+X2, f" :H'(X2)-+H'(Xj) est un morphisme de structures de IIodge mixtes. La demonstration utilise (6.2.8), et est parall~le h celle de (3.2. II C)) (cf. aussi (8.3.3)). Remarque (8.2.3). -- Pour X lisse, on vErifie en prenant pour Y. un schema_ simplicial constant que la structure de Hodge mixte (8.2.2) coincide avec ceIle dEfinie en (3.2. x2). Th/or~me (8.2.4). -- Les couples (p, q) tels que le nombre de Hodge h pq de H"(X) soit non nul v/rifient les conditions suivantes (i) (p, q) e[% n] � [o, n]. (ii) Si dim X--N, et que n> N, alors (p, q) ~ In -- N, N-] � In -- N, N]. (iii) Si X est propre, alors p+q<n. (iv) Si X est lisse, alors p + q> n. La mgme conclusion vaut pour X une << rational homology manifold >> /quidimensionneUe de dimension N, i.e. si pour tout xeX, H},I(X, Q)= si i~2N, =Q si i-2N. 38 THI~ORIE DE HODGE, III q~ ~p ~--p N n n>N n<N L'assertion (ii) sera prouvde en (8.3.1o). L'assertion (i) rdsulte de (8.1.2o (iii)). Pour X propre, on peut trouver un diagramme (8.2. i. i) dans lequel Y. =Y. et (iii) rdsulte de (8. I. 20 (iv)). Pour X lisse, (iv) rdsulte de (8.2.3) et (3-2. I5). Le cas g~ndral en r~sulte : si p : ,~ ~ X est une rdsolution des singularit6s de X, p* : H" (X, Q) -~- H'(X, Q) est injeetif, ear le transpos~ par dualitfi de Poincar6 p, de p* : H;(X, Q)-~H;(X, Q) enest une rdtraction. Proposition (8.2.5)- -- Supposons X propre. Si u : Y -+ X est un morphisme propre surjectif, avec Y lisse, alors le quotient de poids n de H"(X, Q,) est l~ma~e de H"(X, Q,) dans H"(Y, Q). La suite {8.2.5.x ) H"(X,Q) > H"(Y,Q) Pr[--pr~ H"(Y� est exacte. SoitY. eomme en (8.2.1.I), avee Y0--Y et Y.---Y.. D'apr~s ((8.I.2O (ii))), on a une suite exacte ~0 (8.2.5.2) o --+ H"(X, Q.)/W"-IH"(X, Q.) --+ H"(Yo, Q.) ~ H"(Y1, Q.) qui implique (8.2.5) (rdciproquement, cette suite exacte se d6duit ais~ment de (8.2.5) et (8.2.7) ci-dessous). Proposition (8.2.6). -- Soient des morphismes de scMmas 7 Lx&'X. On suppose que Y est propre, que X est lisse et que X est une compactification lisse de X. Alors, H'(X, Q) et H'(X, Q) ont mgme image dans H'(Y, Q). La d6monstration est parall~le ~t celle de (3.2.18). II suffit de prouver que, quels 9 que soient i et n GrW(f ") et Gr~V((jf) ~ ont m~me image dans GrWH"(Y, Q). a) Pour i>n, ees images sont nulles car GrWH"(Y, Q)=o (8.2.4 (iii)). b) Pour i<n, ces images sont nulles car GrWH"(X, Q)=o (8.2.4 (iv)). c) Pour i=n, ces images sont dgales ear GrW(j ") est surjectif (3-2-17). 89 PIERRE DEI. IGNE 4 ~ Proposition (8.2.7). -- Soient des morphismes de scMmas -+X ~Y. On suppose que Y est lisse, que X est propre, que X est propre et lisse et que ~ est surjectif. Alors, les noyaux de f* et de (fro) ~ dans H'(Y, Q) sont ggaux. Prouvons que Ker GrW(f ") = Ker(GrW((fn)*)) dans GrW(H"(Y, Q)). a) Pour i<n, ces noyaux sont nuls car GrWH"(Y, Q)=o ((8.2. 4 (iv))). b) Pour i>n, ces noyaux sont tout GrW(H"(Y,Q)) car GrWH"(X,Q)--o ((8.2.4 (iii))). c) Pour i=n, ces noyaux sont 6gaux car GrW(~ *) est injectif (8.2.5.2). CoroUaire (8.2.8). -- Soient des morphhmes de scMmas ~Xt~y. On suppose que Y est propre et lisse, que X est un sous-scMma fermg de Yet que X est une rgsolution des singularitgs de X. Soient q=fn et U=Y--X. Alors, la suite ..~ ql (8.2.8.,) H'(X, Q) -~ H'(Y, Q) -+ H'(U, Q) est exacte. D'apr~s (8.2.7), on a Ker(f* : H'(Y, Q) ~ H'(X, Q))= Ker(q* : H'(Y, Q) ~ H'(X, Q)). La suite exacte longue de cohomologie du couple (Y, X) fournit done une suite exacte (8.2.8.2) H:(U, Q) -+ H'(Y, Q) --+ H'(X, Q), et (8.2.8. I) est la suite transposde de (8.2.8.2) par dualitd de Poincard. Remarque (8.2.9). -- Le corollaire (8.2.8) est utilisd sous des hypotheses plu~ gdn~rales dans ([8], (9.7), P. I6I). Comme l'a fait remarquer Lieberman, la justificati n donnde dans loc. cit. est insuffisante. On ddduit de (8.1.25) que Proposition (8.2. I o). -- Les isomorphismes de Kiinneth H'(X � Q)___ H'(X, Q)| Q) sont des isomorphismes de structures de Hodge mixtes. Corollaire (8.2. xx ). -- Le cup-produit H'(X)| --+ H'(X) est un morphisme de structures de Hodge mixtes. R6sulte de (8.2. io) et de (8.2.2) appliqufi h l'application diagonale A : X-+X � X. 40 THI~ORIE DE I-IODGE, III 4x 8. 3. Th6orie de Hodge des schemas simpliciaux. (8.3. 9 Pour X" un schema (ou espace algEbrique) simplicial s~parE, nous aurons /~ considErer des diagrammes de schemas simpliciaux r 9 z5 (8.3.,.x) X. v~rifiant : a) jest une immersion ouverte d'image dense; Z. est propre. b) Les morphismes dvidents Z,-~-(cosqX'_lsq,_lZ.), sont propres et surjectifs. Pour Z. r6duit, on peut regarder j comme un objet simplicial de la categoric ~' des couples (Y, Y) formEs d'un schdma propre rEduit Y et d'un ouvert (de Zariski) dense Y de Y. La categoric c~ vdrifie (6.2.4- I), ce qui permet de lui appliquer l'analogue de (6.2.4). Proposition (8.3.2). -- (i) Pour tout scMma simplicial sgpar~ X., il existe un dia- gramme (8.3. I. I ) vgrifiant a), b) et tel que Z. soit propre et lisse et Z. le complgment cl'un diviseur ~t croisements normaux. (ii) Soit F : X. 1 ~ X. 2 un morphisme de schgmas simpliciaux sgpards. Soient (X,, Z.i, Z.i)~=l, 2 deux diagrammes (8. 3 . i. i) vdrifiant a) et b). Il existe alors (X.1, Z., Z.) comme en (i) et un diagramme commutatif X.~ ~-X. 2 La d6monstration, analogue en plus compliqu6 ~ (6.2.5), est laissdc au Iecteur. (8.3.3) Soit un diagramme (8. 3. i. I) comme en (8.3.2 (i)). D'apr6s (5.3.5 (V)), l'application H'(X., Z)-+ H'(Z., Z) est un isomorphisme. En (8. i. 19) et (8. I .2o), nous avons muni H'(Z., Z) d'une structure de Hodge mixte, &off une structure de 4t 6 PIERRE DELIGNE 4~ Hodge mixte sur H'(X., Z). Elte est ind~pendante du choix du diagramme (8. 3. I. I) : d'apr6s (8.3.2 (ii)) pour f=Id, deux systbmes (Z.i, Z.i,P~)i=l,~ sont toujours coiffds par un troisi~me (Z~ Z., p), d'ofl un diagramme commutatif d'isomorphismes H'(X., Z) H'(Z.1 , Z) ~ H'(Z., Z) < H'(Z.2 , Z) D~finition (8.3.4). -- La structure de Hodge mixte de H'(X., Z) est celle difinie plus haut. II rfisulte de (8.3.2) (ii) que cette structure de Hodge mixte est fonctorielle en X.. Proposition (8.3-5). -- Soit X. un schdma simpIicial s~parg. La suite spectrale E~ v' = H~(Xv, Z) ~ H' '~ q(X., Z) est une suite spectrale de structures de Hodge mixtes. Pour un diagramme comrnc en (8.3. I), les applications Pn : Zn--> X, sont propres et surjectives. On peut alors appliquer (6.2.4) A la cat6gorie des objets simpliciaux de la cat~gorie W (8.3. i) pour obtenir comme en (6.2.5) le lemme suivant : Lemme (8.3.6). -- Soit X. un schgma simplicial sgparg. Il existe un schgma bisimplicial Z.. augmentd vers X. : ~n,m " Zn, m----> Xn et i : Z.. ~ Z.. tels que : a) Z.. est un schgma bisimplicial propre et lisse, et Z.. le compldment d'un diviseur gl croisements normaux de Z.. ; b) pour tout n, le schgma simplicial augmentd Z,.-+X, est un hyperrecouvrement propre de X,. En (8. I .2. I), nous avons muni H'(Z.., Z) d'une structure de Hodge mixte. Si ~Z.. est le schdma simplicial diagonal de Z.., on a un diagramme commutatif de morphismes H'(X., Z) "~- H'(Z.., Z) 42 THI~;OR[E DE HODGE, III 43 dans lequel [~ et y sont des isomorphismes, et ~ et ~ des morphismes de structures de t-Iodge mixtes; y est donc un isomorphisme de structures de Hodge mixtes. On a un morphisme de suites spectrales Hq(X,, Z) =~ Hv+a(X., Z) (5.2.3) nq(zv. , Z) -- -~ HV+q(Z.., Z) (8.I.23.I) ce morphisme est un isomorphisme compatible aux structures de Hodge mixtes, de sorte que (8.3.5) rdsulte de (8.1.23). Exemple (8.3.7). -- Soit X. un sch~ma simplicial non n6cessairement s6parC I1 existe alors un schdma simplicial sdpar6 Y. et u : Y.-~-X. tel que pour n> o, l'appli- cation u~ : Y,-+ (cosqXLtsqn_tY.),~ soit 6tale et surjective (par exemple la somme des ouverts d'un recouvrement ouvert). L'application u" : H'(X., Z) -+ H'(Y., Z) est un isomorphisme ((5.3.5) (V) et (III)). Par ddfinition, la structure de Hodge mixte de H'(X., Z) se d~duit de celle de H'(Y., Z) via u'. Elle ne ddpend pas du choix de Y.. Pour X un schdma non sdpar~, la structure de Hodge mixte de H'(X, Z) est celle de H'(X., Z), pour X. le schdma simplicial constant d6fini par X. I1 est vraisemblable, mais non ddmontr6, que (8.2.4) (iv) reste valable pour X lisse non sdpar6. Exemple (8.3.8). -- Soit u : X.