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- Publisher
- Springer Journals
- Copyright
- Copyright © 1996 by Publications mathématiques de l’I.H.É.S
- Subject
- Mathematics; Mathematics, general; Algebra; Analysis; Geometry; Number Theory
- ISSN
- 0073-8301
- eISSN
- 1618-1913
- DOI
- 10.1007/BF02698643
- Publisher site
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Abstract
POUR UNE THt~ORIE INCONDITIONNELLE DES MOTIFS par Yv~.s ANDRI~ 0. Introduction .............................................................................. 5 1. Les involutions de Lefschetz et de Hodge .................................................... 10 2. Cycles et correspondances motives ........................................................... 13 3. L'6quivalence _--__ sur les cycles motives ...................................................... 19 4. Motifs en caractdristique 0, et groupes de Galois motiviques ................................... 22 5. D6formation ............................................................................... 25 6. Cycles motives sur les vari6t6s ab61iennes ..................................................... 30 7. Motifs attach6s aux surfaces K3 et /~ quelques cubiques ....................................... 34 8. Motifs ~ coefficients entiers ................................................................. 36 9. Motifs en caract6ristique pet sp&ialisation .................................................. 39 Appendice : 6quivalence numdrique et ~quivalence homologique .................................. 43 O. Introduction 0.1. Au coeur de la philosophie des motifs, imagin~e par A. Grothendieck il y a une trentaine d'ann&s, il y a la recherche d'une cohomologie universelle h(X) pour les schdmas X alg~briques sur un corps de base K fix6, ~ valeurs dans une certaine | abdlienne Q-lin6aire -- la catdgorie des motifs --, et telle que toute cohomologie <~ raisonnable, se factorise ~t travers h (rdalisation des motifs). En citant J.-P. Serre [$92], on dispose en effet << de trop de groupes de cohomologie qui ne sont pas suffisamment lids entre eux -- malgr~ les isomorphismes de compatibilit& Par exemple, si X et Y sont deux vari6t6s (projectives, lisses), et f: H~(X,Q,) ~ H~(Y, QI ) une application Qrlin~aire, off lest un nombre premier fix6, il n'est pas possible en g6n6ral de d6duire de f une application analogue pour la cohomologie/'-adique, off l' est un autre nombre premier. Pourtant, on ale sentiment que c'est possible pour certalns f, ceux qui sont "motives" (par exemple ceux qui proviennent d'un morphisme de Y dans X, ou plus g~n6ralement d'une correspondance alg~brique entre X et Y). Encore faut-il savoir ce que "motiv6" veut dire! . Voici, en se limitant aux sch6mas X projectifs et lisses, et ~ reformulation pr6s, la construction originale de Grothendieck : Un motif (semi-simple) est un symbole r (n), off X est un sch6ma projectif lisse sur K, n un entier, et q une Q-correspondance alg6brique idempotente de degr6 0 6 YVES ANDRl~ sur X, modulo une 6quivalence adtquate convenable ---, par exemple l'tquivalence numdrique (on dit que qb(X) (n) est le motif dtcoup6 sur X par q, et n fois tordu ~t la Tate); un morphisme de motifs qb(X)(n) ~pb(Y)(m) est une correspondance de la forme p o r o q, off rest elle-m~me une correspondance algtbrique de X vers Y modulo = de degr6 m -- n (les dtfinitions de base sont rappeltes en appendice). Le foncteur contra- variant de cohomologie motivique associe h(X):= id b(X)(0) ~t X, et le produit tensoriel des motifs correspond au produit des schtmas. Bien que source d'inspiration darts de nombreux domaines de la gtomttrie algt- brique et arithmttique, la thtorie est restte longtemps presque entitrement conjecturale, faute de progrts suffisants sur les points suivants. 1) Le probl&ne des fondements : la construction naturelle des rtalisations requiert que = ne soit pas moins fine que l'tquivalence homologique. Or, dans l'autre sens, U. Jannsen [.]92] a rtcemment dtmontr6 que la catdgorie des motifs de Grothendieck est abtlienne semi-simple si et seulement si -- est l'tquivalence numtrique. On est donc conduit h admettre, pour dtvelopper la thtorie, que l'tquivalence homologique et l'tquivalence numtrique coincident -- l'une des fameuses conjectures standard (en fait, nous montrerons dans l'appendice que si = n'est pas plus fine que l'tquivalence homo- logique, la propritt6 des motifs de former une cattgorie abtlienne et correctement gradude impose cette conjecture standard m~me sans requtrir la semi-simplicitt). On dispose alors sur la | des motifs d'une graduation naturelle (le << yoga des poids >~), et la thtorie << tannakienne ~ (con~ue par Grothendieck ~t cette occasion) montre qu'elle est 6quivalente ~t la | des reprtsentations d'une gerbe prortductive, dont les diverses incarnations donnent lieu aux groupes de Galois motiviques et h une correspondance de type galoisien; ceci ramtne nombre de probltmes gtomttriques ~t des questions de reprtsentations de groupes rtductifs sur Q. 2) Le probl~me de la construction de cycles motivds : la thdorie n'est vraiment utile que si l'on dispose d'assez de cycles motiv6s -- c'est-k-dire alg6briques, selon la d6finition de Grothendieck. A ce point, on est confront6 aux conjectures de Hodge et Tate, ou encore ~t celle plus modeste de Grothendieck sur la d6formation des cycles alg6briques par transport parall6le ([G68], n. 13). Du reste, en caract6ristique nulle, les conjectures standard (et donc le probl6me des fondements) se ram6nent ~t la construction d'un cycle alg6brique *r~ (cf. 0.2). 0.2. En caracttristique nulle, P. Deligne a propos6 une variante <~affaiblie ~ mais inconditionnelle de cette thtorie [DM82], oth l'on remplace correspondances algtbriques par correspondances absolument de Hodge (ou absolument de Hodge-Tate selon A. Ogus [082] si l'on veut des rdalisations cristallines); il s'agit essentiellement de ne retenir des cycles algtbriques que leurs proprittts cohomologiques les plus visibles, en rendant les rtalisations quasi tautologiques. La cattgorie des motifs de Grothendieck est une sous-cattgorie a priori non pleine de cette cattgorie de ~ motifs de Hodge absolus ~; le probltme 2 ci-dessus s'en trouve quelque peu facilitt. Par exemple, POUR UNE TH]~ORIE INCONDITIONNELLE DES MOTIFS Deligne [D82], et ult6rieurement D. Blasius, A. Ogus [090] et (ind6pendamment) J.-P. Wintenberger, ont r6ussi ~ montrer que tout cycle de Hodge sur une vari6t6 ab61ienne est absolument de Hodge, resp. de Hodge-Tate. Malgr6 ces succ&, le caract6re transcendant de cette d6finition de motifs reste un handicap (cf. e.g. la question de la compatibilit6 du syst~me des r6alisations 6tales l-adiques d'un motif de Hodge absolu sur un corps de nombres), et peu propre ~ exprimer, selon le vceu de Grothendieck, (( l'identit6 profonde entre la g~om6trie et l'arithm6tique >>. Dans cet article, nous revenons ~ la construction originale de Grothendieck, et proposons une d~finition des morphismes motiv& qui soit aussi proche que possible de la sienne tout en rdsolvant le probl~me des fondements. Nous t~cherons aussi de montrer qu'elle peut rendre au moins autant de services que la th~orie de Hodge absolue (du moins dans le cadre present des motifs purs). Pour all~ger cette introduction, nous nous bornons au cas d'un corps de base K de caract~ristique nulle. Soit H" une th~orie de cohomologie classique, i.e. de de Rham, ~tale l-adique, ou de Betti si K ~ 13. On dispose alors du th~or~me de Lefschetz fort : pour tout i~< d = dim X, L d-i : H*(X) ~ H2a-*(X) (d -- i) est un isomorphisme. Si l'on choisit pour - l'~quivalence homologique (qui ne d6pend pas du ehoix de H'), ce qui garantit l'existence d'une H'-r6alisation, l'isomorphisme de Lefschetz est la r~ali- sation d'un morphisme de motifs h*(X) ~ b2d-i(X) (d -- i), cf. w 4. Or si l'on veut que la categoric des motifs soit ab~lienne et correctement gradude, on volt que l'involution <( de Lefschetz >> *t., donn~e en chaque degr~ par l'isomorphisme de Lefschetz ou son inverse (w 1), doit ~tre un morphisme de cette categoric. Faute de savoir en g~n~ral si *L est donn~e par une correspondance alg~brique, l'id~e cl~ de cet article est d'adjoindre formellement cette involution aux correspondances alg~briques pour d~finir les cycles motives. 0.3. Plus pr~cis~ment, soit YP une sous-cat~gorie pleine de la categoric des K-schdmas X projectifs lisses, stable par produits, sommes disjointes et composantes connexes. Les objets de ~r seront les pi~ces de base du (( meccano des motifs >>. TMor~me 0.3. -- Il existe une Q-alg~bre graduge A~odX), contenant les cycles alggbriques sur X (modulo ~quivalenee homologique), et, pour toute cohomologie classique H, une appli- cation lingaire injective cl~,:A~o~(X ) ~ HP~'(X) prolongeant l'application a dasse de cycle alggbrique >> et doublant la graduation, avec les proprigtgs suivantes : i) pour tout dlgment ~ de A~o~(X), il existe un objet Y de ~'~, des Q-cycles algdbriques et ~ sur X � Y, et une polarisation de X � Y de type <( produit >> [X] | ~y -t- ~x | [Y], tels que cl~(~) = p~� ~.(cl~(a) t3 .i. cl~(~)) pour route H; ii) l'algObre A~o~(X ) et les applications cl~ d@endent bifonctoriellement de X : on dispose du formalisme f., f* pour les morphismes, religs par la formule de projeaion. Nous appellerons cycles motivds (model,s sur r les N~ments de A~o~(X ) (cette notion se r~duit ~ celle de cycle alg~brique si pour tout objet de r l'involution .~ est 8 YVES ANDR]~ donnte par une correspondance algtbrique). On montre que les cycles motivts sont de Hodge-Tate absolus (w 2.5). La propritt6 i) (z) entraine que la dtfinition des cycles motivts est (( de nature algdbrique ~ (par opposition h celle des cycles de Hodge absolus), et que les applications sont compatibles aux isomorphismes de comparaison entre cohomologies classiques. 0.4. La propri6t6 ii) permet de d6velopper un formalisme des correspondances ~( motiv6es )~ et de leur composition. On peut alors mimer la construction O. 1 des motifs d6coup6s sur X, pour tout schema X dans ~, en rempla~ant Q-correspondances algf- briques par correspondances motiv6es. La | ainsi obtenue (~) sera appel6e | des motifs model~e sur 3r et notre .,s C'est de ces motifs-ci dont il s'agira dans la suite de cette introduction. TMorkme 0.4. -- La | Jl(~) est tannakienne sur O, gradu(e, semi-simple, polaris(e. En outre, toute cohomologie classique H" se factorise ~ travers la cohomologie motivique b en dormant naissance ~ un foncteur libre gradug sur Mg(3r p) (appel6 H-rdalisation). Ce thdor~me apporte donc en caractdristique nulle une rdponse satisfaisante au probl~me des fondements. I1 permet de ddvelopper inconditionnellement une tMorie de Galois motivique (4.6). 0.5. Passons aux probltmes de construction de cycles motives, et, d'abord, ~ la conjecture de Grothendieck 6voqude plus haut qui prtdit l'invariance de la notion de cycle algtbrique par dtformation plate; nous en prouverons la variante (( motiv6e ~ : Th(orkme de dgformation O. 5. -- Soient Sun scMma rgduit connexe de type fini sur C, f: X -+ Sun morphisme projectif et lisse, et ~ une section du faisceau R2vf, Q(p) sur l'analytisg de S. Ators si en un point s ~ S(C), la fibre ~ est motivge, il enest de mgme en tout point t ~ S(C) (pour un choix convenable de pi~ces de base). Si de plus S est projectif lisse, alors ~ provient d'un cycle motivd ~x sur X. L'essentiel de la preuve consiste ~ interpr6ter en termes de motifs le (( thtortme de la partie fixe ~) de Deligne [D71], qui n'ttait exploit6 jusque-lk qu'en thtorie de Hodge. 0.6. Ce rtsultat a de nombreux corollaires, dont voici quatre. TMorkme O. 6.1. -- Soit M un motif sur C. Il existe un motif N sur un corps de hombres tel que les groupes de Galois motiviques associgs gl Met N soient isomorphes. Cet 6nonc6 figurait dans [$94] 6.4 comme constquence des conjectures de Grothendieck et Tate. (1) Dans laquelle on pourrait substituer l'involution de Hodge abstraite (w 1) ~ celle de Lefschetz sans changer la notion de cycle motivt. (z) Avec la contrainte de commutativit6 donnte par la rtgle de Koszul, cf. w 4. POUR UNE THI~.ORIE INCONDITIONNELLE DES MOTIFS Thdorkme O. 6.9.. -- Tout cycle de Hodge ~ sur une varigtg abglienne A est motiv(. Plus pr/cisgraent, ~ est somme de cycles de la forme p,(o~ u ,~. ~), oit ~ et ~ sont desQ-cycles alg/briques sur A � B � YI � ... � Y,, B dgsignant une varigtg abdlienne, Y, l'espace total d'un pinceau compact de varidtds abdliennes, et p la projection sur A. Ce nouveau pas en direction de la conjecture de Hodge, qui renforce le thdor~me de Deligne-Blasius-Ogus-Wintenberger, permet notamment d'attacher k tout caract6re de Hecke algdbrique un unique motif ddcoupd sur un produit de varidtds abdliennes potentiellement de type CM et de varidtds de dimension 0. On peut alors remplacer dans tout le livre de N. Schappacher [Scha88] (sauf aux deux derni6res pages) les motifs de Hodge absolus par ceux ddfinis ici. En pratique, chaque fois qu'on sait prouver qu'une classe de cohomologie est de Hodge absolue, le m6me argument essentiellement montre qu'il est motivd en notre sens. La preuve de 0.6.2 suit le fil de ceUe de Deligne du fait que tout cycle de Hodge l'est absolument (1). Des arguments de m~me farine montrent : TMorkme O. 6.3. -- Le motif de toute surface K3 projective et de toute kypersurface cubique de P", n ~ 6, est isomorptte gt un motif ddcoupd sur une varidtd abglienne. Une autre source de cycles motivds est fournie par la monodromie (w 5.3) : Thdorkme 0.6.4. -- Soient Sun scMraa connexe, lisse et s/pard sur C, et soit f : X -~ S un morphisme projectif et lisse. Pour tout point s ~ S(C), notons ~s l'algkbre de Lie de l'adhdrence de Zariski de l'image de nI(S(C), s) dam GL(Hr et ffJs l'algkbre de Lie du groupe de Galois motivique de h*(X,). Alors ~8 et ffJ~ sont motiviques, i.e. sont les rgalisations de sous-raotifs de oand b~(Xs) (pour un choix convenable de pi&es de base). De plus, pour tout shors d' une pattie maigre, ~ ~ est un iddal de ~ ~ ; c' est l' iddal dOivd [ (~ , , ~ ,] si, pour un poin2 t au moins, ~, est abglienne. Le thdor6me de ddformation s'avSre aussi essentiel dans l'dtude gdomdtrico- arithmdtique de la variation du groupe de Galois motivique dans une famille (5.2). 