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Le Théorème d’Eilenberg-Zilber Tordu

Le Théorème d’Eilenberg-Zilber Tordu CHAPITRE II LE THt~OR~ME D'EILENBERG-ZILBER TORDU Le thfior~me d'Eilenberg-Zilber [8] permet de comparer fonctoriellement l'homo- logie du produit cart6sien avec l'homologie du produit tensoriel. Dans ce paragraphe, nous nous proposons de la gfindraliser au cas off il s'agit du produit cart6sien tordu [4]- Nous ne supposons pas que la condition de Kan soit v6rifi6e par les ensembles simpliciaux consid6r6s B, F, etc. D'autre part, la notion de produit tordu qu'on consid~re sera celle de Moore [5], c'est-~-dire que la fonction tordante v : B-+G prend ses valeurs dans un monoide simplicial G avec unit6 qui op~re sur la fibre F du produit tordu F � Un anneau principal A est donn~ une fois pour toutes comme anneau des coefficients. D6signons par C(B) le module A-libre ayant pour base l'ensemble simplicial B. I1 porte une structure de module simplicial, done aussi de m.d.g. [6]. On notera CN(B) le module normalisfi qui porte une structure de m.d.g. D'autre part, on ufilise les m~mes notations qu'Eilenberg-Maclane dans << On the groups H(rc, n) >> [7] : pour tout opdrateur M = sqs~.., sikOi... ~/t opdrant sur les fildments de degrfi n, on dfisigne par M' l'opdrateur M' = s;,+l .. 9 Sik+lOj,+l.. 9 Oh+l opdrant sur les 616ments de degr6 n -t- r. On note h le composd Vof : h.=V.oA Rappelons que les morphismes V,fet r sont ddfinis sur les modules non normalis6s; par passage au quotient, ils d6finissent des morphismes (d6sign6s par les m~mes lettres) sur les modules normalis6s. Par exemple, la formule rdcurrente qui d6finit r (dans le module non normalis6) est celle-ci : r = + (h.)'~ 4 26 SHIH WEISHU Enfin, dans un module simplicial, la notion e-=~ signifiera que ~--~ est ddg6nfr6. w I, #'.NONC~ DES Rf:SULTATS Rappelons qu'Eilenberg et Zilber construisent des morphismes de foncteurs V : CS(F)| -+ CN(F� f: CN(F� ~ CN(F)| q5 : CN(F� --~ CN(F� jouissant des propri6tds qu'on va 6noncer. En prenant la diff~rentielle totale classique ~=4+4 sur le produit tensoriel (t), alors V etfsont des morphismes de m.d.g, et for= I, foq)=o, r Vof--I = doq~ + q~od; en outre, on va d6montrer que q)oq)=o ou plus pr&isfment (I),, + 1 ~. = o n>~o puisque ~0= o. Supposons qu'on ait ddj~ dfmontr6 En effet, ceci est vrai pour n = o le fait pour n>~ o, et montrons-le pour n + I. Remarquons d'abord qu'on a SoOr = r puisque @. ne fait pas intervenir ~0. Alors on a r162 (- r + h'+los0)or = I~ o (I) n 1--~nohnoso-~htn+lOfl)'nOSo t 0 t t =(O.oO._1)-(o. hn)os0+(h.+loO.)os0 ~O. Consid6rons maintenant la cat6gorie des produits cart6siens tordus : un morphisme de cette cat6gorie est d6fini par la donnfe de trois morphismes simpliciaux q~B : B-+B' q~F : F-+F' q~o : G-+G' (1) Par abus de langage, d F d6signe dF| et d B d6signe x| B. 114 HOMOLOGIE DES ESPACES FIBRILS tels que les diagrammes B ~"> B' F� > F G� ) G G > G' F'� > F' G'� ) G' ',0 a soient commutatifs, alors ?F� : Fxr B-+ F'xr ,B' est une application simpliciale compatible avec la structure fibr6e du produit tordu. Or, la notion de produit cartdsien est un cas particulier de celle de produit cart6sien tordu : elle correspond au cas off la fonction tordante est triviale. Donc, il est naturel de gdn~raliser le r6sultat d'Eilenberg-Zilber pour la cat6gorie des produits cart6siens tordus. En fait, on d6montrera dans le w 2 le rdsultat suivant : Dfsignons par d r la diff6renfielle du m.d.g. CN(F � et par d celle de CN(F� ainsi que la diffdrentielle totale de CN(F)| Consi- d~rons les morphismes Vr: CN(F)| -+ CN(FxrB) f': CN(F� > CN(F)| (I)" : CN(F xrB) > CN(F x,B) dr: CN(F)| -~ C~(F)| d6finis par les formules suivantes : i V*= [i H-~o(d'--d) +@o(d*--d)oapo(d'--d) +...]oV /, =fo[~ + (dr--~)o0 + (dr--d)omo(d~--d)or +...] (i) ( ~r= [i +~o(dr--d) +~po(dr--d)o~po(dr--d) +...]o~ d r- d =fo [ (d r- d) + (d r- d) ooo (a r- d) + (d ~- a) ooo (d ~- d) or (d r- a) +... ] oV =fo(d*--d)oV~=f%(d~--d)oV, off @, V, f sont les morphismes d'Eilenberg-Zilber pour les modules simpliciaux C s (F x B), C s(F) | N(B). Si la foncfion tordante 9 est triviale, on a d ~ = d dans C s(F � B), et par suite V r, f~, q~ et d r se r6duisent respectivement ~t V, f, ~P et d. Alors on a Thdorkme 1. -- Pour tout produit cartdsien tordu F � le morphisme fonctoriellement associd dr: CN(F)| -+ C~(F)| est une diffirentielle (autrement dit, on a (~)~ = o); 115 28 SHIH WEISHU on ddsignera le m.d.g, ainsi obtenu par CN(F)| De plus, soit un morphisme de produit tordu, alors le morphisme CN(~7)| : CN(F)| ~ CN(F')| ) est un morphiane de m.d.g. (on obtient done un foncteur de la catdgorie des produits tordus dam la r des m.d.g.). Enfin, les morphismes V" : CN(F)| ~ CN(F � ff : CN(F x,B) -+ CN(F)| sont des morphismes de na.d.g. (donc ils ddfinissent des morphismes de foncteurs), tels que f%V*~-I, f'o(I)*=o, (I)'oV~=o (2) Wof'-- = 9 Il en rdsulte que V* et ff: induisent des isomorphismes des groupes d'homologie H.(CS(F)| ~ H.(CS(F � ce dernier dtant le groupe d'homologie du fibrL Avant d'~noncer le thdor~me 2, remarquons que la foncdon tordante v qui ddteI- mine l'opdrateur S 0 du produit tordu F � est 6gale ~t l'application composde : PG B-~ Gx.B-~ Gx~B~ G off f~(x) ---= (e, x), PG(g, x) ----g. Alors une situation analogue pour CN(F)| est encore valable. Plus pr6cis6ment, posons la d6finition suivante : Dffinition. -- On appelle (( Cochaine fondamentale >~ ddfinie par la fonction tordante z le morphisme composd +.: C~r(B) _~ CN(G)| ~->d CN(G)| X CN(G) o?, O(x) -~ eo| (e o ddsignant l'~lgment neutre de G, considgrd comme o-chatne), p(y| =.y(r dgsignant l'augmentation de CN(B). Observons que ~V est de degrd --I. De plus, il est clair que pdp = o, donc ~V est aussi ~gal ~ pd'p. Thdor~me 2. -- La diffdrentieUe d r de CN(F)| vdrifie la relation : (d'--d)x-~+'~x o?* le cap-produit +*~ est le morphisme composd CN(F)|174 ) 1|162174 CN(F)| ~,| _+CN(F)|174 "| C~(F)| 116 HOMOLOGIE DES ESPACES FIBRI~S A dgsigne l'application diagonale de la coalg~bre CN(B), et 9 le morphisme CS(F)| & CN(F) induit par l'opgration de G sur F. En particulier, appliquant le thdor~me de Barratt-Gugenheim-Moore [2], on obtient un rdsultat de Brown [3] : CoroUaire (TMor~me de Brown). -- Pour tout fibrg E de base B connexe, fibre F et groupe structural G, il existe une cocha~ne de Brown ~R : CN(B)__>CN(G) de degrg --T, telle que le morphisme de CN(F)| d~fini par soit une diffgrentielle, et que l'homologie de ce m.d.g, soit prgcisgment l'homologie du fibrd E. Remarque. -- La cochalne introduite ici, n'est pas tout ~t fait la m~me que celle de Brown. En effet, d'apr~s Gugenheim [I i], les inverses des ~ldments de G interviennent dans la construction de Brown, mais pas dans la n6tre. Cependant, notre cochalne fondamentale associ~e ~ une fonction tordante -r v~rifie aussi la formule de Brown car ceci est une condition n5cessaire (et suffisante) pour que d r soit une diffdrentielle, c'est-h-dire (d') 2 = o. w 2. DJ~MONSTRATION DU TH~OR~ME x Tout d'abord, on va 6crire le m.d.g. CN(F � comme une somme tordue ~ l'aide de ]a filtration dun e sque]ette (') B n de B, te]le que chaque facteur de la somme ne ddpende pas de ]a foncfion tordante ~. Pour ce]a, consi- d6rons d'abord la suite exacte de m.d.g, quotients (I) o--->C(F � � p-') ---> C(F � � p-') -+ C(F � � o off p ~<n, induite par les injections canoniques C(F x,B m) --+ c(r � m ~<n, oh on utilise le m~me -c pour dfisigner la fonction tordante de B" dans G obtenue par la restriction de -r ~t B n. Puisque le foncteur de normalisafion est exact, on dEduit de (I) la suite exacte