-~-Y. un morphisme de schdmas simpliciaux. Les groupes de cohomologie relative H"(Y. mod X., Z) sont par ddfinition (6.3.2) les groupes de cohomologie du sch6ma simplicial C(u). Ils sont donc munis d'une suucture de Hodge mixte. Proposition (8. 3.9). -- La suite exacte longue de cohomologie relative H"(Y., Z) -~ H"(X., Z) .L H"+'(Y. mod X., Z) --+ H"+I(Y, Z) est une suite exacte longue de structures de Hodge mixtes. On se ram~ne au cas off X. et Y. sont lisses, et off, de plus, il existe un diagramme commutatif X. ~Y. X. avec X. et Y. propres et lisses, et X. et Y. compl~ments de diviseurs ~ croisements normaux D. et E. dans X. et Y.. 43 PIERRE DELIGNE II existe alors des r6solutions bifiltr~cs (de gradu6 ~ composantes acycliques) a : g)~.(log D.) ~ K et b : ~.(log E.) ~ L qui s'ins~rent dans un diagramme commu- tatif de complexes bifiltr~s ~)x.(log D.) <7'" ~.(log E.) [ b i~ ' 1 K ~ L (~* et v sont des ~-morphismes). La suite exacte longue (8.3.9) s'identifie alors ~t la suite exacte d6duite du triangle distingu6 PL ~ FK Le complexe C(v) sur C(U) est une rdsolution bifiltr6e de C(u* : f2~.(log E.) -+ Dd2..(log D.)). De 1~ rdsulte que les filtrations de Hodge et par le poids de H'(Y. mod X., G) se d6duisent des filtrations du c6ne C(Fv), et (8.3.9) en r6sulte formellement. (8.3.xo) Dgmonstration de (8.2.4) (ii). La d6monstration proc~de par rdcurrence sur N = dim(X). On peut supposer X r6duit. Soit U un ouvert de Zariski dense lisse de X et Y ~- X -- U. D'apr6s la r6solution des singularit6s, il existe un morphisme propre birationnel p : X'~X de source lisse qui induise un isomorphisme de p-1(U) avec U. Soit y,=p-l(y). Consid6rons pour n~N, le cljagramme de structures de Hodge mixtes H"(X modY, Z) > H"(X, Z) > H"(Y, Z) p* > H" (X' rood Y', Z) > H" (X', Z) > H" (Y', Z) H"-~(Y ', Z) Soit (I) la famille de supports sur U form~ des A cU tels que, dans X (ou X', cela revient au m~me), ACU. On a H"(X modY, Z) = Hg(U, Z) =- H" (X' mod Y', Z) de sorte que la fl~che marqu6e p" est un isomorphisme. Pour h vq un nombre de Hodge non nul d'une des structures de Hodge mixtes enjeu, on a : 44 THI~ORIE DE HODGE, III a) pour H" (X', Z) : (p, q) ~ [n-- N, N] � [n-- N, N] b) pour H"-I(Y',Z) : (p,q)e[n--N,N--i]� c) pour H"(X' modY', Z)=H"(X modY, Z) : (p, q)s[n--N, NI � In--N, N] d) pour H"(Y,Z) : (p,q)e[n--N+i,N--I]� e) pour H'* (X, Z) : (p, q) ~ In-- N, N] � [n-- N, N]. a) r~sulte de ce que X' est lisse, et que l'assertion est vraie pour les termes wE1 de la suite spectrale (3.2.4.1) . b) et d) r~sultent de l'hypoth~se de rdcurrence : on a dim Y, dim Y'<N--I. c) r~sulte de a) et b) et e) rdsulte de c) et d). Ceci ach~ve la dfimonstration. 9. EXEMPLES ET APPLICATIONS 9" x. Cohomologie des groupes et des classifiants. Soit Gun groupe alg~brique lin~aire connexe complexe. On se propose de calculer la structure de Hodge mixte de H'(G). On commencera par calculer celle de H'(B.G), par rdduction au cas des tores; on calculera ensuite celle de H'(G) via la suite spectrale d'Eilenberg-Moore (6. I-5). En prime, on obtient l'dtrange thdor~me (9. i. 7). Thdorkme (9.x.x). -- Soit G un groupe alggbrique lingaire. On a t-I~"+t(B.a, Q)=o, et t-I~"(B.G, Q) | C est purement de type (n, n) (III. o. 5). Soit G o la composante neutre de G et soit TcG~ un tore maximal. Puisque H.(B.G ' Q)=H.(B.G0, Q)o/Q~ on a d'apr~s le splitting principle (voir (6.1.6)) H" (B.~, Q) ,-+ H" (B.T, Q). Cette inclusion est un morphisme de structures de Hodge mixtes 9 il suflit de traiter le cas d'un tore, voire m~me, d'apr~s la formule de Kfinneth, le cas off G =G,,. Voici deux d6monstrations de (9-i. i) dans ce cas. lre d#aonstration. -- La cohomologie de G,, (=la droite projective moins deux points) est : H ~ = Z, H 1 = Z. Les seuls hombres de Hodge h m de Ht(Gm) qui pourraient ~tre non nuls sont h ~ =h t~ et h u ((8.2.4) (i) (iv)). Puisque h ~ +h l~ +hal-- 2h ~ +hit= i on a h~ et Hi(G,,) est purement de type (i, I) (pour une autre d6monstration, voir (xo. 3.8)). Le terme E~' q de la suite spectrale (6. i. 5), nul pour p + q impair, est onc 9 e dgmonstration. -- On sait que P'(C), muni de 0(1), est une << approximation >> de B6m : l'homomorphisme [&(I)] : Hi(B.om) -, H~(Pr(C)) est bijectif pour i<2r. Le groupe de cohomologie H 21(pr(C)) est engendrfi par la classe de cohomologie d'un cycle algdbrique (~t savoir, un sous-espace lin6aire), donc est de type (i, i). La proposition suivante permet d'en ddduire que I-Pi(Bo,,) est de type (i, i). 45 PIERRE DELIGNE 4 6 Proposition (9. x. 2). -- Soient G un groupe alggbrique (sur C) et Pun espace principat homogkne (alggbrique) de groupe G sur un scMma X. Le morphisme [P] : H'(BG) = H'(B.~) -~- H'(X) est un morphisme de structures de Hodge mixtes. Rdsulte de la ddfinition (6.~.3.~) dc [P] ct de la fonctorialitd (8.3.4). Corollaire (9.x.3). -- Les classes caractgristiques, clans H~"(S), d'un espace principal homogkne (alg~brique) P sur S, de groupe structural un groupe lingaire G, sont purement de type (n, n) : elles proviennent de morphismes Q.(- n) -~- H 2n (S, Q.). Dans le cas particulier off S est quasi-projectifet lisse, on sait que les classes caract~- ristiques de P sont m~me algfibriques, i.e. dans l'image de l'anneau de Chow (| (9. I'4) Soit G un groupe alg6brique lindaire sur un corps fini Fq, et soit G/Fr le groupe qui s'en d~duit par extension des scalaires "~ une cl6ture algdbrique de Fq. Une ddmonstration parall61e k (9. I. I) montre que, en cohomologie tO-adique, les valeurs propres du Frobenius (g6om6trique) agissant sur H2"(B.~, Qz) sont de la forme qn.~ (~ racine de l'unit6). Ceci est en accord avec la philosophic (I.3). De marne, l'dnoncd (9.1.5) ci-dessous est inspird des formules donnant les nombres de points des groupes rdductifs sur les corps finis. Thgor?me (9. x .5). -- Soit Gun groupe alggbrique lingaire connexe. Soit P'(G) CH'(G, Q) la partie primitive de l'algkbre de Hopf H'(G, O). C'est une sous-structure de Hodge mixte. On a PZi(G)--o, et P2i-J(G) est purement de type (i, i). Enfin, l'isomorphisme (9.x.s.x) AP'(G) ---> H'(G, Q,) est un isomorphisme de structures de Hodge mixtes. Dans la suite spectrale (6. I. 5), E~ q =o pour q>o. Pour n>o, le edge homomorphism W"(B0, Q) ---> EI,2,,- H2--~(G, Q) est un morphisme de structures de Hodge mixtes (8.3.5) ; son image P2n-I(G) est donc une sous-structure de Hodge mixte, cllc est purement de type (n, n) d'apr~s (9. I. I). L'isomorphisme (9.1.5. i) est donn6 par le cup-produit, et on conclut par (8.2. II). CoroUaire (9.x.6). -- Soit Gun groupe alggbrique lingaire. Pour n>o, on a W.(H" (G, Q)) =o. On se ram~ne "X supposer G connexe, et on applique (9.1.5). TMorOme (9. x. 7). -- Soit X un espace alggbrique propre et lisse sur lequel agit un groupe algdbrique lingaire connexe G. Soit p : G � X-+ X. Le diagramme 46 THI~ORIE DE HODGE, III 47 p* H'(X, Q) ....... + H'(X, Q)| Q) H'(X, Q)| ---- H'(X, Q)|176 Q) est commutatif. Puisque l'application composde H'(X, Q) -+ H'(X, Q)| Q) ~ H'(X, Q)|176 Q)=H'(X, Q) est l'identitd (le composd X={e}xX~GxX-~-X est l'idcntitfi), il suffit dc prouver que pour i>o, la i-~me composantc de Kfinneth de p* p; : H"(X, Q) -~ H"-'(X, Q)eH'(G, Q) est nulle. Puisque H"(X, Q) est puremcnt de poids net que H"-~(X, Q) est purement de poids n--i, on a Im(H"(X, Q))cW,(H"-r Q) | Q))= H"-'(X, Q) | W,I-~(G, Q). D'apr& (9-1.6), cette image est donc nulle. Variant| (9- 9 .8). -- Soit X un | alggbrique s(paN sur lequel agit un group| algdbrique lin~aire connexe G. (i) Si X est lisse et que X est une compactification de X, le diagramme H'(X, Q) ------~ H'(X, Q) r H'(X, Q,)iH'(G, Q) H'(X, Q) |176 Q) H'(X, Q) est commutatif. (ii) Si X est propre et que X est une Nsolution des singulariHs de X, le diagramme H'(X, Q) ~ H'(X, Q)| Q) > H'(X, Q)| Q) H'(X, Q)|176 Q) H'(X, Q) :--- est commutatif. 47 4 8 PIERRE DELIGNE Ii SUffit de prouver que pour i>o, les composantes de Kfinncth H"(X, Q) -+ I-In (X, Q) -+ H"-'(X, Q)| Q) H"(X, Q) --+ H"-'(X, Q)| Q) -+ H"-'(X, Q)| Q) sont rcspcctivemcnt nullcs. Dans le cas (i) (rcsp. (ii)), on a (8.2.4) WnHn(.X, Q)=Hn(X, Q) (resp. WnHn(X, Q):Hn(X, Q)), tandis que, par (8.2.4) et (9.1.6) W,(Hn-'(X, Q)| Q))=o (resp. W,(Hn-'(X, Q)| Q))=o) d'o~ l'asscrtion. 