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par LAWRENCE BREEN SOMMAIRE INTRODUCTION ............................................................................... 39 I. G~N~RALITI~S ............................................................................ 45 II ALO~BRE SIMPLIGIALE ..................................................................... 56 Topo-logie ............................................................................. 57 Foncteurs ddriv& ....................................................................... 59 Prodults ............................................................................... 60 Accouplements de foncteurs d~riv6s; suspension ............................................ 65 Foncteurs d6riv& stables ................................................................. 68 Stabilisation dans la cat6gorle d6riv& ..................................................... 69 III. UNE R~SOLUTION CANONIQUE D'UN VAISCEAU ~m~LIEN ........................................ 72 Rappels sur la bar-construction ........................................................... 73 Construction de la r6solution canonique ................................................... 75 La suite spectrale fondamentale .......................................................... 76 L'alg6bre de Steenrod ................................................................... 77 L'alg~bre duale de l'alg~bre de Steenrod .................................................. 80 IV. FONCTEURS D]~RIV~S DE ~ ................................................................ 8 ~ L'alg6bre de Steenrod &endue et sa duale ................................................ 88 V. LES TERMES INITIAUX DE LA SUITE SPECTRALE FONDAMENTALE ................................. 94 Structures multiplicatives ................................................................ 97 VI. UN~ NOUVELLE R~.SOLUTION CANONIQUE .................................................... 98 vii ]~TUDE DES DIFFERENTIELLES SUPI~.RIEURES ................................................... lO 9 APPENDIGE : SPECTRES ET STABILISATION ......................................................... I I0 BIBLIOGRAPHIE ............................................................................... 123 Introduction. Soient G et H deux sch6mas en groupes commutatifs sur une base S. Le groupe Extl(G, H) des extensions de G par H a fait l'objet de nombreuses &udes. Son calcul a notamment 6t6 effectu6 par J.-P. Serre dans [62, chap. VII] lorsque G et H sont 39 4 ~ LAWRENCE BREEN lisses et sont ddfinis sur un corps de base. I] montre que ce calcul repose sur la connais- sance de la partie primitive (pour la comultiplication induite par la loi de groupe de G) du groupe de cohomologie Hi(G, H) du schdma G, k valeurs dans le faisceau reprdsentd par H, et d'un groupe de 2-cocycles sym~triques, k la Eilenberg-Mac Lane, calqufi sur celui permettant de rdsoudre le probl~me similaire pour des groupes abstraits Get H. Lorsque la base est un corps parfait de caractdristique p>o, le groupe Extl(G, H) est ddsormais bien connu, sans hypotheses de lissitd sur les groupes G, H (voir [5I], [i8]). De plus, une premiere 6tude des groupes Exti(G, H) d'extensions supdrieures de G par H a 6td entreprise par F. Oort, en utilisant une ddfinition de ces extensions ~ k la Yoneda ~). On a adoptd dans [9] une approche diffdrente qui consistait ~ plonger de la mani~re usueUe G et H dans une catdgorie de faisceaux abdliens sur S et ~t ddfinir le groupe Ex((G, H) comme i-~me foncteur ddrivd de Horn. On sait que ces deux ddfinitions coincident dans la plupart des cas lorsque i=I : c'est une consdquence d]dmentaire de la thdorie de la descente. De plus, on a montrd dans [9] que, lorsque la base est un corps parfait de caractdristique p, ces groupes d'extensions ne different au plus que par leurs composantes de p-torsion; cel]e-ci est gfindralement beaucoup plus grosse pour les Ext i foncteurs ddrivds, comme ]e montre l'exemple de [io]. En gdn~ral, on salt fort pea de chose sur les Ext i supdrieurs; on trouvera dans [I i] un thdor~me d'annulation valab]e pour une grande classe de groupes Get H, en des degrds relativement bas (I<i<2p--I). Ici, la ddmarche est inverse : on consid~re le cas particulier du groupe additif G~, dont la big~bre est la p|us simple qui soit, et l'on a mend les calculs des groupes Ex((G~, G~t pratiquement jusqu'au bout, k deux lacunes pr~s. Tout d'abord, on se borne k calculer les Ext dans la catdgorie des faisceaux de Fp-vectoriels, et non de tousles faisceaux abdliens. Par exemple, si l'on prend i=i, ceci revient k dliminer toutes les extensions, puisque l'on sait que les extensions abdliennes sont engendrdes par l'extension : o --> G,, --> W2 ---> G,, --> o et que le groupe des vecteurs de Witt W2 n'est pas d'ordre p. D'autre part, on n'a pas su d6terminer la structure d'alg~bre de Ext*(G~, G~) induite par le produit de Yoneda, dont on ne donne qu'une description conjecturale. Le rfisultat principal de notre travail est le thfior~me suivant (pour un dnoncd plus gdndral, voir le thdor~me (i. 3)) : TMor~me. -- Soient k le corps fini Fp ~ p figments, et G~ le groupe additif sur k, considdrg comme faisceau en Fp-vectoriels pour l'une des topologies usuelles ( Zariski, dtale, f.p.p.f.) sur un site sur k comprenant parmi ses objets l'espace affine A~ pour n quelconque. Alors : pour j >l o l~xt2J+l(Go, Go) = o Ext2J(G,, G,)=k[F]/(F *pi~/+l) pour j;>o vp( ) dgsignant la valuation p-adique sur les entiers rationnels. 40 EXTENSIONS DU GROUPE ADDITIF 41 La signification g~omfitrique de ces groupes d'extensions est obscure ~t l'heure actuelle et il semble bien qu'elle ne pourra fitre ~lucid6e qu'une lois 6tendu le concept d'objet g~om~trique (c'est-~-dire d'objet destinfi ~ ~tre 6tudifi par les g~om~tres) de fa~on ~t y englober ]es categories de Picard (voir [3], XVIII) et, mieux, les << n-categories de Picard )), objets dont la d~finition prdcise n'existe pas pour ]'instant. Rappelons titre &illustration qu'~ toute categoric de Picard stricte ~, telle que le groupe II0(~r ) des classes d'isomorphismes d'objets de ~ soit un groupe ab~lien A (resp. telle que le groupe IIl(~ ) des automorphismes de 1'objet neutre O de ~, soit un groupe abfifien B), on salt associer un invariant k(c~)eExt~(A, B) qui caract6rise cette cat6gorie fiquivalence pros (voir [63] ). Le m~me dnonc6 reste vrai par faisceautisation lorsque est un champ de Picard strict, A et B 6tant maintenant des faisceaux ab~liens. Remarquons figalement que l'on poss~de une assez bonne interpretation g~om~- trique, au sens traditionnel, d'un groupe Ext ~, puisque l'un des th6or~mes principaux de la th~se de L. IUusie [34, chapitre VII, th6or~me (4.2. I)] est que l'obstruction au rel~vement ~t S d'un S0-schfima en groupes commutatifs plat G o (So 6tant un sous-sch~ma fermfi de S d6fini par un Id6al de carrfi nul) est un dl6ment de Ext*(G0, L), off L est un certain objet de la cat6gorie d6riv6e des faisceaux construit ~ partir du complexe cotangent de G O sur S 0. II existe d'aiUeurs une dfimonstration non r~dig~e de ce th~or~me, due ~ P. Deligne, qui utilise le formalisme des catfigories de Picard mentionn6es ci-dessus. Pour en revenir au cas particulier du groupe additif, il semble que la nullit6 du groupe Ext~(G,, G~) des extensions dans la categoric des faisceaux abfiliens (qui ~ pro- prement parler n'est pas du ressort du th6or~me qu'on se propose de d6montrer ici, mais plut6t de [~ x]) soit connue de divers auteurs, notamment de J. Tate. On en trouve une trace dans les calcuIs de 3-cocycles sym6triques de Heaton [33] et d'Effroymson [23]- Ces calculs sont notamment ~ la base du th~or~me de ddformation des groupes formels de Lubin-Tate [4~], leur signification 6tant d6sormais clarifi6e par le r6sultat de L. Illusie que l'on vient de mentionner. Quant aux groupes Exti(G~, G~) avec i>2, ils n'interviennent pour l'instant en gfiom~trie que sous la forme suivante, qui dolt ~tre consid6r6e comme la principale application de notre th6or~me ~ l'heure actueUe : soit G~ ~a'~ la restriction du faisceau G~ au site des schfimas parfaits au-dessus d'un corps parfait k de caractdristique p;>o. On remarquera que l'homomorphisme de Frobenius F : G~---~ C~, a'~ est bijectif. Or le th~or~me ~noncfi ci-dessus impfique notamment que tout ~lfiment de Ex((G,, G~) est tu6 par une puissance de F. II est facile d'en dfiduire le corollaire suivant, par un argument de passage ~ la limite. Corollaire. -- Dans la catdgorie des faisceaux abgliens sur le site parfait au-dessus de k (pour la topologie ~tale ou zariskienne), on a Ext"(G~ arf, G~)=o pour n>I. Ce corollaire est un point technique important dans la demonstration que J. Milne a r6cemment donn6e d'un thdorSme de dualit6 plate pour les surfaces [48]. On en trouvera une demonstration directe h partir des quatre premiers chapitres de ce travail 6 42 LAWRENCE BREEN dans un exposd de l'auteur au S6minaire de gdom~trie algdbrique d'Orsay (1976-1977) intitul6 Extensions du groupe additif sur le site parfait (~ paraitre). On va calculer ici les groupes Ext ~ par la mdthode des r5solutions canoniques, ddjk employde dans [9] et [i i] : afin de calculer Exti(G, H) on consid~re les groupes d'hyper-extensions Exr H), off X(G) est un complexe de faisceaux tel que (O,I) H0(X(G))~G et que chaque composante X(G)i de X(G) soit de la forme Z[Y] avec Y un faisceau repr~sentd par un schdma de la forme y_ G m 0.2) OU Y~Gm� ~, off A est un faisceau constant (1). (o.3) Les suites spectrales usuelles d'hypercohomologie permettent alors, dans les bons cas, de calculer ExC(G, H) ~t partir des groupes de cohomologie H*(Y, H) des schdmas Y. Tant qu'on se contentait, comme dans [9], [ii], de calculer les groupes Ext ~ pour i petit, il suffisait de prendre pour X(G) le complexe des cha3nes sur le faisceau simpIicial K(G, n) associd au faisceau G. C'est un complexe relativement simple ~t ddcrire, qui satisfait ~t (o. I), (o.2), et dont l'homologie est bien connue. N[ais pour le calcul qui nous concerne ici, il s'est r5v~15 indispensable d'utiliser une r5solution canonique X(G) de G, satisfaisant aux conditions (o.2) ou (0.3). Une telle r&olution canonique a 5t5 ddfinie par S. Mac Lane [43], en utilisant une construction cubique. L'objet qui nous servira iciest une version simpliciale de celle-ci, qui satisfait k (o. 3) mais qui est malheu- reusement bien plus difficile ~t ddcrire que la prdcddente (voir la remarque (3.2) pour quelques variantes). Signalons ~t ce propos un progr& technique important. Soit X un faisceau simplicial de connexit5 suffisamment grande dont les composantes sont du type (o.3); alors le faisceau simplicial Z[X] engendr5 par X est N-quasi-isomorphe, pour N assez grand, ~t un faisceau simplicial du m~me type (voir la proposition (6.5) pour une assertion pr5cise). Ceci se trouve ddj~t 5nonc6 (dans le cas ponctuel off la question de la repr&en- tabilitd n'apparait 5videmment pas) dans [36] et, sous une forme plus directement utilisable, dans l'article de D. Anderson ([2], II). Cette remarque est assez inattendue, dans la mesure off elle est 5videmment fausse pour un faisceau simplicial constant associd ~ un sch5ma X, puisque le faisceau Z[X] n'est alors pratiquement jamais repr&entable. Elle permet de se libdrer du carcan que reprdsente la condition (o.3), donc de remplacer X(G) par des r&olutions canoniques dont la description est 5ldmentaire; on peut s'attendrc k ce que leur utilisation connaisse un grand ddveloppement ~ l'avenir. (1) Z[Y] d&igne le faisceau abfilien libre engendr6 par Y, not6 Zy dam [3], Z (Y) dam [34]- 42 EXTENSIONS DU GROUPE ADDITIF 43 On verra que les calculs effectu6s ici font appel, k la diff6rence de [9] off seul le calcul des groupes d'homologie d'un espace d'Eilenberg-Mac Lane intervenait, ~ une grande partie de l'arsenal de ]a topologie alg6brique. II est tout d'abord indispensable d'uti]iser la description moderne de l'homologie des espaces d'Eilenberg-Mac Lane (donn~e par Milnor), c'est-~-dire de connaitre la structure de l'alg~bre duale de l'alg~bre de Steenrod. On utilise en outre, pour achever la ddmonstration en caract~ristique impaire, des r~sultats tr~s calculatoires, dont la complexit6 est en partie cach6e par des renvois des r6f6rences : d'une part un thdor~me de S. Kochman sur ]a nature des produits de Massey sup~rieurs dans le complexe des chalnes d'un espace de lacets it6r6s, et d'autre part les relations de Nishida entre les op6rateurs de Dyer-Lashof sur de tels espaces et les transpos6es en homologie des op6rations de Steenrod. G'est la complexit6 m~me de ces calculs qui nous oblige k consid6rer simultandment le complexe X(G) k la Mac Lane, qui est du type bar-construction sur une alg~bre, et pour lequel les r6sultats qu'on vient de citer sont disponibles, et les r~solutions plus 61~mentaires mentionn6es ci-dessus pour lesquelles (o. 3) n'est plus satisfait. Ceci nous contraint ~ une v6rification, de nature technique, de la compatibilit6 entre ces diverses rfisolutions. Son seul m~rite est d'expliquer ]a r6solution de Mac Lane, qui apparaissait jusqu'ici assez peu naturelle, malgr6 la description extr~mement compacte qu'en a donn6e L. Illusie dans [34]. Pour faciliter la compr6hension de ceUe-ci, on a esquiss6 dans un appendice la construction assez ardue, mais pourtant n~cessaire, qu'Illusie effectue dans ( [34], VI, I I) du foncteur stabilis6 associ~ k un foncteur non additif. Cet appendice contient 6galement des sorites sur les accouplements de foncteurs d6riv~s dont on a besoin ici, et qui ne figurent pas dans [34]- Les m6thodes employdes expliquent la nature un peu hybride de ce travail. Alors qu'il s'adresse par son r6sultat aux g6om~tres (pour lesque]s, d'autre part, le cadre des topos dans lequel on s'est plac6 est naturel), il utilise des outils familiers aux seuls topo- logues. I1 nous a donc paru indispensable, afin de ne pas d6courager le lecteur par des renvois syst~matiques ~ la littdratui e, de faire des rappels fastidieux pour les sp6cialistes. Ainsi le premier paragraphe ne fait qu'dnoncer, dans un cadre axiomatique, les pro- pridtds dldmentaires de l'alg~bre des sections et de la cohomologie de l'espace affine et du schdma constant associ6 au groupe Zip. Quant au second, il r6sume le formalisme de la cat6gorie homotopique des faisceaux simpliciaux ddvelopp6 par D. Quillen [53], L. Illusie [34] et K. Brown [12], ainsi que le formalisme, dfl ~ Dold-Puppe, des foncteurs d6riv~s des foncteurs non additifs. On rappeUe alors au w 3 la construction de la r6solution de Mac Lane. On y a 6galement rduni les principaux rdsultats classiques sur l'alg~bre de Steenrod et sa duale. Ce n'est qu'au moment off l'on entreprend le calcul des termes initiaux de la suite spectrale fondamentale aboutissant aux groupes Exr G~) que l'on s'~loigne des sentiers battus. Cependant il convient de signaler que le premier de ces calculs, A savoir celui des groupes de cohomologie H*(K(Ga, n), Ga) des faisceaux d'Eilenberg-Mac Lane K(Ga, n) a ddj~ 6t6 effectud sous une forme ou une autre par divers auteurs. Tout d'abord, lorsque n=i, ces groupes ne sont rien d'autre que les << groupes de cohomologie de l'analyseur /-3 44 LAWRENCE BREEN classique ~t coefficients dans les entiers modulo p >~ 6tudi6s par M. Lazard dans [40], et l'on g6n6ralise ici sa ddmonstration au cas de n quelconque. D'autre part, au langage pros, ces rdsultats ont dtd dgalement obtenus, par d'autres mdthodes, par S. Priddy [52], et l'interprdtation que l'on donne ici de ces groupes comme groupes d'op6rations cohomo- logiques dans un topos dclaire bien ses r6sultats. Signalons ~t ce propos que des op6rations de Steenrod en cohomologie dtale ont ~t6 introduites par Mich~le Raynaud [56]. A vrai dire, l'auteur a renonc~ ~t son projet initial qui 6tait d'entreprendre de mani~re gdn6rale l'6tude des op6rations de Steenrod dans les topos. En effet, ce travail a d6j~t dt~ effectu6, dans un cadre 16g~rement diffdrent, par D. B. A. Epstein et il a paru prdfdrable de ne pas reprendre cette 6tude d61icate, afin de ne pas allonger ddmesur6ment ce texte (voir [27] ). Observons 6galement que le ph6nom~ne de la non-trivialitd des extensions sup6- rieures du groupe additif repose en derni~re analyse sur un fait bien connu de tous ceux qui ont eu k 6tudier les op6rations de Steenrod en cohomologie ~ coefficients dans un faisceau ([27], [8]) : l'op6ration de Steenrod p0 (resp. Sq ~ de degr~ o s'identifie l'op6ration cohomologique induite par l'homomorphisme de Frobenius sur les coefficients, et non ~ l'op6ration identique comme c'est le cas en cohomologie ~t coefficients dans Zip. Le dernier point de convergence avec des calculs connus est le suivant : il semble que l'6nonc6 de la proposition (7.7) ne diff~re gu~re de calculs effectu6s par D. Kraines, dans un tout autre contexte ( [38], th. (3.3)). Plut6t que de traduire son assertion, formul6e dans un autre langage, il a paru prdfdrable de donner une ddmonstration directe, dans notre cadre, du r6sultat qui nous importait. I1 sera clair ~ la lecture de ce travail que l'auteur a 6t6 influenc6 par l'dtude accomplie par L. IUusie de la cat6gorie ddriv6e des faisceaux simpliciaux. On pourra ~galement se r6f6rer ~t la catdgorie homotopique associ6e ~ la cat6gorie des faisceaux simp]iciaux introduite par D. O uillen et 6tudide par K. Brown ([53], [I2]). Ces diverses cat6gories fournissent le formalisme qui est ~t la base de notre 6tude. On salt que le but de la topologie alg6brique (classique) est le calcul d'invariants homotopiques, plut6t que la mise en place, pourtant n6cessaire, du formalisme de ]a catdgorie homotopique. On dolt consid6rer ce travail comme un premier pas dans l'dtude des invariants analogues, pour la topologie alg6brique dans le cadre faisceautique. On mesurera la complexitd et ]a richesse de la nouvelle situation au fait que le calcul des groupes d'extensions de groupes ab61iens (abstraits) s'effectue en quelques lignes. Je remercie les membres du << Laboratoire de Math6matiques de l't~cole Po]y- technique >> pour leur hospitalit6 lors de la pr6paration de ce travail. La r6daction d6finitive en a 6t6 entreprise dans le cadre de I'E.R.A. 451 du C.N.R.S. k l'Universit6 de Rennes. La frappe a 6t6 effectu6e par Mme J. Liger avec un soin pour lequel je lui suis reconnaissant. O u'il me soit permis d'exprimer ici ma gratitude ~ D. Anderson, A. K. Bousfield, L. Illusie, B. Mazur, S. Priddy, G. Segal et W. Singer pour leur aide. A des titres divers, ils m'ont prodigud des conseils prdcieux et des encouragements amicaux tout au long de l'61aboration de ce texte. Je suis 6galement reconnaissant ~t P. Cartier pour sa lecture 44 EXTENSIONS DU GROUPE ADDITIF 45 attentive d'une premi6re version du manuscrit. La forme que rev~t la version ddfinitive doit beaucoup ~t ses pertinentes remarques. x. G6n6ralit6s. Soient ~ un univers, Tun ~/-topos (on omettra toujours eg dans la notation). Choisissons un objet final e de T ou, ce qui revient au m6me, un morphisme u : T -+ (ens) de T dans le topos ponctuel (voir [3], IV, (4.3)). Pour tout ensemble I, muni de l'une des structures alg6briques usuelles (loi de groupe, d'anneau, etc.) on notera I l'objet constant de T qui lui est associd. Pour un nombre premier p>o fix6, soient 0 un objet de T muni d'une structure d'Anneau commutatif de caract6ristique p, et R=HornT(e , (9)~u,((9) l'anneau des sections globales de (9. Le morphisme d'adjonction : (i.i) q~ : R:u*u,(9~(9 munit (9 d'une structure de R-alg6bre. De plus, l'homomorphisme canonique ~ : Fp-+ R induit un morphisme canonique d'Anneaux : (I.2) 0~ : A-+R (A ddsignant l'anneau constant associ~ ~t Fp), d'ofl, par restriction des scalaires, une structure de A-alg6bre sur (9. I1 sera commode de d6signer par G a l'objet de la cat6- gorie T A des A-modules de T obtenu ~ partir de (9 par oubli de la structure multiplicative, et par D l'objet de T sous-jacent, 6ventuellement point6 par la section nulle. Le choix des notations G a (groupe additif) et D (droite a/fine) sera justifid par l'exemple (i.4). Pour tout objet X de T, ~(X) ddsignera << l'anneau des fonctions de X >>, soit HornT(X , (9). On observera que la structure d'anneau de 9( ) induit un produit externe : (I.3) ~ : ~(X)| ) -+ ~(XxY) pour route paire d'objets X et Y de T. En particulier, en prenant X = e, on obtient une structure naturelle de R-alg6bre sur ~(Y), et donc, par restriction des scalaires, de Fp-alg6bre. Soit M un [p-module de type fini. Par abus de langage, on appeUera << R-dual >> de M le R-module M*: Homvp(M, R). On a, bien stir, un isomorphisme canonique de R-modules (1V[ v ddsignant le Fp-module dual de M) : M*_~MV| R. On conviendra d'autre part de noter M| le A-module M| ~ de T. Ces notations 6tant choisies, remarquons qu'il existe un homomorphisme naturel de R-modules q0(M) :M*-+ 9(M| obtenu en associant ~t un 616ment feM* la fl6che compos6e suivante (off g est le morphisme canonique provenant de la structure de R-module de (9 d6crite pr6cddemment) : M| t| g > R| > G~. 48 4 6 LAWRENCE BREEN q~(M) se prolonge de mani~re unique en un homomorphisme de R-alg~bres, fonctoriel en M : (x.4) q~R(M) : SymR(M*) ~ ~(M| SymR(P ) (ou Sym(P) lorsque cela ne prate pas ~t confusion) ddsignant l'alg~bre symd- trique associde ~t un R-module P. On fait l'hypoth~se suivante sur g? : A1 : Pour tout Fp-module de type fini M, q~R(M) est un isomorphisme. Remarque (x. x). -- Tout choix d'une base de M permet d'identifier M| avec le produit G] de n copies de G~. Compte tenu de cette identification, AI se rdcrit : A I' : L'homomorphisme de R-alg~bres : : R[xl, ..., x,] --, qui envoie x i sur le i-kme morphisme de projection, est un isomorphisme. Formulons une seconde hypoth~se sur l'objet ~ : A2 : Pour tout objet X de T de la forme X=M| (M gtant un Fp-module de type fini) on a Hq(X, G~)= o pour q>o. En particulier, pour M=o, M| s'identifie ~ l'objet final e et l'on postule notamment que Hq(e, G,) est nul pour q>o. A titre d'initiation au thdor~me principal, on va maintenant rappeler le calcul classique du groupe Hom(G~, G~)= Homz(G~, Ga) lorsque 9 satisfait 5 AI : par hypo- th~se, tout morphisme dans T de D dans lui-m~me correspond ~ un polyn6me F(x) eR[x] ; dire que c'est un homomorphisme pour la loi de groupe de G, revient ~ affirmer, vu la remarque (I. I), que ce polyn6me satisfait dans R[x,y] ~ : f(x +y) =f(x) § I1 est bien connu que c'est le cas si et seulement sif(x) est de la forme f(x) =g(x p) avec g(x)eR[x]. Ainsi l'anneau des endomorphismes de G, est ddcrit par le Lemme (x.2). -- L'anneau des endomorphismes de G a s'identifie gt l'anneau de Hilbert- Witt H des polyn6mes non commutatifs en une variable F sur l'anneau R, la multiplication dtant caractdrisge par : (x.5) Fa=a~ et donc dgfinie, plus gdngralement, sur des mondmes, par la r~gle : (I. 6). (bFJ) (aF ~) = ba~ i+j pour tous a, beR, ~ d6signant le Frobenius absolu sur R. Le mon6me F i correspond au morphisme d'dldvation k la puissance pi-i6me de 0. 