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Théorème de Lefschetz et Critères de Dégénérescence de Suites Spectrales

Théorème de Lefschetz et Critères de Dégénérescence de Suites Spectrales THI~,OR#ME DE LEFSCHETZ ET CRIT~RES DE DEGENERESCENCE DE SUITES SPECTRALES par P. DELIGNE (x) x. Th6or~mes g6n6raux. Soient dune cat6gorie ab6lienne et Db(d) la sous-cat6gorie pleine de sa cat6gorie d6riv6e form6e des complexes born6s. On rappelle que si T est un foncteur cohomo- logique (voir [8] ou [9], P. io) de d dans une cat6gorie ab61ienne ~, Verdier [8] a dffini une suite spectrale, fonctorielle en XeDb(d): (x. x) E~q= T(Hq(X) [p]) => T(X[p § q]). Proposition (x.2). -- Soit XeDb(d); les conditions suivantes sont dquivalentes : (i) Quel que soit T comme plus haut, la suite spectrale (i. i) ddgdn~re. (ii) L'objet X est isomorphe, dans Db(d), ~ ~Hi(X)[--i]. (i) =~ (ii) D6signons par T i le foncteur cohomologique en K d6fini par T, (K) = HomDc~r 1 (H i (X), K). Pour chacun des T~ (i~Z), la suite spectrale (I. I) s'&rit (x. 3)~ E~ q = Exff (H ~ (X), H q (K)) =~ HOmD(~, ) (H ~ (X), K [p q- q]) et l'homomorphisme de Hom(Hi(X), K[i]) dans E~ Hi(K)) qui s'en ddduit n'est autre que celui provenant de la fonctorialit6 de H ~ Si les suites spectrales (i.3)i d6g6n~rent, les fl&hes Hom(Hi(X) [--i], K) ~ Hom(H'(X), HI(K)) sont surjectives. Par hypoth~se, tel est le cas si K=X, de sorte qu'il existe des morphismes a i de HI(X)[--i] dans X, induisant l'identitd sur le i-~me groupe de cohomologie. De plus, puisque Hi(X)----o sauf pour un nombre fini de valeurs de i, les ar sont nuls sauf un nombre fini, ce qui permet de ddfinir a = ai : ~ta'L~) L--Z] ~ X. 9 i Par construction, a induit l'identit6 sur la cohomologie, donc est un isomorphisme. (1) Aspirant au F.N.R.S. 289 xo8 P. DELIGNE (ii) =~ (i) La suite spectrale (I. I) est un foncteur additifen X, et d~g6n~re lorsque X n'a qu'un objet de cohomologie non nul, done aussi si X est somme de complexes n'ayant ciu'un objet de cohomologie non nul. Remarque (i.4). -- I1 r&ulte de la d~monstration pr&ddente qu'il suffit de v6rifier Ia condition (i) pour les foncteurs cohomologiques du type HomDl~, / (A, .) off AeOb(~/). Par dualit6, il suffirait aussi de consid~rer les seuls foncteurs HomDc~/(*, A), la condi- tion (ii) &ant autoduale. Thgor~me (x. 5). -- Soient XeDb(d), nun entier et u un endomorphisme de degrg 2 de X, u :X-+X[2], dont les itdrds induisent des isomorphismes u' : H"-~(X) --~ H"+~(X) (i2o). Sous ces conditions, X est isomorphe h ~Hi(X)[--i], dans la catggorie Db(d). V6rifions la condition (I) de (1.2). Soit done T un foncteur cohomologique de Db(~ r dans H, et posons TP(K)=T(K[p]). On appdle partie primitive de H" -~ (X), et on d6signera par oH"-~ (X), le noyau de l'homomorphisme u~+ 1 : H"-~(X) -+ H"+~+2(X). On v&ifie que pour i>o, les applications t@ uk : O 0H"-'-2k(X) -+ H"-'(X) , (x.6) Ik>0 k>0 k+i " n--i--2k( n+i l@ u : @ o H X) -+ H (X) Ik>o k>o : sont des isomorphismes. La suite spectrale (i. i) &ant fonctorielle en X, et (~ compatible, aux translations sur les degrds, l'endomorphisme u de X ddfinit un endomorphisme de degr6 2 de la suite spectrale u : E~q -+ E, p'q+~ commutant aux difffirentielles d, (r>2). Lorsque r=2 l'endomorphisme u de la suite spectrale u : TP(Hq(X)) ~ TV(Hq+2(X)) se ddduit du morphisme u :Hq(X)-+Hq+2(X) par fonctorialitd de T p. Soit i>o._ Ddsignons par 0~,wP'n--~ le noyau de l'homomorphisme u~+l : E P, "-~ _+ Ep, n+i+2 (~( partie primitive ~ de la suite spectrale). Pour r=2, les d6compositions (I .6) induisent par fonctorialit~ de chaque T p des d6compositions tkO>oUk:( ~ r.,,~-'-~k ~ ~.,,~-' .- (x. 7) - k->~176 =~ ' tO u ~+~ : if) ~v,.-~-~ ~,,,+~ ~_>0 ~>0 ~ ~ ...... 260 THI~OR~ME DE LEFSCHETZ ET CRIT~,RES DE DI~GI~NI~RESCENCE ~o9 Prouvons par rdcurrence sur r que les difffirentielles dr (r>~) sont nulles. L'hypo- th~se de r6currence implique que E~ = E,, de sorte que la d~composition (~. 7) s'applique au terme E r de la suite spectrale. Puisque u commute aux dr, il suffira de prouver que d r s'annule sur la partie primitive de E,. Le diagramme suivant est commutatif : ]~.p,n--i dr Ep+ r,n_i_r +1 o~r > --r Ep, n+~, +2 dr> Ep+r,n+'~-r +3 r --r La fl~che verticale gauche est nulle par ddfinition de la primitivit6. La fl~che verticale droite est un monomorphisme, car la fl~che u~+ ,-~ : E~$~,"-(~+~-~) _+ E~,~+(~+,-I) est un isomorphisme et r--I_> I. I1 en r~sulte que d rest nul. Remarque (i.8). -- On prendra garde qu'on ne peut pas en g~n~ral choisir un isomorphisme entre X et ~H~(X) [--i] qui transforme u en la somme des applications Hi(u) : HI(X)-+H i+2 (X). On obtient aisdment un contre-exemple en prenant Hi(X)=o pour i :F n. On peut ddfinir un isomorphisme (< plus beau que les autres >> entre X et ~Hi(X)[--i], mais on n'aura pas ~ s'en servir ici. Remarque (x.9). -- Soient X~Db(M), net s des entiers et u un endomorphisme de degrd s (resp. 2s) de X. On suppose que Hi(X)= o lorsque i n'est pas de la forme ks (o<k<_n) (resp.(o<k<~n)) et que u "-2i (resp. u i) induit un isomorphisme entre HI'(X) et HI"-i)"(X) (resp. entre H("-I)'(X) ' et HI"+iI*(X)). Sous ces hypotheses, la d~mons- tration de (I .5) montre encore que X est isomorphe ~ ~H~(X)[--i]. Remarque (x. xo). -- Soit (X~)i~ z une famille d'objets de Db(d) et u une famille d'homomorphismes de degr6 2 : u i : X~Xi+ 1 [2]. Si, quels que soient i etj, u~ induit un isomorphisme entre H"-J(X~) et H"+J(XI+j), il est encore vrai que chaque X iest isomorphe ~ la somme de ses objets de cohomologie; pour le voir, il suffit d'appliquer formellement les raisonnements qui pr6c&dent ~t u : ~X,---~X,, m~me si cette somme n'existe pas darts Db(~). La m6me remarque s'applique ~ la variante (I.9). TMor~me (x.xx). -- Soit XeDb(~ r et supposons que X admette des endomorphismes de degrg o, ~i:X~X tels que H~(~i)=8o. Alors, X est isomorphe a ~H~(X)[--i] dans la categoric Db(~r IlO P. DELIGNE Appliquons encore le crit6re (I. 2) (i). Le diagramme Eprq a,> Evr+r,q_r+ 1 grVq d,, grp+,, q_r + 1 est commutatif, la premi6re colonne est l'identitd, et la seconde z6ro, de sorte que d r =o. Corollaire (x. x2). -- Soit X~Db(~ r la somme d' une famiUe finie d' objets XkeDb(~r Si on a x ~ 2H'(X) [--i] alors, pour tout k, on a xk- ZH (Xk) [--z]. Soient jk l'injection canonique de Xk dans X, pr k la projection canonique de X sur X k et r~ i un endomorphisme de X tel que HJ(r~i)= 8ij. Pour chaque k, les prkr~d" k vdrifient l'hypoth6se de (I. I I). Remarque (x.x3). -- On vdrifie que pour que l'isomorphisme entre X et H~(X) [--i] puisse ~tre choisi tel que les ~i s'identifient aux pr~, il faut et il suffit que les ~ soient des idempotents deux ~ deux orthogonaux. I1 existe alors un seul isomor- phisme ayant cette propri6t6 et induisant l'identitd sur la cohomologie. 2. Applications. Soit f: X--->Y une application continue entre espaces topologiques (voire un morphisme de topos), A un faisceau d'anneaux sur X et o~" un faisceau de A-modules. Si uEH2(X, A), u d6finit un endomorphisme de degr6 2 dans Db(X), encore not6 u : o~-+~[2] . Par tbnctorialitd, u ddfinit un endomorphisme de degrd 2 : Rf,(u) : Rf,~- ---> Rf,~'[2] . On dira que (X,f, u, o ~ n) vdrifie la condition de Lefschetz, ou que o ~" vdrifie la condition de Lefschetz relativement & u, si, pour chaque i>o, les fl6ches obtenues en itdrant i fois la fl6che Rf,(u) : Rf.(u)' : Rn-~r - ~ Rn+!f.~ - (i>o) sont des isomorphismes. Le tMor6me (I .5) donne ici Proposition (2. x). -- Si ~ vgrifie la condition de Lefschetz relativement ~ u, alors, dans Db(Y), on a Rf, o~" _~ ~g R~f, ~[--i] 262 Ill THI~ORI~ME DE LEFSCHETZ ET CRITt~RES DE D]~GI~NI~RESCENCE et en partwulier, la suite spectrale de Leray H'(Y, Rqf, o~') ~ n'+q(x, #') d/g/n~re. Si on y avait tenu, on aurait pu supposer que ~-soit un (A,f*B)-bimodule, off Best un faisceau d'anneaux sur Y, et finoncer (~. I) dans Db(Y, B). (2.2) Le cas des sch6mas, munis de la topologie dtale, ne rentre pas dans le cadre (~. I). On supposera pour la suite que la th6orie des Zrfaisceaux et Qrfaisceaux (non n6cessairement constructibles) air 6t6 fake, et que la cat6gorie d6riv6e de la catdgorie de ces <( faisceaux >> soit raisonnable. En ce qui concerne les finonc6s de d6gfin~rescence de suites spectrales, le lecteur ciui n'aurait pas confiance en le travail futur de Jouanolou pourra v6rifier, en revenant ~ la dfimonstration de (I .5), qu'on peut s'en passer. Soit l un nombre premier. On suppose pour toute la suite que l est inversible sur tousles scMmas conside'r/s. Rappelons que, sur tout schema X, le Zrfaisceau Zt(I) est d6fini par la formule Ce faisceau est un Zrmodulr invcrsible, cr qui permet de d~finir, pour tout Zrfaisceau ou Qrfaisceau ~-, le (( faisceau >> ~(i) par la formule ~(i)=~|174 (i~z). 9 On aura, pour tout morphisme f:X-+Y de schdmas et tout couple de Zr ou Orfaisceaux ~ et ~ sur X et Y respectivement : (2.3) Rf.(o~')(i)=Rf.(~(i)) et f*(fC)(i)=f*(f~(i)) . Si ~ est un faisceau inversible sur X, sa premi6re classe de Chern /-adique se trouve dans H2(X, Z~(I)). Si f: X-+Y est un morphisme de schdmas, si o~- est un Zrfaisceau (resp. Q.rfaisceau) sur X et si usH2(X, Z~(I)) (resp. si ueH2(X, Qz(I))), on dira que o~" v6rifie la condition de Lefschetz relativement ~ u si pour chaque i>o, les fl&ches obtenues en itdrant i lois la fl~che Rf.(u) : Rf.(u)~ : R-"-~f.o ~- ~ R"+~f.o~'(i) (i2o) sont des isomorphismes. En vertu de (2.3), cela implique que toutes les fl~ches Rf.(u)' : R"-V.o~-(k ) ~ R"+'f.~-(k+i) sont des isomorphismes. Appliquant (I. IO), on trouve : Proposition (2.4). -- Avec les notations pr/cddentes, si o~" v/rifle la condition de Lefschetz relativement a u, alors, dans Db(Y, Zz) (resp. Db(Y, Q~)), on a (2.5) P"f,'~" -~ ~. R'f ~'[--i] et en particulier la suite spectrale de Leray H'(Y, Rqf,..~ ) * H~'+q(X, ~') d~gdn~re. 263 i12 P. DELIGNE Si g est un morphisme de schdmas de Y dans S, (2.4) implique encore la d6g6n6- rescence de la suite spectrale de Leray KPg.Kqf.~ - :~ K~ + q(gf).