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SUR LES ESPACES FONCTIONNELS DONT LA SOURCE EST LE CLASSIHANT D'UN GROUPE DE LIE COMPACT COMMUTATIF par FRANCOIs-XAvIER DEHON etJvaN LANNES (l/ RI~SUMt~ Nous montrons dans cet article comment les connaissances acquises sur les espaces fonctionnels de source le classifiant du groupe Z/p ([La2], [DS]) et l'utilisation de MU-rdsolutions instables permettent d'obtenir des rdsultats sur les espaces fonctionnels de source le classifiant d'un p-groupe abdlien fini ou d'un tore si l'on impose au but d'avoir une cohomologie /t coefficients p-adiques sans torsion. Nous montrons notamment que l'ensemble des classes d'homotopie d'applications du classifiant X d'un tore dans un espace Y simplement connexe dont l'homologie enti~re est nulle en degrfi impair et un groupe abdlien libre de dimension finie en chaque degr~ pair, et dont la cohomologie rationnelle est polynomiale, s'identifie ~ l'ensemble des applications de la K-th~orie de Y dans la K-thfiorie de X qui pr~servent la structure de k-anneau. Mots dis : espaces fonctionnels, classes d'homotopie d'applications, foncteur T, conjecture de Sullivanl espaces classifiants, MU-thdorie. ABSTRACT We show in this paper how the acquired knowledge on the mapping spaces with source the classifying space of Z/p ([La2], [DS]) and the use of unstable MU-resolufions give results on the mapping spaces with source the classifying space of a finite abelian p-group or a torus if the target space is required to have a torsion free p-adic cohomology. We prove among other things that the set of homotopy classes of maps from the classifying space X of a torus to some simply connected space Y whose ordinary homology is null in odd degrees and a finite-dimensional free abelian group in each even degree, and whose rational cohomology is olynomial, identifies with the set of maps from the K-theory of Y to the K-theory of X which preserve the -rang structure. Ifeywords : mapping spaces, homotopy classes of maps, T-functor, Sullivan conjecture, classifying spaces, MU-theory. O. Introduction La question ci-dessous, pos& par W. G. Dwyer et C. W. Wilkerson, est/t l'origine du pr6sent travail. Soient p un nombre premier fix6, rc un p-groupe ab~lien cyclique (c'est-/~-dire isomorphe A Zip n, pour un certain entier n), Brc son classifiant, et Y un espace. La question de Dwyer et Wilkerson concerne l'espace fonctionnel hom(B~, Y) (c'est-~i-dire l'espace des applications de B~ dans Y). Question 0.0. -- Si la cohomologie modulo p de Y est nulle en degr~ impair (et si Y v~rifie en outre quelques propri&~s techniques que nous ne pr&isons pas pour l'instant) alors la cohomologie modulo p de hom(Brc, Y) est-elle aussi nulle en degrd impair? Nous montrons dans cet article que la r6ponse est oui. Par ailleurs, les techniques mises en oeuvre pour parvenir /i la solution conduisent /~ des r~sultats qui nous paraissent intfiressants. Quelques-uns de ces r6sultats sont ~nonc~s ci-apr6s. (1) Le premier auteur a bdndfici~ pendant l'ach~vement de ce travail d'une allocation de recherche de l'l~cole Polytechnique. 128 FRAN(~OIS-XAVIER DEHON ET JEAN LANNES Voici pour commencer une version, parmi d'autres, d'une r6ponse prdcise ~ la question de Dwyer et Wilkerson : Thdorhne 0.1. -- Soit n un p-groupe aMlien fini. Soit Y un espace possidant les proprie'~s suivantes : -- la cohomologie H'(Y; Z/p) est nulle en degrd impair; -- la cohomologie H*(Y; Z/p) est noethirienne; -- l'espace Y est p-complet. Alors l'espace hom(Bn, Y) possMe igalonent ces trois propriil~s. Signalons que les deux derni+res hypoth&es faites ci-dessus sur l'espace Y servent essentiellement/l obtenir un dnonc~ d'apparence moins technique que celle de l'~nonc6 du th6orbme 3.1 qui est la , bonne ~, r6ponse /l la question 0.0. Signalons aussi que le thdor+me 3.1 poss~de une variante, le thb, orb, me 7.14, dans laquelle l'hypoth+se ~cohomologie modulo p nuUe en degrd impairs, est remplacde par l'hypoth&e ~ cohomologie enti~:re p-adique sans torsion ,~. Signalons enfin que le cas off n est cyclique d'ordre p du th6,or+me 7.14 est dfi /t N. J. Kuhn e,t M. Winstead [KW]. En posant la question 0.0, Dwyer et Wilkerson avaient en tote des ~nonc& du type de l'6nonc~ 0.2 ci-dessous. Celui-ci implique, par exemple, que tout p-sous-groupe ab61ien fini d'un groupe p-compact connexe G avec H*(BG;Z/p) en degr~s pairs est contenu dans un tore maximal (la rdf~rence sur la thdorie des groupes p-compacts est [DW2]). ThiorOme 0.2. -- Soient n un p-groupe aMlien fini et ~c un sous-groupe; soit Y un espace p-complet dont la cohomologie modulo p est nulle en degri impair. Alors toute application de Bn da~u Y se prolonge ~ Bn. Comme pour le thb, orOme 3.1, on peut remplacer dans le th6or6me 0.2 l'hypothO, se , cohornologie modulo p nulle en degr~ impair ,, par , cohomologie enti6re p-adique sans torsion ~. Les trois autres ~noncds que nous voulons mettre en avant concernent les applications dont la source est le classifiant d'un tore, le mot ~ tore ,, d6signant dans cet article un groupe de Lie compact commutatif connexe. Thdorhne 0.3. --- Soit T un tore. Soil Y un espace simplement connexe virifiant : -- H,(Y; Z) est nul pour n impair et un Z-module libre de dimension finie pour n pair, - H*(Y; Q) est une alg~bre de polyndmes. Alors l' application naturelle [BT, Y] ~ Homs(K(Y), K(B'I)), [-,-] dlsignant l'ensemble des classes d'homotopie d'application~; K(-) la K-tMorie complexe et ,~' la caldgorie des )~-anneaux, est bijective. SUR LES ESPACES FONCTIONNEI,S DONT LA SOURCE EST UN CLASSIFIANT 129 L'~nonc~ suivant est moins prO~cis que le precedent mais plus facile ~ appliquer : Thiorbne 0.4. -- Soient T et Y comme pricidemment. Alors deux applications f,g : BT --4 y sont homotopes si et seulement si l'on a l'igaliti H*(f; Q) = H*(g ;Q). Enfin, si l'on n'a pas peur des fant6mes, on peut modifier l'~noncd 0.4 en supposant simplement que l'homologie enti+re de Y est en chaque degr~ un Z-module libre de dimension finie et en supprimant l'hypoth~se concernant la cohomologie rationnelle de Y : Ttdorbrne 0.5. -- Soient T un tore et Y un espace simplement connexe dont l'homologie entikre est en chaque degri un Z-module libre de dimension finie. Soient f et g deux applications de BT dans Y. Alors les deux conditions suivantes sont iquivalentes : (i) les restrictions de f et g gz tout sous-complexe fini de BT sont homotopes; (ii) H*(f; Q) = H*(g; Q). Apr~s cette liste d'~nonc~s, voici maintenant le plan de l'article : l, RAPPELS SUR LES ESPACES FONCTIONNELS DONT LA SOURCE EST LE CLASSIFIANT D'UN GROUPE CYCLIQUE D'ORDRE PREMIER Ce paragraphe contient notamment : -- quelques g6n6ralit6s sur les pro-espaces, - la d6finition, due /t E Morel [Mo2], d'une version rigide de la p-compl6tion de Sullivan, -- un rappel succinct des rdsultats de [La2] concernant la cohomologie modulo p de l'espace des points fixes homotopiques de Faction d'un groupe cyclique d'ordre p. 2. SUR LES POINTS FIXES HOMOTOPIQUES I)'UNE ACTION D'UN GROUPE CYCLIQUE D'ORDRE PREMIER SUR UN PRO-ESPACE I)ONT LA COttOMOLOGIE LIMITE EST NULLE EN DEGRI~ IMPAIR Soit a un groupe cyclique d'ordre premier p. L'objet essentiel de ce paragraphe est de ddmontrer la proposition 2.1 qui dit, grosso modo, que si X est un espace muni d'une action de ~ tel que : --l'action de ~ sur H*(X;Zp) est triviale, -- la cohomologie H*(X; Z/p) est nuUe en degrd impair, - l'espace X est non vide, alors l'espace X h~ v6rifie 6galement les deux derni~res propri~t6s ci-dessus. La proposition 2.1 est la clef de la r6ponse /t la question 0.0. Sa d6monstration utilise un lemme (Lemme 2.5 ou 2.6) gracieusement fourni par Dwyer et Wilkerson. 130 FRAN(]OIS-XAVIER I)EHON ET ,JEAN LANNES 3. SUR I,ES (PRO-)ESPACES FON(IT1ONNEI,S I)ONT IN SOURCE EST 1,E CIASSIFIANT D'UN GROUPE I)E LIE COMPACT COMMUTATIF FT I)ONT LE BUT EST I,E (PRO-)p-COMPLg'I'I:~ D'UN ESPACE A COHOMOLOGIE MODULO p NULLE EN I)EGRI;; IMPAIR On r6pond positivement ~t la question 0.0 et on d6montre le thdor6me 0.2. Puis on ~tend <, par passage ~ la limite >> les r~sultats aux espaces fonctionnels dont la source est le classifiant d'un groupe de Lie compact commutatif. 4. PROPRII:]'I'I};S D't< EXACTITUI)E >> DES (PRO-)ESPACES FON(]'I'IONNEI,S CONSII)I~RI~S DANS I,E PARAGRAPtlE PRI~CI~DEN'I" Le titre de ce paragraphe renvoie par exemple /t l'6.nonc6 4.5 qui dit, IA encore grosso modo, la chose suivante : Si une application f: Y ~ Y' entre deux espaces dont la cohomologie modulo pest nulle en degr6 impair induit une application surjective (resp. injective) en cohomologie modulo p alors il en est de marne pour l'application hom(BC,f) pour tout groupe de Lie compact commutatif C. 5. INTROI)UCTION DE MU-RI:]SOLUTIONS INSTABLFS Si la cohomologie modulo p d'un espace Y est nulle en degr6 impair alors il en est de m~me pour celle de l'espace f~(MU A Y.) : ceci est la cons6quence des r6sultats de S. Wilson qui a montrd au dd.but des ann6es 70 que l'homologie entib.re des espaces ~Z2"MU est nulle en degr~ impair [Wils]. On peut donc sp6cialiser les rdsultats du paragraphe 4 au << ddbut de MU-rO.solutions instables ,, de Y; c'est ce que l'on fait dans ce paragraphe. I1 nous tRut mentionner ici que l'id6e d'utiliser dans notre travail les rdsultats de Wilson 6~voqu6s ci-dessus provient de l'article [KW] ddj/t cit& 6. D]~:MONSTRATION DES THE()REMES 0.3 Ir 0.4 Soit Y un espace v~rifiant les hypoth+ses de ces th~orb.mes. Le paragraphe 5 nous conduit, v/a un argument de -carrd arithmOfique ~,, /t l'~nonc~ suivant : L'application naturelle [BT, Y] ~ Hom.~Mt:(MU.BT, MU.Y) est une bijection, 5gg;MU d~signant la cat~gorie des MU.MU-coalgb.bres instables introduite par M. Ben- dersky, E. B. Curtis et H. R. Miller dans [BCM] (la MU-homologie d'un espace dont l'homologie enti+re est en chaque degr6 un Z-module libre est l'exemple type d'un objet de .~.',1c'). On montre ensuite,/t l'aide du th~or+me de Stong-Hattori (sous la forme dO.crite parJ. E Adams dans [Adl]), que l'ensemble Hom~Mtj(MU,BT, MU.Y) est/t son tour naturellement en bijection avec l'ensemble Hom%.(K(Y), K(BT)). II est /t noter qu'un 6nonc~ de ce type, avec une d~monstration similaire, se trouve d~j',i dans le fameux article [Nov] de S. P. Novikov. SUR LES ESPACES I"ONCTIONNELS DONT LA SOURCE EST UN CLASSIFIANT 131 7. RI'MPI~\CEMENT DE I~'HYPOTHI~;SE <<(X)HOMOI~OGIE MOI)UI~O p NULI,E EN DEGRE IMPAIR >> PAR I,'HYPOTHI~SE << COItOMOI,O(HE p-AI)IQUE SANS TORSION >> On montre que l'on peut effectuer ce remplacement dans la plupart des 6noncds des paragraphes 3, 4 et 5. On utilise A nouveau les r6sultats de Wilson. A nouveau l'influence de [KW] est ind6niable. On conclut en d6montrant le thdor+me 0.5. APPENDICE. On y trouve, en petits caract~res, la ddmonstration promise dans le corps du texte de trois points techniques. SUITES... Les r6sultats des paragraphes 4, 5, 6 et 7 de cet article (voir en particulier les commentaires /~ la fin du paragraphe 6) am6nent /t penser que la MU-cohomologie (resp. la K-th6orie) p-compl6tde MU*(BT; Zp) (resp. K(BT; Zp)) poss6de, dans la cat6.gotie off vit MU*(Y;Zp) (resp. K(Y; Zp)) pour Y un espace avec H*(Y, Zp) sans torsion, des propridt6s d'injectivitd analogues "A celles que poss+de tI*(BV;Z/p), V ddsignant un p-groupe ab61ien 61dmentaire, dans la catdgorie des A-alg6bres instables. Le cas de MU*(BT;Zp) (ou plut6t de BP*(BT;Zp)) vient d'atre trait6 par le premier auteur dans [De]. La conjecture concernant K(BT;Zp), esquiss6e ci-dessus, est en accord avec les rO.sultats obtenus par Wilkerson dans [WIN]. CONVENTIONS La thdorie homotopique utilisde dans cet article est celle des ensembles sim- pliciaux. Le mot -espace, signifiera presque toujours << ensemble simplicial ,, (le plus souvent fibrant.., mfime s'il nous arrivera de ne pas le pr6ciser) et tout espace topolo- gique devra ~tre irnplicitement remplacd par son ensemble simplicial singulier. Soient X et Y deux espaces. L'espacefonctionnel horn(X, Y) est la version simpliciale de l'espace des applications de X dans Y; le foncteur Y ~ horn(X, Y) est donc l'adjoint A droite du foncteur Z ~ X x Z. Comme nous l'avons d~j/t dit, la notation [X, Y] ddsignera l'ensemble des classes d'homotopie d'applications de X dans Y, c'est-A-dire l'ensemble des composantes connexes de l'espace fonctionnel hona(X, Y) (voir [La2], 1.3.1). 1. Rappels sur les espaces fonctionnels dont la source est le classifiant d'un groupe cyclique d'ordre premier Soient pun nombre premier fixd, (sun groupe cyclique d'ordre p, B~ son classifiant, et Y un espace. L'6tude de l'espace fonctionnel horn(B6, Y) fait naturellement intervenir la p-complfition de l'espace Y; c'est pourquoi nous commen~ons par traiter de cette notion. 132 FRANCOIS-XAVIER DEItON ET JEAN IANNES 1.1. La notion de p-compl4tion Ia p-COMPLI~TION I)E BOUSt'IELI)-KAX [BK] Bousfield et Kan d6finissent le p-compl6td d'un espace Y, not6 ~-BK ci-aprhs, comme l'espace total d'une r6solution cosimpliciale ~ canonique,, de Y par des Fp-espaces affines simpliciaux 9 9 BK = ~lbtR6s'Y. On dispose par construction d'une application naturelle Y + ~-UK. On peut voir cet espace total comme la limite d'une tour d'espaces (fibrants) Tot0R6s~ +--- Tot1R6s'Y +--- ~ibt2R6s'Y ~-- ... " ~-BK = limrlbt R6s'Y. sEN Soit "~BK(3") la s-troncature de Postnikov de l'espace TotsR6s~ il est manifeste que ~/BK est encore la limite de la tour d'espaces (fibrants) ~'BK(0)~--yBK(I)~--r ~BK = lim YBK(s). sEN Si la cohomologie modulo p de Y est finie en chaque degr6, alors les espaces Y~K(s) sont , p-n.