46 EXTENSIONS DU GROUPE ADDITIF 47 I1 rfisulte de ce lemme que les produits de Yoneda k gauche et ~ droite induisent sur chaque groupe Exff(G,, G~) une structure de (H, H~ Nous sommes maintenant en mesure d'dnoncer le r6sultat principal de ce travail. TMor~me (I, 3)" -- Soit @ un objet en anneaux, de caractr p premiere positive, d'un topos T. Supposons que @ satisfasse aux conditions AI et A2 dgfinies ci-dessus. Alors : I) Ext~i+'(Ga, Ga)----o pour tout j>o. 2) On a pour tout j~>o un isomorphisme de (H, H~ : Ext~(G=, Ga) = H/I~, j>o, oh Ij est l'id~al bilat~re de H engendr~ par F ~ vp d6signant la valuation p-adique sur les entiers rationnels. Donnons tout de suite l'exemple qui motive le choix de la notation employde : Exemple (i-4)- -- Soient S = Spec(R) un schdma affine de caract6ristique p>o, Tle topos des faisceaux sur le gros site fid~lement plat de prdsentation finie sur S (f.p.p.f.), et ~V le faisceau structural. On sait que le faisceau d'ensembles sous-jacent D est repr6sentd par un objet du site, k savoir la droite affine A~= Spec R[X] sur S. Plus g6n6ralement, avec la notation de AI, soient i~I R le faisceau quasi cohdrent sur S associ6 au R-module MR= MQR, W(I~IR) le faisceau de @s-modules correspondant sur le site f.p.p.f, sur S ([I9], I, (4.6. I)), qu'on consid~re comme un A-module par restriction des scalaires. On a un isomorphisme : W(MR) -~ MOO, et l'on salt que pour tout M de type fini W(I~R) est reprdsent6 par le schdma affine Spec(SymR(M*)), compte tenu de ([I9] , I, corollaire (4.6.5)). I1 rdsulte alors du lemme de Yoneda que : ~(M| Ga) = Ga(Spec (SymR(M*)))-- SymR(M*) ce qui montre que AI est satisfait. La ddmonstration de A2 est plus profonde : le << thdor6me 90 de Hilbert ~> de Grothendieck affirme, dans sa forme additive, que pour tout schdma X et pour tout i>/o : (I, 7) I-I~ppf(X , Oa ) z I-I~t (X , Ca ) z I-I/zar(X, Oa), Or on vient de voir que tout faisceau X de la forme X----MQGa est reprdsent6 par un schdma affine, ce qui entraine par le thdorSme de Serre ([3o], (I.3)) : H~ar(X, G~) ---- o pour i>o, donc A2 est satisfait. Voici deux variantes de l'exemple (i .4) : gxeglp[6 (I.5), -- Dans la ddmonstration de AI dans l'exemple prdcddent, on a seulement utilisd le fait que M| a dtait reprdsentd par un objet du site, ainsi que 47 48 LAWRENCE BREEN la ddfinition du faisceau structural. De plas, on vient de voir que A2 ~tait valable pour des topologies moins fines que la topologie f.p.p.f. Ainsi, on peut prendre pour Tle topos des faisceaux sur le gros site 6tale (resp. Zariskien) sur S, 9 6tant toujours le faisceau structural. Un sous-site quelconque de ceux-ci convient 6galement, pourvu qu'il contienne l'espace affine de dimension quelconque n au-dessus de S. Par contre le petit site des sch6mas 6tales sur S (resp. des ouverts Zaxiskiens de S) ne convient pas, puisque 0 n'est plus reprdsent6 par un objet du site. Exemple (x. 6). -- On peut m~me prendre la topologie chaotique, autrement dit considdrer le topos T des pr6faisceaux sur la cat6gorie (Sch/s) des schdmas sur S = Spec(R), O 6tant de nouveau le faisceau structural. Dans ce cas, si l'on se restreint ~ la cat6gorie des schdmas affines au-dessus de S, T s'identifie ~ la catdgorie ~R des foncteurs covariants de la cat6gorie des R-alg6bres dans celle des ensembles. Les A-modules (resp. les Z-modules) de T correspondent aux foncteurs k valeurs dans la catdgorie des Fp-espaces vectoriels (resp. des groupes abdliens). ~ est maintenant le foncteur << oubli de structure >> de la cat6gorie des R-alg6bres dans ceUe des ensembles, muni de sa structure natureUe d'objet en anneaux de caract6ristique p de T, done Go : (R-alg) -+ (Fp-vect) est le foncteur << oubli de structure partiel >~. ~ satisfait ~ AI pour les mfimes raisons que darts l'exemple i. A2, par contre, est ici 616mentaire : en effet le foncteur sections globales est exact dans une cat6gorie de prdfaisceaux, ce qui entraine l'annulation des groupes de cohomologie sup6rieurs. Observons pour terminer qu'un 616ment f de Horn~(M| NQG~) est exactement une application polynomiale de M dans N. Le point de ddpart pour l'dtude de telles applications dans [57] est d'ailleurs la ddmons- tration de AI qui vient d'etre donn6e. Signalons qu'il existe 6gaiement une version relative du th6or~me. On remarquera tout d'abord que pour tout objet Y de T on sait d6finir (en appliquant la construction de (I. 4) au topos T [ Y) un morphisme : q0R,(M ) : Syma,(U~, ) -+ HomTIy(M| , G~IY) off R' est la R-alg~bre Horn,r(Y , ~). La premi6re hypothase relative est : AI rel. : Pour tout Fp-module de type fini M, et pour tout objet Y du topos T, ~0R,(M ) est un isomorphisme. Quant ~ la seconde, c'est dvidemment : A2 rel. : Pour tout objet X de T de la forme X---:M| on a Rqf.(f*G~)=o pour q>o, f gtant le morphisme structural de X. On d~slgne par Hle faisceau O[F] des polyn6mes non commutatifs en une variable F sur l'Anneau (9, la ]oi de multiplication 6tant ~t nouveau donn6e par (i .6); Ij est l'Id6al bilat~re engendr6 par Fp(~)+I. On a alors le 48 EXTENSIONS DU GROUPE ADDITIF Thgor~me (x.7). -- Soit r un Anneau commutatif de caractgristique p>o d' un topos T satisfaisant aux conditions AI rel. et A2 rel. Alors : I) gxt2~+l(G,, G,)----o, j~>o; 2) ext2~(G., G~)=H/lj, j>o. Le th6or~me (i.7) se d6montre de fa~on tout ~ fait similaire au th6or~me (i .3) en faisceautisant ~t chaque stade de la d6monstration. Aussi nous bornerons-nous dans ce qui suit ~ la ddmonstration du cas absolu. La version relative est utile dans la mesure off elle permet d'dtudier les groupes Exti(Ga, Ga) lorsque i'hypoth~se A2 rel. est satisfaite, alors que A2 ne l'est pas : on dispose en effet de la suite spectrale de passage du local au global : E~'q----H'(e, #xtq(G~, G~)) :*- Ext'+q(G~, G,) et le th6or&me (I .7) permet donc d'en 6tudier le terme E2. On se trouve notamment dans cette situation lorsque, dans l'exemple (I.4) ci-dessus (et sa variante (1.5)), on prend pour base un schdma S de caractdristique p;>o qu'on ne suppose plus affine. Passons maintenant en revue diverses consdquences de l'hypoth~se AI. Celles-ci sont bien famili&res dans le cadre de l'exemple (I .4). La discussion suivante n'est alors que l'6tude des big~bres assocides aux sch6mas en groupes G~ et A, ainsi que les comulti- plications sur les alg~bres affines associ6es aux lois d'anneaux sur 0 et A. On 6tudiera 6galement les big&bres duales, au sens de Cartier. I1 convient tout d'abord de remarquer que, pour deux Fp-vectoriels de type fini M et N, le produit externe ~ :~(M|174174174174 d6fini en (I.3) est un isomorphisme. Ceci r6sulte de la commutativit6 du diagramme suivant, dans lequel on a n6glig6 d'expliciter certains isomorphismes 6vidents : SymR(M*) | SymR(N* ) > SymR(M* X N* ) 9 (~) | ~(~) ~(M x N) ~(M@Ga) @~(N| P) ~((M xN) | off q0 est l'isomorphisme canonique SymR(AxB) ---> SymR(A)QSymR(B ) lorsque A (resp. B) | le R-module libre M* (resp. N'). Le lemme suivant est une cons6quence imm6diate des consid6rations pr6c6dentes. Lemme (x. 8). -- La comultiplication .@(M| G,~) ) -@((M@ Ga) x (M| G,,)) ~-' > N(MeG~) |174 induite par la loi de groupe m de M| correspond, via les isomorphismes ~R (I.4), ~ la comultiplication : (x .8) m* : Sym(M*) -+ Sym(M* � M*) -+ Sym(M*)| *) induite par l'application diagonale A : IV[* --~ M* � M*. 7 5 ~ LAWRENCE BREEN On peut 6galement associer h tout homomorphisme de Fp-vectoriels u : M| un morphisme A-bilindaire dans T, en utilisant la loi d'anneau v : O| : a: (M|162174 ~ (M|174174 > M|174174 "| P|162 la premi&re fl~che 6rant la projection canonique et la seconde la permutation des tenseurs. Celui-ci induit un homomorphisme d'alg&bres : p-'o~(,) : ~(P|162 --> ~((M|162174 --> ~(M|174174 Lemrne (i .9). -- Le diagramrne suivant est commutatif, 0~ i : E~SymRE est l'injection canonique et la fl~che horizontale interrngdiaire est l'unique homomorphisrae d'alg~bres rendant le carrl infd'rieur commutatif : if* Sym(P*) - Sym(M*)| 'T ~'| U* p* > M*| N* Dgmonstration. -- Par fonctorialit6 de ?R, on peut supposer que u=IM| s. I1 suffit de v6rifier que le carr6 compos6 commute, ce qui revient ~ montrer que pour tout meM* (resp. neN*), le diagramme suivant est commutatif, ?(rn) (resp. ?(n), resp. ?(re| d6signant l'616ment q0(M)(m) (resp. ?(N)(n), resp. ?(M| : (M| x(N| > MQNQO ~x~- > d~ Cette derni6re assertion est 616mentaire. Soit M un Fp-vectoriel. Nous allons maintenant donner une description similaire de l'anneau des fonctions ~(M)= Horr~(M, (9) du A-module constant 1~ de T associd M. Par d6finition de M, on a : (x. 9) ~(M) = Homo,s(M , R) = HomR.,,od(R [M], R) (off R[M] d~signe la R-alg~bre du group| M). Soit ~(M) : SymR(M* ) --> Home.,(M , R) l'homomorphisme d'alg6bres induit par l'inclusion de M* dans Hom,~,(M, R). Soit m un 61dment de MY; son image (notde 6galement m) dans M"| satisfait ~ la relation mP=m dans Hom(M, R). 50 EXTENSIONS DU GROUPE ADDITIF 5 I De mani&re g6n6rale, soient Pun Fp-module, PR le R-module obtenu par extension des scalaires. Notons ~(PR) l'alg6bre quotient de SymR(PR) par l'Id6al J--J(P) engendr6 par les 616ments de la forme raP--m, pour tout mePCP. On vient d'observer que +R(M) se factorise en un homomorphisme d'alg6bres : zR(M) : ~(M*)-+ ~(M). Le lemme suivant, qui est l'analogue de A1 pour le faisceau constant M, est vrai sans hypotheses suppl6mentaires. Lemme (x. IO). -- Pour tout Fp-vectoriel de type fini M, xR(M) est un isomorphisme. Une fois choisie une base X1, ..., X~ de M, ]e lemme est un cas particulier du lemme suivant, qu'on d6montre par rdcurrence sur n. Lemme (x. II). -- Soit S une Fp-alg~bre. L'homomorphisme de S-alg~bres : Z, : SIX,, ..., X,~]/(X[--X1, ..., X~--X,) -+ Home~(F;, S), qui envoie X~ sur la compos& de la i-kme projection F;---> Fp et de l'inclusion canonique, est un isomorphisme. A un Fp-vectoriel M, on associe l'homomorphisme : ~(M) : M M| lo0 ) M| avec ~ = q~ o 0~ (voir (I. I), (I. 2)). On v6rifie que le diagramme suivant est commutatif, la fl6che horizontale infdrieure 6tant l'homomorphisme canonique : Sym(M*) , ,J(M*) Puisque ~(M) est un homomorphisme de groupes, la comultiplication sur ~(M) induite par la loi de groupe sur M correspond via l'isomorphisme ZR(M) ~ la comultiplication sur v(M*) induite par passage au quotient par J ~ partir de l'homomorphisme d'alg~bre m* d6fini en (I.8). Le lemme (I. io) et l'hypoth6se AI ont une g~n~ralisation commune : Corollaire (i.,2). -- Soient (9 un objet de T satisfaisant ~ l'hypoth~se A~, et M, N deux F~-vectoriels are type fini. Alors l'homomorphisme d'algkbres : po (;(R(N)� : ~(N*)| --> ~(N) |174 -> ~(N x (M| est un isomorphisme. 51 52 LAWRENCE BREEN Ceci r6sulte des isomorphismes d'adjonction : HomT(N � (M@ G,), G~) = HomT(N , ~,~omT(M@ G., G~)) =Hom~,(N, Horn~(MQG., G~)) = Homens(N , Sym(MR)) et du lemme (i.ii). En particulier it r6sulte du corollaire (I. 12) que le produit externe : p : ~(N)| --> ~(N�174 estun isomorphisme. On observera que la fl6che O : A---~0 estun homomorphisme d'anneaux et donc que, pour tout homomorphisme u : MQN~P de Fp-modules, le diagramme suivant est commutatif : I1 M� M| ~ P u| M�174 * M|174 9 P| Si l'on applique le foncteur contravariant 9( ) ~ ce diagramme, on obtient un dia- gramme de R-alg6bres qui correspond, via les isomorphismes q~R et ZR, au diagramme suivant, off les fl6ches verticales sont les surjections canoniques : Sym (M*) @ Sym (N*) )/ 1 I. IO) Sym(P*) .~* , v(M*) | Sym(N*) v(P*) .* ~. v(M*)Qv(N*) On remarquera que les fl6ches horizontales se ddduisent toutes de n~ par passage au quotient. Compl6tons cette description des consfquences de nos hypotheses en remarquant que l'hypoth6se A2 a ell| aussi une gdn6ralisation faisant intervenir les faisceaux constants : Proposition (i. i3). -- Soient Met N des Fp-modules, 0 un objet de T satisfaisant a A2. Alors H~((M|215 pour i;>o. Ceci rdsulte de la formule de Ktinneth, qui est facile ~ d6montrer dans le cas qui nous int~resse. La platitude du A-module A x engendr6 par un objet quelconque X 52 EXTENSIONS DU GROUPE ADDITIF 53 de T entralne notamment Hsomorphisme suivant, dans la categoric d~rivde des A-modules de T (les produits tensoriels dtant pris sur A) : i, A~|174 __ AM| M ~ A(~| ) x/~ d'ofl une suite spectrale : E~ ,j = Exti(AM|162 @xtJ(Al~, (9)) ~ Exti+J(A(~|162215 N, (~). Or les foncteurs I~--~d~ I) sont les foncteurs d~rivds du foncteur : I~o%f0m(As, I) = I" (avec n = rg N). Ils s'annulent donc pour j>o, ce dernier foncteur 6tant exact. On en d~duit, par A2 et par l'additivitd des foncteurs Ext ~, que E~ '~ = o pour (i,j) ~ (o, o), d'ofi l'annulation de l'aboutissement en degr6s positifs, ce qu'il fallait d6montrer, compte tenu de ([3], v, (3.5)). Pour terminer, on explicitera les structures duales de celles d6crites ici. Commen~ons par rappeler que l'on a, pour tout R-module M, un accouplement canonique de l'alg~bre sym6trique et de l'alg~bre ~t puissances divisdes FR(M ) (que l'on notera parfois F(1V[)) : (l. I l ) I~R (M) | Sym (IVl.) --> R (off 1VI ddsigne le R-module Hom(M, R)). I1 permet d'identifier, pour M de type fini, chacune de ces alg~bres, munie de la comultiplication induite par la diagonale sur M, avec la bigSbre duale gradude de l'autre. De plus la bigSbre duale (non gradude) de Sym(l~I) s'identifie au moyen de (i. i i) k la bigSbre formelle F(M), compldt6e de F(M) pour la topologie lindaire pour laquelle l'ensemble ordonnd des U s = @ F~(M) forme un syst&me fondamental de voisinages de o. P(M) n'est autre que le produit 1-IPi(M) des parties homog~nes Pi(M) de r(M). Rappelons, pour fixer les id6es, que la comuhi- plication u sur F(M) transpos~e de la multiplication sur l'algSbre symdtrique est ddfinie par : Fv (m) =,+Z= | La transposde de l'application n~ associde en (I. io) ~ un homomorphisme u : M| est peu agrdable ~ dcrire. C'est une fl~che : (x.iz) na : F(M)~F(N) --> F(P) nulle sur les composantes de la forme Fi(M)| ) avec i+j et caract~ris~e sur sa restriction : (na)i : r,(y[) | r,(N) -~ r,(e) rdM)| par na(u |165 ) ='F~(u(rn, n) ). En fait, pour i = s. = tj j J (x. x3) n3('~'81(~/'1) " " " 'Y,r(mr)@"~'1(nl) " " " "~'k (nk)) : "~S ~ "~a'J(u(ml" nj)) 53 54 LAWRENCE BREEN off a=(%) parcourt l'ensemble des matrices de type r� ~ coefficients entiers non k r ndgatifs tels que s~=j?ta 0 et tj=~=ta 0 (voir [6]). Passons maintenant k la big~bre ~(M*). Vu (i .9) et le lemme (i. io), sa big~bre duale est bien dvidemment la R-alg~bre RIM] associde au groupe M, munie de la comultiplication induite par la diagonale sur M. La transposde de l'application : ,~(P*) ~ v(M') | associde en (I. IO) ~ un homomorphisme n : M| est l'homomorphisme : (I.I4) R[M]| ~> R[MxN] > R[M| n~,~ R[P]. I1 reste ~t expliciter la transposde de l'homomorphisme canonique Z : Sym(MR) -+ v(MR). Proposition (x .x4). -- La transpose'e de Zest l'application exponentieUe : exp : RIM] -+ FR(MR ) dgfinie sur les gdngrateurs de R[M] par : (I. I5) exp(m) = ~] y,(m) (oit ~ d~signe l'image de m dans MR). D~monstration. -- On commence par remarquer que exp est un homomorphisme de R-alg6bres, ce qui rdsulte de la relation : Vk(m + n) = E j,(m) | "+j= dans l'alg~bre ~t puissances divisdes. De plus l'homomorphisme exp est compatible la comultiplication sur R[M] (resp. P(M)) induite par la diagonale sur M. Ceci permet de v6rifier la formule : (exp(m), f) = ( m, z(f)) dans le seul cas off f~MR=Syml(MR). C'est alors immddiat. Ecrivons pour terminer le diagramme transposd de (i. IO); compte tenu de ce qui pr6c6de, c'est : R [M] | R IN] "' . RIP] (I. I6) I / P(MR) | F(NR) off n 1 (resp. na) est la fl6che ddfinie en (i. i4) (resp. (i. i3) ) et les fl&hes verticales non identiques sont les exponentielles (i. i5). Quant k n2, il rdsulte de la commutativitd du 6~ EXTENSIONS DU GROUPE ADDITIF 55 diagramme et de la d~finition de n 3 qu'eUe est ddfinie, pour tous meM et nl, ..., nkeNR, par : (x. x7) n2([m] @Vtl(nx)... Vt,(nk)) = Vtl(u(N, nx))... Vtk(u(m, nk) ). Remarque (x. I5). -- I1 est prdf~rable d'dviter dans ce qui suit tout recours aux anneaux topologiques. Observons donc que pour tout i>~o, la fl~che n 2 de (i. i6) d6finit par restriction un homomorphisme : R[M]| -+ F'(PR). Puisque F(M)= ~ F~(M), ceci s'dtend en un homomorphisme de modules graduds : ~>~0 RIM] | r(NR) -+ r(PR), R [M] 6tant concentr6 en degr6 o. La fl~che n;~ de (I. i o) s'interpr~te comme la transposde de celui-ci, au sens des modules duaux gradu6s. Remarque (I.I6). -- Toutcs les considdrations qui prdc6dent demeurent valables ]orsque l'on se place dans la cat6gorie T" des objets X de T pointds par une section x : e-->X. En particulier 0 (resp. M| est point6 par l'61~ment neutre pour sa loi de groupe, ce qui permet de d6finir l'anneau ~(X) des applications pointdes de X dans g) (resp. l'anneau ~(1V[| ). L'homomorphisme qDR(M ) (I.4) se restreint en un homomorphisme : q~+(M) : Sym+(M *) --~ ~.(M| Sym+( ) ddsignant l'id6al d'augmentation dans l'alg6bre symfitrique. On d~finit d'autre part les groupes de cohomologie r6duite comme foncteurs ddriv~s du foncteur ~ section point6e .. Ceci revient ~t poser, pour (X, x) un objet de T" : X* H'(X, G~)=ker(Hq(X, G~) ---> Hq(e, O,)). I1 est facile de voir que les hypothSses AI et A2 impliquent les variantes pointdes suivantes : AI pt. : Pour tout Fp-module de type fini M, ~+(M) est un isomorphisme. A2 pt. : Pour tout X de la forme M| Hq(X, Ga)=o. On en ddduit des r6sultats similaires ~ tous ceux 6nonc6s ci-dessus. On remplace ~( )par ~.(), Hq( )par Hq(), Sym( )par Sym+( )et ~( )par l'image v+( ) de Sym + par la projection canonique Sym( ) --> ,~( ). Dualement, il convient de remplacer l'alg6bre R[M] engendrde par le R-module M (resp. P(M)) par son quotient : (,. x8) R+ [M] = RIM]/Rio] (resp. r+(M) =r(M)/r0(M)). 85 5 6 LAWRENCE BREEN 2. Alg~bre simpliciale. On rassemble ici, pour la commodit6 du lecteur, les principaux r6sultats d'alg~bre simpliciale qui seront utilis6s par la suite. Ils ont g6n6ralement pour origine le mdmoire de A. Dold et D. Puppe [21]. La description qu'on en donne iciest largement inspir6e de la th6se d'Illusie. Gelui-ci a en effet adapt6 une partie de cette th6orie au cadre des topos (on aura aussi intdr~t ~t consulter ~t ce propos [53] et [12]). tll'est k lui que nous empruntons la d61icate description des foncteurs stabilis6s qui termine ce chapitre. Soit X un objet simplicial d'une cat6gorie 5. On notera dg (resp. st) la i-6me fl~che de face (resp. de d6gdn6rescence) de source X,. On simplifiera la notation end i (resp. si) lorsqu'il n'y a pas de confusion possible. Pour tout foncteur F : ~--+~, on notera 6galement F, sans autre pr6cision, le foncteur de la cat6gorie Simpl(~) des objets simpliciaux de ~ dans Simpl(~) ddfini par : (FX), = F(N) avec les op6rateurs face et ddgdndrescence 6vidents. Commen~ons par rappeler qu'~t tout objet simplicial X d' une cat6gorie ab61ienne ~', on sait associer fonctoriellement de deux mani6res diffdrentes un complexe de d, ~t diff6rentielle de degr6 --I, nul en degrds n6gatifs. D'une part, on d~finit le complexe associ~ X de X par : X,=X, pour tout n, la diff6rentielle d : X~ ~ X,~-I 6tant d6finie par d=~(--I)Jd]. D'autre part, le complexe normalis6 NX de X est d6fini par : (2. I ) (NX)n= N ker(r : X~ -+ X,_l) , i>0 la diffdrentielle sur (NX), 6tant la restriction de d o ~t (NX),. On observera que NX est un sous-complexe de X, et en fait on a un scindage : ---- NX| DX 6tant le sous-complexe d6g6n6r6 de X, ddfini par (DX)~=Uim(s~-l). En fait on v~rifie par le catcul que DX est homotopiquement trivial, ce qui implique le lemme suivant : Lemme (2. x ). -- L'inclusion NX-+:~ est une e'quivalence de cha~nes. Passons maintenant ~ la construction fondamentale de Dold-Puppe. Soit C. (~r la cat6gorie des complexes de ~ nuls en degrds n6gatifs. Pour la d6monstration du th~or6me suivant, on renvoie ~t [21]. Th/or~me (o. 2) (Dold-Puppe). -- Le foncteur N : Simpl(~r -+ C(~r poss~de un quasi-inverse K. 56 EXTENSIONS DU GROUPE ADDITIF Dgfinition (2.3)- -- Soit P un objet de ~'. On dgfinit, pour n >>. o, un objet d'Eilenberg- Mac Lane K(P, n) dans Simpl(~r par : K(P, n)= K(P [n]) P[n] itant le complexe concentr~ en degr~ n de valeur P. Remarques (2.4).- a) K(P, o) n'est autre que l'ensemble simplicial constant P de valeur P. b) K(P,n)~=o pour i<n. c) K(P, n)i= pi, I 6rant l'ensemble des applications surjectives f : (i) -+(n) dans la cat6gorie usuelle A. En particulier card(I)--(~). d) Soit T ~ le foncteur translation de degr6 + i sur C. (A). Le th6or6me pr6cfdent permet de le transporter en un foncteur translation sur Simpl(A) et l'on 6crira X[i] pour KTiN(X). En particulier, K(P, n -t- i) = K(P, n) [i]. e) Pour n<o, on d6finit de mfime un objet cosimplicial K(P, n) de A en renversant toutes les fl~ches dans K(P, --n). Topo-logie Le cadre dans lequel nous 6tudierons la th6orie homotopique et homologique des K(P, n) est le suivant : soit Tun topos; on va ddfinir, d'apr~s Illusie, la catfigorie d6rivde des faisceaux simpliciaux de T. C'est une gdn6ralisation commune de la notion de catdgorie ddriv6e, due k Verdier, et de la catfigorie homotopique telle qu'elle est dficrite dans [28]. Soit X un objet simplicial de T, pointfi par une fl~che x : e-+X (e ddsignant l'ensemble simplicial constant associ~ ~t l'objet final e de T). Par faisceautisation ~ partir de la d6finition usuelle des groupes d'homotopie d'un ensemble simplicial, on associe la paire (X, x) un objet ~(X, x) de T muni d'une structure de groupe (resp. de groupe abdlien) pour i~>o (resp. i[>i), qu'on appelle le i-~me faisceau d'homotopie de X. On dit qu'une fl~che f: X-+Y dans Simpl(T) est un quasi-isomorphisme (resp. un N-quasi-isomorphisme) si les applications induites ~(f):~i(X, x)-+ ~(Y,f(x)) sont des isomorphismes (resp. sont des isomorphismes pour i<N et un ~pimmphisme pour i=N). Deux fl~ches f, g : XHY sont homotopes s'il existe une application I� dans Simpl (T) satisfaisant ?i la condition usuelle (I dtant le faisceau constant simplicial de T associ6 ~i l'ensemble simplicial << intervalle unit~ >> usuel). Ceci pos6, on dfifinit comme d'habitude la cat6gorie Hot. (T) des objets simpliciaux de T, les morphismes 6tant les classes d'homotopie d'appfications simpliciales, et on a la D~finition (2.5). -- On appelle catggorie dgrivge des faisceaux simpliciaux sur T la carl gorie D. (T) localis~e de Simpl(T) par rapport aux quasi-isomorphismes. En fait, lorsque T a assez de points, l'ensemble des quasi-isomorphismes admet un calcul de fractions ~t gauche darts la catfigorie Hot. (T) et D. (T) est fiquivalente la cat~gorie localisde de Hot. (T) par rapport aux quasi-isomorphismes. 8 58 LAWRENCE BREEN Lorsque X est un groupe simplicial, la definition prdcddente, assez peu maniable, des faisceaux d'homotopie de X, 6quivaut ~ la suivante, qui est indEpendante du choix du point de base : (2.2) ~i(X) = H~. (NX) (on remarquera que le terme de droite a un sens m~me si X n'est pas abElien). En particulier, on a par construction : (2.3) v:i(K(P, n))---- Hi.(NK(P , n)) = I~.(P[n]) = P, i=n =o, i 4=n ce qui justifie la terminologie employee. Soient maintenant XeSimpl(T), R un anneau de T. Par analogie avec le cas ensembliste, on dEfinit les groupes d'homologie de X par : I~.(X, R) = H~.(R[X] ~), R[M] dEsignant le R-module de T engendrE par un objet M de T, et ( )'~ le foncteur ~( complexe associE )) dEfini ci-dessus. Compte tenu de (2.2) et du lemme (2. I), on a : H~.(X, R) =H~.(NR [X]) = ~,(R[X]). On dEfinit de m~me, pour X pointE par x : e-*X, les groupes d'homologie rdduite de X (avec la notation de (I.I8)), par : (2.4) Hi(X, R) = Hi(R + [X])~ ~,(R + [X]). I1 rEsulte de ces definitions que pour tout anneau R, l'appfication canonique : (2.5) e: X--~R[X] (resp. X-+R+[X]) induit sur les groupes d'homotopie des homomorphismes, dits de I-Iurewicz : (2.6) : , dx, -+ R) (2.7) (resp. 3~i : rq(X, x) ~ Hi(X, R)). Exemple (2.6). -- Soit S" la sphere simpliciale pointEe, obtenue ~ partir du n-simplexe type A(n) en contractant son bord /k(n) en un point. DEsignons Egalement par S" le faisceau simplicial constant de T qui lui est associd. I1 est facile de verifier sur la definition de K(R, n) que : (2.a) R+[S "] K(R, n), d'ofl un homomorphisme : (2.9) or : S"-+ K(R, n). Signalons, pour enterminer avec les groupes d'homologie, que l'on a, dans le cadre des topos, un thEor~me de Whitehead : TMor~me (2.7) ( [34], I, (2.2)). -- Soit F : X-+ Y un morphisme de faisceaux simpliciaux dans un topos T posse'dant assez de points. Sif est un quasi-isomorphisme (resp. un n-quasi-isomorphisme pour n> 2), alors R[f] est un quasi-isomorphisme (resp. un n-quasi-isomorphisme). 58 EXTENSIONS DU GROUPE ADDITIF 59 Foncteurs dgrive's Nous aurons ~t 6tudier par la suite les groupes d'homologie rdduite ~t coefficients dans R des objets d'Eilenberg-Mac Lane de T. II est int6ressant de remarquer que ces groupes s'interpr~tent comme des foncteurs ddrivds du foncteur R + [ ]. Commen~ons par rappeler bri~vement la thdorie des foncteurs ddriv6s des foncteurs non additifs ( [21 ], [34])- Soient donc Aet B deux anneaux du topos T, Fun foncteur du champ des A-modules dans le champ des B-modules. La prolongation naive F:C. (A)-+C. (B) de F aux complexes (nuls en degr~s ndgatifs) ne prdserve pas les homotopies ~t moins que F ne soit additif (1). La bonne ddfinition du prolongement est la suivante : pour tout XeC.(A), on pose FX = NFKX ; F pr6serve maintenant les homotopies. On d~signe par LF : D. (A) --~ D. (B) la prolon- gation de F ~t la categoric ddriv6e D. (A) des complexes de A-modules. Proposition (2.8). -- Lorsque F commute aux limites inductives locales, le foncteur ddrivd gauche LF de F existe. On trouvera une ddmonstration de cet 6noncd dans ([34] (1-4.2.2)). Le lecteur y trouvera un rdsultat plus gdndral concernant la cat6gorie ddrivde des complexes bornds sup~rieurement. Lorsque l'on se limite au cas des complexes nuls en degrds n6gatifs, on n'a pas besoin d'introduire dans la ddmonstration les objets simpliciaux mixtes de loc. cit. et celle-ci s'en trouve considdrablement raccourcie. On se bornera ici ~t la remarque suivante 9 cette proposition 6quivaut ~ l'assertion que pour tout objet X de D.