0.7. Parmi les probl~mes laissds ouverts dans cette thdorie, il y a celui de la compa- tibilitd des representations l-adiques attachdes k un motif. Ndanmoins, ce probl~me ne parait pas aussi inaccessible que dam la thdoHe de Hodge absolue; il se ram~ne tt la question suivante (w 9) : notant Hl(Z ) la cohomologie &ale tt coefficients dam O_.. z d'une varidtd projective lisse Z sur un corps sdparablement clos de caractdristique p 4= l, et T, U deux intersections compl&es de m~me dimension dam Z, le nombre l-adique (x) Rappelons que celle-ci reposait sur deux << principes >> Aet B; or nous avons rnontr~ dam [A92b] que A est superflu, et B n'est autre, dam le prdsent eontexte, que le thdor~me 0.5. 10 YVES ANDR]~ (cl~(T) ~ .~, clH(U ) ) est-il un nombre rationnel ind6pendant de l? (Pour d'autres avantages sur la thfiorie de Hodge absolue, voir aussi 5.2 et 9.5.) 0.8. L'article se poursuit par une br~ve 6tude des motifs k coefficients dans Z, et du groupe de Galois motivique comme sch6ma en groupe affine plat sur Z, et s'ach~ve par la construction des motifs en caract~ristique pet la th6orie de la spdcialisation en infigale caract6ristique (qui serait inconcevable dans le cadre Hodge absolu). La situation en caract6ristique p soul~ve plusieurs probl~mes, que nous ne ferons qu'effieurer dans cet article : la cat6gorie des motifs ne sera tannakienne que sur l'extension de Q engendr~e par les nombres(cla(T) w .~ cl~(U) ) comme ci-dessus; d'ailleurs pour obtenir une categoric ab61ienne, on est amens k d6finir les morphismes comme classes de cycles motivfis modulo une certaine 6quivalence =, analogue de l'~quivalence num~rique (mais dont l'ind~pendance en H n'est pas claire). Enfin la construction des r6alisations est probl~matique; nous y reviendrons ult~rieurement [A], cf. dfijk [A94]. Je remercie O. Gabber et N. Schappacher pour des questions qui m'ont conduit ~ des am6liorations et, tout particuli6rement, P. Deligne de m'avoir obligeamment envoyd une longue liste de corrections et commentaires, dont la pr6sente version a grandement b6n6fici6; l'une de ses remarques, notamment, m'a sugg6r6 l'dnonc6 du th6or~me 0.6.4. Quant ~ ma dette envers A. Grothendieek, cette 6tude tout enti&re enest la marque. 1. Les involutions de Lefschetz et de Hodge 1.1. Dans toute la suite, H" d~signe une th~orie de cohomologie de Weil ~ coeffi- cients dans un corps de caract6ristique nulle F pour les sch6mas projectifs lisses sur un corps K fix6 (C f. [K168] 1.2, [SR72], [GM78]); par abus d'~criture, nous ferons l'6co- nomie des (( twists de Tate >> jusqu'au w 4, ce qui revient k choisir un g6n6rateur de F(1). Soit X un K-sch6ma projectif lisse purement de dimension d, muni de la classe nq = Vl(s ~ H2(X) d'un faisceau inversible ample s et soit L = Ln l'opdrateur de Lefschetz sur H'(X) d6fini par le cup-produit avec B. On dit que X v6rifie le thdor~me de Lefschetz fort (relativement ~ H" et B) si pour tout i <~ d, L a-* : H*(X) -+ H2a-*(X) est un isomorphisme. On a alors pour tout j la ddcomposition de Lefschetz : Hi(X) = @ L k P~-~(X), la somme portant sur les entiers k compris entre Max(0,j--d) et j[2, avec P~(X) = H~(X) n KerL d-~+l pour i~< d. Cette d~composition permet de d~finir l'op~rateur de Hodge (< abstrait ~) *A par la formule suivante : si x = EL k xj_2k est la d~composition de Lefschetz de x ~ H~(X), alors *Ax ----- Zk(d --j + k + 1) L k-1 x~_2k, la somme portant cette fois sur les entiers k compris entre Max(1,j- d) et j/2. On d~finit aussi les involutions de Lefschetz et de Hodge respectivement par les formules : *T.x = La-Jx = xLd--J+k Xj_2k, k! *ItX = Z(-- 1) r162 L d-j+k xj_2k. (d --j + k)! POUR UNE TH#,ORIE INCONDITIONNELLE DES MOTIFS 11 Remarque. -- Si K_ C et H" est la cohomologie de Betti, le thEorEme de Lefschetz fort est vrai, CA est l'opErateur de Hodge classique et sur chacun des espaces H *~ n L k P~-Z*(X), l'opErateur star de Hodge relatif k une forme de K~hler reprEsentant la classe ~ est le conjuguE complexe de (~)~-~ *H; le point important, qui justifie l'introduction de *H, est que cet opErateur star et *H ont les m~mes propriEtEs de positivitE sur les cycles reels de type (p, p). On volt immEdiatement que P~(X) = H~(X) c~ Ker CA, et que l'opErateur *L L *L = *H L *H, proportionnel k CA sur chaque composante de Lefschetz, est un inverse k droite de L sur l'image de L. Remarquons aussi que L, ,~., *~r et CA sont uy. auto-adjoints relativement k l'accouplement de dualitE de Poincard (x,y)~-~x Jx Remarque. -- Pour X non Equidimensionnel, on dEfinirait encore L, *Let *H par additivitE, et d comme fonction continue enti~re sur X. Lemme 1.1. -- Soit x e Hi(X). Pour 9 ----- ,~. ou *H, la composante de Lefschetz de 9 x dans L ~ p2a- j- ~ (X) est donnde par L ~ 9 L ~ x -- L ~ + 1 , L ~ + 1 x = 4- L ~ x2a- ~- 2~ 9 En effet, aprEs avoir remarquE que dans les decompositions de Lefschetz respectives de x et L ~ x, on a (L * x), = x~ si k ~< 2d -- 2i --j et (L * x)k = 0 sinon, on constate un tElescopage entre les deux termes du second membre de ces EgalitEs. [] 2d 1.2. Notons n~x le projecteur de Ktinneth sur H~(X), et posons k = 2~ (d --j) '~x- j=0 Alors (CA, h, -- L) forme un sis-triplet au sens de Bourbald, Lie VIII 11.1 : [h, CA] = 2 cA, [k, L] = -- 2L, [CA, L] = k, cf. [K168] 1.4.6. On en ddduit une representation de sis sur H'(X), attachEe k ~1 : Si S * dEsigne la puissance symEtrique i-~me de la representation standard, alors : H'(X) - @ l~-{(X) | S*. De plus, un calcul sans difficultE montre que l'E1Ement de SL~ s'envoie 10) sur 4- *H, le signe dtant (-- 1) ~+~:~ sur la composante H ~. Proposition 1.2. -- Les sous-alg~bres Q[L, *~.], Q[L, *a], Q[L, *L L *~.], Q[L, CA] de End H(X) sont ggales et contiennent les projecteurs de Kiinneth. De plus, ces alg~bres sont cano- niquement isomorphes ~ une somme d'algkbres matricielles M~+I(Q) indexde par les entiers i tels que Pa-~(X)+ 0. Via cet isomorphisme, la transposition relative ~ la forme bilindaire (x,y) ~* fx x ~3 , y correspond ~ la transposition des matrices, pour 9 --- ,~ ou *H" 12 YVES ANDRI~ Preuve. -- Pour la premi6re assertion, on renvoie ~ [K168] 1.4.4, 1.4.5. Prouvons la seconde : soit P~ une Q-structure sur le F-espace t~(X), posons HQ = O ~-' | et munissons HQ d'une structure de zI2-module en identifiant O~ + 1 ~ la puissance sym& trique i-6me de la repr6sentation standard (on peut du reste choisir pour P~ la O-structure canonique sur H ~ le cas off X est g6om&riquement connexe). On a d6s lors un isomorphisme canonique de ~I2-modules HQ | F ~ H(X). Puisque les S' sont des repr6sentations absolument irr6ductibles deux ~ deux non ~quivalentes, on en d~duit un isomorphisme canonique Q[L, *r. L *T.] -~ G M'+I(Q) (somme indexde par les entiers i tels que I~-'(X) # 0), tel que l'image de L (resp. *L L *~.) dans chaque M'+I(Q.) soit la matrice (m~j) d~finie par m,j---= 1 si i =j-4- 1 (resp. i =j- 1), et = 0 sinon. Quant ~t la derni~re assertion, il suffit de la tester sur les gdndrateurs I. et *L L *T.. Comme ces gdndrateurs s'&hangent par la transposition, c'est clair. C3 Reraarque. -- Si H" est une autre tMorie de cohomologie ~t coefficients dans un corps F' v&ifiant le thdorSme de Lefschetz fort et ayant les m~mes nombres de Betti que H" (ce qui est le cas en particulier si H" et H'" satisfont au thdorSme de Lefschetz faible), et si L' ddsigne l'op&ateur de Lefschetz d~fini par le mfime faisceau inversible ample, on a un triangle commutatif d'isomorphismes : Q[L, *L] off la fl$che verticale est donn~e par L ~ L', *~. ~-~ *T.,, et off les fl$ches obliques sont donndes par la proposition. En effet, l'hypoth~se sur H" entraine que dim I~(X) = dim P"(X), et l'on peut alors construire (en reprenant les notations de la preuve ci-dessus) un isomorphisme de sI~-modules HQ -~ HQ, induisant si l'on veut l'isomorphisme canonique H~ ~ H~ ~ dans le cas oh X est g~om&riquement connexe. 1.3. Nous donnons maintenant quelques sorites concernant les involutions ,,. et *E sur un produit X � Y de K-scMmas projectifs lisses, ~quidimensionnels de dimen- sions respectives d et d'. L'isomorphisme (d'algSbres gradu&s) de Ktinneth : H'(X � Y) ~ H'(X) | H'(Y) devient un isomorphisme de sI~-modules si l'on munit X x Y du faisceau inversible ample .o~~ � ~ = pr~ .Sf x | pr;..o9~ Par le formalisme des ~I2-triplets (el. [D80] 1.6.12.1, avec le dictionnaire N = CA, Gr, = Hd+~(X), P_, = Pa-~(X)), on d~duit de l'iso- morphisme de ~(~-repr6sentations S~| = @ S t+t-2k (Clebsch-Gordan) un isomor- phisme canonique : P~(X � Y) ~ (~n-~-~e~ P~(X) | P~(Y); l'inclusion P~(X) | _~ P'+~(X � Y) fournie par cet isomorphisme est restriction de l'isomorphisme de Ktinneth. POUR UNE THI~ORIE INCONDITIONNELLE DES MOTIFS Lemme t.3.1. -- Considgrons Pi(X)| PJ(Y) comme un sous-espace de Pi+#(X � Y) et Ldx-tP~(X) | comme un sous-espace de ~xla+d'--~-J~+#( X� -- X Y). Alors les isomorphismes L~ -i P~(X) | L~- j PJ(Y) ~- P~(X) | P#(Y) donn~s par l'involution de Lef- schetz (resp. Hodge) relative ~ X xY d'une part, et par (d + d'--i--j]-1 d -- i *LQ*L \ / (resp. (-- 1) ~ *| *a) d'autre part, cofncident. T a + d'-~- J qui coincide avec En effet, l'inverse de cet isomorphisme est ~x� , (d + d' L~-'QL~-jd-i -- i -- J) sur P~(X)| D Lemme 1.3.2. -- II existe des hombres rationnels r,j,., tels que pour tous adments x ~ H"(X), y e H"(Y), on ait : 9 L | ,Ly = Xr,,.. { | | L y) -- Lx � y L~x | L~ ,~. (L x x y(L~ x | L~y)) }. Pour l'involution de Hodge, on a la formule *H x| .,~y = (-- 1)"" ,.(x| Preuve. -- A l'alde de la decomposition de Lefschetz, Ecrivons : 9 T. x | *~y = ~ *~. L~ x,,,_ 2k | *T. L~zY,- 2, _ ZLax+k-,.| tra+*-.*. ~ | -- ~ L ka'*X ~ra -- 2kl __ ~... T d+k--m62~Td'+/---,,. /T.a+2~--mv 6Z avec rk, e 0 (lemme prEcEdent). Le produit tensoriel L a + ~- '~ x | L~ + *'-"y._ X m -- 2k 21 n'est autre que la composante de Lefschetz de z:----- L~ +~-"*x,~_z~| I.a+d'+2k+2*--~--,, p,,+--2*-2~(X � y). Avec nos notations habituelles, on a donc sur ~x � Y 9 ~(Lax +2k-"* x.._ 2, | L~+~'-"Y.-2,) = z..+.-2~-2," En appliquant le lemme 1 (avec i=0, j=2d+2d'+2k+21--m--n, et d template par d + d'), on obfient z,.+._~,_~ = (.~z -- Lx� Y .LLx� Y z). La formule pour l'involution de Hodge dEcoule de son interpretation en termes de l'616ment de SL2. [] Remarque. -- Les nombres rationnels r~,~, ne changent pas si l'on remplace H ~ par une autre thEorie H '~ vErifiant le thEor~me de Lefschetz fort. On aurait des formules analogues en rempla~ant ,~. par tout opErateur qui lui seralt proportionnel sur chaque composante de Lefschetz. 2. Cycles et correspondances motives 2.1. Soit r une sous-catdgorie pleine, stable par produits (1), sommes disjointes et composantes connexes, de la catEgorie des K-schEmas X projectifs et lisses. Les objets (x) On convient que le produit vide est Spec K. 14 YVES ANDRI~ de $/" seront appel~s pi&es de base. Fixons une cohomologie de r~f6rence H" sur $/', k coefficients dans un corps F de caractdristique nulle, vdrifiant le (( th~or&me ~) de Lefschetz fort. Notons pr xY la projection X � Y --> X, et posons 9 = ,~ ou bien ,~. Soit E un sous-corps de F. D~finition 1. -- Un cycle motiv( sur X gz coefficients dans E est un 6l~ment de H'(X) de la forme prXY,(~r ~ 9 f~), off : 0~ et [~ sont des cycles alg6briques k coefficients dans E sur X x Y, avec Y arbitraire dans $/', 9 =" *x~ est relative ~ ~x� = IX] |165 + ~x | [Y], ~qx (resp. ~qy) d~signant la classe d'un quelconque faisceau inversible ample sur X (resp. Y). Notons A~ot(X)~ (ou simplement Amot(X)~ s'il n'y a pas d'ambiguit6 sur la cohomologie de r~f6rence) l'ensemble des cycles motiv6s sur X ~ coefficients dans E (1). I1 est clair que Amot(X)~ contient A(X) et * A(X) (prendre 0r ou 6gal ~ la classe fondamentale de X � Y), et que A~ot(X ) = A(X) si pour tout sch6ma Y dans $/', polaris6, l'involution de Lefschetz est donn6e par une correspon- dance alg6brique. Proposition 2.1. -- (i) A~ot(X)~ est une sous-E-alg~bre de H'(X) (relativement au ~ cup-produit>>). (ii) On a : prXZ*(Amo~(X)~.) _ (Amot(X � Z)~) et prXZ,(Amot(X X Z)E ) ~- (A~ot(X)~.). Preuve. -- (i) Prouvons d'abord que A~o~(X)E est un sous-E-espace vectoriel de H'(X). Consid6rons une combinaison E-lin~aire : -r xu t~ %Px,~ W*xv~) +ezprXZ,(VW*xzS); elle s'dcrit aussi sous la forme prxXIY~'zl,((% ~, ~) u *x(r~,z,(ez ~, 8)) pourvu que les classes ~x et Bx impliqudes dans la ddfinition de *xY et *xz coincident. Si tel n'est pas le cas, rempla~ons (X, ~x ou ~x) par (X 2, [X] | ~x + ~x | [X]). Soit A la diagonale _rXY r~ ~), resp. p~Z,( 7 v *xz ~), de X X X. Alors sur chaque composante connexe, p x ,k *xY y x~ y, est rationnellement proportionnel ~ p~ ,(prx~ [A] w (Qr | [X]) w (, ~ | 9 ([, X]))), resp. prx x~ Z,(prxX~ Z,[A] u ([X] | ~') u (, (, [X]) | 9 8))). En appliquant le lemme 1.3.2, on est ramen~ au cas precedent (ou plutSt ~ sa g~n~ralisation immddiate aux combi- naisons lin~aires ~ plusieurs termes). (t) Nous nous 6cartons ici provisoirement des d6finitions de 0.3, mais nous y reviendrons en 2.4. POUR UNE THt~ORIE INCONDITIONNELLE DES MOTIFS 15 Montrons la stabilit6 sous u. On a : p~Y,(~ w, ~) w prXZ,( 7 w 9 ~) = p~X,([A] u (prXY,(Qr U * ~) | prXZ,( 7 u * ~))) = u prlx X'.(( | T) u (, | 9 = p~YXZ,(prxXxVXZ*[A] w (~| w (, ~| ~)) et l'on conclut en appliquant le lemme 1.3.2. (ii) On a prx xz* prxXY,(e w * ~) ---- p xz 9 prXZY*( ~ w 9 ~), qui sur chaque composante connexe est rationnellement proportionnel k ,,~xzY c~,.xzY, (, ~ N, v'xz ,,v'xY ~ u [Z])), et l'on conelut par le meme lemme. On a, d'autre part, p~Z, P rXZY, xz ,k e w 9 ~) = prXZY,(e u, [~). [] Considdrons la graduation d'alg6bre sur A~ot(X)~. induite par la graduation moitid de celle de H'~r(x); nous abrdgerons la notation A~o~(X)~ en A~ot(X ). Dgfinition 9.._ Soient X = IIX~ et Y = IIY~ des sommes disjointes d'objets connexes de V. Soit rune fonction continue enti~re sur X � Y (i.e. un entier r,~ sur ehaque Xi � Y;). Une E-correspondance motiv& de X vers Y de degrd r est un 616ment de @ X Y~)~. On note C~ot(X , Y)~ l'espace gradu6 des E-correspondances motivEes de X vers Y. CoroUaire. -- Les correspondances motiv~es se composent, leurs degrgs s'additionnant. En particulier, Cmot(X , X)~ est une E-algkbre gradu&. En effet, on se ram~ne imm~diatement au cas fiquidimensionnel. La proposition pr6e6dente montre alors que les espaces de E-correspondances motiv~es sont stables par la composition donnfie par la formule g of = __xYz ~_~Yz, ,- P'xz,U ~xY JUP~[z*g). [] On obtient le formalisme f,, f* (pour un morphisme f) en composant les corres- pondances motiv~es avec la classe du graphe de f ou sa transpos6e; f,, f* sont reli~s par la formule de projection f,(a u f* b) =f,(a) t3 b. Remarque : questions de signes. -- L'isomorphisme d'alg~bre de Kt~nneth H'(X x Y) ~ H'(X)| H'(Y) sous-entend le produit tensoriel gradug dans le membre de droite : (x| u (x'| = (--)~8~'(x t3x')| uy'). On en d~duit la r~gle : (u*| v*) (z| w) = (__)~,.