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R. Godement (1958)
Publ. Inst. Math. Univ. Strasbourg, XIII
J. Giraud, Séminaire Bourbaki (1968)
Dix exposés sur la cohomologie des schémas
Il existe un ouvert de Zariski dense U de M tel que T ==p~1^) n T' soit un revêtement étale de U. On ne restreint pas la généralité en prenant jeT
A. Blanchard (1956)
Sur les variétés analytiques complexesAnnales Scientifiques De L Ecole Normale Superieure, 73
Ker(a) -> Pic''(X)° de H^(X)(i)
Exercice (10.3.14). — Vérifier que le diagramme H^X^i)) = T^(HÎ,.(X)(i))
P. Griffiths (1969)
On the Periods of Certain Rational Integrals: IIAnnals of Mathematics, 90
P. Deligne (1968)
Théorème de Lefschetz et critères de dégénérescence de suites spectralesPubl. Math. I.H.E.S., 35
X ne devient constant sur aucun revêtement fini de S
Le diagramme H^X^i)) -^ T^(H^(X)(i)) -^ LieP^X^H^X,^) H^X, C) Lie Pic1(X) LiePic(X)=Hi(X,(Px) est commutatif. D'après (10.3.11) (ii) et la définition des filtrations de Hodge
La condition (i) est vérifiée pour X=Y, et le centre Z de Endg(X)®<^ n'admet aucune place complexe p : Z-^C telle que le facteur direct RI/^Q,®^?^ de Ri/»C soit purement de type de Hodge
Bp est symétrique ou alternée. Puisque ^p est alternée, Ap est alors alternée ou symétrique
Le sous-groupe p{n^{S, s)) de n^(M, p{s)) est alors d'indice fini
Corollaire (10.3.13). — H^,(X)(i) 11 est l
P. Griffiths (1970)
Periods of integrals on algebraic manifolds: Summary of main results and discussion of open problemsBulletin of the American Mathematical Society, 76
une forme linéaire (3' sur H^(U) ==T^{A). La correspondance (3 H-[3' est rationnelle
Soit ^p la forme induite sur Vp®cTp. La forme alternée ^p est invariante par 7^(S,J)
A. Weil (1958)
Publ. Inst. Math. Univ. Nancago, VI
(1971)
Math. I.H.E.S
(1952)
HODGE, Thé theory and applications of harmonie intégrais
Ap(A:, C(T^)Bp(j/, ^y)>o
), b) est vérifiée en chaque place et que la structure de Hodge est localement constante
N. Katz (1971)
Nilpotent connections and the monodromy theorem. Applications of a result of TurritinPubl. Math. I.H.E.S., 39
il suffit de montrer que la représentation de 7Ti(S, s) sur (Ri./.QJs est absolument irréductible, de sorte que H==Q^. C'est ce qui résulte du lemme suivant : Lemme
(1971)
Uanalysis situs et la géométrie algébrique, Gauthier-Villars, 1924 (reproduit dans Selected Papers
P. Deligne (1970)
Theorie de Hodge I
A. Grothendieck (1966)
Un theoreme sur les homomorphismes de schemas abeliensInventiones mathematicae, 2
M. Nagata (1962)
Imbedding of an abstract variety in a complete varietyJournal of Mathematics of Kyoto University, 2
i-motifs
N. Katz (1970)
Nilpotent connections and the monodromy theorem: Applications of a result of turrittinPublications Mathématiques de l'Institut des Hautes Études Scientifiques, 39
T. Bloom, Miguel Herrera (1969)
De Rham cohomology of an analytic spaceInventiones mathematicae, 7
(1968)
Notes on thé homology of commutatiue rings
Si
On peut représenter c' par un cycle sur G, et (3' comme une intégrale simple sur G
on doit avoir a ==2g =4. Pour j-eS, le commutant de Z agissant sur (RU^QJ, est alors commutatif, de sorte que l'action de ^ (S, s) est abélienne, donc se factorise par un groupe fini
P. Griffiths (1970)
Periods of integrals on algebraic manifolds, III (some global differential-geometric properties of the period mapping)Publications Mathématiques de l'Institut des Hautes Études Scientifiques, 38
(1970)
GRIFFITHS, Periods of intégrais on algebraic manifoids
P. A. Griffiths (1970)
Periods of integrals on algebraic manifolds, IIIPubl. Math. I.H.E.S., 38
(1970)
Actes du Congrès international des Mathématiciens (Nice
D étant un corps gauche de rang b 2 sur son centre Z, que l'on sait être totalement réel ou totalement imaginaire
10). -Pour ^=e^, on est ^a ns I e cas b) ; pour e^==-e^
A. Grothendieck (1966)
On the de rham cohomology of algebraic varietiesPublications Mathématiques de l'Institut des Hautes Études Scientifiques, 29
P. Deligne (1968)
Théorème de Lefschetz et Critères de Dégénérescence de Suites SpectralesPublications Mathématiques de l'Institut des Hautes Études Scientifiques, 35
É. Picard
Sur quelques questions se rattachant à la connexion linéaire dans la théorie des fonctions algébriques de deux variables indépendantes.Journal für die reine und angewandte Mathematik (Crelles Journal), 1905
R^C)) n'est pas purement de type (o, o), alors (R^C), ne pourrait pas être purement de type (-1, o)+(o, -i), ce qui est absurde
H. Hironaka (1964)
Resolution of Singularities of an Algebraic Variety Over a Field of Characteristic Zero: IIAnnals of Mathematics, 79
(1972)
Séminaire de Géométrie algébrique du Bois-Marie, i à 7, diffusé par FI.H.E.S.; i, 3, 4, 6, 7 I sont parus aux Springer Lecture Notes, n° 224
P. Deligne (1970)
Equations differentielles à points singuliers reguliersLecture Notes in Mathematics, 163
On se ramène aussi à supposer X^ simple. Vérifions que X satisfait à l'une des conditions {c) de
5)) : (Ci) Z est quadratique imaginaire 9
W. Hodge, M. Atiyah (1955)
Integrals of the Second Kind on an Algebraic VarietyAnnals of Mathematics, 62
oc) ———> Pic^(X)° ——> Pic°(X) H^Z) —> LiePic^X) —> Lie Pic (X), et on applique
R. Godement (1960)
Topologie algébrique et théorie des faisceauxThe Mathematical Gazette, 44
G. Segal (1968)
Classifying spaces and spectral sequencesPublications mathématiques de l'IHÉS, 34
Jean-Pierre Serre (1956)
Géométrie algébrique et géométrie analytiqueAnnales de l'Institut Fourier, 6
(1958)
Variétés kàhlériennes
THt~ORIE DE HODGE, II par PIF.RRE DELIGNE (1) SOMMAIRE I. Filtrations ................................................................................. 6 x.I. Objets filtrds ........................................................................... 6 x .2. Filtrations opposdes ..................................................................... 9 x .3. Le lemme des deux filtrations ........................................................... 14 x .4. Hypercohomologle de complexes filtrds ................................................... 19 2. Structures de Hodge ...................................................................... 24 2. I. Structures pures ........................................................................ 24 2.2. La thdorie de Hodge ................................................................... 27 2.3- Structures mlxtes ....................................................................... 3 ~ 3" Th~orle de Hodge des vari~t~s alg~brlques non singuli~res ................................ 3 I 3" I. P61es logarithmiques et r~idus ........................................................... 3 x 3.2. Th6orle de Hodge mixte ................................................................ 34 4. Applications et compl~ments .............................................................. 4 ~ 4-I. Le thfior~me de la partie fixe ........................................................... 4 ~ 4-2. Le thfior~me de semi-slmplicit~ .......................................................... 43 4.3- Compl~ment ~ [2] ...................................................................... 49 4"4" Homomorphismes de schemas abfiliens .................................................... 50 INTRODUCTION D'apr~s Hodge, l'espace de cohomologie H"(X, C) d'une vari6t6 Mihl6rienne compacte X est munie d'une ~ structure de Hodge , de poids n, i.e. d'une bigraduation naturelle H"(X, C): @ H ,q p+q=n v6rifiant HPq-----H qp. On montre ici que la cohomologie complexe d'une vari6t6 alg6brique non singuli6re, non n6cessairement compacte, est munie d'une structure d'esp6ce un peu plus g6n6rale, qui fait apparaltre Hn(X, C) comme ~< extension successive . de structures de Hodge de poids d6croissants, contenus entre 2n et n, dont les nombres de Hodge hVq=dim H pq sont nuls pour p>n ou q>n. Le lecteur trouvera expos6 dans [i4] le yoga qui sous-tend cette construction. (1) Travail pr6sent6 comme th6se de doctorat ~t t'Universit6 d'Orsay. PIERRE DELIGNE La d~monstration, essentiellement alg~brique, repose d'une part sur la th~orie de Hodge, d'autre part sur la r~solution des singularit~s ~ la Hironaka qui permet, via une suite spectrale, ~ d'exprimer )) la cohomologie d'une vari~t~ algfibrique non singuli~re quasi-projective en terme de la cohomologie de vari~t~s projectives non singuli~res. Le w I, outre quelques sorites sur les filtrations r~unis pour la commodit~ du lecteur, contient deux r~sultats-clefs : a) Le th6or~me (I.2.Io), qui ne sera utilis6 que via son corollaire (2.3.5), donnant les proprifit~s fondamentales des ~ structures de Hodge mixtes )). b) Le ~ lemme des deux filtrations )) (i.3. i6). Le w 2 rappelle la th~orie de Hodge et introduit les structures de Hodge mixtes. Le cceur de ce travail est le n ~ 3.2, qui dfifinit la structure de Hodge mixte de H~(X, C) et 6tablit quelques d~g~n6rescences de suites spectrales. Le w 4 donne diverses applications, toutes d~duites de (4. I. x) et de la thfiorie de la (K/k)-trace pour les structures de Hodge qui en rfisulte (4-1.2). Les principales sont (4.2.6) et (4.4.15). L Filtrations x.x. Objets filtr6s. (I. I. I ) Soit ~ une cat6gorie ab61ienne. On aura k consid~rer des filtrations de type Z, en g~n~ral finies, sur les objets deal : D~finition (x.x.2).- Une filtration d~croissante (resp. croissante) F d'un objet A de ~' est une famille (F"(A)),e z (resp. (F,(A)),ez) de sous-objets de A, vgrifiant Vn, m n < m =~Fm(A)c F"(A) (resp. Vn, m n<m~F,(A) cF,~(A)). Un objet filtrg est un objet muni d'une filtration. Quand il n'y aura pas danger de confusion, on dfisignera souvent par une m~me lettre des filtrations sur des objets diff6rents de d. Si F est une filtration d6croissante (resp. croissante) sur A, on pose F~176 o et F-~ (resp. F_oo(A)=o et F~o(A)=A). Les filtrations dgcalges d'une filtration dderoissante W sont d~finies par W[nJ,(A) =W"+,(A). (I.I,3) Si F est une filtration d~croissante (resp. croissante) de A, alors les Fn(A )=F-n(A) (resp. les Fn(A)=F_n(A)) forment une filtration croissante (resp. d~croissante) de A. Ceci permet en principe de ne consid~rer que des filtrations THI~ORIE DE HODGE, II ddcroissantes; sauf mention explicite du contraire, par (( filtration ~ on entendra dorgnavant ~ filtration dlcroissante ~. (x. x .4) Une filtration F de A est dite finie s'il existe n et m tels que F"(A)=A et Fro(A) = o. (x.x.5) Un morphisme d'un objet filtrd (A, F) dans un objet filtr6 (B, F) est un morphismefde A dans B qui vdrifie f(F"(A))cF"(B) pour neZ. Les objets filtrds (resp. filtrds de filtration finie) de d forment une cat6gorie additive dans laquelle existent les limites inductives et projectives finies (et donc les noyaux, conoyaux, images et coimages d'un morphisme). Un morphisme f: (A, F) -+ (B, F) est dit strict, ou strictement compatible auxfiltrations, si la fl~che canonique de Coim(f) dans Ira(f) est un isomorphisme d'objets filtrds (cf. 0.I.II)). (x. x. 6) Soit ~ le foncteur contravariant identique de d dam la cat~gorie duale ~r Si (A, F) est un objet fihr6 de d, les (A/F"(A)) ~ s'identifient ~i des sous-objets de A ~ La filtration sur A ~ duale de F est d6finie par F"(A ~ = (A/FI-"(A)) ~ Le bidual de (A, F) s'identifie ~t (A, F). Cette construction identifie la duale de la cat~gorie des objets filtr6s de d ~ la cat6gorie des objets filtr~s de d ~ (z.x.7) Si (A, F) est un objet filtr6 de d, son gradug associd est l'objet de d z d6fini par Gr"(A) -= F"(A)/F"+t(A). La convention (i. x.6) est justifide par la formule simple Cr"(A ~ = Cr-n(A) ~ qui se v~rifie sur le diagramme autodual A/F"(A) ( A/F'~+t(A) o (x.x.7. x) Fn+~(A) > F"(A) o (x. x .8) Soient (A, F) un objet filtr6 et j : X,-+A un sous-objet de A. Lafiltration induite sur X par F est l'unique filtration sur X telle que j soit strictement compatible aux filtrations; on a Fn(X) =j-I(Fn(A)) = X n F"(A). Dualement, la filtration quotient sur A/X (unique fltration telle que p :A-+A/X soit strictement compatible aux filtrations) est donn~e par F n(A/X) =p(Fn(A)) ,~ (X + F"(A))/X ~ F"(A)/(X n F"(A)). PIERRE DELIGNE Lemme (I.I.9). -- Si X et Y sont deux sous-objets de A, avec XcY, alors sur Y/X~>Ker(A/X-+A/Y), la filtration quotient de celle de Y cofncide avec celle induite par celle de A]X. Dans le diagramme les fl~ches sont strictes. (I.l.lO) Oil appellera la filtration (I. 1.9) sur Y/X lafiltration induite par celle de A. D'apr~s (i. I .9), sa ddfinition est autoduale. En particulier, si Z :AtB~C est une o-suite, et si B est filtr~, alors H(Y,)=Ker(g)/Im(f)=Ker(Coker(f)--> Coim(g)) est muni d'une filtration induite canonique. Le lecteur vdrifiera que : Proposition (I.i.ii). -- (i) Soit f: (A, F)---> (B, F) un morphisme d'objets filtrgs de filtration finie. Pour que f soit strict, il faut et il suffit que la suite o-+Gr(Ker(f)) -->Gr(a) ~Gr(B) ~Gr(Coker(f)) 4o soit exacte. (ii) Soit Z:(A, F)-->(B, F)->(C, F) une o-suite de morphismes stricts. On a alors canoniquement H(Gr(Z)) ~ Gr(H(Z)). En particulier, si Zest exacte dans d, alors Gr(Z) est exacte dans ~r Dans une cat6gorie de modules, dire qu'un morphisme f : (A, F) --~ (B, F) soit strict signifie que tout beB, de filtration >n (beF~(B)) qui est dans l'image de A, est d~j~ dans l'image de F~(A) : f(F~(A)) =f(A) n F"(B). (I,I,I2) Si | :dlX...xd,---~5~ est un foncteur multiadditif exact ~ droite, et si A~ est un objet de filtration finie de ~ (I < i < n), on ddfinit une filtration sur ~ Ai -- -- i=l par n n Fk(,__@IA~)= Y~ Im(~_@Fki(A~)--~ __@A~ .) = Zki ~ k (somme de sous-objets). Dualement, si H est exact ~ gauche, on pose Fk(H(A~.))