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Discontinuités de champs hamiltoniens et existence de solutions optimales en calcul des variations

Discontinuités de champs hamiltoniens et existence de solutions optimales en calcul des variations DISCONTINUIT~S DE CHAMPS HAMILTONIENS ET EXISTENCE DE SOLUTIONS OPTIMALES EN CALCUL DES VARIATIONS par IVAR EKELAND AMS Classification : 49Aio, 49Bxo, 58C25, 58Fo5. SOMMAIRE On s'int~resse au probl~me de Calcul des Variations dans R " : (~) inf{f0Wf(x, ~)dtlx(o)= xo, x(T)= xl} off le crit~re fest une fonction rdguli~re mais non convexe. Les conditions n~cessaires d'optimalit6 donnent lieu ~t un champ hamiltonien dans l'espace des (x,p). Ce champ prdsente des discontinuitds, li&s k la non-convexit6 de f, qui se traduisent par le fait que les extrdmales de (~) sont brisdes. On ~tudie la rdfraction des bitrajectoires sur ces discontinuitds, et dans le cas n~I on classe compl&ement les singularitds possibles en gdndral. On en ddduit une condition n&essaire et suffisante surf pour que le pro- blame (~) admette une solution quelles que soient les conditions aux limites (x0, xl, T). o. Pr~liminaires. On se fixe pour toute la suite une fonction h : [o, +oo]-+R, born~e inf~rieurement et admettant une branche parabolique : (o.o) h(t)/t-+-t-oo quand t---> +oo. On appellera C~~ ") l'ensemble des fonctionsf ind6finiment diffdrentiables sur R"� qui v6rifient l'estimation : (o.x) f(x, v)>~h(llvl] ) V(x, v) aR"� et on le munira de la topologie de la convergence uniforme de toutes les ddriv&s sur tout compact, qui en fait un espace m&rique complet, donc un espace de Baire. Fixons f dans C~~215 R") et associons-lui l'intdgrale : ~(t) )dt (o. 2) I(x) =f~f(x(t), 6 IVAR EKELAND que nous chercherons ~ minimiser parmi tous les chemins absolument continus x(-) joignant x 0 ~ x en 1 temps T. On obtient un probl~me de calcul des variations, d6pendant des param&res x0, xz, et T, que nous notons : (~) inf{ I(x)[ ~L 1, x(o)= Xo, x(T)----xz}. I1 est bien connu ([6], chap. 8, par exemple) que si f(x, .) est convexe en v pour tout x~R" fixd, le probl~me (~) admet une solution quelle que soit la donn& (x0, xl, T). C'est le cas dans la plupart des ph~nom~nes physiques relevant de principes variationnels, le lagrangien repr&entant en gdndral une ~nergie. On rencontre m~me fr~quemment le cas oflf(x, 9 ) est une forme quadratique; elle d~finit alors une m&rique riemannienne, et le probl~me (#) consiste alors ~ chercher les g~od&iques minimales joignant x 0 ~ x 1. Comme le montre ce dernier exemple, il n'y a pas unicit~ de la solution en g~n&al. Elle n'est assurde que sous l'hypoth~se beaucoup plus forte quefsoit strictement convexe en (x, v). Dans la suite de cet article, nous ne ferons aucune hypoth~se de convexitY, et nous ne pourrons donc appliquer les rdsultats que nous venons de rappeler. I1 faut donc x~, T), le probl~me (~) n'ait pas de s'attendre ~ ce que, pour certaines donn&s (x0, solutions. Mais on peut toujours trouver une suite de trajectoires (xn) telle que : (o.3) I(x,) --* infI(x), m~me si cette borne inf&ieure n'est pas atteinte : on dit que les (x,) constituent une suite minimisante pour le probl~me. D'apr&s l'estimation (o. i), pour route suite mini- misante, x. converge uniformdment et ~, converge faiblement; la trajectoire (x, ~) ainsi obtenue n'est pas solution du probl~me (~), mais d'un autre problEme (~**), appeld le probl&me relaxd, que nous allons construire maintenant. Pour les d&ails et les ddmons- trations, on renvoie ~ [5] ou [6]. R R R n f(x,.) f(x;.) ~o. Z DISCONTINUITIES DE CHAMPS HAMILTONIENS 7 Pour tout x fixd, nous associons ~ f(x, .) sa r6gularis6e convexe s.c.i., c'est-~-dire la plus grande fonction convexe semi-continue inf~rieurement la minorant, ou encore l'enveloppe sup6rieure de ses minorantes affines continues; conformdment aux usages de l'analyse convexe, elle sera notde f**(x; .). Grace ~t l'estimation (o. I), f**(x; -) est continue, et son 6pigraphe est l'enveloppe convexe de l'dpigraphe def(x, .) dans Rn� R. Considdrons l'int6grale : (0.4) J(x) =fjf**(x(t); ~(t))dt que nous chercherons/~ minimiser parmi tousles chemins absolument continus joignant x 0 ~t x 1 en temps T. On obtient ainsi le probl~me relaxd : (~**) min{J(x) [ ~EL 1, x(o)= Xo, x(T): xl}. ThgorDme de relaxation. -- Le problkme relaxd a une solution au moins, et a mgme valeur que le problkme originel : inf I (x) = min J(x), pour x(o) = x o et x(T) = x 1. En outre, pour toute suite minimisante de (~), il existe une sous-suite (x~) et une solution x de (~**) telles que : xn-+ x uniformgment sur [o, T] ~n-+ic faiblement dans Ll(o, T). Rdciproquement, toute solution x de (~**) est limite, au sens ci-dessus, d'une suite minimisante de ( ~). CoroUaire. -- L'ensemble (non vide) des solutions du probl~me relax~ contient l'ensemble (gventuellement vide) des solutions du probl~me originel. Ce th6or6me se d6montre par les m6thodes usuelles de l'analyse fonctionnelle, lin6aire ou convexe. Le but du pr6sent article est d'analyser les diverses situations g6om6- triques qu'il recouvre, d'6baucher leur classification, et de reconnMtre parmi elles celles qui conduisent ~ l'absence de solutions pour le probl6me (~). x. Le formalisme hamiltonien. Nous allons 6crire les conditions n6cessaires d'optimalit6 sous la forme, famili~re aux spdcialistes de contr61e optimal, que leur a donndes L. S. Pontryagin [IO]. On introduit la variable adjointe peR" et la fonction : (i. I ) ~(X, p; U) = (p, U ) +f(x, U). Pour que x(.), v6rifiant x(o)=x0 et x(T)=Xl, soit une solution du probl~me (~), il faut que l'on puisse lui associer p(.) de telle sorte que, en presque tout instant t : (x. 2) o~(x(t), p(t) ; ~(t)) = min 6~f'(x(t), p(t) ; u) tl ~( t) =--f~(x(t), ~( t) ). (x.3) 8 IVAR EKELAND L'dquation (I .2) relie p ~ (x, ~). Elle est plus pr6cise que l'habituelle transfor- mation de Legendre; en effet, comme ~ est un minimum absolu de .Yt~ .), c'en est un point critique, et (i.2) implique done : (, .4) p +X (x, s,) = o. En ddrivant (I .4) par rapport au temps, on obtient /~=--~f~'. En comparant d , , cette valeur k celle qui provient de (I-3), on obtient ~tf~--f~ =o, qui n'est autre que l'~quation d'Euler usuelle. On peut mettre le syst~me (i.2), (i.3) sous la forme canonique, en introduisant le hamiltonien : (I "5) H(x, p) = min 3~(x, p; u). Soit Y~ l'ensemble des (x, p) tels que la fonction o~(x, p; .) atteigne son minimum absolu en un unique point E(x, p) et que la forme quadratique f~'~ soit non d~gdn~rde en ~(x,p). Alors Y~ est un ouvert de R"� sur lequel la fonction I-I et l'application fi sont bien d6finies et inddfiniment diffdrentiables; on obtient ~ en r6solvant l'6quation (i. 4) par le th6orfime des fonctions implicites, et on obtient I-I en reportant ~ dans o~ff. On en d6duit que : (,.6) (x,p)= p+X(x, Tx (,p) +Z(x, (..7) ,p)= p+Z(x, Dans l'ouvert f~, on peut done ~crire le syst~me (I .2), (I-3) sous la forme : (x.8) ~=H;(x,p) (x.9) /; =--H;(x, p). Le thdor~me d'existence locale et d'unicitd des solutions d'une 6quation diff6- rentielle s'applique au syst~me (i.8), (1.9) pour route condition initiale dans ~, et les courbes int~grales constituent donc un feuilletage de ~. Hors de ~, on peut prolonger ce systfime diff6rentiel par un syst~me diff6rentiel multivoque, et 6crire ainsi les conditions n~cessaires d'optimalit6 sous une forme tr~s gdn6rale; ce point de vue ne sera pas le n6tre ici. Le lecteur int6ressd pourra se reporter aux travaux de F. Clarke, [3], [4]. Dans toute la suite, nous conviendrons d'appeler bisolution toute applica- tion (x(-),p(.)) v6rifiant le syst6me (I.2), (I.3) sur [o, T], et bitrajectoire l'image dans IIP� ~ d'une bisolution. En d'autres termes, les deux notions diff6rent par le para- mdtrage en temps : la donnde de la bisolution prdcise, non seulement la trajectoire, mais la faqon dont elle est parcourue. La condition n6cessaire d'optimalit6 peut done se formuler g6om6triquement en disant que toute solution x du probl6me (~) dolt se relever en une bisolution (x,p). DISCONTINUIT]~S DE CHAMPS HAMILTONIENS 2. Bitrajectolres g4n~riques. A tout point (x,p) de R"xR" est associ4e une fonction a~f'(x,p, .) sur R". Elle atteint son minimum en K points distincts uk, I~<k~<K; on peut avoir K=az, mais non K--~o. Chacun d'eux est un point critique de la fonction, qui y prdsente donc une singularitd de codimension ck; on remarquera que sont exclues toutes les singularit6s qui ne sont pas assocides k un minimum local. On d6finit alors la codimension de oW(x,p, 9 ) comme : (2.x) codim3C~(x,p, .)~K--iq- Y, c k. k=l On en ddduit une partition de R"� en ensembles E~, o~<i~<oo : Y~i={(x, p)[ codim Yt~ p, -)= i}. (2.2) A titre d'exemple, pr6cisons les premiers d'entre eux. Tout d'abord Y'o- De i= o on ddduit K= I et cx~o. Donc E o est l'ensemble des (x, p) tels que ~(x, p, .) prdsente un unique minimum non d6gdn6r6; ce n'est autre que ~2 : (2.3) ~0--~. Pour i=I deux cas se pr6sentent : ou bien K=I et ca=I, ou bien K=2 et c a ---- ca ---- o. Le premier est exclu, car la singularit6 de codimension I (point d'inflexion gdn~ralisfi) ne correspond pas ~ un minimum local. Reste le second. Ainsi Y~I est l'ensemble des (x,p) tels que la fonction ,,~(x,p, .) atteint son minimum en deux points critiques non d~gdndrds : (24) El= (x,p) rangfd,(x, ul)=rangf~(x, u~)=nJ Pour i=2 on exclut comme ci-dessus la singularitfi de codimension i, et il reste deuxcas :oubien K=I et ca=2, oubien K=3 et c l=ca=c~=o. Danslatermi- nologie de Rend Thorn, on a une catastrophe de bifurcation et une catastrophe de conflit. Ainsi E 2=E~wZ~, avec : E~={(x'p) pu+f(x'u)=pul+f(x'ua)+t#' ~ ~ est une } coordonnde locale de R" au voisinage de ua ={(x, +/(x, =pu +/(x, =p.. +f(x, = m n} D'une manihre gdn6rale, les singularitds de codimension ~<4 ont dt4 class6es par Rend Thorn, qui leur a donnd le nora de catastrophes dldmentaires. Dans sa terminologie, E a est la strate de Maxwell, les singularit6s de Z~ sont des fronces et celles de Y,~ des papillons. Par contre, on ne rencontrera ni la queue d'aronde, ni les ombilics, qui ne correspondent pas ?t des minima loeaux. Dans l'dnoncd suivant, comme dans la suite de Particle, nous dirons qu'une pro- 2 IO IVAR EKELAND pri6t6 est vraie << pour presque toutes les fonctions feC~O(R"� ") )) pour exprimer que l'ensemble desfqui la satisfont contient un Gn dense de C~~215 Cette termi- nologie est coh6rente, dans la mesure off C~~215 ~) est un espace de Baire : si les P,, heN, sont des propridt6s vraies presque partout, alors la propri6t~ /k P,, est vraie nGN presque partout. Proposition (2.5).- Soit n<~3. Pourpresque tout f~C2(R"xR"), les Z~, o~<i~<6, constituent une stratification de Whitney de R"� R ". En d'autres termes, les X i sont des sous-vari6t6s de codimension i qui constituent une partition de Rn� net v6rifient les conditions de contact : a) Zi ~ X~+l; b) soient o~<i<j~<6, xn~Y,i et y, eX~ deux suites convergeant vers yeX~; on suppose que les droites xny n convergent vers D dans le projectif, et que les plans tan- gents T~,(Xi) convergent vers II dans la grassmanienne; alors DC II. De'monstration. -- Notons J l'espace des polyn6mes en n variables de degr6 ~<8. C'est aussi l'espace desjg(u), d6veloppements de Taylor ~ l'ordre 8 de fonctions geC| ") aux points u~R". Les polyn6mes sans termes d'ordre i, c'est-~-dire les jg(u) quand u est un point critique de g, constituent l'espace S des singularit~s, qui est muni d'une stratification naturelle par la codimension [I i]. De m~me, le produit j7 contient l'espace S v des multisingularitds, qui est 6galement muni d'une stratification naturelle, dont la i-~me strate T~ n'est autre que l'ensemble des multisingularit~s de codimension i (au sens de la formule (3. i)). Pour i~< 7, notons S i le ferm6 de T~ constitu6 de multisingularit6s associ~es tt des minima locaux; les S~ sont alors des sous-varidt6s de codimension i dans S 7, et v~rifient les conditions de contact a) et b) de Whitney (ce n'est pas vrai pour les T~, qui contiennent des families ~ un para- mfitre de singularit6s non 6quivalentes de m~me codimension; mais la classification des singularit~s de codimension ~<9 montre que ce ph6nom~ne ne se produit pas pour les minima locaux avant la singularit6 (x,-kxz) 2 2 (x~+ax~), qui est de codimension 8; voir [I2]). Par ailleurs, la rdunion de toutes les singularitds de codimension/> 8 est un sous-ensemble algdbrique R de codimension/> 7 dans S v. La proposition (2.5) exprime que l'application : (2.6) jTYt',,p '. (ul, ..., u,) ~ (j,;/f,,p(ul), ... ,j,XZx,,(uT) ) est transversale aux S~ et ~t R, pourvu que les u~ soient distincts deux ~t deux. Remarquons que si l'on changef(x, u) en f(x, u)--I-g(u), l'image j~aNQp(ul, ..., uv) devient jT~x,~,(ul, ..., uT)§ g(u~, ..., uT). L'application : (~'.7) (f, x, p, ul, ..., u,) .j' g/g..,(ul, ..., u,) est done une submersion tant que les ui sont distinets deux ~ deux. D'apr~s les th6or~mes de transversalit6 de Thorn [I], il existe dans C2(Rn� ") un G~ dense ~ tel que, pour tout fE~/, l'application (3.6) satisfait aux conditions propos~es. 9 10 DISCONTINUITIES DE CHAMPS HAMILTONIENS II Eclairons les choses, pour n=I, par une figure : FIG. 2 Une bitrajectoire est une courbe de R~'� R ~. On peut done s'attendre ~ ce qu'etle 6vite les strates de codimension/> 2. Par contre, l'intersection avec E 1 est un ph~nom~ne stable, qu'il importe donc d'analyser. Pour ce faire, introduisons les notations suivantes. En un point (x,p) eE1, on d~signera par : u 1 e( u2 les points oft ~(x,p, .) atteint son minimum; v~=(u~,fx(x , ui)), i=I, 2, les deux vecteurs-vitesses associ~s; h ~ le vecteur (f~Cx, u2)--f{(x, ul) , u2--ul). Interpr~tons ceci. I1 existe un voisinage ~ de (x,p) tel que, pour tout (y, q) etP, la fonction ~F(y, q, .) pr~sente deux minima locaux ~I(Y, q) et fi2(Y, q), coincidant respec- tivement avec u 1 et u~ au point (x, p). L'hypersurface E 1 s~pare ~ en deux r~gions gl t et gt2, caract~ris~es par le fait que, si (y, q)atl~, le minimum absolu de ~tt'(y, q, .) est atteint en ~,(y, q). Si donc nous d~finissons dans (P deux fonctions rdguli6res H 1 et Hz par I-l~.