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(A.) Borel, (J.) Tits (1965)
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SUR LES CONSTANTES DE STRUCTURE ET LE THt~OR]~ME D'EXISTENCE DES ALGJ~BRES DE LIE SEMI-SIMPLES par J. TITS INTRODUCTION Cet article a pour objet l'~tude des constantes de structure des algSbres semi- simples complexes et l'expos6 d'une nouvelle d6monstration dl6mentaire du fait qu'~ tout syst6me de racines correspond une telle alg6bre (th6or6me d'existence). (En fait, les alg6bres semi-simples consid6rdes seront d6finies sur un corps de caract6ristique o quel- conque, mais comme nous les supposerons toujours d6ploy~es, il n'y a pas 1~ un gain de g6ndralit6 essentiel par rapport au cas complexe, auquel nous nous restreignons dans cette introduction.) Soient (5 une alg6bre de Lie semi-simple complexe, ~ une sous-alg6bre de Cartan, Z le syst~me des racines de (5 relatives ?~ % et, pour toute racine aeY,, e a un vecteur propre associ6 ~ a. Les relations de structure de (5 ont alors la forme suivante, off a, bee et te~ : [% ~1 ={o} [t, co] = ~(t). eo f~e3; si a+b----o [%, %] =lN,,b.%+b si a-l-beZ fo si a+bCZu{o}. Pour chaque paire a, --a de racines oppos~es, on peut 6videmment choisir %, e_~ de telle sorte que f~=--a*, off a* est d6fini par la relation bien connue b(a*) =2(a, b)/(a, a) pour tout beN, ( , ) ddsignant la forme de Killing (on s'arrange gdndralement pour que t~----- a*, mais nous verrons que f~ = --a* est un choix plus (( naturel ))) ; alors se trouve automatique- ment v6rifide la relation de H. Weyl [Io] Na, b=N_,,_ b. C. Chevalley a montr6 [3] qu'on peut en outre choisir les ea de telle fa~on que la valeur absolue de N,, b soit le 525 ~ J. TITS plus petit entier positiff tel que b--f.a ne soit pas une racine; on dit alors que les % forment, avec une base de ~;, une base de ChevaIley de (5. Pour obtenir des relations de structure tout ~ fait explicites pour (5 il reste ~ 6tudier la question des signes des N,,b. Dans la premiSre partie de cet article, nous reprenons l'dtude des constantes Na. b du point de vue suivant. Supposons qu'au lieu de fixer % nous le laissions parcourir l'ensemble ~ de tous les vecteurs propres non nuls associds k a; alors Na, b devient une fonction sur ~]� ~� ~+b a valeur dans C*. Au n ~ 2.3, nous ramenons l'dtude des fonctions N,,~ en question k celle d'une fonction ~ ddfinie sur une pattie de X � Z � Z � N � N � N, off N ddsigne le normalisateur de ~2 dans le groupe simplement connexe G ayant (5 pour algSbre de Lie (le double emploi malencontreux de la lettre N sera 6vit6 dans le corps du texte par le fait que nous n'utiliserons plus gu~re la nota- tion N~,b) , et nous montrons au n ~ 2.6 que cette fonction ~ peut ~tre caract6risde par des relations simples, faisant seulement intervenir le syst~me de racines Z et le groupe ~ abstrait )) N (et aussi certaines structures additionnelles dans N, structures susceptibles toutefois d'une description ~( directe >) : cf. ?~ ce sujet le n ~ 2.4 et la remarque a) de 2.6). Le passage des fonctions Na, b ~ la fonction 3 est bas~e sur une propridtd dldmentaire du groupe SL2, qui fait l'objet de la proposition I (n ~ i. I). On sait que le groupe Nest une extension d'un groupe fini W, le groupe de Weyl, par un tore maximal T, et que N contient un sous-groupe fini Nz, le groupe de Weyl dterutu, extension de W par le ~-groupe ab61ien ~l~mentaire des dl6ments d'ordre 2 de T (ce groupe Nz, qui n'est d6fini qu'~ conjugaison pros, est aussi le groupe des points entiers de N pour une Z-structure convenable dam G; of. par ex. [5], [9])- Au n ~ ~-9, nous examinons ce qui se passe lorsqu'on restreint le domaine de variation des trois derniers arguments de ~ ~ Nz; il s'av~re que eeci revient h restreindre le domaine de variation des e, ~ une ~ double base de Chevalley )), c'est-h-dire ~t la r6union d'une base de Chevalley et de son oppos6e. De plus, nous observons que, dans ce cas, les trois premiers arguments de ~ deviennent superflus, et que ~ peut ~tre remplacde par une fonction sur une partie de Nz�215 ~ valeurs dans l'ensemble {+ I, --i}; c'est en somme la fonction d&rivant les signes des N~, b. Le fait qu'on puisse donner des relations de structure explicites pour les alg~bres semi-simples complexes sugg~re la possibilit6 de d6montrer leur existence par simple v6rification de la relation de Jacobi; une d6monstration d'existence selon ce principe fait l'objet de la deuxi~me partie. Cette ddmonstration est sans doute plus longue et certainement moins (~ conceptuelle )) que celle de Harish-Chandra-Jacobson [6], cepen- dant elle peut presenter un certain int6r~t propre : elle est ~ certains 6gards plus 616mentaire, et surtout elle met en 6vidence, de faqon (( concrete ~), les propri6t6s parti- culi6res des syst6mes de racines qui (( font marcher ~) la relation de Jacobi. Cette deuxi~me partie rel6ve uniquement de la th6orie des algkbres de Lie; ~t cet 6gard, elle est plus 61~mentaire que la premiere (od la th6orie globale intervient aussi, par l'interm6diaire du groupe G), dont elIe est entiOrement inddpendante, au moins du point de vue logique; nous y retrouvons d'ailleurs en fait l'essentiel des r6sultats de la premiere 526 GONSTANTES DE STRUCTURE DES ALGI~BRES DE LIE SEMI-SIMPLES 23 partie, mais sous une forme moins <~ naturelle >> et de fa~on quelque peu ddtournde. Avertissons ici le lecteur d'une diff6rence essentielle qu'il pourra observer entre les concep- tions des deux parties. Dans la premi6re, off il s'agit d'exposer des rdsultats en principe nouveaux, nous n'avons impos6 aucune restriction aux moyens utilis6s, pour autant qu'ils aident ~ atteindre le but plus rapidement, ou ~ mieux mettre en 6vidence la raison des propri~t6s 6tablies ou la signification des notions introduites. Par contre, dans la deuxi~me partie, consacr6e ~ une d6monstration ~ldmentaire d'un rdsultat bien connu, nous avons cherch6 ~ r6duire les << prerequisites >> ~ un minimum : en fait, outre les ~16ments de l'alg6bre lin6aire, nous y utilisons seulement un petit nombre de propri6tds simples bien connues des syst6mes de racines, propri6tds rappel6es au n ~ 3.2; la question des simplifications qui peuvent ~tre apport~es k la d6monstration moyennant l'admission de tel ou tel prdalabie suppldmentaire est bri6vement discut6e au n ~ 4.3.2. Par ailleurs, comme nous cherchons k donner une d~monstration d'existence aussi courte que possible, les notations et d6finitions sont introduites dans la deuxibme partie sans aucune << moti- vation >>; celle-ci peut gdndralement 6tre trouvde dans la premiere partie, qui fait ainsi en quelque sorte office d'introduction. Ceci explique qu'en d6pit de la logique, nous ayons choisi de mettre en premibre place la partie la moins 616mentaire de l'exposd, ce qui conduit d'ailleurs ~ quelques redites, heureusement peu importantes (n ~ 2.5). L'article se termine par un appendice; l'objet des deux paragraphes qui le consti- tuent est expliqu6 dans les premi6res lignes de ceux-ci et il n'y a rien d'autre ~ en dire ici. Signalons enfin que certains des r6sultats de la premi6re partie ont d6j~ 6t6 exposds dans [8]. 527 PREMI I~.RE PARTIE CONSTANTES DE STRUCTURE x. LE GROUPE SL 2 x.x. Une a trijection ~ canonlque. Dans tout l'article K ddsigne un corps commutatif de caractdristique o. Nous commen~ons par ~tablir quelques propri~t~s ~l~mentaires du groupe SL2(K) et de son alg~bre de Lie ~,(K), notes ici simplement SL 2 et ~s Posons T={(k o k-~)[kzK*}, ~={(k o _k) k~K}, ~+= --I ' ~_= --I -- o (; o) (o) ) O I ~ --I _{(o o)1 ~ On notcra quc T cst un tore maximal de SLy, que ~ est l'alg~brc dc Lie de T, que M est l'uniquc classe lat~rale (nc contenant pas l'~16ment neutre) de T dans son normalisa- teur, quc ~+ ct ~_ sont les cspaces proprcs corrcspondant aux racincs dc ~2 rcladves k ~, et enfin que I)+ et I)_ sont les ~l~ments de ~ caract~ris~s par la relation (I) [~)+, ~]=2~ pour tout ~.. Nous aurons aussi ~ faire usage du fait que, darts l'alg~bte des matrices d'ordre 2, (2) #=o pour tout tz~+u~ . 528 GONSTANTES DE STR.UGTURE DES ALGI~BRES DE LIE SEMI-SIMPLES Proposition 1. ~ Soient e+~+, e_e~_, meM. Alors, les relations suivantes sont gquivalentes : (3) exp %. exp e_. exp e+ = m; exp e_. exp e+. exp e_ = m. (4) Elles d~finissent trois bijections e+ (5) \ / c' est-&dire qu' gtant donng arbitrairement l' un des trois glLments e+, e_ et m, il en existe deux autres, bien dltermings, tels que (3) et (4) soient v&ifiges. L'ilgment e_ associ~ ~ un gllment e+ donnd est aussi caractgrisg par la relation (6) [e+, e_]=--l)+, et l'dldment m dFfini par (3) est tel que (7) (Ad m)(%) = e_. Enfin, si e+, e_ et m vgrifient (3), il en est de mgme de k.e+, k-l.e et quel que soit keK*=K--{o}. La preuve est un simple calcul. Les triples d'dl~ments v~rifiant (3) et (4) ont pour expression g~ndrale eq_ _. (o ~), r ~ (__k_l o), m= (__k_ 1 ~)(keK*). On observera que ces matrices satisfont aussi ~t la relation (8) m = e+ + e_. II convient eependant, ~t ce propos, de faire une Remarque importante. ~ Par suite de la notation utilisde, qui identifie SL2 et ~!~ 2 ~t des parties de l'alg~bre des matrices d'ordre 2, l'ensemble M (done l'fildment m) est contenu ~ accidentellement ~ ~ la fois dans SL2 et dans ~. Comme il ressort du contexte, c'est en tant que partie de SL 2 qu'il est envisag6 ici; en partieulier, (3), (4), (6) et (7) expriment des relations intrinskques entre l'glgment m du groupe alggbrique SL~ et les glgments e+ et e_ de son algkbre de Lie. I1 n'en est pas de m~me de (8), qui fait intervenir la notation matricielle, et qui exprime done une propridtd particuli~re de la ~ repr6sentation lindaire naturelle ~) (de dimension 2) de SLy. 4 26 J. TITS x.2. Reprfsentations lin6aires. Proposition 2. -- Soient e+E~+, e_~* et mEM vgrifiant (3) et (4), et soit f3 un module de reprdsentation irrdductible de ~2 sur K, de dimension d + i. Alors, f3 poss~de une base {v,} (i=--d, --d+2, ..., d--2, d) telle que (9) ~+(v3=i.~,; li si i= (IO) e4-(Di) = (--i+d).vi si i4= (dans cette derni~re dgalitd, il faut prendre simultandment tousles signes supdrieurs ou tousles signes inf&ieurs). La reprdsentation donnde de ~E2 (( s'intkgre ~ de fafon unique en une reprdsentation de SL z telle que oo (I I) (exp t)(V) =~o(i !)