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Bifurcations De Points Fixes Elliptiques

Bifurcations De Points Fixes Elliptiques III. -- OR.BITES P~RIODIQUES DE << PETITES. PP~RIODES ET P~LIMINATION RP~SONNANTE DES COUPLES DE COURBES INVARIANTES par AnON CHENCINER TABLE DES M_ATI~RES O. Introduction ............................................................................ 6 I. ~ Bons ~ rationnels .................................................................... 8 lo0 ............................................... 9 ..................................... lol ..................................................................................... 9 2. Far~iIles analytlques g~n~rlques et souvenir des r~sonances proches .................... 19 2. I, Formes norma]es r~sonnantcs .......................................................... 19 2.2. R~duction des formes normales ~ ]eur pattie slgnifiante et interpolation par une famille d'~quat/ons diff~rcntielles ........................................................................ 26 3. Fonctlons de Liapunov ................................................................. 31 3. I. Loin des i|es de hombre de rotation p/q ............................................... 31 3.2. Dans lcs lles de nombre de rotation p/q ................................................ 38 4. Existence de bons chemin$ d'~llmlnatlon r~sonnante ................................... 4. I. Existence des courbcs invariantcs ...................................................... 4.2. Recol]ement des bassins .................................. ; ........................... 5. Orbites p~riodJques hyperboliques et leurs orbites homoclJnes .......................... 56 5. I. Existence d'orbitcs homoclines ......................................................... 56 5.2. Les families g~n~rlqucs ............................................................... 62 6. Orbices p~riodlques ell/ptiques et leurs bifurcations de Hopf ........................... 70 CONCLUSION ................................................................................ APPENDICE : ZOOLOGIE DES ~UATIONS DIFF~RENTIELLES I~, a, ~t ................................... BIBLIOGRAPHIE .............................................................................. A la m6moire de Jose Argemi O. INTRODUCTION Faisant pendant, dams notre dtude des families de diffEomorphismes locaux du plan, au premier article de la sErie ([5]) consacrd aux ensembles invariants dont le nombre de rotation est un ~ bon >> irrationnel, celui-ci 6tudie les ensembles invariants dont le hombre de rotation est un ~ bon >> ratiormel. Les premiers se sont avErEs ~tre nEcessai- rement des courbes ferm6es sur lesquelles le diff6omorphisme est diffErentiablement conjugu6 k une rotation ergodique; nous trouverons ici des orbites pEriodiques bien ordonn6es (voir [6]) et des orbites homoclines ~ celles-ci. De plus, la robustesse des courbes fermEes invariantes, qui se manifestait dans [5], w 2.3, par l'existence de ~ bons >> chemins d'Elimination d'un couple de teUes courbes, se retrouve ici de fa~on surprenamte : on prouve en effet l'existence r gEn~rique >> de ~ bons chemins d'dlimination rEsonnante >> d'un couple de courbes invariantes dams lesquels les courbes persistent jusqu'k (et au-deltL de) l'apparition dans l'anneau qu'elles d6terminent d'une orbite pdriodique de ~ bon >> hombre de rotation dont les variEt6s invariantes vont servir de guide au processus d'~limination (fig. 19, 20). Les ~, boris >> rationnels p/q sont dEfinis dams le premier paragraphe, ot~ aucune hypoth~se de gEn6ricit6 n'apparait. Ce sont essentiellement ceux dams lesquels q est assez ~ petit >> pour que l'it6r6 q-i~me du diff6omorphisme soit encore proche dans la topologie C 1 de l'it6r6 q-i~me d'une forme normale dams la region du plan of 1 l'on s'attend trouver des orbites pEriodiques du nombre de rotation considEr6 (comparer /~ [13]); ce sont ~galement ceux pour lesquels les applications A~.t introduites dans [6] s'Etudient tL l'aide du seul th6or~me des fonctions implicites. Toute orbite pdriodique ayant un bon hombre de rotationp/q est nEcessairement bien ordonnEe (*) ; plus pr6cisdment, par l'ensemble des orbites ayant ce nombre de rotation, on peut faire passer une courbe ferm6e lisse coupant chaque rayon transversalement, sur laquelle, dams des coordonnEes bien choisies, le diff6omorphisme agit au niveau angulaire comme la rotation R~/~. Une telle courbe est obtenue en considEramt l'ensemble des points transformEs radialement par l'itErE q-iEme du diff~omorphisme (comparer ~ [12], [15], [3], [4]). Par un changement de coordonnEes suffisamment proche de l'identit6 pour ne pas perturber la forme normale associEe au diff~omorphisme, on peut transformer cette courbe en un cercle (qui contient donc les 6ventuelles orbites pdriodiques de nombre (*) II est sous-entendu dans la suite qu'il s'agit d'orbites de p~riode q. BIFURCATIONS DE POINTS FIXES ELLIPTIQ,UES de rotation p]q) de fa~on que, darts les nouvelles coordonn~es, chaque orbite pfiriodique de nombre de rotation p/q soit ~galement une orbite de la rotation Rvja (comparer ~ [9] chapitre IV). Darts la situation gfinfirique du deuxi&me paragraphe ces orbites p~riodiques s'interpr&tent comme le souvenir laissfi par une r~sonance p[q tr~s proche (comparer [1], [15]); la restriction du diff~omorphisme A un anneau contenant toute sa r~cur- rence non triviale apparalt alors, dans les coordonn~es ci-dessus, comme la perturbation d'une ~ forme normale r~sonnante ~ invariante par Rv/r De pr~cieux renseignements sur la dynamique du diff~omorphisme sont obtenus en remarquant que cette forme normale est naturellement approchde par le composd avec Rv/q de la solution au temps 1 d'une fiquation diff~rentielle (en fait une ~quation du second ordre) invariante par Rv/~ et ayant exactement pour ensemble singulier la rfiunion des orbites p~riodiques de nombre de rotation p/q (comparer k [15], [3], [4], off cependant l'dquation diff~rentielle consi- ddrfie d~pend -- tr~s peu -- du choix d'un point p~riodique particulier, ce qui rend malais~e l'~tude des bifurcations faisant disparattre ce dernier). La famille ~ deux param&tres d'~quations diff~rentielles ainsi obtenue est fitudifie dans l'appendice; ses propri~t~s jouent un r61e fondamental darts les derniers paragraphes, consacr~s ~ l'analyse d~taill~e de la situation g~nfirique : Dans les w167 3 et 4 on montre que les ~ bulles ~ (dont le compl~mentaire correspond aux valeurs des paramStres pour lesquelles le diff~omorphisme ~< ressemble ~ A une forme normale, voir [5] w 2.3) ont une taille de gu~pe au voisinage des points y~t~ correspondant ~ de bons rationnels p[q (fig. 19) : une petite portion de leur bord coincide avec le bord de la langue de r~sonance Cl~a (ensemble des valeurs des param~tres pour lesquelles le difffiomorphisme poss~de au moins une orbite pdriodique bien ordonn~e de hombre de rotation p[q, voir [6] w 1.2). Le long d'un chemin transverse A (~v~ et passant darts cette rdgion, la dynamique du diff~omorphisme est tr&s bien contr61fie : on montre en particulier qu'~ la premiSre et ~ la derni~re bifurcation elle ne diff~re d'une dynamique de forme normale que par la presence d'une unique orbite p~riodique de hombre de rotation p[q. Les ph6nom&nes complexes qui se passent pour les valeurs des param~tres k l'intfi- rieur de la langue Cv~a sont l'objet du paragraphe 5, inspir~ de [15], et du paragraphe 6 of~ il semble que route l'histoire puisse recommencer; une partie des rfisultats du para- graphe 5 a fitfi annonc~e darts [3] et [4] : rappelons que, comme dans les autres articles de cette s~rie, c'est la prfisence d'un param&tre (ici un frottement dans une ~quation voisine de celle du pendule) qui remplaee l'hypoth~se de conservation des aires. Je tiens tout particuli&rement k remercier Dick Mac Gehee, Michel Herman, Phil Holmes, Jacob Palis, Eddy Zehnder, Jean-Christophe Yoccoz : l'intdrfit qu'ils ont manifest6 pour ce travail m'a donn~ l'6nergie n~cessaire k sa completion k un moment off peu de choses allaient de soi. Merci 6galement au referee d'avoir sugg6r6 les nota- tions 2, ~ qui ont rendu moins illisible le w 4. Merci enfin k J. Tits pour son titanesque travail d'fditeur. Les grandes lignes de ce travail ont 6t6 annoncdes dans [7]. 1. a BONS ~ RATIONNELS 1.0. Dans les deux premi6res parties de ce travail nous avons commencd l'dtude des familles /~ deux param6tres de diff6omorphismes locaux C ~ (analytiques) de (R ~, 0) de la forme suivante ([5] formules (11) et (20)) : P~,.(z) = N~,.~(z) --k O(I z ]2"+s), N~,~(z) = z[1 +f(~, ~, I z r)] e*~'~'~'l'"', f(m a, X) -- ~ + aX + a2(~, a) X* + ... + a~(~, a) X', (1) a,(0, 0) = -- 1, g(II, a, X) = bo(bt , a) + bi(p. , a) X + ... + b,,(~, a) X", Obo h(0, 0). 0, ~0 = 2-ffg~ (0, 0) + b~(0, 0). 0. Rappelons que l'on peut mettre sous cette forme les familles << gdndriques ,~ ~, 2 param~tres, qui ddploient un diff~omorphisme local de (R *, 0) ayant les propridtds suivantes : 1) La ddrivde en 0 est conjugude ~ une rotation R~. d'angle 2~too = 2nbo(O, 0), qui vdrifie R~. Je Identitd pour 1 ~< q ~< 2n -[- 3. 2) L'origine est un attracteur ~< tr~s faible ~,, de codimension formelle 2 au sens de ([5] w167 et 1-2). Soit to un rdel assez proche de too = bo(0, 0) et vdrifiant (1/Bo) (to -- too) ~ 0; darts les coordonndes (0, p) (qui ddpendent de to, ~, a) ddfinies darts T i x [-- 1/2, 1/2] par les formules (30) et (43) de [5], l'application P~,a ou plut6t un rel~vement R x [-- 1/2, 1/2] est ddcrite, lorsque (~, a) appartient au << carrd ~, ~,o ddfini dans le lemme 1 de [5], par les formules (*) (voir [5] formules (44), (45) = (119) ou [6] for- mule (7)) : P~,a(0, p) = N.,~(0, p) + (0, ~"~ ~,~,~(0, p)), (2) n~,,(0, p) = (0 + to + ,r,o p, v' 4- (1 + r p + s' p' 4- ~ a~ p') = (0 + to + ~ p, p + ~ n~,~,o(p)), off %, est de l'ordre de I to -- too [, ~,o,~,~ est une fonction C ~~ (analytique) si P~,,a est C ~ (analytique) et est bornde en norme C k (pour tout k) sur T i � [-- 1/2, 1/2] uniformd- Ss (*) Rappelons que, dam ces formules, ~', r et les a~ sortt des fonctiom de (iz, a). Voir en particulier les formules (31), (34), (45) de [5]. BIFURCATIONS DE POINTS FIXES ELLIPTIQUES ment par rapport ~ co voisin de COo, ([z, a) ~ ~. On sait ~galement que ,', r forment un syst~me de coordonn~es dans ~,~ qui est approximativement d6fini par (3) I~'1~< c~, 1r c~, off c est une constante, et qu'on remplacera souvent par (confondra souvent avec) le ~ carr6 ~ ~ exactement d6fmi par ces in~galit6s. Enfin, s' est n6gatif et de l'ordre de -~, et les a~ sont respectivement de l'ordre de ~-1. On a rappel~ ~ la suite du corollaire du lemme 3 de [6] que toute orbite r~currente de P~,, est, lorsque (~, a) e 9~ (ou ~), contenue darts un anneau de la forme I P I ~< nv~ ~ off A est une constante (essentiellement l'anneau A~+(~, a) de la formule (117) de [5]); le corollaire cit~ affirmait quant ~ lui que tout ensemble invariant d'Aubry-Mather de P,,~ de hombre de rotation co v~rifie, toujours lorsque (~, a) appartient ~ 9~ (ou 9:,), l'estimation beaucoup plus fine I P I ~< A~. I1 d~coule enfin du lemme 2 de [6] (off l'hypoth~se de pr6servation de l'ordre n'intervient pas) que si P~,~ poss~de une orbite r~currente dont le nombre de rotation existe et vaut co, (~, a) appartient n6cessairement ~ l'union de ~ et de Jr en particu- lier, si (~, a) n'appartient pas ~ 9,o, toutes les orbites r~currentes de P~,~ de nombre de rotation co appartiennent k une mame courbe ferm~e invariante. Dans la suite nous supposerons que o~ = p/q est rationnel (la fraction p/q ~tant (crite sous forme irrddudible) et nous omettrons souvent l'indice ~ (par exemple v = %/~, ~ = ~/~, = ... ). 1 1. Nous commen~ons par comparer P~ ~ N ~ dans l'esprit du lemme 1 de [13]. 9 I/.,G IL,~ Dans le lemme qui suit il est bon de garder ~ l'esprit que 9 = "%/~ est de l'ordre de I (p/q) - ,,,o I. Lemme 1. ~ Si q'c ~est assez petit, PJ~,, (et N~,,) sont dgfinis, pour tout (~, a) dans ettoutentierjcomprisentre letq, surl'anneau T 1 � I~ = l(0, p), [ ply< 2(q -- 1) -- (j -- 1)1 et y vgrifient les estimations 4(q -- 1) t P~,~(0, p) -- N~,.(0, p) = (~0 'j,, ~p'~'), avec (4) [ ~O,J, [ ~< 2Loj~.~,,+l, [ ~p,,, [ ~ < 2Lojx. ' ]l D* P~,~(0, P) -- D k N~,~(0, p)[] ~< jO(.") e '~ ot~ Lo est le sup de [ ~,~, ~,,,(0, O)[ pour co proche de COo, (~, a) ~ ~o, et (0, 0) E T 1 � [-- 1[2, 1[2]. Les 0 ddpendent de k mais non de j entre 1 et q, ni de (~, a) dans 9, ni de (0, P) ~ TX � I~, ni de co =p[r En particulier, pour 1 ~ j ~< q, P~ et N~ ~ sont d6finis sur T t � [-- 1/4, 1[4]. Corollaire. m Soient C un hombre rgeI positif et k un entier positif. 1"l existe un hombre rgel positif cx(C, k) tel que, si q I(Plq) - % I < c et I(P/q) - % I < 1(c, k), P' et N ~ 2 10 ALAIN CHENCINER soient dgfinis sur T ~ x [-- 1/4, 1[4] D T ~ x [-- Av u*, A~ u*] et vgrifient pour 1 ~ j <<, q l' estimation ") (5) l] P:,,o -- N~,~ I],~ O(,~"-*) = O -- c% , dans laquelle II ][, d~signe la norme C ~ sur les applications de R � [-- 1/4, 1/4] dans R � IR, et le 0 d~pend seulement de Get k. Remarque. -- Si ~0 est irrationnel, les rEduites p./q. du dEveloppement de (~o en fraction continue vErifient q. [(p./q.) --%]< l/q.. Quels que soient C et k, il existe done une infinite de rationnels p/q vErifiant les hypotheses du Corollaire. Si ~00 ----p'lq' est rationnel, la m~me conclusion vaut ~ condition que C soit supErieur ~ l/q'. Dgmonstration du lemme 1. -- On dEduit de (2) que, si (~, a) ~ ~, PJ s'Ecrit (tant ~,~ qu'il est dEfini) : P~,.(0, p) ---- (0 (j', Oo,), #' = p + :[n~.o(p) + ... n~.~(#-")] (6) H- ~"[~,o(0, p) H- ... + ~,,(0 ~ po-,,)], 0(~ = 0(J-~ + P- + ~p~-~. Si K e -~ sup I II~,,,~(p)[, L o = sup I ~,~,a( 0, P)I, off les sup sont pris sur l'ensemble des (~ proches de (~o, (~, a) e ~, (0, p) e T i � [-- 1/2, 1/2], on a donc (7) I #' - o I~ J[: K0 + : L0]. Supposons qv* assez petit pour que (q -- 1) [~* K o + ~" L0] ~< 1/4 : P applique alors Tax Ij dans T~� I~_~, ee qui implique P'-a(T 1 � Ij) C T' � I~ = T 1 � [-- 112, 1/2] et montre que P~ est dEfini sur T ~ � I~. La demonstration pour Nest bien entendu identique ~ ceci pros que ~ -= 0. Maintenant, on dEduit Egalement de (2) que ~0 (j~ = ~0 (~-~ 4- '~O(~-~, (8) ~p,~, = ~p.-', + ~2 n~.~(~ + ~#-~,) - : n~.~(~) + ~" ~(~ + ~0 ('-", ~ + ~p(~-"), off on a not~ N~.~(0, 0) = (0, P). En particulier, si K x = sup ]1DrI~,~,o(P)ll, o~ ~e sup est pris sur les o~ proehes de %, (~, a) ~ ~,o, I P ] ~< 1/2, on a (9) I ~'" I ~ (1 + : K1) I ~O(i-~) [ "~- .on L0 ' d'ofl on dEduit faeilement les estimations sur [ B0(w~ [ et [ 80(w' I par recurrence. BIFURCATIONS DE POINTS FIXES ELLIPTIQUES I1 Pour ~valuer les d&iv&s des it~r~s de Net P on calcule DN~.,(0, p) = 1 + ~ H~,.(p t (1 . ) (lO) DP~,~ p) = o~,. . o~,. 9 ---/g- (o, p) 1 + § n~,~ +. ~ (o, p) I) ~ N~,o(0, p) (a, b, a', V) = (0, ,' n'~~ W), etc. On constate que (on a omis les indices ~, a et not6 II DN II = sup I1DN(0, o)II o~ (0, p) e TX x [-- 1/2, 1/2]) : II DN II -- 1 + o(,) .< e ~ (11) [[D~N]] =O(~ ~) pour k>l 2, IID~P--D~NII=O(.") pourk~> 1. Lorsquej > 1, on raisonne par r&urrence sur k A partir de la formule (de Faa-di- Bruno): (12) Dk(fog) = 2~ Xv,[(D"f)og] (D'xg, ...,D'mg) darts laquelle la deuxi6me somme est prise sur les m-uplets i----(ix,..., i,,,) d'entiers >I 1 de somme k, et les coefficients q sont universels. Plus prdcis6ment, montrons que I1 DNr I I < e~~ (is) IID ~ N' II -< JO(~=) e'~ pour k >t 2, II D'P' -- D*N' II ~<JO("r*) e~~ pour k/> 1, off, pour un it6r6 d'ordrej, [1 [[ d6signe le sup sur T x X Ij. La premi6re inggalit6 est dvidente ~t partir de (11). En se rappelant que N applique T x x I~ dans T x x I~_ 1 on dgduit de (12) appliqu6 ~tf=N ~-1, g___N, que pour k/> 2 (14) II D*N' II-< ~o,., II D* N'-~ II + O(,e) e `'~ -1, ~ k--1 + Z Y~ I c, I o(- ~) e'k-~'~ II D'~ N'-~ II. t/t--2 t Dam la derni~re somme, iest un m-uplet d'entiers >i 1 de somme k; dans chacun des termes Pun au moins des indices est donc strictement sup6rieur ~t 1. En particulier, (15) II D = N' II -< e~ II D ~ N'-* II + O(§ e'~ et donc II I) * N' II ~< jO(:) e'~ 12 ALAIN CHENCINER L'estimation de II N' [I indiqude clans (13) s'obtient de m6me par r6currence sur k (se rappeler que qz~ est born6 pour obtenir pour tout k une estimation analogue h (15)). Enfm, en appliquant (12) successivement ~t f= P~-~, g = P etf = N ~-l, g = N, on 6crit (16) D ~'P~-D ~'N ~= Z Zc,(A,+B,+C,), "tn. -- 1 'f off A~ = [(D ~" P~-~) o P -- (D '~ N ~-~) o P[ (D q P, ..., D ~ P), B, = [(D ~N '-~) o P -- (D ~N '-~) o N[ (D ~P, ..., D'~ P), (17) C, = [(D '~ N J-~) o N[ (D q P, ..., D'- P) -- [(D" N j-~) o N[ (D h N, ..., D ~- N). On ddduit alors de (11) et (13) que (18) II D~P~ -- D~NJ II < d'~ I[ Dk P~-' -- D~NJ-X [I /~1 + O(v') e 1~ lI D - D" N'-' I1 +JO("P+') d~ et enfin la derni~re estimation de (13) par r~currence sur k, ce qui termine la d~mons- tration du lemme 1 (on remarquera qu'on peut initier la r~currence en estimant [] DPJ -- DN~ II ~ partir de (18), ou directement par la mfithode de [13] qui donne d'ail- leurs le meme rdsultat). Le corollaire est immddiat. 1.2. Nous introduisons maintenant un changement de variables du type ~ moyennes )) qui remonte, semble-t-il, ~ Bochner; des formules analogues ont par exemple 6t6 utilis6es par Herman dans le probl6me de la conjugaison d'un diff6omorphisme du cercle ~ une rotation, et par Iooss dans l'6tude des orbites pfriodiques qui apparaissent par bifur- cation de Hopf d'un diff6omorphisme. D6s que q~ est assez petit, l'application 1 qI1 (19) H~ , a = - ~; R~5~ o N ~,a, ~ (lz, a) e~, q j=0 est bien d6finie de T i X [-- 1/4, 1/4] dans T i X It (resp. de R x [-- I/4, 1/4] dans R x (R) [R~(0, p) = (0 + ~, p), et la somme dans (19) est au sens de la loi de groupe additive sur T i x R (resp. R x R)]. C'est de plus un diff6omorphisme sur son image : pour le d6montrer on remarque que, comme R~/q et N~,,, H~, ~ commute avec les rotations, ce qui r6duit d'une dimension le probl6me; la conclusion vient de ce que le passage au barycentre conserve la pro- pri6t6 d'etre strictement croissantes pour les applications de It dam It. BIFURCATIONS DE POINTS FIXES ELLIPTIQUES 13 F_axfin, R~y~ commutant aux barycentres, on a H~,,. o N~,,. 1 ~-~ N~+~ q .r 1 q--1 -= R~/~ o E R -(~+~' N ~+~] ~j-o ,/, o .,oj ~--- R=m o (R-~g o N. -- Id)] IN~ = R~I ~ o autrement dit 1 Nq -1] (20) I-I~,o o N~,. o H.-~. ~ = R.,. o Ia + ~ ( .,. - R.) o H~,o. En notant NLo(o o, po) = (o'g,, 0'o% (21) (0, p) = H,.o(0o, Po) = q ,-0 '~ ,-o'~ }, on obtient o o rI~,~(0, p) H~,. Nbt t tt - ' = (o + CPlq) + (lie)(0cg , - 0o-p), p + (lie)(p~g' - P0)); mais qm 1 0,:, = 0,g -~, + (Mq) + ,P'o'-" = . = 0o + p + 9 E P'd (22) "" s-o = 0 o + P + q'~p, ce qui fournit finalement l'expression (23) H~,~ o N~,~ o H~,~(0,-1 p) = (0 + (p/q) + xO, p + (l/q) (O~0 a' -- Po)). H.,. applique donc le cercle (d'dquation 0(o ~> = 0 o + p) des points traslsform6s radiale- ment par N ~ (plus exactement par R~lo N ~ si on se place dans le rev~tement) sur [s [L,(I le cercle (d'dquation 9 = 0) des points transform6s angulairement par H~,~ o N., a o H~,z~ d'un angle p[q (cercle translat6 de nombre de rotation p[q dans la terminologie de [5]). Lorsque N~, a poss~de des orbites pdriodiques de nombre de rotation p[q, ces deux cercles se confondent avec l'ensemble de ces orbites, en restriction auquel N~, a et H~,. o N~,~ o H~,~ coincident avec la rotation R~y~. Le lemme suivant dit simplement que, sous des conditions analogues A celles du lemme 1, on peut associer h P.,. un changement de variables K., a ayant des propri6t6s semblables. 14 ALAIN CHENCINER Lemme 2. -- Soit C un hombre r~el positif et k un entier positif. Il existe un hombre rgel positif r k) tel que, si q P--~0[<C et [P -- c%l < r la formule (24) K~,.,, 1 q-1 = - N R,5 ~ o P~ q J-0 ddfinisse, pour (Vt, a) ~ ~, un diffdomorphisme de classe C = de T I � [-- 1[4, 1[4] sur son image dans T 1 � R ayant les proprigtds suivantes : 1) L'image rgciproque par Kv.,,, du cerde d'dquation (p = 0) coupe transversalement chaque rayon (0 = constante) et cofncide avec l'ensemble des points transformgs radialement par P~ (R~ "1 P~ dans le revStement universel) (comparer ~ [3], [4]); 0 IiGa 2) Au niveau angulaire, K~,,aoP~,,,,oK~.~ agit sur le cerde (p = 0) comme la rotation R~t ~. En particulier, chaque orbite pgriodique de Kt,,.o Pt~,,~o K~.~ de hombre de rotation p[q est dgalement une orbite de la rotation R~,/~; (3) Sur T 1 � [-- 1[4, 1/4], on a [I K~,.,, -- H~,,,, [I,~< O(x"-a). Corollaire. -- Sous les hypothkses du lemme 2, l'ensemble des points pgriodiques de hombre de rotation p/q de P~,,~ est bien ordonnd (au sens de [6]). D6monstration. -- Que K~,. soit un diff6omorphisme sur son image ddcoule immd- diatement de l'assertion analogue concernant I-I~,. et des estimations (25) t II K~,~ -- H.,~ IIo~< q~ o(..~ .n+l) + qO(.~ -9;) ~ o(.~-'-1), II D* K~,o -- D* H~,o IIo <~ qO(~") e'~ <~ O(~"-1), qu'on d6duit du lemme 1 d6s qu'on a remarqu6 que K~,. H.,~ 1 q-1 -- = - ( .,. -- N.,.). E P~ q~-0 La partie de l'assertion (1) concernant la transversalit6 dEcoule de ce que la courbe considErEe est Gl-proche du cercle image r6ciproque par I-I~,~ du cercle &Equation (p ---- 0). L'assertion (2) est contenue dans les formules [ 1p~ -1] (26) K~,. o P~,. o K~.~ = R~,/. o Id + q ( ~,~ -- R.) o K~,. , (27) )K~,~oP~,.oK~_~(0, O) =(0+P-+-rp, ),q pq-~(p~'--go) off K~,.(0o, Po) = (0, p), P~,.(0., Po) = (0(o ", P(o"), qui s'obtiennent exactement comme (20) et (23). BIFURCATIONS DE POINTS FIXES ELLIPTIQ.UES 15 Q.uant au corollaire, il d&oule de (1) qui rend ~quivalentes les assertions sur l'ordre angulaire des orbites p&iodiques de nombre de rotation p[q pour P~,~ et K~, ~ o P~,. o K~, ~. Le changement de coordonn&s d~fini par K~,. met donc P~,. sous une forme particuli~rement propice k l'&ude des orbites p~riodiques de hombre de rotation p/q : (i) ceUes-ci appartiennent toutes au cercle d'dquation (p = 0); (ii) eUes sont 6galement des orbites de la rotation R~I q- Malheureusement, ce changement de coordonn&s n'est pas C~-proche de l'Iden- titd (*) et perturbe donc les formes normales. Ceci est particuli~rement flagrant dans le cas off P.,. est remplac~ par N~,. et K~,. par H~,. : des orbites pdriodiques de N~,. de hombre de rotationp/q n'existent que siv' ----- 0, et elles poss~dent alors les propri&ds (i) et (ii); la restriction de H~,. au cercle d'dquation (~ = 0) est l'identit6 mais H~,. n'est pas C~-proche de l'identit6 et son utilisation n'apporte que des ddsagr~ments. I1 semble alors naturel de remplacer K~,o par le diffdomorphisme (28) ~4g. = I-i-]~ o K~,. dont les propri6t~s sont 6nonc&s dans le lemme suivant : Lemme 8. J Sous les hypot~ses du lemme 2, avec gventuellement un r plus petit, ~,. est un diffgomorphisme de T x � [-- 115, 1/5] D T x � [-- A. 1/~, Ax ~/~] sur son image clans T ~ � [-- 114, 1/4] et vgrifie (29) [l ~r -- Id 1t~< O(."-*). 17 transporte la courbe des points transformds radialement par R~ z o P~,. sur le cercle des points transformds radialement par R~ -x o N ~,.. Enfin, en restriction ~ ses points pgriodiques de hombre de rotation p/q, ~r o P~,~ o..T'~-,] coincide avec la rotation R~I ~. Ddmonstration. ~ Si % est assez petit, on d6duit de (25) que K.,.(T ~ X [-- 115, 115])C H.,.(T z x [-- 114, 114]), qui implique la premiere affirmation du lemme. Pour obtenir l'estimation (29) on calcule qo(-r / ; DH2~ = (1 -+- qO(*2)0 1 + On d6duit alors (29) de (25) en utilisant les propri&6s standard de la composition. Le reste du lemme est 6vident ~t partir du lemme 2 si on se rappelle que H~,,. commute aux rotations. (*) Tom les C k signifient (( topologie C k ~ et n'ont, contrairement aux apparences, rien A voir avec (( C a la puissance h ~. 16 ALAIN On dEduit du lemme 3 et des formules (2) que (30) ~,, o V~,. o ~r2~(0 , p) = (0 + (p/q) + .co + "r "-~ ~,.(0, o), 0 + .c, n~,.(o) + .r "-~ 3~,~(0, 0)), ot~ %,. et [~,. sont uniformEment bornEes dans la topologie C ~ (la borne depend seule- ment des constantes C et k du lemme 2) et les points pEriodiques de o~g'~,,, o P~,. o o~e'~_a. de hombre de rotation p[q vErifient (31) "r o + "r "-x %,,.(0, O) = 0. Un dernier changement de variables (32) x = p + x "-~ %,,,(0, 0) nous amine ~ la Proposition 1. -- Soit Cun hombre rgel positif, k un entier lOositif. Il existe un nombre rgel positif r k) tel que, si (33) q P--t%[<C et P--c00 <r il existe des coordonnges (4, x), Ck-proches des coordonnges (0, 0), darts Tt � E- 1[5, 1/5] D T ~ x [-- Az x/2, A-d/a], dans lesquelles P~,,. s'gcrive (*) (34) P~,.(~,x) = 4+ +*x,v'+(l+r Z a~ ' x + ~"-~ V~,.(~, x) , ot~ y~,. est C~-bornge par une quantitg ne dgpendant que de C et k, et oi~ les points pgriodiques de hombre de rotation p[q sont donngs par les gquations x=O, (35) ~, + ._~ -~ ~.~,,.(~, 0) = 0. Nous appeUerons bon rationnel un nombre rationnel p[q satisfaisant (33) pour un certain couple (C, k) (volt cependant le remarque qui suit). Pour un tel rationnel, l'intersection (~v/q n ~v/~ du << carrE >> ~=tq = ~ avee la langue de resonance Clv/q (ensemble des valeurs de (~, a) telles que P~,. possSde au moins une orbite pEriodique bien ordonnEe de hombre de rotation p[q, voir [6]) est la projection sur ~ de la surface rEguli~re dEfinie darts ~ � T I (coordonndes v', r 4) par l'Equation ~' + ~"-~ V~,.