(y, q)=~(y, q, ~(y, q)), on a H=min(H1, H~), et l'6quation de Z~ n'est autre que Hi(y, q)=Ht(y, q). D'otl aussit6t : Lemme (2.2). "ff est un vecteur normal ~ E 1 au point (x, p). Dgmonstration. -- I1 suffit de d~river l'~quation H2--I-It=o, en tenant compte des identitds (I.6) et (I.7) : (2.8) grad H~(x, p)= (f~'(x, ui) , u~). 9 Supposons, pour fixer les id6es, qu'une bisolution passe de ~)~ h f22 en traversant Za au point (x, p) ; la vitesse sautera de v'l a v~, et la bitrajectoire pr6sentera donc une brisure. I1 suffit de se reporter ~t la figure 2 pour constater l'analogie avec la travers6e d'un dioptre en optique g6omdtrique. Notons ~ la matrice symplectique : 11 I~ IVAR EKELAND On peut alors Enoncer la : Loi de la rlfraction : ~=~l+~(h~). Dgmonstration. -- Par definition, h~= grad H 2- grad I-I t. En appliquant e aux deux membres de cette Equation, et en tenant compte du s que ~(grad I-Ii)=~, on obtient le r~sultat desirE. 9 En faisant le produit scalaire des deux membres par h ~, et en tenant compte de la relation ~. e(h ~) = o, on obtient le corollaire : Conservation de la vitesse normale : -~. v'l = "~. ~. En particulier, les deux membres de cette derni~re Equation sont nuls simulta- nEment. Ceci montre que deux cas seulement peuvent se produire k la traversEe de Z 1 : arrivde transversale - depart transversal : F~.b*4=o arrivEe tangentielle - depart tangentiel : ~. ~= o le cas m~ld transversal/tangentiel dtant exclu, ce qui est particuli~rement important du point de vue de la classification. Nous dirons qu'une bitrajectoire est ggnlrique si elle est contenue dans EoUZ1, ses intersections avec E~ vErifiant la condition h ~. b*4= o. Dans le cas contraire elle sera dite singuli~re. Une bitrajectoire sera donc singuli~re : -- soit parce qu'elle ne vErifie pas la condition h ~. ~ o aux points de contact avec E 1 (type I); -- soit parce qu'elle rencontre des strates de codimension />2 (type II). Nous allons Etudier successivement ces deux types de singularitds dans le cas off n= I. I1 sera commode de remarquer que la condition K.~= o s'Ecrit aussi h ~. e(grad Hi)= o, ou encore a(K).grad Hi=o. Comme n=i, Z 1 est une courbe admettant a(K) comme vecteur tangent, et la condition s'Ecrit finalement grad H I El= o (sur El, HI=I-I2=H ). Les singularitEs de type I sont donc les points off la restriction de Htt E~ prEsente un point critique. Les singularitEs de type IIb sont les points de E~, les singularitEs de type IIc les points de E~. 3" Singularlt~s de type I. Dans ce paragraphe, nous allons classer les singularitEs de type I, tout au moins celles qui sont essentielles. Nous commen~ons par nous ramener ~ une situation aussi simple que possible : Proposition (3. i ). -- Pour presque toutes les fonctions fe C~ ~ (R � R), les points critiques de H[Z1 sont non dggdngrds, et les u~ associds a chacun d'eux sont non nuls. 12 DISCONTINUITIES DE CHAMPS HAMILTONIENS Ddmonstration. -- Les points critiques de la restriction H i E1 sont d6finis par l'dqua- tion F(f, x,p, Ul, u2)=o, off F est l'application de C~~215215215 (avec D diagonale de R� dans R 4 de composantes : p +f:(x, t, +fd(x, pu, +f(x, Ul)--pu2--f(x , us) .3) - 2f2(*, On notera Ff l'application partielle (x,p, Ul, /12) ~ F(f x,p, 111, ?12) kf constant. Nous allons montrer que, pour presque tout fEC~~215 l'application Ff est trans- versale k l'origine; la proposition en r6sulte. D'apr6s les thdor6mes de transversalitd de Thorn [i], il suffira de montrer que l'application F elle-m~me est transversale k l'origine, c'est&-dire qu'en tout point (f, x, p, ul, u2) vdrifiant F(f, x, p, ul, u2)=0, l'application tangente TF est sur- jective. Cl'est une application lin6aire que l'on peut 6crire comme somme des << ddriv6es partielles ~ : TF=TfF+T~. r ...... F. Le dernier terme est un op6rateur lindaire de R 4 dans lui-m~me dont on peut dcrire la matrice; la notation ig indique qu'il faut prendre la valeur de la fonction g au point (x, u~) : /1 f,/'; I if." o / tl!/,--2fx' ,, Ul--lgO P-~lfu __ ip__lf ~ t)=Tx, p .... ui v \2f;:ul--lf:,:u2 o efd--,f:'uu= 2f, uul--lf;i Reste te premier terme, ~t (x, p, Ul, u2) fixds. On remarque alors que f n'intervient que par son d6veloppement de Taylor ~t l'ordre i aux points (x, Ul) et (x, u2). En d'autres termes, on peut 6crire F~.p ...... =qooe, off e est l'application qui ~ feC~~215 associe : al=f(x, Ul), bl =f2(x, ul), c 1 =f~(x, u) a 2 =f(x, u2) , b z =f2(x, u2) , c 2 =fd(x, u2) et q~ est l'application qui ~t (al, bl, q, a2, 32, c2)~R 6 associe : P+q P+c2 pU 1 -~ a 1 --pu 2 -- a 2 ul b2-- u2 bl. 13 x 4 IVAR EKELAND On sait que e est une submersion, c'est-~-dire que I'application lin~aire tangente Te est surjective. On en ddduit en particulier que l'image de T~F n'est autre que l'image de T% Or Tq~ est un opgrateur de 1~ ~ dans R ~ dont la matrice s'6crit : ( oo oi 0 0 0 0 I B~ --I 0 0 0 0 -- U 2 U 1 0 Cette derni6re matrice est de rang 4 pourvu que ul+u 2. I1 en sera donc de m~me pour la matrice (A, B), ce qui prouve que TF est bien surjective. 9 Une singularitr g~n~rique de type I sera la donnfie de S = (H, ~-, p), off H est le hamil- tonien associg ~ une fonctionf satisfaisant ~ la proposition (2.5) ,donnant done lieu k une strate ZI(H ) rdguli~re, et (~, P) est un point critique de la restriction de H k ZI(H), supposg non d~ggndrg, et associ6 ~ des ~i non nuls (i=i, 2). Soit s=(h, o, o) une singularitg g6n~rique de type I telle que Z~(h) soit l'axe des x. Nous dirons que s est un modkle local de S s'il existe un voisinage 0 de (~-,p), partag6 en deux rdgions ~)1 et ~2 par ZI(H), et deux diff~omorphismes q~ et q~2 de 0 sur R *, de classe C ~, tels que : ~dx, p) = ~(x, p) = (o, o) r et (pa coincident sur ~]I(H) ~I(Zl) = ~i(Zl) ={axe des 4, '~= O} q~1(~1) ={ demi-plan infdrieur, 7:<o } q~(~l) = { demi-plan supgrieur, ~ > o } v~-'{axe des ~, ~ = o} est normal ~ Z~(H) H=hoq~i sur ~. En d'autres termes, un mod61e local est la donnge de deux cartes locales, valables de part et d'autre de El(H), et se raccordant normalement sur cette courbe. Ou encore, deux syst6mes de coordonnges locales au voisinage de (x, p), les axes curvilignes gtant Ex d'une part, deux courbes normales ~ Z~ d'autre part. TMor~me (3.2). -- Il y a trois classes de singularit~s S=(H, ~,p) de type I : (Ia) 0r u2[ (Ib) oe]ul, u2[ et H IN1 admet un maximum en (~,p) (Ic) oe]ux, u2[ et H{Z 1 admet un minimum en (~,p) Pour chacune d'elles on dispose d'un module local s = (h, o, o), o~t : (Ia) h(~, ~)=~--~2+c, c constante (Ib) h(~, ~) =--[~ [_~z + c (ic) h(~, ~) =-l~ I + ~ + c. 14 DISCONTINUITIES DE CHAMPS HAMILTONIENS I5 Ddmonstration. -- Nous travaillerons dans un voisinage de (x, p) assez petit pour que ~I(H) le partage en deux rdgions f21 et f2 2. Rappelons que, au point (x, p), grad H ]f~l et grad It l~ 2 sont non nuls et colindaires, puisqu'ils sont tous deux normaux ~ ZI(H ). On peut donc 6crire grad HI f~i= a ih ~, off ~ est un vecteur normal et a i une constante non nulle. Tout point (x, p) assez voisin de (x, p) s'6crit de mani~re unique (y, q) +rn, avec (y, q) ~ZI(I-I) ; si donc l'on choisit une coordonn6e locale s de Z 1 le couple (s, r) constitue un syst~me de coordonnfies locales de R 2 an voisinage de (~, p). On aura Hi(o , o)= o et H;;(o,o)=b.o, d'ofl : H(s, r)=H(o, o)+rPi(s, r)+sSQ,(s, r) dans f~ avec P~(o, o)=a i et Qi(o, o)= b. D'apr&s le thdor&me des fonctions implicites, on peut prendre comme nouvelles coordonndes locales dans f~i : r~ = rP,(r, s) s" =, I O_,(r, s) l Les diff6omorphismes q0i : (s, r) ~ (s~, r~) r6pondent aux conditions voulues. En particulier, r~=o signifie que r=o et donc caractdrise El; en outre, Ql(S, o)=Qs(s, o), donc s~=s~ sur Y'I- La fonction H s'6crit alors : (3-x ) H(s', r') = c + r~ +s~ ~ signe(b). I1 ne reste plus qu'~ raccorder ces deux syst~mes de coordonndes locales. Pour cela, il faut faire une distinction, suivant que grad HIE 1 et grad HIE z sont de m6me sens ou de sens oppos6, c'est-~-dire suivant que u 1 et u 2 sont de m~me signe ou de signe contraire. Dans le premier cas, f~ et f~2 sont respectivement ddcrits par r~<o et r~>o, dans le second cas ils sont d6crits par r~>o et rs changer l'orientation de h ~ aboutit ~t changer simultan6ment les deux signes. On pourra donc ddcrire simultandment r~ et r~ par une seule variable ~ pouvant prendre les deux signes, k condition de poser : si or us[, r~ =re<o et r;. = r~>o si oe]ul, Us[, --r~=re<o et r~ = re2>o. On reporte dans l'6quation (3. i), en remarquant que : b>o-~H(s, o) a un minimum pour s=o b<o~H(s, o) a un maximum pour s=o. En posant s'= ~, on obtient la classification annonc6e, au changement pros de I~ ] en --[re [. On l~ve cette ambiguit6 en remarquant que h est l'enveloppe inf6rieure de deux fonctions se coupant transversalement suivant l'axe des ~. Ceci autorise que l'on ait h(o, r:) =re, ou h(o, re) =--[re [, mais exclut que l'on ait h(o, r:) = [re [. 9 Dessinons pour chaque cas une figure off nous repr6senterons les bitrajectoires h=constante. Ce sont des arcs de parabole qui se raccordent le long de 1'axe des ~. 16 x6 IVAK EKELAND ModUle local Rdalitd E1 ]11, FIG. 3. -- Singularitfi de type Ia ModUle local Rdalit6 \ J \ J FIG. 4. -- Singularit6 de type Ib I1 est important de remarquer que lorsque (4, n) tend verso en restant dans un des demi-plans supdrieur ou inf6rieur, le vecteur-vitesse en ce point tend vers une limite non nulle, ~t savoir (+i, o). En particulier, les orbites p6riodiques du cas Ib sont par- courues en temps qui tend vers z6ro k mesure que l'on prend des orbites plus voisines de l'origine. L'analogie avec l'oscillateur harmonique, off toutes les orbltes ont m~me pdriode, est donc tout ~t fait trompeuse. 16 DISCONTINUITIES DE CHAMPS HAMILTONIENS 17r Modble local Rfiatitb Fro. 5- -- Singularit~ de type Ic Remarquons enfin qu'une singularit6 de type Ib correspond /t un maximum local strict du hamiltonien, et une singularit6 de type Ic ~ un col. 4" Singularlt6s de type IL I o Singularitgs de type IIb. -- Ce sont des points isol6s, adh6rents ~ Z 1. Le hamil- tonien o~(~, p, .) en un tel point poss6de un unique minimum ddgdn6r6 g, ce qui fait que la vitesse ~'=(ff, --f~'(5/, if)) y est bien d6finie. Le champ hamiltonien est m~me continu en ce point, mais non au voisinage. Nous allons 6tudier l'allure de ce champ. Pour cela, nous appellerons mod61e local d'une singularit~ de type IIb, soit (~,/~)eZ~, la donnde d'un diff6omorphisme C ~ d'un voisinage de (~,/~) sur R 2, trans- formant (s en (o, o), et d'une fonction h sur R 2 telle que H=hocp. Proposition (4- 9 -- Pour presque toutes les fonctions feC2(R � R), toute singularitg de type IIb admet un modkle local du type : (4. 9 ) h(~, ~)= min{u4--u2~--~u}+g(~, ~) oh g est une fonction C ~ telle que gradg(o, o)+o. Dgmonstration. -- Par un argument de transversalit6 similaire ~ ceux qui ont dt6 d6velopp6s ci-dessus, on montre que pour toutf dans un certain G~ dense de C~ (R � R), 3 i8 IVAR EKELAND 3f~(x, p, .) constitue un ddploiement versel de la singularit6 que prfsente ogr p, -) au point ~+o off elle atteint son minimum. Cette singularit6 est de codimension 2, et d'apr~s la thforie g6n6rale [2] cela implique qu'il existe une carte locale (x', p', u') de 11 a au voisinage de (x,p, u) telle que o~ s'fcrive : .g'(x',p', u')=u'4--u'2x'--p'u'q-g(x',p'), avec gEC ~~ d'ofi la formule (4. i). On remarquera que grad H(~, p)= (f~(~, g), ~)+o, on doit donc avoir grad h(o,o)+o, ce qui se traduit justement par gradg(o,o)+o, la fonction (~, re) ~ rnin{u'--u2~--~u} (dont le graphe est une demi-~ queue d'aronde ~,) 6tant de gradient nul ~t l'origine. 