Geometrisches Begriffsverständnis in der Grundschule am Beispiel der Begriffe Viereck, Rechteck und Quadrat

Julia Bruns; Elisabeth Unterhauser; Hedwig Gasteiger

doi:10.1007/s13138-021-00185-4

Geometrisches Begriffsverständnis in der Grundschule am Beispiel der Begriffe Viereck, Rechteck und Quadrat

Bruns, Julia; Unterhauser, Elisabeth; Gasteiger, Hedwig 2021-10-01 00:00:00 J Math Didakt (2021) 42:581–623 https://doi.org/10.1007/s13138-021-00185-4 ORIGINALARBEIT/ORIGINAL ARTICLE Geometrisches Begriffsverständnis in der Grundschule am Beispiel der Begriffe Viereck, Rechteck und Quadrat Julia Bruns · Elisabeth Unterhauser · Hedwig Gasteiger Eingegangen: 28. September 2020 / Angenommen: 22. April 2021 / Online publiziert: 9. Juni 2021 © Der/die Autor(en) 2021 Zusammenfassung Zu den ersten geometrischen Begriffen, die Kinder bereits im Elementar- und Primarbereich lernen, zählen u. a. Viereck, Rechteck und Quadrat. Studien zeigen, dass Lernende bereits früh individuelle Vorstellungen, sog. individu- elle Begriffskonzepte, zu diesen Begriffen aufbauen. Zwar wird die Entwicklung von Begriffsverständnis in verschiedenen mathematikdidaktischen Stufenmodellen dar- gestellt, diese sind jedoch generisch und beschreiben nicht explizit die Entwicklung der ersten individuellen Begriffskonzepte von Lernenden zu Viereck, Rechteck und Quadrat. Aus empirischer Sicht liegen verschiedene Studien vor, die einzelne Aspek- te der individuellen Begriffskonzepte von Lernenden unterschiedlicher Altersgrup- pen zu diesen Begriffen ausleuchten. Um Begriffsbildungsprozesse aus empirischer Sicht detaillierter entlang der jeweils vorherrschenden individuellen Begriffskon- zepte zu beschreiben, fehlen insbesondere Studien in der Grundschule, die alle vier Klassenstufen betrachten und dabei differenzierte Erkenntnisse zu verschiedenen theoretischen Indikatoren des Begriffsverständnisses liefern. Daher geht die vorlie- gende Studie der Frage nach, welches Verständnis der Begriffe Viereck, Rechteck und Quadrat Schülerinnen und Schüler der Jahrgangsstufen 1, 2, 3 und 4 zeigen. Da- zu wurde eine Quasi-Längsschnittstudie mit N = 456 Grundschulkindern (ca. 100 pro Jahrgangsstufe) durchgeführt. Die Ergebnisse geben detaillierte Einblicke in die in- dividuellen Begriffskonzepte der Lernenden und zeigen, dass Lernende zunehmend Eigenschaften der Figuren berücksichtigen, jedoch individuelle Begriffskonzepte über lange Zeit auch prototypisch geprägt sind. Implikationen dieser Ergebnisse für Forschung und Praxis werden diskutiert. Julia Bruns () Institut für Mathematik (Mathematikdidaktik), Universität Paderborn, Warburgerstraße 100, 33098 Paderborn, Deutschland E-Mail: julia.bruns@uni-paderborn.de Elisabeth Unterhauser · Hedwig Gasteiger Institut für Mathematik (Mathematikdidaktik), Universität Osnabrück, Osnabrück, Deutschland K 582 J. Bruns et al. Schlüsselwörter Begriffsverständnis · Geometrie · Grundschule · Viereck · Rechteck · Quadrat Understanding of Geometrical Concepts in Elementary School Using the Example of Quadrangle, Rectangle and Square Abstract Among the ﬁrst geometric concepts that children learn in early childhood education and primary school are quadrangle, rectangle and square. Studies show that learners have already built up individual deﬁnitions, so-called personal ﬁgural concepts, for these concepts at an early age. The development of this understand- ing of geometrical concepts is presented in theories that describe different levels. These models are, however, relatively generic and do not describe the personal ﬁgural concepts of learners concerning quadrangle, rectangle and square. From an empirical point of view, there are several studies that shed light on aspects of the personal ﬁgural concepts of learners of different age groups. In order to describe the development of geometrical understanding from an empirical point integrating the personal ﬁgural concepts, however, studies in primary school that consider all four class levels and provide insights into theoretical indicators of conceptual understand- ing are particularly lacking. In a ﬁrst step, the present study therefore pursues the following question: Which understanding of the geometrical concepts ‘quadrangle’, ‘rectangle’ and ‘square’ show primary school students in the classes 1, 2, 3 and 4? A quasi-longitudinal study with N = 456 students (approx. 100 in each class level) was conducted. The results give detailed insights into the personal ﬁgural concepts of the learners and show that learners increasingly consider the characteristics of these concepts, but that personal ﬁgural concepts are also prototypical over a long period of time. Implications for future research and practice are discussed. Keywords Conceptual knowledge · Geometry · Elementary school · Quadrangle · Rectangle · Square 1 Einleitung Kinder lernen bereits im Elementar- und Primarbereich verschiedene geometrische Begriffe kennen; zu den Ersten zählen u. a. Viereck, Rechteck und Quadrat. Studi- en mit Kindern aus dem Elementarbereich und zu Schulbeginn (Aktas¸ Arnas und Aslan 2007; Grassmann et al. 2002; Höglinger und Senftleben 1997; Unterhauser 2020) zeigen, dass Lernende bereits früh individuelle Begriffskonzepte, sog. per- sonal ﬁgural concepts (Fujita und Jones 2007), zu diesen Begriffen aufbauen. Die (Weiter-)Entwicklung dieses Begriffsverständnisses wird innerhalb der Mathematik- didaktik in sog. Stufenmodellen durch qualitative Unterschiede bezüglich verschie- dener Indikatoren beschrieben (van Hiele 1986; Vollrath 1984; Winter 1983). Da es sich jedoch um generische Stufenmodelle zur Begriffsbildung handelt, bleiben diese hinsichtlich individueller Begriffskonzepte der Lernenden zu Vierecksbegriffen eher abstrakt. Fujita und Jones (2007) weisen darauf hin, dass Studien zu individuellen Begriffskonzepten und deren Abweichungen von den formal-logischen Begriffskon- K Geometrisches Begriffsverständnis in der Grundschule 583 zepten (i. O. formal ﬁgural concepts), den mathematisch korrekten Deﬁnitionen, didaktisch von besonderem Interesse sind, da gerade die Abweichungen dazu bei- tragen können, Hypothesen über Begriffsbildungsprozesse zu bilden. Verschiedene empirische Studien untersuchen individuelle Begriffskonzepte zu Viereck, Rechteck und Quadrat von Lernenden unterschiedlicher Altersstufen (Aktas¸ Arnas und Aslan 2010; Fujita 2012; Fuys et al. 1988; Grassmann et al. 2002;Heinze 2002a, b; Hög- linger und Senftleben 1997; Unterhauser 2020). Ergebnisse weisen darauf hin, dass Schülerinnen und Schüler auch in der Sekundarstufe noch Schwierigkeiten mit dem Verständnis dieser Begriffe haben (Burger und Shaughnessy 1986; Fujita 2012; Fuys et al. 1988;Heinze 2002a, b). Gleichzeitig zeigen sich nach umfassender Recherche Forschungslücken bezüglich des Begriffsverständnisses von Viereck, Rechteck und Quadrat in der Primarstufe, insbesondere hinsichtlich Studien, die auf allen Indi- katoren des Begriffsverständnis basieren (s. Abschn. 2). Hier setzt die vorliegende Studie an, mit dem Ziel eine detaillierte Analyse der individuelle Begriffskonzepte vorzunehmen, um Hypothesen zu Begriffsbildungsprozessen zu generieren. 2 Formal-logische Deﬁnition der Begriffe Viereck, Rechteck und Quadrat Für den Begriff Viereck gilt: Beﬁnden sich vier Punkte in allgemeiner Lage, d. h. keine drei Punkte liegen auf derselben Geraden, dann ist ein Viereck ein geschlos- sener Streckenzug, der vier Punkte durch vier Strecken miteinander verbindet. Die Punkte werden als Ecken des Vierecks bezeichnet, die Strecken als Seiten, die ande- ren Verbindungsstrecken als Diagonalen (Wellstein und Kirsche 2009). Auf Basis der Lage der Diagonalen lassen sich Viereckstypen unterscheiden: Bei konvexen Vierecken liegen beide Diagonalen innerhalb, bei konkaven liegt eine der Diago- nalen außerhalb, bei überschlagenen Vierecken liegen beide Diagonalen außerhalb des Vierecks (Kürpig und Niewiadomski 1992). Die Deﬁnition des Begriffs Vier- ecks enthält alle sog. deﬁnierenden Eigenschaften (geschlossen, vier Ecken, vier Seiten), die alle Repräsentanten des Begriffs erfüllen müssen (Begriffsinhalt). Zu- sätzlich weisen Repräsentanten des Begriffs Viereck auch sog. nicht-deﬁnierende Eigenschaften (bspw. Orientierung parallel zum Blattrand, Seitenlänge, Winkelmaß) auf, die aus mathematischer Sicht irrelevant und nicht allen Repräsentanten gemein sind. Aus der formal-logischen Deﬁnition ergibt sich die Menge der Figuren, die als Vierecke beschrieben werden kann (Begriffsumfang). Diese Menge enthält Teil- mengen speziﬁscher Vierecke (bspw. Rechtecke), die wiederum Teilmengen von speziﬁschen Vierecken enthalten können (z. B. Quadrate). Die Beziehung zwischen Gesamt- und Teilmengen ist dadurch hierarchisch und wird als Klasseninklusion be- titelt. Demgegenüber steht eine Betrachtung der Teilmengen als paarweise disjunkt, also als Partitionen der Gesamtmenge. Dieses Verständnis der Beziehung zwischen Gesamtmenge und Teilmengen (z. B. Quadrate, Rechtecke, die keine Quadrate sind) wird partitionale Klassiﬁkation genannt. Es besteht Einigkeit darüber, dass Lernende ein Verständnis der Klasseninklusi- on (bildlich als ,Haus der Vierecke‘ beschrieben) aufbauen sollen (Heinze 2002a), K 584 J. Bruns et al. wobei dies nach unterschiedlichen Kriterien erfolgen kann. Wird ein Haus der Vier- ecke über die Eigenschaften von Seiten und Winkel aufgebaut, ergeben sich für die Begriffe Rechteck und Quadrat folgende Deﬁnitionen: Ein Rechteck ist ein Paral- lelogramm mit vier rechten Winkeln und ein Quadrat ein Rechteck mit vier gleich langen Seiten (Wellstein und Kirsche 2009). Es entsteht ein Begriffsnetz, bei dem der Begriff Viereck mit den wenigsten deﬁnierenden Eigenschaften der Oberbegriff ist. Um Unterbegriffe, wie beispielsweise Rechteck und Quadrat, zu deﬁnieren, kom- men zu den Eigenschaften des Oberbegriffs jeweils begriffsspeziﬁsche deﬁnierende Eigenschaften hinzu. Neben der formal-logischen Deﬁnition geometrischer Begriffe ist aus didakti- scher Perspektive von Interesse, wie Lernende diese Begriffe verstehen. Dazu liegen verschiedene Theorien des Begriffsverständnisses vor. 3 Klassische und prototypische Theorie des Begriffsverständnisses Geometrische Begriffe, darunter auch ebene Figurenbegriffe wie Viereck, Rechteck und Quadrat, sind laut der klassischen Theorie (Hull 1920; Medin und Smith 1984) strukturell durch Begriffsinhalt, -umfang, -wort und -netz deﬁniert. Der Begriffsin- halt beschreibt die deﬁnierenden Eigenschaften. Geometrische Begriffe werden da- durch eindeutig deﬁniert (siehe Abschn. 2). Der Begriffsumfang umfasst alle Objekte, die die deﬁnierenden Eigenschaften eines Begriffs erfüllen, die sog. Repräsentanten des Begriffs (Hischer 2012; Medin und Smith 1984). Das Begriffswort bezeichnet einen Begriff als symbolische Repräsentation in sprachlicher Form. Ein geometri- scher Begriff steht nicht alleine, sondern ist Teil eines hierarchischen Begriffsnetzes aus Ober-, Neben- und Unterbegriffen (Franke und Reinhold 2016). Die klassische Theorie geht davon aus, dass geometrische Begriffe von Lernenden mit Hilfe dieser Indikatoren (Begriffsinhalt, -umfang, -wort und -netz) gespeichert werden. Die prototypische Theorie folgt dagegen der Annahme, dass manche Repräsen- tanten, sog. Prototypen, als ,beste Beispiele‘ eines Begriffs gespeichert werden und folglich schneller als Repräsentanten des Begriffs erkannt werden als andere (Me- din und Smith 1984;Rosch 1978). Prototypische Vorstellungen entwickeln sich auf Grundlage der Erfahrungen zu Begriffen. Dabei werden in der Regel diejenigen Re- präsentanten zu Prototypen, die besonders häuﬁg mit dem Begriff verknüpft werden. Ein Prototyp ist meist durch eine Kombination deﬁnierender, aber auch nicht-deﬁ- nierender Eigenschaften, gekennzeichnet, die man charakteristische Eigenschaften nennt. Ein Prototyp für das Viereck wäre bspw. das Quadrat. Das Quadrat weist alle deﬁnierenden Eigenschaften auf und hat darüber hinaus vier rechte Winkel und gleichlange Seiten als nicht-deﬁnierende Eigenschaften. Charakteristische Ei- genschaften eines Vierecks sind somit vier Ecken bzw. Seiten, gleichlange Seiten sowie (annährend) rechte Winkel. Ausgehend von charakteristischen Eigenschaften kann bestimmt werden, wie typisch (also prototypisch) oder untypisch (also nicht prototypisch) ein Repräsentant ist (Medin und Smith 1984;Rosch 1978;Schmid 2000). In Bezug auf die Entwicklung des Begriffsverständnisses von Lernenden erweisen sich klassische und prototypische Theorien als bedeutsam: Während die klassische K Geometrisches Begriffsverständnis in der Grundschule 585 Theorie Indikatoren des Begriffsverständnisses aufzeigt, verweist die prototypische Theorie auf die Bedeutung der individuellen Sichtweisen von Lernenden, die dazu führen können, dass Lernende charakteristische Eigenschaften – und damit ggf. fälschlicherweise nicht-deﬁnierende – als deﬁnierende Eigenschaften des Begriffs verstehen (bspw. gleich lange Seiten beim Viereck). Im Folgenden werden Modelle zur Entwicklung des Begriffsverständnisses betrachtet, die u. a. diese Aspekte der klassischen und prototypischen Theorie berücksichtigen. 4 Modelle zur Entwicklung des Begriffsverständnisses In Stufenmodellen zur Entwicklung des Begriffsverständnisses, bspw. von van Hie- le (1986), Vollrath (1984) und Winter (1983), werden – basierend auf theoreti- schen Überlegungen zur Begriffsbildung und Erkenntnissen Piagets et al. (1974)– verschiedene Charakteristika geometrischen Begriffsverständnisses ausdifferenziert. Insgesamt lassen sich in den verschiedenen, idealtypischen Modellen fünf inhaltlich ähnliche Stufen identiﬁzieren (van Hiele 1986; Vollrath 1984; Winter 1983); maxi- mal die ersten drei Stufen werden als relevant für die Primarstufe benannt (Franke und Reinhold 2016). Idealtypisch wird auf der ersten Stufe ein Begriff ganzheitlich verstanden (bspw. Vergleiche zu Alltagsobjekten, Prototypen als mentale Bilder). Auf der nächsten Stufe operieren Lernende mit Eigenschaften des Begriffs, wobei die Eigenschaf- ten noch isoliert nebeneinanderstehen. Auf dieser Stufe gewinnt das Verständnis des Begriffsinhalts an Bedeutung. Erst auf der Stufe des relationalen Begriffsver- ständnisses werden Beziehungen sowohl zwischen Eigenschaften als auch zwischen verschiedenen Begriffen hergestellt und es wird ein Begriffsnetz aufgebaut, d. h., ein Verständnis für die Klasseninklusion entwickelt sich (zusammenfassend s. a. Unter- hauser 2020, S. 141 ff.). Entwicklungspsychologische (Siegler 2006) und mathematikdidaktische (Battista 2007) Erkenntnisse zeigen, dass sich verschiedene Arten, geometrisch zu denken (bspw. ganzheitlich vs. eigenschaftsbezogen), zeitlich überlappen. Dabei wird an- genommen, dass Kinder gleichzeitig über unterschiedliche Arten des Denkens bzw. Strategien verfügen, die miteinander konkurrieren und interagieren, und sich kon- tinuierlich verändern (Chen und Siegler 2000). Folglich wird davon ausgegangen, dass das ganzheitliche Denken nicht vom eigenschaftsbezogenen Denken abgelöst wird, sondern die unterschiedlichen Charakteristika geometrischen Denkens – im Sinne überlappender Wellen – parallel verlaufen können, aber auf unterschiedlichen Niveaus (bezeichnet als Wellenmodell). Welche Art des geometrischen Denkens jeweils Vorrang hat, kann aufgaben- bzw. kontextabhängig sein (Battista 2007;Cle- ments et al. 1999; Fuys et al. 1988). Dabei stehen die beiden Modellvorstellungen (Stufen- und Wellenmodell) nicht im Widerspruch zueinander, sondern ergänzen sich: Während Stufenmodelle eher begriffsspeziﬁsch hierarchisch unterschiedliche Charakteristika geometrischen Denkens skizzieren, bedienen sich Wellenmodelle dieser Denkweisen, um die Entwicklung des Begriffsverständnisses individuell zu beschreiben. K 586 J. Bruns et al. Zur Analyse des individuellen Begriffsverständnisses von Lernenden schlagen Fujita und Jones (2007) eine Unterscheidung zwischen formal-logischen Begriffs- konzepten, den Konzepten, die der mathematisch korrekten Deﬁnition eines Figu- renbegriffs folgen, und individuellen Begriffskonzepten, die die individuellen Vor- stellungen der Lernenden beschreiben, vor. Individuelle Begriffskonzepte werden von den Lernenden auf Grundlage ihrer Erfahrungen (bspw. im Geometrieunter- richt) aufgebaut. Demnach kann das individuelle Begriffskonzept zu verschiedenen Vierecken neben den deﬁnierenden Eigenschaften weitere nicht-deﬁnierende Eigen- schaften oder nicht alle deﬁnierenden Eigenschaften umfassen (s. a. Abschn. 3). Indi- viduelle Begriffskonzepte zum Begriff Viereck könnten bspw. ausschließlich Figuren umfassen, die quadratisch sind, zum Begriff Rechteck ausschließlich Rechtecke, die ein Seitenverhältnis von 2:1 aufweisen und zum Begriff Quadrat alle Figuren, die gleich lange Seiten haben. Individuelle Begriffskonzepte beschreiben folglich Krite- rien, die Lernende für den jeweiligen Begriff als bestimmend annehmen, beeinﬂussen also das Verständnis von Begriffsumfang, -inhalt und -netz gleichermaßen. Da die Modellvorstellungen zur Entwicklung des Begriffsverständnisses aufgrund des generischen Anspruchs vergleichsweise abstrakt bleiben, sind die expliziten individuellen Begriffskonzepte zu Viereck, Rechteck und Quadrat in verschiedenen Altersbereichen Gegenstand verschiedener Studien. 5 Forschungsstand zum geometrischen Begriffsverständnis Internationale Studien zum Verständnis ebener Figurenbegriffe untersuchen mehr- heitlich Kinder im Elementarbereich (Aktas¸ Arnas und Aslan 2007;Clementsetal. 1999; Halat und Yesil-Da ¸ gl ˘ ı 2016; Koleza und Giannisi 2013;Levenson et al. 2011; Maier 2019; Unterhauser und Gasteiger 2018; Unterhauser 2020), speziﬁsch zu Schuleintritt (Grassmann 1996;Grassmann etal. 2002; Höglinger und Senftleben 1997; Kyriakides 1999; Reemer und Eichler 2005) oder im Elementar- und Primar- bereich kombiniert (Aktas¸ Arnas und Aslan 2010; Gagatsis et al. 2006;Guncaga ˇ et al. 2017; Žilková und Kopáco ˇ vá 2018). Für den Primarbereich konnten lediglich zwei qualitative Untersuchungen (Burger und Shaughnessy 1986;Lehrer et al. 1998) und eine quantitative (Ma et al. 2015) gefunden werden, die alle vier Klassenstufen berücksichtigen. Darüber hinaus existieren Studien, die das Verständnis ebener Fi- gurenbegriffe von Lernenden in der Sekundarstufe (Burger und Shaughnessy 1986; Fuys et al. 1988; Fujita 2012;Heinze 2002a, b) erfassen. Ein großer Teil der empirischen Studien untersucht die Begriffe Rechteck und Quadrat (bspw. Aktas¸ Arnas und Aslan 2010; Clements et al. 1999; Gagatsis et al. 2006). Der Begriff Viereck wird als Oberbegriff primär in Studien aus dem deutsch- sprachigen Raum untersucht (Grassmann et al. 2002;Heinze 2002a; Höglinger und Senftleben 1997; Reemer und Eichler 2005; Unterhauser 2020, Ausnahme: Ma et al. 2015). Im Folgenden wird zunächst die Figurenauswahl, die in Studien zur Unter- suchung des Begriffsverständnisses zu Viereck, Rechteck und Quadrat häuﬁg ein- gesetzt wurde, näher erläutert, ehe vorliegende empirische Erkenntnisse strukturiert nach den Begriffen sowie Erkenntnisse zum Verständnis der Klasseninklusion dar- gestellt werden. K Geometrisches Begriffsverständnis in der Grundschule 587 5.1 Typische und untypische Repräsentanten bzw. Nicht-Repräsentanten Zur Operationalisierung des Begriffsverständnisses nutzen Studien mit Lernenden im Elementar-, Primar- und Sekundarbereich häuﬁg Aufgaben zum Sortieren, Iden- tiﬁzieren (Begriffsumfang) sowie zum Deﬁnieren bzw. Erklären und Begründen (Begriffsinhalt). Werden Lernende zum Sortieren oder Identiﬁzieren aufgefordert, werden ihnen verschiedene Figuren präsentiert. Aufbauend auf die wiederholt ver- wendete Figurenauswahl von Razel und Eylon (1991) und empirischen Erkenntnis- sen zu Schwierigkeiten von Lernenden konstruierten Aslan und AktasA ¸ rnas(2007) eine in den deﬁnierenden und nicht-deﬁnierenden Eigenschaften systematisch vari- ierte Figurenauswahl, u. a. für die Begriffe Rechteck und Quadrat (vgl. Abb. 1a, b). Für die Repräsentanten des jeweiligen Figurenbegriffs unterscheiden Aslan und AktasA ¸ rnas (2007) – angelehnt an die prototypische Theorie (vgl. Abschn. 2) – typi- sche Repräsentanten (bspw. R3 für den Begriff Rechteck) und untypische Repräsen- tanten (bspw. R5 für den Begriff Rechteck), welche zusätzliche, nicht-deﬁnierende Eigenschaften aufweisen und/oder in der Lage bzw. Größe stark von den typischen Repräsentanten abweichen (bspw. Abb. 1b, S1 vs. S3). Nicht-Repräsentanten des jeweiligen Figurenbegriffs unterscheiden Aslan und AktasA ¸ rnas (2010) ebenfalls in typische (bspw. RD3 für den Begriff Rechteck) und untypische Nicht-Reprä- sentanten (bspw. RD1 für den Begriff Rechteck). Untypische Nicht-Repräsentanten ähneln dabei typischen Repräsentanten aus ganzheitlicher Perspektive, ihnen fehlen allerdings deﬁnierende Eigenschaften, wohingegen typische Nicht-Repräsentanten Abb. 1 Identiﬁkationsﬁguren für die Begriffe Rechteck (a), Quadrat (b) (Aslan und Aktas¸ Arnas 2007, S. 101–103) und Viereck (c)(Unterhauser 2020, S. 270) K 588 J. Bruns et al. aus ganzheitlicher Sicht keine Ähnlichkeit mit typischen Repräsentanten haben und nicht alle deﬁnierenden Eigenschaften aufweisen. Die dargestellte bzw. eine ähnliche Auswahl von Figuren wird in Studien zum Verständnis der Begriffe Rechteck und Quadrat sowohl mit Lernenden im Elementarbereich (Aktas¸ Arnas und Aslan 2007) als auch im Primarbereich (Aktas¸ Arnas und Aslan 2010) genutzt. Eine systematisch variierte Figurenauswahl für den Begriff Viereck konstruierte Unterhauser (2020) in ähnlicher Weise für ihre Studie mit Kindern zwischen vier und sechs Jahren. So zeigt Abb. 1c bspw. ein Quadrat (FV3) als typischen Repräsen- tanten des Begriffs Viereck, eine Raute (FV8) als untypische Repräsentanten und ein Fünfeck (FV4) als Nicht-Repräsentanten. Die Figurenauswahl wurde jedoch bislang nicht für Studien mit Lernenden im Primarbereich erprobt. 5.2 Verständnis des Begriffs Viereck In nahezu allen Studien zum Verständnis des Begriffs Viereck wird eine Stichprobe von Kindern im Elementarbereich bzw. im Übergang zur Grundschule untersucht, nur die Studie von Ma et al. (2015) untersucht ausschließlich Lernende im Primar- bereich. Die Ergebnisse der Studien aus dem Elementarbereich lassen erkennen, dass Er- klärungen der Kinder für den Begriff Viereck sich oft auf die Anzahl der Ecken und/ oder Seiten stützen. Gleichzeitig enthalten die Erklärungen informelle bzw. alltags- sprachliche Elemente (bspw. Vergleiche mit Alltagsobjekten) oder nicht-deﬁnierende Eigenschaften (Reemer und Eichler 2005; Unterhauser 2020). Teilweise stehen die Erklärungen der Begriffe und die getroffenen Identiﬁkationen nicht im Einklang: Kinder geben bspw. an, dass ein Viereck vier Ecken haben muss, akzeptieren aber dennoch lediglich Quadrate als Repräsentanten des Begriffs Viereck (ebd.). Als Repräsentanten des Begriffs Viereck akzeptieren Kinder in erster Linie Qua- drate, obwohl ein geringer Prozentsatz auch Rechtecke identiﬁziert (Grassmann et al. 2002; Höglinger und Senftleben 1997; Reemer und Eichler 2005; Unterhau- ser 2020). Mitunter werden ein prototypisches Quadrat und das Begriffswort ,Qua- drat‘ als Synonym für den Begriff Viereck verstanden (Grassmann 1996; Grassmann et al. 2002; Reemer und Eichler 2005; Unterhauser 2020; Unterhauser und Gasteiger 2018). Insgesamt werden mehr typische als untypische Repräsentanten korrekt iden- tiﬁziert und Nicht-Repräsentanten (bspw. FV12) tendenziell eher fälschlicherweise als Repräsentanten des Begriffs Viereck aufgefasst (Unterhauser 2020). Hinsichtlich des Verständnisses der Eigenschaften des Begriffs Viereck zeigt sich, dass – obwohl nicht-deﬁnierend – bspw. Winkel, Seitenlängen und die Orientierung parallel zum Blattrand der Figur beeinﬂussen, ob eine Figur als Viereck identiﬁziert wird. Lernende in der Primarstufe zeigen vor allem Probleme mit der Identiﬁkation von stumpfwinkligen sowie konkaven Vierecken (Ma et al. 2015). Bei den deﬁ- nierenden Eigenschaften hat die ,Offenheit einer Figur‘ zur Folge, dass eine Figur Aus mathematischer Perspektive handelt es sich bei dem Beispiel FV7 nicht um eine Figur, sondern um einen offenen Polygonzug. Im Folgenden wird dennoch für Objekte dieser Art der Begriff offene Figur bzw. offene Seite verwendet, um zu verdeutlichen, dass das jeweilige Objekt für die Untersuchung ausgewählt wurde, um zu untersuchen, inwieweit die Geschlossenheit des Streckenzugs als Eigenschaft einer (Vierecks-)Figur erkannt wird. K Geometrisches Begriffsverständnis in der Grundschule 589 (bspw. FV7) in der Regel korrekterweise nicht als Repräsentant identiﬁziert wird (ebd.); quadratähnliche Figuren mit abgerundeten ,Ecken‘ (bspw. FV12) werden allerdings eher fälschlicherweise als Repräsentant identiﬁziert als quadratähnliche Figuren mit gebogenen ,Seiten‘ (bspw. FV10) (Unterhauser 2020). Insgesamt zeigt sich jedoch auch, dass Grundschülerinnen und Grundschüler in höheren Klassenstu- fen mehr Figuren zum Begriff Viereck korrekt identiﬁzieren als Kindern in niedri- geren Klassenstufen (Ma et al. 2015). 