-fnis ,, : Difinition 1.1.1. -- On dit qu'un espace Y est p-n,-fmi s'il possb.de les propri6t6s suivantes : -- rc0Y est fini; et pour tout choix du point base : -- n~Y, n > 1, est un p-groupe fini; -- il existe un entier q tel que =,Y est trivial pour n > q. On en d6duit que si la cohomologie modulo p de Y est finie en chaque degr6 et si X est un espace (ensemble simplicial) avec un nombre fini de simplexes non d6g6n6rds alors les ensembles [X, "YBK(s)] sont finis. I1 en r6sulte que si la cohomologie modulo p de Y est finie en chaque degr6, alors les ensembles [X, ~'BK(S)] et [X, ~BK] ont, pour tout espace X, des structures profinies naturelles et que l'application canonique IX, ~BK] + lim[X, ~'BK(s)] ss est un hom6omorphisme. En fait, on peut d6finir une p-compl6tion pour laquelle la propri6t6 ci-dessus est v6rifi6e sans hypothb.se de finitude sur H*(Y, Z/p); le prix fl payer est de consid6rer des syst6mes projectifs d'espaces p-n,-finis plus g6n6raux que des tours : SUR LFS ESPACES I"ONCTIONNELS DONT LA SOURCE EST UN CLASSIFIANT 133 LA p-COMPLI~TION I)E SUI,I,IVAN REVUE PAR MOREL [Mo2] Soit Y un ensemble simplicial. On consid6re les relations d'6quivalence simpli- ciales R sur Y telles que l'ensemble simplicial quotient Y/R est fini en chaque degr6 simplicial. On note ,~ (Y) l'ensemble de ces relations; ,~ (Y) est ordonn6 par inclu- sion. On pose enfin Y(R, s) = Y/-'~R BK (s); on observe que ces espaces sont p-;g.-finis (et fibrants). Morel d6finit le p-compl6t4 de Y, not6 ~" ci-apr6s (ou parfois Yp), comme la limite des ~'(R, s), (R, s) d6crivant l'ensemble ordonn6 produit .JOg (Y) x N ~ : r = lim r s). (R, s) C'est cette d6finition de la p-compl6tion que nous adoptons dans cet article. A nouveau les ensembles IX, ~'(R, s)] ct [X, 'C[] ont, pour tout espace X, des structures profinies naturelles et l'application canonique IX, ~ ---+ lim [X, Y(R, s)l (R, s) est un hom6omorphisme (on peut s'en convaincre, par exemple, fl l'aide de la proposition 1.1.3 que l'on trouvera fi la fin de ce paragraphe). On vdrifie 6galement que l'application canonique ~BK ___+ r induite par les applications ~'BW(s) ---+ Y(R, s), est une 6.quivalence d'homotopie dans le cas off H*(Y;Z/p) est de dimension finie en chaque degr6. Le diagramme des ~'(R, s) est un exemple de -pro-espace ,, : PRO-ESPACES Un pro-espace est un foncteur Y(-), i ~-+ Y(i), d6fini sur une petite cat4gorie filtrante Jy(_; et fl valeurs dans la cat6gorie des espaces. L'ensemble des mor- phismes d'un pro-espace Y(-) dans un pro-espace Z(-) est par d4finition l'ensemble lim.Tz, ' ~ colimjv~_ Hom(Y(-), Z(-)), Hom(Y(i), Z(j )) d4signant l'ensemble des appli- cations de l'espace Y(i) dans l'espace Z(j). Nous appelleronspro-p-compl6td de Y le pro-espace 9(-) introduit ci-dessus. La correspondance Y H Y(-) est un foncteur de la cat6gori.e des espaces dans celle des pro-espaces. I1 en r6sulte que la correspondance Y w+ Y est 4galement fonctorielle; cette , rigidit6 77 est l'une des contributions de [Mo2]. COHOMOI,OGIE << CONTINUE >> OU << ItlMI'I'E >7 DES PRO-ESPACES Soient Y(-) un pro-espace et rt un groupe ab61ien. On pose 9 * , H~ (Y(-), n) = colim H* (Y(i); n). (ARI'IN-MAZUR) 134 FRAN(~IOIS-XAVIt'R I)EHON ET JEAN I_~.NNES Cette notation peut ~.tre justifide de la th~on suivante : si pour tout i l'espace Y(i) est fini en chaque degr6 simplicial, alors H,*. (Y(-); x) est l'homologie du complexe des cochaines contilmes de l'ensemble profini simplicial limiY(i) 5, valeurs dans le groupe ab41ien discret re. Suivant le contexte, nous appellerons H~'(Y(-);n) la cohomologie continue, la cohomologie limite, ou simplement la cohomologie du pro-espace Y(-) 5, coefficients dans ~. La proposition suivante est une consdquence imm4diate du vieux r4sultat de Dror [Dr] qui dit que pour tout espace Y l'application naturelle colim U*(rIbt R6s~ Z/p) --+ H*(Y; Z/p) est un isomorphisme. Proposition 1.1.2. -- Pour tout espace Y l'application naturelle : est un isomorphisme. Nous achevons notre exposd sur la notion de p-compl4tion en ddgageant l'6nonc4 614mentaire qui permet de se convaincre de ce que l'application canonique IX, ~r] ~ lira[X, ~'(-)] est une bijection (en fait un hom6omorphisme d'ensembles profinis). RELATIO.~ t;XTRE no limY(-) rT lim ~Y(-) POUR CSRTAI.'qS PRO-ESPA(ZES Y(-) Soit Y un espace (ensemble simplicial). Disons que Y est 1-fmi si les ensembles de simplexes Y0 et Yl sont finis; disons que Y est 1-fibrant si l'image de l'application dl � a~) : YI ---+ Y0 x Y0 est une relation d'4quivalence sur Y0. Proposition 1.1.3. -- Soit Y(-) un pro-espace. Si les espaces Y(i) sont 1-finis et 1-fibrants pour tout i alors ?application canonique rc0 lim Y(-) ~ lim ~Y(-) est une b~ection (et l'espace lim Y(-) est 1-fibrant). (Pour v6rifier cet 6noncd utiliser deux fois qu'une limite ffltrante d'ensembles finis non vides est encore non vide.) L'ensemble ~limY(-) poss~de donc une structure naturelle d'ensemble profini, sous les hypoth6ses de la proposition prb.cddente. Scholie 1.1.4. -- Soient Y(-) un pro-espace et nun groupe abilien. Si Y(-) v/r/fie /es hypotheses de la proposition prdcddente alors H(II(Y(-); n) s'identifie au groupe des applications continues de no lim Y(-), rnuni de sa topologie profinie, clans n, muni de sa topologie discrOte. SUR LES ESPACES FONCTIONNELS DONT IA SOURCE EST (iN CI.ASSIFIANT 135 1.2. Sur la cohomologie modulo p des espaces hom(Bo, Y) (Pour plus de d~tails le lecteur est invitd /i consulter les r~t~rences [DS], [La2], [Mol] et [Sc].) On note ~57,~c la cat~gorie des A-alg6bres instables (A dO.signe l'alg6bre de Steenrod); on rappelle que H*(Y;Z/p) est l'exemple type d'une telle alg6bre. On pose He = H*(B~; Z/p). Le foncteur ,~TrSJ ~ ~,~, L ~ Ha | L admet un adjoint /t gauche que l'on note To :.57{: ~ 'J~4"J. L'application d'dvaluation Bt~ x hom(B~, Y) --~ Y induit, par passage /~ la cohomologie modulo pet adjonction, un ,57d'-morphisme naturel TaH*(Y; Z/p) ~ H*Oaom(Bo, Y); Z/p). Thiorbrne 1.2.1. -- Pour tout espace (fibrant) p-n.-fini Y l'application naturelle TeH*(Y; Z/p) --~ H*(hom(Bo, Y); Z/p) est un isomorphisme. Soient X un espace et Y(-) un pro-espace; on note horn(X, Y(-)) le pro-espace i ~ horn(X, Y(i) ). L'b.nonc6. suivant est obtenu en combinant les dnonc6s 1.1.2 et 1.2.1 et en observant que le foncteur To pr6serve les colimites : Ttdorbme 1.2.2. -- Pour tout espace Y l'application naturelle TeH*(Y; Z/p) ~ H~.(hom(Bo, ~[(-)); Z/p), Y(-) d~i~ant le pro-p-complitd de Y, est un isomorphisme. Le fait que cette application naturelle est un isomorphisme en degr6 z6ro se traduit par : Corollaire 1.2.3. - Pour tout espace Y l'application naturelle [Bo, x/'] ~ Hom:~(H*(Y; Z/p), Ho), dds~nant le p-compliti de Y, est une by'ection (homdomorphisme d'ensembles profinis). Les ~nonc6s prdc6dents possbdent des variantes, que l'on trouvera ci-apr~s, concernant les espaces de points fixes homotopiques des actions d'un groupe cyclique d'ordre premier. Soit X un espace muni d'une action de o. L'espace des points fixes homotopiques de cette action est l'espace fonctionnel homa(Ec, X) des applications c-6quivariantes de Eo dans X, Eo ddsignant le rev~tcment universel de Ba; cet espace est 6galement 136 FRAN(]OIS-XAVIER DEHON ET JEAN" LANNES not6 X h~. En particulier hom(Bo, Y) est l'espace des points fixes homotopiques de l'action triviale de ~ sur Y. En fait, comme X h~ est la fibre en l'identit6 de l'application hom(B~, E~xaX) ~ hom(B~, B6) induite par la projection E~x~X ---* B~, l'6tude des points fixes d'une action quelconque se ram6ne /t celle d'une action triviale. L'espace Eax~X (qu'il faut voir comme le quotient homotopique de l'action de ~) est dgalement notd Xh~. On note H~ + ~ la cat6gorie des A-alg+bres instables au-dessous de H~ (un objet de H~ ~ ~ est donc la donn6e d'une A-alg+bre instable K et d'un homomorphisme de A-alg6bres instables H~ ~ K); l'exemple type d'une telle alg6bre est H*(Xha; Z/p). Le foncteur ,~ ~ H~ ~ ,~"~, L ~ H~ Q L admet encore un adjoint /t gauche que l'on note Fixo : Ho + ,~/'~ ~ ,~Td. On dispose cette fois d'un ,~Td-morphisme naturel Fixc~H*(Xh,~; Z/p) ---, H*(xh'~; Z/p). Thdorkme 1.2.4. -- Pour tout espace (fibran 0 p-n.-fini X muni d'une action de ~, l'applica- tion naturelle VixoH*(Xh~; Z/p) ~ H'(xh'~; Z/p) est un isomorphisme. Nous dirons qu'un pro-espace est muni d'une action de ~ si le foncteur correspondant se factorise ~ travers la cat6gorie des espaces munis d'une action de ~; pour thire court, nous parlerons aussi de pro-c-espaces. La dbfinition des morphismes de pro-~-espaces est simplement obtenue en rempla~ant ,~ espace ,> par - ~-espace ,, (espace muni d'une action de c) dans celle des morphismes de pro-espaces. On observera que la ri~dit6 de la construction de Morel fait que si un espace est muni d'une action de alors son pro-p-compl6t6 l'est tout autant. Soit X(-) un pro-espace muni d'une action de ~; on note X(-) h~ le pro-espace i ~ X(i) h~. TMorOme 1.2.5. -- Pour tout espace X muni d'une action de ~ l'application naturelle r * ~ __._). F xon CXh ,Z/p) X(-) disignant le pro-p-compliti de X, est un isomorphisme. Corollaire 1.2.6. L'application naturelle no((~)ho) --+ HOmHoVj3r(H.(Xho; Z/p), Hcr), disignant le p-compldM de X, esI une b~ection (homdomo~phisme d'ensembles pr~nis). SUR LES ESPACES FONCTIONNELS DONT LA SOURCE EST UN CLASSIFIAN'T 137 1.3. Rappels sur les versions ~ lin~aires ,, des foncteurs T~ et F~ a I1 existe des versions ~ lin~aires ,, des foncteurs T~ et Fix~, compatibles avec les versions ~ non lin6aires ,, introduites plus haut, dont nous rappelons ci-dessous la d~finition en vue de futures r~f~rences. On note ~4 la cat~gorie des A-modules instables. Le foncteur cd~ ~ ~d , N ~ Hc | N admet un adjoint ~t gauche que l'on note toujours T~ : '~dd ~ ~d. Ce choix de notation est justifi6 par le fait que le diagramme ,Trg , I oubli + oubli T, est commutatif ([La2], 2.3.4). Voici maintenant l'analogue ~ 6quivariant ,, (voir [La2], 4.4) de ce qui pr~c+de. On note H~- J/d la cat6gorie dont les objets sont les A-modules instables M munis d'une structure de H~-module ddfinie par une application H~ | M ~ M qui est A-lin~aire. Le foncteur ~' ~ H~ - ~/~ , N ~ H~ | N admet un adjoint/t gauche que l'on note toujours Fix~ : H~ - ~d ~ ~?~. A nouveau ce choix de notation est justifi~ par le fait que le diagramme Fix a H~ ~ ,~ ~ ~ oubll loub~ I,'ix c est commutatif ([La2], 4.6.3). 2. Sur les points fixes homotopiques d'une action d'un groupe cycllque d'ordre premier sur un pro-espace dont la cohomologie limite est nulle en degr~ impair Comme au paragraphe pr~c6dent, p ddsigne un nombre premier flx6 et cun groupe cyclique d'ordre p. La clef de la r~ponse /t la question 0.0 est la proposition 2.1 ci-dessous. (Cet dnonc6 s'intitule Proposition-D~finition parce que les propriO.tO.s (-~l), (.~)~ (~3) des pro-espaces, et (~7) des pro-espaces munis d'une action de c, y sont d~finies.) Proposition-D(finition 2.1. - Soit X(-) un pro-espace. On suppose que X(-) vkrifie les proprgtds suivantes 9 138 FRAN(~:OIS-XAVIER DEHON ET JEAN LANNES (~'~1) Pour tout objet i de 27x(_i, l'espace X(i) est p-rc.-fini (et fibrant). (~2) La cohomologie H~.(X(-); Z/p) est nulle en degri impair. On suppose que X(-) est muni d'une action de ~ telle que la propriiti suivante est satisfaite : ((Z) L'action de (~ sur H,*(X(-); Zip ~) est triviale pour tout entier v ) 1. Alors le pro-espace X(-) h~ vi~. ie (,!~) et (,J~2)- Si le pro-espace X.~-~ ' virife en outre la prop~4it~ suivante " (,~/3) La cohomologie H~.(X(-); Z/p) est non nulle, alors il enest de mgrne pour le pro-espace X(-) h~. Remarque 2.2. -- I1 est clair que l'hypoth6se (?~,o) est 6quivalente "~ la suivante : (,~3-b/s) Le groupe de cohomologie H,:~X(-);Z/p) 0 est non nul. Le scholie 1.1.4 implique donc que, sous l'hypoth6se (;~1), l'hypoth6se (:~/~) est encore 6quivalente /~ la suivante : (J~3-ter) L'espace lim X(-) est non vide. Remarque 2.3. -- On peut montrer facilement que, sous l'hypoth6se (J)2), l'hypoth6se ~-j r~,~ est 6quivalente 5, l'hypoth6se ((57-b~) ci-dessous. On doit distinguer les casp=2 etp>2. Pour p = 2 : ((~-b#) L'action de c sur H~(X(-);Z/4) est triviale. Pourp >2 : (Q'-b/s) I'action de (~ sur HI(X(-); Z/p) est triviale. Remarque 2.4. -- L'hypoth6se ((~) est v6rifide en particulier si l'action du groupe discret (~ se prolonge en une action d'un groupe connexe (par exemple $1). Dimonstration de la proposition 2.1. I1 est imm6diat que si X(-) v6rifie (s alors il en est de m&ne pour X(-) h~. Ce fait est inddpendant de (~,~) et (Q'). On montre maintenant que si X(-) v6rifie (;?,~1), (,~s et () alors X(-) h~ v&ifie (2~2). On traite d'abord du cas off l'action de c~ sur X(-) est triviale; on a alors X(-) h~ = hom(B~, X(-)). Le fait que H20aom(Bc~ , X(-)); Z/p) est nul en degr6 impair r6sulte des deux points suivants : -- Le ~-morphisme naturel T~H~(X(-); Z/p) ---* H20aom(B~, X(-)); Z/p) est un isomorphisme (c'est une consdquence du th6or6me 1.2.1). -- Si unc A-alg~bre instable K cst nulle en degr~ impair alors il en est de m~me pour ToK (cette propri&6 est cons6quence de son analogue lindaire, au sens de 1.3, dont on peut se convaincre ~ l'aide de la proposition 2.I.3 de [La2]; elle sera g6n6ralis6e en 2.9). SUR LI:S ESPACES FONCTIONNELS DONT LA SOURCE EST UN CLASSIFIANT 139 Le cas gdndral est plus subtil mais se traite essentiellement de la mfime faqon. On pose K = II~(X(--)ho;Z/p); K est donc un objet de la catdgorie No + (voir 1.2). Le th6or6me 1.2.4-nous dit que, sous l'hypoth+se (;~1), le '~ -morphisme naturel FixoK - H~(X(-)h~ Z/p) est un isomorphisme (observer que le foncteur FLx o pr6serve les colimites). I1 faut donc montrer que la A-alg6bre instable FixoK est nulle en degrfi impair. Nous le ferons en invoquant des propridt~s de K qui d~coulent du lemme 2.6 ci-apr~s, variante du lemme suivant dfi 5. Dwyer et Wilkerson : Lemme 2.5. - Soit X un espace muni d'une action de o. On suppose : (a) La cohomologie H*(X; Z/p) est nulle en degri impair. ~o) L'action de o sur H*(X; Zp) est triviale. A/or.