9 Dans le nouveau rep6re, les bitrajectoires sont donnfes par : min~ { u4--u2~--ur~}=c--g(~, re). On constate en particulier l'existence d'une unique trajectoire passant par l'origine (c=--g(o, o)). Elle est de classe C 1 et sdpare localement les trajectoires bris6es qui rencontrent E 1 des trajectoires lisses qui restent dans ~0- Fro. 6. -- Singularit6 de type IIb 2 ~ Singularitds de type IIc. -- Ce sont des points isol6s, adh6rents ~ trois branches de ~1- Le hamiltonien o~(~, p, .) en un tel point poss6de trois minima distincts non d6g6n6r6s fix, ff~, ffz, ce qui donne pour la vitesse trois ddterminations possibles, (gi,--f~'(~, gi)), i=I, 2, 3- Nous avons vu que, pour presque toutes les fonctions f de C~'(R � R), les trois d6terrninations correspondantes de grad H, ~ savoir (f~'(~, ~), ~), i=i, 2, 3, sont en position gdn6rale, et on peut m~me supposer que les gi sont non nuls. On dira alors que l'on a affaire k une singularit6 gdndrique de type IIc. Soient S = (H, ~,/~) et s = (h, o, o) deux singularit6s g6n6riques de type IIc. 18 DISCONTINUITIES DE CHAMPS HAMILTONIENS I9 Alors I11(H ) (resp. El(h)) comporte trois branches B12 , Bia , B2s (resp. ~, ~s, ~3~) sdparant un voisinage de (~-,/~) (resp. (o, o)) en trois r~gions x2~, s ~ (resp. Wl, e%, e%). On dira que s est un modkle local de S s'il existe trois cartes locales <Pi d'un voisinage de (Y,/~) telles que : ~(x, p) = (o, o) H = h o q0i dans ~i Voici maintenant un module local simple pour les singularitds gdndriques de type IIc : Proposition (4.2). -- Pour presque toutes les fonctions feC~~215 toute singularit/ de type IIc admet un module local du type : (4.2) h = min(hl, h~, h3) -Jr- c, o?~ les h i sont des formes lin/aires sur R ~. D/monstmtion. -- Nous avons vu au w 3 que l'on peut ~crire H=min(H1, H~, H3), olh H i est une fonction C ~~ d6finie au voisinage de (x, p), de telle sorte que H=H i sur ~i. Si la singutarit6 consid6r6e est g6ndrique, ce qui est le cas pour presque toutes les fonc- tions faC~(R� les gradHi(o, o) sont ind~pendants deux ~ deux. Pour i donn~, jet k d6signant les deux indices distincts de i, le couple (x'=Hj--Hi, p'=Hk--Hi) constitue un syst6me de coordonn~es locales de R 2 au voisinage de (Y, ig) ; on constate que f2 iest repr~sentd par le quadrant positif (x'>o, p'>o) et Bq et B~k par les demi-axes positifs. Le gradient de H~(x', p') ~t l'origine n'est pas port6 par un des axes, si bien que l'on peut dcrire : I-I~(x', p') = I-I~(o, o) + x' P,(x', p') +p' Qdx', p') avec Pi(o,o)4=o et Qi(o,o)4:o. Le changement de variable x"=x'P~ et p"=p'Qi conserve globalement les axes et rend H i affine : H~(x",p")=H~(o, o) f-x"+p". La relation OHi/Ox"(x" , o)=i caractdrise la coordonn6e x" adopt~e sur ~o" De la mdme faw on repdrera ~j par des coordonn6es locales (y", q"), de telle sorte que l'dquation de ~ij soit q"=o, et que la coordonnde y" v6rifie l'identit~ OHflOy"(y", o)=i. Mais H~-=Hj sur B~, si bien que x" et y" coincident sur ~ij- On peut done recoller le long de leur bord les trois quadrants repr6sentant f~a, f2 2 et Y2 3 pour obtenir la repr6sentation annoncde. [] L~ encore, l'6tude des bitrajectoires se fait sur le module local par le biais des courbes de niveau h=constante. On est conduit ~ distinguer deux cas suivant que o appartient ou non ~ l'enveloppe convexe des grad h i. 19 20 IVAR EKELAND ModUle local R6alitd FIG. 7- -- Singutarit6 de type IIcI (0,0) r co{(f~(x, ui) , u,/)}/=l,% 3 FIO. 8. -- Singularitd de type Iic2 (o, o) ~ co {(]g(x, ud, ~)}~= 1, 3, 5" Lien avec les probl~mes d'existence. Le moment est maintenant venu de revenir au probl~me de calcul des variations dont nous ~tions pards : (~) inf{f:f(x, ~)dt I ~eL 1, x(o)= Xo, x(T)= x~ }. 2o DISCONTINUITIES DE CHAMPS HAMILTONIENS ')l Notre idle directrice sera la suivante. Lorsque f(x, .) est strictement convexe, toutes les strates de codimension/> i s'~vanouissent, et le probl~me (~) admet des solu- tions pour toutes les conditions aux limites (x0, xl, T). Lorsquef(x, .) n'est plus convexe, on voit apparMtre les singularitfis que nous avons analys6es, et on perd l'existence dans le probl~me (#). On peut donc penser que la non-existence est sp~cifiquement lide ~t l'apparition de certaines singularit6s; en d'autres termes, la non-existence de solutions au probl~me (~) pour certaines conditions aux limites doit se traduire dans la g6om~trie du champ hamiltonien. C'est ce programme que nous allons remplir, en dimension n=I tout au moins. Pour cela, nous allons examiner l'une apr~s l'autre les singularit~s que nous avons ren- contr6es, en nous appuyant sur les r6sultats rappel~s au w o. Nous allons donc former les bitrajectoires du problbme relax6 : min{fToE'*(x, Yc)dtL Ll, x(o)=Xo, X(T)=xl}. Le hamiltonien associ~ est puq-f**(x, u). On remarquera que l'ensemble des u oh il atteint son minimum pour (x,p) fixds n'est autre que l'enveloppe convexe de l'ensemble des u oh pu-]-f(x, u) atteint son minimum. En d'autres termes, si l'on note M(x,p) l'ensemble compact non vide : (5. I ) M(x, p) = { u lpu +f(x, u)= H(x, u)} on a la relation : (5.2) pu-Ff**(x, u)=min ~ ueco M(x,p). Les conditions n6cessaires d'optimalitd s'6c'rivent alors ([3], [4]) : (5.s) , eco y (x, p) (5.4) ]J cof;(x, M(x, p)). Ii est clair que toute bisolution de (I .8)-(i .9) est une bisolution de (5.3)-(5.4). Nous allons examiner s'il y en a d'autres. Si (~-,p) est un point de Z0, ou un point de Z 1 non critique pour H, ou une singu- larit6 gdndrique de type Ia, ou une singularitd gdn~rique de type IIb, ou une singularitd gdndrique de type IIcI, il passe par (~-,p) une unique solution locale de (5.3)-(5.4) et c'est aussi une solution locale de (I.8)-(I.9). L'unicit~ s'entend modulo le ddpla- cement de l'origine des temps. Pour Z 0 cela r6sulte du fait que M(2,p) est rdduit hun point, et coincide donc avec son enveloppe convexe. Dans les autres cas, cela rdsulte de l'examen du module local; notons que ces singularitds sont simplement travers6es, sans que les bisolutions puissent s~journer dessus. Si (2-,/~) est une singularit6 gdndrique de type Ib, ou une singularitd gdndrique de type IIc2, il ne passe par (Y,/~) aucune bisolution de (I .2)-(1.3), mais il passe une unique bisolution de (5.3)-(5.4), la constante x(t)=~, p(t)=p. Ceci rdsulte encore de l'examen des modules locaux. 21 22 IVAR EKELAND Enfin, si (~-, i0) est une singularit~ g~n~rique de type Ic, on distinguera sur chacune des paraboles r~=~ (resp. n=--~) du module local correspondant un arc AO (resp. A' O) arrivant k l'origine et un arc OD (resp. OD') en repartant. En les mettant bout ~ bout, on obtient quatre bisolutions locales AOD, AOD', A'OD, A'OD', du syst~me originel (z.2)-(I.3). Le syst~me relax~, outre ces quatre combinaisons, offre la possibilit~ de sdjourner en O pendant une duroc arbitraire, puisque x(t)= ~, p(t)----p est une bisolution de (5.3)-(5.4). Le syst~me relaxd (5.3)'(5.4) admet donc une quadruple infinit~ de bisolutions passant par (~, p); elles ont toutes la structure suivante : t<<.t~ : (~(t), r~(t)) d~crit un des arcs AO ou A'O t~<<.t<~t a : (~(t), r~(t)) reste en O te<<.t : (~(t), n(t)) d~crit un des arcs OD ou OD' la duroc te--t a ~tant arbitraire; son choix caract~rise la bisolution consid~r~e. 1B A" Fzo. 9 I1 r~sulte de cet examen que les bisolutions du syst~me relax~ (5-3)-(5.4) se r~par- tissent en deux classes : celles qui ne passent pas par une singularit~ g~n~rique de type Ib, Ic, ou IIc2, et celles qui comportent un arc constant, x(t)= ~-, p(t)=p, off (~, p) est une de ces singularit~s. Les premieres restent dans I]0, saul en un nombre fini d'instants off elles traversent E 1 ou ~, et sont donc ~galement des bisolutions du syst~me ori- ginel (z .2)-(1.3). Les secondes s~journent sur E1 ou E~, et ne sont plus des bisolutions 29 DISCONTINUITIES DE CHAMPS HAMILTONIENS du syst6me originel. En raffinant queIque peu cette analyse, nous allons montrer que la singularitd Ic contient toute l'obstruction ~ l'existence darts le probl~me (~) : Thgorkme (5. i ). -- Pour presque toutes les fonctions feC~~ � R), une condition ndcessaire et suffisante pour que le probl~me (~) admette au moins une solution queUes que soient les conditions aux limites (Xo, xl, T), est que le champ hamiItonien associd dans R � R ne prdsente pas de singu- larit/ g/ndrique de type Ic. Pour simplifier un peu la ddmonstration, isolons deux rdsultats auxiliaires : Lemme (5.2). -- Soit (,~, p) une singularit/ g/n&ique de type Ib ou IIc2.//existe un ~>o tel que, pour tout Ts]o, r il existe une bisolution (x,(. ), p,(. )) du syst~r4e (I. 8)-(I. 9) telle que : T .. tit< fi)dt. (5.5) (x,(t), p,(t)) D/monstration. -- Commen~ons par remarquer que x(t)=~, p(t)=/~, est une bisolution de (5-3)-(5-4), si bien que, pour tout T, la solution constante x(t)=~ est une extrdmale du probI~me relaxd. Nous allons donc montrer que cette extrdmale ne correspond pas ~ un minimum. La ddmonstration repose sur le fait qu'une singularitd gdndrique de type Ib ou Iic2 est un maximum local strict du hamihonien, et sur l'utilisation des mod61es locaux fournis aux w167 3 et 4- Nous la ferons dans le cas Ib, le cas IIc2 dtant laissd au soin du lecteur. .--~, Au w 2 nous avons calculd une normale n a ~i, et nous avons montrd que sa compo- sante en p dtait uz--ul, toujours non nul sur 2g 1. Ceci signifie que X 1 est transversale la droite x = ~-. Le module local transformera done la droite x = ~ en une courbe OC issue de O dans le demi-plan supdrieur, et une demi-courbe OB issue de O dans le demi- FIG, YO 23 24 IVAR EKELAND plan infdrieur, toutes deux transversales ~ l'axe des 4. On remarquera que les orbites du module local repr6sentent indiff6remment des bitrajectoires de (1.8)-(1.9) ou de (5.3)-(5.4), X l'exception de l'orbite constante 4=0, ~c-----o, reprdsentant le point (if, p), fixe pour le syst6me relax6 mais non pour le syst6me originel. Le mod61e local nous pr6sente une famille d'orbites que nous choisissons de para- m6trer par l'abscisse s du point d'intersection avec le demi-axe des 4>0. Nous noterons respectivement a,=(s, o) et ds=(--s, o) les points d'intersection de l'orbite de para- m6tre s avec les demi-axes 42>o et 4<0. D'apr6s la transversalit6 des courbes OC et OB k l'axe des 4, on peut choisir ~>o assez petit pour que les orbites assocides aux s~]o, ~[ aient un unique point d'intersection b, (resp. G) avec OB (resp. OC). Notons Tl(S ) et T2(s ) les temps de parcours des arcs b,asc 8 et Gd, b~. On a Tl(s)-kTg.(s)=T(s), off T(s) est la p6riode de l'orbite de param6tre s, si bien que : ~sT (o) dT1 dT2 = (o) + (o). done ndcessairement Un calcul explicite montre que T(o)=o et que ~(o)2>o. On a dT1 dT2 Tl(o ) =T~(o)=o et ~ (o) ou ~-s (o) positif (en fait, une analyse plus d6taill6e mon- dT~ trerait qu'ils le sont tous deux). Soit par exemple --~-s (o)~>o; d'apr6s le th6or~me des fonctions implicites, on peut trouver ~2>o tel que, pour tout Te[o, ~], il existe une solution s(T) de l'dquation Tl(S)=T, fonction croissante et r6guli~re de T, nulle pour T=o. L'arc b,(Tl %T)q(TI est l'image dans le mod61e local d'une bisolution (XT(.), PT(")), o<~t<<.T, du syst6me (5.3)-(5.4). Sa projection horizontale XT(. ) est done une courbe v6rifiant les conditions aux limites xT(O ) = xT(T ) = k-, ainsi que les conditions ndcessaires d'optimalit~. I1 ne reste plus qu'~ la comparer ~ la solution constante Xo(t ) =~, o4 t<<. T. Pour cela, nous appliquerons une formule classique du calcul des variations ([8], chap. 3, formule (i2), en tenant compte d'une d6finition diff6rente de hamiltonien) : j~ f( x, Sc)dt :Pl" ~xl--Po" ~Xo -Jr H. ~T. Ceci donne, en remarquant que les extr6mitds x o et x I sont fix6es en ~-, et en notant H(T) la valeur (constante) du hamiltonien sur la bisolution (XT(.), PT(")) : = fo H(t)dt alors que : T ** X T S ( 0, x(0) t. Mais on a H(t)<H(o) pour t appartenant k un intervalle ]o, r assez petit. D'ofl le r~sultat. 9 2~ DISCONTINUITIES DE CHAMPS HAMILTONIENS Lemme (5.3).- Soit YeR. Pour tout r il existe ~>o tel que toute solution du probl~me : (5.6) inf{f:f(x,~)dtlx(o)=x(T)=~} avec T<~] satisfasse sup [x(t)[~<~. Dgmonstration. -- Soit x(t) une solution du probl~me (5.6). En la comparant {~ la constante x(t)=g pour o~<t~<T, nous obtenons d'apr~s l'optimalit6 : T T X f(x(t), o). (5.7) En se servant de l'estimation (o.o), ceci donne : (5.8) h(I l)dt< T. f( o). Soit m un nombre tel que h(M)~> M pour tout M~> m. On a donc M~< max{h(M), m} pour tout M~R, d'ofl enfin : (5.9) f:[~[ dt<<. T(m +f(~, o)). Ceci implique que [x(t)l<~T(m+f(~ , o)) pour o~<t~<T, d'ofl le resultat. 