9.2. Th~orie de Hodge des hypersurfaces lisses, d'apr~s Griffiths. Ce num6ro ne d~pend que des w167 I ~ 3. On y explique le thfior~me (8.6) de [7]- (9.2.I) Soient X une varidtd algdbrique propre ct lisse, et Y un diviseur lisse dans X. Soitj l'inclusion de U-----X--Y dans X. On a Rij, Z=o pour i4=o, iet la suite spectrale de Leray pour j s'identifie ~ la suite exacte longue de cohomologie (9.2. x. x) ... -, H (X) --, H" (X) -+ H" (U) -+... H~ (X) = Hn-2(Y, 9r Pour une raison rendue claire en (3.I.9), nous identifierons ~ au faisceau constant Z(--I)z. La suite spectrale de Leray de j convergeant par dfifinition vers la structure de Hodge mixte de H"(U), on trouve que la suite exacte (9.2.,.2) ... -~- H"-2(Y, Z)(--,) ~ H"(X, Z) -> H"(U, Z) -.... est une suite exacte de structures de Hodge mixtes. La suite spectrale de Leray de jest aussi la suite spectrale du complexe filtr6 ([~(log Y), W); la suite exacte pr6c~dente s'identifie done encore A celle ddduite de la suite exacte courte (9.2. x.3) o -+ ~1~ -+ x(]Og Y)Re~ ~ ~--~0. Pour cette raison, l'homomorphisme 0 dans (9.2. I. 2) porte encore le nom d'ope'rateur re'sidu. (9- 2.2) L'op6rateur r~sidu (9.2.2.x) Res : Hn+I(U, Z) ~ H"(Y, Z)(--I) cst strictement compatible ~ la filtration de Hodge. La filtration de Hodge de H" (U, C) d6termine done celle de Ker(Hn(Y, C) -+ Hn+2(X, C)). 48 TH~OR_IE DE HODGE, III Supposons Y ample. Si X est purement de dimension N+ i, on a alors H~(X,Z)-%H~(Y,Z) pour i<N (Lefschetz). Par dualitd de Poincard, pour i+N, H~(Y, C) se calcule done ~t partir de H'(X, C). Posons H~(Y, C)= Ker(H~(Y, C) -+ H~+2(X, C)) -----orthogonal dc HN(X, C) ,-+ HN(Y, C) (partic dvanescente de la cohomologie). On a H~(Y, C): H~(Y, C)| C) et on obtient donc beaucoup d'information sur la structure de Hodge de H'(Y, C) quand on connait celle de H'(X, C) et la fdtration de Hodge de Hs+I(U, C). (9.2.3) Par ddfinition, la filtration de Hodge de H'(U, C) est l'aboutissement de la suite spectrale dgggngrge en E t Efq.----Hq(X, f~(log Y)) ~ H'+q(U, C). D'apr~s (3. I. II), cette suite spectrale coincide avec la suite spectrale du complexe j. ft[,, muni de la filtration par l'ordrc du p6tc P. En particulier, on a F'(H'(U, C))=I-I'(X, P'(/.f~-)). Rappelons que PP(j.f~j) est lc complexe suivant, de premiere composante non nulle cn degr~ p t2~(Y) -+ f~+'(2Y) -~ ... -~ ft~((i--p + ~)V) -~- ... Si Hi(X,f~(nY))=o pour i>o, n>o et p>o, on a simplement H'(X, P'(j.~)}j)) ---- H'(r(X, P,(j.fi)))), d'ofl le r~sultat suivant : Proposition (9.2-4). -- Supposons que Hi(X, fl~(nY))=o pour i>o, n>o et p>o (tel est le cas si Y est suffisamment ample). Alors une classe de cohomologie cell d (U, C) est de filtration de Hodge >__psi et seulement si elle peut se reprgsenter par une d-forme fermge ~ sur U, avec un pdle d'ordre <d--p + I le long de Y. Si ~ est une forme fermge sur U, avec un pdle d'ordre k le long de Y, et si la classe de ~ dans H d (U, C) est nulle, alors ~ = d~, avec ~ pr~sentant un p6le d' ordre < k-- i le long de Y; pour k <1, on a mgme 0~=o. (9.2.5) II est bien connu (th~or~me de Bott) que les hypotheses de (9.2.4) sont vfirifi~es pour Y une hypersurface darts l'espace projectif I'"(C) (n>,), i.e. que Hi(P"(C), flJ(m))-----o pour i>o, m>o (une d6monstration figure par exemple dans SGA 7 XI). De plus, pour n>I, l'appli- cation rfisidu identifie H"(U, C) ~ la pattie primitive de la cohomologie de Hn-I(Y, C). D6s lors ([7], (8.6)) : 49 PIERRE DELIGNE 5 ~ Proposition (9.2.6). -- Soit Y une hypersurface lisse de P"(C) (n > I ) et U = P"(C) -- Y. (i) Pour qu' une classe de cohomologieprimitive ceH"-x(y, C) soit de filtration de Hodge ~p, il faut et il suffit qu'elle soit le rgsidu d'une n-forme diffirentielle rgguli~re sur U, avec un p6le d'ordre ~ n--p le long de Y. (ii) Soit ~ une n-forme dif, fgrentielle rgguli~re sur U, avec un pdle d'ordre k>i le long de Y. Pour que Res (:c) E H"- ~(Y, C) soit nul, il faut et il suffit que ~ = d~, pour une (n-- I )-forme sur U, avec un pdle d'ordre ~k-- i le long de Y. 9.3- Construction de complexes d'op6rateurs diff~rentiels du x er ordre. Ce num~ro ne ddpend que des w167 5 et 6. On y prouve le th~or~me suivant. Proposition (9.3. x ). -- Soit X un scMma quasi-projectif (sur C). II existe sur X un complexe de faisceaux K ayant les proprigtds suivantes. a) Les K" sont des faisceaux algdbriques coMrents et K"=o pour n<o. b) Les diffgrentielles d : K"-+ K" + 1 sont des opdrateurs diffgrentiels alggbriques du 1 er ordre. c) Le complexe de faisceaux analytiques cohgrents K ~ sur X ~ est une rgsolution du faisceau constant C. Plus prgcisdment, 3fi(K) = o pour i>o, et il existe f : g2x-+K avec f" alggbrique line'aire, tel que l'application composge C-+(Yx~K ~ identifie C_ ~ ,~f~~ d) L' application naturelle H'(X, K) -~ H'(X ~", K S") ~- H'(X "", C) (e) est un isomorphisme. Comme corollairc, on rctrouve un cas particulicr d'un thdorhme de Bloom et Hcrrcra [2]. Corollaire (9.3.2). -- L' application ddduite de C_-+ ~2x ~n : H'(X C) -+ n'(X identifie I-I'(X a", C) hun facteur direct de H'(X ~", ~'). Nous prouverons d'abord le corollaire. La proposition s'obtiendra en reprenant la d~monstration au niveau des complexes. Soit r un schdma simplicial augment6 vers X. On suppose que ~ est un hyperrecouvrement propre et que les X, sont lisses. On dispose d'un diagramme commutatif H-(x =, c) "" H'(x. c) (9.3.2.I) H'(x 50 THI~,ORIE DE HODGE, III 5~ La flbche Iest bijectivc d'apr6s (5.3.5) (II) (IV). La fl6chc 2 est bijective, car f2x. est une rdsolution de C (lemme de Poincard sur les X,). Le diagramme (9- 3.2. I) fournit une rdtraction, compatible au cup-produit, de H'(X ~, s sur H'(X ~, C), et ceci prouve (9.3.2). (9.3.3) Le complexe K que nous voulons construire ne sera autre, dans la catdgorie d6rivde, que sR~.,~)x.. Nous ne traiterons que le cas off l'espace simplicial augmentd X. est s-scindd, ddfini comme en (6.2.5) par des applications propres et surjectives, de sources quasi-projectives et lisses fk' : Nk--~ (cosq Sqk--l(X.))/ (k2o). Nous allons construire un <( systbme compatible >) de recouvrements ouverts affines des X,. II y a intdr~t, pour cette construction, ~ regarder un recouvrement ouvert d'un espace Y comme un diagramme Y2-U~I avec I discret, u surjectif et u i :U~d-~q0-1(i)~--~Y un plongement ouvert. Procddant comme en (6.2.5), on construit un diagramme (9.3.3.I) X. ~- U. L I. du type suivant. a) I. est un ensemble simplicial discret. Les I, sont finis. b) Pour tout k~_o, (9.3.3-x) induit un diagramme (cosqsqk_I(X.)) k ( (cosqsqk_t(U.))k ~', (cosqsqk_l(I.))k r; 4 T r r NkIV.) c) Dans le diagramme b), pour iecosq sqk_t(I.)k , les q~-t(j) pour a~(j)=i forment un recouvrement ouvert affine de Nk � ,q~_l(x.))k r 1(i)" d) (rdsulte par rdcurrencc dc c)). La premi&re (et donc la deuxi~mc) ligne du diagramme b) ddfinit un recouvrcment ouvert. Les Xk~-Uk-+Ik forment donc aussi des rccouvrements ouverts. e) (rdsulte d'un choix convcnable dcs recouvrcments affines en c)). U.i=~l(i) est lc compldmcnt d'un sous-schdma D., i de X., rdunion de quclqucs composantes connexcs de X. et d'un diviscur. Pour tout faisccau cohdrent o~- sur X n ct des cntiers (ai)iei. (ai~o), on pose l o sur les composantes de X, contenues dans un D,, i avec ai>o ,~'(~alD,,i) = .,~-| .~ aiD,,i) sur les autres. ai>O 51 PIERRE DELIGNE Dans la construction inductive de (9.3.3. I), les recouvrements ouverts (c)sont choisis arbitrairement. Ceci permet de supposer f) Quels que soient Ics ai>o (iEIk) Rt ~.k. (~2~k(~i ai Dk, i) ) = o pour t>o. g) Quel que soit e : A,.~A nct iEI,,, on a X.(~)-~(D.,,.(i)) cD.,i (comme schdma). Pour chaque k, le eomplexe de faisceaux sur X R~,(~) peut se calculer de fa~on ~echiste. Si, pour PcIk, jp est l'inclusion de Up-= flU k iEI ' dans Xk, c'est le complexe simple associd au double complexe des . .. q ~P=p+t Ce complcxe double admet comme sous-complexe double le complexe de composantes les faisceaux cohdrents K~,V, q -= Y~ t zk. [2~,((q + I ) i~rDk,~). ~V=p+ Pour k et q fixes, il rdsulte de f) que l'inclusion dc K ~''' q dans I~ k''' q est un quasi- isomorphismc. Pour k fixc, l'inclusion de K ~'''' dans I~ k'''' cllc aussi cst un quasi- isomorphismc. Enfin, pour k variable, ]es K k'''' forment, d'apr~s g), un complcxc double simplicial. Le complexc simple associd K coincide avec R~..f~r dans la catdgorie ddrivde. Prouvons quc K vdrific (9.3.I). Lcs propridtds a) ct b) dc K sont claircs; on ddfinit f: f2x->K par lcs applications dvidentes des ~. dans les K ~176 Dans la catdgoric anaIytiquc, Ic complexc de faisceaux analytiqucs cohdrents K ~ cst donnd par les m~mcs formules que K. On a un diagrammc commutatif H'i X, K) "~ tl'(X., f2;~.) (i) H' X% K "~) ~ H'(X?, n;e-) et I est l'aboutissement d'un morphisme de suites spectrales H~(Xb, ~.) ===" H~ ~L) n~ ~x.,n) =* H"+b(X.