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Ein Konvergenzbeweis f/Jr Poincar&che Relhen Von HANS PETERSSON in Hamburg Man verdankt Poincarg zwei Beweise fiir die absolute Konvergenz der yon ibm sog. s~ries th~tafuchsiennes, also der Poincar~schen Reihen zu linearen Substitutionsgruppen r mit dem Einheitskreis als Grenzkreis. Es handelt sich um Reihen yon der Gestalt (1) Q,(w)= ~lcw+dl -r (Iwl<l) yon r durchl~uft. Der erste, bekanntere und sehr einfaehe Beweis bedient sich eines Vergleichs euklidiseher Fl~cheninhalte und liefert die Konvergenz fiir r ~_ 4. Der zweite, erheblich kompliziertere Be- weis beruht auf einem Vergleich nichteuklidischer Fl~cheninhalte und liefert die Konvergenz fiirr :> 2. Dieses Ergebnis l~l~t sieh nieht wesentlich versch~rfen, da die genannten Reihen in allen F~llen, in denen rein e'ndliches Erzeugendensystem besitzt (also wenn r als Automorphismengruppe bei der Uniformisierung algebraiseher Gebilde mit endlich vielen Relativverzweigungen auftritt) fiir r < 2 sieher divergieren. Im folgenden teile ieh einen neuen, vergleiehsweise sehr einfaehen Konvergenzbeweis ffir r > 2 mit. Eine ausfiihrliche Untersuchung des ganzen Konvergenzproblems f(ir alle drei Typen Poincar6seher Reihen erscheint in den Acta mathematica Bd. 80 (1948). 1. (Forbereitungen.) Es sei ~ der Einheitskreis Iw] = Q < 1 der komplexen VarJablen w----u ~-iv = e e ~ (u, v, ~ reell, e ~-- 0). Die
Abhandlungen aus dem Mathematischen Seminar der Universität Hamburg – Springer Journals
Published: Aug 28, 2008
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