9 Nous pouvons maintenant aborder la d6monstration du thfior~me (5. I). Dgmonstration. -- Suffisance. Donnons-nous x0ER , xleR, T:>o. D'apr~s les pr61i- minaires du w o, le probl6me relax6 : :r **X l (~**) min{f2 f ( (); ~(t))dtlx(o)=xo, x(T)=xl} admet une solution x(.) au moins. CeUe-ci dolt v6rifier les conditions n6cessaires d'opti- malit6, c'est-~t-dire qu'on peut lui associer p(.) de telle sorte que le couple (x(t),p(t)) vdrifie le syst~me (5.3)-(5.4) sur [o, T]. L'analyse cas par cas que nous venons de mener, et l'absence de singularitds de type Ic dans le champ hamiltonien, nous am~nent ~t Falter- native suivante : -- ou bien (x(-),p(.)) est une bisolution de (i .8)-(i .9) sur [% T] et ne rencontre Y~I ou Y~2 qu'en un nombre fini d'instants; -- ou bien (x(t),p(t))=(Yc, p) sur [o, T], off (;,/~) est une singularit6 g6ndrique de type Ib ou IIc2; en particulier x0=xl= ~. Eliminons ce dernier cas. D'apr~s le lemme (5.2), on peut trouver ~e]o, T[ et une courbe x~(-) d~finie sur [% ~] v~rifiant x~(o)=x~(~)=~ et : (5. xo) (~ f**(x (t~ k~(t))dt< fof**(~, o)dt. J0,J k r 3~ Si nous prolongeons x,(.) par la constante ~-sur [r T], nous obtenons : (5. II) dt))dt< o)dt, 4 26 IVAR EKELAND ce qui prouve que x(-) ne saurait ~tre une solution du probl6me (~**), contrairement t~ l'hypoth6se. Seul subsiste le premier terme de l'alternative. Nous avons donc (x(t),p(t))eEo, saul en un nombre fini d'instants tl, ..., t, de rencontre avec ~1 ou E 2. En presque tout instant t, la tangente au point :~(t) k la fonctionf(x(t), .) se trouve done enti~rement situ6e au-dessous de celle-ci, ce qui implique : (5. i2) f(x(t), ~(t) )=f**(x(t), ~(t) ) p.p. (5-I3) jjf(x(t), ~(t))dt = fjf**(x(t), ~(t))dt. Par hypoth6se, le dernier terme n'est autre que minJ(x), qui, d'apr6s le w o dont on reprend les notations, n'est autre que infI(x). Ainsi, la courbe x(.) est dgalement une solution du probl6me (~). N~cessitd. -- Soit (x, p) une singularit6 de type Ic. Je dis que, pour T suffisamment petit, le probl6me : (5.'4) inf{jTof(x, ~:)dtlx(o)=x(T)=~} n'a pas de solution. Au lemme (5-2), nous avons remarqu6 que les droites verticales sont transversales 2;1, c'est-~-dire que la projection horizontale n'a pas de point critique sur Y~I- On peut done trouver un e>o assez petit pour que l'intersection de la branche de Y'I conte- nant (~-,p) et de la bande ~={(x,p) lllx-~tI~} soit modelde sur la figure suivante : Fm. ~x Soit S la composante connexe de (x,p) dans Xln~. Elle partage ~ en deux demi-bandes ouvertes, sup6rieure ~2 et inf6rieure ~1- Sur S la fonction .~(x, p, 9 ) atteint 26 DISCONTINUITIES DE CHAMPS HAMILTONIENS ~7 son minimum en deux points distincts ul(x, p) et u2(x , p), en d6pendance r~guli~re de (x, p). Mais oa]ux(~, i0), u~(~,/~) [, par d~finition d'une singularit~ g~ndrique de type Ic. Quitte 5 choisir un ~ plus petit, on peut done supposer que oa]ul(~-,p), u2(~,p) [ pour tout (x, p)e S. Si maintenant (x, p) est un point quelconque de ~, et si g est un point of~ la fonction Yf(x,p, u)=pu+f(x, u) atteint son minimum, il existe un unique qeR tel que (x, q)eS; en outre q>p, si bien que ~<u~(x, q)<o : fix,u) -pu ul(x,p) - qu Fie. ~ 2 La figure est bas6e sur le fait que le point off ~(x, p, u) atteint son minimum est dgalement le point de contact de la tangente ~ f(x, u) la plus basse de pente --p. On dx a done montrd que la composante horizontale de la vitesse, donn6e par ~ = ~-, est constamment n6gative darts ~x et positive dans ~. D'apr~s le lemme (5-3), il est possible de choisir T~>o assez petit pour que toute solution x(-) du probl~me (5-14) soit contenue dans la boule ouverte de rayon s autour de x. D'apr~s les conditions n~cessaires d'optimalit6, on peut lui associer p(-), de telle sorte que (x(.),p(.)) soit une bisolution de (i .2)-(1-3) sur [o, T], enti~rement contenue dans ~ et vdrifiant x(o)=x(T)= ~. Une telle bisolution rencontre n6cessairement S, sans quoi elle serait enti~rement contenue dans ~1 ou ~2, et ~(t) aurait un signe constant non nul, ce qui emp~cherait d'avoir x(o)= x(T). Mais l'examen du module local montre que les seules bisolutions traversant S et v6rifiant x(o)=~ sont les deux bisolutions issues de (~,/~), aucune desquelles ne repasse au-dessus de ~-. Le probl~me (5-14) n'a done pas de solution. 9 Un raisonnement analogue au precedent montre m~me que, sir pr6sente en (x, p) une singutarit6 g~n~rique de type Ic, it existe s>o et ~>o tels que le probl~me : (~) inf{f:f(x, ~:)dtlx(o)=xo, x(T)= x1} pour [ X--Xol<~ ~, [ x--x I [~< e et T~> ~q, n'ait pas de solution. Or les singularit6s gdn6riques de type Ic sont d~finies par des conditions de transversalit6, et sont done stables : si f engendre un hamiltonien qui pr~sente une singularit~ g~n6rique de type Ic, il en sera 27 28 IVAR EKELAND de mfime pour toute fonction g suffisamment voisine dans C~(R). On aboutit donc au corollaire suivant : Corollaire (5.4). -- Il existe dans C~(R)�215215 un ouvert non vide constitud d'glgments (f, Xo, Xl, T) pour lesquels le probl~me (~) n'a pas de solution. Illustrons ceci par un exemple. Donnons-nous un nombre A>o, et ddfinissons la fonction f par : f(x, ~) = k(x) + (~ -- ~)3, off keC~~ est born~e inf6rieurement et coincide avec x~x 2 sur [--A, A]. L'esti- mation (o.o) est alors satisfaite sur R� et on se pose le probl~me : (~) inf{ f0 ~ (k(x) +(i-- ic~)2)dt]x(o)=Xo, x(T) : xl} avec [x0[<A et ]Xl[<A. On a J%'~(x,p,u)=pu+k(x)+(I--Yc2) 2, si bien que l'abscisse x n'intervient pas dans la minimisation en u. La strate E 1 se rdduit donc tt p = o, alors que la strate E 2 est vide. Seules doric sont prdsentes les singularitds de type I. On remarque d'abord que pour p=o, la fonction Jf'(x, o, u) atteint son minimum en u aux points --Iet 4-I, la valeur de celui-ci 6tant 6gale tt k(x). La restriction du hamiltonien ~ g Iest donc H(x, o)=k(x), qui coincide avec x ~ dans un voisinage de l'origine, laquelle est donc un minimum local non ddgdndrd. Ainsi le point (o, o) est une singularitd gdndrique de type Ic, et c'est la seule singularitd pr~sente dans la bande --A~<x~<A. L'allure globale du champ hamiltonien dans cette bande est celle du mod&le local (fig. 9)- Notons en particulier l'existence de quatre bisolutions limites passant par l'origine, AOD, AOD', A'OD, A'OD', partageant la bande en quatre rdgions. Une seule de ces bisolutions limites passe successivement au-dessus de x0, de O, et de x~. Soit donc T(x0, xl) le temps dcoul6 entre le moment o/1 cette bisolution limite traverse la droite x=x o et le moment o/a elle traverse la droite x=x 1. Nous reprd- sentons cela sur deux diagrammes, l'un dans l'espace des (t, x) et l'autre dans l'espace des (x,p); chacun d'eux illustre simultandment deux cas correspondant ~t deux valeurs dx opposdes de x 1. On remarquera qu'~t l'instant eo or) x=o on a --=-1-I, avec raccor- dt dement dans un des cas et non dans l'autre, les arcs parcourus depuis cet instant 6tant sym6triques. Cette valeur T(x0, Xl) s6pare deux cas. Dans le cas T<T(x0, x~) le probl~me (~) a une solution x(-) unique. Ici encore, on repr6sente sur les m~mes diagrammes deux solutions correspondant/~ deux valeurs opposdes de x 1. On remarquera que l'une est C ~~ et que l'autre pr6sente un point anguleux o~ elle admet --i comme d6riv6e ~ gauche et 4- I comme d~riv~e ~ droite. Enfin, dans le cas T>T(x0, Xl) , le probl~me (~) n'a pas de solution. Par contre, 28 DISCONTINUITIES DE CHAMPS HAMILTONIENS le probl6me relax6 (~**) en a une, qui consiste k agr6menter la bisolution limite de la figure z 3 d'un s6jour k l'origine dont la dur6e sera exactement T--T(x0, xz). Xo~ xl=a T(xo xl) ID t X 0 X X 1 a Fm. z 3 Pour mieux comprendre ce qui se passe, remarquons que le crit~re choisi est constamment positif ou nul, et n'est nul que si xZ=(i--~)~=o. On rdaliserait donc certainement le minimum de l'int~grale I(x) en prenant une courbe x(.) telle que x(t)=o et ~(t) =  z sur [o, T]. Malheureusement, ces deux exigences sont contradictoires. On ~(o xl=a t o x xl-,-a FIG. 14. -- "r est un point anguleux pour une des solutions et un point d'inflexion pour l'autre ne peut les r6aliser que de mani6re approch6e, par des fonctions a/fines par morceaux mais continues, de ddrivde + I, convergeant uniform6ment vers la fonction nulle. D'ofl le comportement d'une solution approchde de (~) : -- passer de x 0 ~t o de mani~re optimale, c'est-~-dire emprunter sur l'intervalle de temps [o, o~] la solution de la figure 13; -- sur l'intervalle de temps [o~, ~ +T--T(x0, xl)], osciller autour de l'origine, c'est-~-dire maintenir simuhandment x voisin de o et ~ voisin de + I, -- passer de o ~t xl de mani6re optimale, c'est-k-dire emprunter sur l'intervalle de temps [o~+T--T(x0, xl), T] la derni~re partie de la figure 13. 29 IVAR EKELAND 3o ~p Xo Xl-- Xl--a FIG. 15 6. Remarques diverses. I. Tous les r6sultats prdc~dents d~pendent essentiellement du fait que les cri- t~res f(x, ;c) considdr~s, et donc les hamiltoniens H(x,p) associds, sont ind~pendants du temps T. La situation associ~e ~ des crit~res f(t, x, Yc) et des hamiltoniens H(t, x, p) est extr~mement diff~rente. Supposons par exemple que h(s)>~cs2+d, avec c>o, c'est-k-dire que la croissance soit au moins quadratique en ~; on montre alors (cf. [7]) que pour tous (f, x0, xl, T)EC~~215215215 il existe une fonction geL2(o, T; R n) de norme arbitrairement petite telle que le probl~me : rain f: (f(x(t), ~(t))+g(t).~(t))dt, x(o) =x0, x(T)=xl ait une solution unique. 2. L'analyse de El, et en particulier la loi de la rdfraction et la description des singularit~s g6n6riques de type I, fait simplement intervenir le fait que le hamil- tonien H(x, p) s'dcrit localement comme l'enveloppe infdrieure de deux fonctions r~gu- libres. Elle restera donc valide pour les problbmes de contr61e optimal : dx dt =g(x, u) x(o) = x0, x(T) = X 1 u(t) EK T x min fo f( , ~)dt dont le hamiltonien H(x,p)=p.g(x, u)+f(d;, u) poss6de la marne propri6t6. 3. L'extension des r6sultats des w167 3, 4 et 5 au cas n>I prdsente deux difficultds majeures. Tout d'abord, l'6quation H=cste ne suffit plus ~ caract6riser les bitrajectoires; elle d6crit simplement une hypersurface sur laquelle tournent les bisolutions. En outre, 30 DISCONTINUITIES DE CHAMPS HAMILTONIENS on doit s'attendre ~t trouver des bisolutions relax6es qui ne sont ni originelles ni r6duites ~t des points ni un m6lange des pr~cddentes. En effet, soit ~, k<<.2n, le lieu des (x,p) tels que la fonction W(x,p, .) atteigne son minimum en k+i points distincts u0,..., u k. C'est en gdndral une sous-vari6t6 de codimension k dans Rn� R n, et en chacun de ses points le deuxi6me membre des formules (5-3)-(5.4) s'dcrit : r(x, p)= co{(u0,Z(x, Uo)), ..., (uk,Z(x, uk))). Notons T(x, p) l'espace tangent ~t Y,~, en (x, p). Dans R'� ~ on a done un poly~dre F(x, p) de dimension k, et un espace vectoriel T(x, p) de codimension k. S'ils sont en position gdndrale, ils se coupent en o ou I point. I1 faut donc s'attendre k trouver dans Y~ un ouvert sur lequel F(x, p)nT(x, p) d6finit un champ tangent ~ X~ et satisfaisant (5.3)- (5.4)- Les courbes intdgrales de ce champ sont des arcs de bisolutions du probl~me relax6 tracdes sur 2~. 4. Enfin, on pourrait songer ~ dtendre ces r6suhats ~ des probl~mes variationnels du type : inf faf(x(r Ax(co))d~ x(o))do~ grad ou : inffaf(x(o~), avec des conditions aux limites convenables (cfi [6]), ce qui paralt hors de portde pour l'instant. 5. Ind~pendamment, M. Chaperon [I3] et F. Takens [I4] ont analys6 les singularit~s d'~quations diff~rentielles implicites. Leur ~tude porte sur des catastrophes de bifurcation alors que la n6tre porte sur des catastrophes de conflit. On a donc main- tenant l'embryon d'une tMorie qualitative des dquations diff~rentietles muhivoques. N. Hoffman [9] a pouss6 plus ~ fond 1'analyse de la singularitd de type IIb, dans un cas particulier. BIBLIOGRAPHIE if] ABRAHAM et R,OBBIN, Transversal mappings and flows, Benjamin, 1967. [2] BR6CKER, Differenzierbare Abbildungen, Universit~tt Kegensburg, 1973. Traduetion anglaise " Differentiable germs and. catastrophes ", London Math. Soc. Lecture Notes, n ~ 17, Cambridge Univ. Press, I975. 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[I I] SERGERa~RT, Un th6or~me de fonctions implicites sur certains espaces de Fr6chet et quelques applications, Annales scientifiques de l'~cole Normale Supdrieure, t. 5 (I972), pp. 599-66o. [12] SmRSMA, Classification and deformation of singularities, Vinkeveen, Academic Surveys, 1974. [13] M. CHAPERON, Sur certains diff6omorphismes normalement hyperboliques, Iet II, Notes A para/tre aux C. R. Ac. Sci., Paris. [I4] F. TArd~NS, Constrained equations, a study of implicit differential equations and their solutions, preprint, Mathematisch Instituut Rijksuniversiteit Groningen, i975. Manuscrit refu le 5 juillet 1976. http://www.deepdyve.com/assets/images/DeepDyve-Logo-lg.png Publications mathématiques de l'IHÉS Springer Journals