(~, 0) = 0. (*) Nora fai~om dor~navant comme dam les articles pr&~dents l'abus de notation qui comiste a ne pas noter les diff~omorphismes de changement de variables : P~, a d~signe en fait le conjugu~ de P~, a par le compos~ de-~p,a et du changement de variables (32). CHENCINER DE POINTS FIXES 17 Cette surface est invariante sous Faction de R~/~ sur TZ; la figure 1 la repr~sente (i) dans le cas d'une forme normale N~,~ (il y a invariance sous tout le groupe des rotations et C~/~ : C~/~ est alors une courbe lisse), (ii) darts la situation g6n6rique 6tudi6e dans la suite de Particle, off son ondulation (r6duction du groupe d'invariance au sous-groupe engendr6 par R~/~) produit l'6pais- sissement en << langue d'Arnold ~ de C~. Le lecteur de [6] fera ais6ment le lien entre cette surface et l'application 8~,~ d6crite dans ce dernier article. ~(] ~/~ ~ C ~l~ FIO. I En conclusion de ce paragraphe, remarquons que notre d6marche est conforme l'esprit de la th6orie des formes normales : nous avons cherch6 des coordorm6es qui exhibent le plus possible les sym6tries de la famille P~,a; dans le cas d'un ~ bon rationnel ~ pig c'est la restriction de P~, a ~ l'ensemble de ses orbites pdriodiques de nombre de rotation p[q qu'on a pu rendre sym6trique. Remarque. ~ La mise sous forme normale peut 6galement 8tre effectu6e pour la restriction de P~,~ ~ l'ensemble des orbites p6riodiques dont le nombre de rotation p/q v6rifie des hypotheses analogues ~ (33) dans lesquelles co o est remplac6 par un ~ bon irrationnel )) co; il est done ldgitime d'appeler ggalement ~ bons rationnels ~ de tels hombres p[q, par exemple les rgduites assez proches de co du d~veloppement en fraction continue d'un ~ bon irrationnel ~ co. Dans le cas d'un diff6omorphisme pr~servant les aires, cette assertion d~coule essentiellement de la possibilitE de contracter sur un point une courbe fermEe invariante de ~ bon ~ nombre de rotation irrationnel co apr~s avoir mis le diff6omorphisme sous forme normale ~ un certain ordre au voisinage de cette courbe; on peut invoquer ~ga- lement le th6or6me purement topologique de Boyland et Hall ([2 ter]) qui suppose simplement l'existence d'une courbe invariante de nombre de rotation co mais ne fait aucune hypoth~se de nature arithm6tique sur co. ELLIPTIOUES BIFURCATIONS 18 ALAIN CHENCINER Darts notre cas, il faut partir des coordonn&s introduites dans la formule (131) du paragraphe 2.3 de [5] : tenant compte de la remarque qui suit la formule (130) de [5] on peut &tire, si (~t, a) e 9,~ ~ ~/~, la restriction de P~.a ~t un anneau ] u I ~< 1/2 en dehors duquel cette application . ressemble >> ~t une forme normale, sous la forme (35 b/s) P~,,=(~, u) = { ? + co + Tu, ~ + (1 + Z) u + Y~, u' + o(I + I I)}, off T = % est de l'ordre de co -- co0, ~2 de l'ordre de ]x ]' et ~ de l'ordre de IT i'-' pour i/> 3. Ddfmissons u~/q par l'6quation co + Tu~/q = p/q et notons (comme dam [5]) n(u) = ~ + Zu + ~ u' : si I ~(u,,q)l > O([~T"--S I + [~'k+~ -- Ul~/q ]), le cercle d'~quation u----u~/~ est disjoint de son image, d'o~ l'on ddduit facilement qu'il ne peut exister d'orbite p~riodique de nombre de rotation p/r On se place donc dans l'intersection de la r~gion oix cette in~galitd n'est pas v~rifi& avec la rdgion #" c~ [~,o -- (~r w ~,)] o~ peuvent se passer des choses non triviales (voir [5] fig. 12) : on constate alors que est de l'ordre de ((p/q) -- et Z de l'ordre de T I 1. Posons t = jI ~[; 1'inspection des ordres de grandeur rend naturel le changement de variables u = u./~ + (t/x) p, [ p [~< 1 : les orbites pdriodiques de P..= de nombre de rotation p/q appartiennent s~rement & l'anneau ainsi ddfmi et la restriction de la famille prend, d~s que test assez petit, la forme (2 b/s) P~,=(aq, f~) ----{~q -t- (P/q) + ep, p -t- [3H(p) + T~(0, p)}, qui ne diff~re de (2) que par les valeurs de ~, ~3, ~ (t, x8 t, T"-- ~ t ici alors que dam (2) eUes sont T, "fl, X"). Les lemmes 1 et 2 du premier paragraphe sont valables d~s que qe < C et < ~'(C, k), c'est-~t-dire q l(P[q) -- co I < C et [(p/q) -- co [ < r k); la seule diffdrence est que maintenant II r.,a - Id -< O(v/=) = 0(I T I"-') qui est certes petit si I x I, c'est-~t-dire I(P/q) -- ~o l, est petit, mais ne tend pas vers 0 avec t = 0(] (p/q) -- co [). On remplace ainsi (30) par la formule (30 b/s) ~,"~,.. o P~,, a o a'Cg'~..](~, p) = { ~ -t- (P[q) + to + T"--' A(~, p), 0 + ~H(~) + T"--' B(~q, 0)}, dans laquelle la distortion t devient ndgligeable devant le reste incontr61~ O([ T ["-~), ce qui emp&he en particulier d'effectuer le dernier changement de variables (32) mais n'infirme en rien la conclusion du lemme 2 quant au bon ordre de l'ensemble des orbites pdriodiques de nombre de rotation p/q. 2. FAMILLES ANALYTIQtmS G#.N mQtms ET SOUVENIR DES I SONANCES PROCHES 2.1. Fo~,~es nonnales r~sonnantes Nous supposons maintenant les diffdomorphismes P~,~ analytiques ainsi que leur d~pendance des param&res tL, a, et exhibons un (( tiros >> sous-ensemble de telles families dont chaque membre poss$de une suite de (( bonnes langues de r&onance >~ (]v./g." Chacune de ces derni6res est indicde par un ~ bon >~ rationnel p,,/q,, (qui tend vers COo lorsque n---> 4-oo) et correspond ~ des diffdomorphismes P~,a dont la partie de la dynamique associ6e au nombre de rotation p,,/q,, peut &re ddcrite assez prdcisdment l'aide d'approximations par des solutions d'~quations diff&entielles autonomes. Les families d'dquations diff~rentielles obtenues sont des ~ modules d'dlimination rdsonnante de couples de courbes invariantes ~> et ont leur inter& propre. Comme dans [15], les families gdndriques sont le r6sultat d'une infinit6 de modifi- cations 6ventuelles au niveau du d6veloppement de Taylor, correspondant chacune ~t un 616ment p,,/q, de la suite de nombres de rotation consid6r~e. L'organisation globale de ces modifications et la ddfinition de la topologie analy' tique utilisde sont adapt&s directement de [15]. Nous en dirons un mot ~ la fin du paragraphe 5 mais insistons surtout (comme dans [3]) sur l'&ude de la modification dld- mentaire associ6e k un rationnel p/q donnC Alors que dans le paragraphe prdcddent on fixait la famille P~,a et on considdrait et q comme des param&res, on commencera donc par fixer q et 6tudier les pertur- bations de la situation r&onnante correspondant ~ o 0 = p/q. Le r61e de T sera tenu par un troisi6me param&re t fixant la distance ~ la r6sonance, la petitesse de [ t assurant [ le caract~re de << bon rationnel ~ dep/q pour la famille (~, a) ~ P~,a,t. Notre objet est ainsi, comme dam [3], une famiUe A trois param&res (comparer ~. (1)) : P~,.,,Cz) = N~,.,,Cz) 4- o(I. I~-~), N,.,,,(z) = z[1 4-f(iz, a, t, [ z I~)] e "~a`~,",',l'l'', f(~, a, t, X) = Ez 4- aX 4- a2(y. , a, t) X ~ 4- ... polyn6me en X, g(iz, a, t, X) = bo(~, a, t) 4- bl(iz, a, t) X 4- ... polyn6me en X, (36) a,(0, 0, 0) = -- 1, bo(0, 0, 0) ---- p/q, b~(O, O, O) ~ O, 2 CO, o, o) + o, o) o, ~o "= Oa Obo 0 -~-(,0,0) ~ O. 20 ALAIN CHENCINER Ddfinissons comme dans [5] r( (p/q), lz, a, t), p./~ = p.l,(t), ~.,. = y,,aCt) = (~,,aCt). a,/a(t)) ~ C,~.(t). proches respectivement de 0, 0, (0, 0), par g(Pb a, t, r( (p/q), bt, a, t)') = p/q, p.tq(t) = r((p/q), ~h,/.(t), a~l.(t), t), (37) f(F./a(t), a.la(t), t, p./,(t)') = 0, af (F~/a(t), a~/a(t), t, p~/a(t) 2) = 0 (notons que r2((p/q), ~t, a, t) et p~/~(t) sont analytiques en (F, a, t)). p~za(t) est le rayon de l'unique cercle invariant de N.ptqct~,.p/q.~,~; ce cercle est non normalement hyperbolique, et N.ptgc~l, aptqt~), ~ induit dessus la rotation R~/a. C~la(t ) est l'ensemble des (~t, a) pour lesquels N.,.,~ poss~de un cercle invariant sur lequel elle induit la rotation R~/a. Remarquons que r((p/q), O, O, O) = p~ja(O) = O, Ez~l~(O ) = a~,l~(O ) = O. Les hypoth6ses impliquent que la fonction X ddfinie par X(t)= p,/a(t) zest un difffomorphisme local au voisinage de 0 : en d6rivant (37) par rapport ~t ten Iz = a = t = X = 0, on obtient en effet aX Obo (0, O, 0). (38) ~o ~- (0) = - -y On pourra donc supposer que p,/q(t) ~ = t. Le choix du reste O([ z [a-x) dans (36) vient de ce qu'~t cause de la r~sonance (~abo~0,0,0))a = 1, une forrnc normale tronqu6e de Po, o,o (et donc de la famille P~,~,,) invariante par tout le groupe SO(2) des rotations n'existe que jusqu'~t l'ordre q- 2; en degr6 q -- 1 apparatt en effet un terme (i)a-x et, h partir de lh, le groupe d'invariance de la forme normale tronqu& se r~duit au sous-groupe fini de SO(2) engendr6 par la rotation R~,~. Ayant besoin de formes normales sensiblement plus longues que celles de [15] et [3], nous partirons de l'expression g6ndrale (voir [1], chap. 6, w 34, ou [4]) : (39) v~ ~ .(~) = ~r ~. t. I ~ I ~, z~) + ~a-~ ,r(~. ~. t. I ~ I ~, za) + o(I ~ I~+~). dans laquelle @(~t, a, t, X, Y) et XF(~t, a, t, X, Y) sont des polyn6mes en X, Y, Y dont les coefficients sont des fonctions analytiques k valeurs complexes des param&res ~t, a, t, et Q. est un entier arbitraire. Remarquons que (39) s'&rit encore V~,o,,(z ) = zep'(~z,a,t, I zl ~, z a) + 2E .f,~(~t,a,t)~ '~-~ + O(I zl ~+~) ra~>l (40) = z[1 + A(~t, a, t, [ z I ~, V)] ,~'~~ + 21 v.(v. a. t) ~'~-' + O(I z I~+'). m>~l BIFURCATIONS DE POINTS FIXES ELLIPTIQ.UES A(iz, a, t, X, Y) et B(~, a, t, X, Y) dtant maintenant des polyn6mes en X, Y, Y, dont les coefficients sont des fonctions analytiques de (t~, a, t) ~t valeurs rdeUes. En coordormdes polaires z----re z~~ A et B deviennent des polyn6mes ~(bt, a, t, r ~, r a cos(2r~q0), r a sin(2~q0)) et ~'(bt, a, t, r 2, r a cos(2r~q0), ra(sin 2r~q0)) en leurs trois demi6res variables, dont les coefficients sont des fonctions analytiques valeurs r~elles de (tz, a, t), et P~,.~,,(z) = ze~'~[1 q-f+ Z v,.r"a-2 e-2'~''~~ + O(] z ta)]. ra>~l On supposera dans la suite que yl(O, O, O) # O. Ceci permet d'6crire Yx(W, a, t) = cl(~t , a, t)e ~=~x~'"'~ ot~ c a et d 1 sont des fonc- tions analytiques ~t valeurs rdelles de (Vt, a, t); on pose (41) UI(~.L , a, t, 0, r) = q0 + ~(~, a, t, r 2, r' cos(2r~q0), ra sirt(2~q0)) -- dl(~, a, t). On pourra choisir dans la suite Q= 2q- 4, mais le choix de Q.= q comme dam [15] et [3] se rdvdlera insuffisant. En particulier, seul le premier terme interviendra explicitement dans la somme du deuxi6me membre de (40) (eelui qui correspond ~t m---- 1), et l'expression de P~.,.t en coordonndes polaires devient : p tre~~ Re ~o, V., a, $ k I ~--- ~ q sm(2=u1) + o(I z (42) O = 0 + g-- 2n(1 +f) e~ R = r[1 +f+ q r~-2 cos(2z:U1) + O([ z [uq-')] ; nous noterons c1( , a, t) (43) c~ = Zl(~Z, a, t) = 2=(1 +j~, a, t, O, O, 0))" Apr~s une rotation des coordorm6es de (l/q)(~'(~t, a, t, 0, 0, 0) -- dl(V, a, t)) qui remplace 2r~Ul(~t, a, t, 0, 0) par 2nq0, on obtient I p treZ~*o~ Ree-io, t~,a, fk I ~-" | = 0 + g(vt, a, t, r 2) -- ~ r a-~ sin(2z:q0) (44) t + rq ~~ a, t, 0, r ~) + r 2q- ' ~Fo(~t , a, t, 0, r), R = r[1 +f(~t, a, t, r ~) + c a r q-~ cos(2~q0) + r q %(~t, a, t, O, r 2) + r 2~-4 ~0(~t, a, t, 0, r)], o~ t, = fI , t, O, 0), { g(vt, a, t, r ~) = ~(tz, a, t, r 2, 0, 0), 22 ALAIN CHENCINER et ~?o et +o sont des polyn6mes en leur derni~re variable, dont les coefficients sont des fonctions analytiques ~ valeurs rfielles de ~, a, t, 0, (1/q)-p~riodiques en 0, et ~o, ~Fo sont des fonctions analytiques de leurs variables. Bien entendu, en rempla~ant O(I z 1~-~) par O(Iz [~-'), on retrouve la formule (36). Nous faisons maintenant, pour tout t> 0 (i.e. p~/~ # 0), les changements de variables (0, ~) ~ C0, ~) ~ (0, ~) d~finis par (45) r = ,((p/q), ~, a, t) V'Y + ~, I ~ I ~< 1/2 (comparer h [5] formule (30)), et par la condition que | soit 6gal k 0 + (p/q) + %/~ p (comparer h [5] formule (43)). Rappelons que darts le carr~ N~/, = N~/~(t) associ6 k la famiUe (~, a)~N.,., t comme dans le lemme 1 de [5] (voir aussi le paragraphe 1 ci-dessus) nous avons (voir les formules (39), (40), (41) de [5]) : I ,((/,/0, ~, a, t) ~ - P,,~ I ~< cp,,~', (46) [ v((p/q), ~, a, t) -- %/, [ 4 Fp~l ~, o~ les distorsions sont ddfinies par des formules analogues ~ celles de ([5], formule (31) et lemme 1), i.e. "~((p[r ~, a, t) = Og ~-~ (~, a, t, r( (p[q), ~, a, t)') r( (p[q), ~, a, t)', (47) ,~,,~ = ,~,~o(t) = "~( O / q), ~,~( t ), a ,~( t), t). Rappelons ~galement qu'en termes des coordonn~es v', r ddfinies en ([5], formules (31), (34), (45) = (119)), ~i~(t) est approximativement d6fini par les formules P~/q, I [< p~/q ([5], lemme 1). Apr~s l'6clatement (48) v' " ~, 6 ~ v' e' =o,~z', =P,,~,, I I <1, I Izl, F eta deviennent des fonctions analytiques de ~', ~', t dont le d~veloppement de Taylor en test de la forme (49-1) F(~',~', t) = -- t ~ + O(t~), a(~',$', t) ---- 2t + O(t=); de m~me, on d~duit de (46) que (comme fonctions de ~', ~', t), r~((p]q), ~, a, t) = t + O(t~), (49-2) %t~ = b~(0, 0, 0) t + O(t =) (fonction de t seulement), et 9 ((p/q), ~, a, t) = .~,~ + O(t') = ~(o, O, O) t + O(t'). Enfin, les expressions obtenues pour les coordorm6es de P.,.,~ 6tant analytiques en r((~O[q), F, a, t) = ~//(1 + O(t)), il est naturel de remplacer t par t ~, c'est-k-dire de poser BIFURCATIONS DE POINTS FIXES 23 P~I~ = t. aVous consid~rerons donc dorgnavant la famille P~,a,t,, (~, a) ~ ~/~(t~), qui a Pavan- tage d'&re analytique en les variables (q', 7, t, 0, p) (Men entendu, ~ t fix6 non nul, on retrouve l'analyticit6 en (~, a) e ~/~(t~)). On obtient un plongement de T I � [-- 1[2, 112] dam T 1 � R de la forme P~,a,t,(0, p) -- (| R), ~ -= (z(~',~', t'), a ---- aCV,"g, t*), O = o + (p/q) + %~. p, (50) R----,/+(1 +d) p +s'p~+ Y~ a~p' + q(1 + p)(q/2'-~[2(1 + ~) (1 + P) -- qo] t"-~ cos(2~q0) + t" ~(~, a, t, 0, P) + t~'-~ ~(~, a, t, 0, o), analytique en ~, ~', t, 0, p, off ~ est (p/q)-p~riodique en 0, et qui pr&ise la formule (2) du paragraphe 1. On a repris ici les notations de la formule (119) de [5] (voir aussi le d~but du w 1); en particulier, s'~--2P, ]a~]~< C~t ~- ~ pour i/> 3; ~a = ~.~q(t ~) est essentiellement d~fini par ] v' ] < t ~ ] d ] < t ~ et on retiendra que %ta = "%1~(F) ~ ba(O, O, O) t 2, et que nous avons supposfi q(0, 0, 0) # 0 (par exemple > 0). Nous reprenons maintenant la d6marche du paragraphe 1 en considdrant P~,.,t, non plus comme perturbation d'ordre t a-~ d'une forme normale N~,., o invariante par SO(2), mais comme perturbation d'ordre t ~a-~ d'une ~ forme normale r&onnante . N~,~,~, invariante seulement par le sous-groupe fini de SO(2) engendr~ par la rota- tion R~;~. R,.,., ,.(O, p) = (0, P.) = i,,,., ,,(O, p) + (0, t ~-~ ~(~,, a, t, O, p)), (51) R =,/+ (1 +r ~ a~p'+t a-~ ~(B, a, t, 0, P), ~(~, a, t, 0, p) = q(1 + p)(at~'-~[2(1 + ~) (1 + p) -- qp] cos(2~rq0) + t ~ ~(~, a, t, 0, p). Les estimations du paragraphe 1 peuvent ~tre men6es de la m~me fa~on : les diff6o- morphismes d6fmis par les formules (19), (24), (28) sont remplac& par l~i~,., t ' = - 1 ~-x 57 R~-~ o N~.,.,,,, q~-0 (52) K~,,.,t, 1 ~-x p~ q ~-o ^-1 "YC~,a,t' = H~,a,t, o Kt~,a,t, , dont les propridt~s sont analogues k celles d&rites par les lemmes 2 et 3 : en effet, le lemme 2 ddcoule formellement du lemme 1, qui est encore vrai lorsqu'on remplace z" ELLIPTIQUES 24 ALAIN CHENCINER par t *a- 0, p~,. par p~,~,,., N~,. par N~,.,,,, et il n'y a rien ~t changer ~t la ddmonstra- tion du lemme 3 si on remarque que seule intervenait la commutation de H.,. ~t la rotation R~/~. Sous les hypotheses du lemme 2, le diffdomorphisme ~.,.,,. est done O(t*a-S)-proche de l'Identit6 dans la topologie C *, il transporte la courbe des points transformds radialement par R~ "~ o P~,,.,,. sur la courbe (ee n'est pas un cercle ]) des points transform& radialement par R~-lo N~,~,,,, et transforme P~ .,e en un diffdo- morphisme (que, conformgment d la note au bas de la page 18, on notera encore abusivement P~,.,,. par la suite) , ^-~ ,,(0, p) (o~, R~), (53) | = 0 + (p[q) + r p + t ~-s o~(~t, a, t, O, p), R~=u'+ (1 +d) p+s'p*+ Y~ a;o'+ta-~(~t,a,t, 0, p) i~>8 + t ~-~ ~(~, a, t, 0, 0), dont les points pdriodiques (0, ~) de nombre de rotation p/q v6rifient (54) %/. P + t~-~ ~(~, a, t, 0, p) = 0 ^ 1 (autrement dit, ~,.,t' o P~,.,t, o au t, induit sur ces points la rotation R~/~). Le changement de variables d6fmi par (55) ~,~ x = ~,~ p + t ~-8 ~(~, a, t, 0, p) conduit enfin ~t un diff6omorphisme, lui aussi not6 P~,,a.e, de la forme t v~,o,,,(o, x) = (o, x), (56) | -= 0 + (p]q) + %1~ x, X=v' + (1 + d) x + s' x2 +  a~ x~ + t"-~ ~(~,a,t, O,x) + a, t, O, x), dont les points p~riodiques de nombre de rotation p/q sont donn& par les 6quations x=0, (57) v' + t q-2 ~(~, a, t, 0, 0) + P'-a~ a, t, 0, 0) = 0. Remarquons enfin que, ~ &ant invariante par R~/q, et la restriction du diff~o- morphisme ~t ses points p6riodiques de hombre de rotation p[q 6tant la rotation R~ia, la nullit6 de ,/ + t a-2 ~(~t, a, t, 0, 0) + F~-x~ a, t, 0, 0) implique celle de ~' + t ~-2 ~(~t, a, t, O, O) + pa-ao ~(~t, a, t, 0 + (p/q), 0). En particulier, les points p6riodiques de nombre de rotation p/q de P.,~,,, sont encore d6fmis par les 6quations BIFURCATIONS DE POINTS FIXES ELLIPTIQUES 25 x=0, (58) ~' + t ~-~ ~(~, a, t, o, o) + (l/q) p-lo Z "~(~, a, t, o + i(p/q), o) = o, *-0 et il est plus agrfiable d'&rire P~.,.j, sous la forme P~.a,,,(0, x) = (O, X), ~ = Vt(%', ~, t~), a = a(~, ~', ta), @ = 0 + (p/q) + v,/~ x, (59) X = ,/ + (1 + d) x + s'x ~ + ]~ a~x' + t~-~(t~,a,t, O,x) i>~8 + t 2a-a~ y(~, a, t, 0, x), oCa ~ ((p]q)-pgriodique en 0) et T, analytiques en q', ~', t, 0, x, sont d6finies par t ~-~ ~q(~, a, t, 0, x) = t ~-~ ~(~, a, t, 0, x) a-x + (I/q) p-,o Z ~(~, a, t, o, + i(p/q), x), (60) *-o i q--1 ~.(~, a, t, O, x) = 7(~-, a, t, O, x) -- (l/q) N "~(~t, a, t, 0 + i(p[q), x). Les points p~riodiques de P~,.,~. sont alors donn6s par les 6quations x=O, (61) ~' + t '-~ n(~, a, t, 0, 0) = 0 qui pr&isent (35). Enfin, on remplacera v' par ~'+ tq-~ f~l~(~t, a, t, O, O) dO, ce qui permettra dam la suite de supposer que (62) f~/'~(Vt , a, t, 0, 0) dO ---- 0. Remarques. ~ (i) On aurait pu, ~t partir de (50), remplacer v~/~ par t z darts l'expression de 6) en choisissant autrement le changement de variables (0, ~) ~ (0, p), mais nous avons voulu conserver la sym6trie avec les formules de [5] et [6]. (ii) Dans la formule (59), le 2q -- 10 n'est bien entendu pas significatif; on peut le remplacer par O << assez grand 9. (iii) On d6duit de (61) que l'ensemble C~/~(t ~) o~/~(t ~) des valeurs de (vt, a) ~/a pour lesquelles P~.~,~, poss~de une orbite p6riodique (forc6ment bien ordonn&) de hombre de rotation p/q est d6fini par -- t a-~ inf ~(~, a, t, 0, 0) ~< u' ~< t ~-~ sup ~q(~, a, t, 0, 0), 0~T t 0~T~ c'est-~-dire (k O(t ~) pr&, voir (51)) : -- 2q t a-~ < '/ < 2c~ t a-~. Son bord, image d'un pli quadratique (lieu singulier de la restriction de la projection sur ~) de la surface "g = -- t ~-~ ~(V., a, t, O, O) dgfinie dans ~t~ � ]-- ll2q, 1/2q[ (figure 1), est analytique. 4 26 ALAIN CHENCINER 2.2. R~ductlon des fomes no..~.ales ~ leur partle slgni6mte et interpolation par une famille d~quations diff~rentielles Si nous consid~rons ~t nouveau la famille P~,a, ~. (t = P~/~ fix6) comme une pertur- bation d'ordre [ z [~-~ d'une forme normale N~,.,,, invariante par SO(2), nous pouvons lui appliquer directement les r6sultats de [5] et [6] avec 2n q-3 = q- 1 (que n- (q/2)- 2 ne soit pas forcdment entier n'a aucune importance). En particulier, P~,.~ ~ ressemble ~ ~t N~,,a,t, (au sens de [5] w 2-3) darts le compldmentaire 3r ~') du domaine r *) bord6 par les courbes I~j_8(t *) et r+(t *) d6finies comme dans le w 1-2 de [5]. Soit ~tq = 8,,/~(k, K, t 2) C ~/q = ~/q(t 2) le ~ rectangle ~ ddfmi (pour k >t 0, K > 0) par = a) I "1 [ '/1 t }. Ce ~ rectangle ~ est beaucoup plus petit que ~/~ (d6fini approximativement par ]r t ~, ]v'[~< t~); le premier des lemmes ci-dessous indique cependant qu'on pourra ne considdrer darts la suite que les valeurs de (~t, a, t) telles que (~z, a) appartienne ~t 8~/~(4, K, t~), off K est une constante bien choisie (*). Les lemmes suivants montrent que, pour ces valeurs, la restriction de P.,~,,, ~t un anneau contenant toute sa rdcurrence non triviale admet, dans des coordonndes bien choisies, une expression ddbarrassde de tout ornement superflu (**) et donc accessible ~t l'analyse (je veux dire ~t la g6omdtrie). Dans tout ce qui suit, t = p~/q est supposd assez petit (et q >>. 18). Lemme g. -- Si K est assez grand, ~/~(4, K, t ~) contient toutes tes valeurs de (~, a) pour lesquelles P,,,, ~, posskde une orbite pgriodique (forcgment bien ordonnge) de hombre de rotation p/q n'appartenant pas ~une courbe fermde invariante entourant l'origine. Plus pr~dsgment, 8~/~(4, K, t ~) r C~/~(t 2) c~ r ~) (les notations sont celles de [6] w 1.2, dgfi rappelges ici, voir fig. 2). Dgraonstration. -- C'est une cons6quence directe du lemme 1 de ([6] w 2) et des estimations du w 1.4 de [5] : Pf(t 2) a une 6quation approch6e de la forme St* ~' + ~'~ + ... + O(t ~') = 0, "" $ et la largeur horizontale du trou s6parant les composantes connexes de C~/~(t ) ~ ~vt~ est d'ordre O(t "-~) = O(t ~=~-~) dans la coordonn6e a, done d'ordre O(r ~m-~) dans la coordonn6e ~'. Tout ceci est rfsum6 sur la figure 2 ci-dessous qu'on comparera h la figure 3 de [6] en se rappelant que v' ~_ vet r '-' r (*) ~< Moralement ~, on devrait pouvoir prendre k = 0 et K assez grand; l'entier k n'est ndcessaire que parce que l'on n'a pas une estimation suff~amment precise de la r~gion oh la seule r6currence non triviale appartient/~ des courbes invariantes. (**) En fait, certaim ne le sont pas, tel le terme � que contient yA(bt , a, t, O,y) dam la formtde (63) : son coefficient zest ~quivalent ~ yt (qlal- 3-~ (formules (103) et (104) du w 6) dont la non-nullit6 emp~che P~, a, g* d'avoir un comportement conservatif au voisinage de ses points fixes elliptiques. BIFURCATIONS DE POINTS FIXES ELLIPTIQ.UES ..t riE 2 io'~ Aa--lO _~(t ~) _,(t ~) Cvlq(l ~ a,/~( FIO. 2 Lemme 5. ~ Si (~t, a) appartient ~ 8~/q(k, K, t~), il existe L (dgpendant de k et K mais pas de t) tel que toute la r6currence non triviale de P~,,,,, (d~fini par (59)) soit contenue dan~ l'anneau Ix I ~ Lt~m-8-L Dgmonstration. ~ Notons P~,o,,,(0, x) = (0 + (p/q) + ~,l~x, x + n(o, x)). Darts l'anneau [xl~< Bt (B constante) qui, ainsi qu'on l'a rappel4 au d4but du w 1, contient route la rdcurrence non triviale de P~,,,,, pour (~t, a) e ~/~(t~), on a (se rappeler que s' = -- 2t ~ + O(t") et [ a~ [ ~< C,t 2'-2 pour i>i 3) : II(0, x) < ,/+ ~' x + (3/4) s' x" + "~, off % = ~o t~-~, ~}o = 2 sup ] v~(~t, a, t, 0, x) [, ', \~~,/ / Fro. 3 28 ALAIN CHENCINER le sup 6tant pris sur l'ensemble { (~t, a, t, 0, x) [ (~t, a) e ~/q(tz), t voisin de 0, [ x I ~< Bt}, et donc II(0, x)<~ --'/o d6s que x est ~t l'extdrieur de l'intervalle d6fmi par les racines (2/3s') (-- r + [(r -- 3s'(~' + 2v~)] v~) du polyn6me ,/+ 2% + e'x + (3/4) s' x ~. Si (~, a) appartient k ~/,(k, K, tz), la plus grande des valeurs absolues des racines est major6e par (2/3 1 s' I)( Kt("/2)+l-~ + [ K2 t"+~-2~ + 3Is' I((K'/8)t '-~-~ + 2~o tq-2)] 1!2 } ~< Lt~a/~l-s-~; la dynamique de P~,,,,~. n'a donc pas de r6currence (~ l'exception du point fixe 0) hors de l'anneau I x l <~ Lt(a/~)-s-~ (fig. 3) ce qui d6montre le lemme. Lemme 6. ~ Le changement de coordonnges x = t(qt~)-S-ky, [Y[ < L, conduit ~ la (< forme canonique >> suivante de P~,.,t., analytique en ~,"~, t, O,y : I ~" = ~(~, 7, t~), a = a(% ~, t~), P~, ,,(O, y) Y) (o, "1 ' t (~, a) e $~t.(k, K, t ~) | = 0 + (p/q) + wy, Y = ~ + (1 + ~)y + yy, + ~(~, a, t, o) --}-yA(~, a, t, 0,y) + B(~, a, t, 0,y), t ~)-8-k - hi(O, O, O) t ~)-~-k + O(t(~/~+l-~), Ul.) = "r: ~l q (63) [ ~1 = 1r Kt'q'2'+~-~, T = s' t (~/2)-s-~ = -- 2t (q12)+l-k + O(tCq/2)+8-~), : 2c t t q-2 t-(a/z)+s+k = 2c 1 t (ql2)+1+~, ~(~, a, t, 0) = cos(2~:q0) + O(t~), (llq)-pdriodique en O, f llq ~. t ~(~t, a, t, O) dO = O, A(~, a, t, O,y) = O(t~-~-~), (l/q)-pgriodique en O, B(~,a,t, 0,y) =O(tQ), O= (3q/2)--7+k. De plus, si @" ~, a, t, est le flot de l'gquation diffgrentielle du second ordre invariante par Rr/q -g = wy, (E~,,~,,.) =. + [~y + yy~ + 8~(~t, a, t, 0), BIFURCATIONS DE POINTS FIXES ELLIPTIQUES 29 les orbites pgriodiques de P~.~.t, de nombre de rotation p[q r exactement avec les points singuliers de E~.~,,,, et P~.