% nx:n). Ce morphisme est un isomorplfisme d'apr~s [9], d'ofl d). 52 THI~ORIE I)E HODGE, III Pour prouver c), on consid&e le diagramme commutatif R~.,C t~_Kan ~ . ,-,an 9 1~.~., X&X. QHe I soit un quasi-isomorphisme r~sulte de (5-3.5). Que 2 en soit un r&ulte du lemme de Poincar~ sur les X,. L'assertion c) en r&ulte. (9.3-4) La m~me construction fournit des rfisolutions v&ifiant a), b) pour d'autres faisceaux o~- sur X an que le faisceau constant C (on peut sans doute prendre pour o~ n'importe quel faisceau << alg6briquement constructible >>). 1V[alheureusement, je ne puis pas prouver que les r&olutions obtenues sont essentiellement uniques (dans une cat6gorie dfiriv~e convenable). En l'absence d'une telle unicitd, (9-3-i) est sans grand intdr&. xo. TH~ORIE DE HODGE EN NIVEAU < 9 IO. I, I-mot~s Dgfinition (xo. x. x ). --- (i) Une structure de Hodge mixte H est sans torsion si H zest sans torsion. (ii) Si H est sans torsion, on ddsigne encore par W la filtration de HzCH Q i~duite par W. On ddsigne par GrW(H) le Z-module sans torsion Gr~V(Hz), muni de sa structure de Hodge de poids n. Ddfinition (xo. x.2). -- Un 1-motif sur un corps algdbriquement clos k consiste en : a) un Z-module libre de type fini X, une varigtd abgienne A et un tore T; b) une extension G de A par T; c) un homomorphisme u :X-~-G(k). I1 est souvent utile de regarder un 1-motif M comme &ant un complexe de schdmas en groupes, concentr6 en degr& o et i it M= [X-+ G]. Construction (Io.x.3).- On construira une dquivalence M~T(M) de la catdgorie des I-motifs sur C avec la catdgorie des structures de Hodge mixtes sans torsion H de type ((0, 0), (0... --I), (--I, 0), (--I, --I)} 53 PIERRE DELIGNE telles que GrWl(H) soit polarisable. De plus, on construira des isomorphismes naturels en N[= (X, A, T, G, u) : Hi(T, Z) _~ Gr_W2T(M)z HI(A , Z) _~ GrWlT(M) (isomorphisme de structures de Hodge) X ~ GrWT(M)z Soit M un z-motif. L'application exponcntiellc exp: Lic(G)-~G a pour noyau HI(G ). On d6finit Tz(~V[ ) (que nous notcrons plut6t Tz(~3r comme &ant lc produit fibr6 de Lie(G) et X au-dessus de G o , HI(G ) e~p G ) o , Lie(G) ll (IO-I.3.I) ) Tz(M ) o ~ HI(G ) ~ X ) o On pose W_I(Tz(M)) = Kcr(~) = Hi(G) W_2(Tz(M)) = HI(T ) = Ker(HI(G ) -~ Hi(A)). Ceci ddfinit la filtration par le poids. Le morphisme 0~ se prolonge en % : Tz(M)| ~ Lie(G). On posc F~174 et ceci d6finit lafiltration de Hodge dc Tc(M ) = Tz(M ) | C. Lemme (xo.x.3.',). -- Le triplet T(M)= (Tz(M), W, F) est une structure de Hodge mixte sans torsion de type { (o, o) (o, -- z ) (-- z, o) (-- I, -- x ) } et Gr w 1 (T(M)) est polarisable. 0 0 nFo ,~ > Ker(%,e ) W_~(Tc(~)) o > H:(T, Z)| 9 ) H~(G,Z)| , HI(A , Z)| ) O t(A, C ~l ~G, C o , (T) , Lie(G) Li A) ) O 54 THI~ORIE DE HODGE, III a) On a W_z(Te(M))nF~ car i est injectif : d6s lors, (W_z(Te(M)) ,F) est une structure de Hodge de type (--I, --I). b) Puisque 2 est surjectif, F induit sur Gr_Wt(Tz(M))| Z)NC la fil- tration de Hodge de HI(A,Z)| : e'est une structure de Hodge polarisable de type (-- i, o) -J- (o, -- i) (cf. (4- 4.3)). c) o 4- 0 > W_I(Tc(M)) oF ~ --- ,F ~ ~V---+o ~t , HI(G , Z)| Tz(M)| - > X| 9 o Lie(G) =- Lie(G) F ~ s'envoie sur Gr0W(T0(M)), qui est donc de type (o, o). Ceci termine la construction de T(M). 11 est clair que T(IV[) est fonctoriel en M. Soit H une structure de Hodge mixte sans torsion de type {(O, O)(O,--I) (--I, O) (--I,--I)}. Supposons GrWl(H) polarisable; le tore complexe A= Hz\ GrW_ l(Hc)/F~ Gr_Wt (He) est alors une varidtd abdlienne (cf. (4-4.3)). Soit Tle tore de groupe de caract6res le dual de GrW_2(Hz) : HI(T ) = GrW2(Hz). Le groupe analytique complexe G = W_ t(Hz) \W_ 1(He)/V ~ n W_ 1(He) est une extension de A par T. Lemme (xo. x .:3.3). -- Le foncteur E~E an est une dquivalence de la catdgorie des groupes algdbriques extensions de A par T avec celle des groupes analytiques extensions de A par T. 55 PIERRE DELIGNE On se ramSne au cas ot~ T = Gm. D'aprSs G.A.G.A., E ~ E "n est alors plus g~nd- ralement une 6quivalence de la catdgorie des torseurs sous G,, sur A avec celle des torseurs sous G,, sur A a". On dispose done de G, extension de A par T. Soit X =GrW(Hz). On ddfinit ainsi u :X--->G (cs (2.2.1)) : o > W_I(Hz) > W_I(Hc)/W_,(Hc)r~F ~ , G > o II I o/Fo o > W_l(Hz) , H z ....... > X > o II est clair que la construction pr~c6dente, qui "X H associe un 1-motif sans torsion, est inverse de T, et est fonctorielle. Si G~ (i= I, 2) est extension d'une vari~tfi abfilienne A i par un tore Ti, pour tout morphisme u : G1--->G2, u(T,)CT 2 et Ker(u:A1-->A2)~ : G1--->G2)--->A1) ~ Ceci correspond au fait qu'un morphisme de Q-structures de Hodge mixtes est stric- tement compatible t~ la filtration par le poids. (IO, I "4) Soit H une structure de Hodge mixte sans torsion de type {(0, O)(0,--I) (--I, O)(--I,--I)}, La filtration W de H z ddfinit alors une filtration de H par des sous-structures de Hodge mixtes. Parall~lement, si 1V[=(X, A, T, G, u) est un 1-motif, on d6signe par W la filtration croissante suivante de 1V[ : W~(.~,I) = o pour i<-- 2 et Wi(M ) = M pour i>_ o; W_,(M)= G (i.e. ((o}, A, T, G, o)); W_2(M)=T (i.e. ({o}, o, T, T, o)). En un sens ~vident, les GrW(1V[) successifs pour i--o, --I, --2 sont X, A et T. (IO,I.5) La construction (IO,I-3) qui ~ un 1-motif 1V[ sur C associe Tz(M ) est transcendante. Nous allons montrer que T (~-V[) = Tz(M ) | = ~ Tz(]V[) | Z t peut se ddfinir de fa~on purement algdbrique. Soit ]V[ un 1-motif sur un corps k algdbriquement clos de caract6ristique o. On identifie M t~ un complexe [X Z>G] (degr~ oet I). Pour tout entier n>o, soit le complexe [Z 2+Z] (degrd --I et o), et soit Tz/,z(M ) le H ~ du complexe [x 2,. G]Q [Z & Z] : g6 THI~ORIE DE HODGE, III X u> G X ~> G On a Tz/,z(M ) ={ (x, g) lu(x) = ng}/{ (nx, u(x)) lxeX }. Dans la catdgorie ddrivde, on a Tz/.z(M) = H~174 Z/nZ). on ddfinit des morphismes de transition Pour n = md, ~Om, . : Tz/.z(M ) -+ TZ/mz(M ) par q~m,.((x, g))- (x, dg). On pose t (IV[) = Hm Tzl.z (M). La filtration W de M induit une filtration W des Tz/.z(M ) et de T(M). On a GroW(T (M)) -- X| GrW, (]" (M))----limA. =T(A) GrW2(T(M)) =lim T. = Y@7.(I), pour Y le dual du groupe des caract~res de T= W 2(]V[ ). Construction (IO. x. 6). -- Soit N[= [X "-> G] un i-motifsur C,. On a (to. ,. 6. I) T(M) = Tz(M) | Le morphisme naturel [Tz(M ) --* Lie(G)] ~ [X-+ G] est unquasi-isomorphisme. Les quasi-isomorphismes "> LTz "> Lie(G)J [Tz ~> fournissent des isomorphismes (xo. x. 6.2) Tzl,z(M ) ~ Tz/nY z. Par cet isomorphismc, "~ teW_l(Tz) on associe exp(t/n)eG,. Par passage $ la limite, on ddduit (IO.I.6.I) dc (lO.I.6.2). Des techniques de Grothendieck permettent de transposer en cohomologie de De Kham ce que nous venons de faire en cohomologie/-adique. Soit M un i-motif sur un corps algdbriquement clos k. g7 8 PIERRE DELIGNE 5 8 Construction (lO.X.7).- Construisons un espace vectorM TDR(M ) sur k, muni de fil- trations Wet F. Soit M =(X, A, T, G, u), et considdrons M comme un eomplexe concentrd en degrds -- Iet o. Une extension de M par G. est une extension de M par le complexe rdduit /~ G. placd en degrd o. On a Hom(G, 13.) = Extl(X, t3.) : o. D~s lors : a) les extensions de M par G. n'ont pas d'automorphismes; b) la suite o -~- Horn(X, G.) --~ Extt(M, G~) -+ Extt(G, G~) -+ o est exacte. On a Hom(T, G,)=ExtI(T, G,)=o, de sorte que c) Extl(A, %) -% gxtl(G, 13.). L'espace vectoriel Extl(M, G~) est done de dimension finie et, d'apr~s a), il existe done une extension universelle de M par un groupe vectoriel; on la note M ~ : X-+G ~. 