Discontinuités de champs hamiltoniens et existence de solutions optimales en calcul des variations

Publications mathématiques de l'IHÉS , Volume 47 (1) – Aug 4, 2007

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References (14)

Publisher
Springer Journals
Copyright
Copyright © 1977 by Publications mathématiques de l’I.H.É.S
Subject
Mathematics; Mathematics, general; Algebra; Analysis; Geometry; Number Theory
ISSN
0073-8301
eISSN
1618-1913
DOI
10.1007/BF02684338
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Abstract

DISCONTINUIT~S DE CHAMPS HAMILTONIENS ET EXISTENCE DE SOLUTIONS OPTIMALES EN CALCUL DES VARIATIONS par IVAR EKELAND AMS Classification : 49Aio, 49Bxo, 58C25, 58Fo5. SOMMAIRE On s'int~resse au probl~me de Calcul des Variations dans R " : (~) inf{f0Wf(x, ~)dtlx(o)= xo, x(T)= xl} off le crit~re fest une fonction rdguli~re mais non convexe. Les conditions n~cessaires d'optimalit6 donnent lieu ~t un champ hamiltonien dans l'espace des (x,p). Ce champ prdsente des discontinuitds, li&s k la non-convexit6 de f, qui se traduisent par le fait que les extrdmales de (~) sont brisdes. On ~tudie la rdfraction des bitrajectoires sur ces discontinuitds, et dans le cas n~I on classe compl&ement les singularitds possibles en gdndral. On en ddduit une condition n&essaire et suffisante surf pour que le pro- blame (~) admette une solution quelles que soient les conditions aux limites (x0, xl, T). o. Pr~liminaires. On se fixe pour toute la suite une fonction h : [o, +oo]-+R, born~e inf~rieurement et admettant une branche parabolique : (o.o) h(t)/t-+-t-oo quand t---> +oo. On appellera C~~ ") l'ensemble des fonctionsf ind6finiment diffdrentiables sur R"� qui v6rifient l'estimation : (o.x) f(x, v)>~h(llvl] ) V(x, v) aR"� et on le munira de la topologie de la convergence uniforme de toutes les ddriv&s sur tout compact, qui en fait un espace m&rique complet, donc un espace de Baire. Fixons f dans C~~215 R") et associons-lui l'intdgrale : ~(t) )dt (o. 2) I(x) =f~f(x(t), 6 IVAR EKELAND que nous chercherons ~ minimiser parmi tous les chemins absolument continus x(-) joignant x 0 ~ x en 1 temps T. On obtient un probl~me de calcul des variations, d6pendant des param&res x0, xz, et T, que nous notons : (~) inf{ I(x)[ ~L 1, x(o)= Xo, x(T)----xz}. I1 est bien connu ([6], chap. 8, par exemple) que si f(x, .) est convexe en v pour tout x~R" fixd, le probl~me (~) admet une solution quelle que soit la donn& (x0, xl, T). C'est le cas dans la plupart des ph~nom~nes physiques relevant de principes variationnels, le lagrangien repr&entant en gdndral une ~nergie. On rencontre m~me fr~quemment le cas oflf(x, 9 ) est une forme quadratique; elle d~finit alors une m&rique riemannienne, et le probl~me (#) consiste alors ~ chercher les g~od&iques minimales joignant x 0 ~ x 1. Comme le montre ce dernier exemple, il n'y a pas unicit~ de la solution en g~n&al. Elle n'est assurde que sous l'hypoth~se beaucoup plus forte quefsoit strictement convexe en (x, v). Dans la suite de cet article, nous ne ferons aucune hypoth~se de convexitY, et nous ne pourrons donc appliquer les rdsultats que nous venons de rappeler. I1 faut donc x~, T), le probl~me (~) n'ait pas de s'attendre ~ ce que, pour certaines donn&s (x0, solutions. Mais on peut toujours trouver une suite de trajectoires (xn) telle que : (o.3) I(x,) --* infI(x), m~me si cette borne inf&ieure n'est pas atteinte : on dit que les (x,) constituent une suite minimisante pour le probl~me. D'apr&s l'estimation (o. i), pour route suite mini- misante, x. converge uniformdment et ~, converge faiblement; la trajectoire (x, ~) ainsi obtenue n'est pas solution du probl~me (~), mais d'un autre problEme (~**), appeld le probl&me relaxd, que nous allons construire maintenant. Pour les d&ails et les ddmons- trations, on renvoie ~ [5] ou [6]. R R R n f(x,.) f(x;.) ~o. Z DISCONTINUITIES DE CHAMPS HAMILTONIENS 7 Pour tout x fixd, nous associons ~ f(x, .) sa r6gularis6e convexe s.c.i., c'est-~-dire la plus grande fonction convexe semi-continue inf~rieurement la minorant, ou encore l'enveloppe sup6rieure de ses minorantes affines continues; conformdment aux usages de l'analyse convexe, elle sera notde f**(x; .). Grace ~t l'estimation (o. I), f**(x; -) est continue, et son 6pigraphe est l'enveloppe convexe de l'dpigraphe def(x, .) dans Rn� R. Considdrons l'int6grale : (0.4) J(x) =fjf**(x(t); ~(t))dt que nous chercherons/~ minimiser parmi tousles chemins absolument continus joignant x 0 ~t x 1 en temps T. On obtient ainsi le probl~me relaxd : (~**) min{J(x) [ ~EL 1, x(o)= Xo, x(T): xl}. ThgorDme de relaxation. -- Le problkme relaxd a une solution au moins, et a mgme valeur que le problkme originel : inf I (x) = min J(x), pour x(o) = x o et x(T) = x 1. En outre, pour toute suite minimisante de (~), il existe une sous-suite (x~) et une solution x de (~**) telles que : xn-+ x uniformgment sur [o, T] ~n-+ic faiblement dans Ll(o, T). Rdciproquement, toute solution x de (~**) est limite, au sens ci-dessus, d'une suite minimisante de ( ~). CoroUaire. -- L'ensemble (non vide) des solutions du probl~me relax~ contient l'ensemble (gventuellement vide) des solutions du probl~me originel. Ce th6or6me se d6montre par les m6thodes usuelles de l'analyse fonctionnelle, lin6aire ou convexe. Le but du pr6sent article est d'analyser les diverses situations g6om6- triques qu'il recouvre, d'6baucher leur classification, et de reconnMtre parmi elles celles qui conduisent ~ l'absence de solutions pour le probl6me (~). x. Le formalisme hamiltonien. Nous allons 6crire les conditions n6cessaires d'optimalit6 sous la forme, famili~re aux spdcialistes de contr61e optimal, que leur a donndes L. S. Pontryagin [IO]. On introduit la variable adjointe peR" et la fonction : (i. I ) ~(X, p; U) = (p, U ) +f(x, U). Pour que x(.), v6rifiant x(o)=x0 et x(T)=Xl, soit une solution du probl~me (~), il faut que l'on puisse lui associer p(.) de telle sorte que, en presque tout instant t : (x. 2) o~(x(t), p(t) ; ~(t)) = min 6~f'(x(t), p(t) ; u) tl ~( t) =--f~(x(t), ~( t) ). (x.3) 8 IVAR EKELAND L'dquation (I .2) relie p ~ (x, ~). Elle est plus pr6cise que l'habituelle transfor- mation de Legendre; en effet, comme ~ est un minimum absolu de .Yt~ .), c'en est un point critique, et (i.2) implique done : (, .4) p +X (x, s,) = o. En ddrivant (I .4) par rapport au temps, on obtient /~=--~f~'. En comparant d , , cette valeur k celle qui provient de (I-3), on obtient ~tf~--f~ =o, qui n'est autre que l'~quation d'Euler usuelle. On peut mettre le syst~me (i.2), (i.3) sous la forme canonique, en introduisant le hamiltonien : (I "5) H(x, p) = min 3~(x, p; u). Soit Y~ l'ensemble des (x, p) tels que la fonction o~(x, p; .) atteigne son minimum absolu en un unique point E(x, p) et que la forme quadratique f~'~ soit non d~gdn~rde en ~(x,p). Alors Y~ est un ouvert de R"� sur lequel la fonction I-I et l'application fi sont bien d6finies et inddfiniment diffdrentiables; on obtient ~ en r6solvant l'6quation (i. 4) par le th6orfime des fonctions implicites, et on obtient I-I en reportant ~ dans o~ff. On en d6duit que : (,.6) (x,p)= p+X(x, Tx (,p) +Z(x, (..7) ,p)= p+Z(x, Dans l'ouvert f~, on peut done ~crire le syst~me (I .2), (I-3) sous la forme : (x.8) ~=H;(x,p) (x.9) /; =--H;(x, p). Le thdor~me d'existence locale et d'unicitd des solutions d'une 6quation diff6- rentielle s'applique au syst~me (i.8), (1.9) pour route condition initiale dans ~, et les courbes int~grales constituent donc un feuilletage de ~. Hors de ~, on peut prolonger ce systfime diff6rentiel par un syst~me diff6rentiel multivoque, et 6crire ainsi les conditions n~cessaires d'optimalit6 sous une forme tr~s gdn6rale; ce point de vue ne sera pas le n6tre ici. Le lecteur int6ressd pourra se reporter aux travaux de F. Clarke, [3], [4]. Dans toute la suite, nous conviendrons d'appeler bisolution toute applica- tion (x(-),p(.)) v6rifiant le syst6me (I.2), (I.3) sur [o, T], et bitrajectoire l'image dans IIP� ~ d'une bisolution. En d'autres termes, les deux notions diff6rent par le para- mdtrage en temps : la donnde de la bisolution prdcise, non seulement la trajectoire, mais la faqon dont elle est parcourue. La condition n6cessaire d'optimalit6 peut done se formuler g6om6triquement en disant que toute solution x du probl6me (~) dolt se relever en une bisolution (x,p). DISCONTINUIT]~S DE CHAMPS HAMILTONIENS 2. Bitrajectolres g4n~riques. A tout point (x,p) de R"xR" est associ4e une fonction a~f'(x,p, .) sur R". Elle atteint son minimum en K points distincts uk, I~<k~<K; on peut avoir K=az, mais non K--~o. Chacun d'eux est un point critique de la fonction, qui y prdsente donc une singularitd de codimension ck; on remarquera que sont exclues toutes les singularit6s qui ne sont pas assocides k un minimum local. On d6finit alors la codimension de oW(x,p, 9 ) comme : (2.x) codim3C~(x,p, .)~K--iq- Y, c k. k=l On en ddduit une partition de R"� en ensembles E~, o~<i~<oo : Y~i={(x, p)[ codim Yt~ p, -)= i}. (2.2) A titre d'exemple, pr6cisons les premiers d'entre eux. Tout d'abord Y'o- De i= o on ddduit K= I et cx~o. Donc E o est l'ensemble des (x, p) tels que ~(x, p, .) prdsente un unique minimum non d6gdn6r6; ce n'est autre que ~2 : (2.3) ~0--~. Pour i=I deux cas se pr6sentent : ou bien K=I et ca=I, ou bien K=2 et c a ---- ca ---- o. Le premier est exclu, car la singularit6 de codimension I (point d'inflexion gdn~ralisfi) ne correspond pas ~ un minimum local. Reste le second. Ainsi Y~I est l'ensemble des (x,p) tels que la fonction ,,~(x,p, .) atteint son minimum en deux points critiques non d~gdndrds : (24) El= (x,p) rangfd,(x, ul)=rangf~(x, u~)=nJ Pour i=2 on exclut comme ci-dessus la singularitfi de codimension i, et il reste deuxcas :oubien K=I et ca=2, oubien K=3 et c l=ca=c~=o. Danslatermi- nologie de Rend Thorn, on a une catastrophe de bifurcation et une catastrophe de conflit. Ainsi E 2=E~wZ~, avec : E~={(x'p) pu+f(x'u)=pul+f(x'ua)+t#' ~ ~ est une } coordonnde locale de R" au voisinage de ua ={(x, +/(x, =pu +/(x, =p.. +f(x, = m n} D'une manihre gdn6rale, les singularitds de codimension ~<4 ont dt4 class6es par Rend Thorn, qui leur a donnd le nora de catastrophes dldmentaires. Dans sa terminologie, E a est la strate de Maxwell, les singularit6s de Z~ sont des fronces et celles de Y,~ des papillons. Par contre, on ne rencontrera ni la queue d'aronde, ni les ombilics, qui ne correspondent pas ?t des minima loeaux. Dans l'dnoncd suivant, comme dans la suite de Particle, nous dirons qu'une pro- 2 IO IVAR EKELAND pri6t6 est vraie << pour presque toutes les fonctions feC~O(R"� ") )) pour exprimer que l'ensemble desfqui la satisfont contient un Gn dense de C~~215 Cette termi- nologie est coh6rente, dans la mesure off C~~215 ~) est un espace de Baire : si les P,, heN, sont des propridt6s vraies presque partout, alors la propri6t~ /k P,, est vraie nGN presque partout. Proposition (2.5).