= N Ker(H(A~)-+H(AdF~(AI))). I~ki ~ k THt~ORIE DE HODGE, II Pour H exact, les deux d6finitions sont 6quivalentes. On 6tend ces ddfinitions ~t des foncteurs contravariants en certaines variables par (I. 1.6). En particulier, pour le foncteur exact ~t gauche Horn, on pose Fk(Hom(A, B)) = {f : A ~ B IVn, f(F~(A)) c F ~ + k(B)}. On a done Hom((A, F), (B, F))=F~ B)). Sous les hypoth6ses prdc6dentes, on dispose de morphismes ~vidents n n | Gr(A,) -+ Gr(,@IA~. ) i=1 et Gr H(A~.) --> H(Gr(A~.)). Pour H exact, ce sont des isomorphismes inverses l'un de l'autre. Ces constructions sont compatibles ~ la composition des foncteurs, en un sens qu'on laisse au lecteur le soin de ne pas expliciter. x. 2. Filtrations oppos6es. (x .2. I) Soit A un objet de d muni de deux filtrations F et G. Par d6finition, Gr~(A) est un quotient d'un sous-objet de A, et, en tant que tel, se trouve muni d'une filtration induite par G (I. I. Io). Passant au gradu6 associ6, on d6finit un objet bigradu6 (Gr~ Gr~(A))~,m~ z. D'apr6s un lemme de Zassenhaus, Gr~ Gr~(A) et Gr~ Gr~(A) sont canoniquement isomorphes : si on d6finit les filtrations induites (I. I. I o) comme filtrations quotients de filtrations induites sur un sous-objet, on a Gr~ Gr~(A) ~ (F'~(A) n G"(A))/((Fm+I(A) n G"(A)) + (F~(A) n G"+I(A))) Gr~ Gr~(A)z (G"(A) n Fro(A))/((G"+ l(i) n Fro(A))+ (G"(A) n Fro+ l(h))). (I. 2.2) Soit H une troisi~me filtration de A. Elle induit une filtration sur GrF(A), et done sur GrQ GrF(A ). Elle induit aussi une filtration sur Gr F Gr~(A). On prendra garde que ces filtrations ne se correspondent en g6ndral pas par l'isomorphisme (i .2. i). Dans l'expression Gr H Gr~ GrF(A), G et H jouent done un r61e symdtrique, mais non F et G. D~finition (x. 2.3). -- Deux filtrations finies F et F sur A sont dites n-oppos6es si Gr~Gr~-(A)=o pour p+q+n. (I,2,4) Si A p'q est un objet bigradu6 de d, tel que : a) A p'q = o sauf pour un nombre fini de couples (p, q), b) A p' q=o pour p-kq4 ~n, 1[O PIERRE DELIGNE alors, on d~finit deux filtrations finies n-oppos~es de A-= Y, A p' q en posant P, q (x.~,.4.x) F'(A)= ~] A p''q' p' >p Fq(A)= Z A '',q'. (x.2.4.2) q'>q On a Gr; Gr~- (A)---= A p'q. (i.2.4.3) R6ciproquement : Proposition (x. 2.5). -- (i) Soient F et F deux filtrations finies sur A. Pour que F et F soient n-opposges, il faut et il suffit que Vp, q, p+q=n+I => FP(A)| (ii) Si F et F sont n-oppose'es, et si on pose AP'q= o pour p+q~=n A p' q = FP(A) n Fq(A) pour p q- q ---- n, alors A est somme directe des A p' q, et F et F se dgduisent de la bigraduation A p' q de A par le procgdg (I. 2.4). Preuve.- (i) La condition Gr~Gr~(A)=o pour p+q>n signifie que FPnFq=(FP+lnFq)+(FPnFq+I) pour p+q>n. Parhypoth~se, FPnF q estnulpour p+q assez grand; par r6currence descendante, on en d6duit que la condition Gr~ Gr~(A)=o pour p+q>n 6quivaut k la condition F'(A) nFq(A)=o pour p+q>n. Dualement ((I.I.6), (1.1.7) , (I.I.IO)) la condition Gr~ Gr~(A)=o pour p+q<n dquivaut ~ A=FP(A)+Fq(A) pour (I--p)+(i--q)>--n, i.e. pour p+q<n+I, et (i) en r6sulte. (ii) Si F et F sont n-oppos~es, prouvons par r6currence descendante sur p que (I. 2.5. x) @ A'" q' ~ F'(A). p' "~ p a) Pour FP(A)--o, l'assertion est 6vidente. b) La d6composition A:FP+I(A)| induit sur FP(A)~FP+I(A) une ddcomposition FP(A) = F'+~(A) | (F'(A) n F"-'(A)), et on conclut par r6currence. Pour p assez petit, on a FP(A)=A. D'apr~s (I.2.5.1), les A p'q forment donc une bigraduation de Aet F v6rifie (I.2.4. i). Que F v6rifie (I.2.4.2) en r~sulte par symdtrie. (x.2.6) Les constructions (I .2.4) et (I .2.5) 6tablissent des dquivalences de catdgories quasi-inverses l'une de l'autre entre objets de d munis de deux filtrations finies n-oppos6es et objets bigradu~s de d du type considdrd en (i.2.4). 10 THI~ORIE DE HODGE, II ~I Dgfinition (x.2.7). -- Trois filtrations finies W, F et F sur un objet A de d sont dites oppos6es si Gr~ Gr q Grw(n) = o pour p+q-+-n~eo. Cette condition est sym~trique en F et F. Elle signifie que F et F induisent sur W"(A)/W"+I(A) deux fltrations (--n)-opposfies. On pose A" q = Gr~ Gr~ Gw'-q(A), d'ofl des ddcompositions (x. 2.4), (I. 2.5) (x.2.7.*) Wn(A)/W"+I(A) = @ A p'q p-bq=~n qui font de Grw(A ) un objet bigradud. Lemme (x .2.8). -- Soient W, F et F trob filtrations finies oppos&s sur A, et G une suite (P~, q~)i>0 de couples d'entiers v&ifiant : a) pi<p~ et q~<qj pour i>j. b) Pour i2>o, p~+q~=po+qo--i+x. On pose P=Po, q=qo, n=--p--q et Ao = (5,(W"+'(A) n FV'(A))) n ( Z (W"+'(A) n Fq'(A))). _ 0<i Alors, la projection de W"(A) sur Gr~(A) induit un isomorphisme A~ -% AP' q c Gr~v(A). Prouvons par r~curre:nce sur k l'assertion suivante : (*k) La projection de W"(A)/W"+k(A) dans Gr~v(A) induit un isomorphisme de (( ( ,<k(WY, "+~ (A) n FP'(A)))-+-W"+k(A)) n ((~<k (W~ "+' (A) n +W"+k(A)))/wn+k(A)- Fqi(A))) sur AP' q c Gr~v(A). Pour k-----x, c'est la d6finition m~me de A p'q. D'apr~s (i.2.5) (i), on a (i. 2.8. i ) FPk(Gr~v+ k(a)) @Fq*(Gr~v+k(A)) --% Gr~v+ k(a). Posons B := ~] (W"+~(A) n FPI(A)) i<k C = Y, (W"+~(A) nFq~(A)) i<k B' := (W" + k(A) n FPk(A)) +W "+ k + ~(A) C'-- (W"+k(A) n Fqk(A))q-W"+k+~(A) D =W"+~(A) E :=W "+~ ~(A). ll I2 PIERRE DELIGNE La formule (I. 2.8. I) se transcrit en B'+C'=D et B'nC'=E. On a par ailleurs, puisque pk<pi (i<k), B n D cFP(A) nW"+k(A) cB' et puisque qk<q~ (i<k), C n D C Fek(A) nW"+k(A) C C'. L'assertion (*k+l) resulte alors de (*k) et du Lemme (x.2.9). -- Soient des sous-objets B, C, B', C', D, E de A. On suppose que B'-t-C'=D, B'nC'=E, B nD cB', C nD cC'. Alors, ((B +B') n (C-+-C'))/E --% ((B +D) n (C-t-D))/D. Pour prouver la surjectivitd, on dcrit ((B + B') n (C +C')) § D = (((B + B') n (C +C')) -t-B') -t-C' = ((B -t-- B') n (C-/-C'+ B')) +C'-= (B + B'-t-C') n (C +C'-t- B') = (B-t- D) n (C-t-D). Pour prouver l'injectivite, on ecrit (B + B') n (C q-C') n D =((B + B') nD) n((C-[-C') nD). Puisque B'cD, on a (B § B') nD = (B n D) § B'----- B'; de m~me, (C +C') n D =C', et (B + B') n (C +C') n D = B'nC'= E. On ach~ve enfin la demonstration de (i.2.8) en notant que (i.2.8) equivaut ~t (*k) pour k grand. Thgor~me (z. 2. xo). -- Soit dune cat~gorie abe'lienne, et dgsignons provisoirement par d' la cat~gorie des objets de d munis de trois filtrations oppos~es W, F et F. Les morphismes dans d' sont les morphismes clans xt compatibles aux trois filtrations. (i) ~r est une categorie ab~lienne. (ii) Le noyau (resp. conoyau) d'une fl&he f : A-+B clans d' est le noyau (resp. conoyau) de f dans d, muni des filtrations induites par celles de A (resp. quotient de celles de B). (iii) Tout morphisme f:A-+B dans d' est strictement compatible aux filtrations W, F et F; le morphisme Grw(f) est compatible aux bigraduations de Grw(A ) et Grw(B); les morphismes GrF(f) et Gr~(f) sont strictement compatibles gtla filtration induite par W. 12 THI~ORIE DE HODGE, II I3 (iv) Les foncteurs ~( oubli des filtrations ~, Grw, GrF, Gr~, et Gr w Gr F'' Gr F Gr w = Gry Gr F Gr w_ Gr~ Gr w = Gr w Gry de ~t' dans ~t sont exacts. D&ignons par %(p, q) et (rl(p, q) les suites %(p, q)=(p, q), (p, q), (p, q--l), (p, q--2), (p, q--3), ... (h(P, q)=(P, q), (P, q), (p--I, q), (p--2, q), (P--3, q), ..- et, avec les notations de (i.2.8), posons A~' q----- A,/cp, ~ I (i=o, i). Si f:A~B est compatible ~t W, F et F, on a (x.z. IO. I) f(A~' q) C B~ 'q (i=o, I). L'assertion (iii) r~sulte donc du lemme suivant : Lemme (i .2. I,). -- Les A~'q forment une bigraduation de A. On a (I.2.Xl.X) W"(A) = Z A~ 'q (i=o, I) n+p+q<O (x.~'.xI.2) F'(A) = Z A~ ''r p' _>>p (I.2.II.3) Fq(A) = E A~',r q'~q Par symdtrie, il suffit de prouver les assertions relatives ~ i=o. Posons A0=OA~,q , et ddfinissons sur A 0 des filtrations Wet F par les formules de (I. 2. I i). L'application canonique i de A 0 dans A est compatible aux filtrations Wet F. De plus, d'apr& (I. 2.8), Grw(i ) est un isomorphisme, et induit des isomorphismes d'objets gradu4s (i.2.ii.4) '~ A~,q-%Grwn(A)= Y~ Ap, q. p+q=n p+q=n Le morphisme iest donc un isomorphisme, et les A~ q formcnt un bigraduation de A. La formule (I.2. II. I) exprime alors que Grw(i ) est un isomorphisme. D'apr& (I.2.II.4) , GrrGrw(i ) est un isomorphisme, donc aussi GrwGr~(i ) et GrF(i ). La formule (I .2. II .2) en rdsulte. (I.~'.I2) Prouvons (I.2. IO). Soit f: A-+B dans ~r et munissons K=Ker(f) des filtrations induites par celles de A. D'apr& (i .2. i i), Grw(K ),-+Grw(A) ; de plus, la filtration F (resp. F) de K induit sur Grw(K ) la filtration image r6ciproque de la filtration F de Grw(A ). Le sous-objet Grw(K ) de Grw(A ) est enfin compatible ~ la bigraduation de Grw(A) : Grw(K ) = @ (Grw(K) n APq). P, q On en tire que n n Gr~ Gr q Grw(K ) ~+ Gr~ Gr~- Grw(A) ; 13 14 PIERRE DELIGNE les filtrations de W, F et F de K sont done oppos&s et K est un noyau de f dans ~r Ceci, joint au r~sultat dual, prouve (ii). Sifest une fl&he de ~r le morphisme eanonique de Coim(f) dans Im(f) est un isomorphisme dans d; d'apr~s (iii), c'est aussi un isomorphisme dans ~r qui est done ab61ienne. Le foncteur ~ oubli des filtrations ~ est exact d'apr~s (ii). L'exactitude des autres foncteurs (iv) r6sulte aussit6t de (ii), (iii) et (I. I. i i), (i) ou (ii). (I .o, I3 ) Soit A un objet de ~' muni d'une filtration finie croissante W. et de deux filtrations finies d&roissantes F et F. La construction (i. I. 3) assoeie ~ W. une filtration d&roissante W'. On dira que les filtrations W., F et F sont opposges si les filtrations W ~ F et Fle sont, i.e. si pour tout n les filtrations induites par F et F sur GrW(A) =W,(A)/W,_ I(A) sont n-oppos&s. Le th~or~me (I.2. I o) se transpose trivialement ~ cette variante. x-3. Le lemme des deux filtrations. (I "3" I) Soit K un complexe difffirentiel d'objets de d, muni d'une filtration F. Celle-ci est dite birgguli~re si elle induit sur chaque composante de K une filtration finie. Rappelons la d~finition des termes E~a(K, F) ou simplement E~ vq de la suite spectrale d6finie par F. On pose ZVq=Ker(d: FV(K v+q)-+ Kv+q+l/Fv+~(Kv+q+l)) et on ddfinit dualement B~ q par la formule K '+ '/B~q = coker(d : V'-'+ I(KV+'-1) __+ KV+ '/V' + I(K'+ q)). Ces formules gardent un sens pour r = oo. On prendra garde que l'usage fait ici de la notation B~ q est diff6rent de celui de Godement [TF]. On a par dfifinition : (x.3.x.x) E, pq = Im(Z~ v~ ~ K ~ + q/B~q) (I.3.I.2) = Z,~/(B~ n Z~) (x.3.x.3) = Ker (K p + q/BV~ q -+ K p + q/(Z~ q + B~q)). On peut encore &rire _ (dF~-,+I+F,+~) (d-lFV+rnFV) (x.3.1.4) B,V* n Z~V* ~ n ----(dF v-' +~ n F v) + (F v+~ n d-~F v+ ~), puisque dFv-r+lcd-Wv+r etque Fv+~r p. 14 THt~ORIE DE HODGE, II 15 Pour r<oo, les E r forment un complexe gradud par le degr6 p--r(p-kq), et E,+ 1 s'exprime comme cohomologie de ce complexe : d, E~q ~' E~+r'q-'+l). vq := H(E~-,, q+ r-1 ._+ (x.S.x.5) Er+l -+ Pour r = o, on a (x .3. x. 6) E0* = Gr;(K*). Proposition (x. 3.2). -- Soit K un complexe muni d'une filtration birgguli~re F. Les conditions suivantes sont ~quivalentes : (i) La suite spectrale d~finie par F dgg~n~re (E 1 --E~o). (ii) Les morphismes d : K~--->K ~+ 1 sont strictement compatibles aux filtrations. Vdrifions-le lorsque d est une catdgorie de modules. Pour pet q fix6s, l'hypoth6se que les fl6ches d r de sources les E~ q soient nulles pour r~ I signifie que, si xeFP(K p+q) v6rifie dxeFV+l(KV+q+l), alors il existey dans K p+q tel que dy=o et que x ety aient m~me image dans E~ q. 1V[odifianty par un bord, et posant z--x--y, on a alors VxeFV(KV+q)(dxeFP+l(K'+q+ ~) ~ SZ(z~FP+I(K '+q) et dz=dx)) soit en d'autres termes (I) Fv + I(KV +q + 1) n dFV(KV + q) = dF" +~(K' + q). Si cette condition est vdrifide quels que soient pet q, on a par r6currence sur r F v + r n dF p = dF p + r, ce qui pour p + r grand s'~crit (2) F p n dK = dF p. L'assertion (2) implique trivialement (I), et 6quivaut ~t (ii), ce qui prouve (I. 3.2). (x.3.3) Si (K, F) est un complexe filtr6, on d6signera par Dec(K) le complexe K muni de la filtration d&alde Dec(F) PK~ = Zf +~, -p. Cette filtration est compatible aux diffdrentielles : dZ~ +" -v cFV+~+I(K~+I) o Ker(d) c Z v+~+l' -vr Zf+~+ 1,-v. Puisque (x.3.3.,) Z~+l+'-v-lcFV+l+n(Kn) cB~+~'-vcZ~+'*,-v, la fl$che dvidente de Z~ +~' -'P/Z~ +1+" -v-1 dans Z~ +~'-p/B~ +'-pest un morphisme (I.3.3.2) u : Eomn-V(Dec K) -+ E~ +~'-v(K). Proposition (~. 3.4). -- (i) Les morphismes (~. 3.3. ~) forment un morphisme de complexes gradue's de Eo(Dee K) dans Ea(K ). (ii) Ce morphisme induit un isomorphisme sur la cohomologie. (iii) Il induit de proche en proche (via (x. 3. x. 5)) des isomorphismes de complexes gradue's E,(Dec(K)) --% Er+~(K ) (r2~). 16 i6 PIERRE DELIGNE Preuve. -- Soit F' la fltration de K d6finie par F'V(K") =Dec(F)'-"(K")= Zf'"-v. On a trivialement des isomorphismes, compatibles aux d, et ~ (I.3.1.5) (I 9 3.4. I ) E~' "-v(Dec K) = l~p ~,+1 +-, -V(K, F'). L'application use d6duit de (i.3.4. I) et du morphisme identique (K, F') -+ (K, V). Ceci prouve (i), et il reste ~ v~rifier que pour r>2, E~(K, F') -% E~'(K, F). On a en effet Z~q(K, F') = Z~q(K, F) pour rE I, et Z~q(K, F') n B~q(K, F') = Z~q(K, F) o B~q(K, F) pour r E 2, et on applique (I.3.1.2). (x.3.5) La construction (i.3.3) n'est pas autoduale. La construction duale consiste ~ d6finir Dec*(F) VKn = B~ +"-1' -v+ i. On dispose alors de morphismes Eg'"-'(Dec K) -+ E~+n"(K) ~ E0P'"-'(Dec*K) et, pour r>I, d'isomorphismes E~V'"-V(Dec K) -% ~v+,,vtv.~ -% E~,--V(Dec*K). Rappelons qu'un morphisme de complexes est appel6 un quasi-isomorphisme s'il induit un isomorphisme sur la cohomologie. D~finition (x.3.6). -- (i) Un morphisme f: (K, F) -+ (K', F') de complexesfiltrls de filtration birggul@re est un quasi-isomorphisme filtr6 si Grv(f) est un quasi-isomorphisme, i.e. si les E~q(f) sont des isomorphismes. (ii) Un morphisme f : (K, F, W) -+ (K, F', W') entre complexes bifiltr~s birgguliers est un quasi-morphisme bifiltrfi si Gr v Grw(f) est un quasi-isomorphisme. (x .3.7) Soit K un complexe diff6rentiel d'objets de d, muni de deux filtrations F et W. Soit E~ a la suite spectrale dfifinie par W. La filtration F induit sur les E~ vq diverses filtrations, qu'on se propose de comparer. (x. 3- 8) La formule (i. 3. I. 2) identifie E~ vak un quotient d'un sous-objet de K" + q. Le terme E~ vq se trouve par 1~ muni d'une filtration F a induite par F, appel& la premi#e filtration directe. (x. 3.9) Dualement, la formule ( i. 3. i. 3) identifie E~ q ~ un sous-objet d'un quotient de K p+ q, d'o0 une nouvelle filtration Fa. induite par F, la secondefiltration directe. 16 TH~ORIE DE HODGE, II i7 Lemme (x. 3. xo). -- Sur E 0 et El, on a F a = Fa.. pq pq Pour r=o ou I, ona B r cZ r et on applique (I.i.9). (I. 3" x x ) La formule (i. 3- i. 5) identifie E r Pq + 1 ~t un quotient d'un sous-objet de Er pq On ddfinit la filtration r&urrente F r des E~q par les conditions (i) Sur E0 pq, F r=F d=Fa,, (ii) Sur Er+l,Pq la filtration r6currente est celle induite par la filtration r6currente de E~ q. (x.3.I2) Les d6finitions (I.3.8) et (I.3.9) gardent un sens pour r=oo. Si la filtration de K est birdguli~re, les filtrations directes de E~ q coincident avec celles de E~q=E~ e, pour r assez grand, et on dfifinit la filtration r~currente de E~ e comme coincidant avec celle de E~ q pour r assez grand. Les filtrations F et W induisent chacune une filtration de H*(K), et E~ = Grw(H*(K)). La filtration F de H*(K) induit d~s lors sur E~ une nouvelle filtration. Proposition (I.3.x3).