~. (2.6. i) Reste ~ passer en revue quelques cas intdressants off ia condition de Lefschetz est v6rifi6e; nous donnerons des d6tails justificatifs dans (2.7). Soient donn6s f: X~Y, u, ~-et n. Dans le cas topologique, on Sait d'apr6s Godement [2], II, (4.7. !) que sif est propre et Y localement paracompact, la formation des images directes sup6- rieures commute au passage aux fibres, de sorte que la condition de Lefschetz se v6rifie fibre par fibre. Dans le cadre des sch6mas, la m~me r6duction s'applique, la r6f6rence Godement 6tant remplac6e par une r6ffrence k (SGA, 4, XII, (5. I)). Dans le cadre des schemas encore, sifest propre et lisse et o~" constant tordu (= lisse, dans une nouvelle terminologie), les R~f.o~- sont encore constants tordus (cf. SGA, 4, XVI, (2.2)) de sorte que si Y est connexe, il suffit m~me de v6rifier la condition de Lefschetz sur une fibre gfomdtrique. Dans tous les exemples donn6s, f sera une application continue (resp. un morphisme de sch6mas) propre et lisse de dimension relative topologique 2n (resp. alg6- brique n). Une application continue est dire lisse .si localement k la source elle est iso- morphe ~ la projection de Rk� sur Y. (2.6.2) Si f est un morphisme propre et lisse de vari6tfs k/ihl6riennes, le faisceau constant C v6rifie la condition de Lefschetz relativement ~ la 2-classe fondamentale de X. (2.6.3) Si X est un sch6ma relatif (complexe) (voir [3]), projectif et lisse sur l'espace topologique localement paracompact Y, et muni d'un faisceau inversible relati= vement ample 0(I), le faisceau constant C v6rifie la condition de Lefschetz relativement la premi6re classe de Chern de O(I). (2.6.4) Supposons que f soit un morphisme de schfmas projecfif et lisse, avec Y connexe et que soit donn6 U n faisceau inversible relativement ample 0(I) sur X. Si on peut remonter en caract6ristique o une fibre ge'ome'trique de f, et sa polarisation, alors le faisceau Qi-adique constant Qa v6rifie la condition de Lefschetz relativement ~ la premi6re classe de Chern l-adique de O(I). On salt qu'on peut relever en caract6ristique o 'au sens pr6cfdent dans les cas suivants : -- X est une varift6 de Seve'ri-Brauer sur Y. -- X est une intersection complete non singuli~re d'hypersurfaces dans une vari6t6 de Severi-Brauer sur Y (pour la polarisation induite par la polarisation canonique de la vari6t6 de Severi-Brauer). -- X est un schfma ab61ien polaris6 sur Y (Mumford, ~ para~tre). On conjecture que (2.6.4) reste vrai lorsqu'on ne sait passe remonter en carac- t6ristique o, mais ce n'est prouv6 que pour les surfaces. (2.6.5) Si f est un morphisme projectif et lisse de dimension relative 2 et si X est muni d'un faisceau inversible relativement ample ~(I), alors, le faisceau constant O~z v6rifie la condition de Lefschetz relativement ~ la premi6re classe de Chern de 0(I). 264 THI~ORI~ME DE LEFSCHETZ ET CRITI~RES DE DEGI~NI~RESCENCE II 3 (2.7) Dans les cas (2.6.2) et (2.6.3), la 2-classe de cohomologie donnde sur X induit sur les fibres defla 2-classe ddfinie par la structure k~ihl6rienne des fibres, de sorte que pour prouver (2.6.2) et (2.6.3) , il suffit, d'apr~s (2.6. I) de prouver (2.6.2) dans le cas particulier off Y est rdduit hun point. L'assertion rdsulte alors de la thdorie de Hodge et de la d6composition de Hodge-Lepage (Weil [io], IV, n ~ 6, cor. au Th. 5). La ddmonstration donnde dans loc. cit. s'applique encore si o~ est un faisceau localement constant de C-vectoriels de dimension finie, muni d'une structure hermitienne d6finie positive localement constante. D'aprSs (2.6. I), pour vdrifier (2.6.4) , il suffit de traiter le cas oh Y est le spectre d'un corps de caract6ristique o, et le principe de Lefschetz permet de supposer Y= Spec(12). On sait alors (cf. SGA, 4, XI, (4-4)) que pour tout faisceau Qz-adique constant tordu N sur X, si N an d6signe le faisceau localement constant de Q~-vectoriels sur l'espace topologique X ~" d6duit de N, alors les Qz-vectoriels de cohomologie, alg6brique et trans- cendante, de N ou N an, sont isomorphes (2.7.2) H'(X, N) --~ H'(X "n, N an) . Choisissant un plongement de O~ dans C, on en d6duit des isomorphismes (2.7.3) H'(X, N)| H'(X *n, Na'| Sur C, l'appfication exponentielle d6finit un isomorphisme dit canonique entre Z/l n et ~l", done entre Z Let Z~(I). L'image par l'isomorphisme composd H2(X, El(I)) -"-> H2(X, El) ----> H2(X an, Z)@Z l de la premiere classe de Chern/-adique de (9(1) coincide avec la premiere classe de Chern transcendante de g)(t). L'isomorphisme (2.7.3) ramSne donc le cas auquel on s'dtait r~duit de (2.6.4) ~ (2.6.3). Pour la d6monstration de (2.6.5), voir Kleiman [6], pp. 28 et ss. Le point essentiel est le th6or~me suivant (Weil [1i], p. I27). (~,. 8) Soit S une surface projective lisse sur un corps k et soit D une courbe lisse trac6e sur S telle que g~(D) soit ample. Alors, l'application composde Pic~ -+ Pic~ = Alb(D) -+ Alb(X) est une isogdnie. Remarque (~,.9). -- Le thdor~me de ddgdndrescence de suite spectrale (2.2) ddduit de (2.6.4) a dt6 conjectur5 par Gr0thendieck, par des considdrations de (< poids >>, lorsque Y est projectif et lisse sur un corps algdbriquement clos. Remarque (2. xo). --Serre m'a fait remarquer que les thdorSmes de ddgdndrescence de suites spectrales ddduits de (2.6.2) et (2.6.3) peuvent aussi se ddmontrer par une extension facile de la m6thode utilis6e par Blanchard ([i], II, i), tout au moins si on dispose de la dualitd de Poincard sur la base. Rdciproquement, la mdthode suivie ici permet de compl6ter les th6orbmes II (I. i) et II (i .2) de loc. cit., la d6monstration de 15 i14 P. DELIGNE l'implication (ii) => (i) &ant essentiellement celle de Blanchard, qui devait supposer les faisceaux images directes supdrieures constants. TMorkme (2. x x ). -- Soient f : X-+Y une application continue propre et lisse (2.6. i) d' espaces topologiques de dimension relative 2n avec Y localement paracompact, k un corps commutatif de caractlristique zgro et ueH~ R2f, k). On suppose que a) Le faisceau Rlf.k est constant (i.e. simple). b) Les cup produits itgrgs uiA : R"-~f.k ~ R"+~f.k sont des isomorphismes. Alors, les conditions suivantes sont 6quivalentes : (i) La classe u est induite par un ggment de Hz(X, k). (ii) La transgression dz : H~ Raf.k) ---> H2(Y,f,k) est nulle. (iii) Dans Db(Y, k), on a Rf, k~-~R~f,k[--i]. L'assertion (i) =~ (iii) est contenue dans (2. i). L'assertion (iii) implique la ddgdnd- rescence de toute la suite spectrale de Leray (~. IS) HP(Y, Rqf, k) :=~ aP+q(x, k), eta fortiori (ii), et il reste k prouver que (ii)=~ (i). Soit xeY et X~=f-l(s). La classe induite u'~eHe"(X, k) ne s'annule sur aucune composante connexe de la varidtd X~, qui est donc orientable. Si on ddsigne par Tr, l'application composde , H~ k)= H0(X. k) . k, la dualitd de Poincard implique que la forme bilindaire H"-~(Xs, k)� k) ~ k : (x,y) ~ Tr~(x,y) est une dualitd parfaite. Cette construction se - globalise ~) et fournit Tr~ : R2nf.k -+ k. Prouvons tout d'abord que dans (2. I2), d~u~H2(Y, Rlf, k) est o. Si xeH~ Rlf, k), pour une raison de degr6, on a xu"=o, donc xu") = d x. u"--nxu"- = o . D'apr~s b), l'application u"-~A : H~ R~f,k) -+ H~ RZ"-~f.k) est un isomorphisme, de sorte que si (ii) est v&ifid, quel que soit yeH~ R2"-~f.k), on a y.d~u=o , 266 THI~ORI~ME DE LEFSCHETZ ET CRITI~RES DE DI~GI~NI~RESCENCE x~5 et en particulier (2. I3) Tru(y. d2u ) = o . Soit V un k-vectoriel tel que R.lf.k soit un k-vectoriel isomorphe au faisceau constant V. On a d2usH~(Y, V) et, d'apr~s (2. I3), pour toute forme lindaire w sur V, l'image par w de d~u dans H2(Y, k) est nulle. Or on conclut que d2u=o. Si d2u=o , la d6monstration de (I.5) montre que toutes les diffdrentielles d 2 de (2. I~) sont nulles, de sorte que E~=E 3. Pour une raison de degrd, u ~+ 1 = o, de sorte que d3u n+ 1= (n-t- i)u'*d~u =o. Puisque d3ueH3(Y, R~ on ddduit de b) que d3u=o. Pour une raison de degr5, on a d,u=o pour r>3, et u provient donc d'un 516ment de H2(X, k). (2. I4) Dans le cadre des sch6mas, le r5sultat prdc6dent reste valable, mais n'est utilisable que dans Ie cas <( g6om6trique ~, plus prdcisdment lorsque O~ est isomorphe Q (I) sur Y. (2. I5) Le corollaire (I. i~) permet d'~tendre certains des 6noncds qui precedent certains faisceaux non constants. Proposition (2. I6). -- Soient get f deux applications continues (resp. deux morphismes de scMmas) composables X~Y~Z, et o~" un faisceau (resp. un Zz-faisceau ou O..rfaisceau) sur X. Supposons que a) Rg,~-EDb(Y) et Rg.~_ZR~g.~[--i], b) R(fg).o~sDb(Z) et R(fg).~-_~ ~R~(fg),3w'[--i]. Alors, pour tout k, on a Rf. (Rkg.o ~') _ ~ R~f.(Rkg, ff) [--i]. D'apr~s b) le complexe R(fg).~- ~ Rf. Rg. o ~ _~ Z Rf. (Rgk~" [--k]) est somme de ses objets de cohomologie; d'apr~s (I. I2), les Rf.Rgko ~, qui, ~ un ddcalage pr6s, en sont facteurs directs grftce ~ a), jouissent de la m~me propri~t5. Proposition (~'. XT). -- Soient ~ un fibr~ vectoriel localement libre sur un scMma S, o ~- un faisceau l-adique col~tant tordu sur P(g) et f la projection de P(g) sur S. Dans la catggorie ddrivge, on a L'espace projectif est simplement connexe, et sa cohomologie est sans torsion (SGAI, XI ~.~ et SGA4, XVI~.~). On a donc et Rf. ~z-= Rf.Z~ | o~', 267 xx6 P. DELIGNE formule qui permet de se ramener au cas off o~-=Z Z. Soit u la classe de Chern du faisceau inversible ~(i) sur P(do). On sait alors que Z z vfirifie la condition de Lefschetz relati- vement ~ u, et on conclut par (2.2). (2. x8) De (2. t7), on peut d6duire (k l'aide de (2.16)) le m~me rdsultat pour les fibr6s en drapeaux de toutes esp~ces d6finis par d ~ Dans le cadre topologique, ce qui prdc~de s'applique tel quel aux fibres vectoriels sur C, et s'dtend aux fibrils vectoriels sur H grace h (I .9). Pour les fibrds r6els, il faut se limiter au cas off o~- provient d'un faisceau de 2-torsion sur la base. Remarque (2. x9). -- Soit X un schdma ab61ien de dimension relative g sur une base Y. Pour tout entier n, la multiplication par n, soit [n], d6finit un endomorphisme [n]*: Rf.Z~-~ Rf, Z v Prenant des combinaisons lin6aires k coefficients rationnels (et ~ ddnominateurs bornds en terme de g) de ces endomorphismes, on construit des endomorphismes ~i: Rf, Qz -+ Rf, Q~ tels que HS(nr ~. Appliquant (I. I I), on conclut, sans hypoth~se projective, que L'id~e exploitde iciest due ~t Lieberman. 