5.3 Verständnis der Begriffe Rechteck und Quadrat Für die Begriffe Rechteck und Quadrat formulieren Kinder Erklärungen, die neben der Anzahl der Ecken bzw. Seiten auch informelle bzw. alltagssprachliche Informa- tionen beinhalten (Hannibal 1999;Levenson et al. 2011; Maier 2019; Reemer und Eichler 2005). Selbst Schülerinnen und Schüler in der Sekundarstufe I oder darüber hinaus haben Schwierigkeiten, zwischen hinreichenden und notwendigen Bedingun- gen zu unterscheiden und können gleichwertige Deﬁnitionen, zum Beispiel für den Begriff Quadrat, nur schwer als solche erkennen (Burger und Shaughnessy 1986; Fujita 2012;Heinze 2002a). Als Repräsentanten für die Begriffe Rechteck und Quadrat zeichnen Kinder in erster Linie Prototypen: für den Begriff Rechteck ein Rechteck in horizontaler Ori- entierung parallel zum Blattrand mit einem Seitenverhältnis von etwa 2:1 und für den Begriff Quadrat ein Quadrat parallel zum Blattrand (Halat und Yesil-Da ¸ gl ˘ ı 2016; Kyriakides 1999). Ergebnisse bisheriger Studien mit Kindern im Elementarbereich zeigen bei Aufgaben zum Identiﬁzieren ohne untypische Nicht-Repräsentanten für die Begriffe Rechteck und Quadrat mit ca. 75–85 % hohe Identiﬁkationsraten, wobei für den Begriff Quadrat in der Regel mehr korrekte Identiﬁkationen getroffen wer- den (Clements et al. 1999; Kyriakides 1999; Reemer und Eichler 2005). Insgesamt treffen Schülerinnen und Schüler der Klasse 4 im Vergleich zu Kindern im Ele- mentarbereich für die Begriffe Rechteck (bspw. 91 % Klasse 4 vs. 58 % 4-Jährige) und Quadrat (bspw. 91 % Klasse 4 vs. 81 % 4-Jährige) mehr korrekte Identiﬁkationen (bspw. Aktas¸ Arnas und Aslan 2010). Allerdings sind die Unterschiede zwischen den Altersgruppen nicht durchweg signiﬁkant, was mitunter daran liegt, dass jüngere Kinder auch untypische Repräsentanten (bspw. Abb. 1, S4) häuﬁger als Repräsen- tanten akzeptieren als ältere Kinder (Aktas¸ Arnas und Aslan 2010; Žilková und Kopáco ˇ vá 2018). Sowohl für den Begriff Rechteck als auch den Begriff Quadrat werden bei den vorliegenden Studien mit Kindern im Elementarbereich untypische Nicht-Repräsentanten (bspw. Abb. 1, RD1) weniger häuﬁg korrekt identiﬁziert als typische Nicht-Repräsentanten (bspw. Abb. 1, RD5) (Aslan und AktasA ¸ rnas 2007; Maier 2019). Aus mathematischer Perspektive handelt es sich weder bei Beispiel FV12 noch FV10 um Polygone, da diese Objekte aus mathematischer Perspektive keine Ecken bzw. Seiten besitzen. Im Folgenden werden für Objekte dieser Art dennoch die Begriffe ,Ecke‘ bzw. ,Seite‘ genutzt, um zu verdeutlichen, dass das jeweilige Objekt für die Untersuchung ausgewählt wurde, um zu untersuchen, inwieweit die Begriffe Ecke bzw. Seite bereits mathematisch korrekt verstanden werden. K 590 J. Bruns et al. Hinsichtlich der Rolle von nicht-deﬁnierenden Eigenschaften bei der Identiﬁka- tion von Repräsentanten zeigt sich für den Begriff Rechteck, dass die Orientierung parallel zum Blattrand einer Figur wenig Einﬂuss auf die korrekte Identiﬁkations- entscheidung hat (ebd.). Für den Begriff Quadrat scheint die Orientierung parallel zum Blattrand dagegen eine Rolle zu spielen: Steht ein Quadrat auf der Ecke, fällt die Identiﬁkationsrate von 90 % (,Normalorientierung parallel zum Blattrand‘) auf 60 bis 70 %, nicht nur in Studien mit Kindern aus dem Elementarbereich (Ele- mentarbereich: Aslan und AktasA ¸ rnas 2007; Clements et al. 1999; Halat und Yesil- ¸ Dagl ˘ ı 2016; Maier 2019; Elementar- und Primarbereich: Guncaga ˇ und Žilková 2019; Primarbereich: Burger und Shaughnessy 1986;Yin 2003). Die Größe eines Reprä- sentanten hat hingegen kaum Einﬂuss auf die Identiﬁkationsrate (Aktas¸ Arnas und Aslan 2010; Clements et al. 1999), außer die Figurenauswahl ist sehr eingeschränkt (Halat und Yesil-Da ¸ gl ˘ ı 2016; Žilková und Kopáco ˇ vá 2018). In Bezug auf die deﬁnierenden Eigenschaften zeichnet sich für den Begriff Recht- eck ab, dass die Parallelität der Seiten von Kindern verschiedener Altersstufen hö- her gewichtet wird als die Rechtwinkligkeit (Aktas¸ Arnas und Aslan 2010; Burger und Shaughnessy 1986; Clements et al. 1999; Maier 2019; Žilková und Kopáco ˇ vá 2018). Für den Begriff Quadrat scheinen die vier gleich langen Seiten entscheidend. In vielen Studien wird die Raute (vorwiegend von Kindern im Elementarbereich) als Repräsentant des Begriffs Quadrat identiﬁziert (Aslan und AktasA ¸ rnas 2007; Clements et al. 1999;Guncaga ˇ et al. 2017; Koleza und Giannisi 2013). Ebenso wie für den Begriff Viereck, kann aus den Identiﬁkationen für die Begriffe Rechteck und Quadrat geschlussfolgert werden, dass gebogene ,Seiten‘ bzw. abgerundete ,Ecken‘ nicht immer dazu führen, dass die Figur als Repräsentant verworfen wird, sofern die Form einem typischen Repräsentanten ähnelt. Allerdings akzeptieren Grundschüle- rinnen und Grundschüler im Vergleich zu Kindern im Elementarbereich derartige Figuren vermehrt korrekterweise nicht als Repräsentant (Aslan und AktasA ¸ rnas 2007; Clements et al. 1999;Guncaga ˇ et al. 2017; Reemer und Eichler 2005; Žilková und Kopáco ˇ vá 2018). Werden Kinder dazu aufgefordert, ihre Identiﬁkationsentscheidungen für die Be- griffe Rechteck und Quadrat zu begründen, dann führen sie hauptsächlich (70–80 %) ganzheitliche Argumente (bspw. ,Es sieht (nicht) aus wie ein Rechteck.‘) an, aber auch eigenschaftsbezogene, die bei Grundschülerinnen und Grundschülern tenden- ziell häuﬁger vorkommen als bei Kindern im Elementarbereich (Aktas¸ Arnas und Aslan 2010; Clements et al. 1999). Der Großteil der eigenschaftsbezogenen Begrün- dungen bezieht sich auf die Anzahl der Ecken bzw. der Seiten (Aslan und Aktas¸ Arnas 2007; Clements et al. 1999; Grassmann 1996;Lehreret al. 1998). Auch die Länge der Seiten – eine deﬁnierende Eigenschaft für den Begriff Quadrat, nicht aber für den Begriff Rechteck – wird als eigenschaftsbezogene Begründung für beide Be- griffe angeführt (Aktas¸ Arnas und Aslan 2010; Clements et al. 1999; Reemer und Eichler 2005). K Geometrisches Begriffsverständnis in der Grundschule 591 5.4 Verständnis der Klasseninklusion der Begriffe Viereck, Rechteck und Quadrat Studien aus dem deutschsprachigen Raum zeigen, dass junge Kinder den Begriff Viereck partitional klassiﬁzieren (Grassmann et al. 2002; Höglinger und Senftleben 1997; Unterhauser 2020). Vor allem die Begriffe Quadrat und Rechteck werden in verschiedenen Altersstufen bis in die Sekundarstufe als voneinander getrennte Be- griffe verstanden (Burger und Shaughnessy 1986; Clements et al. 1999; Fuys et al. 1988;Heinze 2002a, b; Höglinger und Senftleben 1997; Koleza und Giannisi 2013; Maier 2019; Reemer und Eichler 2005; Unterhauser 2020; Vinner und Hershkowitz 1980;Yin 2003). Für junge Kinder gilt meist: Selbst, wenn sie in ihrer Erklärung richtig angeben, dass ein Viereck vier Ecken bzw. Seiten haben muss, klassiﬁzieren sie dennoch partitional und identiﬁzieren bspw. ein Trapez nicht als Viereck (Hög- linger und Senftleben 1997; Reemer und Eichler 2005). Zudem sehen Kinder im Elementarbereich, die mit den Eigenschaften des Begriffs Rechteck vertraut sind, Rechteck und Viereck als unabhängige Begriffe an (Grassmann et al. 2002; Höglin- ger und Senftleben 1997; Reemer und Eichler 2005; Unterhauser 2020). Wenngleich 4-jährige Kinder im Gegensatz zu anderen Altersgruppen für den Begriff Rechteck mitunter Quadrate als Rechtecke akzeptieren, werden beide Begriffe primär als dis- junkt verstanden (Clements et al. 1999; Hannibal 1999; Unterhauser 2020). Unter- richtsversuche, wie bspw. von Bartolini Bussi und Baccaglini-Frank (2015), zeigen jedoch, dass es im Unterricht möglich ist, Kinder zu unterstützen, ein inklusives Verständnis der Begriffe Rechteck und Quadrat zu entwickeln. 5.5 Zusammenfassung der Erkenntnisse zu den Begriffen Viereck, Rechteck und Quadrat Insgesamt zeigen die vorliegenden Erkenntnisse zu den Begriffen Viereck, Rechteck und Quadrat, dass begriffsspeziﬁsch unterschiedliche Eigenschaften einen potenzi- ellen Einﬂuss auf die Identiﬁkationsentscheidungen von Kindern im Elementar- und Primarbereich haben. Verschiedene Studien haben systematische Figurenauswahlen konstruiert (bspw. Satlow und Newcombe 1998;Tsamiret al. 2008; Unterhauser 2020). Stellt man die ﬁgurenbezogenen Erkenntnisse gegenüber, dann lassen sich in Übereinstimmung mit der prototypischen Theorie (s. Abschn. 3) deﬁnierende, nicht-deﬁnierende und charakteristische Eigenschaften (s. Tab. 1) sowie aufbauend typische und untypische Repräsentanten bzw. Nicht-Repräsentanten für die Begriffe Viereck, Rechteck und Quadrat unterscheiden (s. Tab. 2). Zusammenfassend werden für die Begriffe Viereck, Rechteck und Quadrat mehr korrekte Identiﬁkationsentscheidungen für Nicht-Repräsentanten getroffen als für Repräsentanten, wobei es älteren Kindern im Vergleich zu jüngeren Kindern ten- denziell besser gelingt, Nicht-Repräsentanten korrekt als solche zu identiﬁzieren. Die ,typischen Repräsentanten‘ in Tab. 2 sind die Prototypen der drei Begriffe. Ähnelt die Figur in ihrer Ganzheit einem Prototyp, hat aber bspw. runde ,Ecken‘ (bspw. V17), gehört also zur Gruppe der untypischen Nicht-Repräsentanten, wird sie von Kindern in der Regel fälschlicherweise als Repräsentant identiﬁziert. Innerhalb der beiden Figurengruppen Repräsentanten und Nicht-Repräsentanten werden jeweils die typi- K 592 J. Bruns et al. Tab. 1 Deﬁnierende, nicht-deﬁnierende und charakteristische Eigenschaften der Begriffe Viereck, Rechteck und Quadrat Viereck Rechteck Quadrat Deﬁnierende Geschlossene Figur Geschlossene Figur Geschlossene Figur Eigen- 4 Ecken 4 Ecken 4 Ecken schaften 4 Seiten 4 Seiten 4 Seiten 2 Paar parallele Seiten 2 Paar parallele Seiten 4 rechte Winkel 4 rechte Winkel 4 gleich lange Seiten Nicht-de- Orientierung Orientierung Orientierung ﬁnierende Seitenlänge Seitenlänge ... Eigen- Winkelmaß ... schaften ... Charakteris- 4 Ecken 4 Ecken 4 Ecken tische 4 Seiten 4 Seiten 4 Seiten Eigen- Winkel ca. 90° 4 Winkel ca. 90° Winkel ca. 90° schaften Seitenlängenverhältnis Gegenüberliegende Seiten 4 gleich lange Seiten 2:1 oder 1:1 gleich lang Orientierung parallel zu Orientierung parallel zu Seitenlängenverhältnis 2:1 Blattrand Blattrand Orientierung parallel zu Blat- trand Tab. 2 Übersicht typischer und untypischer Repräsentanten und Nicht-Repräsentanten verschiedener Studien Repräsentanten Nicht-Repräsentanten Typische Re- Untypische Repräsentan- Typische Nicht- Untypische Nicht- präsentanten ten Repräsentanten Repräsentanten Viereck Rechteck Quadrat schen Figuren häuﬁger korrekt identiﬁziert als die untypischen. Wenngleich ältere Kinder tendenziell mehr korrekte Identiﬁkationsentscheidungen treffen, so identiﬁ- zieren jüngere Kinder mitunter untypische Repräsentanten eher korrekterweise als Repräsentanten. Identiﬁkationsentscheidungen des Begriffs Viereck werden neben der Orientierung parallel zum Blattrand auch durch Winkelmaß und Seitenlänge be- einﬂusst – allesamt nicht-deﬁnierende Eigenschaft des Begriffs Viereck – wodurch bspw. untypische Repräsentanten (bspw. V10) nicht als Viereck identiﬁziert werden. K Geometrisches Begriffsverständnis in der Grundschule 593 Sowohl für den Begriff Rechteck als auch den Begriff Quadrat akzeptieren Kinder Figuren wie V3 oder V8 fälschlicherweise als Repräsentanten und scheinen für den Begriff Rechteck eher auf die Parallelität der zwei Seitenpaare zu achten bzw. für den Begriff Quadrat auf die gleiche Länge aller vier Seiten. Während ein Quadrat, dessen Seiten nicht parallel zum Blattrand ausgerichtet sind (bspw. Q2), seltener als Repräsentant des Begriffs Quadrat identiﬁziert wird, spielt die Orientierung paral- lel zum Blattrand bei Identiﬁkationsentscheidungen für den Begriff Rechteck eine untergeordnete Rolle. Werden Kindergarten- oder Grundschulkinder dazu aufgefordert, den Begriff Viereck, Rechteck und/oder Quadrat zu erklären, geben sie in erster Linie die Anzahl der Ecken und/oder Seiten als Eigenschaft an oder beziehen Vergleiche zu Alltags- objekten in ihre Erklärungen ein. Grundschulkinder verwenden insgesamt weniger ganzheitliche Erklärungen und bei den Begriffen Rechteck und Quadrat wird auch die Seitenlänge als Eigenschaft erwähnt. Die charakteristischen Eigenschaften der Begriffe Viereck, Rechteck und Quadrat (s. Tab. 1) dominieren das Begriffsver- ständnis im Elementar- und Primarbereich. Außerdem werden die Begriffe Viereck, Rechteck und Quadrat zumeist als voneinander unabhängig verstanden, d. h., sowohl im Elementar- als auch im Primarbereich fehlt ein Verständnis für die Klasseninklu- sion. 6 Herleitung und Begründung der Fragestellung Die dargestellten Theorien zur Entwicklung des (geometrischen) Begriffsverständ- nisses gehen davon aus, dass Lernende individuelle Begriffskonzepte zu ebenen Figurenbegriffen entwickeln, die (zunächst) nicht mit den formalen Deﬁnitionen dieser Begriffe übereinstimmen. Erste geometrische Begriffe, die in der Primarstufe eingeführt werden, sind u. a. die Begriffe Viereck, Rechteck und Quadrat (Franke und Reinhold 2016). Während zum Verständnis der Begriffe Rechteck und Qua- drat verschiedene Studien vorliegen (bspw. Aktas¸ Arnas und Aslan 2010;Clements et al. 1999; Maier 2019), sind Studien – auch aufgrund der Unterschiede zwischen den Begriffen in verschiedenen Sprachen – zum Verständnis des Begriffs Viereck eher selten (Höglinger und Senftleben 1997; Reemer und Eichler 2005; Unterhau- ser 2020). Bisherige empirische Ergebnisse zum Verständnis der Begriffe Viereck, Rechteck und Quadrat stützen theoretische Überlegungen zum gestuften Erwerb des Begriffsverständnisses grundsätzlich und weisen auf speziﬁsche Schwierigkeiten insbesondere bezüglich eines eigenschaftsbezogenen Verständnisses dieser Begriffe hin (s. a. Abschn. 5). Dabei scheinen Erkenntnisse zu einzelnen Indikatoren des Be- griffsverständnisses (Begriffsinhalt, -umfang und -netz) in Bezug auf die Begriffe Viereck, Rechteck und Quadrat von Grundschülerinnen und -schülern nach ausführ- licher Recherche bislang zu fehlen. Diese hätten jedoch das Potenzial, ein geziel- tes Identiﬁzieren individueller Begriffskonzepte zu erleichtern und, über generische Stufenmodelle hinaus, Hypothesen zum Erwerb des Begriffsverständnisses entlang dieser drei Indikatoren zu entwickeln. Diese Erkenntnisse könnten auch erklärende Hinweise zu Schwierigkeiten im Begriffsverständnis älterer Lernender geben und K 594 J. Bruns et al. Grundlagen für Empfehlungen zur Gestaltung von Begriffsbildungsprozessen in der Grundschule bieten. Folglich wird in dieser Studie der Vergleich des Begriffsverständnisses zu Vier- eck, Rechteck und Quadrat zwischen den vier Klassenstufen der Grundschule ent- lang der Indikatoren des Begriffsverständnisses fokussiert. Daraus ergibt sich die leitende Fragestellung: Welches Verständnis der Begriffe Viereck, Rechteck und Quadrat zeigen Grundschülerinnen und Grundschüler der Jahrgangsstufen 1, 2, 3 und 4? Ziel der Studie ist einerseits die Deskription der individuellen Begriffskonzepte zu Viereck, Rechteck und Quadrat in den einzelnen Klassenstufen der Grundschule sowie eine explorative Suche nach Unterschieden zwischen den Klassenstufen, auf deren Basis Hypothesen über Begriffsbildungsprozesse formuliert werden können. Die Untersuchung des Begriffsverständnisses zu den Begriffen Viereck, Rechteck und Quadrat erfolgt in Anlehnung an die klassische Theorie (siehe Abschn. 3), entlang der Indikatoren Begriffsinhalt, -umfang und -netz. 7 Forschungsdesign 7.1 Stichprobe Zur Untersuchung der Forschungsfrage wurde eine Quasi-Längsschnittstudie durch- geführt. Die Gelegenheitsstichprobe umfasste N = 456 Schülerinnen und Schüler (n = 217 männlich, n = 238 weiblich, n = 1 ohne Angabe) drei verschiedener Grund- schulen (zwei Niedersachsen, eine Nordrhein-Westfalen). In jeder Schule wurde die Studie mit jeweils zwei Klassen aller vier Jahrgangsstufen durchgeführt (insg. 24 Klassen), sodass die Stichprobe über die Klassenstufen annähernd gleich verteilt ist (n = 101, n = 102, n = 131, n = 122). Kl1 Kl2 Kl3 Kl4 7.2 Darstellung der entwickelten Testitems Die Erfassung des Begriffsverständnisses zu Viereck, Rechteck und Quadrat erfolgte mit Hilfe eines Paper-Pencil Tests. Für jeden Begriff wurden Testitems zu allen drei Indikatoren (Begriffsinhalt, -umfang und -netz) entwickelt. In einer kognitiven Inter- viewstudie (s. a. Collins 2003)mit n= 4 Schülerinnen und Schüler pro Klassenstufe und einer Pilotierung mit N = 216 Schülerinnen und Schülern (n = 53, n = 52, Kl1 Kl2 n = 54, n = 57) wurden die Items vorab hinsichtlich ihrer Güte überprüft und kri- Kl3 Kl4 tische Items überarbeitet. Nachfolgend werden die Items in der Version dargestellt, die in der vorliegenden Hauptstudie eingesetzt wurde. Insbesondere für die Operationalisierung des Begriffsumfangs ist aus mathema- tikdidaktischer Sicht die Unterscheidung der Arten von Eigenschaften hilfreich, um das Begriffsverständnis differenziert(er) erfassen zu können (Heinze 2002b). Aus empirischer Perspektive lassen sich für die Begriffe Viereck, Rechteck und Quadrat entsprechende deﬁnierende, nicht-deﬁnierende bzw. charakteristische Eigenschaf- ten ableiten (s. Tab. 1). Es liegen bereits Vorschläge für Figurengruppen vor, die K Geometrisches Begriffsverständnis in der Grundschule 595 Abb. 2 Figuren zur Aufgabe ,Identiﬁkation von Repräsentanten des Begriffs Viereck/Rechteck/Quadrat‘ (Begriffsumfang) Anm.: Bezeichnung der Figuren: 1 ,prototypisches Quadrat‘, 2 ,Rechteck auf der Spitze‘, 3 ,prototypisches Parallelogramm‘, 4 ,Trapez auf der Spitze‘, 5 ,Quadrat auf der Spitze‘, 6 ,langgezoge- ne Raute‘, 7 ,gebogene Seiten‘, 8 ,schmales Rechteck‘, 9 ,abgerundete Ecken‘, 10 ,Stern‘, 11 ,konkaves Viereck‘, 12 ,prototypisches Rechteck‘, 13 ,Fünfeck‘, 14 ,kleines Quadrat‘, 15 ,unregelmäßige Viereck‘, 16 ,quadratähnliche Raute‘, 17 ,offene Seite‘, 18 ,Drachenviereck‘ diese deﬁnierenden und nicht-deﬁnierenden Eigenschaften systematisch variieren (Aktas¸ Arnas und Aslan 2010; Unterhauser 2020). Basierend auf diesen Vorarbei- ten wurde pro Begriff je eine Aufgabe zur Identiﬁkation von Repräsentanten mit jeweils18 Items eingesetzt (s. Abb. 2). Auswahl und Anordnung der Figuren waren für alle drei Begriffe (Viereck, Recht- eck, Quadrat) identisch. Während jedoch bspw. Abb. 2, Figur 16 für den Begriff Viereck einen typischen Repräsentanten darstellt, da die Figur die deﬁnierenden so- wie die in Tab. 1 gelisteten charakteristischen Eigenschaften aufweist, ist diese Figur ein untypischer Nicht-Repräsentant des Begriffs Quadrat, was durch die Bezeich- nung der Figur als ,quadratähnliche Raute‘ ausgedrückt wird . Die 18 Figuren bilden also für die drei Begriffe unterschiedliche deﬁnierende, nicht-deﬁnierende bzw. cha- rakteristische Eigenschaften ab (s. Tab. 1), die in den jeweiligen Bezeichnungen der Figuren zum Ausdruck gebracht werden, und stehen somit je nach Begriff ex- emplarisch für typische bzw. untypische Repräsentanten bzw. Nicht-Repräsentanten (s. Tab. 3). Im Testheft wurden die Figuren auf einer DIN A5-Seite (vgl. Abb. 2) mit der Aufgabenstellung Kreuze alle Vierecke (bzw. Rechtecke bzw. Quadrate) an. dargestellt. Für das Verständnis des Begriffsinhalts verwendeten bisherige Studien Items zum Deﬁnieren bzw. Erklären der Begriffe sowie zur Begründung von Identiﬁkationen (s. Abschn. 5.2). Es lagen jedoch noch keine Items vor, die Eigenschaftswissen über Seiten- und Winkeleigenschaften der Begriffe erfassen. Um Teilaspekte des Begriffsinhalts anhand von Erklärungen, Begründungen und Eigenschaftswissen zu erfassen, wurden für jeden Begriff drei Aufgaben mit insgesamt vier Items zum Begriffsinhalt entwickelt. Im ersten Item wurden die Teilnehmenden aufgefordert, den entsprechenden Begriff einem Kind schriftlich zu erklären. Im zweiten Item Eine detaillierte Einordnung aller Figuren bezüglich der deﬁnierenden, nicht-deﬁnierenden bzw. charak- teristischen Eigenschaften ﬁndet sich im Anhang. K 596 J. Bruns et al. Tab. 3 Klassiﬁzierung der Figuren in (un-)typische (Nicht-)Repräsentanten zu dem jeweiligen Begriff Repräsentanten Nicht-Repräsentanten Typische Untypische Typische Untypische Viereck Rechteck Geometrisches Begriffsverständnis in der Grundschule 597 Tab. 3 (Fortsetzung) Repräsentanten Nicht-Repräsentanten Typische Untypische Typische Untypische Quadrat 598 J. Bruns et al. Abb. 3 Beispielitems zur Aufgabe ,Eigenschaften des Begriffs Rechteck‘ (Begriffsinhalt) galt es, je Begriff eine Figur aus der Aufgabe zum Begriffsumfang (s. Abb. 2)als (Nicht-)Repräsentanten des entsprechenden Begriffs zu identiﬁzieren und die Iden- tiﬁkation schriftlich zu begründen. Aufbauend auf theoretischen Überlegungen zu (nicht-)deﬁnierenden Eigenschaften des Begriffs und niedrigen Lösungsquoten der zugehörigen Begriffsumfangitems aus der Pilotierung wurden Figur 11 als untypi- scher Repräsentant des Begriffs Vierecks, Figur 3 als untypischer Nicht-Repräsen- tant des Begriffs Rechteck und Figur 14 als untypischer Repräsentant des Begriffs Quadrat ausgewählt. Die dritte Aufgabe überprüfte das Eigenschaftswissen zu den drei Begriffen explizit und bestand aus zwei Multiple-Choice Items pro Begriff zu Winkel- und Seiteneigenschaften (s. Abb. 3). Zum Begriffsnetz wurden zwei Aufgaben formuliert. In der ersten Aufgabe sollten die Teilnehmenden entscheiden, ob die Figur ,prototypisches Rechteck‘ den Begriff Viereck, Quadrat oder beide Begriffe repräsentiert; in der zweiten Aufgabe, ob die Figur ,prototypisches Quadrat‘ den Begriff Rechteck, Quadrat oder beide Begriffe repräsentiert. Tab. 4 gibt einen Überblick über die 68 entwickelten Testitems. Wie dargestellt, wurde das Verständnis der drei Begriffe jeweils mit vergleichbaren Items erfasst, sodass Erkenntnisse hinsichtlich des Begriffsumfangs und -inhalts zwischen den Begriffen vergleichbar sind. Die Haupterhebung wurde im Frühjahr 2017 von drei geschulten Testleiterinnen im Rahmen ca. einer Unterrichtsstunde durchgeführt. Jede, zu bearbeitende Aufgabe Tab. 4 Übersicht zum Paper-Pencil Test ,BegriV‘ Begriffsumfang Begriffsinhalt Begriffsnetz Identiﬁkation Erklärung Begründete Iden- Eigenschaften Klassenin- Klassenin- von Reprä- des Be- tiﬁkation von des Begriffs klusion klusion sentanten zum griffs (Nicht-)Repräsen- Viereck/ Viereck Rechteck Begriff Vier- Viereck/ tanten des Begriffs Rechteck/ und Recht- und Qua- eck/Rechteck/ Rechteck/ Viereck/Rechteck/ Quadrat eck drat Quadrat Quadrat Quadrat 18 Items pro 1Item pro 1 Item pro Begriff 2 Items pro 1Item pro 1Item pro Begriff Begriff Begriff Begriffs- Begriffs- paar paar K Geometrisches Begriffsverständnis in der Grundschule 599 wurde jeweils auf einer Seite im Testheft abgebildet. Zur Bearbeitung der Test- aufgaben im Klassenverband wurden die Aufgaben sichtbar an die Wand projiziert sowie durch die Testleitung laut vorgelesen, ehe sie individuell bearbeitet wurden. So konnte für alle Kinder die gleiche Bearbeitungszeit pro Testaufgabe sichergestellt werden. 7.3 Analyseplan Zur Datenauswertung wurden die 18 Items zum Begriffsumfang dichotom (rich- tig/falsch) codiert. Die Begriffsinhalts-Items der Aufgabe ,Erklärung des Begriffs Viereck/Rechteck/Quadrat‘ wurden vierstuﬁg codiert: vollständige Deﬁnition des Begriffs bzw. Speziﬁzierung der Eigenschaften (3); Erklärung mit Bezug zu zentra- len Eigenschaften (2); prototypische bzw. ganzheitliche Erklärung (1); und falsche Erklärung des Begriffs (0) (s. Tab. 5 im Anhang). Für den Begriff Viereck ist zu be- achten, dass mit 2 codierte Antworten bereits vollständige Deﬁnitionen präsentieren und Antworten mit dem Code 3 lediglich differenzierter auf die deﬁnierenden Ei- genschaften des Begriffs Viereck eingehen. Bei den Begriffen Rechteck und Quadrat sind dagegen nur Antworten mit Code 3 vollständige Deﬁnitionen. Das Item ,Be- gründete Identiﬁkation eines (Nicht-)Repräsentanten des Begriffs Viereck/Rechteck/ Quadrat‘ wurde nur dann als richtig codiert, wenn sich sowohl die Identiﬁkation als auch die Begründung dieser Identiﬁkation als richtig erwies. Würde nur die Iden- tiﬁkation betrachtet werden, wäre nicht gewährleistet, dass in diesem Item Bezug zu den Eigenschaften der Figur hergestellt und der Begriffsinhalt geprüft wird. Die Items zur Aufgabe ,Eigenschaften des Begriffs Viereck/Rechteck/Quadrat‘ wurden ebenso wie die beiden Items zum Begriffsnetz dichotom codiert. Da die vorliegende Studie explorativ nach Unterschieden zwischen den Klas- senstufen in Bezug auf die Indikatoren des Begriffsverständnisses sucht, werden zunächst deskriptive Statistiken zu allen Items betrachtet. Anschließend wird die Abhängigkeit zwischen den Lösungsquoten jedes Items und der Klassenstufe mit- tels einfaktorieller Varianzanalysen geprüft (Eid et al. 2015). Post-hoc-Tests erfolgen mittels Bonferroni-Korrektur, da dieser konservative Test sich für eine kleine Anzahl von Gruppen mit unterschiedlicher Stichprobengröße eignet (ebd.). 8 Ergebnisse 8.1 Viereck: Begriffsumfang und -inhalt Wird die Lösungshäuﬁgkeit der Items zum Begriffsumfang des Begriffs Viereck de- skriptiv getrennt nach der Klassenstufe betrachtet (s. Abb. 4), zeigt sich, dass die typischen Repräsentanten – außer die Figur ,kleines Quadrat‘ in Klassenstufe 1 – sowie die typischen Nicht-Repräsentanten von über 70 % der Lernenden in allen Klassenstufen korrekt identiﬁziert werden. Auffallend niedrige Lösungsraten in al- len Klassenstufen zeigen, mit wenigen Ausnahmen für die Klassenstufen 3 bzw. 4, die untypischen Repräsentanten, insbesondere die Figuren ,konkaves Viereck‘ und ,Drachenviereck‘. K 600 J. Bruns et al. Klassenstufe 1 2 3 4 Figurengruppe (n=81) (n=102) (n=131) (n=122) Figur M SD M SD M SD M SD F η Typische Repräsentanten 1 ‚prototypisches Quadrat‘ ,96 0,19 ,98 0,14 ,99 0,12 1,00 0,00 1,446 - 16 ‚quadratähnliche Raute‘ ,78 0,42 ,86 0,35 ,89 0,32 ,82 0,39 1,723 - ** 5 ‚Quadrat auf der Spitze‘ ,77 0,43 ,89 0,31 ,97 0,17 ,95 0,22 10,137 ,07 ** 14 ‚kleines Quadrat‘ ,59 0,49 ,74 0,44 ,86 0,35 ,89 0,32 11,247 ,07 Untypische Repräsentanten ** 12 ‚prototypisches Rechteck‘ ,20 0,40 ,18 0,38 ,39 0,49 ,47 0,50 10,618 ,07 ** 3 ‚prototypisches Parallelogramm‘ ,15 0,36 ,19 0,39 ,44 0,50 ,40 0,49 11,148 ,07 ** 2 ‚Rechteck auf der Spitze‘ ,16 0,37 ,19 0,39 ,37 0,48 ,45 0,50 10,276 ,07 ** 8 ‚schmales Rechteck‘ ,09 0,28 ,13 0,34 ,31 0,46 ,38 0,49 11,743 ,08 ** 15 ‚unregelmäßiges Viereck‘ ,21 0,41 ,27 0,44 ,52 0,50 ,42 0,50 9,625 ,06 ** 4 ‚Trapez auf der Spitze‘ ,11 0,32 ,12 0,32 ,38 0,49 ,33 0,47 11,973 ,08 ** 6 ‚langgezogene Raute‘ ,10 0,30 ,18 0,38 ,35 0,48 ,36 0,48 9,136 ,06 ** 18 ‚Drachenviereck‘ ,07 0,26 ,14 0,35 ,31 0,46 ,26 0,44 7,427 ,05 ** 11 ‚konkaves Viereck‘ ,01 0,11 ,08 0,27 ,24 0,43 ,20 0,40 9,270 ,06 Untypische Nicht-Repräsentanten 7 ‚gebogene Seiten‘ ,47 0,50 ,48 0,50 ,39 0,49 ,48 0,50 0,920 - ** 9 ‚abgerundete Ecken‘ ,19 0,39 ,33 0,47 ,42 0,50 ,56 0,50 10,776 ,07 Typische Nicht-Repräsentanten 10 ‚Stern‘ ,93 0,26 ,95 0,22 ,92 0,27 ,93 0,26 0,272 - 13 ‚Fünfeck‘ ,99 0,11 ,97 0,17 1,00 0,00 1,00 0,00 2,383 - 17 ‚offene Seite‘ ,85 0,36 ,86 0,35 ,72 0,45 ,79 0,41 3,163 ,02 Abb. 4 Lösungshäuﬁgkeit der Items zum Begriffsumfang zum Begriff Viereck getrennt nach Klassenstu- fe. Anmerkung: hellgraue Schattierung markiert Lösungsquoten über 75 %, dunkelgraue Schattierung mar- kiert Lösungsquoten unter 40 %. Effektstärken werden nach Cohen (1988) wie folgt eingeteilt: η 0,01: 2 2 kleiner Effekt; η 0,06: mittlerer Effekt; η 0,14: großer Effekt Signiﬁkante Unterschiede zwischen denKlassenstufen zeigensichbei denLö- sungsraten aller Figuren außer den typischen Repräsentanten ,prototypisches Qua- drat‘ und ,quadratähnliche Raute‘, dem untypischen Nicht-Repräsentant ,gebogene Seiten‘ sowie den typischen Nicht-Repräsentanten ,Stern‘, und ,Fünfeck‘ (s. Abb. 4). Bei den Figuren ,offene Seite‘ und ,Drachenviereck‘ zeigt sich ein kleiner Effekt der Klassenstufe. Bei den übrigen Figuren mit einem signiﬁkanten Unterschied der Lösungsraten zwischen den Klassenstufen ergibt sich ein mittlerer Effekt. Post-Hoc-Tests zeigen, dass der typische Repräsentant ,Quadrat auf der Spitze‘ in den Klassenstufen 2 und 3 als Gruppe signiﬁkant besser identiﬁziert wird als in der Klassenstufe 1. Für den typischen Repräsentanten ,kleines Quadrat‘ zeigt sich ein signiﬁkanter Unterschied in den Lösungsraten zwischen der Klassenstufe 1 und den Klassenstufen 3 und 4 sowie zwischen der Klassenstufe 2 und 4 – mit einem besseren Abschneiden der jeweils höheren Jahrgangsstufe. Dies deutet darauf hin, dass diese beiden Figuren für einige Kinder erst im Laufe der Grundschulzeit zu typischen Repräsentanten des Begriffs Viereck werden. In Bezug auf die Identiﬁkationen der untypischen Repräsentanten des Begriffs können für alle Figuren dieser Gruppe – bis auf die Figuren ,unregelmäßiges Vier- K Geometrisches Begriffsverständnis in der Grundschule 601 eck‘ und ,Drachenviereck‘ – die Klassenstufen 1 und 2 sowie die Klassenstufen 3 und 4 zu einer Gruppe zusammengefasst werden, die sich jeweils signiﬁkant von- einander unterscheiden, wobei die Klassenstufen 3/4 tendenziell besser abschneiden als die Klassenstufen 1/2. Diese Ergebnisse deuten darauf hin, dass diese untypi- schen Repräsentanten des Begriffs Viereck im Laufe der Grundschulzeit von immer mehr Kindern als Vierecke identiﬁziert werden – insbesondere, wenn sie typische Repräsentanten anderer Vierecksﬁguren (bspw. Parallelogramm) sind. Bei den un- typischen Repräsentanten ,unregelmäßiges Viereck‘ und ,Drachenviereck‘ zeigen Post-Hoc-Tests einen signiﬁkanten Unterschied zwischen der Klassenstufe 1 und den Klassenstufen 3 und 4 sowie zwischen der Klassenstufe 2 und 3. Bei beiden Figuren werden jeweils in der dritten Klassenstufe die meisten korrekten Identiﬁ- kationen getroffen und dabei zeigen sich innerhalb der Figurengruppe untypische Repräsentanten für die Figur ,unregelmäßige Viereck‘ in Klassenstufe 3 die häuﬁgs- ten korrekten Identiﬁkationen. Für den untypischen Nicht-Repräsentanten ,abgerundete Ecken‘ zeigen Post-Hoc- Tests einen signiﬁkanten Unterschied in den Lösungsraten zwischen der Klassen- stufe 1 und den Klassenstufen 3 und 4 sowie zwischen der Klassenstufe 2 und 4 – mit einem besseren Abschneiden der jeweils höheren Jahrgangsstufe. Auch für diese Figur werden im Laufe der Grundschulzeit mehr korrekte Identiﬁkationsentschei- dungen getroffen. Bei dem typischen Nicht-Repräsentanten ,offene Seite‘ zeigen Post-Hoc-Tests einen signiﬁkanten Unterschied zwischen der Klassenstufe 2 und 3. Einzig bei die- ser Figur zeigt sich tendenziell eine Abnahme an korrekten Identiﬁkationsentschei- dungen im Laufe der Grundschulzeit. Zusammenfassend deuten die Ergebnisse zum Begriffsumfang des Begriffs Vier- eck daraufhin, dass typische Repräsentanten und Nicht-Repräsentanten bereits zu Beginn der Grundschulzeit sicher korrekt identiﬁziert werden – spätestens jedoch ab Klasse 3. Die untypischen Repräsentanten und Nicht-Repräsentanten werden da- gegen über alle vier Klassenstufen – mit der Ausnahme weniger Figuren – selten korrekt identiﬁziert. Tendenziell erhöht sich jedoch der Anteil an korrekten Identiﬁ- kationen im Laufe der Grundschulzeit. Für die typischen Nicht-Repräsentanten zeigt sich – ähnlich wie für die typischen Repräsentanten – keine Weiterentwicklung im Laufe der Grundschulzeit, jedoch bei korrekten Identiﬁkationsentscheidungen auf mittlerem Niveau. Für die Figur ,offene Seite‘ zeigt sich sogar eine Abnahme der korrekten Identiﬁkationen im Vergleich der Klassenstufen. Bezüglich des Begriffsinhalts zum Begriff Viereck zeigt das Item zur Erklärung des Begriffs Viereck auf deskriptiver Ebene, dass der Mittelwert der Klassenstu- fe 1 (M= 1,51, SD= 0,85) höher ausfällt als die Mittelwerte der Klassenstufen 2 (M= 1,46, SD= 0,92), 3 (M= 1,04, SD= 0,76) und 4 (M= 1,32, SD= 0,94) und der Anteil der ganzheitlichen Erklärungen bzw. der Erklärungen, die den Begriff Vier- eck auf den Prototyp Quadrat reduzieren, in der Klassenstufe 3 am höchsten liegt (s. Abb. 5). Die Varianzanalyse deckt einen signiﬁkanten, aber schwachen Effekt der Klas- senstufe (F(3,421) = 6,336, p< 0,001, η = 0,04) auf. Post-Hoc-Tests zeigen einen signiﬁkanten Unterschied zwischen den Klassenstufen 2 und 3. K 602 J. Bruns et al. falsche oder holistische vollständige Definition Spezifizierung der unzureichende Beschreibung/Prototyp Eigenschaften Beschreibung Kl. 1 (n = 73) Kl. 2 (n = 99) Kl. 3 (n = 131) Kl. 4 (n = 122) Abb. 5 Erklärungen des Begriffs Viereck nach Klassenstufe getrennt, Angaben in % Bezüglich der Lösungshäuﬁgkeit des Items zur begründeten Identiﬁkation der Figur ,konkaves Viereck‘ als Repräsentant des Begriffs Viereck zeigt sich eben- falls ein signiﬁkanter Unterschied zwischen den Klassenstufen (F(3,415) = 21,421, p< 0,001) mit einem mittleren Effekt (η = 0,13). Post-Hoc-Tests ergeben, dass sich die Klassenstufen 1 (n = 69, M= 0,04, SD= 0,21) und 2 (n = 98, M= 0,07, SD= 0,26) sowie die Klassenstufen 3 (n = 130, M= 0,42, SD= 0,50) und 4 (n = 122, M= 0,31, SD= 0,47) jeweils zu einer Gruppe zusammenfassen lassen, die sich signiﬁkant von- einander unterscheiden. Hinsichtlich der Lösungshäuﬁgkeiten der Items zu den Seiten- und Winkelei- genschaften des Vierecks zeigt sich ein signiﬁkanter mittlerer Effekt der Klas- senstufe (Seite: F(3,428) = 10,289, p< 0,001, η = 0,07; Winkel: F(3,431) = 9,350, p< 0,001, η = 0,06). Für beide Items zeigen Post-Hoc-Tests paarweise Unterschie- de zwischen den Klassenstufen 2 (Seite: n = 100, M= 0,01, SD= 0,10; Winkel: n = 102, M= 0,03, SD= 0,20), 3 (Seite: n = 130, M= 0,19, SD= 0,40; Winkel: n = 129, M= 0,23, SD= 0,42) und 4 (Seite: n = 122, M= 0,25, SD= 0,43; Winkel: n = 122, M= 0,25, SD= 0,43). 