- Soit n<~3. Pourpresque tout f~C2(R"xR"), les Z~, o~<i~<6, constituent une stratification de Whitney de R"� R ". En d'autres termes, les X i sont des sous-vari6t6s de codimension i qui constituent une partition de Rn� net v6rifient les conditions de contact : a) Zi ~ X~+l; b) soient o~<i<j~<6, xn~Y,i et y, eX~ deux suites convergeant vers yeX~; on suppose que les droites xny n convergent vers D dans le projectif, et que les plans tan- gents T~,(Xi) convergent vers II dans la grassmanienne; alors DC II. De'monstration. -- Notons J l'espace des polyn6mes en n variables de degr6 ~<8. C'est aussi l'espace desjg(u), d6veloppements de Taylor ~ l'ordre 8 de fonctions geC| ") aux points u~R". Les polyn6mes sans termes d'ordre i, c'est-~-dire les jg(u) quand u est un point critique de g, constituent l'espace S des singularit~s, qui est muni d'une stratification naturelle par la codimension [I i]. De m~me, le produit j7 contient l'espace S v des multisingularitds, qui est 6galement muni d'une stratification naturelle, dont la i-~me strate T~ n'est autre que l'ensemble des multisingularit~s de codimension i (au sens de la formule (3. i)). Pour i~< 7, notons S i le ferm6 de T~ constitu6 de multisingularit6s associ~es tt des minima locaux; les S~ sont alors des sous-varidt6s de codimension i dans S 7, et v~rifient les conditions de contact a) et b) de Whitney (ce n'est pas vrai pour les T~, qui contiennent des families ~ un para- mfitre de singularit6s non 6quivalentes de m~me codimension; mais la classification des singularit~s de codimension ~<9 montre que ce ph6nom~ne ne se produit pas pour les minima locaux avant la singularit6 (x,-kxz) 2 2 (x~+ax~), qui est de codimension 8; voir [I2]). Par ailleurs, la rdunion de toutes les singularitds de codimension/> 8 est un sous-ensemble algdbrique R de codimension/> 7 dans S v. La proposition (2.5) exprime que l'application : (2.6) jTYt',,p '. (ul, ..., u,) ~ (j,;/f,,p(ul), ... ,j,XZx,,(uT) ) est transversale aux S~ et ~t R, pourvu que les u~ soient distincts deux ~t deux. Remarquons que si l'on changef(x, u) en f(x, u)--I-g(u), l'image j~aNQp(ul, ..., uv) devient jT~x,~,(ul, ..., uT)§ g(u~, ..., uT). L'application : (~'.7) (f, x, p, ul, ..., u,) .j' g/g..,(ul, ..., u,) est done une submersion tant que les ui sont distinets deux ~ deux. D'apr~s les th6or~mes de transversalit6 de Thorn [I], il existe dans C2(Rn� ") un G~ dense ~ tel que, pour tout fE~/, l'application (3.6) satisfait aux conditions propos~es. 9 10 DISCONTINUITIES DE CHAMPS HAMILTONIENS II Eclairons les choses, pour n=I, par une figure : FIG. 2 Une bitrajectoire est une courbe de R~'� R ~. On peut done s'attendre ~ ce qu'etle 6vite les strates de codimension/> 2. Par contre, l'intersection avec E 1 est un ph~nom~ne stable, qu'il importe donc d'analyser. Pour ce faire, introduisons les notations suivantes. En un point (x,p) eE1, on d~signera par : u 1 e( u2 les points oft ~(x,p, .) atteint son minimum; v~=(u~,fx(x , ui)), i=I, 2, les deux vecteurs-vitesses associ~s; h ~ le vecteur (f~Cx, u2)--f{(x, ul) , u2--ul). Interpr~tons ceci. I1 existe un voisinage ~ de (x,p) tel que, pour tout (y, q) etP, la fonction ~F(y, q, .) pr~sente deux minima locaux ~I(Y, q) et fi2(Y, q), coincidant respec- tivement avec u 1 et u~ au point (x, p). L'hypersurface E 1 s~pare ~ en deux r~gions gl t et gt2, caract~ris~es par le fait que, si (y, q)atl~, le minimum absolu de ~tt'(y, q, .) est atteint en ~,(y, q). Si donc nous d~finissons dans (P deux fonctions rdguli6res H 1 et Hz par I-l~.(y, q)=~(y, q, ~(y, q)), on a H=min(H1, H~), et l'6quation de Z~ n'est autre que Hi(y, q)=Ht(y, q). D'otl aussit6t : Lemme (2.2). "ff est un vecteur normal ~ E 1 au point (x, p). Dgmonstration. -- I1 suffit de d~river l'~quation H2--I-It=o, en tenant compte des identitds (I.6) et (I.7) : (2.8) grad H~(x, p)= (f~'(x, ui) , u~). 9 Supposons, pour fixer les id6es, qu'une bisolution passe de ~)~ h f22 en traversant Za au point (x, p) ; la vitesse sautera de v'l a v~, et la bitrajectoire pr6sentera donc une brisure. I1 suffit de se reporter ~t la figure 2 pour constater l'analogie avec la travers6e d'un dioptre en optique g6omdtrique. Notons ~ la matrice symplectique : 11 I~ IVAR EKELAND On peut alors Enoncer la : Loi de la rlfraction : ~=~l+~(h~). Dgmonstration. -- Par definition, h~= grad H 2- grad I-I t. En appliquant e aux deux membres de cette Equation, et en tenant compte du s que ~(grad I-Ii)=~, on obtient le r~sultat desirE. 9 En faisant le produit scalaire des deux membres par h ~, et en tenant compte de la relation ~. e(h ~) = o, on obtient le corollaire : Conservation de la vitesse normale : -~. v'l = "~. ~. En particulier, les deux membres de cette derni~re Equation sont nuls simulta- nEment. Ceci montre que deux cas seulement peuvent se produire k la traversEe de Z 1 : arrivde transversale - depart transversal : F~.b*4=o arrivEe tangentielle - depart tangentiel : ~. ~= o le cas m~ld transversal/tangentiel dtant exclu, ce qui est particuli~rement important du point de vue de la classification. Nous dirons qu'une bitrajectoire est ggnlrique si elle est contenue dans EoUZ1, ses intersections avec E~ vErifiant la condition h ~. b*4= o. Dans le cas contraire elle sera dite singuli~re. Une bitrajectoire sera donc singuli~re : -- soit parce qu'elle ne vErifie pas la condition h ~. ~ o aux points de contact avec E 1 (type I); -- soit parce qu'elle rencontre des strates de codimension />2 (type II). Nous allons Etudier successivement ces deux types de singularitds dans le cas off n= I. I1 sera commode de remarquer que la condition K.~= o s'Ecrit aussi h ~. e(grad Hi)= o, ou encore a(K).grad Hi=o. Comme n=i, Z 1 est une courbe admettant a(K) comme vecteur tangent, et la condition s'Ecrit finalement grad H I El= o (sur El, HI=I-I2=H ). Les singularitEs de type I sont donc les points off la restriction de Htt E~ prEsente un point critique. Les singularitEs de type IIb sont les points de E~, les singularitEs de type IIc les points de E~. 3" Singularlt~s de type I. Dans ce paragraphe, nous allons classer les singularitEs de type I, tout au moins celles qui sont essentielles. Nous commen~ons par nous ramener ~ une situation aussi simple que possible : Proposition (3. i ). -- Pour presque toutes les fonctions fe C~ ~ (R � R), les points critiques de H[Z1 sont non dggdngrds, et les u~ associds a chacun d'eux sont non nuls. 12 DISCONTINUITIES DE CHAMPS HAMILTONIENS Ddmonstration. -- Les points critiques de la restriction H i E1 sont d6finis par l'dqua- tion F(f, x,p, Ul, u2)=o, off F est l'application de C~~215215215 (avec D diagonale de R� dans R 4 de composantes : p +f:(x, t, +fd(x, pu, +f(x, Ul)--pu2--f(x , us) .3) - 2f2(*, On notera Ff l'application partielle (x,p, Ul, /12) ~ F(f x,p, 111, ?12) kf constant. Nous allons montrer que, pour presque tout fEC~~215 l'application Ff est trans- versale k l'origine; la proposition en r6sulte. D'apr6s les thdor6mes de transversalitd de Thorn [i], il suffira de montrer que l'application F elle-m~me est transversale k l'origine, c'est&-dire qu'en tout point (f, x, p, ul, u2) vdrifiant F(f, x, p, ul, u2)=0, l'application tangente TF est sur- jective. Cl'est une application lin6aire que l'on peut 6crire comme somme des << ddriv6es partielles ~ : TF=TfF+T~. r ...... F. Le dernier terme est un op6rateur lindaire de R 4 dans lui-m~me dont on peut dcrire la matrice; la notation ig indique qu'il faut prendre la valeur de la fonction g au point (x, u~) : /1 f,/'; I if." o / tl!/,--2fx' ,, Ul--lgO P-~lfu __ ip__lf ~ t)=Tx, p .... ui v \2f;:ul--lf:,:u2 o efd--,f:'uu= 2f, uul--lf;i Reste te premier terme, ~t (x, p, Ul, u2) fixds. On remarque alors que f n'intervient que par son d6veloppement de Taylor ~t l'ordre i aux points (x, Ul) et (x, u2). En d'autres termes, on peut 6crire F~.p ...... =qooe, off e est l'application qui ~ feC~~215 associe : al=f(x, Ul), bl =f2(x, ul), c 1 =f~(x, u) a 2 =f(x, u2) , b z =f2(x, u2) , c 2 =fd(x, u2) et q~ est l'application qui ~t (al, bl, q, a2, 32, c2)~R 6 associe : P+q P+c2 pU 1 -~ a 1 --pu 2 -- a 2 ul b2-- u2 bl. 13 x 4 IVAR EKELAND On sait que e est une submersion, c'est-~-dire que I'application lin~aire tangente Te est surjective. On en ddduit en particulier que l'image de T~F n'est autre que l'image de T% Or Tq~ est un opgrateur de 1~ ~ dans R ~ dont la matrice s'6crit : ( oo oi 0 0 0 0 I B~ --I 0 0 0 0 -- U 2 U 1 0 Cette derni6re matrice est de rang 4 pourvu que ul+u 2. I1 en sera donc de m~me pour la matrice (A, B), ce qui prouve que TF est bien surjective. 9 Une singularitr g~n~rique de type I sera la donnfie de S = (H, ~-, p), off H est le hamil- tonien associg ~ une fonctionf satisfaisant ~ la proposition (2.5) ,donnant done lieu k une strate ZI(H ) rdguli~re, et (~, P) est un point critique de la restriction de H k ZI(H), supposg non d~ggndrg, et associ6 ~ des ~i non nuls (i=i, 2). Soit s=(h, o, o) une singularitg g6n~rique de type I telle que Z~(h) soit l'axe des x. Nous dirons que s est un modkle local de S s'il existe un voisinage 0 de (~-,p), partag6 en deux rdgions ~)1 et ~2 par ZI(H), et deux diff~omorphismes q~ et q~2 de 0 sur R *, de classe C ~, tels que : ~dx, p) = ~(x, p) = (o, o) r et (pa coincident sur ~]I(H) ~I(Zl) = ~i(Zl) ={axe des 4, '~= O} q~1(~1) ={ demi-plan infdrieur, 7:<o } q~(~l) = { demi-plan supgrieur, ~ > o } v~-'{axe des ~, ~ = o} est normal ~ Z~(H) H=hoq~i sur ~. En d'autres termes, un mod61e local est la donnge de deux cartes locales, valables de part et d'autre de El(H), et se raccordant normalement sur cette courbe. Ou encore, deux syst6mes de coordonnges locales au voisinage de (x, p), les axes curvilignes gtant Ex d'une part, deux courbes normales ~ Z~ d'autre part. TMor~me (3.2). -- Il y a trois classes de singularit~s S=(H, ~,p) de type I : (Ia) 0r u2[ (Ib) oe]ul, u2[ et H IN1 admet un maximum en (~,p) (Ic) oe]ux, u2[ et H{Z 1 admet un minimum en (~,p) Pour chacune d'elles on dispose d'un module local s = (h, o, o), o~t : (Ia) h(~, ~)=~--~2+c, c constante (Ib) h(~, ~) =--[~ [_~z + c (ic) h(~, ~) =-l~ I + ~ + c. 14 DISCONTINUITIES DE CHAMPS HAMILTONIENS I5 Ddmonstration. -- Nous travaillerons dans un voisinage de (x, p) assez petit pour que ~I(H) le partage en deux rdgions f21 et f2 2. Rappelons que, au point (x, p), grad H ]f~l et grad It l~ 2 sont non nuls et colindaires, puisqu'ils sont tous deux normaux ~ ZI(H ). On peut donc 6crire grad HI f~i= a ih ~, off ~ est un vecteur normal et a i une constante non nulle. Tout point (x, p) assez voisin de (x, p) s'6crit de mani~re unique (y, q) +rn, avec (y, q) ~ZI(I-I) ; si donc l'on choisit une coordonn6e locale s de Z 1 le couple (s, r) constitue un syst~me de coordonnfies locales de R 2 an voisinage de (~, p). On aura Hi(o , o)= o et H;;(o,o)=b.o, d'ofl : H(s, r)=H(o, o)+rPi(s, r)+sSQ,(s, r) dans f~ avec P~(o, o)=a i et Qi(o, o)= b. D'apr&s le thdor&me des fonctions implicites, on peut prendre comme nouvelles coordonndes locales dans f~i : r~ = rP,(r, s) s" =, I O_,(r, s) l Les diff6omorphismes q0i : (s, r) ~ (s~, r~) r6pondent aux conditions voulues. En particulier, r~=o signifie que r=o et donc caractdrise El; en outre, Ql(S, o)=Qs(s, o), donc s~=s~ sur Y'I- La fonction H s'6crit alors : (3-x ) H(s', r') = c + r~ +s~ ~ signe(b). I1 ne reste plus qu'~ raccorder ces deux syst~mes de coordonndes locales. Pour cela, il faut faire une distinction, suivant que grad HIE 1 et grad HIE z sont de m6me sens ou de sens oppos6, c'est-~-dire suivant que u 1 et u 2 sont de m~me signe ou de signe contraire. Dans le premier cas, f~ et f~2 sont respectivement ddcrits par r~<o et r~>o, dans le second cas ils sont d6crits par r~>o et rs changer l'orientation de h ~ aboutit ~t changer simultan6ment les deux signes. On pourra donc ddcrire simultandment r~ et r~ par une seule variable ~ pouvant prendre les deux signes, k condition de poser : si or us[, r~ =re<o et r;. = r~>o si oe]ul, Us[, --r~=re<o et r~ = re2>o. On reporte dans l'6quation (3. i), en remarquant que : b>o-~H(s, o) a un minimum pour s=o b<o~H(s, o) a un maximum pour s=o. En posant s'= ~, on obtient la classification annonc6e, au changement pros de I~ ] en --[re [. On l~ve cette ambiguit6 en remarquant que h est l'enveloppe inf6rieure de deux fonctions se coupant transversalement suivant l'axe des ~. Ceci autorise que l'on ait h(o, r:) =re, ou h(o, re) =--[re [, mais exclut que l'on ait h(o, r:) = [re [. 9 Dessinons pour chaque cas une figure off nous repr6senterons les bitrajectoires h=constante. Ce sont des arcs de parabole qui se raccordent le long de 1'axe des ~. 16 x6 IVAK EKELAND ModUle local Rdalitd E1 ]11, FIG. 3. -- Singularitfi de type Ia ModUle local Rdalit6 \ J \ J FIG. 4. -- Singularit6 de type Ib I1 est important de remarquer que lorsque (4, n) tend verso en restant dans un des demi-plans supdrieur ou inf6rieur, le vecteur-vitesse en ce point tend vers une limite non nulle, ~t savoir (+i, o). En particulier, les orbites p6riodiques du cas Ib sont par- courues en temps qui tend vers z6ro k mesure que l'on prend des orbites plus voisines de l'origine. L'analogie avec l'oscillateur harmonique, off toutes les orbltes ont m~me pdriode, est donc tout ~t fait trompeuse. 16 DISCONTINUITIES DE CHAMPS HAMILTONIENS 17r Modble local Rfiatitb Fro. 5- -- Singularit~ de type Ic Remarquons enfin qu'une singularit6 de type Ib correspond /t un maximum local strict du hamiltonien, et une singularit6 de type Ic ~ un col. 4" Singularlt6s de type IL I o Singularitgs de type IIb. -- Ce sont des points isol6s, adh6rents ~ Z 1. Le hamil- tonien o~(~, p, .) en un tel point poss6de un unique minimum ddgdn6r6 g, ce qui fait que la vitesse ~'=(ff, --f~'(5/, if)) y est bien d6finie. Le champ hamiltonien est m~me continu en ce point, mais non au voisinage. Nous allons 6tudier l'allure de ce champ. Pour cela, nous appellerons mod61e local d'une singularit~ de type IIb, soit (~,/~)eZ~, la donnde d'un diff6omorphisme C ~ d'un voisinage de (~,/~) sur R 2, trans- formant (s en (o, o), et d'une fonction h sur R 2 telle que H=hocp. Proposition (4- 9 -- Pour presque toutes les fonctions feC2(R � R), toute singularitg de type IIb admet un modkle local du type : (4. 