3. La forme infinit~simale du th~or~me de semi-continuit6. Je rappelle dans ce paragraphe quelques rdsultats qu'on parvient ~ trouver dans EGA, III, w 7- La formulation (3.4) m'a 6td signalde par L. Illusie. (3.0) Dans tout ce paragraphe, on ddsigne par A un anneau local noethdrien fix6 une lois pour toutes, par m son id6al maximal et par k son corps r6siduel. On d6signe par D~oh(A) la sous-catdgorie de la cat6gorie ddrivde de la cat6gorie des A-modules, form6e des complexes born6s supdrieurement de A-modules de type fini. Proposition (3. I ). -- Soit M un module de type fini sur A. (i) Pour tout homomorphisme (pas ndcessairement local) de A dans un anneau artinien B, et tout B-module de type fini N, on a (3. '. ' ) lg~(MQ N)< lgB(N ) . dim~(MQk). (ii) Les conditions suivantes sur M sont dquivalentes : a) M est un module libre. b) Q3Lels que soient B et N eomme en (i), on a (3-x .2) lgB(M| =lg,(N). dimk(M~ k). c) Quel que soit n~N, la condition (3-I. 2) est v~rifige pour B = N=A/m". d) Quel que soit p~Ass(A), M~ est plat sur A~ et la condition (3-I .2) est vgrifide pour B = N = A~,/pA w 268 THI~ORI~ME DE LEFSCIIETZ ET CRITI~RES DE DI~GI~NI~RESCENCE xx7 Si A est sans composantes immergges, ces conditions gquivalent encore ~ : e) Quel que soit le point maximal p de Spee(A), on a (3. x. z') lgAo(Mp) =lg(Ap). dimk(MQ k ) . La ddmonstration (une application du lemme de Nakayama) est laissde au lecteur. (3.~,) Pour tout complexe K et tout entier n, on ddsignera par -~_>~(K) le complexe ddfini par : IK k si i<n er(d '~-1) si i=n (3.2. I) ';'kn (K)/: si i>n de sorte que H%>~(K)= !o si i<n (3.2.2) - (H'K si iX n. Soit K un objet de D~oh(A) (of. (3.0)). Quitte/t remplacer K par un complexe isomorphe dans la catdgorie ddrivde, on peut supposer les composantes de K fibres de type fini. Quels que soient B et N comme en (3. I) (i), on a, au niveau des complexes : Prenant les caractdristiques d'Euler-Poincard des deux membres, on trouve 9 . L Z (--i)'lgs(Hn+*(K| =lg,(coker(d ~-1) | -t- Z (--i)~IgB(Kn+~| i>0 A A i>0 A Soustrayons de cette identitd l'identitd analogue pour B=N=k, multiplide par lgB(N ). D'aprSs (3.i) (ii), a~b, on a, les K i dtant libres, 9 L . . L (3.2.3)  (--I)*lgB(H~+~(K| Z (--I)'dimA(Hn+*(K~k))= />0 A />0 = lgB (coker (d ~-1) ~N)--lgB (N) dimk(coker (d n-~) ~k), ce qui permet d'appliquer (3-I) au premier membre de (3.2-3). Thgor~me (3.3). -- (Thdor~mes d'gchange et de semi-continuitd). -- Soient K e Ob D~oh(A ) (cf. (3.0)) et neE. (i) Pour tout homomorphisme de A dans un anneau artinien B et tout B-module de type fini N, on a 9 . L I, (3.3. x) ?g (_I)*lgB(H~+~(K| ~ (--i)~dimk(H~+~(K| i>0 A -- i>o A (ii) Les conditions suivantes sur K et n sont dquivalentes : a) Le foncteur cohomologique en le A-module N : H*(K~N) vdrifie la propridtd d'dchange en 9 = n, i.e. les conditions dquivalentes suivantes sur K et n sont vdrifides : a. I) le foncteur H'(K| est exact h gauche; 269 II8 P. DELIGNE a. 2) il existe un module Q tel que le foncteur a. I) soit isomorphe au foncteur HomA(Q, N); a. 3) le foncteur H"-I(KQN) est exact g: droite ; a. 4) il existe un module P tel que le foncteur a. 3) soit isomorphe au foncteur P| L A a.5) lafl~che Hn-I(K) ---> Hn-l(K| est surjective; a. 6) il existe un complexe borng supgrieurement K', quasi-isomorphe a K et g: composantes plates (resp. libres de type fini), tel que d .... 1= o. b) Quels que soient B et N comme en (i), on a 9 L L (3-3.2) Y, (--I)'lgBH~+~(KQN)=lgB(N) 2 (--1)idimk(Hn+~(KQk)). i>O A i>0 Si A est sans composantes immerg&s, ces conditions gquivalent encore ~ : c) @el que soit le point maximal p de Spec(A), on a 9 . L (3.3.2') Y~ (--I)~lgA~H~+~(gp)=lg(A,) ~2 (--I)~dimk(H'~+*(K@k)). i>0 " i>0 Remarque (3.3.3). -- On efit pu allonger la liste par les conditions analogues a (3-I) (ii) c) et d). L'assertion (i) rdsulte de (3.2.3) et (3.1) (i). D'apr~s EGA, III, (7.4-2), et sa d~monstration, les conditions a. i), a.3) et a.6) sont fiquivalentes, et, si K est repr6sent~ par un complexe bornfi supdrieurement de modules libres de type fini, elles signifient encore que coker(d '~-1) est libre; compte tenu de (3. i) (ii) a<>b<=>e et de (3.2.3), ceci prouve l'~quivalence de a. i), a.3) , a.6), b) et c). On a, trivialement, a.6) :~a.2) =>a. I) et a.6)=~a.4):~a.3). L'fiquivalence de la condition a.5) avec les autres est contenue dans EGA, III, (7.5.2). Corollaire (3-4). -- Soient A, K et n comme en (3-3), et keN. (i) Q~els que soient Bet N comme en (3-3) (i), on a L L (3-4. x) 0<~<2k (-I, )~lgBH"+4(KNN)- A ,--<le'(N)o,, "0<,<2k' ~] (--I)idimkH"+~(K~k) (ii) Les conditions suivantes sur K, net k sont gquivalentes : a) Le foncteur cohomologique en N, H*(K~N) vgrifie la proprigtg d'gchange en *=n et en * :n-I- 2k~-I. a') Le complexe K est quasi-isomorphe g~ un complexe borng supgrieurement K', ~ composantes plates (resp. libres de type fini) tel que d'"-t:d'~+Zk=o. b) Quels que soient Bet N comme en (i), on a ggalitg darts (3.4. i). Si A est sans composantes immerge'es, ces conditions e'quivalent encore a c) Quel que soit le point maximal p de Spec(A), on a ~galitg clans (3.4.1) pour B=N:A~. (3.4.~') Pour k=o, il s'agit l~t de propridtds du seul hypcrtor H'~(KQN), considdr6 comme foncteur en le A-module N. Elles s'expriment encore en disant que H~(K) est libre et que, pour tout N, la fl~che canonique de H"(K)QN dans H"(K~N) est un isomorphisme. 270 THI~ORI~ME DE LEFSCHETZ ET CRITI~RES DE DI~GI~NI~RESCENCE II 9 (3.'t.3) D'autre part, si K est un complexe parfait, on ddduit de (3.4) pour n< o un rdsultat analogue ~ (3.3), la sommation sur i> o dans (3.3. i, 2, 2') 6tant remplacde par une sommation sur i<o. L'assertion (i) et l'~quivalence de a), b) et c) rdsultent de (3.3) et de l'identit~ Pour prouver a'), on applique successivement (3.3) (ii) a).~:~a.6) ~t (K, n) et a (,>,(K), n+2k-t-I). (3.5) Lorsque A est artinien, (3.4) donne, pour k=o, l'in6galit6 (3.5. x ) lgA(H~K) <lg(A)dimk(H"(K~k)) et, si on a 6galit6 dans (3.5. I), alors la condition d'6change est vdrifide en n et n+ I, et H"(K) est un A-module libre. 4. Morphlsme de Gysin en cohomologie de Hodge. Le paragraphe est r~dig6 d'apr~s des notes de A. Grothendieck. (4. o) Soit f : X-->Y un morphisme propre entre schdmas X et Y lisses purement de dimension relative net m, sur une base S. On suppose que S est noethdrien et admet un complexe dualisant pour pouvoir r~f~rer ~t [4] pour la d~finition de Rf!; cette restriction est sans doute inutile. Enfin, posons d=n--m. (4. x) Toute forme diff6rentielle relative sur Y ddfinit par imag e rdciproque une forme diffdrentieUe relative sur X, &off un morphisme * p (4-x. x) f ~yls = Lf*f2~/s -+ DYx/s 9 D'apr~s la thdorie de la dualitd pour les morphismes lisses et la transitivitd de Rf, on a canoniquement (4. I. 2 ) Rf ! f2~,/s = f2~/s [a t] 9 Appliquons ~ f2~:/s et ~)~/s la formule d'induction Rf~R. Horn(K, L) = R gom(Lf*K, P,.f~L), qui s'obtient ais~ment t~ partir de la ddfinition de Rf ~ pa r bidualit~ (Hartshorne [4], chap. VII, w 3). Puisque R Hom(f~ls, f~lS) ~ ~P, on trouve : Rf~ f2r~ p = R Hom(Lf* ~ p, f2~/s)[d]. La fl~che (4. I. I) ddfinit donc par transposition une flSche (4. i .3) f~z];q = R gom(f~/s, f2~/s) -+ Rf'f~}~ p [d] . 271 i2o P. DELIGNE D'apr~s la thdorie de la dualitd, se donner une fl~che (4-1.3) revient k se donner une fl~che (4-i .4) (4- I. 4 ) Rf. f~:~;' -,.- ~2}~, [-- d]. Ddfinition (4-2). -- Soient X, Y, f, S, n, met d comme en (4-o). On appelle morphisme de Gysin la fl~che (4. I. 4) Tr/ : Rf. f~/s -+ ~2~; a I--d] et les fl~ches telles que Trt : Hq( X, f~/s) ---> Hq-d( Y, f~};~) qui s'en ddduisent. Proposition (4-3). -- Soit f: X-+Y un morphisme propre et birationnel de schdmas lisses sur un corps k. Les fl~ches f* : g ~ (Y, f2~) ---> H q (X, f2~) sont injectives. On se ramSne ~ supposer X et Y purement de dimension n. Le morphisme compos~ Trtof* : f~ -+ Rf.f*~2~ -+ Rf.f2~ -+ ~2} est l'identit6, car il coincide avec l'identit6 sur un ouvert dense. Appliquant le fonc- teur Hq(Y, ), on trouve que le morphisme compos6 Trtof* : Hq(Y, f~) -+ H'(X, a~) -+ He(Y, f~) est l'identit6, ce qui prouve (4.3)- 5" Cohomologie de Hodge et de De Rham. (5- x) Soit f : X--->S un morphisme lisse de sch6mas. Par d~finition, les faisceaux de cohomologie de De R.ham relative de X sur S sont donnds par HD~ (X/S) = R:f, (ax/s), off ~x/s, le complexe de De Rham relatif, est un complexe diffdrentiel S-lindaire. On dispose d'une suite spectrale (5" I. I) Efq=I~qf,~'~P/s ::~/-~D~q(X/S) 9 (5.2) Lorsque S = Spec(C) et que X est propre et lisse, on sait par GAGA ([7]) que la cohomologie de chacun des faisceaux coh6rents f2~, ainsi done que l'hyper- cohomologie de f2x, sont les mSmes au sens algdbrique (topologie de Zariski) ou trans- cendant (topologie usuelle de Xan), en particulier f2~ n dtant une rdsolution du f~isceau constant C, on a gr, R (X) = H"(X% C) et la conjugaison complexe sur le faisceau constant t3 induit une conjugaison complexe (de nature transcendante) sur H~m(X). La suite spectrale (5. i. i) s'~crit ici l-lP+ q (5-2. x) Ef q = Hq( X, f~) * -*DR (X) ; 272 I01 THI~ORI~ME DE LEFSCHETZ ET CRITI~RES DE DI~Gt~NI~RESCENCE on d6signera par F p (H" (X)) la filtration (d6croissante) qu'elle d6finit sur son aboutisse- ment. D'apr~s Weil [IO], chap. IV, n ~ 4, th. 2, la suite spectrale (5.2. I) peut se calculer comme suite spectrale du complexe double H~ ", f2 p' q) filtr6 par le ier degr6, f2 p' q d6si- gnant le faisceau des formes diff6rentielles C ~ bihomog6nes de bidegr6 (p, q) (Weil [io], chap. II, n ~ i). Supposons maintenant que X soit projective, donc X a" une vari6t6 k~thl6rienne. Les formes harmoniques forment alors un sous-complexe double (Weil [Io], chap. II, n ~ 6, cor. I auth. 2) du complexe double pr6c6dent, sur lequel d' et d" s'annulent. L'inclusion de ce sous-complexe induit un isomorphisme sur les termes E 1 des suites spectrales d6finies par ces doubles complexes, filtr6s par le premier degr6, comme on le voit en considdrant l'op6rateur H (composante harmonique), r6traction du complexe double H~ "n, ~)P'q) sur le sous-complexe des formes harmoniques et vdrifiant I--H = d'(2~'G) + (28'G)d' (Weil [io], chap. IV, n ~ i : (I) et lemme 3; nO 3 : cor. 2 et chap. II, n ~ 5, th. 2 (IX)). Si on d6signe par H p' q (X) l'image clans H p + ~ (X a~, C) de l'espace des formes harmo- niques de type (p, q), on a donc (5.2.2) H"(X, 13)= (9 p+q=n (5.2.3) F, (H" (x)) = @ H',"-' (X), (5- 2.4) HP' q (X) = H q' p (X) (conjugaison complexe) et la suite spectrale (5.2.1) d6gdn~re. Revenant au cas g6n6ral off X est seulement suppos6 propre et lisse sur t3, on posera H p'q (X) = F' (H'+q (X)) o Fq (H' +q (X)), (5.2.5) de sorte que H,,q(X) = Hq,, (X). (5.2.6) D'apr~s (5-2.3), cette notation est compatible avec celle utilisde lorsque X est projectif. On posera encore (5.2.7) h'q = dim Hq( X, ~.