de m.d.g., (, bis) o--->S,-+Jt',,, Pn,~ ~,,p+, ~ 0 (a) Rappelons que B nest le sous-ensemble simplicial de B engendr6 par Bn, ensemble des simplexes de dimen- sion n de B. 117 30 SHIH WEISHU off on ddsigne par ~'n,p = CN( r � F � Bp-~) p ~<n o% les m.d.g, quotients ainsi d4finis. La suite exacte (Ibis) admet un relSvement fonctoriel qu'on ddsigne par Pn, p+~ On, p+l *-'~n,p+l---->'~n,p, Pn, p~ p+l: Idln, p+t " En effet, il suffit 4videmment de chercher un morphisme, pour tout ensemble simplicial B p : C(B)-+C(B) tel que : I ~+lop~po~+l s~op=-pos i i>>-o : la restriction de p ~ C(B v) est nulle, (2) ! le compos4 C(B) P-~ C(B) -+ C(B)/C(B p) soit la projection naturelle Lemme 1. -- II existe un morphisme qui vdrifie (2) et un seul ; de plus, il est fonctoriel. Ddmonstration. -- D'apr$s Dold [6], il y a une correspondance bijective entre les morphismes de degr4 z4ro p : A-+B de deux modules simpliciaux compatibles avec les 0i+ 1 et si, et les applications lindaires de degr~ z6ro N(O) : N(A)~N(B) off N(A) est le sous-module de A ddfini par N(A),= N Ker 0~+1; i>~0 cette correspondance associe ~t chaque p sa restriction /~ N(A). Donc, un p qui satisfait (2) doit satisfaire N(p)i = o i ~<p N(p)~= i : N(C(B))~ -+ N(C(B)), i>p Ceci d4termine N(O), donc p. Que p soit fonctoriel est 4vident, et le lemme iest ddmontr6. Ceci ~tant, d6finissons le cocycle ~n,p+ l= dpn, p + l--Pn, p+ l d : .~n, p4-1-~ o~ On a donc (cf. proposition I, w 3, chapitre I) d'ofl l'identification de m.d.g. C~(F � = lim,K,, 0 = lira (S% + ~,,~(o% +~,,~(... +~,, S~,)... )) off le systSme inducfif est ddfini par les injections 4videntes. On d4signe dans la suite par 118 HOMOLOGIE DES ESPACES FIBRILS le projecteur ainsi d6fini; alors on a 6videmment (3) ~,,, + l(x) = ,~p od~(x) et les dl6ments de l'image de r:p sont les sommes d'dldments de la forme (3 bis) a| si ... s~k ~ off la suite (ik, ..., i1) est strictement croissante, ~ventuellement vide, et ~eCp(B), ~i+,~=o. Lemme 2. -- d~--d applique l'irnage de r:~ dans la somme des images des =p (p<n). Dimonstration. -- On applique d'--d hun 616ment de la forme (3 bis); siik= o, d'--d s'annule. Sinon, soit ~=Y~m, ~meC~(B); alors = (~o~* (s,_~... ~_~,:~,,--~))| s~,_,~o~,, est bien de filtration ~<n--~, puisque ~0~,,eCn_~(B). c.q.f.d. En particulier, le lemme 2 entralne que d'--d est nulle sur o~',, autrement dit on a l'identification des m.d.g. (4) CN( F � v x~ Bn-1) =- ~ = CN( F )< B")/CS( F X Bn-1) . Dfisignons maintenant dans le produit tensoriel C~(F) | = @C~(F) | par ~,---- ?~ CN(F)| ~CN(F)| Z CY(F)| ' p~i~n i~ li~p--1 o~---- --gZn, n = C~(F)| et par % : CN(F)| ~ CN(F)| --~ C~(F)| le projecteur ainsi d6fini. Fixons n, et posons V~,n:Tr, nVT'r, n : CN(F)| ~ CN(F� f.,\ = =.f=. :C~(F � -. CN(F)| q)n~,.---- n.(P% : CN(F � ---> CN(F � d~,~=dr| sur CN(F)QC~(B) off V,f, q~ sont les morphismes d'Eilenberg-Zilber appliquant sur CS(F� Ensuite, d6finissons (par r6currence descendante sur p ~<n pour le n donn~) les morphismes V~,~=Vp,p § -t-(Pot:pod') ova,,+ ~ : CN(F)eC~(B) ~ CN(F � f;,p=f;,p f;.p+,§176176176 :CN(F� C~(F)| (I)~,p---- q);,,+(~ +q)or: od')oq);,; +~: C~(F� ~ CN(F� d;,;=d;,~+d',,;+~ +jo,:;od'oV:,;+~ : C~(F)| + C~(F)| oa f = X,~f,:, 119 3~ SHIH WEISHU et on va d6montrer qu'ils induisent des morphismes (qu'on d6signe par les m&nes lettres) r : ..#.,~ -+ dr qui vfirifient les conditions suivantes : d~,v est une diff6.rentielle de ~.,p V.~,p et f2~p sont des morphismes de m.d.g. (..~,p muni de la difffirentielle d~,v et dt'.,~ (5) de celle obtenue par passage au quotient de d', qu'on d~signe encore par d') f,~,~ V.,v=~, On, p V.,~--o, f~,~ r 7.,~of.,~--I =d OOn, v-t-O.,vod', {~n,p On,p=O" En effet, pour p=n, ceci n'est autre que la condition des morphismes d'Eilenberg- Zilber appliquant sur les modules simpliciaux C(F), C(B", B "-t) d'apr~s (4). Supposons que le fait ait dt6 d~montrd pour p + i ~< n, et consid~rons le cas p. Pour cela, considfirons dans les propositions ~ et ~ bis du w 3 chapitre ~, les substitutions que voici : A -,Jt',,p + 1 A'~,p + 1 B ~o~p B'~o~ Vo-+ V:,v +, f0--->f;~,. +1 f~--->f des modules simpliciaux C(B p, B ~-1) et C(F) V1-~V des modules simpliciaux C(B p, B ~-1) et C(F) O1--~O des modules simpliciaux C(B5 B ~-1) et C(F) Alors les lemmes 4 et 5 du w 3 chapitre Iet l'hypoth6se de r&urrence entralnent que le morphisme d"(x +y)=d~x +A ~176 + d:~,. + ly o x 0 x "r XE,.a~'p~ =dFx+f t 8n,p+ 1 Vn, p+ly-~-dn, p+ly 0~I yE,.~n,p+ 1 est une diffdrentielle. Ensuite, les propositions 2 et 3 du w 3, chapltre I, montrent que les morphismes 0 "~ 0 T T V(x+y)=Vx+O S.,v+ ~ V.~,.+,y+V~,.+~y off xe~'v,ye.~v+ ~ f(x+y)=Ax+A ~.,,+~ o,~,p+ly-t-f,,v+ly off xeo~p,yedg,,,v+1 sont des morphismes de m.d.g., et que Vof est homotope ~ l'identit~ au moyen de ~p(x+y)=Olx+Olo~,p+loO~,v+~y+O~,v+ly off xe~v,ye..s 1. 120 HOMOLOGIE DES ESPACES FIBRI~S 33 Enfin, la proposition 4 du w 3, chapitre I, montre que les relations entre les morphismesf, ~7 et ~ sont encore valables. D'autre part, (3) entralne d(x -+-y) = drx -?ft or~pod%Vn~,p + ~y + d.~,~+ tY = d;,px § z~pofor~pod~o V.~,p + ty + d~,p + ,y =(d;,~+f +<,~+,)(~ +y) = d.~,~ (x +y) puisque fl= ~pofo=p et que foT:p = Y~ ~iofoz~ior~p = =p ofo=p Par la m~me fa~on, on d6montre =V.,p, f=ffn, p, ^-- " et ceci termine la r@currence, donc aussi la d@monstration de (5). En parficulier, si p= o, on obtient la diff6rentielle d~,o, d'ofl le m.d.g. ~gn, o, ainsi que les morphismes de m.d.g, f,~,o, V,~,0 et O,~o . D'autre part, il est facile de voir que le m.d.g. ~, o devient un sous-module diff6rentiel gradu~ de ~ + 1,o au moyen de l'injection 6vidente j :w.,0= x f, ~ Y~ &=~.+,,0. O(i~n 0~i~n+l De mfime, le diagramme suivant V'r n,0 ~,0 > "~.,0 ~.+1,0 <+1,0 > ~n+ll 0 est commutatif Ceci d~montre que le morphisme d~fini par dn, 0OT~n est une diff6rentielle de C~(F) | = Z~. ; et que les morphismes W, f" et O" d~finis par VT07~ = V~,O0~ ~ f %rc,~= f ,~,O~ (~":07:n ~ ~n, O07~ n o=,~od'oV~,~+~ 34 SHIH WEISHU sont des morphismes de m.d.g, v6rifiant les m6mes conditions (5)- Pour terminer la d6monstration du th6or&me I, il reste donc k montrer Vr= V r, Cr= (pr (6) f r =if, d r = d r ]~tablissons d'abord les formules suivantes (7) ~iofo~ = ~iof o~ziodor i 4: n (8) r (9) (I) ~176 = (I) ~ (dr-- d) ~ off d est la diff~rentielle de CN(F� d r celle de CN(F� et d" est d6finie par la relation pour tout n. i<n En multipliant l'identit~ do(I) + (Pod= Vof-- i h gauche par r:~ojCo~i et ~ droite par r:n, on a alors (car i:~n) rqofor:~odor or:. + n~ofor:~or odor:. = n~ofor:~oVofor:. Puisque r: commute avec Vet (I), et fo(I) = o, on obtient r:~ofo~odor = ~ioJoT:ioVofoT.. = : ofoVo : oJo :. 7~iOf OT~n~ car foV= I. Pour v6rifier (8), remarquons d'abord que i<n parce que dr--d diminue la filtration au moins un degr6, d'ofi on a (IO) ~r ~] ~iod%%= Z rhodor: n + (dr--d)o~,~ i<n i<n En multipliant (io) ~ gauche par (I) et ~ droite par V, on obtient r = r = Z ~qo(I)odoVo% + r (d ~- d) 070% i<n = (I)o(dr--d) oVo~, puisque V commute avec la diffdrentielle d et que (I)oV= o. Comme ceci est vrai pour tout n, (8) est dSmontr6. Enfin, l'6galit6 do(I) + Ood= Vof-- I entraine ~odor + qloq)od= r r 122 HOMOLOGIE DES ESPACES FIBRES 35 d'ofi gP odoO = -- 0 puisque 0oO = o. Donc, (I o) entralne : r162 = r or = X r odo~nor + r162 i<n = Z --~oOorc~ + Oo(d~--d) oOor% i<n ---= Oo(d~--d) oOonn, d'ofi s'ach6ve la ddmonstration de (9)- Ceci 6tant, revenons ~ la ddmonstratlon de (6). Remarquons d'abord qu'il suffit de v6rifier V~onn = V~o~n pour tout n/> o. D'apr6s la formule r6currente (5) de la ddfinition de V~,p, on ddduit facilement "~O V 7~ n~ ~Tn~,0on n = (I + Z r ]S Oonpod~oOon_od~+ p<n p<q<n Z Oonpod%Oonqod%Oonod ~ + . . .) on~oVor~., p<cl<r<n et la d6finidon du d~ entralne = (~ + ~ o~ 9 + r o~or o~" + r o~o~ o2~or o~ 9 + ... ) oVo,~ n Alors, (7) et (8) entralnent = (~ + r o (~,- d) oV + r o (~-- ~) o0 (~,-- d) oV +... ) on,, d'ofi on obtient W=W. La ddmonstration du fait que O"~---= 9 rest exactement la m~me, montrons donc t~d f~f~ Tout d'abord, la formule r6currente (5) entraine qu'on a "r V O f n.