8.2 Rechteck: Begriffsumfang und -inhalt Wird die Lösungshäuﬁgkeit der Items zum Begriffsumfang des Begriffs Rechteck deskriptiv getrennt nach Klassenstufen betrachtet (s. Abb. 6), zeigt sich, dass der typische Repräsentant – außer in Klassenstufe 2 – und die typischen Nicht-Reprä- sentanten – außer die Figur ,abgerundete Ecken‘ in Klassenstufe 1 – von über 90 % der Schülerinnen und Schüler aller Klassenstufen korrekt identiﬁziert werden. Auf- fallend niedrige Lösungsraten in allen Klassenstufen zeigen die untypischen Reprä- sentanten ,prototypisches Quadrat‘, ,Quadrat auf der Spitze‘ und ,kleines Quadrat‘. K Geometrisches Begriffsverständnis in der Grundschule 603 Klassenstufe 1 2 3 4 Figurengruppe (n=81) (n=102) (n=131) (n=122) Figur 2 MSD M SD M SD M SD F η Typische Repräsentanten 12 ‚prototypisches Rechteck‘ ,90 ,30 ,87 ,34 ,93 ,25 ,93 ,26 0,983 - Untypische Repräsentanten 2 ‚Rechteck auf der Spitze‘ ,77 ,43 ,81 ,39 ,92 ,28 ,88 ,33 3,704 ,03 8 ‚schmales Rechteck‘ ,52 ,50 ,53 ,50 ,65 ,48 ,70 ,46 3,762 ,03 Untypische Repräsentanten (Quadrate) 1 ‚prototypisches Quadrat‘ ,09 ,28 ,04 ,20 ,03 ,17 ,08 ,28 1,670 - 5 ‚Quadrat auf der Spitze‘ ,10 ,30 ,04 ,20 ,04 ,19 ,10 ,30 2,101 - 14 ‚kleines Quadrat‘ ,05 ,22 ,02 ,14 ,02 ,15 ,06 ,23 1,129 - Untypische Nicht-Repräsentanten 3 ‚prototypisches Parallelogramm‘ ,59 ,49 ,44 ,50 ,34 ,48 ,48 ,50 4,506 ,03 13 ‚Fünfeck‘ ,89 ,32 ,87 ,34 ,92 ,28 ,93 ,25 0,974 - ** 17 ‚offene Seite‘ ,22 ,42 ,22 ,41 ,26 ,44 ,48 ,50 9,051 ,06 Typische Nicht-Repräsentanten 16 ‚quadratähnliche Raute‘ ,94 ,24 ,97 ,17 ,97 ,17 ,94 ,23 0,738 - 15 ‚unregelmäßiges Viereck‘ ,96 ,19 ,97 ,17 ,98 ,12 ,97 ,18 0,380 - 4 ‚Trapez auf der Spitze‘ ,96 ,19 ,99 ,10 ,98 ,12 ,98 ,13 0,690 - 6 ‚langgezogene Raute‘ ,96 ,19 ,98 ,14 ,98 ,15 ,98 ,13 0,332 - 18 ‚Drachenviereck‘ ,98 ,16 ,98 ,14 ,99 ,09 ,98 ,16 0,427 - 11 ‚konkaves Viereck‘ ,99 ,11 ,98 ,14 ,98 ,12 1,00 ,00 0,719 - 10 ‚Stern‘ ,99 ,11 ,98 ,14 1,00 ,00 1,00 ,00 1,510 - 7 ‚gebogene Seiten‘ ,94 ,24 ,96 ,20 ,96 ,19 ,96 ,20 0,264 - 9 ‚abgerundete Ecken‘ ,88 ,33 ,96 ,20 ,97 ,17 ,98 ,16 4,272 ,03 Abb. 6 Lösungshäuﬁgkeit der Items zum Begriffsumfang zum Begriff Rechteck getrennt nach Klas- senstufe. Anmerkung: hellgraue Schattierung markiert Lösungsquoten über 75 %, dunkelgraue Schattie- rung markiert Lösungsquoten unter 40 %. Effektstärken werden nach Cohen (1988) wie folgt eingeteilt: 2 2 2 η 0,01: kleiner Effekt; η 0,06: mittlerer Effekt; η 0,14: großer Effekt Signiﬁkante Unterschiede zwischen denKlassenstufen zeigensichbei denLö- sungshäuﬁgkeiten der untypischen Repräsentanten, die keine quadratischen Recht- ecke sind (,Rechteck auf der Spitze‘, ,schmales Rechteck‘), mit jeweils kleinem Effekt sowie den untypischen Nicht-Repräsentanten ,prototypisches Parallelogram- m‘ und ,abgerundete Ecken‘, mit jeweils kleinem Effekt und ,offene Seite‘ mit mittlerem Effekt (s. Abb. 6). Für den untypischen Repräsentanten ,Rechteck auf der Spitze‘ zeigen Post-Hoc- Tests, dass ein signiﬁkanter Unterschied zwischen Lösungsraten der Klassenstufe 2 und 3 besteht. Dabei wird die Figur in der Klassenstufe 3 am häuﬁgsten korrekt als Repräsentant des Begriffs Rechteck identiﬁziert. Für die Figur ,schmales Rechteck‘ lassen sich in den Post-Hoc Tests keine Gruppenunterschiede ausmachen. Bei dem untypischen Nicht-Repräsentanten ,prototypisches Parallelogramm‘ zei- gen Post-Hoc-Tests, dass ein signiﬁkanter Unterschied zwischen der Klassenstufe 2 und 3 vorliegt. Dabei wird die Figur in der Klassenstufe 2 häuﬁger korrekt als Nicht- Repräsentant identiﬁziert. Bei dem untypischen Nicht-Repräsentanten ,offene Seite‘ K 604 J. Bruns et al. lassen sich dagegen die Klassenstufen 1 bis 3 zu einer Gruppe zusammenfassen, die sich signiﬁkant von der Klassenstufe 4 unterscheidet. Die Lernenden der Klassen- stufe 4 wählen diese Figur seltener als Repräsentant des Begriffs Rechteck aus als die Lernenden der übrigen Klassen. Bei dem typischen Nicht-Repräsentanten ,abgerundete Ecken‘ können die Klas- senstufen 2, 3 und 4 hinsichtlich ihrer Lösungshäuﬁgkeit zusammengefasst werden, die sich als Gruppe signiﬁkant von Klassenstufe 1 unterscheidet und die Figur sel- tener als Repräsentant auswählt. Zusammenfassend zeigen die Ergebnisse zum Begriffsumfang des Begriff Recht- eck, dass typische Repräsentanten und Nicht-Repräsentanten ab Klassenstufe 1 si- cher korrekt identiﬁziert werden. Gleiches gilt auch für den bislang als untypisch beschriebenen Repräsentanten ,Rechteck auf der Spitze‘ (Variation des typischen Repräsentanten in der Orientierung parallel zum Blattrand) und Nicht-Repräsen- tanten ,Fünfeck‘ (Ergänzung des typischen Repräsentanten um eine vorspringende Ecke). Aus der Figurengruppe der untypischen Repräsentanten zeigen insbesondere die quadratischen Rechtecke niedrige Lösungsquoten, ohne dass sich Entwicklungs- tendenzen zwischen den Klassenstufen erkennen lassen. Aus der Figurengruppe der untypischen Nicht-Repräsentanten weist insbesondere die Figur ,offene Seite‘ nied- rige Lösungsquoten auf, jedoch erhöht sich diese Lösungsquote mit zunehmender Klassenstufe. Zum Begriffsinhalt des Begriffs Rechteck zeigen sich hinsichtlich der Erklärung des Begriffs signiﬁkante Unterschiede zwischen den Klassenstufen (F(3,394) = 15,221, p< 0,001) mit mittlerem Effekt (η = 0,10). Post-Hoc-Tests zeigen, dass sich die Klassenstufen 1 (M= 0,50, SD= 0,57) und 2 (M= 0,53, SD= 0,60) sowie 3(M= 0,89, SD= 0,70) und 4 (M= 1,09, SD= 0,87) hinsichtlich der Erklärungen des Begriffs Rechteck jeweils zu einer Gruppe zusammenfassen lassen, zwischen denen ein signiﬁkanter Unterschied besteht. Auf deskriptiver Ebene fällt zusätz- lich auf, dass über 40 % der Erklärungen in allen Klassenstufen ganzheitlich bzw. prototypisch sind (s. Abb. 7). Bezüglich des Items zur begründeten Identiﬁkation der Figur ,prototypisches Par- allelogramm‘ als Nicht-Repräsentant des Begriffs Rechteck zeigt sich kein signiﬁ- kanter Unterschied zwischen den Klassenstufen (F(3,381) = 1,762, p= 0,154). Dabei lösen 33,85 % der Lernenden in Klasse 1 (n= 65, SD= 0,48), 23,16 % der Lernen- den inKlasse 2(n= 95, SD= 0,42), 30,40 % der Lernenden in Klasse 3 (n= 125, SD= 0,46) und 38,00 % der Lernenden in Klasse 4 (n= 100, SD= 0,49) das Item korrekt. Auch in Bezug auf die Lösungsquoten der Items zu den Winkeleigen- schaften zeigen sich keine signiﬁkanten Unterschiede zwischen den Klassenstufen (F(3,305) = 0,072, p= 0,552). Im Mittel wählen 18,67 % der Lernenden in Klasse 1 (n= 75, SD= 0,39), 8,91 % der Lernenden in Klasse 2 (n= 101, SD= 0,29), 5,61 % der Lernenden in Klasse 3 (n= 107, SD= 0,23) und 4,92 % der Lernenden in Klasse 4 (n= 122, SD = 0,22) die korrekte Lösung aus. Hinsichtlich der Seiteneigenschaften zeigt sich dagegen ein signiﬁkanter Unterschied (F(3,393) = 5,857, p= 0,001) mit kleinem Effekt (η = 0,04). Post-Hoc Test zeigen einen Unterschied zwischen der Klassenstufe 1 (n= 75, M= 0,13, SD= 0,34) und 3 (n= 104, M= 0,33, SD= 0,47) sowie zwischen den Klassenstufen 3 und 4 (n= 120, M= 0,13, SD= 0,33). K Geometrisches Begriffsverständnis in der Grundschule 605 falsche oder holistische Bezug zu zentralen vollständige Definition unzureichende Beschreibung/Prototyp Eigenschaften Beschreibung Kl. 1 (n = 56) Kl. 2 (n = 97) Kl. 3 (n = 128) Kl. 4 (n = 117) Abb. 7 Erklärungen des Begriffs Rechteck nach Klassenstufe getrennt, Angaben in % 8.3 Quadrat: Begriffsumfang und -inhalt Bezüglich des Begriffsumfangs des Begriffs Quadrat zeigt die deskriptive Betrach- tung der Lösungshäuﬁgkeit aller Items getrennt nach der Klassenstufe (Abb. 8), dass typische Nicht-Repräsentanten – außer die Figuren ,prototypisches Rechteck‘ und ,Rechteck auf der Spitze‘ in Klassenstufe 4 – von über 90 % der Lernenden aller Klassenstufen korrekt identiﬁziert werden. Niedrige Lösungsraten in Klassenstufe 1 und 2 zeigt der untypische Repräsentant ,kleines Quadrat‘. Der typische Repräsentant ,prototypisches Quadrat‘ zeigt mit Lösungsquoten im mittleren Bereich im Vergleich zu den typischen Repräsentanten der Begriffe Rechteck und Viereck ebenfalls wenig korrekte Identiﬁkationen in allen Klassenstufen. Signiﬁkante Unterschiede zwischen den Klassenstufen zeigen sich bezüglich aller typischen und untypischen Repräsentanten des Begriffs Quadrat, bei allen untypi- schen Nicht-Repräsentanten sowie allen typischen Nicht-Repräsentanten mit rech- ten Winkeln und bei den weiteren typischen Nicht-Repräsentanten ,unregelmäßiges Viereck‘, ,Trapez auf der Spitze‘ und ,Drachenviereck‘ (s. Abb. 8). Hinsichtlich des typischen Repräsentanten ,prototypisches Quadrat‘ können die Klassenstufen 1 und 2 zu einer Gruppe zusammengefasst werden, die sich signiﬁkant von der Klassenstufe 3 unterscheidet – dabei schneiden die Lernenden in höheren Klassenstufen besser ab. Für den untypischen Repräsentanten ,Quadrat auf der Spitze‘ unterscheidet sich Klassenstufe 1 signiﬁkant von Klassenstufe 3. Für den untypischen Repräsentanten ,kleines Quadrat‘ unterscheidet sich die Klassenstufe 1 sowohl von Klassenstufe 3 als auch 4 signiﬁkant und zudem die Klassenstufe 2 signiﬁkant von Klassenstufe 3. Bei beiden Figuren zeigt sich in Klassenstufe 3 die höchste Lösungshäuﬁgkeit. Bei dem untypischen Nicht-Repräsentanten ,abgerundete Ecken‘ lassen sich die Klassenstufen 1 und 2 zu einer Gruppe zusammenfassen, die sich signiﬁkant von den K 606 J. Bruns et al. Klassenstufe 1 2 3 4 Figurengruppe (n=81) (n=102) (n=131) (n=122) Figur 2 MSD M SD M SD M SD F η Typische Repräsentanten 1 ‚prototypisches Quadrat‘ ,47 ,50 ,50 ,50 ,70 ,46 ,61 ,49 5,191 ,03 Untypische Repräsentanten 5 ‚Quadrat auf der Spitze‘ ,43 ,50 ,56 ,50 ,71 ,46 ,58 ,50 5,675 ,04 ** 14 ‚kleines Quadrat‘ ,26 ,44 ,38 ,49 ,56 ,50 ,45 ,50 6,718 ,04 Untypische Nicht-Repräsentanten ** 16 ‚quadratähnliche Raute‘ ,67 ,47 ,51 ,50 ,35 ,48 ,68 ,47 12,208 ,08 ** 7 ‚gebogene Seiten‘ ,78 ,42 ,73 ,45 ,66 ,47 ,91 ,29 7,949 ,05 ** 9 ‚abgerundete Ecken‘ ,63 ,49 ,63 ,49 ,44 ,50 ,81 ,39 13,207 ,08 Typische Nicht-Repräsentanten (mit rechten Winkeln) ** 12 ‚prototypisches Rechteck‘ ,89 ,32 ,86 ,35 ,86 ,35 ,68 ,47 7,377 ,05 2 ‚Rechteck auf der Spitze‘ ,86 ,34 ,85 ,36 ,84 ,37 ,70 ,46 4,164 ,03 8 ‚schmales Rechteck‘ ,95 ,22 ,92 ,27 ,92 ,27 ,80 ,41 5,879 ,04 Typische Nicht-Repräsentanten 3 ‚prototypisches Parallelo- ,86 ,34 ,82 ,38 ,82 ,39 ,79 ,41 0,653 - gramm‘ 15 ‚unregelmäßiges Viereck‘ ,89 ,32 ,80 ,40 ,76 ,43 ,92 ,28 4,651 ,03 4 ‚Trapez auf der Spitze‘ ,96 ,19 ,93 ,25 ,86 ,35 ,97 ,18 4,783 ,03 6 ‚langgezogene Raute‘ ,89 ,32 ,84 ,37 ,87 ,34 ,90 ,30 0,636 - 18 ‚Drachenviereck‘ ,93 ,26 ,85 ,36 ,93 ,25 ,98 ,13 4,781 ,03 11 ‚konkaves Viereck‘ ,98 ,16 ,97 ,17 ,95 ,23 ,99 ,09 1,526 - 10 ‚Stern‘ ,95 ,22 ,97 ,17 ,98 ,12 ,98 ,13 0,968 - 13 ‚Fünfeck‘ ,98 ,16 ,99 ,10 ,97 ,17 ,97 ,18 0,471 - 17 ‚offene Seite‘ ,86 ,34 ,89 ,31 ,88 ,33 ,89 ,32 0,123 - Abb. 8 Lösungshäuﬁgkeit der Items zum Begriffsumfang zum Begriff Quadrat getrennt nach Klassenstu- fe. Anmerkung: hellgraue Schattierung markiert Lösungsquoten über 75 %, dunkelgraue Schattierung mar- kiert Lösungsquoten unter 40 %. Effektstärken werden nach Cohen (1988) wie folgt eingeteilt: η 0,01: 2 2 kleiner Effekt; η 0,06: mittlerer Effekt; η 0,14: großer Effekt Klassenstufen 3 (schneidet schlechter ab als Klasse 1/2) sowie 4 (schneidet besser ab als Klasse 1/2) unterscheidet. Zudem zeigen sich signiﬁkante Unterschiede zwischen den Klassenstufen 3 und 4. Für die Figuren ,gebogene Seiten‘ und ,quadratähnliche Raute‘ lassen sich die Klassenstufen 2 und 3 zu einer Gruppe zusammenfassen, die sich signiﬁkant von der Klassenstufe 4 unterscheidet, wobei jeweils die Klassenstu- fe 4 besser abschneidet. Für die Figur ,quadratähnliche Raute‘ zeigt sich darüber hinaus ein signiﬁkanter Unterschied zwischen der Klassenstufe 1 und 3, wobei die Figur häuﬁger in Klassenstufe 1 als Nicht-Repräsentant identiﬁziert wird. Bei den typischen Nicht-Repräsentanten mit rechten Winkeln zeigen Post-Hoc- Tests, dass die Klassenstufen 1, 2 und 3 hinsichtlich ihrer Lösungshäuﬁgkeit zu- sammengefasst werden können und sich signiﬁkant von der Klassenstufe 4 unter- scheiden. Dabei werden alle drei Figuren in Klassenstufe 4 seltener als Repräsentant identiﬁziert. Sowohl bezüglich der Figur ,unregelmäßiges Viereck‘ als auch ,Trapez auf der Spitze‘ zeigen sich signiﬁkante Unterschiede zwischen den Klassenstufen 1 und 3, wobei die Figuren in der Klassenstufe 3 seltener korrekt als Nicht-Reprä- K Geometrisches Begriffsverständnis in der Grundschule 607 falsche oder holistische vollständige Definition Spezifizierung der unzureichende Beschreibung/Prototyp Eigenschaften Beschreibung Kl. 1 (n = 35) Kl. 2 (n = 83) Kl. 3 (n = 126) Kl. 4 (n = 116) Abb. 9 Erklärungen des Begriffs Quadrat nach Klassenstufe getrennt, Angaben in % sentant identiﬁziert werden. Für die Figur ,unregelmäßiges Viereck‘ ergeben sich darüber hinaus signiﬁkante Unterschiede zwischen den Klassenstufen 3 und 4, hier schneidet die Klassenstufe 4 besser ab. Die Lösungshäuﬁgkeit der Figur ,Drachen- viereck‘ unterscheidet sich zwischen den Klassenstufen 2 und 4 signiﬁkant mit höheren korrekten Lösungsraten in Klassenstufe 4. Zusammenfassend zeigt sich für den Begriffsumfang des Begriffs Quadrat, dass typische Nicht-Repräsentanten bereits ab Beginn der Grundschulzeit mehrheitlich si- cher korrekt identiﬁziert werden. Haben die Nicht-Repräsentanten jedoch vier rechte Winkel, zeigen sich in den Klassenstufen 3/4 niedrigere Lösungsquoten als in den Klassenstufen 1/2. Für die übrigen Figuren ergibt sich ein unklares Bild: Tendenziell zeigen sich für die untypischen Nicht-Repräsentanten die niedrigsten Lösungsquo- ten in Klassenstufe 3; gleichzeitig zeigen sich in Klassenstufe 3 auch tendenziell die höchsten Lösungsquoten für die (un)typischen Repräsentanten. Für alle Items des Begriffsinhalts des Begriffs Quadrat zeigen sich signiﬁkante Unterschiede in den Lösungshäuﬁgkeiten zwischen den Klassenstufen. Hinsichtlich des Items zur Erklärung des Begriffs Quadrats zeigt sich, dass in allen Klassen- stufen über die Hälfte der Schülerinnen und Schüler eine unzureichende Erklä- rung des Begriffs notiert (s. Abb. 9). Die Varianzanalyse deckt einen signiﬁkanten, aber schwachen Effekt der Klassenstufe (F(3,356) = 5,308, p= 0,001, η = 0,04) auf. Post-Hoc-Tests zeigen einen signiﬁkanten Unterschied zwischen der Klassenstu- fe 1 (M= 0,28, SD= 0,67) und den Klassenstufen 3 (M= 0,90, SD= 1,02) und 4 (M= 0,84, SD= 1,11) sowie zwischen den Lösungshäuﬁgkeiten der Klassenstufen 2 (M= 0,52, SD= 0,83) und 3. Bezüglich der Lösungshäuﬁgkeit des Items zur begründeten Identiﬁkation der Figur ,kleines Quadrat‘ als untypischer Repräsentant des Begriffs Quadrat zeigt sich ebenfalls ein signiﬁkanter Unterschied zwischen den Klassenstufen (F(3,413) = 12,311, p< 0,001) mit einem mittleren Effekt (η = 0,08). Post-Hoc- K 608 J. Bruns et al. Tests zeigen, dass sich Klassenstufe 1 (n = 74, M= 0,07, SD= 0,25) von den üb- rigen Klassenstufen signiﬁkant unterscheidet und Klassenstufe 2 (n = 96, M= 0,28, SD= 0,45) signiﬁkant von Klassenstufe 3 (n = 128, M= 0,45, SD= 0,50), nicht jedoch von Klassenstufe 4 (n = 119, M= 0,40, SD= 0,49). Hinsichtlich der Lösungshäuﬁgkeiten der Items zu den Seiten- und Winkeleigen- schaften des Quadrats zeigt sich ein signiﬁkanter Unterschied zwischen den Klas- senstufen mit mittlerem bzw. großem Effekt (Seite: F(3,408) = 16,218, p< 0,001, 2 2 η = 0,11; Winkel: F(3,406) = 23,874, p< 0,001, η = 0,15). Für beide Items zeigen Post-Hoc-Tests, dass sich die Klassenstufen 3 (Seite: n = 107, M= 0,76, SD= 0,43; Winkel: n = 107, M= 0,73, SD= 0,45) und 4 (Seite: n = 121, M= 0,79, SD= 0,41; Winkel: n = 121, M= 0,73, SD= 0,45) zu einer Gruppe zusammenfassen lassen. Bezüglich der Seiteneigenschaften lassen sich auch die Klassenstufen 1 (n = 82, M= 0,44, SD= 0,50) und 2 (n = 102, M= 0,47, SD= 0,50) zu einer Gruppe zusam- menfassen. Beide Gruppen 1/2 und 3/4 unterscheiden sich hinsichtlich der Lösungs- häuﬁgkeit des Items zu den Seiteneigenschaften signiﬁkant voneinander. Bezüglich der Winkeleigenschaften unterscheidet sich die Gruppe 3/4 signiﬁkant von der Klas- senstufe 1 (n = 81, M= 0,24, SD= 0,43) sowie von 2 (n = 101, M= 0,53, SD= 0,50). Zusätzlich unterscheiden sich auch die Klassenstufen 1 und 2 signiﬁkant voneinan- der. 8.4 Begriffsnetz Das Verständnis des Verhältnisses von Viereck – Rechteck bzw. Rechteck – Qua- drat wurde explizit in zwei Items untersucht. Deskriptive Analysen zeigen, dass in den Klassestufen 1 (n= 67 Bearbeitungen) und 2 (n= 70 Bearbeitungen) keines der beiden Items richtig gelöst wurde. Die Inklusion der Begriffe Rechteck – Quadrat wird auch in den Klassenstufen 3 und 4 nur in 1,6 % (n = 130, SD= 0,13) bzw. 5,0 % (n = 120, SD= 0,15) der Bearbeitungen richtig erkannt; die Inklusion der Be- griffe Viereck – Rechteck dagegen in 17 % (n = 130, SD= 0,38) bzw. 36 % (n = 120, SD= 0,48). Insgesamt lösen sieben Lernende (sechs davon aus Klassenstufe 4) beide Items korrekt. Entsprechend zeigt die Varianzanalyse einen signiﬁkanten Unterschied zwischen den Klassenstufen für das Item zur Klasseninklusion von Viereck – Rechteck mit großem Effekt (F(3,383) = 22,862, p< 0,001, η = 0,15), nicht aber von Rechteck – Quadrat (F(3,361) = 2,463, p= 0,062). Post-Hoc-Tests zeigen für das Item zur Inklu- sion Viereck – Rechteck, dass die Klassenstufen 1 und 2 hinsichtlich ihres Verständ- nisses zusammengefasst werden können und sich signiﬁkant von den Klassenstufen 3 und 4 unterscheiden. Zudem zeigt sich ein signiﬁkanter Unterschied zwischen den Klassenstufen 3 und 4. 9 Diskussion Ziel der Studie war eine detaillierte Deskription des Verständnisses der Begriffe Vier- eck, Rechteck und Quadrat in der Primarstufe und eine Suche nach Unterschieden zwischen einzelnen Klassenstufen, um weitere Annahmen zu Begriffsbildungspro- K Geometrisches Begriffsverständnis in der Grundschule 609 zessen hinsichtlich dieser Begriffe zu treffen. Im Folgenden werden zunächst die Limitationen der Studie aufgezeigt, um unter Berücksichtigung dieser die Ergebnisse zu diskutieren. 9.1 Limitationen Zunächst soll betont werden, dass die Ergebnisse Einblicke in die Unterschiede zwischen Klassenstufen erlauben, das Design jedoch keine Schlussfolgerungen über Entwicklungsverläufe zulässt. Außerdem handelt es sich um eine Gelegenheitsstich- probe, die nicht zufällig zusammengesetzt, sondern in Klassen geklumpt ist. So konnte durch einen moderaten Ressourceneinsatz eine große Stichprobe erreicht wer- den. Gleichzeitig kann es dadurch zur Verzerrung der Ergebnisse kommen, da das Begriffsverständnis der Lernenden durch den Mathematikunterricht, der im Klassen- verband erfolgt, geprägt ist. Um dieser Schwierigkeit zu begegnen, wurden 24 Klas- sen aus drei verschiedenen Schulen und in unterschiedlichen Bundesländern unter- sucht. Eine gewisse Verzerrung aufgrund der Unterrichtsvariablen (bspw. Lehrkraft, Schulbuch) kann dennoch nicht vollständig ausgeschlossen werden. Darüber hinaus könnten die Antworten der Schülerinnen und Schüler auch durch andere individuelle Faktoren als das Begriffsverständnis (bspw. Intelligenz, sprachliche Ausdrucksfähig- keit) beeinﬂusst sein. Da diese explorative Studie das Ziel verfolgte, Einblicke in das Verständnis ausgewählter Begriffe von Grundschülerinnen und Grundschülern zu geben und keine Kausalzusammenhänge untersucht, wurde von einer Kontrolle dieser Variablen abgesehen. Aufgrund der geklumpten Stichprobe und der fehlenden Kontrolle dieser Variablen sind die Ergebnisse diese Studie zwar nicht verallgemei- nerbar, geben aber dennoch detaillierte Einblicke in das Verständnis der ebenen Figurenbegriffe Viereck, Rechteck und Quadrat. Um das Verständnis der Begriffe Viereck, Rechteck und Quadrat in verschiedenen Klassenstufen zu erfassen, wurden standardisierte Items entwickelt. Dieser quantita- tive Zugang hat den Vorteil, dass Unterschiede zwischen den Klassenstufen auf einer allgemeinen Ebene sichtbar werden. Da die drei Indikatoren Begriffsumfang, -in- halt und -netz aus theoretischer Perspektive voneinander abhängen und verschiedene Items mit unterschiedlichen individuellen Begriffskonzepten richtig gelöst werden können, wurden in dieser Studie zunächst Einzelitems und keine Skalen betrachtet. Dabei bleiben mögliche Zusammenhänge zwischen den Items allerdings unberück- sichtigt. Die entwickelten Testitems erwiesen sich in Vorstudien größtenteils als geeignet zur Erfassung des Verständnisses der drei Begriffe. Einzig die geschlossenen Items zur Erfassung des Eigenschaftswissen in Bezug auf die Seiten zeigen auch in der Pi- lotierung noch Schwierigkeiten und wurden für die Hauptstudie erneut überarbeitet. Deskriptive Analysen mit den Daten der Hauptstudie ergeben, dass für alle drei Figu- ren die Antwortmöglichkeit ,Alle Seiten sind gleich lang‘ am häuﬁgsten ausgewählt wurde (Ausnahme: Rechteck Klassenstufe 1, hier tritt die Antwortoption ,weiß ich nicht‘ ebenso häuﬁg auf). Gleichzeitig stimmen der Antwortoption ,Je zwei Seiten sind gleich lang‘ prozentual die meisten Lernenden bei der Figur Rechteck zu und der Antwortoption ,Das ist egal‘ bei der Figur Viereck. Dies deutet daraufhin, dass diese Antworten von einem Teil der Lernenden als richtige Option erkannt werden. K 610 J. Bruns et al. Dass ca. 20 % der Lernenden (überwiegend aus den Klassenstufen 1/2) für die Figu- ren Rechteck und Quadrat die Antwortoption ,weiß ich nicht‘ wählen, deutet darauf hin, dass diese Antwortoption genutzt wird, statt zu raten. Unklar bleibt jedoch, ob die geringe Lösungsquote des Items für den Begriff Rechteck (ca. 20 %), auf fehlen- des Wissen oder die komplexe Formulierung der richtigen Antwort zurückzuführen ist. Mittelwertunterschiede zugunsten der Kinder, die angeben, eine weitere Sprache als Deutsch zu sprechen, sprechen eher dafür, dass das Item das Wissen der Kinder und nicht sprachliche Fähigkeiten misst. Zusammenfassend wird daher zunächst da- von ausgegangen, dass sich die Items mit Blick auf das Wissen der Lernenden zu den Seiteneigenschaften valide interpretieren lassen. Zusammengenommen zeigt die kritische Auseinandersetzung mit dem methodi- schen Vorgehen in dieser Studie einerseits Grenzen im Hinblick auf die Verallge- meinerbarkeit der Ergebnisse und andererseits weiteren Forschungsbedarf mit Blick auf die eingesetzten Instrumente auf. 9.2 Diskussion der Ergebnisse Trotz der angeführten Limitationen geben die dargestellten Ergebnisse detaillierte und bisher für den deutschsprachigen Raum nicht berichtete Einblicke in das Ver- ständnis der Begriffe Viereck, Rechteck und Quadrat in der Primarstufe, die erste Hypothesen über deren individuelle Begriffskonzepte zulässt und dadurch speziﬁ- sche Auffälligkeiten in Begriffsbildungsprozessen offenbart. 9.2.1 Diskussion der Ergebnisse zum Begriff Viereck Für den Begriff Viereck zeigt sich sowohl in den Lösungsquoten der Items zum Begriffsumfang als auch zum Begriffsinhalt ein qualitativer Sprung zwischen den Klassenstufen 2 und 3. Bezüglich des Begriffsinhalts ist bemerkenswert, dass eher jüngere Kinder Deﬁnitionen des Begriffs angeben, die dem formal-logischen Be- griffskonzept nahe kommen, während in allen anderen Items zum Begriffsinhalt die Lernenden der Klassenstufen 3 besser abschneiden als die der Klassenstufe 2. Die Ergebnisse weisen darauf hin, dass die Lernenden der Klassenstufen 3/4 zwar stärker die deﬁnierenden Eigenschaften des Begriffs Viereck fokussieren, die indi- viduellen Begriffskonzepte aber gleichzeitig prototypisch (Medin und Smith 1984; Rosch 1978) geprägt sein könnten. Weitere Anhaltspunkte für ein prototypisch geprägtes Verständnis des Begriffs Viereck zeigen sich in den Ergebnissen zum Begriffsumfang: Typische Repräsen- tanten (in diesem Fall Quadrate) werden häuﬁger korrekt identiﬁziert als untypische Repräsentanten. Dabei zeigen sich bezüglich der untypischen Repräsentanten Un- terschiede zugunsten der höheren Klassenstufen. Im Einklang mit den Ergebnissen vorheriger Studien (Grassmann et al. 2002; Höglinger und Senftleben 1997; Ree- mer und Eichler 2005; Unterhauser 2020) zeigt sich auch in dieser Studie, dass das Rechteck mindestens in den Klassenstufen 1 und 2 kein prototypisches Viereck ist. In der Verknüpfung der Ergebnisse zum Begriffsinhalt und Begriffsumfang ﬁnden sich Hinweise auf ein gleichzeitiges eigenschaftsbezogenes und ganzheitliches Ver- ständnis (s. Abschn. 