~,,, est trks bien approcMe dans l'anneau ly { <~ L par la compos6e Rj)jq 0 ~.)1 1 ~,.,,, = @~,,a,t, o R,/a de la rotation R./~ et du . temps 1 >> de E~,~,,.. Plus pr3ds6ment, (P~,~,,, -- R~/q o @~,~,,.) (0, x) est de la forme ainsi que ses d3riv~es partielles (avec bien st~r des constantes dgpendant de l'ordre de dtrivation). Dgmonstration. -- Le changement de coordonn&s indiqu6 conduit 6videmment ~, la forme canonique donn6e dans le lemme, avec 3~(F, a, t, 0) = t(am+~+* ~(F, a, t, 0, 0), yA(F, a, t, 0,y) = Z a~(t ~'-~-*)~-~y* + t'a/~)+a +*[B(~, a, t, O, t(ai~)-~-*y) -- ~(~, a, t, O, 0)] B(~, a, t, 0,y) = t (~l*~- ~ +* 7(~, a, t, O, t(~m-~-* y). Consid~rons maintenant l'~quation diff~rentielle E~,~,,. : 1'assertion sur les points singu- liers d&oulant de (61), il reste k fivaluer la solution au temps 1 ; il suffit pour cela de considfirer E~,~.,, comme perturbation de l'6quation lingaire d0 dy = as Les calculs sont sans mystSre et, n'utilisant pas explicitement dans la suite la derniSre assertion du lemme, nous ne les reproduirons pas ici. Remarques. -- (i) Travailler, comme dans [15] ou [3] dans l'anneau plus petit { x { ~< O(t'~/2'-2), pour (~, a) E 8,t~(-- 1, K, t*), revient ~ repousser dans le reste le terme quadratique yy* et donc ~ ne plus s'int6resser aux orbites p6riodiques qui, dans le module 6quation diff6rentielle, jouent le r61e des courbes invariantes de P~,~,,, dont on dtudie l'61imination. Lorsque ~ = ~ = 0, on retrouve alors l'dquation du pendule hamiltonien --=dO wy, -- ~ cos(2~zq0) ds ds qu'utilise implicitement Zehnder. (ii) Q ue P0,o,0(z) soit, en z = O, approch6 par une forme normale formelle de la forme R~/q o Ol(z) = 9 1 o R~/a(z), off 9 1 est le (~ temps 1 ~> d'une ~quation diff~rentielle formeUe ayant pour seule singulaxit6 l'origine, c'est-~-dire l'unlque orbite de hombre de rotationp[q de P0,0,0, est bien connu (voir une discussion du cas hamiltonien dans [14]). On a ici un rdsultat analogue apr6s d6ploiement, le voisinage infinit6simal de 0 &ant remplac6 par un voisinage tubulaire d'une courbe fermde contenant les orbites p6rio- diques de hombre de rotation p/q de P~,a.,,. 30 ALAIN CHENCINER (iii) Dans les coordonndes 0r 9, l'ensemble C~/~(t 2) n 8~/~(k , K, t 2) des (~,a) ~8~/q(k,K,t 2) pour lesquels P~,.,o poss6de une orbite p6riodique (forc6ment bien ordonn6e) de nombre de rotation p]q est d6fini par 8 inf ~(~z, a, t, 0) ~< 0r ~< 8 sup ~(~z, a, t, 0), 0~ T2 0ET x c'est-~t-dire, ~ O(Sf) = O(t cq/~)+8+k) pros, -- 8 ~ ~ ~ 8. Rappelons (Remarque (iii) ~ la fin du w 2.1) que son bord est analytique. (iv) Le param6tre t 6tant fix6, w est ind6pendant de Go, [~; quant ~ y, 8, ils le sont presque, puisque l'on d6duit de (63) et de la definition de ~', e' darts [5] que 07 Os' Oy Os' _ =__.t~-,-~ = O(t~-~-~), _ .O;~-~-~ = O(tC~-~-~), 00: 0v' 013 0r (63b/s) 08 Ocx t~-~= O(t'-'), 08 Ocx t,,,2,+x+~ O(t(,/2)_,+~ ) = 2 -g. = 2 oe" = " 3. FONCTIONS DE LIAPUNOV Ce paragraphe et le suivant repr6sentent pour les bons rationnels l'analogue du w 2.3 de [5] dans lequel nous montrions l'existence de beaucoup de ~ bons ~ chemins d'61imination le long desquels P~,~ ~ ressemble ~, pour toutes les valeurs du param6tre, une forme normale. Bien entendu, dans le cas present, l'existence g~n~rique d'orbites p~riodiques isol~es exclut que les rfigions (respectivement dr/q --Cv/~ et ~~ --Cyst) darts lesquelles P~,~,t, ~ ressemble )) ~ une forme normale se touchent en un point ~v/~, mais on montre que ces r~gions sont aussi grandes que possible, venant embrasser de chaque c6t~ la langue de rdsonance Cv/~ (comparer les figures 4 et 12 ~ la figure 12 de [5]). Nous avons d~j~ dit dans l'introduction que ceci implique un contr61e parfait sur le premier et le dernier point de bifurcation d'une famille ~ un paramStre d'~limination (i.e. traversant Cyst) passant par ces r~gions (fig. 20). Ii est recommandd au lecteur de prendre connaissance de l'Appendice avant de poursuivre son chemin. Dorgnavant, on suppose que t > 0 est asse z petit, que (~, a) appartient au rectangle ~v/q ( k, K, t 2), et on dtudie la dynamique de P~,,a, t. : T1 � [-- L, L] -+ T 1 � R dgfini par (63). = ~' t -~12~+8+k et ~ = r sont des coordonndes sur 8vlq(k, K, t2), qui est dgfini par tes inggaIit6s [ o~ I <~ (K2/8) t 'ql~'+l-k, [ ~1~< Kt cr On supposera wet ~ positifs. Pour all~ger, on omettra souvent d'indiquer la d~pendance en t, ou mSme en (~, a, t), ~crivant par exemple (~v/q au lieu de (~v/q(t2), 4(0) au lieu de ~(~, a, t, 0), etc. 3.1. Loin des lies de nombre de rotation p/q Nous utiliserons de plusieurs fa$ons dans la suite l'approximation de R~-}J o P~,.a,t, z de l'6quation diffdrentielle E~ a,t" Pour le moment, elle va par le ~ temps 1 ~ @~,a,t' nous sugg6rer des fonctions de Liapunov qui permettront plus tard de ddterminer compl6- tement les bassins des attracteurs et des rdpulseurs de P~,a,t, pour certaines valeurs des param6tres. 32 ALAIN CHENGINER ~a~:~ -4- D~finissons les r~gions ~,/~ = ~/~(k, K, t~), = ~vl~(k, K, ta), ~o/~ o + ~ de ~/~ ~/~(k, K, t ~) par = ~(k, K, t ~) = ~/~ t3 = I .~,/q = {(~., a) e 8,/~, ~2 _ 4(~ + K x t ~-2-~') V ~< 0 }, 1 ~/, = {(~t, a) ~ ~,/q, = -- K, t '-=-~/> I v I ~ t ~+= + ~t '+~ I ~ I}, (64) - Ka t ~ - ~- - ~k 1> I "r [ c= t= + 2k :F ct ~ + k [~ si ~/> K a t ~- 2- ~ ~--Kat~_~_~> r ~_z_~ si ~< K,t '-2-= 1 ,fp- 4V ! = ( 8c,(o, o, o), 1 oh K 1 est une constante positive assez grande, etc ~b--~-6:-6i-~q ] . F,o. 4 [.~Ovl q = "~+lq t~ "~ld" Soit .9, ___ .o~e~,. *, t : T 1 � [-- L, L] ~ R la fonction ddfinie (voir l'appendice) par ~(0,y) =y2 _ 2__~ Z(0) ' o~ z(0) = z(~, ~, t, 0) = ~(~, a, t, ,,) du = ~ si~(2~q0) + O(t~). Puisque ~ est (1/q)-p~riodique, et qu'on a suppos~ f2lq~ (u) du ---- 0, Zest (1/q)-p~riodique eD 0. Considdrons, pour M s > 2__~ (sup Z -- infz) = O(p+2k), les domaines (fig. 5) D~ = 1 (0,y)~T1 � [0, M], ~q'(O,y)>1 ----infzl , (651 w D"s_ = l (0,y)e Tx � [--M, 0], .9'(0,y) >~ 2 ~ infzl W BIFURCATIONS DE POINTS FIXES ELLIPTIQUES 33 "L -M[ Fm. 5 1 i Nous notons d~ = -- -- + -, i ~ Z, les points de D~ c~ DM_, et B~ les composantes connexes de'r I� (Dr+ u Dr-) = (O,y) e T I � [- L, L], ~q'(O,y) < ----inf X . 7. -- (i) Si (re,p. applique Dr+ dans (resp. I)r- dans D~ + 1) et .if est une fonction de Liapunov (croissante sur les orbites) pour les res- trictions P~,],,, ]D~ et P,,,,, I~. (ii) Si (~, a)~ g~,, P~,,,,, (resp. P~.~,,.) applique Dr+ (resp. Dr_) dans lui-mgme et .if est une fonction de Liapunov (croissante sur les orbites) pour les restrictions P~.,,t, [ ~++ et P~-~,t, [r~_-, o?~ M = ~ [-- ~ T (~ -- 4(0c -- K, t q-2-~) y)l[2]. En particulier, les anneaux (voir fig. 7 la signification de k~§ et k~) A+ = {y ~ T t X [0, L], 58(0,y)/> k~M. }, A_ = {y ~ T t � [-- L, 0], .W(0,y) >/k~_ }, sont respectivement laissgs invariants par P~,~, t, et P~,~.t,.  P+~ applique dans lui-m3me A, Si de plus , >1 K 1 t q-~-~*, (iii) Si (~, a)~ ~la, ~,.,t, .W est une fonction de Liapunov croissante pour P~,~,t,  ~ darts D~ i . Corollaire. -- (i) Si (~, a) ~ dvt~, les orbites des points d'intersection d~, i ~ Z, de D~+ et D r _ vont d'un bord gt l'autre de l'anneau T ~ x [-- L, L] ; il n'y a donc pus d'ensemble invariant de P~,~,t" qui (( s~pare >> darts cet anneau (i.e. tel que les bords de l'anneau appartiennent ~ des composantes connexes distinctes du compIgmentaire). (ii) Si (tt, a) ~ ggo , les orbites des points d, vont de A_ ti A+; il n'y a donc pas d'ensemble invariant de P~,,,.t, qui ~ sgpare ~ le compldmentaire daus T 1 � [-- L, L] de A_ u A+. 5 J ~ ~ ~t ~ ~f q~ c~ II -L ! "_$1 I BIFURCATIONS DE POINTS FIXES ELLIPTIQUES 35 La figure 6 r6sume le lemme 7 et son corollaire : on a repr&ent6 darts chaque fen&re les renseignements qu'on a sur la dynamique pour les valeurs correspondantes des param&res. Les fl&hes indiquent la dynamique de K~-~J o P~,a,,, (ou celle de P~,a,,,). Les ordres de grandeur ne sont pas respect& (cf. fig. 7). Dgraonstration. ~ Nous noterons P~.o.,.(0,y) = (0 + (p/q) + wy, y + II(0,y)), n0,y) = ~ + ~y + vy' + ~4(o) +yA(0,y) + B(0,y) = ~ + py + vy ~ + ~4(o) + o(t ~-~-~) = o(t'~J~'+l-~). (i) Supposons tout d'abord y <~ 0 : ~(P.,.,,,(O,y)) - ~(O,y) = 2yH(0,y) + n(0,y) ~ -- 2-~ [z(0 + wy) --z(0)] ?,O = 2yH(0,y) + ri(O,y)" - 2 ~4(O)y +y,O(~w) = 2y[n(o,y) -- ~4(0) +yO(tq)] + H(0,y)'. Si (~, a) ~ ~/~, on a pour tout y + K 1 t ~-~-~ + [~y + yy~ ~< 0; en partieulier, sit est assez petit et K x assez grande, n0,y) - ~4(o) +yO(t ~) <. - (K1/2) t ~-~-~, done L,P(P~,.,.~,(0,y)) -- .~e(0,y) >I K1 ly[t q-~-~ + ri(O,y) ~. ~D_, y ne peut s'armuler qu'en l'un des points d, (fig. 5); mais alors si (O,y) z(O) = infz(O), done 4(0) = z'(O) = O, et rI(o, o) ~ = [o~ + ~4(o) + B(0, 0)3 3 = [~ + O(tQ)] ~ >/ (K]12) t ~'-4-'~ > 0. On en d~duit que, darts D[, limitfi par une eourbe de niveau de .g' et 6videmment envoyfi darts D[ + 1, p~.~.~, admet L~ ~ comme fonetion de Liapunov eroissante. 8upposons maintenant y >1 0 : On v6rifie immfidiatement par identification (ou eomme consequence de la demi~re pattie du lemme 6) que --1 P~.,.,,(0,y) = (0 -- (p[q) -- wy + O(t~-~),y -- n0,y) + o(t~-~-~)). On obtient aimi ~(P~-]~.,.(0,y)) -- ~(0,y) = -- 2y[H(0,y) + O(t"-~-~)] + [n(0,y) + o(t~-~-~)] ~ - 2_~ [z(0 - wy + o(t"-~)) - z(0)] 1.O = - 2y[n(0,y) - ~4(0) + o(t "-~-~) +yO(t ~) + O(t'~m+l-~)] + O(t a+~) 4(0) + [r~(o.y) + o(t,-~-~*)] ~ + o(t~,+~-~), 36 ALAIN CHENCINEI~ et donc, si test assez petit et K x assez grande, .~(V;,],e(0,y)) -- .~(0,3~ >I {K~ t'-~-n'_r + O(t a+*) ~(6)} + {[n(0,y) + o(t'-*-')] * + o(~"+*-')}. Mais, dans D~., yl> --(z(O) -- infz(0))} /> t ~+~ 1~(0)1, K, t~-~-~*y + O(t ~ K(0) ~> (K,/2) t~-* I K(0)I . donc Alors, (K,12) t.-~ I ~(0)l >~ (K,/2) t ~+~-~* ,> O(t~"+=-~), ou bien ou biert I~(0)1 < t '+'-*, donc I~(0)1 < o(~'"'+'), II(0,y) + O(t ~-*-~) = II(0,y) -- 8~(0) + O(t ~-*-') ~< -- (K~/2) t '-~-~', et [ri0,y ) + o(t,-~-')]* e (K~/4) t ~'-'-'~ ~> O(t*"+*-~). c'est-~t-dirr Duns ies deux de (i). l'intervalle M_ ~< y ~< M+, on a (ii) Dan~ 0~ -- K 1 t a- 2-2k + ~y + ~,y2 >1 0. Reprenant les calculs de (i), on voit que ceci entraine &~(V~,,,,,(0,y)) -- .~~ > 0 si (0,y) eD+ m, -q'(P~.~,,,(0,y)) -- ~q'(0,y) > 0 si (0,y) e D~. La condition M~ > 2__~ (sup Z -- inf,() (voir la d6finition de D x' avant le lemme 7) to est (largement) assur6e si M~: >I c ~ t 2+~ -~- -- (1 + O(t~)), c'est-~t-dire wrcq + (~ - 4(~ - Ktt ~-~-~) V) '~ >~ 2 1Y I al+~ pottr M+, [~--(92-4(a-K~t "-~-~')'t)uz~ < --21Y[ct a+~ pour M_, c'est-a-dire ([~ -- 4(~ -- K, t '-~-') V) "~ ~> I ~ I + 2 I V l a ~+~, d'o6 l'on d6duit la d6finition de ~o/~. L'assertion sur l'invariance des anneaux A+ et A_ est une consequence directe de ce qui precede (fig. 7), airtzi que le corollaire. (iii) La scule difference avec (ii~ est que, si ~ < K: t ~-s-~, M~. et M_ sortt de m6me sigae; il faut alors s'assurer que l'anneau M_ ~< y ~< M+ est assez large pour contenir une courbe de niveau de -q'. I1 saffit pour cela que c'est-~t-dire [ ~ [(~ -- 4(~ -- K~ t ~-2-~') y)v', I> T ~ c2 t2+~, d'ofl 1'oll d~duit la d6finitiort de ~,+1, et &~. BIFURCATIONS DE POINTS FIXES ELLIPTIO.UES 37 /_ _- - I.+ ////////J ~0 -~.~(O,y) = k-~~_ ,I --L a~ FIo. 7 Remarques. -- 1) Si (~, a) appartient ~ ~/q, la dynamique de P~.a,, est parfai- tement contr61ge en dehors d'une rgunion d'tles C, r~ellement disconnect4es les unes des autres (fig. 8). [I1 enest bien stir de m~me lorsque (~, a) appardent k ~i~, A l'extgrieur de A+ u A_]. Ces tles ont le nombre de rotation p[q darts le sens suivant : si un point (0,y) e Bi a routes ses images (resp. images r~ciproques) darts O B~, on a V k I> 0, l~.a.,,(O,y).e B,+,, (resp. P~.], ,,(O, I) e B,_,,). ,ez "I ,,(B, + ,) , ) D5 Fro. 8 ((I'., a) e .W~,/q) 38 ALAIN CHENCINER 2) Le lecteur pourra, ~ l'instar du referee, s'Etonner de la conservation des termes Kx t ~-*-~ dam la definition de ~~ et g=:~ : dans g,/,, par exemple, ee terme peut Evidemment ~tre nEgligE devant ] y It ~ t ~+~ = O(t~2~-s+~). On ne les a conserves que parce que l'artieulation des deux parties du bord de ~ se fait alors naturellement suivant la droite 0~ = K x t ~-~-~ qui intervient dans l'EnoneE du (iii) du lemme 7. Ce bord s'Etudie d'ailleurs plus eommodEment dans les coordormEes ~.= ~ -- 4(0t --4~Ka t *-~-~) V, = 2 I' analogues ~ eelles suggErEes par le referee; la definition de ~ devient en effet ~> (~ :F aa+*) * si a I> K x t '-2-~, C~ t~+~ >/ -- si ~ ~< K~ t ~- 2 - ~,. 16~ * 3.2. Dans les iles de hombre de rotation p/q Rappelons que, par definition ([5] w 2-3), P~,.,,. << ressemble >> ~ la forme normale N~,,,a, ,, si les deux diffEomorphismes locaux ont, dam un voisinage uniforme (indEpendant des param6tres) de l'origine, le m~me nombre de courbes fermEes inva- riantes et la m~me decomposition en bassins. Lemme 8. -- (i) 8i (~, a) ~ d~/~ --C~Iq c~ ~./~, P~,a,~* << ressemble >> ~ une forme normale sans courbe invariante. Si (~, a) ~ d~l a n 0C~1~, P~,a,~, ~< ressembIe ~ ~ une forme normale sans courbe inva- riante, ~ l'existence prks d'une unique orbite pgriodique de hombre de rotation p[q. (ii) 8i (~, a)~ gg~ q --C~tq n ~1~, P~,~,e ~ ressemble ~ ~ une forme normale avec deux courbes fermges invariantes, au remplacement prks des deux courbes par les anneaux A+ et A (respectivement positivement et ndgativement invariants). Si (~, a) ~ gg~ ~ n 00~1~, la conclusion est la mgme ~ l'existence prks, entre A+ et A_, d'une unique orbite pgriodique de hombre de rotation p/q. Dgraonstration. ~ I1 suffit de trouver une fonction de Liapunov pour R~-ao P~,,,,,, dam ehaeune des regions B, dEfinies sur la figure 5 : on sera en effet assure de ce que les orbites de R; x o P~,,,j, (et done eelles de P~,,,,,) traversent ees r~gions sans y revenir l'exeeption pros, si (~, a) ~ 0(~/~, des points fixes (qui correspondent exaetement aux orbites pEriodiques de P~,o,~, de nombre de rotation p[q). Cela vient de ce que la Remarque 1) du paragraphe 3.1 exelut toute possibilitE de passage de B, k B~ pour j # i lorsqu'on applique R~-~o P~,,,,,,; si par exemple on a (fig. 8) : V k I> O, (R; ~ o ~ (B,) c B, u DE, (R; 1 o c B, u BIFURCATIONS DE POINTS FIXES ELLIPTIQUES Notons comme prScSdemment 1 P~,o,t,(O,y) = (0~,yx), ol = o + (p/q) + wy = o + (p/q) + o(t,,,~,-~-~), yx =y + nO, y) =y + ~ + 13y + vy ~ + ~(0) + O(t .-~-~') =y + O(tt~/~+~-h) ; on a i rk.,,.CO,y) = (O,,y,), 0, = 0 + i(p/q) + w [~ + (i - l) riO,y ) + (i - 2) n(01,yO + ... + n(o,_~,y,_~)], \y, =y + n0,y) + n(Ol,yz) + ... + n(o,_l,y,_~). De plus, q 6tant fix6, on voit immddiatement par rdcurrence que n(o,,y,) = n(o,y) + o(t,-~-~), donc (66) R;~ o P~.,.,.(O,y)= (o + qw[y + ~--~ II(0,y)+ O(tq-z-~)], y + qII(O,y) + O(t,-*-**)). Une derni6re estimation dvidente montre que le changement de variables d6fini par q--1 (67) x =y + n(o,y) + O(t "-~-~) =y + O(t `'~*'+~-*) conduit h la formule R; 1 o P~.,.,,(O, x) = (0 + qwx, x + qlI(0, x) + O(t~-~-=)) (68) = (o + qwx, x + q[~ + tSx + ~x~ + 8r + c(o, x)]), o,a c(o, x) = c(v., a, t, 0, x) = O(t~-~-~'). Remarquons maintenant que Cv/~ n 8v/q est d6fmi pax inf [8~(~, a, t, 0) + C(~t, a, t, 0, 0)] <~ oc 0 ET z .< sup [~(v., a, t, 0) + C(t,, a, t, 0, 0)] ; 0 ~'l 't on en d6duit que + ~r + c(o, o) < o dans dvt ~ -- (C~/~ m ~v/~), darts ~~ -- (CI,/~ m ~/~). et a + ~(0) + C(0, 0) > 0 40 ALAIN CHENCINER Plus pr6cis6ment, conservant les notations de la figure 5, appelons O, = 0,(~, a, t) ~]~,, a,+A, le point oil la restriction de x + 8~(0) + C(0, 0) A l'intervaUe [d,, d,+x] atteint son maximum si (~, a) c ~r son minimum si (V~, a) ~ 5~~ (fig. 9) ; si (t~, a) ~ 0(~/~, 0~ est l'intersection avec B~ de l'unique orbite p~riodique de hombre de rotation p[q de Pg... t.. Ii existe Kz > 0 poss6dant Ies propri6t6s suivantes : (i) Si (~t, a) ~ ~t'/~ -- int(C~/~ ~ 8~/a), il existe a 0 = ao(tX, a, t) >I 0, ne s'annulant que si (~t, a) r O(~ta, tel que (69) V i e Z, V 0 c [d,, d, + a], ,t + 8~(0) + C(0, 0) <. -- a o -- K, I 8 I(0 - 0,),; (ii) Si (~, a) c ..~~ , -- int(Cv/, c~ 8,/,), il existe ao ----- ao(~, a, t) >I 0, ne s'annulant que si (~t, a) r 0Cv/q, tel que (70) V i c Z, V 0 c [d,, d, + ~], ,t + 8~(0) + C(0, 0) i> a o + K3 [ 8 I(0 - 0,),. r...: graphe de T /~ = + ~(O) + C(0,.O) graphe de --a o-K.[8[(0-0,)' d, . 0, ~,+, / I d , J .~ ,IP d,~ 0, d,+l 0 aphe tie a o + K. [ ~ [" (0 -- 0,) z phe de + ~(0) + C(0, 0) (t~, a) ~ d,1 , - (C,I , ~ ~,i,) Fxo. 9 Consid6rons alors la fonction L, : T 1 � R -+ R ddfmie par (71) L,(0, x) = x (0 -- 0,), Z0 BIFURCATIONS DE POINTS FIXES ELLIPTIQ.UES 41 aG off on a not6 [~x(0) =--~x (0, 0), et calculons (~t l'aide de C68)) L,(R~ -~ o P~,,,,,(0, x)) -- L,(0, x) = x + q[ot + 8~(0) + t2(0, 0)] + ~(~ + ~(0)) x + q(v + ~d0, x)) ~' _ ~ + ~(o,). (o + ~ - o,) - ~ + ~ + ~(o,) (o - o,), /33 LV donc q [-L,(R~-' o P~,~ x)) -- L,( 0, x)] = [~ + ~(o) + c(o, o)] + Iv + v~(o, ~)] x~ + [~,(o) - ~(o,)] ~. Si Ctx, a) ~d~/~--int(~/~o~r~,), et si (0,x) ~B, Cdonc 0 ~]dt, d~+~[), cette expression est major6e par -- ao -- Q,( 0 - 0,, x) + K, t ~-~- ~ I (0 -- 0,) x l, o~ la forme quadratique ~" XZ (72) Q.(0 - 0,, x) = Ks I 8 I( 0 --0,) ~ -- est ddfmie positive eta pour coefficients Ks ~ = 2Ks Icxl t~.~+'+~, ~" = t,~,+~-~ + oct'~ En particulier, K~ t~-'-~ I(0- 0,)xl est, sur tout le domaine B~, une petite perturbation quadratique de Q., et ne d6truit pas sa positivitfi. On en d6duit que, si (IX, a) e d~t ~ -- int(C~l ~ c~ ~rle), et si (0, x) e B,, L,(R;' o P~,.,,,(0, x)) -- L, (0, x) .< -- ao -- ~ O.(0 -- 0,, x) .< -- ao.< 0, l'annulation n'ayant lieu que si a 0 = 0 (i.e. (~t, a) e aO~,l~), et 0 = 0~, x = 0 (i.e. au point flxe de R~Xo P~,,,,, darts B,) 2 Si Cvt, a)E~t q -int(c~/~ n 8~1~), la d6monstration prdcddente ne marche plus car, K s devenant -- Ka, Q. est remplac6e par une forme quadratique inddfmie. La raise sous forrne normale d'une singularit6 de champ de vecteurs du type << Bogdanov ~ (voir la remarque qui suit la d~monstration) sugg~re cependant, si (0, x) e B~, le changement de variables (0, x) ~(0 z= x(1 2T(0--0~))) ' //) qui a la vertu de remplacer essentieUement T par -- y. 42 ALAIN CHENCINER On est ainsi conduit aux fonctions (73) ZO ~ ZO qui v~rifient L,(R~ o P~,,,,,(0, x)) ~,(0, x) = q (~ _ 2r - 0, + q~/t~ + ~(0/+ co0, ol ZO + (~ + ~1(0)) ~ + (v + v~(0, ~)) ~] _2Tqx,~ t3+w~(o,)[( 1 ..... 2Vw (o o,))qw~ ,ovq'w'*~] = q(1 + O(#)) (oc + 8~(0) + C(0, 0)) -- qT(1 + O(#)) x' + q(1 2v(~176 C"l(~176 - 2(~ + ~1(0)) vq' x~ + (~ + ~1(0,)) ~q' ~. On a donc comme prfcfdemment, si (0, x) e Bi, 1 [~,(R~_I o P~.,,,,(0, x)) -- ~,(0, x)] /> ~ (ao + K81 81(0 -- 0,)2) v x" - K, t'-'-~ I (0 -- 0,) ~ I -- K~ t'+~-~ 9 ' 2a o 1 2ao >~ q- + ~ o_Ao - o,, ~) >~ -~- >~ o, l'annulation n'ayant lieu que si (~, a) 0(~/a, 0 = 0~, x ~- 0. Ceci termine la d6mons- tration du lemme 8. Remargv2s. -- (i) I1 existe une unique valeur de (Vt, a) appartenant ~ d~/~ ~ 00~/~ (resp. a~~ n 0{~=/Q) telle que l'unique orbite p~riodique de P~,a.~, de hombre de rota- tion p[q soit de type << Bogdanov >>, c'est-~t-dire qu'en chaque point (0o, 0) de l'orbite, la d6riv6e D(R; z o P~,~,~,) (0o, 0) soit un bloc de Jordan. En effet, cette d6riv6e s'6crit (1 o ) 1 + q(~ + ~10o)) ' le 0 en basb. gauche venant de ce que ~ (~ + ~(0) + C(O, 0)) s'armule pour 0 = 9 o. BIFURCATIONS DE POINTS FIXES ELLIPTIQUES 43 I1 s'agit donc de r~soudre le syst~me + ~(0o) + C(0o, 0) (OH ~ + ~(0o)) ~ 0, + 1~.,(Oo) = o, o~ a (~ + ~(0) + c(0, o)) Io=o. (ou ~ (0o)) = o. Ce syst~me, qui ne distingue pas entre ~:~ et d~~ s'~crit + ~ cos(2~#o) + t ~.2'+8+k ~t(~, ~, t, 0o) = 0, + t ,-~-~ ~(~, ~, t, 0o) = 0, sin(2=#o) + t~ ~(~, ~, t, 0o) = 0. A t fix~, le th~or~me des fonctions implicites fournit ~t et ~ comme fonc- tions de 0o; la troisi~me ~quation d&ermine alors 0 o modulo l/q (le signe de 8-~-2 (0t + ~(0) + C(0, 0)) {o-o. est d&ermin~ par Ia composante de 0(~r/. k IaqueUe O0 ~ appa_,'tient (~, a)). I1 reste k v~rifier que Ies valeurs ainsi obtenues de ~ et ~ correspondent k des couples (F, a) appartenant bien k M=/~ n 0(~/~ ou ~/, c~ d~,, ce qui est ~vident puisque [ ~ [.<< O(t g-~-~) (utiliser (64) et la remarque (iii) t~ la fin du w 2.2). COo, O) ~ / . ~(0o, O) 1~o. 10 44 ALAIN CHENCINER Remarquons que, plus on s'approche de cette situation singuli~re, moins on a le choix des fonctions Li, ~ : pour une telle valeur de ([z, a), la pente (l/w) (} q- ~1(00) ) = 0 en (00, 0) des courbes de niveau de L~ (ou ~,,) est en effet compl6tement d6terminde. I1 existe en fait un a cusp >> invariant par R; 1 opt.,,:, (voir [8]) singulier en (0o, 0), auquel la courbe de niveau de L i (L~) passant par ce point est n6cessairement tangente (fig. I0). Pour les autres valeurs de d~/~ r~ ~,/q (~g~ c~ ~), les orbites correspondantes sont du type nmud-col (saddle-node). (ii) Bas6e sur les mod61es locaux dO -~ =wy di = ~ + "~y~ z~ ~0", .~ < O, ~ > O, la figure 11 montre gfiom~triquement la n6cessit6 de choisir ~ diff~rente de L~. [Les pointill6s reprfisentent les courbes de niveau de L~ ou ~, les traits gras l'ensemble des points off le champ de vecteurs est horizontal. Le cas ~ est hyperbolique, le cas .~ eUiptique]. e,,, | = 0) | (D " | ^ = | Fio. 11 (iii) I1 serait naturel de chercher directement une fonction de Liapunov pour P~, a, J, sur O B~. Dans le cas off ([~, a) ~ d~/~ -- int((~/q c~ 8~/q), on est tent~ de poser, pour (0,y) ~ B~, L(0,y) =y -- (l/w) (~ + [~1(0,)) (0 -- 0,), off 0, est bien choisi. Malheureu- sement, on voudrait que 0,+ 1 = 0, + (I/q), et on se heurte ~ la non (1/q)-p6riodicit~ de l'analogue pour P~,o,,, de la fonction ~1(0). 4. EXISTENCE DE BONS CHEMINS D'/~JJMINATION I~SONNANTE Nous dtudions darts ce paragraphe la dynamique de P~,a,~, dans les anneaux A+ ct A_ introduits dans Ic Icmmc 7. Afin dc gardcr aux estimations unc formc sufflsammcnt + ..~, .~~ + simple, nous restreindrons tr~s ldg~rcmcnt les domaines ~tq, = ~/q n ~ ~'+ ~'~, ~,~ ~'+ en les rempla~ant respectivement par ~/~, = ~/~ n .~ ddfmis ci-dcssous (on rcmarqucra quc Ics ordrcs dc grandeur nc sont pas modifids : la taiUc dc guSpc sdparant z~tv/~ de ~~ rcstc rcmarquablcmcnt fine (de l'ordrc dc 8t z) par rapport ~ la largcur dc Cv/r (dquivalcntc ~ 2 8) ! o~>_-12o~1 :F J~.[~ , 3[~ si 4-[~0. (~x = (1/4) I Y I P f+~(1 + O(t~)) ---- O(8t ~) est ddfini darts l'Appendiee, formule A8; voir aussi (76)). 9 "xv/~, _V ~," o(~e)/ ., //// ////// ~b.-- f f ~ I I FIo. 12 46 ALAIN CHENCINER Dans la suite du paragraphe nous utiliserons les notations suivantes suggdrdes par le referee : 4~ ' ~= 2lvl' (R) Ivl' Ivl" Darts 8,t,, ~ et ~ sont des O(1) et l'dquation approximative de C,t, devient I ~ -- ~' I z ~, o~ ~ = all v l = ~ t- + o(t~+-). Les dquations de ~#q deviennent ainsi (74 b/s) ~  1 ^ ~/, = (~t, a) e 8~/~, ~/-" ~ 1 ~, Remarquons que les deux premi6res indgalitds impliquent (74 ter) ~ >t ~x. 4.1. Existence des courbes invariantes Nous utilisons ~t nouveau l'approximation de R~ o P~,.,t. par le temps 1 de l'dquation diffdrentielle E~,.,t,, cette fois pour obtenir de suffisamment bonnes approxi- mations des courbes fermdes invariantes que nous cherchons dans A+ ou A_; de telles approximations sont en effet donndes par les orbites pdriodiques y = p+(0) de E.,.,t. dtudides dans l'Appendice. Darts ce qui suit, nous ne nous intdresserons qu'aux courbes invariantes positives (i.e. situdes darts A+) et supposerons donc que (~t, a) ~'+ Le cas 06 (~t, a) e ~ e ~la" et (0,y) e A_ est similaire. ~'+ + Rappelons (Appendice, lemme A 3) que, puisque (~t, a) e &v/a C ~vta, E~,,,t.----E(0c,~ ) poss~de dans Tax R+ une unique orbite pdriodique (en far (1/q)-pdriodique) y = p+ (0), attractante, et situde darts l'anneau ,if+ (0r [~) bordd infdrieu- rement (reap. supdrieurement) par l'unique orbite pdriodique positive y = q~(0) de E~'.~ [~) (resp. l'unique orbite pdriodique positivey ---- ~'(0) de E~"'~ ~), o/~ BIFURCATIONS DE POINTS FIXES ELLIPTIQUES 47 )1/9 " ~+(0) = x + ~ (sin(2=q0) + O(t')) T ~qw =' Iv12', =lvl (75) 0, 2,+(~+~)= sig>10, 2" 1 2, -F (~ -+- ~) ~ si ~< O, =t--2~+(~+~)~ si~>O, (voir (A6), (A7) et (A10)), 2 z et 2~ 6tant tous deux de la forme (76) 2x, 2= = (1 + O(t=)) = ~ + O(t2)) > 0 (volt (AS) et (A9)). On volt en particulier que l'orbite y = p+(0) vit dans l'asmean Tax [y+,y+], o~ l'intervalle [y+,y+], dont le lecteur v~rifiera qu'il contient dam son int~rieur la plus grande racine positive y+ = ~ + ~ du polyn6me n(y) -- = + ~y + vy ~ = -t[(y - ~)2 _ 2], est d~fmi par t ~ It (77) Y+ =~--=x, Y+ =~+2~- Lemme 9. ~ Si (~, a) e gg~l , les inggalit6s suivantes sont vgrifi6es : (i) y+ >1 ~/122 t = O(tk+z); (ii) -~ y+ <~ ~ <~ 2y+; (78) 3 (iii) y+ >>. ~ y+; (iv) Y+--Y+ 2z + = O \--~-+ ] ~< O(ta+k). ~+ pour tout 0 ~ T z Corollaire. ~ Si (~, a) e g#~l~, on a et tout entier g >>. 1, (79) IP~-, ,1 <~ = 0 ~-~-+ ]~< O(t~+a). (,"+1 Remarque. ~ Si dam la d~fmition de ~/~ ~'+ on remplace =t = O(~P) par un ~,+ terme O(~) (par ex. 120 h par (112) ~), on obtient un domaine ~)qC ~/~ darts lequel on v~rifie sans peine quey+/> O(tk), et que p+(0) admet le d~veloppement p+(0) =y+ + z+ sia(2=q0) + o(y+ t'), o~ (80) a ( x+ = 2=qwy-----~ = O(y+ t'). 48 ALAIN CHENCINER En faisant des estimations plus fines, nous avons gagnd un ordre de grandeur et obtenu une rdgion ~ dont la taillc est d'ordre optimal (comparer ~ ce qui se passe pour E~,., t,, off l'analogue des rdgions dr/~ et ~t~~ se rejoint en l'unique point ~ = ~t, ~ = 0 (fig. A3)). Dgmonstration du lemme 9. O) ~ I> (~ -- 1Vi-~,) ~, donc y+ = ~ + V~/> 1Vi-s (ii) (~+A/~)/3~< ~ est 6vident si ~<~0 et dquivaut ~ ~>/~']4 si ~>t0. ~/~ ~ 2(~ + V~) est dvident si ~ 1> 0 et dquivaut ~, a/> 4~' si ~ ~< O. (iii) Si ~ -<< O, on calcule o<.y~_ -y:~ = (~ + V~)~- (~ + ~)~+ ~ + ~ = ~, + 2~[~ - ~] =a,+ r + avff___~.<+ a,+--.