- (i) Pour la premikre filtration directe, les morphismes dr sont vq compatibles aux filtrations. Si E,+ 1 est considdrd comme quotient d'un sous-objet de E~ q, alors la premiere filtration directe sur E r Pq + 1 est plus fine que la filtration F' induite par la premiere filtration pq t pq directe sur E~ q : on a Fa(E~+x) cF (E,+l). (ii) Dualement, les morphismes d r sont compatibles ~ la seconde filtration directe, et la seconde filtration directe sur E~q+ 1 est moins fine que la filtration induite par celle de E~ q. (iii) Fe(E~q ) c Fr(E~q ) c: F~,(E~q). (iv) Sur E~, la filtration induite par la filtration F de H*(K) (I .3. I2) est plus fine que la premi#e filtration directe et moins fine que la seconde. (i) est dvident, (ii) en est dual et (iii) s'en d~duit par rdcurrence. La premiSre assertion de (iv) est aisde ~ vdrifier, la seconde en est duale. (I.3.I4) Ddsignons par Dec(K) (resp. Dec*(K)) le complexe K muni des filtra- tions Dec(W) et F (resp. Dec*(W) et F). I1 est clair sur (i.3.4. I) que l'isomorphisme (I.3.4) transforme la premiere filtration directe de E~(Dec K) en la premiere filtration directe de E~+I(K ) (r_>i). L'isomorphisme dual (i .3.5) transforme la seconde filtration directe de Er(Dec*K ) en la seconde filtration directe de E r + I(K). Lemme (z. 3. IS). -- Si la filtration F est bir~guli~re, et si, sur les Gr~v(K), les morphismes d sont strictement compatibles ~ la filtration induite par F, alors : (i) Le morphisme (i.3.3.2) de complexes graduds filtrgs par F u : GrD~0(wI(K ) -+ E~(K, W) est un quasi-isomorphisme filtrd. (ii) Dualement, le morphisme (I. 3.5) u : EI(K , W) -+ GrD0~,(w)(K ) est un quasi-isomorphisme filtrd. 3 18 PIERRE DELIGNE I1 suffit, par dualitfi, de prouver (i). D'apr~s (i .3-3) et (I .3.4), le complexe EI(K , W) filtr6 par F est un quotient du complexe filtrd GrDe0(w)(K ). Soit U le complexe filtrd noyau, acyclique d'apr~s (I. 3.4) (ii). La suite exacte longue de cohomologie associfie ~ la suite exacte de complexes o--> GrF(U ) --* Grr (GrDe~(w)(K)) --> GrF(EI(K , W)) -+o montre que u est un quasi-isomorphisme filtr6 si et seulement si Grr(U) est un complexe acyclique. D'apr~s (i .3.2), et parce que U est acyclique, cela revient ~ demander que les diffdrentielles de U soient strictement compatibles ~t la filtration F. De (i.3.3. i), on tire que U est somme sur p des complexes (U p) n = B~ + ~' - P/Z~ +1 + ~, - p- 1, munis de la fltration induite par F. Chaque diffdrentielle d de chacun des complexes U p s'ins&re dana un diagramme commutatif d'objets filtrds du type suivant, off, pour simplifier, on a omis d'indiquer le degrd total ou compl6mentaire : Bv/Z p + t * /Z ~'+ ~ /+ Coi'm (d) | Im(d) /ZV+l @ > B v+l ,Wp+2 WV+l /Wp+ 2 'Wp+2 9 WV+* Wp+I Par hypoth~se, le morphisme @ est strict. Le carr6 @ n'dtant autre que la d6composition canonique de @, la fl~che (2) est un isomorphisme filtr6. Les fl~ches du trapeze @ sont des isomorphismes; ce sont donc des isomorphismes filtrds, puisque @ en est un. Que @ soit un isomorphisme filtrd signifie que d est strict. Ceci prouve (i .3. I5)- TMor~me (I-3. x6). -- Soit K un complexe muni de deux filtrations Wet F, la filtration F gtant bir@uli&e. Soit ro>O un entier, et supposons que pour o<r<r0, les diffdrentielles du complexe gradM Er(K , W) sont strictement compatibles a la filtration Fr. Alors, pour r< r o + i, F a = F~ = Fe, sur E~ q. On prouvera le th6or~me par rdcurrence sur r 0. Pour r 0= o l'hypoth~se est vide et on applique (i. 3. i o) et (I. 3.13), (iii). Pour r0> I, d'apr~s l'hypoth~se de r~currence, ona F d=F~=F e, surE~ qpour r<r 0. 18 THI~ORIE DE HODGE, II x9 D'apr& (I .3. I5), le morphisme u : E0(Dec K) ~ EI(K ) est un quasi-isomorphisme filtrC I1 induit done un isomorphisme filtr6 de H*(Dec K) dans H*(EI(K)) : u : (E~(Dec K), Fr) -% (E2(K), Fr). De proche en proche, on en d6duit que l'isomorphisme eanonique de Es(Dec K) dans Es+ 1 (s>I) est un isomorphisme filtr5, pour la filtration rdcurrente. Sur El(Dec(K)) , F r ==F~ (I .3-io), et on sait ddj~ (i .3. I4) que u' est un isomor- phisme filtr6 u' : (El(Dec K), Fd) -% (E~.(K), Fe). Sur E~(K), on a done Fe= F r. Ceci, joint au r6sultat dual, prouve (I-3. I6) pour r0:I. Supposons que r0> 2. Alors, les fl~ches d~ de El(K) sont strictement compatibles aux filtrations, done aussi les fl~ches d o de E0(Dec K) (u induit en effet un isomorphisme de suites spectrales, et on applique le crit~re (i .3.2)). Pour o<s<ro--I , l'isomorphisme (E~(Dec K), Fr) ~(E~+I(K), Fr) montre que les d~ sont strictement compatibles aux filtrations r6currentes. D'apr& l'hypoth&e de r6currence, on a done Fa = F r sur E,(Dec K) pour s~ r 0. L'isomorphisme (E,(Dec K), Fd) ~(E,+I(K), Fd) (i.3. I3) montre alors que Fd=F r sur Er(K ) pour r~ro@I. Ceci, joint au r6sultat dual, prouve (i.3. i6). Corollaire (i. 3. x7)- -- Sous les hypotheses ge'ne?ales de (I. 3.16), supposons que pour tout r les diffgrentielles dr soient strictement compatibles aux filtrations r&urrentes des E r. Alors, sur E~, les filtrations Fd, F r , Fd, coi'ncident, et cofncident avec la filtration induite par la filtration F de H* (K). Ceci r6sulte aussitSt de (I.3.I6) et (i.3.I3) (iv). x .4" Hypercohomologie de complexes filtr~s. Dans ce num6ro, on rappelle quelques constructions standard en hypercohomologie. On n'utilise pas le langage des catdgories ddriv6es, qui serait le plus naturel ici. Dans tout le num~ro, par (< complexe ~, on entendra << complexe born~ infgrieurement )~. (I. 4. I) Soit Tun foncteur exact ~t gauche d'une cat6gorie ab61ienne d dans une catdgorie ab61ienne ~. On suppose que tout objet de d s'injecte dans un objet injectif; les foncteurs ddrivds RiT : d--~ sont done d6finis. Un objet A de d sera dit acyclique pour T si RIT(A)=o pour i>o. (i.4.2) Soient (A, F) un objet filtr6 de fltration finie, et TF la filtration de TA par ses sous-objets TFPA (ce sont des sous-objets car Test exact ~t gauche). Si GrF(A ) est T-acyclique, alors les FP(A) sont T-acycliques en tant qu'extensions successives d'objets T-acycliques. L'image par T de la suite p+l p o~F (A) ~F (A) ~GrP(A) ~o 19 2O PIERRE DELIGNE est donc exacte, et (x. 4.2. x ) GrFT TA -% T Gr v A. (x.4.3) S0it A un objet muni de deux filtrations finies F et W telles que GrF GrwA soit T-acyclique. Les objets GrFA et GrwA sont alors T-acycliques, ainsi que les Fq(A)r~W~(A). Les suites o--~ T (F q n W "+1 ) -~T(Fq n W') -+T((F q n W p)/(F q n W '+ 1)) -+o sont donc exactes, et T(Fq(Gr~v(A))) est l'image dans T(Gr~v(A)) de T(FvnWq). Le diagramme T(Fq n W p) ) T(FqOrVA) T Gr~vA TFq n TW p , Gr~w TA montre alors que l'isomorphisme (i.4.2. I) relatif k W transforme la filtration GrTw(TF ) en la filtration T(Grw(F)). (I.4.4) Soit K un complexe d'objets de ~'. Les objets d'hypercohomologie R~T(K) se calculent comme suit : a) On choisit un quasi-isomorphisme i : K-+K', tel que les composantes de K' soient acycliques pour T. Par exemple, on peut prendre pour K' le complexe simple associ6 ~ une r~solution injective de Cartan-Eilenberg de K. b) On pose RCT(K) = H'(T(K')). On v6rifie que R/T(K) ne ddpend pas du choix de K', d~pend fonctoriellement de K, et qu'un quasi-isomorphisme f: KI-+K z induit des isomorphismes R~T(f) : R~T(K1) ~ R~T(K2). (I.4.5) Soit F une filtration bir~guli~re de K. Une rgsolution filtr& T-acyclique de K est un quasi-isomorphisme filtr6 i : K-+K' de K dans un complexe filtrfi bir6gulier tel que les GrP(K 'n) soient acycliques pour T. Si K' est une telle r&olution, les K 'n sont acycliques pour T et le complexe filtr6 (of. (I.4.2)) T(K') d6finit une suite spectrale Etvq= RV+qT(Gr'(K)) =~ Rv+qT(K). Celle-ci est ind6pendante du choix de K'. On l'appelle la suite spectrale d'hypercohomologie du complexe filtrg K. Elle d6pend fonctoriellement de K et un quasi-isomorphisme filtrd induit un isomorphisme de suites spectrales. 20 THI~.ORIE DE HODGE, II 2I Les diff~rentielles d 1 de cette suite spectrale sont les morphismes de connexion d6finis par les suites exaetes courtes o-+GrP + 1K~FPK/FP +2K~GrPK~o. (x. 4. 6) Soit K un complexe. On d6signe par -r<~(K) le sous-complexe suivant : K" pour n<p "~<,(K)'----- Ker(d) pour n=p o pour n>p. Lafiltration, dite canonique, de K par les v<j(K) se d6duit par d4calage de la filtration triviale G pour laquelle G~ = K et GI(K) = o. On a, pour la filtration canonique, E~ q = o sip + q4: --p H -p si p + q = --p. Un quasi-isomorphisme f: K-+K' est automatiquement un quasi-isomorphisme filtr6 pour les filtrations canoniques. (I.4.7) Les sous-complexes ~2p(K) de K : t o si nKp ~>P(K)~= K" si n2p d6finissent une filtration birdgulihre, la filtration bgte de K. Les suites speetrales d'hypercohomologie attachdes aux filtrations b4te ou canonique de K sont les deux suites spectrales d'hypercohomologie de K. Exemple (I.4.8). -- Soit f:X~Y une application continue entre espaces topologiques et soit ~" un faisceau ab61ien sur X. Soit o~-* une r6solution de o~" par des faisceaux f,-acycliques. On a R.)C,o~'_~Jf'~(f,o~-*). Prenons pour foncteur Tle foncteur P(Y, ). La suite spectrale d'hypercohomologie du complexe f,o~* muni de sa filtration canonique (I.4.6) E~q:= H2'+q(Y, R-Pf.o~ -) ~ H'+e(X, o~-) n'est autre, ~ la rdnumdrotation l~v" Lr~r+ v~p+q.--p prhs que la suite spectrale de Leray pour f et ~. (x. 4.9) Soit (K, W, F) un complexe bifiltr6 birdgulier. A ce complexe, on assoeie : a) Une suite spectrale wEI~ ~ H~(K), de diff6rentielles wdt les morphismes de connexion d6duits des suites exactes courtes o -+ Gr~ + I(K) -+W'(K)/W p + 2(K) ~ Gr~v (K) -+ o; 21 o2 PIERRE DELIGNE b) Une suite spectrale analogue pour la filtration F; c) Des carr6s exacts O O O l l l o ---> Gr~+~Gr~v+~K --~- FV/Fp+2(Grq+~K) -> ~-v'---w K ) o o ---> Gr~+~(Wq/Wq+2(K)) -+ F'/F'+2(Wq/Wq+2(K)) -+ Gr~(Wq/Wq+2(K)) --> o o ---> GrV+lGr~v K > FV/F p+z Gr~vK > Gr~ GrqK >0 O O O Les lignes et colonnes extdrieures de ce carr6 ddfinissent des morphismes de connexion F, wdl : H"Gr~ Gr~vK ~ Hn+lGr~+lGr~v K w, vdl : H"Gr~, Gr~vK -+ H"+lGr~ Gr~v+lK. Ces morphismes v6rifient ,w4o +w,4O,w4 = o wF =o. Les morphismes Fwdl sont les morphismes dl des suites spectrales E (q), de terme E~q)v, -- v ~gal (x.4.9.x) E~'q'n-P-q=Hn(Gr~GrqK) ~ Sn(Gr~vK)=w Eq'n-q, dfn ddfinie par le complexe filtr6 Gr~v(K ). Cette suite spectrale aboutit ~ la filtration induite par F sur H*GrqK. De m~me, les wvdl sont les d 1 des suites spectrales de m~mes termes initiaux (x. 4.9.2 ) E~' q''-v-q = H~(Gr~ Gr~v K) =~ H"(Gr~ K). H" Gr~v K H" Gr~, Gr~v K H" G r; K 22 THI~.ORIE DE HODGE, II ~3 Ces constructions sont symdtriques en F et W, via l'isomorphisme q ~ q Gr~ Gr w Gr w Gr~,. (x.4.IO) On peut encore interpreter les w, Fdl comme les morphismes initiaux d'un morphisme de suites spectrales (I -4.9.2), aboutissant ~ wdl. Soit en effet C q le c6ne du morphisme Wq(K)/W q+ 2(K) -+ Gr~v(K ). Dans le diagramme u Cq i Z : Gr~v+l(K) [i] ~ 4-- Gr~v(K), u est un quasi-isomorphisme, et on a w da = H(u)- % H(i). En fair, u est m~me un quasi-isomorphisme filtrE (pour F), et la construction prdcE- dente dEfinit un morphisme de la suite spectrale dEfinie par (Gr~v(K), F) dans celle dEfinie par ,(Grq+l/K 'rw ~ ) [iJ," F), morphisme qui aboutit ~t wdl. Le terme initial de ce mor- phisme, ddduit de GrF(Z), n'est autre que w, Fdl. (x.4.xx) Ces constructions passent telles quelles ~ l'hypercohomologie. Soit en effet K un complexe muni de deux filtrations birEgulihres F et W. Une rAolution T-acyclique bifiltr~e de K est un quasi-isomorphisme bifiltr6 i : K-+K' tel que les Gr~ Gr~v(K 'm) soient T-acycliques. I1 en existe toujours. Dans le cas particulier off d est la catEgorie des faisceaux de A-modules sur un espace topologique X, et off T est le foncteur P de d dans les A-modules, un exemple de resolution T-acyclique bifiltrEe de K est le complexe simple associE au complexe double resolution de Godement co~ de K, filtrd par les cg*(FP(K)) et par les qg*(Wn(K)). Puisque ~* est exact, on a en effet Gr F Grw(Cg*(K)) ~ c~*(GrF Grw(K)). On n'aura besoin ici d'aucun autre cas. Si K' est une resolution bifihrEe T-acyclique de K, le complexe TK' est filtrd par les TFPK ' et par les TWqK ' (I. 4.3). De plus, Gr~v(K' ) est une resolution filtrde (pour F) T-acyclique de Gr~v(K), Gr~(K') est une resolution filtrde (pour W) T-acyclique de Gr~(K), Gr~ Gr~v(K' ) est une resolution T-acyclique de Gr~ Gr~e(K), et T Gr F K' ~ Gr r TK' (comme complexe W-filtrE) T GrwK'~GrwTK' (comme complexe F-filtrE) T Gr F Gr w K' ~ Gr F Gr w TK'. Lemme (x.,t. x2). -- Sous les hypothkses de (I.4. II ) : (i) Les termes initiaux des suites spectrales d'hypercohomologie (i) wE~ '"-q = R"T(Gr~rK) => RUT(K) (2) FEf'"-'=R"T(Gr~K) ~ R."T(K) 28 PIERRE DELIGNE ~4 sont aboutissements des suites spectrales d'hypercohomologie des complexes filtr6s Gr~v K et Gr~ K, de terme E~ donnd par E~, q' n--p--q = RnT(Gr~ Gr~v K) ~ w Eq'"-q (q fixe) (3) din (4) E~"q'"-P-q--=RnT(Gr~ Gr~vK) =~ FEf '"-p (p fixe). din (ii) La filtration de wE~ 'n-p, aboutissement de la suite spectrale (3), est la filtration de wE~'~-P(TK ') induite par la fltration F de TK'. (iii) Pour que les diffgrentielles des complexes Gr~v(T(K')) soient strictement compatibles a la filtration F, il faut et il suffit que les suites spectrales d'hypercohomologie (3) dgggnarent au terme E 1 . (iv) Les morphismes d 1 de la suite spectrale (4) sont les termes initiaux de morphismes de degrg I de suites spectrales (3) aboutissant aux morphismes d 1 de la suite spectrale (i). Les assertions (i) et (iv) rdsultent de (r .4.9) et (1-4. to) appliquEes ~t TK', via les isomorphismes (I. 4. i I). L'assertion (ii) est alors triviale sur la definition de la filtration rdcurrente F (identique aux filtrations directes par (I. 3. Io) et (I. 3-I3) (iii)) et l'assertion (iii) rdsulte de (r.3.2). 