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Résumé du Mémoire Précédent

Résumé du Mémoire Précédent RI~SUMI~ DU MI~MOIRE PRI~CgDENT Soient k un corps de nombres algSbriques, S un ensemble fini de places de k (archimSdiennes ou non), et l un nombre premier. On note K s la plus grande extension galoisienne de k dont le groupe de Galois 0bs soit un pro-/-groupe (i.e. une limite projective de l-groupes finis), et qui soit non ramifiSe en dehors de S. [Rappelons que, siv est une place archim6dienne, on dit que vest ramifiSe si le degrS de l'extension locale correspondante est Sgal ~t 2. Toute place complexe est non ramifiSe; une place rSelle est non ramifiSe si et seulement si elle reste rSelle (c'est toujours le cas si 14~ 2). Dans la suite, on supposera que les places archim6diennes contenues dans S sont toutes rSelles.] On se propose d'Svaluer les deux entiers suivants : d((Ss) =nombre minimal de gSnSrateurs topologiques de (58 = dim. H~(ibs, Z//Z) = dim.~is/(~s, ffis) .(5~, r(~s) =nombre minimal de ~ relations ~ entre 61Sments d'un syst~me minimal de gSnSrateurs topologiques de (5 s ---- dim. H2((~is, Z//Z). [Toutes les dimensions sont relatives au corps Z/IZ.] En fait, l'auteur dStermine explicitement d((Ss) , et donne une majoration de r(~s)--d(~bs) ; l'intSr~t principal du rSsultat est de montrer que r((Ss)--d((Ss) est ~ petit >>; modulo des thSor~mes k dSmontrer sur les l-groupes, cela devrait entralner le fait que (Ss est infini (pour des choix convenables de k). I. Calcul du nombre de g~n6rateurs. La th6orie du corps de classes permet d'identifier le groupe (Ss/((Ss,(Ss).~ au i * groupe J/9.IsJ k, off J dSsigne le groupe des id~les de k, et 9/s le sous-groupe de J forms des id~les de la forme (xv) , off x~ est une units pour tout v r S, et x, = I pour v ~S [lorsque v est archimSdienne, on convient que tout SlSment du corps local k, est une unitS]. La dimension du groupe J/9~sJ~k * se calcule au moyen d'un certain nombre de suites exactes. Le rSsultat est le suivant (cf. th. i, p. 73) : Thdor~me I. -- On a d((bs)=dim(Vs/k n) + ~ dim(lI~/~Iz~)--r--~, 0~ : v~8 Vs--=lIsJ~r~k*=ensemble des xek* qui sont des puissances l e dans tousles k~, veS, et dont les valuations relativement aux vr S sont divisibles par l. r = rang rationnel du groupe des unitSs de k --= rl-t- r~-- x, avec les notations habituelles. ti si k contient une racine primitive l e de l'unitS ~= slnon. 317 94 Bien entendu, les dim(lI,/lI*,) peuvent 6tre explicit6es. Cela permet de mettre d((~s) sous la forme suivante : d(%) = t(S) + X(S) + ,,(S) --,'-- ~, avec : t(S) =nombre des yeS tels que k~ contienne une racine primitive l e de l'unit6. ~(S) = dim(Vs/k*~). X(S)-----Zn(v), pour yeS divisant l, off n(v) est le degr~ du corps local k, sur Q,. 2. Nombre de relations. Posons E(G)=He(G, Z//Z), groupe des classes d'extensions de G par Z/lZ. On doit dvaluer r(~s) =dim.E(ffis). Si l'on 6crit le groupe G=ffi s sous la forme lim.G~, off les G~ sont finis, et si l'on note E(G~) ~ le noyau de E(G,)-~E(G), on a 6videmment : r(G) = Sup. dim. E(G~)/E(G~) ~ eL L'auteur interpr6te ces E(G~) et E(G~) ~ en termes de << probl6mes de plongement >>. Voici ce qu'il entend par 1~ : soit K~ le sous-corps de K s ayant pour groupe de Galois sur k le groupe G~. Soit d'autre part eeE(G,). Le << probl6me de plongement pour e ~ consiste ~ trouver une extension K~ de K~,, galoisienne sur k, cyclique de degr6 I sur K, et telle que le groupe de Galois de KJk soit l'extension de G~ par Z/lZ correspondant ~ e. On dit que le problbme de plongement