~ la suite spectrale de Serre, pour la cohomologie it coeffcients dans Zp ou Z/p, de la fibration X-~ Xho ~ Bo digird, re au terme E 2. (La notation Zp dO, signe comme 5. l'ordinaire l'anneau des entiers p-adiques.) Remarque. -- D;s remarques 2.3 et 2.4 valent, mutatis mutandi~, pour l'~nonc6 ci-dessus. L'extension de 2.5 aux pro-espaces ne pr~sente pas dc difficult~s. Soit X(-) un pro-espace muni d'une action de o; on note X(-)ho le pro-espace i ~ X(i)ho. Soit n un groupe ab6fien; on introduit la suite spectrale colimite des suites spectrales de Serre, pour la cohomologie 5. coefficients dans n, des fibrations X(i) ~ X(i)ho ~ Bo. Le terme E2 et l'aboutissement de cette suite spectrale s'identifient respectivement 5. H*(~; HT(X(-); n)) et H~.(X(-)ho; n). Lemme 2.6. -- Soit X(-) un pro-espace muni d'une action de o, vkrifiant les hypotheses (.~/~ et ((2). Alors, pour tout entier v >1 1, la suite spectrale colimite des suites spectrales de Serre, pour la cohomologie g~ coefficients dans Zip v, des fibrations X(i) ~ X(i)ho ~ B~s digdnkre au terme E2. Dimonstration du lemme 2.5. -- Compte tenu des hypothbses (a) et (b), les termes E 2 de la suite spectrale de Serre pour la cohomolo~e 5. coefficients dans Zp de la fibration X ~ Xho ~ Bo sont nuls sis out sont impairs. Cette suite spectrale ddgO, n6re donc au terme E2. I1 en rdsulte que l'homomorphisme H*(Xho;Zp) ---+ H*(X;Zp) est surjectif. L'homomorphisme H*(Xho; Z/p) ---+ H*(X; Z/p) est dgalement surjectif puisque l'homomorphisme H*(X; Zp) ~ H*(X; Z/p) est surjectif, compte tenu de (a). I1 en resulte 140 FRANf]OIS-XAVIER DEHON ET ,IF.AN LANNES /~ nouveau que la suite spectrale de Serre pour la cohomologie /~ coefficients dans Zip de la fibration X --+ Xh~ ---+ B~ d6g6n6re au terme E2. Dimonstration du lemme 2.6. -- On note { E;' t(v)} la suite spectrale colimite des suites spectrales de Serre, pour la cohomologie /t coefficients dans Zip ~', des fibrations X(i)---+ Xho(i)~ Bo. Les hypotheses (~,~2) et (~))impliquent : -- le terme E,~' ~(v) est nul si test impair; - - l'homomorphisme p~ 9 E~2 ' t(v + 1) ---* E,) ,,t (v), induit par la surjection canonique Zip ~'+1 ~ Zip ~, est nul sis est impair. I1 est clair que ces deux propridt6s sont encore vfriti6es si l'on remplace E2 par Er. On montre alors, par r6currence sur r, en contemplant le diagramme commutatif dr E~"(v+ 1) , E,r't-r+t(v+ 1) que pour tout r/> 2, tout t >/0 et tout v ) 1 : 0, -- l'homomorphisme P~." Er t( v + 1) + E~'t(v) est surjectif et la diffdrentielle dr" ET't(v)--~ E~' *- r+ I (v) est nulle. On en conclut que la suite spectrale {E','t(1)} d6g6n~re au terme E2 en invoquant sa structure de H*(Bo; Z/p~')-module. [] Le lemme 2.6 implique les propri6t6s ci-dessous de K. On note respectivernent Poet K' les sous-alg6bres de Ho et K constitutes des 616ments de degr6 pair; on observe que Po est aussi un sous-A-module de Ho. Scholie 2.7. (a) L'homomorphisme canonique de A-alg~bres instables H~ ~ K fair de K un H~-module fibre. 09) L'application canonique Z/p| ~ HI(X(-); Z/p) est un isomorphisme (Zip est considir~ comme un H~-module via l'augmentation Ho 4-4 Z/p). (c) Si la A-alg~bre instable K est non nulle alors l'homomorphisme H~ ~ K est injectif (d) La sous-algObre K' est aussi un sous-A-module de K et l'application P~ ~ K' est un homomorphisme de A-alg~bres instables. (e) L'application canonique H~ | K' ---+ K est un Lwmorphisme de A-algObres instables au- dessous de H~. Dhnonstration. -- Les points (a), (b) et (c) d~coulent du cas v = 1 du lemme 2.6. Le point (d) est 6quivalent au suivant : (d - b/s) L'homomorphisme de Bockstein 13 : K 2n ~ K 2"+1 est trivial pour tout entier n. SUR LES ESPACES FON(YI'IONNELS DONT LA SOURCE EST UN CI.ASSIFIANT 141 Celui-ci d6coule des cas v = 1 et v = 2 du lemme 2.6. En effet la d6gdndrescence au terme E2 des suites spectrales { E'/t(v)}, v = 1,2, implique que l'homomorphisme 2n 2n H~ (X(--)ho; Z/p 2) ~ H~ (X(--)ho; Z/p), induit par la r6duction modulo p, est surjectif. Le fait que l'application canonique du point (e) est un isomorphisme de Ho- modules r6sulte de (a) et (b); le fait qu'elle est un (Ho ~ ,~-gs r6sulte de (d). [] Remarque 2.8. - Lorsque l'action de o sur X(-) s'6tend en une action de S 1, la A-alg6bre instable K' s'identifie /t H~(X(--)hsl;Z/p ) (la notation X(--)hSl ddsigne le def pro-espace i ~ X(i)hSl = ES 1 Xsl X(i)) et l'isomorphisme du point (e) est un avatar de l'isomorphisme Hc(X(-)ho; Z/p) ~- H*(Bo; Z/p) | ;z/p: Hc(X(--)hS' ; Z/p). Celui-ci est ~t nouveau cons4quence de la ddg4ndrescence au terme E2 de la suite spectrale colimite des suites spectrales de Serre, pour la cohomologie /t coefficients dans Z/p, des fibrations X(i) --* X(i)hs: --~ BS I, qui est imm6diate pour des raisons de degr4. Compte tenu de (e), le fait que la A-alg6bre instable FLxoK est nulle en degrb. impair r6sulte du lemme 2.9 ci-apr6s dont l'6nonc6 n4cessite l'introduction pr6alable de quelqucs notations (une version ~ lin6aire ,, de cet 6nonc6 apparait d6j/t dans le paragraphe 2.6.2 de [I2Z2]). On note :/~Y' la sous-catdgorie pleine de ,~5"~ dont les objets sont les A-alg6bres instables nulles en degr4 impair et Po I .~Tg" la cat6gorie des objets de ,5~rY' au- dessous de Po. A nouveau le foncteur ,~' ---* Po ~ ~,~"', L' ~-~ Po | L' admet un adjoint /t gauche que l'on note Fix' o : Po J. ,~' --~ ,~Yg;'. On note enfin E : Po ~. ,2~g'-' ~ Ho ~ ~ le foncteur K' ~ Ho| K' et I : ,~,~' ---+ ~ le foncteur inclusion. Lemme 2.9. - Les foncteurs Fix o o E et I o Fix'o sont naturellonent iquivalents. Ddmonstration. - Soient :~dd~ ' la sous-cat6gorie pleine de ~/~ dont les objets sont les A-modules instables nuls en degr6 impair, O : ~d' ~ ~/~ le foncteur inclusion et O : ~?L ---* ~' son adjoint /t droite. Soit M un A-module instable; OOM est simplement le plus grand sous-A-module de M nul en de.gr6 impair. On rappelle que l'on a un isomorphisme naturel O(Ho | M) ~ Po | OM (c'est, par exemple, un cas particulier de la proposition 8.3 de [LZ1]). 142 FRANC~OIS-XAVIER DEHON ET JEAN IdkNNES Soit maintenant L une A-alg~bre instable; il est clair que le sous-A-module instable OOL de L est aussi une sous-alg+bre. On constate que le foncteur ~ --4 ,~' qui envoie L sur (DL muni de la ,~7d~ '-structure induite est adjoint ~t droite de I; on le note T. Soit enfin K' une A-alg6bre instable nulle en degrd impair. L'isomorphisme naturel 6voqu6 ci-dessus conduit au suivant : Hom~l._~a(H~ | K', H~ | L) ~ Homp~t.~,(K' , P~ | Ce dernier isomorphisme fournit bien une 6quivalence naturelle r,,a 9 ! [] Fix ~ o E = I o Ftxo. Pour que la d6monstration de la proposition 2.1 soit compl&e il nous reste /~ montrer que si X(-) v6rifie (;~)~1), (~/~2), (;~)~3) et (~) alors X(-) h~ v6rifie (-~3). I1 faut cette fois se convaincre de ce que la A-alg6bre instable Fix~K est non nulle. Ceci r6sulte du point (c) du scholie 2.7. Soit ~ : H~ ~ K le (H~ ~ .Sg'~)- morphisme canonique; si rl est injectif alors il en est de mfime pour Fix~(T1) : Zip = Fix~H~ -+ Fix~K puisque la version -lin6aire,, du foncteur Fix~ (voir 1.3) est exacte ([La2], 4.6.1). On peut 6galement invoquer le fait que H~ est , injectif,, en tant qu'objet de ~ ([Lal], Corollaire 3.6). [] Les propositions 2.1 et 1.1.2 entrainent : Corollaire 2.10. -- Soit X un espace muni d'une action de t~. On suppose : -- la cohomolo~ie H*(X; Z/p) est nulle en degri impair; -- l'action de t~ sur H*(X; Zp) est triviale. Alors la cohomologie H,*.02~(--)ha; Z/p) est nulle en degrd impair et non (identiquo,wnt) nulle si X est non vide. (On rappelle que la notation X(-) ddsigne le pro-p-compldt6 de l'espace X.) Pour remplacer la cohomologie continue d'un pro-espace qui apparak dans l'6nonc~ 2.10 par la cohomologie ordinaire d'un espace il suffit de supposer -- que H*(X;Z/p) est de dimension finie en chaque degr6, -- et que Fix,~H*(Xh~; Z/p) est de dimension finie en chaque degrd ct nul en degr~ un (voir le th6or6me 4.9.3 de [-La2]; pour s'affranchir de la condition de finitude portant sur H*(X;Z/p), voir le th6or6me 2.3.1 de [Mol]). SUR I~ES ESPACES FON(]TIONNELS I)ONT IA SOURCE EST UN CI.ASSIt"IANT 143 Les conditions de finitude ci-dessus sont remplies par exemple si l'on suppose que la cohomolo~e H*(X; Z/p) est ncethirienne, c'est-/~-dire engendrb.e, comme Z/p-algSbre gradu6e commutative, par un nombre tini d'dl6ments. En effet, dans ce cas, les algSbres H*(Xh~; Z/p) et Fix~H*(Xh~; Z/p) sont 6galement noeth6riennes, la premi+re ~ cause du point (b) du scholie 2.7, la seconde /t cause du thdorSme 1.4 de [DW1] qui entra~ne que si une A-alg~bre instable K au-dessous de H~ est noeth~rienne alors il enest de m~me pour Fix~K. Ce qui pr6c6de conduit /~ l'dnoncd suivant : Corollaire 2.11. -- Soil X un espace muni d'une action de ~ tel que l'action de ~ sur H*(X; Zp) est triviale. On suppose que l'espace X poss~de les propri[l~s suivantes : - la cohomologie H*(X; Z/p) est nulle en degri impair; -- la cohomologie H*(X; Z/p) est noethirienne; -- l'espace X est p-complet; -- l'espace X est non vide. Alors l'espace X h~ poss~de igalemenl ces quatre propri~tis. (On rappelle que l'on dit qu'un espace X est p-complet si l'application canonique X --+ est une ~quivalence d'homotopie. Pour se convaincre de ce que X h~ est p-complet, utiliser par exemplc le corollaire 4.9.2 de [La2].) 3. Sur les (pro-)espaces fonctlonnels dont la source est le classifiant d'un groupe de Lie compact commutatif et dont le but est le (pro-)]~compl~t~ d'un espace ~t cohomologie modulo p nulle en degr~ impair Voici, comme promis dans l'introduction, la << bonne ,, r~ponse/t la question 0.0 : Thiorbne 3.1. Soit *t un p-groupe abilien fini; soit Y un espace. Si la coho- mologie H*(Y; Z/p) est nuUe en degri impair alors il enest de mane pour la cohomo~gie H~: 0aom(B~ , Y(-)); Z/p). (On rappelle que la notation Y(-) d4signe le pro-p-compl~td de l'espace Y.) Danonstration. - On procSde par r6.currence sur le cardinal de ft. Le cas rt = 1 est trivial. Soit K un sous-groupe d'indice p de ~; on pose ~ = 7t/~. Le pas de r~currence consiste /t montrer, en utilisant la proposition 2.1, que si l'6.nonc6 3.1 est vdrifi6 pour alors il l'est aussi pour re. Pour la commodit6 de l'exposition on choisit un mod61e explicite du foncteur rc ~ B~. On note E~ le groupe simplicial (contractile) { 0, 1, ..., n } ~ ~(0, ~ ..... '}. Le groupe re, vu comme un groupe simplicial << constant ,,, est un sous-groupe simplicial de Ere. On pose Bg = Erc/~; puisque ~ est abd.lien, Brc est un groupe ab61ien simplicial 144 FRANf~OIS-XAVIER DEHON ET JEAN I.ANNES (tout comme ETt et re) et l'on a une suite exacte de groupes ab61iens simpliciaux 0 ---, rc ~ En ~ Brc ~ 0. Soit Z un espace; on rappelle maintenant l'analyse classique du type d'homotopie de l'espace fonctionnel hom(Bg, Z) en termes de points fixes homotopiques d'une action de 6 sur un espace ayant le type d'homotopie de l'espace fonctionnel hom(B~:, Z) : --- L'application canonique B~r = E1r ~ En/~ est une 6quivalence d'homotopie (on a en fait ici une suite exacte de groupes ab61iens simpliciaux 0 ~ B~: ~ E~/~: --+ Ec ~ 0). Elle induit une 6quivalence d'homotopie hom(En/~:, Z) ~ hom(B~:, Z). - Le groupe ~ agit sur hom(E~/~:, Z) v/a son action sur E~/~: (on a une suite exacte de groupes ab61iens simpliciaux 0 ~ 6 ---+ E1t/~ ~ Bn ~ 0). L'espace des points fixes homotopiques hom(En/~:, Z) h6 s'identifie ~t l'espace fonctionnel horn( (E6 x (E~/~))/o, Z) (le groupe c~ se plonge diagonalement dans E6x(Erc/~:) et l'on a une suite exacte de groupes ab61iens simpliciaux 0 --+ ~ --~ E6 x (ETt/~:) ~ (E6 x (Erc/lc))/6 ~ 0). -- L'application canonique (E~ x (En/K))/o ~ (ETr/K)/6 = B~ est une 6quiva- lence d'homotopie (on a une suite exacte de groupes abdliens simpliciaux 0 --* E6 --~ (E6 x (En/~:))/6 ~ B~t ~ 0). On a doric une 6quivalence d'homotopie hom(Er~/~, Z) ho g hom(B~r, Z). Ayant en trite ce que l'on vient de rappeler, on franchit le pas de r6currence en appliquant la proposition 2.1 au pro-6-espace hom(En/~:, Y(-)). La propri6t6 (2~) est v6rifi6e par hypoth~se de r6currence. La propri6t6 (~}) est v6rifi6e a cause de l'observation suivante qui illustre la remarque 2.4 : -- L'action par translation du groupe ab61ien simplicial connexe E~/~: sur lui- mSme induit une action de ce groupe sur laom(E~t/~:, Z) qui prolonge celle de 6. [] Remarque. -- Soit 0 ~ LI ~ L0 --~ ~ ~ 0 une r6solution libre de comme Z-module avec L0 (et L1) de dimension I; le monomorphisme de groupes abdliens simpliciaux ~ ~ En/n consid6r6 ci-dessus est compos6 du monomorphisme c '---~ EL0/LI et d'un homomorphisme EL0/L~ ~ Ert/n. Comme le groupe ab61ien simplicial EL0/LI est un avatar de S l, on se trouve dans le domaine de validit6 de la remarque 2.8. En rempla~ant dans la d6monstration du th6or6me 3.1 la proposition 2.1 par son corollaire 2.11, on obtient : Tldorbne 3.2. (Th6orSme 0.1). --- Soit n un p-groupe abilien fini. Soit Y un espace possidant les propriltis suivantes : - la cohomologie H*(Y; Z/p) est nulle en degrd impair; -- la cohomologie H*(Y; Z/p) est neetMrienne; - l'espace Y est p-complet. SUR LES ESPACES FONCTIONNELS DONT LA SOURCE EST UN CI,ASSIFIANT 145 Alors l'espace hom(Bn, Y) poss~de ~galement ces trois prop~t~s. Th~orOne 3.3. -- Soient nun p-groupe abilien fini et ~c un sous-groupe; soit Y un es~ace dont la cohomologie modulo pest nulle en degri impair. Alors toute application de B~r dans Y se prolonge gz Bn. (On rappelle que la notation Y designe le p-complete de l'espace Y.) Dhnonstration. -- Puisqu'il existe une suite finie de sous-groupes 9 ~=~o C/I;l C ... C/I;i_1 C ~i C ... C ~r=~ avec ~i/~i_l cyclique d'ordre p pour tout i/> 1, il suffit de demontrer le theoreme dans le cas off n/~: est cyclique d'ordre p. On se place dans ce cas; on pose alors cs = n/~:. Soitfune application de B~: dans ~'; soit [Bn, ~/;f] le sous-ensemble de [Bn, ~r] forme des classes d'homotopie d'applications de Bn dans Y dont la restriction i B~: est homotope /~f([Bn, Y;f] est en fait un ferme de l'ensemble profini [Bn, Y]). l~tant donne que Y est fibrant, on est ramene ~t montrer que [B~z, Y;of] est non vide. Soit i un objet de la categorie ,_~'~(_) (voir 1.1); on notef l'application composee defer de l'application canonique ~"-~ Y(i), et hom(En/~, ~'(i);f)le sous-espace de hom(En/~:, Y(i)) image reciproque dc la composante connexe de f par l'application hom(En/~, Y(i)) ~ hom(B~:, ~'(i)) consideree dans la demonstration precedente. Compte tenu de l'observation faite /t la fin de cette demonstration, l'action de cs sur hom(En/~:, ~((i)) preserve hom(En/K, Y(i);f). Le foncteur i ~ hom(En/~:, Y(i);f) est donc un pro-~-espace; on le note hom(En/K, Y(-);f). On demontre le theoreme 3.3 enappliquant la derni~re partie de la propo- sition 2.1 au pro-6-espace hom(En/~:, Y(-);f ). Detaillons un peu. La verification de l'hypoth+se (~l) ne pose pas de probleme. L'hypothb~se (.