4): So wird das ,konkave Viereck‘ als untypischer Repräsentant K Geometrisches Begriffsverständnis in der Grundschule 611 des Begriffs Viereck in allen Klassenstufen im reinen Identiﬁkations-Item deutlich seltener als Repräsentant ausgewählt als in dem entsprechenden Begründungs-Item. Daraus kann geschlossen werden, dass die Schülerinnen und Schüler – bei geeig- neter Aufgabenstellung (Battista 2007; Clements et al. 1999; Fuys et al. 1988)– diesen untypischen Repräsentanten als Viereck akzeptieren und ihre Identiﬁkation auch anhand von Eigenschaften richtig begründen, obwohl sie die Figur zunächst nicht als Repräsentant akzeptieren. Daraus kann vorsichtig gefolgert werden, dass Lernende nicht entweder ein eigenschaftsbezogenes oder ein ganzheitliches Ver- ständnis des Begriffs Viereck ausgebildet haben, sondern beide Verständnisweisen parallel auftreten. 9.2.2 Diskussion der Ergebnisse zum Begriff Rechteck Für den Begriff Rechteck zeigen sich vergleichsweise geringe Unterschiede zwi- schen den Klassenstufen. Hinsichtlich des Begriffsinhalts zeigt sich ähnlich zu vor- hergehenden Studien (Aktas¸ Arnas und Aslan 2010; Clements et al. 1999; Reemer und Eichler 2005) eine starke prototypische Prägung der Erklärungen in allen Klas- senstufen. Auffällig ist in allen Items zum Begriffsinhalt, dass die Lernenden den Winkeleigenschaften wenig Bedeutung beimessen und, wie auch in vorangegange- nen Studien gezeigt, vor allem die Seitenverhältnisse betrachten (Aktas¸ Arnas und Aslan 2010; Burger und Shaughnessy 1986; Clements et al. 1999; Maier 2019; Žilková und Kopáco ˇ vá 2018). Hinsichtlich des Begriffsumfangs gilt, dass Nicht-Repräsentanten, die größtenteils die Eigenschaft der Parallelität der Seitenpaare verletzen, sowie typische Repräsen- tanten in allen Klassenstufen sehr häuﬁg korrekt identiﬁziert werden; Quadrate als untypische Repräsentanten dagegen nur sehr selten. Im Widerspruch zu bisherigen empirischen Ergebnissen (Aktas¸ Arnas und Aslan 2010; Aslan und AktasA ¸ rnas 2007; Clements et al. 1999; Maier 2019; Unterhauser 2020) zeigt sich sowohl ein Einﬂuss der Orientierung parallel zum Blattrand als auch der konkreten Form der Figur auf die Lösungsrate, da sich in den Klassenstufen 1, 2 und 4 bei der Figur ,Rechteck auf der Spitze‘ und für die Klassenstufe 1–4 bei der Figur ,schmales Rechteck‘ niedrigere Lösungsraten zeigen als bei der Figur ,prototypisches Recht- eck‘. Unterschiede zwischen den Klassenstufen ergeben sich nur bei fünf Figuren – zwei davon sind untypische Repräsentanten, zwei untypische Nicht-Repräsentanten. Im Vergleich fällt auf, dass die Figur ,offene Seite‘ häuﬁg fälschlicherweise als Repräsentant des Begriffs Rechteck ausgewählt wird, obwohl diese Figur selten als Repräsentant des Begriffs Viereck gewählt wird. Dies könnte die These stützen, dass die Schülerinnen und Schüler die Figur – zumindest bis in die dritte Klasse – eher ganzheitlich betrachten und daher als Rechteck identiﬁzieren. Insgesamt deuten die Daten im Einklang mit der prototypischen Theorie (Medin und Smith 1984;Rosch 1978) darauf hin, dass individuelle Begriffskonzepte der Lernenden zum Begriff Rechteck in allen Klassenstufen eher prototypisch geprägt sind. Hinweise für eine Weiterentwicklung dieser individuellen Begriffskonzepte im Sinne der Stufenmodelle (van Hiele 1986; Vollrath 1984; Winter 1983) zeigen die Daten nur an vereinzelten Stellen. Bspw. wird das Item zu den Seiteneigenschaf- ten in der dritten Klassenstufe (nicht jedoch in Klassenstufe 4) häuﬁger korrekt K 612 J. Bruns et al. gelöst und untypische Repräsentanten sowie einzelne untypische Nicht-Repräsen- tanten in höheren Klassenstufen häuﬁger korrekt identiﬁziert. Die Tatsache, dass für den Begriff Rechteck deﬁnierende Eigenschaftsbegriffe (bspw. rechtwinklig) erst in den Klassenstufen 3 bzw. 4 thematisiert werden (Niedersächsisches Kultusministe- rium 2017), der Begriff Rechteck nach eigenen Analysen in vielen Schulbüchern jedoch bereits ab Klassenstufe 1 – meist in prototypischer Darstellung – verwendet wird, könnte hinderlich für die Entwicklung eines umfassenden Verständnisses des Begriffs Rechteck sein. 9.2.3 Diskussion der Ergebnisse zum Begriff Quadrat In der Aufgabe zum Begriffsumfang zeigen sich vergleichsweise niedrige Lösungs- quoten für die Repräsentanten des Begriffs Quadrat. Dies widerspricht bisherigen Ergebnissen, die für den Begriff Quadrat in der Regel höhere Lösungsraten zeigen als für den Begriff Rechteck (Aktas¸ Arnas und Aslan 2010; Aslan und AktasA ¸ rnas 2007; Clements et al. 1999; Kyriakides 1999; Reemer und Eichler 2005). Dabei fällt auf, dass die Orientierung parallel zum Blattrand der Figur ebenfalls entgegen bisheriger empirischer Ergebnisse (Aktas¸ Arnas und Aslan 2010; Aslan und Aktas¸ Arnas 2007; Burger und Shaughnessy 1986; Clements et al. 1999; Fuys et al. 1988; Hannibal 1999;Yin 2003) keinen Einﬂuss auf die Lösungsrate zu haben scheint, da die Lösungsraten für die Figur ,Quadrat auf der Spitze‘ jeweils nur knapp unter de- nen der Figur ,prototypisches Quadrat‘ liegen; die Größe der Figur dagegen schon (Lösungsraten für Figur ,kleines Quadrat‘ liegen deutlich unter denen der Figur ,prototypisches Quadrat‘). Insgesamt unterscheidet sich die Klassenstufe 4 in den Lösungsraten der Items zum Begriffsumfang am grundsätzlichsten von den übrigen Klassenstufen, jedoch ergibt sich kein einheitliches Bild: Beispielsweise wählen Ler- nende der 4. Klassenstufe einzelne untypische Nicht-Repräsentanten seltener (bspw. ,abgerundete Ecken‘), aber häuﬁger fälschlicherweise Rechtecke als Repräsentan- ten des Begriffs Quadrat aus. Die Ursache dafür könnte in einem beginnenden, aber noch nicht gefestigten Verständnis der Klasseninklusion liegen, welches dazu führen könnte, dass auch Rechtecke fälschlicherweise als Quadrate betrachtet werden. Für das Verständnis des Begriffsinhalts zeigen sich bedeutsame Unterschiede zwischen den Klassenstufen, insbesondere zwischen den Klassenstufen 2 und 3/4, wobei die Schülerinnen und Schüler in den Klassenstufen 3/4 höhere Lösungsraten zeigen. Gleichzeitig geben jedoch viele Lernende der Klassenstufen 3/4 unvollstän- dige Deﬁnitionen an, die nur die Seiteneigenschaften des Begriffs berücksichtigen. Zusammenfassend kann vermutet werden, dass – ähnlich zu dem Begriff Recht- eck – bei vielen Schülerinnen und Schülern insbesondere in den Klassenstufen 3/4 sowohl ein eigenschaftsbezogenes als auch ein prototypisches Verständnis des Be- griffs Quadrat vorherrscht. Die vorliegenden Daten lassen dabei teilweise vermuten, dass die individuellen Begriffskonzepte zu dem Begriff Quadrat über lange Zeit stark prototypisch geprägt sind (Fujita 2012). Gleichzeitig ergeben sich Hinweise darauf, dass sich prototypisches und eigenschaftsbezogenes Verständnis zeitlich versetzt ent- wickeln könnte. Dies zeigt sich bspw. in den Ergebnissen des Identiﬁkations- und Begründungsitems zur Figur ,kleines Quadrat‘: Während Schülerinnen und Schüler der Klassenstufe 1 und 2 das Item zur begründeten Identiﬁkation deutlich seltener K Geometrisches Begriffsverständnis in der Grundschule 613 korrekt lösen, also seltener korrekte Identiﬁkationen mit korrekten Begründungen stützen, nähern sich die Lösungsraten der beiden Items in den Klassenstufen 3 und 4 an. 9.2.4 Diskussion der Ergebnisse zum Begriffsnetz Mit Blick auf die Klasseninklusion zeigt sich ein heterogenes Bild: Während die Inklusion der Begriffe Viereck – Rechteck mehr als einem Drittel der Schülerinnen und Schüler der Klassenstufe 4 gelingt, scheint die Inklusion der Begriffe Recht- eck – Quadrat für Lernende aller Klassenstufen eine große Herausforderung zu sein. Dieses Bild deckt sich mit den Ergebnissen vorheriger Studien ebenso wie mit den Erkenntnissen dieser Studie, die in den Aufgaben zum Begriffsumfang gewonnen wurden. Erkenntnisse zum Begriffsumfang zeigen, dass Kinder den Begriff Viereck partitional klassiﬁzieren (Grassmann et al. 2002; Höglinger und Senftleben 1997, Unterhauser 2020) und vor allem die Begriffe Quadrat und Rechteck als voneinander getrennt ansehen (Burger und Shaughnessy 1986; Clements et al. 1999; Fuys et al. 1988;Heinze 2002a, b; Höglinger und Senftleben 1997; Koleza und Giannisi 2013; Maier 2019; Reemer und Eichler 2005; Vinner und Hershkowitz 1980;Yin 2003). Zusätzlich lassen die gefundenen individuellen Begriffskonzepte der Lernenden zu den einzelnen Begriffen Viereck, Rechteck und Quadrat auch gewisse Hürden für den Aufbau eines klasseninklusiven Begriffsverständnisses erkennen: Lernende neh- men zwar im Verlauf der Grundschulzeit Figuren stärker eigenschaftsbezogen wahr (bspw. die Seiteneigenschaften des Rechtecks), legen dabei die prototypische Prä- gung aber nicht vollständig ab (bspw. Figur ,offene Seite‘ wird weiter als Rechteck identiﬁziert). Dies kann dazu führen, dass Lernende Figuren zwar nicht mehr (aus- schließlich) ganzheitlich betrachten, jedoch nicht-deﬁnierende Eigenschaften (bspw. ein Rechteck hat zwei lange und zwei kurze Seiten) in ihre individuellen Begriffs- konzepte integrieren, wie es auch Fujita und Jones (2007) für ältere Schülerinnen und Schüler beschreiben. Diese Vorstellung ist hinderlich für ein Verständnis der Klasseninklusion Quadrat – Rechteck. 9.2.5 Schlussfolgerungen aus den Ergebnissen Die Ergebnisse der vorliegenden Studie geben Hinweise darauf, dass sich die indi- viduellen Begriffskonzepte von Lernenden zu den Begriffen Viereck, Rechteck und Quadrat bereits im Laufe der Grundschulzeit als eigenschaftsbezogen, aber proto- typisch geprägt erweisen. Darin könnten Schwierigkeiten im Begriffsverständnis in der Sekundarstufe begründet sein, wie bereits in vorherigen Studien vermutet wurde (Fujita 2012;Guncaga ˇ und Žilková 2019) und sich auch in Studien zu geometrischen Körpern zeigt (Wöller 2020). Diese Ergebnisse könnten die These stützten, dass Kinder gleichzeitig über unter- schiedliche Arten, Begriffe zu verstehen, verfügen, die miteinander konkurrieren und im Sinne überlappender Wellen interagieren (Chen und Siegler 2000, s. Abschn. 4). Alternativ könnten die Ergebnisse einen U-förmigen Entwicklungsverlauf nahele- gen (Strauss 1982;Siegler 2004). Dabei wird u. a. davon ausgegangen, dass Lernen- de bei der Entwicklung neuer, systematischer Ansätze zur Lösung von Problemen K 614 J. Bruns et al. diesem Ansatz Vorrang einräumen und dadurch Rückschritte in ihrer Leistung in Bezug auf speziﬁsche Probleme zeigen (bspw. Siegler 2004). Übertragen auf das Begriffsverständnis der Begriffe Viereck, Rechteck und Quadrat könnte das stärker eigenschaftsbezogene Verständnis der Figuren im Laufe der Grundschulzeit dazu führen, nicht nur deﬁnierende, sondern auch charakteristische Eigenschaft als not- wendig für einen Begriff zu betrachten. Dies würde wiederrum zu weniger korrekten Identiﬁkationen von insbesondere untypischen (Nicht-)Repräsentanten bzw. stärker prototypisch geprägten Erklärung des Begriffs führen. Anders als bei dem Modell der überlappenden Wellen würde das Modell der U-förmigen Entwicklung dabei von einer Weiterentwicklung des Begriffsverständnisses ausgehen und nicht von ei- nem Fortbestehen vorheriger Lösungsansätze. Weitere Forschung ist notwendig, um zu untersuchen, wann und warum sich prototypisch geprägte individuelle Begriffs- konzepte ausbilden und wie der Übergang zu einer stärker eigenschaftsbezogenen Wahrnehmung der ebenen Figuren im Laufe der Grundschulzeit genutzt werden kann, um die prototypische Sichtweise abzulegen bzw. ihr vorzubeugen. Darüber hinaus stellt sich aus didaktischer Perspektive die Frage, welche Bedin- gungen bereits im Elementarbereich bzw. im Geometrieunterricht der Grundschule dazu führen, dass Lernende ein prototypisches Verständnis der Begriffe entwickeln. Als mögliche Hürde wurde die versetzte Einführung der Begriffe Viereck, Rechteck und Quadrat und der Eigenschaftsbegriffe rechtwinklig und parallel ausgemacht, die Lehrkräfte dazu verleiten kann, diese Eigenschaften der Figuren in der Klassen- stufe 1/2 nicht zu thematisieren – auch wenn dies alltagssprachlich möglich wäre (Bartolini Bussi und Baccaglini-Frank 2015). In vielen Materialien der Grundschule und des Elementarbereichs sind zudem vorwiegend typische Repräsentanten der Be- griffe Rechteck und Quadrat zu ﬁnden, ebenso wie eine partitionale Klassiﬁzierung der beiden Begriffe. Auf Grundlage unserer Studie scheint es wichtig, von Anfang an und im Besonderen im Geometrieunterricht darauf zu achten, dass Lernende einerseits mit typischen und untypischen Repräsentanten und Nicht-Repräsentanten konfrontiert werden und andererseits selbst verschiedene Figuren erzeugen, manipu- lieren und miteinander vergleichen, damit anschlussfähige Begriffsbildungsprozesse ermöglicht werden. K Geometrisches Begriffsverständnis in der Grundschule 615 Anhang Tab. 5 Codierung des Items ,Erklärung des Begriffs Viereck/Rechteck/Quadrat‘ (Begriffsinhalt) Code Codebe- Codebeschreibung Ankerbeispiele Ankerbeispiele Ankerbeispiele Quadrat zeichnung Viereck Rechteck 0Falsche Die Erklärung ist falsch „Ein Viereck ist „Ein Rechteck hat „Ein Quadrat ist fast oder oder enthält nicht alle eine Form, die gerade Linien und wie ein Viereck nur unzu- zur eindeutigen Be- Ecken hat, aber vier Ecken.“ länger.“ rei- stimmung des Begriffs es ist egal, ob es „Es ist lang und „Ein Quadrat ist ein chende notwendigen Eigen- schief steht oder groß!“ bisschen kleiner als das Erklä- schaften ob es gerade Rechteck.“ rung steht.“ „Ein Viereck hat acht Ecken und sechs Platten.“ 1 Alltags- Die Erklärung nimmt „Ein Viereck „Ist wie eine „Ist so wie Fenster.“ beispiel, Bezug auf ein Alltags- sieht so aus wie Schultasche oder „Ein Quadrat sieht so ganz- beispiel, den ganzheit- ein Kissen.“ ein Block.“ aus [Bild von Quadrat heit- lichen Eindruck der „Ein Viereck „Ein Rechteck gezeichnet].“ liche Figur oder umfasst hat vier Ecken, sieht fast aus wie „Ein Quadrat sieht wie Erklä- neben deﬁnierenden die Ecken sind ein Viereck. nur ein kleines Blatt.“ rung, Eigenschaften auch gleich groß.“ dass ein Rechteck Proto- nicht-deﬁnierende Ei- „Ein Viereck hat langgezogen ist.“ typ genschaften, die auf vier gleich lange „Ein Rechteck hat ein prototypisches Ver- Seiten und vier zwei lange Seiten ständnis des Begriffs Ecken.“ und zwei kurze.“ hinweisen 2 Bezug Die Erklärung nimmt „Ein Viereck „Ein Rechteck hat „Ein Quadrat ist ein zu zen- Bezug auf zentrale hat vier Ecken vier zwei Seiten Viereck und hat vier tralen deﬁnierende Eigen- und gibt’s in gleich lang, die Ecken, alles Seiten sind Eigen- schaften des Begriffs. verschiedenen anderen Seiten gleich lang.“ schaf- für den Begriff Viereck Größen und auch gleich lang.“ „Ein Quadrat hat vier ten des ist damit eine eindeu- Formen.“ gleich lange Linien.“ Begriffs tige Bestimmung des „Ein Viereck hat „Ein Quadrat hat vier Begriffs möglich vier Seiten.“ gleiche Ecken.“ „Ein Vireck hat Virecken. Es ist Nicht Rund.“ 3 Vollständige Die Erklärung nimmt „Ein Viereck hat „Ein Rechteck „Ein Quadrat hat vier Deﬁni- Bezug auf zentrale deﬁ- vier Ecken. Die hat gegenüberlie- gleiche Ecken und vier tion nierende Eigenschaften Seiten können gende Seiten. Die gleiche Seiten.“ bzw. des Begriffs, sodass gleich lang Parallelen sind „Ein Quadrat, das ist so Speziﬁ- der Begriff eindeutig sein, aber auch immer gleichlang. wie den Rechteck, aber zierung bestimmt werden kann. unterschiedlich Es hat vier rechte ein bisschen anders, die der Für den Begriff Viereck lang. Seiten Winkel.“ hat die Seiten gleich Eigen- werden die deﬁnie- könne gerade lang.“ schaf- renden Eigenschaften aber auch schräg „Ein Quadrat hat auch ten weiter speziﬁziert sein.“ vier rechte Winkel und auch gleich lange Seiten.“ K 616 J. Bruns et al. Einordnung der Eigenschaften bzgl. Einordnung der Eigenschaften bzgl. Einordnung der Eigenschaften bzgl. des Begriffs Viereck des Begriffs Rechteck des Begriffs Quadrat nicht- nicht- nicht- definierende charakteristische definierende charakteristische definierende charakteristische definierende definierende definierende 1 ‚prototypisches alle Winkel alle 90° 4 Ecken alle alle Seiten gleich 4 Ecken alle - 4 Ecken Quadrat‘ lang alle Seiten gleich 4 Seiten 4 Seiten 4 Seiten lang Orientierung pa- Winkel alle 90° Winkel alle 90° Winkel alle 90° rallel zum Blatt- Orientierung pa- alle Seiten gleich gegenüberlie- alle Seiten gleich rand rallel zum Blatt- lang gende Seiten lang rand gleich lang Orientierung pa- Orientierung pa- rallel zum Blatt- Orientierung pa- rallel zum Blatt- rand rallel zum Blatt- rand rand 2 ‚Rechteck auf alle Winkel alle 90° 4 Ecken alle Seitenlängen 2:1 4 Ecken geschlossene Fi- Orientierung 4 Ecken der Spitze‘ gur nicht parallel Seitenlängen 2:1 4 Seiten Orientierung 4 Seiten 4 Seiten zum Blattrand 4 Ecken nicht parallel Winkel alle 90° Winkel alle 90° Winkel alle 90° Orientierung zum Blattrand nicht parallel 4 Seiten Seitenlängen 2:1 gegenüberlie- zum Blattrand gende Seiten Winkel alle 90° gleich lang gegenüberlie- Seitenlängen 2:1 gende Seiten pa- rallel Verletzt: alle Sei- ten gleich lang 3 ‚prototypisches alle Winkelmaß 4 Ecken geschlossene Fi- Seitenlängen 2:1 4 Ecken geschlossene Fi- Orientierung pa- 4 Ecken gur gur rallel zum Blatt- Parallelogramm‘ Seitenlängen 2:1 4 Seiten Orientierung pa- 4 Seiten 4 Seiten rand 4 Ecken rallel zum Blatt- 4 Ecken Orientierung pa- Seitenlängen 2:1 gegenüberlie- Orientierung pa- rand rallel zum Blatt- 4 Seiten gende Seiten 4 Seiten rallel zum Blatt- Orientierung pa- rand gleich lang rand rallel zum Blatt- gegenüberlie- gegenüberlie- rand gende Seiten pa- Seitenlängen 2:1 gende Seiten pa- rallel rallel Abb. 10 Einordnung der ausgewählten Figuren hinsichtlich ihrer Eigenschaften. Anmerkung: Bei den deﬁnierenden Eigenschaften werden die Eigenschaften aufgelistet, die bei der jeweiligen Identiﬁkationsﬁgur vorhanden sind. Erfüllt eine Figur ,alle‘ deﬁnierenden Eigenschaften, ist sie ein Repräsentant des entsprechenden Begriffs. Für Nicht-Repräsentanten werden ausgewählte verletzte Eigenschaften in der Spalte deﬁnierende Eigenschaften in kursiv festgehalten. Bei den nicht-deﬁnierenden Eigen- schaften werden für diese Studie relevante Eigenschaften gelistet. Fettgedruckte Eigenschaften bzw. verletzte Eigenschaften sind mit Blick auf die charakteristischen Eigenschaften systematisch variiert. Bei den charakteristischen Eigenschaften werden alle charakteristischen Eigenschaften aufgelistet, die bei der jeweiligen Identiﬁka- tionsﬁgur vorhanden sind Geometrisches Begriffsverständnis in der Grundschule 617 Verletzt: Winkel Orientierung pa- Verletzt: Winkel alle 90° rallel zum Blatt- alle 90°, alle Sei- rand ten gleich lang 4 ‚Trapez auf der alle Winkelmaß 4 Ecken geschlossene Fi- Orientierung 4 Ecken geschlossene Fi- Orientierung 4 Ecken Spitze‘ gur nicht parallel gur nicht parallel Seitenlänge 4 Seiten 4 Seiten 4 Seiten zum Blattrand zum Blattrand 4 Ecken 4 Ecken Orientierung nicht parallel 4 Seiten 4 Seiten zum Blattrand Verletzt: Winkel Verletzt: Winkel alle 90° alle 90°, alle Sei- ten gleich lang 5 ‚Quadrat auf der alle Winkel alle 90° 4 Ecken alle alle Seiten gleich 4Ecken alle Orientierung 4 Ecken Spitze‘ lang nicht parallel alle Seiten gleich 4 Seiten 4 Seiten 4 Seiten zum Blattrand lang Orientierung Winkel alle 90° Winkel alle 90° Winkel alle 90° nicht parallel Orientierung alle Seiten gleich gegenüberlie- alle Seiten gleich zum Blattrand nicht parallel lang gende Seiten lang zum Blattrand gleich lang 6 ‚langgezogene alle Winkelmaß 4 Ecken geschlossene Fi- Orientierung 4 Ecken geschlossene Fi- Orientierung 4 Ecken Raute‘ gur nicht parallel gur nicht parallel alle Seiten gleich 4 Seiten° 4 Seiten 4 Seiten zum Blattrand zum Blattrand lang 4 Ecken 4 Ecken alle Seiten gleich gegenüberlie- alle Seiten gleich Orientierung lang 4 Seiten gende Seiten 4 Seiten lang nicht parallel gleich lang gegenüberlie- gegenüberlie- zum Blattrand gende Seiten pa- gende Seiten pa- rallel rallel Verletzt: Winkel alle Seiten gleich alle 90° lang Verletzt: Winkel alle 90° 7 ‚gebogene Seiten‘ geschlossene Fi- Orientierung pa- 4 Ecken geschlossene Fi- Orientierung pa- 4 Ecken geschlossene Fi- Orientierung pa- 4 Ecken gur rallel zum Blatt- gur rallel zum Blatt- gur rallel zum Blatt- Orientierung pa- Orientierung pa- Orientierung pa- rand rand rand 4 Ecken rallel zum Blatt- 4 Ecken rallel zum Blatt- 4 Ecken rallel zum Blatt- rand rand rand Verletzt: 4 Seiten Verletzt: 4 Seiten Verletzt: 4 Seiten Abb. 10 (Fortsetzung) 618 J. Bruns et al. 8 ‚schmales Recht- alle Winkel alle 90° 4 Ecken alle Seitenlänge 4 Ecken geschlossene Fi- Orientierung 4 Ecken eck‘ nicht 2:1 gur nicht parallel Seitenlänge 4 Seiten 4 Seiten 4 Seiten zum Blattrand nicht 2:1 Orientierung 4 Ecken Winkel alle 90° Winkel alle 90° Winkel alle 90° nicht parallel gegenüberlie- 4 Seiten gegenüberlie- zum Blattrand gende Seiten pa- gende Seiten Winkel alle 90° rallel gleich lang gegenüberlie- Orientierung Orientierung gende Seiten pa- nicht parallel nicht parallel rallel zum Blattrand zum Blattrand Verletzt: alle Sei- ten gleich lang geschlossene Fi- alle Seiten gleich 4 Seiten geschlossene Fi- alle Seiten gleich 4 Seiten geschlossene Fi- Orientierung pa- 4 Seiten 9 ‚abgerundete Ecken‘ gur lang gur lang gur rallel zum Blatt- alle Seiten gleich gegenüberlie- alle Seiten gleich rand 4 Seiten Orientierung pa- lang 4 Seiten Orientierung pa- gende Seiten 4 Seiten lang rallel zum Blatt- rallel zum Blatt- gleich lang Orientierung pa- Verletzt: 4 Ecken gegenüberlie- Orientierung pa- Verletzt: 4 Ecken rand rand rallel zum Blatt- Orientierung pa- gende Seiten pa- rallel zum Blatt- rand rallel zum Blatt- rallel rand rand alle Seiten gleich lang Verletzt: 4 Ecken geschlossene Fi- - - geschlossene Fi- - - geschlossene Fi- -- 10 ‚Stern‘ gur gur gur Verletzt: 4 Ecken Verletzt: 4 Ecken Verletzt: 4 Ecken bzw. Seiten bzw. Seiten bzw. Seiten 11 ‚konkaves Vier- alle Winkelmaß 4 Ecken geschlossene Fi- Orientierung 4 Ecken geschlossene Fi- Orientierung 4 Ecken eck‘ gur nicht parallel gur nicht parallel Seitenlänge 4 Seiten 4 Seiten 4 Seiten zum Blattrand zum Blattrand 4 Ecken 4 Ecken Orientierung nicht parallel 4 Seiten 4 Seiten zum Blattrand Verletzt: Winkel Verletzt: Winkel Lage der Diago- alle 90° alle 90°, alle Sei- nalen ten gleich lang Abb. 10 (Fortsetzung) Geometrisches Begriffsverständnis in der Grundschule 619 alle Winkel alle 90° 4 Ecken alle Seitenlängen 2:1 4 Ecken geschlossene Fi- Orientierung pa- 4 Ecken 12 ‚prototypisches Rechteck‘ gur rallel zum Blatt- Seitenlänge 2:1 4 Seiten Orientierung pa- 4 Seiten 4 Seiten rand rallel zum Blatt- 4 Ecken Orientierung pa- Winkel alle 90° Winkel alle 90° Winkel alle 90° rand rallel zum Blatt- 4 Seiten Seitenlängen 2:1 gegenüberlie- Orientierung pa- rand gende Seiten Winkel alle 90° rallel zum Blatt- Orientierung pa- gleich lang rand rallel zum Blatt- gegenüberlie- rand Seitenlängen 2:1 gende Seiten pa- rallel Orientierung pa- rallel zum Blatt- Verletzt: alle Sei- rand ten gleich lang 13 ‚Fünfeck‘ geschlossene Fi- Orientierung pa- Orientierung pa- geschlossene Fi- Orientierung pa- Orientierung pa- geschlossene Fi- Orientierung pa- Orientierung pa- gur rallel zum Blatt- rallel zum Blatt- gur rallel zum Blatt- rallel zum Blatt- gur rallel zum Blatt- rallel zum Blatt- rand rand rand rand rand rand Verletzt: 4 Ecken Verletzt: 4 Ecken Verletzt: 4 Ecken bzw. Seiten bzw. Seiten bzw. Seiten alle Winkel alle 90° 4 Ecken alle 4 Ecken alle Orientierung pa- 4 Ecken 14 ‚kleines Quad- alle Seiten gleich rat‘ lang rallel zum Blatt- alle Seiten gleich 4 Seiten 4 Seiten 4 Seiten rand lang Orientierung pa- Winkel alle 90° Winkel alle 90° Winkel alle 90° rallel zum Blatt- Gesamtgröße Orientierung pa- alle Seiten gleich gegenüberlie- 4 gleich lange rand rallel zum Blatt- lang gende Seiten Seiten rand Gesamtgröße gleich lang Orientierung pa- Orientierung pa- Gesamtgröße rallel zum Blatt- Orientierung pa- rallel zum Blatt- rand rallel zum Blatt- rand rand 15 ‚unregelmäßi- alle Winkelmaß 4 Ecken geschlossene Fi- Orientierung pa- 4 Ecken geschlossene Fi- Orientierung pa- 4 Ecken ges Viereck‘ gur rallel zum Blatt- gur rallel zum Blatt- Seitenlänge 4 Seiten 4 Seiten 4 Seiten rand rand 4 Ecken 4 Ecken Orientierung pa- Orientierung pa- Orientierung pa- Orientierung pa- rallel zum Blatt- rallel zum Blatt- 4 Seiten rallel zum Blatt- 4 Seiten rallel zum Blatt- rand rand rand rand Verletzt: Winkel Verletzt: Winkel alle 90° alle 90°, alle Sei- ten gleich lang Abb. 10 (Fortsetzung) 620 J. Bruns et al. 16 ‚quadratähnli- alle Winkelmaß 4 Ecken geschlossene Fi- Orientierung pa- 4 Ecken geschlossene Fi- Orientierung pa- 4 Ecken che Raute‘ gur rallel zum Blatt- gur rallel zum Blatt- alle Seiten gleich 4 Seiten 4 Seiten 4 Seiten rand rand lang 4 Ecken 4 Ecken alle Seiten gleich gegenüberlie- 4 gleich lange Orientierung pa- lang 4 Seiten gende Seiten 4 Seiten Seiten rallel zum Blatt- gleich lang Orientierung pa- gegenüberlie- gegenüberlie- Orientierung pa- rand rallel zum Blatt- gende Seiten pa- Orientierung pa- gende Seiten pa- rallel zum Blatt- rand rallel rallel zum Blatt- rallel rand rand Verletzt: Winkel alle Seiten gleich alle 90° lang Verletzt: Winkel alle 90° 17 ‚offene Seite‘ 4 Ecken Winkel alle 90° 4 Ecken 4 Ecken Seitenlängen 2:1 4 Ecken 4 Ecken Orientierung pa- 4 Ecken rallel zum Blatt- Verletzt: Ge- Seitenlängen 2:1 Winkel alle 90° gegenüberlie- Orientierung pa- Winkel alle 90° gegenüberlie- 4 Seiten rand schlossene Figur gende Seiten pa- rallel zum Blatt- gende Seiten pa- Orientierung pa- Seitenlängen 2:1 gegenüberlie- Winkel alle 90° rallel rand rallel rallel zum Blatt- gende Seiten Orientierung pa- Orientierung pa- rand Winkel alle 90° gleich lang Winkel alle 90° rallel zum Blatt- rallel zum Blatt- rand Verletzt: Ge- Seitenlängen 2:1 Verletzt: Ge- rand schlossene Figur schlossene Figur, Orientierung pa- alle Seiten gleich rallel zum Blatt- lang rand 18 ‚Drachenvier- alle Winkelmaß 4 Ecken geschlossene Fi- Orientierung 4 Ecken geschlossene Fi- Orientierung 4 Ecken eck‘ gur nicht parallel gur nicht parallel Seitenlänge 4 Seiten 4 Seiten 4 Seiten zum Blattrand zum Blattrand 4 Ecken 4 Ecken Orientierung nicht parallel 4 Seiten 4 Seiten zum Blattrand Verletzt: Winkel Verletzt: Winkel alle 90° alle 90°, alle Sei- ten gleich lang Abb. 10 (Fortsetzung) Geometrisches Begriffsverständnis in der Grundschule 621 Funding Open Access funding enabled and organized by Projekt DEAL. Open Access Dieser Artikel wird unter der Creative Commons Namensnennung 4.0 International Li- zenz veröffentlicht, welche die Nutzung, Vervielfältigung, Bearbeitung, Verbreitung und Wiedergabe in jeglichem Medium und Format erlaubt, sofern Sie den/die ursprünglichen Autor(en) und die Quelle ord- nungsgemäß nennen, einen Link zur Creative Commons Lizenz beifügen und angeben, ob Änderungen vorgenommen wurden. Die in diesem Artikel enthaltenen Bilder und sonstiges Drittmaterial unterliegen ebenfalls der genannten Creative Commons Lizenz, sofern sich aus der Abbildungslegende nichts anderes ergibt. Sofern das betref- fende Material nicht unter der genannten Creative Commons Lizenz steht und die betreffende Handlung nicht nach gesetzlichen Vorschriften erlaubt ist, ist für die oben aufgeführten Weiterverwendungen des Materials die Einwilligung des jeweiligen Rechteinhabers einzuholen. 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Publisher: Springer Journals
Copyright: Copyright © The Author(s) 2021
ISSN: 0173-5322
eISSN: 1869-2699
DOI: 10.1007/s13138-021-00185-4