~w u*(z)| v*(w), pour tous u s H'(X X Y), v e H'(Z � W), z e H'(Z), w e H'(W). On en d6duit aussi un isomorphisme canonique d'alg6bres : End" H(X � Y) _-_ End" H(X) | End" H(Y), la loi de composition dans le membre de droite 6tant soumise | v) o | v') = (u ou') | o v'). On voit done que l'homomorphisme d'alg~bres Gmot(X, X) | C~ot(Y, Y) -+ C~ot(X x Y, X x Y) sous-entend le produit tensoriel ordinaire dans le membre de gauche. "Aalmxi+riJ(Xi~mot 16 YVES ANDRI~ 2.2. Proposition 2.2. -- L'algkbre C~,ot(X, X)~. contient les involutions .~. et *a, et les projecteurs de Kiinneth r:~. Preuve. -- On se ram~ne au cas off X est purement de dimension d, et E = Q. D'aprEs les arguments de [K168] 1.4.4 et 1.4.6, il suffit de montrer que pour tout i < d, il existe un ElEment 0' de Cmot(X, X) induisant l'inverse de L d-~ sur L a-' I~(X). ConsidErons ,x,(L a-') ~ *x, A(x2) - A~ot(X X X) = Cmot(X, X). Sa composante de Lefschetz sur P'(X) | I~(X) _= H2~(X � X) se rEcrit aussi *x*(~h), off tL, ~ L d-, l~(X) | L d-, I~(X) s'interpr&e comme l'isomorphisme P'(X)~La-/P'(X) restriction de L a-1. I1 s'agit de comparer .x~(~t,) ~t l'isomorphisme inverse Vq -1 vu comme ElEment de I~(X) | I~(X) par la dualitE de PoincarE. Or sur L a-' Iu(X) | L a-' P~(X), *x~ est donnEe ~t un facteur !r ~Q prEs par 9 | (lemme 1.3.1), et * n'est autre que ~-1. On a donc: 9 x,(~,) = ~ * | * (@ = ~ * o ~ o 9 parce que 9 est son propre transposE, et donc ,x,(~t,)= ~r ce qui montre que 0~:= ~t~ -1 e C=ot(X, X) rdpond ~t la question, t3 Corollaire 1. -- L' ensemble Amot(X ) ~. est stable sous 9 et ne change pas si dans la dgfinition on gchange *L avec *r~ (ou plus ggngralement tout opgrateur qui est proportionnel ~ *r. sur chaque composante de Lefschetz). [] CoroUaire 8. -- Posons P~ot(X)~ = A~ot(X)Ec~ P2'(X), espace des cycles motivgs primitifs. Pour tout j, on a la decomposition de Lefschetz : A~ot(X)~.-----| I~o{-~(X)~, la somme portant sur les entiers k compris entre Max(0,j -- d[2) et j. [] Remarque. -- Les definitions et propriEtEs prdcEdentes se transposent dam le cadre des variEtds kiihlEriennes compactes, en substituant les cycles analytiques aux cycles algEbriques, et en prenant pour ~x la classe d'une forme de K~thler, et pour * l'opErateur star de Hodge (avec F ---- R ou C). 8.3 ConsidErons le Q-espace Z(X x Y)~ de base les sous-schEmas intEgres de X � Y, et l'espace graduE L~e'(X) := OY~ob~(Z'(X � Y)~| � Y)0), ot~ la graduation supErieure (resp. infErieure) est ceUe par la codimension (resp. dimension). On a une application Q-linEaire canonique respectant la graduation : L~e'(X) -+ A~ot(X ) donnEe par ~| ~ ~-* p~r.(~ w 9 ~). Soit maJntenant H" une cohomologie comparable ~t H" sur ~e-, au sens off sur une extension convenable F" commune aux corps de coefficients respectifs F' et F, on dispose d'un ~ isomorphisme de comparaison ~) i:H" | F"~-H" | F" (isomorphisme de cohomologies). Un tel i induit un isomorphisme fonctoriel d'algEbres gradudes /mot : A~ot(X) a' = A~ot(X) a, qui est compatible aux fl~ches Lr'(X) ~ A~ot(X) w, POUR UNE TH10.ORIE INCONDITIONNELLE DES MOTIFS ~'(X) -+ A~ot(X) H. On en dEduit que Z'~o t ne depend pas du choix de i. En d'autres termes : Proposition 9.. 3. -- Deux cohomologies de Weil comparables sur ~e" fournissent des algkbres de cycles motivgs canoniquement et fonctorieUement isomorphes. [] 2.4. Ceci s'applique en particulier aux cohomologies classiques si K est de carac- tEristique nulle. En effet, soit K une cl6ture algEbrique de K. Alors XK est dEfinissable sur la fermeture algEbrique K ~ dans K d'une extension de type fini de Q, et le choix d'un plongement K ~ ~ C donne lieu ~t des isomorphismes de eomparalson (compatibles aux classes de cycles algEbriques) H~t(X~, Q,~) ~ Hgt(XKo , Q~) ~- H~(Xc, Q,) | o~ (M. Artin), et H~R(XK, ) @ C ~ H~R(Xc) ~ H~(Xc, Q) @ C (Grothendieck) ; d'ofi aussi un isomorphisme H~R(Xx~ ) | Q~ ~ Hgt(XK, Q~) | Q~ dependant du choix d'un isomorphisme de corps Q~ ~ C. Le thEor~me de comparaison p-adique de [Fa89] fournit encore un isomorphisme ~ : H~(XK, ) | BaR --~ t-Igt(Xg, Q,~) | BaR dependant du choix d'un plongement K~ Q~. Mais eonformEment ~ 2.3, l'isomorphisme d'alg~bres de cycles motives qu'on dEduit de ces divers isomorphismes de comparaison est canonique. On volt alors que le thEor~me 0.3 n'est qu'une reformulation des propositions 2.1 (et corollaire) et 2.3, A~ot(X ) Etant dEfini par exemple via la cohomologie de de Rham, et les applications el H Etant induites par des isomorphismes de comparaison dont elles ne dependent pas. [] 2.5. Mentionnons pour terminer ce paragraphe quelques propriEtEs usuelles des cycles algEbriques en cohomologie Etale, de de Rham, Betti ou cristalline, qui s'Etendent sans peine aux cycles motives. Cette extension s'obtient en remarquant que L a-' et r:x, et par suite *r,, jouissent de ces propriEtts. Pour les formuler, il convient de rEintroduire les ~ twists h la Tate )), considErant A~ot(X ) comme un sous-espace de H~(X) (j) plut6t que de t-I~J(X). a) Cohomologie gtale. -- Pour 1 ~e p car K, X -+ H~(XK,~p , Q~) est une cohomologie de Well vErifiant les deux thEor~mes de Lefschetz (M. Artin, Grothendieck, Deligne). Le groupe Gal(K~/K) agit par fonctorialitE sur ces espaces de cohomologie; sur A~ot(X)~ t ~ H~(X~,~p, Qa) (J), cette action est trivia/e (Faction sur Qa(J) est donnEe par la puissance j-itme du caract~re cyclotomique). Scolie. ~ Soit L[K une extension sgparable (non ngcessairement alggbrique); on suppose L sgparablement dos. Alors pour des ensembles de pikces de bases conoenables, et sous l'isomor- phisme canonique H,~t(X~., O,) H~t(X,o,p , O,), A~o~(X.. ) s'identifie ~ Amo~(XK~p ). De plus Gal(K~P/K) agit sur A~ot(X~:,~, ) ~ travers un groupe fini, et A~ot(X,: ) est le sous-espace des invariants. Esquisse de preuve. -- Soit r n~ x, ~Y ,~ ' u * [5) un cycle motive dans H~(X~., Q,) (j); alors Y et les sous-schEmas de X � Y dEfinissant ~, [~ et ~x,r sont ddfinis sur une K '~- 3 18 YVES ANDRI~ sous-alg~bre L' de L, lisse et de type fini. En spEcialisant ces schemas selon un K '*p- homomorphisme convenable L' -+ K ~Ep, on obtient un cycle motive 9 ~r~'~ ~. ,~,) dont l'image par l'isomorphisme Hg,(X~, Q.~) -~ H~(Xr,, Q.,) s'identifie ~t prX~r.(~ ~ 9 ~). Ceci montre que le monomorphisme canonique A~o~(X~,~ ) -+ A~o,(Xr, ) induit par cet isomorphisme est surjecfif. Pour la seconde assertion, on note que puisque A~o~(X~,~p)~ ~ est de dimension finie, il existe une extension galoisienne finie K' de K teUe que A~o~(X~,~)~ t = A~o~(XK,)~ ~. Enfin tout cycle motive Gal(K'/K)-invariant prX~'Y.(~ ~ 9 ~) s'Ecrit aussi [K' : K] -~ Y'~eoa~'~ P~.(~~ ~ *~ ~~ en considErant le K'-schEma Y comme K-schEma. Nous laissons les dftails au lecteur (la situation est la m~me que pour les cycles de Hodge absolus [D82] 2.7, 2.9). [] b) Cohomologie de de Rham. -- Pour p = 0, X-+ H~R(X ) = H'(~K ) est une cohomologie de Well vErifiant les deux thEorEmes de Lefschetz (Grothendieck, Lefschetz). Le K-espace H~R(X ) est muni d'une K/Q-connexion intEgrable, dite de Gauss-Manin, et, en tant qu'aboutissement de la suite spectrale (dfgEnErEe) Ha(f~m) =~ H~+a(f~x), d'une filtration dEcroissante F'. Tout 61Ement de A~ot(X ) _ H]~(X) (j) est dans le cran F ~ et est annul6 par la connexion. r Cohomologie de Betti. -- Pour p = 0 et K de cardinalit6 au plus celle du continu, choisissons un plongement complexe a de K. Alors X ~ H~(X | (I, Q,) | F est une cohomologie de Weil satisfaisant aux thEor~mes de Lefschetz. Pour F = C, ces espaces sont bigradu~s (Hodge). Tout ~iEment de A~ot(X ) ___ H~(X| O)(j) est de type (0, 0) (Q(j) est de type (--j,--j)). En combinant a), b), c), on obtient : Proposition 2.5.1. -- Si K est de caractgristique O, la collection des classes de de Rham et l-adiques de tout cycle motivg est un cycle de Hodge absolu au sens de [D82] 2.10. d) Cohomologie cristaUine. -- Pour p > 0, soit W un anneau de valuation discrete de corps rEsiduel kw, d'idEal maximal engendr6 par p, et soit Fle corps de fractions de W, muni d'un endomorphisme ~ relevant x ~ x ~. Alors Z ~ H~r~(Z/W ) | F est une cohomologie de Well; l'espace H~(Z/W)| F est muni d'un endomorphisme q0-1inEaire, le Frobenius cristallin 9 (P. Berthelot [B], H. Gillet- W. Messing [GM]). Si de plus k west algdbrique sur Q,~, cette cohomologie vdrifie les deux thdor~mes de Lefschetz [KM], et q~ fixe A~ot(Z ) ~- H~(Z/F(j)) := H~,(Z/W) N w F(j) (~ agit sur F(j) par multiplication par p-~). e) Inggale caract~ristique. -- Soit K une extension finie de F = Frac W, d'anneau de valuation V, de corps rEsiduel k. Soit X un K-schEma projectif lisse ayant bonne reduction en V, i.e. tel qu'il existe un V-schEma projectif lisse W de fibre gEnErique X. On dispose alors [BO83] de l'isomorphisme de comparaison de Berthelot-Ogus ~o : H~R(X) (J) -~ H~,(~k/F(J)) | K. vnrX*'~PY'x~,,p POUR. UNE TH~ORIE INCONDITIONNELLE DES MOTIFS Proposition 2.5.2. -- L'image par ~o de tout cycle motivg dans H]~(X) (j) appartient au Q,v-espace des invariants de ~ dans H~(Y'JF(j)). En particulier tout cycle motivg en caractg- ristique 0 est de Tate absolu au sens de [082]. Preuve. -- L'~nonc6 est bien connu pour les cycles alg~briques, et s'6tend imm6- diatement au cas des cycles motives ~ = prXY,(e u, ~)sH]~(X)(j) d~s que Y a aussi bonne r6duction en V (en fait l'image cristalline de 0~ t3, ~ ~' "' Ha~(X) (3), Ho~(f, X W,/F(j')), cf. infra, 9.4). j' =j + dim Y, est invariante sous q~ dam ~' Dans le cas g6n~ral, il faut recourir ~ la classe 6tale p-adique de ~ dans (H~{(X~,Q.~) (j))~l~K/x~, qui correspond ~ ~ via l'isomorphisme de comparaison p-adique ~ (cf. 2.4; on utilise l'existence de cet isomorphisme pour X et pour X x Y). Or l'image de (H~(X2, O~) (j))o~llg/K~ par t~ est, d'apr6s une propri6t6 fondamentale de cet isomorphisme dans le cas de bonne r~duction [Fa89] 5.6, [I90] 2.2.2 (~), le ~ 9 ~ [] sous-Q,v-espace de F~ (j) qui s'envoie sur Hcm(3~JF(3)) par ~ro. 3. L'6qulvalence --- sur les cycles motlv~s En premiere lecture, on peut omettre les sections 3.1 et 3.2 qui ne sont pas utilisges avant 9. 3.1. Nous d6finissons l'analogue de l'gquivalence num~rique pour les cycles motives. D~finition 3. -- Soient x, y ~A~ot(X)~,. Nous 6crirons x =y pour exprimer que fx (x --y) u z = 0 pour tout z ~ Amot(X)a. Lemme 3.1. -- (i) La relation = est une relation d'gquivalence E-lin(aire. (ii) Les (l(ments z de A~ot(X)s tels que z -- 0 forment un id(al bilat~re homogkne (avec la multiplication fournie par le cup-produit). (iii) Soit f: X ~ Y un morphisme, et soient x ~ A~ot(X)E, y e A~ot(Y) E. Alors x =-0 =~f,x = O, ety- 0 =>fly-- O. (iv) Les glgments z de C~ot(X, X) tels que z -- 0 forment un id6al bilatkre homogkne. Preuve. -- (i) et (ii) sont imm6diats; (iii) se dfiduit de la fonctorialit~ co- et contra- variante des espaces de cycles motives, et de la ~ formule de projection ~). Quant ~ (iv), la formule qui exprime la composition jointe ~ (ii), (iii) appliqu~ ~ des projections, montre que les ~l~ments z de C~,ot(X, X)E tels que z - 0 forment un ideal bilat~re. Le fait que les composantes homog~nes d'un tel z soient encore -- 0 est clair. [] On peut r~sumer les proprifit6s exprim~es dans ce lemme en disant que --- est une gquivalence ~ ad6quate ~ sur les cycles motiv6s. Ceci entralne que la composition des correspondances passe au quotient ~ travers -. (1) En fait, ce r6sultat requiert la compatibilit6 esp6r6e, mais ne figurant pas explicitement dans la littfirature ma connaissance, des isomorphismes de comparaison de Faltings not6s aerf8 et ~I)R dam [I90], cf. lot. tit. 4.3.5. 20 YVES ANDRI~ Notation, Nous poserons : A~o,(X)E := A~o,(X)s/_-, C~,o,(X, Y)~. := C~o,(X, Y)~./-. Proposition 8.1. -- L'iddal M/" fomd des cycles motivds - 0 est le plus grand nilidgal (~ gauche ou ~ droite) homogkne de C~ot(X , X)E. II est nilpotent. (C'est l'analogue pour les cycles motivds du thdor~me de Jannsen [J92].) Preuve. -- Soit ~" un niliddal Qt droite, pour fixer les iddea) homog~ne, et soit f un dldment de J de degrd r. Pour tout g e C~,o~(X , X)~., fog eat donc nilpotent, de degrd 0. D~s lots, Tr#(fog)-----0 pour tout i, et la formule de trace donne fx fU 'g = x,(- 1)' Trr,i(fog) = 0. Ceci montre que l'image de J dans C-~ot(X , X)~ eat nulle, i.e. d r ~_ .A/'. Montrons rdciproquement que aV" eat nilpotent. I1 suffit de le voir dans le cas E = F. Tirons parti du fait qu'alors C~ot(X , X)F eat de dimension finie sur F : le radical de Jacobson, qui contient tout niliddal unilat~re, eat nilpotent. I1 suffit donc de montrer que jfr eat somme d'id6aux ~t droite nilpotents, ce qui eat le cas si tout fEe4 r vdrifiant f= ~ ofo zc~-' (avec i, r arbitraires) engendre un nifid~al ~t droite (rappelons que lea projecteurs de Ktinneth sont des ~ldments de Cmot(X, X)E (prop. 4)). Pour montrer qu'un produit fog eat nilpotent, il eat loisible de supposer g = z:~ -~ o g o ~'x. Comme (fo g),~-i of ~ .A/', on a alors : 0 =fx,((fog)~-'of) u tg = (__ 1), Tr~(fog),~, ce qui montre bien quefo g eat nilpotent. Ainsi ~" eat un ideal nilpotent; et l'on a vu qu'il eat homog~ne. [] 8.9.. Notons Q, ou O,. s'il y a lieu de prdciser, le sous-corps de F engendrd par les valeurs fx a t3.0t, off 0c ddcrit lea cycles alg~briques sur X, X parcourant r et o/I * eat relatif ~t une quelconque polarisation de X. Proposition 8.9,. 1. -- Soit E une extension intermgdiaire entre Q et F. Alors la surjection canonique ~o,(X)Q | E -+ ~ot(X)~. est bijective, et ~ot(X)~. est de dimension finie sur E. Preuve. -- Remarquons d'abord que A~ot(X)F eat de dimension finie sur F. Choisissons une F-base de Amo a-, t (X)F dans A~'(X), soit (Yl, .. .,y,). Alors ~ot(X)E s'identifie ~t l'image de A~ot(X),. dans F* par l'application La proposition suit immddiatement de ce que 0 prend ses valeurs dans E ~. Ddmontrons cela : il suffit de le faire voir pour E = Q. et comme les espaces de cycles mofivds sont stables par << cup-produit ~) (prop. 3i), cela suit du Lemme 8.