~/~2) est verifiee parce que H*0aom(En/~:, Y(-);f);Z/p) est quotient de H,*(hom(En/n, Y(-));Z/p) H~(hom(B~:, Y(-));Z/p) qui est nul en degre impair d'apres 3.1. Pour (~) on peut invoquer la m~me raison (ou reprendre l'argument de la demonstration de 3.1). L'hypoth~se (~~ est verifiee puisque, par construction, H~(hom(En/~:, Y(-);f);Z/p) est isomorphe /~ Zip. La proposition 2.1 nous dit donc que H~(hom(En/n, ~L(--);f)h~; Z/p) est non nul (voir 2.2). Or H~Oaom(En/n, ~(_);f)h~; Z/p) s'identifie ~ l'alg6bre des applications continues de [Bn, Y; f], muni de sa topolo~e profinie, dans Z/p, muni de sa topologie discrete (voir 1.1.3 et 1.1.4). [] Corollaire 3.4. -- Soit Tun tore et soit V le sous-groupe de TJbrrrd des [ldments t vdrifiant t p = 1; soit Y un espafe dont la cohomologie modulo pest nulle en degri impair. Alors toute application de BV dans Y se prolonge gl BT. 146 FRAN(]OIS-XAVIER I)EHON ET JEAN 12kNNES Ce corollaire d~coule du th6or~me 3.3 et du lemme suivant 9 Lemme 3.5. -- Soit T un tore et soit O(n), n C N, le sous-groupe de T formi des ~lgments t vgvifiant tP" = 1. Alors pour tout espace Y l'application naturelle [BT, Y) --, lim [B0(n), ~'J nEN est une b~ection (homdomorphisme d'ensembles profin@. Comme les ensembles profinis [BT, Y] et limne s [B0(n), Y] sont respectivement les spectres des alg+bres p-bool~ennes H~(hom(BW, Y(-)); Z/p) et colim,c N H,:(hom(U0(n), ~'(-)); Z/p) (voir le paragraphe 1.8.1 de [La2] et le paragraphe 1.1 du pr6sent article), le lemme 3.5 peut fitre vu comme un cas particulier du lemme suivant : Lemma 3.6. - Soit T un tore et soit O(n), n C N, le sous-groupe de T formi des dldments t v~tant t p" = 1. Alors pour tout espace Y l'application naturelle colim It~om(B0(n), Y(-)); Z/p) ---, H; 0aom(BT, Y(-)); Z/p) nEN est un isomorphisme (de A-alg~bres instables). Compte tenu de la ddfinition m~me de la cohomologie continue d'un pro-espace, le lemme 3.6 r6sulte enfin du lemme suivant : Lemme 3.7. -- Soit T un tore et soit O(n), n E N, le sous-groupe de T forrrd des dldrnents t vdrifiant t p" = 1. Alors l'application naturelle colim tt*0aom(B0(n), Y); Z/p) --, H*(hom(BT, Y); Z/p) nffN est un isomorphisme (de A-alg~bres instables) si Y est p-rc,-fini (et fibrant). Ddmonstration. -- On note Vv l'application naturelle ci-dessus. On v~rifie par inspection que vvest un isomorphisme dans le cas off Y est un espace d'Eilenberg- Mac Lane du type K(Z/p, m); le cas g6n~ral se traite en utilisant une d~composition la Postnikov d'un espace p-n,-fini. Pr6cisons un petit peu. Soit Y un espace p-n,-fini (et fibrant) que l'on suppose connexe (il est clair que cette restriction n'est pas g~nante ici); il existe une suite finie de fibrations, Y, --* Y,_I ~ K(Z/p, m,) (ms/> 2), 0 ~< s ~< r, Y-i 6tant un point et Yr ayant le type d'homotopie de Y. On v(;rifie que vy, est un isomorphisme par rdcurrence sur sen consid6rant les suites spectrales d'Eilenberg- Moore des applications hom(BC, Y~-I) ~ hom(BC, K(Z/p, me)) convergeant vers la SUR LES ESPACES FONCTIONNEI,S I)ONT LA SOURCE FST UN CLASSIFIANT 147 cohomologie /t coefficients dans Zip de la fibre hom(BC, Y~) au-dessus du point base (l'espace hom(BC, K(Z/p, m,)) est naturellement pointd), avec C = T et C = 0(n) (on copie ce que font Dror et Smith dans [DS]). [] Corollaire 3.8. -- Soit Tun tore; soit Y un espace dont la cohomologie modulo pest nulle en degri impair. Alors l'application naturelle [BT, ~ --~ Hom.~(H*(Y; Z/p), H*(BT; Z/p)) est une surjection. Dfmonstration. On consid~re le diagramme commutatif d'applications naturelles suivant 9 Hom.~(n*(Y; Z/p), H*(BT; Z/p)) [BT, ~'l , Uom.,~(U*~;Z/p), H*(BV;Z/p)) [BV, (la notation Vest introduite dans 3.4). Le corollaire 3.8 d6coule des points suivants : -- La flhche verticale de droite est une bijection. C'est une cons6quence de l'isomorphisme OH*(BV; Z/p) ~- H*(BT; Z/p) (notation introduite dans la d~?monstration de 2.9) que I'on v6rifie par rO, currence sur dimz/pV /t partir de l'isomorphisme ~(Ha | M) ~- Po | OM (voir 5 nouveau la d4monstration de 2.9). -- La fRche horizontale du bas est une bijection pour tout espace Y. C'est la variante du thdor6me 3.1.1 de [La2] dans laquelle la p-completion de Bousfield-Kan est remplacde par celle de Sullivan; la m6thode de ddmonstration est la marne que celle du cas particulier 1.2.3. -- La fl6che verticale de gauche est une surjection (Corollaire 3.4). D Remarque. -- L'ensemble Hom.~.(H*(Y; Z/p), H*(BT; Z/p)) poss6de une topologie profinie canonique (voir [I,a2], 1.7.7) et l'application naturelle de l'6noncd 3.8 est continue. Le th6or~me 3.1 et le lemme 3.6 impliquent immddiatement 9 Th~orbne 3.9. Soit Tun tore; soit Y un espace. Si la cohomologie H*(Y;Z/p) est nulle en degx6 impair, alors il en est de meme pour la cohomolo- gie H*(hom(BT, r Z/p). On ach~ve ce paragraphe en condensant les th6or~mes 3.1 et 3.9 en un seul b, noncd (il ne t~tut pas prendre cette unification trop au sdrieux!) 9 148 FRANI~OIS-XAVIER DEHON ET JEAN LANNES ThiorOne 3.10. -- Soit Cun groupe de Lie compact commutatif," soit Y un espace. Si la cohomologie H*(Y; Z/p) est nulle en degrd impair alors il en est de mhne pour la cokomologie H~(hom(BC, 9(-)); Z/p). On obticnt cet ~nonc4 cn g6n6ralisant les lemmes 3.6 et 3.7 : Lemme 3.11. -- Soit Cun groupe de Lie compact commutatif et soit ~(n), n E N, /e sous-groupe de C form~ des ~lg, ments c vdrifiant c~" = 1. Alors : (a) L' application naturelle colim H* (hom(B~(n), Y); Z/p) ---* H*(hom(BC, Y); Z/p) hEN est un isomorphisme (de A-alg?bres instables) si Y est p-rc,-fini (et fibrant). (b) L' application naturelle colim H:0aom(B~(n), ~/(-)); Z/p) ~ H:(hom(BC, ~'(-)); Z/p) hEN est un isomorphisme (de A-alg~bres instables) pour tout espace Y. Ddmonstration (du point (a)). -- Soit Co la composante connexe de l'61dment neutre de C. Le groupe de I,ie C est isomorphe au produit Co x ~0C et le groupe ab~lien fini r~)C est lui-m~me produit d'un p-groupe abdlien fini p et d'un groupe abdlien fini 9' dont le cardinal n'est pas divisible par p. On dcrit hom(BC, Y) = hom(BC0 x Bp, hom(Bp', Y)). On observe que si Y est p-n.-fini (ct fibrant) alors ,,l'4.valuation cn z~ro~ hom(Bp', Y) ---* Y cst une bquivalencc d'homotopie. On a donc une 6quivalence d'homotopie hom(BC, Y) ~ hom(BC0 x Bp, Y) = hom(BC0, hom(Bp, Y)). On observe cette lois quc si Y est p-~.-fini (et fibrant) alors homO( , Y) est p-~.-fini (ct fibrant) pour tout espace X dont la cohomolo~e modulo pest de dimension finie en chaque degr& On conclut cn appliquant le lcmmc 3.7. [] 4. Propri~t~s d'~ exactitude ~ des (pro-)espaces fonctionnels consid6r~s dans le paragraphe precedent Ce titre renvoie aux propositions 4.5 et 4.6 que l'on trouvera ~ la fin de ce paragraphe. La d~monstration de ces propositions consiste a reprendre, /t la lumi6re des scholies 4.1 et 4.4, les ~nonc~s correspondants du paragraphe 3; nous n'infligerons pas les dfitails au lecteur. I,es scholies 4.1 et 4.4 s'obtiennent quant h eux en m~ditant sur la d6monstration de la proposition 2.1. SUR LES ESPACES FONCTIONNELS I)ONT LA SOURCE EST UN ('I.ASSIFIANT 149 Scholie 4.1. -- Soit f: X(-) ~ X'(-) un morphisme de pro-~-espaces, vgvifiant les hypotl#ses (~l), (,~2) et (~2). Si l'application H~(X'(-);Z/p) ~ H~,(X(-);Z/p) induite par f est surjective (resp. injective) alors il en est de mgme pour l'application H,~((X'(--)h~';Z/p) -~ H2( (X(--)h~; Z/p) (toujours induite par J). Ddmonstration. -- On utilise : --le fait que le ,~;'~ -morphisme naturel Fix~H; (X(--)h~; Z/p) --~ H~( (X(--)her; Z/p) est un isomorphisme, -- l'exactitude du foncteur Fix~ (version lin6aire), -- et le lemme 4.2 ci-dessous auquel conduisent le lemme 2.6 et son scholie 2.7 : Lemme 4.2. -- Soit f: X(-) ~ X'(-) un morphisme de pro-c-espaces, vdrfant les hypott#ses (2,~2) et ('0). Si l'application H,~(X'(-);Z/p) --, ll~(X(-);Z/p) induite par .1 est surjective (resp. in]ective) alors il enest de mhne pour l'application H~(X'(--)h~;Z/p) --~ H2(X(--)h~; Z/p) (touiours induite par J). Ddmomtration. --- Compte tenu des points (b) et (a) de 2.7, ce lemme est consequence des deux assertions ci-apr~s dont la v~rification est laiss6e au lecteur. Soit : M' ~ M un homomorphisme de H~-modules N-gradu6s; soit ~ : Zip | M' Zip | M l'homomorphisme induit de Z/p-espaces vectoriels N-gradu~s. Alors ~ est surjectif si et seulement si ~ est surjectif. Quand M est libre comme H~-module N-gradu6. alors # est injectif si ~ est injectif. [] [] Le scholie 4.4 ci-apr6s est obtenu comme ci-dessus en invoquant |a variante ad hoc du lemme 4.2 et le lemme 4.3 ci-dessous qui montre que dans certains cas les co6galisateurs clans les cat6gories ~?/~ et K << coincident ,~. Avant d'6noncer ce scholie et ce lemme, nous rappelons la terminologie des diagrammes ~galisateurs et co~galisateurs. Soit E -+ E ~ ~ E l un diagramme dans la catdgorie des ensembles; on dit que ce diagramme est ~galisateur si la fl6che de gauche est injective et si son image est l'~galisateur des deux fl~ches de droite. Suivant l'usage habituel, on dit done qu'un diagramme C ~ C o m C 1 dans une cat~gorie West ~galisateur si pour tout objet D de ;~', le diagramme induit dans la catdgorie des ensembles HomF(D, C) Homg (D, C ~') ~ Homg (D, C ~) est 6galisateur. La notion de diagramme co6galisateur est dbfinie de fagon duale (au sens des catdgories). Nous dirons qu'un diagramme C ~ C O ~ C ~ dans une cat~gorie ~' est ~galisa- teur augrnent~ si le diagramme sous-jacent C ~ C o m C l est ~galisateur et si les deux morphismes compos6s C O ~ C l ~ C O sont l'identit6 de C ~ La notion de diagramme co~galisateur coaugmentd est d6finie de th~on duale. 150 FRAN(~OIS-XAVIER I)EIION ET JEAN LANNFS Ix, mme 4.3. - Soit K ~-- Ko ~ K1 un diagramme de A-alg~bres instables. Un tel diagramme est coigalisateur coaugrnent~ si et seulement si le diagramme sous-jacent de A-modules instables l' est. Ddrnonstration. -- Soient do et dl les deux morphismes de KI dans Ko; l'existence d'un morphisme So : Ko ---+ KI avec doOSo = Id et dt oso = Id entra~ne que le sous-A-module (do- dl)(K!) est aussi un id6al de K0. Le Iemmc en rdsulte. E Scholie 4.4. -- Soit X(-) ---, X~ 89 un diagramme de pro-o-espaces vknfiant les hypotheses (;#1), (;~2) et (~). Si le diagramme induit dam la catigorie des A-a~Obres instables * * 0 -~ * 1 u< (x(-); z/p) U<:(X (-); Z/p) =Hc(X (-); Z/p) est coigalisateur coaugrnentd alors il en est de mhne pour le diagramme H~,( (X(--)h(Y; Z/p) +-- H~,( (X~ Z/p) ~ Hc( (X 1 (__)hO; Z/p). Voici maintenant les 6,nonces promis au d6but de ce paragraphe. On rappelle que l'introduction d'un groupe de Lie compact commutatif C sert essentieUement A condenser en un seul les dnonc6s que l'on aurait en rempla~ant C par un tin p-groupe ab61ien fini ou un tore. Proposition 4.5. -- Soit C un groupe de IJe compact commutatiJ~ soit f" Y --~ Y' une application entre deux espaces dont la cohomologie modulo p est nulle en degri impair. Si l'application f* 9 H*(Y';Z/p) -+ H*(Y;Z/p) est surje~ctive (resp. injective) alors il en est de mhne pour l'application (induite parr) H~(hom(BC, Y'(-)); Z/p) ~ H~(hom(BC, Y(-)); Z/p). En particulier l'application (toujours induite par f) [BC, ~'] --~ [BC, Y--] est injective (resp. surjective). Proposition 4.6. -- Soit Cun groupe de Lie compact commutatif," soit Y ~ Y~ ~ ym un diagramme dans la catigorie des espaces dont la cohomologie modulo pest nuUe en degr6 impair. Si le diagramme induit dans la cate'gorie des A-algObres instables H*(Y;Z/p) ~-- H*(Y~ Z/p) U= H*(Yl;Z/p) est codgalisateur coau~mentd alors il en est de mhne pour le diagramme H~'('hom(BC, ~'(-)); Z/p) *-- H<';(hom(BC, y~'6(_)); Z/p) V= H<~(hom(BC, Y~ (-)); Z/p). En particulier le diagramme (induit dam la cate'gorie des ensembles ou des ensembles profinis) [BC, ~ ~ [BC, V%] = IBC, y21 est igalisateur. SUR I,ES ESPACES FON(1TIONNEI~S DONT LA SOURGE EST UN CLASSIFIANT 151 5. Introduction de MU-r6soludons instables Soil Y un espace. On obtient des diagrammes Y ~ y0 ~ yi du type de ceux qui apparaissent dans le paragraphe pr~c6dent en consid6,rant le d6but de <~ r6solutions instables ,~ de Y associ~es /t certains spectres. La r6f~rence /~ ce sujet est [BCM]. Rappelons bri6vement de quoi il s'agit. Soit E un spectre-anneau unitaire (~ homotopy associative ring spectrum with unit@ On pose R~rY = ~(E A Y+) (nr est pour ,~non r~duit,,). Le tbncteur lit Y ~ R E Y admet une structure de monade, tout du moins si on le consid6re comme un endofoncteur de la catdgorie homotopique. II existe aussi une version -r~duite, Rl.: du foncteur RFf. L'id6al serait ici de s'inspirer de ce que font Bousfield et Kan dans le cas du foncteur Y ~ A[Y] ([BK], I, 2.1), A[Y] ddsignant le module simplicial sur un anneau commutatif A engendr~ par Y, et de d~finir RF.Y comme la fibre au-dessus de nr nr 9 9 point ,, de l'application R E Y ---* RF. (point). Mais la mise au point d'une teUe d6finition se heurte ~l des difficult4s techniques caushes par le manque de ,~ rigidit6 ~, du foncteur llr R E . Une fa~on de contourner ces difficult4s est de supposer que Y est point6 et de poser REY = fl~176 A Y). C'est ce que nous ferons par la suite; cette introduction assez artificielle d'un point base nous obligera ~ quelques contorsions disgracieuses. )l nouveau le foncteur Y ~ RF, Y, consid6r4 comme un endofoncteur de la cat4gorie homotopique point6e, admet une structure de monade. On obtient fi l'aide de cette structure un obb~t cosimplicial coaugmentd qu'on appelle la E-rdsolution instable de Y, not4 ci-aprhs R6s~Y. Le ~( d4but ,, de R4.sI::Y est donc un diagramme de la tbrme Y ~ REY ~ REREY. La proposition 5.2 ci-dessous montre en particulier que le diagramme de A-alg~bres instables H*(Y; Z/p) *--- H*(REY; Z/p) ~ H*(RFRF, Y; Z/p) est co~galisateur coaugmentd si l'application H0(S; Z/p) ~ H0(E; Z/p) induite par l'unitd de E, S d~signant le spectre des sph+res, est injective. Proposition 5.1. -- Soil E un spectre-anneau unitaire; soit A un anneau commutatif Si l'applicalion H~ A) -, H~ induite par l'unitd de E est surjective alors l'homornorphisme de A-modules graduis (induit par l'unit~ de E) H.