9 ) h(~, ~)= min{u4--u2~--~u}+g(~, ~) oh g est une fonction C ~ telle que gradg(o, o)+o. Dgmonstration. -- Par un argument de transversalit6 similaire ~ ceux qui ont dt6 d6velopp6s ci-dessus, on montre que pour toutf dans un certain G~ dense de C~ (R � R), 3 i8 IVAR EKELAND 3f~(x, p, .) constitue un ddploiement versel de la singularit6 que prfsente ogr p, -) au point ~+o off elle atteint son minimum. Cette singularit6 est de codimension 2, et d'apr~s la thforie g6n6rale [2] cela implique qu'il existe une carte locale (x', p', u') de 11 a au voisinage de (x,p, u) telle que o~ s'fcrive : .g'(x',p', u')=u'4--u'2x'--p'u'q-g(x',p'), avec gEC ~~ d'ofi la formule (4. i). On remarquera que grad H(~, p)= (f~(~, g), ~)+o, on doit donc avoir grad h(o,o)+o, ce qui se traduit justement par gradg(o,o)+o, la fonction (~, re) ~ rnin{u'--u2~--~u} (dont le graphe est une demi-~ queue d'aronde ~,) 6tant de gradient nul ~t l'origine. 9 Dans le nouveau rep6re, les bitrajectoires sont donnfes par : min~ { u4--u2~--ur~}=c--g(~, re). On constate en particulier l'existence d'une unique trajectoire passant par l'origine (c=--g(o, o)). Elle est de classe C 1 et sdpare localement les trajectoires bris6es qui rencontrent E 1 des trajectoires lisses qui restent dans ~0- Fro. 6. -- Singularit6 de type IIb 2 ~ Singularitds de type IIc. -- Ce sont des points isol6s, adh6rents ~ trois branches de ~1- Le hamiltonien o~(~, p, .) en un tel point poss6de trois minima distincts non d6g6n6r6s fix, ff~, ffz, ce qui donne pour la vitesse trois ddterminations possibles, (gi,--f~'(~, gi)), i=I, 2, 3- Nous avons vu que, pour presque toutes les fonctions f de C~'(R � R), les trois d6terrninations correspondantes de grad H, ~ savoir (f~'(~, ~), ~), i=i, 2, 3, sont en position gdn6rale, et on peut m~me supposer que les gi sont non nuls. On dira alors que l'on a affaire k une singularit6 gdndrique de type IIc. Soient S = (H, ~,/~) et s = (h, o, o) deux singularit6s g6n6riques de type IIc. 18 DISCONTINUITIES DE CHAMPS HAMILTONIENS I9 Alors I11(H ) (resp. El(h)) comporte trois branches B12 , Bia , B2s (resp. ~, ~s, ~3~) sdparant un voisinage de (~-,/~) (resp. (o, o)) en trois r~gions x2~, s ~ (resp. Wl, e%, e%). On dira que s est un modkle local de S s'il existe trois cartes locales <Pi d'un voisinage de (Y,/~) telles que : ~(x, p) = (o, o) H = h o q0i dans ~i Voici maintenant un module local simple pour les singularitds gdndriques de type IIc : Proposition (4.2). -- Pour presque toutes les fonctions feC~~215 toute singularit/ de type IIc admet un module local du type : (4.2) h = min(hl, h~, h3) -Jr- c, o?~ les h i sont des formes lin/aires sur R ~. D/monstmtion. -- Nous avons vu au w 3 que l'on peut ~crire H=min(H1, H~, H3), olh H i est une fonction C ~~ d6finie au voisinage de (x, p), de telle sorte que H=H i sur ~i. Si la singutarit6 consid6r6e est g6ndrique, ce qui est le cas pour presque toutes les fonc- tions faC~(R� les gradHi(o, o) sont ind~pendants deux ~ deux. Pour i donn~, jet k d6signant les deux indices distincts de i, le couple (x'=Hj--Hi, p'=Hk--Hi) constitue un syst6me de coordonn~es locales de R 2 au voisinage de (Y, ig) ; on constate que f2 iest repr~sentd par le quadrant positif (x'>o, p'>o) et Bq et B~k par les demi-axes positifs. Le gradient de H~(x', p') ~t l'origine n'est pas port6 par un des axes, si bien que l'on peut dcrire : I-I~(x', p') = I-I~(o, o) + x' P,(x', p') +p' Qdx', p') avec Pi(o,o)4=o et Qi(o,o)4:o. Le changement de variable x"=x'P~ et p"=p'Qi conserve globalement les axes et rend H i affine : H~(x",p")=H~(o, o) f-x"+p". La relation OHi/Ox"(x" , o)=i caractdrise la coordonn6e x" adopt~e sur ~o" De la mdme faw on repdrera ~j par des coordonn6es locales (y", q"), de telle sorte que l'dquation de ~ij soit q"=o, et que la coordonnde y" v6rifie l'identit~ OHflOy"(y", o)=i. Mais H~-=Hj sur B~, si bien que x" et y" coincident sur ~ij- On peut done recoller le long de leur bord les trois quadrants repr6sentant f~a, f2 2 et Y2 3 pour obtenir la repr6sentation annoncde. [] L~ encore, l'6tude des bitrajectoires se fait sur le module local par le biais des courbes de niveau h=constante. On est conduit ~ distinguer deux cas suivant que o appartient ou non ~ l'enveloppe convexe des grad h i. 19 20 IVAR EKELAND ModUle local R6alitd FIG. 7- -- Singutarit6 de type IIcI (0,0) r co{(f~(x, ui) , u,/)}/=l,% 3 FIO. 8. -- Singularitd de type Iic2 (o, o) ~ co {(]g(x, ud, ~)}~= 1, 3, 5" Lien avec les probl~mes d'existence. Le moment est maintenant venu de revenir au probl~me de calcul des variations dont nous ~tions pards : (~) inf{f:f(x, ~)dt I ~eL 1, x(o)= Xo, x(T)= x~ }. 2o DISCONTINUITIES DE CHAMPS HAMILTONIENS ')l Notre idle directrice sera la suivante. Lorsque f(x, .) est strictement convexe, toutes les strates de codimension/> i s'~vanouissent, et le probl~me (~) admet des solu- tions pour toutes les conditions aux limites (x0, xl, T). Lorsquef(x, .) n'est plus convexe, on voit apparMtre les singularitfis que nous avons analys6es, et on perd l'existence dans le probl~me (#). On peut donc penser que la non-existence est sp~cifiquement lide ~t l'apparition de certaines singularit6s; en d'autres termes, la non-existence de solutions au probl~me (~) pour certaines conditions aux limites doit se traduire dans la g6om~trie du champ hamiltonien. C'est ce programme que nous allons remplir, en dimension n=I tout au moins. Pour cela, nous allons examiner l'une apr~s l'autre les singularit~s que nous avons ren- contr6es, en nous appuyant sur les r6sultats rappel~s au w o. Nous allons donc former les bitrajectoires du problbme relax6 : min{fToE'*(x, Yc)dtL Ll, x(o)=Xo, X(T)=xl}. Le hamiltonien associ~ est puq-f**(x, u). On remarquera que l'ensemble des u oh il atteint son minimum pour (x,p) fixds n'est autre que l'enveloppe convexe de l'ensemble des u oh pu-]-f(x, u) atteint son minimum. En d'autres termes, si l'on note M(x,p) l'ensemble compact non vide : (5. I ) M(x, p) = { u lpu +f(x, u)= H(x, u)} on a la relation : (5.2) pu-Ff**(x, u)=min ~ ueco M(x,p). Les conditions n6cessaires d'optimalitd s'6c'rivent alors ([3], [4]) : (5.s) , eco y (x, p) (5.4) ]J cof;(x, M(x, p)). Ii est clair que toute bisolution de (I .8)-(i .9) est une bisolution de (5.3)-(5.4). Nous allons examiner s'il y en a d'autres. Si (~-,p) est un point de Z0, ou un point de Z 1 non critique pour H, ou une singu- larit6 gdndrique de type Ia, ou une singularitd gdn~rique de type IIb, ou une singularitd gdndrique de type IIcI, il passe par (~-,p) une unique solution locale de (5.3)-(5.4) et c'est aussi une solution locale de (I.8)-(I.9). L'unicit~ s'entend modulo le ddpla- cement de l'origine des temps. Pour Z 0 cela r6sulte du fait que M(2,p) est rdduit hun point, et coincide donc avec son enveloppe convexe. Dans les autres cas, cela rdsulte de l'examen du module local; notons que ces singularitds sont simplement travers6es, sans que les bisolutions puissent s~journer dessus. Si (2-,/~) est une singularit6 gdndrique de type Ib, ou une singularitd gdndrique de type IIc2, il ne passe par (Y,/~) aucune bisolution de (I .2)-(1.3), mais il passe une unique bisolution de (5.3)-(5.4), la constante x(t)=~, p(t)=p. Ceci rdsulte encore de l'examen des modules locaux. 21 22 IVAR EKELAND Enfin, si (~-, i0) est une singularit~ g~n~rique de type Ic, on distinguera sur chacune des paraboles r~=~ (resp. n=--~) du module local correspondant un arc AO (resp. A' O) arrivant k l'origine et un arc OD (resp. OD') en repartant. En les mettant bout ~ bout, on obtient quatre bisolutions locales AOD, AOD', A'OD, A'OD', du syst~me originel (z.2)-(I.3). Le syst~me relax~, outre ces quatre combinaisons, offre la possibilit~ de sdjourner en O pendant une duroc arbitraire, puisque x(t)= ~, p(t)----p est une bisolution de (5.3)-(5.4). Le syst~me relaxd (5.3)'(5.4) admet donc une quadruple infinit~ de bisolutions passant par (~, p); elles ont toutes la structure suivante : t<<.t~ : (~(t), r~(t)) d~crit un des arcs AO ou A'O t~<<.t<~t a : (~(t), r~(t)) reste en O te<<.t : (~(t), n(t)) d~crit un des arcs OD ou OD' la duroc te--t a ~tant arbitraire; son choix caract~rise la bisolution consid~r~e. 1B A" Fzo. 9 I1 r~sulte de cet examen que les bisolutions du syst~me relax~ (5-3)-(5.4) se r~par- tissent en deux classes : celles qui ne passent pas par une singularit~ g~n~rique de type Ib, Ic, ou IIc2, et celles qui comportent un arc constant, x(t)= ~-, p(t)=p, off (~, p) est une de ces singularit~s. Les premieres restent dans I]0, saul en un nombre fini d'instants off elles traversent E 1 ou ~, et sont donc ~galement des bisolutions du syst~me ori- ginel (z .2)-(1.3). Les secondes s~journent sur E1 ou E~, et ne sont plus des bisolutions 29 DISCONTINUITIES DE CHAMPS HAMILTONIENS du syst6me originel. En raffinant queIque peu cette analyse, nous allons montrer que la singularitd Ic contient toute l'obstruction ~ l'existence darts le probl~me (~) : Thgorkme (5. i ). -- Pour presque toutes les fonctions feC~~ � R), une condition ndcessaire et suffisante pour que le probl~me (~) admette au moins une solution queUes que soient les conditions aux limites (Xo, xl, T), est que le champ hamiItonien associd dans R � R ne prdsente pas de singu- larit/ g/ndrique de type Ic. Pour simplifier un peu la ddmonstration, isolons deux rdsultats auxiliaires : Lemme (5.2). -- Soit (,~, p) une singularit/ g/n&ique de type Ib ou IIc2.//existe un ~>o tel que, pour tout Ts]o, r il existe une bisolution (x,(. ), p,(. )) du syst~r4e (I. 8)-(I. 9) telle que : T .. tit< fi)dt. (5.5) (x,(t), p,(t)) D/monstration. -- Commen~ons par remarquer que x(t)=~, p(t)=/~, est une bisolution de (5-3)-(5-4), si bien que, pour tout T, la solution constante x(t)=~ est une extrdmale du probI~me relaxd. Nous allons donc montrer que cette extrdmale ne correspond pas ~ un minimum. La ddmonstration repose sur le fait qu'une singularitd gdndrique de type Ib ou Iic2 est un maximum local strict du hamihonien, et sur l'utilisation des mod61es locaux fournis aux w167 3 et 4- Nous la ferons dans le cas Ib, le cas IIc2 dtant laissd au soin du lecteur. .--~, Au w 2 nous avons calculd une normale n a ~i, et nous avons montrd que sa compo- sante en p dtait uz--ul, toujours non nul sur 2g 1. Ceci signifie que X 1 est transversale la droite x = ~-. Le module local transformera done la droite x = ~ en une courbe OC issue de O dans le demi-plan supdrieur, et une demi-courbe OB issue de O dans le demi- FIG, YO 23 24 IVAR EKELAND plan infdrieur, toutes deux transversales ~ l'axe des 4. On remarquera que les orbites du module local repr6sentent indiff6remment des bitrajectoires de (1.8)-(1.9) ou de (5.3)-(5.4), X l'exception de l'orbite constante 4=0, ~c-----o, reprdsentant le point (if, p), fixe pour le syst6me relax6 mais non pour le syst6me originel. Le mod61e local nous pr6sente une famille d'orbites que nous choisissons de para- m6trer par l'abscisse s du point d'intersection avec le demi-axe des 4>0. Nous noterons respectivement a,=(s, o) et ds=(--s, o) les points d'intersection de l'orbite de para- m6tre s avec les demi-axes 42>o et 4<0. D'apr6s la transversalit6 des courbes OC et OB k l'axe des 4, on peut choisir ~>o assez petit pour que les orbites assocides aux s~]o, ~[ aient un unique point d'intersection b, (resp. G) avec OB (resp. OC). Notons Tl(S ) et T2(s ) les temps de parcours des arcs b,asc 8 et Gd, b~. On a Tl(s)-kTg.(s)=T(s), off T(s) est la p6riode de l'orbite de param6tre s, si bien que : ~sT (o) dT1 dT2 = (o) + (o). done ndcessairement Un calcul explicite montre que T(o)=o et que ~(o)2>o. On a dT1 dT2 Tl(o ) =T~(o)=o et ~ (o) ou ~-s (o) positif (en fait, une analyse plus d6taill6e mon- dT~ trerait qu'ils le sont tous deux). Soit par exemple --~-s (o)~>o; d'apr6s le th6or~me des fonctions implicites, on peut trouver ~2>o tel que, pour tout Te[o, ~], il existe une solution s(T) de l'dquation Tl(S)=T, fonction croissante et r6guli~re de T, nulle pour T=o. L'arc b,(Tl %T)q(TI est l'image dans le mod61e local d'une bisolution (XT(.), PT(")), o<~t<<.T, du syst6me (5.3)-(5.4). Sa projection horizontale XT(. ) est done une courbe v6rifiant les conditions aux limites xT(O ) = xT(T ) = k-, ainsi que les conditions ndcessaires d'optimalit~. I1 ne reste plus qu'~ la comparer ~ la solution constante Xo(t ) =~, o4 t<<. T. Pour cela, nous appliquerons une formule classique du calcul des variations ([8], chap. 3, formule (i2), en tenant compte d'une d6finition diff6rente de hamiltonien) : j~ f( x, Sc)dt :Pl" ~xl--Po" ~Xo -Jr H. ~T. Ceci donne, en remarquant que les extr6mitds x o et x I sont fix6es en ~-, et en notant H(T) la valeur (constante) du hamiltonien sur la bisolution (XT(.), PT(")) : = fo H(t)dt alors que : T ** X T S ( 0, x(0) t. Mais on a H(t)<H(o) pour t appartenant k un intervalle ]o, r assez petit. D'ofl le r~sultat. 9 2~ DISCONTINUITIES DE CHAMPS HAMILTONIENS Lemme (5.3).