est rdsoluble dans K s si l'on peut choisir pour K, un sous-corps de K s . Ceci 6tant, il est facile de voir que E(G~) ~ est l'ensemble des eEE(G~) tels que le probl6me de plongement correspondant soit rdsoluble dans K s (cf. th. 2, p. 78). A c6t6 de E(G~), on introduit le sous-groupe I~i'G:) form6 des ~16ments e pour lesquels le probl~me de plongement est rdsoluble (dans la c16ture alg6brique de k). On a tout d'abord (cf. th. 3, P- 79) : dim.E(G~)/E(G~) ~< t(S)--~ (resp. E(G)=E(G~) si S=o,~=I), avec les notations du n o I. On d6finit d'autre part (cf. th. 4, P. 8o) un plongement du groupe E(G~)/EiGs ~ dans Coker(~), off q~ : ~s~J/k * est l'application ~vidente, et ~ sa transpos6e par rapport au foncteur Horn( , Z//Z). D'ofi l'in~galit~ : dim. I~iGf)/E(G~,)~ ~< dim. Ker(~z), off Vz dfisigne 1'application canonique de lIs[g ~ dans j/jlk*. En regroupant ces diverses in6galit6s, et en calculant la dimension de Ker(?~), on obtient finalement : 318 Rt~SUM/~ DU MEMOIRE PRI~CI~DENT TMor~me 5. -- Les notations gtant celles du n o x, on a : r(~s) < t(S) +~(S)--~ (resp. r(lSs) ~< ~(S) si S = o, 8--= I). 3. Applications. Dans certains cas particuliers, les 4valuations pr4c~dentes conduisent au caicul complet de d(~s) et r(ffis). Bornons-nous ~ un exemple (il yen a d'autres dans le texte) : Supposons que (S, l)= I (i.e. aucune place yeS ne divise l), et excluons le cas exceptionnel S = o, 8 = i. On trouve alors : Thgorkme 6. -- r((Ss) < d((Ss) + r. En particulier, la diff4rence r((Ss)--d((Ss) est born& par le degr4 du corps k. Plus particuli~rement encore, prenons k figal ~ Q ou ~t un corps quadratique imaginaire, et l+~. Alors r=o, et l'on trouve r((fs)~<d(ffis). D'autre part, la th6orie du corps de classes montre que (5s/(6is, I~is) est fini. On a donc n~cessairement d((fs) ~<r((fis), d'ofl d((Ss) = r((Ss). Probl~me. ~ Le groupe (Ss est-ilfini ? (Pour S = o, c'est essentiellement le probl~me classique de la << tour des corps de classes ~>.) Vu les r4sultats pr4c6dents, on est tentd de penser que la r4ponse est n6gative en g6ndral ; on connaSt en effet tr~s peu de/-groupes finis ayant autant de g~nfirateurs que de relations (en fait, dans les seuls exemples connus, ce nombre est ~< 3). De fa~on plus pr4cise, on peut poser la question suivante : Question. ~ Pour tout entier d>~o, soit r(d) le minimum de relations ddfinissant un/-groupe fini ~t d g4n6rateurs. Est-il vrai que r(d)--d tende vers q-oo avec d? Si oui, on peut construire des corps de nombres k tels que ffi s soit infini (avec S = si l'on veut). L'auteur obtient le r4sultat plus faible suivant : disons qu'un groupe est de hauteur ~< h s'il est extension h-uple de groupes ab61iens (i.e. si la suite des commutateurs successifs G0=G , G,+I=-(G~, G~) est telle que Gh={I}). Si l'on se borne aux/-groupes finis G de hauteur <h, on d~finit comme ci-dessus une fonction %(d). II existe alors une constante e>o telle que %(d)<~d ~. La ddmonstration (donn6e au w 5) utilise la technique des alg~bres de Lie assocides aux groupes nilpotents. De l~t, et du thdor~me 6, rdsulte l'existence d'une suite de corps k~ de degr6s born~s tels que le <<nombre d'~tages ~, de la tour de corps de classes de k~ tende vers l'infini avec i. http://www.deepdyve.com/assets/images/DeepDyve-Logo-lg.png Publications mathématiques de l'IHÉS Springer Journals

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Publications mathématiques de l'IHÉS , Volume 18 (1) – Aug 7, 2007
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Publisher
Springer Journals
Copyright