(Y; A) ~ H.(Rt,:Y; A) poss~de une rdtraction fonctorielle en l'espace pointi Y. Ddrnonstration. -- I1 revient au m,?me de montrer que l'homomorphisme de A-modules graduOs ft.(Y;A) ~ H.(REY;A) poss6de une rdtraction fonctorielle en l'espace point~ Y (~I.(-;A) d6signe l'homologie r~duite /~ coefficients dans A). On note HA lc spectre d'Eilenberg-Mac Lane, repr~sentant la cohomologie /~ coefficients dans A. Soient Tlv: et ~HA les unit~s respectives de Eet HA; l'hypoth6se faite 152 FRAN(]OIS-XAVIER DEHON ET JEAN LANNES sur TIE dquivaut ~t supposer qu'il existe uric application 0 : E --+ HA avec 0 o +It = vlnn. Disposant d'un tel 0, on exhibe une r6traction fonctorieUe de A-modules gradu6s 9F : H.(RFN;A) --+ ~I.(Y;A) de la faqon suivante : Dans le cas E = HA, PHA est un avatar de l'application n.RHARHAY --* n.RHAY donn6e par la structure de monade de RnA (on observera que le foncteur Run est une version ~< moUe >> du foncteur Y ~ A[Y]/A[point] qui admet lui une structure de monade ~, rigide >>). Dans le cas g6n6ral, PE est juste la compos6e de la transformation naturelle H,(RF, Y; A) --~ H,(RHAY; A) induite par 0 et de PHA. [] Proposition 5.2. -- Soit E un spectre-anneau unitaire; soit A un anneau commutatif Si l'application H~ A) ---, H~ A) induite par l'unit~ de E est subjective, alors le A-module gradu~ cosimplicial coaugrnenti H,(R6s~Y; A) est acyclique pour tout espace pointi Y. (Par acyclique on entend acyclique pour la diff~rentielle, de degr~ + 1, obtenue de la fa~on habitueUe it partir des cofaces.) Ddmonstration. -- L'objet cosimplicial coaugment~ RER6s[Y poss+de une contrac- tion ~t gauche (voir dans [DMN] la d~finition 6.1 et l'exemple (1) qui suit le lemme 6.2); il en r~sulte que le A-module gradu~ cosimplicial coaugment~ H,(RER~s[Y;A) est acyclique. I1 en est de m~me pour H,CRds~Y;A ) /~ cause de la proposition pr~c~- dente. [] Nous utiliserons la proposition ci-dessus dans les cas E = MU, A = Zip et A - Q. Dans le premier de ces deux cas la proposition 5.3 ci-dessous montre que si la cohomologie modulo p de Y est nulle en degr~ impair alors le diagramme Y ~ RMuY ~RMuRMuY v6rifie les hypoth+ses de la proposition 4.6. Proposition 5.3. -- Soit Y un espace pointi. Si la cohomologie modulo p de l'espace Y est nulle en degri impair alors il en est de mhne pour celle de l'espace RMuY. Ddmonstration. -- Cette proposition est une variante technique du point (e) de la proposition 5.4 ci-apr+s; pour les d6tails, voir l'appendice. [] Avant d'6noncer cette proposition, introduisons les notations suivantes : .... Comme A l'ordinaire, on pose MU, = MU,(point) = n, MU (MU, est donc un anneau N-gradu6 commutati 0. -- On note MU l'espace ~Z"MU. -- I~tant donn6 un espace point6 X et un ensemble I, on note X (I?' le sous-espace de X I form6 des I-uples dont les coordonn6es distinctes du point base sont en nombre fini. SUR LES ESPACES FONCTIONNELS DONT LA SOURCE EST UN CLASS1FIANT 153 Proposition 5.4. -- Soit Y un espace pointi dont l'homologne entikre est en chaque degri un Z-module libre; soit B, une base de H,(Y; Z). (a) La MU-homologie MU,Y est un MU,-module libre. 0~) II existe un isomorphisme de spectre-modules sur MU MU A Y --~ V ( Z"MU)v~"' ncN (Y.nMU) vs" d~signant le bouquet de copies, index~es par Bn, du spectre I~MU. (c) II existe une iquivalence d'homotopie MII(B,) RMuY ~ II---, nGN CB N _ ~") Z' tdle que l'homomorphisme H,(Y;Z) -* H.(MUn ; ) induit par la composde de l'application canonique Y --~ RMt:Y, de cette ~quivalence d'homotopie et de la pr~ection sur le facteur MU (s'), s'identifie d l'isomorphisme H,(Y; Z) -~ Z (n"). (d) L'homologie entikre de l'espace Rxa~,Y est en chaque degr~ un Z-module libre. (e) Si l'homobgie entikre de Y est nulle en degr~ impair alors il en est de mhne pour celle de l'espace RMuY. (t) Si Y est connexe et si son homologie enti~re est en chaque degrd un Z-module libre de dimension finie alors il en est de rn2nne pour celle de l'espace RMvY. Ddmonstration. -- Le point (a) est cons6quence de la d6g6n6rescence de la suite spectrale d'Atiyah-Hirzebruch convergeant vers MU,Y. Le point (b) en d6coule par un argument standard (voir par exemple [Adl], Part II, Lemma 11.1). I1 est clair que l'on peut pr~ciser l'~nonc6 du point (b) comme on l'a fait pour le point (c); celui- ci est alors simplement obtenu en appliquant le foncteur ~. Les points (d), (e) et (t) cofitent plus cher; compte tenu de (c), ils sont cons6quences de [Wils]. En effet, W. S. Wilson montre dans cet article que l'homologie enti6re des espaces MU,, n >/ 1, et de la composante connexe du point base de l'espace MU0, est en chaque degr6 un Z-module libre de dimension finie et que cette homologie est nulle en degr6 impair pour n pair. [] Remarque. -- On observera que le point (t) n'est plus vrai si l'on remplace RMuY rlr par RMuY. La proposition suivante est maintenant une sp6cialisation de la proposition 4.6 9 Proposition 5.5. -- Soient C un groupe de Lie compact commutatif et Y un espace pointi dont la cohomologie modulo p est nulle en degri impair. Alors le diagramme (d'ensembles ou d'ensernbles profinis) [BC, Yp] ---* [BC, (RMuY)p] m [BC, (RMvR~a,jY)~] est ~galisateur. 15,t FKANOOIS-XAVIER DEHON ET JEAN LANNES La proposition 5.5 est la clef de la d6monstration du thdor6me 0.3 /t laquelle est consacr~ l'essentiel du prochain paragraphe. Les consequences de cette proposition (ou plut6t de sa variante 7.17) sont analys6es plus finement dans [De]. 6. D~monstration des th~or~mes 0.3 et 0.4 La d6monstration du th~or6me 0.3 se fait en deux temps. On montre tout d'abord que le diagramme d'ensembles [BT, Y] ~ [BT, R.~cY] ~ [BT, R~cRt,,~;Y] est ~galisateur. On v6rifie ensuite que l'6galisateur de la double fl6che s'identifie l'ensemble Hom~(K(Y), K(BT)). Chemin faisant, on d6montre le th~orfme 0.4. Proposition 6.1. - - Soit Tun tore; soit Y un espace pointd. On fait les hypotheses suivantes : --- Y est simplement connexe; -- H,(Y; Z) est nul pour n impair et un Z-module libre de dimension finie pour n pair; -- H*(Y; Q) est une algObre de polyndmes. Alors le diagramme d'emembles [BT, Y] --+ [BT, R.x~uY] ~ [BT, RMc-RMcY] est dgalisateur. Ddrnonstration. -- Celle-ci utilise essentiellement la proposition 5.5 et un argument de ~carr6 arithm~tique- ([BK], VI, 8.1); l'hypoth+se sur la cohomologie rationnelle de Y sert ~ r6gler ~ peu de frais les questions correspondant au sommet ~ Q-local ,~ de ce carr6 et i 6viter l'apparition de ,, phdnomb~nes fantomatiques ,,. Passons aux ddtails. La d6monstration de la proposition 6.1 s'appuie sur les lemmes 6.4, 6.5 et 6.6 ci-apr+s; la d~monstration des lemmes 6.4 et 6.6 fait intervenir quant /t elle le lemme 6.2 et le scholie 6.3. Ces ~nonc6s n6cessitent l'introduction de quelques notations : -- Nous notons YQ le Q-localis~ d'un espace Y (plus pr6cis~ment, comme les espaces dont nous aurons /t consid6rer la Q-localisation sont simplement connexes, nous posons YQ = Q~Y, voir [BK], Ch. V, w - On rappelle que la notation 7. d6sigme le compldt~ profini de Z (et que l'on a 7. - lip Zp). Nous posons Y2 = lip Y~" -- Nous posons A = Q| ~, (A est l'anneau des addles finies de Q) et YA = (Y~)Q. -- Soit n. un groupe ab61ien N-gradu~; nous notons K(n.) lc produit, index~ par N, des espaces d'Eilenberg-Mac Lane K(n,, n). SUR I,I'S ESPACES FONCTIONNEI,S DONT LA SOURCE EST UN CLASSIFIANT 155 Lemme 6.2. -- Soit Y un espace vdrifiant les hypoth2ses de la proposition 6.1. Alors il existe un Z-module N-gradual L., nul en degrd impair et en degri ziro, libre de, dim~ion finie en chaque degri pair (strictement positi39 , et une application u : Y ~ K(L.) telle que l'homomorphisme u. : Hn(Y; Z) ---+ Hn(K(L.); Z) est un isomorphisme pour n <, 3 eta un noyau et un conoyau finis pour n >1 4. Ddmonstration. -- On peut par exemple procdder comme suit. Soit E. le sous- ~pace des primitifs de H.CY;Q) (le noyau du coproduit H.(Y;Q) --* FI.(Y;Q)| H.(Y;Q)). Soit L. l'intersection dans H,(Y;Q) de ce sous-espace et de H.(Y;Z); L. est donc un Z-module N-gradu6, nul en degrd impair et nul en degr6 z6ro, libre de dimension finie en chaque degr~ pair (strictement positit), qui est facteur direct dans I~I.(Y; Z). Soit u une application de Y dans K(I,.) , repr&entant, une r6traction fi.(Y;Z) ~ L. (observer qu'un homomorphisme de degr6 z6ro de I~.(Y;Z) dans L. s'identifie ~ une suite de classes de cohomologie de Y /L coefficients dans L~, n parcourant N) alors l'homomorphisme u. : H.(Y; Z) --~ H.(K(L.);Z) a les propri&& requises. [] Scholie 6.3. -- Soit Y un espace virifiant les hypoth2ses de la proposition 6.1. Alors il existe un Q-espace vectorM N-gradu~ E., nul en degrd impair et en degrd zdro, de dimension finie en chaque degrd pair (strictement positi39 , et un diagramme commutatif YQ ' YA 1 l K(E.) , K(A | dam lequel les flAches verticales sont des dquivalences d'homotopie (les flAches horigontales dtant les .~ches dvidentes). Ddmonstration. Le diagramme ci-dessus est un avatar du diagramme YQ ~ YA uQ l 1~,, (K(L.))Q , (K(L.))A. [] Lemme 6.4. -- Soit Y un espace dvifiant les hypothOses de la proposition 6.1; .wit X un espace dont l'homologie entiive est nulle en degrd impair et est en chaque degrd pair un Z-module libre. Alors le diagramme d'enxembles IX, Y] , IX, Yg] 1 1 IX, YQ] , [X, YA] est cartisien. 156 FRANt]OIS-XAVIER DEHON ET JEAN" I,ANNES Ddmonstration. -- Elle d6coule des deux points suivants : -- Le ~ carr6 arithm6tique ,~ Y , Y~ t 1 YQ ' YA est homotopiqucment cart6sien ([BK], VI, 8.1). - D'apr6s le scholie 6.3, chaque composante connexe dc l'espace fonctionnel homO(, YA) ale type d'homotopie d'un produit d'espaces d'Eilenberg-Mac Lane K(A, 2n), avec n/> 1, et est donc en particulier simplement conncxe. [] Lemme 6.5. -- Soit Y un espace pointd. Si : - Y est simplement connexe, -- H,,(Y; Z) est nul pour n impair et un Z-module libre de dimension finie pour n pair, alors l'espace RMt:Y virile aussi ces deux propriitds et en outre 9 --H*(R.xIuY; O~ est une a&bre de po~n6mes. Ddmonstration. --Pour la premi6re partie du lemme, appliquer la proposition 5.4. Pour la seconde, observer par exemple que RMuY est un espace de facets. [] Ix, rnme 6.6. - - Soit Y un espace pointi virifiant les hypothOses de la proposition 6.1. Alors pour tout espace X : (a) le diagramme d'ensembles [X, Yo] --+ IX, (RMt:Y)Q] = [X, (R,~uRMt:Y)Q] est dgalisateur ; (b) l'application IX, YA] --+ [X, (Rx,tuY)A] est injective. Ddmomtration du point (a). -- Soit ,~Q la cat6gorie des Q-coalgebres gradu6es cocommutatives. L'application naturelle IX, Y0_] --+ Hom.~',a(H*o(; Q.), H.(Y; Q.)) est une bijection (voir Scholie 6.3) et il en est de meme si l'on remplace Y par RMt:Y et RMt:RMuY (voir Lemme 6.5). On conclut en observant que la proposition 5.2 et la variante ad hoc du lemme 4.3 impliquent que le diagramme H.(Y; O~ --~ H.(RMt:Y; O~ = H.(R~n:RM~;Y; O~ est co6galisateur dans la cat6gorie ,'~TdQ. [] SUR LES ESPACES FON(YI'IONNEI.S I)ONT LA SOURCI" EST UN CLASSIFL%NT 157 Ddmonstration du point (b). -- On consid6re /t nouveau l'application u : Y --~ K(L,) du lemme 6.2. Puisque l'homomorphisme H*(R,xit-Y;Z)--~ H*(Y;Z) est surjectif (c'est une cons6quence de la proposition 5.1), il existe une application v : Rx~I:Y --~ K(L,) qui fait commuter (/t homotopie pr6s) le diagramme suivant Y ~ RMuY K(L,) En appliquant le foncteur (--)A /tce diagramme, on constate que YA est r~tracte (/~ homotopie pr6s) de (RMuY)A. [] Remarque. --- I1 est probable que la version ~ ad61ique ,, du point (a) est satisfaite; cependant le point (b) suffit pour d6montrer la proposition 6.1. Fin de la d&nonstmtion de la proposition 6.1. -- On pose Y-[ = Y, y0 = RMuY et YJ = RMt:RMt:Y. D'apr~s les lemmes 6.4 et 6.5 les dia~amrnes d'ensembles [BT, Yi] , [BT, Yz] I I $ $ [BT, Y~Z] ~ [BT, Y~] sont cartdsiens pour i = -1,0, I. D'apr~s la proposition 5.5 et le point (a) du lemme 6.6 les diagrammes d'ensembles [ST, --* [BT, yO] ~ [BT, yl] et [BT, Y~_'] ~ [BT, Y~_] ~ [BT, Y~t] sont ~galisateurs et d'apr~s le point (b) du lemme 6.6 la fl6che de gauche du diagramme d'ensembles [BT, YA 1] ~ IBT, yO] ~ [BT, Yk] est injective. La proposition 6.1 r6sulte donc d'une r162 interversion des limites >>. [] Comme nous l'avons d6j~ dit, on ach6.ve la ddmonstration du th6or6me 0.3 en identifiant l'6galisateur de la double fl6che [BT, RMuY] m [BT, RMt:RMcY]. Mais 158 FRANq'OIS-XAVIER DEtlON ET JE,%\ LANNES avant d'effectuer cette identification, on montre comment la proposition 6.1 implique immddiatement le thdorc?me 0.4. Ddmonstration du thdorbne 0.4. -- Le cas off Y est vide est trivial; on peut donc supposer que Y est point& On considhre le diagramme commutatif [BT, Y] , [BT, RMuY] 1 l [BT, Yoj ~ [BT, (RMuY)o]. I1 faut montrer que la flb.che verticale de gauche est injective. Puisque la fl6che horizontale du haut est injective il suffit de montrer que la fib.the verticale de droite l'est aussi. Ceci r6suhe de la proposition 5.4. [] Remarque. -- On observera que la d6monstration ci-dessus fournit un exemple d'application de la proposition 4.5. On revient maintenant ~ l'identification de l'dgalisateur de la double fl+che [BT, RMt:Y] =~ [BT, RMuRMI:Y]. Nous commen~ons par d6crire cet 6galisateur en termes de MU-homologie; pour cela nous faisons r~f4rence /l [BCM]. Soient X et Y deux espaces, avec Y point6.; nous notons F(X, Y) l'6galisateur de la double fl~che IX, RM~jY] ~ IX, RMuRMcY]. Nous notons ~MU la cat6gorie des MU.MU-coalg6bres (counitaires) instables, version , non point6e ,, de la cat6gorie introduite par Bendersky, Curtis et Miller (la MU-homologie d'un espace dont l'homologie enti6re est en chaque degr6 un Z-module libre est l'exemple type d'un objet de ~.