(A), le pro-objet {F(X')} de D.(B) (off X'--,'-X parcourt les classes d'homotopie de quasi-isomorphismes de but X) est essentiellement constant de valeur F(X') pour n'importe quel X' ~t composantes plates. On ddfinit les foncteurs d6riv6s LiF :D.(A)-+B pour tout i>o par : L~F =HioLF. Lorsque F est contravariant, on ddfinit de mani&re analogue des d~rivds droits RJF. Exemples (2.9). -- a) Soit Tle topos ponctuel. Pour tout A-module P, L~F(P[n]) n'est autre que le foncteur ddrivd gauche L~F(P, n) de Dold-Puppe. Pour T quelconque, on utilisera indiffdremment l'une ou l'autre notation. b) Soient (T, R) un topos annel6 quelconque, P un groupe ab6lien de T. Pour tout n>o, les ddriv6s gauches du foncteur R+[ ] sont calculables : on vient de remarquer que : H,(LR + (P [n])) = I-~.(R + X') (1) A la diff6rence de [3], [34] et pour pr&erver les conventions adopt~es en topologie, nous consid6rons les complexes comme 6tant munis d'une diff6rentielle de degr6 -- I. 89 60 LAWRENCE BREEN off X'-+ K(P, n) est un quasi-isomorphisme, et X' est ~ composantes plates. Or, il rdsulte du thdor6me (2.7) que R+X'-+ R+K(P, n) est un quasi-isomorphisme. Ainsi : L~R+(P[n]) ~ , = Hi(X , R)= H,(K(P, n), R) et l'on a identifi~ les foncteurs d~riv~s de R+[ ] aux groupes d'homologie r~duite des objets d'Eilenberg-lV[ac Lane correspondants, On salt que, dans le cas ponctuel, i'intdr~t principal des espaces d'Eilenberg- Mac Lane est qu'ils reprdsentent la cohomologie, dans ]a cat6gorie homotopique [i3]. On verra qu'il en est de m~me dans le cas d'un topos quelconque T. Commen~ons par rappeler que si A est un anneau de T et Pun A-module, on d6finit les groupes d'hyper- cohomologie (resp. d'hypercohomologie r6duite) ~t valeurs dans P d'un objet simplicial X de T (resp. d'un objet simplicial X point6 par une section x :e-+X dans T), par : H"(X, P) -- Ext~(A[X] ~, P) H~(X, P) = Ext~t(A + iX] ", P) off ~ a 6t6 ddfini ci-dessus, et le terme de droite est l'hyperext habituel dans la catdgorie des A-modules. On trouvera une discussion complete de ces groupes dans [i 7]. Contentons- nous ici d'illustrer la ddfinition par un exemple 616mentaire. Exemple (2. xo). -- Soit X. un objet simplicial de T. Supposons que pour tout i on ait : (2.,0) HJ(Xi, P)=o j:>o. Alors H~(X, P) s'identifie au n-i6me groupe de cohomologie du complexe Homx(A[X.] ~, P). En effet, sous cette hypoth6se la suite spectrale d'hypercohomologie : F.i'J= HJ(Xi, P) :=~ Hr P) ddg6n~re. I1 revient au m~me de dire que sous ces hypoth6ses, on peut d6finir les groupes de cohomologie de l'objet simplicial X comme dans le cas classique du topos ponctuel. Toute classe de cohomologie zest notamment reprdsentde par un cocycle : zeHom(A[X.] ~, P). Voici deux cas particu]iers qui nous concernent dans lesquels ces hypotheses sont satisfaites. a) X est l'objet simplicial constant de T associ6 ~t un ensemble simplicial X et Hq(e, P)=o pour tout q:>o. Ainsi, dans ce cas, on a par la formule d'adjonction : (2. H) Hq(X, P)= Hq(X, P(e)) pour q ~ o, le terme de droite ddsignant le groupe de cohomologie ordinaire de l'ensemble simplicial X. 60 EXTENSIONS DU GROUPE AD])ITIF 6I b) Soit 0 un objet en caxact6ristique p d'un topos T. Avec la notation introduite en I, on a un isomorphisme : (2.i2) K(F , n)| K(Oo, n). Ainsi, lorsque ~? satisfait k A2, K(G~, n) poss~de la propri~td (2. ~o). Si l'objet ~? de T satisfait k AI et A2, les remaxques prdcddentes permettent de calculer les groupes d'hypercohomologie I-I*(K(G,, n), G~) (resp. d'hypercohomologie rfiduite H*(K(G~, n), G~)). On vient en effet de voir que ces groupes s'identifient aux groupes de cohomologie du complexe des cochaines : HomA(A[K(G=, n)] ~, G=) (resp. HomA(A+ [K(G=, n)] ~, G=)). Par AI (resp. AI pt,), on a, compte tenu de (I.4), des isomorphismes canoniques : HomA(A[K(G=, n)] ~, G=)~ Sym(K(R, --n)) ~ (2. I3) l-lomA(A + [K(G=, n)] ~, Ga) ~ Sym + (K(R, -- n)) ~ De retiree, par le lemme (i. I I) et l'exemple (2. Io), on sait ddcrire de plusieurs faw le complexe des cochaines usuelles de K(Fp, n) : (2.14) Hom(F,[K(Fp, n)] ~, F,)-~ Hom(A[K(A, n)] ~, ~?) ~ v(K(R, --n)) ~ et on a des isomorphismes analogues pour les chaines rdduites, v ~tant remplac6 par v +. L'inclusion i: K(A, n) -+ K(~?, n) induite par le morphisme canonique A-+~) correspond, via (2. I3) et (2. ~4), k la fl6che : Sym(K(R, --n))~ -+ v(K(R, --n))~ induite par l'aplication canonique Sym( ) -+ v( ). Par passage ~ la cohomologie, on a obtenu le lemme suivant : Lemme (2. ii ). -- Soit 0 un objet de T satisfaisant ~ AI et A2. On a alors des isomorphismes d' alg~bres gradu&s. (2. x5) H*(K(g?, n), ~)___ R*Sym(R, --n) (2. x6) H*(K(F,, n), R)~ H*(K(A, n), ~?)~ R*v(R, --n) l'isomorphisme (2. I5) faisant seul intervenir les hypotheses A1 et A2. L'application induite en cohomologie par le morphisme canonique i : K(A, n) -+ K(0, n) correspond au morphisme : R*Sym(R, --n) -+ R*v(R, --n) induit par la projection canonique de Sym( ) sur v(). Les gnoncds demeurent valables, mutatis mutandis, en cohomologie rMuite. On d~duit du corollaire (I. I2), du lemme (2. ii) et de la formule de Ktinneth, la g6n6ralisation suivante de ce lemme (ici ^ d6signe le smash-produit) : 61 6~ LAWRENCE BREEN Corollaire (e.. le,). -- Soient ml, 9 9 mr, n une suite d'entiers. On a alors sous les hypotheses prgc~dentes les isomorphismes suivants d'alg~bres gradue'es : H*(K(A, ml) x... x K(A, mr) � K(0, n), ~)) R*,~(R, --ml)| | --mr)| --n) H*(K(A, ml)^...^ K(A, m,)^ K(0, n), 0) _ R% + (R, -- ml) | | (R, -- mr) | R* Sym + (R, -- n). Revenons-en maintenant ~ la situation g~nErale, afin d'Enoncer le thEor~me de reprEsentabilit6 de l'hypercohomologie. Celui-ci est tout ~k fait similaire au thdorEme de reprEsentabilitE usuel de la cohomologie par les espaces d'Eilenberg-Mac Lane. Proposition (2. x3) ([34], chapitre I, (3.2. i. I6)). -- Soit Tun topos poss~dant assez de points. Alors, pour tout objet simplicial X de T (resp. pour tout objet simplicial point~ (X, x)) et pour tout groupe aMlien F, on a des isomorphismes fonctoriels en X et en F : (2. x7) Hn(X, F) -+ HomD(T)(X , K(F, n)) t~a (2. i8) H"(X, F) -+ HomDITp,I(X, K(F, n)) T pt d~signant le topos des objets pointgs de T. En particulier il existe une classe fondamentale iq~Hq(K(F, q), F) correspondant par eet isomorphisme ~ l'application identique de K(F, q). Si l'on appeUe operation (hyper-)cohomologique de type (F, n, G, n + m) une transformation naturelle de foncteurs : : H"(, F) -. H"+m(, G), on dEduit comme corollaire de la proposition, en utilisant le lemme de Yoneda, que de telles operations correspondent bijectivement aux El~ments du groupe H" +m(K(F, n), G). PrEcisEment : Corollaire (2. x4). -- L ' application cb ~ rb ( in) est une b~ection de l' ensemb le des opgr ations cohomologiques de type (F, n, G, n + m) sur H"+m(F, n), G). On renvoie ~ [I3] pour la definition des operations cohomologiques stables, la gEnEralisation au cas des topos Etant immediate. Produits On salt que lorsque Rest un anneau (commutatif) de T, les groupes d'hyper- cohomologie H*(X, R) (resp. H*(X, R)) poss~dent une structure d'alg~bre dEfinie par le cup-produit. L'outil technique qui permet de dEfinir celui-ci est le thEor~me d'Eilenberg- Zilber, et plus prEcisEment la donnEe des applications d'Eilenberg-Zilber et d'Alexander- Whitney qui, dans le cas classique, relient les cochaines sur un produit d'espaces topo- logiques au produit tensoriel des complexes de cocha~nes sur les espaces en question. D'autre part, compte tenu de la reprEsentabilitE de l'hypercohomologie (2. I7), un tel 62 EXTENSIONS DU GROUPE ADDITIF 6 3 produit est determine par l'accouplement (dit ~ du cup-produit ~) des objets d'Eilenberg- Mac Lane correspondants. De mani~re precise, soit Tun topos annelE par R. On va associer ~t tout homomorphisme d : A| de R-modules une famille &applications dans Simpl(T) : din,. : K(A, m) � K(B, n) --> K(C, m + n) (m, n> o) teUes que, pour tout X (resp. Y) de Simpl(T), l'application dvidente : HOmD.(T )(x, K (A, m)) X HOmD.(T ) (Y, K (B, n) ) --+ HOmD.twl(X X Y, K(C, m + n)) induite par din, . corresponde, compte tenu de (2. I7), au cup-produit externe des classes d'hypercohomologie. Mieux, din,, se factorise en une application pointfie : (2. I9) d,.,. : K(A, m) ^ K(B, n) -+ K(C, m+n) permettant de ddfinir, via (2. I8), le produit externe des classes d'hypercohomologie r~duites : fi*(X, A)| B) --> fi*(XhY, C). Vu les remarques prdcddentes, il n'est guhre 6tonnant que le thdor~me d'Eilenberg- Zilber intervienne dans la definition des applications din, .. Commen~ons par observer que la definition des foncteurs N, donnde en (2. i), peut ~tre gdn6ralis6e. On ddfinit de manihre 6vidente des foncteurs N (normalisE) et ~ (n-complexe associ6) de la catS- gorie n-simpl($') des objets n-simpliciaux d'une catEgorie abdlienne ~ dans la catS- gorie n-C. (cg) des n-complexes de c~ (concentrds en degrEs positifs) et l'on ddmontre la gdndralisation suivante du lemme (2. I) : Lemme (2.15). -- Le foncteur N : n-simpl(ff) ---> n-C. (c~) poss~de un quasi-inverse K. Des foncteurs ~ ensemble simplicial diagonal ~ A :n-simpl(C~)-+ simpl(Cg) et total associ~ ~ f :n-C.(Cg)-+ C(Cg) relient ces objets ~ ceux qu'on a complexe dtudies prEcEdemment, via la gdnEralisation suivante du thdorEme d'Eilenberg-Zilber, due ~ Cartier (voir [34], I, (I.3.2)) : TMor~me (2. I6). -- Soit X un objet n-simplicial d'une cat~gorie abe'lienne cg. Alors on a des homomorphismes uniques ~ homotopie prks de complexes inverses l'un de l'autre ~ homotopie fonctorielle pros : (ax) ~ (2.20) : (2.21) + : (AX) ~ Remarque (2.x6). -- a) Dans l'~noncE du th4or6me, on peut remplacer le fonc- teur ( )" par N. On obtient alors un EnoncE qui est Egalement correct, et qui est compa- tible avec le precedent, via l'inclusion i mentionn4e dans le lemme (~. i). 63 6 4 LAWRENCE BREEN b) On a des dnoncds en apparence plus gdndraux en considdrant des diagonales partielles n-simpl(Cg)-~m-simpl(Cg) (re<n) et les complexes totaux partiels corres- pondants. Lorsqu'on it~re ce procdd6, et que l'on consid&re les diagonales partielles m-simpl(rg) ~p-simpl(Cg) (n2>m>p), les applications q~ (resp. 4) correspondantes sont ~< associatives >> (resp. << coassociatives >>) ~t homotopie pros en un sens qui est explicitd dans ([34], chapitre I, (I.2.2.3)) pour n (resp. m, resp. P)=3 (resp. 2, resp. I). On a dgalement un dnonc6 de << commutativit6 >> (resp. de ~< cocommutativitd >>) ~ homotopie pros, correspondant R la permutation des indices de l'objet X de n-simpl(Cg). c) I1 existe un choix classique de fl6ches % ~ darts leur classe d'homotopie qu'on appeUe l'homomorphisme des << shuffles >> et l'homomorphisme d'Alexander-Whitney. Avec ces choix de fl6ches les diagIammes d'associativitd et de coassociativitd dont il vient d'etre question sont strictement commutatifs, ainsi que le diagramme de commutativitd. Quand au diagramme de cocommutativitd faisant intervenir la fl~che d'Alexander- Whitney, on sait qu'il ne fait que commuter ~ homotopie pros (~t vrai dire de mani6re tr~s forte) et c'est d'ailleurs ce fait qui est ~t la base de l'existence d'opdrations de Steenrod en cohomologie. I1 n'est pas possible de le rendre strictement commutatif de mani6re fonetorielle en choisissant une autre fl6che qui soit homotope ~t celle-ci. Cette remarque a une grande importance pour la suite (voir la remarque (7.8) ~t ce propos). Citons l'application suivante du thdor6me (2. I6) : Lemme (2. x 7). -- Soit A un anneau simplicial associatif (resp. M un A-module simplicial). Alors le complexe associd A (resp. i~) poss~de une structure naturelle d'alg~bre diff&entMle gradu& associative (resp. de A-module diff&entiel gradud) induite par la structure d'anneau simplicial : ~, : A| de A (resp. la structure de module v :A| M de M). De'monstration. -- La structure d'alg~bre sur ~. est ddfinie par la fl~che composde suivante (@ ddsignant le produit tensoriel externe d'objets multisimpliciaux) : A| =f(A_OA)~ * > A(A@A)~ = (A| ~ > A ~. Nous sommes maintenant en mesure d'expliciter la fl&che din,,,. C'est la composde : (2.=~,) K(A, m)xK(B, n) => K(A, m)| n) Om,~ K(C, n+m) off la premiere fl~che est l'application canonique rc(x,y)= x| et off Ore, nest ddterminde par sa normalisEe N(Om,,) , compte tenu du thdor~me de Dold-Puppe. Q.uant ~t N(Om,~) , c'est la fl~che composde : N(K(A, m)NK(B, n)) *, NK(A, m)| n) = A [m] | S In] e[,,, ~1 C [m -t- n] off ~ est la fl~che d'Aiexander-Whitney et dim, n] la fl~che induite par d. On ddduit de la remarque (2.16) des assertions d'associativit~ et de commutativitd. On a notamment la proposition suivante : 64 EXTENSIONS DU GROUPE ADDITIF 65 Proposition (2. x8). -- Soit R un anneau commutatif (resp. M un R-module). Les deux premiers diagrammes suivants sont commutatifs, et le trois@me l'est ?t homotopie pros, pour tous m, n, p~ o (d d/signant une quelconque des applications dr, ~ et "r le morphisme de permutation des facteurs) : K(R, m)^K(R, n) ^K(R,p) i^~> K(R, m)AK(R, n+p) (2. K(R, m+n)AK(R,p) .... , K(R, m+n-}-p) K(R, m)AK(R, n) AK(M, p) K(R, m)AK(M, n+p) dtl (2.24) K(R, m+n)AK(M,p) > K(M,m+n+p) K(R, m) ^K(R, n) ~r- K(R, n) ^K(R, m) \ /4 (2.25) K(R, n + m) Accouplements de foncteurs d/rivgs : suspension L'accouplement du cup-produit permet de ddfinir, par composition avec l'appli- cation de tturewicz (2.9), un morphisme de suspension reliant les divers objets d'Eilenberg- Mac Lane associ6s ~i un R-module 1Vf du topos T : (2.26) ~ : S1^K(M, n) ~n~ K(R, I)^K(M, n) al,$ K(NI, n+ I). Plus gen~ralement, on d6finit des applications de suspension it6r6e : (2.27) ~' : S'^K(M, n) --~ K(M, n-q-i) de la m6me mani6re. On en d6duit un morphisme de suspension en homologie r6duite : (2.28) S : H,(K(M, n)) ~ H,+~(K(iVI, n+ i)) par adjonction k partir de l'application induite par ~ en homologie : (2.29) H~(S1)| n)) -+ H,+I(SI^K(M, n)) -+ H,+I(K(M, n+ I)). La construction que l'on vient d'effectuer pour les groupes d'homologie ~t valeurs dans un anneau R (qui sont, comme on l'a vu en (2.9) b), les foncteurs d6riv6s de R+[ ]) est 6galement possible pour d'autres foncteurs d6riv6s. Soient F, G, H trois foncteurs de la cat6gorie des S-modules dans celle des R-modules. On suppose que 9 (2.30) F(o) = G(o) = H(o) = o et que pour toute paire de S-modules Met N, on ait une application X, fonctorielle en Met N : (111.31) X : F(M)| -+ H(M| 9 66 LAWRENCE BREEN En utilisant les morphismes din, . : K(A, m)| n) -+ K(C, m+n) associ6s ~t un homo- morphisme de S-modules d : A| donnfi (2.22), on obtient un accouplement de complexes : x> H(K(A, m)| n)) ~ FK(A, m)~| n)~ > HK(C, m + n) ~ 0% la premiere fl6che est la compos6e de la fl&he d'Alexander-Whitney (2.2 I) et de la fl&he induite par X, et la seconde est H(d,,,n ) ~. Mieux, dans la cat6gorie d6riv6e, on en dfiduit, lorsque F, G et It commutent aux limites inductives locales, un accouplement : LF (A ira]) | LG(B [n]) -+ LH(G [m + n]) d'ofl, par passage ~t l'homologie, un accouplement des foncteurs d4riv6s gauches correspondants : (2.32) ~F(A[m]) | L;G(B in]) -+ ~+;H(C [m -5 n]). Remarque (2. *9). -- Supposons que l'on se donne six foncteurs F1, ..., F e saris- faisant aux conditions pr6c6dentes, et de plus un 6nonc6 d'associativitfi : Fi(M ) N F~(N) | F3(P ) , F,(M|174 ) l | X,, ?'15 F~(M) NFs(N| + Fe(MNNNP ) entre les applications X 0 (2.31) correspondantes. On en ddduit, compte tenu de la proposition (2. i8), que les applications d6riv&s (2.32) induites satisfont /t la condition d'associativit6 correspondante. Exemples (2.20). -- a) Soit un foncteur F : (Fp-mod)-+(R-mod) satisfaisant F(o) = o. On a alors une application fonctorielle en X et Y : (2.33) R + iX] | ~ F(X| ) dfifinie par adjonction. D'ofl une application : (2.34) LR+(A[m]) NLF(B[n]) -+ LF(C[m + n]) associ& ~ un homomorphisme d:A| et induisant en homologie : (2.35) H,(K(A, m), R) | L~F(B in]) -+ I~. +jF(C [m + n]). En particulier, pour F ---= R + [ ], (2.33) n'est autre que l'application canonique R + [X]| + [Y] ~ R + iX^Y] -+ R+[X| et l'on retrouve ainsi l'application : H,(K(A, m), R)NHj(K(B, n), R) -+ H,+j(K(C, m + n), R) induite en homologie r6duite par d,,,,. 66 EXTENSIONS DU GROUPE ADDITIF 67 b) Soit un foncteur F : (S-mod) -+ (R-mod) satisfaisant h (2.30). Si l'on compose (2.35), dans le cas m= I, A=S, avec l'homomorphisme induit par l'application de Hurewicz a~ :SI-+K(S, I) d6finie en (2.9), on obtient un morphisme : (2.3 6 ) R+(S~)NLF(B[n]) -+ LR+(S[I])| --> LF(B[n + I]) d'ofl, par passage ~t l'homologie et par adjonction, un homomorphisme de suspension : (2.37) LjF(B[n]) ---> L~+ I(F(B[n + i])) qui s'identifie ~i celui ddfini dans [2I] dans le cas gdn&al, et notamment en (2.28) pour F = R + [ ]. Les homomorphismes sup6rieurs L~F(B[n]) --~ L~+~F(B[n + m]), ddfinis de m~me par adjonction s partir des dl~ments des groupes d'homologie d'Eilenberg-Mac Lane H~+j(K(A, m) ; R) au moyen de la fl&he (2.35) (dans le cas off Best un A-module), ont 6t6 6tudi6s en d&ail par A. K. Bousfield dans son manuscrit clandestin [7] (voir 6galement ([52], 7))- c) On a d6fini en (I.12) une fl&he : (u*)' : P(M)~P(N) ~ P(M| associde ~t l'homomorphisme identique u : M| MNN. L'application : P+(M)~P+(N) ---> F+(M| induite par passage au quotient ddfinit, par le procdd6 ddcrit ci-dessus, un morphisme (1) : LF+(A[m]) QLF+(B In]) --~ LF+ (C [m + n]) associ6 ~ un morphisme de Fp-modules d :A| Les exemples a) et c) sont reli& par l'observation suivante : L'application compos& : exp| R+[M]| ---+ ~+(M)| ("+/ P+(M| coincide avec l'application d~finie en (2.33) lorsque F est le foncteur F +. On le v~rifie facilement ~t l'aide de la description explicite de (u*) t donn& en (I.I7). Ainsi, au diagramme (x. I6) correspond le diagramme commutatif : R + K(A, m) | R + K(B, n) "~, R + K(C, m -~ n) R+K(A, m)| '+ (B, n) ~, LF+(C, re+n) (2.38) (1) Comme ce morphisme n'est introduit qu'~l titre d'illustration, on n'filaborera pas ici un formalisme de la cat6gorie d6riv& des foncteurs non additifs /t valeurs dam une categoric de modules topologiques, pourtant n&essaire pour lui donner un sens. 67 68 LAWRENCE BREEN off les fl&ches verticales sont induites par l'application exponentielle et off n 1 est l'appli- cation induite sur les chaines ~ coefficients dans R par l'application din.,, n~ l'appli- cation (2.34) pour le foncteur F=F(--| et n 3 l'application mentionn6e ci-dessus. Cle diagramme intervient de ]a faw suivante dans ce qui suit : soit d~ un objet de T satisfaisant aux axiomes AI et A2, muni de sa structure natureUe de A-alg~bre. On a alors un diagramme commutatif, pour m, n>o, off les fl~ches horizontales sont du type (2.19) : K(A,m)AK(A,n) "**~. K(A,m+n) K(A,m)^K(0, n) "'*~. K(~,m+n) (2.39) K(O, m)^K(0, n) / d'ofi, en passant aux cochaines r6duites k coefficients dans ~ et en utilisant (2. I3) et (2. I4), un diagramme d'alg6bres cosimpliciales : v +(K(R, -- m)) | + (K(R, -- n)) v+(K(R, --m--n)) ,~+(K(K, --m)) | --n)) -~'~' Sym+(K(R, --m--n)) (2.4 ~ ) Sym+(K(R, -- m))| --n) ,~ les fl~ches n ~ 6tant induites par les fl~ches n~ du diagramme (2.39). Or le diagramme (2.4 o) n'est autre que celui obtenu ~ partir de (2.38) par passage au dual. Foncteurs ddrivds stables Par le lemme de suspension de Freudenthal, on sait que pour tout ensemble simplicial X, (n--I)-connexe, l'application 6vidente ni(X)-->ni+l(SX) est un isomor- phisme pour i<2n--I et un 6pimorphisme pour i=2n--I (on utilise dor6navant la notation traditionneUe SX pour d6signer SI^X). I1 en rdsulte directement que ~ (2.26) est un (2n--I)-quasi-isomorphisme, &off en particulier, par le th6or6me de I-Iurewicz, que la suspension S (2.28) est un isomorphisme (resp. un 6pimorphisme) pour i<2n e~t (resp. i= 2n). En particulier, pour i>o fix6, le syst6me inductif Hn+i(K(M , n)), index6 par n, avec pour morphisme de transition les homomorphismes de suspension, est essen- tieUement constant, la valeur de la limite 6tant atteinte d~s que n>i. On d~finit [25] les groupes d'homologie stables de M ~ coefficients dans un groupe ab61ien A, par : HiSt(M, A)= limHn+~(K(M, n), A). 68 EXTENSIONS DU GROUPE ADDITIF 69 On v~rifie que les accouplements de cup-produit sont compatibles, ~ homotopie pr6s, avec les morphismes de suspension (pour un 6nonc6 pr6cis, voir [68]) ; dans la terminologie usuelle, on dit que les objets d'Eilenberg-Mac Lane associ6s ~ un anneau commutatif A forment un spectre en anneaux. En particulier, les morphismes induits par d~, nen homologie ~ coefficients dans un anneau R : Hm+~(K(A, m) ; R)| n) ; R) -+ H~+m+~+j(K(C, m+n) ; R) sont compatibles ~ la suspension, d'ofl, en passant ~t la limite, un homomorphisme : (~,.4z) d ~t : H~t(a ; R)| ; R) -+ ~t --i+~,~, ~. R). Ainsi on a, compte tenu des 6nonc6s d'associativit6 et de commutativit6 de la propo- sition (~. I8), la proposition suivante : Proposition (2.2x). -- Soit A un anneau commutatif (resp. M un A-module) d'un topos T. Pour tout anneau commutatif R, les accouplements du cup-produit induisent sur H~t(A ; R) (resp. H.~t(M; R)) une structure d'algkbre gradu~e associative et commutative (resp. une structure de module gradug sur cette alg~bre gradu~e). Plus g~ndralement, on dfifinit des foncteurs d6riv~s d'un foncteur F : A-mod-.'-B-mod satisfaisant F(o)=o par: L~t F(M) = li, mL~+,F(K(M, n)) la limite 6tant prise suivant les applications de suspension d6finies en (2.37)- Les accou- plements (2.38) sont de nouveau compatibles avec la suspension ~t homotopie pros, d'ofl un 6nonc6 g6n6ralisant la proposition (2.2I). Bornons-nous ~t l'expliciter dans le seul cas qui nous concerne, celui de l'accouplement n~. Proposition (2.22). -- Soient A un anneau commutatif de T, M un A-module. La flkche n 2 du diagramme (2.38) induit par stabilisation sur L~.t f'(M) une structure de module topologique diffd'rentiel gradug sur H.~t(A ; R). Par restriction ~ la composante P~ de I', n~ induit sur L. ~t Pi(M) une structure de module diffdrentiel gradug sur t-I.~t(A ; R) pour tout i>o. Stabilisation dans la cat~gorie d~rivge Remarquons que, pour n fix6, on a, au niveau des foncteurs d~rivds L.F(A[m]) d'un foncteur F donn6, un objet plus fin que ces derniers, ~ savoir l'objet LF(A[m]) de la cat6gorie d6riv~e (dont les L.F(A[m]) sont les groupes d'homologie). I1 importe de savoir qu'on salt de mfime d6finir, pour tout foncteur F : (S-rood) -+ (R-mod) un foncteur stable F St ~t partir duquel on peut retrouver les constructions prfic~dentes. En particulier, on souhaite que I-I~.(Fst(M)) coincide avec le foncteur dfiriv~ stable ~tF(M) d6fini ci-dessus, et que LFSt(M) soit la limite inductive (dans un sens qu'il convient de pr~ciser) des LF(M[n]) suivant des applications de suspension. Enfin, ~ un homomor- phisrne d : A| (resp. ~ des foncteurs F, G, H munis d'un accouplement X (2.3I)), on souhaite pouvoir associer un accouplement XSt : pt(A)| I-Ft(C) induisant 69 7 ~ LAWRENCE BREEN par passage k l'homologie des accouplements sur les foncteuls ddriv6s stables du type de celui explicit6 dans la proposition (2.22). L'id6e 6vidente consist| k d6finir par adjonction k paItir de (2.36) une application de suspension de degrd +I : (0..42) LF(M[n]) --> LF(M[n + I]) et de ddfinir FSt(M)=limLF(M[n]). NIalheureusement, dans ce cas les accouplements induits : Pt(A)| ~ H~t(C) ne sont plus strictement associatifs, c omme l'6taient c eux des propositions (2.2 I) et (2.22). En effet, ils ne commutent avec la suspension qu'~t homotopie pr6s (ceci 6tant une cons6quence de la non commutativitd stricte du diagramme (2.25)), si bien qu'en passant ~t la limite, on n'obtient que des accouplements associatifs ~ homotopie pr6s. Pour rem6dier ~t cet 6tat de choses, Illusie construit un nouveau complexe Pt(M), et m~me mieux, un R-module simplicial poss6dant les propri6t~s suivantes : PI) Pour tout S-module M (et plus ge'ne'ralement pour tout MsSimpl(S)), il exist| un quasi-isomorphisme de R-modules simpliciaux : (2.43) o(F, M) : FSt(M) --+ li___~mF(M[n]) I--n] naturel en F et M. Ici le syst}me inductif : ... -, S(M[n]) I--n] -, F(M[n + ... indexd par la catdgorie I (dont les objets sont les ensembles finis { n} et les morphismes sont les applications croissantes injectives) est obtenu ~ partir du systkme inductif naff par un procddd que l'on d&rit en appendice. En particulier, en passant ~ l'homologie, o(F, M) induit un isomorphisme : (2.44) ~(F'~(M)) ~Hn+,(F(M, n)), i<n. P2) Les applications X (2.31) induisent par passage ~ la limite des applications : F st (A) | G 't (B) -+ H 't (G). Ces applications sont associatives lorsque les applications X le sont (au sens de la remarque (2.19)). La construction de ces foncteurs stabilisds est assez ddlicate, aussi renvoyons-nous l'appendice pour des indications sur celle-ci. Dans ce qui suit, seule l'existence de tels objets import| et non leur forme particuli~re. Bornons-nous ici ~ en donner des exemples qui correspondent ~ ceux d6j~ 6tudi~s. Exemple (2.23). -- Soit F : (S-mod) ~ (R-mod) un foncteur satisfaisant F(o)=o. On a une application de R-modules simpliciaux induite : R + ~t(A)| ---> Pt(C). 