=f;,0 n. =fL +joE~._~od~o, + n._~o~o(i + 0o~._~o~ 3 +... + x0odZo(I -~- (I)OnlOd ~) (I -~- (I)on2od*)... (I + r Arrangeons les termes en suivant =, alors on obtient f"%on. = {y +/o~*o [O + @ o~ocP + r o~%O +...] }on., et (9) entratne = {f +f od~o[O + Oo(d~--d)oO + Oo(d,--d)or +...] }on. ={f +fod%Oo[i + (d~--d)o@ + (d~--d)oOo(d'--d)oO +...]}on, 123 3 6 SHIH WEISHU D'autre part, d'apr6s (xo) et la ddfinition de f, on obtient i<m d'oh (7) entratne : = Y~ ~iofox,.+fo(d*--d)o*ox,. i<m Donc, on a f od-*oO = Y~ n#fon,. 4- f o(d'--d)oe~, i,m i<m et ceci entraine f'o%-={f +f o(d'--d)oO[~ + (d'--d)o +...] + (x =,ofo=~/[, + (u,-U)o, + ... +...l}o=, i<m I -~{?o[I +(d'r--d)o(~Ar - ...lAy (i~<m~iofOT~m)[i @ (d':--d)o(I)@ ...]}o7~ n = (f AVi~<raxi~176176 AV (d*--d)o(~ ~-(dV--d)o(~(d'~--d)or -~-...]o7~ n Or, on a 6videmment f=f + Z ~#fo~,,, i<m i,m en effet, pour tout k, on a : (i+ ==koforck+ Z "~ofo= k i<k = Z .~ofo,:~ i<.k =:fo ~k- Donc, on obtient finalement f%o7: =fo[~ + (d'--d)o(b + (d'--d)oOp(d~--d)o(l) +...]or:, d'ofi f~ f- De m~me, on peut d~montrer que d 9 = d 9 et le th6or6me Iest d(montr6 d'apr~s (6). w 3- D~MONSTRATION DU TI-I~OR~ME z Les deux lemmes suivants seront d~montr6s au w 4- Lemme 1. -- ~tant donn& une fonction tordante -: : B~G 124 HOMOLOGIE DES ESPACES FIBRES 37 d'un ensemble simplicial B clans un monofde simplicial G, consid#ons les produits tordus (F x G) x~B G x~B o~ G opdre trivialement sur l'ensemble simplicial F. Alors le composg VF (~| CN(F)@(CS(G)@+CN(B)) -~ (CN(F)| ' > CS(FxG)@~CN(B) est un morphisme de m.d.g., ~ dgsignant le morphisme d'associativit~ du produit tensoriel ordinaire. Lemme 2. -- Soient A, B, F, trois ensembles simpliciaux, G un monofde simplicial qui op~re sur F, et v une fonction tordante de B dans G. D~signons par "q : B xA-~G la fonction tordante dgale au compos~ de la projection canonique B xA-~B et de ": : "~,(b, a) = Xb). Alors le composd CS(F)| CS(B xa) ,,| C~(F)|174 )  (CN(F)@,CN(B))@CS(A) est un morphisme de m.d.g. Les lemmes i et 2 entralnent le r4sultat suivant : Proposition 1. -- Soit donnLe une fonction tordante : B-~G d'un ensemble simplicial B dans un monoide simplicial G qui op~re sur F par une application simpliciale 9 ' : F xG~F Alors le morphisme compos~ (~) CS(F)| -+~ (CS(F)@CS(G))@CS(B) *| CN(F)@~CN(B) est un morphisme de m.d.g., ~ dgsignant le morphisme d' associativitg du produit tensoriel. De mgme, on a le morphisme de m.d.g. (2) CN(F)| IF| ) CN(F)| L (CN(F)| o~ A B : CS(B) -+ CS(B)@CN(B) est la diagonale de la coalg~bre d~fLrentielle gradu~e CN(B). D~monstration. -- Le morphisme 9 est, par d4finition, le compos6 CN(F)| v~,~ CN( F � c~(.~ CN(F); donc la premiere assertion r6sulte du lemme i. Ensuite, si on prend A=B dans le lemme 2, alors le morphisme eo(Ir| n'est autre que le compos6 CN(F)@,C~(B) '| CN(F)| CN(B � B) t| C~(F)| L -~ (CS(F) | | 125 38 SHIH WEISHU off A est induit par l'application diagonale : A : B~B� Donc oto(Ir| est bien un morphisme de m.d.g., puisque I | estun morphisme de m.d.g., car on a 6videmment T~ TIOA, c.q.f.d. En idcntifiant CN(B) ~ un sous-module de CN(G)| au moyen de p (cf. Ddfinition w I) alors on a : Corollaire 1. -- Pour tout xeC~(B)_CCoN(G)QC~(B), on a dans le m.d.g. CN(G)| Avant de d6montrer le corollaire, remarquons que (i) (3) (d'--d)x=r174 1. .. ~n_tx modulo Y~ CN(G) | .N l~m Pour eela, rappelons d'abord que le morphisme (I) d'Eilenberg-Zilber peut fitre 6crit sous la form| (I)(e| = Z (I),~,~,~(e) | 01+m_z(~) , e| � B) m+l~n--1 off (I)~,~,~ ne constitue que des opdrateurs de G, et (~, ,) ddsigne les (m, n--m--l+ i) (( shuffle )) [7]. Alors, (3) est une cons6quence immddiate de la formule (i) du w Iet du fait suivant : Supposons que la forme canonique [4] de l'opSrateur 0o0t... ~js@ ...sik ne contient pas des opdrateurs ddgdndrescences, alors on a ~001... ~?~ si...s~k = aoa~.., o~.-k. De plus, si k ~>j et k .+ l + 2 est le degr6 de x, alors on a 001. 9 9 § 0; + = 001. 9 9 + ix. Ceci 6tant, revenons ~t la ddmonstration du corollaire i. C'est trivial si x est de degr6 z6ro ou I. Supposons qu'on l'ait ddj~ d6montr6 pour les degrds ~<n--I. Soit x~B, et dcrivons A~x = bo| +x| + Z x~| l~i~n--I o~ b;=010~... O~x, b~'=Oo01...O~_lx, xi=000 t. .. 0~_r X ~--- On_i+ I . 9 . OnX ~ (1) D'ailleurs, si B o n'a qu'un 61dment (c'est-A-dire Best connexe), on n'a pas besoin de (3) pour ddmontrer le corollaire x. 126 HOMOLOGIE DES ESPACES FIBRILS et d'apr6s (3), posons d'x = +*(x) | o' + hl(X ) @ h,~(x) "Jr... "~ h n _j (X) oh hi(x ) ---=h~(x)| ' " (x)~C,~_~_t(G)| N ~ (B),I <~ i < n--i (puisque n I> 2). Alors on a, darts le m.d.g. (C~(G)@.CS(B))| dogoABx = d'(eo| | o' + Zd~(eo| ~) | + eo|174 + Xeo| off e 0 est l'unit6 de G, et ~ l'injection de CN(B)| dans (CZ~(G)|174 Or, par l'hypoth&e de r&urrence, on a d'(eo| = q;'(x')Q(b~)"+ X + 9 (x ,.k ) | , k + eo| ~ off ~ ~ ~k N B (b~)"=0 0. Oo...O~_~_lO~_i+l...O,,x. Ce xksCk(B), x' ) et qui entraine donc dogoABX = +~(x) Nb;' Nb;' + Z +'(x') | (b$)"| + eoNb;| + { ~h'(x)Nbo'+ }]d/'(x"k)|174 + Xeo| + Y~eo@x'| i, k i i J od los termes dans (( { } >) se trouvent dans N N c (a)eCm(B)| Donc, d'apr& (2) de la proposition I, l'~galit6 do~oABx = ~o(i | -- "~ tl t! t | H --~ . H --+ (x)| @b0 + Xh,(x) bo| (x), off bo=O~. . O,h, (x) plus les termes qui se trouvent dam ~; C~(G)|174 eeci dfmontre qu'on a t | tt ~- ,-- h,_~(x) h,,_t(x) q;*(xn--~)Nx. ~ +eoNdx, h~'(x)=x,, h~(x)=+'(x ~) pour I <~ i <<.n--I. Autrement dit, on a par ddfinition m~me de +*~ : d'x = d/(x) | o + X +*(x~) | + eo@dx =dx + +~x c.q.f.d. Ddmonstration du tMorkme 2. -- C'est une consdquence immddiate du fait que le morphisme (t) de la proposition Iest un morphisme de m.d.g. En effet, le diagramme commutatif CS(F ) | (C~(G) | (, | CS(F ) | ) a|174 x 127 4 ~ SHIH WEISHU et le corollaire I entrainent qu'on a : pour .yQxeCN(F)| d'(yQx) = (.|174 q- iQd')(y| ) = (d| i ) (y | -k- (i | (y @x) -t- " ~ (.'p ~x) par ddfinition du morphisme +'~, et que ay,eo= y puisque e 0 est l'unitd du monoide G. w 4- DI~MONSTRATION DES LEMMES I ET ~. DU w 3 D'abord, on a besoin de quelques propridt6s des foncteurs d'Eilenberg-Zilber. Lemme 1. ~ Soient F, Get B trois ensembles simplidaux ; alors le diagramme c"(r) .C"(G) | CN(F X G)| VF, G @ 1 B iv| va'B ] VF ~G~B C~(F)| x B) CN(FxGxB) VF~G XB est commutatif (o~ on identifie canoniquement F X (G � B), (F X G) X Bet F X G X B). Lemme Ibis. -- Soient F, Get B trois ensembles simpliciaux ; alors le diagramme CS(FxGxB ) t.� CN(FxG)| ) [F,G | [F~G X B CS(F)| xB) > CN(F)|174 1 @IG, B est commutatif. Lemme 2. ~ A, B et F gtant des ensembles simpliciaux donngs, le diagramme suivant 128 HOMOLOGIE DES ESPACES FIBRILS 4' CN(F)|215 VF,,� ~CN(F x(BXA)) e~ 1 | A ON(F) | (CN(B)| CN((F x B) x A) ~F XB, A (CN (V) | | CN (A) > CN(F x B) | VF, B @ tA est commutatif. Lemme 3. -- On a la commutativitg du diagramme CN(F)| x B) > CN(F x (GxB)) ~F,G X B 1 | CN((F x G) x B) C"(F) | x B) VFgG X B CN(Fx(GxB)) > CN((FxG) xB). Lemme 3 bis. -- On a la commutativit6 du diagramme CN(Fx (B xA)) ---+ CN((F xB) xA) (~)F, B X A ~PX B, A CS(Vx (BxA)) CN(F x B)| ~e~ ffPF, B @ 1A CN((FxB) xA) > CN(FxB)| ~FX B~ A La ddmonstration des lemmes I, Ibis et 2 r6sulte d'un calcul direct ~ partir des d6finitions de V etf; nous l'omettons ici. D'a'lleurs, les lemmes i et ibis sont classiques [i o]. 