<v/~ a,+-2 d'apr~s la demi~re indgalitd de (74 b/s). On en ddduit que, si ~ <~ O, 2~1 2~1 O ~< y+ -- y+ ~< --, ~<--. Y+ +Y+ Y+ Si ~ i> O, on ealeule o~y+ -y; =~ + V~-(~ + ~) v~+v'a-al ~ y+ d'apr~s (ii). Dans les deux cas, 0 <~ y+ --y+ <~y+/4 d~s que 3ady+ <y+/4, c'est-~,-direy+ >/1~/]~ qui est vdrifid d'apr~s (i); on a done ddmontrd (iii). (iv) Les mames calculs qu'en (iii) montrent que si ~ < 0, 0., ~+ -y~ = a= + ~/a - a, + v~ < a, + ~ < a, + a,, ,, al + al donc 0 ~<y+ --y+ 6 --; 2y+ si ~ >/ O, ,, ~2 ~2 3~g O~<Y+ --Y+ ----- vr~ A-~, -4- ~/~< 2--~ ~< 2y---~" On obtient ainsi dans tousles cas ~< O(P +') d'apr~s (i). BIFURCATIONS DE POINTS FIXES ELLIPTIQ.UES 49 Dgraonstration du corollaire. Eerivant que p+ (0) (qu'on notera p pour abrEger) est solution de E(~, ~), on obtient l'identitE (81) wpp' = o~ + f~p + vP" + ~ - II(p) + ~, et par recurrence wpp It) = II'(p) p~t-x) + ~t-1) + wP~(p', ..., p~t-1)) + 7p2(p, ' ...,p~t-~), oi~ Px et P2 sont des polynEmes homog~nes de degrE 2 ~t coefficients entiers universels. D'autre part, II (p) = (~ + 2Vy+) (P --y+) + v(P --Y+)' = 2V ~/~ (P --Y+) + v(P _y+)2, et done I II(p) [ ~< 2 I V I ~/~ (Y+ --Y+) + I V I(Y+ --Y+)' 12 ~t + + IV ~1 + = O(~x) = O(St"); puisque p >_-y+ >t (3/4)y+, on en dEduit IP' I-< o (~-~+) 9 Enfin, II'(p) = 2V~r + 2v(P --y+), done I n'~)l ~< 21 v lv~ + 21 v I(y+ -y+) ~< 4 1 ~'Y+ +y+ 12~t ~< 4Ivy+ + ~< 5Ivy+l, Y+ et par recurrence, I p, t, I ~< o (I vy+ ~<O wy+ wy+ C.Q .F.D. -- 1) Si y+ >I O(t~), on trouve bien que les dErivEes p~(O) sont Remarques. O(# +2) = O(ff+ t2), en accord avec la remarque qui suit l'6noncE du corollaire. 2) Sur le cas ~ = O, oiX p+(O) est connue explicitement, on voit immEdiatement que la majoration obtenue est optimale; remarquons pour finir qu'une Evaluation gros- siSre majorant I n(P) l par O(I x I) auralt donne seulement [p+ [ ~< (1/t =) O (8/wy+) ! "~+ posskde (ngcessairement dans A+) une r Lemme 10. ~ Si (~, a) e ~1~, P~,,,J' fermie invariante attractante rggulikre proche du grapke de p+(0), dont le bassin d'attraction contient le voisinage l Y - P+(o) [ <. t3 y+. [Y------~+ 50 ALAIN CHENCINER DOnonstration. Le ehangement de variables (81) y =p+(0) + transforme P~,,~.t, (d~finie par (63)) en une application de la forme P~,,o,,,(O, 6) = (0, ~), (82) o = 0 + (p/q) + wp+(0) + w., = [1 + n'(p+(0)) -p+(0) w] ~ + w ~ + o(t.-~-~). Le m~me changement de variables transforme E~.~.,, en dO -A = wp+(o) + w~, (83) d~r ' 0 ~/= [n'0~+(0)) --p+( ) w] ~ + w'- Posons ~' p+(o)] ' p+(O) t.O f~ n'(p+(o)) = ts + 2~, dO u = ~, p+(0) (84) h(0) = ~ 0 ' P+( ) (f:u- rI'(p+(o)) + p~_(o) w dO). K(0) = exp wp+(O) I1 est clair que, pour tout 0, h(0 + 1) = h(0) + 1, et h'(0) > 0; h d6fmit donc un diff6omorphisme de T x. Quant h K, c'est une fonction p6riodique strictement positive. Bien entendu, h(0) -- 0 et K(0) sont (1/q)-p6riodiques puisqu'il enest ainsi de p+(0). Lemme 11. ~ Les estimations suivantes sont vgrifiges si (~, a) ~ ggvl~+ : (i) y+ <<. ~, <. y+, 1 9 (85) (ii) 0 >>. -~ VY+ >>- u >t ~ VY+ , (iii) h' = O(1), h 't' = O(t~+2/ya+) <<. O(1) si t >t 2, (iv) K 't' = O(t~+~/y~+) <~ O(1) sit >t 1. Dhnonstration. ~ (i) d~coule de l'in~galit~ analogue pour p+(0) et implique In --y+ I~< sup(y+ -- y'+,y+ -- y+) ~ 3~1[y+ = O(tU+'[y+) BIFURCATIONS DE POINTS FIXES ELLIPTIQUES d'apr~s la demonstration des points (iii) et (iv) du lemme 9. On en dEduit que lu- 2VV'~ I = I"- (~ + 2Vy+)l = 1 2T(<~ --Y+)I ~< 6 I vl ~d:+ ~ ~ I Ty+ I d'apr~s (78 i); (ii) dEcoule alors de (78 ii). Quant ~t (iii) et (iv), ils se dEduisent sans peine de (79) par recurrence. Remarques. ~ 1) L'estimation de ~ peut ~tre amdiorEe par une Evaluation des intEgrales elliptiques ~i~(O) et q~'(O) [oh ~If~(O) et q+ ( ) sont dEfmies en (75)]. On montre ainsi que ([ < ])"2 ~' ~ (1 + oct')), + -- (1 + o(t,)) ~ (86) m I vl ,<r i-~ ,~qw ([ ~<" ~ 1: ~<" ~ (1 + oct')), + -- (] + m IT I =q~ ~ =qw O(,'))J) , oh m[x,y] dEsigne la moyerme arithmEtico-gEomEtrique de x et y. (Merci ~t Lasmes de m'avoir indiquE comment faire ce calcul connu de Gauss.) 2) Si de plus (iz, a) e D~v-~q (voir formule (80)), on a =y+ + O(y+ t'), u = [3 + 2yy+ -k- O(I Yy+ It'), z+ (87) k(0) = 0 + cos(2nq0) + O(t') = 0 + O(f), 2rcqy + K(0) = 1 __ 2Tz+ -- sin(2r~q0) -- 2r~qy-~ cos(2r~q0) + O(t 4) ~ 1 -t- O(t 2) o wy+ Les estimations (85 iii) et (85 iv) montrent qu'en choisissant 1 ~ = h(0), (88) p = K(O) ~, comme nouvelles variables, on transforme P~.a,t, en p~,~,,,(~, p) = (~, it), wh'(h-a(q~) ) (89) ~II = q~ + (p/q) + w~ + K(k-'(q~)) f~ + O(t~-2-~), [ K'(h-'(~)) T ]o~+O(t,_,_z~). R=(I +u) p+ WK(k_~(~)),+K(k_,(~)) 52 ALAIN C_MENCINER Le m6me changement de variables transforme bien entendu E~,., t. en (90) -~ = w~ + KCh_X(~) ) p, dp [ K'Ch-~(~)) v ]~,. = up + w K(k_x(~)), + KCh_X(~) ) Finalement, le changement d'dchelle (91) = ray+ x conduit ~t P~...,.(% x) = (r X), (92) r = q~ + (p/q) + w= + O(wt3y+) x + O(t"-~-~'), X = (1 + u) x + O(wtny+) x' + O(t"-~-~), oh les O sont dans la ct-topologie. Puisque [u [/> (1/6) [yy+ ]et [-([ = O(wt 2) = O(tt"m+a-*), on obtient t P~,o,,,(~, ~) = CO, x), (9~) 9 = ~ + (p/q) + w~ + 0(I u I), R=(1 +.)x+0(lu]), et la mdthode des transform~es de graphes donne une courbe ferm~e de classe C t-~ invariante par P~.=.t., dont le bassin d'attraction contient un anneau ]p]~< At3y+, si test assez petit. Revenant aux variables (0,y), on d6duit de (85 iii et iv) qu'un tel anneau contient, d&s que A est assez grand, l'anneau ]y -- p+(0)] ~< t3y+. Le lemme 10 est doric d6montr~. 4.9,. Recollement des basslns lorsque (Ez, a) ~ ~o/q Utilisant une derni~re lois l'approximation de P~,,,,t. par l'6quation ~0 E~,~, t, = E(~, ~), nous montrons que, lorsque (~z, a) e ~v/q, le bassin d'attraction de la courbe invariante dont l'existence est affirm6e par le lemme I0 contient l'anneau A+ ddfmi dans le lemme 7. Nous prendrons module sur le comportement de l'dquation E~"~ ~) : la fonction K(0,y) = (2/w)H(0,y) e 2'v/w,~ =yZ _ q~(0)z (voir le lemme A2) est une fonction de Liapunov pour E ~'' 0(a, ~); on v6rifie en effet que d (K(O(t)' y(t) ) = -~ yK(O' Y) ) qui est du signe oppos~ ~ celui de K(0,y) lorsquey > 0. Par analogie, consid6rons la fonction K = K~. ~ d~finie par 1~94) K(0,y) = y~ -- p+ (0)2, BIFURCATIONS DE POINTS FIXES ELLIPTIQUES off p+(0) est l'orbite p6riodique positive de E(=, [3) utilis6e dam le paragraphe pr6c6dent. Dam les variables (0, o) d6finies par (81), K s'6crit (95) K(0, 0) = 2p+(0) cr + ~. Un calcul imm6diat montre que ,(96) t ~ [K,(P~, ., ,,(0, 0)) -- K(0, 0)] = w ~ + ([3 + 3v~+(o)) o, + ([3 + 2v~+(o)) ~+(0) o + 0(,, -~-=), alors que le long des courbes int6grales de E(a, [3), ld (97) 2 dt (K(0(t), o(t)) = yo z + ([3 + 3Tp+(0)) o ~ + ([3 + 2TP+(0)) p+(0) 0. Les racines du deuxi~me membre de (97) sont 6videmment o = 0, -p+(0), ~-~ ([3 + 2vp+(0)). Ainsi, le signe de ce deuxi~me membre est -- si o 2> 0, + si o est compris entre -- p+ (0) et 0. ~0 Car, si (~, a) ~ ~, (l[Ivl) ([3 + 2vp+(0)) < -p+(0); en effet, ceci 6quivaut ~t [3 + Tp+(0) ~< 0, or [3 + 7P+ (0) ~< [3 + yy+ ~< [3 + (3/4) VY+, major6 par (3/4) 7Y+ si [~ ~< 0 et par (1[12) yy+ si [3 >/ 0; la derni6re majoration vient de ce que, dans ~I~~ on a 2~ ~< ~v/~, doric 3~ ~< ~ + ~v/~ =y+, qui permet de remplacer (78 ii) par (98) gy+ .< C~.< 2y+ et implique la conclusion puisque [3 + 2yy+ = 27 ~'~. Quant ~ (96), le plus simple est encore de remarquer que, puisque , 5 O(t~/~, + s + k), I [3 + 2vp+(0) Ip+(0) >t I [3 + 2Ty+ [y+ >/g I 7 Ifi/> son second membre est compris entre A et B d~s que a ~< -- t ~m-6-Sk, inf~rieur ou ~gal A d~s que o >1 t c~t2~- 6-8~, off (h fitant une constante positive assez grande) A = yo 3 + ([3 + 3yp+(0)) o ~ + ([3 + 2yp+(0))p+(0) (1 -- ht) o et B = y. 3 + ([3 + 37t0+(0)) 0" + ([3 + 2yp+(0))p+(0) (1 + ht) o ont pour racines 0 et (l/2y) [-- ([3 + 3Tp+(0)) 4- (([3 + Tp+(0)) ~" + O(7~p+(0) ~" t))~/2], c'est-k-dire, 0, --p+(0) (1 + O(t)), (1/1T l) ([3 + 2yp+(0)) (1 + O(t)). ~2,/~ on a On en d~duit que, si (~t, a) I K(P~,,.,,,(0, or)) -- K(0, o) 2> 0 si -- p+(0) (I + O(t)) < 0< -- t '~'*'-"-Sk, (99) K(P~,, ,,, ,,(0, 0)) -- K(0, o) < 0 si 0> t '~2'-"-~. 54 ALAIN CHENCINER Etant donnd que les courbes de niveau de K proches de a = 0 oscillent tr~s peu et que le bassin d'attraction fourni par le lemme 10 est de la forme [al~< t3y+, o~ t3)+ >i O(t k+4) >> t ~/~1-6-8k, nous serons assurds que l'anneau A+ tout entier se trouve dam le bassin d'attraction de la courbe invariante donnde par le lemme 10 (et ce, mgme si (tt, a) appartient seulement ~ ~) d6s que nous saurons que son bord inf6rieur ) =f+(0) est au-dessus d'une courbe de niveau ~ = --p+(0) + ~/p+(0)~ + k o de K, elle-m~me au-dessus de ~ = --p+(0) (1 + O(t)). On peut prendre k 0 = -- (y+)2 (I + O(t2)), ce qui nous laisse ~ montrer (100) f+(0)/> V'p+(0) ~ --y~(1 + O(t~)), qui est impliqud par {101) f+(0) 2 -- q~'(0)2 ~> --y~(1 + O(tS)), c'est-?a-dire, en utilisant (75) et les formules du lemme 7, /~+ + -- + O >/ --y~(1 + O(#)). y \~qw/ Mais k~ = M~. -- -- (1 + O(t')), ~qw et 0~<y+ -- M+ =~ +V'~-- g+ ~ -- ~-~ i t '-2- Kit r 3Kit ~-~-~* ~< <~ Ivlv~ 21vly+ d'apres (98), donc M 2 tq - ~ _ ~, 0.< 1 -- ~ .< 3K1 O(t~_~_3~ ) Y+ I vly~ "< d'apr~s (78 i). Avec (76), on en ddduit que /~ =y~(1 + oct";~l-5-a~)) -- a~(1 + oct')), c'est-~-dire, se rappelant (77), k~ + -- + O =fi_(1 + -y+2(1 + O(t')). 7 \r~qw] Enfm, de la ddmonstration de (78 iv), et de (78 i), on tire y+" << y+ + ~y+3~ (l +O(t'))<~Y+ +ly+ (l +O(t')) =~Y+ ( l + O(t'))" Ainsi, k m +--+O -- >~y~(1 + -- y~(1 +O(t")) 7 \~qw] 17 ~ "1 /> -- giy+( + O(tS)). BIFURCATIONS DE POINTS FIXES ELLIPTIQUES 55 Puisque, d'apr~s (78iii), y~> (36/64)y~_, (101) est Evidemment vErifiEe, ce qu'il fallait dEmontrer. Bien entendu, des rEsultats analogues sont valables dans A_. Rassemblant les rEsultats des w167 3 et 4 qui concernent ~r et ~0, on obtient le thEor~me suivant, qui precise le lemme 8 et la remarque qui cl6t le w 3.1. Cle thEor~me est h comparer au thEor~me 3 de [5] : il montre que les ~ bons ~r rationnels sont presque aussi gentils que les ~ bons, irrationnels, en fait aussi gentils qu'on pouvait dEcemment l'espErer. On conseille au lecteur de se reporter aux figures 19 et 20 qui se trouvent ~t la fin du w 5; il y trouvera la representation d'une ~* bulle avec taille de gu~pe >~ et de la dynamique le long d'un chemin la coupant transversalement au plus Etroit, c'est-~t-dire en passant par les deux points de bifurcation du type Bogdanov dont on a montrE l'existence ~t la fin du w 3.2. Ttdorkme 1. -- (i) Si (~, a) E ~1~ -- C~l~ n ~tq, P~,=,*' ~ ressemble ~ ?tune forme normale sans courbe fermge invariante. Si (~, a) E ~r c~ O0~lq, il en est de mgme ~ t'existence prks d'une unique orbite pgriodique de hombre de rotation p[q. Si (~, a) ~ sd~/q c~ C~l~, il en est de mgme ~ t' extgrieur de la r~union de q 8les disjointes C~ de ~ hombre de rotation Plq ~ (fig. 8). ~o ~ c~ ~, ~ ressemble ~ ~une forme normale avec (ii) Si (v., a) e g$~ -- P=,,.,,, deux courbes ferrnges invariantes. Si (bt, a) ~ ~8o r3 a~, il en est de ndme g~ l'existence prks entre les deux courbes d'une unique orbite pdriodique de hombre de rotation p/q. Si (~, a) ~ g~~ ~ c~ C~t~, it en est de mhne ~ l'extdrieur de la rgunion de q 8les disjointes C, de ~ hombre de rotation p[q ~ situges entre les deux courbes. 5. ORBITES P]~RIODIQUES HYPERBOLIOUES ET LEURS ORBITES HOMOCUNES 5.1. Existence d~orbltes homocUnes Fixons t positif assez petit : pour tout (t~, a) dans l'int~rieur de C~/q, le diff~o- morphisme local P~,a,~, poss~de deux orbites pdriodiques de hombre de rotation p[q dont l'une est << hyperbolique r~elle >> (ses valeurs propres ),1, ),3 vdrifient 0 < )`1 < 1 < )`~). Si (~t, a) eC~/q (~ 8~/~, cette orbite est constitute des points (0~ + (i[q), 0), i = 0, 1, ..., q -- 1, o~ 0 h est l'unique solution de l'dquation 0~ + ~(0) = 0 qui vdrifie ~'(0h) > 0 (rappelons qu'avec les notations de (63), on a dgalement + 8~(Oh) + B(Oh, O) -- 0); la d~riv~e de P~,a,~, en l'un de ces points a pour matrice ( )( o o) 8~'(0h) 1+~ + OB (0 h + (i[q), O) A(0h) Nous noterons H+ ~ H_ l'ensemble des valeurs de (~, a) dans ~=tq pour lesquelles l'orbite pSriodique hyperbolique rdeUe de P~,,,,, de nombre de rotation p/q poss~de (i.e. les vari5tds stables et instables de deux points cons~cutifs des orbites homoclines de l'orbite s'intersectent) ; la signification des indices + et -- se lit sur la figure 13. On ddduit imm~diatement du lemme 4 et du thdor~me 1 que H+ ~ ~_ est contenu dam (~,a) E~+ Cv,., '0 FIG. 13 (situation g&a~rique) D'autre part, nous avions annoncd dans [3] et [4] qu'un voisinage de 0c = 0 rencontre ~+ et ~_. Nous montrons ici un r6sultat plus pr6cis (th~or6me 2) : en parti- culier, ~+ r~ ~ est non vide et contenu darts un petit voislnage ~ de (~, [~) = (0, 0). BIFURCATIONS DE POINTS FIXES ELLIPTIQUES 57 La figure 14 reprdsente la situation gdndrique lorsque (~, a) ~ H+ t~ H; une telle dyna- mique se rencontre lorsqu'un pendule sans frottement est perturbd p&iodiquement, et c'est prdcisdment celle que Zelmder met en dvidence dans le cas conservatif ([15]). (~,~) ~+ c~_ Fio. 14 (situation gdndrique) Lemme 12. --27 existe une constante positive M teUe que H+ u ~I_ ne rencontre pas l'ensemble ~/~ C ~/~ d3fini par ~,,~ = {(~, ~) ~ ~,~, ~ = ~(~, ~), [ ~ [ >-. Mt,-~-~}. Dgmonstration. -- Calculons KI(P~,~.,, (0,y)) -- Kl(0,y), off Kz(0,y ) =y"--q~r (voir (75), (A8)) a pr&isdment pour singularitds de sa surface de niveau 0 les singularit& hyperboliques de E~"'~ [~) qui nous intdressent, c'est-~-dire si a----= ~1(~, ~), les orbites pdriodiques hyperboliques de P~,.,, ~, dont nous voulons &udier le comportement. Posant comme en 3.2 II(0,y) = o~ + [~y + 7Y* + ~(0) +ya(0,y) + B(0,y), et tenant eompte de l'identitd wq~(O) (q~')' (0) = ~1 + 7q~(0) ~ + ~(0), il vient KI(P~,a, t,( 0, Y)) -- KI(0 , Y) = 2y[H(0,y) -- oq -- 7q~(0) 2 -- ~(0)] + II(0,y) s + O(w2y 2) --= 2y[(~ -- ~1) -1- ~Y + 7KI(0,Y) -t- O(tq-z-~e)y] + 2yB(0,y) + nO, y)'. Si 0r = al et K1 = 0, on a done K~(P~,,,,,(0,y)) -- Kl(0,y) = 2[9 + O(tq-2-~)]y 2 + 2yB(0,y) + nO,y)'. De plus, n0,y) = II(0, O) + ~y + yy~ + yO(t q-z-2k) = II(0, 0) -k- O(t'qm+~-~)Y, et n(0, 0) = ~1 + ~(0) + B(0, 0) = ~(eos(2=q0) + O(t2)) .< O(t ~) q~(0) = O(t o'~) ~' + (si~(2,~a0) + o(t')) = o(t ~,2) (1 + si~(2,~q0) + o(t~))/ , II(0,y) = O(U 2) q~r + O(t'~m+x-~)y si ~ = al, donc 8 58 ALAIN CHENCINER et sur K~ = 0, c'est-~-direy = 4- q~(0), I nO,y)] ~< mt '~2'-~. lY [, ott m est une eonstante positive. D'autre part, B(0,y) s'annule sur les orbites p~riodiques de P~,.,t,, et s'~crit done au voisinage d'un point (0 h + (i/q), O) B(0,y) = O(t~) y + O(t ~) (0 -- Oh -- (i/q)). Supposons M assez grand pour que M s [~+O(t ~-z-z~) +m ~t ~-~>/ />-~t ~- - ; il vient Kx(P~,.,,,(0,y)) -- Ka(0,y) >t Mt~-S-~y s -- 2 lYl I B(0,y)I, eertainement positif d~s que lyl > M2 It ~-s-~B(0'y) [ = O(tQ_,+s+~ ) = O(t(~s,_s+8~ ) Si maintenant ]y ] ~< constante, t (~ts~- 5 + s~, on se trouve, puisque K 1 = 0, au voisinage de Fun des points (0~ + (i[q), 0); plus pr6eis~ment, y = (1 + sin(2=~) + O(t')) = O(t ~+1) (0 -- Oh -- (ilq)), donc Kz(P~,, a, ,,(0, y)) -- Ka(0 , y) >>. Mt"-2-~y ~ -- ml tQy s -- m s t a lY[ l0 - 0h - (i/q)l >>. Mtq-2-** yS _ ms t Q-l-~ ys > O. Si nous supposons [~ + O(t~_2_~ ) + mS t~_~ ~< ~ _< M t,_2_~, ~-, - ~- le raisonnement est le m~me avec les in~galit6s inverses. La conclusion se lit sur la figure 15 : = ~1, ~< -- Mt ~-~-2k Fxo. 15 BIFURCATIONS DE POINTS FIXES ELLIPTIQUES 59 Pour mimer le lemme A7 de l'Appendice, notons I. f[. II'I. I~V. les composantes connexes du compldmentaire de ~r u ~/, u ~/~ darts l'ensemble e.,. L,., 191/> Mt"-2-a }" Notons de marne Ple compldmentaire de ag~/, to ~, darts l'ensemble {(~,,a) eO,/, n 8,,q, I 91 < Mt'-s-a} (fig. 16). Tldorkrae 2. -- H+ et H_ sont respectivement contenus dans P u I~I to I~ r et P u ~ to I]'I. Tout chemin allant du bord gauche au bord droit de C~/~ ~ 8~/~ en restant dans C~/~ c~ 8~/~ rencontre ~-I + et ~_ . Enfin, ~-I + r~ ~_ C P n' est pas vide. tO~ ~o ~lq .-..--.-~ g. f"v O (t,/2 + 1 -J,) X__ ",,_ _/ = o(t,"+') Mt q- ~ 'a~ __ Mtq-~ Fro. 16 DOnonstration. ~ 1) Commen~ons par montrer que ~+ ra (]'to I]'I) et H_ n (~ u I~V) sont vides. Supposons que 9 >I Mt q-2-~ : le calcul qui prdc~de donne KI(P~,.,,,(0,y)) -- Kl(0,y ) = 2y[(~ -- %) -k 9Y q- 7KI(0,Y) + O(t~-2-~)Y] q- 2yB(0,y) q- II(0,y)', o4 n(0,y) = ~ -- ~1 + O(t'/2) q~(0) + O(t'~m+l-k)y. Comme dans le lemme 12, on en ddduit que sur K 1 = 0, KI(P~.,,e(0,y)) -- KI(0,Y) = 2[9 + O(t"-2-~)]j " + 2yB(0,y) q- [2 + O(t'"/s'-~)]y(~ -- ~1) + (~ -- %)2 qul est positif si y(= -- ~1) Pest. On conclut aloes comme dans le lemme A7. Supposons maintenant 9 <<- --Mr"-2-= : la figure A4 rend manifeste la ndcessitd de travaiUer avec P~,.,e, nous laissons ce soin au lecteur minutieux. 2) La deuxi~me pattie du tMor~me se ddmontre comme darts [3], [4] : nous avons obtenu le lemme A7 en remarquant que, le long de tout chemin dans C~t~ ta ~/~ 60 ALAIN CHENCINER allant d'un bord lat6ral ~ l'autre, les vari6tds stable et instable de deux singularit6s hyper- boliques rdelles consfcutives de E~,a, o se traversaient nfcessairement; il suffit donc de montrer que le mSme phdnom$ne se produit lorsque E~,a, t, est remplac6e par P~,.,t,, autrement dit, que, sit est assez petit, les vari6t6s invariantes de P~,,.,t, approchent sur une assez longue distance celles de E~,., t,. Mais ceci est (par exemple) une cons6quence sans myst$re de la m6thode de [15], c'est-$-dire de la recherche, via le th6or6me des contractions, desdites vari~t6s invariantes sous la forme y = gi(0) -k exp(-- K0) u(0), off y ----g+(0) est un paramdtrage sur un intervalle assez long d'une varidt6 invariante de l'~quation diffdrentielle E~,~,t,. On en ddduit que H+ et H_ sont respectivement ~( proches ~ de I-I+ et H_. D~tailler ceci ne pourrait que fatiguer le lecteur et nous nous contenterons d'une remarque qui permet d'6viter toute itfration effective : ainsi que nous l'avons dit dans la remarque (ii) ~ la fin du w 2.1, dans la formule (63) qui fait apparaltre P~,.,t, comme perturbation d'ordre t Q d'un diffdomorphisme local Rvi q o P~,a,t, ayant les mSmes orbites pdriodiques de hombre de rotation p]q, mais de surcrott commutant ~ la rota- tion R~/q, l'entier Q. peut ~tre choisi arbitrairement grand. En particulier, toute m6thode de transform6es de graphes fournissant les vari6tfs invariantes de ces orbites p6riodiques pour Rvt~ o P~,.,t, les fournit dgalement pour P~,.,j,; mais de par sa commutation ~ R~/~, R~/~ o P~,o,o peut ~tre remplacd par P~,~,,,, ce qui transforme les orbites p6riodiques considdr6es en points fixes. 3) La derni~re affirmation du thdor~me se montre par la m~me mdthode; pour changer un peu, considdrons maintenant des chemins verticaux du type de celui repr6sentd sur la figure 17. Aux extrdmitds d'un tel chemin, la dynamique est bien contr61~e par le tMor~me I et implique que les vari~t~s invariantes de E~,,,~, (et donc celles de P~, o,~,) se traversent lorsqu'on va d'un bord ~ l'autre; autrement dit, on rencontre n6cessairement H+, H_, H+, H_. De plus, le chemin vertical [a, d]ne rencontre ~+ (resp. H_) que sur le sous-chemin [a', e] (resp. [e, d']), et le chemin vertical [b, ~] ne rencontre ~+ (resp. ~_) que sur le sous-chemin [f, c'] (resp. [b',f]). On en d6duit que [a', e] et [f, c'] sont cormect6s dans ~+ n ~, et que [e, d'] et [b',f] sont connect6s dans H_ r~ ~, d'o~ il suit que H+ n ~_, forc6ment contenu dans P, n'est pas vide. Remarque. -- Dans [3], [4], nous ne consid6rions que le cas o~ ~ est tr6s voisin de 0, en se limitant ~ un voisinage [y[ .< o(t~+~), ce qui suffit pour voir les vari6t6s inva- riantes qui nous int6ressent. La famille E~,o,~, est alors remplac~e par la famille ~ un param~tre dO dy di= wy, di= ~y -k 8~(0), simple dquation du pendule avec ~ frottement ~ [3. Gette simplicitfi se paie par l'impos- sibilit6 de d~montrer dans ce cadre que ~+ t3 H_ est non vide. BIFURCATIONS DE POINTS FIXES ELLIPTIQUES 61 .~----.~. ,-._ "~,,t. n (],,/. n { 181 ~< M t~-2-~} b' ~ c~ ~ f ~,/q ~,-~ ~+ n~ FlO. 17 On a represent6 la dynamiquc dc P~, a, t" ou R~ o P~t, a, r GoroItaire. ~ 8i les connexions homodines dont il est question dans H+ et H_ ne sont pas dgg&grdes (i.e. si les vari6tgs stables et instabtes s'intersectent transversalement ou avec un contact N t d'ordre fini), le sous-ensemble C~1 q de C~1~, formg des couples (~, a) pour lesquels P~,,,~, posskde une courbe fermde C o invariante de nombre de rotation p[q, n'est pas connexe. composante conncxe de ~t0 Une autre composantc connexe de C~lq F1o. 18 ________/-- 62 ALAIN CHENCINER En particulier, le sous-ensemble C~/q de C~/~ d6fini dans [5], qui est form6 des (~., a) e C~/q pour lesquels la courbe ferrule invariante est un << graphe ~ (i.e. rencontre en un point et un seul tout rayon issu de l'origine de R ~) n'est pas connexe. Ddmonstration. -- L'hypoth6se implique que (H+ u ~_)n C,/~ = 0. Puisque C~,lq n ~vd = C~/~ n ~ = ~/~ n ~ (fig. 18), les deux grosses composantes connexes e~l e~#p de C~/q -- (H+ u H) contiennent chacune une composante au moins de C~/q (a fortiori de C~/q). On comparera les figures 18 et A8. 5.2. Les families g~n~rlques Dans la fin du paragraphe nous indiquons pourquoi, une topologie analytique tr6s fine 6tant ddfinie sur l'ensemble des families ~ deux param~tres du type considdr6 darts cette sdrie d'articles, la dynamique ddcrite dans les th6or6mes 1 et 2 et dans le corol- laJre ci-dessus apparait gdndriquement (au sens de Baire) pour une suite infinie p,,/q,, de <(bons >~ nombres de rotation rationnels. I1 s'agit de paraphraser [15] en remplaqant l'hypoth6se de conservation des aires par la prdsence de param6tres et, bien que (ou sans doute ~ cause de ce que) des diffd- rences sensibles existent dans la deuxi6me partie de la ddmonstration, nous laisserons au lecteur tout le travail technique, ne lui donnant que le squelette de la preuve, d'ofl les guillemets. Une constante K > 0 dtant fixde, #2.x sera l'espace des diffdomorphismes locaux analytiques de (R 2, 0) P(z) = Z Y~jzi~ ~, Poet, [P~j <K ~+j (donc convergeant sur le disque D K de rayon 1/2 K de R ~) ayant les deux propri6t6s suivantes : 1) L'origine 0 est un point fixe eUiptique ne pr6sentant pas de rdsonance forte; autrement dit, le spectre de la d6riv6e DP(0) est contenu dans le cercle unit6 de C et ne contient pas de racine q-i6me de l'unit6 pour q ~< 4. 2) Dans une (et donc toute) mise sous forme normale de P, P = H -1 o (N + 0([ z I')) oH, N(z) ---- z[1 + a 1 [ z r] efr~i(b~ le coefficient a x s'annule. La topologie sur #2,x sera la topologie fine de Whitney sur l'ensemble des coeffi- cients consid6r6 comme application de N ~" dans C : une boule ouverte de centre P~ = Y, z' BIFURCATIONS DE POINTS FIXES ELLIPTIQ.UES est ddfmie par des indgalitds V i,j avec i +j/> 1, I P,~ -- poj ] < *,~, oCa les r sont des hombres positifs quelconques. On obtient ainsi un espace de Baire (une intersection ddnombrable d'ouverts denses est dense). De m~me, #-3, x sera l'ensemble des families locales analytiques h deux param~tres de diffEomorphismes locaux analytiques P,I, v,(z) = ~ P,j('~I, v~) Z i ZJ = Z P, Jkt ~ vt Z' z~, i+J~0 /+J+k+/~>0 P,~kt s C, [ P~j~t I < K*+J+~+t, telles que P0.0 appartienne ~t t~2. K" La topologie, 6galement de Baire, sur #'3, K est dtfmie de mani&re identique ~t celle sur ~2,~r : une boule ouverte est de la forme V i,j, k, t, I P, ju - 1 < I1 est clair que l'application I',,.,, P0.o est continue pour ces topologies. On vtrifie 8galement la continuit6 des injections canoniques i,, : ~2,1r ~ Diff"(DK), I. : ~'2, K -~ ~'am"(DK), dans les espaces de Banach de diff6omorphismes (families de diff6omorphismes) de classe C ~ munis de la topologie de la convergence uniforme des ddriv6es jusqu'~t l'ordre n sur le disque de centre 0 et de rayon 112 K dans R ~ (resp. R4). La seule difference avec [15] est que, n'ayant pas de probl&me de fonctions g6n~- ratrices, nous ne s6parons pas Ie jet d'ordre un (ce qui reviendrait ~t 8crire P = DP(0) o Q. et~ mettre notre topologie sur les Q et celle de SL(2, R) sur les DP(0)) : on obtient une topologie diff6rente mais les deux coincident sur les fibres de P ~ DP(0). TMorkme 3. ~ II existe un G~-dense de #~,~r formd de families P~.~, ayant la propri~t~ suivante : pour une suite infinie p.[q. de <~ bons >> rationnels, la structure de C..ta. et la dynamique de P~, ~, pour (Vl, v2) appartenant ~ ~../~. sont celles dgcrites dans les thdorkmes 1 et 2, les hypo- thkses du coroUaire du thdorkme 2 grant ggalement vgrifides. En particulier, pour tout (vx, vz) dans l'intgrieur de C../a., P~,,~,possMe exactement deux orbites pgriodiques de nombre de rotation p.[q., dont l'une hyperbolique rdelle, et les gventuelles intersections homoclines se font avec un contact d'ordre fini (en fait ~< g/ngriquement >> au sens de la tMorie des singularitds, voir la figure 21). Remarques. -- 1) Notons + 27:% l'argument des'valeurs propres de DP0,0(0 ). On salt (w 1) que la suite p.[q. converge ndcessairement vers %. 2) Comme darts [15], on a toutes les chances d'obtenir pour les families gtntriques du thtor~me 3 des hombres % <, super-Liouville >> (i.e. extr~mement bien approchts 64 ALAIN CIIENCINER par les nombres rationnels). Cela suffit pour que les conclusions de [5] et [6] s'appliquent ces familles mais, en vue en particulier de la remarque qui cl6t le w 1, il serait intdressant de comprendre la situation gdndrique ~ coo fixd (par exemple satisfaisant ~ uric condition diophantierme !); darts le cas d'un diffdomorphisme prdservant les aires, le problSme est tr~s simple darts la topologie C ~~ (voir par exemple [2 quarto]), mais beaucoup moins darts la topologie analytique ci-dessus. 