~). Proposition (5.3). -- Soit X un schgma propre et lisse sur 13 : (i) La suite spectrale (5.2.I) d~gdnkre. (ii) On a (5.3. I) F' (Hn(X))= @ H~'n-' (X) et en particulier (somme directe) (5.3.2) H'(X)-- O H"q(X) p+q~n (5.3.3) hP'q = hq'p ----- dim U p'q (X). 16 x22 P. DELIGNE On se ram6ne ~t supposer X connexe. Soit N sa dimension. D'apr~s le lemme de Chow et la rdsolution des singularit6s (Hironaka [5]), il existe un morphisme projectif et birationnel g :X'-->X, avec X' projectif et lisse sur C. La suite spectrale =~ H~R q (X) (5-3-4) E~'q= Hq( X, f~) "+ s'envoie, par image rdciproque, dans la suite spectrale' analogue (5-3.5) E'~P'q= Hq( x', f~,) ~ H~+q(X'), qui, d'apr~s (5.~) ddg6n~re. D'apr~s (4-3), le morphisme g* : Ev-->E' ~ est injectif. On en conclut, par r6currence sur r>I, clue dr=o , que E,=E~+ 1 et que g* injecte Er+ 1 dans E:+I. Eprq dr > EPr+r,q -r+l ~.~q r,p + ~, ~--r +1 dtJ r Puisque les suites spectrales (5.3-4) et (5-3.5) d~g~n~rent, et que g* est injectif sur leur terme initial, i! l'est encore sur leur aboutissement. Des formules (5.2.3), (5.2.4) appliqudes ~t X' rdsulte que FP (H"(X')) n F'~-'+I(Hn(X'))= {o} ; on en d6duit la formule analogue (5-3.6 ) F' (H" (X)) n F '~-p +~ (H" (X)) = {o}, g* car envoie FP(H"(X)) dans FP(Hn(X')) et commute ~t la conjugaison complexe. En particulier, on a in--i Y~h' + Z lh~"-i<dimH~(X)=Zh i'n-i, i>p i>n-p + -- i ce qu'on peut 6crire (5.3-7) ~hr ~ hi'~-~. Par dualitd de Serre (hi'~----hN-~'~-~), l'indgalit6 (5.3.7) (pour N--n) implique l'indgalitd opposde, de sorte que dim F p (H n (X)) + dim F '~-p +1 (H n (X)) ---- dim H n (X). D'apr6s (5.3.6), on a donc (5-3.8) H"(X) = F" (H" (X))| "-p+I (H" (X)). La ddcomposition (5.3.8) induit sur FP-I(H"(X)) (qui contient l'un des facteurs) une d6composition r'-I (H" (X)) = r' (H" (X)) 9 H'- 1, ,-, +1 (X), 274 THI~ORI~ME DE LEFSCHETZ ET CRITI~RES DE DI~GI]Nt~RESCENCE ~3 et la formule (5.3.i) s'en d6duit par r6currence d6croissante sur p (5.3.2) et (5-3-3) rdsultent aussit6t de (5-3. i) et (5-2.6), ce qui aeh~ve la ddmonstration de (5.3). Corollaire (5-4)- -- Sous les hypotheses (5.3), on a : (i) Une classe de cohomologie (complexe) a sur X est dans H p' q(X) si et seulement si elle peut se reprdsenter par une forme fermde ~ de type (p, q). (ii) Toute classe de cohomologie a peut se reprdsenter par une forme ~ vgrifiant d'e=d"e=o. (iii) Si la forme ~ vdrifie d'e = d"~ = o, les conditions suivantes sont dquivalentes : a) (3 = ; b) ; C) (3~) o~=dtt~. (1) Par d6finition, a~HP'q(X) si et seulement si existent dans la classe de a des formes ferm6es ~1 et ~2 dont les composantes de type (p', q') sont nulles pour p'<p (resp. q'<q). I1 existe alors ~ tel que ~l--~=d~. Soit ~1 (resp. ~) la somme des composantes de de type (p',q') pour p'~p (resp. q'~q); on a ~=~1+~2 et est une forme ferm6e de type (p, q) dans la classe de a. Ceci prouve (i). I1 suffit de prouver (ii) pour a bihomog~ne, done repr6sent6 par une forme bihomogbne ferm6e d'apr~s (i). Une telle forme vdrifie automatiquement d',=d",=o. Si , v6rifie d'e = d", = o, ses composantes bihomog~nes sont ferm6es, et chacune des conditions a), b), c) 6quivaut k la conjonction des conditions analogues pour les diverses composantes de e, trivialement pour b) et c) et d'aprSs (5.3) (ii) et (5.4) (i) pour a). Supposons donc e ferm6e de type (p, q) pour prouver (iii). La classe de eoho- mologie a dfifinie par e se trouve dans HP'q(X), done dans FP(H~+~(X)) et est nulle si et seulement si elle se trouve d6j~ dans Fv+~(HV+~(X)), c'est-~-dire si son image dans H~(X, f~v) est nulle. Ceci prouve a)~*.c), et l'6quivalence a)<=~b) s'en d6duit par conjugaison. Thdorkme (5.5)- -- Soient Sun schdma de caractdristique o et f: X---~S un morphisme propre et lisse. Alors (i) Les faisceaux Ref.f~/s sont localement libres de type fini de formation compatible tout changement de base. (ii) La suite spectrale (5. ~. i) ddgdnkre. (iii) En chaque point de S, les faisceaux R~f,~/s et RV, a~/s ont mgme rang (sym~trie de Hodge). La seconde assertion de (i) rdsulte de la premiere et de EGA, III, (7-8.5) appliqu6 9 elle implique qu'il suffit de vdrifier (iii) pour S spectre d'un corps. ehacun des f~x/s, Des arguments standards permettent de se ramener successivement au cas off S (1) (Ajout6 sur t~preuves). On peut montrer que ces conditions 6quivalent encore ~ l'existence d'une forme [~ telle que ~ = d' d"~. 275 i2 4 P. DELIGNE est affine (car la question est locale sur S), noeth6rien (par passage ~ la limite inductive d'anneaux), spectre d'un anneau local noethdrien (car la question est locale), spectre d'un anneau local noethdrien complet (par fid61e platitude de la compldtion), spectre d'un anneau local artinien. Pour effectuer cette derni~re rdduction, on reprdsente l'anneau local noethdrien complet R comme limite projective de ses quotients artiniens R/m n. D'apr~s le thdor~me de comparaison EGA, III, (4.I.5), le terme E 1 de la suite spectrale (5. i. I) est limite projective des termes E1 des suites spectrales analogues sur les R/m", de sorte que si celles-ci ddgfin~rent, (5. I. I) dfig~n~re de m~me. Si l'assertion (i) est vraie sur les R/m", ces termes E 1 forment un syst~me projectif de modules libres, se ddduisant les uns des autres par rdduetion mod m", de sorte que leur limite projective est un module libre. Supposons done que S=Spec(A) avec A anneau local artinien de corps rdsi- duel k (de caractdristique o). Cet anneau admet un corps de reprdsentants (EGA, ~ (i9.8.6), (i) pour W=k, u=identitd) et peut done ~tre vu comme une k-alg~bre locale de dimension finie. Le principe de Lefsehetz permet de supposer k =C, auquel cas (iii) rdsulte de (i) et de (5.3.3). Pour achever la ddmonstration de (5-5), il reste done ~t prouver la premiere asser- tion de (i), et (ii), sous l'hypothbse suppldmentaire : (5.5. x) S=Spec(A) pour une C-alg6bre locale de dimension finie sur C, A, d'iddal maximal m. La suite spectrale (5. I. i) se rddcrit (5.5.2) = q(x, P,p Lemme (5.5.3). -- Sous les hypothkses (5.5) et (5.5. I), le complexe ~*x~/~ est une re'solution du faisceau constant A sur l'espace topologique X a". Le complexe ~ 6tant A-lindaire, sa filtration m-adique est une filtration par des sous-complexes. Pour eette filtration, *an __ 9 Gr f}x/s-- Gr o *ao AQcGr f~xls C~ 0C~*an Le complexe ~r --x/s est une rdsolution du faisceau constant C, car il n'est autre que le eomplexe de De Rham de Xr~ d. Le complexe Gr ~ est donc une rdsolution de Gr A, et l'assertion en rdsulte. L'espace X est compact, de sorte que par GAGA (cf. (5.2)) les hypercohomologies au sens algdbrique et au sens transcendant de ~x/s coincident, et, d'aprbs (5.5-3), coincident encore avec la cohomologie de X ~" k valeur dans A. D~s lors, n * " ~ * (5.5-4) lgAR r(nxls) = lg(A), d~moR r(flx~d ) . D'aprSs (3.5.I) et EGA, III, (6.I0.5) , on sait que (5.5.5) lgaHq( X, n~/s)<lg(A)dimcHq(X~'od , f~-~,oa), l'dgalit6 ne pouvant avoir lieu que si Hq(X, f~/s) est A-libre. 276 THI~ORI~ME DE LEFSCHETZ ET CRITI~RES DE DI~,GI~NI~RESCENCE I~t 5 On tire de (5-5.2) que (5.5-6) Z lgAHP(X , n~/s)_>lgAR-r(nx/s), p+q=n l'6galit6 ne pouvant avoir lieu pour tout n que si la suite spectrale (5.5-2) d6gfn~re. Mettant bout ~ bout ces in6galitfs, on trouve 9 n * (5.5.7) lg(A). Z dimcHq(Xr, a, O~,d)_>Ig(A) R F(Ox~,d ) , p+q=n l'6galit6 ne pouvant avoir lieu que si les conclusions (5.4) sont v6rifi6es. Cette dgalit6 rdsuhe de (5.3) (i) appliqu6 ~t X,~ d. 6. Application 9 la cohomologie coh6rente. TMor}me (6. I), -- Soient Sun scMma de caract6ristique o et f: X-+S un morphisme projectifet lisse de dimension relative n. Quel que soit p (par exemple p = o), on a, dans Db(S, 0s), P ~ q P Rf. axis - X R axis [- q]. D&ignons par u la premiere classe de Chern d'un faisceau inversible relativement ample sur X, ~ valeur dans Hi(X, ~/s). La classe u d6finit par << cup-produit >> des homomorphismes dans Db(S) : Rff~p +1 uA : Rf, a /s x/s et un endomorphisme de degr6 2 p p Lemme (6.2). -- L' endomorphisme (6. I. I) vgrifie les hypotheses de ( I .5). D'apr~s (5.4) (i) et le principe de Lefschetz, il suffit de d6montrer (6.2) lorsque S----Spec(C). L'assertion r6sulte alors du th6or~me de Lefschetz (voir (2.6.2) ou (2.6.3)) et de la d6composition de Hodge. D'apr6s (I.5), le complexe ERf.f~}/s[--p] est isomorphe, dans la catdgorie d6rivfe, ~t la somme de ses objets de cohomologie, et il en va de mfime pour chacun des Rf.~}/s qui, ~t un d6calage pros, en sont facteur direct (i. I2). BIBLIOGRAPHIE [I] BLANCItARD, Sur les vari6t~s analytiques complexes, Ann. Sc. E.N.S., 73 (i956). [2] R. GOD~ENT, Th6orie des faiseeaux, Publ. Inst. math. Univ. de Strasbourg, XIII, Act. Sci. et Ind., Hermann. [3] M. 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Théorème de Lefschetz et Critères de Dégénérescence de Suites Spectrales

Deligne, P.
Publications mathématiques de l'IHÉS , Volume 35 (1) – Aug 30, 2007
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Publisher
Springer Journals
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Copyright © 1968 by Publications Mathématiques de L’I.É.E.S.