~. -- On a fx A~~ --- Q" POUR UNE THI~ORIE INCONDITIONNELLE DES MOTIFS Interprdtant fx comme l'image directe en cohomologie par le morphisme struc- tural de X, on volt que les ElEments de fx A~~ sont combinaisons linEaires ration- nelles d'dlEments de la forme fy 0c to 9 ~, o~ a et ~ sont des cycles algdbriques sur Y fixE dans V; en exploitant la sym&rie de (x,y) v-,fyx to ,y sur la partie paire de la coho- mologie, il est facile de voir quefy ~ to 9 ~ e Q,, comme requis. Ceci achtve de dEmontrer la proposition. [] Corollaire. -- Pour Q ~_ E ~_ F, l'algkbre quotient C~ot(X, X)~. est semi-simple de dimension finie sur E, et./r est le radical de ]acobson de C~ot(X, X)~. Cela dEcoule des deux propositions prdcddentes. [] Proposition 3.2.2. -- Le polyn~me car aa~ristique dans H i(X) de tout glgment f de C~ X) est ~ coefficients dans Q. En effet, ces coefficients sont eux-m~mes des polyn6mes h coefficients rationnels en les quantitEs Trw(f') = (-- 1)' fx, f" to =~-'c Q (lemme 3.2). [] Remarque. -- On aurait pu donner une definition plus restrictive des cycles motives en fixant une polarisation sur tout objet de ~r de manitre compatible aux prodnits et sommes disjointes, et dEmontrer des rEsultats analogues. Mais cette definition alter- native conduit au m~me corps Q, et aux m~mes espaces A~ot(X)E pour Q _c E _c F (ne dependant done pas du choix des polarisations aqx ). En effet, il suffit d'Etablir que pour toute autre polarisation ~qx, l'involution *r/ associEe appartient ~t C~ot(X , X)a (version alternative). Puisque *r., = Y~(L') a-~ ~, il suffit d'&ablir que : (L') a-' r~ e C~ot(X , X)Q (v. alt.) pour tout i > d. Ceci dEcoule de ce que (L') ~-~ ~d x *r. = (*r~(L') '-~ rc~-~) -1 s'exprime comme poly- n6me ~t coefficients dans Q, en ,~.(L') *-a r:~x -~ (Cayley-Hamilton et prop. prEcEdente v. alt.). 3.3. Proposition 3.3. -- Supposons que K soit de caractdristique nuUe et que H" soit une cohomologie dassique (Etale, de Rham, ou Betti si K _~ C). Alors Q = O, et -- est l'tgalitg sur A~ot(X ). La O-algkbre C~,ot(X, X) est semi-simple de dimension finie. De plus, la forme bilindaire symdtrique sur Cl~,ot(X , X) donnde par (u, v) ~ Trr,.ix~(U *H tv *rT) est ~ valeurs dans Q, et dgfinie positive. Preuve. -- On se ram~ne par les thEor~mes de comparaison classiques au cas o~ K _~ C et off H" est la cohomologie de Betti rationnelle. L'EgalitE O = O est alors immediate. Le thEor~me de l'indice de Hodge entraine que (x,y) ~-. fx x to *rTy dfifinit un produit scalaire sur les cycles motives (car ceux-ci sont clairement de type (p,p)). 22 YVES ANDRI~ uy Comme .~ est un automorphisme de A~ot(X ) (prop. 4), la forme (x,y) ~ fx x est done non d6gdn6r6e sur A~ot(X), c'est&-dire que -- est l'dgalitd. La derni6re assertion r6sulte aussi du thdor6me de l'indice de Hodge, cf. [K168], 3.11. [] 4. Motifs en caract6ristique nulle et groupes de Galois motiviques Ici et jusqu'au w 9, le corps de base K est de caractdristique nulle, et nous ne considdrons que des cohomologies H" classiques. 4.1. On se donne une sous-cat~gorie r pleine, stable par produits, sommes dis- jointes et composantes connexes, de la cat~gorie des K-schemas X projectifs et lisses (les objets de r seront appel6s pikces de base). A partir de maintenant, il convient de ne plus n~gliger les << twists de Tate >> (voir [SR72] A1 pour les d~finitions); en particulier, on regarde les cycles motives de A~ot(X ) comme des 6Mments de Her(X) (r) et non plus de Her(X). 4.2. Ddfinition de la catdgorie des motifs model& sur ~". Objets : triplets M = (X, n, q) form,s d'un objet X de r d'une fonction (1) continue enti~re n sur X, et d'un idempotent q e C~odX , X) ; on dit que M est un motif dgcoupg sur X, tordu par n; on note aussi M = qh(X) (n). Morphismes: Hom(qh(X)(n),ph(Y)(m)) ----pC~"(X, Y)q. On v6rifie imm6diatement qu'on obtient bien une cat6gorie Q-lin6aire, et pseudo- ab61ienne (la somme directe de deux objets existe : qh(X)(n) @ph(Y) (m) = (q,p) h(X H Y) (n + m); et les endomorphismes idempotents ont un noyau et un conoyau). Nous noterons cette cat6gorie .jt'~(r ou bien Jt'(r s'il n'y a pas lieu de prdciser K. Comme les alg~bres d'endomorphismes de motifs sont semi-simples de dimension finie sur Q (prop. 3.3), on d6duit du lemme 2 de [J92] que d((~v') est abaienne semi,simple. La cohomologie motivique de X est le foncteur contravaHant sur ~v" qui associe au scMma X le motif h(X) := (X, id, 0), et tt un morphisme la classe d'6quivalence homo- logique du transpos6 de son graphe. 4.8. La catdgorie ~'(r est naturellement une catdgorie tensorielle rigide, la loi | ~tant donn~e par qh(X) (n) | (m) ---- (q � p) h(X x Y) (n + m), l'gf'om interne par (tq x p) h(X � Y) (dim(X) -- n + m), l'objet unit~ par 1 = h(Spec K), de sorte que End 1 = Q; nous noterons M v le dual 9r 1) d'un motif M. Nous noterons Q(n) 1' , objet de Tate >> (Spec k, id, n), et poserons M(n) := M | Q(n); de (1) Le. un entier ni sur chaque composante connexe Xt; prendre n constant conduirait tt une catdgorie 6qui- valente, mais notre d~finition facilite la construction de @ et .,~fom interne. POUR UNE THI~OlZIE INCONDITIONNELLE DES MOTIFS 23 la sorte, 1 = O(0), O_..(n)V = Q(--n), et M(n)(m) est canoniquement isomorphe M(n + m). Les contraintes d'unit6 et d'associativitd sont les contraintes dvidentes; la contrainte de commutativit6 se d6finit en modifiant la contrainte dvidente (1) par un signe selon la r~gle de Koszul, cf. e.g. [J92], relativement k la graduation donn6e par (qh(X) (n))'~)= qhh~+2"(X)(n), off hi+2"(X)(n) est ddfini ~ l'aide du projecteur de Ktinneth : hi(X) (n) := (X, n, ~). On a h~(X) v = h2d-'(X) (d), pour d = dim X, et 9 induit un isomorphisme hi(X) - b2d-~(X) (d -- i). GrAce A cette contrainte modifi6e, le rang d'un motif est donnd par la formule rg(qh(X) (n)) ---- X i dim~ qH'(X). 4.4. Toute cohomologie classique H" fournit de mani6re 6vidente un foncteur fibre gradu6 3~', appeM H-r~alisadon, vdrifiant ~'(qh(X) (n)) := qH'+2m(X) (n), et H" = ~'ob. Ceci entra~ne que Jt'(r est une cat6gorie tannakienne sur Q., c'est-A-dire | valente k la cat6gorie des repr6sentations d'une gerbe alg6brique. On a vu qu'elle est en outre semi-simple et gradu6e (terminologie en vigueur : on dit poids plut6t que degr6, pur plut6t qu'homog6ne). Enfin, la derni6re assertion de 3.3 exprime que tit'(C/') est polaris~e. Ceci ach6ve de prouver le th6or~me 0.4 de l'introduction. [] Remarques. -- 1) Soit t: Y-+ X 1'inclusion d'une section hyperplane lisse dans un K-sch6ma projectiflisse purement de dimension d. En vertu du th6or~me de Lefschetz faible relativement k H', r induit des isomorphismes de motifs hi(X) - hi(Y), i ~< d -- 2, et un monomorphisme ba-~(X) -~ ba-l(Y). Un inverse A droite de r est donn6 par 9 L L *L L,. 2) Toute th4orie de cohomologie de Well H" sur ~ vdrifiant le th4or&me de Lefschetz fort, et induisant sur les cycles algdbriques l'dquivalence homologique classique, d4finit un foncteur fibre gradu6 sur ~X~(~/'). Par le th6or6me d' <( unicit6 , des foncteurs fibres sur les cat4gories tannakiennes, on en ddduit que H" est comparable aux coho- mologies classiques au sens de 2.3. 3) On peut dire que la thdorie de Hodge absolue et la th~orie exposde ici sont deux thdories motiviques <( extrdmales >>, au sens off, pour la thdorie de Hodge absolue, ce sont les rdalisations qui sont quasi tautologiques, tandis que pour la thdorie ci-dessus, c'est la cohomologie motivique qui l'est. 4.5. Voici quelques | (gradudes) de motifs ddriv~es de tit'(C/'). Consi- ddrons une sous-famille W" de Ob r non ndcessairement stable par produit. La sous-catdgorie (strictement) pleine de ~r162 form6e des sous-quotients de sommes de produits tensoriels de motifs h(Xi) ou b(Xi) v, Xr eW', est une sous-catdgorie (x) Celledonn6epare*:(q � b(X � Y) (n+m) ~ (p � q) b(Y � (n+m),ofi~:X � Y~Y � d6signe la transposition des facteurs. Noter que ~; agit en cohomologie, compte tenu de la formule de Ktinneth, par ~*(x | = (--)Sv. Sxy | 24 YVES ANDRI~ tannakienne de dr'("/z) | ~t la categoric des motifs (non tordus) dEcoup~s sur les sommes disjointes finies de produits de copies de membres de ~//'. On la note dt'(~c/z)~, ou simplement dt'(~) s'il n'y a pas d'ambiguitd sur ~. I1 y a aussi nne variante ~ coefficients : dt'(zr ~) [E], obtenue en rempla~ant C~ot(X , Y) par C~o~(X , Y)~. dans la definition. I1 est facile de voir que ~'(3r n'est autre que la categoric des E-modules dans ~(r dans la terminologie de [DM82] 3.11. Enfin, si M est un motif modeld sur ~, on ddfinit ~t'(M), comme la sous-catdgorie tannaldenne de M((-//') engendrde par M. Exemples. ~ (i) Si q/" est la categoric des K-schEmas projectifs lisses, nous Ecrirons simplement ~'x pour ..r : c'est la cat~gorie tannakienne des motifs sur K. Cette categoric est la limite inductive des Mt'(M) ordonndes par inclusion. (ii) Motifs d'Artin. On prend pour qF" la famille des K-schEmas finis &ales; alors .aC(~cF')r est | ~t la categoric des representations de Gal(K/K) de dimension finie sur O. Ces motifs sont de poids nul. (iii) Motifs attackgs aux formes modulaires. Voir [Scho90]; ces motifs sont dEcoupEs par des correspondances algEbriques. 4.6. Nous dEveloppons maintenant en termes de groupes (pro)algEbriques les consequences standards du thEorEme 0.4 (el. [$94]), dans le cas o5 K est muni d'un plongement dans C. Soit qr un ensemble d'objets de ~r La rEalisation de Betti ~ff~ est un foncteur fibre graduE, ~ valeurs dans les O-espaces vectoriels de dimension finie, neutralisant la categoric tannaldenne ~r formEe de motifs modelEs sur q/'. Dgfinition. -- Le groupe de Galois motivique de ~,(~r), note G~t~r), est le schema d'automorphismes Aut | ~ I~t(~r)- C'est un groupe proalgEbrique, muni d'un homomorphisme central w : G~ ~ G~t(~r) (du fait que dt'(CU) est gradu&). Le foncteur fibre ~ fournit une | de categoric entre dt'(~) et la categoric des representations rationnelles de G~(,r) de dimension finie sur Q. Pour tout motif M dans ~r G~t(~r) agit sur ~B(M) ~t travers le groupe algE- brique G~(~). De plus : (i) G~(,~) est prorgductif (du fait que Jt'(~) e.st semi-simple); (ii) G~(~) est le sous-groupe algEbrique de GL(~r(M)) qui fixe les cycles motivgs parmi les tenseurs mixtes sur ~r(M); r&iproquement, tout tenseur mixte sur a,~(M) fixE par G~t(~ ) est motivE; (iii) G~t~,r) se dEploie sur le compositum des corps CM, et le quotient du centre de G~t(~r) par l'image de w est compact (par polarisabilitE de ~,(~r POUR UNE THI~,ORIE INCONDITIONNELLE DES MOTIFS Remarques. -- (i) Les groupes G~(~ ddpendent du plongement K -+ C, mais n'en d6pendent qu'~ torsion int6rieure pr~s. (ii) M~me dans le contexte des cycles de Hodge absolus, et pour K = C, la connexitd des groupes de Galois motiviques ne semble pas connue (l'argument donn6 en faveur de cette connexit6 dans [DM82], 6.22 a est incomplet). Exemples. -- (i) Si W" = Ob r est la famille de tousles K-schdmas projectifs lisses, nous dcrirons simplement G K le groupe de Galois motivique absolu sur K. (ii) Motifs d'Artin. Si on prend pour W" la famille des K-sch6mas finis 6tales, G~(f) est le sch6ma en groupe constant profini Gal(K/K). Les arguments de [DM82], 6.23, a, d montrent qu'on a une suite exacte 1 -+ ~ ~ G K ~ Gal(K/K) --> 1, et pour tout nombre premier l, un scindage continu canonique p~ : Gal(K/K) -+ %(Q~). Je ne sais toutefois pas montrer que ~ est connexe. 5. D~formation 5.1. Preuve du thdor~me 0.5. -- Soient Sun schdma rdduit connexe de type fini sur C, f: X -+ S un morphisme projectif et lisse, et s, t deux points de S(C). I1 existe une vari~td affine lisse connexe S' (par exemple une courbe) et un morphisme S' ~ S tel que l'image de S'(C) dans S(C) contienne set t. Pour d~montrer le thdor6me, ~t savoir que pour toute section 4 du faisceau R2~f. Q(p) sur l'analytis~ de S, 4l est motiv~e si 4, l'est, on peut remplacer S par S'; d~s lors, X est un sch6ma quasi projectif lisse, et il existe, d'apr~s H. Hironaka, une compactification lisse X de X. Notons j, l'inclusion X, -+ X. Nous nous appuierons sur le (( th6or~me de la partie fixe ~ de Deligne [D71], 4.1.1, selon lequel l'application compos~e u : H2~(X, Q) -+ H2~(X, Q) -+ H~ R2~f. Q) est surjective. Consid6rons le morphisme de motifs (model,s sur une cat6gorie r dont X, X, et X t sont des objets) induits par j2 : b~(X) (p) ~ b2~(X,) (p). Sa r6alisation est la compos6e de la tordue de u et de l'application injective H~ R2~f. Q) (p) ~ H2~(X,, Q) (p). Ainsi son noyau est le m~me pour s et pour t (la r6alisation de Betti J6(~B est un foncteur exact). Puisque la cat6gorie des motifs est abdlienne (0.4), il existe un motif N quotient de b2~(X) (p) par ce noyau, un motif image j2 b~(X) (p), et un isomorphisme de motifs :N~3, h~( X)(p)- Or : d4~ (p)) = Im(H~ R~'f. Q) (p) .+ H2,(X,, Q) (p)) = H~,(X,) (p),~,s(c,,,) contient la fibre 4,; de m~me en substituant t ~t s. On volt donc que 4l = (3fB (~* oj'~-')) (4,) est motiv6 si ~, Pest. En fait, 4, provient d'un cycle motiv6 sur X, en l'occurrence 4,. [] 4 26 YVES ANDRt~ CoroUaire 5.1. -- Soit f : X -+ S un morphisme projectif et lisse, S grant une varigtg algg- brique complexe lisse connexe, et soit s un point de S(C). Soit : v e H(Xs)|174 (H(X,)V) | ~ H(X,)| dim X,) un cycle motivg invariant sous un sous-groupe d'indice fini de %(S(C), s). Alors les translatgs de x par transport parall~le en un point quelconque de S(C) sont motiv&. En partkulier, pour tout y e ~z(S(C), s), yz est motivg. En effet, le sous-groupe d'indice fini ddfinit un rev~tement 6tale S' -+ Set il suffit d'appliquer le thdor6me de ddformation ~t X' := X s � ... � s X � s S' ~ S' (en supposant que ~r contienne routes les fbres def de m6me qu'une compactification lisse de X'). [] 5. ~. Application a la variation du groupe de Galois motivique dans une famiUe. Notons ~ la H'-rdalisation des motifs, pour l'une quelconque des cohomologies classiques. Supposons donnds : a) une varidtd algdbrique lisse gdomdtriquement connexe S sur un sous-corps K de C, b) des S-schdmas lisses X et Y, de dimensions relatives respectives d x et dy, munis de fibrds inversibles relativement amples ~x/s et s c) des combinaisons Q-lindaires Z1 et Z, de sous-schdmas int6gres de codi- mension d x + dy dans X � X � Y, plats sur S; on suppose que pour un s ~ S(C), la classe q, := nr~=sxsY, rr/Z ~ 1 va .[(Z~)~]) E H2dx(X, � X~) (dx) = End H'(X~) vdrifie 1-" XsX s *\kk llsJ q8 o q~ = q~ (on a not6 9 l'involution de Lefschetz ou Hodge relative ~t [(~oC~'x/s),] | [Y,] q- [X~] | [(s176 ). Cette propridtd d'idempotence vaut alors pour tout point s de S, d) un entier j. Ces donndes ddfinissent une famille de motifs sur C paramdtrde par S(C), par l'assignation s ~+ M, := q~ h(X.) (j) (1). Nous nous proposons d'dtudier la variation du groupe de Galois motivique G,{~,) avec s. Thgorame 5.2. -- 1) L'ensemble Exc des points s e S(C), tels que le groupe de Galois motivique G~(M, ~ ne contienne l'image d'aucun sous-groupe d'indice fini de rcl(S(C), s), est maigre dans S(C). Plus pr&is&nent, il existe une suite (V,),e N de sous-varigtds alggbriques de S~, distinctes de Sg, telles que Exc = u V,(C). 