129 4~ SHIH WEISHU Ddmonstration du lemme 3. -- Supposons qu'on ait d4j~t d6montrfi la commutativit~ pour les dimensions 4 n-- I, n/> Iet consid6rons "(EFq, (~, ~)e(G� p+q=n z = v| (~, ~) eCN(F)| x B), alors on a : (i) r215215 =--~'V(z) + h's0V(z) D'autre part, d'apr~s la formule [7] (2) V(a@b)---- aVb = aV' sob + (-- I )degasoaV'b donc le premier terme du (i) est 5gal t o = __(I)p q t -r v~,~� (vV's0(~, ~)) + (- i) s0vV (~, ~)) = -r174 ~)) + (-- i)~+'r174 ~)) =--(~oV)'(v| ~))+(--i)~+'(~oV)'(SoV| ~)) et l'hypothSse de rdcurrence entralne : = (-- i)~-~+l(Vo(~ |162174 [~)) + (-- i)~+~+~(Vo(~ | r174 [3)) = (-- I) q V~,G� ~)) -~ (-- I) 2q+ lVF,G� , ~)) = (- ~)Ws174162 ~)) -Vs174162 ~)) D'autre part, on a h' osooV=h' oV' os o t o = (V~�215 so Ceci, d'apr~s le lemme 2, est 6gal ~t (VF� a,B~ (VF,~ | 1) o(1 |176 donc, d'apr6s le lemme I, c'est 6gal ~t (v~,~ x ~o (i | o(i |176 = (VF, axBO(I | Donc le second terme de (t) est 6gal t t O h'O~ooV(z ) = v~,~� | ~0(z) = Vs174 19). On a, d'apr~s (i) %x~,~oV~,~x~(Z) =--r + ~'os0oV(z) = -- ~V ~ ~,~B(v|162 .... ~)) +v~,~x~[--s0v| ~) +so~| ~)] = (--i)WE~x~(V| ~))+ v'(,0v|162 ~)) = (-- I)q["I'V'$0(I)G,B(~, ~) -~- (-- I)q$0"fV'(~) ((x, ~)] Alors la formule (2) entralne que ceci est 6gal ~t = (-- ~)~vvo(~, ~) = (- i)qvF,~� Bo i | r = (v~,~� | r c.q.Ld. 130 HOMOLOGIE DES ESPACES FIBRES 43 Ddmonstration du lemme 3 bis. -- Remarquons d'abord qu'on v~rifie facilement la formule O t (s) A= (i | 'f~-i +~1~2... ~.| d'aprSs la ddfinition de f [7]. Supposons qu'on ait dSj~ la commutativit6 pour les dimensions 4n--I (off n~>i), et considdrons le casn. Alors on a : O P f,�176162 = ((~ | '~ x B,* + 0,... 0.| ~) oeF ,� = -- (~ | %) ofA.,.o r163 � + (I | %) oW�163215 Ao,0 + (%... 0.| ~)or t O t =--(I|176215176215 +(I|176 hF, B�176 puisque 01 ... On@ I or Ux , est nul, d'apr&s une vdrification analogue ~t cell| de focI) --o. Donc, d'aprSs le lemme 2, c'est dgal o t t -- (~ | (fi�176215 + (~ |176215176176 B� os0 O n r O =-- (~ |215 r215 + (~ |174 ~)o(~ | ~215 So ceci, d'apr~s le lemme I his, est dgal k -(~ |215 ~,. o 0~,~ � + (, | | ~)o(f~,~ | ~)off � B,~)'o~ 0 On obtient donc 9 | o o ' I ' ' o (4) JF�176215 ~ 00) (f~� (PF,,� +( @OO)~174176215 So. D'autre part, on a (%,Be I ) of~ ~ B,~ = (0~,~| ,) o (, | B, A + (r174 I )o(O~... <| I) = ((I)F,B| I) o(I | ~0) ~ B,A parce que (q)F,B|174 est nul en remarquant que q)0:o; donc on a = (i | a0) o(0~,~ | ~) of A.,. P O t O t o ' (I (900) =- (~ |176174 'f;x.,~ + @F,~So| 0 'f~ x ~,, d'oh on obtient O t (5) (r174176174176162 'fF� +(INO0)~ BeI)~176 D'aprSs (4), (5) et l'hypoth~se de r6currence, il ne reste qu'~t vdrifier O t f'oso: (So| 'f. Mais ceci est 6vident, en effet f'os0 = XO~+~... Oj0| O~s 0 = E. so%+~... %+~| 9 9 &-~ = (~o| c.q.f.d. Ceci 6tant, revenons ~t la ddmonstration du lemme i du w 3" Puisque f%V*= I 131 44 SHIH WEISHU d'aprbs le th6or~me I, le lemme i du w 3 devient une consdquence imm6diate de la proposition suivante. Proposition 1. ~ ~tant donnle une fonction tordante -r : B-+G d'un ensemble simplicial B clans un monofde simplicial G, considAons les pro&its tordus (F � G) � G � o~ G op&e trivialement sur l'ensemble simplicial F. Alors le diagramme des morphismes de modules gradugs : CN(F)| | ,,| ---+ CN(F)| x,B) ~F~ GN~B CN(F x (G x,B)) (CN(F) | CN(G))| C~(B) VF, G@ I i CN(F x G) | ~- CN((F � G) x~B) ~TFX G,B est commutatif ; i ddsigne le morphisme de m.d.g, dgfini par l'identification Fx(Gx~B) = (F� x~B et o~ le morphisme d'associativitg du produit tensorid ordinaire. De'monstration. -- D'apr& la d6finition de W (cf. (I), w i), il suffit de v6rifier Vv, a� o(I | Vo, B) = VFx G,B o (Vv, G| I) (6) VF,~x~BO(I | o(d~--d)oV~,~]) = OF� e,~o(d~--d)OOF� Q,so... o(d~--d)oVF� a, Bo(Vv, a | I). Pour cela, remarquons d'abord que le V d'Eilenberg-Zilber utilise les op&ateurs de d6gfn6rescence, mais non les op6rateurs de face, et que les ensembles simpliciaux G � et G � B poss~dent les m~mes ddg6n~rescences, d'ofl on ddduit ~F,G � B ~ VF, GxB ~ et le lemme I entraine la premi[re 6galit6 dans (6). Ensuite, d'apr6s le lemme 3, on a VF, Gx Bo I @ [([E}G, BO (dr--d)o... o(dV--d)oVG, B] = Vv, a� B o I | (I)<B o I | (d'--d) oV<s ] = OFxQ, BOVFj~� BO I | | (d'--d)oVQ, B] -= @F�215174 I § I | ~- (d| I -W I | | (d~'--d)oV<~] 132 HOMOLOGIE DES ESPACES FIBRILS Or, Vr, G� (resp. VF, o� commute avec la diff6rentieUe totale, donc ceci est 6gal o ~ I|162 (dr--d) oV~,B] =r215 (d--d)oVr, a� .. Par le m~me raisonnement, on obtient =r o(d'~--d) oVF,~� I | B et le lemme I termine la dtmonstration de (6). c.q.f.d. Remarque. -- D'ailleurs, cette proposition entralne que le morphisme du lemme I du w (VF, G| est dgal au composd des morphismes de m.d.g. fr:� O,B ~ ~ G� ~ (XF| D'autre part, on peut ddmontrer le lemme I du w 3 directement, mais il est int~ressant de savoir les propri~t~s qui g~ndralisent celles du d6but du w 4. De m~me, le lemme 2 du w 3 devient une consdquence imm6diate de la proposition suivante : Proposition 2. -- Soient A, B, F trois ensembles simpliciaux, Gun monor simplicial qui op&e sur F, et "~ une fonction tordante de B dans G. De'signons par "h : B � la fonction tordante ddfinie par le composl de la projection canonique avec 9 = Alors, le diagramme suivant est commutatif V % F, BXA > CN(F � xA)) C~(F) | CN(B � IF @/B,A C ~(F) | (C N(B) | C N(A)) CN((F x,B) � [FX~E, A | (B)) | (A) + C~(F � | V~,B| 1A 133 46 SHIH WEISHU o?* i est le morphisme de m.d.g, ddfini par l'identification gvidente F � (B � A) = (F � � A et ~le morphisme d'associativitd du produit tensoriel. En particulier, on obtient le morphisme du lemme 2, w 3, ~o(i | comme le compos6 (J~B | ') off �176 oV):B � a des morphismes de m.d.g. Ddmonstration. -- D'apr~s la d6finifion de V ~ (cf. (I), w I), il suffit de v~rifier fF� ,oV~,~ � ~ = (v~.B | ~,,)o(~F| fFx.B,AOOF, Bxxo(d'~--d) o... o(d'--d) oVF, B� A ([@F, BO(d'--d)o... o(d~--d) oVF, B] | IA)o (I F| A) Pour cela, remarquons d'abord que l'opdrateurf ne fair pas intervenir 00 dans le premicr facteur, d'ofl on ddduit et le lemme 2 entralne la premi6re dgalit6. Ensuite, d'apr6s le lemme 3 bis, on a O T fF�215 (d--d)...o(d~--d)oVF, B� =fF� xoaPF, B� o... o(d*--d)oVF, B� A =(r B| ofFxR, A o(d'~--d)o@o. . . o(d*--d) oVF, BxA Or, fFx.B,A (resp. fFxB, A) commute avec la diff6rentielle d. (resp. d), donc ceci est 6gal = (r174174 of~ � + (I | off � B,A-- (d| I) off � B,A-- (I | � o@o.., o(d'--d)oVF, B � A -= (@F,B| )~ (d~--d)| )~ A~ � ~ " 9 ~176 B � = (@F,B|174162174 o((d~:--d)| �176 B xA = ([@F, Bo(d~--d)~ B o,.. ~174176176 B xA donc, d'apr~s le lemme 2, c'est dgal & --~ ([@v, BO(d'--d)o. . . o(d'--d) ]| )o(Vr, B| )O(I| = ([%,,o(d'--d)o... o(j'--d)oVF,~] |174 c.q.f.d. De m~me, on peut ddmontrer le fait suivant qui gdn6ralise le lemme 3 : Proposition 3. a ]~tant donnLe une fonction tordante "r :B~G d'un ensemble simplicial B dans un monogde simplicial G, considgrons les produits tordus (F x G) X ~B, G x,B 134 HOMOLOGIE DES ESPACES FIBRILS oh G op~re trivialement sut l' ensemble simplicial F. Alors le diagramme suivant C~(F)| X~B) v,,o CS( F X (G x~B)) tF | B i c~(F)| B) C~((F xO) x~B) ---+ CN((F xG)x~B) C~(F x (C x~B)) , est commutatif ; i dgsigne le morphisme de m.d.g, dgfini par l'identification gvidenle (F � G) � ~B ---- F x (G � x+i:~_ http://www.deepdyve.com/assets/images/DeepDyve-Logo-lg.png Publications mathématiques de l'IHÉS Springer Journals

Le Théorème d’Eilenberg-Zilber Tordu

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Springer Journals
Copyright
Copyright © 1962 by Publications mathématiques de l’I.H.É.S