0 >X ..... X o > Extl(M, G.)" > G~ > G , o On pose TDR(M ) =Lie(G ~) F~ = Ker(Lie G~ -+ Lie G) ~_ (Extt(M, G~))'. TDR est fonctoriel en M (ainsi que M~), et on ddfinit la filtration W de TDR(M ) comme provenant de la fltration W de M. Construction (xo.x.8). -- Soit M un I-motif sur C. On a (TDR(M), F, W) --- (Tc(M), F, W). Les Ex((X, G.), ExtZ(A, G,) et Exti(T, G,) (i=o, I) sont les m~mes dans les catd- gories algdbrique et analytique. Soit l'application Te(M )- Tz(1V[)| -+ Lie(G) ~ G. Le diagramme X , To(M)/HI(G ) X > G 58 THI~ORIE DE HODGE, III d6finit une extension de M an par le groupe vectoriel F~ donc une extension de M par ce groupe. II nous faut prouvcr que c'est l'extension universellc. Pour cela, il suffit de vdrifier que la cat6gorie des extensions de [X -~- Te(1V[ )/HI(G)] par G a est triviale (un seul objet, pas d'automorphisme). C'est aussi la cat6gorie des extensions de Tc(M)/Tz(M ) par G~, et on a en effet Exd(Tc(M )/Tz(M), G~) = 0 pour i -- o, I. Remarque (xo.I.9). -- M ~est caract6risd par le diagramme commutatif X ......... -+ G ~ ..... > G , I i I Tz(M ) > Lie(G~) > Lie(G) de carr6 extdrieur (I o. I. 3-I), et induisant un isomorphisme Tc(M ) -~ Lie(G~.). Variante (xo. l. XO). -- Un 1-motif lisse M sur un schdma S consiste cn : a) un sch6ma en groupes X sur S, qui localement pour la topologie 6tale est un sch6ma en groupes constants ddfini par un Z-module libre de type fini; un schdma abdlien A sur S, et un tore T sur S; b) une extension G de A par T; c) un morphisme u : X~G. Pour tout entier n, une construction analogue ~ (zo.i.5) associe ~t un 1-motif lisse M sur Sun schdma en groupes Tz/,z(M ) fini et plat sur S. Pour g inversible sur S, le syst6me projectif Tt(M ) =lira Tz/t.z(M ) est un Zt-faisceau sur S. En g6ndral, Tt(N[ ) correspond ~t un groupe g-divisible (= de Barsotti-Tate) sur S. La filtration W de M, d6finie comme en (1o. i -4), ddfinit unc filtration W de Tt(M ). On a encore Or0WTt(M) -- X| GrWl Tt (M) -- Tt(A) GrW~Tt(M) = Y| ) pour Y = Horn(T, Gm) v De m~me, une construction analogue ~t (IO.I.7) associe ~t M un fibrd vec- toriel TDR(M ). Terminologie (xo. I. xx). -- Soit M un I-motif. On appelle T(M), Tt(M ) et TDn(M ) les r~alisations de Hodge, g-adique et de De Rham du I-motif IVL 59 6o PIERRE DELIGNE io. 2. x-motifs et biextensions Les r6sultats de ce num6ro ne seront pas utilis6s dans la suite de ce paragraphe. Nous ferons usage de la notion de biextension (S.G.A. 7, VII (2. I)) et de la g6n6rali- sation suivante. (zo.2. x) Soient Ki: [A~-+Bi] (i= I, 2) deux complexes de faisceaux, concentr~s en degr6 0 et -- i (sur un topos quelconque). Une biextension de K 1 et K 2 par un faisceau abflien H consiste en : a) une biextension P de B 1 et B 2 par H, i.e. un H-torseur P sur BI� avec Pb, b, d6pendant biadditivement de b~ et b2; b) une trivialisation (=section biadditive) de la biextension de B~ et A 2 par H, image rdciproque de P; c) une trivialisation de la biextcnsion de A t et B2 par H, image rdciproque de P; on exige que les trivialisations b) et c) coincident sur AI� 2. On d~signe par Bie~t.(K1, K2; H) la cat~gorie des biextensions de K1 et K 2 par H. C'est une catfgorie de Picard (les objets s'additionnent). Le groupe Biext~ K2; H) des automorphismes d'une quelconqae biextension de K 1 et K~ par H est Biext~ K~; H)----Hom(H~174176 H). On note Biextt(Kx, K2; H) le groupe des classes d'isomorphismes de biextensions. On vdrifie comme clans (S.G.A. 7, VII (3.6.5)) que Biext~(K~, K2; H) = Ex((Kt| H) (i=o, i). Sur cette formule, ou de fa~on 616mentaire, on vdrifie que si K~---~K i. est un quasi- isomorphisme (i= I, 2), il revient au m~me de se donner une biextension de K 1 et K 2 par H ou de K' 1 et K' 2 par H. Ceci s'applique encore en remplaqant ~ faisceaux >) par ~ groupes alg6briques >) (resp. ~( groupes analytiques complexes ~)) : on peut interpr6ter ceux-ci comme des faisceaux sur un site convenable. (xo.2.2) Dans ce paragraphe, nous identifierons un I-motif M = (X, T, A, G, u) un complexe concentr~ en degrgs o et --I ,vi: IX--G]. Sur e, nous d6signerons par M ~ le complexe de groupes analytiques complcxcs [X~ G~]. On a le rdsultat dc rigiditd : Lemme (xo.2.2.x). -- Soient 1Vii, = (X,, A,, T~, Gi, us) (i= I, 2) deux I-motifs. On a Biext~ M2; Gin) = o. Sur 13, on a de mgme Biext~ ", M~n; Gm)=o. Tout morphisme biad.ditif GI� est en effet trivial. 60 THI~ORIE DE HODGE, III 61 Construction (xo.~,.3). -- Soient l~.=(Xi, Ai, Ti, Gi, ui) (i= I, 2) deux x-motifs sur C. On a Biext'(Ml, M2; Gin) = Hom(T(NIa)| Z(I)). Nous allons d'abord calculer Biextt(M~ ", M~n; Gin). Si V et W sont deux espaces vectoriels, on a clans la catggorie analflique (xo.2.3. x)~ Biext~ W; G,,) ~- Hom(V| C) exp (xo. 2.3.2)~, Biextl(V, W; G,,) = o. De ce qu'une extension de W par Gin, sur une base quelconque, est toujours localement triviale, il r6sulte en effet formellement que Biext'(V, W; Gin)= Ext'(V, Hom(W, G,,)) = Ext'(V, W') (i = I, 2). Soient V z et Wz deux Z-modules libres de rang fini. Puisque [V, -~ Ve] -~ [o -~ V0/V d est un quasi-isomorphisme, Ie foncteur ~ image rficiproque )> est une ~quivalence. (xo.2.3.3)~n Biext(Vc/Vz, Wo/Wz; Gin) --~ Bieaet([V z -+ Vr [W z -+ Wc] ; Gin). Tout morphisme biadditif de Vc/V z � Wo/W z dans Gm est trivial, d'ofl a) ci-dessous : Lemme (xo.2.3.4) a) Biext~ Wo/Wz; Gin)= o. b) Biextl(Vc/Vz, Wc/Wz; Gm)=Hom(Vz| Z(I)). Soient +i: Vc| deux applications bilinfiaires, avec + = +t--+3 a valeurs dans Z(I)= 2~iZ sur Vz| z. Soit P(+I, +3) la biextension suivante de [Vz-+Vc] et [Wz-+Wc] par G m : la biextension triviale de V o et W c par G,,, munie des trivialisations ?t = exp +1 : Vz| -+ G,, et ?z = exp +3 : Vc| -~ G,,. D'aprbs (m.2.3.2), toute biextension cst de cette forme; d'apr~s (Io.2.3. i) P(+I, +3) --- P(+'I, +2) si et seulement si +'l--+~= +a--+~- Les P(+, o) repr6sentent done chaque biextension une lois et une seule. (xo.2.3.5) Sous les hypotheses g~nfirales de (Io.2.I), soient des complexes K~=[A~.+Fi-+BJ (i=I, 2). Soit K~ le sous-complexe [AI-~B~]. On v6rifie qu'il rcvient au mfime de se donner soit une biextension de K 1 et K 2 par H, soit : a) une biextension P de K~ et K~ par H; et b) des trivialisations des biextensions de [o-+Ft] et K~ (resp. K~ et [o-+F2] ) par H, images r6ciproques de P; ces trivialisations doivent coincider sur F~� 2. Dans le cas particulier oll Biext~(Ft, K'2; H)=o (i= I, 2) et Biexti(K'l, F2; H)=o (i-- I, 2), 61 62 PIERRE DELIGNE il existe une etune seule trivialisation %, section de P sur F,� 2 (resp. q~2, section de P sur B,� comme en b). La cat6gorie Biea~t(K,, K2; H) s'identifie alors ~t la sous-catdgorie de Biext(K't, K~; H) formde des P pour lesquels % = q~2 sur F 1 � F 2. (IO.2. 3. 6) Soient V z et W z deux Z-modules libres de type fini, et F, G des sous- espaccs vcctoriels dc V cct W e. On a Bicxti(F, [W z ~ We] ; G,~) = o. Pour i=o, cela r6suhe de (IO.2.3. I) et dc cc qu'une application bilin6airc B : FxWr avcc B(F, Wz)CZ(I ) est nulle. Pour i--I, cela r6sulte de ce que tout morphisme biadditif FxWz~G,, provicnt d'un morphismc biadditif F xWc~G m. Autrcmcnt dit, on utilisc la suite exactc longue o -+ Bicxt~ [W z ~ Wc]; Gin) -+ Bicxt~ We; Gin) ~ Biext~ Wz; Gin) -+ Biextt(F, [Wz ~ We]; G,,) ~ Bicxtt(F, We; G,n). Nous pouvons donc appliquer (to.2.3.5) aux complexes KI=[VzeF~Vc} ct K2=[Wz| On trouve que les biextensions de K~ ct K 2 par G m s'iden- tifient ~ certaines biextcnsions dc Vc/V z ct We/W z par Gin, i.e. ~t ccrtaincs formes q~ :Vz| (Io.2.3.4). Pour que P(~bl,~b2) (Io.2.3.ff) provienne d'unc bicxtension de K 1 et K 2 par G,,, il faut et suffit quc exp +~:FxWo~G,, et cxp +1 : VcxG~G m coincident sur FxG, c'cst-~-dire quc ~b(F, G)=o. Lemme (io.2.3.7). -- Avec les notations pr&gaentes, on a Biext~ K2; G,,)=o et Biextl(K1, K2; G,,) s'identifie ?t l' ensemble des formes qb : Vz| ) de complexifi&s v#ifiant q~(F, G) = o. Pour + comme en (Io.2.3.7), avee qa=+t--q~2, la biextension correspondant ~t + est donn6e par les trivialisations suivantes de la biextension trivial| de V e et W e par Gm: sur (Vz|215 c : exp ~l(Vz, wc).exp ~2(f, we) sur Ve�174 ) : exp (r162 Wz).ex p qq(Vc, g ). (xo.2.3.8) Pour les i-motifs Mi, on a des quasi-isomorphismes Tz(M,)|176 , Tz(M,) , X, Tc(M,)- , Lic(Gi) , Gi 62 TH~ORIE DE HODGE, III 63 Le groupe Biextl(M~ ", M~"; G,,) s'identifie done au groupe des applications + : Tz(M~)| ) --~ Z(i) de complexifid compatible ~ 1~ filtration de Hodge. Lemme (zo.