2) Il existe un syst~me local (G,)ses<c~ de sous-groupes alggbriques de Aut H(M,) tel que : (i) G~M~ I c G~ pour tout s ~ S(C), (ii) GAc~, ) = G, si et seulement sis q~ Exc, (iii) G s contient l'image d'un sous-groupe d'indice fini de ~I(S(C), s). (z) On suppose que la cat6gorie ambiante ~r contient toutes les fibres X,, Ys des compactifications lisses des puissances fibr6es X � s 9 9 � s X, etest stable par des op6rations de << sp6cialisation )> comme dans l'argument de la scolie 2.5. POUR UNE THI~ORIE INCONDITIONNELLE DES MOTIFS 27 3) Supposons de plus que K soit un corps de nombres, et que soit donng un morphisme gtale rc : 8 ~ P". Alors pour route extension finie K' de K, ~(Exc) c~ P"(K') est mince. Afortiori, l'ensemble des points s ~ S(K) hors de Exc, de degrg<~ 2 deg ~ sur K, est dense dans S(C). Remarques. -- (i) Rappelons qu'une partie est dite maigre si elle est contenue dans une reunion ddnombrable de fermds d'intfirieur vide. Une partie de P"(K') est dite mince si elle est contenue dans un ensemble de la forme p(V(K')), o~ p : V ---> P" est un K'-morphisme gdndriquement fini sans section rationnelle, cf. e.g. [$89], w 9. Ainsi, si K' est non rde], le compldmentaire d'une partie mince est dense. La premiere assertion de 3) (appliqude ~t des extensions finies non rdelles de K) implique done ]a seconde. (ii) Cette derni6re entra~ne aisdment ~ son tour Ie tMor~me 0.6.1 : le motif M sur C <~ provient )~ d'un motif M L sur une extension L de type fini de Q. Soit K la fermeture algdbrique de O dans L, et S une K-variEtal lisse de corps de fonctions 6gal ~ L; qnitte rdtrdcir S, on peut disposer, ~ partir de ~z~, de donndes a), b), c) comme ci-dessus, et d'un morphisme ~. Sis ~ S(K'), pour une quelconque extension finie K' de K, se situe hors de la partie ~< exceptionnelle )~ Exc, alors N = M 8 rdpond ~ la question : G~ ~ G~N~ , comme les deux remarques suivantes le feront voir. [] (iii) Notons s c le point complexe associd ~ s ~ S(~x). Alors l'isomorphisme canonique de rdalisations l-adiques ~z(M,) -~ ~z(M,c) identifie G~I~ ~ ~ G~c~. (iv) En cohomologie l-adique, les donndes a), b), c) ci-dessus ddfinissent un motif M~ sur K(S) en prenant pour s le point gdndrique ~ de S. Supposons C de degrd de trans- cendance infini sur K. Soit s ~S((1) un point gfindrique de Well relativement K:K(s) = K(S). Alors l'isomorphisme canonique J~P~(M~)~ ~l(M~) identifie G~t~ = G s ~ G~). (v) Lorsque S cst unc courbc ddfinie sur un corps de hombres, Exc cst un ensemble ddnombrable de points algdbriques. On verra dans [A] [A95a] comment des mdthodes de transcendance (G-fonctions) pcrmcttcnt alors dans ccrtains cas dc raJ'fincr l'asscr- tion 3 du thdor~me. (vi) Les assertions lct 2 du thdor6mc valcnt dgalemcnt dans Ic contcxte des cycles de Hodge, pour K = C, en rempla~ant groupcs motiviqucs par groupcs de Mumford- Tate, cf. [D72a], app., [A92a], lemme 4, et [CDK95] pour la seconde assertion de 1). (vii) Des arguments semblables dtablissent l'analogue du thdor~me dans le contexte de Hodge absolu, sauf en ce qui concerne la seconde assertion de 1), qni n'est pas connue. Preuve du tMor~me. 1) a) En rue de la maigreur de Exc, on peut supposer K = C et que H" est la cohomologie de Betti rationnelle. Posons ~-~'" =~(Ms)|174 | et notons (~'~'"),,o~ le sous-espace des cycles motivds, i.e. des invariants de G~l~,~. En vertu du corollaire 5. I, s r Exc implique que n~(S(C), s) agit sur (~'")~ot; en fait, s r Exc si et seulement si pour tout (m, n), n~(S(C), s) agit sur ($'~' ")mot ~ travers un quotient fini. 28 YVES ANDRI~ Dfsignons par ]~'" le sous-espace de ($'~'")~ot form6 des cycles dont les translat6s par transport paratl61e en n'importe quel point de S(s sont mofiv6s. Alors, s r Exe si et seulement si pour tout (m, n), J~'" = ($'~' ")~ot. L'implication :~ d6coule du corollaire 5.1, tandis que la r6ciproque vient de ce que ~I(S(C), s) agit sur ]~'" h travers un quotient fini : en effet son action se factorise d'une part ~ travers le groupe discret Aut[~'" c~ (H~(X,, Z) | | (H~(Xs, Z)V)| d'autre part, elle est ~ valeurs dans le groupe orthogonal (compact) relatif ~ la trace sur ]~'"| R de la polarisation. Soit p : g -+ S ~ le rev6tement universel analytique. Pour toute section 0 du syst6me local constant p- ~ g~'" sur g, notons g(0) l'ensemble des points z ~ g tels que 0, soit mofiv6, i.e. appartienne ap ($'~,~)~o~. Alors l'6quivalence que nous venons de ddmontrer s'exprime aussi comme suit : s e Exc si et seulement si il existe 0 tel que p(S(0)) # S((I) et s e'S(O). Notons que g(0) est contenu dans la sous-varidt6 analytique ferrule { Z ~gl0, (~ F~ -1 ~'m,n),| (]) } de g (le cran F ~ de la fltration de Hodge est un sous-fibr6 analytique du fibr6 p- 1 ~-m, n | {~). Comme l'ensemble des 0 est ddnombrable, nous concluons que : Exc = U0mgl0,,, s,cl p(g(0)) est maigre. b) Prouvons la seconde assertion de 1) (qui redonne la maigreur, et n'est pas utilis6e dans la suite). On peut supposer que K est la cl6ture alg6brique d'une extension de type fini de Q, dans C; d~s lors, K est ddnombrable. Remarquons que tout 6Mment de (g-~' ~)~ot s'6crit : 1 .~m+. Z f q~'~ Prx~§ .t ([ a+] -- [a~-]) u ,~|174 +] -- [b;-]) ), off N est entier, Zest une sous-varidt6 lisse d'un 1 ~M d6finie sur K (scolie 2.5), D" est le diviseur k l'infini de Z, af, bf sont des cycles alg6briques effectifs entiers port6s par X~ +~ x Z, D' 8 est un diviseur ample sur X~ +~ et r = a~m| Notons que l'ensemble des donn~es A = (N, M, Z, deg a~ + , deg a~-, deg b + , deg b~-, deg D'~) pos- sibles est ddnombrable. D'autre part, pour A fix6, mais s variable, les quintuplets w ~ (a + , a~-, b + , b~-, D'8) forment une vari~t6 algdbrique Wa (varlet6 de Chow), munie d'un morphisme propre W A -+ S. De plus, pour toute composante irrdductible WA,~ de WA, d'image dans S notre S~,~, les classes de cohomologie [a~], [ b ~ ], [9'8] sont localement constantes sur SA,~ (soient W~,, une d~singularisation de W~,,~, et : W~,~ -+ S~,, le morphisme propre surjectif naturel; il existe une classe alg~brique ~eH~(W~,, Xs(X � 5� Z4) telle que pour tout w'eW~,~(C), on ait %, = | | + - , + dans (g-~#,]) | 5 | H~(Z ~) ; le point est que [bo,o,,] | | POUR UNE THI~ORIE INCONDITIONNELLE DES MOTIFS les %, ddfinissent, par consequent, une section du syst~me local a-~(g'~' ~)| | Hr(Z ,) sur l'espace connexe par arcs W;,,,(C)). La classe 1 q~" nrXT+.z.{([a+] _ [a;-]) tJ ,lN[D,,l+[D;l| +] -- [b~-])} N ~ x~§ est done, de m~me, localement constante. On en tire, avec les notations de a), que l'ensemble Wz~,0 des w = (a~, b~, D'~) tels que : 0, =p* qr '* p~§ ([ a+] -- [aT]) *l|174 -- [3s])} est une reunion de composantes de Wa; sa projection S~, 0 sur S est done une sous- K-varidtd, et l'on a p(g(0))= U~S~,0. I1 s'ensuit que Exc = Uca, 0usA,0.sSa, 0, reunion ddnombrable de K-varidtds. 2) Pour tout s e S(C), ddfinissons G, eomme le sous-groupe algdbrique de Aut H(M,) qui fixe les tenseurs mixtes sur H(Ms) appartenant aux espaces flr~,~ (pour (rn, n) queleonque). Les propridtds (i), (ii) et (iii) de l'assertion 2) sont maintenant claires. 3) Le principe sera de montrer, gr~tce au thdor6me de ddformation, que la << ddgd- ndrescence >> du groupe motivique en un point exeeptionnel entralne celle des reprE- sentations l-adiques. On peut agrandir K, et donc supposer K = K'. Pour tout s 9 S(K), l'isomorphisme canonique 34Zz(M,) - ogZ,(M,) identifie l'image H~ de Gal(K/K) dans Aut~g/',(M,) k un sous-groupe fermd du groupe de Lie l-adique H, image de Gal(K(S)/K(S)) dans Auto~,(M~). Remplaqant S par un rev~tement dtale fini si ndcessaire (ceci n'affecte pas la minceur), on peut supposer H, connexe. Le groupe algdbrique 13,r peut 6tre ddfini eomme le fixateur d'un nombre fini de tenseurs mixtes (ndcessairement motivds), dont on peut supposer qu'ils sont ddfinis sur une extension finie de K(s) (cf. scolie 2.5). Ceux-ci sont done invariants sous le groupe H~ si ce dernier est connexe. Ddmontrons l'implication H, = H~ ~ s ~ Exc : il s'agit de faire voir que si un tenseur 0~ 9 (g'~' ~)~ot _c 3/Zz(M~)| @ (ogZl(M~)V)| ~ ~ 9~(M~)|174 (3f~(M~)V)| ~ est fixd par Hn, alors 0, est fixd par =i(S(C),s) -- et done par G,, car 0, se prolonge en un cycle motive partout d'apr&s le thdor~me de ddformation. C'est clair puisque H~ eontient l'image du compldtd profini de ni(S(C), s). Ceei ram~ne l'dnoncd 3) ~ un rdsultat de J.-P. Serre [S] (cf. aussi [$94], 6.4), selon lequel l'ensemble 7:({ s 9 S(K)/H, # H, }) est mince. (Principe : on peut supposer galoisien; soit K, (resp. K,) l'extension galoisienne de K(S) (resp. K(s)) ddfinie par le noyau de Gal(K(S)/K(S)) --> Hn (resp. Gal(K/K(s)) ~ H,). Alors : GaI(K,/K(P')) ~ Gal(K./K) ~ H, ---- H~ et on applique une variante du thdor~me de Hilbert pour les extensions galoisiennes infinies, cf. [S89], p. 149.) [] 30 YVES ANDR]~ 5.3. Preuve du tMor~me 0.6.4. -- Nous allons en fait prouver une ldgEre gEnEralisation, pour une famille de motifs (Ms) paramEtrde par S(C) comme en 5.2. Notons (fi', l'algEbre de Lie du groupe G, introduit dans le thEorEme 5.2. L'algEbre de Lie (fi, du groupe motivique et celle ~, du groupe de monodromie sont des sous- alg~bres de Lie de (fi',, et l'on a (ft, = (fi', sis r Exc. Remarquons d'emblEe que (fi, et (fi', sont des sous-espaces motives de End~(M,), puisqu'ils sont stables sous Faction adjointe de G geM,) (en fait, comme G, est localement constant, le sous-espace (fi', de End 5f~(NI,) peut ~tre dEfini par la fibre (motivEe) en s d'un endomorphisme idempotent du syst~me local de fbres End Jt~ Le m~me argument montre que l'algEbre de Lie de tout sous-groupe fermE normal de G, est motivE. Montrons donc que ~ est un tel ideal de (fi',. Pour cela, il est loisible de remplacer S par un rev~tement fini Etale, donc de supposer le groupe de monodromie algdbrique H, connexe, et il s'agit de montrer que H, est normal dans G,. Tel est le cas si, pour tous entiers positifs m, n, et tout caractEre X de H,, la partie de T~'" = ~(M,)|174 (~(Ms)V) | sur laquelle H~ agit ~t travers Zest stable sous G, (of. [A92a]). Or d'apr~s [D71], 4.2.8, on a X = 1. En 6crivant : g'7,, = (q7 +"') HB(X,)| on est ramenE au thEorEme de la partie fixe qui montre (cf. 5.1) que l'espace des inva- riants de H 8 dans g'~'" est la rEalisation d'un motif indEpendant de s. Ceci achEve d'Etablir que ~8 est un sous-espace motive de End oegB(Ms). Prouvons enfin que si, pour un t ~ S(C), (fit est abElienne, alors ~ = [(fi',, (fi',]. Les deux membres de l'EgalitE tt pourvoir Etant localement constants, il suffit de l'Etablir pour s r Exc. Et pour cela, il suffit de s'assurer que pour tout (m, n), l'action de (fi', sur l'espace des invariants de H8 dans $'~'" est abElienne. Comme cet espace est la rEali- sation d'un motifindEpendant de s, Faction de (fi', -- (fi~ est bien, tout comme celle de (fit, abElienne. 6. Cycles motiv6s sur les vari~t~s ab~liennes 6.1. Dans ce paragraphe, nous Etudions les motifs engendrEs par la famille ~r des K-schEmas de la forme A � ~ K', off A est une variEt6 abElienne sur K et K' une K-alg~bre de type fini. Ces motifs sont aussi les objets de la catEgorie tannaldenne Jt'(db)~ engendrEe par les bl(A) et les motifs d'Artin; elle contient les objets de Tate (Q(- 1) est quotient de ha(A)| hi(A) si dim A> 0). Exemples. -- 1) Supposons que A soit potentiellement de type CM, par quoi on entend que pour une extension finie convenable K'/K, End A~:, | Q contient une sous-Q-algEbre commutative semi-simple de dimension 2 dim A. Alors G~CCAK, ~ est un tore (cf. [M69], w 2, en rempla~ant groupe de Hodge par groupe motivique). POUR UNE THI~ORIE INCONDITIONNELLE DES MOTIFS 31 2) La cohomologie motivique de toute varigtg de Fermat est un objet de dt'(~gb), ee qui ddcoule de [KaS79]. Par contre, les motifs attach6s aux formes modulaires de poids > 2 non CM (par exemple le motif de Ramanujan) ne sont des objets de ~t'(~b)~. pour aueun r [B192]. Nous allons distinguer deux cas particuliers. 6. ~.. Le cas Ob r = db : darts ce cas, on sait que quelle que soit la classe du faisceau inversible ample choisie, les opdrateurs n*, .i. et .~ sont donn6s par des corres- pondances alg6briques ind6pendantes de la cohomologie [L68], Th. 1 et 3 (cf. aussi [K168], app.). Done les cycles motiv6s modelds sur db sont alg6briques. Ceci entralne que les r6alisations/-adiques d'un motif dans Je'(~Cb) forment un syst6me strictement compatible. Le groupe de Galois motivique G~AI attach~ k A et H" (i.e. le schema d'auto- morphisme de la H-rdalisation) est le sous-groupe alg6brique rdductif de GL Hi(A) qui fixe les cycles alg~briques parmi les tenseurs mixtes sur H~(A); rdciproquement, tout tenseur mixte fixd par G g~x~ est algdbrique (~). Pour K ~ C et H" = Hh, G g~,~ confient le groupe de Mumford-Tate G~(Ac). 6.3. Le cas oiz K = C, et r contient les pinceaux compacts de varigtgs abgliennes. Nous allons ddmontrer le th6or~me 0.6.2, ~ savoir que tout ~l~ment ~ de type (0, 0) dans H2~(A, Q.) (p) est motivd. En rempla~ant A par ses puissances, on en d6duit que G~AI coincide avee G~r(A). Ceci valant pour toute vari6t~ ab61ienne complexe, il en r6sulte que le foncteur << r6alisafion de Betti-Hodge >> de dt'(db)~, vers la cat~gorie des Q-structures de Hodge est pleinement fid~le. Nous eommen~ons par d6duire du thdor6me de ddformation 0.5, en trois 6tapes, que tout cycle de Hodge ~ est motivd : a) r6duction au cas d'une varidt6 ab61ienne de type CM, b) r6duction au cas d'un << cycle de Weil >>, c) rdduction au cas d'une vari6t6 ab61ienne isog6ne ~ une puissance d'une courbe elliptique. a) Lemme 6.8.1. -- Il existe un pinceau compact de varidt~s aMliennes complexes (3) f: X -+ S et deux points s, t de S, tels que : (i) X 8 soit isog~ne it A � A, (ii) X~ soit de type CM, (iii) l'image inverse de (~, ~) sur X, s'gtende en une section globale ~' de R~Vf. Q(p), de type (0, O) sur toute fibre de f (1) Ceci rdfute l'opinion imprudente ~ on ne peut gu6re esp6rer prouver un prineipe A pour les cycles algd- briques >> exprim6e dans l'introduction de [A92b]. (s) I.e. un schfma ab61ien de base une courbe projective lisse sur (l. 32 YVES ANDRI~ Preuve. -- Consid6rons l'espace V o := Hi(A, Q) muni de sa structure de Hodge de 21o type (0, 1) + (1, 0) et de sa forme altern6e de Riemann +0. On a H~(A, Q,) ~ A Hi(A, Q,) et le groupe << de Hodge >~ (1) G~tT(A ) est contenu dans Sp(V0, +0). Nous aurons k choisir un corps quadratique rdel E auxiliaire; posons V : = V o | E, + := trE/Q(+0| 1). Considdrons la famille de type de Hodge t-: X--> St' associge ~t G:= ResE/QG~tT(A)~--~Sp(V, qb) (et ~ un sous-groupe arithmdtique sans torsion de G) cf. [M69]. Elle satisfait aux propri6tgs (i) ?t (iii). La base SP est une varigt6 quasi projective lisse; l'int6r~t de l'extension auxiliaire par E est que le bord de sa compac- tification projective minimale 5 a* (Baily-Borel) est de codimension complexe/> 2. D'autre part, bouger s ou t par un 616ment quelconque de G(Q,) change X 8 resp. X, en des varigtds abgliennes isog6nes X 8, resp. X v, et change ~'8 en ~'~, ; les ensembles de points G(Q) set G(Q,) t sont partout denses dans 5P(C). Alors, d'apr&s Bertini, il existe une section lindaire lisse S de 5f*, de dimension 1, rencontrant G(Q,)s et G(Q,)t mais ne rencontrant pas le bord de 5 a*. L'image inverse f de f par S -+ 5 p remptit Ies conditions du lemme. [] Remarque. -- Si ~k est un cycle motiv6 de degr6 p sur A ~, on montre de m~me que l'image inverse de (~k, ~k) sur X] s'dtend en une section globale ~'~ de R2V(f � ..