Subject
Mathematics; Mathematics, general; Algebra; Analysis; Geometry; Number Theory
ISSN
0073-8301
eISSN
1618-1913
DOI
10.1007/BF02698925
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Abstract

THI~,OR#ME DE LEFSCHETZ ET CRIT~RES DE DEGENERESCENCE DE SUITES SPECTRALES par P. DELIGNE (x) x. Th6or~mes g6n6raux. Soient dune cat6gorie ab6lienne et Db(d) la sous-cat6gorie pleine de sa cat6gorie d6riv6e form6e des complexes born6s. On rappelle que si T est un foncteur cohomo- logique (voir [8] ou [9], P. io) de d dans une cat6gorie ab61ienne ~, Verdier [8] a dffini une suite spectrale, fonctorielle en XeDb(d): (x. x) E~q= T(Hq(X) [p]) => T(X[p § q]). Proposition (x.2). -- Soit XeDb(d); les conditions suivantes sont dquivalentes : (i) Quel que soit T comme plus haut, la suite spectrale (i. i) ddgdn~re. (ii) L'objet X est isomorphe, dans Db(d), ~ ~Hi(X)[--i]. (i) =~ (ii) D6signons par T i le foncteur cohomologique en K d6fini par T, (K) = HomDc~r 1 (H i (X), K). Pour chacun des T~ (i~Z), la suite spectrale (I. I) s'&rit (x. 3)~ E~ q = Exff (H ~ (X), H q (K)) =~ HOmD(~, ) (H ~ (X), K [p q- q]) et l'homomorphisme de Hom(Hi(X), K[i]) dans E~ Hi(K)) qui s'en ddduit n'est autre que celui provenant de la fonctorialit6 de H ~ Si les suites spectrales (i.3)i d6g6n~rent, les fl&hes Hom(Hi(X) [--i], K) ~ Hom(H'(X), HI(K)) sont surjectives. Par hypoth~se, tel est le cas si K=X, de sorte qu'il existe des morphismes a i de HI(X)[--i] dans X, induisant l'identitd sur le i-~me groupe de cohomologie. De plus, puisque Hi(X)----o sauf pour un nombre fini de valeurs de i, les ar sont nuls sauf un nombre fini, ce qui permet de ddfinir a = ai : ~ta'L~) L--Z] ~ X. 9 i Par construction, a induit l'identit6 sur la cohomologie, donc est un isomorphisme. (1) Aspirant au F.N.R.S. 289 xo8 P. DELIGNE (ii) =~ (i) La suite spectrale (I. I) est un foncteur additifen X, et d~g6n~re lorsque X n'a qu'un objet de cohomologie non nul, done aussi si X est somme de complexes n'ayant ciu'un objet de cohomologie non nul. Remarque (i.4). -- I1 r&ulte de la d~monstration pr&ddente qu'il suffit de v6rifier Ia condition (i) pour les foncteurs cohomologiques du type HomDl~, / (A, .) off AeOb(~/). Par dualit6, il suffirait aussi de consid~rer les seuls foncteurs HomDc~/(*, A), la condi- tion (ii) &ant autoduale. Thgor~me (x. 5). -- Soient XeDb(d), nun entier et u un endomorphisme de degrg 2 de X, u :X-+X[2], dont les itdrds induisent des isomorphismes u' : H"-~(X) --~ H"+~(X) (i2o). Sous ces conditions, X est isomorphe h ~Hi(X)[--i], dans la catggorie Db(d). V6rifions la condition (I) de (1.2). Soit done T un foncteur cohomologique de Db(~ r dans H, et posons TP(K)=T(K[p]). On appdle partie primitive de H" -~ (X), et on d6signera par oH"-~ (X), le noyau de l'homomorphisme u~+ 1 : H"-~(X) -+ H"+~+2(X). On v&ifie que pour i>o, les applications t@ uk : O 0H"-'-2k(X) -+ H"-'(X) , (x.6) Ik>0 k>0 k+i " n--i--2k( n+i l@ u : @ o H X) -+ H (X) Ik>o k>o : sont des isomorphismes. La suite spectrale (i. i) &ant fonctorielle en X, et (~ compatible, aux translations sur les degrds, l'endomorphisme u de X ddfinit un endomorphisme de degr6 2 de la suite spectrale u : E~q -+ E, p'q+~ commutant aux difffirentielles d, (r>2). Lorsque r=2 l'endomorphisme u de la suite spectrale u : TP(Hq(X)) ~ TV(Hq+2(X)) se ddduit du morphisme u :Hq(X)-+Hq+2(X) par fonctorialitd de T p. Soit i>o._ Ddsignons par 0~,wP'n--~ le noyau de l'homomorphisme u~+l : E P, "-~ _+ Ep, n+i+2 (~( partie primitive ~ de la suite spectrale). Pour r=2, les d6compositions (I .6) induisent par fonctorialit~ de chaque T p des d6compositions tkO>oUk:( ~ r.,,~-'-~k ~ ~.,,~-' .- (x. 7) - k->~176 =~ ' tO u ~+~ : if) ~v,.-~-~ ~,,,+~ ~_>0 ~>0 ~ ~ ...... 260 THI~OR~ME DE LEFSCHETZ ET CRIT~,RES DE DI~GI~NI~RESCENCE ~o9 Prouvons par rdcurrence sur r que les difffirentielles dr (r>~) sont nulles. L'hypo- th~se de r6currence implique que E~ = E,, de sorte que la d~composition (~. 7) s'applique au terme E r de la suite spectrale. Puisque u commute aux dr, il suffira de prouver que d r s'annule sur la partie primitive de E,. Le diagramme suivant est commutatif : ]~.p,n--i dr Ep+ r,n_i_r +1 o~r > --r Ep, n+~, +2 dr> Ep+r,n+'~-r +3 r --r La fl~che verticale gauche est nulle par ddfinition de la primitivit6. La fl~che verticale droite est un monomorphisme, car la fl~che u~+ ,-~ : E~$~,"-(~+~-~) _+ E~,~+(~+,-I) est un isomorphisme et r--I_> I. I1 en r~sulte que d rest nul. Remarque (i.8). -- On prendra garde qu'on ne peut pas en g~n~ral choisir un isomorphisme entre X et ~H~(X) [--i] qui transforme u en la somme des applications Hi(u) : HI(X)-+H i+2 (X). On obtient aisdment un contre-exemple en prenant Hi(X)=o pour i :F n. On peut ddfinir un isomorphisme (< plus beau que les autres >> entre X et ~Hi(X)[--i], mais on n'aura pas ~ s'en servir ici. Remarque (x.9). -- Soient X~Db(M), net s des entiers et u un endomorphisme de degrd s (resp. 2s) de X. On suppose que Hi(X)= o lorsque i n'est pas de la forme ks (o<k<_n) (resp.(o<k<~n)) et que u "-2i (resp. u i) induit un isomorphisme entre HI'(X) et HI"-i)"(X) (resp. entre H("-I)'(X) ' et HI"+iI*(X)). Sous ces hypotheses, la d~mons- tration de (I .5) montre encore que X est isomorphe ~ ~H~(X)[--i]. Remarque (x. xo). -- Soit (X~)i~ z une famille d'objets de Db(d) et u une famille d'homomorphismes de degr6 2 : u i : X~Xi+ 1 [2]. Si, quels que soient i etj, u~ induit un isomorphisme entre H"-J(X~) et H"+J(XI+j), il est encore vrai que chaque X iest isomorphe ~ la somme de ses objets de cohomologie; pour le voir, il suffit d'appliquer formellement les raisonnements qui pr6c&dent ~t u : ~X,---~X,, m~me si cette somme n'existe pas darts Db(~). La m6me remarque s'applique ~ la variante (I.9). TMor~me (x.xx). -- Soit XeDb(~ r et supposons que X admette des endomorphismes de degrg o, ~i:X~X tels que H~(~i)=8o. Alors, X est isomorphe a ~H~(X)[--i] dans la categoric Db(~r IlO P. DELIGNE Appliquons encore le crit6re (I. 2) (i). Le diagramme Eprq a,> Evr+r,q_r+ 1 grVq d,, grp+,, q_r + 1 est commutatif, la premi6re colonne est l'identitd, et la seconde z6ro, de sorte que d r =o. Corollaire (x. x2). -- Soit X~Db(~ r la somme d' une famiUe finie d' objets XkeDb(~r Si on a x ~ 2H'(X) [--i] alors, pour tout k, on a xk- ZH (Xk) [--z]. Soient jk l'injection canonique de Xk dans X, pr k la projection canonique de X sur X k et r~ i un endomorphisme de X tel que HJ(r~i)= 8ij. Pour chaque k, les prkr~d" k vdrifient l'hypoth6se de (I. I I). Remarque (x.x3). -- On vdrifie que pour que l'isomorphisme entre X et H~(X) [--i] puisse ~tre choisi tel que les ~i s'identifient aux pr~, il faut et il suffit que les ~ soient des idempotents deux ~ deux orthogonaux. I1 existe alors un seul isomor- phisme ayant cette propri6t6 et induisant l'identitd sur la cohomologie. 2. Applications. Soit f: X--->Y une application continue entre espaces topologiques (voire un morphisme de topos), A un faisceau d'anneaux sur X et o~" un faisceau de A-modules. Si uEH2(X, A), u d6finit un endomorphisme de degr6 2 dans Db(X), encore not6 u : o~-+~[2] . Par tbnctorialitd, u ddfinit un endomorphisme de degrd 2 : Rf,(u) : Rf,~- ---> Rf,~'[2] . On dira que (X,f, u, o ~ n) vdrifie la condition de Lefschetz, ou que o ~" vdrifie la condition de Lefschetz relativement & u, si, pour chaque i>o, les fl6ches obtenues en itdrant i fois la fl6che Rf,(u) : Rf.(u)' : Rn-~r - ~ Rn+!f.~ - (i>o) sont des isomorphismes. Le tMor6me (I .5) donne ici Proposition (2. x). -- Si ~ vgrifie la condition de Lefschetz relativement ~ u, alors, dans Db(Y), on a Rf, o~" _~ ~g R~f, ~[--i] 262 Ill THI~ORI~ME DE LEFSCHETZ ET CRITt~RES DE D]~GI~NI~RESCENCE et en partwulier, la suite spectrale de Leray H'(Y, Rqf, o~') ~ n'+q(x, #') d/g/n~re. Si on y avait tenu, on aurait pu supposer que ~-soit un (A,f*B)-bimodule, off Best un faisceau d'anneaux sur Y, et finoncer (~. I) dans Db(Y, B). (2.2) Le cas des sch6mas, munis de la topologie dtale, ne rentre pas dans le cadre (~. I). On supposera pour la suite que la th6orie des Zrfaisceaux et Qrfaisceaux (non n6cessairement constructibles) air 6t6 fake, et que la cat6gorie d6riv6e de la catdgorie de ces <( faisceaux >> soit raisonnable. En ce qui concerne les finonc6s de d6gfin~rescence de suites spectrales, le lecteur ciui n'aurait pas confiance en le travail futur de Jouanolou pourra v6rifier, en revenant ~ la dfimonstration de (I .5), qu'on peut s'en passer. Soit l un nombre premier. On suppose pour toute la suite que l est inversible sur tousles scMmas conside'r/s. Rappelons que, sur tout schema X, le Zrfaisceau Zt(I) est d6fini par la formule Ce faisceau est un Zrmodulr invcrsible, cr qui permet de d~finir, pour tout Zrfaisceau ou Qrfaisceau ~-, le (( faisceau >> ~(i) par la formule ~(i)=~|174 (i~z). 9 On aura, pour tout morphisme f:X-+Y de schdmas et tout couple de Zr ou Orfaisceaux ~ et ~ sur X et Y respectivement : (2.3) Rf.(o~')(i)=Rf.(~(i)) et f*(fC)(i)=f*(f~(i)) . Si ~ est un faisceau inversible sur X, sa premi6re classe de Chern /-adique se trouve dans H2(X, Z~(I)). Si f: X-+Y est un morphisme de schdmas, si o~- est un Zrfaisceau (resp. Q.rfaisceau) sur X et si usH2(X, Z~(I)) (resp. si ueH2(X, Qz(I))), on dira que o~" v6rifie la condition de Lefschetz relativement ~ u si pour chaque i>o, les fl&ches obtenues en itdrant i lois la fl~che Rf.(u) : Rf.(u)~ : R-"-~f.o ~- ~ R"+~f.o~'(i) (i2o) sont des isomorphismes. En vertu de (2.3), cela implique que toutes les fl~ches Rf.(u)' : R"-V.o~-(k ) ~ R"+'f.~-(k+i) sont des isomorphismes. Appliquant (I. IO), on trouve : Proposition (2.4). -- Avec les notations pr/cddentes, si o~" v/rifle la condition de Lefschetz relativement a u, alors, dans Db(Y, Zz) (resp. Db(Y, Q~)), on a (2.5) P"f,'~" -~ ~. R'f ~'[--i] et en particulier la suite spectrale de Leray H'(Y, Rqf,..~ ) * H~'+q(X, ~') d~gdn~re. 263 i12 P. DELIGNE Si g est un morphisme de schdmas de Y dans S, (2.4) implique encore la d6g6n6- rescence de la suite spectrale de Leray KPg.Kqf.~ - :~ K~ + q(gf).