Subject
Mathematics; Mathematics, general; Algebra; Analysis; Geometry; Number Theory
ISSN
0073-8301
eISSN
1618-1913
DOI
10.1007/BF02684294
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Abstract

CHAPITRE II LE THt~OR~ME D'EILENBERG-ZILBER TORDU Le thfior~me d'Eilenberg-Zilber [8] permet de comparer fonctoriellement l'homo- logie du produit cart6sien avec l'homologie du produit tensoriel. Dans ce paragraphe, nous nous proposons de la gfindraliser au cas off il s'agit du produit cart6sien tordu [4]- Nous ne supposons pas que la condition de Kan soit v6rifi6e par les ensembles simpliciaux consid6r6s B, F, etc. D'autre part, la notion de produit tordu qu'on consid~re sera celle de Moore [5], c'est-~-dire que la fonction tordante v : B-+G prend ses valeurs dans un monoide simplicial G avec unit6 qui op~re sur la fibre F du produit tordu F � Un anneau principal A est donn~ une fois pour toutes comme anneau des coefficients. D6signons par C(B) le module A-libre ayant pour base l'ensemble simplicial B. I1 porte une structure de module simplicial, done aussi de m.d.g. [6]. On notera CN(B) le module normalisfi qui porte une structure de m.d.g. D'autre part, on ufilise les m~mes notations qu'Eilenberg-Maclane dans << On the groups H(rc, n) >> [7] : pour tout opdrateur M = sqs~.., sikOi... ~/t opdrant sur les fildments de degrfi n, on dfisigne par M' l'opdrateur M' = s;,+l .. 9 Sik+lOj,+l.. 9 Oh+l opdrant sur les 616ments de degr6 n -t- r. On note h le composd Vof : h.=V.oA Rappelons que les morphismes V,fet r sont ddfinis sur les modules non normalis6s; par passage au quotient, ils d6finissent des morphismes (d6sign6s par les m~mes lettres) sur les modules normalis6s. Par exemple, la formule rdcurrente qui d6finit r (dans le module non normalis6) est celle-ci : r = + (h.)'~ 4 26 SHIH WEISHU Enfin, dans un module simplicial, la notion e-=~ signifiera que ~--~ est ddg6nfr6. w I, #'.NONC~ DES Rf:SULTATS Rappelons qu'Eilenberg et Zilber construisent des morphismes de foncteurs V : CS(F)| -+ CN(F� f: CN(F� ~ CN(F)| q5 : CN(F� --~ CN(F� jouissant des propri6tds qu'on va 6noncer. En prenant la diff~rentielle totale classique ~=4+4 sur le produit tensoriel (t), alors V etfsont des morphismes de m.d.g, et for= I, foq)=o, r Vof--I = doq~ + q~od; en outre, on va d6montrer que q)oq)=o ou plus pr&isfment (I),, + 1 ~. = o n>~o puisque ~0= o. Supposons qu'on ait ddj~ dfmontr6 En effet, ceci est vrai pour n = o le fait pour n>~ o, et montrons-le pour n + I. Remarquons d'abord qu'on a SoOr = r puisque @. ne fait pas intervenir ~0. Alors on a r162 (- r + h'+los0)or = I~ o (I) n 1--~nohnoso-~htn+lOfl)'nOSo t 0 t t =(O.oO._1)-(o. hn)os0+(h.+loO.)os0 ~O. Consid6rons maintenant la cat6gorie des produits cart6siens tordus : un morphisme de cette cat6gorie est d6fini par la donnfe de trois morphismes simpliciaux q~B : B-+B' q~F : F-+F' q~o : G-+G' (1) Par abus de langage, d F d6signe dF| et d B d6signe x| B. 114 HOMOLOGIE DES ESPACES FIBRILS tels que les diagrammes B ~"> B' F� > F G� ) G G > G' F'� > F' G'� ) G' ',0 a soient commutatifs, alors ?F� : Fxr B-+ F'xr ,B' est une application simpliciale compatible avec la structure fibr6e du produit tordu. Or, la notion de produit cartdsien est un cas particulier de celle de produit cart6sien tordu : elle correspond au cas off la fonction tordante est triviale. Donc, il est naturel de gdn~raliser le r6sultat d'Eilenberg-Zilber pour la cat6gorie des produits cart6siens tordus. En fait, on d6montrera dans le w 2 le rdsultat suivant : Dfsignons par d r la diff6renfielle du m.d.g. CN(F � et par d celle de CN(F� ainsi que la diffdrentielle totale de CN(F)| Consi- d~rons les morphismes Vr: CN(F)| -+ CN(FxrB) f': CN(F� > CN(F)| (I)" : CN(F xrB) > CN(F x,B) dr: CN(F)| -~ C~(F)| d6finis par les formules suivantes : i V*= [i H-~o(d'--d) +@o(d*--d)oapo(d'--d) +...]oV /, =fo[~ + (dr--~)o0 + (dr--d)omo(d~--d)or +...] (i) ( ~r= [i +~o(dr--d) +~po(dr--d)o~po(dr--d) +...]o~ d r- d =fo [ (d r- d) + (d r- d) ooo (a r- d) + (d ~- a) ooo (d ~- d) or (d r- a) +... ] oV =fo(d*--d)oV~=f%(d~--d)oV, off @, V, f sont les morphismes d'Eilenberg-Zilber pour les modules simpliciaux C s (F x B), C s(F) | N(B). Si la foncfion tordante 9 est triviale, on a d ~ = d dans C s(F � B), et par suite V r, f~, q~ et d r se r6duisent respectivement ~t V, f, ~P et d. Alors on a Thdorkme 1. -- Pour tout produit cartdsien tordu F � le morphisme fonctoriellement associd dr: CN(F)| -+ C~(F)| est une diffirentielle (autrement dit, on a (~)~ = o); 115 28 SHIH WEISHU on ddsignera le m.d.g, ainsi obtenu par CN(F)| De plus, soit un morphisme de produit tordu, alors le morphisme CN(~7)| : CN(F)| ~ CN(F')| ) est un morphiane de m.d.g. (on obtient done un foncteur de la catdgorie des produits tordus dam la r des m.d.g.). Enfin, les morphismes V" : CN(F)| ~ CN(F � ff : CN(F x,B) -+ CN(F)| sont des morphismes de na.d.g. (donc ils ddfinissent des morphismes de foncteurs), tels que f%V*~-I, f'o(I)*=o, (I)'oV~=o (2) Wof'-- = 9 Il en rdsulte que V* et ff: induisent des isomorphismes des groupes d'homologie H.(CS(F)| ~ H.(CS(F � ce dernier dtant le groupe d'homologie du fibrL Avant d'~noncer le thdor~me 2, remarquons que la foncdon tordante v qui ddteI- mine l'opdrateur S 0 du produit tordu F � est 6gale ~t l'application composde : PG B-~ Gx.B-~ Gx~B~ G off f~(x) ---= (e, x), PG(g, x) ----g. Alors une situation analogue pour CN(F)| est encore valable. Plus pr6cis6ment, posons la d6finition suivante : Dffinition. -- On appelle (( Cochaine fondamentale >~ ddfinie par la fonction tordante z le morphisme composd +.: C~r(B) _~ CN(G)| ~->d CN(G)| X CN(G) o?, O(x) -~ eo| (e o ddsignant l'~lgment neutre de G, considgrd comme o-chatne), p(y| =.y(r dgsignant l'augmentation de CN(B). Observons que ~V est de degrd --I. De plus, il est clair que pdp = o, donc ~V est aussi ~gal ~ pd'p. Thdor~me 2. -- La diffdrentieUe d r de CN(F)| vdrifie la relation : (d'--d)x-~+'~x o?* le cap-produit +*~ est le morphisme composd CN(F)|174 ) 1|162174 CN(F)| ~,| _+CN(F)|174 "| C~(F)| 116 HOMOLOGIE DES ESPACES FIBRI~S A dgsigne l'application diagonale de la coalg~bre CN(B), et 9 le morphisme CS(F)| & CN(F) induit par l'opgration de G sur F. En particulier, appliquant le thdor~me de Barratt-Gugenheim-Moore [2], on obtient un rdsultat de Brown [3] : CoroUaire (TMor~me de Brown). -- Pour tout fibrg E de base B connexe, fibre F et groupe structural G, il existe une cocha~ne de Brown ~R : CN(B)__>CN(G) de degrg --T, telle que le morphisme de CN(F)| d~fini par soit une diffgrentielle, et que l'homologie de ce m.d.g, soit prgcisgment l'homologie du fibrd E. Remarque. -- La cochalne introduite ici, n'est pas tout ~t fait la m~me que celle de Brown. En effet, d'apr~s Gugenheim [I i], les inverses des ~ldments de G interviennent dans la construction de Brown, mais pas dans la n6tre. Cependant, notre cochalne fondamentale associ~e ~ une fonction tordante -r v~rifie aussi la formule de Brown car ceci est une condition n5cessaire (et suffisante) pour que d r soit une diffdrentielle, c'est-h-dire (d') 2 = o. w 2. DJ~MONSTRATION DU TH~OR~ME x Tout d'abord, on va 6crire le m.d.g. CN(F � comme une somme tordue ~ l'aide de ]a filtration dun e sque]ette (') B n de B, te]le que chaque facteur de la somme ne ddpende pas de ]a foncfion tordante ~. Pour ce]a, consi- d6rons d'abord la suite exacte de m.d.g, quotients (I) o--->C(F � � p-') ---> C(F � � p-') -+ C(F � � o off p ~<n, induite par les injections canoniques C(F x,B m) --+ c(r � m ~<n, oh on utilise le m~me -c pour dfisigner la fonction tordante de B" dans G obtenue par la restriction de -r ~t B n. Puisque le foncteur de normalisafion est exact, on dEduit de (I) la suite exacte de m.d.g., (, bis) o--->S,-+Jt',,, Pn,~ ~,,p+, ~ 0 (a) Rappelons que B nest le sous-ensemble simplicial de B engendr6 par Bn, ensemble des simplexes de dimen- sion n de B. 117 30 SHIH WEISHU off on ddsigne par ~'n,p = CN( r � F � Bp-~) p ~<n o% les m.d.g, quotients ainsi d4finis. La suite exacte (Ibis) admet un relSvement fonctoriel qu'on ddsigne par Pn, p+~ On, p+l *-'~n,p+l---->'~n,p, Pn, p~ p+l: Idln, p+t " En effet, il suffit 4videmment de chercher un morphisme, pour tout ensemble simplicial B p : C(B)-+C(B) tel que : I ~+lop~po~+l s~op=-pos i i>>-o : la restriction de p ~ C(B v) est nulle, (2) ! le compos4 C(B) P-~ C(B) -+ C(B)/C(B p) soit la projection naturelle Lemme 1. -- II existe un morphisme qui vdrifie (2) et un seul ; de plus, il est fonctoriel. Ddmonstration. -- D'apr$s Dold [6], il y a une correspondance bijective entre les morphismes de degr4 z4ro p : A-+B de deux modules simpliciaux compatibles avec les 0i+ 1 et si, et les applications lindaires de degr~ z6ro N(O) : N(A)~N(B) off N(A) est le sous-module de A ddfini par N(A),= N Ker 0~+1; i>~0 cette correspondance associe ~t chaque p sa restriction /~ N(A). Donc, un p qui satisfait (2) doit satisfaire N(p)i = o i ~<p N(p)~= i : N(C(B))~ -+ N(C(B)), i>p Ceci d4termine N(O), donc p. Que p soit fonctoriel est 4vident, et le lemme iest ddmontr6. Ceci ~tant, d6finissons le cocycle ~n,p+ l= dpn, p + l--Pn, p+ l d : .~n, p4-1-~ o~ On a donc (cf. proposition I, w 3, chapitre I) d'ofl l'identification de m.d.g. C~(F � = lim,K,, 0 = lira (S% + ~,,~(o% +~,,~(... +~,, S~,)... )) off le systSme inducfif est ddfini par les injections 4videntes. On d4signe dans la suite par 118 HOMOLOGIE DES ESPACES FIBRILS le projecteur ainsi d6fini; alors on a 6videmment (3) ~,,, + l(x) = ,~p od~(x) et les dl6ments de l'image de r:p sont les sommes d'dldments de la forme (3 bis) a| si ... s~k ~ off la suite (ik, ..., i1) est strictement croissante, ~ventuellement vide, et ~eCp(B), ~i+,~=o. Lemme 2. -- d~--d applique l'irnage de r:~ dans la somme des images des =p (p<n). Dimonstration. -- On applique d'--d hun 616ment de la forme (3 bis); siik= o, d'--d s'annule. Sinon, soit ~=Y~m, ~meC~(B); alors = (~o~* (s,_~... ~_~,:~,,--~))| s~,_,~o~,, est bien de filtration ~<n--~, puisque ~0~,,eCn_~(B). c.q.f.d. En particulier, le lemme 2 entralne que d'--d est nulle sur o~',, autrement dit on a l'identification des m.d.g. (4) CN( F � v x~ Bn-1) =- ~ = CN( F )< B")/CS( F X Bn-1) . Dfisignons maintenant dans le produit tensoriel C~(F) | = @C~(F) | par ~,---- ?~ CN(F)| ~CN(F)| Z CY(F)| ' p~i~n i~ li~p--1 o~---- --gZn, n = C~(F)| et par % : CN(F)| ~ CN(F)| --~ C~(F)| le projecteur ainsi d6fini. Fixons n, et posons V~,n:Tr, nVT'r, n : CN(F)| ~ CN(F� f.,\ = =.f=. :C~(F � -. CN(F)| q)n~,.---- n.(P% : CN(F � ---> CN(F � d~,~=dr| sur CN(F)QC~(B) off V,f, q~ sont les morphismes d'Eilenberg-Zilber appliquant sur CS(F� Ensuite, d6finissons (par r6currence descendante sur p ~<n pour le n donn~) les morphismes V~,~=Vp,p § -t-(Pot:pod') ova,,+ ~ : CN(F)eC~(B) ~ CN(F � f;,p=f;,p f;.p+,§176176176 :CN(F� C~(F)| (I)~,p---- q);,,+(~ +q)or: od')oq);,; +~: C~(F� ~ CN(F� d;,;=d;,~+d',,;+~ +jo,:;od'oV:,;+~ : C~(F)| + C~(F)| oa f = X,~f,:, 119 3~ SHIH WEISHU et on va d6montrer qu'ils induisent des morphismes (qu'on d6signe par les m&nes lettres) r : ..#.,~ -+ dr qui vfirifient les conditions suivantes : d~,v est une diff6.rentielle de ~.,p V.~,p et f2~p sont des morphismes de m.d.g. (..~,p muni de la difffirentielle d~,v et dt'.,~ (5) de celle obtenue par passage au quotient de d', qu'on d~signe encore par d') f,~,~ V.,v=~, On, p V.,~--o, f~,~ r 7.,~of.,~--I =d OOn, v-t-O.,vod', {~n,p On,p=O" En effet, pour p=n, ceci n'est autre que la condition des morphismes d'Eilenberg- Zilber appliquant sur les modules simpliciaux C(F), C(B", B "-t) d'apr~s (4). Supposons que le fait ait dt6 d~montrd pour p + i ~< n, et consid~rons le cas p. Pour cela, considfirons dans les propositions ~ et ~ bis du w 3 chapitre ~, les substitutions que voici : A -,Jt',,p + 1 A'~,p + 1 B ~o~p B'~o~ Vo-+ V:,v +, f0--->f;~,. +1 f~--->f des modules simpliciaux C(B p, B ~-1) et C(F) V1-~V des modules simpliciaux C(B p, B ~-1) et C(F) O1--~O des modules simpliciaux C(B5 B ~-1) et C(F) Alors les lemmes 4 et 5 du w 3 chapitre Iet l'hypoth6se de r&urrence entralnent que le morphisme d"(x +y)=d~x +A ~176 + d:~,. + ly o x 0 x "r XE,.a~'p~ =dFx+f t 8n,p+ 1 Vn, p+ly-~-dn, p+ly 0~I yE,.~n,p+ 1 est une diffdrentielle. Ensuite, les propositions 2 et 3 du w 3, chapltre I, montrent que les morphismes 0 "~ 0 T T V(x+y)=Vx+O S.,v+ ~ V.~,.+,y+V~,.+~y off xe~'v,ye.~v+ ~ f(x+y)=Ax+A ~.,,+~ o,~,p+ly-t-f,,v+ly off xeo~p,yedg,,,v+1 sont des morphismes de m.d.g., et que Vof est homotope ~ l'identit~ au moyen de ~p(x+y)=Olx+Olo~,p+loO~,v+~y+O~,v+ly off xe~v,ye..s 1. 120 HOMOLOGIE DES ESPACES FIBRI~S 33 Enfin, la proposition 4 du w 3, chapitre I, montre que les relations entre les morphismesf, ~7 et ~ sont encore valables. D'autre part, (3) entralne d(x -+-y) = drx -?ft or~pod%Vn~,p + ~y + d.~,~+ tY = d;,px § z~pofor~pod~o V.~,p + ty + d~,p + ,y =(d;,~+f +<,~+,)(~ +y) = d.~,~ (x +y) puisque fl= ~pofo=p et que foT:p = Y~ ~iofoz~ior~p = =p ofo=p Par la m~me fa~on, on d6montre =V.,p, f=ffn, p, ^-- " et ceci termine la r@currence, donc aussi la d@monstration de (5). En parficulier, si p= o, on obtient la diff6rentielle d~,o, d'ofl le m.d.g. ~gn, o, ainsi que les morphismes de m.d.g, f,~,o, V,~,0 et O,~o . D'autre part, il est facile de voir que le m.d.g. ~, o devient un sous-module diff6rentiel gradu~ de ~ + 1,o au moyen de l'injection 6vidente j :w.,0= x f, ~ Y~ &=~.+,,0. O(i~n 0~i~n+l De mfime, le diagramme suivant V'r n,0 ~,0 > "~.,0 ~.+1,0 <+1,0 > ~n+ll 0 est commutatif Ceci d~montre que le morphisme d~fini par dn, 0OT~n est une diff6rentielle de C~(F) | = Z~. ; et que les morphismes W, f" et O" d~finis par VT07~ = V~,O0~ ~ f %rc,~= f ,~,O~ (~":07:n ~ ~n, O07~ n o=,~od'oV~,~+~ 34 SHIH WEISHU sont des morphismes de m.d.g, v6rifiant les m6mes conditions (5)- Pour terminer la d6monstration du th6or&me I, il reste donc k montrer Vr= V r, Cr= (pr (6) f r =if, d r = d r ]~tablissons d'abord les formules suivantes (7) ~iofo~ = ~iof o~ziodor i 4: n (8) r (9) (I) ~176 = (I) ~ (dr-- d) ~ off d est la diff~rentielle de CN(F� d r celle de CN(F� et d" est d6finie par la relation pour tout n. i<n En multipliant l'identit~ do(I) + (Pod= Vof-- i h gauche par r:~ojCo~i et ~ droite par r:n, on a alors (car i:~n) rqofor:~odor or:. + n~ofor:~or odor:. = n~ofor:~oVofor:. Puisque r: commute avec Vet (I), et fo(I) = o, on obtient r:~ofo~odor = ~ioJoT:ioVofoT.. = : ofoVo : oJo :. 7~iOf OT~n~ car foV= I. Pour v6rifier (8), remarquons d'abord que i<n parce que dr--d diminue la filtration au moins un degr6, d'ofi on a (IO) ~r ~] ~iod%%= Z rhodor: n + (dr--d)o~,~ i<n i<n En multipliant (io) ~ gauche par (I) et ~ droite par V, on obtient r = r = Z ~qo(I)odoVo% + r (d ~- d) 070% i<n = (I)o(dr--d) oVo~, puisque V commute avec la diffdrentielle d et que (I)oV= o. Comme ceci est vrai pour tout n, (8) est dSmontr6. Enfin, l'6galit6 do(I) + Ood= Vof-- I entraine ~odor + qloq)od= r r 122 HOMOLOGIE DES ESPACES FIBRES 35 d'ofi gP odoO = -- 0 puisque 0oO = o. Donc, (I o) entralne : r162 = r or = X r odo~nor + r162 i<n = Z --~oOorc~ + Oo(d~--d) oOor% i<n ---= Oo(d~--d) oOonn, d'ofi s'ach6ve la ddmonstration de (9)- Ceci 6tant, revenons ~ la ddmonstratlon de (6). Remarquons d'abord qu'il suffit de v6rifier V~onn = V~o~n pour tout n/> o. D'apr6s la formule r6currente (5) de la ddfinition de V~,p, on ddduit facilement "~O V 7~ n~ ~Tn~,0on n = (I + Z r ]S Oonpod~oOon_od~+ p<n p<q<n Z Oonpod%Oonqod%Oonod ~ + . . .) on~oVor~., p<cl<r<n et la d6finidon du d~ entralne = (~ + ~ o~ 9 + r o~or o~" + r o~o~ o2~or o~ 9 + ... ) oVo,~ n Alors, (7) et (8) entralnent = (~ + r o (~,- d) oV + r o (~-- ~) o0 (~,-- d) oV +... ) on,, d'ofi on obtient W=W. La ddmonstration du fait que O"~---= 9 rest exactement la m~me, montrons donc t~d f~f~ Tout d'abord, la formule r6currente (5) entraine qu'on a "r V O f n.