3) Comme dans [15], on ddduit du thdor~me 3 un thdor~me a~Mogue pour les families locales C ~ dc diffdomorphismcs locaux C". On laissc au Icctcur Ic soin d'dnonccr dcs thdor6mcs dc gdndricitd dans d'autrcs topologies. 4) Ainsi qu'on l'a montrd dans [6], on ddduit du coroUairc du thdor6me 2 quc, pour unc famillc gdndriquc P~ .... , il cxistc unc infmitd dc (<< mauvais >>) irrationncls co tcls quc dcs mcmbrcs dc la famillc P~,,,, poss6dcnt un cnscmblc invariant d'Aubry- Mathcr dc nombrc dc rotation co mais pas dc courbc rdguli6rc invariantc dc cc hombre dc rotation (dans Ics notations dc [6], ccci s'dcrit (~ # ~). Rappclons qu'unc tcllc dvcn- tualitd cst excluc si co cst un << bon >> irrationncl (voir [5]). II cst bon d'intcrprdtcr cc thdor6mc ~t la lumi~rc de la figurc 11 dc [5] : dans la situation gdndrique, une sous-suite convergeant vers (0, O) des ~ bulles ~> qui y sont reprdsentdes rencontre au moins l'un des Cl~n/q n (dventuellement un nombre fini). Une telle << bulle avec taille de gu~pe ,, est reprdsentde sur la figure 19 (tirde de [7]). La dynamique le long d'un chemin traversant cette << bulle ~, au plus dtroit est reprdsentde sur la figure 20 (dgalement tirde de [7]) : on a choisi un chemin tel que la premi&re et la derni&re bifurcation se fassent en un point du type de Bogdanov (voir w 3.2). NB. ~ Darts la figure 20, les n os 1, 2, 8, 9 sont des reprdsentations compl&tes de la dynamique; dans 3 et 7 la dynamique << insulaire ~ n'est pas prdcisde : on verra dans le w 6 qu'il peut exister de petites courbes fermdes invariantes par qn ndes par bifur- VI ~ VS cations dc Hopf. Enfin, dans 4, 5, 6, il pourrait a priori sc trouvcr encore des courbcs fcrmdes rdguli~res invaxiantes par P, .... . Rcmarquons ~ cc propos quc nous avons rcprdscntd sur ]a figure 20 des intersections homoclincs d'un autrc type quc ccllcs dtudidcs dans ce paragraphc. Lc Icctcur couragcux compldtcra notre dtudc, cc qui l'am6ncra ~t cnrichir la figure 16 dc la maniSrc suivantc : FIo. 16' BIFURCATIONS DE POINTS FIXES ELLIPTIQUES 65 Des Etudes numEriques des diffErentes configurations d'intersection ont EtE faites par J. R. Johnson ([10]). << Ddmonstration >>. -- 1) Soit O~ .... un ElEment de ~,k tel que Qo, o s'Ecrive t O~0=Ho6_.00oI~', H(0)=0, (102) ~o.0Cz) = ze 2~'C~.+~l~ + o(1 ~1'). Soit B = B(Q.~,,.,, r une boule ouverte de ~2,, de centre O ..... ; il existe > 0 tel que, pour tout rationnel p[q (Ecrit sous forme irrEductible) distant de moins de r de COo, il existe P.,,., ~ B ayant la propriEtE suivante : apr~s changement de coor- donnEes et de param&rage, P.1, ~, devient une famille P~,~,,I dolmEe par une formule du type (36), (41) avec cx(0 , 0, 0) # 0 et t o assez petit pour que les conclusions des thEor~mes 1 et 2 soient valides pour tousles P~,.,,,, 0 < t ~< t 0. En particulier, la langue de resonance C./a de la famille P ..... est bordEe par deux courbes lisses et les valeurs des param&res situ&s dans son intErieur correspondent ~ des diffEomorphismes locaux qui ont exactement deux orbites pEriodiques de nombre de rotation p[q, dont l'une hyperbolique rEelle. Pour dEmontrer cette affirmation, nous pourrons ne modifier qu'un hombre fini de coefficients Q.~,t du dEveloppement de Taylor de Q. ..... : on commence par plonger Q.~,,~ =Ho(~,,~oH -1 dans la famille k trois param&res Q.~ ....... obtenue en rempla~ant le debut (jusqu'~t l'ordre trois) du dEveloppement de Taylor (en z, i, vi, vg) de Q.~,,~, par le segment homologue du dEveloppement de Taylor de H o Rc~/a>_,o,+., o (~.,,.. o H -1 (en particulier, O ~,,,, = O ........ -~ml)- I1 suit du thEor~me des fonctions implicites qu'une petite translation des coor- dolmEes dependant des param&res nous ram~ne au cas off l'origine est fixEe par tousles ElEments de la famiUe; un nouveau changement de coordonnEes conduit ~t une forme normale du type ,~>o + q(',~,,,~, ',.)~-' + o(1 z I~ avec ao(O, O, 'Js) = a~(O, O, ,~) = O, bo(O, O, "~) = (p/q) + ,~. Par une Eventuelle modification d'un nombre fini de coefficients du dEveloppement de Taylor de la famille initiale Q.*I,*,, on peut s'arranger pour que l'application (~1, ~,) -(a0(~, ~,, 0), al(~l, ~,, 0)) soit un diffEomorphisme local, ce qui permet de choisir [z = a 0 eta = a 1 comme nouveaux param&res. De m6me, on peut obtenir que a~(0, 0, 0) ~ 0, bl(0, 0, 0) ~ 0, 0bo (0, 0, 0) + hi(0, 0, 0) ~ 0, cd0, 0, 0) ~ 0. -- 2a,.(O, O, O) Oaa ~o 4~J ~ ~N BIFURCATIONS DE POINTS FIXES ELLIPTIQUES 67 ; r~ ,;~-,~ ~ [,. ~//'kl .-.~: ;Y "" it' ,.h " (L ], , ',._._/..,~ ~ ,, ! , 1 " A, R = attracteur, r~pulseur, du type de Birkhoff ? t r q P . ! I . s S 7 8 Fm. 20 qn (dynamique de Pv~, v,) On d6fmit alors P ..... ~ partir de la famille k trois param~tres ainsi modifi6e en fixant le troisi6me param6tre/i une valeur assez petite pour que les conclusions des th6or6mes 1 et 2 soient valables. 2) Nous avons donc obtenu, en modifiant 16g6rement un nombre fini de coeffi- cients Qai~t du ddveloppement de Taylor de la famille Q,~,,~, une famiUe P~,~, dont la dynamique associ6e k un rafionnel p/q proche de ~0 est conforme ~t ce qui est dfcrit darts les th6or6mes 1 et 2. I1 nous faut maintenant, par une petite modifcation d'un hombre fmi de coefficients P,~,t du dfveloppement de Taylor de la famille P~,,,, (dans 68 ALAIN CHENCINER ses coordonndes initiales et non apr6s la mise sous forme normale), rendre (( gdn6riques ~ les intersections homoclines associ6es ~t l'unique orbite pdriodique hyperbolique r6elle 6ventuelle de hombre de rotation p/q des 616ments de la famille. Gdndrique signifie ici que les seules configurations rencontrdes au voisinage d'une valeur de (~1, "~) sont les suivantes (fig. 21) : on a dessin6 dans chaque cas la surface obtenue en associant ~t chaque valeur de (vx, v2) la position x des points d'intersection homocline sur l'une des vari6tds choisie comme rdf6rence. On a dessin6 6galement le contour apparent de cette surface sur le plan des param6tres, et les configurations d'inter- section correspondant aux r6gions ainsi ddlimitdes. Rappelons que, comme la transver- Codimension 0 Intersection transversale Codimemi~ l Contact quadratique Codimension 2 (local)~ /" Contact cubique Codimension 2 (global) S x 2 contacts quadratiques ind~pendants oll FIo. 21 BIFURCATIONS DE POINTS FIXES ELLIPTIQUES salit6, toutes les configurations locales g6n6riques sont ddfinies par une condition portant sur un jet d'ordre fini au point d'intersection d'une fonction rep6rant l'une des vari~t6s invariarttes par rapport ~t l'autre. Comme dans [15], on commence par montrer qu'on peut arriver ~t ce rdsultat par une petite perturbation C = ~t support compact disjoint de ((0, 0), (0, 0)) dans l'espace 112 � 112 de coordonn6es z, 5, vl, v~ : la condition sur les supports vient de ce qu'au niveau z, 5 tout se passe dans une couronne contenant l'orbite pdriodique en question, alors qu'au niveau vl, v 2 tout se passe dans C~/~ qui, puisque l'origine est un attracteur faible pour P0,0, ne peut rencontrer (0, 0). Remarquons que, comme prdcddemment, la stabilit6 de la situation permet de ne vdrifier les conditions de non-d6g6n6rescence que sur l'approximation de P~ .... invariante par un groupe isomorphe au groupe engendrd par R~/q, et done de troquer sans it6rer les orbites pdriodiques consid6r6es contre des points fixes. Enfin, on utilise encore une lois cette stabilit6 pour approcher la perturbation C ~ par une perturbation polynomiale dont le jet en ((0, 0), (0, 0)) s'annule ~t un ordre aussi grand que l'on veut. 3) Les points 1) et 2) << montrent >> la densitd du sous-espace ~. de o~'~, K form6 des familles satisfaisant aux conclusions du th6or~me 3 pour au moins un rationnel p/q tel que [ o~ o -- (p/q) l< r La stabilit6 des familles ~ deux param~tres gdn6riques de configurations d'inter- section implique l'ouverture des f~, ce qui termine la ddmonstration du th6or~me 3 : on choisit comme G~-dense l'intersection des f~.. pour une suite e. tendant vers 0. Remarques. -- 1) Les points de contact cubique n'interviennent manifestement pas darts le contour apparent de H+ et H_. Dans la situation g6n6rique, celui-ci a done comme seules singularit6s darts l'intdrieur de (~/, des points anguleux provenant des paires simultandes de contacts quadratiques. 2) Lorsque ~ est suffisamment positif, les bords supdrieurs de Het H+ corres- pondent aux arcs ED et E' D' d6crits darts les pages 332 et 333 de [2]. Lors de cette comparaison, garder en t~te la figure A8 et l'existence du << pli >> le long de r qui ~change les r61es des deux composantes du bord de ~+ (on suppose ici que H+ est cormexe). 3) Ainsi que l'a not6 le referee, on peut d6tailler de la mani~re suivante les conclusions du th6or~me 3 : Si un nombre rationnel p/q est dorm6, il existe un entier g = g(p/q) tel que les familles P.,. vdrifiant pour ce rationnel les conclusions d6sirdes forment un ouvert pour la topologie C t sur les families; il existe done un G 8 pour la topologie C | (et toutes les topologies plus fines, en partieulier celle du texte) tel que les familles qui lui appartiennent v6rifient les conclusions d6sirdes pour une infmit6 de ratiormels; fmalement, cet ensemble G 8 de familles est dense, m~me pour la topologie extr~mement fine considdrde dans le texte. 6. ORBITES P]~RIODIQUES ELLIPTIOUES ET LEURS BIFURCATIONS DE HOPF Nous revenons dans ce paragraphe ~t la dynamique des families ~t trois para- m~tres P~,a, ~*- Les 6quations E~,.,~. = E(~, [~) sont hamiltoniennes (dans R ~) pour [5 = 0; ceci vient de la non-prise en compte, ~t ce degr6 d'approximation, de la forme pr6cise des coefficients de y ety 3 dans l'expression (63) de P~,a,t. (voir la formule (103)). On s'attend ~t ce que cette prdcision ait pour effet de ddployer dans l'espace des param6tres la famille de courbes fermdes invariantes qui entoure les points fixes ellip- tiques de E(~, 0) : pour le vdrifier, il suffit de s'assurer de la non-nullit6 (< en gdn6ral >> du terme non lin6aire qui fournit l'attraction (r6pulsion) faible n6cessaire pour chasser lesdites courbes ferm&s de la r6gion [5 = 0. Bien entendu, pour P~,.,,,, il s'agit d'orbites p6riodiques et non de points fixes, mais la remarque d6jA faite A propos de la recherche des varidt~s invariantes des orbites p~riodiques hyperboliques est 6galement valable ici : puisque, dans le reste O(t Q) de (63), l'entier Q.peut ~tre pris arbitrairement grand, les conditions d'attraction (r6pul- sion) faible sont vdrifi&s pour les points fixes elliptiques de Pq ~,.,t, dos qu'elles le sont pour ceux (les m~mes !) de P~,.,t,, off R~/~ o P = P + O(t Q) est la pattie de P com- mutant ~ R~t q. Dans la suite, c'est doric la famille ~,~,~. que nous &udions. Analysant le passage de (59) ~ (63), on constate que (103) yA(tz, a, t, 0,y) = A~(0)y + A2(0)y 2 + (,: + A3(0))y 3 +y~ A(0,y), off ~c = ~c(tz, a, t) et les A,(0) -- A~(tz, a, t, 0) v6rifient les estimations r, ~ 7t ~l~-~-~ = O(t ~-~-~') < O, [A~(O) l < O(t'), (lO4) IA,(0) l < o(t I A.(O)[ ~< O(t~-"-~), I X(0,y) l < o(t en effet, yA(0, y) = ~ a~(t 'qm-8-~)'-ay' + t,q/2)+a +k[~(0 ' t,~/2,-S-~y) __ ~(0, 0)], BIFURCATIONS DE POINTS FIXES ELLIPTIQUES o~ a~ ~ s' (pousser le dfiveloppement de (48)), et ~(o, ~) = ~(o, ~) + o(t 0-~) = cx(l + x)~"/~'-a[2(1 + x) -- qx] cos(2r~q0) + O(t ~) = ~t(O, O) + qx{[((ql2 ) -- 1) 2 + (2 -- q)] cos(2r~q0) + OCt~)} -t- x2 O(1) = ~l(O, O) + xO(t 2) + x ~ O(1). On a donc P~,,.,,,(O,y) = R.,. o P~.,.,,,(O,y) + (0, O(tQ)), P~, ., ,.(0, y) = (| Y), (105) O = 0 + wy, Y = e + ~(0) + [1 + ~ + Ax(0)]y + Iv -t- A~(0)]y ~ + [~ + A~C0)]y' +y' X(0, y), off les points fixes de P~,,,t, dont on 6tudie les bifurcations de Hopf sont les (0o, O) = (Oo(e, ~), O) tels que (106) e + ~(0o) = 0, ~'(0o) < 0. La d6riv6e DP~,o,~,(0o, 0) s'6crit ~,~ o) = 1 + ' (: ~ (107) v = ~'(0o) < 0, = ~ + A~(0o); si ~2+ 4vw < 0, ses valeurs propres sont ,x=a de module 6gal k 1 si et seulement si XX = 1 + ~ -- vw = 1, donc (109) = vw (donc u = %/-- 4~ -- ~ -~ 2 %/~w I ~'(oo)1), c'est-~-dire (109') = - ADO~ + ~w~'(0o). Le passage dam une base propre se falt par l'identification suivante de 11 ~ (coor- donn6es 0, y) ~t C (coordonn~es z) : (110) - iu z ou z = i , =~0+ ~)+~C --z), w ~u wu 72 ALAIN CHENCINER qui, au voisinage de (0o, 0), transforme P~...,. en = z, Z =Xz+A(z+f) 3+B(z+5)(z-5) +C(z--5) 3+D(z+5) a +ECz+f)~(z--f)+F(z+5)(z--5) 3+ GCz--5 3) + o(I z 14), A = -- 2--u 3wz ~"(0~ + wv-A;(0~ + 2-(T + Aa(0o)) , w , B -- ~ Aa(0o) + ~ (y + A~(0o)), iu (Ill) C = ~.(y + A2(0o)), w 2 ~ w~2 ~s ] + ~ A'x'(0o) + ~ A'2(0o) + ~ (K + As(0o) ) ], D = -- 2~ 4'"(0o) ~2 w~ , 3~ ~ A'z'(0o) + -~- A3(0o) + -~- (K + A.(0o)), iu wA~(0o) + ~-(K + As(0o) ) , u ~ G _ 8 (K + As(0o)), qui s'6crit encore i P~.a.,,(z) = ),z + ~ a,5 z * 5 j + ocI z I'), avec (112) a2o = A + B + C, all = 2(A -- C), a02 -- A -- B + C, azl = 3D + E -- F -- 3G. Le calcul standard de formes normales montre que l'61imination par changement de variable z~z+ xZ Y~ z~5j ~+j=2 des termes quadratiques en z, 5 dans (112) transforme le coefficient a2z de z35 en , 2a2o .q_ [ an a2o a n ~ . (113) a21=a21+ 1--X I~--X +xx X(X-- 1) -t- Xz En un point off XX = 1, la condition de non-d6g6n6rescence (attraction ou rdpulsion faibles) suffisant k assurer l'existence d'une bifurcation de Hopf est simplement Re r O, c'est-5~-dire al.........i~l BIFURCATIONS DE POINTS FIXES ELLIPTIQUES 73 1 X 2 i~ 2lao~ (114) [ "}] Re +Re (X-- 1) -- a~~ an +[a~ +X a+x+ I # 0, OU encore 1 + (E--3G) +~(3D--F) + (A S- C ~) (1 -4-O(u*)) (115) _ 4 B(A -- C) (1 + O(u2)) + 2(A -- C) 2 su + [(A + C) ~ -- B ~] (1 + O(u~)) r o; en effet, u 2 (116) = -- ~- (1 + O(u')) = ~w~'(0o) ~< O(tq), X -- 2 1 (1 + O(u')) + 2i (1 + O(u')), done X(?~ -- 1) -- 2 u 1 1 iu 1 2i ..... (1 + o(.2)), X--1 2+2g 2 u t t (1 + O(u')) 2i (1 + O(u')). X 3- I -- 2 --3uu Supposons tout d'abord ct choisi tel que ~"(0o) = 0 [en particulier ~ ~< O(~t~)] et ~ d~flni par (109'). Puisque ~(0) = eos(27rq0) + O(t2), on en ddduit " ~'(0o) = -- 2~q + O(t ~) et ~,,,(0o) ~_ 8~3 q3 _.~ O(t2). Evalu~ ~ partir de (111), le premier membre de (115) est un O(t 2a-2-~) qui s'&rit w 2 (117) ~- [-- ~w~'"(0o) + A'1'(0o) ] + 3~:q ~w~: + O(t2q-~). Supposons maintenant ~ ehoisi tel que ~'(0o) soit tr~s proche de 0 et [~ toujours d~fini par (109') (autrement dit, on est tr~s proehe de l'un des deux points de Bogdanov sur ,~.,,,). Le premier membre de (115) est maintenant un 0 ~~], plus prdcisfiment w~ ~"(0o) t ~- ~ (118) 41 ~'(%),[-- 8w~"(0o) + A' 1(0o) ] -4- O (~), avec ~"(00) = ~z 4~ z q', le signe ddpendant de la composante du bord de (~,/~ dont on s'approehe. Le contr61e des expressions (117) et (I18) n&essite une dvaluation de At(0 ) : il suffit (sic.t) pour cela de pousser d'un cran les calculs de formes normales r&onnantes du w 2.1 en prenant eomme point de ddpart la forme suivante de (40) " (119) P~,,,,(z) = z[(I)'(~, a, t, I z r; 0) + D~ ~ + D2 z ~1 + Y~ ~'-' + O(I z I q+ z). lO 74 ALAIN CHENGINER Nous noterons I D~ = DI(~, a, t) = u~ e ~'~, (120) D~ = D2(~t, a, t) = us e ~', et oublierons systEmatiquement de noter les dependances en t~, a, t des divers coefficients. On obtient, apr~s une rotation des coordonnEes de (l/q)(g(0) -- d~), la precision suivante de la formule (44) : P~, ~, ,(re ~*~ = Re 2"*~ ' 19 = 0 + g(r 2) -- 2r~(1 +f(r~)) [c~ r '-~ sin(2r~(q0 + g(r ~) -- g(0))) + u x r" sin(2~(q0 + g(r ~) -- g(O) + da -- vx) ) (121) + u~ r* sin (2r~(-- q0 +g(r ~) + g(0) -- d x -- v2))] + O(r~+~), R = r[l +f(r ~) + c x r ~-2 cos(2~(q0 + g(r ~) -- g(0))) + ua r" cos(2r~(q0 + g(r ~) -- g(O) + d a -- v~)) + u~ r ~ cos(2r~(-- q0 + g(r ~) + g(O) -- d~ -- vz))] + O(r'+~). Posons maintenant, comme en (45), r = r(Plq)"V/1 + o. Puisque g(r ~) = g(O) + bxr ~" + O(r(plq)" ) etf(r 2) = t~ + a rz + .... O(r(plq) 4) (voir 49-1), on peut remplacer l/(2rc(1 +f(r')) par 1/2~ et g(r')--g(O) par bx r 2 = bx r(p]q) 2 (1 + ~) = x(p]q) (1 + ~). I1 vient P~,,,,(0, ~) = (19, ~), avec 0=0+ ~/q) + ~(p/q) ~ + ~(/,/q), T(~) c 1 2re r(p[q)~-2 (1 + a) ~-2~/~ sin(2~(q0 + "r (1 + ~))) ul o) 0~ sin(2~(q0 (1 ~) 2~ ~(P/q)" (1 + + <P/q) + + dl -- v~) ) u~ o)~/2 2r~ r(p/q)q (1 + sin(2r~(- qO + "r (1 + o) + 2b 0 -- (122) O(r(p[q)q+~), X =,~+ (1 + ~) o + so ~ + r(p/q)" S(~) + 2c~ r(p[q) ~-~ (1 + 0) ~t2 cos(2~(q0 + "r(p/q) r + ~))) + 2u~ r(p/q) ~ (1 + ~),,/2,+~ cos(2~(q0 + .c(p/q) (1 + 0) + d~ -- v~)) 2u~r(plq) ~ (1 + ~r) '~+~ cos(2~(-- qO + "r(p/q) (1 + 0) + 2bo -- d~ -- v,)) O(r(p/q)q+~). Enfin, dans 8,/a (dfifini au debut du w 2.2), It(p/q) 2 -- p~/q I et I ~0/g) - ~,~, I sont au plus d'ordre r3t-~q/2~-l-k), et si F(0, a) est de elasse C ~ et (p/q)-pEriodique en 0, ~kia~/q aF (0, ~) ~p + O(r r + O(0'~,.) r + O(~,,). F(O, E) -- r(O, o) = ff~ BIFURCATIONS DE POINTS FIXES ELLIPTIQUES On en dEduit que le changement de variables (0, a) ~ (0, p) dEfini par (123) p = -- (O -- 0 -- (p/q)), "~ ~l q conduit ~ l'expression suivante qui precise (50) (on a pose -: = %,/a) : P.,=,,,(0, p) = (@, R), O = o + (p/q) + .~, R=v' +(1 +r *+ Z a~p'+2c zt "-~cos(2n(q0+x)) + 2t"[uacos(2n(qO + da -- va)) + u~ cos(Z~(q0 -- 260 + da + v,))] 024) + [2t"[ui cos(2,~(# + 4 - a)) + (q + 1) ,,~ cos(2,~(qo - 2bo + 4 + v,))]] ~ + o(t ~) 0 ~ + o(t ~ ~ + o(t"+~). Les autres changements de variables, ~ l'homothEtie pr6s faisant passer de x ~ y, sont suffisamment tangents ~ l'identitE pour ne pas perturber ces formules. On en ddduit que Az(0 ) n'est autre, ~ O(t ~+2) pr6s, que le coefficient de p dans l'expression ci-dessus de K; autrement dit, puisque d'apr6s (63) et (104) on a : $~ ~_ .~l--(ql2) + S + k, 4(0) = cos(2nq0) + O(#), ": = wt -(~1~)+8+~, 2c a t q-~ ~t (q/~)-8-k, K ,-, yt (q/2)-8-~ on obtient A,(0) = t o r + tl 4'(0) + O(t~+~), o~, t o = 2t~[uz cos(2~(d z -- vz) ) + (q + 1) u~ cos(2n(-- 2b o + dt + v2))], 1 / vt(~/~'-~-"/ (125) t, = ,1 -1 t ~ -[-- -- [U 1 sin(2Tc(a 1 -- Vl) ) -.}- (q --+- 1) uz sin(2rc(-- 2b o --I- a, + v2))]. ~q En particulier, (117) et (118) deviennent respectivement (117') 2~8 qa wZ(t z _ ~w) + 3~q ~wyt (~12'-8-k + O(t2~-~), (1189 Ir ~)" Supposons comme d'habitude que ~ et w sont positifs. Si, par exemple, ([ y[ t'ql2)-s-k[(4~* w*)) < 1, et si I uz Iet [ u 2 [ sont assez petits, l x -- 8w sera nEgatif ainsi donc que (liT), (118'), et le second membre de (109') qui vaut t o ~(0o) + (11 -- ~w) I ~'(0o)I. 76 ALAIN CHENCINER Cela signifie sans doute que tout le long de la courbe de bifurcation d~finie par (109'), l~.,~, t, (et done ~galement P~,,.,t,) subit une bifurcation de Hopf supereritique Une telle situation, ainsi d'ailleurs qu'une grande partie de la dynamique d6erite dans ce travail, a ~tfi observ~e numfiriquement dans [11] dont les motivations sont biolo- giques. La figure 22, qui complete la figure 16', est adapt~e de cet article. I~'IG. 22 (adapt8e de [11]) Cependant, si u2 sin(2n(-- 2b0 + dl + v~)) est assez grand, t 1 -- ~/) peut tr~s bien devenir positif, et les signes de (117') et (118') peuvent alors diff6rer; moyennant certaines in6galitfs sur ses coefficients de Taylor, une famille g6n6rique P.l,v, donnfe par le th6or6me 3 peut done prfsenter dans chaeune des langues de r6sonanee de la suite C~./~. des bifurcations de Hopf d6gfn6r6es de P ..... q. (annulation du coefficient Re(a21[~.), ' qui joue le r61e du param6tre a). I1 reste h v6rifier que, quitte ~ restreindre l'ensemble des families g6n6riques, on peut 6galement supposer que toutes nos conditions de non- d6g6n6rescence sont satisfaites (le coefficient Im(a~l/k), par exemple, se ealcule facilement partir de nos formules). Ainsi, de mfme que dans le cas conservatif les lies elliptiques s'embottent, r6p6tant l'infini une dynamique toujours la m~me, il semble que dans nos families h deux para- m~tres le diagramme de bifurcation puisse contenir des r6pliques de lui-m6me de plus en plus petites. Nous laisserons le lecteur poursuivre dans cette voie. Note. -- Tous ces calculs sont bien fastidieux et les causes d'erreur ne manquent pas. On peut, par exemple, v6rifier la coherence de (117) et (118) en remarquant que le terme dominant des deux expressions s'annule bien lorsque P~,o,t, est remplac6 par le diffdomorphisme obtenu ~ partir du ~ temps 1 ~ de l'6quation difffrentielle hamil- tonienne E(a, 0) en effectuant le changement de variables qui transforme | en 0 + wy; on v6rifie en effet qu'alors K = O(v 2) = O(t ~+2-~) et AI(0 ) = 8w~'(0) + O(t~+2). CONCLUSION Nous avions commenc6 cette s~rie d'articles el1 comparant les familles ~ deux param&tres P~,~ que nous dtudions k un diff~omorphisme local H pr~servant les aires de R ~ au voisinage d'un point fixe elliptique. Dans ([5], figure 1) nous indiquions l'ana- logie existant entre la dynamique de H et celle de la famille P~, a << le long ~ de la courbe de non-hyperbolicit6 F. Nous pouvons maintenant enrichir cette comparaison en faisant intervenir la dynamique de P~,a le long de chemins transverses ~ F. Plus prdcis~ment, de m~me que H est une perturbation d'une forme normale N qu'on peut identifier A une famille un param~tre de rotations du cercle, la restriction de P~,~ au voisinage ~r est une perturbation d'une famiUe de formes normales N~,~ qui peut ~tre consid~r6e comme une famille k un param~tre a ~ (~ ~ N~,~) de families k un param&tre, dans chacune des- quelles se produit l'~limination d'un couple de courbes fermdes invariantes ([7] figure 1; c'est ce que dans [7] nous avons appel~ << chemin standard d'dlimination ~). Aux courbes invariantes de H donndes par la thdorie de K. A. M. correspondent les sous-familles ~ un param~tre tz ~ P~,a passant par les points ~ de l'ensemble de Cantor ~ introduit dans [5] (i.e. les familles ne rencontrant aucune << bulle ~) : ces familles ~, ressemblent ~, en un sens que nous avons rappeld dans le w 3.2, ~ un chemin standard d'61imination. Aux ensembles invariants d'Aubry-Mather de H correspondent des sous-familles de P~,~ rencontrant les ensembles Co (voir [6]) et subissant a priori des bifurcations complexes. Enfin, nous venons de montrer qu'aux orbites p6riodiques de Zehnder et~ leurs orbites homoclines correspondent des sous-familles de P~,~ traversant au plus 6troit une ~< bulle avec taille de gu~pe ~. Le long d'une telle famille A un param6tre, la dyna- mique s'approche de celle d'un chemin standard d'dlimination autant que le permet l'apparition d'orbites pdriodiques isoldes entre les courbes invariantes qui d6sirent s'dliminer (fig. 19, 20). De m6me que nous avons montr6 que l'apparition de ces orbites pdriodiques se faisait avant la disparition des courbes ferm~es invariantes, il serait tr6s int6ressant de montrer qu'au moment off apparaissent les premiSres tangences homoclines correspon- dant ~ la travers6e de 0H+ et O~I, il n'existe plus au voisinage aucune courbe ferm6e r6guli6re invariante par P~,~. On en d6duirait qu'avant de s'dliminer, les deux courbes se transforment en une paire d'un attracteur et d'un r6pulseur du type de Birkhoff ([2 b/s]). 78 ALAIN CHENCINER De teUes ~ courbes ~tranges ~) contiendraient des ensembles invariants d'Aubry-Mather dont les nombres de rotation parcourent tout un intervaUe ([10 bis]), ce qui donnerait, par analogie avec le cas des families d'endomorphismes du cercle, une premiere intuition de la faqon dont les diff~rents ensembles G,~ s'intersectent. La figure 23 d~crit, darts ce cadre conjectural, la distribution des nombres de rotation (i.e. des ensembles C,,) rencontres le long du chemin considfir~ dans les figures 19 et 20. Notons que l'existence d'un intervaUe de rotation pour la valeur 5 du param~tre est assur~e par le th~or~me 2 de [2] (voir ~galement [8 b/s]). goo d p/q .-- $3.:; ' 4 ::5 6 ...... 78 ~ ~ param~tre du chemln F~o. 23 Cette question sur les attracteurs de Birkhoff est bien dans la ligne de notre principal propos qui aura 6t6 d'analyser la tension hyperbolique-elliptique qui se manifeste quand on m61ange les influences radiales (coefficients a~ des formes normales, intervenant dans les th6ories du type de la classique bifurcation de Hopf) et angulaires (coefficients b des formes normales, intervenant dans les th6ories du type K.A.M.). Nous retiendrons en particulier le grand pouvoir organisateur qu'a sur la dynamique globale la pr6sence de sous-dynamiques de ~ bon ~ hombre de rotation, rationnel ou irrationnel, d6s que coexistent distorsion et dissipation. APPENDICE : ZOOLOGIE DES ]~QUATIONS DIFF~RENTIELLES E~, o, ~, Cet appendice contient divers r6sultats sur les portraits de phase et les bifurcations des dquations E~,,,,,, rebaptis6es pour la cireonstanee E(~, [3) (t> 0 petit est fixd, et I*, a varient dans 8~t ~ off ~, ~ sont des coordon.n6es ddfinies dans le lemme 6) : = wy (A1) E(0c, [~) dy On trouvera la ddfmition de w, y, 8, ~ dans la formule (63); rappelons en parti- culier que y, 8, ~ ddpendent (peu) de (Ez, a) done de (% [3). En fait, tousles rdsultats que nous ddmontrerons sont identiques ~ ceux que ron obtiendrait en supposant w, y, 8 constants [pour les figures w > 0, y < 0, 8 > 0] et ~(0) dgale ~ cos(2~q0). Le w 4 du texte n'utilise que le lemme A3; le d6tail des bifurcations (en particulier le lemme A7) intervient par contre dans le w 5 off l'on 6tudie les orbites de P~.,,,. homo- clines aux orbites pdriodiques hyperboliques de hombre de rotation p/q. Nous concluons cet appendice par une description du diagramme complet des bifurcations de la famille E(~, [3) dans le cas o~ y, 8 ne d6pendent pas de ~, [~, et ~(0) = eos(2r~q0) (fig. A6); toujours sous ces hypoth6ses, nous d6erivons 6galement la distribution des hombres de rotation du ~ temps 1 >) de E(% [3) sur ses courbes ferm6es invariantes (fig. A8). Les d6monstrations se trouvent dans [7 b/s]. NB. -- La lecture sera grandement facilit6e par la contemplation pr6alable de la figure A6. Notations. -- 1) Nous eommettrons souvent l'abus conslstant ~ rioter (0t, [3) E a/, y = y(0~, [~), ~(0) = ~(~, [~, 0), au lieu de (tL, a) e a/, yC[z, a, t), ~(t*, a, t, 0), etc. 2) E(~, [3) ddsignera 6galement le champ de vecteurs (darts T x � R ou son rev~- tement R ~) d6fi_nissant l'6quation E(~, [3). 