- � O(p) de type (0, 0) sur toute fibre. b) Dgsignons maintenant par E un corps CM, et par E + son sous-corps rdel maximal. Soit V une Q-structure de Hodge de type (1, 0) + (0, 1) telle que E agisse par endo- morphismes. En suivant [A92b], nous dirons que Vest de Weil si la condition suivante est r6alisge : (*) il existe une forme E-hermitienne q~ sur le E-espace sous-jacent ~ V, admettant un sous-espace totalement isotrope de dimension p = 1/2 dim~ V, et il existe un 616ment purement imaginaire de E, soit ~, tel que + := trx/Q(~ ) q~ ddfinisse une 2~0 polarisation de V. On vdrifie alors aisgment que les 616ments de/~x V (dont le E-espace sous-jacent est une droite) sont des cycles de Hodge (on n6glige ici la torsion de Tate), appelds cycles de Weil; ces cycles ont fits introduits par A. Well [W77] dans le cas off E est quadratique. Lemme 6.3. B. -- Soit ~ ~ H2~(B, Q) (p) un cycle de Hodge sur une varidtd abaienne B de type CIV[. Alors il existe un corps ClX/[ E, des vari~tds abaiennes Bj de type CM par E, de dimension PIE : Q,] (pour j = 1, ..., n), des morphismes gj : B -+ Bj, et un cycle de Weil ~ sur chaque Bj, tels que ~ = Zg~.(~). Cela est prouv6 dans [A92b]. [] Remarquons que sip = 1, le th6or6me classique de Lefschetz assure que tout cycle de Weil est alg6brique. (1) Ddfini comme le plus grand sous-groupe de G~r(A) agissant trivialement sur les objets de Tate, ou de mani~re 6quivalente, comme la Q-adh6rence de Zariski de l'image du rnorphisme S 1 ~ GLVon donnant la structure complexe sur TA, o ~ V0Vlt 9 POUR UNE TH~ORIE INCONDITIONNELLE DES MOTIFS 33 2~ c) Lemme 6.3.3. -- Soient ~j ~ (A~. HI(Bo, Q)) (p) _~ H2V(Bj, Q) (p) des cycles de Weil, avec p > 1. II existe un pinceau compact de varidtds abdliennes complexes f: X -> Set des points s~ de S, j ----- 0, ..., n, tels que (i) pour j = 1, ..., n, Xsi soit isog~ne ~ B~, (ii) X~o soit isogkne gt une puissance d'une courbe eUiptique, (iii) l'image inverse de ~ sur Xsi s'~tende en une section globale ~'~ de R2V f. Q,(p), dont la fibre en s o soit alggbrique. Preuve. -- D'apr~s un r~sultat classique de W. Landherr (voir aussi [D82], 4.2), la condition (*) d6termine l'espace E-hermitien sous-jacent ~t (V, ~0). De plus, on peut paramdtrer naturellement les structures de Well sur cet espace par le domaine sym~trique hermitien associ~ au groupe G := Res~+/Q SU(V, cp). Soit alors V o une Q,-structure de Hodge de type (1, 0) + (0, 1) de rang 2p (par exemple le H 1 d'une puissance p-i~me d'une courbe elliptique), munie d'une polari- sation ~0, et soit W 0 un sous-espace is| maximal de V 0. Posons V := V 0 | E, dont on munit le complexifi6 de la bigraduation issue de celle de V| | el, et posons + := trE/Q(4?0| 1), polarisation qui s'dcrit automatiquement sous la forme tr~./Q(~)q~ pour une unique forme E-hermitienne 9 [D82], 4.6. Alors la condition (,) est satisfaite (W 0 | E est un sous-espace isotrope de dimension p pour ~). Consid6rons la famille de type de Hodge associ~e ~ G -+ Sp(V, d?) (et ~ un sous- groupe arithm~tique sans torsion de G; cf. [D82], 4.8, ou [W77] dam le cas off E est quadratique). Elle satisfait aux conditions (i) ~ (iii). En outre, puisque p > 1, le bord de sa compactification projective minimale est de codimension complexe >/ 2. Les argu- ments du point a) permettent alors de conclure, compte tenu du fait bien connu que tout cycle de Hodge sur une puissance d'une courbe elliptique est alg~brique (cf. e.g. [KuM91], w 2). [] Comme l'affirme alors le thdor6me 0.5 appliqu6 au cas particulier d'un pinceau compact de varidtds abNiennes, les cycles motives sont prdserv~s par ddformation plate dans le pinceau, et comme les cycles motiv6s sont aussi prdservds par image inverse par un morphisme, les lemmes prdc~dents entratnent imm~diatement le tMor~me 0.6.2. [] Remarques. -- 1) Le thdor6me 0.6.2 implique que pour tout corps K de caract~- ristique nulle, tout cycle de Hodge absolu sur une K-varidtd ab~lienne est motivd. 2) Ce tMor~me ram6ne en particulier la conjecture de Hodge pour les varidtds ab61iennes A la question de savoir si l'involution de Lefschetz (ou de Hodge) sur les pinceaux compacts de vari6tds abdliennes est donn~e par une correspondance algdbrique. Ceci est k rapprocher de lAb94], qui montre que la conjecture de Hodge pour les vari~t~s aMliennes d~coulerait de l'alg~bricit6 de l'involution de Hodge dans la cohomologie L ~ r~duite des vari~t~s de Kuga non compactes. 34 YVES ANDRI~ 7. Motifs attaches aux surfaces K3 et 9 quelques cubiques 7.1. Ici encore le corps de base K est C. Soit A un r6seau quadratique isomdtrique au r6seau primitif p2(y, Z) d'une surface K3 polaris6e Y. L'image de go:= (H~'~ ~ n P2(Y,Z) dans la grass- mannienne fl des plans positifs orient6s de A~ s'appelle la p6riode de Y (l'orientafion est telle que pour w =~ 0 E H ~'~ (Re w, Im w) soit directe). Une surface K3 (polaris6e) est dite exceptionnelle si son nombre de Picard est 6gal k 20; ceci 6quivaut k dire que sa p6riode go est d6finie sur Q. Lemme 7.1.1. -- La cohomologie motivique de toute surface K3 exceptionnelle Yz est un objet de Jf(~b)~ (pourvu que Yz soit un objet de ~r Preuve. -- En effet, d'apr6s [SI77], il existe deux courbes elliptiques isog6nes multiplication complexe, soient E et E', et une application rationnelle de degr6 2 r : Y1 9 9 9 ---> (E � E')/ 1 telle que la correspondance alg6brique r' de Yz vers E X E' associ6e ~t r induise une isom6trie sur les rdseaux transcendants de Yz et E X E' (i.e. sur l'orthogonal des groupes de Nfron-Severi dans H2(., Z)). Alors r' fournit un mono- morphisme de motifs b(Yz) -+ b(E x E') | b(P 1) 9 b(P 1) | | b(PX). [] Lemme 7.1.2. -- Soit Y0 une surface K3 polarisge et 9 : ~ -+ 5a une dgformation (ana- ~rtique) projective locale verseUe de Y0.1l existe alors une partie dense de ~9 ~ oh les fibres de g sont des surfaces K3 exceptionnelles. Preuve. -- En effet, quitte ~t rapetisser S~', on peut choisir une trivialisation ( R2 9, Z)oam ~ As~ qui induit un isomorphisme local 5 a ~ f2 (Andreotti-Weil-Tjurina). Comme AutAQ est dense dans AutA,, qui agit transitivement sur f2, l'ensemble des points de f2 correspondant ~t des plans orientals go tels que go n A soit de rang 2 est dense. [] Lemme 7.1.3. (1). __ Soit Yo une surface K3 polaris~e. II existe un scMma S connexe afine lisse sur C, une famiUe g : Y -+ S de surfaces K3 polaris~es, et un seMma abglien h : A -+ S (dit de ~< Kuga-Satake >>), de dual not~ h v, tels que a) pour un point 0 ~ S, la fibre de g en 0 soit Y0, b) pour un point 1 ~ S, la fibre de g en 1 soit une surface K3 exeeptionnelle, r il existe un monomorphisme de variations de structures de Hodge : (R 2 g, Z)l~rim --~ R 1 ]/, Z (~ R 1 h V Z. Preuve. I Pour les points a) et c), voir [D72a], 6.4, 6.5 (notre S est un voisinage affine de 0 dans le sch6ma S de loc. cit.). Le point b) d6coule alors du lemme pr6c6dent. [] (1) Une proposition analogue, mais off l'on demande ~t A 1 d'6tre de Kummer, est 6noncde sans d6momtration clans [DM82], 6.26. POUR UNE TH#,ORIE INCONDITIONNELLE DES MOTIFS 35 A V Notons A prdsentf: X ----- Y � s A � s --> S le produit fibrd de g, h, h v, et soit une compactification lisse de X. Supposons que X, Y0 et Y~ soient des pi~ces de base. Le monomorphisme de c) provient d'une section de R4f, Q(2) sur S, dont la fibre en 1 est un cycle de Hodge sur le produit d'une surface K3 exceptionnelle, de sa varidtd de Kuga-Satake et de la duale de celle-ci; un tel cycle de Hodge est motivd d'apr6s 7.1.1 et 0.6.2 si r contient les pinceaux abdliens compacts; en fMt, on peut montrer que la fibre de hen 1 est isog~ne tt une puissance de la courbe elliptique E [1V[o85] (avec les notations introduites en 7.1.1), et conclure que le cycle de Hodge en question est motivd sans autre hypoth~se sur ~/'. Le lemme prdcddent joint ~ O. 5, et la ddcomposition b(Y0) ~ h(P 2) | h2(Yo)pr~m entralnent alors le Thdorkme 7.1. -- La cohomologie motivique de toute surface K3 algdbrique Y0 est un objet de dt ( dt, ) ~. . [] Une autre preuve est proposde dans [A95b]. 7.2. Thdorkme 7.2. -- La cohomologie motivique de route hypersurface cubique lisse V0 de P", n <~ 6, est un objet de Jl(~Cb)~. (pour r convenable). Preuve. -- Les casn ~< 3 sont faciles et bien connus (r = ~r convient). Nous distinguerons lea cas restants. a) n ---- 5. -- On a b(V0) ~ b(P 4) | b~(V0)pr~, et pour les nombres de Hodge : h ~" = 0 si [p -- q I> 2, h 3' 1 = 1, h ~' ~ ----- 21. On peut done appliquer la construction de Kuga-Satake comme pour les surfaces K3 (cf. [D72a], 5.7, et l'appendice de M. Rapo- port) : on trouve un rev~tement S dtale fini surjectif de l'ouvert U (connexe quasi projectif lisse) du schdma de Hilbert qui paramdtrise les hypersurfaces cubiques lisses, un schdma abdlien g' : A ~ S, et (en notant g : V -+ S la cubique universelle) un mono- morphisme de variations de structures de Hodge : 1 , R) ,v (R4g, Z)pr~-->R g.Z| g, Z(-- 1). On conclut comme pour le thdor6me prdcddent, en notant que l'une des fibres de g est une hypersurface de Fermat, dont la cohomologie motivique est un objet de J/(~Cb)~ (6.1). (Un autre argument est proposd dans [A95b].) b) n = 4 ou 6.- On a b(V0) ~ b(P ~-1) G bn-l(W0)prim , et pour les nombres de = 5 si n----4, Hodge : h ~-~ 0 si ]p--pq]> 1, h "/2'"/2-1 ----21 si n=6. Alors, d'apr6s [D72b], 1.5, il existe un schdma abdlien g" :J(V/U)-+U (la jacobienne intermddiaire relative), et, en notant g la cubique universelle sur U, un isomor- phisme de variations de structures de Hodge : (R"-lg. Z)pr~ m ~ Rig'. ' Z(1 -- n/2). On conclut comme prdcddemment. [] Remarque. ~ Le m6me rdsultat vaut pour les quartiques dans p4. 36 YVES ANDR~ 8. Motifs ~t coefficients entiers 8.1. Pour dtfinir des motifs h coefficients entiers, une premitre idde naive serait de n'utiliser que des cycles algdbriques k coefficients entiers dans la construction de Grothendieck; c'est toutefois peu judicieux, au vu des contre-exemples de Atiyah- Hirzebruch [AH62] ~t la conjecture originelle de Hodge pour des coefficients entiers. I1 est d'autre part sans espoir d'adapter cette idEe aux motifs ddfinis ci-dessus, car l'involution de Lefschetz introduit irrEmEdiablement des dEnominateurs. Une meilleure idEe consiste ~t adapter la notion de Z-forme d'un syst~me de representations l-adiques [$94] 10. Nous nous placerons dans la situation off K _~ C et off les cycles motives sont ceux dEfinis en termes de la cohomologie de Betti rationnelle Hh. Rappelons (w 4.6) que l'on a des morphismes continus p,: Gal(K/K) --~ G~Im(Q, ) ~ GL(~ff~(M) | Qz). Ddfinitions. -- Un motif ~ coe~dents entiers (modelE sur r est la donnEe d'un motif M model6 sur r et d'un Z-r6seau (1) A dans 3r tel que A | Z z soit stable sous Gal(K/K) pour tout nombre premier l. Un morphisrn~ de motifs ~ coefficients entiers est un morphisme entre motifs sous- jacents, dont l'image par 3r respecte les rEseaux. Avec le produit tensoriel induit par celui des motifs et des rEseaux, on obtient ainsi une catEgorie Z-lintaire tensorieUe rigide notte Jt"(CP)[Z]. Dans les questions galoisiennes, il est utile de supposer, et nous supposerons, que zr r contient les schtmas finis sur K. Introduisons alors une autre | Z-lintaire, notEe ~r162 et dEfinie comme Mt"(3c')[Z], mais o~ l'on demande ~t A d'etre un groupe abElien de type fini muni : (i) d'un isomorphisme A | Q =~ ~r176 (ii) pour tout hombre premier l, d'une action de F = Gal(K/K) sur A| telle que l'isomorphisme A | Q.~ ~ 5(B(M ) | Qa dEduit de (i) soit F-Equivariant. La catEgorie .~r est une sous-catEgorie pleine de r De plus, il est clair que ~r est une catEgorie aMlienne (tout comme dt'(~e')). Lemme 8.1.1. ~ Tout objet de ,A'(~e')[Z] est quotient d'un objet de ~"(~r Preuve. -- Soit (M, A) un objet de Mt'(~e') [Z]. Par la thtorie des diviseurs E1Emen- taires, la partie de torsion de A se decompose : Ato~ Oz~r,A~o~| oh Lest un ensemble fini; posons r ---- # A~o ,. I1 existe un sous-groupe normal d'indice fini U' _ F, tel que pour tout l ~ L, U' agit trivialement sur A~o, | Z~ et l'extension de F'-modules A~o , | Zt --+ A | Z~ -+ A]A~ | Z~ se scinde : en effet, soit A l la sous-alg~bre de End(A | Z~) engendrte par l'image de F, et soit 0 --+ I~ -+ A~ --+ A[A~or | Z~ -+ 0 (a) De tels rEseaux existent toujours : si M = qb(X) (n), on peut prendre par exeraple : A = (HII(X, Z) (n)/torsion) (3 qHl3(X, Q) (n). POUR UNE TH~ORIE INCONDITIONNELLE DES MOTIFS 37 une prdsentation du Az-module A/Ator| on a Extl(A~,A~r@Zz)=0, et l'on volt alors que F' ----- ['l~e T. Ker(I' -+ Aut((Ato r | Z,) | Hom (I~, A~o r | Zz) ) convient. Notons K'/K l'extension galoisienne correspondante, et G le groupe fini Gal(K'/K) ---- F/F'. Considdrons un F'-suppldmentaire A~ de Ato ~ | Z z dans A @ Z,, et l'image (isomor- phique) A' de A c3 f]leLA; dans 3f~(M). A l'aide d'un scindage auxiliaire de la suite de groupes abdliens Ato , -+A-+A/Ato,, on volt que A/Ato, ~ A' et que l'homomor- phisme injectif canonique A' -+A est une << section >> de A -+A/Ator, qui apr~s tenso- risation avec Z~ est compatible ~t l'action de F', pour tout nombre premier l. D'ofl un homomorphisme surjectif naturel Z*| ' -+A, envoyant la base canonique de Z ~ sur Ato,, et qui, apr6s tensorisation avec Z,, est compatible ~t l'action de I". On d$duit ensuite de l~t un homomorphisme surjectif Z[G]*| Z[G] @A'-+ ZIG] @A, que l'on interpr6te, apr~s tensorisafion avec Zz, comme le morphisme naturel de representations induites Indrr,((Z ' | | Zz) -+ Indr,(Res r, A| Z~) (ipso facto compatible ~t l'action de r). En composant avec l'homomorphisme Z[G] | A -+ A ddduit de l'augmentation de Z[G], on en tire un homomorphisme surjectif AI:=Z[G]'|174 compatible ~t l'action de P apr6s tensorisation avec Z~. L'applicafion Q-lindaire associde Q,[G]*| Q,[G]-+AN O s'interpr~te comme la rdalisation de Betti d'un mor- phisme de motifs M 1 := h(Spec K') ~ | h(Spec K') | M -+ M, dont la restriction ~t la composante b(Spec K')" est nulle, et dont la seconde composante provient d'un mor- phisme de motifs d'Artin h(Spec K')-+ 1. On adonc construit un fipimorphisme (Mx, Ax) -+ (M, A), off (Mx, Ax) est un objet de ..