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Knoten und Gruppen

Knoten und Gruppen gnoten und flruppen ). Yon KURT REIDEM~LqTER in K~nigsberg. Es ist eine bekannte Aufgabe der Topologie, zu entscheiden, unter welchen Bedingungen sich zwei doppelpnnktfreie geschlossene Kurven des dreidimensionalen euklidischen Raumes ineinander deformieren lassen, oder, wie man auch kurz dafiir sagt, zu entscheiden, ob sie derselbe Knoten sind. Die L0sung scheint aber noch in weiter Ferne zu liegen. Es lassen sich zwar leicht Knoteninvarianten definieren, z.B. so: jeder Knoten besitzt gewiss ,regulate" Projektionen, d.h. solche, die nur h0chstens zweffache Doppelpunkte enthalten und diese nut in end- licher Anzahl d. Unter den Zahlen d gibt es gewifl eine kleinste m, und mist eine Eigenschaft aller Projektionen des Knotens, also eine Knoteninvariante. Mittels m l~flt sich sogar der Kreis als Knoten charakterisieren: er. alMn l~t sich doppelpunktffei projizieren. Aber der L~sung unserer Aufgabe sind wir damit nicht n~her geriiekt. Denn es gelingt nieht, m aus einem irgendwie gegebenen Knoten abzulesen. So ist es bei fast allen Invarianten, nur eine Eigensehaft bildet eine Ausnahme: Die Knotengruppe, die Fundamentalgruppe des ,Auffen- raumes", d.h. des Raumes, der aus dem euklidischen entsteht, wenn die Punkte der Kurve aus ibm herausgenommen werden2). Aber die unendlichen diskreten Gruppen bieten der Untersuchung ganz ahnliche Schwierigkeiten wie die Knoten selbst. http://www.deepdyve.com/assets/images/DeepDyve-Logo-lg.png Abhandlungen aus dem Mathematischen Seminar der Universität Hamburg Springer Journals

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Publisher
Springer Journals
Copyright
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Subject
Mathematics; Mathematics, general; Algebra; Differential Geometry; Number Theory; Topology; Geometry
ISSN
0025-5858
eISSN
1865-8784
DOI
10.1007/BF02952506
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Abstract

gnoten und flruppen ). Yon KURT REIDEM~LqTER in K~nigsberg. Es ist eine bekannte Aufgabe der Topologie, zu entscheiden, unter welchen Bedingungen sich zwei doppelpnnktfreie geschlossene Kurven des dreidimensionalen euklidischen Raumes ineinander deformieren lassen, oder, wie man auch kurz dafiir sagt, zu entscheiden, ob sie derselbe Knoten sind. Die L0sung scheint aber noch in weiter Ferne zu liegen. Es lassen sich zwar leicht Knoteninvarianten definieren, z.B. so: jeder Knoten besitzt gewiss ,regulate" Projektionen, d.h. solche, die nur h0chstens zweffache Doppelpunkte enthalten und diese nut in end- licher Anzahl d. Unter den Zahlen d gibt es gewifl eine kleinste m, und mist eine Eigenschaft aller Projektionen des Knotens, also eine Knoteninvariante. Mittels m l~flt sich sogar der Kreis als Knoten charakterisieren: er. alMn l~t sich doppelpunktffei projizieren. Aber der L~sung unserer Aufgabe sind wir damit nicht n~her geriiekt. Denn es gelingt nieht, m aus einem irgendwie gegebenen Knoten abzulesen. So ist es bei fast allen Invarianten, nur eine Eigensehaft bildet eine Ausnahme: Die Knotengruppe, die Fundamentalgruppe des ,Auffen- raumes", d.h. des Raumes, der aus dem euklidischen entsteht, wenn die Punkte der Kurve aus ibm herausgenommen werden2). Aber die unendlichen diskreten Gruppen bieten der Untersuchung ganz ahnliche Schwierigkeiten wie die Knoten selbst.

Journal

Abhandlungen aus dem Mathematischen Seminar der Universität Hamburg – Springer Journals

Published: Sep 10, 2008

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