70 EXTENSIONS DU GROUPE ADDITIF 71 En particulier, R+st(S) est un anneau simplicial associatif, commutatif ~ homotopie pr6s, dont l'homologie est l'alg6bre H.~t(S, R). De m6me, pour tout S-module M, R + St(M) est un R+ ~t (S) -module simplicial. Enfin la fl6che n 2 de (2.38) se stabilise en : Rst(a)| -+ ~+ ~t(C). Lorsque l'on se restrelnt ~i la i-~me composante de F, pour 6viter l'usage d'alg~bres topologiques, on se borne ~ consid6rer l'application induite : (2.45) Rst(A) | P i st(B) -+ I" ~t(C). Remarques (2.24). -- a) Pour alldger la notation, on 6crira dordnavant SSt(R) pour S + St(R), ce qui est compatible avec les notations de [34]. On d6signera par gSt(R) l'alg6bre gradu6e associde ~ l'anneau simplicial SSt(R) (voir le lemme (2. I7) ). b) Pour tout R-module P, on a une application canonique ~ : R + [P]-+P. On en ddduit en stabilisant une application R~t [P] -+ IdSt [P] (Id d6signant le foncteur identique). Or Id st [P] n'est rien d'autre que l'ensemble simplicial constant P, d'ofl une augmentation ~ : Rst[P] ~ P. Celle-ci est compatible aux structures multiplicatives. En particulier, l'augmentation ~ : R st [R] -+Rest un homomorphisme d'anneaux simpliciaux. c) Soient Met N des A-modules. Une cons6quence imm6diate de la condition PI est que l'on a, pour n fix6, un n-quasi-isomorphisme : (2.46) Rhom(AS*(M), N) _ Rhom(A(K(M, n)) [--n], N). En particulier, pour tout r<n : (2-47) H'(ast(M), N) ~H"+*(K(M, n), N) et les groupes de cohomologie de A"t(M) s'identifient donc bien aux groupes de cohomo- logic stables des objets d'Eilenberg-Mac Lane K(M, n). Examinons le cas particulier de la remarque (2.24) c) qui nous servira par la suite. I1 utilise pratiquement toutes les notions introduites jusqu'ici. Soit $un anneau de caract6ristique p de T satisfaisant aux hypoth6ses AI et A2. Alors : (2.48) H~(ast(~), ~) ~_H"+~(K(O, n), ~) avec r<n (2.47) =R "+' Sym(R, --n) (lemme (2. i i)). Par le th6or6me des coefficients universels, ce dernier groupe s'identifie au R-dual gradu6 du groupe : L~tPF,(F,) _~L,+,U(Fv, n). En r6sumfi on a d6montr6, compte tenu du corollaire (2. I4), la Proposition (2.25). -- Soit 0 un objet en anneaux de caractgristique premiHe p>o d'un topos T, satisfaisant aux hypotheses AI et A2. Le groupe des opdrations hypercohomologiques stables de degrg r, H*( , ~) -+ H*+r( , 0), s'identifie au module R-dual gradud du r-ikme foncteur d&ivd stable L,~t rrp (F,) du foncteur rFp. 71 7 ~, LAWRENCE BREEN Plus gdndralement, on a l'6nonc6 suivant dans la catdgorie d6rivde : (2.49) Rhom (A 8t (t~), r _~ Sym~ ~t (R) Horn" d6signant le Horn gradu6. Remarque (2.26). -- a) La graduation par le degr~ sur l'algbbre symdtrique induit, via (2.47), (2.48), une graduation, qu'on appellera graduation par le poids, sur le groupe des opdrations cohomologiques (resp. le groupe des opdrations cohomologiques stables) coefficients dans 0. En particulier le R-dual du groupe L~tFi(Fp) s'identifie au groupe des op6rations cohomologiques de poids i et de degrd r ~t coefficients dans r A titre d'exercice, calculons les op6rations de poids I : on salt que FI(M)___M; ainsi : LStFl(Fp) ~L~t Id(Fp) ~ Fp[o] (voir la remarque (2.24) b)); ainsi les seules opdrations cohomologiques de poids I ~t coefficients dans 0 sont de degr6 o et elles forment le R-module libre de rang i des opdrations induites par les homomorphismes des coefficients r : O--->t~ (reR). Terminons en signalant qu'on trouvera dans ([25] , I4, I6) une description terre terre de F(K(Z, i)) ; la terminologie << graduation par le poids >> que nous employons est compatible avec celle qui y est introduite. b) Ii convient 6galement de signaler au lecteur qu'il existe une autre version de l'alg~bre associde ~t Z~t(R). C'est une alg~bre diffdrentieUe gradude Q(R), due ~t Mac Lane, qui est bien associative comme on le souhaite, et dont la ddfinition est 616mentaire. C'est elle que Mac Lane utilise dans sa construction originale de ]a rdsolution canonique d'un R-module [43], et il d~montre dans [24] qu'elle possbde les propridt6s homologiques requises (voir ~galement [26]). Malheureusement, Q(R) est d6finie par un procdd6 cubique, et son emploi ndcessiterait que l'on refasse le formalisme des objets d'Eilenberg- Mac Lane dans ce cadre peu employ6 ~t l'heure actuelle, nous entrMnant ainsi encore plus loin de notre sujet (voir cependant [42] pour un d6but de ce formalisme). On ne peut 6viter le fait qu'une construction simpliciale du stabilisd soit plus complexe qu'une construction cubique : la difficultd ~t d6finir des produits dans le cadre simplicial tient la complication des flbches d'Alexander-Whitney et des << shuffles >> qui figurent dans le thdorbme d'Eilenberg-Zilber, et done en dernibre analyse au fait que le produit de deux simplexes types admet une ddcomposition simpliciale relativement ddlicate, alors que le produit de deux hypercubes admet une ddcomposition cubique tautologique. 3. Une r6solution canonique d'un falsceau ab6Hen Soit (T, R) un topos annel6 et Pun R-module de T. On va construire fonctoriel- lement en Pun complexe M.(P) de R-modules de T, augment6 vers Pet qui poss~de les deux propri6t6s suivantes : P3) L'augmentation ~ : M.(P)-->P est un quasi-isomorphisme (autrement dit M.(P) est une rdsolution de P). 72 EXTENSIONS DU GROUPE ADDITIF 73 P4) Chaque composante Mi(P) du complexe est de la forme R+[R~xPt], off s, t sont des entiers qui d6pendent de i. Pour plus de d&ails sur la construction de M.(P) que nous allons maintenant d&rire, voir [43], [34]. Rappels sur la bar-construction (voir [25], [:3], [44]) On sait qu'~t toute R-alg~bre A augment& vers R par ~ : A-+R, on associe une r&olutlon canonique plate B(A) -~ R de R dans la cat~gorie des A-modules ~ droite, la bar-construction (non r~duite) d~finie de la mani~re suivante :on pose B(A).=A | :~ et l'on munit B(A). de la structure de A-module ~ droite d~finie par le facteur de droite du produit tensoriel ; on d~finit la diff~rentielle d. : B(A)~-+ B(A)._ t (resp. l'augmen- tation ~ :B(A)0-+R ) par les formules suivantes : n--1 (sx) | s i:1 + (-- I)"+ x ~(a0) at| | (s. 2) 9 (a0) = (a0). Pour diverses variantes et plus de d~tails sur la bar-construction, voir [44]. Soit maintenant M un A-module ~ gauche; le complexe B(A)NAM est donc un repr~sentant de l'objet R| A M de la cat~gorie d&iv& des R-modules. En particulier, par passage ~ l'homologie : (a. s) H, (B (A) | M) = Tor~ (R, M). Plus g6n6ralement, lorsque A est une alg~bre diff6rentielle gradu6e augment& vers R, B(A) d6fini ci-dessus est de mani6re naturelle un bicomplexe : (a. 4) B(A)r,s = ks( A| (r +il) ks(B ) d6signant ici (et dans toute la suite de ce travail) la partie homog~ne de degrd s de l'alg~bre gradu6e B. La premiere diff6rentielle est donn6e par les formules (3. i), (3.2). Quant k la seconde, c'est la diffdrentielle usuelle sur A | (~ + :/d~duite de la diffdrentielle donn& sur A. B(A) est maintenant une r~solution de R dans la catdgorie des A-modules droite diff~rentiels graduds et pour tout A-module diff~rentiel gradu6 M, le complexe total associ~ au bicomplexe B(A) | M repr&ente R| A Met l'isomorphisme (3.3) dfifinit une bigraduation sur le terme Tor.A(R, M). Si l'on filtre le bicomplexe B(A)| par le premier indice, on obtient une suite spectrale aboutissant ~ I-I.(R| M). On d6duit imm~diatement de la construction que : (s.s) = + et, puisque d 1 : E,I,~E,~, est induite par la diff~rentielle de B(A), elle est d~finie par des formules du type (3. I) et l'on a un isomorphisme si l'on suppose H,(A) plat sur R : (3.6) (E,~,, d:) ~_ B (H, (A)) | M. 10 LAWRENCE BREEN (]ette remarque permet de calculer le terme E 2 : E~,~ = k.(Tor~*(A)(R, H.(M)) => I-I,(R| A M)). Remarques (3. x ). -- a) On remarquera que B(A) est en fait le complexe associ6 un A-module simplicial ~(A) (on d6finit les op&ateurs de d6g6ndrescence : S~ : ~(A)~ ~(a)~+, par : S~(ao|174174174174174 l'dl6ment unit6 &ant placd en i-6me position). Ceci permet d'effectuer toute la construction prfc6dente dans le cadre simplicial. On en dfduit ]'existence, sous des hypoth6ses de platitude convenables, pour toute paire de modules simpliciaux E, F sur un A-module simplicial, d'une suite spectrale : E2r, Toff*(A (H,(E), = H,(E| (le produit tensoriel ddriv6 dtant ici pris dans la catfigorie des A-modules simpliciaux), dont (3.7) est un cas particulier (voir [55], [34]). b) On a l'habitude d'appeler bar-construction rfduite de l'alg~bre A augment& par ~ : A-+R le complexe B(A)=B(A)| La formule suivante est un cas parti- culler de (3.3) : (:3.8) H, (B(A)) __ Tort (R, R) et l'on dispose d'une suite spectrale du type (3.7) aboutissant ~i ce terme, Signalons qu'il est de tradition de noter [a0, . .., a,~_ 1] (ou [% I.- 9 [ am- 1]) l'~ldment a o| . . | a n _ 1 | I de B(A),. Ceci explique la terminologie << filtration par le hombre de barres >> utilis& pour d6signer la filtration induisant la suite spectrale (3.7). Terminons ces pr61iminaires par l'observation suivante, inutile dans la construction de la r6solution canonique, mais qui nous servira par la suite (voir chap. V). Si l'on fait l'hypoth~se suppl6mentaire que l'alg6bre A est commutative (resp. que l'alg6bre diff& rentielle gradu& A est anticommutative), alors le complexe (resp. le bicomplexe) B(A) est muni d'un produit qui en far une alg6bre diff6rentielle gradu6e commutative (resp. bigradu6e anticommutative) : on prend pour multiplication l'application compos6e v=B(Iz)oq~ : (3-9) B(A)| *> B(A| B(~)> B(A) off la premiere fl&he est la fl&he des ~< shuffles )~ (2.20) appliqu6e ~t l'objet bisimplicial : ~(A, A) =B(A) @B(A) ddsignant le produit tensoriel externe des objets simpliciaux B(A) (voir la remarque (3-I) a)). Puisque A est commutative, la multiplication ~ :A| est un homomorphisme d'alg~bres, ce qui permet de d6finir B(~) par fonctorialitd de la 74 EXTENSIONS DU GROUPE ADDITIF 75 bar-construction. Les propri6t~s d'associativit6 et de commutativit6 de ~ ddcrites dans la remarque (2. I6) impliquent que ~ est associatif et anticommutatif. En particulier lorsque, de plus, M est une R-alg6bre, la suite spectrale (3.7) est munie d'une structure multiplicative, les diffdrentielles 6taut des ddrivations. Pour une formule explicite de multiplication sur la bar-construction B(A) associde ~ une alg6bre diffdrentielle commutative A, d'ofi notamment une formule explicite pour la multiplication dans E.1. compte tenu de (3.6), voir [25]. Construction de la rgsolution canonique On reprend les notations du d~but de ce chapitre. Puisqu'on suppose que T poss~de assez de points, il suffit de v~rifier la propri~t~ P3 dans le cas du topos ponctuel. Soit R"t(R) l'alg~bre diff~rentielle gradu6e augment~e vers R (resp. ~,st(p) le RSt(R)-module diff6rentiel gradu6) assocife ~ l'anneau simplicial RS*(R) (resp. au module sim- plicial Rst(P)) ddcrit au chapitre II (exemple (~.23)). On consid~re le bicomplexe : all., (V) ---- B (~st (R)) | ~,t(R ) ~_st (V) augment6 vers P (en degr6 (% o)) par la fl~che B(~*(R))| -+ R| P induite par les augmentations ~,?t(p)___~p (resp. R't(R)---~R). Notons M**(P) le complexe total associ6 ~ sg**(P), muni de l'application induite : : Jg.(P) -+P. Par d6finition : = |174 (P)) la premi6re difffrentielle 6tant celle de (3. I) et la seconde celle de l'alg&bre diff6- rentielle R~t(R)o~| fi(P). En particulier 1VI,(P) satisfait bien ~t la propri6t6 P4, vu la description de RSt(R) et de ~t(p). Pour v6rifier que M,(P) est bien une rfsolution de P, on renvoie k [43], [34]- Contentons-nous d'observer que M.(P) repr6sente le produit tensoriel d6riv6 R| et que l'on se r6duit, par exactitude du produit tensoriel d6riv6, au cas 616mentaire off P = R. Reraarques (3.2).- a) On trouvera dans ([3I], VII) (voir aussi [Io]), une r6solution partielle de P de longueur 2 par des objets de la forme Z[P~]. G'est essentiellement Zst(P) (ou plut6t, avec la notation 6vidente, ZK(P, n)[--n] pour n----2) ce qui fait l'affaire si l'on est en degr6 x puisque l'on salt que : H~'(P; Z):{: i----Ii=~ D'autre part, H~t(P;Z)~_P/2P ce qui montre bien que d6s le degr6 2, Z**(P) ne convient pas et qu'il faut Ie remplacer par M.(P) si l'on veut obtenir une r6solution de P. 75 7 6 LAWRENCE BREEN b) En fait on peut d6finir une r6solution canonique de P par des objets de la forme ZIP s] (et non de la forme Z[P*� t] comme c'est le cas pour M,(P)). On ne sait pas d6crire explicitement une telle rdsolution, mais Eilenberg et Mac Lane en ont d6montr6 l'existence dans [24], th6or6me (6.2) (une autre d6monstration non publi6e est due ~ Deligne). Ces auteurs d6montrent, dans un contexte sensiblement plus g6n~ral, comment associer de mani6re essentiellement unique h tout groupe ab6lien Y[ un complexe K(M) (par un proc6d6 appel6 la << construction librement acyclique associ6e la cat6gorie des groupes ab6liens >~) poss6dant les propri6t6s de fonctorialitd requises (loc. cir. (5. o)-(5.3)) et qui de plus, est une r6solution de M lorsque M est libre. I1 r6sulte par ddvissage en employant le thdor6me d'additivit6 (ii. i) de loc. cit. que K(M) est en fait une rdsolution de M pour M quelconque. On observera que l'existence d'une telle rdsolution canonique permet de supprimer une hypoth6se g6nante dans le th6or6me d'annulation des Ext ~ de [I i] (voir notamment la remarque 3 de l'introduction). c) La complexit6 de la rdsolution M(P) provient de ce que Falg6bre asso- ciative R ~t(R) est difficile ~ d6crire. Dans sa d6finition, Mac Lane emploie un complexe cubique Q(R) dont la d6finition est ais6e, mais on se heurte alors aux difficult6s signal6es dans la remaxque (2.26) b). Une autre m6thode consisterait k remplacer R~t(R) par une alg~bre A plus simple qui ne soit associative qu'k homotopie pr~s. On sait que Stasheff a d6fini en [64] la << tilde construction >~, d'une alg~bre non strictement asso- ciative. Cette construction, qui est l'analogue de B(A), eonviendrait sans doute dans notre eontexte. La suite spectrale fondamentale Revenons maintenant ~ nos hypotheses initiales : soient done T un topos poss6dant assez de points, ~ un anneau de caxact~ristique p>o muni de sa structure naturelle de A-module, qui satisfait aux hypotheses AI et A2. Le quasi-isomorphisme : e(g~) : M,(0) ~ d~ dans la cat6gorie d6riv6e des A-modules induit un quasi-isomorphisme : (3. Io) RhomA(g) , 0) -+ Rhom(M,(r g)). En vertu de la propri6t6 P4 de M,(0) et de l'hypoth~se A2 sur g), on a : (3.xx) Rhom(M,(r r162 r I1 rdsulte de la d~finition de M,(O) et de l'isomorphisme (2.48) que l'on a : (3. x2) I-IomA(M,((~), O) _~ Hom},(F,| r'(Fp), R) PSt(Fp) gtant muni de la structure de F~t(Fp)-module d6crite dans l'exemple (2.23). Or l | Horn" (F~| F~t(Fp) FSt(Fp), R) ~ @ nom (F~ | F~t(Fp) I ~i 8t; (Fp), R) 4>__0 76 EXTENSIONS DU GROUPE ADDITIF 77 puisque la decomposition F~t(Fp)=OF'~t(Fp) est compatible avec la structure de i~0 F~t(Fp)-module de Pt(Fp). En passant ~ la cohomologie on obtient le thEor6me suivant : TMorkme (3.3). ~ Pour tout j>~o, la graduation par le degrg sur l'alg~bre sym~trique (resp. ~ puissances divisges) induit une graduation sur Ext~(O, ~). La composante de poids i, que l'on notera Ext~(~, ~9)i, est isomorphe au module R-dual du Fp-module Ainsi le thEor~me fournit un procEd6 de calcul des groupes Exti(O, ~). En effet, on a vu plus haut que ce groupe d'homologie est l'aboutissement d'une suite spectrale. PrEcisfment, dans le cas qui nous intEresse, la suite spectrale dEcrite en (3.6), (3.7) prend la forme suivante : Proposition (3.4). -- Pour tout i>>.o il existe une suite spectrale du premier quadrant de Ha.t( F v, Fp)-m0dules gradue's : (3. I3) E2r.,:k, Tor~$'(F# , F#)(Fp, L. st F'(F,)) ~ H, +,(F,| F"t(F,)). Remarque (3.5). -- On prendra garde qu'on se trouve ici en presence de la seule composante de poids i, a/ors que la bigraduation (r, s) dont il est question dans cet 6nonc6 concerne le degr6 des groupes d'homologie qui interviennent. Remarques (3.6). -- a) Rappelons que le terme E 1 de cette suite est : (3. '4) E,~., = k~(H."t(F,, F,)|174 L.~'FJ(F,)) muni de la diffErentielle d 1 dEcrite en (3. I). b) I1 sera parfois commode de considErer directement la suite R-duale de (3.13), aboutissant ~t Ext*(0, 0)i. C'est la suite : (3" I5) F.~'s :ks Ext~t(Fp,Fp)(L.~t F((Fp), R) => Exff+8((P, (~)(. Le terme E~ '8 est le R-dual du Ea~,, de (3. I3) autrement dit : E~',' = k,(H* ~t(Fp, R) | | R* ~t Sym'(R)). L'alg~bre de Steenrod I1 nous faut maintenant calculer le terme E 2 de la suite spectrale (3. I3)- Commen- w par rappeler que la structure du groupe H.~t(Fp, Fp) est bien connue. En effet H.~t(Fp, Fp) a pour dual gradu6 le groupe de cohomologie stable H*(F~t(Fp), Fp) et l'on a vu (cor. (2. I4) et (2.47)) que ceci n'est rien d'autre que le groupe des opdrations cohomologiques stables de type (Fp, Fp). Si l'on munit ce groupe, gradud par le degr6, de la structure multiplicative correspondant ~ la composition d'opdrations cohomologiques stables, on est en presence de l'a/g~bre de Steenrod A. Rappelons bri~vement quelle est la structure de A. Celle-ci diff~re selon que la 77 78 LAWRENCE BREEN caractfristique pest paire ou impaire. Pour p+2, A est l'alg6bre associative gradude engendr~e sur Fp par des 616ments Pi de degr~ 2i(p--i) pour i>o et par un 616ment de degrfi i, satisfaisant aux relations suivantes " (3.16) po__ I (3. XT) o. Relations d'Adem : pour a<pb, [a/p] ha+ t((p--1)(b--t)-- l) pa + b--tpt I~P b= Z (--ij ~ ~-p, t=0 et pour a~pb, [a/p] pa~pb= Z (--I) a'~ t((P'-al-)(pbt-t))~Pa+b-tPt (3" I9) t=0 It,- l/p] "3V Z (--I)a+t--l((p--1)(b--t)--l~pa+b--t~ Pt k a--pt-- I ) t=O Dans ces formules, le symbole ( ) d6signe la rfduction dans Fp du coefficient binomial. Lorsque p---- 2, A est l'alg6bre associative gradu6e engendr6e sur F2 par les carrds de Steenrod Sq ~ de degr6 i>o, satisfaisant aux seules relations : (3- 20) Sq ~ ----- I. Relations d'Adem : pour o<a<2b, [a/2] (3.2x) SqaSqb = ~ (ba._.l~j) Sq,+ b-JSq~. j=o Dans tousles cas, on a un isomorphisme d'alg6bres gradufes : (3.22) q:,: A---H*(F;t(Fp), Fp) et 1'on identifie au moyen de cet isomorphisme les Pi (resp. ~, resp. Sq i) aux op6rations cohomologiques stables correspondantes. On notera 6galement par ces symboles Ies op6rations cohomologiques de type (Fp, q, Fp, q-k-2i(p--I)) pour p~=2 (resp. de type (Fp, q, Fp, q-k i) pour p=?2, resp. de type (F~, q, F2, q+i) pour q~o variable). Pour la construction de ces op6rations et pour leurs principales propri6t6s, on renvoie 5- [65]. On donnera d'ailleurs plus loin un aperqu de leur construction dans un cadre un peu plus g6n6ral. Bornons-nous ~ signaler les propridt6s suivantes de ces op6rations : i) p0 = i est l'opfration identique. 2) L'op6ration ~ (resp. Sq 1) n'est autre que l'op6ration de Bockstein usuelle en cohomologie. 3) Soit xeI-~k(X, Fp) avec p+2. Alors P~x=x p. 4) Soit xeHJ(X, Fp) avec j<2k. Alors Pkx=o. 78 EXTENSIONS DU GKOUPE ADDITIF 79 En caractdristique 2, ces propridtds deviennent : 3') Pour tout xeH"(X, F2), Sqnx--=x ~. 4') Pour tout xeHm(X, F2) avec m<n, Sq"x=o. 5) (Formule de Cartan). Pour toutes classes de cohomologie xeH*(X, Fp) et yeH*(Y, F~), on a, lorsque p+2 : (3.23) Pk(xUY) = 0 PCxu pk-~ (resp. (3.23 bis) Sqk(xwy)= ~ Sq~xuSqk-*y lorsque p = 2) t3 d6signant le cup-produit externe des classes de cohomologie. On ddsigne, pour p~:2, par pIle mon6me p~P~*...P~k~*+* dans A off I est la suite : (3.24:) I=(~, s~, ,~, s~, ..., s~, *~+1) les z i (resp. si) dtant des entiers qui satisfont aux conditions : (3.25) ,~=o, I, i~I (3.26) si>I, i~I. Par convention, on pose ~t_ ~, ~0= t. On ddfinit le degrd d(I) (resp. la longueur/(I), resp. l'exc~s e(I)), de la suite I par les formules suivantes : (3.27) u(I)= Z~j+ 2 2sj(p- ~) 9 J (3.28) /(I) =k lorsque ~k+ 1=o, /(I) = k + i lorsque zk + 1 = i (3.29) e(I) = 2sl + ~1- u(J) lorsque Iest une suite de la forme I=(r sl,J) (J 6tant dgalement une suite de ]a forme (3.24)). On dit de plus qu'une suite I du type (3. ~4) est admissible lorsque l'on ales relations suivantes pour tout i>i : (3.3 o) s~>__Ps~+t + zi+t. Enfin, on fait correspondre ~ la suite vide I= (O) le mon6me pI= I. Par convention : (3" 31 ) d(O) =/(0) = e(O) = o. On ddmontre alors (voir [65] ) la Proposition (3.7). -- Les mon6mes pi correspondant aux suites I admissibles forment une base (additive) de l'algObre A. La terminologie qu'on vient d'introduire permet de ddcrire la variante non stable de (3.22) ; c'est le caleul classique des anneaux de cohomologie des espaces d'Eilenberg- Mac Lane. 79 80 LAWRENCE BREEN Thdor~me (3.8) ([13] , [46]). -- Pour tout T//>I, H*(K(Fp, n), Fp) est isomorphe gt l'alg~bre commutative libre sur Fp engendrge par les gldments pIi,, 0h I est admissible et satisfait en outre ~ l'une des deux conditions suivantes : e(I)<n e(I) =n et ~1= 1. (On rappelle que i, etI"(K(Fp, n), Fp) est la classe fondamentale, et que l'algEbre commutative fibre est le produit tensoriel de l'algEbre symEtrique sur les gdnErateurs de degrE pair et de l'algEbre extErieure sur les gEndrateurs de degrE impair.) Pour un aperqu de la demonstration du thEor6me (3.8) dans un cadre un peu plus gEnEral, voir [46]. Le lecteur remarquera que la version stable (3.22) du thEorEme est une consequence de celui-ci, compte tenu de la proposition (3-7). Lorsque p----2, la situation est un peu plus simple : on dEfinit un mon6me Sq I de A, pour une suite d'entiers positifs (dventueUement vide) : I ----(sl, ...,sk) , par : Sql=Sq "~. .. Sq "k Sq"= I. On dEfinit le degrE (resp. la ]ongueur, resp. l'excEs) de I par les formules : (3.32) d(I) = Z s, (3.33) /(I) =k (3.34) e(I)-=&--d(J) pour I de la forme I=(&,J) et l'on adopte les m~mes conventions que prEcEdemment (3.31) lorsque Iest vide. On dit ici que I est admissible s'il est vide ou si (3.35) s~>2~+1, I <i<k--I. Avec ces nouvelles definitions la proposition (3-7) reste valable en caractEristique 2. Quant au thEorEme (3.8) il prend maintenant la forme suivante : Thdor~me (3.9) (Serre) [61]. -- Pour n>I, l'alg~bre H*(K(F~, n), F~) est l'algkbre symdtrique sur F~ engendrde par les ElEments Sqli,, 0~ Iest admissible et o(I)<n. La demonstration, tout comme l'dnoncE, est moins technique dans ce cas qu'en caractdristique impaire ; on renvoie, pour cette demonstration, ~ la rEfErence citEe, en observant qu'elle fournit une bonne introduction aux notions rappeldes ici. L'algkbre duale de l'algkbre de Steenrod A la structure d'algEbre associative et commutative tz sur I~t(Fp) dEfinie en (2.41) correspond par dualitd une structure de cogEbre coassociative et cocommutative : ~* : A-+A| 80 EXTENSIONS DU GROUPE ADDITIF 8~ sur l'alg~bre de Steenrod A, que nous aUons maintenant expliciter [49]. Puisque la structure d'alg~bre de H.~t(Fp) est induite par l'accouplement du cup-produit, il en est de m~me de la structure duale de cog~bre sur A. Identifions un dl6ment xeA u l'op6ration cohomologique stable de degr~ u, et 6galement ~ toute application corres- pondante d'espaces d'Eilenberg-Mac Lane x: K(Fp, re+n) -+ K(Fp, m+n+u), avec u<min(m, n). Compte tenu de la reprdsentabilit6 des classes de cohomologie par des classes &applications d'espaces d'Eilenberg-Mac Lane, ~z*(x) = ~] y~| zp off l'61fimenty~ i+j=u (resp. zj) de Ai (resp. Aj) correspond ~ l'unique application : y~ : K(Fp, m) -+ K(Fp, m+i) z~ : K(Fp, n) -+ K(Fp, n +j) rendant commutatif le diagramme suivant, dans lequel les flbches verticales sont les accouplements du cup-produit : K(Fp, m)AK(Fp, n) V(u'^~i2 V K(F~,m+i)^K(F~ n-t-j) i+j =u K(Fp, m-t- n) '~> K(Fp, m+n-t-u) On peut traduire la commutativit6 de ce diagramme en une assertion qui concerne les foncteurs repr6sent6s par les diff~rents espaces qui y figurent, ~t savoir : Proposition (3. xo). -- Soit x une op&ation cohomologique stable de type (Fp, Fp), de degrd u; alors ~*(x) =- .