~"(r et dont le noyau est claire- ment isomorphe ~ un objet de ~"(r [] Notons co x et co, les | d'oubli (du motif Met de la structure galoisienne, resp. du groupe abdlien A sous-jacent). Le foncteur cox est exact et fid~le. Des motifs ~t coefficients entiers ~t images par co 2 isomorphes seront dits isog~nes. TMor~me 8.1. -- Le scMma d'automorphismes Aut | col est un schOna en groupes a~ne plat sur Z, de fibre ggngrique Gx, et cox induit des | de catggories dt'(r [Z] ~ Repr. t.f./z(Aut | col), dt"(C")[Z] ~ Repr. t.f. sans tors./z(Aut| r II suffit de ddmontrer la premi6re | qui est une application du lemme gdndral suivant : Lemme 8.1.2. -- Soit A un anneau commutatif ncth6rien. Soient T une |162 abglienne A-lingaire, et co un | A-lingaire exact et fidkle de T dans la catggorie des A-modules de type fini. Supposons qu'il existe une sous-| pleine T' de T telle que : (i) T' est rigide, et la restriction de co it T' est un foncteur rigide (it valeurs projectives) (x); (ii) tout objet de Test quotient d'un objet de T'. (1) Voir [SR72], I, 5.2.1 pour les d6finitions. 38 YVES ANDRI~ Alors il existe un A-groupe aafine et plat G, qui reprrsente le foncteur dut | co, et une | de catggories s'insgrant dans un triangle commutatif T > Repr. t.f./A(G ) A-Mod. t.f. Preuve. -- On trouve dans [SR72], II, 3.1.4.3 un 6noncd analogue off ~< A-groupe... dut | to >> est remplac~ par << A-monoide... 8nd | co >> et l'existence de T' convenable est remplacde par (iii) ~< pour mute A-alg~bre A', si l'on note F*' le foncteur contravariant qui ~t M associe HomA(to(M ), A'), le morphisme ~vident FA--+ F a' drfinit un isomorphisme A'| A FA--+ F A', off le produit tensoriel externe A' | FA est pris dans la catrgorie des foncteurs A-lindaires exacts ~t gauche T ~ -+ A-Mod. >>. Montrons d'abord que (i) et (ii) entralnent (iii). Pour tout foncteur F A-linraire et exact ~t gauche T ~ --+ A-Mod., notons F' sa restriction k T '~ Pour deux tels foncteurs, l'application de restriction Horn(F1, F2) -+ Horn(F[, F~) est bijective : cela rdsulte de ce qu'en vertu de (ii), tout objet NI de T admet une rdsolution N' --+ 1V[' -+ IV[ --+ 0, off N' et M' sont dans T'. La condition (iii), qui signifie que l'application Homx,(F x', F) -+ HomA(F A, F) est bijective, se lit donc sur Hom~,(FA') ', F') --+ HOmA((FA) ', F'). Or (FA') ' s'identifie au produit externe A' | (F~) ' : en effet, si M est un objet de T', on a : (FA') ' (M) := HOmA(co(lV[ ), A') -~ HOmA(co(M ), A) | A' puisque, d'apr~s (i), to(M) est projectif. Gela 6tablit (i) q- (ii) ~ (iii), et il ne s'agit plus que de prouver que, sous (i), ~r174 = 8nd | to. Geci 6quivaut encore ~t ,.q'ut | co' = 8nd | to', pour to' la restriction de co ~t T'. Soit donc g une section du faisceau @nd| co' sur A'. Pour tout objet ]Y[ de T', de dual M v, on ddfinit : /~ : co'(M) | A' -+ to'(M) | A' par h~ = tgM, en utilisant la rdflexivitd de co'(1V[) | A'. On vdrifie alors ~t l'aide de (i) que la donnde des endomorphismes /t M fournit une section du faisceau ~nd | to' sur A' inverse de g. [] Le thdor~me s'obtient en prenant A=Z, T=.XC(~c~)[Z], T' =~gt'(C')[Z], co = to1. La condition (ii) est satisfaite en vertu de 8.1.1. Remarques. -- (i) (P. Deligne) le groupe de Galois d'une classe d'isogdnie de motifs coefficients entiers (vu comme schdma en groupe sur Z image de dut | col) n'est en gdnrral pas de type fini sur Z ; cela se voit ddj~t sur le motif de Tate. (ii) Le lemme 8.1.2 s'applique de mani6re semblable dans bien d'autres contextes ; par exemple, il permet de drfinir le groupe de Mumford-Tare d'une Z-structure de Hodge (pure ou mixte) comme schdma en groupe affine plat sur Z. POUR UNE THI~,ORIE INCONDITIONNELLE DES MOTIFS 8.2. Un des r6sultats de [$94] [S] peut alors se traduire de mani~re frappante en termes de motifs ~ coefficients entiers : Tkgorkme 8.~. -- Supposons K de type fini sur Q. Supposons que dans chaque classe d'isogdnie dans tit'(M), il n'existe qu'un nombre fini de classes d'#omorphie de motifs a coeffcients ent#rs. Alors pour tout 1 assez grand, l'image de p,: Gal(K/K) ~ G,,tI~I(Q,) est ouverte. [] L'hypoth~se signifie concr~tement que pour tout objet N de Mt'(M), il n'existe modulo l'action de Aut N qu'un nombre fini de rdseaux A dans Hu(M ) tels que A | Z~ soit stable sous GaI(K/K) pour tout nombre premier l. 9. Motifs en caract~ristique p et sp~cialisation 9.1. Nous g~n~ralisons la d~finition 4.2 de la categoric des motifs au cas d'un corps de base K arbitraire. Nous nous pla~ons dans le cadre des w 2.1, 3.1 : H" est une cohomologie de Well fixfie sur la cat6gorie ~, satisfaisant au th6or~me de Lefschetz fort, etc. ; on a d6fini en 3.2 un sous-corps Q du corps F des coefficients de H'. Objets : triplets M = (X, n, ~) form,s d'un objet X de ~, d'une fonction continue enti~re n sur X, et d'un idempotent ~ ~ C'~ X)Q ; on note aussi M = ~h(X) (n). Morphismes : Hom(~h(X) (n), ph(Y) (m)) = PC~oT"(X, Y)Q q" On v6rifie imm6diatement que 1'on obtient bien une cat6gorie Q-lin6aire pseudo- ab61ienne ; nous la noterons dt'K(Cr ) ou Yt'(3r Comme les alg6bres d'endomorphismes de motifs sont semi-simples de dimension finie sur Q (cor. 3.2.1), on d6duit du lemme 2 de [.]92] que ~dr162 ~) est abaienne semi- simple. La cohomologie motivique de X est d6finie comme en 4.2. 9.2. On fait de dt'(YP) une catdgorie tensorielle rigide gradu6e comme en 4.3. L'objet unit6 est 1 = h(Spec K), et End I = Q. Le rang d'un motif ~b(X) (n) est Z i dim v qH~(X), o~t q est un quelconque relevd idempotent de ~ dans C~ X)Q (1). En particulier, le rang est toujours un entier naturel. D'apr~s [D90], ceci entraine que Y/(r est tannakienne sur Q; il existe un foncteur fibre ~ valeurs dans une extension de Q. Le compos6 H'" d'un tel foncteur fibre et de la cohomologie motivique est une cohomologie sur la catdgorie ~, satisfaisant au th6orbme de Lefschetz fort, et telle que l'6quivalence H'-homologique sur les cycles alg6briques coincide avec -. Ainsi, si - ne coincide pas avec l'~quivalence H-homologique, H ne se factorise pas ~t travers b : il n'y a pas de H-r6alisation naturelle. 9.8. Dans le cas o~ K est de caract6ristique p > 0, et o/a H" est une thdorie classique (~tale l-adique (l ~e car k) ou cristalline), il serait trbs int~ressant de d6montrer en gdndral la rationalitd et l'ind6pendance en H" des ~ nombres ~ fx e u. e (d'oO Q---= Q). (1) Pour qu'un tel relev6 existe, on se ram~ne, par r6currence sur l'ordre de nilpotence du noyau de C~ot(X, X)Q ~ ~aot(X, X)Q (of. 3.1), ~ supposer trouv6 un relev6 q' tel que q'Z -- q' soit de carr6 nul; alors q = q, + (q,2 q,) (1 --2q') convient. 40 YVES ANDRI~ On peut en fair se ramener au r oh ~ est ta dasse d'une somme d'intersections de diviseurs (du moins si ~r est stable par la construction << fibr6 projectif >~). On peut alors esptrer que les remarques du w 1 jetteront quelque iumi~re sur cette question. Pour cette rfiduction, on utilise le principe de scindage, pour lequel on renvoie ~t la section 3 de l'appendice dont on reprend les notations ; notons aussi ~ = -- ZN~ ~i pour N~/> 0, une classe dans le c6ne relativement ample/X. Nous allons &ablir : Lemme 9.3.1. -- Pour x,y ~ H2~(X), fx x u *r~Y s'exprime comme combinaison lingaire coeffdents rationnels, indgpendants de x, y et de la cohomologie, en les quantitgs fD,~, ~' (f* x u~") w *L(f*Y uf*('~:) w~'"-k), 0~ r' = 1/2 r(r -- 1) : dim x Drap d ~ (r = rang @), et k varie entre 0 et r'. Faisant x :y = ~ algtbrique, et choisissant g pour que f*(~) s'exprime comme combinaison lindaire rationnelle de mon6mes en les ~ et f* Vlx , on obtient l'assertion ci-dessus. Choisissons un entier N tel que d~v| .oqax~ soit engendr6 par ses sections globales. On obtient ainsi un plongement 8 ~ (AaxQ~-~) ~, d'o~ aussi un plongement de X-schdmas ~ : Drap(g 0 ~ Drap(r, ((AOx~ ~) - X � Drap(r, M) (drapeaux de longueur r dans un espace de dimension M). On a : M' := dim Drap(r, M) = (M -- (r q- 1)/2) r. Les premieres classes de Chern ~i du i-~me cran du drapeau universel sur Drap(d") et sur Drap(r, M) se correspondent par ~ et Ktinneth ; de m~me~ provient d'une classe notte ~ dans le c6ne ample de H~(Drap(r, M)). Pour prouver le lemme, il nous suffira d'dtablir les formules suivantes : (*) x I)rap(r,M) x Dr~p{T,M} o~ q~ e Q* (inddpendant de z e H~a(X) et de la cohomologie) si k--= r', et qk = 0 si k< r'; (**) ~*(*r~(y | ~')) = *r. Erk r U ~) | ~r'-k), off % e O.~ (dtpendant de p mais non de y ni de la cohomologie) et k varie entre 0 et r'. En effet, d'apr~s le lemme 1.3.2, fx x u %y est rationnellement proportionnel ~t fx� (x| ~M') w ,L(y@~ ~') et donc aussi, par (,), | u | = fD, o .,. (y | et le lemme d~coule alors de (**). POUR UNE THI~.ORIE INCONDITIONNELLE DES MOTIFS 41 Reste ~ prouver (,) et (**). Par application de la formule de projection et << intE- gration >>, l'EgalitE (,) rEsulte de la << formule de Scott >> [IIL 74], prop. 2 : M--r * ~*(1) = II ( f cs_,_,((0x)S/~)@ (--~#)'). j=l ~=0 Pour (**), considErons i'opErateur de Lefschetz L associE ~t l'E1Ement N~lx@ 1 + 1 @ du c6ne ample de Hs(X x Drap(r, M)). Ecrivons : y| ~" = L~"-"(z0| U +" + ... + z,,+,| 1), avec z~ ~H~5(X) ; en annulant les coefficients de ~"'+~, ..., ~,-'+1, on obtient de proche en proche z 0 ..... x~_ 1 = 0, z~ =y, z~+ 1 ----- (Nr(r -- M))-l(y u ~lx) | 1 et, plus gEnEralement, pour j 1> p, zj = r~_ j(y u ~- J) | 1. Ceci donne ~*(*~.(y | U)) = ~* L-" Zz~| U +,-j = ,,,(~* Zzj| U+,-0, car on a ~*(N~ | 1 + 1 | ~) = Nf* ~ | 1 + $, polarisation qui dEfinit *T. sur Drap 8. [] 9.4. Nous supposons maintenant que Kest le corps des fractions, de caractEristique nulle, d'un anneau de valuation discrete V, de corps rEsiduel note k. Soit M = qb(X) (n) un motif sur K (au sens de 4.2). Dgfinition. -- Nous dirons que M a visiblement bonne rgduction en V si X a bonne reduction en Vet si q s'Ecrit sous la forme p~-~ Y.(~ u 9 ~), ~ et ~ Etant portEs par X a x Y, oi~ Y a aussi bonne reduction en V. Remarque. -- Rappelons que la condition de bonne reduction signifie qu'il existe un V-schEma projectif lisse ~,, resp. ~, de fibre gEnErique X, resp. Y. On note X0, resp. Y0, les fibres spEciales. Soit -s resp..s un faisceau inversible ample sur ~/V, resp. ~t[V. Alors il dEeoule de la remarque 3.2 et de la proposition 2.1 que l'on peut supposer, quitte ~ remplacer Y par une somme disjointe de puissances de X x Y (ce qui n'affecte pas la condition d'avoir visiblement bonne reduction), que l'involution 9 est relative au faisceau inversible ample ~x, ~ := P xr~X~(-i~~ | prX~xX'*(-i~~ | prXX~(LPY)Y 9 La spEeialisation -~x~ Y| := prX~ x~ Yo*(-iPx)xo | prX~ Y~176 | prX~176 est un faisceau inversible ample. Exemple. -- Le motif de Ramanujan sur Q, (de poids 11) a visiblement bonne reduction en tout premier p (of. [Scho90], 1.5.0) ; j'ignore toutefois si l'on peut le dEcouper sur un mod61e lisse sur Z. 6 42 YVES ANDR]~ On dispose de la thtorie de l'intersection relative et de la spdcialisation des cycles algdbriques de Shimura-Fulton [F84], 20.2 ou 3; ces fl~ches de sptcialisation sont compatibles avec les fl~ches de sptcialisation en cohomologie /-adique (l 4= car k) : on dispose d'un carr6 commutatif 2T __ A'(X � X) H,t(X K � X~, Q,)(r) ~, o X~,~, A'(X ~ X X ~ H~ (X~,~ X Q.,) (r). On en ddduit que les involutions de Lefschetz associ6es k une classe dans le ctne ample de H2(X � X) (1) et ~t sa sp6cialisation se correspondent par sp. En considtrant le cart6 analogue off X � X � Y remplace X � X (Y ayant aussi bonne rdduction), et compte tenu de la remarque prdcddente, on volt que l'on peut (( prolonger )) le carrd ci-dessus en rempla~ant cycles algdbriques par cycles motivds du type p.(e' u. ~'), ~' et ~' &ant portds par X � X � Y (la cohomologie l-adique 6tant celle de rtfdrence). On a un carr6 analogue en cohomologie de de Rham si k est de caractdristique 0. Si k est de caracttristique p > 0, et si West un anneau de valuation discrete complet de corps rdsiduel k et d'idtal maximal engendr6 par p, contenu dans la compld- tion p-adique V ^ de V, on a un cart6 commutatif ~" X) K ^ A'(X � X) ., x (r) Sp = LBO > H~(Xo 2, x Xo/W ) (r) | K^ A'(X o X Xo) (la construction de la fl~che du bas et la commutativit~ du carr6 se trouvent dans [GM78]). On peut encore ~( prolonger >~ ce carrd en rempla~ant cycles algtbriques par cycles motivts du type p,(~' u , ~') comme ci-dessus (avec la cohomologie de de Rham pour r~fdrence sur K, la cohomologie cristalline sur k). 9.5. Soit alors M = qh(X) (n) un motif sur K ayant visiblement bonne rdduction en V. Ce qui prdc~de permet de d~finir un motif M o = ~0h(Xo) (n) sur k au sens de 9.1, en posant q0 = sp(q) mod. -, appeld spgdalisation de M, et ne ddpendant que de M et R', et, si car k > 0, du choix de la cohomologie classique sur k. La classe d'isomorphie de M one ddpend pas du module ~ : si M oet M 0 sont deux spdcialisations de M correspondant ~ deux modtles de X, t'dldment neutre de End M se sptcialise en un isomorphisme dans -q'o Cmot(X0, X'o)q0. Un ~noncd analogue vaut pour la sptcialisation des morphismes de motifs. Remarcue. -- Tout motif sur O peut ~tre sptcialis~ de la sorte en presque tout p. 9.6. Supposons alors que tout objet de r ait bonne rtduction en V, de sorte que tout motif model6 sur r a visiblcment bonne rtduction. Notons ~o la sous-catdgorie POUR UNE TH~ORIE INCONDITIONNELLE DES MOTIFS pleine de la catfgorie des k-schfmas d'objets les fibres spfciales des divers modules projectifs et lisses des objets de ~r Considdrons alors la | 0r162162 r) dont les objets sont formts de couples (M, :s o~ M = qb(X) (n) est un motif sur K model6 sur ~ et 5F un module de X, et dont les morphismes et la loi | sont dtfinis comme dans ~r Le @-foncteur d' ~ oubli du module >> est une 6quivalence de cattgories ~r ) ~ ~r (~r donc une | [SR72], 4.4.2. On dispose d~s lors d'un | canonique de ~ spgcialisation >> Sap de ~'v(~r vers oCt'k(~cr0), et aussi de | de ~ spfcialisation >> Sap~ de ~r vers dt'~(~r lids k des choix de modules, mais tous isomorphes entre eux. Comme ces cattgories sont abtliennes semi-simples, ces foncteurs sont exacts et fid~les. Ils sont d'autre part clairement compatibles ~t ta graduation. Remarques. -- 1) Dans le cas d'un corps de fonctions, le foncteur de sptcialisation permet de considfrer un motif sur K comme unefamiUe ~ un param~tre de motifs, en variant la place V de bonne rtduction (comparer avec 5.2). 