=f;,0 n. =fL +joE~._~od~o, + n._~o~o(i + 0o~._~o~ 3 +... + x0odZo(I -~- (I)OnlOd ~) (I -~- (I)on2od*)... (I + r Arrangeons les termes en suivant =, alors on obtient f"%on. = {y +/o~*o [O + @ o~ocP + r o~%O +...] }on., et (9) entratne = {f +f od~o[O + Oo(d~--d)oO + Oo(d,--d)or +...] }on. ={f +fod%Oo[i + (d~--d)o@ + (d~--d)oOo(d'--d)oO +...]}on, 123 3 6 SHIH WEISHU D'autre part, d'apr6s (xo) et la ddfinition de f, on obtient i<m d'oh (7) entratne : = Y~ ~iofox,.+fo(d*--d)o*ox,. i<m Donc, on a f od-*oO = Y~ n#fon,. 4- f o(d'--d)oe~, i,m i<m et ceci entraine f'o%-={f +f o(d'--d)oO[~ + (d'--d)o +...] + (x =,ofo=~/[, + (u,-U)o, + ... +...l}o=, i<m I -~{?o[I +(d'r--d)o(~Ar - ...lAy (i~<m~iofOT~m)[i @ (d':--d)o(I)@ ...]}o7~ n = (f AVi~<raxi~176176 AV (d*--d)o(~ ~-(dV--d)o(~(d'~--d)or -~-...]o7~ n Or, on a 6videmment f=f + Z ~#fo~,,, i<m i,m en effet, pour tout k, on a : (i+ ==koforck+ Z "~ofo= k i<k = Z .~ofo,:~ i<.k =:fo ~k- Donc, on obtient finalement f%o7: =fo[~ + (d'--d)o(b + (d'--d)oOp(d~--d)o(l) +...]or:, d'ofi f~ f- De m~me, on peut d~montrer que d 9 = d 9 et le th6or6me Iest d(montr6 d'apr~s (6). w 3- D~MONSTRATION DU TI-I~OR~ME z Les deux lemmes suivants seront d~montr6s au w 4- Lemme 1. -- ~tant donn& une fonction tordante -: : B~G 124 HOMOLOGIE DES ESPACES FIBRES 37 d'un ensemble simplicial B clans un monofde simplicial G, consid#ons les produits tordus (F x G) x~B G x~B o~ G opdre trivialement sur l'ensemble simplicial F. Alors le composg VF (~| CN(F)@(CS(G)@+CN(B)) -~ (CN(F)| ' > CS(FxG)@~CN(B) est un morphisme de m.d.g., ~ dgsignant le morphisme d'associativit~ du produit tensoriel ordinaire. Lemme 2. -- Soient A, B, F, trois ensembles simpliciaux, G un monofde simplicial qui op~re sur F, et v une fonction tordante de B dans G. D~signons par "q : B xA-~G la fonction tordante dgale au compos~ de la projection canonique B xA-~B et de ": : "~,(b, a) = Xb). Alors le composd CS(F)| CS(B xa) ,,| C~(F)|174 )  (CN(F)@,CN(B))@CS(A) est un morphisme de m.d.g. Les lemmes i et 2 entralnent le r4sultat suivant : Proposition 1. -- Soit donnLe une fonction tordante : B-~G d'un ensemble simplicial B dans un monoide simplicial G qui op~re sur F par une application simpliciale 9 ' : F xG~F Alors le morphisme compos~ (~) CS(F)| -+~ (CS(F)@CS(G))@CS(B) *| CN(F)@~CN(B) est un morphisme de m.d.g., ~ dgsignant le morphisme d' associativitg du produit tensoriel. De mgme, on a le morphisme de m.d.g. (2) CN(F)| IF| ) CN(F)| L (CN(F)| o~ A B : CS(B) -+ CS(B)@CN(B) est la diagonale de la coalg~bre d~fLrentielle gradu~e CN(B). D~monstration. -- Le morphisme 9 est, par d4finition, le compos6 CN(F)| v~,~ CN( F � c~(.~ CN(F); donc la premiere assertion r6sulte du lemme i. Ensuite, si on prend A=B dans le lemme 2, alors le morphisme eo(Ir| n'est autre que le compos6 CN(F)@,C~(B) '| CN(F)| CN(B � B) t| C~(F)| L -~ (CS(F) | | 125 38 SHIH WEISHU off A est induit par l'application diagonale : A : B~B� Donc oto(Ir| est bien un morphisme de m.d.g., puisque I | estun morphisme de m.d.g., car on a 6videmment T~ TIOA, c.q.f.d. En idcntifiant CN(B) ~ un sous-module de CN(G)| au moyen de p (cf. Ddfinition w I) alors on a : Corollaire 1. -- Pour tout xeC~(B)_CCoN(G)QC~(B), on a dans le m.d.g. CN(G)| Avant de d6montrer le corollaire, remarquons que (i) (3) (d'--d)x=r174 1. .. ~n_tx modulo Y~ CN(G) | .N l~m Pour eela, rappelons d'abord que le morphisme (I) d'Eilenberg-Zilber peut fitre 6crit sous la form| (I)(e| = Z (I),~,~,~(e) | 01+m_z(~) , e| � B) m+l~n--1 off (I)~,~,~ ne constitue que des opdrateurs de G, et (~, ,) ddsigne les (m, n--m--l+ i) (( shuffle )) [7]. Alors, (3) est une cons6quence immddiate de la formule (i) du w Iet du fait suivant : Supposons que la forme canonique [4] de l'opSrateur 0o0t... ~js@ ...sik ne contient pas des opdrateurs ddgdndrescences, alors on a ~001... ~?~ si...s~k = aoa~.., o~.-k. De plus, si k ~>j et k .+ l + 2 est le degr6 de x, alors on a 001. 9 9 § 0; + = 001. 9 9 + ix. Ceci 6tant, revenons ~t la ddmonstration du corollaire i. C'est trivial si x est de degr6 z6ro ou I. Supposons qu'on l'ait ddj~ d6montr6 pour les degrds ~<n--I. Soit x~B, et dcrivons A~x = bo| +x| + Z x~| l~i~n--I o~ b;=010~... O~x, b~'=Oo01...O~_lx, xi=000 t. .. 0~_r X ~--- On_i+ I . 9 . OnX ~ (1) D'ailleurs, si B o n'a qu'un 61dment (c'est-A-dire Best connexe), on n'a pas besoin de (3) pour ddmontrer le corollaire x. 126 HOMOLOGIE DES ESPACES FIBRILS et d'apr6s (3), posons d'x = +*(x) | o' + hl(X ) @ h,~(x) "Jr... "~ h n _j (X) oh hi(x ) ---=h~(x)| ' " (x)~C,~_~_t(G)| N ~ (B),I <~ i < n--i (puisque n I> 2). Alors on a, darts le m.d.g. (C~(G)@.CS(B))| dogoABx = d'(eo| | o' + Zd~(eo| ~) | + eo|174 + Xeo| off e 0 est l'unit6 de G, et ~ l'injection de CN(B)| dans (CZ~(G)|174 Or, par l'hypoth&e de r&urrence, on a d'(eo| = q;'(x')Q(b~)"+ X + 9 (x ,.k ) | , k + eo| ~ off ~ ~ ~k N B (b~)"=0 0. Oo...O~_~_lO~_i+l...O,,x. Ce xksCk(B), x' ) et qui entraine donc dogoABX = +~(x) Nb;' Nb;' + Z +'(x') | (b$)"| + eoNb;| + { ~h'(x)Nbo'+ }]d/'(x"k)|174 + Xeo| + Y~eo@x'| i, k i i J od los termes dans (( { } >) se trouvent dans N N c (a)eCm(B)| Donc, d'apr& (2) de la proposition I, l'~galit6 do~oABx = ~o(i | -- "~ tl t! t | H --~ . H --+ (x)| @b0 + Xh,(x) bo| (x), off bo=O~. . O,h, (x) plus les termes qui se trouvent dam ~; C~(G)|174 eeci dfmontre qu'on a t | tt ~- ,-- h,_~(x) h,,_t(x) q;*(xn--~)Nx. ~ +eoNdx, h~'(x)=x,, h~(x)=+'(x ~) pour I <~ i <<.n--I. Autrement dit, on a par ddfinition m~me de +*~ : d'x = d/(x) | o + X +*(x~) | + eo@dx =dx + +~x c.q.f.d. Ddmonstration du tMorkme 2. -- C'est une consdquence immddiate du fait que le morphisme (t) de la proposition Iest un morphisme de m.d.g. En effet, le diagramme commutatif CS(F ) | (C~(G) | (, | CS(F ) | ) a|174 x 127 4 ~ SHIH WEISHU et le corollaire I entrainent qu'on a : pour .yQxeCN(F)| d'(yQx) = (.|174 q- iQd')(y| ) = (d| i ) (y | -k- (i | (y @x) -t- " ~ (.'p ~x) par ddfinition du morphisme +'~, et que ay,eo= y puisque e 0 est l'unitd du monoide G. w 4- DI~MONSTRATION DES LEMMES I ET ~. DU w 3 D'abord, on a besoin de quelques propridt6s des foncteurs d'Eilenberg-Zilber. Lemme 1. ~ Soient F, Get B trois ensembles simplidaux ; alors le diagramme c"(r) .C"(G) | CN(F X G)| VF, G @ 1 B iv| va'B ] VF ~G~B C~(F)| x B) CN(FxGxB) VF~G XB est commutatif (o~ on identifie canoniquement F X (G � B), (F X G) X Bet F X G X B). Lemme Ibis. -- Soient F, Get B trois ensembles simpliciaux ; alors le diagramme CS(FxGxB ) t.� CN(FxG)| ) [F,G | [F~G X B CS(F)| xB) > CN(F)|174 1 @IG, B est commutatif. Lemme 2. ~ A, B et F gtant des ensembles simpliciaux donngs, le diagramme suivant 128 HOMOLOGIE DES ESPACES FIBRILS 4' CN(F)|215 VF,,� ~CN(F x(BXA)) e~ 1 | A ON(F) | (CN(B)| CN((F x B) x A) ~F XB, A (CN (V) | | CN (A) > CN(F x B) | VF, B @ tA est commutatif. Lemme 3. -- On a la commutativitg du diagramme CN(F)| x B) > CN(F x (GxB)) ~F,G X B 1 | CN((F x G) x B) C"(F) | x B) VFgG X B CN(Fx(GxB)) > CN((FxG) xB). Lemme 3 bis. -- On a la commutativit6 du diagramme CN(Fx (B xA)) ---+ CN((F xB) xA) (~)F, B X A ~PX B, A CS(Vx (BxA)) CN(F x B)| ~e~ ffPF, B @ 1A CN((FxB) xA) > CN(FxB)| ~FX B~ A La ddmonstration des lemmes I, Ibis et 2 r6sulte d'un calcul direct ~ partir des d6finitions de V etf; nous l'omettons ici. D'a'lleurs, les lemmes i et ibis sont classiques [i o]. 