Copyright © 1963 by Publications mathématiques de l’I.H.É.S
Subject
Mathematics; Mathematics, general; Algebra; Analysis; Geometry; Number Theory
ISSN
0073-8301
eISSN
1618-1913
DOI
10.1007/BF02684786
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Abstract

RI~SUMI~ DU MI~MOIRE PRI~CgDENT Soient k un corps de nombres algSbriques, S un ensemble fini de places de k (archimSdiennes ou non), et l un nombre premier. On note K s la plus grande extension galoisienne de k dont le groupe de Galois 0bs soit un pro-/-groupe (i.e. une limite projective de l-groupes finis), et qui soit non ramifiSe en dehors de S. [Rappelons que, siv est une place archim6dienne, on dit que vest ramifiSe si le degrS de l'extension locale correspondante est Sgal ~t 2. Toute place complexe est non ramifiSe; une place rSelle est non ramifiSe si et seulement si elle reste rSelle (c'est toujours le cas si 14~ 2). Dans la suite, on supposera que les places archim6diennes contenues dans S sont toutes rSelles.] On se propose d'Svaluer les deux entiers suivants : d((Ss) =nombre minimal de gSnSrateurs topologiques de (58 = dim. H~(ibs, Z//Z) = dim.~is/(~s, ffis) .(5~, r(~s) =nombre minimal de ~ relations ~ entre 61Sments d'un syst~me minimal de gSnSrateurs topologiques de (5 s ---- dim. H2((~is, Z//Z). [Toutes les dimensions sont relatives au corps Z/IZ.] En fait, l'auteur dStermine explicitement d((Ss) , et donne une majoration de r(~s)--d(~bs) ; l'intSr~t principal du rSsultat est de montrer que r((Ss)--d((Ss) est ~ petit >>; modulo des thSor~mes k dSmontrer sur les l-groupes, cela devrait entralner le fait que (Ss est infini (pour des choix convenables de k). I. Calcul du nombre de g~n6rateurs. La th6orie du corps de classes permet d'identifier le groupe (Ss/((Ss,(Ss).~ au i * groupe J/9.IsJ k, off J dSsigne le groupe des id~les de k, et 9/s le sous-groupe de J forms des id~les de la forme (xv) , off x~ est une units pour tout v r S, et x, = I pour v ~S [lorsque v est archimSdienne, on convient que tout SlSment du corps local k, est une unitS]. La dimension du groupe J/9~sJ~k * se calcule au moyen d'un certain nombre de suites exactes. Le rSsultat est le suivant (cf. th. i, p. 73) : Thdor~me I. -- On a d((bs)=dim(Vs/k n) + ~ dim(lI~/~Iz~)--r--~, 0~ : v~8 Vs--=lIsJ~r~k*=ensemble des xek* qui sont des puissances l e dans tousles k~, veS, et dont les valuations relativement aux vr S sont divisibles par l. r = rang rationnel du groupe des unitSs de k --= rl-t- r~-- x, avec les notations habituelles. ti si k contient une racine primitive l e de l'unitS ~= slnon. 317 94 Bien entendu, les dim(lI,/lI*,) peuvent 6tre explicit6es. Cela permet de mettre d((~s) sous la forme suivante : d(%) = t(S) + X(S) + ,,(S) --,'-- ~, avec : t(S) =nombre des yeS tels que k~ contienne une racine primitive l e de l'unit6. ~(S) = dim(Vs/k*~). X(S)-----Zn(v), pour yeS divisant l, off n(v) est le degr~ du corps local k, sur Q,. 2. Nombre de relations. Posons E(G)=He(G, Z//Z), groupe des classes d'extensions de G par Z/lZ. On doit dvaluer r(~s) =dim.E(ffis). Si l'on 6crit le groupe G=ffi s sous la forme lim.G~, off les G~ sont finis, et si l'on note E(G~) ~ le noyau de E(G,)-~E(G), on a 6videmment : r(G) = Sup. dim. E(G~)/E(G~) ~ eL L'auteur interpr6te ces E(G~) et E(G~) ~ en termes de << probl6mes de plongement >>. Voici ce qu'il entend par 1~ : soit K~ le sous-corps de K s ayant pour groupe de Galois sur k le groupe G~. Soit d'autre part eeE(G,). Le << probl6me de plongement pour e ~ consiste ~ trouver une extension K~ de K~,, galoisienne sur k, cyclique