-tl'(V) pour tout iE~+ ta~_ et tout l)~i3 (la puissance x i est prise ici dans l'alg~bre enveloppante universelle de ~2; le second membre de (I I) n'a qu'un nombre fini de termes non nuls en vertu de (IO)). Pour cette reprdsentation de SL 2 et pour toute base {vi} v&ifiant (io), on a les relations (I 2) h(Di) = (-- I)d. Di ' d+i (13) m(vi) = (--I)-2-.v_~. Identifions SL 2 et ~2 respectivement avec le groupe endomorphismes de ddter- minant Iet avec l'algSbre de Lie des endomorphismes de trace 0 d'un espace veetoriel lI de dimension 2. On sait que ~E2 possSde, k dquivalence prSs, une seule reprdsentation irr6ductible de dimension d+I, ~ savoir, la repr6sentation induite dans la d-iSme puis- sance symdtrique de 1I par la repr6sentation (( naturelle )) de ~2 dans 1i (cf. par ex. [6]). Nous pouvons done, sans nuire k la gdndralitd, supposer que ~ est la d-iSme puissance symdtrique de lI. La reprdsentation de SL 2 dans ~ induite par la repr6sentation (( natu- relle )) dans li satisfait dvidemment ~ la relation (i i), et celle-ci la caractdrise puisque SL2 est engendr6 par exp(~+ u ~_). Choisissons dans 1I une base {u, u'} telle que e+(U) ----U' et e_(u') = --it, (6) et (8), de sorte que, vu (2), e+(u') = e_(u) = o, I)+(lt) -=m(u') = --it, I?+(U') = re(u) =U'. Les mon6mes d--i d+i Di_= ~t-~- .tt' 2 (i=--d, --d+2, ..., d--2, d) 530 CONSTANTES DE STRUCTURE DES ALGI~BRES DE LIE SEMI-SIMPLES ~7 forment une base de ~ et il rdsulte de calculs imm6diats qu'elle satisfait aux relations (9), (lO), (12) et (13). En outre, si {,~} est une base quelconque v6rifiant (Io), la trans- formation lindaire de f13 qui applique ~i sur ~ pour tout i commute avec les dldments de ~+ et ~_ (considdrds comme endomorphismes de ~) donc aussi, vu (II), avec les 61dments de SLz, et la base {~} satisfait aussi aux relations (I~) et (i3) , ce qui ach6ve la ddmonstration. x.3" Corollaire. -- Notons a la racine de | a laqueUe appartient e + , et soient r l'unique glgment non neutre du groupe de Weyl, bun poids et ~ un vecteur de poids b dans un module de reprg- sentation irrMuctible de dimension d q-I. Alors, (14) si b=--a/2 (i.e.r(b)=b+a), on a et (I5) si b=o (i.e.r(b)=b), on a m(D)=(--:)d/~.t~. 2. LES CONSTANTES DE STRUCTURE D'UNE ALG~.BRE SEMI-SIMPLE D~PLOYs 2. I, Notations. Tous lcs groupes algdbriques dont il sera question sont d~finis sur K. Un groupe et l'ensemble de ses points rationnels sur K seront toujours d6sign6s par le mSme symbole. Le gain en g6ndralitd r6sultant du far qu'au lieu du corps des complexes, on consid6re un corps K de caract6ristique o quelconque, est assez inessentiel; il n'y aura donc pas grand inconv6nient, pour le lecteur qui prdf6re la thdorie des groupes de Lie ~ celle des groupes alg6briques, $ supposer que K-----C, et ~ traduire les expressions (< groupe algd- brique semi-simple d6ploy6 sur K >~ et << tore maximal ,, par << groupe analytique complexe semi-simple >~ et << sous-groupe de Cartan ~>. Les notations suivantes seront utilis6es tout au long du w 2 : G est un groupe algdbrique semi-simple ddploy6 simplement connexe, 15 son algSbre de Lie, Tun tore maximal de G, 3; l'alg6bre de Lie de T, N le normalisateur de T dans G, ~" le dual de ~, Z(c~') l'ensemble des racines de (5 relatives k 3;, W=N/T le groupe de Weyl (identifid dventuellement, de la faqon habituelle, ~ un groupe de transformations lindaires de ~ ou de %') et = : N~W la projection canonique; dans ~', nous choisissons une fois pour toutes un produit scalaire ( , ) non d6g6- ndr6 invariant par W, et tel que pour toute racine a, (a, a) soit un nombre rationnel positif, not6 X(a) ; pour toute racine aeY,, nous notons ra(eW ) la r~flexion de 3;' par rapport l'hyperplan orthogonal ~ a, a* l'616ment de ~ d6fini par la relation f'(a*)=2.(a,t')/(a,a) pour tout f'e~', 531 28 J. TITS e~={ge65[[t, g]=a(f).g pour tout te3~} la sous-alg6bre ~t une dimension de (5 correspondant ~ a, (5~(=~s) la sous-alg~bre engendrde par ~ et ~_,, Ga(=~SLs) le sous-groupe connexe de G << engendrd par (sa >>, nous posons ~*=~a--{o}, %a-=~n(sa, Ta=TnG ~ (tore maximal de G a << engendrd par ~ >>), Na-----Nr~G ~ (normalisateur de T a dans G~), Ma----Na--Ta (classe latdrale de T a dans N~), et, pour tout keK. nousddsignonsparkal,imagedelamatrice (ko o ) k_ 1 par un homomor- phisme SLs-~G a quelconque dont la ddrivde ~ l'dldment neutre applique les ensembles r et ~_ dun ~ I. i respectivement sur ~ et ~-a; en particulier (--I)a est l'dldment non neutrc du centre de G a; on ales relations r_a=r,, G_a=G,, T_,=T,, N_,=Na, M_a=Ma, T {k Ik K'} a ~ a ) k_a=kz ~, mS=(--i)a pour tout meMa; (2) 6tant donndes deux racines a, beE, le plus petit entier positiff tel que b--f.a n'est pas une racine est not6 f(a, b); si geG et ge(5, nous posons g(g) = (Adg)(g); enfin la notation (3) x(y) =x.y.x -1 se rapportant ~ deux 616ments x, y d'un groupe quelconque, sera utilisde dans tout l'article. L'isomorphisme Ga=~SL~, qui jouera un r61e d6cisif dans ce paragraphe, est un cas particulier du fait bien connu que, si Z'c Z est ferm6 dans Z pour les combinaisons lindaires ~t coefficients rationnels, le sous-groupe connexe de G <( engendr6 >) par les r est simplement connexe. (Of. ~t ce sujet le w 5.) 2.2. Les %,.. La << trijection canonique ,> de la proposition i fait correspondre ~ tout 616ment maM a un 61dment de ~ et un 616ment de ~*a ; ceux-ci seront not6s %,m et e_a, m. I1 r6sulte imm6diatement du caract6re intrins6que de la trijection en question que pour tout n~N, (4) n(%,m) = e(~(,))(a).,(m) ; en particulier, m(e,,,) = e_,, . ce qui rdsulte d'aiUeurs aussi de i. i (7)- En vertu de la derni6re assertion de la propo- sition i, on a, pour tout k~K*, (5) k. e,. m = Ca.k,,. m ; en particulier, vu (2), (6) -- %,., = %,m-i. 532 CONSTANTE$ DE STRUCTURE DES ALG~;BRES DE LIE SEMI-SIMPLES 29 2. 3. Relations de commutation darts (~ : position du probl~me. Les fonc- tions ~ et xa, ~. Les relations suivantes, off a, bEZ, meMo, ncNb et re3;, sont des consdquences immddiates des ddfinitions et de i. I (6) : (7) [3;, 3;] ={o}, (8) It, eo, ] = a(t). e ,m, (9) e =--a*, (IO) [%.m, %.~] =o si a+br Pour compldter l'dnonc6 des relations de commutation dans (5, il reste ~ d6terminer le commutateur [%,,,, %,,] lorsque a + b est une racine, soit --c (la raison du choix de cette notation apparaitra plus loin). Nous pouvons exprimer ce commutateur de deux faw soit comme un multiple d'un dl6ment e_~,~c~*_, queleonqne, soit direc- tement sous la forme e ~,p pour un pcM~ particulier, ce qui se traduit par les formules suivantes, o~ p ddsigne un 61~ment quelconque de M~ : [e~.,,, %.,] =~'(a, b, c; m, n,p).e_,.p [e .... %,] = e_ ~,~,b(,,,-~" La premi6re de ces relations dffinit une fonction 3' :f/~K* sur l'ensemble f2cZ�215215 dessextuples (a, b, c; m, n, p) telsque a+b+c=o, meMo, ncMb, peM~, et la seconde, une fonction � : M~� pour chaque paire de racines a, b telles que a4-bcZ. En faR, au lieu des fonctions 8' et � nous nous intdresserons plut6t aux fonctions 3 et � ddfinies par 3'(a, b, c; m, n,p) =f(a, b).~(a, b, c; m, n,p), � =f(a, b). � L'introduction de ce facteur f(a, b) s'expliquera a posteriori par la forme des identitds qui seront 6tablies aux n ~ 2.6 et ~. 7; elle est d'ailleurs sugg6rde par la propri6t6 carac- t6ristique des bases de Chevalley (I N~,b] =f(a, b)) rappelde dans l'introduction (cir. aussi le n ~ 2.9). Pour faciliter les rdf6rences, r~dcrivons les derni6res relations de structure de (5 dans les nouvelles notations : si a, b, c=--a--beN, on a, pour tous meM,, ncMb, peM~, (I~) [e .... %.,] =~(a, b, c; m, n,p).f(a, b). e_~,p =f(a, b).e ...... hi-,,-)" On peut h pr6sent concevoir comme suit le problkme de la ddtermination des constantes de structures de 05 : iI s'agit tout d'abord de donner une descr~tion << directe ~ (ind@endante de la tMorie des groupes alggbriques) du systkme {N, M s (acE)} formg du groupe Net des parties IV[, de N, et ensuite ddterminer la fonction ~ ou, ce qui revient au rngme, Ies fonctions � Ces questions font l'objet des n os 2.4, 2.6 et 2.7. 538 3 ~ J. TITS 2.4. Une description du syst~me {N, Ma(aEZ)}. Notons X le groupe des poids de (5, c'est-~-dire l'ensemble des points x~' tels que x(a*)EZ pour tout a~Z, Z ~ l'ensemble des racines simples pour un ordre donn6 dans X, et lab (pour a, bEZ ~ l'ordre du produit rar b dans le groupe de Weyl W. t~J Le groupe des poids X est aussi, k un isomorphisme canonique pros, le groupe des caract~res de T, de sorte que T peut ~tre canoniquement identifi6 au groupe Hom(X, K*) ; moyennant cette identification, ka (pour k~K*) est l'homomorphisme X-+K donn~ par (12) x /e (~ de sorte que T~ est l'ensemble des homomorphismes (12) avec keK*, et Faction (( natu- relle >) de W sur T (par l'intermddiaire des automorphismes int6rieurs de N) est contra- grddiente de son action sur X (comme << groupe engendr6 par les rdflexions sur r a >)) (cf. [4], [7]). Compte tenu de ces diverses propri6tds, de la relation rappelde plus haut entre le groupe des poids X et le syst~me de racines Z, et du fait que toute racine est transform6e d'une racine simple par un 616ment de W, la proposition suivante donne une construction du syst~me {N, M~ (aeZ)} ~ partir de Z. Proposition 3. -- Pour tout aeZ ~ choisissons dans M~ un dldment quelconque qa" Alors les relations suivantes sont vdrifides quels que soient a, b~X ~ et teT : (13) q~=(--i)o (14) q, qb q, .... qb q~qb. 9 loz facteurs lab facteurs (15) qatq21 = r~(t). Le groupe Nest engendrd par TL,{qola Y. ~ et est <( ddfini par les relations (13) , (I4) , (15), ajout&s au fait que Test un sous-groupe de N >>, c'est-gt-dire que toute relation entre dldments de N est consdquence de (13) , (14), (I5) et de relations entre dldments de T. L'homomorphisme ~ : N-+W est ddfini par (16) rC(qa)=r ~ et ~(T)={I}. Si n~N,w=n(n) et a~X ~ ona (17) M~(a)=n.qa. Ta.n-1; en particulier, M a = q~. T~. Cette proposition est un cas particulier de rdsultats de [9]; pour la commodit6 du lecteur, nous la reddmontrons. La relation (i3) est un cas particulier de (2). Les relations (pratiquement 6qui- valentes) (15) et (16) sont bien connues (cf. [3], [4]). t~tablissons (I 5). Pour cela, nous aurons ~ utiliser le fait que, pour toute racine c ~ I; et tout n~N (Ia) -1 M(n(n))(c ) = n. M c. n , 534 CONSTANTES DE STRUCTURE DES ALG~BR.ES DE, LIE SEMI-SIMPLES 31 ce qui r~sulte immddiatement des ddfinitions. Notons respectivement q et q' les deux membres de (I5) , et soit b' la racine dgale ~ b ou ~ a selon que lab est pair ou impair. On a (I9) q'=qb.q.q~ 1. D'autre part, il rdsulte de la ddfinition de l~b et de (~6) que ~(q)=~(q'), de sorte que, vu (I9), (r~(q))(rb,)=rb, ce qui signifie que (r~(q))(b')=+b. On a done, compte tenu de (i8), q, . q-1 =qb. q . q~ l. q- l ~ qb . q . Mb, . q-1 _= qb. M(,,(q))(b,)= qb- Mb = Tb. En permutant a et b, on montre de m~me que q.q'-teTa, d'oh il rdsulte finalement que q'.q-ieTanT b. Or cette intersection est rtduite ~ l'616ment neutre lorsque a+b; en effet, si nous identifions comme plus haut T ~ Hom(X, K*), un 616ment de T~nT b est un homomorphisme de la forme x ~ U(~*) = k '~(b*) (k, k'e K*), et en prenant pour x un 616ment tel que x(a*)= I et x(b*)=o (par exemple le poids fondamental dominant associ6 ~ a), on ddduit de la dernitre 6galit6 que k = I. Ainsi, q'. q-~ = i, ce qui 6tabfit (I5). Soit N' le (( groupe engendrd par Tu{q,[aeZ ~ et dtfini par (I3) , (I4) , (i5) et par les relations dtfinissant le groupe T )) (cet abus de langage, qui implique l'identi- fication de T u {q,} avec une pattie de N', est ldgitim6 par le fait que, les relations en question 6tant vdrifides dans N, l'application canonique Tu{q.laeZ ~ -+ N' est effec- tivement injective). De (I5), il rtsulte que T est un sous-groupe distingu6 de N'. Soit r' a (aeZ ~ l'image canonique de qa dans N'/T. De (I3) et (I4) , il rdsulte que, pour tous a, b e Z ~ (2o) d = r;) = c'est-~-dire clue les r~ v~rifient les relations de d~finition bien connues du groupe de Weyl ([4], [7]). Mais alors, l'homomorphisme N'~N qui prolonge l'applieation iden- tique de Tu{qola~YP } induit un isomorphisme N'/T--~ N/T=W, et est done lui- m~me un isomorphisme. Les autres assertions de I'~noncd sont des consequences immddiates des dtfinitions. Remarque. -- La proposition pr~cddente donne une ddfinition de N par g~n~rateurs et relations, c'est-h-dire caractfirise N comme un quotient du groupe libre engendr6 par Tu{q, laeZ~ De la ddfinition initiale de T, de N et des M~ comme parties de G, il rtsulte que l'application canonique T u{q~] aeZ~ est injeetive (ce qui a d'ailleurs ~t~ utilis6 dans la dtmonstration). Pour la mfime raison, nous savons a priori que les relations (I7) sont cohdrentes, c'est-~-dire que si n, n'eN et a, a'eZ ~ sont tels que (r~(n))(a)=(r=(n'))(a'), on a aussi n.qa. Ma.n-t=n'.qr '-~. Cependant, il peut ~tre inttressant de donner de ces proprittds une dfimonstration directe, inddpendante des thfior~mes d'existence des groupes semi-simples. Une telle d~monstration peut ~tre trouvfie dans [9]; les principaux dlfiments en sont d'ailleurs repris, dans un contexte un peu different au n ~ 3.6 ci-dessous. 535 32 J. TITS 2.5. Trois propri~t6s des triples de racines de sombre nulle. Lemme 1. -- Soient a, b, c~Z trois racines teUes que a+b+c=o. Alors (21) f(a, b)----f(b, a); (22) f(b, c).r +f(c, a).b* +f(a, b).c*= o; (23) les quatre propridtds suivantes sont dquivalentes : (i) r.(6)=-c; (ii) b(a*)-=--I ; (iii) X(a)~>Z(b) et Z(a)~>Z(c); (iv) f(a, b)=f(a, c)-= i, ou bien a, b, c sont trois racines (~ courtes , d'un facteur direct de type G~ de G (auquel cas f(a, b)=f(a, c)= 2). I1 s'agit en fair de propridtfis des syst~mes de racines de rang ~, et comme telles susceptibles de v6rification immddiate (~ cas par cas >~. Le dftail de cette v6rification sera omis. Pour une d6monstration un peu plus ,~ conceptuelle , de (2I), (22) et de l'implication (iii)=~ (i), nous renvoyons le lecteur aux nOS 3.3 et 3.4- Notons encore ici que l'6quivalence de (i) et (ii) r6sulte de l'identit6 q(t') = t'--t'(a*) .a (t'~'), et que l'implication (i)~ (iii) est consfquence immfdiate du fait bien connu que si les racines de G n'ont pas toutes la m6me longueur, la somme de deux racines ~ longues >~ ne peut ~tre une racine ~ courte ~). 2.6. D6termlnation de la fonction ~. Dans ce numdro, a, b, c d6signent toujours trois racines telles que a +b +c=-o, et memo, neMb, paMc. Le premier membre de (I I) 6tant indfpendant de p, il doit en &re de m~me du second, qui ne change donc pas lorsqu'on y remplace p par k c.p (kEK*), ce qui peut s'dcrire, vu (I) et (5), (24) 3(a, b, c; m, n, kc.p)=k.S(a, b, c; m, n,p). En vertu de (9) et (II), la relation de Jacobi pour les trois 616ments %,m, eb,,, ec,~ peut s'6crire (25) Z~(a, b, c; m, n,p) .f(a, b).c*=o, off la sommation est 6tendue ~ une permutation circulaire simultande de a, b, c, et de m, n, p. Des relations (22) et (25), et de l'inddpendance lindaire de a* et b* (consdquence de l'ind6pendance lin6aire de aet b), il rdsulte que (26) 3(a, b, c; m, n,p)--3(b, c, a; n,p, m). 536 CONSTANTES DE STRUCTURE DES ALGI~BRES DE LIE SEMI-SIMPLES 33 Soit ~3 le sous-espace linraire de (5 engendr6 par les ~a avec d=a+zbeZ (zeZ). En appliquant i. 3 (14) a la reprdsentation de 15, dans ~ obtenue par restriction h partir de la reprrsentation adjointe de 15, on volt, compte tenu de (i I) et du lemme I, que (27) si X(a)>~),(b),x(c) on a 3(a, b,c; m, n, m(n))=(--i)t(~,bl+t; autrement dit, 3(a, b, c; m, n, m(n))= i sauf si a, b, c sont trois racines courtes d'un facteur direct de type G2 de 15, auquel cas 3(a, b, c; m, n, m(n))=--1. Proposition 4. -- La fonction ~est caract&is& par les relations (24), (26), (27). En effet, soit ~t drterminer la valeur de $en un point (a, b, c; m, n,p) donn~. Quitte ~ permuter cycliquement a, b, v, ce qui est loisible gr~tce ~ (26), nous pouvons, sans nuire ~t la grnrralitr, supposer que X(a)~>X(b), )~(c). Mais alors, 8(a, b, c; m, n,p) est donn6 par (24) et (27). Corollaire 2. -- On a (28) 3(--a,--b,--c; m,n,p)=3(a,b,c; m,n,p) -1. II suffit de remarquer que, compte tenu de (I), les relations (24) , (26), (27) , sont invariantes par la substitution (a, b, c, 3) ~ (--a, --b, --c, 3-1). Remarques. -- a) La caractrrisation de la fonction 3 fournie par la proposition 4 fait intervenir non seulement le groupe Net les ensembles M~, mais encore les homo- morphismes k ~ ka de K* dans T. Ceci ne prrsente pas d'inconvdnient du point de vue des probl~mes posds ~ la fin du n ~ 2.3, grace au fait que -- d'ailleurs pour cette raison -- nous avons inclu une <~ description directe >> de ces homomorphismes aux considfirations prfiliminaires dun ~ 2.4. Notons que les k~ ne joueront par contre aucun r61e dans la caract~risation des fonctions � (proposition 5). b) Lorsque k=--I, la relation (24) devient, vu (2), (29) 8(a, b, c; m, n, p-~)=--3(a, b, c; m, n, p). c) De (ii) et de l'anticommutativitd du commutateur, il r~sulte que (3 ~ ) 3(a, b, c; m, n,p)=--3(b, a, c; n, m,p). L'ensemble des relations (26) et (3o) signifie que la fonction 3 est antisym~trique en les paires (a, m), (b, n) et (c, p). d) La proposition 4 ~tablit l'unicit6 de la fonction 3:f~K* vrrifiant (24), (26), (27). Le probl~me d'existence ne se pose pas ici, vu la d~finition de 3 donn~e au n ~ 2.3. Cependant, dans l'esprit de la remarque terminant le no 2.4, on peut se proposer de d~montrer l'existence de la fonction 3 inddpendamment de l'existence de 15, en partant de la caractrrisation du syst~me {N, Ma} donnfie en 2.4. I1 est effectivement facile de donner une telle d~monstration; nous ne le ferons pas ici, mais nous aurons au n ~ 3-8 rrsoudre un probl~me analogue pour une autre fonction ~, essentiellement la restric- tion de ~ ~ une certaine partie de f2, et la d~monstration qui sera donn~e l~t se transpose aisdment au cas prrsent. ~137 34 J. TITS 2.7. D6termination de la fonction � I1 rdsulte de (II) que � n) est l'unique 61~ment x de M~ tel que 8(a, b, e; m, n, x)----i. Cela 6tant, la proposition suivante est une cons6quence imm6- diate de (26), (27), (29) et (30). Proposition 5. -- Soient a, b, c =--a--beN. Posons � n)=p, sauf si a, b, c sont trois racines ~ courtes , d'un facteur direct de type G~ de (5, auquel cas nous posons � n)=p-1. Alors (3 I) si X(a)>>. X(b), X(c), on a p = m(n) ; (32) si X(b)>~X(c),X(a), on a p=n(m)-~; (33) si X(c)>>.X(a), X(b), p est le seul glgment de M, tel que p(m)----n et aussi le seul ggment de M, tel que p(n)=m -1. CoroUaire 3. -- On ales relations (34) � n) =� m) -1. (35) La relation (35) est aussi une cons6quence immddiate de (I), (2I) et de l'anti- commutativit6 du commutateur. Remarques. -- a) Lorsque les racines de (5 ont toutes la m6me longueur, (3 I) est applicable quelles que soient les racines a, b telles que a-t-beY., et les relations de commutation (I i) prennent la forme particuli6rement simple (36) [e ..... %,.] ----- % + b,m(.). b) L'existence de Hdentit6 (34) fait qu'il n'est gdn6ralement pas g6nant d'omettre les indices a, b du symbole � en effet, lorsqu'on sait (par exemple par le contexte) que les arguments m, n appartiennent respectivement ~t M~ et Mb, et que � n)eMc, les indices affectant � ne peuvent 6tre que a, b ou --a,--b. 2.8. Le groupe N z et les ensembles Ma, z. Pour toute racine simple deY2, choisissons dans M d un point qd. Nous noterons N z le groupe engendr6 par les qa (dey~~ et, pour toute racine acE, nous poserons Ma, z = N[ a r~ N z. Le choix de ces notations s'exp]ique par le fait que N zest effcctivement le groupe des points de N rationnels sur Z pour une << Z-structure d6ploy6e >> convenable (d'ailleurs unique) de G (en termes plus pr6cis : il existe un Z-schema en groupes d6ploy6 z G, un tore z T faisant par6e d'une donn6e de d6ploiement de z Get, dfisignant par K Get K T les groupes algdbriques ddduits de z Get z T par changement de base de Z K, un isomorphisme ? : KG---.G tel que ?