~. (2.6. i) Reste ~ passer en revue quelques cas intdressants off ia condition de Lefschetz est v6rifi6e; nous donnerons des d6tails justificatifs dans (2.7). Soient donn6s f: X~Y, u, ~-et n. Dans le cas topologique, on Sait d'apr6s Godement [2], II, (4.7. !) que sif est propre et Y localement paracompact, la formation des images directes sup6- rieures commute au passage aux fibres, de sorte que la condition de Lefschetz se v6rifie fibre par fibre. Dans le cadre des sch6mas, la m~me r6duction s'applique, la r6f6rence Godement 6tant remplac6e par une r6ffrence k (SGA, 4, XII, (5. I)). Dans le cadre des schemas encore, sifest propre et lisse et o~" constant tordu (= lisse, dans une nouvelle terminologie), les R~f.o~- sont encore constants tordus (cf. SGA, 4, XVI, (2.2)) de sorte que si Y est connexe, il suffit m~me de v6rifier la condition de Lefschetz sur une fibre gfomdtrique. Dans tous les exemples donn6s, f sera une application continue (resp. un morphisme de sch6mas) propre et lisse de dimension relative topologique 2n (resp. alg6- brique n). Une application continue est dire lisse .si localement k la source elle est iso- morphe ~ la projection de Rk� sur Y. (2.6.2) Si f est un morphisme propre et lisse de vari6tfs k/ihl6riennes, le faisceau constant C v6rifie la condition de Lefschetz relativement ~ la 2-classe fondamentale de X. (2.6.3) Si X est un sch6ma relatif (complexe) (voir [3]), projectif et lisse sur l'espace topologique localement paracompact Y, et muni d'un faisceau inversible relati= vement ample 0(I), le faisceau constant C v6rifie la condition de Lefschetz relativement la premi6re classe de Chern de O(I). (2.6.4) Supposons que f soit un morphisme de schfmas projecfif et lisse, avec Y connexe et que soit donn6 U n faisceau inversible relativement ample 0(I) sur X. Si on peut remonter en caract6ristique o une fibre ge'ome'trique de f, et sa polarisation, alors le faisceau Qi-adique constant Qa v6rifie la condition de Lefschetz relativement ~ la premi6re classe de Chern l-adique de O(I). On salt qu'on peut relever en caract6ristique o 'au sens pr6cfdent dans les cas suivants : -- X est une varift6 de Seve'ri-Brauer sur Y. -- X est une intersection complete non singuli~re d'hypersurfaces dans une vari6t6 de Severi-Brauer sur Y (pour la polarisation induite par la polarisation canonique de la vari6t6 de Severi-Brauer). -- X est un schfma ab61ien polaris6 sur Y (Mumford, ~ para~tre). On conjecture que (2.6.4) reste vrai lorsqu'on ne sait passe remonter en carac- t6ristique o, mais ce n'est prouv6 que pour les surfaces. (2.6.5) Si f est un morphisme projectif et lisse de dimension relative 2 et si X est muni d'un faisceau inversible relativement ample ~(I), alors, le faisceau constant O~z v6rifie la condition de Lefschetz relativement ~ la premi6re classe de Chern de 0(I). 264 THI~ORI~ME DE LEFSCHETZ ET CRITI~RES DE DEGI~NI~RESCENCE II 3 (2.7) Dans les cas (2.6.2) et (2.6.3), la 2-classe de cohomologie donnde sur X induit sur les fibres defla 2-classe ddfinie par la structure k~ihl6rienne des fibres, de sorte que pour prouver (2.6.2) et (2.6.3) , il suffit, d'apr~s (2.6. I) de prouver (2.6.2) dans le cas particulier off Y est rdduit hun point. L'assertion rdsulte alors de la thdorie de Hodge et de la d6composition de Hodge-Lepage (Weil [io], IV, n ~ 6, cor. au Th. 5). La ddmonstration donnde dans loc. cit. s'applique encore si o~ est un faisceau localement constant de C-vectoriels de dimension finie, muni d'une structure hermitienne d6finie positive localement constante. D'aprSs (2.6. I), pour vdrifier (2.6.4) , il suffit de traiter le cas oh Y est le spectre d'un corps de caract6ristique o, et le principe de Lefschetz permet de supposer Y= Spec(12). On sait alors (cf. SGA, 4, XI, (4-4)) que pour tout faisceau Qz-adique constant tordu N sur X, si N an d6signe le faisceau localement constant de Q~-vectoriels sur l'espace topologique X ~" d6duit de N, alors les Qz-vectoriels de cohomologie, alg6brique et trans- cendante, de N ou N an, sont isomorphes (2.7.2) H'(X, N) --~ H'(X "n, N an) . Choisissant un plongement de O~ dans C, on en d6duit des isomorphismes (2.7.3) H'(X, N)| H'(X *n, Na'| Sur C, l'appfication exponentielle d6finit un isomorphisme dit canonique entre Z/l n et ~l", done entre Z Let Z~(I). L'image par l'isomorphisme composd H2(X, El(I)) -"-> H2(X, El) ----> H2(X an, Z)@Z l de la premiere classe de Chern/-adique de (9(1) coincide avec la premiere classe de Chern transcendante de g)(t). L'isomorphisme (2.7.3) ramSne donc le cas auquel on s'dtait r~duit de (2.6.4) ~ (2.6.3). Pour la d6monstration de (2.6.5), voir Kleiman [6], pp. 28 et ss. Le point essentiel est le th6or~me suivant (Weil [1i], p. I27). (~,. 8) Soit S une surface projective lisse sur un corps k et soit D une courbe lisse trac6e sur S telle que g~(D) soit ample. Alors, l'application composde Pic~ -+ Pic~ = Alb(D) -+ Alb(X) est une isogdnie. Remarque (~,.9). -- Le thdor~me de ddgdndrescence de suite spectrale (2.2) ddduit de (2.6.4) a dt6 conjectur5 par Gr0thendieck, par des considdrations de (< poids >>, lorsque Y est projectif et lisse sur un corps algdbriquement clos. Remarque (2. xo). --Serre m'a fait remarquer que les thdorSmes de ddgdndrescence de suites spectrales ddduits de (2.6.2) et (2.6.3) peuvent aussi se ddmontrer par une extension facile de la m6thode utilis6e par Blanchard ([i], II, i), tout au moins si on dispose de la dualitd de Poincard sur la base. Rdciproquement, la mdthode suivie ici permet de compl6ter les th6orbmes II (I. i) et II (i .2) de loc. cit., la d6monstration de 15 i14 P. DELIGNE l'implication (ii) => (i) &ant essentiellement celle de Blanchard, qui devait supposer les faisceaux images directes supdrieures constants. TMorkme (2. x x ). -- Soient f : X-+Y une application continue propre et lisse (2.6. i) d' espaces topologiques de dimension relative 2n avec Y localement paracompact, k un corps commutatif de caractlristique zgro et ueH~ R2f, k). On suppose que a) Le faisceau Rlf.k est constant (i.e. simple). b) Les cup produits itgrgs uiA : R"-~f.k ~ R"+~f.k sont des isomorphismes. Alors, les conditions suivantes sont 6quivalentes : (i) La classe u est induite par un ggment de Hz(X, k). (ii) La transgression dz : H~ Raf.k) ---> H2(Y,f,k) est nulle. (iii) Dans Db(Y, k), on a Rf, k~-~R~f,k[--i]. L'assertion (i) =~ (iii) est contenue dans (2. i). L'assertion (iii) implique la ddgdnd- rescence de toute la suite spectrale de Leray (~. IS) HP(Y, Rqf, k) :=~ aP+q(x, k), eta fortiori (ii), et il reste k prouver que (ii)=~ (i). Soit xeY et X~=f-l(s). La classe induite u'~eHe"(X, k) ne s'annule sur aucune composante connexe de la varidtd X~, qui est donc orientable. Si on ddsigne par Tr, l'application composde , H~ k)= H0(X. k) . k, la dualitd de Poincard implique que la forme bilindaire H"-~(Xs, k)� k) ~ k : (x,y) ~ Tr~(x,y) est une dualitd parfaite. Cette construction se - globalise ~) et fournit Tr~ : R2nf.k -+ k. Prouvons tout d'abord que dans (2. I2), d~u~H2(Y, Rlf, k) est o. Si xeH~ Rlf, k), pour une raison de degr6, on a xu"=o, donc xu") = d x. u"--nxu"- = o . D'apr~s b), l'application u"-~A : H~ R~f,k) -+ H~ RZ"-~f.k) est un isomorphisme, de sorte que si (ii) est v&ifid, quel que soit yeH~ R2"-~f.k), on a y.d~u=o , 266 THI~ORI~ME DE LEFSCHETZ ET CRITI~RES DE DI~GI~NI~RESCENCE x~5 et en particulier (2. I3) Tru(y. d2u ) = o . Soit V un k-vectoriel tel que R.lf.k soit un k-vectoriel isomorphe au faisceau constant V. On a d2usH~(Y, V) et, d'apr~s (2. I3), pour toute forme lindaire w sur V, l'image par w de d~u dans H2(Y, k) est nulle. Or on conclut que d2u=o. Si d2u=o , la d6monstration de (I.5) montre que toutes les diffdrentielles d 2 de (2. I~) sont nulles, de sorte que E~=E 3. Pour une raison de degrd, u ~+ 1 = o, de sorte que d3u n+ 1= (n-t- i)u'*d~u =o. Puisque d3ueH3(Y, R~ on ddduit de b) que d3u=o. Pour une raison de degr5, on a d,u=o pour r>3, et u provient donc d'un 516ment de H2(X, k). (2. I4) Dans le cadre des sch6mas, le r5sultat prdc6dent reste valable, mais n'est utilisable que dans Ie cas <( g6om6trique ~, plus prdcisdment lorsque O~ est isomorphe Q (I) sur Y. (2. I5) Le corollaire (I. i~) permet d'~tendre certains des 6noncds qui precedent certains faisceaux non constants. Proposition (2. I6). -- Soient get f deux applications continues (resp. deux morphismes de scMmas) composables X~Y~Z, et o~" un faisceau (resp. un Zz-faisceau ou O..rfaisceau) sur X. Supposons que a) Rg,~-EDb(Y) et Rg.~_ZR~g.~[--i], b) R(fg).o~sDb(Z) et R(fg).~-_~ ~R~(fg),3w'[--i]. Alors, pour tout k, on a Rf. (Rkg.o ~') _ ~ R~f.(Rkg, ff) [--i]. D'apr~s b) le complexe R(fg).~- ~ Rf. Rg. o ~ _~ Z Rf. (Rgk~" [--k]) est somme de ses objets de cohomologie; d'apr~s (I. I2), les Rf.Rgko ~, qui, ~ un ddcalage pr6s, en sont facteurs directs grftce ~ a), jouissent de la m~me propri~t5. Proposition (~'. XT). -- Soient ~ un fibr~ vectoriel localement libre sur un scMma S, o ~- un faisceau l-adique col~tant tordu sur P(g) et f la projection de P(g) sur S. Dans la catggorie ddrivge, on a L'espace projectif est simplement connexe, et sa cohomologie est sans torsion (SGAI, XI ~.~ et SGA4, XVI~.~). On a donc et Rf. ~z-= Rf.Z~ | o~', 267 xx6 P. DELIGNE formule qui permet de se ramener au cas off o~-=Z Z. Soit u la classe de Chern du faisceau inversible ~(i) sur P(do). On sait alors que Z z vfirifie la condition de Lefschetz relati- vement ~ u, et on conclut par (2.2). (2. x8) De (2. t7), on peut d6duire (k l'aide de (2.16)) le m~me rdsultat pour les fibr6s en drapeaux de toutes esp~ces d6finis par d ~ Dans le cadre topologique, ce qui prdc~de s'applique tel quel aux fibres vectoriels sur C, et s'dtend aux fibrils vectoriels sur H grace h (I .9). Pour les fibrds r6els, il faut se limiter au cas off o~- provient d'un faisceau de 2-torsion sur la base. Remarque (2. x9). -- Soit X un schdma ab61ien de dimension relative g sur une base Y. Pour tout entier n, la multiplication par n, soit [n], d6finit un endomorphisme [n]*: Rf.Z~-~ Rf, Z v Prenant des combinaisons lin6aires k coefficients rationnels (et ~ ddnominateurs bornds en terme de g) de ces endomorphismes, on construit des endomorphismes ~i: Rf, Qz -+ Rf, Q~ tels que HS(nr ~. Appliquant (I. I I), on conclut, sans hypoth~se projective, que L'id~e exploitde iciest due ~t Lieberman. 