~.yi| z~ o~ les {y~ } (resp. { z~ }) forment l'unique collection d'opdrations cohomologiques %3 (ngcessairement stables) de type (Fp, Fp), y~ dtant de degrd i (resp. z~ de degrd j), et satisfaisant la condition suivante : pour toute paire de classes de cohomologie ~EH"(X, F~) et ~cH"(Y, Fp), on a l'dquation suivante dans Hm+n+u(x� Fp) : = uzj( ), %3 le symbole u dgsignant le cup-produit externe des classes de cohomologie. Exemple (3.ix). -- Les formules suivantes sont des consdquences immbdiates de la proposition (3.io) et de la formule de Cartan (3.23) et (3.23 his) : (3.36) B* (P~) ---- y~ pi| pk-~ (3.37) ~*(Sq k) -- y~ Sq':| Sq k -t La proposition (3. I o) implique que la dbfinition de la comultiplication sur A donn6e ici coincide avec cel[e de Milnor dans [49]- Milnor considbre 6galement l'alg~bre A. 11 82 LAWRENCE BREEN duale gradu6e de la cog$bre A (pour la structure comukiplicative qu'on vient d'6tudier). A. s'identifie comme alg6bre $ H.~t (Fp, Fp). Alors que la structure de l'algSbre de Steenrod est trSs complexe, vule caractSre peu naturel des relations d'Adem, Milnor a montr6 que la structure de l'alg6bre A, est tr6s 616mentaire. De mani6re pr6cise, pour p # 2, soient ~ l'616ment de A. dual, par rapport k la base des mon6mes admissibles, du mon6me PJ* (k>o), et z, le dual de PJ~ (k>o), off l'on d6finit les suites admissibles J, et J;, par : L =(o, F o,F -2, ..., o,p o, x) J;,= (o, p ~'-1, o,p ~-~, ..., o,p ~, o, ~, x). En particulier deg ~---- ~p~--~ et deg v~ = ~p~-- x. Consid6rons de m~me en carac- t6ristique ~ des 616ments ~u de degr6s ~--x, duaux des mon6mes Sf*, off I~ est la suite admissible : i~=(~-~, ~-2, ..., ~, x) k>o. Thgor~me (3.x~) (Milnor [49]). -- Pour p+~, A. est isomorphe, comme alg~bre, gt l' algkbre commutative libre engendr& sur F~, par les ~ et les v~. A. est l' algkbre symdtrique engendrde sur Fz par les ~, pour p = ~. Milnor ddtermine 6galement la comultiplication sur A. induite par la structure d'alg6bre de A, mals nous n'aurons pas l'occasion d'utiliser ce rdsultat. 4. Foncteurs d6riv6s de r. I1 nous faut maintenant calculer les termes L~**P(Fp) qui figurent dans la suite spectrale (3-I3), c'est-$-dire les foncteurs d6riv6s stables gauches de I'. On a vu que les modules R-duaux de ces groupes n'6talent autres que les groupes des op6rations hypercohomologiques stables de type (@, @). On est done amen6 $ entreprendre l'6tude de ces operations, et l'on verra qu'elle est tout ~ fait parall$le $ celle des op6rations cohomologiques de type (Fp, Fp) r6sum6e ci-dessus. On commencera par les op6rations non n6cessairement stables, ce qui revient, comme on ra vu, ~ 6tudier le groupe H*(K(@, q), @) avec q fix6. Pour tout ce chapitre, on aura int6r6t ~ consulter [52], [27]. On va d6finir des op6rations de Steenrod P~ de type (@, q, @, q-4- 2i(p--i)) et O~ de type (@, q, @, q+ 2i(p--I)+I) pour tout i>o, lorsque le corps de base est de caract& ristique p#2 ; de m~me, pour p=0, on d6finira des Sq i de type (@, q, #), qq-i) pour tout i>o. En fait, une construction g6n6rale de ces op6rations, valable dans toute cat6gorie ab61ienne satisfaisant $ certaines hypotheses, a 6td donn6e par Epstein dans [27]. La situation qui nous concerne est suffisamment proche de celle qui pr6vaut dans le cas classique pour qu'il ne soit pas n6cessaire de falre appel ~ ce formalisme g6n6ral. On sait qu'il suffit de d6finir des classes de cohomologie P~iqEHq+2~(P-1)(K(0, q), 0) (resp. O~iqeHq+2i(P-1)+I(K(@, q), ~), resp. SqiiqeHg+i(K(@, q), @)). On se bornera ~ en esquisser la ddfinition, puisqu'elle est directement calqu6e sur celle de Dold [2o] dans le cas ponctuel (voir ~galement [39]). 82 EXTENSIONS DU GROUPE ADDITIF 8 3 De mani~re g~nErale, soit X un objet simplicial de T de la forme X = Y| au sens du chapitre I, off Y est un ensemble simplicial (on a vu en (2. I2) que c'Etait le cas pour X=K(@, q)). A tout xeI-I~(X, @) on commence par associer de la mani~re suivante une classe de cohomologie II-6quivariante Qx~nH*(L� , @) off II dEsigne le faisceau abElien constant sous-jacent ~ A, et L la resolution simpliciale standard du faisceau constant Z (muni de l'action triviale de II) dans la categoric des H-modules : un cocycle dans la classe de X correspond ~ un morphisme de complexes de faisceaux abEliens : x~ : Z [X] ~ -, r [q]. Soit Q~' le cocycle correspondant au morphisme : G ~ v> (4.') Z[L� ~ ' Z[X] ~| ' O[q]| @[Pq]. Ce morphisme est II-dquivaxiant si l'on fait agir II sur les diffErents objets de (4. i) de la mani~re suivante : II agit par sa definition sur L, il agit trivialement sur X et sur @[pq], et, sur Z[X] ~ | @[q]| 5. travers Faction du faisceau constant l~p associ6 au groupe symdtrique par permutation des tenseurs. La fl~che II-Equivariante fg est ddfinie par : f; = ( -- I )'(' - a)/2 ~, | et ~ est la p-i&me itErEe de la loi d'annean de @. Le point dElicat est la definition d'un homomorphisme de complexes II-Equivariant G : Z [L � X] ~ --~ Z [X] ~ | naturel en X, qui s'identifie en degr6 o ~ l'homomorphisme : O 0 : Z [L 0 � X0] -+ Z [X] ~ | dEfini par G0(/0, x0)=x0 ep. Pour la demonstration, qui est la m~me que dans le cas ponctuel (et qui enest d'ailleurs une consequence immediate), voir [2o], [39]. On note Q x la classe de cohomologie 6quivariante reprEsentEe par le cocycle Q~' et l'on vErifie qu'elle est indEpendante du choix du reprdsentant ~' de la classe x. Puisque II agit trivialement sur X : nH"(L � X, r = H'q(K � X, @) off K=L/II=K(ll, x) est le faiseeau simplicial constant associ6 i l'ensemble sim- plicial K----K(Z/p, I). Par le thEor&me d'Eilenberg-Zilber, on a un quasi-isomorphisme : Hom(Z [K � X], @) -+ Hom(Z [K] | Z [X], @) et par le coroUaire (i. I2), ce dernier complexe est isomorphe Home~,(Z [K], Fp) | [X], @). Par KEnneth, on obtient : (4.*) H'q(K� 0)---- @ H'(K, F,)| (P). i+j=~ Ici H*(K, Fp) dEsigne le groupe de cohomologie ordinaire (c'est-~-dire dEfini avec des cochalnes a priori non nEcessairement polynomiales) de l'espace d'Eilenberg-Mac Lane K, 88 8 4 LAWRENCE BREEN ou, ce qui revient au mfime, le groupe de cohomologie associ~, au sens de la cohomologie des groupes, au groupe cyclique ZIp. On salt qu'il existe une F,-base additive usuelle de H*(K, Fp) formfie d'filfiments w k pour tout k>o, avec deg(wk)=k (ce calcul ~tant d'ailleurs celui qui permet de commencer la rficurrence dans la dfimonstration usuelle du thfior~me (3.8)). On d~finit de mani~re unique des classes de cohomologie : D~(x) eH"-k(X, d~) par la formule : (4.3) Qx = X wk| Dk(x). Les P~x (resp. O~x, resp. Sqix) coincident, ~ constante pros, avec les Dk(X) convenablement r~index~s. Pour une formule pr~cise, ~ une faute typographique pros, voir ([27], w 7-I) ; on se r~f~rera ~galement ~ ([46], p. I82), off l'op~ration O~ est notre ~P~ (voir ~. ce propos la remarque (4.2) b) ci-dessous). Enon~ons maintenant Ics principales propridt~s des operations que nous venons d'introduire. On remarquera qu'elles coincident, ~t une exception pros, avec les propridtds des op6ratlons de Steenrod usuelles et il en est de m&me de leurs ddmonstrations. Nous omettrons donc ces derni~res, en nous contentant de renvoyer le lecteur aux r~f6rences cities ci-dessus. Commen~ons par signaler l'unique difference avec le cas classique. Lemme (4. 9 -- L'opdration cohomologique de degrd zdro p0 (resp. Sq ~ est induite par l'homomorphisme de Frobenius F : 0-->0 sur les coefficients. Cette apparente diff6rence n'en est en fait pas une, la relation classique p0 = I (resp. Sq~ I) provenant de ce que le Frobenius s'identifie, lorsque les ensembles de coefficients sont les corps Fv, ~ l'application identique. Ainsi, m~me ce lemme se d~montre par la mdthode usuelle (voir ([39], IX, (6.2) e))). Voici les autres propri~t6s de ces op~rations : I) Les P~ (resp. Sq ~) satisfont aux relations d'Adem (3-x8) (resp. (3.2I)). I1 existe en outre trois relations suppMmentaires du mfime type, que l'on trouvera explicit~es dans ([27], th~or~me (9.8)); l'une d'entre elles n'est d'ailleurs que (3. x9), si l'on consid~re que les expressions du type ~P~ qui y figurent d~signent les opfirations O~. En particulier, p0 (resp. Sq ~ commute b. toutes les op6rations de Steenrod. 2) Soit X un ensemble simplicial de T. Pour tout x~H"(X, 0), on a P~x=x v lorsque 2i=s (resp. pour tout x~H"(X, ~), on a Sq"x=x ~ pour tout n). D'autre part, Pix=O~x=o lorsque 2i>s (resp. Sq~x=o pour i>n). 3) (Formule de Cartan). Pour tout x, yeH*(X, ~), on a, pour tout k'>o : (4.4) P*(xwy) ---- Y. P~xwP~-'y (p4=2) ~?_o (4.5) O~(xwy) =i~>o(O~xoP~-iy+(--I)Oog'P'xoQ2-'y) (p4=~) (4.6) Sq~(x~Y)=i~>oSq'x~Sq~-~y (p=~) d~signant le cup-produit externe de classes d'hypercohomologie ~ coefficients dans d~. 84 EXTENSIONS DU GROUPE ADDITIF 85 Supposons p + 2. Soit June suite d'entiers, vide ou non, du type (3.24), satisfaisant /~ la condition (3.25) et ~. la condition : (4.7) s~>o pour tout i qui remplace (3.26). On lui associe un mon6me PJ en les opfirations de Steenrod comme on l'a fait au chapitre III, avec la convention (n~cessaire puisqu'on n'a pas dfifini ici de Bockstein [5) que chaque terme du type [spi qui appara~t dans le mon6me ~p~[5~,... p,k[5*k.~ dfisigne formellement l'filfiment O~. On dfifinit le degrfi (resp. la longueur, resp. l'exc~s) de J par les retirees formules (3 - 27)-(3 - 29) que pr~cfidemment, et la d~finition d'une suite admissible est ~. nouveau (3.3o) 9 A la suite vide, admissible par convention, on fait correspondre le mon6me constant I, reprfisentant l'op6ration cohomologique identique. Remarques (4.2). -- a) La condition d'admissibilit~ (3.3 o) implique que si s~=o, alors sj =r pour tout j>i : ainsi un mon6me est-il admissible si et seulement s'il est de la forme : pj = ei(po) j avec pI une suite admissible au sens classique (c'est-~-dire ne faisant pas intervenir de terme p0). Dans ce cas, on a : d(J) -- d(I) /(J) =/(I) +j e(J) = e(I). b) L'identification formelle de O~ avec [spi, qui intervient, pour prdserver l'uni- formit6 de la notation, dans la d6finition des mon6mes admissibles (et qui permet de retrouver les relations d'Adem et la formule de Cartan mentionndes ci-dessus ~ partir des formules classiques correspondantes) peut prater ~ confusion. On salt en effet qu'il existe une opdration de Bockstein (que nous noterons [5) en cohomologie k coefficients dans (9 : c'est l'op6rateur bord associd en cohomologie ~ la suite exacte de d6vissage du groupe de vecteurs de Witt de longueur 2 (voir [5I]) : o ~ 0~ W2(0) -+ 0~ o. [5 est une op6ration cohomologique de degrd x, et l'on v6rifie, en consid~rant la d6finition de ]a loi de groupe dans We(0), qu'elle est de poids p au sens de ]a remarque (2.26) a). I1 r6sulte alors du th6or~me (4.3) ci-dessous (volt 6galement la remarque (4.5) b)) que l'on a ~----cO~ off c est une constante, puisque O~ engendre l'espace vectoriel des op6rations cohomologiques de degr~ Iet de longueur I. De plus [5 s'envoie par passage aux fibres sur le Bockstein classique, et il en est de m~me de O~ ([46], p. I83). Ainsi c ---- I, donc : [5=02. 85 86 LAWRENCE BREEN La relation d'Adem ([27] , (9.8.4)) pour a=o s'ecrit done : [~P~= O~P ~ pour i>o (cette formule dtant tautologique pour i = o). I1 y a done lieu de distinguer O~ de ~P~, ee qui explique qu'~ la difference de [46] et de [5~], nous emploierons le moins possible la notation ~P~ pour d6signer l'op4ration O~. c) H*(K(O, q), ~) est muni d'une structure natureUe de H-module ~ gauche, o~ It=End(O) est l'anneau de Hilbert-Witt d6fini au lemme (~. ~). Celle-ci est induite par l'homomorphisme des coefficients eorrespondant k chacun des 414ments hell. En particulier, par restriction des scalaires au sous-anneau R C H, H*(K(O, q), ~) est de mani~re naturelle une R-alg6bre gradu~e (pour une 4tude plus approfondie des actions gauche et k droite de H sur H*(K(O, q), ~), voir la remarque (4.,x)). Le r4sultat principal de ce chapitre est l'analogue suivant du th4or~me (3-8) : Thgorkme (4.3) (voir dgalement [52], th~orSme (4. oI)). -- Pour p premier # ~, n ~ x, H*(K(O, n), O) est isomorphe en tant que R-alg~bre gradur ~ l'algkbre commutative libre sur R engendrge par les glgments PS(n), 0~ J parcourt l'ensemble des monSmes admissibles satisfaisant en outre ~t l'une des deux conditions suivantes : o(J)<n e(J) =n et ~1 = I, i, eH"(K(O, n), ~9) dgsignant la classe fondamentale. Indiquons bri~vement quel est l'~noncd correspondant pour p = 2. Dans ce cas, on dfifinit de mani~re 6vidente des mon6mes Sq I associes aux suites I =(st,..., sk) avee s{_>o (et non plus s~-o comme prdc6demment). A cette diff6rence pros, ]es dfifinitions et les formules du chapitre III restent encore valabIes et l'on ate Th6or~me (4.4). -- Pour p= 2, n~x, H*(K(O, n), 0) est l'algkbre symgtrique engendrge sur R par les glhnents SqIi, avec I admissible et o(I)<n. Dgmonstrations des thgorkmes (4.3) et (4.4) Les deux thfior~mes se dfimontrent par r6currenee surn. Les groupes de cohomologie commutent au changement de base plat. On peut done supposer que R = Fp (resp. F2). Le calcul pour n----- I a ~tfi effectu~ par M. Lazard dans ([4o], th6or~me (I2. I)) sous l'appellation de << cohomologie de l'analyseur classique ~ Ffcoefficients >>. A partir de 1~, on peut reprendre la ddmonstration du thdor~me (3-9) donnfie par Serre [61] (voir [46] pour une d~monstration de ce type valable en toutes caract~ristiques). On consid~re done la suite spectrale E r =~Fp en eohomologie associ~e ~ la fibration, d'espace total E acyclique : K(O, n--I) -+ E-+ K($, n). 86 EXTENSIONS DU GROUPE ADDITIF 87 Comme on ne tient pas k d6velopper le formalisme des fibrations dans une cat6gorie de faisceaux (pour lequel on renvoie ~t [I2]), on observera que cette suite spectrale peut 6tre d6finie de mani6re simple en filtrant ,~ par le nombre de barres )> la bar-construction (non r6duite) associ6e ~ l'alg6bre difffrentieUe gradu6e Z[K(O, n--I)] des chatnes de K(r n--I). On construit alors une suite spectrale abstraite E' faisant intervenir la cohomologie de K(~, n--i) (connue par l'hypoth~se de r6currence), la cohomologie de K(O, n) teUe qu'elle d6coule de la conclusion du thdor6me, et dont l'aboutissement est trivial (tout comme l'aboutissement de la suite spectrale E, ~F~, puisque l'espace total E associ~ ~ la fibration est acyclique). Le th~or6me de comparaison des suites spectrales permet maintenant de conclure. Remarques (4.5). -- a) Les thdor~mes (4.3) et (4.4) peuvent 6tre ddmontr6s de plusieurs autres mani6res. Tout d'abord, plut6t que de citer le r6sultat de Lazard pour n= I et de proc6der par rdcurrence, comme on l'a fait par commodit6, on peut d6montrer directement ces rdsultats h partir des th6or~mes (3.8) et (3.9), en employant la technique utilis6e par Lazard pour n = i. Rappelons d'autre part que les foncteurs d6riv6s gauches de F coincident essentieUement avec les foncteurs d6riv6s gauches de l'alg6bre symdtrique : c'est ce qui r6sulte de la formule de d6calage de Bousfield-Quillen ([54], (7.2I), [34], I, (4.3.2)). Or on salt ([2I], proposition (4. x6)) que ces derniers coincident avec les groupes d'homologie des espaces d'Eilenberg-Mac Lane, ce qui fournit une autre mfthode de calcul. Pour une derni6re fa~on de calculer ces groupes, ou plut6t les foncteurs ddriv6s droits de l'alg6bre sym6trique qui leur correspondent par duafit6, voir [52]. b) On a ddfini (remarque (2.26) a)) une graduation par le poids sur l'alg6bre H*(K(O, n), ~). On volt maintenant qu'elle coincide essentiellement avec la graduation par la longueur sur les mon6mes admissibles. On v~rifie en effet en examinant la construction explicite des puissances de Steenrod Pi (resp. O~, resp. Sq i) que, pour toute classe de cohomologie x~H*(K(O, n), 0) de poids j, et pour tout i>o, Pix (resp. O~x, resp. Sqlx) est de poids pj. Or la classe fondamentale i nest de poids p0 = I (voir (2.26) a)). IIen r6sulte que pour toute suite admissible I, pIi n (resp. SqZin) est de poids pk avec k=l(I). L'application K(A, n) --~K(O, n) associ6e ~ l'injection canonique ~ : A-+O induit en cohomologie un homomorphisme de R-alg6bres : X : It*(K(0, n), ~)) ~ H*(K(A, n), r ~H*(K(Fp, n), R). II est caractdrisd par ses valeurs sur les gdndrateurs PJi, (resp. SqIi,) de la R-alg6bre H*(K(r n), V). Or la classe fondamentale i, eIt"(K(O, n), O)= Hom(0, 0) s'envoie evidemment par X sur la classe i~eH"(K(Fp, n),R)=t-Iom(Fp, R) correspondant ~ l'injection canonique. D'autre part, on a vu que P~ eI-I*(K(O, n), V) n'est autre que FeHom(O, 0). II s'envoie donc sur Fp s R L ReHom(Fp, R). Or F~=a, donc: (4.8) X(P~ = i'.. 87 88 LAWRENCE BREEN Enfin la construction des opdrations de Steenrod esquissde plus haut dtait calqu6e sur la construction usuelle ; il est donc bien clair que par passage aux fibres, on obtiendra les op6rations de Steenrod usuelles de type (R, n, R, n +s) correspondantes, Ainsi : (4-9) ?,(psi, ) = par,di~ (4. IO) X(SqSi,) = SqSr~di'~ off Jred est la suite admissible usueUe obtenue k paxtir de la suite admissible J en omettant les entiers s i de valeur nulle. Cette description de ),, jointe k la formule de Cartan, permet de conclure que les opdrateurs pi (resp. Sq i) qu'on vient de ddfinir sont stables. On sait en effet que ceci revient k vdrifier que les homomorphismes S induits paI la suspension en cohomologie S* : H*(K(~), n+ I), ~) --~ H*(K(0, n), ~)) satisfont ~ : (4.,,) s'(P% + 1) =- P%- Par ddfinition S est induit en cohomologie par rapplication : StAK(~, n) ~A~ K(A, I)AK(~), n) ~> K(0, n§ (voir (2.26)). Or ~z se factorise en : K(A, ~)AK,(d), n) , K(d?, i)^K(d?, n) ~'% K(d?, n+ i) oh v,,,, est l'application du cup-produit ddfinie en (2. I9). Remarquons que pour tout m, n_>o, la fl~che v,~,,, : K(d?, m)nK(d), n) ~ K(d?, re+n) induit en cohomologie rdduite un homomorphisme v*=v~,, satisfaisant par ddfinition du cup-produit ~t la formule : v*(im+,)=imwi,. On en ddduit par naturalit6 des opdrations de Steenrod, en utifisant la formule de Cartan (4.4), que pour tout i>o : v (P z,, +,)= P%*(i,,+,)= P~(imwi,)= Y~P~imuP~-ki,. (4.'2) * ~" Ces formules, pour m--i, jointes ~a description de ~, donnde en (4-9), impliquent les formules (4.i~). On d6montre de la m6me mani6re la stabilitd des O~ et des Sq ~ en utilisant les formules Cartan correspondantes. L'algkbre de Steenrod dtendue et sa duale Soit Run anneau de caractdristique premi6re p+2. On appelle R-alg6bre de Steenrod 6tendue r << alg6bre >> (1) associative gradude d R engendrde sur R par des dldments Pi de degrd 2i(p--i) et O~ de degrd ~i(p--I)+I pour tout i>o, satisfaisant (a) ~R n'est pas ~ proprement parler une R-alg~bre, puisque l'image de R n'est pas centrale dans d;g, vu (4- I3)-(4- I4)- On peut prdf6rer le terme <( anneau ~ op6rateurs >>. 88 EXTENSIONS DU GROUPE ADDITIF 8 9 aux relations engendrEes par la relation d'Adem (3. i8), par les trois autres relations d'Adem de ([27], thEorEme (9.8)) mentionndes pr~c~demment, et par les relations : (4" 13) pi a = a ~ pi O2a= ~176 pour tout asR, ~ dEsignant le Frobenius absolu sur R. On pose ~/Fp = ~r ; c'est l'alg~bre 6tudiEe par Priddy dans [5~]. A tout 616ment P de dR, on associe le syst~me projectif d'61dments : Pi, eI-I*(K(O, n), r pour n variable, d'ofl, compte tenu de l'isomorphisme : (4. I5) H*(Mt (0), r -~ lira H*(K(O, n), g ~ ) mentionnd en (2.47), un dldment : PiEH*(A~t ((P), 0). On salt que ce dernier groupe classifie les operations cohomologiques stables ; il est donc muni d'une structure multiplicative correspondant ~ la composition des operations cohomologiques stables. Thgor~me (4.6). -- L'application ~ : dR-+H'(Mt(O), O) d~finie par q0(P)= Vi est un isomorphisme de R-<< alg~bres >~. DEmonstration. -- C'est essentiellement une consequence du thEorEme (4.3) et de l'isomorphisme (4. I5). La relation (4. i3) n'est autre que (i .5)lorsque i=o, puisque p0 s'identifie avec F. Le cas gEnEral se ramEne au cas i = o de la fa~on suivante : pour tout aER, l'616ment ainsHn(K(~), n), ~) est le cup-produit de la classe de cohomologie de degr6 o, aEI-I~ n), O)=Hom(A, g))-~R, par la classe fondamentale i,. Par la formule de Cartan, on a donc : (Pia) i, = Pi(a i,) = Y, PE(a) u P*-~(i,). Or PJ(a)= o pour j>o puisque a est de degr6 o, et P~ ~, d'ofi la relation. On dEmontre (4. I4) de la m~me maniEre, au moyen de (4.5). Pour terminer la demonstration, on vErifie l'analogue de la proposition (3.7), savoir que les mon6mes admissibles pI forment une base additive de d R (consider6 comme R-module ~ gauche) ce que l'on fair comme pour la proposition (3.7). Remarques (4.7). --a) Lorsque p = 2, on dEfinit de maniEre analogue une << alg~bre )> associative d R : ceUe-ci est engendrEe par des 616ments Sq i de degrE i>o, satisfaisant aux relations d'Adem (3.2I) et aux relations Sq~a=a~Sq i. Le thEor~me (4.6) reste valable, mutatis mutandis. 12 9 ~ LAWRENCIE BREEN b) On vient de montrer que toutes les classes de cohomologie stables sont combi- naisons lindaires de celles qui s'obtiennent ~ paxtir de la classe fondamentale en lui appliquant des opdrations de Steenrod itdrdes. La version stable de la remaxque (4.5) b) peut donc &re formulde de la mani~re suivante : les seules classes de cohomologie stables non nuUes de type (~, ~) ont pour poids une puissance de p. Autrement dit les L.