(KT)=T et tel que N z soit 1' (<image par q) )~ du groupe des points sur Z du normalisateur de zT) ([5], [9])- Nous ne ferons cependant pas usage de cette interprfitation sch~matique de N z et nous dtablirons, indfipendamment d'elle, la 538 CONSTANTES DE STRUCTURE DES ALGI~BRES DE LIE SEMI-SIMPLES 35 Proposition 6. -- Le groupe T z = T caN z est un 2-groupe abglien glgmentaire d'ordre 2 z, o~z l ddsigne le rang de G; il se compose de l'glgment neutre et de tousles glgments d'ordre 2 de T. Le groupe N zest une extension du groupe de Weyl W par T z. Pour toute racine acE, l' ensemble M~, z se compose de deux glgments, inverses l'un de l'autre. Soit T~ le groupe engendrd par les (--I)d (d~Z~ I1 est contenu dans N z en vertu de (I3). II rdsulte de la description de T et des ka donnfie au ddbut du n ~ 2.4, et du fair que les d* (avec d~Z ~ forment une base du dual du rdseau des poids, que T' z est abdlien 61fimentaire d'ordre 2 * et se compose de l'616ment neutre et de tous les 616ments d'ordre 2 de T. En particulier, T z est distingufi dans N z. De (I3) et (I4) , il rdsulte que les images canoniques des qa dans le quotient Nz/T z satisfont aux relations (2o), de sorte que l'homomorphisme Nz/Tz--~-N/T induit par l'injection canonique Nz-+N est un isomorphisme. Ceci 6tablit les deux premiSres assertions de l'6noncC Toujours d'apr~s le ddbut du n ~ 2.4, (--I)a est le seul 616ment d'ordre 2 de T~ de sorte que T~,z=T, nTz={I, (--I)a}. I1 s'ensuit, vu (I7) , que M,, z est vide ou se compose de deux dldments, inverses l'un de l'autre. Mais il existe un 616ment weW et une racine simple dee ~ tels que w(d) = a, et si heN z appartient ~ l'image rfciproque de w par l'6pimorphisme canonique Nz-+W , on a n(qd)eM,,z, de sorte que M~, z ne peut ~tre vide, ce qui ach6ve la d6monstrafion. Remarque. -- Nous verrons au num6ro suivant que le syst6me form6 par le groupe N z et les ensembles M,, zest un instrument essentiel pour l'6tude des ,< signes des constantes de structures >> de (5. I1 est donc utile d'en donner aussi une description << directe >>, indfipendante de (5. En principe, nous disposons d@t d'une telle description, puisque N z a 6t6 dffini de fa~on purement << abstraite >> ~ partir de Net des M~, mais on peut aussi 6viter de passer par l'interm6diaire de N en remarquant que tout ce qui a dt~ dit au n ~ 2.4 reste valable si on y remplace K*, T, N, T~, M~ respectivement par le groupe Z*-----{q-I, --I}, Tz, Nz, M,,z, T,, z (on notera toutefois cette diff6rence qu'ici, l'ensemble {q,} engendre N z ~t lui seul). (Pour un d6veloppement de cette remarque, cf. [9].) 2.9. Double base de Chevalley. Signes des constantes de structure. Conservons les notations de 2 9 8 et d6signons par tF l'intersection de N z � N z � N z avec la projection dans N � N� N de l'ensemble ~ dun ~ 2.3, c'est-$-dire l'ensemble des triples (m, n,p) tels qu'il existe trois racines a, b, c de somme nulle pour lesquelles mEMa, z, n~Mb.z, PEMc, z. En vertu de (6), l'ensemble des e .... avec a~E, meMo, z, est une << double base >~, c'est-h-dire est la rfiunion d'une base et de son oppos6e, dans l'espace somme des ~a. Soient a, b, c trois racines telles que a+b+c=o et soient mEMo, z, n~Mb.z,p~Mc, z. Alors 8(a, b, c; m, n,p) =Jzl : cela r6sulte de (27), (29) et de la proposition 6 lorsque X(a)>~X(b),X(c), et ensuite de (26) dans le cas g6n6ral. D'apr~s (28), la valeur de 3(a, b, c; m, n,p) est alors enti~rement d6termin6e par les arguments m, n,p, ce qui nous permet de ddfinir une fonction ~ : tF~{+ i,--i} en posant (37) S(a, b, c; m, n, p) =,(m, n, p). 539 36 j. TITS La relation de commutation (II) peut s'ficrire ~ prfisent (38) [%,m, %.,] = z(m, n, p).f(a, b). e_~,, (toujours sous l'hypoth~se que m, n, peMz) , de sorte que la fonction ~ d~crit les signes des ~ constantes de structure ~) de G. D'apr~s la proposition 4, cette fonction satisfait aux trois relations suivantes, qui la caractgrisent complktement : (39) z(m, n, p-l) = --z(m, n, p); (4 o) ~(m, n, p) -- r m, n); (4 I) si (a)>.X(b),X(c), on a g(m,n,m(n))=(--I)t(a'b)+l; autrement dit, ~(m, n, re(n)) = i sauf si a, b, c sont trois racines ~ courtes ~ d'un facteur direct de type G~ de (5, auquel cas g(m, n, m(n) ) =- --~. Pour toute paire de racines opposdes (a, --a), choisissons Fun des deux fildments de M~,z=M_~,z, notons le q~=q_~, et pour toute racine a posons r Alors la relation de commutation (i i) devient (42) [%, %] = ~,b.f(a, b).%+b off le (~ signe ~ ~,b est donnd par ~.,b=~(qa, qb, q~+b)" En particulier, on voit que le coefficient Na, b de %+b dans (42) satisfait ~t la (( relation de Weyl. N~,b=N_~_b et~ la ~ r6gle de Chevalley. lN~,bt=f(a, b), rappet6es dans l'introduction, de sorte que les % (a~Z) forment avec une base de % une base de Chevalley de (5. 540 DEUXIEME PARTIE TH~OR~ME D'EXISTENCE Rappelons que cette deuxi~me partie, dont le but est la d~monstration du thdor~me d'existence ~noncd au n o 4. i, est enti~rement inddpendante de la premiere partie. 3" SYSTi~.MES DE RACINES 3. i. D6finitlons. Soient 3; un espace vectoriel sur K et ~' son dual. Une partie finie Z de ~E' est un systkme de racines (dans ~') si (I) Z engendre 3; '(~), (2) les relations a, kaEE et kEZ impliquent k=4-I, et s'il existe une application * :Z-+3; satisfaisant aux trois conditions suivantes, off on pose *(a)=a* : (3) a(a*) =2 pour tout aeZ; (4) b(a*)eZ pour tous a, beZ; (5) si a, beZ, alors b--b(a*).aeZ. Les 616ments de Z sont les racines. La dimension de 3; est le rang du syst6me 2;. L'appli- cation * est univoquement ddterminde par les propri6t6s (3) ~ (5); en effet, il rdsulte immddiatement de celles-ci et de (I) que a* est l'unique 616ment de 3; tel que a(a*)=2 et tel que, pour tout beN, la somme ~b'(a*) 6tendue ~ toutes les racines b' de la forme b' b--ka (keZ) soit nuUe. Nous noterons G : 3;'~3;' (atE) la rdflexion par rapport ~ a, ddfinie par (6) ra(x' ) =x'--x'(a*).a (x' e~,') et aussi sa contragr6diente ~g--~35; celle-ci laissant fixe chaque point du noyau de a et permutant a* et --a* (vu (3) et (6)), elle est donnde par (7) G(x) =x--a(x).a* (xe~2). Le groupe W engendr6 par les r~(aeY,) est le groupe de Weyl, que nous ferons aussi op6rer tant6t sur ~', tant6t sur 32 Vu (4), W laisse invariant Z, et est donc un groupe fini, en vertu de (I). II rdsulte alors de l'unicit6 de l'application * que (8) w(a)*=w(a*) pour tous a~Z, weW; (1) Nous nous ~cartons en ceci de la terminologie adopt~e par exemple dans [~] et [9]. 541 38 J. TITS en particulier, pour w = r~, (9) (--a)* = --a*. Dans la suite de cette deuxiSme partie, nous nous donnons une lois pour toutes les espaces 3; et 37 et un syst~me de racines Z. Sauf mention explicite du eontraire, les lettres a, b, c, d ddsigneront toujours des 61dments de Z. 3.2. Rappels. Duns ce numdro nous rassemblons quelques propridt6s bien connues des syst~mes de racines. Nous donnons cependant des indications de ddmonstration qui doivent norma- lement permettre au lecteur non inform6 de reconstruire des ddmonstrations completes (celles-ci peuvent, par aiUeurs, ~tre trouv6es duns [2], [3], [6]). Notre but est de souligner ainsi le caract~re tout ~ fait 615mentaire des moyens employds duns la ddmonstration d'existence du w 4; on notera en particulier que la classification des systSmes de racines de rang > 2 n'intervient pas ici. 3- 2. x. La fonction X. Vu (7), tout point de ~ fixe par W appartient au noyau de toute racine, et est donc nul d'apr s (i). Pour tout x'E~' et tout x~, on a donc Z (w(x'))(x)=x'( Z w(x))=o, wEW wEW d'ofi ~ w(x')= o. Si x' est invariant par W, on en ddduit que x' est nul; autrement dit wEW (IO) si X'~' et si x'(a*)=O pour toute racine a, on a x'=o. Nous noterons X:~'-+K la forme quadratique somme des carrds des formes lin6aires x'~+ x'(a*) (a~Y,), et ~:~'� la forme bilindaire symdtrique associde. Les deux assertions suivantes r6sultent de (4), (io) et de l'invariance de X par W : (II) si X est le groupe engendr6 par Y~, on a X(X--{o})EN* (ensemble des nombres entiers strictement positifs) ; (12) Z(a) .b(a*)=X(b). a(b*) = 2~(a, b). En particulier, les relations a(b*)=o et b(a*)=o sont ~quivalentes; lorsqu'elles sont v6rififes, a et b sont dites orthogonales. De (ii) et (12) on d6duit que (13) la forme 2~ est non d6g6n6rde, et est done associ6e ~ une transformation lin6aire bijective ~'-+~, laquelle applique toute racine a sur X(a).a*, et que b(a*).a(b*)< 4 saufsi a=4-b, (14) donc, aussi vu (4), que si a4:+b,b(a*)4:o et X(a)_.>X(b), (i5) on a Ib(a*)l = i et [a(b*)[ =X(a)/X(b)= i, 2 ou 3. 542 CONSTANTES DE STRUCTURE DES ALG~BRES DE LIE SEMI-SIMPLES 39 Nous aurons encore ~t utiliser la propri6td suivante : (16) soient a~ (i=o, ..., n) des racines telles que ai(a*i_l)+o pour tout i~>i; alors, le nombre X(al) prend au plus deux valeurs distinctes; si de plus ao+a ~ et a~_l+a~, alors on ne peut avoir i+]al(ao)l+la,(a,_~)[.I. La deuxi6me assertion est cons6quence immddiate de (15) et de la premiere asser- tion. Celle-ci est 6tablie par induction surn. Quitte ~ remplacer au besoin a, par r,._~(a,), on peut supposer que a,(a~_2)4:o. Alors, si n=2, l'assertion r6sulte de (I5); si n>2 elle est consdquence de l'hypoth6se d'induction appliqufe aux trois suites (%, ..., a,_~), (a0, ..., a,_2, an) et (a,_2, a,_l, an). 3.2.2. Syst~me de racines slmples. Munissons le groupe X engendr6 par Z d'une structure d'ordre compatible avec la loi de groupe. Les racines positives qui ne sont pas combinaisons lin6aires ~t coefficients rationnels positifs d'autres racines positives sont dites simples (pour l'ordre en question). L'ensemble des raciues simples sera not6 Z ~ (17) Soit A un ensemble de racines positives non lin6airement ind6pendantes. Alors, il existe a, bEA telles que aq-b et a(b')>o. En effet, soit x=y avec x-=~kiai, y=~.libi, a~, biEA , ai+bj, kl, lieN* , les indices i,j parcourant des ensembles finis 14: o et J (l'existence d'une telle relation r6sulte de l'hypoth6se faite sur Aet de (4), (IO)). Puisque les al sont positives, on a x+o, d'ofi ~(x,y)=~(x, x)>o, et il existe done i~I et jeJ tels que ~(ai, bj)>o. (18) Soient ael~ ~ et b>o teIles que b(a*)>o; alors b$Z ~ et b>r,(b)>o. C'est une cons6quence immddiate des d6finitions et de (6). De (17) et (18), on ddduit successivement que (19) ~0 est une base de 3;'; (2o) toute racine est transform6e d'une racine simple par un produit de r,, avec aEZ~ (21) West engendr6 par les r a (ace~ (22) tout 616ment de X (resp. Y.