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Abstract

J Math Didakt (2021) 42:581–623 https://doi.org/10.1007/s13138-021-00185-4 ORIGINALARBEIT/ORIGINAL ARTICLE Geometrisches Begriffsverständnis in der Grundschule am Beispiel der Begriffe Viereck, Rechteck und Quadrat Julia Bruns · Elisabeth Unterhauser · Hedwig Gasteiger Eingegangen: 28. September 2020 / Angenommen: 22. April 2021 / Online publiziert: 9. Juni 2021 © Der/die Autor(en) 2021 Zusammenfassung Zu den ersten geometrischen Begriffen, die Kinder bereits im Elementar- und Primarbereich lernen, zählen u. a. Viereck, Rechteck und Quadrat. Studien zeigen, dass Lernende bereits früh individuelle Vorstellungen, sog. individu- elle Begriffskonzepte, zu diesen Begriffen aufbauen. Zwar wird die Entwicklung von Begriffsverständnis in verschiedenen mathematikdidaktischen Stufenmodellen dar- gestellt, diese sind jedoch generisch und beschreiben nicht explizit die Entwicklung der ersten individuellen Begriffskonzepte von Lernenden zu Viereck, Rechteck und Quadrat. Aus empirischer Sicht liegen verschiedene Studien vor, die einzelne Aspek- te der individuellen Begriffskonzepte von Lernenden unterschiedlicher Altersgrup- pen zu diesen Begriffen ausleuchten. Um Begriffsbildungsprozesse aus empirischer Sicht detaillierter entlang der jeweils vorherrschenden individuellen Begriffskon- zepte zu beschreiben, fehlen insbesondere Studien in der Grundschule, die alle vier Klassenstufen betrachten und dabei differenzierte Erkenntnisse zu verschiedenen theoretischen Indikatoren des Begriffsverständnisses liefern. Daher geht die vorlie- gende Studie der Frage nach, welches Verständnis der Begriffe Viereck, Rechteck und Quadrat Schülerinnen und Schüler der Jahrgangsstufen 1, 2, 3 und 4 zeigen. Da- zu wurde eine Quasi-Längsschnittstudie mit N = 456 Grundschulkindern (ca. 100 pro Jahrgangsstufe) durchgeführt. Die Ergebnisse geben detaillierte Einblicke in die in- dividuellen Begriffskonzepte der Lernenden und zeigen, dass Lernende zunehmend Eigenschaften der Figuren berücksichtigen, jedoch individuelle Begriffskonzepte über lange Zeit auch prototypisch geprägt sind. Implikationen dieser Ergebnisse für Forschung und Praxis werden diskutiert. Julia Bruns () Institut für Mathematik (Mathematikdidaktik), Universität Paderborn, Warburgerstraße 100, 33098 Paderborn, Deutschland E-Mail: julia.bruns@uni-paderborn.de Elisabeth Unterhauser · Hedwig Gasteiger Institut für Mathematik (Mathematikdidaktik), Universität Osnabrück, Osnabrück, Deutschland K 582 J. Bruns et al. Schlüsselwörter Begriffsverständnis · Geometrie · Grundschule · Viereck · Rechteck · Quadrat Understanding of Geometrical Concepts in Elementary School Using the Example of Quadrangle, Rectangle and Square Abstract Among the ﬁrst geometric concepts that children learn in early childhood education and primary school are quadrangle, rectangle and square. Studies show that learners have already built up individual deﬁnitions, so-called personal ﬁgural concepts, for these concepts at an early age. The development of this understand- ing of geometrical concepts is presented in theories that describe different levels. These models are, however, relatively generic and do not describe the personal ﬁgural concepts of learners concerning quadrangle, rectangle and square. From an empirical point of view, there are several studies that shed light on aspects of the personal ﬁgural concepts of learners of different age groups. In order to describe the development of geometrical understanding from an empirical point integrating the personal ﬁgural concepts, however, studies in primary school that consider all four class levels and provide insights into theoretical indicators of conceptual understand- ing are particularly lacking. In a ﬁrst step, the present study therefore pursues the following question: Which understanding of the geometrical concepts ‘quadrangle’, ‘rectangle’ and ‘square’ show primary school students in the classes 1, 2, 3 and 4? A quasi-longitudinal study with N = 456 students (approx. 100 in each class level) was conducted. The results give detailed insights into the personal ﬁgural concepts of the learners and show that learners increasingly consider the characteristics of these concepts, but that personal ﬁgural concepts are also prototypical over a long period of time. Implications for future research and practice are discussed. Keywords Conceptual knowledge · Geometry · Elementary school · Quadrangle · Rectangle · Square 1 Einleitung Kinder lernen bereits im Elementar- und Primarbereich verschiedene geometrische Begriffe kennen; zu den Ersten zählen u. a. Viereck, Rechteck und Quadrat. Studi- en mit Kindern aus dem Elementarbereich und zu Schulbeginn (Aktas¸ Arnas und Aslan 2007; Grassmann et al. 2002; Höglinger und Senftleben 1997; Unterhauser 2020) zeigen, dass Lernende bereits früh individuelle Begriffskonzepte, sog. per- sonal ﬁgural concepts (Fujita und Jones 2007), zu diesen Begriffen aufbauen. Die (Weiter-)Entwicklung dieses Begriffsverständnisses wird innerhalb der Mathematik- didaktik in sog. Stufenmodellen durch qualitative Unterschiede bezüglich verschie- dener Indikatoren beschrieben (van Hiele 1986; Vollrath 1984; Winter 1983). Da es sich jedoch um generische Stufenmodelle zur Begriffsbildung handelt, bleiben diese hinsichtlich individueller Begriffskonzepte der Lernenden zu Vierecksbegriffen eher abstrakt. Fujita und Jones (2007) weisen darauf hin, dass Studien zu individuellen Begriffskonzepten und deren Abweichungen von den formal-logischen Begriffskon- K Geometrisches Begriffsverständnis in der Grundschule 583 zepten (i. O. formal ﬁgural concepts), den mathematisch korrekten Deﬁnitionen, didaktisch von besonderem Interesse sind, da gerade die Abweichungen dazu bei- tragen können, Hypothesen über Begriffsbildungsprozesse zu bilden. Verschiedene empirische Studien untersuchen individuelle Begriffskonzepte zu Viereck, Rechteck und Quadrat von Lernenden unterschiedlicher Altersstufen (Aktas¸ Arnas und Aslan 2010; Fujita 2012; Fuys et al. 1988; Grassmann et al. 2002;Heinze 2002a, b; Hög- linger und Senftleben 1997; Unterhauser 2020). Ergebnisse weisen darauf hin, dass Schülerinnen und Schüler auch in der Sekundarstufe noch Schwierigkeiten mit dem Verständnis dieser Begriffe haben (Burger und Shaughnessy 1986; Fujita 2012; Fuys et al. 1988;Heinze 2002a, b). Gleichzeitig zeigen sich nach umfassender Recherche Forschungslücken bezüglich des Begriffsverständnisses von Viereck, Rechteck und Quadrat in der Primarstufe, insbesondere hinsichtlich Studien, die auf allen Indi- katoren des Begriffsverständnis basieren (s. Abschn. 2). Hier setzt die vorliegende Studie an, mit dem Ziel eine detaillierte Analyse der individuelle Begriffskonzepte vorzunehmen, um Hypothesen zu Begriffsbildungsprozessen zu generieren. 2 Formal-logische Deﬁnition der Begriffe Viereck, Rechteck und Quadrat Für den Begriff Viereck gilt: Beﬁnden sich vier Punkte in allgemeiner Lage, d. h. keine drei Punkte liegen auf derselben Geraden, dann ist ein Viereck ein geschlos- sener Streckenzug, der vier Punkte durch vier Strecken miteinander verbindet. Die Punkte werden als Ecken des Vierecks bezeichnet, die Strecken als Seiten, die ande- ren Verbindungsstrecken als Diagonalen (Wellstein und Kirsche 2009). Auf Basis der Lage der Diagonalen lassen sich Viereckstypen unterscheiden: Bei konvexen Vierecken liegen beide Diagonalen innerhalb, bei konkaven liegt eine der Diago- nalen außerhalb, bei überschlagenen Vierecken liegen beide Diagonalen außerhalb des Vierecks (Kürpig und Niewiadomski 1992). Die Deﬁnition des Begriffs Vier- ecks enthält alle sog. deﬁnierenden Eigenschaften (geschlossen, vier Ecken, vier Seiten), die alle Repräsentanten des Begriffs erfüllen müssen (Begriffsinhalt). Zu- sätzlich weisen Repräsentanten des Begriffs Viereck auch sog. nicht-deﬁnierende Eigenschaften (bspw. Orientierung parallel zum Blattrand, Seitenlänge, Winkelmaß) auf, die aus mathematischer Sicht irrelevant und nicht allen Repräsentanten gemein sind. Aus der formal-logischen Deﬁnition ergibt sich die Menge der Figuren, die als Vierecke beschrieben werden kann (Begriffsumfang). Diese Menge enthält Teil- mengen speziﬁscher Vierecke (bspw. Rechtecke), die wiederum Teilmengen von speziﬁschen Vierecken enthalten können (z. B. Quadrate). Die Beziehung zwischen Gesamt- und Teilmengen ist dadurch hierarchisch und wird als Klasseninklusion be- titelt. Demgegenüber steht eine Betrachtung der Teilmengen als paarweise disjunkt, also als Partitionen der Gesamtmenge. Dieses Verständnis der Beziehung zwischen Gesamtmenge und Teilmengen (z. B. Quadrate, Rechtecke, die keine Quadrate sind) wird partitionale Klassiﬁkation genannt. Es besteht Einigkeit darüber, dass Lernende ein Verständnis der Klasseninklusi- on (bildlich als ,Haus der Vierecke‘ beschrieben) aufbauen sollen (Heinze 2002a), K 584 J. Bruns et al. wobei dies nach unterschiedlichen Kriterien erfolgen kann. Wird ein Haus der Vier- ecke über die Eigenschaften von Seiten und Winkel aufgebaut, ergeben sich für die Begriffe Rechteck und Quadrat folgende Deﬁnitionen: Ein Rechteck ist ein Paral- lelogramm mit vier rechten Winkeln und ein Quadrat ein Rechteck mit vier gleich langen Seiten (Wellstein und Kirsche 2009). Es entsteht ein Begriffsnetz, bei dem der Begriff Viereck mit den wenigsten deﬁnierenden Eigenschaften der Oberbegriff ist. Um Unterbegriffe, wie beispielsweise Rechteck und Quadrat, zu deﬁnieren, kom- men zu den Eigenschaften des Oberbegriffs jeweils begriffsspeziﬁsche deﬁnierende Eigenschaften hinzu. Neben der formal-logischen Deﬁnition geometrischer Begriffe ist aus didakti- scher Perspektive von Interesse, wie Lernende diese Begriffe verstehen. Dazu liegen verschiedene Theorien des Begriffsverständnisses vor. 3 Klassische und prototypische Theorie des Begriffsverständnisses Geometrische Begriffe, darunter auch ebene Figurenbegriffe wie Viereck, Rechteck und Quadrat, sind laut der klassischen Theorie (Hull 1920; Medin und Smith 1984) strukturell durch Begriffsinhalt, -umfang, -wort und -netz deﬁniert. Der Begriffsin- halt beschreibt die deﬁnierenden Eigenschaften. Geometrische Begriffe werden da- durch eindeutig deﬁniert (siehe Abschn. 2). Der Begriffsumfang umfasst alle Objekte, die die deﬁnierenden Eigenschaften eines Begriffs erfüllen, die sog. Repräsentanten des Begriffs (Hischer 2012; Medin und Smith 1984). Das Begriffswort bezeichnet einen Begriff als symbolische Repräsentation in sprachlicher Form. Ein geometri- scher Begriff steht nicht alleine, sondern ist Teil eines hierarchischen Begriffsnetzes aus Ober-, Neben- und Unterbegriffen (Franke und Reinhold 2016). Die klassische Theorie geht davon aus, dass geometrische Begriffe von Lernenden mit Hilfe dieser Indikatoren (Begriffsinhalt, -umfang, -wort und -netz) gespeichert werden. Die prototypische Theorie folgt dagegen der Annahme, dass manche Repräsen- tanten, sog. Prototypen, als ,beste Beispiele‘ eines Begriffs gespeichert werden und folglich schneller als Repräsentanten des Begriffs erkannt werden als andere (Me- din und Smith 1984;Rosch 1978). Prototypische Vorstellungen entwickeln sich auf Grundlage der Erfahrungen zu Begriffen. Dabei werden in der Regel diejenigen Re- präsentanten zu Prototypen, die besonders häuﬁg mit dem Begriff verknüpft werden. Ein Prototyp ist meist durch eine Kombination deﬁnierender, aber auch nicht-deﬁ- nierender Eigenschaften, gekennzeichnet, die man charakteristische Eigenschaften nennt. Ein Prototyp für das Viereck wäre bspw. das Quadrat. Das Quadrat weist alle deﬁnierenden Eigenschaften auf und hat darüber hinaus vier rechte Winkel und gleichlange Seiten als nicht-deﬁnierende Eigenschaften. Charakteristische Ei- genschaften eines Vierecks sind somit vier Ecken bzw. Seiten, gleichlange Seiten sowie (annährend) rechte Winkel. Ausgehend von charakteristischen Eigenschaften kann bestimmt werden, wie typisch (also prototypisch) oder untypisch (also nicht prototypisch) ein Repräsentant ist (Medin und Smith 1984;Rosch 1978;Schmid 2000). In Bezug auf die Entwicklung des Begriffsverständnisses von Lernenden erweisen sich klassische und prototypische Theorien als bedeutsam: Während die klassische K Geometrisches Begriffsverständnis in der Grundschule 585 Theorie Indikatoren des Begriffsverständnisses aufzeigt, verweist die prototypische Theorie auf die Bedeutung der individuellen Sichtweisen von Lernenden, die dazu führen können, dass Lernende charakteristische Eigenschaften – und damit ggf. fälschlicherweise nicht-deﬁnierende – als deﬁnierende Eigenschaften des Begriffs verstehen (bspw. gleich lange Seiten beim Viereck). Im Folgenden werden Modelle zur Entwicklung des Begriffsverständnisses betrachtet, die u. a. diese Aspekte der klassischen und prototypischen Theorie berücksichtigen. 4 Modelle zur Entwicklung des Begriffsverständnisses In Stufenmodellen zur Entwicklung des Begriffsverständnisses, bspw. von van Hie- le (1986), Vollrath (1984) und Winter (1983), werden – basierend auf theoreti- schen Überlegungen zur Begriffsbildung und Erkenntnissen Piagets et al. (1974)– verschiedene Charakteristika geometrischen Begriffsverständnisses ausdifferenziert. Insgesamt lassen sich in den verschiedenen, idealtypischen Modellen fünf inhaltlich ähnliche Stufen identiﬁzieren (van Hiele 1986; Vollrath 1984; Winter 1983); maxi- mal die ersten drei Stufen werden als relevant für die Primarstufe benannt (Franke und Reinhold 2016). Idealtypisch wird auf der ersten Stufe ein Begriff ganzheitlich verstanden (bspw. Vergleiche zu Alltagsobjekten, Prototypen als mentale Bilder). Auf der nächsten Stufe operieren Lernende mit Eigenschaften des Begriffs, wobei die Eigenschaf- ten noch isoliert nebeneinanderstehen. Auf dieser Stufe gewinnt das Verständnis des Begriffsinhalts an Bedeutung. Erst auf der Stufe des relationalen Begriffsver- ständnisses werden Beziehungen sowohl zwischen Eigenschaften als auch zwischen verschiedenen Begriffen hergestellt und es wird ein Begriffsnetz aufgebaut, d. h., ein Verständnis für die Klasseninklusion entwickelt sich (zusammenfassend s. a. Unter- hauser 2020, S. 141 ff.). Entwicklungspsychologische (Siegler 2006) und mathematikdidaktische (Battista 2007) Erkenntnisse zeigen, dass sich verschiedene Arten, geometrisch zu denken (bspw. ganzheitlich vs. eigenschaftsbezogen), zeitlich überlappen. Dabei wird an- genommen, dass Kinder gleichzeitig über unterschiedliche Arten des Denkens bzw. Strategien verfügen, die miteinander konkurrieren und interagieren, und sich kon- tinuierlich verändern (Chen und Siegler 2000). Folglich wird davon ausgegangen, dass das ganzheitliche Denken nicht vom eigenschaftsbezogenen Denken abgelöst wird, sondern die unterschiedlichen Charakteristika geometrischen Denkens – im Sinne überlappender Wellen – parallel verlaufen können, aber auf unterschiedlichen Niveaus (bezeichnet als Wellenmodell). Welche Art des geometrischen Denkens jeweils Vorrang hat, kann aufgaben- bzw. kontextabhängig sein (Battista 2007;Cle- ments et al. 1999; Fuys et al. 1988). Dabei stehen die beiden Modellvorstellungen (Stufen- und Wellenmodell) nicht im Widerspruch zueinander, sondern ergänzen sich: Während Stufenmodelle eher begriffsspeziﬁsch hierarchisch unterschiedliche Charakteristika geometrischen Denkens skizzieren, bedienen sich Wellenmodelle dieser Denkweisen, um die Entwicklung des Begriffsverständnisses individuell zu beschreiben. K 586 J. Bruns et al. Zur Analyse des individuellen Begriffsverständnisses von Lernenden schlagen Fujita und Jones (2007) eine Unterscheidung zwischen formal-logischen Begriffs- konzepten, den Konzepten, die der mathematisch korrekten Deﬁnition eines Figu- renbegriffs folgen, und individuellen Begriffskonzepten, die die individuellen Vor- stellungen der Lernenden beschreiben, vor. Individuelle Begriffskonzepte werden von den Lernenden auf Grundlage ihrer Erfahrungen (bspw. im Geometrieunter- richt) aufgebaut. Demnach kann das individuelle Begriffskonzept zu verschiedenen Vierecken neben den deﬁnierenden Eigenschaften weitere nicht-deﬁnierende Eigen- schaften oder nicht alle deﬁnierenden Eigenschaften umfassen (s. a. Abschn. 3). Indi- viduelle Begriffskonzepte zum Begriff Viereck könnten bspw. ausschließlich Figuren umfassen, die quadratisch sind, zum Begriff Rechteck ausschließlich Rechtecke, die ein Seitenverhältnis von 2:1 aufweisen und zum Begriff Quadrat alle Figuren, die gleich lange Seiten haben. Individuelle Begriffskonzepte beschreiben folglich Krite- rien, die Lernende für den jeweiligen Begriff als bestimmend annehmen, beeinﬂussen also das Verständnis von Begriffsumfang, -inhalt und -netz gleichermaßen. Da die Modellvorstellungen zur Entwicklung des Begriffsverständnisses aufgrund des generischen Anspruchs vergleichsweise abstrakt bleiben, sind die expliziten individuellen Begriffskonzepte zu Viereck, Rechteck und Quadrat in verschiedenen Altersbereichen Gegenstand verschiedener Studien. 5 Forschungsstand zum geometrischen Begriffsverständnis Internationale Studien zum Verständnis ebener Figurenbegriffe untersuchen mehr- heitlich Kinder im Elementarbereich (Aktas¸ Arnas und Aslan 2007;Clementsetal. 1999; Halat und Yesil-Da ¸ gl ˘ ı 2016; Koleza und Giannisi 2013;Levenson et al. 2011; Maier 2019; Unterhauser und Gasteiger 2018; Unterhauser 2020), speziﬁsch zu Schuleintritt (Grassmann 1996;Grassmann etal. 2002; Höglinger und Senftleben 1997; Kyriakides 1999; Reemer und Eichler 2005) oder im Elementar- und Primar- bereich kombiniert (Aktas¸ Arnas und Aslan 2010; Gagatsis et al. 2006;Guncaga ˇ et al. 2017; Žilková und Kopáco ˇ vá 2018). Für den Primarbereich konnten lediglich zwei qualitative Untersuchungen (Burger und Shaughnessy 1986;Lehrer et al. 1998) und eine quantitative (Ma et al. 2015) gefunden werden, die alle vier Klassenstufen berücksichtigen. Darüber hinaus existieren Studien, die das Verständnis ebener Fi- gurenbegriffe von Lernenden in der Sekundarstufe (Burger und Shaughnessy 1986; Fuys et al. 1988; Fujita 2012;Heinze 2002a, b) erfassen. Ein großer Teil der empirischen Studien untersucht die Begriffe Rechteck und Quadrat (bspw. Aktas¸ Arnas und Aslan 2010; Clements et al. 1999; Gagatsis et al. 2006). Der Begriff Viereck wird als Oberbegriff primär in Studien aus dem deutsch- sprachigen Raum untersucht (Grassmann et al. 2002;Heinze 2002a; Höglinger und Senftleben 1997; Reemer und Eichler 2005; Unterhauser 2020, Ausnahme: Ma et al. 2015). Im Folgenden wird zunächst die Figurenauswahl, die in Studien zur Unter- suchung des Begriffsverständnisses zu Viereck, Rechteck und Quadrat häuﬁg ein- gesetzt wurde, näher erläutert, ehe vorliegende empirische Erkenntnisse strukturiert nach den Begriffen sowie Erkenntnisse zum Verständnis der Klasseninklusion dar- gestellt werden. K Geometrisches Begriffsverständnis in der Grundschule 587 5.1 Typische und untypische Repräsentanten bzw. Nicht-Repräsentanten Zur Operationalisierung des Begriffsverständnisses nutzen Studien mit Lernenden im Elementar-, Primar- und Sekundarbereich häuﬁg Aufgaben zum Sortieren, Iden- tiﬁzieren (Begriffsumfang) sowie zum Deﬁnieren bzw. Erklären und Begründen (Begriffsinhalt). Werden Lernende zum Sortieren oder Identiﬁzieren aufgefordert, werden ihnen verschiedene Figuren präsentiert. Aufbauend auf die wiederholt ver- wendete Figurenauswahl von Razel und Eylon (1991) und empirischen Erkenntnis- sen zu Schwierigkeiten von Lernenden konstruierten Aslan und AktasA ¸ rnas(2007) eine in den deﬁnierenden und nicht-deﬁnierenden Eigenschaften systematisch vari- ierte Figurenauswahl, u. a. für die Begriffe Rechteck und Quadrat (vgl. Abb. 1a, b). Für die Repräsentanten des jeweiligen Figurenbegriffs unterscheiden Aslan und AktasA ¸ rnas (2007) – angelehnt an die prototypische Theorie (vgl. Abschn. 2) – typi- sche Repräsentanten (bspw. R3 für den Begriff Rechteck) und untypische Repräsen- tanten (bspw. R5 für den Begriff Rechteck), welche zusätzliche, nicht-deﬁnierende Eigenschaften aufweisen und/oder in der Lage bzw. Größe stark von den typischen Repräsentanten abweichen (bspw. Abb. 1b, S1 vs. S3). Nicht-Repräsentanten des jeweiligen Figurenbegriffs unterscheiden Aslan und AktasA ¸ rnas (2010) ebenfalls in typische (bspw. RD3 für den Begriff Rechteck) und untypische Nicht-Reprä- sentanten (bspw. RD1 für den Begriff Rechteck). Untypische Nicht-Repräsentanten ähneln dabei typischen Repräsentanten aus ganzheitlicher Perspektive, ihnen fehlen allerdings deﬁnierende Eigenschaften, wohingegen typische Nicht-Repräsentanten Abb. 1 Identiﬁkationsﬁguren für die Begriffe Rechteck (a), Quadrat (b) (Aslan und Aktas¸ Arnas 2007, S. 101–103) und Viereck (c)(Unterhauser 2020, S. 270) K 588 J. Bruns et al. aus ganzheitlicher Sicht keine Ähnlichkeit mit typischen Repräsentanten haben und nicht alle deﬁnierenden Eigenschaften aufweisen. Die dargestellte bzw. eine ähnliche Auswahl von Figuren wird in Studien zum Verständnis der Begriffe Rechteck und Quadrat sowohl mit Lernenden im Elementarbereich (Aktas¸ Arnas und Aslan 2007) als auch im Primarbereich (Aktas¸ Arnas und Aslan 2010) genutzt. Eine systematisch variierte Figurenauswahl für den Begriff Viereck konstruierte Unterhauser (2020) in ähnlicher Weise für ihre Studie mit Kindern zwischen vier und sechs Jahren. So zeigt Abb. 1c bspw. ein Quadrat (FV3) als typischen Repräsen- tanten des Begriffs Viereck, eine Raute (FV8) als untypische Repräsentanten und ein Fünfeck (FV4) als Nicht-Repräsentanten. Die Figurenauswahl wurde jedoch bislang nicht für Studien mit Lernenden im Primarbereich erprobt. 5.2 Verständnis des Begriffs Viereck In nahezu allen Studien zum Verständnis des Begriffs Viereck wird eine Stichprobe von Kindern im Elementarbereich bzw. im Übergang zur Grundschule untersucht, nur die Studie von Ma et al. (2015) untersucht ausschließlich Lernende im Primar- bereich. Die Ergebnisse der Studien aus dem Elementarbereich lassen erkennen, dass Er- klärungen der Kinder für den Begriff Viereck sich oft auf die Anzahl der Ecken und/ oder Seiten stützen. Gleichzeitig enthalten die Erklärungen informelle bzw. alltags- sprachliche Elemente (bspw. Vergleiche mit Alltagsobjekten) oder nicht-deﬁnierende Eigenschaften (Reemer und Eichler 2005; Unterhauser 2020). Teilweise stehen die Erklärungen der Begriffe und die getroffenen Identiﬁkationen nicht im Einklang: Kinder geben bspw. an, dass ein Viereck vier Ecken haben muss, akzeptieren aber dennoch lediglich Quadrate als Repräsentanten des Begriffs Viereck (ebd.). Als Repräsentanten des Begriffs Viereck akzeptieren Kinder in erster Linie Qua- drate, obwohl ein geringer Prozentsatz auch Rechtecke identiﬁziert (Grassmann et al. 2002; Höglinger und Senftleben 1997; Reemer und Eichler 2005; Unterhau- ser 2020). Mitunter werden ein prototypisches Quadrat und das Begriffswort ,Qua- drat‘ als Synonym für den Begriff Viereck verstanden (Grassmann 1996; Grassmann et al. 2002; Reemer und Eichler 2005; Unterhauser 2020; Unterhauser und Gasteiger 2018). Insgesamt werden mehr typische als untypische Repräsentanten korrekt iden- tiﬁziert und Nicht-Repräsentanten (bspw. FV12) tendenziell eher fälschlicherweise als Repräsentanten des Begriffs Viereck aufgefasst (Unterhauser 2020). Hinsichtlich des Verständnisses der Eigenschaften des Begriffs Viereck zeigt sich, dass – obwohl nicht-deﬁnierend – bspw. Winkel, Seitenlängen und die Orientierung parallel zum Blattrand der Figur beeinﬂussen, ob eine Figur als Viereck identiﬁziert wird. Lernende in der Primarstufe zeigen vor allem Probleme mit der Identiﬁkation von stumpfwinkligen sowie konkaven Vierecken (Ma et al. 2015). Bei den deﬁ- nierenden Eigenschaften hat die ,Offenheit einer Figur‘ zur Folge, dass eine Figur Aus mathematischer Perspektive handelt es sich bei dem Beispiel FV7 nicht um eine Figur, sondern um einen offenen Polygonzug. Im Folgenden wird dennoch für Objekte dieser Art der Begriff offene Figur bzw. offene Seite verwendet, um zu verdeutlichen, dass das jeweilige Objekt für die Untersuchung ausgewählt wurde, um zu untersuchen, inwieweit die Geschlossenheit des Streckenzugs als Eigenschaft einer (Vierecks-)Figur erkannt wird. K Geometrisches Begriffsverständnis in der Grundschule 589 (bspw. FV7) in der Regel korrekterweise nicht als Repräsentant identiﬁziert wird (ebd.); quadratähnliche Figuren mit abgerundeten ,Ecken‘ (bspw. FV12) werden allerdings eher fälschlicherweise als Repräsentant identiﬁziert als quadratähnliche Figuren mit gebogenen ,Seiten‘ (bspw. FV10) (Unterhauser 2020). Insgesamt zeigt sich jedoch auch, dass Grundschülerinnen und Grundschüler in höheren Klassenstu- fen mehr Figuren zum Begriff Viereck korrekt identiﬁzieren als Kindern in niedri- geren Klassenstufen (Ma et al. 2015). 5.3 Verständnis der Begriffe Rechteck und Quadrat Für die Begriffe Rechteck und Quadrat formulieren Kinder Erklärungen, die neben der Anzahl der Ecken bzw. Seiten auch informelle bzw. alltagssprachliche Informa- tionen beinhalten (Hannibal 1999;Levenson et al. 2011; Maier 2019; Reemer und Eichler 2005). Selbst Schülerinnen und Schüler in der Sekundarstufe I oder darüber hinaus haben Schwierigkeiten, zwischen hinreichenden und notwendigen Bedingun- gen zu unterscheiden und können gleichwertige Deﬁnitionen, zum Beispiel für den Begriff Quadrat, nur schwer als solche erkennen (Burger und Shaughnessy 1986; Fujita 2012;Heinze 2002a). Als Repräsentanten für die Begriffe Rechteck und Quadrat zeichnen Kinder in erster Linie Prototypen: für den Begriff Rechteck ein Rechteck in horizontaler Ori- entierung parallel zum Blattrand mit einem Seitenverhältnis von etwa 2:1 und für den Begriff Quadrat ein Quadrat parallel zum Blattrand (Halat und Yesil-Da ¸ gl ˘ ı 2016; Kyriakides 1999). Ergebnisse bisheriger Studien mit Kindern im Elementarbereich zeigen bei Aufgaben zum Identiﬁzieren ohne untypische Nicht-Repräsentanten für die Begriffe Rechteck und Quadrat mit ca. 75–85 % hohe Identiﬁkationsraten, wobei für den Begriff Quadrat in der Regel mehr korrekte Identiﬁkationen getroffen wer- den (Clements et al. 1999; Kyriakides 1999; Reemer und Eichler 2005). Insgesamt treffen Schülerinnen und Schüler der Klasse 4 im Vergleich zu Kindern im Ele- mentarbereich für die Begriffe Rechteck (bspw. 91 % Klasse 4 vs. 58 % 4-Jährige) und Quadrat (bspw. 91 % Klasse 4 vs. 81 % 4-Jährige) mehr korrekte Identiﬁkationen (bspw. Aktas¸ Arnas und Aslan 2010). Allerdings sind die Unterschiede zwischen den Altersgruppen nicht durchweg signiﬁkant, was mitunter daran liegt, dass jüngere Kinder auch untypische Repräsentanten (bspw. Abb. 1, S4) häuﬁger als Repräsen- tanten akzeptieren als ältere Kinder (Aktas¸ Arnas und Aslan 2010; Žilková und Kopáco ˇ vá 2018). Sowohl für den Begriff Rechteck als auch den Begriff Quadrat werden bei den vorliegenden Studien mit Kindern im Elementarbereich untypische Nicht-Repräsentanten (bspw. Abb. 1, RD1) weniger häuﬁg korrekt identiﬁziert als typische Nicht-Repräsentanten (bspw. Abb. 1, RD5) (Aslan und AktasA ¸ rnas 2007; Maier 2019). Aus mathematischer Perspektive handelt es sich weder bei Beispiel FV12 noch FV10 um Polygone, da diese Objekte aus mathematischer Perspektive keine Ecken bzw. Seiten besitzen. Im Folgenden werden für Objekte dieser Art dennoch die Begriffe ,Ecke‘ bzw. ,Seite‘ genutzt, um zu verdeutlichen, dass das jeweilige Objekt für die Untersuchung ausgewählt wurde, um zu untersuchen, inwieweit die Begriffe Ecke bzw. Seite bereits mathematisch korrekt verstanden werden. K 590 J. Bruns et al. Hinsichtlich der Rolle von nicht-deﬁnierenden Eigenschaften bei der Identiﬁka- tion von Repräsentanten zeigt sich für den Begriff Rechteck, dass die Orientierung parallel zum Blattrand einer Figur wenig Einﬂuss auf die korrekte Identiﬁkations- entscheidung hat (ebd.). Für den Begriff Quadrat scheint die Orientierung parallel zum Blattrand dagegen eine Rolle zu spielen: Steht ein Quadrat auf der Ecke, fällt die Identiﬁkationsrate von 90 % (,Normalorientierung parallel zum Blattrand‘) auf 60 bis 70 %, nicht nur in Studien mit Kindern aus dem Elementarbereich (Ele- mentarbereich: Aslan und AktasA ¸ rnas 2007; Clements et al. 1999; Halat und Yesil- ¸ Dagl ˘ ı 2016; Maier 2019; Elementar- und Primarbereich: Guncaga ˇ und Žilková 2019; Primarbereich: Burger und Shaughnessy 1986;Yin 2003). Die Größe eines Reprä- sentanten hat hingegen kaum Einﬂuss auf die Identiﬁkationsrate (Aktas¸ Arnas und Aslan 2010; Clements et al. 1999), außer die Figurenauswahl ist sehr eingeschränkt (Halat und Yesil-Da ¸ gl ˘ ı 2016; Žilková und Kopáco ˇ vá 2018). In Bezug auf die deﬁnierenden Eigenschaften zeichnet sich für den Begriff Recht- eck ab, dass die Parallelität der Seiten von Kindern verschiedener Altersstufen hö- her gewichtet wird als die Rechtwinkligkeit (Aktas¸ Arnas und Aslan 2010; Burger und Shaughnessy 1986; Clements et al. 1999; Maier 2019; Žilková und Kopáco ˇ vá 2018). Für den Begriff Quadrat scheinen die vier gleich langen Seiten entscheidend. In vielen Studien wird die Raute (vorwiegend von Kindern im Elementarbereich) als Repräsentant des Begriffs Quadrat identiﬁziert (Aslan und AktasA ¸ rnas 2007; Clements et al. 1999;Guncaga ˇ et al. 2017; Koleza und Giannisi 2013). Ebenso wie für den Begriff Viereck, kann aus den Identiﬁkationen für die Begriffe Rechteck und Quadrat geschlussfolgert werden, dass gebogene ,Seiten‘ bzw. abgerundete ,Ecken‘ nicht immer dazu führen, dass die Figur als Repräsentant verworfen wird, sofern die Form einem typischen Repräsentanten ähnelt. Allerdings akzeptieren Grundschüle- rinnen und Grundschüler im Vergleich zu Kindern im Elementarbereich derartige Figuren vermehrt korrekterweise nicht als Repräsentant (Aslan und AktasA ¸ rnas 2007; Clements et al. 1999;Guncaga ˇ et al. 2017; Reemer und Eichler 2005; Žilková und Kopáco ˇ vá 2018). Werden Kinder dazu aufgefordert, ihre Identiﬁkationsentscheidungen für die Be- griffe Rechteck und Quadrat zu begründen, dann führen sie hauptsächlich (70–80 %) ganzheitliche Argumente (bspw. ,Es sieht (nicht) aus wie ein Rechteck.