3. La forme infinit~simale du th~or~me de semi-continuit6. Je rappelle dans ce paragraphe quelques rdsultats qu'on parvient ~ trouver dans EGA, III, w 7- La formulation (3.4) m'a 6td signalde par L. Illusie. (3.0) Dans tout ce paragraphe, on ddsigne par A un anneau local noethdrien fix6 une lois pour toutes, par m son id6al maximal et par k son corps r6siduel. On d6signe par D~oh(A) la sous-catdgorie de la cat6gorie ddrivde de la cat6gorie des A-modules, form6e des complexes born6s supdrieurement de A-modules de type fini. Proposition (3. I ). -- Soit M un module de type fini sur A. (i) Pour tout homomorphisme (pas ndcessairement local) de A dans un anneau artinien B, et tout B-module de type fini N, on a (3. '. ' ) lg~(MQ N)< lgB(N ) . dim~(MQk). (ii) Les conditions suivantes sur M sont dquivalentes : a) M est un module libre. b) Q3Lels que soient B et N eomme en (i), on a (3-x .2) lgB(M| =lg,(N). dimk(M~ k). c) Quel que soit n~N, la condition (3-I. 2) est v~rifige pour B = N=A/m". d) Quel que soit p~Ass(A), M~ est plat sur A~ et la condition (3-I .2) est vgrifide pour B = N = A~,/pA w 268 THI~ORI~ME DE LEFSCIIETZ ET CRITI~RES DE DI~GI~NI~RESCENCE xx7 Si A est sans composantes immergges, ces conditions gquivalent encore ~ : e) Quel que soit le point maximal p de Spee(A), on a (3. x. z') lgAo(Mp) =lg(Ap). dimk(MQ k ) . La ddmonstration (une application du lemme de Nakayama) est laissde au lecteur. (3.~,) Pour tout complexe K et tout entier n, on ddsignera par -~_>~(K) le complexe ddfini par : IK k si i<n er(d '~-1) si i=n (3.2. I) ';'kn (K)/: si i>n de sorte que H%>~(K)= !o si i<n (3.2.2) - (H'K si iX n. Soit K un objet de D~oh(A) (of. (3.0)). Quitte/t remplacer K par un complexe isomorphe dans la catdgorie ddrivde, on peut supposer les composantes de K fibres de type fini. Quels que soient B et N comme en (3. I) (i), on a, au niveau des complexes : Prenant les caractdristiques d'Euler-Poincard des deux membres, on trouve 9 . L Z (--i)'lgs(Hn+*(K| =lg,(coker(d ~-1) | -t- Z (--i)~IgB(Kn+~| i>0 A A i>0 A Soustrayons de cette identitd l'identitd analogue pour B=N=k, multiplide par lgB(N ). D'aprSs (3.i) (ii), a~b, on a, les K i dtant libres, 9 L . . L (3.2.3)  (--I)*lgB(H~+~(K| Z (--I)'dimA(Hn+*(K~k))= />0 A />0 = lgB (coker (d ~-1) ~N)--lgB (N) dimk(coker (d n-~) ~k), ce qui permet d'appliquer (3-I) au premier membre de (3.2-3). Thgor~me (3.3). -- (Thdor~mes d'gchange et de semi-continuitd). -- Soient K e Ob D~oh(A ) (cf. (3.0)) et neE. (i) Pour tout homomorphisme de A dans un anneau artinien B et tout B-module de type fini N, on a 9 . L I, (3.3. x) ?g (_I)*lgB(H~+~(K| ~ (--i)~dimk(H~+~(K| i>0 A -- i>o A (ii) Les conditions suivantes sur K et n sont dquivalentes : a) Le foncteur cohomologique en le A-module N : H*(K~N) vdrifie la propridtd d'dchange en 9 = n, i.e. les conditions dquivalentes suivantes sur K et n sont vdrifides : a. I) le foncteur H'(K| est exact h gauche; 269 II8 P. DELIGNE a. 2) il existe un module Q tel que le foncteur a. I) soit isomorphe au foncteur HomA(Q, N); a. 3) le foncteur H"-I(KQN) est exact g: droite ; a. 4) il existe un module P tel que le foncteur a. 3) soit isomorphe au foncteur P| L A a.5) lafl~che Hn-I(K) ---> Hn-l(K| est surjective; a. 6) il existe un complexe borng supgrieurement K', quasi-isomorphe a K et g: composantes plates (resp. libres de type fini), tel que d .... 1= o. b) Quels que soient B et N comme en (i), on a 9 L L (3-3.2) Y, (--I)'lgBH~+~(KQN)=lgB(N) 2 (--1)idimk(Hn+~(KQk)). i>O A i>0 Si A est sans composantes immerg&s, ces conditions gquivalent encore ~ : c) @el que soit le point maximal p de Spec(A), on a 9 . L (3.3.2') Y~ (--I)~lgA~H~+~(gp)=lg(A,) ~2 (--I)~dimk(H'~+*(K@k)). i>0 " i>0 Remarque (3.3.3). -- On efit pu allonger la liste par les conditions analogues a (3-I) (ii) c) et d). L'assertion (i) rdsulte de (3.2.3) et (3.1) (i). D'apr~s EGA, III, (7.4-2), et sa d~monstration, les conditions a. i), a.3) et a.6) sont fiquivalentes, et, si K est repr6sent~ par un complexe bornfi supdrieurement de modules libres de type fini, elles signifient encore que coker(d '~-1) est libre; compte tenu de (3. i) (ii) a<>b<=>e et de (3.2.3), ceci prouve l'~quivalence de a. i), a.3) , a.6), b) et c). On a, trivialement, a.6) :~a.2) =>a. I) et a.6)=~a.4):~a.3). L'fiquivalence de la condition a.5) avec les autres est contenue dans EGA, III, (7.5.2). Corollaire (3-4). -- Soient A, K et n comme en (3-3), et keN. (i) Q~els que soient Bet N comme en (3-3) (i), on a L L (3-4. x) 0<~<2k (-I, )~lgBH"+4(KNN)- A ,--<le'(N)o,, "0<,<2k' ~] (--I)idimkH"+~(K~k) (ii) Les conditions suivantes sur K, net k sont gquivalentes : a) Le foncteur cohomologique en N, H*(K~N) vgrifie la proprigtg d'gchange en *=n et en * :n-I- 2k~-I. a') Le complexe K est quasi-isomorphe g~ un complexe borng supgrieurement K', ~ composantes plates (resp. libres de type fini) tel que d'"-t:d'~+Zk=o. b) Quels que soient Bet N comme en (i), on a ggalitg darts (3.4. i). Si A est sans composantes immerge'es, ces conditions e'quivalent encore a c) Quel que soit le point maximal p de Spec(A), on a ~galitg clans (3.4.1) pour B=N:A~. (3.4.~') Pour k=o, il s'agit l~t de propridtds du seul hypcrtor H'~(KQN), considdr6 comme foncteur en le A-module N. Elles s'expriment encore en disant que H~(K) est libre et que, pour tout N, la fl~che canonique de H"(K)QN dans H"(K~N) est un isomorphisme. 270 THI~ORI~ME DE LEFSCHETZ ET CRITI~RES DE DI~GI~NI~RESCENCE II 9 (3.'t.3) D'autre part, si K est un complexe parfait, on ddduit de (3.4) pour n< o un rdsultat analogue ~ (3.3), la sommation sur i> o dans (3.3. i, 2, 2') 6tant remplacde par une sommation sur i<o. L'assertion (i) et l'~quivalence de a), b) et c) rdsultent de (3.3) et de l'identit~ Pour prouver a'), on applique successivement (3.3) (ii) a).~:~a.6) ~t (K, n) et a (,>,(K), n+2k-t-I). (3.5) Lorsque A est artinien, (3.4) donne, pour k=o, l'in6galit6 (3.5. x ) lgA(H~K) <lg(A)dimk(H"(K~k)) et, si on a 6galit6 dans (3.5. I), alors la condition d'6change est vdrifide en n et n+ I, et H"(K) est un A-module libre. 4. Morphlsme de Gysin en cohomologie de Hodge. Le paragraphe est r~dig6 d'apr~s des notes de A. Grothendieck. (4. o) Soit f : X-->Y un morphisme propre entre schdmas X et Y lisses purement de dimension relative net m, sur une base S. On suppose que S est noethdrien et admet un complexe dualisant pour pouvoir r~f~rer ~t [4] pour la d~finition de Rf!; cette restriction est sans doute inutile. Enfin, posons d=n--m. (4. x) Toute forme diff6rentielle relative sur Y ddfinit par imag e rdciproque une forme diffdrentieUe relative sur X, &off un morphisme * p (4-x. x) f ~yls = Lf*f2~/s -+ DYx/s 9 D'apr~s la thdorie de la dualitd pour les morphismes lisses et la transitivitd de Rf, on a canoniquement (4. I. 2 ) Rf ! f2~,/s = f2~/s [a t] 9 Appliquons ~ f2~:/s et ~)~/s la formule d'induction Rf~R. Horn(K, L) = R gom(Lf*K, P,.f~L), qui s'obtient ais~ment t~ partir de la ddfinition de Rf ~ pa r bidualit~ (Hartshorne [4], chap. VII, w 3). Puisque R Hom(f~ls, f~lS) ~ ~P, on trouve : Rf~ f2r~ p = R Hom(Lf* ~ p, f2~/s)[d]. La fl~che (4. I. I) ddfinit donc par transposition une flSche (4. i .3) f~z];q = R gom(f~/s, f2~/s) -+ Rf'f~}~ p [d] . 271 i2o P. DELIGNE D'apr~s la thdorie de la dualitd, se donner une fl~che (4-1.3) revient k se donner une fl~che (4-i .4) (4- I. 4 ) Rf. f~:~;' -,.- ~2}~, [-- d]. Ddfinition (4-2). -- Soient X, Y, f, S, n, met d comme en (4-o). On appelle morphisme de Gysin la fl~che (4. I. 4) Tr/ : Rf. f~/s -+ ~2~; a I--d] et les fl~ches telles que Trt : Hq( X, f~/s) ---> Hq-d( Y, f~};~) qui s'en ddduisent. Proposition (4-3). -- Soit f: X-+Y un morphisme propre et birationnel de schdmas lisses sur un corps k. Les fl~ches f* : g ~ (Y, f2~) ---> H q (X, f2~) sont injectives. On se ramSne ~ supposer X et Y purement de dimension n. Le morphisme compos~ Trtof* : f~ -+ Rf.f*~2~ -+ Rf.f2~ -+ ~2} est l'identit6, car il coincide avec l'identit6 sur un ouvert dense. Appliquant le fonc- teur Hq(Y, ), on trouve que le morphisme compos6 Trtof* : Hq(Y, f~) -+ H'(X, a~) -+ He(Y, f~) est l'identit6, ce qui prouve (4.3)- 5" Cohomologie de Hodge et de De Rham. (5- x) Soit f : X--->S un morphisme lisse de sch6mas. Par d~finition, les faisceaux de cohomologie de De R.ham relative de X sur S sont donnds par HD~ (X/S) = R:f, (ax/s), off ~x/s, le complexe de De Rham relatif, est un complexe diffdrentiel S-lindaire. On dispose d'une suite spectrale (5" I. I) Efq=I~qf,~'~P/s ::~/-~D~q(X/S) 9 (5.2) Lorsque S = Spec(C) et que X est propre et lisse, on sait par GAGA ([7]) que la cohomologie de chacun des faisceaux coh6rents f2~, ainsi done que l'hyper- cohomologie de f2x, sont les mSmes au sens algdbrique (topologie de Zariski) ou trans- cendant (topologie usuelle de Xan), en particulier f2~ n dtant une rdsolution du f~isceau constant C, on a gr, R (X) = H"(X% C) et la conjugaison complexe sur le faisceau constant t3 induit une conjugaison complexe (de nature transcendante) sur H~m(X). La suite spectrale (5. i. i) s'~crit ici l-lP+ q (5-2. x) Ef q = Hq( X, f~) * -*DR (X) ; 272 I01 THI~ORI~ME DE LEFSCHETZ ET CRITI~RES DE DI~Gt~NI~RESCENCE on d6signera par F p (H" (X)) la filtration (d6croissante) qu'elle d6finit sur son aboutisse- ment. D'apr~s Weil [IO], chap. IV, n ~ 4, th. 2, la suite spectrale (5.2. I) peut se calculer comme suite spectrale du complexe double H~ ", f2 p' q) filtr6 par le ier degr6, f2 p' q d6si- gnant le faisceau des formes diff6rentielles C ~ bihomog6nes de bidegr6 (p, q) (Weil [io], chap. II, n ~ i). Supposons maintenant que X soit projective, donc X a" une vari6t6 k~thl6rienne. Les formes harmoniques forment alors un sous-complexe double (Weil [Io], chap. II, n ~ 6, cor. I auth. 2) du complexe double pr6c6dent, sur lequel d' et d" s'annulent. L'inclusion de ce sous-complexe induit un isomorphisme sur les termes E 1 des suites spectrales d6finies par ces doubles complexes, filtr6s par le premier degr6, comme on le voit en considdrant l'op6rateur H (composante harmonique), r6traction du complexe double H~ "n, ~)P'q) sur le sous-complexe des formes harmoniques et vdrifiant I--H = d'(2~'G) + (28'G)d' (Weil [io], chap. IV, n ~ i : (I) et lemme 3; nO 3 : cor. 2 et chap. II, n ~ 5, th. 2 (IX)). Si on d6signe par H p' q (X) l'image clans H p + ~ (X a~, C) de l'espace des formes harmo- niques de type (p, q), on a donc (5.2.2) H"(X, 13)= (9 p+q=n (5.2.3) F, (H" (x)) = @ H',"-' (X), (5- 2.4) HP' q (X) = H q' p (X) (conjugaison complexe) et la suite spectrale (5.2.1) d6gdn~re. Revenant au cas g6n6ral off X est seulement suppos6 propre et lisse sur t3, on posera H p'q (X) = F' (H'+q (X)) o Fq (H' +q (X)), (5.2.5) de sorte que H,,q(X) = Hq,, (X). (5.2.6) D'apr~s (5-2.3), cette notation est compatible avec celle utilisde lorsque X est projectif. On posera encore (5.2.7) h'q = dim Hq( X, ~.