-~g'~ MU). Pr4cisons un peu. Notons NMt: la cat6gorie dont les objets sont les MU.-modules N-gradu6s libres et dont les morphismes sont les applications MU.-lindaires de degr6 zdro. La cat6gorie ~-~gSMU est la cat6gorie des G-coalg6bres de N'MU pour une certaine , ~) iir comonade G N .xlc ---' -) MU v6rifiant G(MU.Y) = MU.(RML;Y ). Compte tenu de la d6finition de ,~TrYMu, l'6nonc6 suivant est presque tauto- logique : Proposition 6.7. - Soient X et Y deux espaces, avec Y pointi, dont l'homologie entiire est en chaque degrd un Z-module libre. Alors l'ensemble F~, Y) est naturellement en boection avec l'ensemble Hom.~Mv(MU.X, MU.Y). SUR I,I';S ESPACES FONCTIONNEIA DONT I.A SOURCE EST UN CI.ASSIFIANT 159 Ddmonstration. -- L'ensemble [X, Rx, tjY] est naturellement en bijection avec l'ensemble Hom~s~I:(MU.X, MU.Y ) (voir par exemple [Adl], Part III, Propo- sition 13.5), donc avec l'ensemble HomgMv,C~)(MU.X , G(MU.Y)) et on vdrifie que MU,Y est 6galisateur dans ~ .~v(G) du diagramme G(MU,Y) ~ G(MU,RM~-Y). [] La proposition 6.1 peut donc ~tre reformul6e de la fa~on suivante (observer que l'espace Y n'a plus besoin d'etre point6!) " Proposition 6.8. -- Soit T un tore. Soit Y un espace simplement connexe vdrifiant : -- H,(Y; Z) est nul pour n impair et un Z-module libre de dimension finie pour n pair; -- H*(Y; Q) est une algObre de p@n6mes. Alors l' application naturelle [BT, Y] ~ Hom.~t:(MU.BT, MU.Y) est bijective. Nous allons montrer ci-apr+s que l'ensemble Hom,,7,;~Mu(MU.BT , MU.Y) est naturellement en bijection avec l'ensemble Hom~,(K(Y), K(BT)), ,~' d6signant la cat6gorie des ~,-anneaux. Soient /t nouveau X et Y deux espaces dont l'homolo~e enti6re est en chaque degr6, un Z-module libre. I1 ressort de [BCM] (Remarque 7.3) que Hom~,Mt,(MU.X, MU.Y) est le sous-ensemble de Hom~Mt:(MU.X, MU.Y) formd des morphismes prdservant MU- op6rations, coproduit et counit6. Nous notons ,/~IMt: la cat6gorie des MU.MU-comodules (stables). Le Z- module Horn//Mt.(MU.X, MU.Y) est donc dans le cas prfisent le sous-module de Hom~Mt:(MU.X, MU.Y) form~ des morphismes pr6servant les MU-op6rations. Soyons plus concret (on ne peut pas dire que l'introduction d'une termi- nologie et d'une notation ait fait avancer notre comprdhension de l'ensemble Hom:~Mu(MU,X , MU,Y)!). Soit tMU : H,(-;O~ --~ Q| MU,(-) la transforma- tion natureUe injective avatar de la transformation naturelle Q| x,(S A (-)+) --~ Q@z ~.(MU A (-)~) induite par l'unit6 de MU; alors Hom, t ~ .~It:(MU.X, MU,Y) est le sous-module de Hom~Mt.(MU.X, MU.Y) form6 des morphismes a qui v6rifient : (lMt:) le morphisme Q| a: Q| MU.X --+ Q| MU.Y pr6serve l'image de txn:; en clair (Q | 0t) (tMI:(H,(X; Q))) c IMu(H,(Y; Q) ), 160 FRANCOIS-XAVIER DEHON ET JEAN LANNES et Hom.~Mu(MU.X, MU.Y) est le sous-ensemble de Hom tg .~u(MU.X, MU.Y) form6 des morphismes ~ qui v6rifient en outre (2.~iu) le morphisme H.(X; Q) ~ H.(Y; Q), induit par la restriction de Q| pr6serve le coproduit et la counit6. Nous expliquons maintenant comment le th6or6me de Stong-Hattori (voir ci- apr+s) permet de d6crire Hom.~;MuCMU.X , MU.Y) en termes de K-homologie, K d6signant le spectre de la K-th6orie complexe. Nous notons ~/~K la cat6gorie des K.K-comodules (stables). L'application MU ~ K, fournie par la classe de Thom, en K-th6orie, de MU, induit un foncteur ~/~ MU ~ ./Eg~ K , M ~ K. | M; on consid6re la transformation naturelle VM,.~ : Homer Mu(M, N) ~ Homg.~ K(K. | M, K. | N). Soit f: X ---+ Y une application de spectres; on observera que d'apr6s Conner et Floyd [CF] le morphisme VMU X..UU y(MUJ) s'identifie ~i KoC(on notera 6galement que cette observation n'est pas tr6s subtile quand X et Y sont des ,~ espaces ,, dont l'homologie enti6re est en chaque degr6 un Z-module libre). Proposition 6.9. -- Soient Met N deux MU.MU-comodules; on suppose que Met N sont libres comme MU.-modules graduis et que M est borrd infin'eurement, c'est-~-dire qu'il existe un entier no tel que M est nul en degri strictement inf&ieur d no. Alors l'application naturelle VM,N : Homj/~ M~(M, N) ---+ Hom../g K(K, | M, K. | N) est un isomorphisme. Ddmonstration. - Le thdor+me de Stong-Hattori, reformul6 par J. E Adams (voir [Adl], Part II, Theorem 14.1, ou [Sw], Theorem 20.34), affirme que VM,N est un isomorphisme pour M -- ZnMU. et N = MU.MU. Le cas gb.n6ral en r6sulte par des arguments standards que l'on d6veloppe ci-apr~s. Soient M un MU.MU-comodule et (N~.) une famille de tels objets. Si M est de type fini comme MU.-module gradu6 et si v.~, Nx est un isomorphisme pour tout k alors v x~, (~-,-~ est aussi un isomorphisme. En particulier VM,.X est un isomorphisme si M est une suspension de MU. et si Nest ~ colibre ,,, c'est-/i-dire isomorphe /~ une somme directe de suspensions de MU.MU. Soit Nun MU.MU-comodule qui est libre comme MU.-module gradu6. Alors il existe une suite exacte 0 ~ N n N o ~ N ~ dans .///~Mu, avec N o et N ~ colibres, qui est ~ scind6e ~ comme suite exacte de MU.-modules graduO.s, c'est-/t-dire qu'il existe des applications MU.-lindaires de degr6 z6ro s o : N O --~ N et s 1 : N 1 --* N O telles que l'on a s o o 1"1 = 1N et 11 o s o + s I o d = l n0. Ce ,, scindage ,, fait que la suite SUR I,ES ESPACES FONCTIONNELS I)ONT IA SOURCE EST UN CI2kSSIFIANT 161 0 --~ K. @MU. N ~ K. | N O ---* K. | N' est encore exacte dans ,//gK. On en deduit qu'il suffit de verifier la proposition 6.9 dans le cas off Nest colibre. Soit M un MU.MU-comodule qui est fibre comme MU.-module gradue et qui est nul en degr6 strictement inferieur/~ un certain entier no. Alors il existe unc filtration croissante de M par des sous-MU.MU-comodules SknM , n E Z, (qu'il faut voir comme une filtration << squelettale ,) telle que - SknM est nul pour n < n0, - SknM est egal /~ Men degre inferieur ou egal fi n, -- pour tout n, le quotient SknM/Sk iM est isomorphe /~ une somme directe de copies de Y,"MU.. Soit maintenant Nun MU.MU-comodule colibre. On montre que vsk,,X,~, Nest un isomorphisme par recurrence surn en utilisant le fait que l'on a Ext.~ Mu(L, N) = 0 si Lest libre comme MU.-module gradua et on en deduit que vM, x est un isomorphisme par passage /~ la lhnite en n. [] Remarque. --Le theoreme 8.2 de [Nov] est essentiellement equivalent au cas N = MU.MU de la proposition 6.9 ci-dessus; notre methode de demonstration est la marne que celle employee par Novikov. Scholie 6.10. -- Soient X et Y deux espaces dont l'homologie enti~re est en chaque degrd un Z-module libre. Alors l' application naturelle Homjg Mc(MU.X, MU.Y) --~ Hom,r K(K.X, K.Y) est un isomorphisme. Soit t~ : H.(--; Q) --~ Q| la transformation naturelle injective induite par l'unitd de K. Comme prdcedemment, Hom cz K(K.X, K.Y) est le Z-module form6 des applications K.-lineaires de degra zero 6 : K.X --~ K.Y qui verifient (1K) l'application Q@z [3 : Q| K.X --~ Q| K.Y preserve l'image de tK, en clair (Q@z [~)(tK(H.(X; O~)) C tK(H.(Y; Q)). Puisque le diagramme de transformations naturelles Q | MU.(-) H.(-; Q) 1 q | K.(-) est commutatif, on constate que Hom,a-dM~j(MU.X, MU.Y) s'identifie /~ l'ensemble des applications K.-lineaires de degr6 zero [t : K.X ---+ K.Y qui en plus de (1K) vfirifient 162 FRANqlOIS-XAVIER DEHON ET .JEAN I.~u\'NES (2K) l'application H,(X; Q) ~ H,(Y; Q) induite par la restriction de Q| 13 pr4serve le coproduit et la counitd. C'est maintenant le moment opportun pour rappeler que l'injection tK induit un isomorphisme naturel de Q| K,-coalg4bres gradu4es (Q| K,) | H,(-; OJ --, O_.| K,(-) donc un isomorphisme de Q-coalgebres @,,H2,,(-; Q) --, Q@z K0(-) et en particulier une graduation de Q| K0(-). Supposons clue l'homologie enti~':re de X et Y est nulle en degrd impair; alors Hom.~Iu(MU,X , MU,Y) s'identifie encore /~ l'ensemble des applications Z-lin~aires 7 : K0X ~ K0Y qui v4rifient (1K0) l'application Q| ~t pr4serve la graduation; (2Ko) l'application "/ pr4serve le coproduit et la counitd. On considhre enfin la K-th~orie complexe des espaces K(-) = K~ On a pour tout espace X dont l'homologie enti4re est en chaque degr6 un Z-module libre un isomorphisme canonique K(X) ~ Homz(I~X , Z). Si l'on suppose en outre que l'homologie enti4re de X est de dimension finie en chaque degrG alors on a aussi l'isomorphisme K0(X)~ Homz(K~qK), Z) (l'application canonique d'un Z-module libre de base d4nombrable dans son bidual est un isomorphisme! : voir par exemple [Bo], chap. VII, w exc. 9). Les opO.rations ~ d'Adams ddfinies sur K(X) sont en particulier duales d'op4rations ~k d4finies sur K0(X) et on v4rifie facilement que la condition (1K0) est dquivalente ~t la condition (1~:0) l'application ~/commute aux op4rations qtk. On voit done, au bout du compte, que Hom~au(MU,X, MU.Y) s'identifie /~ l'ensemble des applications Z-linb.aires de K(Y) dans K(X) qui (1K0) commutent aux opdrations d'Adams, (2K0) pr6servent le produit et l'unitb.. La structure de s de la K-thdorie des espaces permet d'unifier ces deux conditions (on utilise le fait que K('X) est sans torsion) : Proposition 6.11. -- S0/ent X et Y deux espaces dont l'homologie entigore est nulle en degri impa# et est un Z-module libre de dimension finie en chaque degri pair. Alors l'application naturelle Hom.~ xw(MU.X , MU.Y) --+ Hom Z (K00, K(X) ), dlsignant la cate'gorie des )~-anneaux, est bijective. Les propositions 6.8 et 6.11 impliquent bien le thdorb.me 0.3. SUR LES ESPACES FONCTIONNELS DONT LA SOURCE EST UN CLASSIFIANT 163 EXEMPLES D'APPLICATION DES Tttt";ORI~;MES 0.3 ET 0.4 Voici une premiere illustration du th6or6me 0.4. On prend T = S! et Y = ~S 3. Dans ce cas les deux Q-alg6bres gradudes H*(Y;Q) et H*(BT;Q) sont isomorphes; cependant le th6or6me 0.4 montre que toute application de BS 1 dans Y~S 3 est homotopiquement triviale, car tout homomorphisme de Z-alg6bres gradu6es H*(~S3;Z) ~ H'(BS1;Z) est trivial. Nous donnons maintenant un exemple un peu plus substantiel d'application du thdor6me 0.4. Soient T un tore et Gun groupe de Lie compact. Notbohm montre dans [Not] que l'application naturelle Rep(T, G) --~ [BT, BG] est une bijection. On rappeUe que la notation Rep(T, G) d~signe l'ensemble des repr6sentations de T dans G, c'est-/l-dire le quotient de l'ensemble Horn(T, G) des homomorphismes de T dans G par l'action par conjugaison de G. Nous allons expliquer comment on peut retrouver ce r6sultat, dans le cas off G est connexe eta une homologie enti~re sans torsion, comme consdquence du thdor~me 0.4 (dont les hypotheses sont alors v~.rifi6es par BG) et des r6sultats de [AM]. On note r : Rep(T, G) --~ [-BT, BG] l'application naturelle 6voqu~e ci-dessus; on note h : [BT, BG] --~ Hom.~Q(H*(BG;Q), H*(BT, Q)) l'application f~--~ H*(f;Q), 9 ~ Q d6signant la categoric des Q-alg~bres gradudes commutatives. Lc th6or~me 1.1 de [AM] nous dit que les applications h et h o r ont m~me image. Le thdor~me 1.7 de [AM] entra~ne que l'application h o r est injective. En effet, on salt que l'application canonique Hom(T, TG) --~ Rep(T, G), Tc d~signant ~ le ~ tore maximal de G, est surjective et que l'application induite WG\Hom(T, TG) --~ Rep(T, G) est bijective, WG\Hom(T, TG) d~signant le quotient de l'action 6vidente du groupe de Weyl Wc; de G sur l'ensemble Hom(T, TG). Comme le th6or~me 0.4 nous dit que hest injective, ce qui pr~cbde entra~ne que rest bien bijective. Nous nous proposons maintenant d'illustrer le th6or6.me 0.3. On consid6re /t nouveau l'ensemble [BT, BG], G dtant un groupe de Lie compact connexe dont l'homologie enti~re est sans torsion. On note k: [BT, BG] --~ Hom.~(K(BG), K(BT)) l'application naturelle. Pour se convaincre de ce que l'application r: Rep(T, G) [BT, BG] est une bijection, il suffit, d'apr~s le th6or~me 0.3, de vdrifier que l'application compos6e k o r en est une. I1 est possible de montrer que k o rest une bijection, en fait pour tout groupe de Lie compact connexe G, /t l'aide des r6f6rences [AM], [Wilk] et [NS]. Nous nous 164 FRAN(~OIS-KAVIER DEHON ET .JEAN IdkNNES limitons ci-dessous au cas G = U(n) et nous expliquons comment l'un des principaux r6sultats de [Ad2] permet alors de montrer que k o rest une bijection. On note R(G) l'anneau des reprdsentations unitaires (virtuellcs) d'un groupe de Lie compact G et ~G " R(G) --~ K(BG) l'homomorphisme de X-anneaux canonique. On rappelle que M. E Atiyah et G. B. Segal ont montrd que c~G induit un isomorphisme de )~-anneaux R(G) ~ K(BG), R(G) d6signant le compl6t6 de R(G) par rapport aux puissances de l'id6al d'augmentation [AS]. Le lemme ci-dessous est un sous-produit du th6or6me d'Atiyah-Segal 9 I~rnme 6.12. -- Soit Gun groupe de Lie compact. Alors l'application 9 : Hom,~(K(BG), K(BT) --~ Hom~ (R(G), K(BT)), induite par ac., est une b~ection. Ddmonstration. ---qbut homomorphisme de ~.-anneaux de R(G) dans K(BT) pr6serve automatiquement l'augmentation parce l'ensemble HomN(R(G), Z) ne contient qu'un 616ment. Cette observation et le thdor6me d'Atiyah-Segal permettent d'exhiber un inverse fi 0~J. [] On prend maintenant G = U(n). La description classique de R(U(n)) (voir par exemple [Ad3], Theorem 7.3) peut ~tre pr6.sent~e de la fa~on suivante : Soient t l'616ment de R(U(n)) correspondant /t l'identit6 de U(n) et L un ~.