*) est combinaison linfaire ~ coefficients entiers d'dl6- ments de E ~ (resp. y0*) (cette derni~re assertion r6sulte de (2o), vu (6), (7) et (4)). (23) I~tant donndes deux racines a, b, il existe dans X un ordre tel que l'ensemble y0 des racines simples contienne aet une racine de la forme ka+lb (/#:o); supposant aet b non proportionnelles, il suffit de prendre l'ordre lexicographique des coordonndes pour une base ordonnde formde de a, de b, et d'une suite quelconque d'61dments de X. (24) Soit al, a2, ..., a k une suite de racines simples (~ventuellement avec rdp6titions) telle que Ilrai=I et, pour tout i(I<~i<~k), posons a~ = (,=[[1%) (al); 543 4 ~ J. TITS alors, pour tout b~Y~, les racines bet --b interviennent un marne nombre de fois t p t dans la suite a,, a2, ..., a k. En effet, posons bo=b et b~=(_~[_~%)(b) pour I<~i<~k; on v6rifie imm6diatement que a~=b si etseulement si b~_t>o>b ~ etque a'=--b si etseulementsi b~_~<o<b~, et l'assertion r6sulte alors du fait que b 0 et b;~ (~ ont m6me signe )) (ils sont m~me 6gaux). 3.2.3. Syst~mes de rang 2. L'assertion suivante est une cons6quence imm6diate de la d~finition du n ~ 3-i, et de (I3) , (22), (23). (25) Soient a, b deux racines et ~' (resp. ~) le sous-espace vectoriel de 3;' (resp. 3;) engendr6 par a et b (resp. a* et b*). Alors, les espaces ~ et ~' sont mis en dualit6 par la restriction k ~� du produit scalaire 32� l'intersection Zn~' est un syst~me de racines dans ~', on a (Z n~')*~---Z*n~ et la restriction de * 2] n~' est l'application * du syst~me de racines Y, n~'; enfin l'intersection de ~' (resp. ~) avec le groupe engendr6 par Z (resp. Z*) est le groupe engendr~ par End' (resp. Z*n~). La proposition suivante ne fait aucune hypoth6se sur le rang de E, mais il suffit de l'6tablir pour le rang 2, en vertu de (25). Pour ddmontrer (26) et (27) , on peut par exemple les v~rifier directement apr~s avoir d6termin6 explicitement tous les syst~mes de rang 2, ce qui ne pr6sente aucune difficultC (26) Si a, b sont orthogonales, l'un des ensembles de conditions suivants est rempli : (i) les settles racines combinaisons lin6aires de a et b sont et q-b; (ii) X(a)--),(b), a+beZ, a--b~E; (iii) X(a)=X(b), 2 (a-[-b)eZ, 2 (a--b)e'Z, (a+b) =a*+b*; (iv) ;~(a)+~,(b), a+bC~Z, a--br et il existe deux racines a', a" telles que rb(a' ) = a" et ra,(a")=ra,,(a')=a'-t-a"=a. (27) Soit Y~ de rang 2. Alors, si X(a)=?~(b), il existe une transformation lin6aire de 3; conservant Net permutant a et b. 3.3. La fonction f. Soient a, b deux racines, et h le plus grand nombre r~el tel que b--ha~T,; il r~sulte de (22) et (23) que h est un entier. Nous noteronsfla fonction Z� ddfinie par f(a, b)=-h+I, qu'il sera commode d'6tendre ~t Z'x3Y en posant f(x,y)=o lorsque (x,y)r215 On a alors, pour tous a, be2;, (28) f(a, b--a)=f(a, b)--I. La fonctionf est ~videmment invariante par W, c'est-k-dire que (29) f(w(a), w(b))=f(a, b) pour tout weW. 544 CONSTANTES DE STRUCTURE DES ALGI~BRES DE LIE SEMI-SIMPLES 41 Soit h'=f(--a, b)--I le plus grand nombre rdel tel que b+h'a~X. I1 est clair que les racines b --ha et b + h'a sont permut6es par ra, ce qui peut s'6crire, compte tenu de (3) et (7), b(a*) =h--h', c'est-~-dire (3 o) b(a*) =f(a, b)--f(--a, b). La relation suivante, cons6quence imm6diate de (28) et (3o), sera utilis6e plus loin : (31) b(a*) -=f(--a, b) .f(a, b--a) --f(a, b) .f(--a, b +a). Si a--b est une racine, il en est de m6me de b--a, donc (3 2) les relations f(a, b) = I et f(b, a) = i sont 6quivalentes. Montrons que (33) si a+b~lg et si f(a,b)4=I, on a X(a)=~(b). Vu (32), nous pouvons, sans nuire ~t la g6n6rafit6, supposer que X(b)_->X(a). L'un des deux nombres Iest vu (17), il s'ensuit que X(a+b)>X(b) ou X(a--b)>X(b), ce qui implique notre assertion, en vertu de (16). De (32), (33), (25) et (27), it rdsutte que (34) si a+beZ, on a f(a, b) =f(b, a). Soient a, b, csY. telles que a+b +c=o. On a, en vertu de (33) et (34), appliqu6 aux racines --a et b, X(a). (f(--a, b) --~) = X(b). (f(b, --a) -- x ) qui peut encore s'6crire, eu 6gard ~ (28) et au fait que f(--x, --y)=f(x,y), X(a) .f(a, c) =X(b) .f(b, c), d'o/1 (35) f(a, c). X(b)-l--f(b, c). X(a)-1 _--_ o. Permutant bet c, on trouve de m~me, (36) f(a, b).X(c)-t--f(b, c).X(a) -t = o. Multiplions respectivement (35) et (36) par b et c et ajoutons membres A membres; il vient f(a, c). X(b)- 1. b +f(a, b). X (c)- 1. c +f(b, c). X(a)- 1. a = o. Eu 6gard ~ (13) , nous avons ainsi 6tabli que (37) si a+b+r on a f(a, b).c*+f(b, c).d+f(c, a).b*=o. 3-4- Les relations _/ et ~. Trois lemmes. Nous noterons _J et ~ les relations entre paires de racines a, b, d6finies comme suit : (38 ) a_/b.~f(a,b)=x et b(a*)=--i; (39) aJkb.~f(a, b) = i et b(a*) = o. 6 43 J. TITS La relation allb signifie donc aussi que a et b sont orthogonales et que a+b n'est pas racine. Lemme 2. -- Soient a, b, c trois racines telles que a+b+c=o. Alors, si X(a)>~X(b) et X(a) 1>X(c), on a r.(b) -=--c. En effet, b(a*) +c(a*) =--a(a*) =--2, ce qui implique, vu (15), que b (a*) = c(a*) = -- I. Lemme 3. -- Soient a,b,c,d quatre racines telles que a+b+c+d=o et telles que b(a*) =c(a*)=--i. Alors a_/b et aJc. En outre a H_d sauf peut-gtre si X(a) = X(b) = X(c) ---- X(d). Des hypotheses et de (3), il rdsulte que d(a*)=o. Supposons que b--a soit une racine. En vertu de (12) et (15) , on a 1( b-a)(b*)l=[2-a(b*)[~<3 et a(b*)<o; parsuite a(b*)=--I et 2b+a=rb(a--b)eZ. Or (2b§ 3 et (2b+a)(d*)=eb(d*). Vu (16), ceci implique que b(d*)=o. Mais alors, c(d*) = --(d-t- a § =--2, ce qui contredit (16) puisque (2b -i-a)(b*) =3. Ainsi, b--a n'est pas une racine et a_Jb. De m~me, a/c. Supposons qu'on n'ait pas alS_d. Alors a +deN, et comme (a +d) (a*) = a(a*) ----- 2, on a X(a+d)>X(a), d'ofi X(a) =X(b) =X(c), en vertu de (15) et (16). Quant ~ l'dgalitd X(a) =X(d), elle rEsulte de (26). Lemme 4. -- Soient a, b, c, deZ quatre racines deux h deux non opposges, dont la somme est nuUe. Alors, apr~s permutation gventuelle des trois racines a, b, c, l'un des ensembles de conditions suivants est rgalisg, oi~ on a posg a'=b+c, b'--c-t-a, c'=a+b : (i) a/b, aAc, arid; (ii) a'eZ, aAb, allc, aJa'; (iii) a'eZ, b'~Z, c'eZ, a(b*)=a(c*)----I, aJb, a_lc, a'_la, --a'_Jb, --a'_lc, f(b, c)=2, a' ll b', a' ll c'. Faisons tout d'abord deux remarques prEliminaires. (4o) Si quatre racines a s (i= I, 2, 3, 4), deux h deux non opposdes, ont une somme nulle et si X(al)~>X(ai) pour tout i tel que ai(al) .i = o, alors les trois nombres ai(al) (j= 2, 3, 4) sont, ~ l'ordre prEs, Egaux ~t --i, --i, o. 4, Cela rEsulte de (15) et du fait que E aj(a~)=--al(a~)=--2. (4 I) Un ensemble de quatre racines deux ~t deux non opposdes, de somme nulle, ne peut ~tre dEcomposE en deux sous-ensembles mutuellement orthogonaux, Supposons en effet qu'une telle decomposition existe et soient bi, b'l deux racines rdalisant le maximum de X respectivement dans les deux sous-ensembles en question; on arrive alors ~ une contradiction en appliquant (4 o) successivement pour a 1 = b 1 et pour a t = b' 1. 546 GONSTANTES DE STRUCTURE DES ALGI~BRES DE LIE SEMI-SIMPLES 43 Considdrons ~t prdsent quatre racines a, b, c, d vdrifiant les hypotheses de l'dnoncd. Quitte ~ permuter a, b, c, nous pouvons, sans nuire ~ la gdndralitd, supposer que (42) X(a)~>X(b), X(a)~>X(c). Examinons en premier lieu le cas o5 (43) a(d*) = d(a*) = o. Vu (4o), eette relation implique que b(a*)=c(a*)=--i et, en vertu du lemme 3, aJb et a_lc. Si a'r les conditions (i) de l'dnoncd sont remplies. Supposons donc que a'eZ, et montrons qu'on a alors les relations (iii). Tout d'abord, il rdsulte du lemme 3 que X(a)=X(b)=X(c)=X(d). De plus, b'~r~(c), c'=ra(b), de sorte que b', c'eZ et X(b')=X(c')=X(a). Tenant compte de (I2), (I5), (4o), on a h prdsent successlvement : a(b*) = a(c*) = b(d*) =c(d*) = d(c*) = d(b*) =-- I, c(b*) = b(c*) = o, --a'(a*)=a'(b*)=a'(d)=2,--a(a'*)=b(a'*)=c(a'*)=I et b'(a'*)=c'(a'*)=o. Des relations (--a'--b)(b*) = (--a'--c)(c*) = (a'--a)(a*) = (c--~b)(b*) =--4, il rdsulte que --a'--b, --a'--c, a'--a et c--2b ne sont pas racines. Par contre, c--b=rb(a')eZ. Enfin a'LLb' et a'llc' en vertu de (26) et du fait que ?,(a') =-2X(a)>X(b') =X(c'). Ceci achSve 12 ddmonstration dans le cas (43). Si (44) ),(d) >~X(a) = X(b) = X(c), l'une des racines a, b, cest orthogonale ~ d, vu (4o), de sorte qu'on peut se ramener l'hypothSse (43) par une permutation dventuelle de a, b, c. Nous supposerons done dordnavant que ni (43) ni (44) n'est vgrifige. Vu (42), ceci implique que X(a) est strictement plus grand que l'un au moins des hombres ),(b), X(c), X(d), puis, eompte tenu de (i6) et (41), que (45) X(a)~>X(e) pour toute racine e non orthogonale ~ a. Appliquant (4o), on voit alors que, apr~s permutation 6ventuelle de b et c, on a d(a*) = b(a*) = -- I, c(a*) = o. En vertu du lemme 3 et de l'hypoth&se d'apr~s laquelle (44) n'est pas vdrifide, ceci implique que a_/b et allc. En outre, a'-----r,(d)eZ, a'(a*) =--I, et il rdsulte de (~5) et (45) que a'--aCZ, car (a'--a)(a*)=--3, de sorte que a_ta'. Les conditions (ii) de l'dnoncd sont done remplies, et 12 d6monstration achevde. 3-5. Le syst?~me { N, M~, ~} : axiomatlque. Soient X*(cT) le groupe engendr6 par les a*(acZ), H le 2-groupe quotient X*/2X*, not6 multiplicativement, et h a l'image de a* par la projection canonique X* -+H; cette image n'est jamais nulle en vertu de (22) et (23). Toute la suite de eette deuxiSme partie est basde sur 12 considdration d'un syst~me {N, M, (a~Z), r~} jouissant des propridtds suivantes : N est un groupe contenant H; 547 J. TITS r: : N-+W est un homomorphisme surjectifde noyau H; pour tout neN et tout h~H, on a (46) n.h. n- ~= (~z (n)) (h), off l'opdration de W sur H est induite par son action naturelle sur X*; enfin, pour tout aeZ, M, est une partie de N formde de deux 616ments, inverses l'un de l'autre, et (47) M.=M_~, (48 ) meMa=>m2=ha, (49) T:(M.) ={r,}, (5 o) n.M~.n-l=M(,~(,))(~) pour tout neN. On peut montrer [9] qu'il existe, ~ isomorphisme pr&, un et un seul syst6me {N, M,, r:} poss6dant ces propridtds. Seule l'existence nous importera ici; la d6mons- tration que nous en donnons au n o 4-2 est essentieIlement celle de [9], que nous repro- duisons pour la commodit6 du lecteur. Pour faire le lien avec le w 2, signalons que les N, M, pr&ents correspondent aux Nz, M,. z dun ~ 2.8. 