de degr6 I sur K, et telle que le groupe de Galois de KJk soit l'extension de G~ par Z/lZ correspondant ~ e. On dit que le problbme de plongement est rdsoluble dans K s si l'on peut choisir pour K, un sous-corps de K s . Ceci 6tant, il est facile de voir que E(G~) ~ est l'ensemble des eEE(G~) tels que le probl6me de plongement correspondant soit rdsoluble dans K s (cf. th. 2, p. 78). A c6t6 de E(G~), on introduit le sous-groupe I~i'G:) form6 des ~16ments e pour lesquels le probl~me de plongement est rdsoluble (dans la c16ture alg6brique de k). On a tout d'abord (cf. th. 3, P- 79) : dim.E(G~)/E(G~) ~< t(S)--~ (resp. E(G)=E(G~) si S=o,~=I), avec les notations du n o I. On d6finit d'autre part (cf. th. 4, P. 8o) un plongement du groupe E(G~)/EiGs ~ dans Coker(~), off q~ : ~s~J/k * est l'application ~vidente, et ~ sa transpos6e par rapport au foncteur Horn( , Z//Z). D'ofi l'in~galit~ : dim. I~iGf)/E(G~,)~ ~< dim. Ker(~z), off Vz dfisigne 1'application canonique de lIs[g ~ dans j/jlk*. En regroupant ces diverses in6galit6s, et en calculant la dimension de Ker(?~), on obtient finalement : 318 Rt~SUM/~ DU MEMOIRE PRI~CI~DENT TMor~me 5. -- Les notations gtant celles du n o x, on a : r(~s) < t(S) +~(S)--~ (resp. r(lSs) ~< ~(S) si S = o, 8--= I). 3. Applications. Dans certains cas particuliers, les 4valuations pr4c~dentes conduisent au caicul complet de d(~s) et r(ffis). Bornons-nous ~ un exemple (il yen a d'autres dans le texte) : Supposons que (S, l)= I (i.e. aucune place yeS ne divise l), et excluons le cas exceptionnel S = o, 8 = i. On trouve alors : Thgorkme 6. -- r((Ss) < d((Ss) + r. En particulier, la diff4rence r((Ss)--d((Ss) est born& par le degr4 du corps k. Plus particuli~rement encore, prenons k figal ~ Q ou ~t un corps quadratique imaginaire, et l+~. Alors r=o, et l'on trouve r((fs)~<d(ffis). D'autre part, la th6orie du corps de classes montre que (5s/(6is, I~is) est fini. On a donc n~cessairement d((fs) ~<r((fis), d'ofl d((Ss) = r((Ss). Probl~me. ~ Le groupe (Ss est-ilfini ? (Pour S = o, c'est essentiellement le probl~me classique de la << tour des corps de classes ~>.) Vu les r4sultats pr4c6dents, on est tentd de penser que la r4ponse est n6gative en g6ndral ; on connaSt en effet tr~s peu de/-groupes finis ayant autant de g~nfirateurs que de relations (en fait, dans les seuls exemples connus, ce nombre est ~< 3). De fa~on plus pr4cise, on peut poser la question suivante : Question. ~ Pour tout entier d>~o, soit r(d) le minimum de relations ddfinissant un/-groupe fini ~t d g4n6rateurs. Est-il vrai que r(d)--d tende vers q-oo avec d? Si oui, on peut construire des corps de nombres k tels que ffi s soit infini (avec S = si l'on veut). L'auteur obtient le r4sultat plus faible suivant : disons qu'un groupe est de hauteur ~< h s'il est extension h-uple de groupes ab61iens (i.e. si la suite des commutateurs successifs G0=G , G,+I=-(G~, G~) est telle que Gh={I}). Si l'on se borne aux/-groupes finis G de hauteur <h, on d~finit comme ci-dessus une fonction %(d). II existe alors une constante e>o telle que %(d)<~d ~. La ddmonstration (donn6e au w 5) utilise la technique des alg~bres de Lie assocides aux groupes nilpotents. De l~t, et du thdor~me 6, rdsulte l'existence d'une suite de corps k~ de degr6s born~s tels que le <<nombre d'~tages ~, de la tour de corps de classes de k~ tende vers l'infini avec i.

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Publications mathématiques de l'IHÉS – Springer Journals

Published: Aug 7, 2007

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