‘) an, aber auch eigenschaftsbezogene, die bei Grundschülerinnen und Grundschülern tenden- ziell häuﬁger vorkommen als bei Kindern im Elementarbereich (Aktas¸ Arnas und Aslan 2010; Clements et al. 1999). Der Großteil der eigenschaftsbezogenen Begrün- dungen bezieht sich auf die Anzahl der Ecken bzw. der Seiten (Aslan und Aktas¸ Arnas 2007; Clements et al. 1999; Grassmann 1996;Lehreret al. 1998). Auch die Länge der Seiten – eine deﬁnierende Eigenschaft für den Begriff Quadrat, nicht aber für den Begriff Rechteck – wird als eigenschaftsbezogene Begründung für beide Be- griffe angeführt (Aktas¸ Arnas und Aslan 2010; Clements et al. 1999; Reemer und Eichler 2005). K Geometrisches Begriffsverständnis in der Grundschule 591 5.4 Verständnis der Klasseninklusion der Begriffe Viereck, Rechteck und Quadrat Studien aus dem deutschsprachigen Raum zeigen, dass junge Kinder den Begriff Viereck partitional klassiﬁzieren (Grassmann et al. 2002; Höglinger und Senftleben 1997; Unterhauser 2020). Vor allem die Begriffe Quadrat und Rechteck werden in verschiedenen Altersstufen bis in die Sekundarstufe als voneinander getrennte Be- griffe verstanden (Burger und Shaughnessy 1986; Clements et al. 1999; Fuys et al. 1988;Heinze 2002a, b; Höglinger und Senftleben 1997; Koleza und Giannisi 2013; Maier 2019; Reemer und Eichler 2005; Unterhauser 2020; Vinner und Hershkowitz 1980;Yin 2003). Für junge Kinder gilt meist: Selbst, wenn sie in ihrer Erklärung richtig angeben, dass ein Viereck vier Ecken bzw. Seiten haben muss, klassiﬁzieren sie dennoch partitional und identiﬁzieren bspw. ein Trapez nicht als Viereck (Hög- linger und Senftleben 1997; Reemer und Eichler 2005). Zudem sehen Kinder im Elementarbereich, die mit den Eigenschaften des Begriffs Rechteck vertraut sind, Rechteck und Viereck als unabhängige Begriffe an (Grassmann et al. 2002; Höglin- ger und Senftleben 1997; Reemer und Eichler 2005; Unterhauser 2020). Wenngleich 4-jährige Kinder im Gegensatz zu anderen Altersgruppen für den Begriff Rechteck mitunter Quadrate als Rechtecke akzeptieren, werden beide Begriffe primär als dis- junkt verstanden (Clements et al. 1999; Hannibal 1999; Unterhauser 2020). Unter- richtsversuche, wie bspw. von Bartolini Bussi und Baccaglini-Frank (2015), zeigen jedoch, dass es im Unterricht möglich ist, Kinder zu unterstützen, ein inklusives Verständnis der Begriffe Rechteck und Quadrat zu entwickeln. 5.5 Zusammenfassung der Erkenntnisse zu den Begriffen Viereck, Rechteck und Quadrat Insgesamt zeigen die vorliegenden Erkenntnisse zu den Begriffen Viereck, Rechteck und Quadrat, dass begriffsspeziﬁsch unterschiedliche Eigenschaften einen potenzi- ellen Einﬂuss auf die Identiﬁkationsentscheidungen von Kindern im Elementar- und Primarbereich haben. Verschiedene Studien haben systematische Figurenauswahlen konstruiert (bspw. Satlow und Newcombe 1998;Tsamiret al. 2008; Unterhauser 2020). Stellt man die ﬁgurenbezogenen Erkenntnisse gegenüber, dann lassen sich in Übereinstimmung mit der prototypischen Theorie (s. Abschn. 3) deﬁnierende, nicht-deﬁnierende und charakteristische Eigenschaften (s. Tab. 1) sowie aufbauend typische und untypische Repräsentanten bzw. Nicht-Repräsentanten für die Begriffe Viereck, Rechteck und Quadrat unterscheiden (s. Tab. 2). Zusammenfassend werden für die Begriffe Viereck, Rechteck und Quadrat mehr korrekte Identiﬁkationsentscheidungen für Nicht-Repräsentanten getroffen als für Repräsentanten, wobei es älteren Kindern im Vergleich zu jüngeren Kindern ten- denziell besser gelingt, Nicht-Repräsentanten korrekt als solche zu identiﬁzieren. Die ,typischen Repräsentanten‘ in Tab. 2 sind die Prototypen der drei Begriffe. Ähnelt die Figur in ihrer Ganzheit einem Prototyp, hat aber bspw. runde ,Ecken‘ (bspw. V17), gehört also zur Gruppe der untypischen Nicht-Repräsentanten, wird sie von Kindern in der Regel fälschlicherweise als Repräsentant identiﬁziert. Innerhalb der beiden Figurengruppen Repräsentanten und Nicht-Repräsentanten werden jeweils die typi- K 592 J. Bruns et al. Tab. 1 Deﬁnierende, nicht-deﬁnierende und charakteristische Eigenschaften der Begriffe Viereck, Rechteck und Quadrat Viereck Rechteck Quadrat Deﬁnierende Geschlossene Figur Geschlossene Figur Geschlossene Figur Eigen- 4 Ecken 4 Ecken 4 Ecken schaften 4 Seiten 4 Seiten 4 Seiten 2 Paar parallele Seiten 2 Paar parallele Seiten 4 rechte Winkel 4 rechte Winkel 4 gleich lange Seiten Nicht-de- Orientierung Orientierung Orientierung ﬁnierende Seitenlänge Seitenlänge ... Eigen- Winkelmaß ... schaften ... Charakteris- 4 Ecken 4 Ecken 4 Ecken tische 4 Seiten 4 Seiten 4 Seiten Eigen- Winkel ca. 90° 4 Winkel ca. 90° Winkel ca. 90° schaften Seitenlängenverhältnis Gegenüberliegende Seiten 4 gleich lange Seiten 2:1 oder 1:1 gleich lang Orientierung parallel zu Orientierung parallel zu Seitenlängenverhältnis 2:1 Blattrand Blattrand Orientierung parallel zu Blat- trand Tab. 2 Übersicht typischer und untypischer Repräsentanten und Nicht-Repräsentanten verschiedener Studien Repräsentanten Nicht-Repräsentanten Typische Re- Untypische Repräsentan- Typische Nicht- Untypische Nicht- präsentanten ten Repräsentanten Repräsentanten Viereck Rechteck Quadrat schen Figuren häuﬁger korrekt identiﬁziert als die untypischen. Wenngleich ältere Kinder tendenziell mehr korrekte Identiﬁkationsentscheidungen treffen, so identiﬁ- zieren jüngere Kinder mitunter untypische Repräsentanten eher korrekterweise als Repräsentanten. Identiﬁkationsentscheidungen des Begriffs Viereck werden neben der Orientierung parallel zum Blattrand auch durch Winkelmaß und Seitenlänge be- einﬂusst – allesamt nicht-deﬁnierende Eigenschaft des Begriffs Viereck – wodurch bspw. untypische Repräsentanten (bspw. V10) nicht als Viereck identiﬁziert werden. K Geometrisches Begriffsverständnis in der Grundschule 593 Sowohl für den Begriff Rechteck als auch den Begriff Quadrat akzeptieren Kinder Figuren wie V3 oder V8 fälschlicherweise als Repräsentanten und scheinen für den Begriff Rechteck eher auf die Parallelität der zwei Seitenpaare zu achten bzw. für den Begriff Quadrat auf die gleiche Länge aller vier Seiten. Während ein Quadrat, dessen Seiten nicht parallel zum Blattrand ausgerichtet sind (bspw. Q2), seltener als Repräsentant des Begriffs Quadrat identiﬁziert wird, spielt die Orientierung paral- lel zum Blattrand bei Identiﬁkationsentscheidungen für den Begriff Rechteck eine untergeordnete Rolle. Werden Kindergarten- oder Grundschulkinder dazu aufgefordert, den Begriff Viereck, Rechteck und/oder Quadrat zu erklären, geben sie in erster Linie die Anzahl der Ecken und/oder Seiten als Eigenschaft an oder beziehen Vergleiche zu Alltags- objekten in ihre Erklärungen ein. Grundschulkinder verwenden insgesamt weniger ganzheitliche Erklärungen und bei den Begriffen Rechteck und Quadrat wird auch die Seitenlänge als Eigenschaft erwähnt. Die charakteristischen Eigenschaften der Begriffe Viereck, Rechteck und Quadrat (s. Tab. 1) dominieren das Begriffsver- ständnis im Elementar- und Primarbereich. Außerdem werden die Begriffe Viereck, Rechteck und Quadrat zumeist als voneinander unabhängig verstanden, d. h., sowohl im Elementar- als auch im Primarbereich fehlt ein Verständnis für die Klasseninklu- sion. 6 Herleitung und Begründung der Fragestellung Die dargestellten Theorien zur Entwicklung des (geometrischen) Begriffsverständ- nisses gehen davon aus, dass Lernende individuelle Begriffskonzepte zu ebenen Figurenbegriffen entwickeln, die (zunächst) nicht mit den formalen Deﬁnitionen dieser Begriffe übereinstimmen. Erste geometrische Begriffe, die in der Primarstufe eingeführt werden, sind u. a. die Begriffe Viereck, Rechteck und Quadrat (Franke und Reinhold 2016). Während zum Verständnis der Begriffe Rechteck und Qua- drat verschiedene Studien vorliegen (bspw. Aktas¸ Arnas und Aslan 2010;Clements et al. 1999; Maier 2019), sind Studien – auch aufgrund der Unterschiede zwischen den Begriffen in verschiedenen Sprachen – zum Verständnis des Begriffs Viereck eher selten (Höglinger und Senftleben 1997; Reemer und Eichler 2005; Unterhau- ser 2020). Bisherige empirische Ergebnisse zum Verständnis der Begriffe Viereck, Rechteck und Quadrat stützen theoretische Überlegungen zum gestuften Erwerb des Begriffsverständnisses grundsätzlich und weisen auf speziﬁsche Schwierigkeiten insbesondere bezüglich eines eigenschaftsbezogenen Verständnisses dieser Begriffe hin (s. a. Abschn. 5). Dabei scheinen Erkenntnisse zu einzelnen Indikatoren des Be- griffsverständnisses (Begriffsinhalt, -umfang und -netz) in Bezug auf die Begriffe Viereck, Rechteck und Quadrat von Grundschülerinnen und -schülern nach ausführ- licher Recherche bislang zu fehlen. Diese hätten jedoch das Potenzial, ein geziel- tes Identiﬁzieren individueller Begriffskonzepte zu erleichtern und, über generische Stufenmodelle hinaus, Hypothesen zum Erwerb des Begriffsverständnisses entlang dieser drei Indikatoren zu entwickeln. Diese Erkenntnisse könnten auch erklärende Hinweise zu Schwierigkeiten im Begriffsverständnis älterer Lernender geben und K 594 J. Bruns et al. Grundlagen für Empfehlungen zur Gestaltung von Begriffsbildungsprozessen in der Grundschule bieten. Folglich wird in dieser Studie der Vergleich des Begriffsverständnisses zu Vier- eck, Rechteck und Quadrat zwischen den vier Klassenstufen der Grundschule ent- lang der Indikatoren des Begriffsverständnisses fokussiert. Daraus ergibt sich die leitende Fragestellung: Welches Verständnis der Begriffe Viereck, Rechteck und Quadrat zeigen Grundschülerinnen und Grundschüler der Jahrgangsstufen 1, 2, 3 und 4? Ziel der Studie ist einerseits die Deskription der individuellen Begriffskonzepte zu Viereck, Rechteck und Quadrat in den einzelnen Klassenstufen der Grundschule sowie eine explorative Suche nach Unterschieden zwischen den Klassenstufen, auf deren Basis Hypothesen über Begriffsbildungsprozesse formuliert werden können. Die Untersuchung des Begriffsverständnisses zu den Begriffen Viereck, Rechteck und Quadrat erfolgt in Anlehnung an die klassische Theorie (siehe Abschn. 3), entlang der Indikatoren Begriffsinhalt, -umfang und -netz. 7 Forschungsdesign 7.1 Stichprobe Zur Untersuchung der Forschungsfrage wurde eine Quasi-Längsschnittstudie durch- geführt. Die Gelegenheitsstichprobe umfasste N = 456 Schülerinnen und Schüler (n = 217 männlich, n = 238 weiblich, n = 1 ohne Angabe) drei verschiedener Grund- schulen (zwei Niedersachsen, eine Nordrhein-Westfalen). In jeder Schule wurde die Studie mit jeweils zwei Klassen aller vier Jahrgangsstufen durchgeführt (insg. 24 Klassen), sodass die Stichprobe über die Klassenstufen annähernd gleich verteilt ist (n = 101, n = 102, n = 131, n = 122). Kl1 Kl2 Kl3 Kl4 7.2 Darstellung der entwickelten Testitems Die Erfassung des Begriffsverständnisses zu Viereck, Rechteck und Quadrat erfolgte mit Hilfe eines Paper-Pencil Tests. Für jeden Begriff wurden Testitems zu allen drei Indikatoren (Begriffsinhalt, -umfang und -netz) entwickelt. In einer kognitiven Inter- viewstudie (s. a. Collins 2003)mit n= 4 Schülerinnen und Schüler pro Klassenstufe und einer Pilotierung mit N = 216 Schülerinnen und Schülern (n = 53, n = 52, Kl1 Kl2 n = 54, n = 57) wurden die Items vorab hinsichtlich ihrer Güte überprüft und kri- Kl3 Kl4 tische Items überarbeitet. Nachfolgend werden die Items in der Version dargestellt, die in der vorliegenden Hauptstudie eingesetzt wurde. Insbesondere für die Operationalisierung des Begriffsumfangs ist aus mathema- tikdidaktischer Sicht die Unterscheidung der Arten von Eigenschaften hilfreich, um das Begriffsverständnis differenziert(er) erfassen zu können (Heinze 2002b). Aus empirischer Perspektive lassen sich für die Begriffe Viereck, Rechteck und Quadrat entsprechende deﬁnierende, nicht-deﬁnierende bzw. charakteristische Eigenschaf- ten ableiten (s. Tab. 1). Es liegen bereits Vorschläge für Figurengruppen vor, die K Geometrisches Begriffsverständnis in der Grundschule 595 Abb. 2 Figuren zur Aufgabe ,Identiﬁkation von Repräsentanten des Begriffs Viereck/Rechteck/Quadrat‘ (Begriffsumfang) Anm.: Bezeichnung der Figuren: 1 ,prototypisches Quadrat‘, 2 ,Rechteck auf der Spitze‘, 3 ,prototypisches Parallelogramm‘, 4 ,Trapez auf der Spitze‘, 5 ,Quadrat auf der Spitze‘, 6 ,langgezoge- ne Raute‘, 7 ,gebogene Seiten‘, 8 ,schmales Rechteck‘, 9 ,abgerundete Ecken‘, 10 ,Stern‘, 11 ,konkaves Viereck‘, 12 ,prototypisches Rechteck‘, 13 ,Fünfeck‘, 14 ,kleines Quadrat‘, 15 ,unregelmäßige Viereck‘, 16 ,quadratähnliche Raute‘, 17 ,offene Seite‘, 18 ,Drachenviereck‘ diese deﬁnierenden und nicht-deﬁnierenden Eigenschaften systematisch variieren (Aktas¸ Arnas und Aslan 2010; Unterhauser 2020). Basierend auf diesen Vorarbei- ten wurde pro Begriff je eine Aufgabe zur Identiﬁkation von Repräsentanten mit jeweils18 Items eingesetzt (s. Abb. 2). Auswahl und Anordnung der Figuren waren für alle drei Begriffe (Viereck, Recht- eck, Quadrat) identisch. Während jedoch bspw. Abb. 2, Figur 16 für den Begriff Viereck einen typischen Repräsentanten darstellt, da die Figur die deﬁnierenden so- wie die in Tab. 1 gelisteten charakteristischen Eigenschaften aufweist, ist diese Figur ein untypischer Nicht-Repräsentant des Begriffs Quadrat, was durch die Bezeich- nung der Figur als ,quadratähnliche Raute‘ ausgedrückt wird . Die 18 Figuren bilden also für die drei Begriffe unterschiedliche deﬁnierende, nicht-deﬁnierende bzw. cha- rakteristische Eigenschaften ab (s. Tab. 1), die in den jeweiligen Bezeichnungen der Figuren zum Ausdruck gebracht werden, und stehen somit je nach Begriff ex- emplarisch für typische bzw. untypische Repräsentanten bzw. Nicht-Repräsentanten (s. Tab. 3). Im Testheft wurden die Figuren auf einer DIN A5-Seite (vgl. Abb. 2) mit der Aufgabenstellung Kreuze alle Vierecke (bzw. Rechtecke bzw. Quadrate) an. dargestellt. Für das Verständnis des Begriffsinhalts verwendeten bisherige Studien Items zum Deﬁnieren bzw. Erklären der Begriffe sowie zur Begründung von Identiﬁkationen (s. Abschn. 5.2). Es lagen jedoch noch keine Items vor, die Eigenschaftswissen über Seiten- und Winkeleigenschaften der Begriffe erfassen. Um Teilaspekte des Begriffsinhalts anhand von Erklärungen, Begründungen und Eigenschaftswissen zu erfassen, wurden für jeden Begriff drei Aufgaben mit insgesamt vier Items zum Begriffsinhalt entwickelt. Im ersten Item wurden die Teilnehmenden aufgefordert, den entsprechenden Begriff einem Kind schriftlich zu erklären. Im zweiten Item Eine detaillierte Einordnung aller Figuren bezüglich der deﬁnierenden, nicht-deﬁnierenden bzw. charak- teristischen Eigenschaften ﬁndet sich im Anhang. K 596 J. Bruns et al. Tab. 3 Klassiﬁzierung der Figuren in (un-)typische (Nicht-)Repräsentanten zu dem jeweiligen Begriff Repräsentanten Nicht-Repräsentanten Typische Untypische Typische Untypische Viereck Rechteck Geometrisches Begriffsverständnis in der Grundschule 597 Tab. 3 (Fortsetzung) Repräsentanten Nicht-Repräsentanten Typische Untypische Typische Untypische Quadrat 598 J. Bruns et al. Abb. 3 Beispielitems zur Aufgabe ,Eigenschaften des Begriffs Rechteck‘ (Begriffsinhalt) galt es, je Begriff eine Figur aus der Aufgabe zum Begriffsumfang (s. Abb. 2)als (Nicht-)Repräsentanten des entsprechenden Begriffs zu identiﬁzieren und die Iden- tiﬁkation schriftlich zu begründen. Aufbauend auf theoretischen Überlegungen zu (nicht-)deﬁnierenden Eigenschaften des Begriffs und niedrigen Lösungsquoten der zugehörigen Begriffsumfangitems aus der Pilotierung wurden Figur 11 als untypi- scher Repräsentant des Begriffs Vierecks, Figur 3 als untypischer Nicht-Repräsen- tant des Begriffs Rechteck und Figur 14 als untypischer Repräsentant des Begriffs Quadrat ausgewählt. Die dritte Aufgabe überprüfte das Eigenschaftswissen zu den drei Begriffen explizit und bestand aus zwei Multiple-Choice Items pro Begriff zu Winkel- und Seiteneigenschaften (s. Abb. 3). Zum Begriffsnetz wurden zwei Aufgaben formuliert. In der ersten Aufgabe sollten die Teilnehmenden entscheiden, ob die Figur ,prototypisches Rechteck‘ den Begriff Viereck, Quadrat oder beide Begriffe repräsentiert; in der zweiten Aufgabe, ob die Figur ,prototypisches Quadrat‘ den Begriff Rechteck, Quadrat oder beide Begriffe repräsentiert. Tab. 4 gibt einen Überblick über die 68 entwickelten Testitems. Wie dargestellt, wurde das Verständnis der drei Begriffe jeweils mit vergleichbaren Items erfasst, sodass Erkenntnisse hinsichtlich des Begriffsumfangs und -inhalts zwischen den Begriffen vergleichbar sind. Die Haupterhebung wurde im Frühjahr 2017 von drei geschulten Testleiterinnen im Rahmen ca. einer Unterrichtsstunde durchgeführt. Jede, zu bearbeitende Aufgabe Tab. 4 Übersicht zum Paper-Pencil Test ,BegriV‘ Begriffsumfang Begriffsinhalt Begriffsnetz Identiﬁkation Erklärung Begründete Iden- Eigenschaften Klassenin- Klassenin- von Reprä- des Be- tiﬁkation von des Begriffs klusion klusion sentanten zum griffs (Nicht-)Repräsen- Viereck/ Viereck Rechteck Begriff Vier- Viereck/ tanten des Begriffs Rechteck/ und Recht- und Qua- eck/Rechteck/ Rechteck/ Viereck/Rechteck/ Quadrat eck drat Quadrat Quadrat Quadrat 18 Items pro 1Item pro 1 Item pro Begriff 2 Items pro 1Item pro 1Item pro Begriff Begriff Begriff Begriffs- Begriffs- paar paar K Geometrisches Begriffsverständnis in der Grundschule 599 wurde jeweils auf einer Seite im Testheft abgebildet. Zur Bearbeitung der Test- aufgaben im Klassenverband wurden die Aufgaben sichtbar an die Wand projiziert sowie durch die Testleitung laut vorgelesen, ehe sie individuell bearbeitet wurden. So konnte für alle Kinder die gleiche Bearbeitungszeit pro Testaufgabe sichergestellt werden. 7.3 Analyseplan Zur Datenauswertung wurden die 18 Items zum Begriffsumfang dichotom (rich- tig/falsch) codiert. Die Begriffsinhalts-Items der Aufgabe ,Erklärung des Begriffs Viereck/Rechteck/Quadrat‘ wurden vierstuﬁg codiert: vollständige Deﬁnition des Begriffs bzw. Speziﬁzierung der Eigenschaften (3); Erklärung mit Bezug zu zentra- len Eigenschaften (2); prototypische bzw. ganzheitliche Erklärung (1); und falsche Erklärung des Begriffs (0) (s. Tab. 5 im Anhang). Für den Begriff Viereck ist zu be- achten, dass mit 2 codierte Antworten bereits vollständige Deﬁnitionen präsentieren und Antworten mit dem Code 3 lediglich differenzierter auf die deﬁnierenden Ei- genschaften des Begriffs Viereck eingehen. Bei den Begriffen Rechteck und Quadrat sind dagegen nur Antworten mit Code 3 vollständige Deﬁnitionen. Das Item ,Be- gründete Identiﬁkation eines (Nicht-)Repräsentanten des Begriffs Viereck/Rechteck/ Quadrat‘ wurde nur dann als richtig codiert, wenn sich sowohl die Identiﬁkation als auch die Begründung dieser Identiﬁkation als richtig erwies. Würde nur die Iden- tiﬁkation betrachtet werden, wäre nicht gewährleistet, dass in diesem Item Bezug zu den Eigenschaften der Figur hergestellt und der Begriffsinhalt geprüft wird. Die Items zur Aufgabe ,Eigenschaften des Begriffs Viereck/Rechteck/Quadrat‘ wurden ebenso wie die beiden Items zum Begriffsnetz dichotom codiert. Da die vorliegende Studie explorativ nach Unterschieden zwischen den Klas- senstufen in Bezug auf die Indikatoren des Begriffsverständnisses sucht, werden zunächst deskriptive Statistiken zu allen Items betrachtet. Anschließend wird die Abhängigkeit zwischen den Lösungsquoten jedes Items und der Klassenstufe mit- tels einfaktorieller Varianzanalysen geprüft (Eid et al. 2015). Post-hoc-Tests erfolgen mittels Bonferroni-Korrektur, da dieser konservative Test sich für eine kleine Anzahl von Gruppen mit unterschiedlicher Stichprobengröße eignet (ebd.). 8 Ergebnisse 8.1 Viereck: Begriffsumfang und -inhalt Wird die Lösungshäuﬁgkeit der Items zum Begriffsumfang des Begriffs Viereck de- skriptiv getrennt nach der Klassenstufe betrachtet (s. Abb. 4), zeigt sich, dass die typischen Repräsentanten – außer die Figur ,kleines Quadrat‘ in Klassenstufe 1 – sowie die typischen Nicht-Repräsentanten von über 70 % der Lernenden in allen Klassenstufen korrekt identiﬁziert werden. Auffallend niedrige Lösungsraten in al- len Klassenstufen zeigen, mit wenigen Ausnahmen für die Klassenstufen 3 bzw. 4, die untypischen Repräsentanten, insbesondere die Figuren ,konkaves Viereck‘ und ,Drachenviereck‘. K 600 J. Bruns et al. Klassenstufe 1 2 3 4 Figurengruppe (n=81) (n=102) (n=131) (n=122) Figur M SD M SD M SD M SD F η Typische Repräsentanten 1 ‚prototypisches Quadrat‘ ,96 0,19 ,98 0,14 ,99 0,12 1,00 0,00 1,446 - 16 ‚quadratähnliche Raute‘ ,78 0,42 ,86 0,35 ,89 0,32 ,82 0,39 1,723 - ** 5 ‚Quadrat auf der Spitze‘ ,77 0,43 ,89 0,31 ,97 0,17 ,95 0,22 10,137 ,07 ** 14 ‚kleines Quadrat‘ ,59 0,49 ,74 0,44 ,86 0,35 ,89 0,32 11,247 ,07 Untypische Repräsentanten ** 12 ‚prototypisches Rechteck‘ ,20 0,40 ,18 0,38 ,39 0,49 ,47 0,50 10,618 ,07 ** 3 ‚prototypisches Parallelogramm‘ ,15 0,36 ,19 0,39 ,44 0,50 ,40 0,49 11,148 ,07 ** 2 ‚Rechteck auf der Spitze‘ ,16 0,37 ,19 0,39 ,37 0,48 ,45 0,50 10,276 ,07 ** 8 ‚schmales Rechteck‘ ,09 0,28 ,13 0,34 ,31 0,46 ,38 0,49 11,743 ,08 ** 15 ‚unregelmäßiges Viereck‘ ,21 0,41 ,27 0,44 ,52 0,50 ,42 0,50 9,625 ,06 ** 4 ‚Trapez auf der Spitze‘ ,11 0,32 ,12 0,32 ,38 0,49 ,33 0,47 11,973 ,08 ** 6 ‚langgezogene Raute‘ ,10 0,30 ,18 0,38 ,35 0,48 ,36 0,48 9,136 ,06 ** 18 ‚Drachenviereck‘ ,07 0,26 ,14 0,35 ,31 0,46 ,26 0,44 7,427 ,05 ** 11 ‚konkaves Viereck‘ ,01 0,11 ,08 0,27 ,24 0,43 ,20 0,40 9,270 ,06 Untypische Nicht-Repräsentanten 7 ‚gebogene Seiten‘ ,47 0,50 ,48 0,50 ,39 0,49 ,48 0,50 0,920 - ** 9 ‚abgerundete Ecken‘ ,19 0,39 ,33 0,47 ,42 0,50 ,56 0,50 10,776 ,07 Typische Nicht-Repräsentanten 10 ‚Stern‘ ,93 0,26 ,95 0,22 ,92 0,27 ,93 0,26 0,272 - 13 ‚Fünfeck‘ ,99 0,11 ,97 0,17 1,00 0,00 1,00 0,00 2,383 - 17 ‚offene Seite‘ ,85 0,36 ,86 0,35 ,72 0,45 ,79 0,41 3,163 ,02 Abb. 4 Lösungshäuﬁgkeit der Items zum Begriffsumfang zum Begriff Viereck getrennt nach Klassenstu- fe. Anmerkung: hellgraue Schattierung markiert Lösungsquoten über 75 %, dunkelgraue Schattierung mar- kiert Lösungsquoten unter 40 %. Effektstärken werden nach Cohen (1988) wie folgt eingeteilt: η 0,01: 2 2 kleiner Effekt; η 0,06: mittlerer Effekt; η 0,14: großer Effekt Signiﬁkante Unterschiede zwischen denKlassenstufen zeigensichbei denLö- sungsraten aller Figuren außer den typischen Repräsentanten ,prototypisches Qua- drat‘ und ,quadratähnliche Raute‘, dem untypischen Nicht-Repräsentant ,gebogene Seiten‘ sowie den typischen Nicht-Repräsentanten ,Stern‘, und ,Fünfeck‘ (s. Abb. 4). Bei den Figuren ,offene Seite‘ und ,Drachenviereck‘ zeigt sich ein kleiner Effekt der Klassenstufe. Bei den übrigen Figuren mit einem signiﬁkanten Unterschied der Lösungsraten zwischen den Klassenstufen ergibt sich ein mittlerer Effekt. Post-Hoc-Tests zeigen, dass der typische Repräsentant ,Quadrat auf der Spitze‘ in den Klassenstufen 2 und 3 als Gruppe signiﬁkant besser identiﬁziert wird als in der Klassenstufe 1. Für den typischen Repräsentanten ,kleines Quadrat‘ zeigt sich ein signiﬁkanter Unterschied in den Lösungsraten zwischen der Klassenstufe 1 und den Klassenstufen 3 und 4 sowie zwischen der Klassenstufe 2 und 4 – mit einem besseren Abschneiden der jeweils höheren Jahrgangsstufe. Dies deutet darauf hin, dass diese beiden Figuren für einige Kinder erst im Laufe der Grundschulzeit zu typischen Repräsentanten des Begriffs Viereck werden. In Bezug auf die Identiﬁkationen der untypischen Repräsentanten des Begriffs können für alle Figuren dieser Gruppe – bis auf die Figuren ,unregelmäßiges Vier- K Geometrisches Begriffsverständnis in der Grundschule 601 eck‘ und ,Drachenviereck‘ – die Klassenstufen 1 und 2 sowie die Klassenstufen 3 und 4 zu einer Gruppe zusammengefasst werden, die sich jeweils signiﬁkant von- einander unterscheiden, wobei die Klassenstufen 3/4 tendenziell besser abschneiden als die Klassenstufen 1/2. Diese Ergebnisse deuten darauf hin, dass diese untypi- schen Repräsentanten des Begriffs Viereck im Laufe der Grundschulzeit von immer mehr Kindern als Vierecke identiﬁziert werden – insbesondere, wenn sie typische Repräsentanten anderer Vierecksﬁguren (bspw. Parallelogramm) sind. Bei den un- typischen Repräsentanten ,unregelmäßiges Viereck‘ und ,Drachenviereck‘ zeigen Post-Hoc-Tests einen signiﬁkanten Unterschied zwischen der Klassenstufe 1 und den Klassenstufen 3 und 4 sowie zwischen der Klassenstufe 2 und 3. Bei beiden Figuren werden jeweils in der dritten Klassenstufe die meisten korrekten Identiﬁ- kationen getroffen und dabei zeigen sich innerhalb der Figurengruppe untypische Repräsentanten für die Figur ,unregelmäßige Viereck‘ in Klassenstufe 3 die häuﬁgs- ten korrekten Identiﬁkationen. Für den untypischen Nicht-Repräsentanten ,abgerundete Ecken‘ zeigen Post-Hoc- Tests einen signiﬁkanten Unterschied in den Lösungsraten zwischen der Klassen- stufe 1 und den Klassenstufen 3 und 4 sowie zwischen der Klassenstufe 2 und 4 – mit einem besseren Abschneiden der jeweils höheren Jahrgangsstufe. Auch für diese Figur werden im Laufe der Grundschulzeit mehr korrekte Identiﬁkationsentschei- dungen getroffen. Bei dem typischen Nicht-Repräsentanten ,offene Seite‘ zeigen Post-Hoc-Tests einen signiﬁkanten Unterschied zwischen der Klassenstufe 2 und 3. Einzig bei die- ser Figur zeigt sich tendenziell eine Abnahme an korrekten Identiﬁkationsentschei- dungen im Laufe der Grundschulzeit. Zusammenfassend deuten die Ergebnisse zum Begriffsumfang des Begriffs Vier- eck daraufhin, dass typische Repräsentanten und Nicht-Repräsentanten bereits zu Beginn der Grundschulzeit sicher korrekt identiﬁziert werden – spätestens jedoch ab Klasse 3. Die untypischen Repräsentanten und Nicht-Repräsentanten werden da- gegen über alle vier Klassenstufen – mit der Ausnahme weniger Figuren – selten korrekt identiﬁziert. Tendenziell erhöht sich jedoch der Anteil an korrekten Identiﬁ- kationen im Laufe der Grundschulzeit. Für die typischen Nicht-Repräsentanten zeigt sich – ähnlich wie für die typischen Repräsentanten – keine Weiterentwicklung im Laufe der Grundschulzeit, jedoch bei korrekten Identiﬁkationsentscheidungen auf mittlerem Niveau. Für die Figur ,offene Seite‘ zeigt sich sogar eine Abnahme der korrekten Identiﬁkationen im Vergleich der Klassenstufen. Bezüglich des Begriffsinhalts zum Begriff Viereck zeigt das Item zur Erklärung des Begriffs Viereck auf deskriptiver Ebene, dass der Mittelwert der Klassenstu- fe 1 (M= 1,51, SD= 0,85) höher ausfällt als die Mittelwerte der Klassenstufen 2 (M= 1,46, SD= 0,92), 3 (M= 1,04, SD= 0,76) und 4 (M= 1,32, SD= 0,94) und der Anteil der ganzheitlichen Erklärungen bzw. der Erklärungen, die den Begriff Vier- eck auf den Prototyp Quadrat reduzieren, in der Klassenstufe 3 am höchsten liegt (s. Abb. 5). Die Varianzanalyse deckt einen signiﬁkanten, aber schwachen Effekt der Klas- senstufe (F(3,421) = 6,336, p< 0,001, η = 0,04) auf. Post-Hoc-Tests zeigen einen signiﬁkanten Unterschied zwischen den Klassenstufen 2 und 3. K 602 J. Bruns et al. falsche oder holistische vollständige Definition Spezifizierung der unzureichende Beschreibung/Prototyp Eigenschaften Beschreibung Kl. 1 (n = 73) Kl. 2 (n = 99) Kl. 3 (n = 131) Kl. 4 (n = 122) Abb. 5 Erklärungen des Begriffs Viereck nach Klassenstufe getrennt, Angaben in % Bezüglich der Lösungshäuﬁgkeit des Items zur begründeten Identiﬁkation der Figur ,konkaves Viereck‘ als Repräsentant des Begriffs Viereck zeigt sich eben- falls ein signiﬁkanter Unterschied zwischen den Klassenstufen (F(3,415) = 21,421, p< 0,001) mit einem mittleren Effekt (η = 0,13). Post-Hoc-Tests ergeben, dass sich die Klassenstufen 1 (n = 69, M= 0,04, SD= 0,21) und 2 (n = 98, M= 0,07, SD= 0,26) sowie die Klassenstufen 3 (n = 130, M= 0,42, SD= 0,50) und 4 (n = 122, M= 0,31, SD= 0,47) jeweils zu einer Gruppe zusammenfassen lassen, die sich signiﬁkant von- einander unterscheiden. Hinsichtlich der Lösungshäuﬁgkeiten der Items zu den Seiten- und Winkelei- genschaften des Vierecks zeigt sich ein signiﬁkanter mittlerer Effekt der Klas- senstufe (Seite: F(3,428) = 10,289, p< 0,001, η = 0,07; Winkel: F(3,431) = 9,350, p< 0,001, η = 0,06). Für beide Items zeigen Post-Hoc-Tests paarweise Unterschie- de zwischen den Klassenstufen 2 (Seite: n = 100, M= 0,01, SD= 0,10; Winkel: n = 102, M= 0,03, SD= 0,20), 3 (Seite: n = 130, M= 0,19, SD= 0,40; Winkel: n = 129, M= 0,23, SD= 0,42) und 4 (Seite: n = 122, M= 0,25, SD= 0,43; Winkel: n = 122, M= 0,25, SD= 0,43). 