2. Structures de Hodge 2. I. Structures pures. (2. I. I) Dans toute la suite, on d6signera par C une cl6ture alg6brique de R : on ne suppose pas avoir choisi une racine i de l'fiquation x2q-I=o. La thEorie sera invariante par conjugaison complexe (cf. (2. I.I4) ). (2.1.2) On ddsignera par S le groupe algdbrique reel C*, dEduit par restriction des scalaires ~t la Weil de C ~t R du groupe G~ : s=IIGm. c/R S(R) =C*. Le groupe S est un tore, i.e. est connexe et de type multiplicatif. II est donc ddcrit par le groupe abElien libre de type fini X(S) = Hom(Sc, Gin) =Horn(S, GIn)(C) de ses caract&res complexes, muni de Faction de Gal(C/R)=Z/(2). Le groupe X(S) a pour gdnErateurs Z et Z, induisant respectivement l'identitd et la conjugaison complexe : C* = S(R) -* S(C) -, G~(C)=C*. La conjugaison complexe Echange z et z. (2. x.3) On dispose d'une application canonique (2.I.a.I) W " Gm--~S 24 THI~ORIE DE HODGE, II qui, sur les points r6els, induit l'inclusion de R* dans 13". On a (~. x .3. ~,) ZW=-Zw= Id. On dispose aussi d'une application (2.x.3.3) N: S-+Gm qui sur les points r6els s'identifie ~ la norme Nora : 13"-+R*. On a (2.x,3.4) N=Z~ (2.x.3.5) Now=(x~x~). D/finition (2. x . 4). -- Une structure de Hodge r6elle est un vectoriel r&l V de dimension finie muni d'une action du groupe alg/brique r&l S. (2.I.5) D'apr5s la th6orie g6n6rale des groupes de type multiplicatif, il revient au m6me de se donner une structure de Hodge r6elle sur V, ou de se donner une bigraduation V pq de V 0 =13| qui v6rifie V pq =V qp. L'action de Set la bigraduation se d6terminent mutuellement via la condition : (e. x.5. x) Sur V pq, S agit par multiplication par zP-g q. (2. x. 6) Soit (t3, � le monoide multiplicatif, et soit g= II (13, x). Clll Si Vest un vectoriel rdel, on vdrifie qu'il revient au m~me de se donner une action de sur V ou de se donner sur V une bigraduation telle que VPq=V qp et V pq = o pour p<o ou q<o. (2. x.7) Soit V une structure de Hodge r6elle, d6finie par une reprdsentation de S et une bigraduation V pq. La graduation de V 0 par les V~= ?~ V pq est alors p+q=n ddfinie sur R. On l'appelle la graduation par lepoids. Sur Vn~VnV~, la reprdsentation ~w de G m est la multiplication par x n. On dira que Vest depoids n si VPr pour p+qJen, i.e. si aw est la multiplication par x ~. (2.x.8) Soit V une structure de Hodge rdelle. La filtration de Hodge sur V 0 est d6finie par FP(Vo)= Z Vp'r p' >_p D'aprbs (I.2.6), on a Proposition (2. x-9). -- Soit nun entier. La construction (2. I. 8) gtablit une /quivalence de cat/gories entre : a) la cat/gorie des structures de Hodge r&lles de poids n; b) la cat/gorie des couples form/s d'un vectoriel r/el de dimension finie V et d'une filtration F sur V 0 =13| qui soit n-oppos& a sa complexe conjugu& F. 4 26 PIERRE DELIGNE Dgfinition (2. i. xo). -- Une structure de Hodge H, de poids n, consiste en a) un Z-module de type fini H z (le << rgseau entier >>); b) une structure de Hodge rdelle de poids n sur HR=R| z. (2.x.xx) Un morphisme f: H-+H' est un homomorphisme f: Hz--+H z tel que f~ : HR--+H ~ soit compatible ~ l'action de S (i.e. tel que fc soit compatible ~ la bigraduation, ou ~ la filtration de Hodge). Les structures de Hodge de poids n forment une catdgorie abdlienne. Si H est de poids net H' de poids n', on ddfinit une structure de Hodge H| de poids n§ par les formules : a) (H| = Hz| b) Faction de S sur (H|174 ~ est produit tensoriel des actions de S sur H R et H R, La bigraduation (resp. la filtration de Hodge) de (H| ~ est le produit tensoriel des bigraduations (resp. des filtrations de Hodge (cf. (I. i. 12)) de H c et H~. On ddfinit de fa~on analogue la structure de Hodge Horn(H, H') (de poids n'--n), les structures de Hodge/XH (de poids pn), et la structure de Hodge H* duale de H. Le << Ham interne >> prdcddent, et le groupe des homomorphismes, sont lids par la Remarque (2.x.xI. I). -- Hom(H, H') est le sous-groupe de Hom(H, H')z = Homz(Hz, Hz) formd des dldments de type (o, o). Les actions de S sur HR, H~ et Hom(H, H')R=Hom(HR, H~) sont en effet lides par s( f(x) ) = s ( f ) (s(x) ). Quefsoit de type (o, o), i.e. invariant par S, signifie donc qu'il commute ~t l'action de S. (<,.x.x2) Pour A un sous-anneau noethdrien de R, on ddfinit une A-structure de Hodge de poids n comme dtant formde d'un A-module de type fini H Aet d'une structure de Hodge rdelle de poids n sur HR=R| A. Ces ddfinitions sont surtout utilisdes pour A=Q. Une A-structure de Hodge consiste en un A-module de type fini H Aet en une structure de Hodge rdelle sur H~ = HA| A 11, telle que la graduation par le poids soit ddfinie sur le corps des fractions de A. Ddfinition (2. i. i3). -- La structure de Hodge de Tare Z(I) est la structure de Hodge de poids --2, de rang i, purement de bidegr~ (--i, --i), de rAeau entier 2niZcC. L'action de S est donc la multiplication par l'inverse de la norme (2.1.3.3). Pour neZ, on ddfinit Z(n) comme dtant la n i~m" puissance tensorielle de Z(I) : Z(n) est la structure de Hodge de poids --2n, de rang i, purement de bidegrd (--n, --n), de rdseau entier (2ni)"ZcC. L'action de S est la multiplication par N(x)-". 26 THI~ORIE DE HODGE, II ~7 (2. X. I4) Le choix dans C d'une solution i de l'~quation x~+I =o dfitermine sur chaque varidt6 complexe X purement de dimension n une orientation oq(X). Q uand on change i en --i, on a or_, (X)= (-- I) noq(X). Le choix de i ddfinit aussi un dldment C d'ordre 4 dans S(R) : l'image de i par l'isomorphisme S(R) ___ C*. II ddfinit enfin un isomorphisme entre Z et le r6seau entier de Z(n) : la multipli- cation par (2~i) n. Quand i, une orientation de X, C, ou une identification Z~Z(n)z figureront dans une formule, il sera en principe entendu qu'ils sont subordonnds ~t un m~me choix de i, et qu'en changeant i en --i, on trouverait une d6finition ou formule dquivalente. Ddfinition (2. I. z 5). -- Une polarisation d'une structure de Hodge H de poids nest un homomorphisme (x,y) : H| ~ Z(--n) tel que la forme bilindaire rdelle (2ni)n(x, Cy) sur H R soit symdtrique et ddfinie positive. (2. x. I6) La structure de Hodge r/elle de Tate est la structure de Hodge rfielle R(I) sous-jacente ~ Z(I). On d6finit de m~me R(n) sous-jacent k Z(n). Une polarisation d'une structure de Hodge rdelle H de poids n est un homomorphisme (x,y) : HQH ~ R(--n) tel que la forme bilin~aire r~elle (2r~i)n(x, Cy) sur H n soit sym6trique et d6finie positive. Une polarisation est entifirement d6finie par la forme quadratique d~finie positive (2ni)"(x, Cy) sur HR, soumise ~ la seule condition d'etre invariante par le sous-tore compact de S, noyau de N. On a (x,y)=(Cx, Cy)=(y, C2x)=(--I)n(y, x). La forme (x,y) est done symdtrique ou alternde selon la paritd de n. (2.x.x7) Le lecteur gdndralisera ces d6finitions aux A-structures de Hodge de poids n (2. I. 12). 2.2. La th6orie de Hodge. (2.2. I) Soit X une vari~td k/ihMrienne compacte (par exemple projective lisse). D'apr$s le lemme de Poincard holomorphe, le complexe de De R.ham ~x est une r~solution du faisceau constant C. On a done un isomorphisme (1.4.2) H*(X, C)~H*(X, n~), et la filtration b~te de f2 X (1.4.5) ddfinit la suite spectrale d'hypercohomologie (2.2. x. x) H (X, C), d'aboutissement la filtration de Hodge de H*(X, C). 27 28 PIERRE DELIGNE D'apr6s la thdorie de Hodge [9], [I9], on a : (A) La suite spectrale (2.2.I.I) est d~g6n6r6e : EI=E~o. (B) La filtration de Hodge de H"(X, C) est n-oppos6e ~ la filtration complexe conjugu6e. (2.2.2) Soit V un syst6me local de vectoriels r6els sur X, i.e. un faisceau de R-vectoriels localement isomorphe k un faisceau constant R ". Supposons qu'il existe sur V une forme bilin6aire Q : V| localement constante et dgfinie. Pour X connexe, tel est le cas si Vest d~fini par une repre- sentation d'un quotient fini du groupe fondamental de X. Les points (A) et (B) ci-dessus restent valables tels quels, sans qu'il faille rien changer aux d6monstrations, pour la cohomologie ~t coefficients dans Vc=V| : la suite spectrale Efq----Hg(X, f2~(V)) =~ Hv+g(X, V0) ddduite de la r6solution de De Rham de V 0 par f~(V0) d6gdn6re, et aboutit ~t une filtra- tion sur H~(X, Vc) n-oppos6e k la filtration complexe conjugu~e. Le vectoriel H"(X, V) est done muni d'une structure de Hodge rEelle de poids n canonique. (2.2.3) On montre dans [2] que les 6nonc6s (2.2. i) restent valables pour X une vari6t6 algdbrique complfite non singuli6re, non n6cessairement k/ihl6rienne. La d6mons- tration de loc. cit., bas6e sur une r~duction au cas projectif via le lemme de Chow et la r~solution des singularit6s, s'6tend au cadre (2.2.2). (2.2.4) Soit s un faisceau inversible. Voici deux fa~ons de d6finir la classe q(.oc~~ (2.2 "4" I ) Le faisceau 5s ddfinit un 61dment c dans Hi(X, d)*). Son image par df/f : @,_+f~t se trouve dans Hi(X, ~t). Plus prdcis6ment, df/f d6finit un morphisme de complexes dlog: ~*[--1]--~[0---9"~'~(----~')~'-'-~...]=q>l(~'~X). Ce complexe s'envoie dans fl~, d'ofl d log : 0" [-- i ] -+ f~, et l'image de c par d log est dans I-]P(f~x). Cette construction garderait un sens pour une varidt6 alg6brique sur un corps k quelconque. Pour k= C, on a de plus H2(X, C) ~ H~(X, nx) &off une classe c;(s176 C). (2.2.4- 2) La suite exacte exponentielle 0 --~Z ( I ) -'-~ ~) -'~ ~)* "-~ 0 28 THI~ORIE DE HODGE, II d6finit un homomorphisme 0 : Hi(X, r -+ H~(X, z(i)), t! 2 d'ofi une classe &=q (Se)~H (X,Z(I)). Si iest choisi, cette classe s'identifie ~t d"(~e) eH2(X, Z), et pour o,W=0(D), c~"(~) n'est autre que la classe de cohomologie enti6re ddfinie par D (les orientations 6tant d6finies par i). (2.2.5) Prouvons que : (2.2.5.x) Pour 0r l'injection naturelle de Z(I) dans E, on a -- ~;'(~e) = ~(~e). (2.2.5.2) Pour ~ l'injection naturelle de Z dans C, on a I t -- ~c;"(~e)= ~-~c1(~). On le v6rifie en contemplant le diagramme de complexes suivant, dans lequel d6signe un quasi-isomorphisme, et dont le rectangle sup6rieur est anticommutatif homotopie pros C > f2 x < (~>1~2" C < - [C-->O] > %1f2* T T T z(~) < [z(~)~r % r eXl C, (2.2.6) Soit X une vari6t6 projective non singuli6re purement de dimension n. Un choix de i d6finit une orientation de X et un isomorphisme Z(I)_Z. Le morphisme trace correspondant : H2"(X, Z(n)) -+ Z qui s'en d6duit ne d6pend pas du choix de i. D'apr6s Hodge, pour i<_n, le morphisme L"-'----Ac;'((P(I)) "-' : H'(X, Z) -+ H~"-'(X, Z(n--i)), est un isomorphisme et, combin6 ~t la dualit6 de Poincar6 H'(X, Z)| Z(n--i)) -+ H2"(X, Z(n--i)) -~ Z(--i), il fournit une polarisation sur la pattie primitive Ker(L n-i+1) de Hi(X, Z). On en d6duit que les structures de Hodge rationnelles Hi(X, Q) sont polarisables. 29 PIERRE DELIGNE 2. 3. Structures mixtes. D/finition (2.3. I). -- Une structure de Hodge mixte H consiste en : a) Un Z-module de type fini H z (le (< r6seau entier >>). b) Unefiltrationfinie croissante W, de HQ = Q| appel/e la filtration par le poids. c) Unefiltrationfinie F p de H 0 = C| appel/e la filtration de Hodge. On exige que sur He, la filtration W e d/duite de W par extension des scalaires, la filtration F et sa complexe conjugu/e F forment un syst~me (We, F, F) de trois filtrations opposges ((I .2.7) et (I.2.I3)) . (2.3.2) Ddsignons encore par W la filtration de H z image rdciproque de la filtration W de HQ. L'axiome des structures de Hodge mixtes signifie que pour chaque n, la filtration F induit sur C| z GrW(Hz) une filtration n-opposde ~ sa complexe conjugu6e. D'apr~s (2. i .9), GrW(Hz) se trouve muni d'une structure de Hodge de poids n, de filtration de Hodge induite par F. Exemple (2.3.3). -- Si H est une structure de Hodge de poids n, on ddfinit une structure de Hodge mixte de m~me rdseau entier et de m~me filtration de Hodge en posant W~(HQ)=o pour i< n et W~(HQ)=HQ pouri1> n. (2.3.4) Un morphisme f: H-+H' de structures de Hodge est un homomorphisme f:Hz~H z compatible aux filtrations W et F (et done compatible ~ F). On d~duit aussit6t de (i.2. io) le th~or~me suivant. Thdor~me (2.3.5). -- (i) La cat/gorie des structures de Hodge mixtes est ab/lienne. (ii) Le noyau (resp. conoyau) d'un morphisme f : H~H' a pour r/seau entier le noyau (resp. conoyau) K de f: Hz~Hz, KQQ et K| /tant munis des filtrations induites (resp. quotients) des filtrations W et F de HQ et H 0 (resp. de H'Q et He). (iii) Tout morphisme f : H-+H' est strictement compatible ~ la filtration W de HQ et H~ et ~ la filtration F de H e et H' c . Il induit des morphismes de Q-structures de Hodge : GrW(f) : GrW(H,) -+ GrW(H~) et des morphismes strictement compatibles ~ la fltration induite par W 0 : p J Gr~(f) : Gr~(Ho) -+ GrF(Ho). (iv) Le foncteur Gr west un foncteur exact de la cat/gorie des structures de Hodge mixtes dans la cat/gorie des Q-structures de Hodge de poids n. (v) Le foncteur Gr~ est exact. (2.3.6) Soit H une structure de Hodge mixte. Les Wn(Hz) , munis des filtrations induites par Wet F, forment alors des sous-structures de Hodge mixtes Wn(H ) de H. Le quotient Wn(H)/W._I(H ) s'identifie k Gr w n (Hz) , muni de sa structure de Hodge (2.3.2), (2.3.3). Cette structure de Hodge se notera GrW(H). 30 THI~,ORIE DE HODGE, II 3 I W W p, q (2.3.7) On pose H pq Gr~ Gr~-G%+q(Se)=(G%+q(H)) . aes nombres de Hodge de H sont les entiers hp~ = dim c H m. Le nombre de Hodge h pq de H est donc le nombre de Hodge h ~ de la structure de Hodge GrW+~(n). (~.3.8) On dgfinit une Q-structure de Hodge mixte H comme consistant en un vectoriel de dimension finie Ho sur Q, une filtration finie croissante W de Ho et une filtration finie dficroissante F de He, les filtrations W~, F et F 6tant oppos~es. Le th~or~me (2.3.5) se g6n~ralise trivialement ~t cette variante. 