~). Proposition (5.3). -- Soit X un schgma propre et lisse sur 13 : (i) La suite spectrale (5.2.I) d~gdnkre. (ii) On a (5.3. I) F' (Hn(X))= @ H~'n-' (X) et en particulier (somme directe) (5.3.2) H'(X)-- O H"q(X) p+q~n (5.3.3) hP'q = hq'p ----- dim U p'q (X). 16 x22 P. DELIGNE On se ram6ne ~t supposer X connexe. Soit N sa dimension. D'apr~s le lemme de Chow et la rdsolution des singularit6s (Hironaka [5]), il existe un morphisme projectif et birationnel g :X'-->X, avec X' projectif et lisse sur C. La suite spectrale =~ H~R q (X) (5-3-4) E~'q= Hq( X, f~) "+ s'envoie, par image rdciproque, dans la suite spectrale' analogue (5-3.5) E'~P'q= Hq( x', f~,) ~ H~+q(X'), qui, d'apr~s (5.~) ddg6n~re. D'apr~s (4-3), le morphisme g* : Ev-->E' ~ est injectif. On en conclut, par r6currence sur r>I, clue dr=o , que E,=E~+ 1 et que g* injecte Er+ 1 dans E:+I. Eprq dr > EPr+r,q -r+l ~.~q r,p + ~, ~--r +1 dtJ r Puisque les suites spectrales (5.3-4) et (5-3.5) d~g~n~rent, et que g* est injectif sur leur terme initial, i! l'est encore sur leur aboutissement. Des formules (5.2.3), (5.2.4) appliqudes ~t X' rdsulte que FP (H"(X')) n F'~-'+I(Hn(X'))= {o} ; on en d6duit la formule analogue (5-3.6 ) F' (H" (X)) n F '~-p +~ (H" (X)) = {o}, g* car envoie FP(H"(X)) dans FP(Hn(X')) et commute ~t la conjugaison complexe. En particulier, on a in--i Y~h' + Z lh~"-i<dimH~(X)=Zh i'n-i, i>p i>n-p + -- i ce qu'on peut 6crire (5.3-7) ~hr ~ hi'~-~. Par dualitd de Serre (hi'~----hN-~'~-~), l'indgalit6 (5.3.7) (pour N--n) implique l'indgalitd opposde, de sorte que dim F p (H n (X)) + dim F '~-p +1 (H n (X)) ---- dim H n (X). D'apr6s (5.3.6), on a donc (5-3.8) H"(X) = F" (H" (X))| "-p+I (H" (X)). La ddcomposition (5.3.8) induit sur FP-I(H"(X)) (qui contient l'un des facteurs) une d6composition r'-I (H" (X)) = r' (H" (X)) 9 H'- 1, ,-, +1 (X), 274 THI~ORI~ME DE LEFSCHETZ ET CRITI~RES DE DI~GI]Nt~RESCENCE ~3 et la formule (5.3.i) s'en d6duit par r6currence d6croissante sur p (5.3.2) et (5-3-3) rdsultent aussit6t de (5-3. i) et (5-2.6), ce qui aeh~ve la ddmonstration de (5.3). Corollaire (5-4)- -- Sous les hypotheses (5.3), on a : (i) Une classe de cohomologie (complexe) a sur X est dans H p' q(X) si et seulement si elle peut se reprdsenter par une forme fermde ~ de type (p, q). (ii) Toute classe de cohomologie a peut se reprdsenter par une forme ~ vgrifiant d'e=d"e=o. (iii) Si la forme ~ vdrifie d'e = d"~ = o, les conditions suivantes sont dquivalentes : a) (3 = ; b) ; C) (3~) o~=dtt~. (1) Par d6finition, a~HP'q(X) si et seulement si existent dans la classe de a des formes ferm6es ~1 et ~2 dont les composantes de type (p', q') sont nulles pour p'<p (resp. q'<q). I1 existe alors ~ tel que ~l--~=d~. Soit ~1 (resp. ~) la somme des composantes de de type (p',q') pour p'~p (resp. q'~q); on a ~=~1+~2 et est une forme ferm6e de type (p, q) dans la classe de a. Ceci prouve (i). I1 suffit de prouver (ii) pour a bihomog~ne, done repr6sent6 par une forme bihomogbne ferm6e d'apr~s (i). Une telle forme vdrifie automatiquement d',=d",=o. Si , v6rifie d'e = d", = o, ses composantes bihomog~nes sont ferm6es, et chacune des conditions a), b), c) 6quivaut k la conjonction des conditions analogues pour les diverses composantes de e, trivialement pour b) et c) et d'aprSs (5.3) (ii) et (5.4) (i) pour a). Supposons donc e ferm6e de type (p, q) pour prouver (iii). La classe de eoho- mologie a dfifinie par e se trouve dans HP'q(X), done dans FP(H~+~(X)) et est nulle si et seulement si elle se trouve d6j~ dans Fv+~(HV+~(X)), c'est-~-dire si son image dans H~(X, f~v) est nulle. Ceci prouve a)~*.c), et l'6quivalence a)<=~b) s'en d6duit par conjugaison. Thdorkme (5.5)- -- Soient Sun schdma de caractdristique o et f: X---~S un morphisme propre et lisse. Alors (i) Les faisceaux Ref.f~/s sont localement libres de type fini de formation compatible tout changement de base. (ii) La suite spectrale (5. ~. i) ddgdnkre. (iii) En chaque point de S, les faisceaux R~f,~/s et RV, a~/s ont mgme rang (sym~trie de Hodge). La seconde assertion de (i) rdsulte de la premiere et de EGA, III, (7-8.5) appliqu6 9 elle implique qu'il suffit de vdrifier (iii) pour S spectre d'un corps. ehacun des f~x/s, Des arguments standards permettent de se ramener successivement au cas off S (1) (Ajout6 sur t~preuves). On peut montrer que ces conditions 6quivalent encore ~ l'existence d'une forme [~ telle que ~ = d' d"~. 275 i2 4 P. DELIGNE est affine (car la question est locale sur S), noeth6rien (par passage ~ la limite inductive d'anneaux), spectre d'un anneau local noethdrien (car la question est locale), spectre d'un anneau local noethdrien complet (par fid61e platitude de la compldtion), spectre d'un anneau local artinien. Pour effectuer cette derni~re rdduction, on reprdsente l'anneau local noethdrien complet R comme limite projective de ses quotients artiniens R/m n. D'apr~s le thdor~me de comparaison EGA, III, (4.I.5), le terme E 1 de la suite spectrale (5. i. I) est limite projective des termes E1 des suites spectrales analogues sur les R/m", de sorte que si celles-ci ddgfin~rent, (5. I. I) dfig~n~re de m~me. Si l'assertion (i) est vraie sur les R/m", ces termes E 1 forment un syst~me projectif de modules libres, se ddduisant les uns des autres par rdduetion mod m", de sorte que leur limite projective est un module libre. Supposons done que S=Spec(A) avec A anneau local artinien de corps rdsi- duel k (de caractdristique o). Cet anneau admet un corps de reprdsentants (EGA, ~ (i9.8.6), (i) pour W=k, u=identitd) et peut done ~tre vu comme une k-alg~bre locale de dimension finie. Le principe de Lefsehetz permet de supposer k =C, auquel cas (iii) rdsulte de (i) et de (5.3.3). Pour achever la ddmonstration de (5-5), il reste done ~t prouver la premiere asser- tion de (i), et (ii), sous l'hypothbse suppldmentaire : (5.5. x) S=Spec(A) pour une C-alg6bre locale de dimension finie sur C, A, d'iddal maximal m. La suite spectrale (5. I. i) se rddcrit (5.5.2) = q(x, P,p Lemme (5.5.3). -- Sous les hypothkses (5.5) et (5.5. I), le complexe ~*x~/~ est une re'solution du faisceau constant A sur l'espace topologique X a". Le complexe ~ 6tant A-lindaire, sa filtration m-adique est une filtration par des sous-complexes. Pour eette filtration, *an __ 9 Gr f}x/s-- Gr o *ao AQcGr f~xls C~ 0C~*an Le complexe ~r --x/s est une rdsolution du faisceau constant C, car il n'est autre que le eomplexe de De Rham de Xr~ d. Le complexe Gr ~ est donc une rdsolution de Gr A, et l'assertion en rdsulte. L'espace X est compact, de sorte que par GAGA (cf. (5.2)) les hypercohomologies au sens algdbrique et au sens transcendant de ~x/s coincident, et, d'aprbs (5.5-3), coincident encore avec la cohomologie de X ~" k valeur dans A. D~s lors, n * " ~ * (5.5-4) lgAR r(nxls) = lg(A), d~moR r(flx~d ) . D'aprSs (3.5.I) et EGA, III, (6.I0.5) , on sait que (5.5.5) lgaHq( X, n~/s)<lg(A)dimcHq(X~'od , f~-~,oa), l'dgalit6 ne pouvant avoir lieu que si Hq(X, f~/s) est A-libre. 276 THI~ORI~ME DE LEFSCHETZ ET CRITI~RES DE DI~,GI~NI~RESCENCE I~t 5 On tire de (5-5.2) que (5.5-6) Z lgAHP(X , n~/s)_>lgAR-r(nx/s), p+q=n l'6galit6 ne pouvant avoir lieu pour tout n que si la suite spectrale (5.5-2) d6gfn~re. Mettant bout ~ bout ces in6galitfs, on trouve 9 n * (5.5.7) lg(A). Z dimcHq(Xr, a, O~,d)_>Ig(A) R F(Ox~,d ) , p+q=n l'6galit6 ne pouvant avoir lieu que si les conclusions (5.4) sont v6rifi6es. Cette dgalit6 rdsuhe de (5.3) (i) appliqu6 ~t X,~ d. 6. Application 9 la cohomologie coh6rente. TMor}me (6. I), -- Soient Sun scMma de caract6ristique o et f: X-+S un morphisme projectifet lisse de dimension relative n. Quel que soit p (par exemple p = o), on a, dans Db(S, 0s), P ~ q P Rf. axis - X R axis [- q]. D&ignons par u la premiere classe de Chern d'un faisceau inversible relativement ample sur X, ~ valeur dans Hi(X, ~/s). La classe u d6finit par << cup-produit >> des homomorphismes dans Db(S) : Rff~p +1 uA : Rf, a /s x/s et un endomorphisme de degr6 2 p p Lemme (6.2). -- L' endomorphisme (6. I. I) vgrifie les hypotheses de ( I .5). D'apr~s (5.4) (i) et le principe de Lefschetz, il suffit de d6montrer (6.2) lorsque S----Spec(C). L'assertion r6sulte alors du th6or~me de Lefschetz (voir (2.6.2) ou (2.6.3)) et de la d6composition de Hodge. D'apr6s (I.5), le complexe ERf.f~}/s[--p] est isomorphe, dans la catdgorie d6rivfe, ~t la somme de ses objets de cohomologie, et il en va de mfime pour chacun des Rf.~}/s qui, ~t un d6calage pros, en sont facteur direct (i. I2). BIBLIOGRAPHIE [I] BLANCItARD, Sur les vari6t~s analytiques complexes, Ann. Sc. E.N.S., 73 (i956). [2] R. GOD~ENT, Th6orie des faiseeaux, Publ. Inst. math. Univ. de Strasbourg, XIII, Act. Sci. et Ind., Hermann. [3] M. 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Publications mathématiques de l'IHÉS – Springer Journals

Published: Aug 30, 2007

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