8.2 Rechteck: Begriffsumfang und -inhalt Wird die Lösungshäuﬁgkeit der Items zum Begriffsumfang des Begriffs Rechteck deskriptiv getrennt nach Klassenstufen betrachtet (s. Abb. 6), zeigt sich, dass der typische Repräsentant – außer in Klassenstufe 2 – und die typischen Nicht-Reprä- sentanten – außer die Figur ,abgerundete Ecken‘ in Klassenstufe 1 – von über 90 % der Schülerinnen und Schüler aller Klassenstufen korrekt identiﬁziert werden. Auf- fallend niedrige Lösungsraten in allen Klassenstufen zeigen die untypischen Reprä- sentanten ,prototypisches Quadrat‘, ,Quadrat auf der Spitze‘ und ,kleines Quadrat‘. K Geometrisches Begriffsverständnis in der Grundschule 603 Klassenstufe 1 2 3 4 Figurengruppe (n=81) (n=102) (n=131) (n=122) Figur 2 MSD M SD M SD M SD F η Typische Repräsentanten 12 ‚prototypisches Rechteck‘ ,90 ,30 ,87 ,34 ,93 ,25 ,93 ,26 0,983 - Untypische Repräsentanten 2 ‚Rechteck auf der Spitze‘ ,77 ,43 ,81 ,39 ,92 ,28 ,88 ,33 3,704 ,03 8 ‚schmales Rechteck‘ ,52 ,50 ,53 ,50 ,65 ,48 ,70 ,46 3,762 ,03 Untypische Repräsentanten (Quadrate) 1 ‚prototypisches Quadrat‘ ,09 ,28 ,04 ,20 ,03 ,17 ,08 ,28 1,670 - 5 ‚Quadrat auf der Spitze‘ ,10 ,30 ,04 ,20 ,04 ,19 ,10 ,30 2,101 - 14 ‚kleines Quadrat‘ ,05 ,22 ,02 ,14 ,02 ,15 ,06 ,23 1,129 - Untypische Nicht-Repräsentanten 3 ‚prototypisches Parallelogramm‘ ,59 ,49 ,44 ,50 ,34 ,48 ,48 ,50 4,506 ,03 13 ‚Fünfeck‘ ,89 ,32 ,87 ,34 ,92 ,28 ,93 ,25 0,974 - ** 17 ‚offene Seite‘ ,22 ,42 ,22 ,41 ,26 ,44 ,48 ,50 9,051 ,06 Typische Nicht-Repräsentanten 16 ‚quadratähnliche Raute‘ ,94 ,24 ,97 ,17 ,97 ,17 ,94 ,23 0,738 - 15 ‚unregelmäßiges Viereck‘ ,96 ,19 ,97 ,17 ,98 ,12 ,97 ,18 0,380 - 4 ‚Trapez auf der Spitze‘ ,96 ,19 ,99 ,10 ,98 ,12 ,98 ,13 0,690 - 6 ‚langgezogene Raute‘ ,96 ,19 ,98 ,14 ,98 ,15 ,98 ,13 0,332 - 18 ‚Drachenviereck‘ ,98 ,16 ,98 ,14 ,99 ,09 ,98 ,16 0,427 - 11 ‚konkaves Viereck‘ ,99 ,11 ,98 ,14 ,98 ,12 1,00 ,00 0,719 - 10 ‚Stern‘ ,99 ,11 ,98 ,14 1,00 ,00 1,00 ,00 1,510 - 7 ‚gebogene Seiten‘ ,94 ,24 ,96 ,20 ,96 ,19 ,96 ,20 0,264 - 9 ‚abgerundete Ecken‘ ,88 ,33 ,96 ,20 ,97 ,17 ,98 ,16 4,272 ,03 Abb. 6 Lösungshäuﬁgkeit der Items zum Begriffsumfang zum Begriff Rechteck getrennt nach Klas- senstufe. Anmerkung: hellgraue Schattierung markiert Lösungsquoten über 75 %, dunkelgraue Schattie- rung markiert Lösungsquoten unter 40 %. Effektstärken werden nach Cohen (1988) wie folgt eingeteilt: 2 2 2 η 0,01: kleiner Effekt; η 0,06: mittlerer Effekt; η 0,14: großer Effekt Signiﬁkante Unterschiede zwischen denKlassenstufen zeigensichbei denLö- sungshäuﬁgkeiten der untypischen Repräsentanten, die keine quadratischen Recht- ecke sind (,Rechteck auf der Spitze‘, ,schmales Rechteck‘), mit jeweils kleinem Effekt sowie den untypischen Nicht-Repräsentanten ,prototypisches Parallelogram- m‘ und ,abgerundete Ecken‘, mit jeweils kleinem Effekt und ,offene Seite‘ mit mittlerem Effekt (s. Abb. 6). Für den untypischen Repräsentanten ,Rechteck auf der Spitze‘ zeigen Post-Hoc- Tests, dass ein signiﬁkanter Unterschied zwischen Lösungsraten der Klassenstufe 2 und 3 besteht. Dabei wird die Figur in der Klassenstufe 3 am häuﬁgsten korrekt als Repräsentant des Begriffs Rechteck identiﬁziert. Für die Figur ,schmales Rechteck‘ lassen sich in den Post-Hoc Tests keine Gruppenunterschiede ausmachen. Bei dem untypischen Nicht-Repräsentanten ,prototypisches Parallelogramm‘ zei- gen Post-Hoc-Tests, dass ein signiﬁkanter Unterschied zwischen der Klassenstufe 2 und 3 vorliegt. Dabei wird die Figur in der Klassenstufe 2 häuﬁger korrekt als Nicht- Repräsentant identiﬁziert. Bei dem untypischen Nicht-Repräsentanten ,offene Seite‘ K 604 J. Bruns et al. lassen sich dagegen die Klassenstufen 1 bis 3 zu einer Gruppe zusammenfassen, die sich signiﬁkant von der Klassenstufe 4 unterscheidet. Die Lernenden der Klassen- stufe 4 wählen diese Figur seltener als Repräsentant des Begriffs Rechteck aus als die Lernenden der übrigen Klassen. Bei dem typischen Nicht-Repräsentanten ,abgerundete Ecken‘ können die Klas- senstufen 2, 3 und 4 hinsichtlich ihrer Lösungshäuﬁgkeit zusammengefasst werden, die sich als Gruppe signiﬁkant von Klassenstufe 1 unterscheidet und die Figur sel- tener als Repräsentant auswählt. Zusammenfassend zeigen die Ergebnisse zum Begriffsumfang des Begriff Recht- eck, dass typische Repräsentanten und Nicht-Repräsentanten ab Klassenstufe 1 si- cher korrekt identiﬁziert werden. Gleiches gilt auch für den bislang als untypisch beschriebenen Repräsentanten ,Rechteck auf der Spitze‘ (Variation des typischen Repräsentanten in der Orientierung parallel zum Blattrand) und Nicht-Repräsen- tanten ,Fünfeck‘ (Ergänzung des typischen Repräsentanten um eine vorspringende Ecke). Aus der Figurengruppe der untypischen Repräsentanten zeigen insbesondere die quadratischen Rechtecke niedrige Lösungsquoten, ohne dass sich Entwicklungs- tendenzen zwischen den Klassenstufen erkennen lassen. Aus der Figurengruppe der untypischen Nicht-Repräsentanten weist insbesondere die Figur ,offene Seite‘ nied- rige Lösungsquoten auf, jedoch erhöht sich diese Lösungsquote mit zunehmender Klassenstufe. Zum Begriffsinhalt des Begriffs Rechteck zeigen sich hinsichtlich der Erklärung des Begriffs signiﬁkante Unterschiede zwischen den Klassenstufen (F(3,394) = 15,221, p< 0,001) mit mittlerem Effekt (η = 0,10). Post-Hoc-Tests zeigen, dass sich die Klassenstufen 1 (M= 0,50, SD= 0,57) und 2 (M= 0,53, SD= 0,60) sowie 3(M= 0,89, SD= 0,70) und 4 (M= 1,09, SD= 0,87) hinsichtlich der Erklärungen des Begriffs Rechteck jeweils zu einer Gruppe zusammenfassen lassen, zwischen denen ein signiﬁkanter Unterschied besteht. Auf deskriptiver Ebene fällt zusätz- lich auf, dass über 40 % der Erklärungen in allen Klassenstufen ganzheitlich bzw. prototypisch sind (s. Abb. 7). Bezüglich des Items zur begründeten Identiﬁkation der Figur ,prototypisches Par- allelogramm‘ als Nicht-Repräsentant des Begriffs Rechteck zeigt sich kein signiﬁ- kanter Unterschied zwischen den Klassenstufen (F(3,381) = 1,762, p= 0,154). Dabei lösen 33,85 % der Lernenden in Klasse 1 (n= 65, SD= 0,48), 23,16 % der Lernen- den inKlasse 2(n= 95, SD= 0,42), 30,40 % der Lernenden in Klasse 3 (n= 125, SD= 0,46) und 38,00 % der Lernenden in Klasse 4 (n= 100, SD= 0,49) das Item korrekt. Auch in Bezug auf die Lösungsquoten der Items zu den Winkeleigen- schaften zeigen sich keine signiﬁkanten Unterschiede zwischen den Klassenstufen (F(3,305) = 0,072, p= 0,552). Im Mittel wählen 18,67 % der Lernenden in Klasse 1 (n= 75, SD= 0,39), 8,91 % der Lernenden in Klasse 2 (n= 101, SD= 0,29), 5,61 % der Lernenden in Klasse 3 (n= 107, SD= 0,23) und 4,92 % der Lernenden in Klasse 4 (n= 122, SD = 0,22) die korrekte Lösung aus. Hinsichtlich der Seiteneigenschaften zeigt sich dagegen ein signiﬁkanter Unterschied (F(3,393) = 5,857, p= 0,001) mit kleinem Effekt (η = 0,04). Post-Hoc Test zeigen einen Unterschied zwischen der Klassenstufe 1 (n= 75, M= 0,13, SD= 0,34) und 3 (n= 104, M= 0,33, SD= 0,47) sowie zwischen den Klassenstufen 3 und 4 (n= 120, M= 0,13, SD= 0,33). K Geometrisches Begriffsverständnis in der Grundschule 605 falsche oder holistische Bezug zu zentralen vollständige Definition unzureichende Beschreibung/Prototyp Eigenschaften Beschreibung Kl. 1 (n = 56) Kl. 2 (n = 97) Kl. 3 (n = 128) Kl. 4 (n = 117) Abb. 7 Erklärungen des Begriffs Rechteck nach Klassenstufe getrennt, Angaben in % 8.3 Quadrat: Begriffsumfang und -inhalt Bezüglich des Begriffsumfangs des Begriffs Quadrat zeigt die deskriptive Betrach- tung der Lösungshäuﬁgkeit aller Items getrennt nach der Klassenstufe (Abb. 8), dass typische Nicht-Repräsentanten – außer die Figuren ,prototypisches Rechteck‘ und ,Rechteck auf der Spitze‘ in Klassenstufe 4 – von über 90 % der Lernenden aller Klassenstufen korrekt identiﬁziert werden. Niedrige Lösungsraten in Klassenstufe 1 und 2 zeigt der untypische Repräsentant ,kleines Quadrat‘. Der typische Repräsentant ,prototypisches Quadrat‘ zeigt mit Lösungsquoten im mittleren Bereich im Vergleich zu den typischen Repräsentanten der Begriffe Rechteck und Viereck ebenfalls wenig korrekte Identiﬁkationen in allen Klassenstufen. Signiﬁkante Unterschiede zwischen den Klassenstufen zeigen sich bezüglich aller typischen und untypischen Repräsentanten des Begriffs Quadrat, bei allen untypi- schen Nicht-Repräsentanten sowie allen typischen Nicht-Repräsentanten mit rech- ten Winkeln und bei den weiteren typischen Nicht-Repräsentanten ,unregelmäßiges Viereck‘, ,Trapez auf der Spitze‘ und ,Drachenviereck‘ (s. Abb. 8). Hinsichtlich des typischen Repräsentanten ,prototypisches Quadrat‘ können die Klassenstufen 1 und 2 zu einer Gruppe zusammengefasst werden, die sich signiﬁkant von der Klassenstufe 3 unterscheidet – dabei schneiden die Lernenden in höheren Klassenstufen besser ab. Für den untypischen Repräsentanten ,Quadrat auf der Spitze‘ unterscheidet sich Klassenstufe 1 signiﬁkant von Klassenstufe 3. Für den untypischen Repräsentanten ,kleines Quadrat‘ unterscheidet sich die Klassenstufe 1 sowohl von Klassenstufe 3 als auch 4 signiﬁkant und zudem die Klassenstufe 2 signiﬁkant von Klassenstufe 3. Bei beiden Figuren zeigt sich in Klassenstufe 3 die höchste Lösungshäuﬁgkeit. Bei dem untypischen Nicht-Repräsentanten ,abgerundete Ecken‘ lassen sich die Klassenstufen 1 und 2 zu einer Gruppe zusammenfassen, die sich signiﬁkant von den K 606 J. Bruns et al. Klassenstufe 1 2 3 4 Figurengruppe (n=81) (n=102) (n=131) (n=122) Figur 2 MSD M SD M SD M SD F η Typische Repräsentanten 1 ‚prototypisches Quadrat‘ ,47 ,50 ,50 ,50 ,70 ,46 ,61 ,49 5,191 ,03 Untypische Repräsentanten 5 ‚Quadrat auf der Spitze‘ ,43 ,50 ,56 ,50 ,71 ,46 ,58 ,50 5,675 ,04 ** 14 ‚kleines Quadrat‘ ,26 ,44 ,38 ,49 ,56 ,50 ,45 ,50 6,718 ,04 Untypische Nicht-Repräsentanten ** 16 ‚quadratähnliche Raute‘ ,67 ,47 ,51 ,50 ,35 ,48 ,68 ,47 12,208 ,08 ** 7 ‚gebogene Seiten‘ ,78 ,42 ,73 ,45 ,66 ,47 ,91 ,29 7,949 ,05 ** 9 ‚abgerundete Ecken‘ ,63 ,49 ,63 ,49 ,44 ,50 ,81 ,39 13,207 ,08 Typische Nicht-Repräsentanten (mit rechten Winkeln) ** 12 ‚prototypisches Rechteck‘ ,89 ,32 ,86 ,35 ,86 ,35 ,68 ,47 7,377 ,05 2 ‚Rechteck auf der Spitze‘ ,86 ,34 ,85 ,36 ,84 ,37 ,70 ,46 4,164 ,03 8 ‚schmales Rechteck‘ ,95 ,22 ,92 ,27 ,92 ,27 ,80 ,41 5,879 ,04 Typische Nicht-Repräsentanten 3 ‚prototypisches Parallelo- ,86 ,34 ,82 ,38 ,82 ,39 ,79 ,41 0,653 - gramm‘ 15 ‚unregelmäßiges Viereck‘ ,89 ,32 ,80 ,40 ,76 ,43 ,92 ,28 4,651 ,03 4 ‚Trapez auf der Spitze‘ ,96 ,19 ,93 ,25 ,86 ,35 ,97 ,18 4,783 ,03 6 ‚langgezogene Raute‘ ,89 ,32 ,84 ,37 ,87 ,34 ,90 ,30 0,636 - 18 ‚Drachenviereck‘ ,93 ,26 ,85 ,36 ,93 ,25 ,98 ,13 4,781 ,03 11 ‚konkaves Viereck‘ ,98 ,16 ,97 ,17 ,95 ,23 ,99 ,09 1,526 - 10 ‚Stern‘ ,95 ,22 ,97 ,17 ,98 ,12 ,98 ,13 0,968 - 13 ‚Fünfeck‘ ,98 ,16 ,99 ,10 ,97 ,17 ,97 ,18 0,471 - 17 ‚offene Seite‘ ,86 ,34 ,89 ,31 ,88 ,33 ,89 ,32 0,123 - Abb. 8 Lösungshäuﬁgkeit der Items zum Begriffsumfang zum Begriff Quadrat getrennt nach Klassenstu- fe. Anmerkung: hellgraue Schattierung markiert Lösungsquoten über 75 %, dunkelgraue Schattierung mar- kiert Lösungsquoten unter 40 %. Effektstärken werden nach Cohen (1988) wie folgt eingeteilt: η 0,01: 2 2 kleiner Effekt; η 0,06: mittlerer Effekt; η 0,14: großer Effekt Klassenstufen 3 (schneidet schlechter ab als Klasse 1/2) sowie 4 (schneidet besser ab als Klasse 1/2) unterscheidet. Zudem zeigen sich signiﬁkante Unterschiede zwischen den Klassenstufen 3 und 4. Für die Figuren ,gebogene Seiten‘ und ,quadratähnliche Raute‘ lassen sich die Klassenstufen 2 und 3 zu einer Gruppe zusammenfassen, die sich signiﬁkant von der Klassenstufe 4 unterscheidet, wobei jeweils die Klassenstu- fe 4 besser abschneidet. Für die Figur ,quadratähnliche Raute‘ zeigt sich darüber hinaus ein signiﬁkanter Unterschied zwischen der Klassenstufe 1 und 3, wobei die Figur häuﬁger in Klassenstufe 1 als Nicht-Repräsentant identiﬁziert wird. Bei den typischen Nicht-Repräsentanten mit rechten Winkeln zeigen Post-Hoc- Tests, dass die Klassenstufen 1, 2 und 3 hinsichtlich ihrer Lösungshäuﬁgkeit zu- sammengefasst werden können und sich signiﬁkant von der Klassenstufe 4 unter- scheiden. Dabei werden alle drei Figuren in Klassenstufe 4 seltener als Repräsentant identiﬁziert. Sowohl bezüglich der Figur ,unregelmäßiges Viereck‘ als auch ,Trapez auf der Spitze‘ zeigen sich signiﬁkante Unterschiede zwischen den Klassenstufen 1 und 3, wobei die Figuren in der Klassenstufe 3 seltener korrekt als Nicht-Reprä- K Geometrisches Begriffsverständnis in der Grundschule 607 falsche oder holistische vollständige Definition Spezifizierung der unzureichende Beschreibung/Prototyp Eigenschaften Beschreibung Kl. 1 (n = 35) Kl. 2 (n = 83) Kl. 3 (n = 126) Kl. 4 (n = 116) Abb. 9 Erklärungen des Begriffs Quadrat nach Klassenstufe getrennt, Angaben in % sentant identiﬁziert werden. Für die Figur ,unregelmäßiges Viereck‘ ergeben sich darüber hinaus signiﬁkante Unterschiede zwischen den Klassenstufen 3 und 4, hier schneidet die Klassenstufe 4 besser ab. Die Lösungshäuﬁgkeit der Figur ,Drachen- viereck‘ unterscheidet sich zwischen den Klassenstufen 2 und 4 signiﬁkant mit höheren korrekten Lösungsraten in Klassenstufe 4. Zusammenfassend zeigt sich für den Begriffsumfang des Begriffs Quadrat, dass typische Nicht-Repräsentanten bereits ab Beginn der Grundschulzeit mehrheitlich si- cher korrekt identiﬁziert werden. Haben die Nicht-Repräsentanten jedoch vier rechte Winkel, zeigen sich in den Klassenstufen 3/4 niedrigere Lösungsquoten als in den Klassenstufen 1/2. Für die übrigen Figuren ergibt sich ein unklares Bild: Tendenziell zeigen sich für die untypischen Nicht-Repräsentanten die niedrigsten Lösungsquo- ten in Klassenstufe 3; gleichzeitig zeigen sich in Klassenstufe 3 auch tendenziell die höchsten Lösungsquoten für die (un)typischen Repräsentanten. Für alle Items des Begriffsinhalts des Begriffs Quadrat zeigen sich signiﬁkante Unterschiede in den Lösungshäuﬁgkeiten zwischen den Klassenstufen. Hinsichtlich des Items zur Erklärung des Begriffs Quadrats zeigt sich, dass in allen Klassen- stufen über die Hälfte der Schülerinnen und Schüler eine unzureichende Erklä- rung des Begriffs notiert (s. Abb. 9). Die Varianzanalyse deckt einen signiﬁkanten, aber schwachen Effekt der Klassenstufe (F(3,356) = 5,308, p= 0,001, η = 0,04) auf. Post-Hoc-Tests zeigen einen signiﬁkanten Unterschied zwischen der Klassenstu- fe 1 (M= 0,28, SD= 0,67) und den Klassenstufen 3 (M= 0,90, SD= 1,02) und 4 (M= 0,84, SD= 1,11) sowie zwischen den Lösungshäuﬁgkeiten der Klassenstufen 2 (M= 0,52, SD= 0,83) und 3. Bezüglich der Lösungshäuﬁgkeit des Items zur begründeten Identiﬁkation der Figur ,kleines Quadrat‘ als untypischer Repräsentant des Begriffs Quadrat zeigt sich ebenfalls ein signiﬁkanter Unterschied zwischen den Klassenstufen (F(3,413) = 12,311, p< 0,001) mit einem mittleren Effekt (η = 0,08). Post-Hoc- K 608 J. Bruns et al. Tests zeigen, dass sich Klassenstufe 1 (n = 74, M= 0,07, SD= 0,25) von den üb- rigen Klassenstufen signiﬁkant unterscheidet und Klassenstufe 2 (n = 96, M= 0,28, SD= 0,45) signiﬁkant von Klassenstufe 3 (n = 128, M= 0,45, SD= 0,50), nicht jedoch von Klassenstufe 4 (n = 119, M= 0,40, SD= 0,49). Hinsichtlich der Lösungshäuﬁgkeiten der Items zu den Seiten- und Winkeleigen- schaften des Quadrats zeigt sich ein signiﬁkanter Unterschied zwischen den Klas- senstufen mit mittlerem bzw. großem Effekt (Seite: F(3,408) = 16,218, p< 0,001, 2 2 η = 0,11; Winkel: F(3,406) = 23,874, p< 0,001, η = 0,15). Für beide Items zeigen Post-Hoc-Tests, dass sich die Klassenstufen 3 (Seite: n = 107, M= 0,76, SD= 0,43; Winkel: n = 107, M= 0,73, SD= 0,45) und 4 (Seite: n = 121, M= 0,79, SD= 0,41; Winkel: n = 121, M= 0,73, SD= 0,45) zu einer Gruppe zusammenfassen lassen. Bezüglich der Seiteneigenschaften lassen sich auch die Klassenstufen 1 (n = 82, M= 0,44, SD= 0,50) und 2 (n = 102, M= 0,47, SD= 0,50) zu einer Gruppe zusam- menfassen. Beide Gruppen 1/2 und 3/4 unterscheiden sich hinsichtlich der Lösungs- häuﬁgkeit des Items zu den Seiteneigenschaften signiﬁkant voneinander. Bezüglich der Winkeleigenschaften unterscheidet sich die Gruppe 3/4 signiﬁkant von der Klas- senstufe 1 (n = 81, M= 0,24, SD= 0,43) sowie von 2 (n = 101, M= 0,53, SD= 0,50). Zusätzlich unterscheiden sich auch die Klassenstufen 1 und 2 signiﬁkant voneinan- der. 8.4 Begriffsnetz Das Verständnis des Verhältnisses von Viereck – Rechteck bzw. Rechteck – Qua- drat wurde explizit in zwei Items untersucht. Deskriptive Analysen zeigen, dass in den Klassestufen 1 (n= 67 Bearbeitungen) und 2 (n= 70 Bearbeitungen) keines der beiden Items richtig gelöst wurde. Die Inklusion der Begriffe Rechteck – Quadrat wird auch in den Klassenstufen 3 und 4 nur in 1,6 % (n = 130, SD= 0,13) bzw. 5,0 % (n = 120, SD= 0,15) der Bearbeitungen richtig erkannt; die Inklusion der Be- griffe Viereck – Rechteck dagegen in 17 % (n = 130, SD= 0,38) bzw. 36 % (n = 120, SD= 0,48). Insgesamt lösen sieben Lernende (sechs davon aus Klassenstufe 4) beide Items korrekt. Entsprechend zeigt die Varianzanalyse einen signiﬁkanten Unterschied zwischen den Klassenstufen für das Item zur Klasseninklusion von Viereck – Rechteck mit großem Effekt (F(3,383) = 22,862, p< 0,001, η = 0,15), nicht aber von Rechteck – Quadrat (F(3,361) = 2,463, p= 0,062). Post-Hoc-Tests zeigen für das Item zur Inklu- sion Viereck – Rechteck, dass die Klassenstufen 1 und 2 hinsichtlich ihres Verständ- nisses zusammengefasst werden können und sich signiﬁkant von den Klassenstufen 3 und 4 unterscheiden. Zudem zeigt sich ein signiﬁkanter Unterschied zwischen den Klassenstufen 3 und 4. 9 Diskussion Ziel der Studie war eine detaillierte Deskription des Verständnisses der Begriffe Vier- eck, Rechteck und Quadrat in der Primarstufe und eine Suche nach Unterschieden zwischen einzelnen Klassenstufen, um weitere Annahmen zu Begriffsbildungspro- K Geometrisches Begriffsverständnis in der Grundschule 609 zessen hinsichtlich dieser Begriffe zu treffen. Im Folgenden werden zunächst die Limitationen der Studie aufgezeigt, um unter Berücksichtigung dieser die Ergebnisse zu diskutieren. 9.1 Limitationen Zunächst soll betont werden, dass die Ergebnisse Einblicke in die Unterschiede zwischen Klassenstufen erlauben, das Design jedoch keine Schlussfolgerungen über Entwicklungsverläufe zulässt. Außerdem handelt es sich um eine Gelegenheitsstich- probe, die nicht zufällig zusammengesetzt, sondern in Klassen geklumpt ist. So konnte durch einen moderaten Ressourceneinsatz eine große Stichprobe erreicht wer- den. Gleichzeitig kann es dadurch zur Verzerrung der Ergebnisse kommen, da das Begriffsverständnis der Lernenden durch den Mathematikunterricht, der im Klassen- verband erfolgt, geprägt ist. Um dieser Schwierigkeit zu begegnen, wurden 24 Klas- sen aus drei verschiedenen Schulen und in unterschiedlichen Bundesländern unter- sucht. Eine gewisse Verzerrung aufgrund der Unterrichtsvariablen (bspw. Lehrkraft, Schulbuch) kann dennoch nicht vollständig ausgeschlossen werden. Darüber hinaus könnten die Antworten der Schülerinnen und Schüler auch durch andere individuelle Faktoren als das Begriffsverständnis (bspw. Intelligenz, sprachliche Ausdrucksfähig- keit) beeinﬂusst sein. Da diese explorative Studie das Ziel verfolgte, Einblicke in das Verständnis ausgewählter Begriffe von Grundschülerinnen und Grundschülern zu geben und keine Kausalzusammenhänge untersucht, wurde von einer Kontrolle dieser Variablen abgesehen. Aufgrund der geklumpten Stichprobe und der fehlenden Kontrolle dieser Variablen sind die Ergebnisse diese Studie zwar nicht verallgemei- nerbar, geben aber dennoch detaillierte Einblicke in das Verständnis der ebenen Figurenbegriffe Viereck, Rechteck und Quadrat. Um das Verständnis der Begriffe Viereck, Rechteck und Quadrat in verschiedenen Klassenstufen zu erfassen, wurden standardisierte Items entwickelt. Dieser quantita- tive Zugang hat den Vorteil, dass Unterschiede zwischen den Klassenstufen auf einer allgemeinen Ebene sichtbar werden. Da die drei Indikatoren Begriffsumfang, -in- halt und -netz aus theoretischer Perspektive voneinander abhängen und verschiedene Items mit unterschiedlichen individuellen Begriffskonzepten richtig gelöst werden können, wurden in dieser Studie zunächst Einzelitems und keine Skalen betrachtet. Dabei bleiben mögliche Zusammenhänge zwischen den Items allerdings unberück- sichtigt. Die entwickelten Testitems erwiesen sich in Vorstudien größtenteils als geeignet zur Erfassung des Verständnisses der drei Begriffe. Einzig die geschlossenen Items zur Erfassung des Eigenschaftswissen in Bezug auf die Seiten zeigen auch in der Pi- lotierung noch Schwierigkeiten und wurden für die Hauptstudie erneut überarbeitet. Deskriptive Analysen mit den Daten der Hauptstudie ergeben, dass für alle drei Figu- ren die Antwortmöglichkeit ,Alle Seiten sind gleich lang‘ am häuﬁgsten ausgewählt wurde (Ausnahme: Rechteck Klassenstufe 1, hier tritt die Antwortoption ,weiß ich nicht‘ ebenso häuﬁg auf). Gleichzeitig stimmen der Antwortoption ,Je zwei Seiten sind gleich lang‘ prozentual die meisten Lernenden bei der Figur Rechteck zu und der Antwortoption ,Das ist egal‘ bei der Figur Viereck. Dies deutet daraufhin, dass diese Antworten von einem Teil der Lernenden als richtige Option erkannt werden. K 610 J. Bruns et al. Dass ca. 20 % der Lernenden (überwiegend aus den Klassenstufen 1/2) für die Figu- ren Rechteck und Quadrat die Antwortoption ,weiß ich nicht‘ wählen, deutet darauf hin, dass diese Antwortoption genutzt wird, statt zu raten. Unklar bleibt jedoch, ob die geringe Lösungsquote des Items für den Begriff Rechteck (ca. 20 %), auf fehlen- des Wissen oder die komplexe Formulierung der richtigen Antwort zurückzuführen ist. Mittelwertunterschiede zugunsten der Kinder, die angeben, eine weitere Sprache als Deutsch zu sprechen, sprechen eher dafür, dass das Item das Wissen der Kinder und nicht sprachliche Fähigkeiten misst. Zusammenfassend wird daher zunächst da- von ausgegangen, dass sich die Items mit Blick auf das Wissen der Lernenden zu den Seiteneigenschaften valide interpretieren lassen. Zusammengenommen zeigt die kritische Auseinandersetzung mit dem methodi- schen Vorgehen in dieser Studie einerseits Grenzen im Hinblick auf die Verallge- meinerbarkeit der Ergebnisse und andererseits weiteren Forschungsbedarf mit Blick auf die eingesetzten Instrumente auf. 9.2 Diskussion der Ergebnisse Trotz der angeführten Limitationen geben die dargestellten Ergebnisse detaillierte und bisher für den deutschsprachigen Raum nicht berichtete Einblicke in das Ver- ständnis der Begriffe Viereck, Rechteck und Quadrat in der Primarstufe, die erste Hypothesen über deren individuelle Begriffskonzepte zulässt und dadurch speziﬁ- sche Auffälligkeiten in Begriffsbildungsprozessen offenbart. 9.2.1 Diskussion der Ergebnisse zum Begriff Viereck Für den Begriff Viereck zeigt sich sowohl in den Lösungsquoten der Items zum Begriffsumfang als auch zum Begriffsinhalt ein qualitativer Sprung zwischen den Klassenstufen 2 und 3. Bezüglich des Begriffsinhalts ist bemerkenswert, dass eher jüngere Kinder Deﬁnitionen des Begriffs angeben, die dem formal-logischen Be- griffskonzept nahe kommen, während in allen anderen Items zum Begriffsinhalt die Lernenden der Klassenstufen 3 besser abschneiden als die der Klassenstufe 2. Die Ergebnisse weisen darauf hin, dass die Lernenden der Klassenstufen 3/4 zwar stärker die deﬁnierenden Eigenschaften des Begriffs Viereck fokussieren, die indi- viduellen Begriffskonzepte aber gleichzeitig prototypisch (Medin und Smith 1984; Rosch 1978) geprägt sein könnten. Weitere Anhaltspunkte für ein prototypisch geprägtes Verständnis des Begriffs Viereck zeigen sich in den Ergebnissen zum Begriffsumfang: Typische Repräsen- tanten (in diesem Fall Quadrate) werden häuﬁger korrekt identiﬁziert als untypische Repräsentanten. Dabei zeigen sich bezüglich der untypischen Repräsentanten Un- terschiede zugunsten der höheren Klassenstufen. Im Einklang mit den Ergebnissen vorheriger Studien (Grassmann et al. 2002; Höglinger und Senftleben 1997; Ree- mer und Eichler 2005; Unterhauser 2020) zeigt sich auch in dieser Studie, dass das Rechteck mindestens in den Klassenstufen 1 und 2 kein prototypisches Viereck ist. In der Verknüpfung der Ergebnisse zum Begriffsinhalt und Begriffsumfang ﬁnden sich Hinweise auf ein gleichzeitiges eigenschaftsbezogenes und ganzheitliches Ver- ständnis (s. Abschn. 