~'.3.9). -- L'application Biext~(M~, M_a; G,,) ~ Biext~(M~ ", M~"; G,.) est injective. Son image est formle des biextensions P dont la restriction ?z G t � G~ est image r~ciproque d'une biextension de A t et A~ par G,.. On a Biextt(A~, A2; G,.) -% Biext~(G1, G2; G,.) (S.G.A. 7, VIII (3.5)) et Biextl(A~, A2; G,.) -% Biext~(A] ", A~"; G,.) (G.A.G.A.). Soit P une biextension de M Iet ]VI a par G,,. Si 1 ~" est trivial, alors : a) la restriction de P ~ G 1 � G 2 est image d'une biextension P0 de A 1 et Ao par Gin; cette dernibre est triviale. Sinon e11e serait analytiquement non triviale, donnerait lieu une forme bilindaire non nulle ~b0, et la forme ~ correspondant ~ P serait non nulle afortiori. La restriction de P ~ G1 � G2 est done triviale (et uniquement trivialisable, m~me analytiquement). b) P est done dEfini par des applications biadditives X 1 � G2 -~- G,, et G 1 � X 2 ~ Gm. Celles-ci sont nulles dans la categoric analytique, done sont nulles, et P est trivial. Soit P une biextension de M~" et M~ n par G,, qui vdrifie la condition (IO. 2.3-9)- II reste ~ prouver que Pest algEbrisable. Par hypoth~se et G.A.G.A., sa restriction P1 GI� 2 l'est. On conclut en montrant qu'une trivialisation de P1 sur XIxG 2 (resp. GI� est automatiquement algdbrique : Pt s'interpr&e comme une extension de XI| z par G,", ce qui ram~ne ~ montrer que Ext'(Gt, Gin) -% Ext'(G~", 13,.) (i=o, i). Cela r&ulte de la mfime assertion pour une vari&d abfilienne (G.A.G.A.) et pour G,". D'apr& (Io. 2.3.9), Biex((!V[1, Me; G,.) s'identifie "X l'ensemble des + : Tz(M~)| ~ Z(I) tels que : a) + est compatible ~t la filtration de Hodge (Io.2.3.8); b) la restriction de + h W ~Tz(M~)NW iTz(Me ) provient d'une forme sur GrW~ T z (M1) | G rWt T z (Me). La condition b) signifie que + est compatible ~t W, et eeci aeh~ve la construc- tion (IO.2.3). Remarque (xo.2.4). -- Une biextension P de M1 et ~ par G," d~finit de fagon Evidente une biextension p0 de M~ et M1 par G m. Si + (resp. d? ~ est la forme bilinEaire 63 PIERRE DELIGNE d6finie par P (resp. p0), on a +(x,y):--kb~ C'est clair sur les formules de (Io.~.3.7). La construction (io.2.3) a des analogues purement algdbriques en cohomologie t-adique ou de De Rham. Construction (IO.2.5), -- Soient 1VIi.=(Xi, Ai. , Ti, Gi, u~) (i= i, 2) deux I-motifs sur un corps algdbriquement clos k de caractdristique o. Soit P une biextension de M 1 et M 2 par G m. On lui associe un morphisme Tz/,z (M~) | Tz/,z (MJ ~ Z lnZ ( I ). Soit mi~Tz/,z(MJ, repr&entd par (xi, gi)avee ui(xi):ng i. Construisons deux isomorphismes a~ eta 2 de P| avec le torseur trivial G,, : gx gt a'a : P~,"a, -% Va,,,,a, = Pa,,-(.,) = G,.. On pose a~ = @(m~, m2)a~. On vfirifie que @(m~, rn.a) ne d~pend pas du choix des (x~, g~) et est une racine n-i~me de Funk& C'est la forme cherch&. Proposition (IO. 2.6). -- ~UF C, laforme (Io. 2.5) se ddduit de celle construite en (IO. 2.3) par rdduction modulo n. Cela se v~rifie /~ l'aide des formules donn&s en (Io.2.3.7). Construction (xo.2.7). -- Soient M~.=(X~, Ai, Ti, Gi, ui) deux i-motifs sur un corps algdbriquement clos k. Soit P une biextension de 1V[ 1 et M~ par Gin. On lui associe un morphisme TDR(IV[~) | -~ k. P,.appelons les ddfinitions (dues & Grothendieck) des ~-extensions et biextensions. (xO.2.7.X) Une ~-extension d'un groupe commutatif lisse G par un groupe commutatif lisse H consiste en : a) une extension E de G par H; si ~ : G� est l'addition, on regarde E eomme un H-torseur sur G muni d'un morphisme de H-torseurs sur G� G (l'addition) v : pr~E+pr~E ~ ~'E; b) une connexion sur le H-torseur E, telle que l'application ~ soit horizontale. Cette connexion est automatiquement ~ courbure nulle. Si G est extension d'une varidt6 ab61ienne par un tore, toute extension de G par G,, admet une ~-structure; deux b-structures different par une forme invariante sur G ('X valeurs dans l'alg~bre de Lie de G,,). On dfifinit de fa~on fividente la somme de Baer de deux ~-extensions. 64 THI~ORIE DE HODGE, III (xo.2.7.2) Soit P une biextension de G 1 et G 2 par H. Regardons P comme un H-torseur P sur GI� muni de morphismes v~ : pr~3P+pr~P ---> (~x� sur Gt�215 ~2 : Pr~2P+Pr~aP-~ (Id� sur GI�215 2. Une t~-i-structure sur Pest une connexion sur le H-torseur P, relative ~ Ga� 2 (la ddrivde covariante n'est d~finie que pour des champs de vecteurs parall~les ~ G~), teIle que vx et v 2 soient horizontaux. On ddfinit de m6me les l-~-structures. Une q-structure est la donnde d'une q-I-structure et d'une ~-~-structure. C'est aussi une connexion sur le H-torseur P, telle que vl et ve soient horizontaux. La courbure R d'une ~-biextension Pest la courbure de la connexion de P. C'est une 2-forme invariante par translation sur G~� ~ valeurs duns Lie(H), i.e. c'est une forme alternde sur Lie(G~)� Lie(G2), 5 valeurs dans Lie(H). Sa restriction ~ Lie(G~) et ~ Lie(G2) est nulle, de sorte que R d6finit un accouplement (encore appeld courbure de P) (zo.2.7.a) ~, : Lie(Gt)| ~ Lie(H), avec R(ga +g~., gi +g~) = @(g~, g~)--~(g~, g2)- Pour des complexes de groupes lisses Ki:[Ai~Bi], une ~-biextension (resp. ~-i-biextension) de K 1 et K 2 par H est une ~-biextension (resp. ~-i-biextension) de B 1 et B 2 par H, munie de trivialisations (en tout que ~-biextension, resp. ~-i-biextension) comme en Proposition (IO.2.7.4). -- 5oit P~ la biextension de .'g[~ et M~ par G~ image rgciproque de P. Il existe sur P~ une et une seule h-structure. Prouvons l'unicitd 9 il faut vdrifier que sur la biextension triviale de M~ et M~ par Gin, toute q-structure est triviale. Une q-structure est d'abord une connexion sur le G,,-torseur trivial sur G~ � G~, i.e. un champ de formcs sur G~ � G~, soit Po,, g,(tl + t2)" L'axiome des q-structures donne que l'a~,(tl +t2)= Ol(g,, t2)-~- q)2(tl, g2) avec q)x et q)2 biadditifs. G[. ~ est extension de Xi| par l'extension universelle G~ de G i par un groupe additif. Tout morphisme G~---~G, est trivial. D~s lors, q)l se factorise par (Xl|174 Enfin, la restriction de P ~ XI� ~ doit ~tre triviale, done aussi la restriction de q)l ~ XtxLie(G~). On a donc q)l=o. De mfime, q)2- o, et F=o. Pour prouver l'existence, il suffit de construire une ~-2-structure sur la biextension de ~-V[} et .-VI: 2 par G,, image r6ciproque de P : par image r6ciproque, on obtiendra une ~-2-structure sur pl et, sym~triquement, une q-I-structure. Pour geG1, Pg est une extension de G 2 par Gm. Soit Cg l'ensemble des q-structures sur Pg. C'est un torseur sous Lie(G2)'. Pour geG1, les C o sont les fibres d'un torseur C sur G1; l'addition de Baer des q-extensions t=ait mfime de C une extension de G t par 65 PIERRE DELIGNE Lie(G,)*. Relevons u a : X-+G 1 en u~ : X-+C en associant ~t x~X la connexion triviale de l'extension trivialisEe P-,(*I" On obtient ainsi une ~-2-structure sur la biextension de [X~C] et M2 par G,, image rdciproque de P. Vu la propri&E universelle de M~, il existe un unique diagramme commutatif [x > G] / \ prenant une image r6ciproque par v, on trouve la ~-2-structure cherch&. Par d~finition, l'accouplement (IO.2.7) est l'opposd de la courbure de la ~-biextension (i o. 2.7.4). Proposition (xo.2.8). -- Sur C, l'accouplement (io.2.7) est le complexifig de l'accou- plement (IO.2.3). La ~-biextension P~ d~finit, clans la catdgorie analytique, une ~-biextension de [Tz(Ma)-+Tc(N[x) ] et [Tz(M~.)-+Tc(M2) ] par G,,. La proposition (to.2.8) rdsulte alors du Lemme (I0.2.9). -- Soient V z et Wz deux Z-modules libres de rang fini, et P une ~-biextension de [Vz-+Vc] et [Wz-+Wc] par Gin, de biextension sous-jacente P. Alors, la courbure ~ : Vc| de P~ coincide avec l' opposg de la complexifige de la forme correspondant ~ P par (I o. 2.3.4)- Prenons P=P(+I,+~) (t~ Une ~-structure sur Pest d'abord une connexion sur le Gm-torseur trivial sur V c � We, i.e. un champ de formes P~.w(v'+ w') sur Vex W e. Cette connexion dfifinit une ~-structure sur ce torseur si et seu|ement si l~,w(v' + w') = r w') + r w) avec r et r bilindaires. Les trivialisations exp +l(Vz, We) et exp +2(Vc, Wz) sont horizontales si et seulement si @i--~--~i. La courbure de la connexion est le champ de 2-formes dP : K..