3. Th~orie de Hodge des vari6t6s alg6briques non singuli~res 3" I. P61es logarithmiques et r6sidus. (3" I. I ) Rappelons quelques propri~tds classiques des << p61es logarithmiques )> des formes diffdrentielles holomorphes. Le lecteur trouvera des d~monstrations dans [3], II, (3. *) a (3.7), par exemple. (3.I.2) Un diviseur Y dans une vari~t~ analytique complexe lisse X sera dit ~tre ~ croisements normaux si l'inclusion de Y dans X est localement isomorphe ~ l'inclusion d'une r~union d'hyperplans de coordonn6es dans C"; ceci n'implique pas que Y soit r~union de diviseurs lisses. Soient Y un diviseur k croisements normaux dans X et j l'inclusion de X*= X--Y dans X. On d6signe par ~< Y> le sous-O-Module localement libre de j, f2~, engendrd par ~2~- et par les dz~ pour ~ 6quation locale d'une composante z~ irrdductible locale de Y. Le faisceau ~< Y) des p-formes diffdrentielles sur X ~ p6le logarithmique le long de Y est par d6finition le sous-faisceau localement libre Af2~<Y) dej,~,. Proposition (3.1.3). -- (i) Une section ~ de j, f2~, appartient ~ Y2~<Y) si et seulement si ~ et do~ prdsentent au pis des p61es simples le long du diviseur Y. (ii) Les f2~( Y ) .Torment le plus petit sous-complexe de j, f2x, , stable par produit extdrieur, contenant f2~, et contenant la diffdrentidle logarithmique df/f de toute section locale mdromorphe le long de Y de j,O;~,. On appelle ~(Y) le complexe de De Rham logarithmique de X le long de Y. D'apr~s (3.1.3), (ii), ce complexe est contravariant en le couple (X, X*). (3.x.4) Localement sur X, Y est r6union de diviseurs lisses Y~, et on d6signe par yn (resp. Yn) la r6union (resp. la somme disjointe) des intersections n ~ n des Y~. Les Y~ se recollent en un sous-espace Y~ de X, et les Y~ se recollent en la varidt6 normalisde de Y~. On a Y~176 et on pose ~_~1. On d6finit l'ensemble ~ deux 61~ments des orientations d'un ensemble fini 31 32 PIERRE DELIGNE n 616ments E comme 6tant l'ensemble des g6n6rateurs de AZ E. Pour n> 2, cet ensemble est celui des classes de conjugaison sous le groupe altern6 d'ordres totaux sur E. ~n Si, A chaque point 5v de Y, on associe l'ensemble des n composantes locales de Y qui contiennent l'image dans X d'un voisinage dey dans ~n, on d6finit sur ~n un systhme local E, d'ensembles ~t n 616ments. Le systhme local des orientations de ces ensembles est un torseur sous Z/(2). Ce torseur d6finit, via l'inclusion de Z/(2) dans C*, un syst6me local complexe en de rang i sur Y", muni d'un isomorphisme (~")| On a r ~ AC F~. Localement sur ~n, ~n est muni de deux isomorphismes opposes -r : ~--% C. On pose I1 y a lieu de voir ~", muni de ~, comme une forme tordue de Z(--n) sur Y~. On ddsignera par ,~: (resp. par (*~)z) l'image directe de ~ (resp. de ,~) par l'application de ~n dans X. On a (3-x.4 .x) ~x'~^-/\*xl (n>o)._ Si Y est une r~union de diviseurs lisses distincts (Y~)ieI, le choix d'un ordre total sur I trivialise les ~,. (3. x.5) D~signons par Wn(f2~(Y)) le sous-Module de ~(Y) form~ des combi- naisons lin6aires de produits A dt~I1)A... A (m< n), t~(ll t~(m) avec ~ holomorphe et les t~(~) 6quations locales de composantes locales distinctes Yj de Y. On appelle filtration par le poids de ~(Y) ]a filtration croissante par les sous-complexes Wn(Y~89 On a (3- x. 5. x ) W. (~z~( Y >) ^ W,.(Oxq ( Y >) r W. +,~(~+ q( Y )). D6signant par i n l'application de ~n dans X, on v6rifie que la correspondance ~^ dtilll^... ^ dt~!"l~ (~ [ Y Coin... Yi/n/) | (orientation i(i).., i(n)) ti(1) t~(n/ d6finit des isomorphismes de complexes W * * (3" I .5.2) R.es : Gr. (Y2x(Y)) m in,~2~,(r n) [--n] (le << rdsidu de Poincard ~). (3.i.6) L'interpr6tation qui suit, en terme de (3.1.5.2), de la suite spectrale de Leray pour l'inclusion de X* dans X, m'a 6t6 signal6e par N. Katz. Elle permettra de v6rifier un point que j'avais tout d'abord consid6r6 comme dvident ((3.2-5)' (ii), I re partie). dt~lm---~) THI~ORIE DE HODGE, II 33 (3. x. 7) Tout point de X admet un syst~me fondamental de voisinages ouverts de Stein dont la trace sur X* soit de Stein. Pour o~- un faisceau analytique coh6rent sur X*, on a done Rjj, o~'= o pour i> o. Le eomplexe de De Rham f~, est done une rfisolution du faisceau constant t3 par des faisceaux acycliques pour le foneteur j,. D~s lors (3.x.7. x ) H*(X*, C) --% H*(X*, f2;~,) ~- H*(X,j, g2~,) et la suite spectrale de Leray pour le morphisme j s'identifie ~t la suite spectrale d'hypercohomologie pour .]',f2),, correspondant ~t la filtration 1: par les sous- complexes v<_~(j, f2~,) (i.4.6). Proposition (3. i. 8). --- Les morphismes de complexes filtrds (~)x\ Y ), W) +- (f~x(Y), "~) ~ (J,f~,, "~) sont des quasi-isomorphismes filtrds. Ils ddfinissent un isomorphisme entre la suite spectrale de Leray pourj en cohomologie complexe et la suite spectrale d'hypercohomologie du complexe filtrd (f~(Y), W) sur X. D'apr6s (I .4.5) et (3. I. 7), il suffit de prouver la premiere assertion. On trouvera dans [3], II, (6.9) ou dans [i], la ddmonstration du far que ~ est un quasi-isomorphisme, donc un quasi-isomorphisme filtrd. On peut aussi calculer directement les faisceaux de cohomologie des deux membres : ceux de ~:(Y) sont ddtermin6s par (3. I .5.2), tandis que ceux de j',f2:~, sont les R~j,C, qui peuvent se calculer par vole topologique. Pour n>p, on a W~(~:(Y))=~(Y), de sorte que c~ est un morphisme de ~(Y), muni de % dans ~(Y), muni de la filtration d&roissante associ& ~ W (1.1.3). D'apr~s (3.1.5.2), on a l o pour i4: n (3"I'8"I) ~(GrW(f~;c(Y)))= ~ pour i=n; on d6duit de la premi&e ligne de cette formule que 0~ est un quasi-isomorphisme filtr& Ceci prouve (3.1.8). D'apr~s (3-I. 7), l'isomorphisme (3. I .8. x) ddfinit un isomorphisme n 9 * (3. x .8.2) R"j,C _ ~ o~ (3.f~x.) - ~ ~"(g~x(Y)) - ~ *x. " Les isomorphismes (3.1.4. I) correspondent, via (3.1.8.2), au cup-produit. Proposition (3.x.9). -- Le morphisme canonique de R"j.Z darts R"j,C identifie, via (3.~.8.2), lefaisceau R"j.Z a (~)z (3-1-4) 9 La question est locale sur X. On peut done supposer que X est un polycylindre ouvert D", avee D ={ZeC I [Z[<l}, et que Y=kU1Yk, Yk=pr~-l(o). La fibre en o de R"j,Z est alors la cohomologie enti~re de X*=D*t� (m-t), avee D,={zeClo<[zl<i}" 5 PIERRE DELIGNE L'espace X* a le type d'homotopie d'un tore; sa cohomologie est done sans torsion, et le cup-produit d6finit des isomorphismes 1" t~a A(R j,z)0 --, (R"j,Z)0. I1 suffit done de prouver (3.1.9) pour n-=I. L'homologie enti~re Ha(X* ) est engendr6e par les lacets u tournant autour des divers Yk. On a dz~ = 4_ 2rd ; ve Zk la cohomologie enti~re est donc engendr~e par les i __dzk et ceci prouve (3- x.9). 2~i Zk (3. x. xo) Soit o~" un faisceau analytique cohfirent sur X*, donn6 comme restriction X* d'un faisceau analytique cohfirent o~' sur X. On appelle image directe mgromorphe j,~o~ de o~ la limite inductive j,%~- = lim o~-' (nY). Loealement sur X, Y est somme d'une famille finie (Yi)isi de diviseurs lisses, et on d~finit la filtration par l'ordre du p6le P sur j~0~: par la formule (3" I. IO. I ) PP(j,mCx, ) = X Cx(Y~(ni +I)Y,) n~Ap pour A,={(n,),e~l~n,<-- p et Vi, n,>o}. "m Cette construction se globalise et fournit sur 3, Ox* une filtration exhaustive telle que PP=o pour p>o. On appelle filtration par l'ordre du p61e du complexe j2f~x, =jyOx,| ~ la filtration (3" I. IO. 2 ) W(jrf2kX,) = W-k(j,~eX) | f2~. La filtration P induit sur le sous-complexe f~)(Y } de j,~f2~, la filtration b~te par les a>p(f2)(Y}), filtration encore appelde lafiltration de Hodge F. Proposition (3- i. IX ). -- Le morphisrne d'inclusion (~x(Y), F) ~ (3, f~x,, P) est un quasi-isomorphisme filtrL Cet 6noncd m'a dt6 sugg6r6 par [4]. Une ddmonstration figure dans [3], II, (3. I3)- 3-2. Th~orie de Hodge mixte. Rappelons qu'on entend dordnavant par scMma, un scMma de type fini sur C, et par faisceau sur Sun faisceau sur S a". (3.2.I) Soit X un schdma lisse et sdpar6. D'apr~s Nagata [ii], X est un ouvert de Zariski d'un sch~ma complet X. D'apr~s Hironaka [8], on peut prendre X lisse, et tel que Y=X--X soit un diviseur ~t croisements normaux. Le lecteur qui voudrait fiviter la rdf~rence ~ Nagata pourra supposer X quasi- 34 THt~ORIE DE HODGE, II 35 projectif. La compldtion lisse X peut alors ~tre choisie projective, et telle que Y soit rdunion de diviseurs lisses. Lorsqu'on se limite ~ de telles compactifications, on n'a besoin de la thdorie de Hodge que sous la forme standard (2.2. I). (3.2.2) D'apr~s (3.i.7) et (3.I.8), on a H*(X, C)~ H*(X, f2x(Y>). On ddfinit lafiltration de Hodge F sur le complexe f2x(Y ) comme ~tant la filtration Fv= a_>v par les tronquds b~tes (i.4.5). Sur f2 x (Y}, on dispose donc de deux filtrations : F et W (3.1.5). (3.2.3) Nous aurons ~ utiliser qu'il existe des r~solutions bifiltrdes i : Y2x(Y}-+K* telles que les Gr~ GrW(Kj) soient des faisceaux acycliques pour le foncteur F : Hi(X, Gr~ GrW(K~))=o pour i>o. Voici deux m~thodes pour en construire : a) On peut prendre pour K* la r~solution canonique de Godement ~*(f2x(Y)) , filtr~e par les ~*(Wn(Y~x(Y ;7)) et les c~*(FP(f2x(Y })). C'est une rdsolution bifiltrde car ~* est un foncteur exact. b) On peut prendre pour K* la d"-rdsolution de f2x(Y}. Soit f2x q le faisceau des formes C ~~ de type (p, q); K* est alors le complexe simple associd au complexe double des f2x(Y)| q (sous-complexe des j.f2x* ). Ce complexe est filtr6 par les p * O* * * F (f22(Y})| x et par les Wn(Y2x(Y))Nf2 ~ ; pour prouver que c'est une rdsolution bifiltr6e, on utilise que le faisceau d)~o des fonctions complexes C ~ sur X est plat sur 0 (corollaire au thdorame de prdparation C ~~ de Malgrange). Les faisceaux Gr F Grw(K* ) sont fins, car ce sont des faisceaux de modules sur le faisceau mou d)~. (3.2.4) Avec les notations de (3.2.3), la cohomologie complexe de X apparalt comme la cohomologie du complexe bifiltrd I'(X, K*). On dispose donc de deux suites spectrales aboutissant ~ H*(X, C). Elles su avec les notations de (3. I .4) : H (Y, ~-') :> H"(X, C) (3.2.4.I) wE~q=H'+q(x, CxP[p])-- ~P+q ~p Pq Hq(X, f2x(Y}) Hn(X, C). (3" ~" 4" ~') FE1 = =~ La premiere d'entre elles, ~ la renumdrotation w~vq~2~+q',. ~2 -P pros, n'est autre que la suite spectrale de Leray de l'inclusion j. Thdor~me (3. o. 5). -- (i) Sur les termes wE~ q de la suite spectrale (3.2.4. i), la premi#e filtration directe, la seconde filtration directe et la filtration r&urrente ddfinies par F cofncident. (ii) La filtration sur H~(X, C) aboutissement de la suite spectrale w E se ddduit d'une filtra- tion W de H~(X, Q). Ni elle, ni la filtration F aboutissement de la suite spectrale FE, ne dtpendent de la compactification choisie X de X ou du choix de K*. (iii) Les filtrations W[n] (I. 1.2) et F ddfinissent sur Hn(x, Z) une structure de Hodge mixte, fonctorielle en X. 35 PIERRE DELIGNE 3 6 D'apr~s (3. I. 7), la suite spectrale w E est la suite spectrale de Leray pour j. (~t une renumErotation pros). Elle se ddduit done par tensorisation avec C d'une suite spectrale de O-vectoriel et la premiere assertion (ii) est vraie. La eonjugaison complexe agit sur les wE; cUe peut se calculer via (3. I. IO). Lemme (3- 2.6). -- Les suites spectrales d' hypercohomologie des complexes filtrds w * Gr, (n~<Y)), munis de la filtration induite par la filtration de Hodge, dggdn~rent au terme E t . DEfinissons les Y" et Y~ comme en (3. i .4) et soit i n : Yn-+X. D'apr~s (3-1.5.2), on a W * 9 * n Gr~ (aX( Y )) ~ ,~.n?n(, ) [-- n]. De plus, la filtration de Hodge induit la filtration b~te (i.4.5), de sorte que la suite spectrale (3.2.6) se dEduit par translations sur les degrds de la suite spectrale classique E~ Pq = Hq(~ ~, a~.(~ P ~ )) ~ Hp+ ~(?", ~ ). Si .X est projectif et Y reunion de diviseurs lisses, alors ~n est projectif, ~n est un syst&me local trivial et la thEorie de Hodge classique (2.2. I) fournit la dEgEnE- rescence (3.2.6). Pour le cas gEnEral, il faut rEfErer ~t [2] (voir (2.2.2), (2.2.3)). La thEorie de Hodge fournit encore que la filtration de Hodge sur Hk(Y n, ~) est k-opposEe k sa complexe conjuguEe (la conjugaison complexe gtant dEfinie en terme de ~ (3-I .4))- On a ici, compte tenu des translations sur les degrEs : Lemme (3. ~'. 7). -- La filtration sur lg--n, k +n __ I~ (~,~, W * -- ~' n w~t -- Gr, (aX< Y ))) ~ H k ,(yn, ~ ), aboutissement de la suite spectrale (3-2.6), est (k + n)-oppos& a sa eomplexe conjugue'e. Lemme (3-o. 8). -- Les diff&entielles dx de la suite spectrale w E sont strictements compatibles la filtration F. Sur les termes El, il n'y a qu'une filtration induite par F ~t considErer ((i.3. IO) et (i .3. I3), (iii)), et d~ est compatible ~ cette filtration ((I .3. I3), (i)). Cette filtration est l'aboutissement de la suite spectrale (3.2.6) ((I.4.8), (ii)). D'aprEs (3-2.7), la fl~che d 1 dl: Hk(-X, w 9 w 9 Gr~ (~(Y))) Hk+I(.X, -+ Gr~_ t(f~y~(Y })), soit (3.2.8.i) dl : Hk-,(~, ~n) _+ Hk-~+2(~n-1, ,n-~) est compatible ~ des filtrations (k +n)-opposdes k leur complexe conjugude. Puisque d 1 commute ~ la conjugaison complexe, d t respecte la bigraduation (de poids k + n) dEfinie par F et F, ce qui prouve (3.2.8). De plus, la cohomologie du complexe E 1 sera encore bigraduEe : Lemme (3.2.9). -- Sur wE~ q, la filtration r&urrente F est q-oppos& ~ sa complexe conjugue'e. Prouvons par recurrence sur r que : Lemme (3.2. io). -- Pour r> o, les diffdrentielles d r de la suite spectrale w E sont strictement compatibles h la filtration rdcurrente F. Pour r> 2, elles sont nulles. 