4): So wird das ,konkave Viereck‘ als untypischer Repräsentant K Geometrisches Begriffsverständnis in der Grundschule 611 des Begriffs Viereck in allen Klassenstufen im reinen Identiﬁkations-Item deutlich seltener als Repräsentant ausgewählt als in dem entsprechenden Begründungs-Item. Daraus kann geschlossen werden, dass die Schülerinnen und Schüler – bei geeig- neter Aufgabenstellung (Battista 2007; Clements et al. 1999; Fuys et al. 1988)– diesen untypischen Repräsentanten als Viereck akzeptieren und ihre Identiﬁkation auch anhand von Eigenschaften richtig begründen, obwohl sie die Figur zunächst nicht als Repräsentant akzeptieren. Daraus kann vorsichtig gefolgert werden, dass Lernende nicht entweder ein eigenschaftsbezogenes oder ein ganzheitliches Ver- ständnis des Begriffs Viereck ausgebildet haben, sondern beide Verständnisweisen parallel auftreten. 9.2.2 Diskussion der Ergebnisse zum Begriff Rechteck Für den Begriff Rechteck zeigen sich vergleichsweise geringe Unterschiede zwi- schen den Klassenstufen. Hinsichtlich des Begriffsinhalts zeigt sich ähnlich zu vor- hergehenden Studien (Aktas¸ Arnas und Aslan 2010; Clements et al. 1999; Reemer und Eichler 2005) eine starke prototypische Prägung der Erklärungen in allen Klas- senstufen. Auffällig ist in allen Items zum Begriffsinhalt, dass die Lernenden den Winkeleigenschaften wenig Bedeutung beimessen und, wie auch in vorangegange- nen Studien gezeigt, vor allem die Seitenverhältnisse betrachten (Aktas¸ Arnas und Aslan 2010; Burger und Shaughnessy 1986; Clements et al. 1999; Maier 2019; Žilková und Kopáco ˇ vá 2018). Hinsichtlich des Begriffsumfangs gilt, dass Nicht-Repräsentanten, die größtenteils die Eigenschaft der Parallelität der Seitenpaare verletzen, sowie typische Repräsen- tanten in allen Klassenstufen sehr häuﬁg korrekt identiﬁziert werden; Quadrate als untypische Repräsentanten dagegen nur sehr selten. Im Widerspruch zu bisherigen empirischen Ergebnissen (Aktas¸ Arnas und Aslan 2010; Aslan und AktasA ¸ rnas 2007; Clements et al. 1999; Maier 2019; Unterhauser 2020) zeigt sich sowohl ein Einﬂuss der Orientierung parallel zum Blattrand als auch der konkreten Form der Figur auf die Lösungsrate, da sich in den Klassenstufen 1, 2 und 4 bei der Figur ,Rechteck auf der Spitze‘ und für die Klassenstufe 1–4 bei der Figur ,schmales Rechteck‘ niedrigere Lösungsraten zeigen als bei der Figur ,prototypisches Recht- eck‘. Unterschiede zwischen den Klassenstufen ergeben sich nur bei fünf Figuren – zwei davon sind untypische Repräsentanten, zwei untypische Nicht-Repräsentanten. Im Vergleich fällt auf, dass die Figur ,offene Seite‘ häuﬁg fälschlicherweise als Repräsentant des Begriffs Rechteck ausgewählt wird, obwohl diese Figur selten als Repräsentant des Begriffs Viereck gewählt wird. Dies könnte die These stützen, dass die Schülerinnen und Schüler die Figur – zumindest bis in die dritte Klasse – eher ganzheitlich betrachten und daher als Rechteck identiﬁzieren. Insgesamt deuten die Daten im Einklang mit der prototypischen Theorie (Medin und Smith 1984;Rosch 1978) darauf hin, dass individuelle Begriffskonzepte der Lernenden zum Begriff Rechteck in allen Klassenstufen eher prototypisch geprägt sind. Hinweise für eine Weiterentwicklung dieser individuellen Begriffskonzepte im Sinne der Stufenmodelle (van Hiele 1986; Vollrath 1984; Winter 1983) zeigen die Daten nur an vereinzelten Stellen. Bspw. wird das Item zu den Seiteneigenschaf- ten in der dritten Klassenstufe (nicht jedoch in Klassenstufe 4) häuﬁger korrekt K 612 J. Bruns et al. gelöst und untypische Repräsentanten sowie einzelne untypische Nicht-Repräsen- tanten in höheren Klassenstufen häuﬁger korrekt identiﬁziert. Die Tatsache, dass für den Begriff Rechteck deﬁnierende Eigenschaftsbegriffe (bspw. rechtwinklig) erst in den Klassenstufen 3 bzw. 4 thematisiert werden (Niedersächsisches Kultusministe- rium 2017), der Begriff Rechteck nach eigenen Analysen in vielen Schulbüchern jedoch bereits ab Klassenstufe 1 – meist in prototypischer Darstellung – verwendet wird, könnte hinderlich für die Entwicklung eines umfassenden Verständnisses des Begriffs Rechteck sein. 9.2.3 Diskussion der Ergebnisse zum Begriff Quadrat In der Aufgabe zum Begriffsumfang zeigen sich vergleichsweise niedrige Lösungs- quoten für die Repräsentanten des Begriffs Quadrat. Dies widerspricht bisherigen Ergebnissen, die für den Begriff Quadrat in der Regel höhere Lösungsraten zeigen als für den Begriff Rechteck (Aktas¸ Arnas und Aslan 2010; Aslan und AktasA ¸ rnas 2007; Clements et al. 1999; Kyriakides 1999; Reemer und Eichler 2005). Dabei fällt auf, dass die Orientierung parallel zum Blattrand der Figur ebenfalls entgegen bisheriger empirischer Ergebnisse (Aktas¸ Arnas und Aslan 2010; Aslan und Aktas¸ Arnas 2007; Burger und Shaughnessy 1986; Clements et al. 1999; Fuys et al. 1988; Hannibal 1999;Yin 2003) keinen Einﬂuss auf die Lösungsrate zu haben scheint, da die Lösungsraten für die Figur ,Quadrat auf der Spitze‘ jeweils nur knapp unter de- nen der Figur ,prototypisches Quadrat‘ liegen; die Größe der Figur dagegen schon (Lösungsraten für Figur ,kleines Quadrat‘ liegen deutlich unter denen der Figur ,prototypisches Quadrat‘). Insgesamt unterscheidet sich die Klassenstufe 4 in den Lösungsraten der Items zum Begriffsumfang am grundsätzlichsten von den übrigen Klassenstufen, jedoch ergibt sich kein einheitliches Bild: Beispielsweise wählen Ler- nende der 4. Klassenstufe einzelne untypische Nicht-Repräsentanten seltener (bspw. ,abgerundete Ecken‘), aber häuﬁger fälschlicherweise Rechtecke als Repräsentan- ten des Begriffs Quadrat aus. Die Ursache dafür könnte in einem beginnenden, aber noch nicht gefestigten Verständnis der Klasseninklusion liegen, welches dazu führen könnte, dass auch Rechtecke fälschlicherweise als Quadrate betrachtet werden. Für das Verständnis des Begriffsinhalts zeigen sich bedeutsame Unterschiede zwischen den Klassenstufen, insbesondere zwischen den Klassenstufen 2 und 3/4, wobei die Schülerinnen und Schüler in den Klassenstufen 3/4 höhere Lösungsraten zeigen. Gleichzeitig geben jedoch viele Lernende der Klassenstufen 3/4 unvollstän- dige Deﬁnitionen an, die nur die Seiteneigenschaften des Begriffs berücksichtigen. Zusammenfassend kann vermutet werden, dass – ähnlich zu dem Begriff Recht- eck – bei vielen Schülerinnen und Schülern insbesondere in den Klassenstufen 3/4 sowohl ein eigenschaftsbezogenes als auch ein prototypisches Verständnis des Be- griffs Quadrat vorherrscht. Die vorliegenden Daten lassen dabei teilweise vermuten, dass die individuellen Begriffskonzepte zu dem Begriff Quadrat über lange Zeit stark prototypisch geprägt sind (Fujita 2012). Gleichzeitig ergeben sich Hinweise darauf, dass sich prototypisches und eigenschaftsbezogenes Verständnis zeitlich versetzt ent- wickeln könnte. Dies zeigt sich bspw. in den Ergebnissen des Identiﬁkations- und Begründungsitems zur Figur ,kleines Quadrat‘: Während Schülerinnen und Schüler der Klassenstufe 1 und 2 das Item zur begründeten Identiﬁkation deutlich seltener K Geometrisches Begriffsverständnis in der Grundschule 613 korrekt lösen, also seltener korrekte Identiﬁkationen mit korrekten Begründungen stützen, nähern sich die Lösungsraten der beiden Items in den Klassenstufen 3 und 4 an. 9.2.4 Diskussion der Ergebnisse zum Begriffsnetz Mit Blick auf die Klasseninklusion zeigt sich ein heterogenes Bild: Während die Inklusion der Begriffe Viereck – Rechteck mehr als einem Drittel der Schülerinnen und Schüler der Klassenstufe 4 gelingt, scheint die Inklusion der Begriffe Recht- eck – Quadrat für Lernende aller Klassenstufen eine große Herausforderung zu sein. Dieses Bild deckt sich mit den Ergebnissen vorheriger Studien ebenso wie mit den Erkenntnissen dieser Studie, die in den Aufgaben zum Begriffsumfang gewonnen wurden. Erkenntnisse zum Begriffsumfang zeigen, dass Kinder den Begriff Viereck partitional klassiﬁzieren (Grassmann et al. 2002; Höglinger und Senftleben 1997, Unterhauser 2020) und vor allem die Begriffe Quadrat und Rechteck als voneinander getrennt ansehen (Burger und Shaughnessy 1986; Clements et al. 1999; Fuys et al. 1988;Heinze 2002a, b; Höglinger und Senftleben 1997; Koleza und Giannisi 2013; Maier 2019; Reemer und Eichler 2005; Vinner und Hershkowitz 1980;Yin 2003). Zusätzlich lassen die gefundenen individuellen Begriffskonzepte der Lernenden zu den einzelnen Begriffen Viereck, Rechteck und Quadrat auch gewisse Hürden für den Aufbau eines klasseninklusiven Begriffsverständnisses erkennen: Lernende neh- men zwar im Verlauf der Grundschulzeit Figuren stärker eigenschaftsbezogen wahr (bspw. die Seiteneigenschaften des Rechtecks), legen dabei die prototypische Prä- gung aber nicht vollständig ab (bspw. Figur ,offene Seite‘ wird weiter als Rechteck identiﬁziert). Dies kann dazu führen, dass Lernende Figuren zwar nicht mehr (aus- schließlich) ganzheitlich betrachten, jedoch nicht-deﬁnierende Eigenschaften (bspw. ein Rechteck hat zwei lange und zwei kurze Seiten) in ihre individuellen Begriffs- konzepte integrieren, wie es auch Fujita und Jones (2007) für ältere Schülerinnen und Schüler beschreiben. Diese Vorstellung ist hinderlich für ein Verständnis der Klasseninklusion Quadrat – Rechteck. 9.2.5 Schlussfolgerungen aus den Ergebnissen Die Ergebnisse der vorliegenden Studie geben Hinweise darauf, dass sich die indi- viduellen Begriffskonzepte von Lernenden zu den Begriffen Viereck, Rechteck und Quadrat bereits im Laufe der Grundschulzeit als eigenschaftsbezogen, aber proto- typisch geprägt erweisen. Darin könnten Schwierigkeiten im Begriffsverständnis in der Sekundarstufe begründet sein, wie bereits in vorherigen Studien vermutet wurde (Fujita 2012;Guncaga ˇ und Žilková 2019) und sich auch in Studien zu geometrischen Körpern zeigt (Wöller 2020). Diese Ergebnisse könnten die These stützten, dass Kinder gleichzeitig über unter- schiedliche Arten, Begriffe zu verstehen, verfügen, die miteinander konkurrieren und im Sinne überlappender Wellen interagieren (Chen und Siegler 2000, s. Abschn. 4). Alternativ könnten die Ergebnisse einen U-förmigen Entwicklungsverlauf nahele- gen (Strauss 1982;Siegler 2004). Dabei wird u. a. davon ausgegangen, dass Lernen- de bei der Entwicklung neuer, systematischer Ansätze zur Lösung von Problemen K 614 J. Bruns et al. diesem Ansatz Vorrang einräumen und dadurch Rückschritte in ihrer Leistung in Bezug auf speziﬁsche Probleme zeigen (bspw. Siegler 2004). Übertragen auf das Begriffsverständnis der Begriffe Viereck, Rechteck und Quadrat könnte das stärker eigenschaftsbezogene Verständnis der Figuren im Laufe der Grundschulzeit dazu führen, nicht nur deﬁnierende, sondern auch charakteristische Eigenschaft als not- wendig für einen Begriff zu betrachten. Dies würde wiederrum zu weniger korrekten Identiﬁkationen von insbesondere untypischen (Nicht-)Repräsentanten bzw. stärker prototypisch geprägten Erklärung des Begriffs führen. Anders als bei dem Modell der überlappenden Wellen würde das Modell der U-förmigen Entwicklung dabei von einer Weiterentwicklung des Begriffsverständnisses ausgehen und nicht von ei- nem Fortbestehen vorheriger Lösungsansätze. Weitere Forschung ist notwendig, um zu untersuchen, wann und warum sich prototypisch geprägte individuelle Begriffs- konzepte ausbilden und wie der Übergang zu einer stärker eigenschaftsbezogenen Wahrnehmung der ebenen Figuren im Laufe der Grundschulzeit genutzt werden kann, um die prototypische Sichtweise abzulegen bzw. ihr vorzubeugen. Darüber hinaus stellt sich aus didaktischer Perspektive die Frage, welche Bedin- gungen bereits im Elementarbereich bzw. im Geometrieunterricht der Grundschule dazu führen, dass Lernende ein prototypisches Verständnis der Begriffe entwickeln. Als mögliche Hürde wurde die versetzte Einführung der Begriffe Viereck, Rechteck und Quadrat und der Eigenschaftsbegriffe rechtwinklig und parallel ausgemacht, die Lehrkräfte dazu verleiten kann, diese Eigenschaften der Figuren in der Klassen- stufe 1/2 nicht zu thematisieren – auch wenn dies alltagssprachlich möglich wäre (Bartolini Bussi und Baccaglini-Frank 2015). In vielen Materialien der Grundschule und des Elementarbereichs sind zudem vorwiegend typische Repräsentanten der Be- griffe Rechteck und Quadrat zu ﬁnden, ebenso wie eine partitionale Klassiﬁzierung der beiden Begriffe. Auf Grundlage unserer Studie scheint es wichtig, von Anfang an und im Besonderen im Geometrieunterricht darauf zu achten, dass Lernende einerseits mit typischen und untypischen Repräsentanten und Nicht-Repräsentanten konfrontiert werden und andererseits selbst verschiedene Figuren erzeugen, manipu- lieren und miteinander vergleichen, damit anschlussfähige Begriffsbildungsprozesse ermöglicht werden. K Geometrisches Begriffsverständnis in der Grundschule 615 Anhang Tab. 5 Codierung des Items ,Erklärung des Begriffs Viereck/Rechteck/Quadrat‘ (Begriffsinhalt) Code Codebe- Codebeschreibung Ankerbeispiele Ankerbeispiele Ankerbeispiele Quadrat zeichnung Viereck Rechteck 0Falsche Die Erklärung ist falsch „Ein Viereck ist „Ein Rechteck hat „Ein Quadrat ist fast oder oder enthält nicht alle eine Form, die gerade Linien und wie ein Viereck nur unzu- zur eindeutigen Be- Ecken hat, aber vier Ecken.“ länger.“ rei- stimmung des Begriffs es ist egal, ob es „Es ist lang und „Ein Quadrat ist ein chende notwendigen Eigen- schief steht oder groß!“ bisschen kleiner als das Erklä- schaften ob es gerade Rechteck.“ rung steht.“ „Ein Viereck hat acht Ecken und sechs Platten.“ 1 Alltags- Die Erklärung nimmt „Ein Viereck „Ist wie eine „Ist so wie Fenster.“ beispiel, Bezug auf ein Alltags- sieht so aus wie Schultasche oder „Ein Quadrat sieht so ganz- beispiel, den ganzheit- ein Kissen.“ ein Block.“ aus [Bild von Quadrat heit- lichen Eindruck der „Ein Viereck „Ein Rechteck gezeichnet].“ liche Figur oder umfasst hat vier Ecken, sieht fast aus wie „Ein Quadrat sieht wie Erklä- neben deﬁnierenden die Ecken sind ein Viereck. nur ein kleines Blatt.“ rung, Eigenschaften auch gleich groß.“ dass ein Rechteck Proto- nicht-deﬁnierende Ei- „Ein Viereck hat langgezogen ist.“ typ genschaften, die auf vier gleich lange „Ein Rechteck hat ein prototypisches Ver- Seiten und vier zwei lange Seiten ständnis des Begriffs Ecken.“ und zwei kurze.“ hinweisen 2 Bezug Die Erklärung nimmt „Ein Viereck „Ein Rechteck hat „Ein Quadrat ist ein zu zen- Bezug auf zentrale hat vier Ecken vier zwei Seiten Viereck und hat vier tralen deﬁnierende Eigen- und gibt’s in gleich lang, die Ecken, alles Seiten sind Eigen- schaften des Begriffs. verschiedenen anderen Seiten gleich lang.“ schaf- für den Begriff Viereck Größen und auch gleich lang.“ „Ein Quadrat hat vier ten des ist damit eine eindeu- Formen.“ gleich lange Linien.“ Begriffs tige Bestimmung des „Ein Viereck hat „Ein Quadrat hat vier Begriffs möglich vier Seiten.“ gleiche Ecken.“ „Ein Vireck hat Virecken. Es ist Nicht Rund.“ 3 Vollständige Die Erklärung nimmt „Ein Viereck hat „Ein Rechteck „Ein Quadrat hat vier Deﬁni- Bezug auf zentrale deﬁ- vier Ecken. Die hat gegenüberlie- gleiche Ecken und vier tion nierende Eigenschaften Seiten können gende Seiten. Die gleiche Seiten.“ bzw. des Begriffs, sodass gleich lang Parallelen sind „Ein Quadrat, das ist so Speziﬁ- der Begriff eindeutig sein, aber auch immer gleichlang. wie den Rechteck, aber zierung bestimmt werden kann. unterschiedlich Es hat vier rechte ein bisschen anders, die der Für den Begriff Viereck lang. Seiten Winkel.“ hat die Seiten gleich Eigen- werden die deﬁnie- könne gerade lang.“ schaf- renden Eigenschaften aber auch schräg „Ein Quadrat hat auch ten weiter speziﬁziert sein.“ vier rechte Winkel und auch gleich lange Seiten.“ K 616 J. Bruns et al. Einordnung der Eigenschaften bzgl. Einordnung der Eigenschaften bzgl. Einordnung der Eigenschaften bzgl. des Begriffs Viereck des Begriffs Rechteck des Begriffs Quadrat nicht- nicht- nicht- definierende charakteristische definierende charakteristische definierende charakteristische definierende definierende definierende 1 ‚prototypisches alle Winkel alle 90° 4 Ecken alle alle Seiten gleich 4 Ecken alle - 4 Ecken Quadrat‘ lang alle Seiten gleich 4 Seiten 4 Seiten 4 Seiten lang Orientierung pa- Winkel alle 90° Winkel alle 90° Winkel alle 90° rallel zum Blatt- Orientierung pa- alle Seiten gleich gegenüberlie- alle Seiten gleich rand rallel zum Blatt- lang gende Seiten lang rand gleich lang Orientierung pa- Orientierung pa- rallel zum Blatt- Orientierung pa- rallel zum Blatt- rand rallel zum Blatt- rand rand 2 ‚Rechteck auf alle Winkel alle 90° 4 Ecken alle Seitenlängen 2:1 4 Ecken geschlossene Fi- Orientierung 4 Ecken der Spitze‘ gur nicht parallel Seitenlängen 2:1 4 Seiten Orientierung 4 Seiten 4 Seiten zum Blattrand 4 Ecken nicht parallel Winkel alle 90° Winkel alle 90° Winkel alle 90° Orientierung zum Blattrand nicht parallel 4 Seiten Seitenlängen 2:1 gegenüberlie- zum Blattrand gende Seiten Winkel alle 90° gleich lang gegenüberlie- Seitenlängen 2:1 gende Seiten pa- rallel Verletzt: alle Sei- ten gleich lang 3 ‚prototypisches alle Winkelmaß 4 Ecken geschlossene Fi- Seitenlängen 2:1 4 Ecken geschlossene Fi- Orientierung pa- 4 Ecken gur gur rallel zum Blatt- Parallelogramm‘ Seitenlängen 2:1 4 Seiten Orientierung pa- 4 Seiten 4 Seiten rand 4 Ecken rallel zum Blatt- 4 Ecken Orientierung pa- Seitenlängen 2:1 gegenüberlie- Orientierung pa- rand rallel zum Blatt- 4 Seiten gende Seiten 4 Seiten rallel zum Blatt- Orientierung pa- rand gleich lang rand rallel zum Blatt- gegenüberlie- gegenüberlie- rand gende Seiten pa- Seitenlängen 2:1 gende Seiten pa- rallel rallel Abb. 10 Einordnung der ausgewählten Figuren hinsichtlich ihrer Eigenschaften. Anmerkung: Bei den deﬁnierenden Eigenschaften werden die Eigenschaften aufgelistet, die bei der jeweiligen Identiﬁkationsﬁgur vorhanden sind. Erfüllt eine Figur ,alle‘ deﬁnierenden Eigenschaften, ist sie ein Repräsentant des entsprechenden Begriffs. Für Nicht-Repräsentanten werden ausgewählte verletzte Eigenschaften in der Spalte deﬁnierende Eigenschaften in kursiv festgehalten. Bei den nicht-deﬁnierenden Eigen- schaften werden für diese Studie relevante Eigenschaften gelistet. Fettgedruckte Eigenschaften bzw. verletzte Eigenschaften sind mit Blick auf die charakteristischen Eigenschaften systematisch variiert. Bei den charakteristischen Eigenschaften werden alle charakteristischen Eigenschaften aufgelistet, die bei der jeweiligen Identiﬁka- tionsﬁgur vorhanden sind Geometrisches Begriffsverständnis in der Grundschule 617 Verletzt: Winkel Orientierung pa- Verletzt: Winkel alle 90° rallel zum Blatt- alle 90°, alle Sei- rand ten gleich lang 4 ‚Trapez auf der alle Winkelmaß 4 Ecken geschlossene Fi- Orientierung 4 Ecken geschlossene Fi- Orientierung 4 Ecken Spitze‘ gur nicht parallel gur nicht parallel Seitenlänge 4 Seiten 4 Seiten 4 Seiten zum Blattrand zum Blattrand 4 Ecken 4 Ecken Orientierung nicht parallel 4 Seiten 4 Seiten zum Blattrand Verletzt: Winkel Verletzt: Winkel alle 90° alle 90°, alle Sei- ten gleich lang 5 ‚Quadrat auf der alle Winkel alle 90° 4 Ecken alle alle Seiten gleich 4Ecken alle Orientierung 4 Ecken Spitze‘ lang nicht parallel alle Seiten gleich 4 Seiten 4 Seiten 4 Seiten zum Blattrand lang Orientierung Winkel alle 90° Winkel alle 90° Winkel alle 90° nicht parallel Orientierung alle Seiten gleich gegenüberlie- alle Seiten gleich zum Blattrand nicht parallel lang gende Seiten lang zum Blattrand gleich lang 6 ‚langgezogene alle Winkelmaß 4 Ecken geschlossene Fi- Orientierung 4 Ecken geschlossene Fi- Orientierung 4 Ecken Raute‘ gur nicht parallel gur nicht parallel alle Seiten gleich 4 Seiten° 4 Seiten 4 Seiten zum Blattrand zum Blattrand lang 4 Ecken 4 Ecken alle Seiten gleich gegenüberlie- alle Seiten gleich Orientierung lang 4 Seiten gende Seiten 4 Seiten lang nicht parallel gleich lang gegenüberlie- gegenüberlie- zum Blattrand gende Seiten pa- gende Seiten pa- rallel rallel Verletzt: Winkel alle Seiten gleich alle 90° lang Verletzt: Winkel alle 90° 7 ‚gebogene Seiten‘ geschlossene Fi- Orientierung pa- 4 Ecken geschlossene Fi- Orientierung pa- 4 Ecken geschlossene Fi- Orientierung pa- 4 Ecken gur rallel zum Blatt- gur rallel zum Blatt- gur rallel zum Blatt- Orientierung pa- Orientierung pa- Orientierung pa- rand rand rand 4 Ecken rallel zum Blatt- 4 Ecken rallel zum Blatt- 4 Ecken rallel zum Blatt- rand rand rand Verletzt: 4 Seiten Verletzt: 4 Seiten Verletzt: 4 Seiten Abb. 10 (Fortsetzung) 618 J. Bruns et al. 8 ‚schmales Recht- alle Winkel alle 90° 4 Ecken alle Seitenlänge 4 Ecken geschlossene Fi- Orientierung 4 Ecken eck‘ nicht 2:1 gur nicht parallel Seitenlänge 4 Seiten 4 Seiten 4 Seiten zum Blattrand nicht 2:1 Orientierung 4 Ecken Winkel alle 90° Winkel alle 90° Winkel alle 90° nicht parallel gegenüberlie- 4 Seiten gegenüberlie- zum Blattrand gende Seiten pa- gende Seiten Winkel alle 90° rallel gleich lang gegenüberlie- Orientierung Orientierung gende Seiten pa- nicht parallel nicht parallel rallel zum Blattrand zum Blattrand Verletzt: alle Sei- ten gleich lang geschlossene Fi- alle Seiten gleich 4 Seiten geschlossene Fi- alle Seiten gleich 4 Seiten geschlossene Fi- Orientierung pa- 4 Seiten 9 ‚abgerundete Ecken‘ gur lang gur lang gur rallel zum Blatt- alle Seiten gleich gegenüberlie- alle Seiten gleich rand 4 Seiten Orientierung pa- lang 4 Seiten Orientierung pa- gende Seiten 4 Seiten lang rallel zum Blatt- rallel zum Blatt- gleich lang Orientierung pa- Verletzt: 4 Ecken gegenüberlie- Orientierung pa- Verletzt: 4 Ecken rand rand rallel zum Blatt- Orientierung pa- gende Seiten pa- rallel zum Blatt- rand rallel zum Blatt- rallel rand rand alle Seiten gleich lang Verletzt: 4 Ecken geschlossene Fi- - - geschlossene Fi- - - geschlossene Fi- -- 10 ‚Stern‘ gur gur gur Verletzt: 4 Ecken Verletzt: 4 Ecken Verletzt: 4 Ecken bzw. Seiten bzw. Seiten bzw. Seiten 11 ‚konkaves Vier- alle Winkelmaß 4 Ecken geschlossene Fi- Orientierung 4 Ecken geschlossene Fi- Orientierung 4 Ecken eck‘ gur nicht parallel gur nicht parallel Seitenlänge 4 Seiten 4 Seiten 4 Seiten zum Blattrand zum Blattrand 4 Ecken 4 Ecken Orientierung nicht parallel 4 Seiten 4 Seiten zum Blattrand Verletzt: Winkel Verletzt: Winkel Lage der Diago- alle 90° alle 90°, alle Sei- nalen ten gleich lang Abb. 10 (Fortsetzung) Geometrisches Begriffsverständnis in der Grundschule 619 alle Winkel alle 90° 4 Ecken alle Seitenlängen 2:1 4 Ecken geschlossene Fi- Orientierung pa- 4 Ecken 12 ‚prototypisches Rechteck‘ gur rallel zum Blatt- Seitenlänge 2:1 4 Seiten Orientierung pa- 4 Seiten 4 Seiten rand rallel zum Blatt- 4 Ecken Orientierung pa- Winkel alle 90° Winkel alle 90° Winkel alle 90° rand rallel zum Blatt- 4 Seiten Seitenlängen 2:1 gegenüberlie- Orientierung pa- rand gende Seiten Winkel alle 90° rallel zum Blatt- Orientierung pa- gleich lang rand rallel zum Blatt- gegenüberlie- rand Seitenlängen 2:1 gende Seiten pa- rallel Orientierung pa- rallel zum Blatt- Verletzt: alle Sei- rand ten gleich lang 13 ‚Fünfeck‘ geschlossene Fi- Orientierung pa- Orientierung pa- geschlossene Fi- Orientierung pa- Orientierung pa- geschlossene Fi- Orientierung pa- Orientierung pa- gur rallel zum Blatt- rallel zum Blatt- gur rallel zum Blatt- rallel zum Blatt- gur rallel zum Blatt- rallel zum Blatt- rand rand rand rand rand rand Verletzt: 4 Ecken Verletzt: 4 Ecken Verletzt: 4 Ecken bzw. Seiten bzw. Seiten bzw. Seiten alle Winkel alle 90° 4 Ecken alle 4 Ecken alle Orientierung pa- 4 Ecken 14 ‚kleines Quad- alle Seiten gleich rat‘ lang rallel zum Blatt- alle Seiten gleich 4 Seiten 4 Seiten 4 Seiten rand lang Orientierung pa- Winkel alle 90° Winkel alle 90° Winkel alle 90° rallel zum Blatt- Gesamtgröße Orientierung pa- alle Seiten gleich gegenüberlie- 4 gleich lange rand rallel zum Blatt- lang gende Seiten Seiten rand Gesamtgröße gleich lang Orientierung pa- Orientierung pa- Gesamtgröße rallel zum Blatt- Orientierung pa- rallel zum Blatt- rand rallel zum Blatt- rand rand 15 ‚unregelmäßi- alle Winkelmaß 4 Ecken geschlossene Fi- Orientierung pa- 4 Ecken geschlossene Fi- Orientierung pa- 4 Ecken ges Viereck‘ gur rallel zum Blatt- gur rallel zum Blatt- Seitenlänge 4 Seiten 4 Seiten 4 Seiten rand rand 4 Ecken 4 Ecken Orientierung pa- Orientierung pa- Orientierung pa- Orientierung pa- rallel zum Blatt- rallel zum Blatt- 4 Seiten rallel zum Blatt- 4 Seiten rallel zum Blatt- rand rand rand rand Verletzt: Winkel Verletzt: Winkel alle 90° alle 90°, alle Sei- ten gleich lang Abb. 10 (Fortsetzung) 620 J. Bruns et al. 16 ‚quadratähnli- alle Winkelmaß 4 Ecken geschlossene Fi- Orientierung pa- 4 Ecken geschlossene Fi- Orientierung pa- 4 Ecken che Raute‘ gur rallel zum Blatt- gur rallel zum Blatt- alle Seiten gleich 4 Seiten 4 Seiten 4 Seiten rand rand lang 4 Ecken 4 Ecken alle Seiten gleich gegenüberlie- 4 gleich lange Orientierung pa- lang 4 Seiten gende Seiten 4 Seiten Seiten rallel zum Blatt- gleich lang Orientierung pa- gegenüberlie- gegenüberlie- Orientierung pa- rand rallel zum Blatt- gende Seiten pa- Orientierung pa- gende Seiten pa- rallel zum Blatt- rand rallel rallel zum Blatt- rallel rand rand Verletzt: Winkel alle Seiten gleich alle 90° lang Verletzt: Winkel alle 90° 17 ‚offene Seite‘ 4 Ecken Winkel alle 90° 4 Ecken 4 Ecken Seitenlängen 2:1 4 Ecken 4 Ecken Orientierung pa- 4 Ecken rallel zum Blatt- Verletzt: Ge- Seitenlängen 2:1 Winkel alle 90° gegenüberlie- Orientierung pa- Winkel alle 90° gegenüberlie- 4 Seiten rand schlossene Figur gende Seiten pa- rallel zum Blatt- gende Seiten pa- Orientierung pa- Seitenlängen 2:1 gegenüberlie- Winkel alle 90° rallel rand rallel rallel zum Blatt- gende Seiten Orientierung pa- Orientierung pa- rand Winkel alle 90° gleich lang Winkel alle 90° rallel zum Blatt- rallel zum Blatt- rand Verletzt: Ge- Seitenlängen 2:1 Verletzt: Ge- rand schlossene Figur schlossene Figur, Orientierung pa- alle Seiten gleich rallel zum Blatt- lang rand 18 ‚Drachenvier- alle Winkelmaß 4 Ecken geschlossene Fi- Orientierung 4 Ecken geschlossene Fi- Orientierung 4 Ecken eck‘ gur nicht parallel gur nicht parallel Seitenlänge 4 Seiten 4 Seiten 4 Seiten zum Blattrand zum Blattrand 4 Ecken 4 Ecken Orientierung nicht parallel 4 Seiten 4 Seiten zum Blattrand Verletzt: Winkel Verletzt: Winkel alle 90° alle 90°, alle Sei- ten gleich lang Abb. 10 (Fortsetzung) Geometrisches Begriffsverständnis in der Grundschule 621 Funding Open Access funding enabled and organized by Projekt DEAL. Open Access Dieser Artikel wird unter der Creative Commons Namensnennung 4.0 International Li- zenz veröffentlicht, welche die Nutzung, Vervielfältigung, Bearbeitung, Verbreitung und Wiedergabe in jeglichem Medium und Format erlaubt, sofern Sie den/die ursprünglichen Autor(en) und die Quelle ord- nungsgemäß nennen, einen Link zur Creative Commons Lizenz beifügen und angeben, ob Änderungen vorgenommen wurden. Die in diesem Artikel enthaltenen Bilder und sonstiges Drittmaterial unterliegen ebenfalls der genannten Creative Commons Lizenz, sofern sich aus der Abbildungslegende nichts anderes ergibt. Sofern das betref- fende Material nicht unter der genannten Creative Commons Lizenz steht und die betreffende Handlung nicht nach gesetzlichen Vorschriften erlaubt ist, ist für die oben aufgeführten Weiterverwendungen des Materials die Einwilligung des jeweiligen Rechteinhabers einzuholen. 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Journal für Mathematik-Didaktik – Springer Journals

Published: Oct 1, 2021

Keywords: Begriffsverständnis; Geometrie; Grundschule; Viereck; Rechteck; Quadrat; Conceptual knowledge; Geometry; Elementary school; Quadrangle; Rectangle; Square

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Geometrisches Begriffsverständnis in der Grundschule am Beispiel der Begriffe Viereck, Rechteck und Quadrat

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