~tr~(Fv) (resp. RStSym~(R)) sont nuls pour i~ep t (t~o~). De plus, eonsiddrons le scindage : ~>_0 d(j ) ddsignam la composantc de d cngendrde par les mon6mes de longueur i (~ la diffdrence du cas classique, les relations d'Adem sont maintenant homog~nes pour la fonction longueur/()) ; l'application ~0 est compatible ~ cette graduation et ~t la gra- duation par le poids sur les ddrivdes droites de l'alg~bre symdtrique, et la i-~me composante de q~ est donc un isomorphisme : (4.x6) ~: ,-q/~) ~> R*~tSymV~(R). I1 sera commode, dans ce qui suit, de considdrer d R comme R-alg6bre au sens usuel, au moyen de la formule : (4.17) r.P=P.r-~rP pour r~R, Peal R. Autrement dit, la structure de R-module ~ gauche est celle qui est induite par la structure multiplicative de dR, alors que la structure de R-module ~ droite en diff~re, vules relations (4. I3), (4. I4). On appelle ceci la structure de R-alg~bre banale sur ~R et c'est toujours elle que l'on consid~re, sauf mention expresse du contraire. Si l'on veut prdserver la multiplication ~t droite de d R par des scalaires dans R, on dolt considdrer d R comme un (R, R)-bimodule, ou mieux une (R, R)-bi-<< alg~bre )~ (ce dernier terme n'dtant pas pris dans le sens usuel d'alg~bre muni d'une comultiplication), la multi- plication ~ gauche pax un scalaire &ant ddfinie comme prdcddemment, et la multiplication ~t droite par les relations qui ddeoulent de (4-I3), (4. I4), c'est-~t-dire : (4" x8) Pr= r~ pour pe~r reR. On appellera ceci la structure d'alg~bre tordue sur d R. Remarquons ce propos que pour R=F,, la situation est plus simple, puisque le Frobenius ~ est l'application identique. Dans ce cas les structures banale et tordue coincident. Un des avantages de la structure banale est qu'elle commute au ehangement des scalaires. En particulier, on a un isomorphisme de R-modules : OR : R| ~> ~r ddfini par 0R(r| ) = rP. On prendra garde que 0 R n'est pas compatible aux structures multlplicatives. On a vu plus haut que les accouplements du cup-produit : v,,,,, : K(0, m)AK(0, n) -+ K(0, re+n) 90 EXTENSIONS DU GROUPE ADI)ITIF 91 induisaient en cohomologie des applications v* ddfinies par les formules (4-I I) et (4-I2), consdquences immddiates de la formule de Caxtan. I1 est donc aisd de d&rire la version stabilisde de ces formules. Soit en effet ~r174 ~r le produit tensoriel pour la structure banale de R-alg6bre sur ~q/a (on prendra garde que ce choix de structure conduit ~t des formules du type : Pr| P|176 pour P, Qe,~'R, reR et /(P)=i). Tout comme dans le cas classique, on observe que la comultiplication : (4.18) /~ : 5~ R ~ ~I~| obtenue en stabilisant les v* (eten utilisant l'isomorphisme ~0 du thdor~me (4.6)) est compatible aux structures de R-alg~bre banale sur M R et ,~1R| R. A est donc caract6ris6 par les formules suivantes, off ]'on pose par convention pt Sqt = o pour t<o. A(P) = Z pk| (4. xg) k:>O (4.':'0) A (02) = Z ~ (02| e'-~ + e~| o2-~) (resp. : A(Sq~)-- - Z Sq~| ~-~ (4.2I) k>_0 lorsque p---- ~). Les formules (4.19)- (4.2 I) sont des consdquences immddiates de (4.4)- (4.6). II convient dgalement de pr6ciser queUe est la version stabilisde de l'homomorphisme X (4.9) ; on ddsigne par A R le quotient de d R par l'iddal k gauche JR engendr6 par l'dldment p0 i. A a n'est pas une alg&bre (k moins que R ~ Fp, auquel cas Jest bilat~re), mais poss~de notamment une structure de R-module induite par la structure de R-module banale sur ~(~R" Soit ~F : AR--~ H*(F~t(Fp), R) l'application d6finie sur la classe [PI]eA R d'un 61dment Pied R par la formule : (4.22) tie([p~]) = V~,ed i' Off Pi' est la limite projective des Pi~H*(K(Fv, n), R) (pour les notations ,'~ et r ~ voir (4.9)'(4-i o)). On a vu dans loc. cit. que le diagramme : d~ 9 , H*(A'~(r r (4.23) x AR "i-" I-I*(F;~(F~), R) &ait commutatif, la fl6che verticale de gauche 6tant la projection canonique, que l'on notera dgalement k. D'autre part les formules (4-9), (4 -Io) montrent que X envoie un mon6me admissible sur un mon6me admissible et que tous les mon6mes admissibles au sens classique sont dans l'image de X. I1 en rdsulte que 9 est un isomorphisme de 91 92 LAWRENCE BREEN R-modules graduals. Ceci est d'ailleurs une assertion classique pour R=F~; AR----A est alors l'alg6bre de Steenrod classique et ~F n'est autre que risomorphisme (3.22). Le cas gdndral s'en ddduit directement par extension des scalaires. Prdcisons la structure de X; soit Xi : d(~)---~AR la restriction de X ~ la compo- sante d(~ ) de S/R, et notons A~ ) le sous-R-module de A R engendrd par les mon6mes admissibles classiques (c'est-~t-dire correspondant ~ des suites ne comprenant que des entiers strictement positifs) pi de longueur <i. Les formules (4.9), (4. I O) impliquent que A~ est l'image de X~ dans AR, et que l'image d'un mon6me admissible pi est un mon6me admissible classique pI~d. Le lemme suivant est ddsormais dvident : Lemme (4.8). -- L' application X~ : ~'(~)~A(~ J est un isomorphisme de R-modules. Remarquons d'autre part que l'on est maintenant en mesure d'expliciter le diagramme induit en cohomologie stable par le diagramme (2.4o). C'est le diagramme suivant : AR| ~ ~ A R 1 | x I lx AR| . X ~ 'x| I / dR| oct A est ddfini ci-dessus (4.19)- (4- 2 i). Ccs formulcs suffisent ~t caractdriscr Aet 8, compte tenu de la surjectivitd de )~ ct dc la commutativitd du diagrammc. En paxticulicr la fl~che A fait de d Run AR-comodule /t gauche, dont la structure est caractdrisde par des formulcs idcntiqucs ~t celles-l~t, ma2s oct lcs tenseurs qui intervienncnt sont interprdtds commc des dldments dc AR| R. Enfin, lorsque ron rcstreint A g la composante d~ ) de dR, on obtient une comulti- plication (encore notde A) d(~)-+ 9 ,~r162 ~'R'~R, d'ofi un diagramme commutatif : AR| R ~ A R AR| ) ~ ~' A~) (4.24) Aa| ) ~ d(~! ~'i| I / 92 EXTENSIONS DU GROUPE ADDITIF 93 Ainsi d~ / est muni d'une structure de AR-comodule ~t gauche et celle-ci s'identifie par transport de structure ~t la structure de AR-comodule induite sur A~ par restriction A~ ) de la comultiplication classique 0 sur A a. Notons pour terminer que la commu- tativitfi du diagramme entraine que l'application ~' se factorise en : A~--> A~| -+ AR| ~ . II est done loisible de consid6rer A~ ) comme une cog~bre (isomorphe k d~/). On a vu (proposition (3. I2)) que l'alg~bre A R 6tait R-duale d'une F~,-alg6bre A. de structure 616mentaire. I1 reste ~t d~crire le diagramme dont (4.24) est le R-dual. Puisque l'6nonc6 commute au ehangement de base, on se bornera au cas off R =Fp. Soit Af / l'alg~bre duale de la cog~bre A~)p=A/~). L'isomorphisme ~ (4. I6) s'identifie, via l'application X~ du lemme (4.8), au transposfi d'un isomorphisme : (4 23) ~: L*~'r"(F,) = a~ I D'autre part A (~ est une sous-cog~bre de A et done : (4.26) a~/~A./A~) off A(i ~ ddsigne l'orthogonal de A/~/ pour l'accouplement de dualit~ sur A. De m~me ~,~/d~signe l'alg~bre duale de la cog~bre ~/~)_ AI~/ et ces deux alg~bres sont 6videm- z ~'Fp -- ment isomorphes. Lemme (4.9). -- Pour tout i~o, A{ est l'idgal de A. engendrg par les glgments ~j, v k (j>i, k>i) (resp. les ~lgments ~j tels que j?>i si p=2). Dgmonstration. -- Dans la correspondance d4finie dans ([65], p. 85) entre les suites admissibles I satisfaisant aux conditions d'admissibilit6 (3.3o), (3.35) et les suites d'entiers naturels I'=(r rl, '1, r2,...) soumis ?~ la seule condition : ~i = o, i pour tout i, une suite I de longueur ~i correspond ~ une suite I' satisfaisant ~ : ~ ~ o pour tout s~i, r t = o pour tout t~i. Compte tenu de ce dictionnaire, le lemme est une consdquence immfidiate du lemme 8 de [49]- On obtient donc, vu la proposition (3. I2), l'dnonc6 suivant : Proposition (4. xo). -- Pour tout i~o, on a, pour p+2, un isomorphisme de Fp-algkbres : 9 .. ~i)| .- '~-1) (4-27) a.i/--- Sym (~1, ,~ ~ ., oh deg(~,)=2ps--2, deg(-:"~)=2p'--~ (resp. A~)~_Sym(~,...,~,) ok deg~.=2'--I lorsque p = 2). De plus, soit ?,~/ : A. ---> A~ / la transposge de l'indusion X!i/ : ACi) ~ A ; alors : 93 LAWRENCE BREEN s< i (4.28) X~)(~') = s>i (4.29) X~)(z,) = / ~'t t<i o t>i la formule (4.28) demeurant valable en caract#istique 2. Remarque (4. i I ), -- La sous-<< alg~bre >) des dldments de degrd o de d Rest engendrde sur R par p0 et elle s'identifie, compte tenu des relations (4. I3) pour i=o, ~ l'anneau non commutatif H des endomorphismes de 0. Cette << alg~bre >~ op~re sur d R tout entier par multiplication ~t gauche (resp. k droite) dans dR, ce qui correspond dvidemment ~t la composition k droite (resp. ~ gauche) des opdrations cohomologiques par les opdra- tions de degrd o correspondantes. En particulier, on peut considdrer la multiplication ~ gauche (resp. ~ droite) par l'dldment p0. C'est une opdration a-lindaire (resp. lindaire) pour la structure de R-module banale de ~'s, et puisque p0 est de poids p, sa restriction ~ ~r est de la forme ~r ~'~ + 1) Ces opdrations sont caractdrisdes par le fait qu'elles envoient un mon6me admissible P de d~ ) sur pp0= pop. En particulier, la multiplication ~ droite par p0 s'obtient par R-dualitd k partir d'une application f : A~+ 1)--->A~ ) . Celle-ci n'est autre que la projection naturelle d6finie, avec les notations de (4.27), par f(~,+l)----f(~)=o. 5- Les termes inltiaux de la suite spectrale fondamentale Nous sommes maintenant en mesure d'expliciter les termes E 1 et E 2 dans la suite spectrale (3.13)- I1 rdsulte de la remarque (4.7) b), et de la description en (3-I4) des termes E 1, que tous ces termes sont nuls lorsque le poids i n'est pas une puissance de p. Introduisons donc la terminologie suivante : on notera : (resp. 'E:* =,- Ext*(d), d?)pt) la suite spectrale (3-13) (resp. (3.15)) de poids i=p', pour tout t_>o. Compte tenu de l'isomorphisme transposd de (3.14) et de l'isomor- phisme (4.25) , on peut maintenant prdciser les termes E 1 et E 2 de la suite spectrale fondamentale : pour tout t>o on a : (5- x ) 'E~,, ___ k, (A. ~ ' | A~)) Er,,_k, Tor, (gp A~ )) (5.*) ,5 ~ ,, , A I~ dtant munie de la structure de A-module dont la transposde est la structure de A-comodule sur A C0 ddcrite dans le diagramme (4.24). Le thdor~me (3.12) et l'isomor- 94 EXTENSIONS DU GROUPE ADDITIF 95 permettent de d6crire explicitement ces termes. On a notamment, phisme (4.27) pour p 4= 2 : 'E 2 ._~k, Tor ssm(~ .... )| .... )(Fv, Sym~'l, 9 ~t)| ~,-1)) (s.a) (resp. pour p=2 : (5.4) tF.2 "~k Tor ssm(~l .... )(F2, Sym(~l, '~t)))" --r~ 8 --''8 " " " Proposition (5.x). -- Pour p+2, t>o, on a un isomorphisme de modules bigradu& 'E.2.~A(~t+l,~,+2,...)| o~ ~,, est de bidegrd (x, 2p"--2) et ~, de bidegrd (i, 2p"--I) (d'o?t plus ggn&alement yj(~',) de bidegrg (j, 2jp"--j)). Pour p=2, on a tE2..gA(~t+l,~+2, ...), o~ ~,, est de bidegrg (i, 2m--i). Dgmonstration. -- On calcule le terme (5-3) en r6solvant Fp ~ la Koszul par le Sym(~t, ...) | ...)-module gradu6 : X,=Sym(~l, ...)| ...)| ...)|165 ...) muni de la diff6rentielle d d6finie par : d(~m) = d(~.) = o d(~m) = ~ d(v~(~.)) =-.vj-~(~.) (voir [13] ). Par produit tensoriel sur Sym(~l, ...)| ...) avec Sym(~l,...,~,)| A(%, ..., x%_1) on obtient le complexe : Sym(~, ..., 4,)| ...,':,_1) | ...)| u .-.) muni de la diffdrentieUe ddfinie par : d(~) = d(~.) = o m<t ,55, m;>t n<t n>t Si l'on r6crit ce complexe sous forme du produit tensoriel du complexe : (Sym(~l, 9 9 ., ~,)| ..., [,))| ..-, Z,-x)| ..-, ~,-1)) muni de la diffdrentielle ddfinie par les formules (5-5) et du complexe : A(L+I,L+,...)| ~,+1, .--) muni de la diff~rentielle nulle, on obtient imm~diatement le r~sultat par passage 5. l'homologie, le premier de ces deux complexes ~tant acyclique. 95 9 6 LAWRENCE BREEN Remarques (5.2). -- a) I1 est facile de d~crire exp]icitement les gdn6rateurs ~,, et y~(~,) de rE,2,, puisque tE,~, est l'homologie de rE,l, (pour la diffdrentielle d! de la suite spectrale), et que l'on connatt une description explicite du terme E a (5- I). On trouve que ~m (resp. yj(~,)) est la classe (dans E 2) du cycle ~| ek2p~_2(A,| ~ -- I, 2p m -- 2 (resp. du cycle %| |174 I ek2~, j(A,~174 ))- tE~ .... -- j, 2jp n --j) 9 0 2 En particulier A(,~ ~ B(A,) et E**---H,(B(A,)) (avec les notations de la remarque (3. i) b)) et, si l'on utilise la notation traditionnelle pour des 61~ments de la bar-construction r6duite g(A,) associ6e ~ une algbbre diff6rentielle A,, on peut ~crire que ~,, (resp. Tj(~,)) est la classe dans ~ du cycle [~] (resp. [%, ..., %]). b) L'action de End(O) sur ~r d~crite dans la remarque (4. ii) provient d'une action sur le foncteur d6riv6 stable RSym~*(R). En particulier, l'application f qui y est d6crite provient d'une application f: (P~;+~)~t(F~) -+ (P~i)~(F~) compatible ~t la structure de F~t(F~)-module. On a donc un morphisme de suites spectrales : ' + ~E:, -----=~ H ( F, | GI~,)(rf§ "(F,) ) t * E**--+ H(F,| Or on connMt la description def au niveau E ~ : elle est consequence imm6diate de (5. i) et de la remarque (4. i i). I1 est facile d'en ddduire ce qu'est fau niveau E ~ en reprenant la ddmonstration prdc6dente. On trouve que f: *+lE2-+*E2 s'identifie via la propo- sition (5. I) ~ l'inclusion natureUe. En caract6ristique 2, le th6or6me principal (I "3) est une cons6quence directe de la proposition (5. I). En effet, tousles termes de l'alg6bre tE,2,~A(~t+l, ...) sont de degr6 total pair, puisqu'il en est ainsi des g6n6rateurs ~m- Ainsi la suite spectrale fondamentale est d6gdn6r6e (puisque toute diff6rentielle dans la suite spectrale est de degr6 total --i), d'ofl l'isomorphisme de modules gradu6s : (5- 6) H. ( F2 | ~[t(F21 ( F 2') at (F2)) ~ A (~, +x, ~, +2, .-. ) (chacun des g~n6rateurs ~m du terme de gauche dtant gradu6 par le degrd total 2"*). La suite R-duale de la suite spectrale fondamentale (d6crite dans la remarque (3.6) b)) est 6galement d~g6n6r6e et l'isomorphisme (5.6) induit un isomorphisme de R-modules gradu6s : (5-7) AR(~;+I, ~;+~, ...) ~Ext*(0, r ~, ddsignant l'dldment de degrd 2"* transposd de ~m. On a donc ddmontr~ la proposition suivante : 96 EXTENSIONS DU GROUPE ADDITIF 97 Proposition (5.3)- -- Lorsque p--- 2, on a, sous les hypotheses A1 et A2, un isomorphisme de R-modules graduEs : Ext*(g~, ~9) ~ O AR(~-,+,, ~,+2, .-.) t>0 avec deg(~*)=2 m. I1 ne reste plus qu'k mettre cette proposition sous la forme de l'Enonc6 du thEor~me (i.3). Si l'on se reporte ~ la definition des ElEments ~*, on peut expliciter Faction ~ gauche et ~ droite de H =-End(0) sur Ext*(~9, 0). DEsignons pour Eviter toute confusion, par ~:,j (pour s>j>o) le terme 4: dans la (j+I)-i~me compo- sante AR(~+t, ...) de Ext*(O, ~7). L'action de H est caractEris& par celle de Fell et celle-ci s'obtient par transposition, en ce qui concerne la multiplication ~t droite, ~t partir de la description du morphisme f donnEe dans la remarque (5.2) b). On calcule de mani~re similaire la multiplication ~ gauche par F. En definitive, on obtient les relations : Fr~, =~* Fr=/~:*,~ pour r~s (5.8) -~,0 ~,0 pour r~s Autrement dit, pour tout j>o, Ext2J(0, 0) est le (H, H~ monog~ne engendr6 par 1'ElEment ~,~o ~ ... ~:~o ~ de degrE 2j, les entiers 0q= o, I &ant caractErisEs par la decomposition 2-adique de j : J=>~0~,+t2 '. Ceci termine la traduction, compte tenu des relations (5.8). Structures multiplicatives La suite spectrale fondamentale a malheureusement un comportement plus compliquE en caractdristique impaire. Nous verrons par ]a suite que les seules diffE- rentieUes non nulles sont d 1 et dp_~, et celles-ci ne coincidant plus en dehors du cas envisage ci-dessus, le terme E 2 calculd dans la proposition (5-I) ne pourra plus &re identifid avec l'aboutissement. Pour pouvoir progresser dans l'Etude de cette suite spectrale, il faut remarquer qu'elle poss~de une structure plus riche que celle envisagde jusqu'~ present. Comme on l'a remarqud dans les rappels sur la bar-construction (chapitre III), le terme rE**2 ___k, TorA,(Fp, A~I) de la suite spectrale est muni d'une structure naturelle d'alg~bre (compatible avecla bigraduation) induite par la structure d'alg~bre commutative graduEe de A,. C'est d'ailleurs celle-ci que l'on a pris soin de faire figurer dans l'6noncE et dans la demonstration de la proposition (5. I). On souhaite maintenant ddmontrer que la suite spectrale (3.13) tout entifire est munie d'une structure multiplicative induisant sur le terme E ~ celle que l'on a dEiSt exp]icitde. Comme on l'a vu, le terme Fp| vp)I'Vt(F~) dont l'homologie est l'aboutissement est bien du type - bar-construction ~) marls on ne peut malheureusement pas lui appliquer directement les considerations du cha- pitre III. En effet l'alg~bre associative F~*(F~) n'est pas commutative, condition n&essaire pour dEfinir une multiplication par le procddd (3.9). 13 98 LAWRENCE BREEN I1 existe deux fa~ons de contourner cet obstacle. La plus directe est d'observer que l'alg~bre F~t(Fp) poss~de de tr~s bonnes propri&~s de commutativit~ ~ homotopie pros (voir la remarque (2.x6) c) et la proposition (2.I8)). Or on trouve en ([I4] , proposition (3-4)) une liste de conditions de commutativit~ ~ homotopie pros que dolt satisfaire une R-a/g~bre diff~rentielle gradu& A augment& vers R pour qu'il soit possible de d~finir sur la bar-construction B(A) une structure d'alg~bre diff~rentielle, compatible avec celle de A. Ii reste a/ors ti vdrificr que l'alg~bre Fvt(Fv) satisfait bien ~t ces conditions, ce que l'on peut faire en utilisant la repr6sentabilitd des cochaines par les objets d'Eilenberg-Mac Lane correspondants, pour se ramener k v6rifier une assertion de commutativit6 du cup-produit des cochatnes d'un espace, ~ homotopies supdrieures pr6s. On trouvera la vdrification de cette derni6re assertion dans l'article [47] de Milgram, sous le nom de << higher associating homotopies >>. Ces conditions de commutativit6 sont ma/heureusement compliqudes ~ 6crire, ce qui donne un caract6re assez fastidieux ~ la ddmonstration qui vient d'etre esquiss&. Aussi procdderons-nous d'une autre mani6re, qui a l'avantage d'&re plus conceptuelle. Elle consiste ~ remplacer la rdsolution de Mac-Lane M,(P) d'un R-module, employde au chapitre III dans la construction de la suite spectrale fondamentale, par une nouvelle r&olution canonique pour laquelle la structure muhiplicative est plus facile ~ d~finir. La construction de cette nouveUe rdsolution, de sa structure muhiplicative, et sa compa- raison avec M.(P), feront l'objet du prochain chapitre. On conseille au lecteur d'omettre celui-ci en premi6re lecture en se contentant de l'assertion qu'une telle structure multi- plicative existe, compatible avec ceUe que l'on connalt sur le terme E ~. On y fait librement usage des notions rappel&s dans l'appendice. 6. Une nouvelle r~solution canonique. Soit (T, R) un topos annel~. Au foncteur oubli F : (R-modules)-+(ensembles point~s) et ~ son adjoint h gauche R + correspondent des transformations natureUes : (6.I) ~ : R+F-+id (6.2) tF : id-+FR +. On d~signe, pour tout R-module P, par (R +, F)P la construction simpliciale standard correspondante (voir [29], App., [34], I, (i.5)) : (6.3) R+Cm+I/P... _~ R + R+P ~-+ R+P. Le complexe associ~ [(R +, F)P] ~ est augment~ par (I)(P) vers Pet il fournit une r&olution fonctorielle de P qui ne satisfait pas ~ la condition P4 du chapitre III. Pour tout n~o, on d~finit un R-module bisimplicial N(P, n)----(R +, F)K(P, n) en r~solvant chaque composante du R-module simplicial K(P, n) comme en (6.3). De mani&e pr&ise, posons : (6.4) N(P, n),,.~ = (R+)~+IK(P, n)j 98 EXTENSIONS DU GROUPE ADDITIF 99 off les op6rateurs face horizontaux (correspondant au premier indice) sont ddfinis comme en (6.3) et les opdrateurs verticaux sont induits par ]a structure simp]iciale de K(P, n). Soient ,U(P, n) le bicomplexe N(P, n)~ associ6 h N(P, n) et fw(P, n) le complexe simple correspondant. Pour tout j~o, le complexe associ6 au module sim- plicial N(P, n).,j est une rdsolution de K(P, n)~, ce qui implique le lemme suivant, compte tenu de (2.3): Lemme (6.x).- fW(P, n) est une Nsolution de P[n] (P concentr~ en degrg n). ~) Remarques On notera r : fw(P, n) ~ Pin] l'homomorphisme d'aug- (6.2). mentation correspondant. Pour n = o, fw(P, n) coincide essentiellement avec la r6solution de P associ6e b) ~t (6.3). c) Soit N(P, n)=AN(P, n) l'objet simplicial diagonal associ~ ~t N(P, n). La transformation naturelle ~ induit un homomorphisme simpficial q) : N(P, n) -~ K(P, n). Par le th~or~me d'Eilenberg-Zilber-Cartier (2.I6), le complexe associ~ N(P, n) ~ est homotopiquement dquivalent ~t P[n] et N(P, n) est une rdsolution simpliciale de K(P, n) au sens de ([2I], (4. I))- d) Soient P et Qdes R-modules de T. II rdsulte du lemme que, pour n>o fix6, la suite spectrale d'hypercohomologie obtenue en filtrant le bicomplexe JV'(P, n) par le premier indice est de la forme suivante : (6.5) E["~ =Extq+"(R + (,+~IK(p, n) ~, Q) ~ Exff+q(P, Q), une lois rfiindexde pour tenir compte du lemme (6. i). Observons que, par d6finition des groupes d'hypercohomologie, on peut rdcrire le terme E 1 sous la forme : E, "'q (n) = fiq +"(R + ~'~ K (P, n), Q). Pour obtenir une structure comultiplicative sur la suite spectrale (6.5), il suffit de procdder de la mani~re suivante : ~ tout homomorphisme de R-modules m : A| ~C, on associera pour i,j>o un morphisme de bicomplexes : (6.6) A~,j : Jff(A, i)| ---~Jf-(C, i+j) d'ofl, par passage aux complexes simples associ~s, un morphisme de complexes : fA,,j: fW(A, i)| fw(c, i +j) rendant commutatif le diagramme suivant : fw(a, i)| I~ f~(c,i+j) A [i] | S [j] ~ , C [i +j] 99 Ioo LAWRENCE BREEN La structure multiplicative sur la suite spectrale (6.5) associ& ~ un accouplement m :A| s'en ddduit (voir plus bas). La construction du morphisme Ai, j s'effectue de la mani~re suivante, le symbole | ddsignant ici le produit tensoriel interne de R-modules simpliciaux (resp. multisimpliciaux) et ~ le produit externe correspondant. On va tout d'abord ddfinir un morphisme de R-modules bisimpliciaux : (6.7) 0 : N(A, i)| -+ N(C, i-t-j) associ6 ~t m : AQB-+C de la fa~on suivante. Soit : 0p : R+C'+I)K(A, i)| -+ R+ (P + t) K(C, i+j) un morphisme d'ensembles simpliciaux d~fini par rdcurrence sur p : on prend pour 00 le morphisme : 00 : R+K(A, i)| ~> R+(K(A, i)^K(B,j)) R+(a@ R+( C, i+j) composd de l'isomorphisme canonique et de l'application induite sur les chaines r~duites par l'application d~,j (2.~9). On pose 0p=R+[0v_lo~], off : 7: : R+VK(A, i)^R+VK(B,j) ~ R+VK(A, i)| est la projection canonique (le morphisme 0. ainsi ddfini a bien pour source : R+(v+~)K(A, i)| [R+PK(A, i)^R+~~ On vdrifie d'autre part que les 0p sont compatibles avec les opdrateurs face et ddgdnfi- rescence ddfinis en (6.3) ; ce sont donc les composantes d'un homomorphisme simplicial. Soit ~' : [N(A, i)| ~-+ N(C, i +j)~ =JV'(C, i +j) le morphisme de bicomplexes associds. On remarquera que la source de 0 est la diagonale partielle de type (I3) , (24) dans le module quadrisimplicial N(A,i)Q_N(B,j). Le thdor6me d'Eilenberg-Zilber- Cartier (voir la remarque (2. i6) b)) permet de ddfinir une fl&he q~ (on prendra la fl&he des << shuffles ~ pour fixer les iddes) de type saivant : q~ : f(~3)(2,)(N(A, i)QN(B,j)) ~ -+ [N(A, i)| ~ f(,3)(24) ddsignant le bicomplexe obtenu en sommant les indices i et (resp. 2 et 4) dans le quadricomplexe associ6 ~ N(A, i)QN(B,j). On dfifinit maintenant le mor- phisme Ai4 (6.6) comme &ant le compos6 0"oq~. Comparaison des rgsolutions canoniques La suite spectrale (6.5) n'est utile que dans la mesure off l'on salt calculer le terme Ef'q(n)-=Hq+"(R+(P)K(p, n), Q). Le cas qui nous int6resse est celui off R=A, P = Q= 0 (avec 0 un anneau de T de caractdristique p>o satisfaisant aux hypotheses AI et A2), et l'on a ddj~ 6tudi6 dans ce cas les termes E~ n), @) (th6o- 100 EXTENSIONS I)U GROUPE ADDITIF *o~ r6mes (4.3) et (4.4)). Le calcul des termes E~'q(n) avec p>o est plus delicat. Observons par exemple que nos hypoth6ses sur 9 ne nous permettent pas, en l'dtat actuel des connaissances, de calculer les groupes E~.q(o) =Hq(A+P(~)), 0) lorsque p>o. Le lecteur s'en convaincra en se plaw dans le cadre de l'exemple (i -4) : on a vu que g) est alors reprdsentd par la droite affine, mais AP(0) (resp. A+P(0)) n'est pas reprdsentable par un schdma pour p>o). Plus gdndralement, pour r>I et n>o, chacune des compo- santes X i de l'objet simplicial X,=NK(0, n) est de la forme A'(g)8), compte tenu de la remarque (2.4) c), et on ne salt donc pas calculer les groupes de cohomologie H*(Xl, 0). Le miracle est que l'on va ndanmoins parvenir ~ calculer les groupes d'hypercohomo- logic H*(X,, 0) en bas degr6, en identifiant X, (par un quasi-isomorphisme paxtiel) avec un autre objet simplicial de T. En toute gdndralitd, soit Run anneau de T. Dans ce qui suit, on identifie l'ensemble d'Eilenberg-Mac Lane K(R, m) k R + [Sin], au moyen de l'isomorphisme ddfini en (2.8). Pour tout objet simplicial X de T, on ddsigne par ~(X) :K(R, m)^X-+R+(Sm^X) l'application compos6e : R+[Sm]AX 1^~> R+ [Sm]AR+ [X] ,,> R+[Sm]| ~> R+[SmAX] off ~ a 6td d~fini en (2.5), r: est la projection canonique et la derni~re fl~che est l'isomor- phisme canonique. L'application ~m(X) a 6t6 ~tudide par D. Anderson dams [2]. Exemple (6.3). -- L'application W"(S ") : K(R, m) AS '~ -+ R + [SmAS "] __ K(R, m + n) coincide, au signe pres," avec l'application K(R, m)^S n -->T SnAK(R ' m) --~" K(R, m-k-n) off T permute ]es facteurs et a n est la suspension itdrde (2.27). Soit P un R-module de T. On abr&ge ~m(K(P, n)) en ~m,,(P) (off m~me tFm, n s'il n'y a pas de risque de confusion). La fl~che fondamentale pour l'application que nous avons en rue est la fl&che : q%.~,(P) : K(R, il)^K(P, i2) --> R+K(P, il+i~) ddfinie, pour tout ij,i2>o , par : = o P1 us gdndraJement on ddfinit, par itdration, pour toute suite d'entiers naturels (il, 9 9 9 i, + 1), une application : (6.8) q%1 ..... ~+~(P) : K(R, i~)^...hE(R, i~)^K(P, i~+~) --> R+~(K(P, n)) of .=::ij : K(R, i1)^...^K(P, i,+,) vi,(K(R.121 ^... ^K(e,r + ~/)> R+ [Si, ^ K (R, i=) ^... ^ K(P, i, + 1)] mEo;,^~ R+ [K(R ' i,+i~)^...^K(R, 4)^K(P, 4+~)] %§ ...... i,+~ R+,[K(p, n)]. 101 ioe LAWRENCE BREEN On vdrifie que les fl6ches q%,~, satisfont aux propridtds suivantes : Lemme (6.4)- ~ Les diagrammes suivants sont commutatifs ((b et tF dtant les foncteurs (6. I), (6.2) et d~,j l'accouplement du cup-produit) : ~i~ h(P) K(R, il)^K(P, i2) ' ,. R+K(P, n) l@(K(P,n)) K(P, n) S',^K(P, ~ > K(P; n) K(R, i0^K(P, R+K(P, n) On a des diagrammes commutatifs similaires faisant intervenir les applica- tions q0il ..... ~,+~(P). L'int6r~t de la fl~che q% ..... ~,+x(P) provient de la proposition suivante (voir k ce propos [36]) : Proposition (6.5). -- Supposons que ij>o pour tout j. Alors l' application ~1 ..... ~,-+1(P) est un (n + min(i~)- O-quasi-isomorphisme. La ddmonstration se fait en plusieurs dtapes. On l'explicitera pour r= i, le cas gfindral s'en ddduisant aisdment. Puisque T possSde assez de points, on peut raisonner fibre par fibre, ce qui permet de supposer que l'on se trouve dans le cas usuel off Test le topos ponctuel. Commen~ons par rappeler le lemme fondamental suivant : Lemme (6.6) (Freudenthal). -- Soit X un espace (n-- I )-connexe ; ators l' homomorphisme de suspension S : rq(X) --+ ~i+I(SX) est un isomorphisme pour i<2n--~ (resp. un dpimorphisme pour i = 2n-- i). On en ddduit que l'application de suspension it&~e : ,q : S"^K(P, i2) -+ K(P, i 1 + i2) est un (ilq-2i2--i)-quasi-isomorphisme, et i] en est donc de m~me, par le th6or~me de Whitehead, pour R+(a~I). On va maintenant ddmontreI que ~11,~, est un (2il + i2--I)- quasi-isomorphisme. La proposition en r6sulte, par la ddfinition de %,q, puisque min(il + ei~-- i, ei t q- i~-- I) = (i I "-~ i2) -t- min(il, i2)--I. En fait on d6montre l'dnonc6 plas gdn~ral suivant : Proposition (6.7). -- Pour tout X (n--i)-connexe, tFm(X) est un (2m + n--i)-quasi- isomorphisme. 