2) Malgr6 les probltmes soulevts en 08, 9.2, 9.3, l'utilit6 de cette thtorie des motifs en caracttristique pet de la sptcialisation est illustrte dans [A95a], qui est la suite naturelle de cet article. Appendice : Gquivalence num~rique et 6quivalence homologique 1. Notations. -- Soit X un schtma projectif lisse sur K, purement de dimension d. Par cycle algtbrique sur X, on entend une combinaison lindaire rationnelle de sous-schtmas fermts inttgres modulo une 6quivalence ~ adtquate >>, comprise dans l'tchelle de finesse entre l'6quivalence rationnelle et l'tquivalence numtrique (1). Fixons une thtorie de cohomologie de Weil H', et notons A'(X) le Q-espace des cycles algtbriques sur X modulo l'tquivalence H-homologique, gradu6 par la codi- mension ; ainsi A'(X) se plonge dans H2"(X). Si Y est un autre schtma projectif lisse 6quidimensionnel, notons C'(X, Y) l'espace gradu6 des correspondances algdbriques modulo l'6quivalence homologique, i.e. A'+a(X x Y) -- on prendra garde que ce n'est pas la graduation ddfinie dans [F84], 16.1 (ob~issant ~t un formalisme covariant), mais celle telle que C"(X, Y) se plonge dans les homomorphismes de degr6 2r de H'(X) vers H'(Y) via la dualit6 de Poincar6 ; ainsi, le transpos6 du graphe d'un morphisme X-+ Y est de degr6 0. ]_,es correspondances se composent selon la formule usuelle g of= p~Z,(pr~x~Z*f.p~z~Z*g), leurs degrts s'additionnant. Tout ceci s'~tend ~t des schtmas non 6quidimensionnels ; on dtfinit A'(X), composante par composante, pour r = fonction continue k valeurs enti~res sur X. (1) Un cycle algfbrique ~ sur X est dit numtriquement 6quivalent A 0 si, pour tout cycle algtbrlque ~ (le degr6 de la composante de codimension d de ~.~) : [__ ~ U est nul. d~k 44 YVES ANDRI~ 2. Soit X un K-schEma projectif lisse gEomEtriquement connexe, tel que les classes de faisceaux inversibles amples dans H~(X) vdrifient le thEorEme de Lefschetz fort. ConsidErons la catEgorie tit'(X) des motifs de Grothendieck dEcoupEs sur les sommes de copies de puissances de X, dEfinis en termes de correspondances algEbriques modulo l'iquivalence homologique (pour la cohomologie de rEfErence). TMor~me. -- Considgrons les conditions Ab : Mt'(X) est une catEgorie abglienne C : la graduation sur H'(X) provient d'une graduation du motif h(X) N : sur toute puissance de X, l'gquivalence numgrique cofncide avec l'gquivalence homologique. Alors (Abet C) est gquivalent gt N. Remarquons que C Equivaut ~t l'algEbricitE des projecteurs de Ktinneth ~x, condition qui est stable par produit. Notons B la conjecture standard de Grothendieck suivante : l'involution de Lefschetz est donnEe par une correspondance algEbrique (ceci ne depend pas du choix de la polarisation de X, cf. [K168]). Les implications N => B => C sont dues ~t Grothendieck [G69] ; pour cela, le carrE de X suffit dans N. La demons- tration de N => B ne figure pas dans loc. cit., mais on peut la reconstituer aisdment partir des arguments prouvant la proposition 2.2 ci-dessus (notons incidemment que dans [K168] cette implication n'est prouvEe que sous l'hypothEse supplEmentaire que H" vErifie le thEorEme de Lefschetz faible pour les sections lindaires de X, mais voir [K94]). Remarquons enfin que la flEche N => Ab est un cas particulier d'un thEorEme de Jannsen [J92] (en fait N entr~ne que Jg(X) est semi-simple, et nous aurons ken utiliser uu des avatars). Passons ~ l'implication opposEe (Abet C) ~ N, qui renforce le thdorEme de Jannsen dans une direction. Remarquons pour cela d'emblEe que (Abet C) => B : en effet, L a-~ induit un isomorphisme de motifs h~(X) --> h~a-~(X) (d- i) de noyau et conoyau nuls; c'est donc un isomorphisme, dont l'inverse est donne par une corres- pondance algdbrique. Ouitte ~t remplacer X par une puissance, on est ramen6 ~ prouver (?) (Abet B) ~ l'dquivalence numErique est l'EgalitE sur A'(X). Remarque. -- Si K = C et si H" est comparable ~t la cohomologie de Betti, l'impli- cation (?) se ddduit du thEor~me de l'indice de Hodge, cf. e.g. [K168], 3.8. 3. Soit ~ E A'(X). On salt que le caract~re de Chern ch : K(X) | O -~ A(X) est surjectif (K(X) ddsigne le groupe de Grotiaendieck des fibres vectoriels sur X). Soient donc 8 et ~- des fibres tels que ch([6"] -- [~-]) soit un multiple rationnel non nul de ~. En considdrant une resolution de ~- du type 0 -+ ~' ~ O .Wx ~ "~ -+ o*- ~ 0, on voit que l'on peut supposer ~- de la forme @ s176 , n i e Z. Soit alorsf: Drap(0 ~) ~ X le fibre en drapeaux de o a, et notons ~,, i = 1, ..., rang @, la premiere classe de Chern du i-~me cran du drapeau universel f*(8). Alors f*(~) s'exprime comme combinaison liudaire rationnelle de mon6mes de degrds ~< den les ~ et f* ~x (principe de scindage). POUR UNE THI~,ORIE INCONDITIONNELLE DES MOTIFS 45 D'autre part, commef est une cascade de fibr6s projectifs, f* est injectif en cohomologie (le motif b(Drap (o~)) est un objet de ~'(X)), et des combinaisons lindaires ind6pendantes ~j (j = 1,..., n = 1 + rang ~) de f*~x et des ~,, ~t coefficients entiers assez grands, sont dans le c6ne ample et v6rifient B. En outre if(e) s'exprime eomme combinaison lin6aire rationnelle de mon6mes de degr6 r en les B~. 4. Soit done e ~ A'(X) un cycle num6riquement 6quivalent ~t 0. Le principe de scindage permet, quitte k substituer Drap(o ~) k X, de se ramener au cas off = Xrm ~I " ~" ~ Q, ..... 0, , rm la somme portant sur les multi-indices m de longueur [ m] ~< d; il s'agit de montrer que ~ est nul. (On pourrait d'aJlleurs utiliser un ~elatement de X plut6t qu'un fibr6 en drapeaux, ce qui conserve la dimension, ef. [K169].) La r6duction suivante utilise l'applieation diagonale A:X-+ X � X. On a A.(a) = ~rr, L~o... oLd, en d~signant par L i l'op~rateur de Lefschetz assoei~ B,. Or A.(a) eta ---- A.(a)[X] sont simultan6ment nuls (resp. num6riquement ~gaux O) ou non. Pour d6montrer (?), on est donc ramen~ ~ prouver (sous Abet sous l'hypoth~se que les ~, v~rifient B) : (??) tout ~l~ment de Q[L1, ..., L,] num~riquement ~quivalent ~ 0 est nul. 5. Plus g6n6ralement, soient Bi ~ H*(X) (i = 1, ..., n) des classes de faisceaux inversibles amples v~rifiant le th~or~me de Lefschetz fort. Notons .~ l'involution de Lefschetz ou Hodge associ~e k ~q~, et consid~rons l'alg6bre produit tensoriel des Q-alg~bres Q[L~., **], vue comme alg~bre d'endomorphismes de H'(X ~) ~ H'(X) | I1 d~coule de la proposition 1 que c'est un produit d'alg~bres matricielles sur Q. Plus pr~cis6ment, les projecteurs de Wedderburn (i.e. les projecteurs centraux sur les facteurs simples) sont donn~s par les termes non nuls dans la suite des wj =Ps~-~| Ps~-i, off pisi est le projecteur sur la composante txt-~(X)| (~,L~Pa-~(X) pour = ~,, cf. w 1.2. Pour w o := W,o ..... o, en particulier, notons Tle facteur wo(@ Q[~, ,,]) ; il s'identifie ~ End, V, ~ M~d+~,.(Q), off V, d~signe la Q-structure @,(@~ Q~) sur V := w0 H'(X"). La restriction ~t V~ de la forme bilindaire ( x,y ) = fx X U (.l | ... Q.,)y sur H'(X") est ~t valeurs dans Q, et sym~trique d~finie positive (c'est le produit scalaire produit tensoriel des produits scalaires fx x t3 .~ y sur les espaces Introduisons maintenant le T-module k droite IV[ = 0* T, off 0 : X" -+ X" d~signe l'idempotent compos6 de la premi6re projection p~':X"~ X et de l'application diagonale 8 : X -+ X". C'est un T-module monog~ne non nul, done isomorphe ~t eT, off e est un idempotent non nul de T. Un choix canonique pour e est le projecteur orthogonal selon le noyau WQ de 0* dans VQ (<< orthogonal >) se r6f6re au produit scalaire (,) sur VQ). 46 YVES ANDRI~ En effet, (0*(1--e) T)H'(X") =0*(1--e) w 0H'(X") =F.0*(1--e) V~=0 donc 0"(1 -- e) T = 0 ; rdciproquement, si 0* t = 0, alors t(V~) _= W~ d'ofl t---- (1--e) te(1--e)T. On volt ainsi que 0* = 0* e comme op~rateur sur T ou V (on prendra garde que eeci n'entratne pas que 1 --e engendre sur Fle noyau de 0* dans V). Lemme. -- La composition (o~, m) ~ (o~ | lx,_ 0 o m, e Q[Lx, ..., L,], m ~M, fait de 1V[ un OIL1, ..., L,]-module fid~le. En | on peut dcrire pour tout t e T : (L,| o*t = |174 ... | t, en plaqant L i. en i-6me position, done (Q[L~, ..., L,]| lx,_ 0 M_ M. La fid61it6 provient de ce qu'un dl~ment de Q.[L1, ..., L,] est ddtermin6 par sa valeur sur [X] [] 6. Revenons ~t nos hypotheses Abet B. Cette derni~re assure que T et M sont des sous-espaces de C(X", X") ; Ab assure que l'isomorphisme inverse (0") -~ : M -+ eTest donn~ par une correspondance alg6brique de degr6 0 (on peut en effet consid~rer M et eT comme des motifs tordus d~coup~s sur des sommes de copies de X 2" et 0* : eT ---> M comme un morphisme de motifs de noyau et conoyau nuls). Si e e Q.[L1, ..., L,] est num6riquement fiquivalent k 0, il enest donc de m~me de (0")--1(~| lx,_ 0 0* e End T eT =eTe. Comme End~ eTest une sous-algkbre semi-simple de eC(X", X")e, la variante du corol- lair| 3.2.1 pour les correspondances alg6briques entralne que (0*)-a(e | lx._ 0 0* = 0, d'ofl e = 0 d'apr~s le lemme prdc6dent, ee qui ach6ve de prouver (??) et le th6or6me. [] 7. Remarques. -- 1) Notons par un prime l'(anti-)involution de transposition sur G Q[Li, *i] relative k <, ). Alors la forme bilingaire symgtrique sur @ O[L~, ,~] donnge par (u, v) ~ TrH.,X.,(uv' ) est a valeurs dans Q. et ddfinie positive. En eft| traitons d'abord le casn = 1 : la ddcomposition isotypique de Q.[L, *]- modules H'(X) - @ P~-i(X) | S ~ donne Trwlxl(UV') = X dim Pa-'(X).Trsi(UV' ). Mais d'apr6s la prop. 1.2, la repr6sentation p~ de Q[L, .] sur S ~ a pour image M*+I(Q.) dans une base standard si Pa-*(X) 4= 0, et l'involution ' agit comme la trans- position des matrices. Done Trsi(UU' ) e O.. +* si p~(u) 4= 0, et par suite Tr~.lx~(UU' ) E Q+* si u4=0. Dans le cas gfndral, il suffit de remarquer que la forme bilin6aire (u, v) ~-* TrE.~x,l(uv') est le prodult scalaire produit tensoriel des produits scalaires (u~, v~)~Tra.~x,l(u ~ v~) sur chacun des espaces Q.[L~, *i]. (On peut consid6rer cet 6none6 comme un prineipe ~ faible , de positivit6 h la Hodge.) [] 47 POUR UNE THt~ORIE INCONDITIONNELLE DES MOTIFS Par l'isomorphisme canonique End T M g eTe, on peut faire agir l'involution sur End~ M par transport de structure (noter que e' ----- e). Alors si S est une sous-algkbre de End T M (non nEcessairement unitaire) stable par ', S est semi-simple. En effet, comme End T M est de dimension finie sur Q, il suffit de faire voir que si .#" est un id6al ~ droite nilpotent de S, alors JV" = 0. Identifions End T M ~ eTe. Si ene ~.A r, alors (ene) (ene)' = enen' e est nilpotent, par cons6quent Tr~.~x,)((ene )(ene)') = O, et ene -= O. [] Si l'on pouvait d~montrer sans utiliser Ab que (r~ a| lx,_l )' est alg~brique, on pourrait d~duire de la semi-simplicitd de Q[(~no| lx,_l), ' ~o| lx,_l] que ---= 0, sous la seule hypoth~se B. 2) Consid~rons la categoric dont les objets sont des couples (Y, ~), Y 6tant une somme de copies de X et ~ d6signant une eorrespondance alg6brique de degr~ 0 idem- potente modulo l'6quivalence num6rique, et dont les morphismes sont donn6s par les eorrespondances alg~briques comme pour les motifs, mais sans condition de degr~. On montre comme dans [J92] ou 3.2 que cette cat6gorie est ab~lienne semi-simple. En particulier, l'endomorphisme nilpotent N :----L (rood. ~quivalence num~rique) de l'objet (X, id) admet une filtration canonique, cf. [DS0], 1.6.12. Comme ici la catdgorie est semi-simple, eette filtration se scinde : Lemme. ~ Soit Nun endomorphisme nilpotent d'indice d d'un objet V d'une catdgorie abdlienne semi-simple. Il existe alors une d6composition V -= ~ V ~ telle que NV ~ ~_ V ~+~ et que N a-* induise un isomorphisme V ~- V 2a-*. Remarque. -- Par unieit~ de la filtration canonique M, associ6e ~ N (loc. cir.), on a M~=I]~.<~V a-~, i=--d,...,d. Preuve du lemme. ~ On construit V ~ et V 2a-* par r~currence pour i ~< d (N a+~ ---= 0). Posons V *--- V 2a-~ --= 0 si i< 0. Supposons V ~ et V ~-j construits par r~currence pour j < i. On a V ~-~ __c Ma_,+ ~ done NV~_~ _ M~_,. D'autre part : Ma_~_ ~ ~ NV ~-~ ~ 0 en effet, si W ~-~ d6signe le sous-objet de V ~-e image inverse de Ma_~_ 1 c~ NV *-~ par N, alors N a-~+~ W ~-~ _c N a-i+1 Me_i_ ~ ~ V 2a-i+2 = Mi_a_ 3 ~ V ~a-i+u = 0, donc W ~-~= 0 puisque N a-~+~ est un monomorphisme sur V ~-~. Choisissons alors pour V ~ un suppldmentaire de Ma_,_ ~ dans Ma_ ~ contenant NV *-~, et posons V ~- ~ = N n-* V *. Par ddfinition de la filtration canonique, N a-* induit alors un isomor- phisme V ~ ~ V ~a-~. I1 ne reste plus qu'~ montrer que NV ~a-~ = N ~-~+~ V ~ ~_ V ~a-~+~ Or en factorisant l'isomorphisme N ~-*+~ = N n-~+~ oN sur V ~-~ ~ travers V ~, on volt que V * est somme direete de NV *-~ et du noyau de N ~-*+1 (restreint ~ V~), d'ofl l'inclusion cherch~e. [] Notons { ~} le syst6me orthogonal de projecteurs attach6 ~ la d6composition 48 YVES ANDRI~ V = ~ V ~. Supposons que les projecteurs de Ktinneth soient donnds par des corres- pondances algtbriques inddpendantes de la cohomologie (vtrifiant les deux thtorSmes de Lefschetz) ; c'est le cas en particulier si K est algdbrique sur un corps fini, cf. [K-M]. On peut alors montrer que les conditions suivantes sont dquivalentes : (i) 9 est donnte par une correspondance algdbrique dont la classe d'dquivalence numd- rique ne ddpend pas de I-I; (ii) pour tout i, t~ ~ = z~x (mod. dquivalence numtrique) ; (iii) si i +j ~< d, la restriction de N ~ au sous-objet (X, r~ (mod. 6quivalence numdrique)) est un monomorphisme. (Ces conditions ddcoulent d'autre part de N.) Le thtor~me de Lefschetz faible permet par induction de se limiter ~t vdrifier (iii) dam le cas crucial i = d- 1. BIBLIOGRAPHIE [Ab94] S. ASDULALI, Algebraic cycles in families of abelian varieties, Can. J. Math., 4,6 (6) (1994), 1121-1134. [A92a] Y. ANDI~, Mumford-Tate groups of mixed Hodge structures and the theorem of the fixed part, Gompositio Math., 82 (1992), 1-24. Y. A~ma#., Une remarque A propos des cycles de Hodge de type CM, in Sgm. de tMorie des hombres de [A92b] Paris, 1989-1990 (S. David, ed.), Progress in Math., 102 Birkh~iuser Boston (1992), 1-7. Y. ANDRe., Thdorie des motifs et interpr6tation g~om&rique des valeurs p-adiques de G-fonctions, in [A95a] Number theory (S. David, ed.), Cambridge Univ. Press., 1995, 37-60. [A95b] Y. ANDRe, On the Shafarevich and Tate conjectures for hyperk~ihler varieties, A paraltre dam Math. Annalen. 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Journal
Publications mathématiques de l'IHÉS – Springer Journals
Published: Aug 30, 2007