3.6. Existence du syst~me {N, M~, 7:}. Soient R--{r.laeZ } l'ensemble des r6flexions par rapport aux racines et R* une copie de R. La r6plique d'un 616ment reRdans R* sera notde r*. Soient L le groupe ab61ien fibre engendr6 par R*, et Hle groupe des carr6s dans L, qui est librement engendrd par l'ensemble {r*2[rsR}. Les relations w(r') = (w. r. w-l) * d6finissent une action de W sur L; le produit semi-direct de W et L relatif fi cette action sera simplement not6 W.L et Wet L seront identifi& h des sous-groupes de ce produit. Soient N le sous-groupe de W.L engendr6 par les r,.~ avec aeZ ~ (syst6me de racines simples), et ~ :N ~W la restriction ~i N de la projection canonique W.L~W(=W.L/L); l'homomorphisme K est surjectif, en vertu de (2I). Montrons que NnL=H. (50 ra. *~2 *2 L'intersection N n L contient rj =r~ pour tout aeZ ~ done aussi n. r] ~. n- i = (r(a(.))(~))*~ pour tout neN; vu (20), cela signifie que NnL~{r*2lreR}, done que NoL~H. Les g6n6rateurs r~.r*~ (ace ~ de N 6tant congrus k leurs inverses mod H, tout 616ment de Nest congru mod H ~ un 616ment de la forme n=l'I(r~..r*.), avec aieN ~ lequel i s t peut encore s'6crire, par un calcul 6vident, (52) n = H r* i. II r,i off on a pos6 a~ = (ai). (iH=Ir=i) CONSTANTES DE STRUCTURE DES ALGI~BRES DE LIE SEMI-SIMPLES Si neL, on doit avoir K(n)=llrai= I, et, vu (24) et (52), n appartient ~t H, ce qui 6tablit (5I). -- -- *2 Soit H ~ le noyau de l'homomorphisme H~H qui envoie r a sur h a pour tout atE, identifions H avec le quotient H/H ~ posons N=N/H ~ et soit ~ :N-+W l'homo- morphisme induit par K. Pour toute racine aeF,, soient M a l'ensemble des 61dments de ~-l(r,) dont le carr6 est 6gal ~t r] et M a l'image de Ma par la projection cano- nique N~N. I1 est clair que les M a satisfont aux relations (47), (48), (5 o) et que (49) est vfrifi6 si M a n'est pas vide. Reste donc ~t montrer que M a se compose de deux 616ments, inverses Fun de l'autre. Vu (20) et (5o), nous pouvons, sans nuire ~t la gdnfralit6, supposer que ace ~ Alors ~-t(ra) est l'ensemble des 616ments de la forme r~.s avec hell. * -- *2 Le carr6 de ra.ra.h est ~gal ~ r~ si et seulement si ra(h ) =h-~; comme H poss~de un syst~me gdn6rateur libre inwriant par ra, cette condition signifie qu'il existe un h' tel que h=ra(h' ) . h '-1, mais alors l'image canonique de h dans H est de la forme r,(h) .h -1, donc est ~gal ~t une puissance de h~ (par (7)), c'est-k-dire k i ou ~ h a. I1 s'ensuit que M a se compose de l'image canonique de r~. r2 dans Net de son inverse. L'existence d'un syst~me {N, Ma, ~} est ainsi ddmontrde. 3-7. Trois identit~s. Proposition 7.- Soient a, bsY~, m~M a et n~M b. Alors (53) si b(a*)=--i, on a ha.n.ha.n=I ; (54) si a(b*)=b(a*)=--I, on a m.n.m=n.m.n; (55) si allb, on a m.n=n.m. I1 r6sulte de (7) que (56 ) si b(a*)=--I, on a rb(ha)=ha.hb, de sorte que (53) est une cons6quence imm6diate de (46) et (48). Soit a(b*)=b(a*)=--I. On a alors ra(rb(a))-=b, done, vu (5o), m.n.Ma.n-l.m-t= Mb, de sorte clue m.n.m.n-l.m-X.n-leMb.n-l={I, hb}. Permutant a et b, on volt de m~me que m.n.m.n-l.m-l.n-le{I, ha}. Ceci dtablit (54) ear en vertu de (I3) et des hypothSses faites sur a, b, on a ha.hb-=h,+b+ I. Soit ~ prdsent a[[b. Alors, ra(b)-=b, done m. Mb.m-l=Mb et m.n.m-l.n-'s{i, hb}. De m~me, m.n.m-l.n-le{I, ha}. Si on se trouve dans lecas (i) ou le cas (iii) de (26), on a ha+h b (dans le cas (i), cela r~sulte de (25), et darts le cas (iii), de ce que ha.hb=ha+b) , et l'assertion (55) s'ensuit. Pla~ons-nous au contraire dans le cas (iv) 549 # J. TITS de (26), dont nous reprenons les notations, et soient m'eM~,, et m"=n.m'.n-~eM~,,. On a alors n.m".n-~=hb.m'.hb=m '-' (vu (53)), done n./n t~ . m ~ . ?/2 '~- 1. n-1 = ?~,-1.1,/~,,. m ~ = ?n"./~t. ~t,- 1 (vu (54)). Ceci 6tablit (55) puisque rn est 6gal ~t m".rn'.m ''-~ ou ~ son inverse. 3.8. La fonction ~. Soit ~F la partie de N � N � N formic des triples (m, n, p) tels qu'il existe trois racines a,b,c~Z de somme a+b+c=o, pour lesquelles rn~M~,neM b et p~M c. Proposition 8. -- II existe une fonction r : 9 -+{ + I, -- I } et une seule possddant les propridtds suivantes : (57) ~(m, n,p)=~(n,p, m) (58 ) si a, beZ, r,(b) =a+b, meM,, n~M b et psM~+b, on a p=m(n) ~( .... P). (Pour la notation m(n), cf 2. I (3); ~ propos de (58) et du lien avec la fonction du n ~ 2.9, voir le n ~ 4.3.3). Soit *Y1 (resp. LF2, ~Fs) la rfiunion des ensembles M~ � M b � Mc avec a + b + c = o et r~(b)=--c (resp. rb(c)=--a; re(a ) =--b) et soient r : ~F~{q- i, --I}(i----- I, 2, 3) les fonctions ddfinies comme suit : ~l(m, n,p) =~2(P, m, n) =~3(n,p, m) = + x ou --I selon que p=m(n) ou m(n)-'. Montrons que les fonctions er et r (i4=j) ont mfime restriction ~ l'intersection ~F~n~/" i. La question ~tant invariante par permutation cyclique simultande des trois arguments des indices I, 2, 3, nous pouvons supposer que i= I et j=2. Soit donc (m,n,p)~lnW2; ceci signifie que meMo, neM b et peM,+ b avec b(a*)=a(b')=--I. I1 s'agit d'dtablir les implications p=m(n) =~n=p(m) et p=m(n)-~=~n=-p(m) -~. La seconde se ram~ne ~t la premiere par la substitution n-+n-1; quant ~ la premiere, elle s'exprime par la relation (rn(n))(m)= n, qui n'est autre que (54), comme ]e montre un calcul imm6diat. En vertu du lemme 2, la rdunion des W~ (i= I, 2, 3) est l'ensemble ~F tout entier. Par cons6quent, il existe une fonction e : W~{+ i, -- I } et une seule dont la restriction ~t W~ soit el pour tout i= i, 2, 3; cette fonction satisfait manifestement aux conditions de l'6nonc6. R6ciproquement, (58) signifie que la restriction de e ~ Wtest e~, et sie satisfait en outre k (57), ses restrictions ~t W2 et W~ doivent ~tre respectivement e2 et e~, ce qui d6montre la proposition. Proposition 9. -- La fonction ~ est invariante par N, c'est-&dire que (59) e(x(m), x(n), x(p) ) = e(m, n, p) pour tous xeN et (m, n, p)eW. Elle satisfait aux identitgs (60) ~(m -~, n, p) = ~(m, n -a, p) ----- ~(m, n, p-*) = --~(m, n, p). 550 CONSTANTES Dig STRUCTURE DES ALGI~BRES DE LIE SEMI-SIMPLES 47 Enfin elle est alternge en m, n, p : (6I) ~(n, m, p) =~(m, p, n)= -e(m, n, p). La premifire assertion est une consdquence imm6diate de l'unicit6 de e. Montrons (6o). En vertu du lemme 2, nous pouvons supposer, quitte ~t permuter cycliquement m, n,p, que meMa, neMb, peM,+ b avec r~(b)=a+b. Dans ce cas, les deux derni6res ~galitds (6o) sont consdquences imm~diates de (58), et l'dgalitd ~(m -1, n, p) =--e(m, n,p), qui peut s'dcrire m-l(n) =m(n) -1, n'est rien d'autre que l'identit6 (53). Tenant compte de l'identitd (6o) ainsi dtablie, on voit que les condi- tions (57), (58) sont remplac6es par des conditions dquivalentes lorsqu'on y remplace par la fonction ~' :tF-+{+I,--x} ddfinie par ~'(m, n, p) =--e(m, p, n) ; vu l'unicit~ de ~, on a donc e' =~, ce qui est la denxi~me dgalitd (6i); la premiere reprodnit (57)- 4. LE THI~.OR~ME D'EXISTENCE 4. x. i~.nonc~ du th6or~me. TMorkme 1. -- Soient % un espace vectoriel sur K, E un syst~me de racines dans le dual de 7s ~ (acE) des espaces vectoriels ~ une dimension et (5 l'espace somme directe de ~ et des ~a. Soient a*c~2 (acE), f, N, M~cN (acE) et ~ dlfinis comme aux n ~ 3. I, 3.3, 3.5 et 3.8. Pour toute racine ace d&ignons par %,,, (meMo) deux dldments quelconques de ~, non nuls et opposds (%,,, .... %,m). Alors, les relations suivantes, o~t te~, a, beN, meMo, ncMb, et pcMa+ b lorsque a+bcY,, ddfinissent une structure d'alg~bre de Lie dans (5 : (I) [~, ~] =O, (2) [f, %,,,] = -- [%,,,, t] = a(t). %,,,, ~(m,.n,p).f(a,b).%+b. , si a-t-beE (3) [%,,,, %,,] = -- a si a -}- b = o et m = n o si a+bCEu{o}. (N.B. -- Pour le rapport entre ces %,,,-ci et ceux dun ~ 2.2, cf. le n ~ 4.3.3). 4.2. D~monstration : identit6 de Jacobl. 4.2.x. I1 rdsulte de 3.8 (6o) que les relations (I), (2) et (3) sont cohdrentes et ddfinissent une application bilin6aire [ , ] : (5 � CelIe-ci est anticommutative en vertu de 3-3 (34) et 3.8 (6I). I1 reste donc ~ vdrifier l'identit6 de Jacobi. 4.2.2. D6finissons une reprgsentation liMaire du groupe N dans (5 par les formules n(f) = @(n))(t) (neN, f~Z) n(%,m ) = el=(,/l(al, n(ml (neN, acre, meM,). 55l J. TITS Les transformations lineaires de (5, images des elements de N, sont des automorphismes de l'alg6bre ((5, [ , ]), c'est-tL-dire que, pour tout neN et tous g, g'e(5, (4) n([g, g'])= [n(fl), n(g')] ; cela resulte immediatement de 3.8 (59), et de l'invariance par W des fonctions * etf. Les assertions suivantes, off a, beN, meM: et heM b, sont consequences de 3.8 (58) et de 3-7 (55) :spectivement : (5) si a_/b, on a [e~,m,e~,.]=rn(eb,.); (6) si allb, on a m( eb,.) ---- %,. (c'est-t~-dire que M: centralise ~b). 4.2.3. La relation de Jacobi pour trois elements de ( 0 ~) u ~ dont un au moins appartient ~; est dvidente. t.2.4. La relation de Jacobi pour un triple (%,m, %,., ec,p) avec a + b +c=-o s'ecrit Y~[[%,,., %,.], ec, p] = Zr n,p).f(a, b). [e_~,p, %p] =o ou encore 2~(m, n, p) .f(a, b). c* = o, oh les sommes sont etendues aux permutations cycliques simultanees de a, b, c et m, n, p. Elle est donc verifiee en vertu de 3.3 (37) et 3.8 (57). 4.2.5. Verification de la relation de Jacobi pour un triple (%,,., e_.,,., %,.). On a (7) [[eo,., e_o,2, eb,.] = --b(a'). eb,.. Supposons que c=--a--beZ, et soit peM~. On a alors [[%,., e.,.~], e_.,,.] =r m,p) .f(a, b). [e_,,p, e.,m] = ---~(n, m,p).~(p, m, n).f(a, b).f(a + b, --a).%,n, d'ofl, vu 3.8 (6I), (8) [[eb,., e.,,.], e_.,,.] =--f(a, b).f(a+ b,--a). %,., et cette relation reste dvidemment vMable si a+br Remplacons-g a par --a et multiplions les deux membres par --i; il vient (9) [[e_~,.. eb,.], %,,J =f(--a, b).f(b--a, a).