36 THI~ORIE DE HODGE, II Pour r:o (resp. r=I), on applique (3.2.6) et (i.4.8), (iii) (resp. (3.2.8)). Pour r>2, il suffit de prouver que dr---o. Par r&urrence et d'apr~s (i.3.i6), on peut supposer que sur les termes wE8 (s>r+I), on a Fa:Fr:Fa. , et que wEt:wE2. D'apr~s (I .3.13), (i), d rest done compatible k la filtration F r. __ Pq Sur wErVq--wE2 , la filtration F r est q-oppos& k sa eomplexe conjugu&. Le morphisme T~p+r,q--r+l dr : wet pq ---~W~r vdrifie donc, pour r-- i > o d r (wE~ ~ ) = < ( o +Z=q (F ~ (wEi~ ~) n F~(wE~q))) C ~ (Fa(w Ep+r'q-r+l) n F-b(wErP+r,q-r-~ 1)) = O. a+b=q Ceci prouve (3.2. Io), qui, d'apr~s (i.3. i6), implique (3.2.5) (i). D'apr~s (i .3. I7), la filtration de wE~ induite par la filtration F de Hv+q(X, C) est q-oppos& ~t sa complexe conjugu&. Puisque q=--p+ (p+q), ceci prouve la premi&e partie de (3.2.5) (iii). (3.2.xx) Prouvons (ii) et (iii), ee qui ach~vera la d~monstration. A. Indgpendance du choix de K*. Les filtrations F et W de H*(X, C) sont les aboutissements des suites spectrales d'hypercohomologie de f~x<Y > pour les filtrations F et W. Ces suites spectrales toutes enti~res ne ddpendent pas du choix de K*. B. Fonctorialits un morphisme de sch6ma. Supposons donn6 un morphisme de Soit f: XI-~X. 2 compaetifications lisses X 1 f > X~ (3.2-II.I) les Yi=Xi--Xl &ant des diviseurs ~ croisements normaux. Le morphisme canonique (voir (3.1.3)) def*ax <Y2> dans nxl<Yl> est alors un morphisme de complexes bifiltr~s; sur l'hypercohomologie, il induit un morphisme compatible ~t F et W, et done f* : Hn(Xe, Z) -+ Ha(X1, Z) est un morphisme de structures de Hodge mixtes, pour les structures d~finies par les compaetifieations Xi. C. Inddpendance de la compactification. Avec les notations de B, sif est un isomorphisme, alorsf* est un morphisme bijectif de structures de Hodge mixtes, done un isomorphisme (2.3.5). Si 21 et X2 sont deux compactifieations lisses de X, avec Yi=Xi--Xi diviseur 37 PIERRE DELIGNE croisements normaux, il existe une troisi~me compactification lisse X, avec Y=X--X diviseur ~ croisements normaux, qui s'ins~re dans un diagramme commutatif /;\ A savoir, on prend pour X une rdsolution des singularitds de l'adhdrence de l'image diagonale de X dans X1 � L'application identique de H~(X, Z) muni de la structure de Hodge mixte ddfinie par Xl, dans Hn(x, Z) muni de celle ddfinie par X2, est donc composde de deux isomorphismes. Pour achever la ddmonstration de (ii) et (iii), on remarque que tout morphismef s'insSre dans un diagramme (3.2. II. I) : oil choisit des compactifications X[ et X~ de X 1 et X~, puis on prend pour X 1 une rdsolution des singularitds de l'adhdrence de -, l'image de X 1 dans XI� 2. Dgfinition (3.2.I2). --La structure de Hodge mixte de la cohomologie d'une varidtd algdbrique lisse sdparde est la structure de Hodge mixte (3.2.5), (iii). Corollaire (3.2. I3). -- Avec les notations pr&ddentes : (i) La suite spectrale (3.2.4.1) ddggn~re en E~, i.e. la suite spectrale de Leray pour l'inclusion j : X*~--~X ddge'n~re en E 3 (E3=Eo~). (ii) La suite spectrale (3- 2.4- 2) FE/q=Hq(X, f~x<Y>) ~ HP+q(x, C) dgggn~re en E 1. (iii) La suite spectrale dgfinie par le faisceau f~< Y >, muni de la filtration W : -- Gr n (x< Y>)) ", a};n(e)). H (X, ddggn}re en E2. L'assertion (i) est prouvde en (3.2.IO). Considdrons les quatre suites spectrales de (i .4. I2), relatives au complexe bifiltrs f~x<Y>. D'apr~s (i), on a E dim H~(X, Cl) = 2[] dim wE~ ' % n p, q Les termes wE~ '~-~ sont, pour n fixe, aboutissement d'une suite spectrale ddgdndrle en E 1 (3.2.6) de termes initiaux ~lPP'n'k-P-~ (notations de (I-4-I2)) les termes initiaux de la suite spectrale (iii). Puisque wdl est strictement compatible k la filtration F aboutissement 38 THI~ORIE DE HODGE, II 39 de cette suite spectrale (3.2.7), et est (1.4.12) l'aboutissement d'un morphisme entre ces suites spectrales, qui d6bute par les diffdrentielles de (iii), on a Grp[ ~'n,k--n~, l.-l*{I~p,n--l,k--n--p ~F~w~2 J~ ~ ~1 ~ g~ '"'k-"-~ ~ Ef '"+~'k-"-~) et Gr~(wE[* ) est la somme des termes El** des suites spectrales (iii). On a done dim H~(X, C) = 7] dim E~**. (3.2. '3. *) Par ailleurs, on a E dim H'(X, C) _< E dim ~E~* avec 6galitd si et seulement si la suite spectrale (ii) d6gdn&re en El, et dim FE~*_< Y~ dim E~**, avec 6galit6 si et seulement si les suites spectrales (iii) d6g6n~rent en Ee. Comparant avec (3.2. I3. I), on obtient (3.2-I3). Corollaire (3.2. x4). -- Soit o~ une p-forme diffirentielle mgromorphe sur X, holomorphe sur X et prgsentant au pis des p3les logarithmiques le long de Y. Alors, la restriction o~ l X de o~ X estferm&, et si la classe de cohomologie dans HP(X, 13) dgfinie par co est nulle, on a o~ = o. C'est le cas particulier ~p0 r p0 de (3 2. I3), (ii). p~l -- F~oo Corollaire (3.2. *5). -- (i) Si X est une varilt~ alg~brique complete lisse, la structure de Hodge mixte sur H~(X, Z) est la structure de Hodge de poids n classique. (ii) Les nombres de Hodge h pq de la structure de Hodge mixte de H'(X, Z) (X alglbrique lisse) ne peuvent gtre non nuls que pour p< n, q< net p § q> n. L'assertion (i) est claire; pour prouver (ii), on remarque que, pour Y rdunion de diviseurs lisses, la structure de Hodge rationnelle GrW(I-P(X, Q)) est quotient d'un sous-objet d'une structure de Hodge de poids n§ ~ savoir H"-k(?% O)| (--k). (3.2.I6) Soit X un schdma lisse et s@ard. On sait que X admet des compacti- fications lisses .~ et que le sous-groupe de Ha(x, Z) image de H"(.X, Z) est inddpendant du choix de X (cf. [6], (9.1) & (9.4)). CoroUaire (3-~'. *7).- Sous les hypothkses (3.2.16), l'image de H~(X, O_v) dans H"(X, Q) est Wn(H"(X, Q,)) (w d4signant la filtration par le poids (3.2. I2)). On peut supposer que X--X est un diviseur ~ croisements normaux. L'assertion r6sulte alors de ce que W[--n] est l'aboutissement de la suite spectrale de Leray pour l'inclusion j : X,-+.X. CoroUaire (3.2. ill). -- Soit f un morphisme d'un scMma propre et lisse Y dans un scMma lisse X admettant une compactification lisse X : YLX,-~R. Alors, les groupes Ha(x, Q) et H~(,X, Q,) ont mgme image dans H'(Y, QJ. 39 PIERRE DELIGNE 4 ~ Puisquef* et (3f)* sont strictement compatibles ~ la filtration par le poids ((3.2.5), (iii)), il suffit de prouver que GrW(f *) et GrW(f*j *) ont m~me image dans GrW(H"(Y, Q)). D'apr6s (3.2.17) et (3.2.I5) , GrW(j *) est un isomorphisme, tandis que GrW(f*)=o pour m4:n puisque GrW(H"(Y,Q))=o pour m4=n. Remarque (3.2. x 9). -- D'apr6s (3- I. I I) et (i. 4- 5), sous les hypotheses de (3.2.5) la filtration de Hodge sur H"(X, C) est l'aboutissement de la suite spectrale d'hyper- cohomologie du complexe j.~g)~., muni de la filtration par l'ordre du p61e (3. i. io) : cette suite spectrale coincide avec (3.2.4.2). 4. Applications et compl6ments 4. I. Le th~or~me de la pattie fixe. TMor~me (4-x. i). -- Soient Sun schdma lisse slpar~, et f : X~S un morphisme propre et lisse. (i) En cohomologie rationnelle, la suite spectrale de Leray E~'=H'(S, Rqf.Q) ~ Hv+e(X, Q) d~ggn~re (E2=E~o). (ii) Si X est une compactification non singulikre de X, le morphisme canonique H"(X, Q) ~ H~ R"f.Q) est surjectif. Pourfprojectif et lisse, l'assertion (i) est prouvfie dans [2]. La dfimonstration de [2] est r6~crite de fa~on plus lisible dans [5]; elle n'utilise pas la lissit6 de S. Fixons f, et prouvons que (i) =~ (ii). On se ram~ne ~t supposer S connexe non vide. Si seS est un point de S, le syst6me local R"f.Q est enti6rement ddcrit par sa fibre (R"f.Q)~ en s, et par Faction du groupe fondamental ~ = rq(S, s) sur cette fibre. On a H~ R"f.Q) ~ [(RYf.Q),] '~. Si X,=f-t(s), la fl~che compos6e H~ R"f,Q) ~ (R"f,Q)~ H"(X~, Q) est donc injective. Soient les fl~ches a b e H"(X, Q) ~ H"(X, Q) -+ H~ R"f,Q) '-+ H"(X,, Q). Les fl~ches cb et cba ont mfime image d'apr6s (3.2.18). La fl~che best un << edge- homomorphism )~ de la suite spectrale de Leray, donc est surjective par hypoth~se. Puisque cest injective, bet ba ont mfime image et ba est surjective. Ceci prouve (ii) pourfprojectif. Dfiduisons-en le cas g~ndral. On se ram~ne encore ~t supposer S connexe non vide. D'apr6s le lemme de Chow et la r6solution des singularitds, il existe un schdma 40 THi~ORIE DE HODGE, II quasi-projectif et lisse X' et un morphisme projectif et birationnel p : X'--+X. I1 existe alors (par Bertini, ou Sara) un ouvert de Zariski non vide S 1 de S tel que X;~(fp)-t(S~) -- --t soit lisse sur S 1. Soient enfin Xl=f-l(S1), X une compactification lisse de X et X 1 une compactification lisse de X' 1 qui domine X. X'< ~ Xl-' / V X< " X~< p X[ S < "~ S~ -- S1 Si seSl, le morphisme i. : r=l(S1, s) -+ nl(S, s) est surjectif car la codimension topologique de S-- S~ est _2_> 2. On a donc H~ R"f, Q,) --% H~ R"fl, Q,) et il suffit de prouver que H"(X, Q) -+ H~ Rnf~.Q) est surjectif. Les fl~ches verticales du diagramme Hn(X, Q) , H"(NI, Q) > H~ R"fi, Q) > H n (X1, , O..) > H~ R"f~'Q) H Q) admettent pour inverse k gauche les morphismes de Gysin P!, P! et p!, ddfinis par dualitd de Poincar~ comme transposds des fl~ches analogues aux pr6cddentes en cohomologie support propre. De plus, le diagramme H~(X, Q) ~> H0(S1, R~f~.Q) -- V H"(X', Q) H~ RN:O) est commutatif. La fl~che u est donc facteur direct de la fl$che v. Cette derni~re dtant surjective (puisque fi' est projectif), il en est de mSme de u. 6 PIERRE DELIGNE 4 2 Prouvons (i) dans le cas gdn6ral. On se ram6ne ~ supposerfpurement de dimension relative n. Soit f� la projection de X� sur S. Soit 8 l'image de la classe de cohomologie de la diagonale de X xs X dans H~ R"(fxf),Q). On a par Ktinneth R"(f� ~g (Rpf, Q| Q). p+q=n On ddsignera par 8s (p q-q = n) les composantes de 8 dans cette d6composition, et par 8re des classes dans H"(Xxs X) d'images les 8s Les 8pq d6finissent dans la catfgorie d6riv6e D+(S) des homomorphismes 8, : Rf.Q--> Rf.Q tels que Jgfq(Sp) soit o pour p~:q, et soit l'identit6 pour p=q. D'apr6s [2], on a donc dans D + (S) (4. x.x. x) Rf.Qg Y, R'f.Q,[--p], et la suite spectrale de Leray d6g6n6re. Corollaire (4. x.2). -- Soit f: X-+S un morphisme propre et lisse de but un scMma r~duit connexe et sgparg S. Soit (R"f,Q) ~ le plus grand sous-syst~me local constant de R"f,Q, de fibre H~ R"f,Q). Alors, pour chaque s~S, (R"f,Q) ~ est une sous-structure de Hodge de (R"f,O),___H"(X,, O), et la structure de Hodge induite sur H~ R"f,Q) est inddpendante de s. Soient s~S et X s=f-t(s). Si S est lisse, et si X est une compactification lisse de X, alors d'apr6s (4.i. 1), le sous-espace (Rnf.Q)~ de (R"f.Q,)~ est l'image de H~(.X, Q.). Puisque l'application de restriction H"(X, O) --, O) est un morphisme de structures de Hodge, son image est une sous-structure de Hodge et la structure de Hodge induite sur H~ R~f.Q), quotient de celle de Hn(X, Q), est ind6pendante de s. Dans le cas g6n6ral, (4.1.2) signifie encore que si a est une section globale de R~f.C, alors ses composantes a v'q de type (p, q), a priori seulement des sections continues du fibrd complexe d6fini par R'f.(], sont en fait localement constantes, i.e. des sections de R"f.C. Tel est le cas, car a v' q est continue, et localement constante sur l'ouvert de lissit6 (dense) de S d'apr6s ce qui pr6c6de. (4.1.3) Dans le cas off S est compact, une gdn6ralisation de (4-I .2) est prouv6e par voie analytique dans Griffiths [5]. Comme corollaires de (4. I .2), citons : (4.I.3.I) (Griffiths [5]) Soit f:X-+S un morphisme propre et lisse comme en (4. I. 2). Si une section globale a de Rnf.C est de type de Hodge (p, q) en un point, alors a est de type (p, q) partout. En particulier, sin -= 2 et si a est en un point s la classe 42 THI~,ORIE DE HODGE, II 43 de cohomologie d'un diviseur de X,, alors a est en tout point la classe de cohomologie d'un diviseur et, pour S lisse, est m~me dfifinie par un diviseur D sur X. (4.x.3.2) (Grothendieck [7]) Soit S un schfima r6duit et connexe de type fini sur C, et soient fl : XI-+S et f~ : X2-+S deux schfimas abfiliens sur S. Si un morphisme u : l~lf~,Z -+ Rlfl,Z provient en un point s de S d'un morphisme de vari6t6s ab61iennes ~ : (X1),--~(X2)8, alors u provient d'un (et d'un seul) morphisme de schemas abfiliens : XI-+X2. (4. I.3.3) (Cf. Katz [IO]) Soient S un sch6ma lisse connexe, sun point de S, f : X-+S un morphisme propre et lisse et P un facteur direct du syst~me local R~,Q, qui soit point par point une sous-structure de Hodge. Les conditions suivantes sont 6quivalentes : a) La structure de Hodge de Pest localement constante. b) La repr6sentation P~ de ~1(S, s) se factorise par un quotient fini de ~zl(S , s). c) I1 existe un rev~tement Stale fini non vide u : S'-+S tel que u*P soit une famille constante de structures de Hodge. 4-2. Le th6or~me de semi-simplicit6. (4-2. I) Soit S un espace topologique. Une famille continue de structures de Hodge sur S consiste en : a) Un syst~me local H z de Z-modules de type fini sur S. b) Pour tout point soS, une structure de Hodge sur la fibre (Hz)8, cette structure variant continflment avec s. Une famille continue H de structures de Hodge sur S est dite de poids n si les fibres H s (seS) sont de poids n. On ddfinit de m~me une famiUe continue de Q-structures de Hodge comme un syst~me local de Q-vectoriels, muni en chaque point d'une Q-structure de Hodge variant continfiment. Une polarisation d'une famille continue H de Q-structures de Hodge de poids n est un morphisme de syst~mes locaux de HQ| dans le syst~me local constant Q(-n)Q, qui en chaque point seS d~finisse une polarisation de H s. (4.2-2) Supposons S connexe, et soit ~" une sous-catfigorie strictement pleine de la cat~gorie des familles continues de Q-structures de Hodge sur S. On aura ~ consid~rer les conditions suivantes 9 (4.2.2.I) ~ est stable par facteur direct, par somme directe et par produit tensoriel; les familles constantes de Tare Q(n) (nEZ) sont dans ~. (4.2.2.2) Toute structure de Hodge homog~ne (=d'un poids n) dans cg est polarisable. (4.2.2.3) Pour tout HEOb c~, il existe un syst~me local H i de Z-modules libres sur S tel que Hz| Q. 43 PIERRE DELIGNE (4.2.~,.4) Pour tout H dans 5, le plus grand sous-syst6me local constant H t de H est une famille constante de sous-structures de Hodge de H. Lemme (4.~,.3). -- Si 5 vgrifie les conditions (4.2.2.I) et (4.2.2.2), alors : (i) 5 est une sous-catdgorie abdlienne semi-simple de la catdgorie abglienne des famiUes continues de Q-structures de Hodge sur S. (ii) Si HsOb 5, alors son dual H* et les AH sont dans 5; si H1, H2sOb 5, alors Hom(H1, H2)sOb cg. Si H~Ob 5 et si H test un Sous-objet de H, dans la cat6gorie des familles continues de Q-structures de Hodge, prouvons que H 1 est facteur direct de H dans cette catfigorie. On peut supposer H homog6ne. Si + est une forme de polarisation pour H, l'orthogonal de H 1 pour ~b est en effet un sous-objet de H supplfimentaire de H 1. Ceci prouve (i). Si HeOb 5 est de poids n, une polarisation de H dfifinit un isomorphisme entre H* et HQQ(n). D'apr~s (4.2.2.I), on a donc H*EOb5. Pour H quelconque dans 5, si on d6compose Hen ses composantes homog~nes, on a H*= @ (H") *, d'ofl encore p p n H'sOb 5. Enfin, AH est facteur direct dans | Horn(H1, H2)~H~| 2. Soit f : X-+ S un morphisme propre et lisse de schfimas rfiduits. Le faisceau R~C, O~ est alors un syst~me local, et pour sES, (R~f,O~)~_~Hi(Xs, O) est muni d'une Q-structure de Hodge. Celle-ci varie continfiment avec s. Dgfinition (4.2.4). -- Soit Sun scMma lisse et connexe. Une famille continue H de Q-structures de Hodge sur S an sera dite alg6brique s'il existe un ouvert de Zariski non vide U de S, un entier k et un morphisme projectif et lisse f: X~U tel que HIU soit facteur direct dans R/,O~N Q(k). Proposition (4.2.5). -- (i) La catggorie des familles continues algdbriques de Q-structures de Hodge sur S vgrifie les conditions de (4.2.2). (ii) Si une famiUe continue H de structures de Hodge sur S est telle que sa restriction ?tun ouvert de Zariski dense U de S soit algdbrique, alors H est alggbrique. (iii) Si f:X~S est propre et lisse, alors Rf, Q, est alggbrique. L'assertion (ii) est ~vidente. Prouvons (i). Soit ~0 l'ensemble des familles continues de structures de Hodge sur S qui sont de la forme P,.f,O (fprojectif et lisse). Alors : a) D'apr~s la formule de Kfinneth R(f� ~ Rf, O~| Rg, Q, ~0 est stable par produit tensoriel. b) ~o est stable par somme directe : R(fug),Q- ~ Rf, Q| Rg, Q. 44 THI~,ORIE DE HODGE, II 45 c) Les composantes homog6nes de tout HeC~0 sont polarisables (cf. (~.