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Die Euler-Charakteristik von Vereinigungen konvexer Mengen im Rd

Die Euler-Charakteristik von Vereinigungen konvexer Mengen im Rd Die Euler-Charakteristik yon Vereinigungen konvexer Mengen im R ~ Von Ji~RGEN ECKHOFF I. Einleitung Als Konvexring im R ~ bezeichnen wir--etwas allgemeiner als HADWmER [8]--das System ~ aller Vereinigungen yon endIich vielen abgeschlossenen konvexen Mengen im R d. Definitionsgem~/~ gehSre die leere Menge O zu ~; es gilt dann X, Ye~ ~ X n Y, X w y e~fd, und ~d ist das kleinste Mengensystem mit dieser Eigenschaft, das alle abgeschlossenen konvexen Mengen im R d enth~lt. Wie HADWIOER [8] und KLEE [12] elementargeometrisch gezeigt haben, besitzt ~'a eine Euler-Charakteristik, d.h. es existiert ein eindeutig be- stimmtes Funktional X: ~'~ -'~ Z1) mit X--O X~O fiir konvexe Mengen X e ~f~ und (2) x(X) + x(Y) = x(X n Y) + x(X u r) fiir beliebige Mengen X, Y 9 (gd. Die Euler-Charakteristik stimmt auf (g~ mit der gleichnamigen Invarianten der singul~ren Homologietheorie iiberein; fiir ihre Bedeutung innerhalb der kombinatorischen Geometrie und das Problem ihrer Fortsetzung auf umfassendere Mengensysteme vergleiche man [2], [4], [5], [6], [7], [8], [9], [12], [14] und die in diesen Arbeiten zitierte einschlagige Literatur. Wir betrachten hier fiir jede natiirliche Zahl n--das System ~d aller Vereinigungen yon n nichtleeren abgeschlossenen konvexen Mengen im R ~. http://www.deepdyve.com/assets/images/DeepDyve-Logo-lg.png Abhandlungen aus dem Mathematischen Seminar der Universität Hamburg Springer Journals

Die Euler-Charakteristik von Vereinigungen konvexer Mengen im Rd

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References (15)

Publisher
Springer Journals
Copyright
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Subject
Mathematics; Mathematics, general; Algebra; Differential Geometry; Number Theory; Topology; Geometry
ISSN
0025-5858
eISSN
1865-8784
DOI
10.1007/BF02941422
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Abstract

Die Euler-Charakteristik yon Vereinigungen konvexer Mengen im R ~ Von Ji~RGEN ECKHOFF I. Einleitung Als Konvexring im R ~ bezeichnen wir--etwas allgemeiner als HADWmER [8]--das System ~ aller Vereinigungen yon endIich vielen abgeschlossenen konvexen Mengen im R d. Definitionsgem~/~ gehSre die leere Menge O zu ~; es gilt dann X, Ye~ ~ X n Y, X w y e~fd, und ~d ist das kleinste Mengensystem mit dieser Eigenschaft, das alle abgeschlossenen konvexen Mengen im R d enth~lt. Wie HADWIOER [8] und KLEE [12] elementargeometrisch gezeigt haben, besitzt ~'a eine Euler-Charakteristik, d.h. es existiert ein eindeutig be- stimmtes Funktional X: ~'~ -'~ Z1) mit X--O X~O fiir konvexe Mengen X e ~f~ und (2) x(X) + x(Y) = x(X n Y) + x(X u r) fiir beliebige Mengen X, Y 9 (gd. Die Euler-Charakteristik stimmt auf (g~ mit der gleichnamigen Invarianten der singul~ren Homologietheorie iiberein; fiir ihre Bedeutung innerhalb der kombinatorischen Geometrie und das Problem ihrer Fortsetzung auf umfassendere Mengensysteme vergleiche man [2], [4], [5], [6], [7], [8], [9], [12], [14] und die in diesen Arbeiten zitierte einschlagige Literatur. Wir betrachten hier fiir jede natiirliche Zahl n--das System ~d aller Vereinigungen yon n nichtleeren abgeschlossenen konvexen Mengen im R ~.

Journal

Abhandlungen aus dem Mathematischen Seminar der Universität HamburgSpringer Journals

Published: Aug 28, 2008

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