3) E="~ [3) d6signera l'dquation dO = wy (a2) E", 0(~, ~) dy , a = + vy' + oft y = y(=, [3), 8 = 8(~, [~), ~(0) = ~(~, [3, 0). (E'"~ [3) ne coincide en g6n6ral avec E(=',0) que si 0~=~' et [~=0). 80 ALAIN CHENCINER 4) On utilisera comme darts le w 4 les notations 4y~ ' (R) 21 ~ 0~1 0~2 a"- Ivl' (~1 et ~ sont ddfinis en (A8) et (A9)). On d6fmit les sous-ensembles suivants de 8~t~ : ~,~ = ((~, ~) ~ a~, ~ - 4~ .< 0 }, ( ( ;-- I':1 ' ~ + ' (A4) .4 Ivl ) ~,~, = { (~, a) ~ ~,/., ~ = ~ }. On a les inclusions ~videntes ^~ "~ [d~/q, o ~ ~/q, ~/q sont d~finis respectivement en (64) et (74).J Dans les notations (R), les d6finitions pr6c~dentes deviennent { (~, a) E ~,/,, a ~ 0 }, "~0 {(~, ~)~ ~.,~, ~ + a,~ (l~t + V~)~}, (A' 3) (~, a) e ~/., +a~>_. (~ + ~)~ si +~.< o =----7~ 2 ~) ~.,,, ~ + ~>: (-I ~ I + V~ + ~.)}, (A' 4) l ~q~~ = {(~' e d~/~, le riot de E(~, 6) dans T 1 x R ne laisse invariante Lemme A1. -- Si (~, ~) aucune courbe fermge C o (orbite pgriodique ou rgunion d'orbites et de singulariHs) homologue T ~ � {0}. BIFURCATIONS DE POINTS FIXES ELLIPTIQUES 81 Ddmonstration. -- Soit .W(0,y) =yZ -- (2a/w) X(0) la fonction d6finie au w 3.1. On constate que [E(~, [~)..~a] (0,y) = 2(= + ~y + VyZ)y est du signe de (--y) d6s que (~, [~) e ~7~/~. Puisqu'aux points off X(0) = infx(0 ) (donc 4(0) = 0), y = 0, le champ a pour composantes (0, ~), on conclut comme dans le corollaire du lemme 7 si 0r 4 = 0; si (% ~) = (0, 0), le r6suttat d6coule du lemme suivant : Lemme A2. -- Multipli/par lefacteur intdgrant exp(-- (2y/w) 0), le champ E="~ ~) (relevd au revgtement universel R ~" de T x � R) devient hamiltonien : wye- ~ _ o _ OH (0,y), 0y _ Lv o OH (~'+yy'+84(0))e " -- 00 (0,y), oth _2"t o ZO H(0,y) = -~ (y' -- U'(0)) e ~ (A6) (sin(2~qO) + t" ~(0)) h"(O) = _ _ + u ~r + 7= ~ q~ w~ __ m .A[_ __ (sin(2~q0) + O(t~)) T r~qw (~(0) = ~(~, [3, 0) est (1/q)-p6riodique et born6e ind6pendamment de t). La figure A1 donne le portrait de phase de E~"~ ~) en fonction de ~'[~, ~ n'inter- viennent pas qualitativement] : c'est le modkIe d'dlimination rdsonnante d'un couple de courbes invariantes. Ddmonstration. -- Elle est 6vidente : H(0,y) = ~ y~ + y w e ~ 4(u) e g" du e--~ Puisque 4(u) = cos(2~qu) + t 2 4t(u), o~ 4z est (1/q)-p~riodique, bornde ind6pendamment de t, et d'int~grale nulle sur une p~riode (voir (63)), un simple d6veloppement en s~rie de Fourier montre que Lv o fo (2a/w) e ~ J A4(u) e -V" du = (alv'v' + q' w"-) - %)) + t'-zdo)], ol) cos(2r~qOo) = -- V/'~/'~ ~" + &" q~ w ~ = O(t~), sin(2rcqOo ) = (~qw)/%/.~2 + r~2 q2 w 2 = 1 + O(t4), d'ofi la conclusion. 11 82 ALAIN CHENCINER s ~ 0t r ._.I--- ~(1 + O(t~)), O, - ~(I + O(t*)) Fxo. AI La figure A 1 est alors facile ~ obtenir: les orbites p6riodiques dam T 1 � R sont de la forme ,(A7) y = q~(0) = + ~(0), et existent done rant que a' I> oq, o~ ~y ~1 = ~1(~, 9) = v'r, + ~, e w, o~f (sm(2~q0) + t, ~(0)) (A8) I~1 -- (1 + O(t")) = O(~t~). ~qw BIFURCATIONS DE POINTS FIXES ELLIPTIQUES On a suppos6 que 8 > 0; dans le cas contraire, le r61e de ~x est tenu par ISvl a~ = ~'(~' {~) = ~r z + ~' q~ w a 0super (sin(2~q0) + t" ~(0)) (A9) - (1 + o(t,)) = ~(1 + o(t,)). 7~qw Dgfinition. -- Si (~, ~) e ~,+,, on note ~r [~) le sous-anneau de T x � R+ bord6 inf6rieurement (resp. sup6rieurement) par l'unique orbite pdriodique positive y = q~(0) de E~"~ [~) (resp. l'unique orbite p6riodique positive y = q~'(0) de E'"'~ ~)), off s >/ ~'/> ~x sont d6fmis par ~' =IriS', ~"=lvl~", ~' =I-2, + (~ + ~v~+~,) ~ si ~.< 0, (AIO) a~ + (~ + ~)' si ~ ~ 0, z,=l ~+(~+~)2 si~.<o, -~, + (~ + ~)~ ~i ~>. o. Lemme A3. -- Si (~, [~) e ~/~, ^+ E(~, 15) posskde dans l'anneau d+(~, ~) une unique orbite pgriodique (en fair (1]q)-pgriodique) y = p+(0). Cette orbite pgriodique est attractante~ On laisse au lecteur le soin de ddfinir ~r ~)C T I � R_ lorsque (~, ~) e ~ et d'6noncer l'analogue du lemme 3. D~monstration. -- Elle est dvidente : cherchons ~t &rire le plus petit sous-anneau de T 1 � R+ dont les bords soient de la forme y = q~+(0), x/> al, dans lequel rentre le champ E(~, ~). Les conditions sur ~' et a" sont manifestement t at ~-~'+~yM.>0 si~<0, ~- +~y;,~0 si~.>0, ~- ~" + ~y~< 0 ~- s + ~fid< 0 t tl i pt ~lw off y,,, y., yM, Y~r sont respectivement les inf et les sup de q~(0) et q+ (0), c'est-~t-dire : Y,, ~/~' ~1, Y.~ ~v/~" -- ^ ' V~7 + ^ tt Des calculs 6vidents mais fastidieux fournissent alors la d6finition de ~qr [3) et les formules (A10). Le cas off (e, ~) s ~, se d6duit du pr&6dent par la transformation (Y, ~) ~ (--y, -- ~). 84 ALAIN CHENCINER Q uant ~ l'unicit6, elle vient de ce que q~(0) ~>y;~= ~/2'-2, =~ + v~- 2~> ~ (~i $>~ 0), qui implique que, pour tout [3, l'anneau ~r [~) se trouve dans la r6gion off le flot de E(~, ~), dont la divergence vaut ~ + 2yy, contracte les aires. Le raisonnement est le m~me pour y < 0, le flot dilatant les aires dans ~_(~, [~). La figure A2 montre les courbes de niveau de la fonction ~'(~, ~) dans ~), (celles de ~" s'obtiennent en les prolongeant respectivement du c6t6 } < 0 et ~ > 0). .Gt = ~1(', ~) - \' ,~/ Iv(,,,, ~) I (,,' = ~,~) / 4v(~, r~) Fzo. A2 (la figure est faite comme si cq, ~, y 6talent constants) Remarque. -- La largeur de d [~) tend vers 0 lorsque [3 tend vers 0. En effet, o~' et o(' tendent tous deux vers a, et 2" -- 2' q~'(0) -- q~(0) = (q~'(0) + q~(0))" Lemme A4. -- Si (~, ~) ~ ~ et ~ >1 l'orbite pdriodique y = p donnde par le lemme A3 est la seule orbite p6riodique de E(~, [3) homologue ~ T ~ � { 0 } dans T ~ � R tout entier. Dgmonstration. -- Supposons quey =f~(0), i = 1, 2, soient deux orbites pEriodiques distinctes de E(~, ~) dans T 1 � R+ pour un couple (~, ~) appartenant ~ M~I~" On a wf~'(0) f(0) = ~ + ~f~(0) + yf~(0)' + 8~(0), i = l, 2, et, par diffdrence, $[~ ~w[+~(0) - +~(0)] = - + v[+l(0) - +~(0)], o~ +4(0) =f~(0) *, i = 1, 2. Mais +1 -- +3 6tant p6riodique, lc premier membre s'annule; il existe donc ~ tel que [3 + y[J~z(0 ~) + ~ = 0, c'est-~-dire fl(~) +fz(~) = -- (~/y). BIFURCATIONS DE POINTS FIXES ELLIPTIQUES 85 I1 ne peut donc exister deux telles orbites pEriodiques dans T ~ � R+ si l'une d'elles est au-dessus de la courbe y = -- (P/V). Mais p+(0) >~y~,/> -- (P/V) d6s que e/> ~1. ~o E(ot, p) posskde exactement deux orbites pgriodiques Lemme A5. ~ Si (~, ~) e ~ ~l~, [qui deviennent << singuli~res >> pour (e, ~) = (ex, 0)], l'une dans T 1 � R+, l'autre darts T i � R_, et pas d'autre courbe ferm[e C O laiss~e invariante par son flot, qui soit homologue a T ~ � {0}. Dgmonstration. -- Soit (~, [3) e ~o/~, (e, [3) 4: (el, 0) ; le lemme A4 montre qu'il y a exactement une orbite pEriodique y = p+(0) darts T 1 x R+ et une orbite pErio- dique y = p_(0) darts T i � R_. I1 reste ~t remarquer que, si Kl(0,y ) =y~--q~(0) ~, on a [E(~, [~). K1] (0,y) = 2y[e § py -t- Vy ~ q- ~(0)] -- 2wyq~(0) (q~)' (0) = 2y[0c -- e� q- PY q- YKx(0,Y)] 9 Le terme entre parentheses est minorE par I Pl I + py + vKx(0,y), donc par IPl 4 Ivl +13q~(O) >~ o sur l'ensemble K 1 = 0. Ajout6 ~t la remarque que E(~, p) ne s'annule pas aux points singuliers de Kx = 0 si (~, p) ~e (~i, 0), ceci montre qu'aucune courbe fermEe C ~ invariante homologue ~t I "1 � { 0 } ne peut rencontrer le sous-ensemble K 1 ~< 0, ni afortioriy = 0, ce qui termine la demonstration. ^o (A4). Supposons maintenant que (~, p) e d~/,, dEfini en Le terme [~ -- ~1 + ~Y + yKI(0,Y)] est major6 par -I 1 + Y----F I + py + vKl(0,y), donc par -- [ P l ~i + ~2 v l-- + pq (0) sur l'ensemble K i = 0. Avec la remarque prdc6dente, ceci montre qu'aucune courbe ferm6e invariante par le flot de E(a, p) ne peut rencontrer le sous-ensemble K 1 = 0, ni afortiori le sous- ensemble y = 0. 86 ALAIN CHENCINER Supposons enfin que (a, [~) 4: (~z, 0) appartienne ~ la courbe #~,/~ ddfmie en (A4). Les singularitds de l'ensemble K~ = 0 sont alors exactement les singularitds hyperbo- liques (*) de E(x, [~), et [E(~, $).Kd (0,y) = 2~y" sur Kz = O. On en d~duit facilement qu'aucune connexion entre singularit~s hyperboliques de E(a, ~) ne peut exister dans ces conditions. On a en particulier d6montr6 le ^0 ^ AO Lemme A6. -- Si (~, ~) E .~1~/~ to t~v/~ to ~/~, (~, ~) # (~, 0), aucune connexion n'existe entre les singularitgs hyperboliques de E(~, ~). Bien entendu, d'apr~s le lemme A1, la conclusion vaut figalement si (~, [~) r ~Tvt~, ?o qui n'est pas entiSrement contenu dans dr/~, Notons I, II, III, IV les quatre composantes connexes du compl~mentaire dans Clv/q c~ 8v~ ~ de "~v/q to "qr162 ^o to "~,/~ to "~o/q ~o (fig. A3). Notons ~galement P le point d~fini par l'6quation (~, ~) =- (0cx, 0), et l I les singularit~s hyperboliques de E(0c, ~) sont I (All) H+ = (~, [~) connect6es dans T z X R Lemme A7. -- H+ et H_ sont respectivement contenus dans P to II to IV et P to I to III; tout chemin allant du bord gauche au bord droit de C~I~ n 8vlq rencontre ~ la fois H+ et H_. Remarque. ~ Si y, 3, ~ sont ind6pendants de (a, p), H+ et H_ sont des courbes connexes s'intersectant en P; l'adh6rence de chacune d'elles rencontre chaque compo- sante du bord de C~/~ en un unique point. F ~,I" ^o 17 ~1~ ,,, ~,1, n (d,i , FIG. A3 (*) On entend ici par singularit~s hyperboliques les singularitds de type col. BIFURCATIONS DE POINTS FIXES ELLIPTIQUES 87 Dgmonstration. ~ Q ue H+ u H_ soit contenue dans la rdunion de P, I, II, III, IV est une simple paraphrase du lemme A6. La ddmonstration des inclusions H_ C P u I w III et H+ C P w II u IV est une consdquence de la formule [E(~, ~). K1] (0,y) = 2y(0c -- ~1 + [~Y) sur K 1 = 0, ddtailldc sur la figure A4 : impossible ---- ~), (I) (B>O , donc InH+ K I ---- 0 impossible done III nH+----O, (m) < o ' done II n H_----O, (II) < 0 ' l; impossible donc IV r~ H_ ~ 0. impossible Fro. A4 La deuxi~me partie du lemme A7 se lit, v/a un argument de continuit6, sur la figure A5 qui montre les positions respectives des varidtds invariantes de deux singula- ritds hyperboliques consdcutives de E(~, ~) pour diffdrentes valeurs de (cr [~) (les dessins ^0 ^0 correspondant aux valeurs de (~, [3) dans d~/~ ou ~/q ne sont pas formellement ndces- saires mais ils aident l'intuition). I~G. A5 k "-.. % " k BIFURCATIONS DE POINTS FIXES ELLIPTIQ.UES L'affirmation de la remarque vient de ce que, si -(, 8, ~ sont ind6pendants de (a, ~), les bords de C~/~ sont de la forme ~ ---- constante, et les d6rivdes par rapport $ ~ des compo- santes de E(a, ~) en un point fixd (O,y) sont respectivement 0 et y. La pente du vecteur E(a, ~) (0,y) crolt donc de faw monotone avec ~ lorsquey est positif (n6gatif). Puisque, dans le cas consid6r6, la position des points singuliers de E(a, ~) est ind6pen- dante de ~, la conclusion est 6vidente. I1 est raisonnable de penser que ceci est en fait la situation g~ndrale. Ce qui suit est une description de la famille E(~, ~) dans le cas off 1) y< 0 et 8> 0 sont ind6pendants de a, ~. 2) = cos(2 q0). Le diagramme de bifurcations est d6crit dans la figure A6, tir6e de [7 b/s]. Pour compl6ter son intuition par des preuves le lecteur pourra consulter ce dernier article (le remplacement de r par 1 est bien entendu totalement inoffensif); il est 6galement recommand6 de consulter [2] et [10]. Lty ~Plq IO plq FIG. A7 12 90 ALAIN CHENCINER Sur la figure AT, on compare le diagramme de bifurcations de la figure A6 avec celui qui correspondrait au cas 8 ----- 0, c'est-~-dire ~ une famille d'6quations invariante par toutes les translations en 0 (analogue des formes normales N~,~ invariantes par tout le groupe des rotations). Le r61e de la courbe F introduite dans ([5] fig. 4) est tenu par une courbe P dont nous ne savons pas si elle est vraiment singuli6re au point P. Enfin, sur la figure A8 on a reprdsent6 dans le cas ~ = 0 (resp. ~ 0) les ensembles C,o (resp. C:o) correspondant ~ l'existence d'une courbe ferm6e C ~ homotope ~t T 1 � { 0 }, invariante par le riot de E(a, ~), sur laquelle le nombre de rotation du temps 1 soit co -- (p/q) (voir dans [7 b/s] la monotonie en fonction de ~ de la pdriode des orbites pdriodiques de E(a, ~)). On voit bien que la connexit6 de Cl~/~ ne tient qu'h un ill, d6truit en g6n~ral dans le passage de E~,~ ~ P~,~ (corollaire du th~or~me 2), ce qu'on a utilis6 dam ([6], fin du w 1). Cp/q Fro. A8 BIFURCATIONS DE POINTS FIXES ELLIPTIOUES 91 BIBLIOGRAPHIE [1] V. I. ARNOLD, Ghapitres suppldrnentaires de la ttgorie des gquations difflrentielles ordinaires, Mir, 1980. [2] D. G. AxONSON, M. A. CHORY, G. R. HALL, R. P. MeGEHEE, Bifurcations from an invariant circle for 2-para- meter families of maps of the plane : a computer assisted study, Commun. Math. Phys., 83 (1983), 303-354. [2 b/s] G. D. 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Ddpartement de Math6matiques, Universit6 Paris VII, 2, place Jussieu, 75251 Paris Cedex 05. Manuscrit refu le 15 flillet 1986. http://www.deepdyve.com/assets/images/DeepDyve-Logo-lg.png Publications mathématiques de l'IHÉS Springer Journals

Bifurcations De Points Fixes Elliptiques

Publications mathématiques de l'IHÉS , Volume 66 (1) – Aug 30, 2007

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References (32)

Publisher
Springer Journals
Copyright
Copyright © 1987 by Publications Mathématiques de L’I.É.E.S.
Subject
Mathematics; Mathematics, general; Algebra; Analysis; Geometry; Number Theory
ISSN
0073-8301
eISSN
1618-1913
DOI
10.1007/BF02698927
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Abstract

III. -- OR.BITES P~RIODIQUES DE << PETITES. PP~RIODES ET P~LIMINATION RP~SONNANTE DES COUPLES DE COURBES INVARIANTES par AnON CHENCINER TABLE DES M_ATI~RES O. Introduction ............................................................................ 6 I. ~ Bons ~ rationnels .................................................................... 8 lo0 ............................................... 9 ..................................... lol ..................................................................................... 9 2. Far~iIles analytlques g~n~rlques et souvenir des r~sonances proches .................... 19 2. I, Formes norma]es r~sonnantcs .......................................................... 19 2.2. R~duction des formes normales ~ ]eur pattie slgnifiante et interpolation par une famille d'~quat/ons diff~rcntielles ........................................................................ 26 3. Fonctlons de Liapunov ................................................................. 31 3. I. Loin des i|es de hombre de rotation p/q ............................................... 31 3.2. Dans lcs lles de nombre de rotation p/q ................................................ 38 4. Existence de bons chemin$ d'~llmlnatlon r~sonnante ................................... 4. I. Existence des courbcs invariantcs ...................................................... 4.2. Recol]ement des bassins .................................. ; ........................... 5. Orbites p~riodJques hyperboliques et leurs orbites homoclJnes .......................... 56 5. I. Existence d'orbitcs homoclines ......................................................... 56 5.2. Les families g~n~rlqucs ............................................................... 62 6. Orbices p~riodlques ell/ptiques et leurs bifurcations de Hopf ........................... 70 CONCLUSION ................................................................................ APPENDICE : ZOOLOGIE DES ~UATIONS DIFF~RENTIELLES I~, a, ~t ................................... BIBLIOGRAPHIE .............................................................................. A la m6moire de Jose Argemi O. INTRODUCTION Faisant pendant, dams notre dtude des families de diffEomorphismes locaux du plan, au premier article de la sErie ([5]) consacrd aux ensembles invariants dont le nombre de rotation est un ~ bon >> irrationnel, celui-ci 6tudie les ensembles invariants dont le hombre de rotation est un ~ bon >> ratiormel. Les premiers se sont avErEs ~tre nEcessai- rement des courbes ferm6es sur lesquelles le diff6omorphisme est diffErentiablement conjugu6 k une rotation ergodique; nous trouverons ici des orbites pEriodiques bien ordonn6es (voir [6]) et des orbites homoclines ~ celles-ci. De plus, la robustesse des courbes fermEes invariantes, qui se manifestait dans [5], w 2.3, par l'existence de ~ bons >> chemins d'Elimination d'un couple de teUes courbes, se retrouve ici de fa~on surprenamte : on prouve en effet l'existence r gEn~rique >> de ~ bons chemins d'dlimination rEsonnante >> d'un couple de courbes invariantes dams lesquels les courbes persistent jusqu'k (et au-deltL de) l'apparition dans l'anneau qu'elles d6terminent d'une orbite pdriodique de ~ bon >> hombre de rotation dont les variEt6s invariantes vont servir de guide au processus d'~limination (fig. 19, 20). Les ~, boris >> rationnels p/q sont dEfinis dams le premier paragraphe, ot~ aucune hypoth~se de gEn6ricit6 n'apparait. Ce sont essentiellement ceux dams lesquels q est assez ~ petit >> pour que l'it6r6 q-i~me du diff6omorphisme soit encore proche dans la topologie C 1 de l'it6r6 q-i~me d'une forme normale dams la region du plan of 1 l'on s'attend trouver des orbites pEriodiques du nombre de rotation considEr6 (comparer /~ [13]); ce sont ~galement ceux pour lesquels les applications A~.t introduites dans [6] s'Etudient tL l'aide du seul th6or~me des fonctions implicites. Toute orbite pdriodique ayant un bon hombre de rotationp/q est nEcessairement bien ordonnEe (*) ; plus pr6cisdment, par l'ensemble des orbites ayant ce nombre de rotation, on peut faire passer une courbe ferm6e lisse coupant chaque rayon transversalement, sur laquelle, dams des coordonnEes bien choisies, le diff6omorphisme agit au niveau angulaire comme la rotation R~/~. Une telle courbe est obtenue en considEramt l'ensemble des points transformEs radialement par l'itErE q-iEme du diff~omorphisme (comparer ~ [12], [15], [3], [4]). Par un changement de coordonnEes suffisamment proche de l'identit6 pour ne pas perturber la forme normale associEe au diff~omorphisme, on peut transformer cette courbe en un cercle (qui contient donc les 6ventuelles orbites pdriodiques de nombre (*) II est sous-entendu dans la suite qu'il s'agit d'orbites de p~riode q. BIFURCATIONS DE POINTS FIXES ELLIPTIQ,UES de rotation p]q) de fa~on que, darts les nouvelles coordonn~es, chaque orbite pfiriodique de nombre de rotation p/q soit ~galement une orbite de la rotation Rvja (comparer ~ [9] chapitre IV). Darts la situation gfinfirique du deuxi&me paragraphe ces orbites p~riodiques s'interpr&tent comme le souvenir laissfi par une r~sonance p[q tr~s proche (comparer [1], [15]); la restriction du diff~omorphisme A un anneau contenant toute sa r~cur- rence non triviale apparalt alors, dans les coordonn~es ci-dessus, comme la perturbation d'une ~ forme normale r~sonnante ~ invariante par Rv/r De pr~cieux renseignements sur la dynamique du diff~omorphisme sont obtenus en remarquant que cette forme normale est naturellement approchde par le composd avec Rv/q de la solution au temps 1 d'une fiquation diff~rentielle (en fait une ~quation du second ordre) invariante par Rv/~ et ayant exactement pour ensemble singulier la rfiunion des orbites p~riodiques de nombre de rotation p/q (comparer k [15], [3], [4], off cependant l'dquation diff~rentielle consi- ddrfie d~pend -- tr~s peu -- du choix d'un point p~riodique particulier, ce qui rend malais~e l'~tude des bifurcations faisant disparattre ce dernier). La famille ~ deux param&tres d'~quations diff~rentielles ainsi obtenue est fitudifie dans l'appendice; ses propri~t~s jouent un r61e fondamental darts les derniers paragraphes, consacr~s ~ l'analyse d~taill~e de la situation g~nfirique : Dans les w167 3 et 4 on montre que les ~ bulles ~ (dont le compl~mentaire correspond aux valeurs des paramStres pour lesquelles le diff~omorphisme ~< ressemble ~ A une forme normale, voir [5] w 2.3) ont une taille de gu~pe au voisinage des points y~t~ correspondant ~ de bons rationnels p[q (fig. 19) : une petite portion de leur bord coincide avec le bord de la langue de r~sonance Cl~a (ensemble des valeurs des param~tres pour lesquelles le difffiomorphisme poss~de au moins une orbite pdriodique bien ordonn~e de hombre de rotation p[q, voir [6] w 1.2). Le long d'un chemin transverse A (~v~ et passant darts cette rdgion, la dynamique du diff~omorphisme est tr&s bien contr61fie : on montre en particulier qu'~ la premiSre et ~ la derni~re bifurcation elle ne diff~re d'une dynamique de forme normale que par la presence d'une unique orbite p~riodique de hombre de rotation p[q. Les ph6nom&nes complexes qui se passent pour les valeurs des param~tres k l'intfi- rieur de la langue Cv~a sont l'objet du paragraphe 5, inspir~ de [15], et du paragraphe 6 of~ il semble que route l'histoire puisse recommencer; une partie des rfisultats du para- graphe 5 a fitfi annonc~e darts [3] et [4] : rappelons que, comme dans les autres articles de cette s~rie, c'est la prfisence d'un param&tre (ici un frottement dans une ~quation voisine de celle du pendule) qui remplaee l'hypoth~se de conservation des aires. Je tiens tout particuli&rement k remercier Dick Mac Gehee, Michel Herman, Phil Holmes, Jacob Palis, Eddy Zehnder, Jean-Christophe Yoccoz : l'intdrfit qu'ils ont manifest6 pour ce travail m'a donn~ l'6nergie n~cessaire k sa completion k un moment off peu de choses allaient de soi. Merci 6galement au referee d'avoir sugg6r6 les nota- tions 2, ~ qui ont rendu moins illisible le w 4. Merci enfin k J. Tits pour son titanesque travail d'fditeur. Les grandes lignes de ce travail ont 6t6 annoncdes dans [7]. 1. a BONS ~ RATIONNELS 1.0. Dans les deux premi6res parties de ce travail nous avons commencd l'dtude des familles /~ deux param6tres de diff6omorphismes locaux C ~ (analytiques) de (R ~, 0) de la forme suivante ([5] formules (11) et (20)) : P~,.(z) = N~,.~(z) --k O(I z ]2"+s), N~,~(z) = z[1 +f(~, ~, I z r)] e*~'~'~'l'"', f(m a, X) -- ~ + aX + a2(~, a) X* + ... + a~(~, a) X', (1) a,(0, 0) = -- 1, g(II, a, X) = bo(bt , a) + bi(p. , a) X + ... + b,,(~, a) X", Obo h(0, 0). 0, ~0 = 2-ffg~ (0, 0) + b~(0, 0). 0. Rappelons que l'on peut mettre sous cette forme les familles << gdndriques ,~ ~, 2 param~tres, qui ddploient un diff~omorphisme local de (R *, 0) ayant les propridtds suivantes : 1) La ddrivde en 0 est conjugude ~ une rotation R~. d'angle 2~too = 2nbo(O, 0), qui vdrifie R~. Je Identitd pour 1 ~< q ~< 2n -[- 3. 2) L'origine est un attracteur ~< tr~s faible ~,, de codimension formelle 2 au sens de ([5] w167 et 1-2). Soit to un rdel assez proche de too = bo(0, 0) et vdrifiant (1/Bo) (to -- too) ~ 0; darts les coordonndes (0, p) (qui ddpendent de to, ~, a) ddfinies darts T i x [-- 1/2, 1/2] par les formules (30) et (43) de [5], l'application P~,a ou plut6t un rel~vement R x [-- 1/2, 1/2] est ddcrite, lorsque (~, a) appartient au << carrd ~, ~,o ddfini dans le lemme 1 de [5], par les formules (*) (voir [5] formules (44), (45) = (119) ou [6] for- mule (7)) : P~,a(0, p) = N.,~(0, p) + (0, ~"~ ~,~,~(0, p)), (2) n~,,(0, p) = (0 + to + ,r,o p, v' 4- (1 + r p + s' p' 4- ~ a~ p') = (0 + to + ~ p, p + ~ n~,~,o(p)), off %, est de l'ordre de I to -- too [, ~,o,~,~ est une fonction C ~~ (analytique) si P~,,a est C ~ (analytique) et est bornde en norme C k (pour tout k) sur T i � [-- 1/2, 1/2] uniformd- Ss (*) Rappelons que, dam ces formules, ~', r et les a~ sortt des fonctiom de (iz, a). Voir en particulier les formules (31), (34), (45) de [5]. BIFURCATIONS DE POINTS FIXES ELLIPTIQUES ment par rapport ~ co voisin de COo, ([z, a) ~ ~. On sait ~galement que ,', r forment un syst~me de coordonn~es dans ~,~ qui est approximativement d6fini par (3) I~'1~< c~, 1r c~, off c est une constante, et qu'on remplacera souvent par (confondra souvent avec) le ~ carr6 ~ ~ exactement d6fmi par ces in~galit6s. Enfin, s' est n6gatif et de l'ordre de -~, et les a~ sont respectivement de l'ordre de ~-1. On a rappel~ ~ la suite du corollaire du lemme 3 de [6] que toute orbite r~currente de P~,, est, lorsque (~, a) e 9~ (ou ~), contenue darts un anneau de la forme I P I ~< nv~ ~ off A est une constante (essentiellement l'anneau A~+(~, a) de la formule (117) de [5]); le corollaire cit~ affirmait quant ~ lui que tout ensemble invariant d'Aubry-Mather de P,,~ de hombre de rotation co v~rifie, toujours lorsque (~, a) appartient ~ 9~ (ou 9:,), l'estimation beaucoup plus fine I P I ~< A~. I1 d~coule enfin du lemme 2 de [6] (off l'hypoth~se de pr6servation de l'ordre n'intervient pas) que si P~,~ poss~de une orbite r~currente dont le nombre de rotation existe et vaut co, (~, a) appartient n6cessairement ~ l'union de ~ et de Jr en particu- lier, si (~, a) n'appartient pas ~ 9,o, toutes les orbites r~currentes de P~,~ de nombre de rotation co appartiennent k une mame courbe ferm~e invariante. Dans la suite nous supposerons que o~ = p/q est rationnel (la fraction p/q ~tant (crite sous forme irrddudible) et nous omettrons souvent l'indice ~ (par exemple v = %/~, ~ = ~/~, = ... ). 