~.6)). d) Les objets HeCg0 v6rifient (4.~-~.3), puisque Rf, Q_ Rf.Z| Q. e) Les objets HeCg0 v6rifient (4.e.2.4), d'apr~s (4. I.2). Soit cg 1 l'ensemble des facteurs directs d'objets de c~ 0. Alors, q~l est stable par produit tensoriel, somme directe, facteur direct et v6rifie (4.2.2.2) k (4.~.2.4). De plus, Q(-I) est dans cgl, car de la forme R2f, Q pour f:P~-+S le fibril projectif. La cat6gorie cg 2 des H| (keN) v6rifie donc (4.2.2.I) ~ (4.2.2.4). Pour en d6duire (i), il suffit de noter que si H est une famille continue de structures de Hodge, et U un ouvert de Zariski dense de S, alors un sous-objet, une polarisation, ou un r6seau entier de H IU se prolongent de fa~on unique ~ H. Prouvons (iii). Si f:X-+S est projectif et lisse, il existe un ouvert de Zariski dense U de Set un diagramme commutatif X' ~ ~ XIU \r avec f' projectif et lisse et p birationnel surjectif (appliquer le lemme de Chow et la r6solution des singularit6s ~ la fibre g~n6rique de f). L'application de restriction p* : (Rf, Q)[U -+ Rf,'Q est alors une injection directe de familles continues de structures de Hodge, d'inverse gauche le morphisme de Gysin p!, d'ofl l'algfibraicit6 de Rf, Q. TMorkme (4.2.6) (1). __ Soit Sun espace topologique connexe, localement connexe et localement simplement connexe, muni d'un point base s. Soit ~ une cat~gorie de famiUes continues de structures de Hodge sur S qui vdrifie les conditions (4.2.2). Alors, si HeOb ~, la reprdsentation de rh(S , s) sur la fibre (HQ)~ est semi-simple. (1) (Ajout~ sur gpreuves.) Soit Sun schema lisse et connexe. Une famille de structures de Hodge sur S est une famille continue H de structures de Hodge sur S qui v6rifie les conditions suivantes : a) La filtration de Hodge de (ttC)s varie de faqon holomorphe avec s, i.e. correspond A une filtration F de He = Hz@ ~. b) La d~riv~e covariante V v~rifie VFP t- ~@ Fp-1. Soit cg la cat6gorie de celles des familles continues de Q-structures de Hodge sur S qui sont sous-jacentes une famille de structures de Hodge, et dont les facteurs directs homog~nes sont polarisables. II est clair que v~rifie (4.2.2.I) ~ (4.~ On peut d6duire de r~sultats de W. Schmid (aofit I97o , non publiC) et de P.A. Griffiths [5] que c~ v6rifie (4.~.~.4). Ce th~or6me, dont (4. I.2) est un corollaire, permet d'appli- quer (4.2.6) et ses corollaires aux objets de cg. 66 4 6 PIERRE DELIGNE Soit HEOb c~. Le syst~me local HQ dEfinit un syst~me local complexe H c = HQ| Q. Pour tout syst6me local complexe V sur S, on d6signe par V c le fibr6 vectoriel complexe qu'il d6finit, identifi6 au faisceau de ses sections continues. Par d6finition, le groupe S (2. I. 2) agit sur H i. Un sous-fibr6 de H i sera dit horizontal ou localement constant s'il est dEfini par un sous-syst6me local de H c. Lemme (4-2.7). -- Soit V un sous-syst~me local de rang un de H c. Supposons qu'une puissance tensorielle V | (n>_ ~) de V soit un systkme local trivial, i.e. que rcl(S , s) agisse sur V s via un groupe fini (n&essairement cyclique). Alors, pour teS, tV ~ est encore localement constant. Pour que tV ~ soit localement constant, il suffit que (tV c) | tV ~ | c | H c le soit. Or, V | est engendrE par une section globale horizontale v, et par hypothEse tv est encore horizontal (4.2.2.4)- ProcEdons par recurrence sur dim(t-IQ)~. On peut supposer H homog~ne non nul. Soit d la dimension minimale des sous-syst~mes locaux complexes non nuls de H c. La somme W de tousles sous-syst~mes locaux de H c de dimension d (automatiquement simples) est ~ dEfinie sur O )), i.e. est de la forme WQ| pour WQ sous-syst~me local de HQ. Par construction, W~ est un r~l(S , s)-module semi-simple complexe, done (WQ)~ est un r~l(S, s)-module semi-simple sur O v. Soit H z un syst~me local de Z-modules libres tels que Hz| et soit Wz----HznWQ. Si West de dimension e, le systEme local (AW) | est trivial. En effet : AW_AWz| , et n~(S, s) ne peut agir sur (AWz) s que par 4-i. Soit V un sous-syst~me local eomplexe de dimension d de He, et soit V' un supplE- mentaire de V dans W (semi-simplicitd de W). On a e d e--d AW_~AV| A V'. d e --d d e --d Appliquons (4.2.7) au sous-syst~me local AV| A V' de AHc| A H o. On trouve que pour teS : d e --d d e --d d e--d t(AV| A V')~=AW~| A tV'ccAHc| A H c d d est localement constant. D~s lors, AtV~cAHc et tVCcHc sont localement constants. Par definition de W, on a tV cCW ~ : W ' est stable par S, et WQ est une sous- structure de Hodge de H. Si ~b est une polarisation de H, H est d~s lors somme directe de W et de son orthogonal, tous deux dans 5, et on conclut par recurrence. Corollaire (4- 2.8). -- Sous les hypothkses de (4.2.6) : (i) L'alg~bre A des endomorphismes du syst~me local HQ est semi-simple. Elle admet une (et une seule) Q-structure de Hodge teUe que, en chaque point s, A| s soit un morphisme de structures de Hodge. 46 THI~ORIE DE HODGE, II (ii) Le centre de A est de type (o, o) et la loi de composition 9 : A| est un morphisme de structures de Hodge. (iii) Soit W un sous-syst~me local complexe de dimension d de H c : a) Pour teS, tWc r H e est localement constant et dgfinit un sous-syst~me local tW isomorphe ~W. d d b) Une puissance (AW) | (n>I) du syst~me local AW est un syst~me local trivial. L'alg~bre A est le commutant de n~(S, s) dans (HQ)~. Sa semi-simplicitd rdsulte done de (4.2.6) et de Bourb., Alg., chap. 8, w 5, n~ 2, prop. 4. Par ailleurs, A est la fibre du plus grand sous-syst~me local constant de Hom(HQ, HQ). Puisque Horn(H, H)e~ ((4-2.3), (ii)), l'existence de la structure de Hodge (i) rdsulte de l'hypoth~se (4.2.2.4). I1 est clair que la loi de composition est un morphisme de structures de Hodge. I1 en rdsulte que le centre Z de A est une sous-structure de Hodge : Z cest bigradud, comme intersection des noyaux des morphismes bihomog~nes [x, ] pour x bihomog~ne. Enfin, Z, done Zc, est semi-simple, et, pour (p, q) 4: (o, o), Z pq est nul ear nilpotent. Un sous-syst~me local eomplexe W de H cest ddfini par un projecteur e de A c. Pour t~S, tW ~ est ddfini par le projecteur t.e, done est localement constant. Puisque le groupe S est connexe, pour vdrifier que tW est isomorphe ~ W, il suffit de vdrifier que pour t dans un voisinage assez petit de i, le C[nl(S , s)]-module tW~ est isomorphe ~ W~. Soient H i les composantes isotypiques du C[nl(S , s)]-module (He) ~. On a Ws= @. (W~nH~) et tW~ = @ (tW, n I~.). De plus, pour t assez proche de I, tW8 est proche de W, dans la grassmannienne, et done (4.2.8.I) dim(tW~ n I~.) ~ dim(W, n H~). En fait, puisque dim(tW,)=: dim(W,), on a dgalitd dans (4.2.8. i). Les diverses compo- santes isotypiques de W, et tW, ont done respectivement m~me longueur, et W, est isomorphe k tW,. Prouvons (iii), b). I1 suffit de traiter le cas off H est homog~ne et off W 8 est un C[rcl(S , s)]-module simple. Soit H 1 la composante isotypique de (He) 8 qui contient W~. D'apr~s a), H 1 est stable par S. Si W~ est de dimension d et H 1 de longueur k, on a kd d AHI~ (AW~) | comme C[~(S, s)]-module. Si Zest le caract[re de nl(S, s) ddfini par AW, le caract[re Z1 kd ddfini par AH 1 est done Z ~. Soit H2=HI-t-H 1. Puisque H 1 est stable par S, H 2 est ddfini par une sous-strueture de Hodge rdelle de (Ha) .. Toute forme de polarisation sur H induit done sur H 2 une forme bilindaire non ddgdndrde invariante par nl(S, s). 47 4 8 PIERRE DELIGNE Si dim(H~)=e, la reprdsentation (/\Hz) | de rq(S, s) est done triviale. D~s lors : a) Pour H 1 rdel : Z ~ est trivial. b) Pour H 1 non rdel (Hi+H1) : Z~.~2k est trivial. Dans les deux eas, on a [Z[=I. La reprdsentation de rq(S, s) sur (H~) 8 provient par extension des sealaires d'une reprdsentation ddfinie sur Q, (savoir (HQ)8). Les repr6sentations eonjugudes de W figurent done dans (He) 8 ; il yen a au plus N=dim(H), et pour tout automorphisme a de C, on a I (z)l Pour y~rq(S, s), Z(Y) est un entier alg6brique ayant au plus N conjugu6s complexes, et ceux-ci sont tous de valeur absolue I ; ~(7) est donc une racine k i~m" de l'unit6, avec k<N. On adonc XrT!= I, ce qui prouve b). Corollaire (4.2.9). -- Soit Sun schema lisse, connexe et sdpard, muni d'un point base seS. Soient f : X~S un morphisme de schgmas tel que IL"f.Q, soit un syst~me local sur S, G l'adhdrence de Zariski de l'image de rq(S, s) dans Autc((R"f.C)8 ) et G o la composante neutre de G. Alors : a) Si f est propre et lisse, G o est semi-simple. b) En gdndral, G o n'admet aucun quotient de type multiplicatif (i.e., le radical de G o est unipotent). Prouvons a). Quitte ~t remplacer S par un rev~tement 6tale fini, on se ram6ne au eas off G= G ~ Par ((4.2-5), (iii)), le syst~me local R"f,Q, est sous-jaeent ~t une famille alg6brique I-I de structures de Hodge, done est justiciable de (4.~.8) ((4.~.5), (i)). Le groupe G est r6ductif, ear il admet une repr6sentation semi-simple fid61e (~t savoir (R"f.C)8) . Si G (suppos6 eonnexe) n'6tait pas semi-simple, il admettrait une repr6sentation eomplexe non triviale p de rang un; puisque H 8 est fid61e, p serait faeteur direct dans ((H + H*)c| pour un m. Ceci eontredit (4. ~. 8), (iii), b), car (H+H*) | est alg6brique et aueune puissance tensorielle de p n'est triviale. Soit 7~ un groupe, et considdrons la propri6t6 suivante d'une repr6sentation p de dans un veetoriel complexe V de dimension finie : (*) La composante neutre G o de l'adh6renee de Zariski G de p(~) dans Aut(V) n'admet aucun quotient de type multiplieatif. Lemme (4.2. xo). -- Soit o-+V'--->V-->V"---~o une suite exacte de reprdsentations du type pr6cddent. Alors, V vgrifie (*) si (et seulement si) V' et V" vdrifient (*). Soient G, G' et G" les groupes d6finis par V, V' et V". Comme r~, G laisse V' stable, d'ofl un morphisme u=(u',u"): G-+ G'� de noyau unipotent, et tel que u' et u" soient surjectifs. Soit N la composante neutre du noyau de u". Puisque u' est surjeetif, u'(N) est distingu6 dans G', et n'admet donc aueun 48 THI~ORIE DE HODGE, II 49 quotient de type multiplicatif. Si Zest un caract~re de G ~ Z se factorise par u(G~ s'annule sur N, une puissance de Z se factorise par G ''~ et ) est trivial. Prouvons (4.2.9), b) par d6vissage et par r6currence sur la dimension relative de f. On peut supposer X rfiduit. Supposons tout d'abord X quasi-projectif. I1 existe alors un ouvert non vide U de S, un ouvert dense X' de Xu=f-I(U) lisse sur U, et une compactification X' de X' au-dessus de U, propre et lisse sur U. On peut choisir X' tel qu'un ouvert X" de X' contienne X' et soit propre sur X~ X v ~ P X" c >-~, On dispose de suites exactes longues de faisceaux -+ R~Cu,(i, Q) ~ R~fu, Q-+ R~Cu, (Q/i, Q) -+ R~c" (j, Q) -+ R~f '' Q~ R.f" (Q/j~ Q) -+ -+ R~" Q -+ R'f" Q -+ R~f~ (Q/k, Q) --> Pour U assez petit, ces faisceaux sont des syst~mes locaux et l'hypoth~se de r~currence s'applique ~ R*f~j,(Q/i~Q), ~ R*f"(Q/j~Q), et ?~ R*j~'(Q/k~Q). D'apr~s a) la condition (,) est v~rifi~e par R*f'Q. D'apr~s (4.2. IO), elle est d~s lors verifide par R*f"Q, et par le syst~me local dual R*f"Q (dualite de Poincard). D'apr~s (4.2. IO), la condition (,) est verifiee par R.*f,"(j~Q), isomorphe ?~ R*fv,(i ~ Q) car pest propre, ainsi que par R*fu, Q. Puisque le morphisme ~1(U)-+7~1(S) est surjectif, R~f,Q v6rifie (4.2.9), b). Pour passer du casfquasi-projectif au cas g6n6ral, il suffit d'utiliser la suite spectrale de Leray pour un recouvrement (Ui) de X par des ouverts quasi-projectifs : R*f,(0V,, Q) =~ R*f,Q, et (4.2. Io). 4.3. Compl6ment ~ [2]. Dans [2], (5-4) (footnote), j'affirme sans d6monstration que Proposition (4.3. x ). --- Soit X un schdma propre et lisse sur C. Si une forme C ~~ sur X vgrifie d'~=d"e=o et est cohomologue ~ Nro, alors il existe ~ tel que ~=d'd"~. 7 PIERRE DELIGNE 5 ~ Voici la d6monstration. Comme en loc. cit., on se ram6ne au cas off 0~ est bihomog6ne, d'un bidegr6 (p, q). Puisque la suite spectrale du complexe double H~ ~2Pq) d6g6n6re, la diff6rentielle ext6rieure d est strictement compatible ~ la filtration par le premier degr6 p (I. 3.2). Si e~o, il existe done une forme ~1 telle que d~l = ~ et que les compo- santes ~1 v'r de ~1 soient nulles pour p'<p. Par conjugaison eomplexe, il existe de m~me ~2 tel que d~2 = 0c et que ~'q'--= o pour q'<q. On a d(~x--~)----o. Soit "rune forme v6rifiant d' y = d" y = o dans la classe de cohomologie de ~1-- ~2 (loc. cit.). Soit Y1 (resp. Y2) la somme des composantes de y de type (p', q') pour p'>_p (resp. q'>q). Posant ~'l=~--y~ et ~'~=~§ on aencore d~'~=d~=~; de plus, ~'~--~ = ~--~z--y est cohomologue k z6ro : il existe ~ tel que ~ = ~;- ~. Soient ~ la somme des eomposantes de type (p', q') de ~ avec p'<p--i, ~ la somme des composantes pour lesquelles q'>q--~ et ~ la composante de type (p--i, q--i), (P, q) On a ~'2=d~2§ et o~ = d~ = dd82 q- dd" ~ = d' d" ~. 4.4. Homomorphismes de sch6mas ab61iens. On se propose de montrer comment, dans quelques cas, on peut d~barrasser (4-i. 3.2) de l'hypoth~se d'alg~braicit~ en un point. (4.4.x) Pour f:X--+S un morphisme propre et lisse, on ddsignera par R~.f,Z le syst~me local sur S a~ de l'homologie des fibres de f. En chaque point seS, (R~.f,Z)s_~H~(Xs,Z) est muni d'une structure de Hodge de poids --i, duale de la structure de Hodge de I-Ii(Xs, Z). Cette structure varie continflment avec ssS. (4-4.2) Si f:X-+S est un sch6ma abdlien, l'exponentielle d6finit une suite exacte de faisceaux sur S an o-+ Rlf, Z-+ Lie(X ) -+X-+ o, et la filtration de Hodge est la suite exacte courte o-+ Ker(~) ~ Rlf.Z| ~-~ Lie(X ) 40. 