~(v' + w', v" + w")-- r w") + %(v", w') -- ,I,y', w') -- %(v', w"). La courbure de Pest done la forme a,~(0', w")-%(~', w")--(+y, w")-+~(~', w"))--- +(v', w"). (zo.2.xo) Soit M un i-motif sur C. A N[ correspond une structure de Hodge mixte T(M) de type { (o, o) (o, -- ~) (-- I, o) (-- I, -- I) }. La structure de Hodge mixte Hom(T(M), Z(I)) est encore de ce type, done ddfinit un I-motif M*. L'application dvidente T(M)| ddfinit une biextension P de Met M* par Gin. Le I-motif M*, muni de la biextension P, est le dual de Cartier de 1V[. On appelle P la biextension de PoincarL 66 THI~ORIE DE HODGE, III (IO.2,XI) La construction (I0.2. I0) peut ~tre rendue purement alg~brique. A un I-motif M = (X, A, T, G, u) sur un corps algdbriquement clos k, nous allons associer un dual de Cartier M*= (X', A', T', G', u') : a) X' est le groupe des caract~res de T, A' la varidtd ab~lienne duale de A et T' le tore de groupe de caract~res X. b) Traitons tout d'abord le cas off T = o. Une extension de M par G,. consiste alors en une extension E de A par 13,., plus une trivialisation ~ de l'extension u*E de X par G,. o ~13,. ) E > A > 0 On dispose d'une suite exacte o -+ Hom(X, G,,) -~ Exti(M, G,") -~ Extl(A, G,.) -)- o. Les extensions de M par 13, n'ont pas d'automorphisme non trivial. Le foncteur des classes d'isomorphie d'extensions est reprdsentable; on d6finit G' comme 6tant le groupe algdbrique qui reprdsente ce foncteur; c'est une extension de A' par T'. On dispose d'une biextension P de IV[ et G' par G,". c) Dans le cas gfindral, on pose G' =Extt(M/W 2 M, G,.). La biextension natu- relle P" de M/W_2M et G' par G," induit une biextension P' de Met G' par Gm. Pour chaque Ze X', l'extension M de M/W_2M par T d6finit une extension de M/W_ 2 par G,,, d'ofi u'(z) eG'. o--+ T > M > M/W_2M ; o > P~('z) > M/W_2M > o 0 ) 13,n L'application v trivialise l'extension P,',(x) de M par 13,. o ) G,. ) P~cx) ~ M 9 o H ;/1 13,. > P'~(x) M/W-2M Ges trivialisations font de P' une biextension de M et M*=[X'-~G'] par 13,.. Le i-motif M*, muni de P', est le dual de Cartier cherch6. 67 68 PIERRE DELIGNE (IO. 2. I2) Cette construction permet de donner des 1-motifs une description plus sym&rique. Soit M----(X, A, T, G, u) un 1-motif, de dual de Cartier IV['----(X', A', T', G', u'), et soit P0 la biextension de Poincard. Les morphismes u et u' d6finissent par passage au quotient des morphismes (IO.2.X2.I) /2" X-+A et ~-': X'-+A'. La biextension de G et G' par G m dfiduite de P0 est image r&iproque de la biextension de Poincar6 P de A et A' par Gm. Par hypoth~se, les trivialisations (des images rficiproques) de P sur X� et G� coincident sur X� d'ofa (I0.2.I2.2) une trivialisation + de (ff� Un morphisme f : .-V[t -+ Ma, de transpos6 (en un sens ~vident) M~ -+ M~ donne lieu k des diagrammes commutatifs X 1 9 A t Xl 9 A i (xo.2. x2.3) X 2 9 A 2 X~ , A' 2 De plus, fA etf~ sont transpos& et, via l'isomorphisme (i,f~)*Pl= (f~, 1)*P 2 on a I l t P (xo. 2. x2.4) Vl(xt,fx(X~)) ---- +2(fx(Xt), x2) X l� +' 9 (P~sur AtxAI) XI� ~ .......... § (1,f~)*Pl=(fA, 1)*P 2 sur At� X 2� ~' 9 (P2 sur A 2� (IO, 2, I3) On obtient ainsi un foncteur de la cat6gorie des 1-motifs dans la cat6gorie suivante. Les objets consistent en : a) deux varidt& abdliennes en dualit6 Aet A'; b) deux Z-modules libres de rang fini X et X'; c) des morphismes v :X--~A et v' :X'-+A'; d) une trivialisation + de l'image rdciproque par (v, v') de la biextension de Poincar6 de A et A' par Gm. 68 THI~ORIE DE HODGE, III Les fl~ches consistent en les diagrammes (Io.2.12.3) vdrifiant les conditions de (IO.2. I2). Proposition (IO. 2. x/). -- Le foncteur (Io. 2. I3) est une dquivalence de catggories. La vdrification est laissde en exercice au lecteur. zo. 3. Interpr6tation alg6brlque du H 1 mi~te : cas des courbes. (xo.3.i) Soit X 0 une courbe algdbrique sur un corps algdbriquement clos k. Soit p : X'-+X 0 la normalisde de X0, et soit X' la courbe projective non singuli~re dont X' est un ouvert dense. On ddsignera par X (resp. par X) la courbe ddduite de X' (resp. de X') en contractant en un point chacun des ensembles finis p-l(s) pour seX 0. X' .~=~, X.' X r .>X x. On peut caractdriser X et X par les propridtds suivantes. a) Po est fini et radiciel, donc induit des isomorphismes H'(Xo, Zt) --+ H'(X, Zt) (t premier k la caractdristique). b) Les singularitds de X sont analytiquement isomorphes k celles que pr6sente une rdunion d'axes de coordonndes dans l'espace affine. c) X est projective et X--X est un ensemble fini de points o~ X est lisse. (xo.3.2) Le groupe de Picard Pic(X) se ddvisse comme suit. a) Soit I l'ensemble des composantes irr6ductibles de X (= l'ensemble des compo- santes irrdductibles de X0). Pour chaque composante irr~ductible Y de X, le degr6 de la restriction ~t Y d'un faisceau inversible est un homomorphisme deg z : Pic(X) ~ Z : ~ --> degr(,s ). On en ddduit deg : Pic(X) ---> Z I. Cet homomorphisme cst surjcctif, de noyau Pic~ b) Le morphisme dc Pic~ dans la vari6t6 abdlicnnc Pic~ ') cst surjectif. Son noyau est un torc. 69 7 ~ PIERRE DEI, IGNE (xo.3.3) Soient S l'ensemble fini X--X, % : S ~I l'application qui ~ sES assoeie l'unique composante irrdductible de X telle que s~%(s) et soit ~ :ZS-~-Z I induit par %. Chaque seS dfifinit un faisceau inversible 0(s), d'ofl u 0 :ZS-~Pic(X). On a deg uo = o~, D~finition (xo.3.4). -- Le H ~ motivique de Xo, notl H~(X0) (I) est le I-motif Ker (~) -+ Pie ~ (X). Par ddfinition, on a done H~,,(Xo)(I)--H~(X)(I). Remarques (xo.3.5). -- (i) On a Gr0W(H~(X) (i)) = Ker(a : Z s ~ Z') GrWl(H~(X) (~)) = Vic0(X'). (ii) Le conoyau de e est sans torsion : il s'identifie au Z-module libre de base I--%(S). On dispose d'une suite exacte courte de complexes et d'un quasi- isomorphisme o , [Ker(.) , Pic~ , [Z s , Pic(Xo)] , [Im(~) > Z I] > o [o , coker(a)] Construction (zo.3.6). -- Pour nun entier >o premier ~ la caract&istique de k, nous construisons un isomorphisme Ht(X, Z/nZ) (I)=Ht(X, ~.)x Tz/.z(H~(X ) (I)). On sait que Hi(X, W,) s'identifie ~ l'ensemble des classes d'isomorphie de faisceaux inversibles ~ sur X, munis d'un isomorphisme c.W| Puisque p0:X0-~X est fini et radicie[, on a Hi(X, Z/n) ~ Hi(X0, Z/n), et Hi(X, ~,) est encore l'ensemble des classes d'isomorphie de couples (.W, ,) pour oLP un i~aisceau inversible sur Xo, et un isomorphisme ~ : .L~v| ~ 0. Soit un tel couple (.~, ~). Le faisceau inversible ~ se prolonge en .LP sur X, et il existe un diviseur D de support S tel que, se prolonge en ~ : 'oW | -~ 0(D). S'il existe un isomorphisme ~ de 'o~ | avec O(E), eet isomorphisme est uniquement d&ermind multiplication pr& par un 61~ment du groupe divisible H~ ~). On en d6duit que (54', D) d&ermine (.~r ~) k isomorphisme pr~s. Pour qu'un couple (.~, D) provienne d'un couple eonvenable (~, 00, il faut et il suffit que n[~] = [0(D)] dans Pie(X). I1 provient de (0x. , o) si et seulement s'il est de la forme (~xo(D), nD). 70 THI~,ORIE DE HODGE, III 7' [Z s ~Pic(R)] Ccci identifie Ht(X, ~t,) au H ~ du complexe produit tensoricl de (degr~s o et i) et [Z-~Z] (degr6s --i et o) : zS u, > Pic(X) Z s ~'> Pic(X) Hi(X, ptn) ~ H~ s ~ Pic(X)]| Puisque coker(0t) est sans torsion, on lit sur (Io.3.5) (ii) que L L Ht(X, t~,)~ H~ s -+ Pic()()]| ~- H~ Tz/,z(Ht~(X) (1)). Variante (Io.3.7). -- Pour g premier ~ la caractlristique p de k, on a Ha(Xo, Zt(I))_~ Tt(H~(Xo) (x)). Construction (IO.3.8). -- Soit X 0 une courbe sur C. On construira un isomorphisme de structures de Hodge mixtes Ha(X0) (i)~ T(Ha,,(X0)(,)). Nous pouvons supposer ct supposcrons que X == X o. Construction (xo.3.9).- (i) Soit j.~ le sous-faisceau des fonctions mdromorphes clans J; r On a Ha(X, Z(1))=Ha(X, [r '"'~" ~e~x])- (ii) H~(X, C)=H~(X, [02 L r~2~,(log S)]). (iii) L'inclusion de Ha(X, Z) dans Ha(X, C) est ddfinie par le morphisme de complexes ~m k P, xp "m ., > J.~x Soit le diagramme commutatif Hi(X, Z(,)) ~7 Ha(X, [$x '*p' ~x]) *~ H'('X, [j0 x ,xp j.~x]) ' ~ H'(X,C) H'(X, [C x d --- , <n ,Oog s)]) > 9 , n'(X, [LG 71 PIERRE DELIGNE Les fl~ches horizontales du carr6 I sont des isomorphismes, car les suites O > Z(I) > d) x exp> , Cx ~ o o , C ~ d) x ~, r.f~, > o sont exactes. Celles de 2 le sont car Rtj.O x-- o. Celles de 3 le sont car les morphismes de complexes qui les d6finissent sont des quasi-isomorphismes. Ce diagramme d6finit (IO.3.9). (IO.3.IO) Rappelons que si d : F-+G est un morphisme de faisceaux abdliens sur un espace Z, alors ttI(Z, [F---~G]) s'identifie ~ l'ensemble des classes d'isomorphismes de couples (P, ~), og Pest un F-torseur (=espace principal homog6ne sous F) et o6 est une trivialisation du G-torseur dP. En particulier : a) HI(X, " 1 [62~r f~2,(log S)]) s'identifie ~t l'ensemble des classes d'isomorphie de couples (c~, ~), pour .