1 1. Nous commen~ons par comparer P~ ~ N ~ dans l'esprit du lemme 1 de [13]. 9 I/.,G IL,~ Dans le lemme qui suit il est bon de garder ~ l'esprit que 9 = "%/~ est de l'ordre de I (p/q) - ,,,o I. Lemme 1. ~ Si q'c ~est assez petit, PJ~,, (et N~,,) sont dgfinis, pour tout (~, a) dans ettoutentierjcomprisentre letq, surl'anneau T 1 � I~ = l(0, p), [ ply< 2(q -- 1) -- (j -- 1)1 et y vgrifient les estimations 4(q -- 1) t P~,~(0, p) -- N~,.(0, p) = (~0 'j,, ~p'~'), avec (4) [ ~O,J, [ ~< 2Loj~.~,,+l, [ ~p,,, [ ~ < 2Lojx. ' ]l D* P~,~(0, P) -- D k N~,~(0, p)[] ~< jO(.") e '~ ot~ Lo est le sup de [ ~,~, ~,,,(0, O)[ pour co proche de COo, (~, a) ~ ~o, et (0, 0) E T 1 � [-- 1[2, 1[2]. Les 0 ddpendent de k mais non de j entre 1 et q, ni de (~, a) dans 9, ni de (0, P) ~ TX � I~, ni de co =p[r En particulier, pour 1 ~ j ~< q, P~ et N~ ~ sont d6finis sur T t � [-- 1/4, 1[4]. Corollaire. m Soient C un hombre rgeI positif et k un entier positif. 1"l existe un hombre rgel positif cx(C, k) tel que, si q I(Plq) - % I < c et I(P/q) - % I < 1(c, k), P' et N ~ 2 10 ALAIN CHENCINER soient dgfinis sur T ~ x [-- 1/4, 1[4] D T ~ x [-- Av u*, A~ u*] et vgrifient pour 1 ~ j <<, q l' estimation ") (5) l] P:,,o -- N~,~ I],~ O(,~"-*) = O -- c% , dans laquelle II ][, d~signe la norme C ~ sur les applications de R � [-- 1/4, 1/4] dans R � IR, et le 0 d~pend seulement de Get k. Remarque. -- Si ~0 est irrationnel, les rEduites p./q. du dEveloppement de (~o en fraction continue vErifient q. [(p./q.) --%]< l/q.. Quels que soient C et k, il existe done une infinite de rationnels p/q vErifiant les hypotheses du Corollaire. Si ~00 ----p'lq' est rationnel, la m~me conclusion vaut ~ condition que C soit supErieur ~ l/q'. Dgmonstration du lemme 1. -- On dEduit de (2) que, si (~, a) ~ ~, PJ s'Ecrit (tant ~,~ qu'il est dEfini) : P~,.(0, p) ---- (0 (j', Oo,), #' = p + :[n~.o(p) + ... n~.~(#-")] (6) H- ~"[~,o(0, p) H- ... + ~,,(0 ~ po-,,)], 0(~ = 0(J-~ + P- + ~p~-~. Si K e -~ sup I II~,,,~(p)[, L o = sup I ~,~,a( 0, P)I, off les sup sont pris sur l'ensemble des (~ proches de (~o, (~, a) e ~, (0, p) e T i � [-- 1/2, 1/2], on a donc (7) I #' - o I~ J[: K0 + : L0]. Supposons qv* assez petit pour que (q -- 1) [~* K o + ~" L0] ~< 1/4 : P applique alors Tax Ij dans T~� I~_~, ee qui implique P'-a(T 1 � Ij) C T' � I~ = T 1 � [-- 112, 1/2] et montre que P~ est dEfini sur T ~ � I~. La demonstration pour Nest bien entendu identique ~ ceci pros que ~ -= 0. Maintenant, on dEduit Egalement de (2) que ~0 (j~ = ~0 (~-~ 4- '~O(~-~, (8) ~p,~, = ~p.-', + ~2 n~.~(~ + ~#-~,) - : n~.~(~) + ~" ~(~ + ~0 ('-", ~ + ~p(~-"), off on a not~ N~.~(0, 0) = (0, P). En particulier, si K x = sup ]1DrI~,~,o(P)ll, o~ ~e sup est pris sur les o~ proehes de %, (~, a) ~ ~,o, I P ] ~< 1/2, on a (9) I ~'" I ~ (1 + : K1) I ~O(i-~) [ "~- .on L0 ' d'ofl on dEduit faeilement les estimations sur [ B0(w~ [ et [ 80(w' I par recurrence. BIFURCATIONS DE POINTS FIXES ELLIPTIQUES I1 Pour ~valuer les d&iv&s des it~r~s de Net P on calcule DN~.,(0, p) = 1 + ~ H~,.(p t (1 . ) (lO) DP~,~ p) = o~,. . o~,. 9 ---/g- (o, p) 1 + § n~,~ +. ~ (o, p) I) ~ N~,o(0, p) (a, b, a', V) = (0, ,' n'~~ W), etc. On constate que (on a omis les indices ~, a et not6 II DN II = sup I1DN(0, o)II o~ (0, p) e TX x [-- 1/2, 1/2]) : II DN II -- 1 + o(,) .< e ~ (11) [[D~N]] =O(~ ~) pour k>l 2, IID~P--D~NII=O(.") pourk~> 1. Lorsquej > 1, on raisonne par r&urrence sur k A partir de la formule (de Faa-di- Bruno): (12) Dk(fog) = 2~ Xv,[(D"f)og] (D'xg, ...,D'mg) darts laquelle la deuxi6me somme est prise sur les m-uplets i----(ix,..., i,,,) d'entiers >I 1 de somme k, et les coefficients q sont universels. Plus prdcis6ment, montrons que I1 DNr I I < e~~ (is) IID ~ N' II -< JO(~=) e'~ pour k >t 2, II D'P' -- D*N' II ~<JO("r*) e~~ pour k/> 1, off, pour un it6r6 d'ordrej, [1 [[ d6signe le sup sur T x X Ij. La premi6re inggalit6 est dvidente ~t partir de (11). En se rappelant que N applique T x x I~ dans T x x I~_ 1 on dgduit de (12) appliqu6 ~tf=N ~-1, g___N, que pour k/> 2 (14) II D*N' II-< ~o,., II D* N'-~ II + O(,e) e `'~ -1, ~ k--1 + Z Y~ I c, I o(- ~) e'k-~'~ II D'~ N'-~ II. t/t--2 t Dam la derni~re somme, iest un m-uplet d'entiers >i 1 de somme k; dans chacun des termes Pun au moins des indices est donc strictement sup6rieur ~t 1. En particulier, (15) II D = N' II -< e~ II D ~ N'-* II + O(§ e'~ et donc II I) * N' II ~< jO(:) e'~ 12 ALAIN CHENCINER L'estimation de II N' [I indiqude clans (13) s'obtient de m6me par r6currence sur k (se rappeler que qz~ est born6 pour obtenir pour tout k une estimation analogue h (15)). Enfm, en appliquant (12) successivement ~t f= P~-~, g = P etf = N ~-l, g = N, on 6crit (16) D ~'P~-D ~'N ~= Z Zc,(A,+B,+C,), "tn. -- 1 'f off A~ = [(D ~" P~-~) o P -- (D '~ N ~-~) o P[ (D q P, ..., D ~ P), B, = [(D ~N '-~) o P -- (D ~N '-~) o N[ (D ~P, ..., D'~ P), (17) C, = [(D '~ N J-~) o N[ (D q P, ..., D'- P) -- [(D" N j-~) o N[ (D h N, ..., D ~- N). On ddduit alors de (11) et (13) que (18) II D~P~ -- D~NJ II < d'~ I[ Dk P~-' -- D~NJ-X [I /~1 + O(v') e 1~ lI D - D" N'-' I1 +JO("P+') d~ et enfin la derni~re estimation de (13) par r~currence sur k, ce qui termine la d~mons- tration du lemme 1 (on remarquera qu'on peut initier la r~currence en estimant [] DPJ -- DN~ II ~ partir de (18), ou directement par la mfithode de [13] qui donne d'ail- leurs le meme rdsultat). Le corollaire est immddiat. 1.2. Nous introduisons maintenant un changement de variables du type ~ moyennes )) qui remonte, semble-t-il, ~ Bochner; des formules analogues ont par exemple 6t6 utilis6es par Herman dans le probl6me de la conjugaison d'un diff6omorphisme du cercle ~ une rotation, et par Iooss dans l'6tude des orbites pfriodiques qui apparaissent par bifur- cation de Hopf d'un diff6omorphisme. D6s que q~ est assez petit, l'application 1 qI1 (19) H~ , a = - ~; R~5~ o N ~,a, ~ (lz, a) e~, q j=0 est bien d6finie de T i X [-- 1/4, 1/4] dans T i X It (resp. de R x [-- I/4, 1/4] dans R x (R) [R~(0, p) = (0 + ~, p), et la somme dans (19) est au sens de la loi de groupe additive sur T i x R (resp. R x R)]. C'est de plus un diff6omorphisme sur son image : pour le d6montrer on remarque que, comme R~/q et N~,,, H~, ~ commute avec les rotations, ce qui r6duit d'une dimension le probl6me; la conclusion vient de ce que le passage au barycentre conserve la pro- pri6t6 d'etre strictement croissantes pour les applications de It dam It. BIFURCATIONS DE POINTS FIXES ELLIPTIQUES 13 F_axfin, R~y~ commutant aux barycentres, on a H~,,. o N~,,. 1 ~-~ N~+~ q .r 1 q--1 -= R~/~ o E R -(~+~' N ~+~] ~j-o ,/, o .,oj ~--- R=m o (R-~g o N. -- Id)] IN~ = R~I ~ o autrement dit 1 Nq -1] (20) I-I~,o o N~,. o H.-~. ~ = R.,. o Ia + ~ ( .,. - R.) o H~,o. En notant NLo(o o, po) = (o'g,, 0'o% (21) (0, p) = H,.o(0o, Po) = q ,-0 '~ ,-o'~ }, on obtient o o rI~,~(0, p) H~,. Nbt t tt - ' = (o + CPlq) + (lie)(0cg , - 0o-p), p + (lie)(p~g' - P0)); mais qm 1 0,:, = 0,g -~, + (Mq) + ,P'o'-" = . = 0o + p + 9 E P'd (22) "" s-o = 0 o + P + q'~p, ce qui fournit finalement l'expression (23) H~,~ o N~,~ o H~,~(0,-1 p) = (0 + (p/q) + xO, p + (l/q) (O~0 a' -- Po)). H.,. applique donc le cercle (d'dquation 0(o ~> = 0 o + p) des points traslsform6s radiale- ment par N ~ (plus exactement par R~lo N ~ si on se place dans le rev~tement) sur [s [L,(I le cercle (d'dquation 9 = 0) des points transform6s angulairement par H~,~ o N., a o H~,z~ d'un angle p[q (cercle translat6 de nombre de rotation p[q dans la terminologie de [5]). Lorsque N~, a poss~de des orbites pdriodiques de nombre de rotation p[q, ces deux cercles se confondent avec l'ensemble de ces orbites, en restriction auquel N~, a et H~,. o N~,~ o H~,~ coincident avec la rotation R~y~. Le lemme suivant dit simplement que, sous des conditions analogues A celles du lemme 1, on peut associer h P.,. un changement de variables K., a ayant des propri6t6s semblables. 14 ALAIN CHENCINER Lemme 2. -- Soit C un hombre r~el positif et k un entier positif. Il existe un hombre rgel positif r k) tel que, si q P--~0[<C et [P -- c%l < r la formule (24) K~,.,, 1 q-1 = - N R,5 ~ o P~ q J-0 ddfinisse, pour (Vt, a) ~ ~, un diffdomorphisme de classe C = de T I � [-- 1[4, 1[4] sur son image dans T 1 � R ayant les proprigtds suivantes : 1) L'image rgciproque par Kv.,,, du cerde d'dquation (p = 0) coupe transversalement chaque rayon (0 = constante) et cofncide avec l'ensemble des points transformgs radialement par P~ (R~ "1 P~ dans le revStement universel) (comparer ~ [3], [4]); 0 IiGa 2) Au niveau angulaire, K~,,aoP~,,,,oK~.~ agit sur le cerde (p = 0) comme la rotation R~t ~. En particulier, chaque orbite pgriodique de Kt,,.o Pt~,,~o K~.~ de hombre de rotation p[q est dgalement une orbite de la rotation R~,/~; (3) Sur T 1 � [-- 1[4, 1/4], on a [I K~,.,, -- H~,,,, [I,~< O(x"-a). Corollaire. -- Sous les hypothkses du lemme 2, l'ensemble des points pgriodiques de hombre de rotation p/q de P~,,~ est bien ordonnd (au sens de [6]). D6monstration. -- Que K~,. soit un diff6omorphisme sur son image ddcoule immd- diatement de l'assertion analogue concernant I-I~,. et des estimations (25) t II K~,~ -- H.,~ IIo~< q~ o(..~ .n+l) + qO(.~ -9;) ~ o(.~-'-1), II D* K~,o -- D* H~,o IIo <~ qO(~") e'~ <~ O(~"-1), qu'on d6duit du lemme 1 d6s qu'on a remarqu6 que K~,. H.,~ 1 q-1 -- = - ( .,. -- N.,.). E P~ q~-0 La partie de l'assertion (1) concernant la transversalit6 dEcoule de ce que la courbe considErEe est Gl-proche du cercle image r6ciproque par I-I~,~ du cercle &Equation (p ---- 0). L'assertion (2) est contenue dans les formules [ 1p~ -1] (26) K~,. o P~,. o K~.~ = R~,/. o Id + q ( ~,~ -- R.) o K~,. , (27) )K~,~oP~,.oK~_~(0, O) =(0+P-+-rp, ),q pq-~(p~'--go) off K~,.(0o, Po) = (0, p), P~,.(0., Po) = (0(o ", P(o"), qui s'obtiennent exactement comme (20) et (23). BIFURCATIONS DE POINTS FIXES ELLIPTIQ.UES 15 Q.uant au corollaire, il d&oule de (1) qui rend ~quivalentes les assertions sur l'ordre angulaire des orbites p&iodiques de nombre de rotation p[q pour P~,~ et K~, ~ o P~,. o K~, ~. Le changement de coordonn&s d~fini par K~,. met donc P~,. sous une forme particuli~rement propice k l'&ude des orbites p~riodiques de hombre de rotation p/q : (i) ceUes-ci appartiennent toutes au cercle d'dquation (p = 0); (ii) eUes sont 6galement des orbites de la rotation R~I q- Malheureusement, ce changement de coordonn&s n'est pas C~-proche de l'Iden- titd (*) et perturbe donc les formes normales. Ceci est particuli~rement flagrant dans le cas off P.,. est remplac~ par N~,. et K~,. par H~,. : des orbites pdriodiques de N~,. de hombre de rotationp/q n'existent que siv' ----- 0, et elles poss~dent alors les propri&ds (i) et (ii); la restriction de H~,. au cercle d'dquation (~ = 0) est l'identit6 mais H~,. n'est pas C~-proche de l'identit6 et son utilisation n'apporte que des ddsagr~ments. I1 semble alors naturel de remplacer K~,o par le diffdomorphisme (28) ~4g. = I-i-]~ o K~,. dont les propri6t~s sont 6nonc&s dans le lemme suivant : Lemme 8. J Sous les hypot~ses du lemme 2, avec gventuellement un r plus petit, ~,. est un diffgomorphisme de T x � [-- 115, 1/5] D T x � [-- A. 1/~, Ax ~/~] sur son image clans T ~ � [-- 114, 1/4] et vgrifie (29) [l ~r -- Id 1t~< O(."-*). 17 transporte la courbe des points transformds radialement par R~ z o P~,. sur le cercle des points transformds radialement par R~ -x o N ~,.. Enfin, en restriction ~ ses points pgriodiques de hombre de rotation p/q, ~r o P~,~ o..T'~-,] coincide avec la rotation R~I ~. Ddmonstration. ~ Si % est assez petit, on d6duit de (25) que K.,.(T ~ X [-- 115, 115])C H.,.(T z x [-- 114, 114]), qui implique la premiere affirmation du lemme. Pour obtenir l'estimation (29) on calcule qo(-r / ; DH2~ = (1 -+- qO(*2)0 1 + On d6duit alors (29) de (25) en utilisant les propri&6s standard de la composition. Le reste du lemme est 6vident ~t partir du lemme 2 si on se rappelle que H~,,. commute aux rotations. (*) Tom les C k signifient (( topologie C k ~ et n'ont, contrairement aux apparences, rien A voir avec (( C a la puissance h ~. 16 ALAIN On dEduit du lemme 3 et des formules (2) que (30) ~,, o V~,. o ~r2~(0 , p) = (0 + (p/q) + .co + "r "-~ ~,.(0, o), 0 + .c, n~,.(o) + .r "-~ 3~,~(0, 0)), ot~ %,. et [~,. sont uniformEment bornEes dans la topologie C ~ (la borne depend seule- ment des constantes C et k du lemme 2) et les points pEriodiques de o~g'~,,, o P~,. o o~e'~_a. de hombre de rotation p[q vErifient (31) "r o + "r "-x %,,.(0, O) = 0. Un dernier changement de variables (32) x = p + x "-~ %,,,(0, 0) nous amine ~ la Proposition 1. -- Soit Cun hombre rgel positif, k un entier lOositif. Il existe un nombre rgel positif r k) tel que, si (33) q P--t%[<C et P--c00 <r il existe des coordonnges (4, x), Ck-proches des coordonnges (0, 0), darts Tt � E- 1[5, 1/5] D T ~ x [-- Az x/2, A-d/a], dans lesquelles P~,,. s'gcrive (*) (34) P~,.(~,x) = 4+ +*x,v'+(l+r Z a~ ' x + ~"-~ V~,.(~, x) , ot~ y~,. est C~-bornge par une quantitg ne dgpendant que de C et k, et oi~ les points pgriodiques de hombre de rotation p[q sont donngs par les gquations x=O, (35) ~, + ._~ -~ ~.~,,.(~, 0) = 0. Nous appeUerons bon rationnel un nombre rationnel p[q satisfaisant (33) pour un certain couple (C, k) (volt cependant le remarque qui suit). Pour un tel rationnel, l'intersection (~v/q n ~v/~ du << carrE >> ~=tq = ~ avee la langue de resonance Clv/q (ensemble des valeurs de (~, a) telles que P~,. possSde au moins une orbite pEriodique bien ordonnEe de hombre de rotation p[q, voir [6]) est la projection sur ~ de la surface rEguli~re dEfinie darts ~ � T I (coordonndes v', r 4) par l'Equation ~' + ~"-~ V~,.(~, 0) = 0. (*) Nora fai~om dor~navant comme dam les articles pr&~dents l'abus de notation qui comiste a ne pas noter les diff~omorphismes de changement de variables : P~, a d~signe en fait le conjugu~ de P~, a par le compos~ de-~p,a et du changement de variables (32). CHENCINER DE POINTS FIXES 17 Cette surface est invariante sous Faction de R~/~ sur TZ; la figure 1 la repr~sente (i) dans le cas d'une forme normale N~,~ (il y a invariance sous tout le groupe des rotations et C~/~ : C~/~ est alors une courbe lisse), (ii) darts la situation g6n6rique 6tudi6e dans la suite de Particle, off son ondulation (r6duction du groupe d'invariance au sous-groupe engendr6 par R~/~) produit l'6pais- sissement en << langue d'Arnold ~ de C~. Le lecteur de [6] fera ais6ment le lien entre cette surface et l'application 8~,~ d6crite dans ce dernier article. ~(] ~/~ ~ C ~l~ FIO. I En conclusion de ce paragraphe, remarquons que notre d6marche est conforme l'esprit de la th6orie des formes normales : nous avons cherch6 des coordorm6es qui exhibent le plus possible les sym6tries de la famille P~,a; dans le cas d'un ~ bon rationnel ~ pig c'est la restriction de P~, a ~ l'ensemble de ses orbites pdriodiques de nombre de rotation p[q qu'on a pu rendre sym6trique. Remarque. ~ La mise sous forme normale peut 6galement 8tre effectu6e pour la restriction de P~,~ ~ l'ensemble des orbites p6riodiques dont le nombre de rotation p/q v6rifie des hypotheses analogues ~ (33) dans lesquelles co o est remplac6 par un ~ bon irrationnel )) co; il est done ldgitime d'appeler ggalement ~ bons rationnels ~ de tels hombres p[q, par exemple les rgduites assez proches de co du d~veloppement en fraction continue d'un ~ bon irrationnel ~ co. Dans le cas d'un diff6omorphisme pr~servant les aires, cette assertion d~coule essentiellement de la possibilitE de contracter sur un point une courbe fermEe invariante de ~ bon ~ nombre de rotation irrationnel co apr~s avoir mis le diff6omorphisme sous forme normale ~ un certain ordre au voisinage de cette courbe; on peut invoquer ~ga- lement le th6or6me purement topologique de Boyland et Hall ([2 ter]) qui suppose simplement l'existence d'une courbe invariante de nombre de rotation co mais ne fait aucune hypoth~se de nature arithm6tique sur co. ELLIPTIOUES BIFURCATIONS 18 ALAIN CHENCINER Darts notre cas, il faut partir des coordonn&s introduites dans la formule (131) du paragraphe 2.3 de [5] : tenant compte de la remarque qui suit la formule (130) de [5] on peut &tire, si (~t, a) e 9,~ ~ ~/~, la restriction de P~.a ~t un anneau ] u I ~< 1/2 en dehors duquel cette application . ressemble >> ~t une forme normale, sous la forme (35 b/s) P~,,=(~, u) = { ? + co + Tu, ~ + (1 + Z) u + Y~, u' + o(I + I I)}, off T = % est de l'ordre de co -- co0, ~2 de l'ordre de ]x ]' et ~ de l'ordre de IT i'-' pour i/> 3. Ddfmissons u~/q par l'6quation co + Tu~/q = p/q et notons (comme dam [5]) n(u) = ~ + Zu + ~ u' : si I ~(u,,q)l > O([~T"--S I + [~'k+~ -- Ul~/q ]), le cercle d'~quation u----u~/~ est disjoint de son image, d'o~ l'on ddduit facilement qu'il ne peut exister d'orbite p~riodique de nombre de rotation p/r On se place donc dans l'intersection de la r~gion oix cette in~galitd n'est pas v~rifi& avec la rdgion #" c~ [~,o -- (~r w ~,)] o~ peuvent se passer des choses non triviales (voir [5] fig. 12) : on constate alors que est de l'ordre de ((p/q) -- et Z de l'ordre de T I 1. Posons t = jI ~[; 1'inspection des ordres de grandeur rend naturel le changement de variables u = u./~ + (t/x) p, [ p [~< 1 : les orbites pdriodiques de P..= de nombre de rotation p/q appartiennent s~rement & l'anneau ainsi ddfmi et la restriction de la famille prend, d~s que test assez petit, la forme (2 b/s) P~,=(aq, f~) ----{~q -t- (P/q) + ep, p -t- [3H(p) + T~(0, p)}, qui ne diff~re de (2) que par les valeurs de ~, ~3, ~ (t, x8 t, T"-- ~ t ici alors que dam (2) eUes sont T, "fl, X"). Les lemmes 1 et 2 du premier paragraphe sont valables d~s que qe < C et < ~'(C, k), c'est-~t-dire q l(P[q) -- co I < C et [(p/q) -- co [ < r k); la seule diffdrence est que maintenant II r.,a - Id -< O(v/=) = 0(I T I"-') qui est certes petit si I x I, c'est-~t-dire I(P/q) -- ~o l, est petit, mais ne tend pas vers 0 avec t = 0(] (p/q) -- co [). On remplace ainsi (30) par la formule (30 b/s) ~,"~,.. o P~,, a o a'Cg'~..](~, p) = { ~ -t- (P[q) + to + T"--' A(~, p), 0 + ~H(~) + T"--' B(~q, 0)}, dans laquelle la distortion t devient ndgligeable devant le reste incontr61~ O([ T ["-~), ce qui emp&he en particulier d'effectuer le dernier changement de variables (32) mais n'infirme en rien la conclusion du lemme 2 quant au bon ordre de l'ensemble des orbites pdriodiques de nombre de rotation p/q. 2. FAMILLES ANALYTIQtmS G#.N mQtms ET SOUVENIR DES I SONANCES PROCHES 2.1. Fo~,~es nonnales r~sonnantes Nous supposons maintenant les diffdomorphismes P~,~ analytiques ainsi que leur d~pendance des param&res tL, a, et exhibons un (( tiros >> sous-ensemble de telles families dont chaque membre poss$de une suite de (( bonnes langues de r&onance >~ (]v./g." Chacune de ces derni6res est indicde par un ~ bon >~ rationnel p,,/q,, (qui tend vers COo lorsque n---> 4-oo) et correspond ~ des diffdomorphismes P~,a dont la partie de la dynamique associ6e au nombre de rotation p,,/q,, peut &re ddcrite assez prdcisdment l'aide d'approximations par des solutions d'~quations diff&entielles autonomes. Les families d'dquations diff~rentielles obtenues sont des ~ modules d'dlimination rdsonnante de couples de courbes invariantes ~> et ont leur inter& propre. Comme dans [15], les families gdndriques sont le r6sultat d'une infinit6 de modifi- cations 6ventuelles au niveau du d6veloppement de Taylor, correspondant chacune ~t un 616ment p,,/q, de la suite de nombres de rotation consid6r~e. L'organisation globale de ces modifications et la ddfinition de la topologie analy' tique utilisde sont adapt&s directement de [15]. Nous en dirons un mot ~ la fin du paragraphe 5 mais insistons surtout (comme dans [3]) sur l'&ude de la modification dld- mentaire associ6e k un rationnel p/q donnC Alors que dans le paragraphe prdcddent on fixait la famille P~,a et on considdrait et q comme des param&res, on commencera donc par fixer q et 6tudier les pertur- bations de la situation r&onnante correspondant ~ o 0 = p/q. Le r61e de T sera tenu par un troisi6me param&re t fixant la distance ~ la r6sonance, la petitesse de [ t assurant [ le caract~re de << bon rationnel ~ dep/q pour la famille (~, a) ~ P~,a,t. Notre objet est ainsi, comme dam [3], une famiUe A trois param&res (comparer ~. (1)) : P~,.,,Cz) = N~,.,,Cz) 4- o(I. I~-~), N,.,,,(z) = z[1 4-f(iz, a, t, [ z I~)] e "~a`~,",',l'l'', f(~, a, t, X) = Ez 4- aX 4- a2(y. , a, t) X ~ 4- ... polyn6me en X, g(iz, a, t, X) = bo(~, a, t) 4- bl(iz, a, t) X 4- ... polyn6me en X, (36) a,(0, 0, 0) = -- 1, bo(0, 0, 0) ---- p/q, b~(O, O, O) ~ O, 2 CO, o, o) + o, o) o, ~o "= Oa Obo 0 -~-(,0,0) ~ O. 20 ALAIN CHENCINER Ddfinissons comme dans [5] r( (p/q), lz, a, t), p./~ = p.l,(t), ~.,. = y,,aCt) = (~,,aCt). a,/a(t)) ~ C,~.(t). proches respectivement de 0, 0, (0, 0), par g(Pb a, t, r( (p/q), bt, a, t)') = p/q, p.tq(t) = r((p/q), ~h,/.(t), a~l.(t), t), (37) f(F./a(t), a.la(t), t, p./,(t)') = 0, af (F~/a(t), a~/a(t), t, p~/a(t) 2) = 0 (notons que r2((p/q), ~t, a, t) et p~/~(t) sont analytiques en (F, a, t)). p~za(t) est le rayon de l'unique cercle invariant de N.ptqct~,.p/q.~,~; ce cercle est non normalement hyperbolique, et N.ptgc~l, aptqt~), ~ induit dessus la rotation R~/a. C~la(t ) est l'ensemble des (~t, a) pour lesquels N.,.,~ poss~de un cercle invariant sur lequel elle induit la rotation R~/a. Remarquons que r((p/q), O, O, O) = p~ja(O) = O, Ez~l~(O ) = a~,l~(O ) = O. Les hypoth6ses impliquent que la fonction X ddfinie par X(t)= p,/a(t) zest un difffomorphisme local au voisinage de 0 : en d6rivant (37) par rapport ~t ten Iz = a = t = X = 0, on obtient en effet aX Obo (0, O, 0). (38) ~o ~- (0) = - -y On pourra donc supposer que p,/q(t) ~ = t. Le choix du reste O([ z [a-x) dans (36) vient de ce qu'~t cause de la r~sonance (~abo~0,0,0))a = 1, une forrnc normale tronqu6e de Po, o,o (et donc de la famille P~,~,,) invariante par tout le groupe SO(2) des rotations n'existe que jusqu'~t l'ordre q- 2; en degr6 q -- 1 apparatt en effet un terme (i)a-x et, h partir de lh, le groupe d'invariance de la forme normale tronqu& se r~duit au sous-groupe fini de SO(2) engendr6 par la rotation R~,~. Ayant besoin de formes normales sensiblement plus longues que celles de [15] et [3], nous partirons de l'expression g6ndrale (voir [1], chap. 6, w 34, ou [4]) : (39) v~ ~ .(~) = ~r ~. t. I ~ I ~, z~) + ~a-~ ,r(~. ~. t. I ~ I ~, za) + o(I ~ I~+~). dans laquelle @(~t, a, t, X, Y) et XF(~t, a, t, X, Y) sont des polyn6mes en X, Y, Y dont les coefficients sont des fonctions analytiques k valeurs complexes des param&res ~t, a, t, et Q. est un entier arbitraire. Remarquons que (39) s'&rit encore V~,o,,(z ) = zep'(~z,a,t, I zl ~, z a) + 2E .f,~(~t,a,t)~ '~-~ + O(I zl ~+~) ra~>l (40) = z[1 + A(~t, a, t, [ z I ~, V)] ,~'~~ + 21 v.(v. a. t) ~'~-' + O(I z I~+'). m>~l BIFURCATIONS DE POINTS FIXES ELLIPTIQ.UES A(iz, a, t, X, Y) et B(~, a, t, X, Y) dtant maintenant des polyn6mes en X, Y, Y, dont les coefficients sont des fonctions analytiques de (t~, a, t) ~t valeurs rdeUes. En coordormdes polaires z----re z~~ A et B deviennent des polyn6mes ~(bt, a, t, r ~, r a cos(2r~q0), r a sin(2~q0)) et ~'(bt, a, t, r 2, r a cos(2r~q0), ra(sin 2r~q0)) en leurs trois demi6res variables, dont les coefficients sont des fonctions analytiques valeurs r~elles de (tz, a, t), et P~,.~,,(z) = ze~'~[1 q-f+ Z v,.r"a-2 e-2'~''~~ + O(] z ta)]. ra>~l On supposera dans la suite que yl(O, O, O) # O. Ceci permet d'6crire Yx(W, a, t) = cl(~t , a, t)e ~=~x~'"'~ ot~ c a et d 1 sont des fonc- tions analytiques ~t valeurs rdelles de (Vt, a, t); on pose (41) UI(~.L , a, t, 0, r) = q0 + ~(~, a, t, r 2, r' cos(2r~q0), ra sirt(2~q0)) -- dl(~, a, t). On pourra choisir dans la suite Q= 2q- 4, mais le choix de Q.