-anncau arbitraire, alors l'application f ~ f (t) induit une bijection de l'ensemble Hom~(R(U(n)), L) sur le sous-ensemble de L, disons S,~(L), form6 des 616ments x v6rifiant -- ~.kx est nul pour k > n, - - )~"x est inversible. On note et. cette bijection. Or le thdor+me 1.14 de lAd3] implique que l'application canonique, disons c, de Rep(T, U(n)) dans Sn(K(BT)), induite par ar, est surjective; comme ar est injective il en est de mf~me pour c. On se convainc alors de ce que k o rest bijective en v6rifiant que c coincide avec la compos6e eK(~'i) o o~t:~n~ ~ o k o r. COMMENTAIRES Notbohm et Smith montrent dans INS] que l'application [(BT)'p, (BG)'p] ---+ Hom/(K(BG;Zp), K(BT;Zp)) est bijcctive pour tout groupe de Lie compact connexe G. Nous aurions pu 6noncer une version ,p-compl6t6e ,, de la proposition 6.8 (voir par exemple [De, CoroUaire 2.3.3]) et du th4orbme de Stong-Hattori et ainsi retrouver leur r4sultat lorsque BG a une homologie enti+re sans torsion. bUR LES ESPA(IES FONCTIONNEI,S I)ONT LA SOURCE EST UN CI~kSSIFIANT 165 Soit G un groupe de Lie compact. I,'isomorphisme Rep(T, G) --+ ttom~ (K(BG), K(BT)) avoqua dans l'exemple d'application du th6oreme 0.3 (l'hypothase, -G connexe 7, que nous avions alors faite est probablement inutile) est /t comparer avec l'isomorphisme Rep(V, G) ~ Hom.~(H*BG, H*BV), V d6signant un p-groupe ab61ien 61ementaire, que l'on obtient en utilisant la ,'~5~ - injectivite de la cohomologie modulo p de BV [Lal] [La2]. Le rasultat de Wilkerson concernant K(BT; Zp) [Wilk] utilisa dans [NS] est le pendant de cette injectivit6. Ceci justifie un peu la conjecture esquiss6e /t la fin de l'introduction. 7. Remplacement de l'hypothtse ~ cohomologie modulo p nulle en degr~ impair ~ par l'hypoth~se ~ cohomologle enti~re p-adique sans torsion )~ L'objet de ce paragraphe est de montrer que l'on peut remplacer, dans les 6nonces des paragraphes 3, 4 et 5, l'hypoth6se - cohomologie modulo p nulle en degrd impair ,, par l'hypoth6se ~ cohomologie enti+re p-adique sans torsion ,,. Nous commenw par expliciter ce qu'est l'analogue de cette condition dans le contexte des pro-espaces. I~ NOTION DE PRO-ESPACE SANS p-TORSION Proposition-D(finition 7.1. -- Soit Y un espace. Les conditions suivantes sont iquivaloztes : (i) Pour tout entier v >1 2, l'homomorphisme H*(Y; Zip ~) ---+ H*(Y; Z/p), induit par la riduction modulo p, est surjectif (ii) La cohomologie H*(Y; Zp) est sans torsion. (iii) La p-torsion de l'homologie H,(Y; Z) est p-divisible. Si ces conditions sont virifiies nous dirons que l'espace Y est sans p-torsion. DOqnition 7.2. -- Soit Y(-) un pro-espace. Nous dirons que Y(-) est sans p-torsion si la condition suivante est vgvi~e 9 Pour tout entier v >1 2, l'homomorphisme HI(Y(-); Zip ~ --* HI(Y(-); Z/p), induit par la riduction modulo p, est surjectif Soit Y un espace; le lecteur observera que nous avons fait en sorte que les deux conditions suivantes soient ~quivalentes : - - Y est sans p-torsion; --son pro-p-compldt6 ~'(-) est sans p-torsion. 166 FRAN(~X)IS-XAVIt'R DEHON ET JEAN I2kNNES Les deux propositions suivantes, qui nous seront utiles par la suite, sont consequences immOdiates de la ddfinition 7.2 9 Proposition 7.3. -- Soit f "Y(-) --* Y'(-) un morphisme de pro-espaces tel que l'application * ! , f* "Hc(Y (-),Z/p) --~ H~(Y(-);Z/p) est surjective. Si le pro-espace Y'(-) est sans p-torsion alors il en est de mhne du pro-espace Y(-). Proposition 7.4. -- Soient Y(-) et Y'(-) deux pro-espaces; on suppose que le Z/p-espace vectoriel gradui H*(Y(i); Z/p) est de dimension finie en chaque degri pour tout objet i de ,Ty(_?. Si les pro-espaces Y(-) et Y'(-) sont sans p-torsion alors il en est de mhne du pro-espace Y(-) x Y'(-). Nous continuons A d~gager les 6noncds (7.3 et 7.4 ci-dessus, 7.5 A 7.12 ci- dessous), ad hoc pour la plupart, qui nous permettront d'dtendre aux (pro@spaces sans p-torsion les rdsultats des paragraphes 3, 4 et 5. ESPACES SANS p-TORSION ET ESPACES DONT LA COHOMOI.OGII" MODULO p EST NULLI'; EN I)EGR]~; IMPAIR La proposition suivante jouera un r61e important : Proposition 7.5. - Soit Y un espace sans p-torsion. Alors il existe un espace W dont la cohomologie modulo p est nulle en degrd impair et une application f 9 Y ~ W tels que l'application f* 9 H* ~N; Z/p) ---, H* (Y; Z/p) est surjective en degri pair. D&nonstration. -- Le cas gdndral sera trait6 en appendice. Nous nous limitons ici au cas particulier o/1 l'on suppose que l'homologie enti6re de Y est en chaque degrd un Z-module libre. I,a proposition 7.5 est alors un corollaire de la proposition 5.4 (dont on utilise les notations ci-apr6s) appliqu~e /~ l'espace pointd Y+ (cette notation d6signe la rfiunion disjointe de Yet d'un point base), et des r6sultats de Wilson 6xoqu6s lors de sa d6monstration 9 il suffit de prendre pour W l'espace I-I MUll ~'J n pair fir et pour f l'application compos6e de l'application naturelle Y --+ RM~.Y = R~<.(Y+), de l'6quivalence d'homotopie Rvv(Y+) ~- 1-I 1VIU~ "'~ du point (c) de 5.4, et de la projection hEN ncN n pair Corollaire 7.6. -- Soit Y un espace sans p-torszon. Alors il existe deux espaces Wet W' dont la cohomologie modulo p est nuUe en degri impa# et deux applications f : Y ~ W et f' : EY. --+ W' tels que l'application induite par f et f', H'(ZW+;Z/p) | H*(W';Z/p) --+ H*(EY+;Z/p), est subjective. (La notation ZY+ d6.signe la suspension de l'espace point~ Y+.) SUR I,ES t'SPACES t'ONCTIONNEI.S DONT LA SOURCE EST UN CIZA, SSIFIANT 167 POINTS FIXES HOMOTOPIO.UI';S I)'UNE ACTION D'UN (;ROUPE CYCI.IOUE [)'ORI)RE p ET SUSPENSION Soit ~ un groupe cyclique d'ordre p. Le fait que le foncteur Fix~ (version lindaire) commute au foncteur suspension (algebrique; c'est une consequence du corollaire 4.6.2.2 de [La2]) entraine, grosso modo, que le foncteur , points fixes homotopiques ,, de (y commute au foncteur suspension (topologique). La proposition 7.7 ci-dessous (et son corollaire 7.8) donne un sens /lce slogan. Avant d'enoncer cette proposition, pr&isons quelques points (c'est le cas de le dire !). Un pro-espace est point6 si le tbncteur correspondant se factorise /t travers la categorie des espaces pointds. Un pro-~-espace est point~ si l'action de c sur le pro- espace sous-jacent preserve le point base. La d~finition des morphismes de pro-espaces point,s et de pro-c-espaces point, s n'est pas plus myst~rieuse. La suspension ZX(-) d'un pro-espace point~ ou d'un pro-~-espace point6 X(-) est le foncteur i ~-+ EX(i). Soit X(-) un pro-~-espace pointe; on observera que l'on dispose d'un morphisme naturel evident de pro-espaces pointes ZCX(-) h~ ---+ (XX(--))h~ Proposition 7.7. -- Soient X(-) et X'(-) deux pro-~-espaces pointds vdrifiant la propriiti (~1) (introduite au paragraphe 2). Soit f : ZX(-) ~ X'(-) un morphisme de pro-~-espaces pointds; soit g : Z(X(-) h*) ---+ X'(-) h~ /e morphisme de pro-espaces pomtis composi du morphisme naturel dvident E(X(-) h~) -+ (ZX(-))h~ et du morphisme (ZX(-))he __+ X,(_)ha induit parr Si l' application U,~ (X'(-); Z/p) --, H*(ZX(-); Z/p) induite par f est un isomorphisme alors il en est de rrdme pour l'application induite par g. Corollaire 7.8. -- Soit X un espace pointi muni d'une action de c priservant le point base. Alors le morphisme naturel de pro-espaces pointis x(R(-) h~ --, induit un isomorphisme Z/p) Z/p). La proposition 7.7 conduit aussi, par une recurrencc semblable /t celle de la ddmonstration du th~.oreme 3.1, au corollaire suivant (on observera qu'il n'est pas ici ndcessaire de supposer que le p-groupe fini x est abelien) : 168 FRANCOIS-XAVIER DEHON ET JEAN I~kNNES Corollaire 7.9. -- Soit nun p-groupe fini; soit Y un espace pointd. Alors le morphisme naturel de pro-espaces pointis Zhom(Bn, ~'(-)) -, hom(B~, Z"Y(-)) induit un isomorphisme H:0aom(B~ , ZY(-)); Z/p) ~- H:(Zhom(Brc, q/(-)); Z/p). SurI'E SPECTRALE DE SERRE DE LA CONSTRUCTION DE BOREL I)'UNE ACTION D'UN GROUPE ('YCLIO.UE D'ORDRE p ET SUSPENSION Soit X(-) un pro-c~-espace. Pour abr6ger, nous d6~signons dans ce dernier paragraphc par SSS de X(-) la suite spectrale colimitc des suites spectrales de Serre, pour la cohomologie /t coefficients dans Z/p, des fibrations X(i) ~ X(i)h~ -+ B~; nous dirons simplement que cette SSS (;st triviale si elle ddg6~nO.rc au terme E2. Proposition 7.10. -- Soit X(-) un pro-r pointi. Alors les deux conditions suivantes sont iquivalentes : (i) La SSS de X(-) est triviale. (ii) La SSS de ZX(-) est triviale. Voici enfin les deux derniers ~nonc~s que nous invoquerons : Proposition 7.11. Soit f : X(-) --+ X'(-) un morphisme de pro-~-espaces tel que l'application f* : H~(X'(-); Z/p) --+ It2(X(-); Z/p) est surjective. Si la SSS de X'(-) est triviale alors il en est de mhne de la SSS de X(-) et l'application H~.(X'(--)h,~; Z/p) --+ H~.(X(-)ha; Z/p), induite parr est encore surjective. Proposition 7.12. -- Soient f : X(-) et X'(-) deux pro-~-espaces. Si les SSS de X'(-) el X'(-) sont triviales alors il en est de mhne de la SSS de X(-) x X'(-). Nous sommes maintenant en mesure de d~montrer les variantes <, sans p-torsion ,, des ~noncds des paragraphes 3, 4 et 5. Thlorbne 7.13. (variante du th~or6me 3.10). -- Soit C un groupe de Lie compact commutatif," soit Y un espace. Si l'espace Y est sans p-torsion alors il en est de m~me du pro-espace horn(Be, Y(-)). Compte tenu du lemme 3.11, ce theor6me decoule du : Th&rhne 7.14. (variante du thdor6me 3.1). - Soit rc un p-gmupe abilien fini; soit Y un espace. Si l'espace Y est sans p-torsion alors il en est de mgrne du pro-espace hom(Brc, ~{(-) ). SUR LES ESPACES FONCTIONNEI~S DONT LA SOUR(2E EST I_;N CL~,SSIF1ANT 169 Rappelons que le cas off rt est cyclique d'ordre p de ce thdorame est dfi /l Kuhn et Winstead [KW]; notre stratEgie pour dOmontrer le th~orEme 7.14 est d'ailleurs assez proche de celle qu'ils utilisent dans ce cas particulier. Ddmonstration du thiorkme 7.14. --On reprend les notations du corollaire 7.6. On A A note P(-) le pro-espace ZW+(-) x W'(-) et g" ZY+(-) ~ P(-) le morphisme de pro- espaces induit parfetf'; on observe que le corollaire 7.6 nous dit clue l'application g* 9 H~.(P(-); Z/p) ~ Hc(ZY+(-); Z/p) est surjective. La d~monstration, toujours semblable /t celle de 3.1, consiste essentiellement en une r~currence sur le cardinal de x. Les Etapes sont dO.taill6es ci-dessous. Soit ~r un sous-groupe d'indice p de x; on note c le quotient x/1r (1) On suppose que l'application H*(hom(B~, V(-)); Z/p) ~ H20aom(B~, ZY+(-)); Z/p) induite par g est surjective. (2) D'aprEs 1.._a proposition 2.1 eta le th6orEme 3.1, les SSS des pro-o-espaces horn(Ere/It, W(-)) et hom(Ex/~r W'(-)) sont triviales. (3) U'apr+s 7.10 la SSS de hom(Eg/~;, ZW+(-)) est triviale. (4) D'aprEs 7.12 la SSS de hom(Ex/~r P(-)) est triviale. (5) D'apr+s (1) et 7.11 la SSS de hom(E~/~, ZY4 (-)) est triviale et l'application H,*.(hom(Ex/~, e(-))h,,; Z/p) ~ H,*.(hom(Ex/~c, ZY+(-))ho; Z/p) induite par g est surjective. (6) D'apr+s le thEor6me 1.2.4 et l'exactitude /t droite du foncteur Fix o (version lin0.aire) l'application H,~(hom(B1t, P(-)); Z/p) --4 Hc0aom(Bx , ZY+(-)); Z/p) induite par g est surjective. L'implication (1) ----> (6) entraine par r6currence que (6) est v~.rifiEe pour tout p-groupe abdlien It. A A (7) D'aprb.s le thEorEme 3.1, hom(Bx, W(-)) et hom(Bx, W'(-)) sont sans p-torsion. (8) D'aprEs 7.9, hom(Brt, ZW~_(-)) est sans p-torsion. (9) D'apr6s 7.4, horn(Bit, P(-)) est sans p-torsion. (10) D'apres 7.3 et (6), hom(Bg, EY+(-)) est sans p-torsion. (11) D'apr6s 7.9, hom(Bx, ~'(-)) est sans p-torsion, ce qui ach~ve la demonstration du th/~orEme 7.14. On a appris au cours de la ddmonstration pr~cedente que la SSS du pro-c~- espace hom(Ex/~:, s est triviale; on a donc, compte tenu de 7.10, le scholie suivant 9 FRAN(~OIS-XAVIER DEHON ET ,JEAN LANNFS Scholie 7.15. -- Soient rc un p-groupe abilien fini, ~ un sous-groupe d'indice p de rc et o le quotient de x par K; soit Y un espace sans p-torsion. Alors la SSS du pro-~-espace hom(Ex/~:, Y(-)) est triviale. Comme au paragraphe 4, ce scholie conduit /~ la proposition suivante 9 Proposition 7.16. (variante de la proposition 4.6). - Soil Cun groupe de Lie compact commutatif; soit Y ---* y0 ~ y1 un diagramme clans la catigorie des espaces sans p-torsion. Si le diagramme induit dans la cate'gorie des A-a~bres instables H*0~; Z/p) '-- H*~; Z/p) ~ H*(Y'; Z/p) est codgalisateur coaugmentd alors il en est de mhne pour le diagramme H;(hom(BC, ~'(-)); Z/p) ,--- H;(hom(BC, y'6(_)); Z/p) H c (hom(BC, yl (_)); Z/p). En particulier le diagramme (induit dans la catdgorie des ensembles ou des ensembles profins [BC, ~'] ---, [BC, Y'~] m [BC, y'-i] est igali~ateur. Toujours comme au paragraphe 4, on en ddduit la " Proposition 7.17. (variante de la proposition 5.5). Soient Cun groupe de Lie compact commutatif et Y un espace pointi sans p-torsion. Alors le diagramme (d'ensembles ou d'ensembles profini~) [BC, Y;] ~ [BC, (R.~,uY)p] = [BC, (RMt'R.x,vY)'p] est igalisateur. Cel~, des que l'on dispose de la " Proposition 7.18. (variante de la proposition 5.3). Soit Y un espace pointi. Si l'espace Y est sans p-torsion alors il en est de mhne de l'espace R.~II:Y. Dans le cas particulier o/1 l'on suppose que l'homologie entiO.re de Y est en chaque degrd un Z-module libre, cette proposition est cons6quence du point (d) de la proposition 5.4; le cas g~n~ral sera traitd cn appendice. On d6montre maintenant le th6oreme 0.5 etla variante, dans l'esprit de ce para- graphe, du thdoreme 0.3. On suit fid~lement le paragraphe 6; la diff6rence essentielle est que les composantes connexes de l'espace fonctionnel hom(BT, YA) ne sont plus SUR LES ESPACI'S FONCTIONNEIs DONT LA SOURCE EST UN C12kSSIFIAXT 171 sirnplement connexes et qu'apparaissent donc des << ph6nom6nes fantomatiques ,, (voir les exemples /t la fin de ce paragraphe). On calcule ci-dessous les classes d'homotopie d'applications de BT dans Y << aux fant6mes pres ,,. Soit T un tore et Y un espace (fibrant). On note [[BT, Y] l'ensemble quotient de [BT, Y] obtenu en identifiant deux applications dont les restrictions /t tout sous-complexe fini de BT sont homotopes; [ [BT, Y] est donc aussi l'ensemble lim[SkBT, Y], SkBT ddsigaaant le n-squelette de BT, c'est-/~-dire le sous-ensemble ?