102 EXTENSIONS I)U GROUPE ADDITIF xo 3 On commence par ddmontrer le cas special suivant de la proposition (6.7) : Lemme (6.8). -- Wm(S n) est un ( 2m + n-- i )-quasi-isomorphisme. Ceci rEsulte de l'identification de ~(S ") avec ,%T (voir l'exemple (6.3)) et de la remarque prdcEdente. Pour d4montrer la proposition dans le cas gEnEral, on commence par dEfinir, pour m>o fixE et pour tout i>I, des foncteurs k~ sur la catEgorie homotopique, ~t valeurs dans la categoric des groupes abEliens (resp. des groupes pour i= I), par : (6.9) kr(X) = r% +,(K(R, m)^X). Observons que les foncteurs k,~( ) forment une thEorie de l'homologie (gdnEralisEe) partielle, au sens de [68], [15]. Pr6cisEment : Lemme (6.9). -- Soit X t y -+ Cr une cofibration, o~ X est (r--1)-connexe et C r (s--I)- connexe. On a une longue suite exacte d'homotopie associde ~ cette cofibration : kT(X ) ~ k~'(Y) -+ kT(Cr) ~ k~'_ ~(X) -+... d~s que i < 2m + r + s-- 3. En effet : K(R, m)AX ~^r> K(R, m)AY > K(R, m)^C r est Egalement une cofibration, et l'on applique ([i5] , thEor~me (I.6)). Ddmonstration de la proposition (6.7) Soit X = [J X 8 la filtration de X par les squelettes. On va dEmontrer par recurrence 8~n sur s que ~"(X 8) est un quasi-isomorphisme partiel, le cas s----n--i Etant trivial, compte tenu de l'hypoth~se de connexit4 sur X. On d4finit une nouvelle collection de foncteur h. ~ de la categoric homotopique ~ valeurs dans (Ab) par : = (sin^x)) =Hm+~(S'~^X ; R) (2.4) = Hi(X, R)(Kiinneth). Ainsi les foncteurs h~ sont inddpendants de met coincident avec les foncteurs d'homologie usuelle ~ valeurs dans R. Aussi satisfont-ils ~ une propriEt6 &exactitude similaire ?t celle dnoncde pour les k~ dans le lemme (6.9), pour i maintenant quelconque. L'appli- cation W~( ) induit en homotopie une transformation naturelle de foncteurs graduds ~ : k','~--~h~. II s'agit de montrer que e~ est un isomorphisme en degrds infdrieurs 2m+n--1. Soit VS ~ -+ X ~ ~ X ~ + ~ la eofibration induite par la d6composition de X par son squelette. On peut done lui associer un diagramme eommutatif : 103 IO 4 LAWRENCE BREEN , , km(x ") , kin(x"+*) , k,_,(vs 8) , k,_,(x') , ... -+ a?(vs,) , g(x,) , a/"(x,+*) , a,_,(vs*) , a,_,(x,) , ... La suite supErieure est exacte pour i<2(m+s--,), et la suite infErieure pour tout i. Par le lemme des cinq et l'hypoth&se de recurrence, on est ramenE au cas X= VS ~, d'ofi, par le m5me type de dEvissage que ci-dessus, au cas X--= S ~ dEiSt ddmontr6 au lemme (6.8). Remarque (6. io). -- On reconnaitra la demonstration, due k G. Whitehead, du fair que la thdorie d'homologie gdnEralisEe associEe au spectre d'Eilenberg-Mac Lane coincide avec l'homologie usuelle. On a seulement pris soin, dans ce qui precede, de prEciser quelle Etait la fl~che 0cm(X)=~(X) permettant de comparer ces deux theories k. et h.. L'autre difference est qu'il nous est utile de travailler pour l'instant directement avec les foncteurs k~ dEfinis ci-dessus, plut6t que de passer ~i la limite sur m par suspension, de mani~re ~ obtenir des foncteurs k~ ~ satisfaisant ~ la propridtE d'exac- titude du lemme (6.8) pour tout i. Supposons maintenant que P soit un objet en anneaux 0 de T, muni de sa structure de A-module, satisfaisant ~i AI et A2. On salt dEsormais calculer les termes : E~'8(n) =H~+~(A+~(K(d), n), r de la suite spectrale (6.5) lorsque r est petit par rapport k n. PrEcisEment, soient il, ..., ir + des entiers positifs satisfaisant ~ ~. i s = n. La proposition (6.7) entraine que, pour tout s<n + min(is)--I : (6. IO) H"+"(A+'(K(0, n), r fi~+"(K(A, il)^... ^K(0, i~+~), d?). Or on a vu au chapitre prEcEdent comment calculer le terme de droite. Pour rdsumer : Proposition (6. it).- Soient il, . . . , z) + ~ des entiers positifs satisfaisant a ~. ij= n. Alors, pour tout s < min (is) -- i, l'application ~11 ..... ~,+1 (~)) induit en cohomologie un isomorphisme entre le terme Er, , 8(n) de la suite spectrale (6.5) et la partie de degrd total n + s de l' alg~bre graduge : H*(K(F,, il), R)| | it), R)| i,+~), ~?). Remarque (6.x2). -- a) Pour obtenir le rEsultat optimal, on a intEr~t k choisir les entiers il, ..., i,+ 1 de mani~re ~ ce que, pour tout j, on ait ij> . Ce choix [r+i] permet de calculer E['S(n) pour tout s< --I. b) On notera d'autre part que ceux des termes E~i'(n ) de la suite spectrale (6.5) que l'on sait calculer sont indEpendants du choix de l'entier n, pourvu que n satisfasse 104 EXTENSIONS DU GROUPE ADDITIF io 5 la condition s< --i. En effet on sait que chacune des alg~bres H*(K(Fp, ij), R) (resp. H*(K(O, it+l) , d))) est nuUe en degr6 <i~ (resp. it+l). Ainsi la composante de degr6 n +s de l'alg6bre qui intervient dans l'6nonc6 de la proposition est engendr6e par des termes de la forme a~| 1 off ai est de degrd ij+b~ pour i<j<r+ i. Puisque ~.(ij+bj)=s+n<n+min(~)--I et que d'autre part Nij=n, on a ndcessai- # 3 rement bs<i j pour tout j. Or, on a vu plus haut que les groupes Hg+bi(K(Fp, is) , R) et I-Ii'+l+br+l(K(d ), i,+x), 0) 6taient inddpendants de i s (resp. i~+1), pour autant que l'on ait la relation bs<i s (resp. br+l<i~+l) (voir la remarque (2.24) c)). Les remarques qui pr6c~dent conduisent ~ penser qu'il est possible de comparer les suites spectrales E~."(n) puisqu'elles ont, pour n variable, leurs termes initiaux iso- morphes pour certaines valeurs de r, s, et qu'elles ont toutes le m6me aboutissement. Observons d'autre part que ceux des termes E~' ~(n) que l'on sait calculer sont isomorphes aux termes E~ '~ correspondants de la suite spectrale (3.15) obtenue en r6solvant l'objet 0 de T par la r~solution de Mac Lane M.(O). En fait, il est possible de comparer les suites spectrales E.~'~(n) et E. ~'~ tout enti~res en introduisant une nouvelle (et derni~re) r6solution canonique fN(P, d'un R-module P. I1 s'agit du complexe total associ6 ~ l'objet simplicial N(P, oo) suivant, augment~ vers P : (6. xI ) (R')'t(P)... (k~)'t(P) _% R't(V) s P, les op6rateurs face et d6g~n~rescence dtant d6finis par stabilisation ~ partir des opdrateurs correspondants de (6.3)- Rappelons en effet (voir la fin du chapitre II et l'appendice) que l'on compare un foncteur ddriv6 LF(M, n)=FK(M, n) au foncteur stabilis6 Pt(M) en modifiant 16g~rement le syst~me inductif FK(M, n) index6 par n, pour le remplacer par un syst~me inductif FK(M, (n)) index~ par la catdgorie I ddcrite dans l'finonc6 de la propri6t6 PI au chapitre II. On va maintenant appliquer la m~me construction aux modules bisimpliciaux N(P, n) d6finis en (6.4) : on construit un diagramme : 9 9 ~ N(P, (o))(o} ~_~ N(P, (I })(--I) ~N(P, (2})(--2) -+ off N(P, (n))(--n) est l'objet (n+ I)-simplicial : (6. x~,) ...R+2K(P, (n))(--n) _% R+K(P, (n))(--n), chacun des objets R+~K(P, (n))(--n) 6tant la version n-simpliciale de R+SK(p, n) d6crite dans l'appendice. On obtient par stabilisation un objet simplicial N(P, oo) qui n'est autre que (6. ii), muni d'un quasi-isomorphisme : (6.I3) p(P) : N(P, oo) -+ limAN(P, (n))(--n). En particulier le complexe total fsf'(P, oo) obtenu k partir du bicomplexe JV'(P, oo) associ6 ~ N(P, oo) est une rdsolution de P, puisqu'il en est ainsi de chacun des fuf(P, n) (et donc de leurs avatars AN(P, (n))(--n)). lO5 14 xo6 LAWRENCE BREEN au Si l'on applique le foncteur Horn(--, Q) ~k fw(P, oo), filtrd par rapport premier indice du bicomplexe JV'(P, oo), on obtient une suite spectrale : E.~,"(oo) . Exff+"(P, Q) avec E~'~(oo)__l~.xt~((R'+l)~tP, Q). D'autre part on sait (voir l'appendice, propo- sition (8. i)) que le syst~me projectif E['"(n) indexd par nest essentiellement constant de valeur E['~(N~), off N, est un entier quelconque >s, et que : E;,'(oo) Par exemple, lorsque P = O= 0 est un A-module satisfaisant k nos hypoth6ses habituelles, la proposition (6.II) implique que l'on a E~"(oo)___k~(A~r| ; remarquons que ceci est le terme E~,8 dans la suite spectrale d4finie au moyen de la r4solution de Mac Lane (dont on trouvera une composante pour le poids explicit4e en (5. i)). Proposition (6.,3}. -- Les suites spectrales E:* et E**(oo) correspondant aux bicomplexes M-t'**(P) et X(P, oo) sont isomorphes. Dgmonstration. -- I1 suffit de ddfinir un morphisme de bicomplexes : (6. i4) R[q~] : ~',,(P) ~4r(P, oo) induisant un isomorphisme sur les termes E 1 correspondants. Or les applications : q~il ..... ~r+l : K(R, il)f... ^K(P, Jr+l) -+ R+r(K(P, n)), d6finies en (6.8) pour (il, ..., i, + 1) variable vdrifiant ~. ij ---- n, sont compatibles avec les diff6rentes applications de suspension, d'ofl un morphisme : q0 ..... : K(R, <il))<--il)A_...A_K(P, <ir+l))<--ir+l) -+ R+r[K(P, <n))]<--n> d'un systSme inductif indexd par I ~+1 dans un syst~me index6 par I, compatible au foncteur d'addition Ir+l-+I (A_ ddsigne le smash-produit externe d'ensembles point6s multisimpliciaux). En appliquant le foncteur R+[ ], on obtient donc un diagramme commutatif : R + [K(R, <il))] <--i~)| | + [K(P, <i~+~>)] <--i~+~> R*[~i ...... i'§ W +~ [K(P, <n))] <--n> lim RKR | | lim RKP ~ R[~] > lim R r + 1KP I > ----> I I > T T R "t(R) | | R~t (P) ~[,o~ ( Rr + ~)~ > (P) les fl~ches verticales infdrieures (resp. supdrieures) dtant les quasi-isomorphismes (resp. les quasi-isomorphismes partiels) qui interviennent dans la proposition (8. I) de l'appendice, 106 EXTENSIONS DI.2 GROUPE ADDITIF ~o 7 auquel on renvoie dgalement pour la notation et pour des prdcisions sur toute cette d5monstration. Or la fl~che horizontale supdrieure est un quasi-isomorphisme par la proposition (6.5) et le th6or6me de Whitehead, ce qui termine la ddmonstration, ~ ceci pros qu'il reste k vdrifier que les flhches R[q~] st, pour r variable, forment un morphisme de bicomplexe (6. I4). Ceci est une cons6quence de la commutativit6 des diagrammes que l'on obtient en appliquant [e foncteur R+[ ] aux diagrammes commutatifs du lemme (6.4) (voir (8.6)-(8.8)). Ej** r On est maintenant en mesure de ddfinir la comultiplication promise sur , ~) (et done, par transport de structure, une comultiplication sur la suite spectrale E**). On a associ4 en (6.7) ~ chaque m : A| un morphisme de R-modules bisimpliciaux : (6. I5) 0c~ =0 : N(A, i)| ~ N(C, i-t-j) compatible aux diffdrentes suspensions. Par le yoga usuel d'Illusie (voir l'appendice) on remplace N(A, i) par AN(A, (i))(--i), d'ofl un morphisme d'un syst~me inductif indexd par I � I dans un systSme inductif indexd par I, compatible au foncteur dvident + : IxI---~I : 0~,~: AN(A, (i))(--i)| (j))(--j)~ AN(C, (i-kj))(--i--j); en passant /~ la limite des systSmes inductifs, on obtient un morphisme de modules bisimpliciaux : 0 : N(A, oo)| oo) ~ N(C, oo) tel que le diagramme suivant, dans lequel les fl6ches verticales ont 5td ddfinies en (6. I3) , soit commutatif : N(A, oo)| oo) - + N(C, oo) p(e) ~(A) | 0(S) / ~(0 o) * limAN(A, {i))(--i)| (j))(--j) ~� lira)AN(C, (i+j))(--i--j) I > --~ I 0 induit par passage au bicomplexe associ6 un accouplement de bicomplexes : (6, x6) 0 : W(A, ~)| ~) -~W(C, oo) F,**(~ Revenons au cas qui nous qui va permettre de ddfinir la comultiplication sur _., ,. concerne, off Paceouplement que ['on consid~re est la loi d'anneau m:g)Qg)-~(~ associde ~ un objet (P satisfaisant ~ nos hypoth6ses A1 et A2. Les morphismes de bicomplexes A~,i (6.6) (resp. 0 (6.16)) induisent des morphismes de bicomplexes : Hom(A,,j, 0) : Hom(JV'(G i § 0) ~ Hom(W(G i)| 0) (resp. Hom(0, 0) : Hom(~/'(0, oo), (P)) ~ Hom(.4/'((9, oo)| oo), ~)). 107 xo8 LAWRENCE BREEN Soit F,***(i,j) (resp. F,:*(00, 00)) la suite spectrale obtenue en filtrant le bicomplexe Hom(aV(@, i)| @) (resp. Hom(aV'(@, 00)|163 00), 0)) par le second indic| Les morphismes prdcddents induisent des morphismes de suites spectrales : (6. x7) g.,(i,j) : E**(i +j) -+ E***(i,j) V.**(00) 17.**(oo (resp. t*.(00, 00) :-., , -+-., , 00)). 8oient d'autre part : p~,~: 1-Iom(~/'(O, i), O)| 0) ~ Hom(.A*(O, i)| ~) l'application qui envoie un dldment f| sur le morphisme composd : .A/'(~, i)| *| 0| ", @ (*) et p~, ~ l'application correspondante. Ces fl&ches induisent des morphismes de suites spectrales : .... i'| "" ~ " " p.(i,j) : r,, k ) 9 k3) ~ E**(z,3) 0.(00, 00) : -, g:*(00, 00) et p,(i,j) | un isomorphisme en E 1 ik off l'on sait calculer les termes du but et de la source en utilisant la proposition (6.ii) (c'est&-dire sur les termes E~'s(i)| avec s<i, t<j). Les syst~mes projectifs E**(i)| k3) (resp. g;*(i,j))indexds par I ~ � ~ (resp. I ~ sont essentiellement constants. Par passage ~t la limite on conclut que 9,(0% 00) estun isomorphisme. Ceci permet de ddfinir une application composde : 0.= p.(oo, 00) : W(00) -+ E:'(oo)| qui est la comultiplication souhaitde. Proposition (6. x4). -- La comultiplication ~1 : E~*(00)-~ E[*(00)| ainsi ddfinie coincide (via les identifications de la proposition (6.13) et de (5. I)) avec la comultiplication sur A[r-l| induite par la comultiplication sur A a (resp. dR) ddfinie en (3.36)-(3.37), (4. I9)-(4.2I). Nous ne ddmontrerons pas cette proposition, qui rdsulte de la description explicite de la flSche 0 par un calcul explicite qu'on dpargne au lecteur. L'intdrat principal de la proposition est qu'elle permet d'identifier la comultiplication au niveau E 2 : pour d6crire celle-ci, on vase limiter ~ la composante tE**(oo) de poids pt de la suite spectrale E***(00). Rappelons quel enest le terme tE~*(00) (voir la remarque (3.6)) : (6. x8) 'E~' s(00) ___k s Ext],(a~), R). De m~me, le terme E 2 de la suite duale s'dcrit : (6. x9) tea r,s\ (00~ / ~_k s Torr h~)). (1) Avec la convention de signe usuelle dans la definition de f| 108 EXTENSIONS DU GROUPE ADDITIF xo 9 t 2 La proposition pr6cddente impllque que la multiplication sur E** duale de la comulti- plication 0, n'est autre que la multiplication naturelle induite sur le terme (6.19) par la structure d'alg6bre commutative de A,, dont on a mentionn6 la d6finition dans les rappels sur la bar-construction au chapitre III, et c'est bien ceci que l'on s'dtait propos6 de vfrifier (voir la discussion des structures multiplicatives ~t la fin du chapitre pr6c6dent). En particulier la structure d'alg~brc de tW_**~(~; =tF,2_** est pr~cisdment celle qui figure dans la proposition (5. I). 7. Etude des diff6rentielles sup~rieures. Nous allons maintenant utiliser l'existence d'une structure multiplicative sur la suite spectrale rE***, d6montrde au chapitre pr6cddent, pour calculer les diff6rentielles sup6rieures d ~ dans ceUe-ci ; on suppose /7:t:2. Proposition (7.i).- Soit t>_o. Alors dJ=o pour 2<_j<p--I dans la suite spectrale rE**. Ddmonstration. -- On a d6fini un morphisme de suites spectrales f : t+lE***---,'-*E** (voir la remarque (5.2) b)) et observ6 qu'il dtait injectif au niveau E z. I1 suffit done de ddmontrer la proposition pour t= o. Rappelons que dans ce cas la suite spectrale s'identifie par construction (voir remarque (3.1) b) et proposition (3.4)) ~t ceUe que l'on obtient en filtrant le bieomplexe B(F~t(Fp)) (bar-construction rdduite associde l'alg&bre diffdrentieUe F~t(Fp)) par le premier degr6 ((( nombre de barres ~). Son abou- tissement est done l'homologie de ce bicomplexe et le terme E 1 (resp. E ~) est bien le complexe B(A,), bar-construction rdduite associde ~t l'algSbre diffdrentielle gradude A,=H,(F~t(Fp)) (resp. l'homologie I-I,(B(A,))=TorA*(F~, F~)de ce complexe), comme on a eu l'occasion de le constater ci-dessus (voir notamment la remarque (5.2) a)). Or on peut ddfinir sur la bar-construction rdduite B(C,) d'une Fp-alg~bre diff6rentielle gradude quelconque C, une comultipfication : : B(C,) --> B(C,)| en posant, pour a~eC, : (7.x) ~([al, ..., an])= Z [al, ..., a,]| [a~+l, ..., a,]. Cette comultiplication est compatible h la filtration de B(C,) par le nombre de barres et induit done une comultiplieation sur la suite spectrale associde ~ cette filtration qui, sur le terme E ~--B(H,(C,)), est ddfinie par la marne formule (7" i) (les ai 6tant main- tenant des dldments de H,(C,)). De plus, lorsque l'algSbre C, est commutative, cette comultiplication est compatible ~ la structure d'alg~bre de B(C,) (voir [25], II, page 74)- Le cas qui nous intdresse est celui off C,----F~t(Fp), H,(C,)=A,. I1 rdsulte de 109 ~o LAWRENCE BREEN la description explicite des 515ments ~m et ~,~i(u de t~ ~ donnde dans la remarque (5.2) a) que l'on a dans E ~ les formules suivantes : (7"3) "~ ('~'j (~,)) = Z "~'s (~n) | ~'t (~n) s+t=j et celles-ci suffisent ~ caractdriser ~q au niveau E ~, puisque les dldments ~m et y~(u engendrent l'algSbre I-I,(g(A,)). La proposition est alors une consdquence directe du lemme suivant, appliqu6 successivement aux algSbres E2=H.(g(A.)), E ~, ..., E ~-~ munies des diffdrentielles d ~ correspondantes. Lemme (7.2). -- Soit U~--~A(~I, ...)| ...) la Ffalg~bre bigradude par deg(~m)=(I , 2pro--2) et deg(y/u , 2jp~--j), munie de la structure de big~bre ddfinie par les formules (7.2) et (7.3). Alors route diffdrentielle d j sur U, de bidegrd (--j,j--I), compatible la structure de big~bre de U, est nuUe pour I <_j<p--i. Ddmonstration. -- I1 rdsulte des formules (7.2), (7.3) que la big6bre bigradu6e duale de U* n'est autre que : U*=A(~I, ...)| ...) off ~ (resp. ":n) est l'616ment dual de ~ (resp. ~n), munie d'une comultiplication v : U* --~ U'| d6finie sur les gdndrateurs de U* par les formules : (7.4) = + (7.5) = + La diffdrentielle dj transposde de d i envoie les dldments primitifs de U* sur des dldments primitifs, puisque dj est compatible ~ v. Or, les seuls dldments primitifs de U* sont les duaux des inddcomposables de U, c'est-~-dire les ~ et les (-r~,) p' pour tout s_>o, de bidegrds (I, 2p"--2) et (f, (2pn--I)p ") respectivement, duaux de ~,~ et ~,~,(~). En particulier, le premier degr5 de ces dldments primitifs est toujours une puissance de p. Ainsi d~, qui est de bidegrd (j, I--j) est ndcessairement nulle sur les gdndrateurs ~, et -~ de U*, ce qui termine la ddmonstration du lemme. I[ nous faut maintenant examiner la diffdrentieUe d p- ~ dans 0 E** p- . I1 sera agr~able de commencer par raisonner comme ci-dessus dans la suite spectrale duale E***. I1 nous suffira de connaltre dp_~ sur les gdndrateurs de (7.6) E~*_~ = E~* = A(~, ... ) | Sym(-:~, ... ). L'argument de primitivitg employd dans le lemme prdcddent implique que (7.7) dp_~(,*)= o pour tout n, puisqu'il n'y a aucun dl~ment primitif dans E~*_ ~ de bidegrd (p, ~pn--p + I). Par contre d~_~(~.~) a quelque chance d'etre non nul puisque c'est un dldment de l'espace 110 EXTENSIONS I)U GROUPE ADDITIF I II * p vectoriel E~'~ff~ '-p engendr4 par l'dl4ment primitif (%~-t) 9 Le but principal de ce chapitre est la d4monstration de la formule suivante, pour tout m>_i : (7.8) dp__ 1(~;) = ~(%'~" 1) p" (~ d6signant un scalaire non nul). Les formules (7-7) et (7.8) permettent alors de calculer Ep facilement. On verra ensuite que routes les diffdrentielles d~ sont nudes pour j>p, ce qui terminera l'analyse de la suite spectrale. En fait, on va calculer directement la diff5rentielle dans E*, plut6t que dans sa duale E, comme on l'a fair pour les diff5rentieUes de plus bas degrd. La formule d5montrer est alors, pour 0t4:o : (7.9) En l'6tat actuel des connaissances, on ne dispose d'aucun procdd6 permettant de calculer une telle diff~rentielle directement. En effet E* est, comme on l'a vu, une suite spectrale associde k la filtration par le nombre de barres de la bar-construction rdduite B(C,) associ~e k l'alg~bre diff~rentielle gradu~e C,=F~t(Fp) : (7.Io) E2=TorH*(c*)(Fp, Fp) ~ TorC*(Fp, Fp). Or, C, est dans le cas prdsent une alg~bre sur laquelie on a peu de prise. Aussi convient-il de la remplacer par une algSbre diffdrentieUe gradude plus 5ldmentaire, pour laquelle les propriStds de la suite spectrale (7- I o) correspondante sont mieux connues. On prendra pour remplaqante de C, l'alg&bre C,(X) des chaines (~ coefficients dans Fp) associde un H-espace convenable X. Dans ce cas (7. IO) prend la forme : (7" II) E2----Tor"*(x'~p)(Fp, Fp)i~ H,(B x, Fp) et n'est autre que la suite spectrale dite d'Eilenberg-Moore (ou de Steenrod-Rothenberg, voir [58], [59]) permettant de calculer l'homologie du classifiant B x de X ~ partir de celle de X. L'espace X que l'on va considdrer est donn5 par : x = K(F , 2j), (7" I2) que l'on munit d'une multiplication d5finie de la fa~on suivante : soit F le foncteur de la catdgorie homotopique dans la catdgorie des groupes ab6liens, qui ~ tout espace Y associe la s5rie formelle i -4-a2t2-4-... +a2jt2J-r avec a,~Hi(Y, Fp), la loi de groupe dtant la multiplication des s5ries formelles. I1 r5sulte du thdor~me de repr5sentabilit~ de la cohomologie par les objets d'Eilenberg-Mac Lane (rappelde dans la propo- sition (2. I3) ) que l'espace X reprdsente le foncteur ensembliste sous-jacent k F, ce qui ddfinit sur X une loi de H-espace ~z : X x X-+X. Pour simplifier la notation, posons : (7.13) K, = K(%, 20 111 xI2 LAWRENCE BREEN et appelons 0, : K,---~X (resp. ~. : X-~K,) l'inclusion (resp. la projection) naturelle. Alors le diagramme suivant est commutatif, comme il r~sulte de la d6finition de ~ (la flfiche horizontale inf~rieure ddsignant l'accouplement du cup-produit) : Iz X� > X On X Orn ~n + m (7. x4) ' 1 Knx K,. > Kn+m Notons maintenant C,(Y) le bicomplexe Fp[Y] ~ des cha~nes modulo p associ~es k un espace Y. Le diagramme pr6c6dent induit par passage aux chalnes le cart6 sup6rieur du diagramme commutatif de complexes suivant : C.(X) | C.(X) c.(x) ~n+m On | T C,(K.) | C,(K~) ~" C.(K,+ m) T-2n | T-gm~ ~- 2n-- 2m > C,(K,+m) (-- 2n-- 2m ) (7. '5) C,(K,) (-- 2n) | C,(Km) (-- 2m) > litm> C,(K,+,) (-- n--m ) lim C,(Kn) (- n)| lim C, (Kin) (- m) i > i > p(vg ], Fp) ~(F#[ ],F#) op(Fp[ ]'~P)I F~,' (F,) | F;t (Fp) ], Fp) le quasi- T_2, d~signant le morphisme de translation de degr6 --2n, et p(Fp[ isomorphisme partiel de complexes associ6 ~ la fl6che correspondante d6crite en (2.43). Les propri6t6s de commutativit6 de la loi de H-espace ~ sur X (qu'on se gardera bien de confondre avec la loi de groupe induite par la structure de groupe ab61ien simplicial de chacune des composantes Ki de X) sont ddcrites par le thdor6me suivant de G. Segal, dont on trouvera la d6monstration dans ([60] (proposition (I. I))). Th~or~me (7.3). -- L'espace X, muni de la loi de H-espace ~. d&rite ci-dessus, a le type d'homotopie d'un espace de lacets infini. Or, d~s que X est un double espace de lacets, l'alg~bre H,(X, Fp) est commutative et l'on sait que la suite spectrale (7. i I) est munie d'une structure multiplicative qui, sur le terme E 2 d6crit en (7. IO), coincide avec celle qui est induite par la structure d'alg~bre 119 EXTENSIONS DU GROUPE ADDITIF ~x3 commutative de H,(X, Fp). Lorsque X est soumis ~ la condition plus restrictive d'etre un triple espace de lacets, cette suite spectrale a d'autres belles propri6t6s. Tout d'abord, l'alg~bre des chMnes modulo p C,(X) est munie d'un cup-I-produit au sens de Dyer- Lashof : u : q.(x)ocj(x) -+ (voir [37], d6f. 2, [46], w 6), ce qui permet d'assoeier de mani~re r6currente ~ un 616- ment xeH~,+l(X , Fp) de degi6 impair des dldments ai dans C,(X) : dl~ X ai=-~(x~ai_t) I<i<p. On montre (voir [46], remarque (6.9) , [37]) que ees 616ments satisfont aux relations : (7.x6) dai= ~,, ajai_ i dans l'alg~bre C,(X) et que la classe (x}PeH2,p_~(X, Fp) du cycle ap= E ajap_j l<_j<p est inddpendante du ehoix des ~ldments a~eC,(X) (I<i<p) satisfaisant aux rela- tions (7. I6). L'importance de la elasse (x} p provient du fait suivant, ddmontr6 par May dans ([45], thdor~me 6) (on travaille dans la suite spectrale (7.1 i)) : Proposition (7-4). -- Soit xeH28_~(X, Fp). Si l'on dd'signe par yp(x) la classe clans E2,2sp_p p-1 1 9 9 =E~,2~p_ ~ de l'~ldment [x, .. .,x] de E~,~,_p =k2~ p_pH,(X) |176 (k t deszgnant, comme toujours, la partie homogkne de degr~ t de l'alg~bre graduge considdre'e), alors : d'- ~(V, (x)) = [< x }~] 0~ [y] dgsigne l'image darts El. 1 d'un gIgment y~EI.._~H.(X). Or la proposition (7.4) a 6t6 en fait d6montrde par May dans le cadre g6n6ral d'une suite spectrale (7. io) associde ~ une alg6bre diffdrentieUe gradude quelconque C.. EUe reste done valable lorsque G.----F~*(F,) et nous fournit done un procdd6 de calcul des 616ments dV-~(yv(v~)) dans la suite spectrale fondamentale E:., puisque la d6finition de yp(x) que l'on vient de donner est compatible avec celle des 616ments yv(~i) donnde prdc6demment (voir la remarque (5.2) a)). Compte tenu de la commutativit6 du diagramme (7.