129 4~ SHIH WEISHU Ddmonstration du lemme 3. -- Supposons qu'on ait d4j~t d6montrfi la commutativit~ pour les dimensions 4 n-- I, n/> Iet consid6rons "(EFq, (~, ~)e(G� p+q=n z = v| (~, ~) eCN(F)| x B), alors on a : (i) r215215 =--~'V(z) + h's0V(z) D'autre part, d'apr~s la formule [7] (2) V(a@b)---- aVb = aV' sob + (-- I )degasoaV'b donc le premier terme du (i) est 5gal t o = __(I)p q t -r v~,~� (vV's0(~, ~)) + (- i) s0vV (~, ~)) = -r174 ~)) + (-- i)~+'r174 ~)) =--(~oV)'(v| ~))+(--i)~+'(~oV)'(SoV| ~)) et l'hypothSse de rdcurrence entralne : = (-- i)~-~+l(Vo(~ |162174 [~)) + (-- i)~+~+~(Vo(~ | r174 [3)) = (-- I) q V~,G� ~)) -~ (-- I) 2q+ lVF,G� , ~)) = (- ~)Ws174162 ~)) -Vs174162 ~)) D'autre part, on a h' osooV=h' oV' os o t o = (V~�215 so Ceci, d'apr~s le lemme 2, est 6gal ~t (VF� a,B~ (VF,~ | 1) o(1 |176 donc, d'apr6s le lemme I, c'est 6gal ~t (v~,~ x ~o (i | o(i |176 = (VF, axBO(I | Donc le second terme de (t) est 6gal t t O h'O~ooV(z ) = v~,~� | ~0(z) = Vs174 19). On a, d'apr~s (i) %x~,~oV~,~x~(Z) =--r + ~'os0oV(z) = -- ~V ~ ~,~B(v|162 .... ~)) +v~,~x~[--s0v| ~) +so~| ~)] = (--i)WE~x~(V| ~))+ v'(,0v|162 ~)) = (-- I)q["I'V'$0(I)G,B(~, ~) -~- (-- I)q$0"fV'(~) ((x, ~)] Alors la formule (2) entralne que ceci est 6gal ~t = (-- ~)~vvo(~, ~) = (- i)qvF,~� Bo i | r = (v~,~� | r c.q.Ld. 130 HOMOLOGIE DES ESPACES FIBRES 43 Ddmonstration du lemme 3 bis. -- Remarquons d'abord qu'on v~rifie facilement la formule O t (s) A= (i | 'f~-i +~1~2... ~.| d'aprSs la ddfinition de f [7]. Supposons qu'on ait dSj~ la commutativit6 pour les dimensions 4n--I (off n~>i), et considdrons le casn. Alors on a : O P f,�176162 = ((~ | '~ x B,* + 0,... 0.| ~) oeF ,� = -- (~ | %) ofA.,.o r163 � + (I | %) oW�163215 Ao,0 + (%... 0.| ~)or t O t =--(I|176215176215 +(I|176 hF, B�176 puisque 01 ... On@ I or Ux , est nul, d'apr&s une vdrification analogue ~t cell| de focI) --o. Donc, d'aprSs le lemme 2, c'est dgal o t t -- (~ | (fi�176215 + (~ |176215176176 B� os0 O n r O =-- (~ |215 r215 + (~ |174 ~)o(~ | ~215 So ceci, d'apr~s le lemme I his, est dgal k -(~ |215 ~,. o 0~,~ � + (, | | ~)o(f~,~ | ~)off � B,~)'o~ 0 On obtient donc 9 | o o ' I ' ' o (4) JF�176215 ~ 00) (f~� (PF,,� +( @OO)~174176215 So. D'autre part, on a (%,Be I ) of~ ~ B,~ = (0~,~| ,) o (, | B, A + (r174 I )o(O~... <| I) = ((I)F,B| I) o(I | ~0) ~ B,A parce que (q)F,B|174 est nul en remarquant que q)0:o; donc on a = (i | a0) o(0~,~ | ~) of A.,. P O t O t o ' (I (900) =- (~ |176174 'f;x.,~ + @F,~So| 0 'f~ x ~,, d'oh on obtient O t (5) (r174176174176162 'fF� +(INO0)~ BeI)~176 D'aprSs (4), (5) et l'hypoth~se de r6currence, il ne reste qu'~t vdrifier O t f'oso: (So| 'f. Mais ceci est 6vident, en effet f'os0 = XO~+~... Oj0| O~s 0 = E. so%+~... %+~| 9 9 &-~ = (~o| c.q.f.d. Ceci 6tant, revenons ~t la ddmonstration du lemme i du w 3" Puisque f%V*= I 131 44 SHIH WEISHU d'aprbs le th6or~me I, le lemme i du w 3 devient une consdquence imm6diate de la proposition suivante. Proposition 1. ~ ~tant donnle une fonction tordante -r : B-+G d'un ensemble simplicial B clans un monofde simplicial G, considAons les pro&its tordus (F � G) � G � o~ G op&e trivialement sur l'ensemble simplicial F. Alors le diagramme des morphismes de modules gradugs : CN(F)| | ,,| ---+ CN(F)| x,B) ~F~ GN~B CN(F x (G x,B)) (CN(F) | CN(G))| C~(B) VF, G@ I i CN(F x G) | ~- CN((F � G) x~B) ~TFX G,B est commutatif ; i ddsigne le morphisme de m.d.g, dgfini par l'identification Fx(Gx~B) = (F� x~B et o~ le morphisme d'associativitg du produit tensorid ordinaire. De'monstration. -- D'apr& la d6finition de W (cf. (I), w i), il suffit de v6rifier Vv, a� o(I | Vo, B) = VFx G,B o (Vv, G| I) (6) VF,~x~BO(I | o(d~--d)oV~,~]) = OF� e,~o(d~--d)OOF� Q,so... o(d~--d)oVF� a, Bo(Vv, a | I). Pour cela, remarquons d'abord que le V d'Eilenberg-Zilber utilise les op&ateurs de d6gfn6rescence, mais non les op6rateurs de face, et que les ensembles simpliciaux G � et G � B poss~dent les m~mes ddg6n~rescences, d'ofl on ddduit ~F,G � B ~ VF, GxB ~ et le lemme I entraine la premi[re 6galit6 dans (6). Ensuite, d'apr6s le lemme 3, on a VF, Gx Bo I @ [([E}G, BO (dr--d)o... o(dV--d)oVG, B] = Vv, a� B o I | (I)<B o I | (d'--d) oV<s ] = OFxQ, BOVFj~� BO I | | (d'--d)oVQ, B] -= @F�215174 I § I | ~- (d| I -W I | | (d~'--d)oV<~] 132 HOMOLOGIE DES ESPACES FIBRILS Or, Vr, G� (resp. VF, o� commute avec la diff6rentieUe totale, donc ceci est 6gal o ~ I|162 (dr--d) oV~,B] =r215 (d--d)oVr, a� .. Par le m~me raisonnement, on obtient =r o(d'~--d) oVF,~� I | B et le lemme I termine la dtmonstration de (6). c.q.f.d. Remarque. -- D'ailleurs, cette proposition entralne que le morphisme du lemme I du w (VF, G| est dgal au composd des morphismes de m.d.g. fr:� O,B ~ ~ G� ~ (XF| D'autre part, on peut ddmontrer le lemme I du w 3 directement, mais il est int~ressant de savoir les propri~t~s qui g~ndralisent celles du d6but du w 4. De m~me, le lemme 2 du w 3 devient une consdquence imm6diate de la proposition suivante : Proposition 2. -- Soient A, B, F trois ensembles simpliciaux, Gun monor simplicial qui op&e sur F, et "~ une fonction tordante de B dans G. De'signons par "h : B � la fonction tordante ddfinie par le composl de la projection canonique avec 9 = Alors, le diagramme suivant est commutatif V % F, BXA > CN(F � xA)) C~(F) | CN(B � IF @/B,A C ~(F) | (C N(B) | C N(A)) CN((F x,B) � [FX~E, A | (B)) | (A) + C~(F � | V~,B| 1A 133 46 SHIH WEISHU o?* i est le morphisme de m.d.g, ddfini par l'identification gvidente F � (B � A) = (F � � A et ~le morphisme d'associativitd du produit tensoriel. En particulier, on obtient le morphisme du lemme 2, w 3, ~o(i | comme le compos6 (J~B | ') off �176 oV):B � a des morphismes de m.d.g. Ddmonstration. -- D'apr~s la d6finifion de V ~ (cf. (I), w I), il suffit de v~rifier fF� ,oV~,~ � ~ = (v~.B | ~,,)o(~F| fFx.B,AOOF, Bxxo(d'~--d) o... o(d'--d) oVF, B� A ([@F, BO(d'--d)o... o(d~--d) oVF, B] | IA)o (I F| A) Pour cela, remarquons d'abord que l'opdrateurf ne fair pas intervenir 00 dans le premicr facteur, d'ofl on ddduit et le lemme 2 entralne la premi6re dgalit6. Ensuite, d'apr6s le lemme 3 bis, on a O T fF�215 (d--d)...o(d~--d)oVF, B� =fF� xoaPF, B� o... o(d*--d)oVF, B� A =(r B| ofFxR, A o(d'~--d)o@o. . . o(d*--d) oVF, BxA Or, fFx.B,A (resp. fFxB, A) commute avec la diff6rentielle d. (resp. d), donc ceci est 6gal = (r174174 of~ � + (I | off � B,A-- (d| I) off � B,A-- (I | � o@o.., o(d'--d)oVF, B � A -= (@F,B| )~ (d~--d)| )~ A~ � ~ " 9 ~176 B � = (@F,B|174162174 o((d~:--d)| �176 B xA = ([@F, Bo(d~--d)~ B o,.. ~174176176 B xA donc, d'apr~s le lemme 2, c'est dgal & --~ ([@v, BO(d'--d)o. . . o(d'--d) ]| )o(Vr, B| )O(I| = ([%,,o(d'--d)o... o(j'--d)oVF,~] |174 c.q.f.d. De m~me, on peut ddmontrer le fait suivant qui gdn6ralise le lemme 3 : Proposition 3. a ]~tant donnLe une fonction tordante "r :B~G d'un ensemble simplicial B dans un monogde simplicial G, considgrons les produits tordus (F x G) X ~B, G x,B 134 HOMOLOGIE DES ESPACES FIBRILS oh G op~re trivialement sut l' ensemble simplicial F. Alors le diagramme suivant C~(F)| X~B) v,,o CS( F X (G x~B)) tF | B i c~(F)| B) C~((F xO) x~B) ---+ CN((F xG)x~B) C~(F x (C x~B)) , est commutatif ; i dgsigne le morphisme de m.d.g, dgfini par l'identification gvidenle (F � G) � ~B ---- F x (G � x+i:~_

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Publications mathématiques de l'IHÉS – Springer Journals

Published: Aug 4, 2007

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