/ simplicial de BT engendr6, par les simplexes non ddg6ndrds de dimension infdrieure ou ~gale g n. Proposition 7.19. -- Soit Tun tore et Y un espace pointi. On fair les hypoth&es suivantes : -- Y est simplement connexe; -- H,,(Y; Z) est un Z-module libre de dimension finie pour tout n; -- H*(Y; Q) est libre comme Q-al~bre gradu& (c'est-&dire produit tensoriel d'une algObre polynomiale en des g~grateurs de degri pair et d'une al~bre extg.rieure en des ginirateurs de degri impair). Alors le diagramme d'ensembles [[BT, Y] ---+ [BT, RMuY ] =::} DrI ", RMuRMuY] est igalisateur. DOnonstration. -- On invoque, comme pour la proposition 6.1, un argument de carr~ arithmdtique. Les lemmes 6.4 et 6.5 se transposent tels quels; par contre le lemme 6.3 doit ~tre modifi~ (voir le point (a) ci-apres). On utilise les points suivants : (a) Si Y est un espace simplement connexe dont les groupes d'homotopie sont de type fini alors le diagramme d'ensembles [ [BT, Y] , [ [BT, Y~] [ [BT, Y~ , [ [BT, YA] est un diagramme cartdsien dans lequel la fleche horizontale du haut est injective. (C'est une cons6quence du lemme 8.1 de [BK, ch. VI].) (b) L'application canonique [BT, Z] ---+ [[BT, Z] est une bijection dans les cas suivants : -- Z = Y~, pour tout espace Y; - Z = YQ et Z = YA, Y vdrifiant les hypotheses de la proposition; -- Z = RMuY et Z = RMuRMuY, Y etant un espace dont l'homolog-ie entiere est en chaque degr6 un Z-module libre de dimension finie. 172 FRAN(,:OIS-XAVIER DEltON ET .JEAN LANNES (On s'en convainc clans le deuxi~?me cas en observant que Fan a limlH~(Sk BT;A) = 0, ?/ pour A -- Q et A = A, et pour tout q; dans le troisi6me cas on observe que l'on a limlMUq(Sk, BT) = 0 pour tout q.) [] ?i La proposition 7.19 implique 9 Thdorbne 7.20. - Soit T un tore. Soit Y un espace simplement connexe virifiant : -- tt~(Y; Z) est un Z-module libre de dimension finie pour tout n; -- lt*(Y; Q) est libre comme Q-alg~bre gradude. Alors l'application naturelle [[BT, Y] --* Hom z,(K(Y), K(BT)) est biiective. L'application ci-dessus est encore injective si on supprime l'hypoth+se concernant H*(V; O~ 9 Thiorbne 7.21. (Th~or6me 0.5). -- Soit Tun tore. Soit Y un espace simplement connexe dont l'homologie enti#e est libre et de dimeT~sion finie en chaque degri. Alors l'application naturelle [ [BT, Y] ---, Hom.~Q(H*(Y; Q), H*(BT; Q)) est injective. Dimonstration. On considb, re le diagramme commutatif suivant [ [BT, Y] , Hom.~-q(H*(Y; Q), tt*(BT; Q)) l 1 II [BT, Yp] --, 1-I Hom.~%(II*(Y; O4), H*(BT; Q4)) P P 1 l II [BT, (R.vluY)'~] , I-IHom.~%(H*(Rxn;Y;Qr H*(BT;Qr P P dans lequel la notation ~z-g'; % ddsigne la catdgorie des Qc-alg+bres gradu6es. On conclut en observant que les applications verticales de gauche et l'application horizontale du bas sont injectives. [] SUR I,ES I:SPACES FONCTIONNELS DONT LA SOURCE EST UN CEASSIFIANT 173 EXEMPI,ES I)'APPLICATION DES TH~:ORgMES 7.20 El" 7.21 On peut illustrer ces th6or6mes en thisant respectivement Y = S 3 et Y = S'); on obtient dans les deux cas que l'ensemble [[BT, Y] est trivial. (Bien stir le r6sultat ci-dessus est aussi une cons6quence directe de la solution par H. R. Miller de la conjecture de Sullivan [Mi]. D'autre part en menant jusqu'/t son terme l'argument de carr6 arithm6tique on obtient [BT, S 3] ~ H2(BT;A/Q); enfin il est clair que la fibration de Hopf induit une bijection [-BT, S 3] ~ [BT, S ')].) Appendice DEMONSTRATION DES PROPOSrFIONS 5.3 7.5 ET 7.18 On commence par rappeler ce qu'est une ddcomposition homologique d'un espace simplement connexe. Nos rdff-rences sur le sujet sont [B(I] et [Hi]; la th6orie des ddcompositions homologiques est la version << duale >> de la thdorie de Postnikov. Vu l'usage que nous en ferons, il est probable qu'une version << stable >> de eette thdorie sutfirait 5_ notre bonheur. Soient rc un groupe abb.lien e.t n /> 2 un entier, la notation M(/t, n) ddsigne ci-apr&s l'espace de Moore, point6 simplement connexe, caractdris6 par Hq(M(g, n);Z) = 5 I" ~ pour q = n 0 pour q~/n. I. Soit X un espace point6 simplement connexe. Ia thdorie dvoqude ci-dessus nous dit que X ale type d'homotopie d'un espace pointd Xoo munie d'une fihration X2 C X3 CX,I C... CXn-1 C Xn C ... telle que : X 2 est l'espace M(H2(X;Z), 2); Xn, n ~> 3, est le egne d'une application ~)n : M(tln(X;Z), n -- 1) --4 Xn-1 avec Hn-l(t~n;Z) = 0; Xoc est la r('union ties Xn. Ces propridt6s irnpliquent ~galement que : -- le quotient Xn/Xn-1, n/> 3, est l'espace M(Hn(X;Z), n); [~on H "~ (Xoc;Z) pour q<~n I'Iq(Xn;Z) = q pour q > n (l'isomorphisme clans le cas q ~< n dtant induit par l'inclusion de Xn dans Xoc). I,a donnde d'une 6quivalence d'homotopie point('e de X sur un espaee point~ Xcc munie de la structure dthcrite ci-dessus est appel6e une d6composition homologique de X; abusivement, nous appellerons encore ainsi la donnde {Xn;On }. Ccs rappels dtant faits, on s'attaque "5. la dbmonstration des propositions 5.3, 7.5 et 7.18. Soit E un spectre-anneau unitaire. Soient X un espaee point~ simplement connexe et (Xn;r une ddeompositio~ homologique de X. On note On, E : SAM(Hn(X;z), n--1)---4 EAXn-1 le morphisme de spectres induit par l'unitd de E et l'application On. Ia proposition suivante est imm6diate : Proposition A.1. Les daa" conditions suivantes sont (quivalentes : (i) I,e morphiame On, E esl trivqal. (ii) II existe un morphisme 9n, F : E A Xn "-~ E A Xn- 1 de spectrea-modules sur E tel que le composi du morphi~me E A Xn- 1 ---4 l.', A Xn induit par l'indusion de Xn- 1 dans Xn el de 9n, E est l'identitd de E A Xn- 1. 174 FRAN(~OIS-XAVIFR DEHON ET JEAN IANNES Exemp/e. Par d~fmition m~me de ce qu'est une d6composition homologique, le morphisme (~n,l|Z esi trivial pour tout n ~ 3. La proposition A.I implique que l'on a une suite d'isomorphismes de spectres-modules sur HZ HZ A Xn --~ HZ A Xn-1 V HZ A M(Hn(X;Z), n) et done un isomorphisme de spectres-modules sur HZ Z), HZAX~ VIIZA M(ttn(X; n)~ n~>2 ce qui est un cas particulier du lemme 6.1 de la panic II de lAd]. Plus g6ndralement : Proposition A.2. - Soit X un e.*pace point~ szmplement connexe; soit E un spectre-anneau unitaire connexe. Soit {Xn;qbn} une d~compo~ition homologique de X. Si les groupes d'homol~gie (r~duite) entikre de X sont divi~ibles et si les groupes d'homotopie de E sont sans torsion, alors il em.~te une suite d'isomorphismes de spectres-modules sur E (Xn:EAXn'~ V EAM(Hk(X ;z),k) 2<~k<~n telle que o~n prolonge otn- ], l'isomorphisme induit E A Xn/E A Xn-1 --~ E A M(Hn(X;Z), n) est compatible a~,ec lYgaliti Xn/Xn-1 = M(Hn(X;Z), n) (en convenant que Xt est le sous-espace de X2 rMuit au point ba.~e). En particulier il existe un isomorph~me de spectres-modules sur E E A X ~- ~/ E A I1). M(Hn(X; Z), n>~2 Dbnonstration. On montre par r6currence surn que la propri6t6 suivante est satisfaite : (6~n) L'application ~k, E est triviale pour 3 ~ k ~ n. La v6rification de (.~--~2) n'est pas tr6s dilficileI On suppose donc que ((:~-~n-1) est satisfhite et on montre qu'il en est de m6me pour (G..~n). Pour all~ger la notation, on pose ~ = Hn(X;Z), M = SAM(~, n--1) et 1) = EAXn-1. Soit r I : S ---* HZ l'unit~ du spectre-anneau HZ; on note S(0) le spectre fibre de i"1 (cette notation est justifi6e par le fair clue S(0) est le rev~tement 0-connexe du spectre S). On consld~re la suite exacte de groupes ab61iens [M, S(0) A D] ---, [M, D] ---, [M, ltZ A D] (la notation [-,-] d6signe ici le groupe des classes d'homotopie d'applk:ations de spcctrcs, en d'autres termes, le groupe des morphismes de spectres). On obscrve que l'image de ~n,E (qui est un ~l~ment de [M, D]) dans [M, ItZ A D] est ~n, HZAE" Comme la trivialit~ de 0n,HZ entraine celle de (~n,HZAE, on voit que ~n,E est dans I'imagc de l'homomorphisme [M, S(0)AD] ~ [M, D]. On consid~:rc alors lc diagramme commutatif de groupes ab61iens [M, S(0) A D] , [M, D] Homz(g, gn-l(S(0) AD)) ' Homz(g, gn-lD) dans lequel les fl&'hes verticales associent ~ un morphisme de spectres f l'homomorphisrne de groupes ab~liens nn-l(f); comme M est un spectre de Moore, ces fl~ches verticales sont toujours surjectives, mais nous n'utiliserons pasce [hit. La trivialit~ de Cn,E r6sulte des deux points suivants : (1) l'homomorphisme [M, D] --+ Homz(n , nn-lD) est injectif; (2) le groupe Homz(~ , ~n-l(S(0) A D)) est nul. SUR I,ES ESPACES FONCTIONNE1.S DONT LA SOURCE EST UN CLASSIFIANT 175 V6rification de (1). Le noyau de l'homomorphisme en question s'identifie au groupe Extl(~, toni)). Ce groupe est nul parce que l'hypothese de rdcurrence implique que le ~oupe nnD est divisible puisqu'il enest ainsi des groupes ~n(EA M(Hk(X;Z), k)) pour tout net tout k (o1/ utilise ici que les groupes d'homolopie de E sont sans torsion). Vdrification de (2). Tout hornomorphisme de ~ dans 7~ n_ 1(S(0)A I))) est trivial parce que le groupe est divisible et que le groupe rCn-l(S(0)A I))) est de torsion born~e, c'est-A-dire annuld par la multiplication par un entier non nul. On se convainc de ce. dernier point grfice au lemme ci-dessous et A son scholie. Lemn~e A.3. Soit Fun spectre connectif dont les groupes d'homotopie sont .finis. Alors pour tout entier q, il e.riste un entier ~(q) > 0 tel que le morphisme li(q)Id F se .facto~'e ~ travers le rev~tement q-connexe F(q) du spectre F. (On rappelle que l'on dit qu'un spectre F est connectif s'il existe un entier q0 tel que l'on a gqF= 0 pour q < q0. I~s notations Id F et ~i(q)Id F d(:si~mnt ci-dessus respectivement le morphisme identitd de F et l'action de l'entier ~(q) sur cet 6ldment dans le Z-module IF, ~.) Scholie A.4. Soit C un spectre connectifi alors ctmque groupe d'homotopie du spectre F A C est de torsion born&. Plus pricisiment, soiozt r 0 et s deux entiers; si l'on a ~rC = 0 pour r < r O, alors le groupe gs(FA C) est annuld par la multiplication par ~(s- tO). [] On vdrifie les 6noncds 5.3, 7.5 et 7.18 /~ l'aide de la proposition A.2 en prenant pour X l'espace M(Z/p ~ 2)A Y+ (voir ci-aprOs) et pour E le spectre MU. On pose Z/p ~ = z[-ll/z (on peut voir encore Z/p ~ comme la composante p-primaire de Q/Z ou la colimite du diagramme Z/p ~=, Z/p2~ ...). Soit Y un espace. On pose Z = M(Z/p ~176 2)A Y+; Zest un espace point6 simplement connexc. On fMt ]es constatations suivantes : -- Pour u)ut entier n /> 0, on a un isomorphisme canonique Hn+2(Z;Z) ~ I'In~';Z/poe); cet isomorphisme montre en particulier que les groupes d'homologle (rtaduite) enti~re de Z sont de torsion p- primaire. -- Soit f:Z--* ZaY+ l'application pointde induite par l'application pointde canonique M(Z/poe, 2) M(Z, 3); l'homomorphisme f. : H.(Z; Z/p) ~ ~t.(EaY+ ; Z/p) est un isomorphisme. -- Les deux conditions suivantes sont dquivalentes : L'espace Y est sans p-torsion. I~:s groupes d'homologie (rdduite) entidre de Z sont p-divisibles. On suppose d&ormais que Y est sans p-torsion. D'apr6s la proposition A.2, on a an isomnrphisme de spectres-modules sur MU g:MUAZ" MUAM(Hn(Y;Z/p j,n ~- V oe' 2). 71c__N Soit Bn une base du Z/p-espace vectoriel Hn~':Z/p). Celui-ci s'identifie au noyau de la muhiplication par p : Hn~Y;Z/poe) ~ Hn(Y;Z/poe), et l'isomorphisme Hn~';Z/p) ~- Z/p (B') se prolonge en un isomorphisme Hn(Y;Z/poe) "~ Z/p oe(B'z). On note h : MU A Z ---* V ( En4-:~MU)vB" le morphisme de rtK-N spectres-moduh's stir MIJ induit par g, I'isomorphisme prdcddent et les applications pointdes canoniques M(Z/p ~176 + 2) ~ M(Z,n + 3). Enfin, on pose C = Z-3MU A Z et on note k : C ---* MU A Y+ et I:C-~ V ( ZnMU)VB~ les morphismes de spectres-modules sur MU respectivement induits par fet h. On hEN dispose done d'un diagramme de spectres-modules sur MU CZnMt:~vn. MUAV+,k Cl V r~EN tel que les homomorphlsmes H,(k;Z/p) et l l,(l;Z/p) sont des isomorphismes. En appliquant [e ~mcteur fl~ on obtient un diagramme d'espaces hEN 176 F'RANq~OIS-XAVIER DEHON ET ,JEAN LANNES tel que les homomorphismes H.(f2~ et tl.(f~~ Z/p) sont des isomorphismes. En effet le lecteur se convaincra aisdment du : Lemme A.5. - &it 0 : E ---+ Fun morphisme entre spectres connectfs. Si Q mduit un isomorphi~me en hvmologie modulo p alors # en est de mane pour ~oo~. Its propositions 5.3 et 7.18 sont done, comme les points (d), (e) et ([) de 5.4, cons6quences ties r&uhats de Wilson concernant l'homologie enti+re des espaccs MU n. It point (c) de la proposition 5.4 a aussi un analogue dans le contexte de cet appendice. En efret la premi6re partie de la proposition A.2 montre que, pour un choix ~< naturel )) de g, l'homomorphisme compos4 (Bin) . HnCY;Z/p)--+ ttn(f2~(MU A Y+);Z/p) t_+ Hn( I-I MUm ;Z/p, mEN l db, siguant l'isomorphisme II.(~'~176176 Z/p) -1 , s'identifie "a l'isomorphisme Hn(Y;Z/p)= ,',., Z/p (B'). Gette observation thite, on ddmontre la proposition 7.5 de la faqon suivante. On consid+re la cofibre, que l'on note P, du morphisme de spectres z-a V MU/XM(H'~(Y;Z/p~)'~2)-~MU/~v+ n impair induit par g et k, et le morphisme de spectres canonique q : MU A Y+ ---+ P. On prend pour W l'espace ~OCp et pour J" l'application compos/:e de l'application canonique Y---+ f~cX~(MU A Y+) et de ~OCq; d'apr6s ce qui prO.c,~de W et J" tbnt bien l'affaire. REFI~RENCES ,j. E ADAMS, Stable Homotopy and Generalized ltomology, University of (]hicago Press, 1974. [Adl] J. E AI)A.',~s, Maps between classifying spaces II, Invent. Alath., 49 (1978), 1-65. [Ad2] [Ad3] J. E AD..v, as, Lectures on Ia~ Groups, l!.lathematics Lecture JVole Serli, S, 1969. [AM] J. E ADAMS et Z. MAHML'I), Maps between classifying spaces, Invent. Math., 35 (1976), 1-41. M. E ATIVAH et G. B. Sr:C;AL, Equivariant K-theory and completion, ]. Diff. Geom., 3 (1969), 1-18. [ASI E. H. BROWN et A. H. COPEIZND, Homology analogue of Posmikov systems, Mich. Math. ]ourn. 6 (1959), [BCl 313-330. [Be, M] M. BrNDZaSKV, E. B. Ccr'rls et H. R. Nhua::R, The unstable Adams spectral sequence for generalized homolo~; 7bpology, 3 (1978), 229-248. [BK] A. K. Bovsm:i.n et I). M. 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Published: Aug 30, 2007
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