~4), le calcul d'une elasse [(x) ~] (donc de l'616ment dP-t(yp(X))) peut se faire indiffdremment dans la suite spectrale (7. ~i) associde k l'algSbre C.(X) ou dans la suite spectrale (7-~o) associde ~ F;~(F~). Plus pr6cisdment, pour tout n>s, on a l'6noncd suivant : Proposition (7.5). -- Soient xeH2(n+8)_l(K(Fp, 2n), Fp) et x'eH2(n+,)_t(X , Fp) (resp. x"eH~8 _I(F; ~t (Fp))) son image par O, (resp. par stabilisation). Alors (x" }Pest la classe clans H2~p_2(F:~t(Fp)) du stabilisg de l "" element (~,p).((x ' } ' )eH~p(,+,) _2(K(Fp, 2np), F~). 15 ~4 LAWRENCE BREEN En particulier, la proposition (7.4) implique maintenant que l'616ment EEp-I dp-lVp( x'' ) 1,2sp- 2 est la classe du stabilis6 de l'dldment (%p),((x' >P)=(~,,p),(dp_l('~p(x'))) (~'p(x') ddsignant p--1 comme d'habitude la classe dans Ep, e~p_~ de l'616ment [x', 9 .. ~ x'] de ~l,2sp --p dans la suite spectrale (7. I I) associde ~ C,[X]), et l'on peut donc, comme on l'a annonc6, faire le calcul de d~-l,r~(x) dans l'une ou l'autre des suites spectrales considdrdes. Or, si toutes les propridtds des suites spectrales utilisdes jusqu'h prdsent dtaJent valables pour chacune de eelles-ei, il en est une qui n'est connue pour l'instant que pour ia suite spectrale (7- I I), alors qu'elle n'est qu'au stade conjectural dans le cas de la suite spectrale g6ndrale (7. io) (voir [46], remarque (6.9)). Thgor~me (7.6) (S. Koehman [37], corollaire 2o). -- Soit X un triple espace de lacets. Alors l'opgration homologique : < >' : H~_I(X, F,) -.-H~_~(X, F~) dlfinie ci-dessus s'identifie a l'opgration de Dyer-Lashof - ~0~. (Rappelons que les opdrations de Dyer-Lashof sont ~t l'homologie d'un espace de lacets itdrd ce que les operations de Steenrod sont ~t la cohomologie d'un espace quelconque. Pour leur d6finition prdcise, voir [22], [37], [46] .) Ii rdsulte du thdor~me (7.6) et de la proposition (7-5) (et des remarques qui suivent celle-ci) que la formule (7.9) est consdquence immddiate de la proposition suivante : Proposition (7.7). -- Pour tout i~o et tout n>p ~, soient xieI~(,+pl)_l(K(Fp, 2n), Fp) une classe d'homologie dont la stabilis& est v~eH2p~_l(F~t(Fp))=k2p,_~(a,), et x~ l'image de x, par On dans I-~(n+p~)_~(X , Fp) (X dgsignant a nouveau l'espace (7. I2)). Alors : 9 o. Dgmonstration. -- On notera, pour tout j>o, par P,~ l'op6ration homologique dont la transpos6e est l'opdration (cohomologique) de Steenrod P~, et par ~ I'op6ration de Bockstein en homologie. Si ik~I-I2k(Kk)gF p d6signe, avee la notation (7. I3), la classe canonique assoei6e ~ l'616ment I~Fp, et i~ est son image par O k dans H~k(X), il suffit de ddmontrer la formule : (7. x7) (~,,),(P,P,P... P, [~Q~" "+p'x,)=' ip, puisque ]es opdrations P~ sont naturelles et commutent notamment avec (r On examine le cas o5 i = o sdpardment ; il faut alors d6montrer que : (7.t8) (e~,),(P, ~Q"+ t x0) = ip,. Or il r6sulte des relations de Nishida ([5o], [46], th6or~me (9.4)) que : p,~Q,+l(x0) = , 0 , , , Q: P, ~(x0) = O~ ~(x0) 114 EXTENSIONS I)U GROUPE ADDITIF ~5 puisque p0 est l'application identique. Or ~(%)= i par dSfinition de %cA,, d'ofl : Q'~(x~) = Q~i~ = (i~)~, la derniSre dgalitd rdsultant des propridtds usuelles des opdrations de Dyer-Lashof puisque deg i,~= 2n. Enfin, la commutativitd du diagramme (7. I4) implique que (zp~),(i~) ~ =i~n , d'ofi la formule (7. ~8). La ddmonstration de la formule (7- ~7) pour i>o se fait de la maniSre suivante : les relations de Nishida impliquent que pour tout s>o : (7" 19) pps(~Qn+ps()r ) = ~Qn+ps-l(x;_ 1) puisque l'on a les relations ~%=P,%--o i _ lorsque k>o, i+p ~-~, alors que P~-~ * ~'k ~ %'k- 1 " La formule (7. ~7) se ddmontre par rdcurrence sur i en utilisant les formules (7.~9) et (7. i8). Ceci achSve la ddmonstration de la proposition (7.7) et donc la ddmonstration de la formule (7.8), qui, avec (7-7), caractdrise la diffdrentielle d~_~. Remarque (7.8). -- On a vu que l'alg~bre F~t(Fp) dtait (( aussi commutative )) que l'alg~bre des chatnes sur un espace de lacets infini. La proposition prdcddente montre les limites de cette commutativitd ; en effet, si l'on pouvait remplacer F~t(Fp) par une algSbre diffdrentielle gradude commutative C, qui lui soit quasi isomorphe en tant qu'alg6bre, la diffdrentielle d p-1 dans la suite spectrale (7- io) associde ~ C, satisferait ~ la formule dP-l(yp(~m_l))=o, ce que contredit (7.9). Pour une discussion de ce phdnomSne dans un tout autre langage, voir ([5], introduction et VI, 4). I1 est maintenant facile de calculer le terme Ep dans la suite spectrale (7. io) puisqu'on dispose des formules (7-7) et (7-8). Soit QR(xl, ..., x,) l'alg~bre de polyn6mes tronquds R[xl, ..., Xn]/(Xf, ..., a~), munie de la bigraduation ddfinie en attribuant un bidegr5 (I, n~) au gdndrateur xi. On abr5ge Qvp en Qp. Proposition (7.9)- -- E,~E=~-Qp(v;, ":~,-.-), 0~ vj est de bidegrd (~, 2pJ--I). Dgmonstration. -- On montre tout d'abord que Ep_Qp(%, ...), ce qui est consd- quence immddiate du fait que (Ep_l, dp_l) est le classique complexe de Koszul. La comultiplication sur Ep est de nouveau donn~e par (7.5), et l'argument de primitivit6 employ6 dans la ddmonstration du lemme (7.2) montre directement que toutes les diff6rentielles supdrieures dj (j>p--I) sont nulles sur les gdndrateurs -:] de Ej. Ceci termine notre caleul : par exemple, le terme E ~ de la suite spectrale duale est l'alg&bre ...), compte tenu de la formule (7-5) ddfinissant la comultiplication dans E~. De m~me, l'injectivitd du morphisme de suites spectrales ft :tE***--~~ au niveau E~=E p-1 (voir la remarque (5.2) b)) permet de ddduire de la proposition (7-9) les propridtds correspondantes de la suite spectrale rE:,. On trouve : (7.2o) ...) 115 xx6 LAWRENCE BREEN ~ ayant le m~me bidegr6 que ci-dessus, et donc : (7.2I) tl~m ~Qp(-~;, vt+~, ...). I1 reste ~ rassembler ces informations. Puisque : Ext*((P, g))pt ~ tE~ ~ QR(v~, -r~+ t, ... ), on a d~montr6 l'analogue de la proposition (5.3) : Proposition (7. ,o). -- Soit ~2 un objet satisfaisant aux hypotheses A~ et A2, sur un anneau de base R de caractgristique premikre impaire. Alors, on a un isomorphisme de R-modules gradugs : Ext*(O, ~) _~ @ QR('~, "~+~, ...), t>0 les ge'ne'rateurs .~; des termes de droite dtant gradugs par le degrg total deg(z;) = 2f. L'action de End(O) s'expficite comme dans le cas de caractfiristique 2 : si l'on note v;,~ (pour s>j>o) le terme -~; dans la (j-t- I)-i~me composante QR(v2, V2+a, ...) de Ext*(O, 0), Faction de FsEnd(0) est caract~risde par les formules : %.* F ~" r * * (7.22) ,,0 =F%,o=%,r pour r<s (7-e3) "=;,oF r = V'~;, 0 = o pour r>s. Ainsi, pour tout j>o, Ext2J(~), ~) est un (I-I, H~ monog6ne engendrfi par un ~l~ment pj = %, 9 ~1 0, 9 9 -, v,,, *~m+l 0 de degr~ 2j, les ai 6tant les entiers qui interviennent dans le d~veloppement p-adique de j : J = i~0 ~i + lP i, o <_ek<P- Les relations (7. 22)-(7. 23) entralnent les relations : F v~(j) + ~ pj = pj F ~p(j) + ~ = o et Ft~=pjFt4=o pour t<vp(j)-{-I, &off le th6or~me (I.3). Remarque (7-xx). -- a) Une fois la proposition (7-9) dfimontr~e, il n'y a plus lieu de distinguer le cas off la caract6ristique est paire des autres, ce qui explique que l'dnonc6 du th6or~me (I. 3) englobe ces deux cas. Comme on l'a vu, il n'en est malheureusement pas de m~me de la d6monstration. b) On peut donner un 6noncfi plus compact du th~or~me (i. 3), du moins lorsque la base Rest le corps fini F~ : Ext*(O, g)) est isomorphe (en tant que End(O)=F~[F]- module gradu~) au F:0[F]-module gradu6 sous-jacent ~ l'alg~bre gradude commutative Sym(F)| off F est de degr6 o, Q de degr6 2 et I l'id~al engendrd par les ~ldments F~+~y:0j(Q) pour tout j>o. C'est une simple traduction du thdor~me (i.3), lorsque l'on note Y~i(Q) l'61~ment z~*,0. Ceci justifie la conjecture suivante, lorsque la base est le corps F~ " Conjecture (7. ~e). -- Ext*(~, ~)), muni de sa structure d'alg~bre gradue'e dgfinie par le pro&it de Yoneda, est isomorphe, en tant qu' algObre gradu&, a l' alg~bre Sym(F)| 116 EXTENSIONS DU GROUPE ADDITIF x l 7 Remarque (7. x3). ~ Si, comme on vient de le voir, on ne sait pas calculer la structure multiplicative de Ext*(~, r il n'en est pas de m6me de la structure comulti- plicative induite par la loi d'anneau de g) : la construction de la comultiplication sur la suite spectrale fondamentale montre que cette comultiplication : ,~ : Ext*(~), ~2) ~ Ext*(r174 g)) ~Ext*((9, ~))| r est donnde sur chacun des gdndrateurs de la composante Qa(v~, v~+ 1, ...) de Ext*((9, O) par la formule (7- 5). Dans ce travail, on s'est born6 ~t 6tudier les extensions de G a dans la catdgorie des faisceaux de Fp-vectoriels. Indiquons bri~vement quelle est la situation lorsque l'on se place dans la catdgorie des faisceaux de groupes abdliens. I1 y a dans ce cas deux mani~res de procdder. La premiere consiste k aborder la question de front et ~t refaire tousles calculs prdcddents en remplaw Fp par Z. I1 faut notamment remplacer l'algdbre A.~_H.(F~t(Fp)) par l'alg~bre H.(Z"t(Z)). Or, si cette alg~bre (l'alg~bre d'homologie enti~re du spectre d'Eilenberg-Mac Lane K(Z)) est connue (voir [I6]), on n'en poss~de pas de description dl6mentaire analogue ~ celle donnde par Milnor pour A., bien que ce soit une sous-alg~bre de celle-ci. Le calcul du terme E 1 (eta fortiori E ~) de la suite spectrale est donc plus ddlicat. L'autre mani6re de procdder est plus dldmentaire. EUe consiste ~t considdrer la suite exacte suivante, qui relie les extensions de faisceaux de Fp-vectoriels aux extensions de faisceaux abdliens sous-jacentes : ... -+ Extk-t(Ga, Ga) -+ Ex(z-t(Ga, Ga) -+ Extk-2(Ga, Ga) -+ Extk(Ga, Ga) --~ Ext~(Ga, Ga) --~ Extk- l(Ga, Ga) --~ ... Puisque Extk(Ga, Ga)=o pour i impair, ceci se rdduit ~ une sdrie de suites exactes ~t quatre termes (pour tout j>o) : o-~ Ext~J-~(G~, Ca) ~ Ext,- 2(Ga, G~) --> Ext2(G~, G~) -+ Ext~(G~, G,) -+ o. I1 ne reste p!us qu'k calculer la fl~che centrale Ext~-2(Ga, Ga)-+ Ext~(G~, Ga) , qui est une sorte de Bockstein. I1 semb]e que ce soit ]a multiplication par l'61dment O de degr6 2, dans l'alg~bre Ext~(O, 0). Ceci permettrait de conclure, si l'on savait ddmontrer la conjecture (7. I2). O uoi qu'il en soit, ces deux approches fournissent des rdsultats tr~s partiels en bas degrds, qui concordent avec les rdsultats ddjk connus (voir lit], proposition 2). On est amend ~t formuler la conjecture suivante qui, k la diffdrence de ia conjecture (7-I2), n'est m~me pas connue lorsque l'on oublie les structures multipli- catives (on suppose de nouveau que la base est le corps fini Fp). Conjecture (7. I4). -- Sous les hypotheses du tMor~me (I. 3) sur , Ext)(r 0) est isomorphe en rant qu'alg~bre gradu& ~ : Sym(F) | ~I)| 117 I18 LAWRENCE BREEN j dtant l'idgal engendrg par les glr (pour tous i, j2o). Les degr~s des ggngrateurs sont donngs par les formules suivantes : deg(F)=% deg(%)=I, deg(~x)=2p--I , deg(q)=2p. Appendice : spectres et stabilisation La question de la construction des foncteurs stabilisds Fat( ) d'un foncteur F, satisfaisant aux propriftds d'associativit6 4nonc6es dans la propri6t6 P2 du chapitre II est lide ~ la question de la construction, dans la catdgorie des spectres (au sens des topologues), d'un smash-produit qui soit associatif. On sait que c'est 1~ l'un des points les plus d61icats de la thdorie des spectres, et qu'il a 6t6 examin6 par divers auteurs (voir notamment [4], [67], [I], III, [4], [32]). La construction d'IUusie employ4e ici, qui s'applique pour l'instant aux seuls spectres d'Eilenberg-Mac Lane, a le d6faut de faire intervenir des objets n-simpliciaux et de ddfinir pt( ) au moyen d'un tr6s gros diagramme. Ces ddfauts sont rachet6s par le caract6re simplicial de la construction tr6s bien adaptde au cadre des topos. L'aspect fonctoriel et la rigidit6 de la construction font que les 6nonc6s d'associativit6 qui nous concernent ddcoulent formellement des propridtfs correspondantes des objets d'Eilenberg-Mac Lane mentionnfes dans la proposition (2. I8). La seule autre ddfinition de type simplicial d'un spectre est due Kan ([35], [66]) et le smash-produit (dont on trouvera la d6finition, fort d61icate, dans [36]) ne poss~de pas, semble-t-il, de bonnes propridtds d'associativit6. Voici une esquisse de la construction d'Illusie, qui peut servir de guide pour la lecture de [34], VI, w i I. On commence par associer ~ un A-module P, au moyen du thdor6me de Dold-Puppe (lemme (2.i5)), le A-module simplicial K(P, (n)) dont le normalis6 est le n-complexe P[I, ..., i], concentr6 en multi-degr6 (i, ..., i). Remarquons que pour deux A-modules Pet Q, et deux entiers p, q>o, on a un isomor- phisme de modules (p -k q)-simpliciaux : (8.,) K(P, (p))~K(Q, (q)) --~ K(P| (p+q)) (Q_ d6signant comme toujours le produit tensoriel externe). En particulier, ceci permet (n + I)-simplicial en utilisant (8. i) pour n = I de ddfinir un morphisme de suspension et le morphisme canonique A| P Sta_K(P, < n>) ~ea~ K(A, ( I))AK(P, (n)) K(A, (I))_QK(P, (n))~ K(P, (n-t-i)) (off ___ est le smash-produit externe), d'ofl par adjonction une application de << degr6 i )) : K(P, (n))-+K(P, <n+I) / qui identifie K(P, (n)) avec la partie de K(P, <n-J-I)) dont le premier indice est I. De m~me, une application similaire : K(P, (n))_AS 1 ~ K(P, (n-k I>) permet d'identifier K(P, (n).) ~ la partie de K(P, (n+ i>) dont le dernier indice est I. 118 EXTENSIONS DU GROUPE ADDITIF i I 9 Ces deux applications de suspension sont homotopes, et la question qui se pose dans toute ddfinition du smash-produit de deux spectres est de savoir comment les relier 9 La solution adopt6e par Illusie consiste ~ observer que, dans le cas des objets d'Eilenberg-Mac Lane qui nous int~resse, il existe en fait n-I-I applications de suspension (de degr6 d-I) : d j : K(P, (n)) ~ K(P, (n+ I)) obtenues en identifiant K(P, (n)) ~ la partie de K(P, (n+ i)) dont le j-i~me indice est i. Si l'on applique Ie foncteur F que l'on souhaite stabiliser, on obtient n + I fl&hes FK(P, (n))-+ FK(P, (n-t-I)). I1 est maintenant commode de translater chacun des objets n-simpliciaux FK(P, (n)) par (--n)=[--i, ...,--i], ce qui est possible, puisqu'on salt le faire dans la catdgorie des n-complexes et que l'on dispose du th6or~me de Dold-Puppe ddjk citd. On obtient ainsi un diagramme index6 par ]a cat6gorie I des ensembles finis (avec les applications croissantes injectives pour morphismes) : FK(P, <o))(o> ~ FK(P, <I))<--I> ~--~ FK(P, <n))<--n> -+ __>. 9 9 9 ~>~ Le n-i&me terme G(n)----FK(P, <n>)<--n) du diagramme est un objet n-simplicial et la/&me fl&he G(n) --~ G(n + I) envoie G(n)h ..... j, dans G(n + ~)al,---,Ji-i, 0,ai,...,j,- . Elle se prolonge en un morphisme d'objets (n + ~)-simpliciaux G'(n) -+ G(n + ~), G'(n) d&i- gnant l'objet (n+ x)-simplicial constant le long de son /&me indice obtenu ~ partir de G(n). Par application du foncteur (n + I)-diagonale, on obtient finalement un mor- phisme d'ensembles simpliciaux AFK(P, <n>,)<--n)--~AFK(P, <n+ I))<--n--I); en rassemblant toutes ces fl~ches on construit ainsi un syst~me inductif FK(P) d'ensembles simpliciaux index6 par I : AFK(P, (o))(o) ~_~ AFK(P, (~))(--~)...AFK(P, (n))(--n) .~ C'est ce diagramme qui, dans la th~orie d'Illusie, remplace le diagramme naif: FK(P, o) s s s -+ FK(P, ~) FK(P, n) (S d6signant la fl&he de suspension de degr6 d-I, qui n'est d'ailleurs dffinie que sur les complexes associ6s aux FK(P, n)). On pourrait maintenant passer h la limite et ddfinir en premi6re approximation Pt(p)=limFK(P:), ce qui serait ad6quat pour ]es applications qu'on a en vue. En fair Illusie pr6f6re tout d'abord remplacer limFK(P) par sa rdsolution standard (d6finie par exemple en [28]). C'est un module simplicial dans la catdgorie des modules sim- pliciaux, autrement dit un module bisimplicial. Illusie rdserve la notation F"t(P) ~t l'objet diagonal associ6 et nous nous conformerons g cet usage. I1 reste h vdrifier que l'homologie de P~(P) cst bien le fonctcur ddriv6 stable de F en P. Le point de ddpart est l'observation que chacun des FK(P, (n)) ale type d'homo- topie de FK(P, n). Ainsi l'homologie du complexe associ6 ~ chacun de ces termes coincide bien, ~ translation par n pros, pour P projectif, avec le foncteur dfriv6 gauche Li.F(P , n) 119 x2o LAWRENCE BREEN de Dold-Puppe. Quant aux morphismes de transition, ils sont tous homotopes entre eux, et ils coincident au niveau de l'homologie avec l'homomorphisme de suspension : S : L,+,F(P, n) ---> I~+,+IF(P , n-t-x). Le syst6me inductif obtenu ~t partir de FK(P) par passage ~ l'homologie est donc essentiellement constant de valeur : L~t F(P)= L,+,F(P, n) (i<n). On ddmontre alors la proposition suivante, mentionn6e dans l'6noncd PI du chapitre II. Proposition (8. x ) ([34], notamment VI, proposition (4.6.12)), -- Soit un foncteur F : (A-mod) ---> (B-mod). I) Pour tout A-module P (et plus ggn&alement pour tout A-module simplicial P), il existe un quasi-isomorphisme canonique de B-modules simpliciaux : p(F, P) : Fat(P) --> L limFK(P). i > 2) L' application canonique L limFK(P) ---> limFK(P) est dgalement un quasi-isomorphisme. I I 3) Pour tout n, l' application FK(P, <n>)<--n) -+ limFK(P) est un n-quasi-isomorphisme. Autrement dit : I Hi.(liim> FK(P)) ~t-I~+,FK(P, n) pour tout i < n. En fair i) rdsulte de la d6finition de Fat(P). D'autre part, par abus de langage, on a not6 dans le texte par p(F, P) l'application composde des quasi-isomorphismes mentionnds en I) et 2). Mentionnons enfin que le point non formel dans la ddmonstration est 3), qui est essentiellement l'dnoncd de la commutation de ]'homologie au passage ~t la limite inductive. Ceci n'est pas immddiat, puisque la cat6gorie d'indices I n'est pas filtrante, et ndcessite une ddmonstration assez d61icate. Pour ce qui est dc la ddmonstration de la propridt6 d'associativitd P2 du chapitre II, on renvoie $ [34] ; bornons-nous ~ remarquer ~t ce propos que la propridtd d'associativitd rdsulte de mani~re purement formelle de la proposition (2.18) et du fair que l'on n'a pas fait de choix arbitraire de la suspension FK(P, <n>) -+ FK(P, <n+ I>), mais au contraire inclus les n+ I candidats naturels dans la d6finition de Fat(P). Attirons enfin l'attention du lecteur sur l'analogie suivante ; Illusie construit ~ partir des familles de fl~ches induites sur les chalnes par les accouplements du cup-produit : R[~t] ' R+K(R, i)| ~ R+K(R, i+j) une structure d'anneau simplicial Rat(R)| sur Rst(R) (et par le meme procdd6 une structure de RSt(R)-module sur Rst(P), pour tout R-module P). 120 EXTENSIONS DU GROUPE ADDITIF I21 D'autre part, on a affirm6 au cours de la ddmonstration de la proposition (6. I3) qu'on pouvait associer aux fl6ches : (8.2) R + [K(R,/)]OR + [K(P,j)] --, R+2K(p, i +j) d6finies en (6.7), une application stabilis6e : RSt(R) | Rst(P) --~ (R2)st(e). Les deux constructions se font par le m~me proc6d6, au sujet duquel il convient d'apporter quelques pr~cisions, inspiides par ce que l'on connait des spectres dans les diverses situations topologiques, et qui ne figurent pas duns [34]. On travaille dans un topos fixC Soient S (~ l'ensemble k deux ~ldments de T, pointd par l'un d'entre eux, et S ~1> la I-sph6re simpliciale pointde de T, engendr6e par un i-simplexe non ddg~ndrd. On ddfinit la n-sph6re n-simpliciale en posant : S~n> _-- S(I>A... AS (I> et l'on a un isomorphisme R+[S (~>]~-K(R, (n)) de R-modules n-simpliciaux, et donc un morphisme de Hurewicz ~ : S (n) -+ K(R, (n)). Les S ~n>, pour n variable, forment un diagramme S indexd par la cat6gorie I, lorsque l'on ddfinit la j-i~me flfiche : dJ : S~ S <~+1~ par : dJ(X/1 , ..., Xin)=(Xit , ..., Xii_, , g, Xij , ..., X.~,). On remarquera que d j envoie un dl6ment de multidegr~ (i1,..., i~) sup un ~16ment de multidegr6 (il, ..., ij_l, I, i j, ..., in). Appelons diagramme spectral un objet de ce type, et diagramme bispectral un objet du mfime type index~ par la catfigorie I � I, le terme Xi.j indexfi par (i,j) 6tant un ensemble (i +j)-simpliciaL Le smash-produit externe X_~Y de deux diagrammes spectraux est de mani~re natureUe un diagramme bispectral de terme g6n6ral Xi_~Y~. On appellera accouplement des diagrammes spectraux X~_Y dans Z un morphisme de diagrammes X~_Y-+Z compatible avec le foncteur somme -+- :I� Exemples (8.2). -- Pour toute paire de R-modules Pet Q, la fl6che composde de la projection canonique K(P, (p))sK(Q, (q)) -+ K(P, (p))| (q)) et de l'application (8. i) ddfinit un accouplement du cup-produit : vp, q : K(P)A_K(Q.) -+ K(P| K(P) d6signant le diagramme spectral d'Eilenberg-Mac Lane, de terme g6n~ral K(P, (n)). Par composition avec le morphisme de Hurewicz, cette flfiche permet d'associer tout R-module Pun accouplement de suspension : ~. SA_K(P) ~^~ K(R)_AK(P).,~'\ K(P). Enfin, les variantes multisimpliciales des fl~ches (6.13) vont permettre de d~finir de la m~me faqon un accouplement ~p : K(R)AK(P) -+ RK(P) ; c'est le compos6 : 16 x22 LAWRENCE BREEN K(R)AK(P) "> R+[S]_6K(P) 1A5 R+[N]hR+K(P) > R+ [S] @ R+ K(P) > R+[SA_K(P)] R+[c~] > R+ [K(P)]. Toutes ces fl&hes sont des morphismes de diagrammes bispectraux, sauf la derni6re qui est un accouplement de diagrammes spectraux. La fl6che composde en est dgalement un. Considdrons maintenant des diagrammes spectraux (resp. bispectraux) en R-modules du topos T (plut6t que les diagrammes en ensembles que l'on vient d'examiner). On ddfinira un accouplement de diagrammes spectraux en R-modules A| en rempla~ant dans la ddfinition d'un accouplement le produit ensembliste externe pointd par le produit tensoriel externe. Par exemple, un accoup]ement ~:XAY-~Z de diagrammes spectraux induit par passage aux chaines un accouplement des diagrammes de R-modules associds : R[X]QR[Y] ~> R[XAY] R[~]> R[Z]. Les accouplements V~,p et (I)e induisent notamment des accouplements : R+(vR, p) : R+K(R)@_R+K(P) -+ R+K(P) et : R+[r : R+K(R)QR+K(P) ~ (R+)ZK(P). I1 rdsulte du lemme (6.4) que des diagrammes suivants sont commutatifs (@ et W ddsignant les foncteurs (6.I) et (6.2)). R+K(R)@R+K(p) R+[r (R+)2K(p) (8.3) p]~ ' R' R+K(P) R+[r R+K(R)_@R+ K(P) ~. (R+)2K(P) CK(R) (8.4) R+D] K(R)@R+K(p) '-', R+[S]@R+K(p) ~, R+K(P) R+[S]@R+K(p ) wM> R+K(p) R+[~ | I R + ~(X(P)) (u.s) R+CK(R)]@R+K(p) R*[o~] (R+)2K(p) @(R+[K(P)]) [@(K(P))] R+[~m EXTENSIONS DU GROUPE ADDITIF I23 La mdthode de stabilisation des foncteurs ddfinie par Illusie peut maintenant ~tre rdsumde en une phrase. C'est une machine qui permet d'associer (par le procddd de passage ~t la limite ddcrit au ddbut de cet appendice), ~ un diagramme spectral de R-modules A (resp. ~ un accouplement de diagrammes spectraux de R-modules AQB-+C) un R-module simplicial A st (resp. un morphisme de R-modules simpliciaux ASt| C~t), d'une mani~re qui prdserve l'associativitd des accouplements. En particulier, pour F : (S-mod)-+(R-mod) et P un S-module, on pose F~t(P)=[FK(P)] ~t. Les accou- plements associatifs R+[vp, Q] (resp. R+[~]) induisent doric bien des morphismes R~t(P)| --+ R~t(P| (resp. R~t(R)| -+ (R2)st(P)) possddant les pro- pridtds d'associativitd requises. De plus ]es diagrammes (8.3)-(8.5) induisent des diagrammes commutatifs : R"t(R) | R~t(P) (R2)~t(P) R+[r (8.6) (R) Bt(P) (R)St(R) | R~t(P) > (R2)"t(V) (8.7) R| ~> R~t(p) R| ~ > R"t(P) (8.8) R~t(R)| ) 1~§ (R2)st(e) dans lequel on s'est servi de la remarque (2.24 b)) pour identifier id't(R) avec le R-module simplicial constant R. Ces trois diagrammes sont ceux auxquels il est fair allusion ~t la fin de ddmonstration de la proposition (6. I3). BIBLIOGRAPHIE [1] J. F. ADAMS, Stable homotopy and generalised homology, Chicago Lectures in Mathematics, Chicago-London, The University of Chicago Press (1974). [2] D. W. ANDERSOn, Simplicial K-theory and generalised homology theories I, II, ~ paraltre. 125 124 LAWRENCE BREEN [3] M. ARTIN, A. GROTHEN'DIECK et J.-L. VERDIER, Th6orie des topos et cohomologie dtale des schdmas (SGA 4), Lecture Notes in Mathematics, 269, 9.70, 805, Berlin-Heidelberg-New York, Springer (1972-I973). [4] J. BOARDMAN, Stable homotopy theory. Notes muhigraphides de l'Universit6 de Warwick (A partir de 1965). [5] J- BOARDMAN et R. VOGT, Homotopy invariant algebraic structures on topological spaces, Lecture Notes in Mathematics, 847, Berlin-Heidelberg-New York, Springer (i973). [6] A. K. BOUSrlELD, Homogeneousfunctors and their derivedfunctors, notes multigraphi~es, M.I.T. [7] A. K. 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Publications mathématiques de l IHÉS – Springer Journals
Published: Aug 4, 2007
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