~o un faisceau inversible sur X, et e une connexion sur ~*~, holo- morphe sur X' et pouvant pr6senter un p61e simple en les points de S. Soit a la projection de X sur Spec(C) (= un point). En topologie fppf, le faisceau Rta.([0x-+rf~},(log S)]) est reprfsentable par un sch6ma en groupes Pic~(X), dont I-II(X, [6 2 ~ r.n},(log s)]) est l'ensemble des points. Pic~(X) est une extension d'un sous-groupe de Pie(X), contenant Pic~ par H~ ', f2},(log S)). On d6finit une application (xo. 3 . xo. x ) zS-+ Pic~ (X) en associant ~t chaque diviseur D de X, concentr6 en S, le faisceau inversible 0(D). b) Hi(X, C)=Ht(X, [d) x -~-r.f2~,(log S)]) est l'alg~bre de Lie de Pic~(X). C'est l'ensemble des classes d'isomorphie de couples (P, ~), pour Pun 02-torseur et ~ une connexion comme en a) sur P. c) Hi(X, Z(~))=HI(X, [d72---~gyd)x]) est l'ensemble des classes d'isomorphie de couples (P, e), pour Pun dTx-torseur , et e un isomorphisme du faisceau inversible exp(P) avec un faisceau inversible (gx(D) (D concentrd en S). L'application Aut(P) -- 13 ~ Aut(exp(P))-- C* est smjective. Ceci permet encore d'identifier Hi(X, Z(i)) ~t l'ensemble des couples (p, d), pourp une classe d'isomorphie de d)k-torseurs, i.e. un dldment de Lie(Pic X), et d~Ker(~), ddfinissant un diviseur concentrd en S ayant exp(p) pour image dans Pic~ En d'autres termes, on a d6fini un isomorphisme (,o. 3. 2) H (X, z(i)) De la partie (i) du lemme suivant, on ddduit que cet isomorphisme est compatible ~t la filtration par le poids. 72 THI~ORIE DE HODGE, III Lemme (IO,3.II). -- (i) On a W*(Ha(X, Z)) ---- Im(Ha(X, Z) ~ H*(X, Z)) W~ Z))= Ker(H*(X, Z) ~ Ha(X ', Z)). (ii) La suite spectrale dgfinie par la filtration bgte de [0~.~x,(log S)] d~ggnkre et aboutit ~ la filtration de Hodge de H~ C). Prouvons (i). II suffit de prouver la premibre assertion : la seconde r~sultc de (8.2.5). Comparons les suites exactes Ha(X, Z) > H~(X, Z) I-~(X mod X, Z) HI(X ', Z) > H~(X ', Z) ~ > I-P(X' rood X', Z) > t-P(X', Z) I1 rfsulte de (8.3.7) et (3.2.I7) que I-~(X'modX, Z), donc I-P(XmodX, Z) est purcment de poids 2. Compte tenu de (8.2.4), ceci prouve (i). Pour prouver (ii), il nous faudra rcvenir ~ la d6finition (8.2. i) et utiliser que le sch6ma simplicial ((X'/X)a"),>0 est lisse (le produit fibrd itdr6 (n-k-I)-uple (X'/X) A" est somme disjointc de X', diagonal, ct d'un nombre fini de points) et qu'il admet ((X'/X)a"),>_o pour compactification lisse. Soit z : ((X'/X)a"),>0-+X le morphisme d'augmentation. Soit (K, F) le complexe r S) sur ((X'/X)A"),>0 , muni de la filtration b6te. On disposc d'un morphismc d'augmentation ~: [02 ~ ~ a},(log S)] --> sz.K. Le diagramme K) H~(X, C) =Ha(((X'/X)a")., K) < Hx(~K, [0~: .. > ~-,(log S)]) H~(X, C) est commutatif, et I est un isomorphisme car les c, sont finis, de sorte que R%,,.=o pour i>o. L'assertion r6sulte alors de ce que ~ est un quasi-isomorphisme filtr6. lO H](X,s.. PIERRE DELIGNE (IO. 3. I2 ) Achevons la construction (i o. 3- 8). Le diagramme HI(X,Z(I)) ~, Tz(H~(X)(I)) 9 Lie Pic(R)=H~(.X, 0~) H'(X, C) "% Lie Pica(X) , Lie Pic(i~)=Hl(.~ , 0~) est eommutatif. D'apr6s (I o. 3. i x ) (ii) et la d6fmition des filtrations de Hodge, (, o. 3. x o. 2) est compatible ~ la filtration de Hodge. Corollaire (IO.3.x3). -- H~(X)(I)~ est l'extension Ker(~) ~ Pica(X) ~ de H~(X)(I) ddduite de (IO. 3. IO. I). On a en effet un diagramme commutatif Ker(~) , Pic~(X) ~ , Pic~ Hi(X, Z) > Lie Pic~(X) 9 Lie Pic(X), et on applique (io. I .9). Exercice (xo. 3. x4). --Vdrifier que le diagramme Hi(X, Z(I)) -- Tz(I-~(X)(I)) Hi( X, ~n) Tz/a(H~ (X) (i) ) est commutatif. Remarque (i o. 3. IS). -- L'isomorphisme ddduit de (I o. 3.8) et (i o. 3.9) (ii), entre -- 1 H(X, 0x ~r.~,(logS)) (qu'on peut appeler HI3R(X)) et TDR(H~(X)(I)) , 6gal ~l Lie Pic~(X) d'apr6s (1o.3. I3), a 6td d6fini de fa~on purement alg6brique. 74 THI~ORIE DE HODGE, III xo.4. Traduction d'un th6or~me de Picard. (IO. 4. I) Soit )V une structure de Hodge mixte telle que h~q=o pour p ou q< o (resp. pour p ou q> n). Je noterai provisoirement I(3(f) (resp. II,(~)) le 1-motif ddfini par la plus grande sous-structure de Hodge mixte de (o~fz]torsion)(I) (resp. par le plus grand quotient de (~z/torsion)(n) qui soit purement de type {(-1,-1), (-1, o), (o, o)}. Si X est une vari~td algfibrique complexe de dimension ~N, je conjecture que les 1-motifs I(H"(X, Z)), II,(H"(X, Z)) (pour n~m) et IIN(H"(X, Z)) (pour n>N) admettent une d6finition purement alg~brique. Les morphismes Tt(I(H"(X, Z))) ~ (H"(X, Zt)/torsion)(i ) Tt(II,(H"(X , Z))) +- H"(X, Zt)(n ) (pour n<N) Tt(IIs(H"(X , Z))) +- H"(X, Zt)(N) (pour n_>N) et leurs analogues en cohomologie de De Rham devraient aussi admettre une d6finition purement alg6brique. C'est ce que nous avons vdrifi6 pour dim(X) = i. Voici un autre exemple. (xo.4.2) Soient S une surface projective et lisse, U un ouvert (de Zariski) dense de Set C=S--U. Posons H~(U, Z) = Ker(H2(U, Z) -+ H~(S, Z)). D'apr~s [8] w 9, ce groupe ne ddpend pas de la compactification lisse choisie S de U. Modulo groupes finis, ce n'est autre (3.2.17) que W_3H2(U,Z ) (H2(U, Q)), dual de H*(U, Q), est muni de la structure de Hodge mixte duale). On pest v6rifier que le 1-motif d~fini par (H~~ Z) /torsion) (-- l) admet la description suivante : a) Par dualit6 de Poincar6, on a H,(U, Z) ----H2c(U, Z). La suite exacte longue de cohomologie de (S, C) fournit une suite exacte Hi(S, Z) --~ Hi(G, Z) -+ H~~ Z) --)- o. b) Soit H~(C) le quotient dc Pic~ par son radical unipotcnt. On salt que Hi(C, Z)=Tz(H~(C)) ct Hi(S, Z)=Tz(Pic~ On dispose donc d'une application Z) -+ T,(Hk(C)/Pic~ qui est un isomorphisme modulo groupcs finis'. c) L'application ddduite de b) (xo.4.2.x) (H~~ Z)/torsion)(--I) ~ Tz(H~(C)/Pic~ est un morphisme de structures de Hodge mixte (et un isomorphisme modulo groupes finis). 75 PIERRE DELIGNE On peut d~finir de fa~on purement algdbrique les isomorphismes (modulo groupes finis) d~duits de (IO.4.~.I) entre les analogues de H~(U,Z)(--I) en cohomologie t-adique ou de De Rham, et les r~alisations g-adiques ou de De Rham de H~(C)/Pic*(S). (xo.4.3) Nous ne d~montrerons pas les constructions et compatibilit~s pr~c6dentes. Le r~sultat est en germe dans le th6or~me suivant de E. Picard ([I I], tome I, p. 62). Pet A y d~signent des polyn6mes. Tout rdsidu de l'intdgrale double dy ff A(x,y) peut ~tre regard~ comme une pdriode logarithmique ou cyclique d'une intdgrale abglienne. Je rappelle que : a) Une intggrale k-uple sur une varifit~ projective non singuli~re V de dimension d est une k-forme rationneUe ferm6e sur V : c'est un ~l~ment 0tEH~ if'), pour U un ouvert dense de V, qui vdrifie d0~-----o. Ici, k=2 et V-=P 2, de sorte que k=dimV et que la condition d0~ = o est vide. b) Une intfigrale k-uple ~ d6finit un filament encore notd ~ de Hk(U, C). Les pgriodes de ~ sont les hombres <0~, c> pour ceHk(U, Z). Si c est d~fini par une chalne singuliSre C, on a (o~,c)= fc~. c) Les rdsidus d'une int~grale k-uple ~H~ f~) sont les nombres (~, c} pour ceKer(H,(U, Z) -+ Hk(V , Z)). Dans le cas consid6r6 par Picard, l'application H2(U , Z)~H~(P 2, Z) est nulle et il n'y a pas lieu de distinguer entre p~riodes et r~sidus. Pour le cas g~n~ral, of. Lefschetz, [io], note I. d) Par ~ pfiriode logarithmique ou cyclique d'une intfigrale abr >>, Picard entend simplement ~ p~riode d'une intfigrale simple 8 sur une courbe Y ,. II est sous- entendu que ~ et Y sont ddterminds rationnellement par P et A. (IO.4.t) Traduisons ce th~or~me. Soient donc Set U comme en (IO.4.2) (par exemple S=P2(C)), une intdgrale double ~eH~ f2]j) et un cycle c~H~~ Z). Par d~finition est un r6sidu de ~. Soit A=H~(C)(I)/Pic~ (une extension d'une varifit~ abfilienne par un tore). La 2-forme ~ dfifinit une classe de cohomologie cl(~)eH~m(U ) et induit 76 THI~ORIE DE HODGE, III une forme lin6aire ~' sur H~(U) = T~R(A ). La correspondance ~ [~' est rationnelle. La classe c d6finit c'~Tz(A)| et on a (IO.4. 4. I) ( ~, C) = ~z~i( ~', C' ). On peut repr6senter c' par un cycle sur C, et ~' comme une intdgrale simple sur C. BIBLIOGRAPHIE [i] A. B~CIIARD, Sur les vari~t~s analytiques complexes, Ann. Sc. E.aV.S., 73 (1956). [2] T. BLOOM and M. 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Published: Aug 10, 2007

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