%,.. La relation cherchde s'obtient ~ present en ajoutant (7), (8) et (9) membres t~ membres, et en faisant usage de 3.3 (31) 9 4.2.6. Vgrification de la relation de Jacobi pour un triple (e.,m, eb,., %,p), oh les radnes a, b, c sont distinctes et deux ~ deux non oppos&s. Le cas oh a+b+ctZ est trivial. Supposons donc que d=--a--b--ceZ. On est alors dans la situation du lemme 4, et on peut supposer, sans nuire tt la gdneralitd, que l'un des trois ensembles de conditions (i) tt (iii) de l'enonce de ce lemme est rempll. Nous examinerons les trois cas ~ tour de r61e. 552 CONSTANTES DE STRUCTURE DES ALGI~BRES DE LIE SEMI-SIMPLES 49 Cas (i). -- Puisque alA_d, il r6sulte de (6) que m eentralise ~-a. On a done, vu (5) et 3.7 (53), [[ea,m, eb,n] , ec,v] = [m(eb, n), ec,v] =m([m(%.), ec, p])= [ha(eb,.) , m(e~,v)]----[--eb, ., [ea, m, ee,v]], et ceci est la relation ~ &ablir puisque b + c = --a--dCZ. Cas (ii). ~ Vu (5) et 3-7 (55), on a [%,m, [%,., %,;]] =m([%,., e~,p]) -- [m(%,m), e~,mr -~ [[%,m, %,.], ec, p] ce qui est la relation chereh&, puisque a-kcCZ. Cas (iii). -- Posons a' = b + c, c' = a-}- b, et soit u l'~l~ment de M~, d~fini par 9 (n,p, u) = i. On a (IO) [eb,n, ee,p]-~-Oea,,u. Des relations a'_/a et a'_/(--b), il rdsulte, vu (5), que (~) u(%,~) = [eo,., eo, j, et (~) u(e_b,.) = [e.,., e_~,.] = e~,~. En vertu de la relation a'Akc' et de (6), u centralise ~,, ; en partieulier, on a (~s) u([e.,~, e~,.])= [eo,., e~,.]. Puisque a--bqZ, on a, eompte tenu de 4.2.5, [[%,,., eb,.], e_b,.] ---- [%,,., [eb,., e_b,.]] =a(b*).eo~.,=--%,.,. Transformons les deux membres extremes de eette relation par u; il vient, tous ealeuls faits et eompte tenu des relations (Io) ~ (i3) , [[e.,~, e~,.], %] =-~ [[e~,., %], e.,A. En soustrayant membres ~ membres eette dernibre relation et eelle qu'on en d6duit en interehangeant b et c, on obtient la relation de Jaeobi eherch&. Le th~or6me est ainsi d6montrd. 4"3" Remarques. 4.3-x. Le th6or~ae d'lmiclt& Soient ~, E, ~a et ffi comme dans l'6nonc6 dun o 4-i. Le thdor~me d'unicit6 de l'alg6bre ayant un syst6me de racines donn6 peut alors s'6noncer comme suit : Soit donnges dans ~ deux structures d'alg~bres de Lie v~rifiant toutes deux les relations ( x), (I4) [t, e] =a(t).e pour tous te~5, ee~o, et l=~a+b si a+b~Z, (I5) [~, ~b]t C~ si a+b=o, ----{o} si a+bCZu{o}. 553 50 J. TITS Alors il existe une transformation lindaire de (5, conservant 7E et chacun des ~, induisant sur 7E la transformation identique, et transformant l'une des deux structures en l'autre. Ce th~or~me, dont la d~monstration, ~ldmentaire et bien connue (cf. par ex. [6]), ne sera pas reprise ici, peut fitre prdcis6 comme suit, en vertu du th~or~me x : Thdor~me 2. -- Soit donnde sur qj une structure d'alg~bre de Lie vdrifiant les relations ( ~ ), (~4) et (~5). Alors, il existe un systkme d'applications % : M~--->~--{o} (acE) telles que %(m -t) =--%(m), et que la structure d' algkbre de Lie en question soit ddfinie par les relations (I), (~), (3), 0t)on pose %,m= %(m). On peut se proposer de ddmontrer le thfior~me d'unicitd directement sous cette forme, sans passer par l'interm6diaire de la forme usuelle ni du thfior~me d'existence. C'est en somme ce que nous avons fair au w 2, utilisant toutefois la th~orie globale. On trouvera au w 5 des indications sur une d~monstration plus dlfimentaire, relevant exclusi- vement de la thfiorie des alg~bres de Lie. 4.3.2. Variantes de la d~monstration d'existence. a) Soit Y,' un sous-syst6me du syst6me de racines Z, ferm~ dans Z pour les combi- naisons linfaires ~t coefficients rationnels, et soient N', M',, e' d6finis ~t partir de Z' comme N, M~, ~ ~ partir de Z. Alors, il existe un monomorphisme q~ :N'~N tel que q0(M~)= M~ et qu'on ait (avec un abus de notation 6vident) ~'= ~q~. Nous traduirons ce fait en disant que la fonction ~ est h~rdditaire. Il r~sulte de cette propri~t6, et du fait que l'identit6 de Jacobi est cons6quence de relations entre triples %,m, %,,, ec, p, que pour 6tablir le thdor6me i, il suffit de consid6rer le cas off Y~ est de rang ~< 3- Si on suppose connu le thdor6me 2, on peut alors remplacer la v~rification de l'identit~ deJacobi effectu~e au n ~ 4- 2 par une d6monstration quelconque d'existence d'une alg6bre de Lie v6rifiant (i), (2), (3), pour un syst6me de racines de rang ~< 3- Lorsqu'on proc~de ainsi, le w 3 peut 6tre consid6rablement raccourci; en particulier, on n'a plus besoin dun ~ 3.4. Si on s'int6resse seulement ~ l'existence de l'alg6bre ayant un syst6me de racines donn6, et non aux relations de structure, il suffit de montrer l'existence d'une fonction ~ hdr6ditaire telle que le thdor6me 2 soit vrai, sans qu'on ait ~t la d6terminer explicitement. Au lieu de la fonction ~, on peut d'ailleurs faire usage de la fonction 3, dont l'existence est dtablie par les consid6rations dun ~ 2.2. Celles-ci ram6nent donc en fait la d~monstration du thdor6me d'existence ~ la simple v6rification de l'existence des alg6bres A1, A2, C2, G2, A3, B3 et C 3 (le w 3 devient ici tout ~ fait inutile, puisqu'on n'a plus besoin d'une description explicite d'e). Notons encore que si on admet la th6orie classique des algbbres de Lie complexes semi-simples (thdor6me d'existence exclu) et la classification des syst6mes de racines, il suffit, pour 6tablir l'existence de ces sept alg6bres, d'exhiber sept alg6bres simples de dimensions 3, 8, IO, I4, I5, 2I et 2I, les deux derni6res 6tant non isomorphes. Comme il a d6j~t 6t6 remarqu6, le fait de recourir aux consid6rations du n o ~. 2 fait sortir la d6monstration du cadre de la th6orie des alg6bres de Lie. Remarquons 554 CONSTANTES DE STRUCTURE DES ALGEBRES DE LIE SEMI-SIMPLES 5 x toutefois que les faits de la thdorie globale qu'on utilise rel6vent de la partie la plus 61dmentaire de cette th~orie, exception faite peut-~tre pour l'isomorphisme Ga~SL 2 (cf. ~ ce sujet le w 5)- b) R. Steinberg a imagin6 un procdd6 de << ddmuhiplication des racines courtes >>, permettant de ramener tr~s simplement la d6monstration d'existence (et d'unicit6) au cas particulier off toutes les racines du syst~me E ont la m~me longueur. Lorsqu'on se borne k ce cas, notre ddmonstration se simplifie considdrablement. Par exemple : si a, b, a q- b e E, on a toujours r,(b) = a -I- b et f(a, b) = i, ce qui simplifie la forme de la plupart des relations et rend dvidentes les identit6s (34) et (37) dun ~ 3.3; en examinant la ddmonstration du lemme 4, on constate qu'une bonne partie de celle-ci devient inutile et que dans l'6nonc6 de ce lemme, on peut ne conserver que la condition (i), ce qui rdduit ~ peu de chose le n ~ 4.2.6; etc. 4.3.3. La fonction ~ et les %,.~. I1 existe un isomorphisme du groupe N z du n ~ 2.8 sur le groupe N dun ~ 3-5 qui applique les M~. z sur les M~; pour la facilit~ de l'exposfi, identifions les deux groupes par un tel isomorphisme. En comparant les relations (39), (4o), (4 I) du n ~ 2. 9 et les relations (57), (58) dun ~ 3- 8, on voit que les deux fonctions z coincident sauf si l'argument (m, n, p) appar- tient ~t M~ � M b � M c off a, b, c sont trois racines courtes d'un facteur direct de type G2 de (5. Cela signifie aussi que, dans l'~noncd du thdor~me i, r est l'filfiment de ~--{o} correspondant $ m par la trijection canonique dun ~ i. I, sauf si a est une racine courte d'un facteur direct de type G2, auquel cas il en est l'opposd. Dans la ddmonstration dun ~ 5.2, nous aurions pu, sans inconvenient, utiliser la foncfion z du n ~ 2-9 au lieu de celle du n ~ 3.8; comme il s'agit ici essentiellement d'un auxiliaire de dfimonstration, nous avons cependant pr~f6rd une dfifinition plus simple une ddfinition plus << naturelle >>. 555 DEUXIEME PARTIE TH~OR~ME D'EXISTENCE Rappelons que cette deuxi~me partie, dont le but est la d~monstration du thdor~me d'existence ~noncd au n o 4. i, est enti~rement inddpendante de la premiere partie. 3" SYSTi~.MES DE RACINES 3. i. D6finitlons. Soient 3; un espace vectoriel sur K et ~' son dual. Une partie finie Z de ~E' est un systkme de racines (dans ~') si (I) Z engendre 3; '(~), (2) les relations a, kaEE et kEZ impliquent k=4-I, et s'il existe une application * :Z-+3; satisfaisant aux trois conditions suivantes, off on pose *(a)=a* : (3) a(a*) =2 pour tout aeZ; (4) b(a*)eZ pour tous a, beZ; (5) si a, beZ, alors b--b(a*).aeZ. Les 616ments de Z sont les racines. La dimension de 3; est le rang du syst6me 2;. L'appli- cation * est univoquement ddterminde par les propri6t6s (3) ~ (5); en effet, il rdsulte immddiatement de celles-ci et de (I) que a* est l'unique 616ment de 3; tel que a(a*)=2 et tel que, pour tout beN, la somme ~b'(a*) 6tendue ~ toutes les racines b' de la forme b' b--ka (keZ) soit nuUe. Nous noterons G : 3;'~3;' (atE) la rdflexion par rapport ~ a, ddfinie par (6) ra(x' ) =x'--x'(a*).a (x' e~,') et aussi sa contragr6diente ~g--~35; celle-ci laissant fixe chaque point du noyau de a et permutant a* et --a* (vu (3) et (6)), elle est donnde par (7) G(x) =x--a(x).a* (xe~2). Le groupe W engendr6 par les r~(aeY,) est le groupe de Weyl, que nous ferons aussi op6rer tant6t sur ~', tant6t sur 32 Vu (4), W laisse invariant Z, et est donc un groupe fini, en vertu de (I). II rdsulte alors de l'unicit6 de l'application * que (8) w(a)*=w(a*) pour tous a~Z, weW; (1) Nous nous ~cartons en ceci de la terminologie adopt~e par exemple dans [~] et [9]. 541 CONSTANTES DE STRUCTURE DES ALGI~BRES DE LIE SEMI-SIMPLES 53 de (5. La proposition 4 dun ~ 2.6, ~t la d6monstration de laquelle il n'y a rien ~t changer ici, caract6rise 3 ~t partir des diverses structures ddfinies clans M par (I), (2), (3)- Reste ~t d6terminer ~t isomorphisme pros l'ensemble M muni de ces structures. C'est l~t l'objet de la proposition io. 5.2. Identlt6s. Lemme 8. -- Soient a, beE, meMa, neMb, peM. (5) (m(n) ) (p) = m(n(m-l(p) ) ) ; (6) m(m(n))=((--I)~)(n); m-l(n)=((--I)~)(m(n)); (7) si r~(b)=b, on a m(n)=n(-1/(~'~)+~; (8) si r~(b)=a+b, on a [%,,., eb,.]--=f(a,b).%+b,q, avec q=m(n)(-a/("+b)+~; (O) si r,(b)=rb(a)=a+b, on a m(n)=n(m-X). (5) est immediate. Les identitds (6) ~t (8) r6sultent de la proposition 2 (n ~ 1.2) et de son corollaire (n ~ i .3), appliquds ~t la reprdsentation de (5, dans l'espace dun ~ 2.6, ddduite par restriction de la repr6sentation adjointe de (5. Enfin, (9) est une consdquence directe de (8). 