- Soit YeR. Pour tout r il existe ~>o tel que toute solution du probl~me : (5.6) inf{f:f(x,~)dtlx(o)=x(T)=~} avec T<~] satisfasse sup [x(t)[~<~. Dgmonstration. -- Soit x(t) une solution du probl~me (5.6). En la comparant {~ la constante x(t)=g pour o~<t~<T, nous obtenons d'apr~s l'optimalit6 : T T X f(x(t), o). (5.7) En se servant de l'estimation (o.o), ceci donne : (5.8) h(I l)dt< T. f( o). Soit m un nombre tel que h(M)~> M pour tout M~> m. On a donc M~< max{h(M), m} pour tout M~R, d'ofl enfin : (5.9) f:[~[ dt<<. T(m +f(~, o)). Ceci implique que [x(t)l<~T(m+f(~ , o)) pour o~<t~<T, d'ofl le resultat. 9 Nous pouvons maintenant aborder la d6monstration du thfior~me (5. I). Dgmonstration. -- Suffisance. Donnons-nous x0ER , xleR, T:>o. D'apr~s les pr61i- minaires du w o, le probl6me relax6 : :r **X l (~**) min{f2 f ( (); ~(t))dtlx(o)=xo, x(T)=xl} admet une solution x(.) au moins. CeUe-ci dolt v6rifier les conditions n6cessaires d'opti- malit6, c'est-~t-dire qu'on peut lui associer p(.) de telle sorte que le couple (x(t),p(t)) vdrifie le syst~me (5.3)-(5.4) sur [o, T]. L'analyse cas par cas que nous venons de mener, et l'absence de singularitds de type Ic dans le champ hamiltonien, nous am~nent ~t Falter- native suivante : -- ou bien (x(-),p(.)) est une bisolution de (i .8)-(i .9) sur [% T] et ne rencontre Y~I ou Y~2 qu'en un nombre fini d'instants; -- ou bien (x(t),p(t))=(Yc, p) sur [o, T], off (;,/~) est une singularit6 g6ndrique de type Ib ou IIc2; en particulier x0=xl= ~. Eliminons ce dernier cas. D'apr~s le lemme (5.2), on peut trouver ~e]o, T[ et une courbe x~(-) d~finie sur [% ~] v~rifiant x~(o)=x~(~)=~ et : (5. xo) (~ f**(x (t~ k~(t))dt< fof**(~, o)dt. J0,J k r 3~ Si nous prolongeons x,(.) par la constante ~-sur [r T], nous obtenons : (5. II) dt))dt< o)dt, 4 26 IVAR EKELAND ce qui prouve que x(-) ne saurait ~tre une solution du probl6me (~**), contrairement t~ l'hypoth6se. Seul subsiste le premier terme de l'alternative. Nous avons donc (x(t),p(t))eEo, saul en un nombre fini d'instants tl, ..., t, de rencontre avec ~1 ou E 2. En presque tout instant t, la tangente au point :~(t) k la fonctionf(x(t), .) se trouve done enti~rement situ6e au-dessous de celle-ci, ce qui implique : (5. i2) f(x(t), ~(t) )=f**(x(t), ~(t) ) p.p. (5-I3) jjf(x(t), ~(t))dt = fjf**(x(t), ~(t))dt. Par hypoth6se, le dernier terme n'est autre que minJ(x), qui, d'apr6s le w o dont on reprend les notations, n'est autre que infI(x). Ainsi, la courbe x(.) est dgalement une solution du probl6me (~). N~cessitd. -- Soit (x, p) une singularit6 de type Ic. Je dis que, pour T suffisamment petit, le probl6me : (5.'4) inf{jTof(x, ~:)dtlx(o)=x(T)=~} n'a pas de solution. Au lemme (5-2), nous avons remarqu6 que les droites verticales sont transversales 2;1, c'est-~-dire que la projection horizontale n'a pas de point critique sur Y~I- On peut done trouver un e>o assez petit pour que l'intersection de la branche de Y'I conte- nant (~-,p) et de la bande ~={(x,p) lllx-~tI~} soit modelde sur la figure suivante : Fm. ~x Soit S la composante connexe de (x,p) dans Xln~. Elle partage ~ en deux demi-bandes ouvertes, sup6rieure ~2 et inf6rieure ~1- Sur S la fonction .~(x, p, 9 ) atteint 26 DISCONTINUITIES DE CHAMPS HAMILTONIENS ~7 son minimum en deux points distincts ul(x, p) et u2(x , p), en d6pendance r~guli~re de (x, p). Mais oa]ux(~, i0), u~(~,/~) [, par d~finition d'une singularit~ g~ndrique de type Ic. Quitte 5 choisir un ~ plus petit, on peut done supposer que oa]ul(~-,p), u2(~,p) [ pour tout (x, p)e S. Si maintenant (x, p) est un point quelconque de ~, et si g est un point of~ la fonction Yf(x,p, u)=pu+f(x, u) atteint son minimum, il existe un unique qeR tel que (x, q)eS; en outre q>p, si bien que ~<u~(x, q)<o : fix,u) -pu ul(x,p) - qu Fie. ~ 2 La figure est bas6e sur le fait que le point off ~(x, p, u) atteint son minimum est dgalement le point de contact de la tangente ~ f(x, u) la plus basse de pente --p. On dx a done montrd que la composante horizontale de la vitesse, donn6e par ~ = ~-, est constamment n6gative darts ~x et positive dans ~. D'apr~s le lemme (5-3), il est possible de choisir T~>o assez petit pour que toute solution x(-) du probl~me (5-14) soit contenue dans la boule ouverte de rayon s autour de x. D'apr~s les conditions n~cessaires d'optimalit6, on peut lui associer p(-), de telle sorte que (x(.),p(.)) soit une bisolution de (i .2)-(1-3) sur [o, T], enti~rement contenue dans ~ et vdrifiant x(o)=x(T)= ~. Une telle bisolution rencontre n6cessairement S, sans quoi elle serait enti~rement contenue dans ~1 ou ~2, et ~(t) aurait un signe constant non nul, ce qui emp~cherait d'avoir x(o)= x(T). Mais l'examen du module local montre que les seules bisolutions traversant S et v6rifiant x(o)=~ sont les deux bisolutions issues de (~,/~), aucune desquelles ne repasse au-dessus de ~-. Le probl~me (5-14) n'a done pas de solution. 9 Un raisonnement analogue au precedent montre m~me que, sir pr6sente en (x, p) une singutarit6 g~n~rique de type Ic, it existe s>o et ~>o tels que le probl~me : (~) inf{f:f(x, ~:)dtlx(o)=xo, x(T)= x1} pour [ X--Xol<~ ~, [ x--x I [~< e et T~> ~q, n'ait pas de solution. Or les singularit6s gdn6riques de type Ic sont d~finies par des conditions de transversalit6, et sont done stables : si f engendre un hamiltonien qui pr~sente une singularit~ g~n6rique de type Ic, il en sera 27 28 IVAR EKELAND de mfime pour toute fonction g suffisamment voisine dans C~(R). On aboutit donc au corollaire suivant : Corollaire (5.4). -- Il existe dans C~(R)�215215 un ouvert non vide constitud d'glgments (f, Xo, Xl, T) pour lesquels le probl~me (~) n'a pas de solution. Illustrons ceci par un exemple. Donnons-nous un nombre A>o, et ddfinissons la fonction f par : f(x, ~) = k(x) + (~ -- ~)3, off keC~~ est born~e inf6rieurement et coincide avec x~x 2 sur [--A, A]. L'esti- mation (o.o) est alors satisfaite sur R� et on se pose le probl~me : (~) inf{ f0 ~ (k(x) +(i-- ic~)2)dt]x(o)=Xo, x(T) : xl} avec [x0[<A et ]Xl[<A. On a J%'~(x,p,u)=pu+k(x)+(I--Yc2) 2, si bien que l'abscisse x n'intervient pas dans la minimisation en u. La strate E 1 se rdduit donc tt p = o, alors que la strate E 2 est vide. Seules doric sont prdsentes les singularitds de type I. On remarque d'abord que pour p=o, la fonction Jf'(x, o, u) atteint son minimum en u aux points --Iet 4-I, la valeur de celui-ci 6tant 6gale tt k(x). La restriction du hamiltonien ~ g Iest donc H(x, o)=k(x), qui coincide avec x ~ dans un voisinage de l'origine, laquelle est donc un minimum local non ddgdndrd. Ainsi le point (o, o) est une singularitd gdndrique de type Ic, et c'est la seule singularitd pr~sente dans la bande --A~<x~<A. L'allure globale du champ hamiltonien dans cette bande est celle du mod&le local (fig. 9)- Notons en particulier l'existence de quatre bisolutions limites passant par l'origine, AOD, AOD', A'OD, A'OD', partageant la bande en quatre rdgions. Une seule de ces bisolutions limites passe successivement au-dessus de x0, de O, et de x~. Soit donc T(x0, xl) le temps dcoul6 entre le moment o/1 cette bisolution limite traverse la droite x=x o et le moment o/a elle traverse la droite x=x 1. Nous reprd- sentons cela sur deux diagrammes, l'un dans l'espace des (t, x) et l'autre dans l'espace des (x,p); chacun d'eux illustre simultandment deux cas correspondant ~t deux valeurs dx opposdes de x 1. On remarquera qu'~t l'instant eo or) x=o on a --=-1-I, avec raccor- dt dement dans un des cas et non dans l'autre, les arcs parcourus depuis cet instant 6tant sym6triques. Cette valeur T(x0, Xl) s6pare deux cas. Dans le cas T<T(x0, x~) le probl~me (~) a une solution x(-) unique. Ici encore, on repr6sente sur les m~mes diagrammes deux solutions correspondant/~ deux valeurs opposdes de x 1. On remarquera que l'une est C ~~ et que l'autre pr6sente un point anguleux o~ elle admet --i comme d6riv6e ~ gauche et 4- I comme d~riv~e ~ droite. Enfin, dans le cas T>T(x0, Xl) , le probl~me (~) n'a pas de solution. Par contre, 28 DISCONTINUITIES DE CHAMPS HAMILTONIENS le probl6me relax6 (~**) en a une, qui consiste k agr6menter la bisolution limite de la figure z 3 d'un s6jour k l'origine dont la dur6e sera exactement T--T(x0, xz). Xo~ xl=a T(xo xl) ID t X 0 X X 1 a Fm. z 3 Pour mieux comprendre ce qui se passe, remarquons que le crit~re choisi est constamment positif ou nul, et n'est nul que si xZ=(i--~)~=o. On rdaliserait donc certainement le minimum de l'int~grale I(x) en prenant une courbe x(.) telle que x(t)=o et ~(t) =  z sur [o, T]. Malheureusement, ces deux exigences sont contradictoires. On ~(o xl=a t o x xl-,-a FIG. 14. -- "r est un point anguleux pour une des solutions et un point d'inflexion pour l'autre ne peut les r6aliser que de mani6re approch6e, par des fonctions a/fines par morceaux mais continues, de ddrivde + I, convergeant uniform6ment vers la fonction nulle. D'ofl le comportement d'une solution approchde de (~) : -- passer de x 0 ~t o de mani~re optimale, c'est-~-dire emprunter sur l'intervalle de temps [o, o~] la solution de la figure 13; -- sur l'intervalle de temps [o~, ~ +T--T(x0, xl)], osciller autour de l'origine, c'est-~-dire maintenir simuhandment x voisin de o et ~ voisin de + I, -- passer de o ~t xl de mani6re optimale, c'est-k-dire emprunter sur l'intervalle de temps [o~+T--T(x0, xl), T] la derni~re partie de la figure 13. 29 IVAR EKELAND 3o ~p Xo Xl-- Xl--a FIG. 15 6. Remarques diverses. I. Tous les r6sultats prdc~dents d~pendent essentiellement du fait que les cri- t~res f(x, ;c) considdr~s, et donc les hamiltoniens H(x,p) associds, sont ind~pendants du temps T. La situation associ~e ~ des crit~res f(t, x, Yc) et des hamiltoniens H(t, x, p) est extr~mement diff~rente. Supposons par exemple que h(s)>~cs2+d, avec c>o, c'est-k-dire que la croissance soit au moins quadratique en ~; on montre alors (cf. [7]) que pour tous (f, x0, xl, T)EC~~215215215 il existe une fonction geL2(o, T; R n) de norme arbitrairement petite telle que le probl~me : rain f: (f(x(t), ~(t))+g(t).~(t))dt, x(o) =x0, x(T)=xl ait une solution unique. 2. L'analyse de El, et en particulier la loi de la rdfraction et la description des singularit~s g6n6riques de type I, fait simplement intervenir le fait que le hamil- tonien H(x, p) s'dcrit localement comme l'enveloppe infdrieure de deux fonctions r~gu- libres. Elle restera donc valide pour les problbmes de contr61e optimal : dx dt =g(x, u) x(o) = x0, x(T) = X 1 u(t) EK T x min fo f( , ~)dt dont le hamiltonien H(x,p)=p.g(x, u)+f(d;, u) poss6de la marne propri6t6. 3. L'extension des r6sultats des w167 3, 4 et 5 au cas n>I prdsente deux difficultds majeures. Tout d'abord, l'6quation H=cste ne suffit plus ~ caract6riser les bitrajectoires; elle d6crit simplement une hypersurface sur laquelle tournent les bisolutions. En outre, 30 DISCONTINUITIES DE CHAMPS HAMILTONIENS on doit s'attendre ~t trouver des bisolutions relax6es qui ne sont ni originelles ni r6duites ~t des points ni un m6lange des pr~cddentes. En effet, soit ~, k<<.2n, le lieu des (x,p) tels que la fonction W(x,p, .) atteigne son minimum en k+i points distincts u0,..., u k. C'est en gdndral une sous-vari6t6 de codimension k dans Rn� R n, et en chacun de ses points le deuxi6me membre des formules (5-3)-(5.4) s'dcrit : r(x, p)= co{(u0,Z(x, Uo)), ..., (uk,Z(x, uk))). Notons T(x, p) l'espace tangent ~t Y,~, en (x, p). Dans R'� ~ on a done un poly~dre F(x, p) de dimension k, et un espace vectoriel T(x, p) de codimension k. S'ils sont en position gdndrale, ils se coupent en o ou I point. I1 faut donc s'attendre k trouver dans Y~ un ouvert sur lequel F(x, p)nT(x, p) d6finit un champ tangent ~ X~ et satisfaisant (5.3)- (5.4)- Les courbes intdgrales de ce champ sont des arcs de bisolutions du probl~me relax6 tracdes sur 2~. 4. Enfin, on pourrait songer ~ dtendre ces r6suhats ~ des probl~mes variationnels du type : inf faf(x(r Ax(co))d~ x(o))do~ grad ou : inffaf(x(o~), avec des conditions aux limites convenables (cfi [6]), ce qui paralt hors de portde pour l'instant. 5. Ind~pendamment, M. Chaperon [I3] et F. Takens [I4] ont analys6 les singularit~s d'~quations diff~rentielles implicites. Leur ~tude porte sur des catastrophes de bifurcation alors que la n6tre porte sur des catastrophes de conflit. On a donc main- tenant l'embryon d'une tMorie qualitative des dquations diff~rentietles muhivoques. N. Hoffman [9] a pouss6 plus ~ fond 1'analyse de la singularitd de type IIb, dans un cas particulier. BIBLIOGRAPHIE if] ABRAHAM et R,OBBIN, Transversal mappings and flows, Benjamin, 1967. [2] BR6CKER, Differenzierbare Abbildungen, Universit~tt Kegensburg, 1973. Traduetion anglaise " Differentiable germs and. catastrophes ", London Math. Soc. Lecture Notes, n ~ 17, Cambridge Univ. Press, I975. 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Publications mathématiques de l'IHÉSSpringer Journals

Published: Aug 4, 2007

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