60 THi~ORIE DE HODGE, II 5 I I1 est eonnu que Rappel (4.4.3). -- Soit Sun schdma lisse de type fini sur C. La construction (4.4-2) dtablit une dquivalence de catdgorie entre : a) la catggorie des schdmas abaiens sur S; b) la catdgorie des familles continues polarisables de structures de Hodge H de type (--I, o)+(o,--i) sur S, telles que H z soit sans torsion et que la filtration de Hodge varie holomorphiquement sur S. La surjeetivitd essentielle du foncteur a)~ b) rdsulte de Borel [I 3]; la pleine fiddlitd rdsulte que ee que, pour X 1 et X2 deux schdmas abdliens sur S, le S-sehdma Homs(X1, X~) est non ramifid sur S, done a m~mes sections algdbriques ou holomorphes. (4-4.4) Soient Z un corps commutatif, H une alg~bre centrale simple sur Z et, un antiautomorphisme Z-lindaire de H. Apr~s extension des scalaires, on a H_ End(V) pour V un veetoriel sur Z, et 9 est alors la transposition par rapport ~t une forme bilindaire 9 sur V, unique k un facteur pr~s. Supposons que , soit involutif; les formes qb(X, Y) et O(Y, X) sont alors proportionnelles : O(X, Y)=X@(Y, X), avee k s=I. On pose ~,=X. Si [H:Z]=a r2, on a Tr(, : H -+ H) ---- ~,. d. Tout automorphisme Z-lindaire C de H est intdrieur : Cx = cxc- 1. Si C est involutif et commute k ,, les dldments c 2 et cc* sont eentraux, de sorte que c*=Xc avee X central. Puisque c**=c, on a X z=I. On pose r On vdrifie aisdment que l'involution C o, satisfait ~t SOo* ~ ~C" ~*" Rappel (4.4.5)- -- Soient X une vari6t~ aMlienne simple sur un corps K et H le corps EndK(X ) | O.. Toute polarisation de X ddfinit une involution positive , de H : Tr(hh*)>o si h4:o. Si Z 0 est le sous-corps invariant par, du centre Z de H, Z 0 est done totalement r&l et on est dans l'un des cas suivants : a) z = Z0, pour toute place rdelle p de Z, H| est une algkbre de matrices sur R, el r = I. b) Z ----Z0, pour toute place r&lle p de Z, HQ~R est une algkbre de matrices sur I-I, et ~,=--I. est une extension quadratique totalement imaginaire de Z 0. c) Z 6) Soient fi:X~-+S (i = 1,2) deux sehdmas abdliens sur un schdma (4.4. lisse S. Le groupe abdlien libre Hom(Rlf~,Z , Rlf2,Z ) _ F(S, Hom(Rlf~,Z , Rlf2,Z)) 51 PIERRE DELIGNE est alors muni d'une structure de Hodge de poids o (4-2.8). De plus, d'apr6s (2. i. i I. I) et (4.4.3), le groupe Homs(Xt, X~) est la composante de type (o, o) de ce groupe. (4.4.7) Soit Sun schdma lisse connexe non vide de point gdndrique ~ et soit f: X-+S un sch6ma abdlien sur S. Le centre Z de H=End(Rlf, Z ) est alors de type (o, o) (4.2.8), donc contenu dans Ends(X )_ Endk(,)(X,). Une polarisation de X d6finit une involution , de H. La restriction de celle-ci Ends(X ) est positive, de sorte que Zest produit de corps totalement rdels ou extensions quadratiques imaginaires de corps totalement r6els. Ddsignons par C les actions de ieS(R) sur HR=H| et sur les (Rif, R), , pour seS. Sur HR, C2=I, et C commute ~t ,; sur (Rlf, R), , C2=--I. Si + est la forme alternde sur Rlf, Z , ~ valeurs enti~res, ddduite de la polarisation de X, on a +(hx, Cy) = +(x, h*Cy) = +(x, C. C(h*).y). On en ddduit que (4.4.7. i) Tr(h. C(h*)) >o pour h4:o. (4.4.8) Supposons maintenant que X, soit simple, de sorte que Z soit un corps. Soit p : Z-+C un plongement complexe. L'alg~bre Hp=H| oC est alors une alg6bre de matrices et un facteur direct bigradud dans Hc=H| Choisissons un isomorphisme (4.4.8.x) Ho-- End(V~). Du fait que les gdndrateurs infinitdsimaux de S agissent sur H o par des ddrivations, ndcessairement intdrieures, on ddduit que V o admet une bigraduation, unique ~ translation pros, telle que (4.4.8. I) soit un isomorphisme bigradu6. Soit (Rxf, C)p le syst~me local bigradud (R-if, C) | | r o C, facteur direct de Rlf, C. Ddsignons par T 0 le syst~me local T o = HOmHo(Vo, (Rlf, C)o). On a (4.4.8.2) Vo| o Y~ (P,.if, C)o (isomorphisme bigradu6). Puisque (Rlf, C)0 est du type (--I, 0)+(%--I), une des conditions suivantes est v6rifide : a) V o est bihomog≠ b) T o est bihomog~ne. I1 est clair que la condition a) (resp. b)) est simultandment vdrifi6e pour pet pour ~. Si la condition a) est vdrifide en chaque place, alors H est de type (o, o). Si la condition b) est vdrifide en chaque place, alors la structure de Hodge sur Rif, Q est localement constante. 52 THI~ORIE DE HODGE, II (4.4.9) Supposons maintenant que Z soit totalement rdel. Pour chaque plongement r6el 9 de Z, on posera ~H, ~ = q- I si H| ~ R est une alg6bre de matrices et ell, ~ =-- I sinon. Si un plongement complexe O induit un plongement r6el % on pose eHp = eH~" Soit 9 :Z-+E, se factorisant par ~ :Z~R. La conjugaison complexe sur Hp est induite par un automorphisme antilin6aire ~1 de Vp, unique ~ un facteur scalaire r6el pros, de carr6 scalaire. Puisque al commute ~t ~, ~ est rdel et, normalisant ~1, on peut supposer que ~= On a alors (4"4"9 -I ) ~= ~n~. L'automorphisme de conjugaison complexe sur (R,f, C)~ = ((Raf, Q) | ~ R) | est << compatible n ~ (4.4.8.2) et peut s'~crire =~i | (~2- Puisque e2 = I, on a par (4.4.9. I) (4.4.9.") ~=4= ~I~ 9 Soit (I) une forme de polarisation sur Raf.Z. Cette forme est ndcessairement du type (I) =TrzIQ(+) Off ~ est une forme Z-bilindaire alternde sur Rlf, Q. Soit +~ la forme induite sur Vp|162 La forme alternde +~ est invariante par ~1(S, s). Puisque T~ est irrdductible, on peut l'6crire (4-4.9.3) +p =A~| avec A~ sur V~, et B e sur T~ invariante par 7h(S , s). Puisque T~ est irr~ductible, Bp est sym6trique ou altern6e. Puisque +~ est altern6e, A~ est alors altern6e ou sym~trique. Puisque les Tp sont conjuguds entre eux, qu'on soit dans l'un ou l'autre cas ne dfipend pas de O. On pose Ao(X, Y)= ~vAo(Y, X) (4.4.9.4) Bo(X, Y)= ~wB~(Y, X). (4-4.9-5) On a donc gVgT ~ -- I (4.4.9.6) et il est clair sur (4-4.4) que si , est l'involution de H ddduite de ~, (4"4"9"7) ~*--=~v" Dans le cas (4.4.8), a) (resp. b)) normalisons les bigraduations de sorte que V~ (resp. rip) soit de bidegrd (o, o). On a alors pour x,y non nuls dans Vp et Tp : cas a) Ap(x, axx)B~(y, C~2y)>o ; cas b) a0(x, Celx)B,(y, e2y):>o. 53 PIERRE DELIGNE Normalisant Ao et Bp (dont seul le produit tensoriel est donn~), on peut supposer que cas a) Ap(x, elx) >o et B0(y , C%y)>o ; cas b) A~(x, G~lx)>o et Bo(y, ~y) >o. De plus, A o et Bp, tout comme qS, sont invariantes par le sous-tore compact Ker(N) de S, et en particulier par G. On a dans le cas a) o < = d'ofi ev.ei~p=I. De m~me, dans le cas b), on trouve que ~T.ei~=I. Lemme (4.4.:o). -- Pour ~T=eHp, on est dans le cas b); pour eT=--~H~ , on est dans le cas a). Proposition (4.4. xx). -- Soient Sun scMma lisse connexe non vide, de point ggndrique ~], f: X-+S un schgma aMlien sur S, H=End(P-.lf.Q), et Z le centre de H. On suppose que : (a) X~ est simple sur k(~). (b) X ne devient constant sur aucun revgtement fini de S. (c) Une des conditions suivantes est vlrifige (cf. (4-4.5)) : (q) Zest quadratique imaginaire; (%) Zest totalement rgel, et pour chaque plongement rdel ? : Z-+R, H| est une alg~bre de matrices sur R; (%) Zest totalement rgel, et pour chaque plongement rgel q~ : Z->R, H| est une algkbre de matrices sur H. On a alors End(X) ~ End(R~f,Z). Montrons qu'on est dans le cas (4-4.8), a), ou (4-4.8), b) pour toutes les places de Z simultanement. C'est clair (4.4.8) sous l'hypoth~se (q), et r~sulte de (4.4. IO) sous les hypotheses (ca) ou (ca) , car non seulement ~T, mais encore unp est alors ind6pendant de p. La condition (4.4.8), b) ne peut pas ~tre v6rifi6e en chaque place de Z, car la structure de Hodge serait alors localement constante, ce qui d'apr~s (4. I. 3.3) et (4.4.3) viole b). La condition a) est done v~rifide en chaque place de Z, de sorte que H est de type (o, o) (4.4.8). Compte tenu de (4.4-3), ceci ach~ve la d6monstration. Proposition (4-4. x2). -- Soit f: X-->S un schdma abdlien sur un scMma lisse S. Les conditions suivantes sont gquivalentes : (i) Pour tout schgma abglien g :Y->S, on a Homs(X , Y) ~> Hom8(R~f.Z, R~g.Z). (ii) La condition (i) est v&ifige pour X--Y, et le centre Z de Ends(X)| n'admet aucune place complexe p : Z-+C telle que le facteur direct Rlf.Q| de Rlf, C soit purement de type de Hodge (--I, o). 54 TH]~ORIE DE HODGE, II On se ram~ne k supposer que S est connexe non vide, de point gdndrique h, et que X~ est une varidt6 abdlienne simple sur k(~). Si (i) ou (ii) est v6rifi~e, D = End(X~) | O v est alors un corps, et, pour saS, (Rlf, O_,,)8 est une reprfisentation irr6ductible de =a(S, s). Pour prouver que (ii) ::> (i), on peut supposer Y~ simple, et (Rig, Q,) 8 isotypique de type (Raf, Q,) s. On a alors un isomorphisme de familles continues de Q-structures de Hodge (D dtant de type (o, o)) Rag, O_, ~ R~f,Q| D Hom(Rlf, Q, R~g,Q.). On a D|174 Si eeD| se transforme par un tel isomorphisme en l'idempotent eaa , on a encore un isomorphisme de vectoriels bigraduds (R~g,C)~ ~ (Raf, C)~| | Rag,(])). Si la condition (ii) est v~rifide, et si e(Hom(Raf, C , Rag, C)) n'est pas purement de type (o, o), alors (Rlg, C)~ ne pourrait pas ~tre purement de type (--I, o)+(o, --i), ce qui est absurde. On en d~duit que Hom(Raf, Z , Rag, Z ) est purement de type (o, o), et (i) en rdsulte par (4.4.3) et (2.I.ii.I). Soit Z une extension quadratique totalement imaginaire d'un corps de nombres totalement rfiel Z ~ Si Z| C|174 on ddfinit une action par homothdties de S sur ZNR en envoyant seS(R)~G* sur (sZ.N(s) -1, i, ..., I). Le couple form6 de Z et de cette action de S sur Z| tt est une structure de Hodge polarisable Z~ de type (--I, I)+(o, o)+(I, --I), qui d6pend de Z et de la place choisie p : Z-+C. Soit X un schdma abdlien sur S, tel que X~ soit simple. Si le centre Z de End(Raf, Q, ) n'est pas totalement rdel, il est extension quadratique totalement imaginaire d'un corps de nombres totalement r6el. Si la seconde hypoth6se de (ii) est violde, le facteur direct Raf, Q,| de la famille continue de structures de Hodge polarisable Raf, Q| p est purement de type (--I, o)§ --I). D'apr~s (4.4.3), le choix d'un rdseau entier dans R.lf, Q| p d~finit un schdma ab61ien g : Y-+S, et Hom(Raf, Q, , Rig, Q,) n'est pas purement de type (o, o), ce qui viole (i). Corollaire ('t-4. I3). -- Soient Sun scMma lisse connexe de point g~ngrique ~q et f : X-->S un scMma aMlien sur S de dimension relative g~ 3. On suppose que sur aucun revgtement gtale fini de S, X n'admet de sous-scMma aMlien constant. Alors, pour tout schgma abdlien g : Y-+S, on a Hom(X, Y) ~ Hom(Raf.Z, Rlg.Z ) et Hom(Y, X) ~ Hom(Rag.Z , Raf.Z ). Par dualit6, on se ram6ne ~ ne prouver que la premi6re assertion. On se ram6ne aussi ~ supposer X~ simple. V~rifions que X satisfait ~ l'une des conditions (c) de (4.4.1 I). Posons H=Mc(D), D dtant un corps gauche de rang b 2 sur son centre Z, que l'on salt ~tre totalement r6el ou totalement imaginaire. Posant a= [Z : O], on a (4.4.13" I ) ab% 1 2g~ 6. 56 PIERRE DELIGNE I) Si Zest totalement imaginaire, et non quadratique imaginaire, on doit avoir a = 2g----4. Pour s~S, le commutant de Z agissant sur (I~lf.Q)~ est alors commutatif, de sorte que l'action de hi(S, s) est ab61ienne, donc se factorise par un groupe fini ((4.2.8), (iii), b) ou (4.2-9)). Ceci est absurde ((4.1.3.3) et (4-4.3)). Avec les notations de (4-4.8), on pourrait aussi noter que les Tp sont alors de rang un, de sorte que la condition (4.4.8), b) est v6rifi6e en chaque place et que la structure de Hodge est localement constante. 2) Si Z est totalement r6el et si les conditions (q) et (ca) sont violfes, alors a> 2 et b~2, ce qui est absurde. V6rifions que X satisfait aux conditions de (4-4- 12). Si Zest quadratique imaginaire, et s'il existe p : Z-+C tel que P,~f.O| oC soit purement de type de Hodge (--i, o), alors la structure de Hodge de Rlf. Q est localement constante, ce qui est absurde. Ceci prouve (4.4.13)- (4.4. x,t) Soit f: X~S un schfma ab6lien polaris6 de dimension g sur une base lisse et connexe S. Si s~S, le groupe fondamental hi(S, s) agit sur la fibre HI(X,, Z) de R}f.Z en s. La polarisation de X dffinit une forme altern6e sur HI(X~, Z), ~ valeurs dans Z(--I), non ddg6n6r6e sur O, et l'action de ha(S, s) se fait en respectant cette forme. Consid6rons l'hypoth6se : (4.4. I4. x) Le morphisme dffini par X de S dans l'une des composantes irr6duc- tibles du schdma de modules de vari6t6s ab61iennes polaris6es correspondant est un morphisme dominant. Le r6sultat suivant m'a 6t6 sugg6r6 par J.-P. Serre. Corollaire (4.4. x5). -- Soient S un scMma lisse connexe et f: X--->S un sche'ma abglien polarisg sur S qui vgrifie (4-4. I4. I). Alors, pour tout scMma abgien g : Y-+S, on a Hom(X, Y) ~ Hom(R~f,Z, Rlg, Z ). Soit sES. D'apr6s (4.4. I I) et (4.4. I2), il suffit de montrer que la repr6sentation de ~zl(S , s) sur (Rlf.Q)8 est absolument irrdductible, de sorte que H =O_ v. C'est ce qui r6sulte du lemme suivant : Lemrne (4.4.x6). -- Si X v&ifie (4.4-I4.1), alors l'image de ~l(S, s) dans le groupe des automorphismes symplectiques de Hi(Xs, Z) est d'indice fini. Soit nun entier. Quitte ~ remplacer S par un revatement 6tale surjectif, d6fini par un sous-groupe d'indice fini de ~l(S, s), on peut supposer que le syst6me local ,X=Ker(n. id:X-+X) est trivial sur S. Remplaqant X par un schdma ab61ien isog~ne, on se ram~ne ensuite et de plus ~ supposer X polaris6 de la sdrie principale. Supposons n> 3. Le sch6ma ab61ien X d6finit alors un morphisme dominant x de S dans le sch6ma de modules << de Jacobi ~) M, des schdmas ab61iens polaris~s de la s6rie principale munis d'un isomorphisme symplectique entre ,X et (Z/n)2g; de plus, X est une image r6ciproque par x du schdma abdlien universel sur M,. On salt que ~l(M,, x(s)) s'envoie isomorphi- 56 THI~ORIE DE HODGE, II quement sur le sous-groupe de Sp(HI(Xs, Z)) noyau de l'application de r6duction mod n. I1 reste donc tt v6rifier que : Lemme (4.4. XT). -- Soit p :S-+M un morphisme dominant de scMmas lisses connexes. Le sous-groupe p(=l(S, s)) de zq(M, p(s) ) est alors d'indice fini. Soit tun point ferm6 de la fibre g6nfrique de p, et soit T' son adh6rence dans S. I1 existe un ouvert de Zariski dense U de M tel que T =p-l(U) ca T' soit un rev~tement 6tale de U. On ne restreint pas la g6n6ralit6 en prenant sET. Dans le diagramme rq(T, s) s) p(s)) , p(s)) la fl~che a a une image d'indice fini, car T est un revfitement fini 6tale, et la fl~che b est surjective, car M--U est de codimension r6elle > 2. La fl~che c a donc une image d'indice fini. BIBLIOGRAPHIE [I] M. F. ATIYAH and W. V. D. HODOE, Integrals of the second kind on an algebraic variety, Ann. of Math., 62 (I955), 56-9 I. [~] P. DELIGI~E, Th~or~me de Lefschetz et crit~res de ddg~n6rescenee de suites spectrales, Publ. Math. LH.E.S., 35 (x968), Io7-1o6. [3] P. DELIGNE, Equations diff6rentielles ~. points singuliers rdguliers, Lectures Notes in mathematics, 1[ 6g, Springer, 197 o. [4] P. A. GRIFI~ITI-IS, On the periods of certain rational integrals, I, Ann. of Math., 90, 3 (I969), 46o-495 9 [5] P- A. 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Publications mathématiques de l'IHÉS – Springer Journals
Published: Aug 6, 2007
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