5.3. Le groupe N. Proposition 10. -- II est possible d'inclure l'ensemble MuT dans un groupe N de teUe fafon que M u T engendre N, que le groupe T et les groupes T a u Ma dffinis par ( I ) soient des sous-groupes de N, et que les opdrations de T et M sur M dffinies par (2), (3) soient les op&ations par automorphisme intdrieur au sein de N. Ces conditions caractgrisent N et l'injection M uT--->N isomorphisme canonique prks. Si y,o est un syst~me de racines simples et si, pour tout aE Y, ~ q~ dgsigne un dldment quelconque de M~, l'ensemble Tu{q~! aeZ ~ engendre Net les relations (i3) , (14) , (I 5) de 2.4forment avec les relations dlfinissant la loi de groupe de Tun syst~me complet de relations pour N. Nous ne ferons qu'indiquer les grandes lignes de la ddmonstradon. Soient T' une copie du groupe T et {q'IaeZ ~ une copie de l'ensemble {q~]aeX~ Un 6Mment de T' sera reprdsent6 par la m~me lettre que l'616ment de T qu'il reproduit, affect& d'un accent. Soit N' un groupe contenant T'u{q',[aelg~ engendr6 par cet ensemble, et tel que les relations en question dans l'dnoncd prdc6dent, transpos6es ~t T'u{q'[aeX~ forment un syst6me complet de relations pour N'. L'existence d'un tel groupe N' a 6td dtablie dans [9] ; elle se ddduit aussi aisdment de 3.6. La projection canonique N'-+W=~N'/T' sera not& ,~'. Pour tous leT, meM, aeY ~ posons t'(m)=t(m) (io) et 867 54 J. TITS Ainsi est ddfinie une opdration de l'ensemble T'u{q;laeZ ~ sur M, et la premiere dtape de la ddmonstration consiste ~t montrer que cette opdration s'dtend en une opdration du groupe N' sur M. Pour cela, il faut dtablir les relations suivantes, off mEM, t, tlET, a, beZ ~ et lab est ddfini comme au n ~ 2. 4 : (12) (t. tl)(m) = t(tl(m)) ; (13) qa(qa(m)) = (-- 1)a(m) ; (i4) q~(t(q~ ~(m) ) ) = (r~(t) ) (m) ; (15) q~(qb(qa(... (m)...))) = qb(qa(qo(... (m)...))). los termes los termes Les trois premieres r~sultent immddiatement de (2) et (6). Examinons (i5) de plus prSs. Si lab = 2, il suit de (7) que qa(qb) = qb" (I6) Si lab = 3, il rfisulte de (9) que q,(qb)=qb(q21). (17) rb(a)Jl_a , de sorte Si los---= 4, et si a est la ~( plus longue )~ des deux racines a, b, on a que, vu (7), (qb(q~)) (q~) = q,. (18) on a r~(rb(a)) lib, et Enfin, si los--6, (q,(qb(q~) ) ) (qb) = qb. (19) Faisant opdrer sur m les deux membres de chacune des relations (I6) ~ (19) , onobtient (x5) par des transformations faciles, utilisant (5) et (6). Ces calculs montrent non seulement que les relations (lO), (I1) ddfinissent une action de N' sur M, mais aussi que s'il existe un groupe N possddant les propridtds de l'6nonc6, l'application canonique T'u{q'laeZ~ Tu{q, laeZ ~ s'dtend en un homomorphisme N'-->N. Celui-ci est en fait un isomorphisme parce que T'~T est bijectif et que le groupe de Weyl W=N'/T' op~re effectivement sur T-~T'. Ceci 6tablit l'unicit6 de N et la derni6re assertion de l'6nonc6. L'dtape suivante est la d6monstration du fait que, si neN', a, beZ ~ et teTb, alors (20) n(q,) =t. qb "~ n(q'~) = n. q'. n -1 = t'. q'b. Posons ~'(n)= w. Les deux relations (2o) impliquent que w(a)-----4-b. Quitte 5 remplacer 6ventuellement n par n.qa , nous pouvons supposer que w(a)=b. Utilisant la propo- sition I. 5 de [9], on se ram~ne par des raisonnements faciles ~ la consid6ration du seul cas off w appartient au groupe engendr6 par r oet r c avec ceZ ~ (si b.a, on a ndces- 558 CONSTANTES DE STRUCTURE DES ALGI);BRES DE LIE SEMI-SIMPLES 55 sairement c = b). Par l'examen des syst~mes de racines de rang 2, on voit alors que l'une des conditions suivantes est remplie : (i) w= I, b=a; (ii) /~=2, w=r~, b=a; (iii) /,~=3, w=r~.r,, b=c; (iv) /~=4, w=r~.r,.r~, b=a; (v) /,,=6, w=r,.r~.r,.r~.r~, b=a. Dans le cas (i), (2o) est une cons6quence immddiate de (2). Plus g6n6ralement, on montre sans peine que si (2o) est vraie pour un n~N', elle l'est pour tout 616ment de n.T'. I1 suffit donc, dans chacun des cas (ii) ~t (v), d'6tablir (20) pour un 616ment ner~'-l(w) particulier. Nous choisissons cet 616ment comme suit : p--1 i l(ii) n=q:; (iii) n=q~ oqc; t t . t t t n=f,(q,), (v) n= (q,(q,(q,))). i (i'~) I1 r~sulte alors de (7) et (9) que l'61~ment teT b ddfini par la premiere relation (co) est donn~, suivant le cas, par (ii) et (v) t=i; (iii) t= (--~)b ; (iv) t=i ou (--i)b selon que la racine a est << plus longue >> ou << plus courte >> que c. D6veloppant ~t prdsent les relations obtenues en rempla~ant net t par les diverses valeurs (2r) et (22) dans la deuxi~me relation (20), on constate que celle-ci se ram~ne chaque fois ~ la relation 2. 4 (I4) (off les q sont remplacds par des q'). En vertu de l'6quivalence (2o), ainsi 6tablie, les relations ~(n(q~)) =n(q',) (n~N', ace ~ ddfinissent une injection q~ :M--*N'. Soient N un ensemble contenant MuT et + : N~N' une bijection dont les restrictions ~t T et M soient respectivement l'isomor- phisme canonique T--->T' et l'injection ?. Transportons la structure de groupe de N' sur N par +-1. I1 est ~t prdsent imm6diat que le groupe N poss6de les propri6t6s de l'6nonc6. 6. QUATERNES DE RACINES DE SOMME NULLE Le lemme 4 dun ~ 3.4 est un lemme ad hoc rassemblant les propri6t6s des quaternes de racines deux ~t deux non opposdes, de somme nulle, utilis6es dans la d6monstration du n ~ 4-2. En fait, on peut ais6ment d6crire toutes les configurations possibles d'un tel quaterne. C'est ce que nous nous proposons de faire ici. Soient a~ (i= I,..., 4) quatre racines, deux ~ deux non oppos~es, telles que a~= o. Les a i appartiennent ~t un m~me facteur direct simple de E, sinon la somme ~.ai 559 56 J. TITS pourrait &re d&ompos& en deux sommes partielles nulles, dont l'une au moins n'aurait pas plus de deux termes. Posons Xi=X(a,) et aj(a;) = %. D'aprSs les relations (3), (I I), (IS), (15) et (16) du w 3, ces nombres poss~dent les propri&ds suivantes : et prennent au plus deux valeurs; les X~ sont entiers >o, si X~=kj on a %.=o, 4-i ou 2; si X~>Xi, X~/?,i=~ ou 3 et eq=o ou 4- I; ocll = 2 ; ~ ~0 = 0 pour tout i; %~ i = XjX}- i. I1 est facile de d&erminer toutes les solutions de ce syst~me de relations; on trouve qu'~t une permutation des indices I ~t 4 pros, elles sont toutes donn6es par l'un des ensembles de relation (I) k (VI) ci-apr~s, 05 e d&igne la matrice des % et .". symbolise la proportionnalit6 : (I) (Xi) .~ (I, I, I, I) et .= --I 2 I (II) (X~) ~176176 (I, I, I, 2) et ~----- --I I 2 0 --I --I (2ii i) (III) (~) .'. (I, ,, I, 3) et --I 0 2 2 --I --I (IV) (X~) ~176176 (I, I, 2, 2) et ~= (i ~ I~ 2 2 --2 2 --2 m (v) (~) ... (i, ~, 2, 2) et --I 2 (:: !) --I 0 ( i 13o :!) et ~ = (vI) (~) .'. (~, ,, 3, 3) --I 0 2 0 --I --I 560 CONSTANTES DE STRUCTURE DES ALGI~BRES DE LIE SEMI-SIMPLES 57 La matrice e ddtermine, ~t similitude pros, la configuration << euclidienne >> du quaterne (al). I1 reste ~t voir, dans chacun des cas (I) ~t (VI) si le quaterne correspondant peut 6tre inclus dans un syst6me de racines. Nous nous proposons de donner ici, sans entrer dans le ddtail des ddmonstrations, d'ailleurs dldmentaires, la solution d'un probl~me plus prdcis, ~t savoir, la classification, par rapport au groupe des automorphismes d'un syst~me de racines donnd Z, de tousles quaternes de racines deux ~ deux non opposdes, de somme nulle. Supposant ~ nouveau que les {at} fassent pattie d'un syst6me de racines N, nous noterons Z' le sous-syst6me de Y, formd par toutes les racines qui sont combinaisons lindaires ~ coefficients rationnels des ai. Nous dirons que deux quaternes sont de m&ne type si leurs matrices e sont les m~mes (apr6s permutation dventuelle de l'un des quaternes) et si les syst6mes Y,' qu'ils engendrent sont isomorphes. La raison de cette terminologie apparaltra dans l'dnoncd qui termine ce paragraphe. Le tableau ci-apr6s donne l'dnumd- ration de tous les types de quaternes possibles. Le chiffre romain de la premiere colonne se rapporte ~t la numdrotation des matrices e introduite plus haut; les deux autres colonnes donnent le type auquel appartient le syst6me Y,' (avec la notation classique d'E. Cartan), et un ensemble de racines simples de ce syst6me. Les notations relatives au cas I s'expliquent ainsi : les cas I' et I" se distinguent par le fait que dans le type I", al+a 4 est une racine, et non dans les types I'. On remarquera que dans tousles cas, ~t l'exception de I~, les dldments de 2;' sont combinaisons lindaires h coefficients entiers des ai; dans le cas If, les racines qui sont combinaisons lindaires ~ coefficients entiers des a i for- ment un sous-syst6me de type A 3. Types de quaternes ~t Racines simples I; A3 al, a2~ a4 I(a4__al), al, a2 B3 I" C3 a 4- a I , al, a2 II C3 al, a2~ (/4 III G2 a I = a 3 ~ a 4 IV Ba al, a3, a4 B2 a 1 ~ a 2 :, a 3 VI al, a3-- a2-- 2 a I 8 58 J. TITS Enfin, la solution au probl~me pos6 plus haut est ~t pr6sent contenue dans l'6noncd suivant. Pour qu'un syst~me de racines Y, contienne un quaterne de type donnd, il faut et il suffit que le diagramme de Dynkin de Y, poss~de un sous-diagramme isomorphe au diagramme de Dynkin du systkme E' du type en question. Si E est simple, deux quaternes de mgme type sont dquivalents pour le groupe des automorphismes de E. Plus pre'cise'ment, si les deux quaternes {ai} et {a~} sont ordonnds de telle fafon que aj(a~)=a~(a~) pour tous i, j, alors il existe un automorphisme de F_, qui transforme ai en a~ pour tout i. BIBLIOGRAPHIE [I] BOREL (A.) et TITS (J.), Groupes r&tuctifs, Publ. Math. I.H.E.S., 27 (I965), 55-I5 I. [2] BOUP.~AKI (N.), Groupes et alg~bres de Lie, chap. V : ~ Syst~mes de racines >~ (~t paraltre). [3] C~EVALLEY (C.), Sur certains groupes simples, TOhoku Math. ]tour. (1), 7 (1955), 14-66. [4] CHEVALLEY (C.), Sdminaire sur la classification des groupes de Lie alg~briques, 2 vol., Paris, I958 (notes polycopides). [5] DEMAZURE (M.) et GROTHENDIECK (A.), Schdmas en groupes, I.H.E.S., I964 (notes polycopi6es). [6] JACOaSON (N.), Lie algebras, Inters. tracts in pure math., lO, Interscience publ., New York, x962. [7] Sdminaire Sophus Lie, I, Th6orie des alg~bres de Lie, 1954-55 , Paris, Secr6tariat Math6matique. [8] Sdminaire sur les algObres de Lie, VI, Bases de Chevatley (exposds de J. TITS, r6digOs par P. DELIGYE), Bruxelles, I964, notes polycopi6es. [9] TITS (J.), Normalisateurs de tores, I, Groupes de Coxeter 6tendus, Journal of Algebra, 3 (1966)- [IO] WEYL (H.), Theorie der Darstellung kontinuierlicher halb-einfacher Gruppen durch lineare Transformation, III, Math. Zeltschrift, 24 (1926), 328-376 (= Selecta, Birkhiiuser Verlag, 1956 , p. 3~5). (1) Nous nous ~cartons en ceci de la terminologie adoptde par exemple dans [I] et [9]. Manuscrit refu le 1 er mars 1966.
Publications mathématiques de l'IHÉS – Springer Journals
Published: Dec 1, 1966
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