= q comme dam [15] et [3] se rdvdlera insuffisant. En particulier, seul le premier terme interviendra explicitement dans la somme du deuxi6me membre de (40) (eelui qui correspond ~t m---- 1), et l'expression de P~.,.t en coordonndes polaires devient : p tre~~ Re ~o, V., a, $ k I ~--- ~ q sm(2=u1) + o(I z (42) O = 0 + g-- 2n(1 +f) e~ R = r[1 +f+ q r~-2 cos(2z:U1) + O([ z [uq-')] ; nous noterons c1( , a, t) (43) c~ = Zl(~Z, a, t) = 2=(1 +j~, a, t, O, O, 0))" Apr~s une rotation des coordorm6es de (l/q)(~'(~t, a, t, 0, 0, 0) -- dl(V, a, t)) qui remplace 2r~Ul(~t, a, t, 0, 0) par 2nq0, on obtient I p treZ~*o~ Ree-io, t~,a, fk I ~-" | = 0 + g(vt, a, t, r 2) -- ~ r a-~ sin(2z:q0) (44) t + rq ~~ a, t, 0, r ~) + r 2q- ' ~Fo(~t , a, t, 0, r), R = r[1 +f(~t, a, t, r ~) + c a r q-~ cos(2~q0) + r q %(~t, a, t, O, r 2) + r 2~-4 ~0(~t, a, t, 0, r)], o~ t, = fI , t, O, 0), { g(vt, a, t, r ~) = ~(tz, a, t, r 2, 0, 0), 22 ALAIN CHENCINER et ~?o et +o sont des polyn6mes en leur derni~re variable, dont les coefficients sont des fonctions analytiques ~ valeurs rfielles de ~, a, t, 0, (1/q)-p~riodiques en 0, et ~o, ~Fo sont des fonctions analytiques de leurs variables. Bien entendu, en rempla~ant O(I z 1~-~) par O(Iz [~-'), on retrouve la formule (36). Nous faisons maintenant, pour tout t> 0 (i.e. p~/~ # 0), les changements de variables (0, ~) ~ C0, ~) ~ (0, ~) d~finis par (45) r = ,((p/q), ~, a, t) V'Y + ~, I ~ I ~< 1/2 (comparer h [5] formule (30)), et par la condition que | soit 6gal k 0 + (p/q) + %/~ p (comparer h [5] formule (43)). Rappelons que darts le carr~ N~/, = N~/~(t) associ6 k la famiUe (~, a)~N.,., t comme dans le lemme 1 de [5] (voir aussi le paragraphe 1 ci-dessus) nous avons (voir les formules (39), (40), (41) de [5]) : I ,((/,/0, ~, a, t) ~ - P,,~ I ~< cp,,~', (46) [ v((p/q), ~, a, t) -- %/, [ 4 Fp~l ~, o~ les distorsions sont ddfinies par des formules analogues ~ celles de ([5], formule (31) et lemme 1), i.e. "~((p[r ~, a, t) = Og ~-~ (~, a, t, r( (p[q), ~, a, t)') r( (p[q), ~, a, t)', (47) ,~,,~ = ,~,~o(t) = "~( O / q), ~,~( t ), a ,~( t), t). Rappelons ~galement qu'en termes des coordonn~es v', r ddfinies en ([5], formules (31), (34), (45) = (119)), ~i~(t) est approximativement d6fini par les formules P~/q, I [< p~/q ([5], lemme 1). Apr~s l'6clatement (48) v' " ~, 6 ~ v' e' =o,~z', =P,,~,, I I <1, I Izl, F eta deviennent des fonctions analytiques de ~', ~', t dont le d~veloppement de Taylor en test de la forme (49-1) F(~',~', t) = -- t ~ + O(t~), a(~',$', t) ---- 2t + O(t=); de m~me, on d~duit de (46) que (comme fonctions de ~', ~', t), r~((p]q), ~, a, t) = t + O(t~), (49-2) %t~ = b~(0, 0, 0) t + O(t =) (fonction de t seulement), et 9 ((p/q), ~, a, t) = .~,~ + O(t') = ~(o, O, O) t + O(t'). Enfin, les expressions obtenues pour les coordorm6es de P.,.,~ 6tant analytiques en r((~O[q), F, a, t) = ~//(1 + O(t)), il est naturel de remplacer t par t ~, c'est-k-dire de poser BIFURCATIONS DE POINTS FIXES 23 P~I~ = t. aVous consid~rerons donc dorgnavant la famille P~,a,t,, (~, a) ~ ~/~(t~), qui a Pavan- tage d'&re analytique en les variables (q', 7, t, 0, p) (Men entendu, ~ t fix6 non nul, on retrouve l'analyticit6 en (~, a) e ~/~(t~)). On obtient un plongement de T I � [-- 1[2, 112] dam T 1 � R de la forme P~,a,t,(0, p) -- (| R), ~ -= (z(~',~', t'), a ---- aCV,"g, t*), O = o + (p/q) + %~. p, (50) R----,/+(1 +d) p +s'p~+ Y~ a~p' + q(1 + p)(q/2'-~[2(1 + ~) (1 + P) -- qo] t"-~ cos(2~q0) + t" ~(~, a, t, 0, P) + t~'-~ ~(~, a, t, 0, o), analytique en ~, ~', t, 0, p, off ~ est (p/q)-p~riodique en 0, et qui pr&ise la formule (2) du paragraphe 1. On a repris ici les notations de la formule (119) de [5] (voir aussi le d~but du w 1); en particulier, s'~--2P, ]a~]~< C~t ~- ~ pour i/> 3; ~a = ~.~q(t ~) est essentiellement d~fini par ] v' ] < t ~ ] d ] < t ~ et on retiendra que %ta = "%1~(F) ~ ba(O, O, O) t 2, et que nous avons supposfi q(0, 0, 0) # 0 (par exemple > 0). Nous reprenons maintenant la d6marche du paragraphe 1 en considdrant P~,.,t, non plus comme perturbation d'ordre t a-~ d'une forme normale N~,., o invariante par SO(2), mais comme perturbation d'ordre t ~a-~ d'une ~ forme normale r&onnante . N~,~,~, invariante seulement par le sous-groupe fini de SO(2) engendr~ par la rota- tion R~;~. R,.,., ,.(O, p) = (0, P.) = i,,,., ,,(O, p) + (0, t ~-~ ~(~,, a, t, O, p)), (51) R =,/+ (1 +r ~ a~p'+t a-~ ~(B, a, t, 0, P), ~(~, a, t, 0, p) = q(1 + p)(at~'-~[2(1 + ~) (1 + p) -- qp] cos(2~rq0) + t ~ ~(~, a, t, 0, p). Les estimations du paragraphe 1 peuvent ~tre men6es de la m~me fa~on : les diff6o- morphismes d6fmis par les formules (19), (24), (28) sont remplac& par l~i~,., t ' = - 1 ~-x 57 R~-~ o N~.,.,,,, q~-0 (52) K~,,.,t, 1 ~-x p~ q ~-o ^-1 "YC~,a,t' = H~,a,t, o Kt~,a,t, , dont les propridt~s sont analogues k celles d&rites par les lemmes 2 et 3 : en effet, le lemme 2 ddcoule formellement du lemme 1, qui est encore vrai lorsqu'on remplace z" ELLIPTIQUES 24 ALAIN CHENCINER par t *a- 0, p~,. par p~,~,,., N~,. par N~,.,,,, et il n'y a rien ~t changer ~t la ddmonstra- tion du lemme 3 si on remarque que seule intervenait la commutation de H.,. ~t la rotation R~/~. Sous les hypotheses du lemme 2, le diffdomorphisme ~.,.,,. est done O(t*a-S)-proche de l'Identit6 dans la topologie C *, il transporte la courbe des points transformds radialement par R~ "~ o P~,,.,,. sur la courbe (ee n'est pas un cercle ]) des points transform& radialement par R~-lo N~,~,,,, et transforme P~ .,e en un diffdo- morphisme (que, conformgment d la note au bas de la page 18, on notera encore abusivement P~,.,,. par la suite) , ^-~ ,,(0, p) (o~, R~), (53) | = 0 + (p[q) + r p + t ~-s o~(~t, a, t, O, p), R~=u'+ (1 +d) p+s'p*+ Y~ a;o'+ta-~(~t,a,t, 0, p) i~>8 + t ~-~ ~(~, a, t, 0, 0), dont les points pdriodiques (0, ~) de nombre de rotation p/q v6rifient (54) %/. P + t~-~ ~(~, a, t, 0, p) = 0 ^ 1 (autrement dit, ~,.,t' o P~,.,t, o au t, induit sur ces points la rotation R~/~). Le changement de variables d6fmi par (55) ~,~ x = ~,~ p + t ~-8 ~(~, a, t, 0, p) conduit enfin ~t un diff6omorphisme, lui aussi not6 P~,,a.e, de la forme t v~,o,,,(o, x) = (o, x), (56) | -= 0 + (p]q) + %1~ x, X=v' + (1 + d) x + s' x2 +  a~ x~ + t"-~ ~(~,a,t, O,x) + a, t, O, x), dont les points p~riodiques de nombre de rotation p/q sont donn& par les 6quations x=0, (57) v' + t q-2 ~(~, a, t, 0, 0) + P'-a~ a, t, 0, 0) = 0. Remarquons enfin que, ~ &ant invariante par R~/q, et la restriction du diff~o- morphisme ~t ses points p6riodiques de hombre de rotation p[q 6tant la rotation R~ia, la nullit6 de ,/ + t a-2 ~(~t, a, t, 0, 0) + F~-x~ a, t, 0, 0) implique celle de ~' + t ~-2 ~(~t, a, t, O, O) + pa-ao ~(~t, a, t, 0 + (p/q), 0). En particulier, les points p6riodiques de nombre de rotation p/q de P.,~,,, sont encore d6fmis par les 6quations BIFURCATIONS DE POINTS FIXES ELLIPTIQUES 25 x=0, (58) ~' + t ~-~ ~(~, a, t, o, o) + (l/q) p-lo Z "~(~, a, t, o + i(p/q), o) = o, *-0 et il est plus agrfiable d'&rire P~.,.j, sous la forme P~.a,,,(0, x) = (O, X), ~ = Vt(%', ~, t~), a = a(~, ~', ta), @ = 0 + (p/q) + v,/~ x, (59) X = ,/ + (1 + d) x + s'x ~ + ]~ a~x' + t~-~(t~,a,t, O,x) i>~8 + t 2a-a~ y(~, a, t, 0, x), oCa ~ ((p]q)-pgriodique en 0) et T, analytiques en q', ~', t, 0, x, sont d6finies par t ~-~ ~q(~, a, t, 0, x) = t ~-~ ~(~, a, t, 0, x) a-x + (I/q) p-,o Z ~(~, a, t, o, + i(p/q), x), (60) *-o i q--1 ~.(~, a, t, O, x) = 7(~-, a, t, O, x) -- (l/q) N "~(~t, a, t, 0 + i(p[q), x). Les points p~riodiques de P~,.,~. sont alors donn6s par les 6quations x=O, (61) ~' + t '-~ n(~, a, t, 0, 0) = 0 qui pr&isent (35). Enfin, on remplacera v' par ~'+ tq-~ f~l~(~t, a, t, O, O) dO, ce qui permettra dam la suite de supposer que (62) f~/'~(Vt , a, t, 0, 0) dO ---- 0. Remarques. ~ (i) On aurait pu, ~t partir de (50), remplacer v~/~ par t z darts l'expression de 6) en choisissant autrement le changement de variables (0, ~) ~ (0, p), mais nous avons voulu conserver la sym6trie avec les formules de [5] et [6]. (ii) Dans la formule (59), le 2q -- 10 n'est bien entendu pas significatif; on peut le remplacer par O << assez grand 9. (iii) On d6duit de (61) que l'ensemble C~/~(t ~) o~/~(t ~) des valeurs de (vt, a) ~/a pour lesquelles P~.~,~, poss~de une orbite p6riodique (forc6ment bien ordonn&) de hombre de rotation p/q est d6fini par -- t a-~ inf ~(~, a, t, 0, 0) ~< u' ~< t ~-~ sup ~q(~, a, t, 0, 0), 0~T t 0~T~ c'est-~-dire (k O(t ~) pr&, voir (51)) : -- 2q t a-~ < '/ < 2c~ t a-~. Son bord, image d'un pli quadratique (lieu singulier de la restriction de la projection sur ~) de la surface "g = -- t ~-~ ~(V., a, t, O, O) dgfinie dans ~t~ � ]-- ll2q, 1/2q[ (figure 1), est analytique. 4 26 ALAIN CHENCINER 2.2. R~ductlon des fomes no..~.ales ~ leur partle slgni6mte et interpolation par une famille d~quations diff~rentielles Si nous consid~rons ~t nouveau la famille P~,a, ~. (t = P~/~ fix6) comme une pertur- bation d'ordre [ z [~-~ d'une forme normale N~,.,,, invariante par SO(2), nous pouvons lui appliquer directement les r6sultats de [5] et [6] avec 2n q-3 = q- 1 (que n- (q/2)- 2 ne soit pas forcdment entier n'a aucune importance). En particulier, P~,.~ ~ ressemble ~ ~t N~,,a,t, (au sens de [5] w 2-3) darts le compldmentaire 3r ~') du domaine r *) bord6 par les courbes I~j_8(t *) et r+(t *) d6finies comme dans le w 1-2 de [5]. Soit ~tq = 8,,/~(k, K, t 2) C ~/q = ~/q(t 2) le ~ rectangle ~ ddfmi (pour k >t 0, K > 0) par = a) I "1 [ '/1 t }. Ce ~ rectangle ~ est beaucoup plus petit que ~/~ (d6fini approximativement par ]r t ~, ]v'[~< t~); le premier des lemmes ci-dessous indique cependant qu'on pourra ne considdrer darts la suite que les valeurs de (~t, a, t) telles que (~z, a) appartienne ~t 8~/~(4, K, t~), off K est une constante bien choisie (*). Les lemmes suivants montrent que, pour ces valeurs, la restriction de P.,~,,, ~t un anneau contenant toute sa rdcurrence non triviale admet, dans des coordonndes bien choisies, une expression ddbarrassde de tout ornement superflu (**) et donc accessible ~t l'analyse (je veux dire ~t la g6omdtrie). Dans tout ce qui suit, t = p~/q est supposd assez petit (et q >>. 18). Lemme g. -- Si K est assez grand, ~/~(4, K, t ~) contient toutes tes valeurs de (~, a) pour lesquelles P,,,, ~, posskde une orbite pgriodique (forcgment bien ordonnge) de hombre de rotation p/q n'appartenant pas ~une courbe fermde invariante entourant l'origine. Plus pr~dsgment, 8~/~(4, K, t ~) r C~/~(t 2) c~ r ~) (les notations sont celles de [6] w 1.2, dgfi rappelges ici, voir fig. 2). Dgraonstration. -- C'est une cons6quence directe du lemme 1 de ([6] w 2) et des estimations du w 1.4 de [5] : Pf(t 2) a une 6quation approch6e de la forme St* ~' + ~'~ + ... + O(t ~') = 0, "" $ et la largeur horizontale du trou s6parant les composantes connexes de C~/~(t ) ~ ~vt~ est d'ordre O(t "-~) = O(t ~=~-~) dans la coordonn6e a, done d'ordre O(r ~m-~) dans la coordonn6e ~'. Tout ceci est rfsum6 sur la figure 2 ci-dessous qu'on comparera h la figure 3 de [6] en se rappelant que v' ~_ vet r '-' r (*) ~< Moralement ~, on devrait pouvoir prendre k = 0 et K assez grand; l'entier k n'est ndcessaire que parce que l'on n'a pas une estimation suff~amment precise de la r~gion oh la seule r6currence non triviale appartient/~ des courbes invariantes. (**) En fait, certaim ne le sont pas, tel le terme � que contient yA(bt , a, t, O,y) dam la formtde (63) : son coefficient zest ~quivalent ~ yt (qlal- 3-~ (formules (103) et (104) du w 6) dont la non-nullit6 emp~che P~, a, g* d'avoir un comportement conservatif au voisinage de ses points fixes elliptiques. BIFURCATIONS DE POINTS FIXES ELLIPTIQ.UES ..t riE 2 io'~ Aa--lO _~(t ~) _,(t ~) Cvlq(l ~ a,/~( FIO. 2 Lemme 5. ~ Si (~t, a) appartient ~ 8~/q(k, K, t~), il existe L (dgpendant de k et K mais pas de t) tel que toute la r6currence non triviale de P~,,,,, (d~fini par (59)) soit contenue dan~ l'anneau Ix I ~ Lt~m-8-L Dgmonstration. ~ Notons P~,o,,,(0, x) = (0 + (p/q) + ~,l~x, x + n(o, x)). Darts l'anneau [xl~< Bt (B constante) qui, ainsi qu'on l'a rappel4 au d4but du w 1, contient route la rdcurrence non triviale de P~,,,,, pour (~t, a) e ~/~(t~), on a (se rappeler que s' = -- 2t ~ + O(t") et [ a~ [ ~< C,t 2'-2 pour i>i 3) : II(0, x) < ,/+ ~' x + (3/4) s' x" + "~, off % = ~o t~-~, ~}o = 2 sup ] v~(~t, a, t, 0, x) [, ', \~~,/ / Fro. 3 28 ALAIN CHENCINER le sup 6tant pris sur l'ensemble { (~t, a, t, 0, x) [ (~t, a) e ~/q(tz), t voisin de 0, [ x I ~< Bt}, et donc II(0, x)<~ --'/o d6s que x est ~t l'extdrieur de l'intervalle d6fmi par les racines (2/3s') (-- r + [(r -- 3s'(~' + 2v~)] v~) du polyn6me ,/+ 2% + e'x + (3/4) s' x ~. Si (~, a) appartient k ~/,(k, K, tz), la plus grande des valeurs absolues des racines est major6e par (2/3 1 s' I)( Kt("/2)+l-~ + [ K2 t"+~-2~ + 3Is' I((K'/8)t '-~-~ + 2~o tq-2)] 1!2 } ~< Lt~a/~l-s-~; la dynamique de P~,,,,~. n'a donc pas de r6currence (~ l'exception du point fixe 0) hors de l'anneau I x l <~ Lt(a/~)-s-~ (fig. 3) ce qui d6montre le lemme. Lemme 6. ~ Le changement de coordonnges x = t(qt~)-S-ky, [Y[ < L, conduit ~ la (< forme canonique >> suivante de P~,.,t., analytique en ~,"~, t, O,y : I ~" = ~(~, 7, t~), a = a(% ~, t~), P~, ,,(O, y) Y) (o, "1 ' t (~, a) e $~t.(k, K, t ~) | = 0 + (p/q) + wy, Y = ~ + (1 + ~)y + yy, + ~(~, a, t, o) --}-yA(~, a, t, 0,y) + B(~, a, t, 0,y), t ~)-8-k - hi(O, O, O) t ~)-~-k + O(t(~/~+l-~), Ul.) = "r: ~l q (63) [ ~1 = 1r Kt'q'2'+~-~, T = s' t (~/2)-s-~ = -- 2t (q12)+l-k + O(tCq/2)+8-~), : 2c t t q-2 t-(a/z)+s+k = 2c 1 t (ql2)+1+~, ~(~, a, t, 0) = cos(2~:q0) + O(t~), (llq)-pdriodique en O, f llq ~. t ~(~t, a, t, O) dO = O, A(~, a, t, O,y) = O(t~-~-~), (l/q)-pgriodique en O, B(~,a,t, 0,y) =O(tQ), O= (3q/2)--7+k. De plus, si @" ~, a, t, est le flot de l'gquation diffgrentielle du second ordre invariante par Rr/q -g = wy, (E~,,~,,.) =. + [~y + yy~ + 8~(~t, a, t, 0), BIFURCATIONS DE POINTS FIXES ELLIPTIQUES 29 les orbites pgriodiques de P~.~.t, de nombre de rotation p[q r exactement avec les points singuliers de E~.~,,,, et P~.~,,, est trks bien approcMe dans l'anneau ly { <~ L par la compos6e Rj)jq 0 ~.)1 1 ~,.,,, = @~,,a,t, o R,/a de la rotation R./~ et du . temps 1 >> de E~,~,,.. Plus pr3ds6ment, (P~,~,,, -- R~/q o @~,~,,.) (0, x) est de la forme ainsi que ses d3riv~es partielles (avec bien st~r des constantes dgpendant de l'ordre de dtrivation). Dgmonstration. -- Le changement de coordonn&s indiqu6 conduit 6videmment ~, la forme canonique donn6e dans le lemme, avec 3~(F, a, t, 0) = t(am+~+* ~(F, a, t, 0, 0), yA(F, a, t, 0,y) = Z a~(t ~'-~-*)~-~y* + t'a/~)+a +*[B(~, a, t, O, t(ai~)-~-*y) -- ~(~, a, t, O, 0)] B(~, a, t, 0,y) = t (~l*~- ~ +* 7(~, a, t, O, t(~m-~-* y). Consid~rons maintenant l'~quation diff~rentielle E~,~,,. : 1'assertion sur les points singu- liers d&oulant de (61), il reste k fivaluer la solution au temps 1 ; il suffit pour cela de considfirer E~,~.,, comme perturbation de l'6quation lingaire d0 dy = as Les calculs sont sans mystSre et, n'utilisant pas explicitement dans la suite la derniSre assertion du lemme, nous ne les reproduirons pas ici. Remarques. -- (i) Travailler, comme dans [15] ou [3] dans l'anneau plus petit { x { ~< O(t'~/2'-2), pour (~, a) E 8,t~(-- 1, K, t*), revient ~ repousser dans le reste le terme quadratique yy* et donc ~ ne plus s'int6resser aux orbites p6riodiques qui, dans le module 6quation diff6rentielle, jouent le r61e des courbes invariantes de P~,~,,, dont on dtudie l'61imination. Lorsque ~ = ~ = 0, on retrouve alors l'dquation du pendule hamiltonien --=dO wy, -- ~ cos(2~zq0) ds ds qu'utilise implicitement Zehnder. (ii) Q ue P0,o,0(z) soit, en z = O, approch6 par une forme normale formelle de la forme R~/q o Ol(z) = 9 1 o R~/a(z), off 9 1 est le (~ temps 1 ~> d'une ~quation diff~rentielle formeUe ayant pour seule singulaxit6 l'origine, c'est-~-dire l'unlque orbite de hombre de rotationp[q de P0,0,0, est bien connu (voir une discussion du cas hamiltonien dans [14]). On a ici un rdsultat analogue apr6s d6ploiement, le voisinage infinit6simal de 0 &ant remplac6 par un voisinage tubulaire d'une courbe fermde contenant les orbites p6rio- diques de hombre de rotation p/q de P~,a.,,. 30 ALAIN CHENCINER (iii) Dans les coordonndes 0r 9, l'ensemble C~/~(t 2) n 8~/~(k , K, t 2) des (~,a) ~8~/q(k,K,t 2) pour lesquels P~,.,o poss6de une orbite p6riodique (forc6ment bien ordonn6e) de nombre de rotation p]q est d6fini par 8 inf ~(~z, a, t, 0) ~< 0r ~< 8 sup ~(~z, a, t, 0), 0~ T2 0ET x c'est-~t-dire, ~ O(Sf) = O(t cq/~)+8+k) pros, -- 8 ~ ~ ~ 8. Rappelons (Remarque (iii) ~ la fin du w 2.1) que son bord est analytique. (iv) Le param6tre t 6tant fix6, w est ind6pendant de Go, [~; quant ~ y, 8, ils le sont presque, puisque l'on d6duit de (63) et de la definition de ~', e' darts [5] que 07 Os' Oy Os' _ =__.t~-,-~ = O(t~-~-~), _ .O;~-~-~ = O(tC~-~-~), 00: 0v' 013 0r (63b/s) 08 Ocx t~-~= O(t'-'), 08 Ocx t,,,2,+x+~ O(t(,/2)_,+~ ) = 2 -g. = 2 oe" = " 3. FONCTIONS DE LIAPUNOV Ce paragraphe et le suivant repr6sentent pour les bons rationnels l'analogue du w 2.3 de [5] dans lequel nous montrions l'existence de beaucoup de ~ bons ~ chemins d'61imination le long desquels P~,~ ~ ressemble ~, pour toutes les valeurs du param6tre, une forme normale. Bien entendu, dans le cas present, l'existence g~n~rique d'orbites p~riodiques isol~es exclut que les rfigions (respectivement dr/q --Cv/~ et ~~ --Cyst) darts lesquelles P~,~,t, ~ ressemble )) ~ une forme normale se touchent en un point ~v/~, mais on montre que ces r~gions sont aussi grandes que possible, venant embrasser de chaque c6t~ la langue de rdsonance Cv/~ (comparer les figures 4 et 12 ~ la figure 12 de [5]). Nous avons d~j~ dit dans l'introduction que ceci implique un contr61e parfait sur le premier et le dernier point de bifurcation d'une famille ~ un paramStre d'~limination (i.e. traversant Cyst) passant par ces r~gions (fig. 20). Ii est recommandd au lecteur de prendre connaissance de l'Appendice avant de poursuivre son chemin. Dorgnavant, on suppose que t > 0 est asse z petit, que (~, a) appartient au rectangle ~v/q ( k, K, t 2), et on dtudie la dynamique de P~,,a, t. : T1 � [-- L, L] -+ T 1 � R dgfini par (63). = ~' t -~12~+8+k et ~ = r sont des coordonndes sur 8vlq(k, K, t2), qui est dgfini par tes inggaIit6s [ o~ I <~ (K2/8) t 'ql~'+l-k, [ ~1~< Kt cr On supposera wet ~ positifs. Pour all~ger, on omettra souvent d'indiquer la d~pendance en t, ou mSme en (~, a, t), ~crivant par exemple (~v/q au lieu de (~v/q(t2), 4(0) au lieu de ~(~, a, t, 0), etc. 3.1. Loin des lies de nombre de rotation p/q Nous utiliserons de plusieurs fa$ons dans la suite l'approximation de R~-}J o P~,.a,t, z de l'6quation diffdrentielle E~ a,t" Pour le moment, elle va par le ~ temps 1 ~ @~,a,t' nous sugg6rer des fonctions de Liapunov qui permettront plus tard de ddterminer compl6- tement les bassins des attracteurs et des rdpulseurs de P~,a,t, pour certaines valeurs des param6tres. 32 ALAIN CHENGINER ~a~:~ -4- D~finissons les r~gions ~,/~ = ~/~(k, K, t~), = ~vl~(k, K, ta), ~o/~ o + ~ de ~/~ ~/~(k, K, t ~) par = ~(k, K, t ~) = ~/~ t3 = I .~,/q = {(~., a) e 8,/~, ~2 _ 4(~ + K x t ~-2-~') V ~< 0 }, 1 ~/, = {(~t, a) ~ ~,/q, = -- K, t '-=-~/> I v I ~ t ~+= + ~t '+~ I ~ I}, (64) - Ka t ~ - ~- - ~k 1> I "r [ c= t= + 2k :F ct ~ + k [~ si ~/> K a t ~- 2- ~ ~--Kat~_~_~> r ~_z_~ si ~< K,t '-2-= 1 ,fp- 4V ! = ( 8c,(o, o, o), 1 oh K 1 est une constante positive assez grande, etc ~b--~-6:-6i-~q ] . F,o. 4 [.~Ovl q = "~+lq t~ "~ld" Soit .9, ___ .o~e~,. *, t : T 1 � [-- L, L] ~ R la fonction ddfinie (voir l'appendice) par ~(0,y) =y2 _ 2__~ Z(0) ' o~ z(0) = z(~, ~, t, 0) = ~(~, a, t, ,,) du = ~ si~(2~q0) + O(t~). Puisque ~ est (1/q)-p~riodique, et qu'on a suppos~ f2lq~ (u) du ---- 0, Zest (1/q)-p~riodique eD 0. Considdrons, pour M s > 2__~ (sup Z -- infz) = O(p+2k), les domaines (fig. 5) D~ = 1 (0,y)~T1 � [0, M], ~q'(O,y)>1 ----infzl , (651 w D"s_ = l (0,y)e Tx � [--M, 0], .9'(0,y) >~ 2 ~ infzl W BIFURCATIONS DE POINTS FIXES ELLIPTIQUES 33 "L -M[ Fm. 5 1 i Nous notons d~ = -- -- + -, i ~ Z, les points de D~ c~ DM_, et B~ les composantes connexes de'r I� (Dr+ u Dr-) = (O,y) e T I � [- L, L], ~q'(O,y) < ----inf X . 7. -- (i) Si (re,p. applique Dr+ dans (resp. I)r- dans D~ + 1) et .if est une fonction de Liapunov (croissante sur les orbites) pour les res- trictions P~,],,, ]D~ et P,,,,, I~. (ii) Si (~, a)~ g~,, P~,,,,, (resp. P~.~,,.) applique Dr+ (resp. Dr_) dans lui-mgme et .if est une fonction de Liapunov (croissante sur les orbites) pour les restrictions P~.,,t, [ ~++ et P~-~,t, [r~_-, o?~ M = ~ [-- ~ T (~ -- 4(0c -- K, t q-2-~) y)l[2]. En particulier, les anneaux (voir fig. 7 la signification de k~§ et k~) A+ = {y ~ T t X [0, L], 58(0,y)/> k~M. }, A_ = {y ~ T t � [-- L, 0], .W(0,y) >/k~_ }, sont respectivement laissgs invariants par P~,~, t, et P~,~.t,.  P+~ applique dans lui-m3me A, Si de plus , >1 K 1 t q-~-~*, (iii) Si (~, a)~ ~la, ~,.,t, .W est une fonction de Liapunov croissante pour P~,~,t,  ~ darts D~ i . Corollaire. -- (i) Si (~, a) ~ dvt~, les orbites des points d'intersection d~, i ~ Z, de D~+ et D r _ vont d'un bord gt l'autre de l'anneau T ~ x [-- L, L] ; il n'y a donc pus d'ensemble invariant de P~,~,t" qui (( s~pare >> darts cet anneau (i.e. tel que les bords de l'anneau appartiennent ~ des composantes connexes distinctes du compIgmentaire). (ii) Si (tt, a) ~ ggo , les orbites des points d, vont de A_ ti A+; il n'y a donc pas d'ensemble invariant de P~,,,.t, qui ~ sgpare ~ le compldmentaire daus T 1 � [-- L, L] de A_ u A+. 5 J ~ ~ ~t ~ ~f q~ c~ II -L ! "_$1 I BIFURCATIONS DE POINTS FIXES ELLIPTIQUES 35 La figure 6 r6sume le lemme 7 et son corollaire : on a repr&ent6 darts chaque fen&re les renseignements qu'on a sur la dynamique pour les valeurs correspondantes des param&res. Les fl&hes indiquent la dynamique de K~-~J o P~,a,,, (ou celle de P~,a,,,). Les ordres de grandeur ne sont pas respect& (cf. fig. 7). Dgraonstration. ~ Nous noterons P~.o.,.(0,y) = (0 + (p/q) + wy, y + II(0,y)), n0,y) = ~ + ~y + vy' + ~4(o) +yA(0,y) + B(0,y) = ~ + py + vy ~ + ~4(o) + o(t ~-~-~) = o(t'~J~'+l-~). (i) Supposons tout d'abord y <~ 0 : ~(P.,.,,,(O,y)) - ~(O,y) = 2yH(0,y) + n(0,y) ~ -- 2-~ [z(0 + wy) --z(0)] ?,O = 2yH(0,y) + ri(O,y)" - 2 ~4(O)y +y,O(~w) = 2y[n(o,y) -- ~4(0) +yO(tq)] + H(0,y)'. Si (~, a) ~ ~/~, on a pour tout y + K 1 t ~-~-~ + [~y + yy~ ~< 0; en partieulier, sit est assez petit et K x assez grande, n0,y) - ~4(o) +yO(t ~) <. - (K1/2) t ~-~-~, done L,P(P~,.,.~,(0,y)) -- .~e(0,y) >I K1 ly[t q-~-~ + ri(O,y) ~. ~D_, y ne peut s'armuler qu'en l'un des points d, (fig. 5); mais alors si (O,y) z(O) = infz(O), done 4(0) = z'(O) = O, et rI(o, o) ~ = [o~ + ~4(o) + B(0, 0)3 3 = [~ + O(tQ)] ~ >/ (K]12) t ~'-4-'~ > 0. On en d~duit que, darts D[, limitfi par une eourbe de niveau de .g' et 6videmment envoyfi darts D[ + 1, p~.~.~, admet L~ ~ comme fonetion de Liapunov eroissante. 8upposons maintenant y >1 0 : On v6rifie immfidiatement par identification (ou eomme consequence de la demi~re pattie du lemme 6) que --1 P~.,.,,(0,y) = (0 -- (p[q) -- wy + O(t~-~),y -- n0,y) + o(t~-~-~)). On obtient aimi ~(P~-]~.,.(0,y)) -- ~(0,y) = -- 2y[H(0,y) + O(t"-~-~)] + [n(0,y) + o(t~-~-~)] ~ - 2_~ [z(0 - wy + o(t"-~)) - z(0)] 1.O = - 2y[n(0,y) - ~4(0) + o(t "-~-~) +yO(t ~) + O(t'~m+l-~)] + O(t a+~) 4(0) + [r~(o.y) + o(t,-~-~*)] ~ + o(t~,+~-~), 36 ALAIN CHENCINEI~ et donc, si test assez petit et K x assez grande, .~(V;,],e(0,y)) -- .~(0,3~ >I {K~ t'-~-n'_r + O(t a+*) ~(6)} + {[n(0,y) + o(t'-*-')] * + o(~"+*-')}. Mais, dans D~., yl> --(z(O) -- infz(0))} /> t ~+~ 1~(0)1, K, t~-~-~*y + O(t ~ K(0) ~> (K,/2) t~-* I K(0)I . donc Alors, (K,12) t.-~ I ~(0)l >~ (K,/2) t ~+~-~* ,> O(t~"+=-~), ou bien ou biert I~(0)1 < t '+'-*, donc I~(0)1 < o(~'"'+'), II(0,y) + O(t ~-*-~) = II(0,y) -- 8~(0) + O(t ~-*-') ~< -- (K~/2) t '-~-~', et [ri0,y ) + o(t,-~-')]* e (K~/4) t ~'-'-'~ ~> O(t*"+*-~). c'est-~t-dirr Duns ies deux de (i). l'intervalle M_ ~< y ~< M+, on a (ii) Dan~ 0~ -- K 1 t a- 2-2k + ~y + ~,y2 >1 0. Reprenant les calculs de (i), on voit que ceci entraine &~(V~,,,,,(0,y)) -- .~~ > 0 si (0,y) eD+ m, -q'(P~.~,,,(0,y)) -- ~q'(0,y) > 0 si (0,y) e D~. La condition M~ > 2__~ (sup Z -- inf,() (voir la d6finition de D x' avant le lemme 7) to est (largement) assur6e si M~: >I c ~ t 2+~ -~- -- (1 + O(t~)), c'est-~t-dire wrcq + (~ - 4(~ - Ktt ~-~-~) V) '~ >~ 2 1Y I al+~ pottr M+, [~--(92-4(a-K~t "-~-~')'t)uz~ < --21Y[ct a+~ pour M_, c'est-a-dire ([~ -- 4(~ -- K, t '-~-') V) "~ ~> I ~ I + 2 I V l a ~+~, d'o6 l'on d6duit la d6finition de ~o/~. L'assertion sur l'invariance des anneaux A+ et A_ est une consequence directe de ce qui precede (fig. 7), airtzi que le corollaire. (iii) La scule difference avec (ii~ est que, si ~ < K: t ~-s-~, M~. et M_ sortt de m6me sigae; il faut alors s'assurer que l'anneau M_ ~< y ~< M+ est assez large pour contenir une courbe de niveau de -q'. I1 saffit pour cela que c'est-~t-dire [ ~ [(~ -- 4(~ -- K~ t ~-2-~') y)v', I> T ~ c2 t2+~, d'ofl 1'oll d~duit la d6finitiort de ~,+1, et &~. BIFURCATIONS DE POINTS FIXES ELLIPTIO.UES 37 /_ _- - I.+ ////////J ~0 -~.~(O,y) = k-~~_ ,I --L a~ FIo. 7 Remarques. -- 1) Si (~, a) appartient ~ ~/q, la dynamique de P~.a,, est parfai- tement contr61ge en dehors d'une rgunion d'tles C, r~ellement disconnect4es les unes des autres (fig. 8). [I1 enest bien stir de m~me lorsque (~, a) appardent k ~i~, A l'extgrieur de A+ u A_]. Ces tles ont le nombre de rotation p[q darts le sens suivant : si un point (0,y) e Bi a routes ses images (resp. images r~ciproques) darts O B~, on a V k I> 0, l~.a.,,(O,y).e B,+,, (resp. P~.], ,,(O, I) e B,_,,). ,ez "I ,,(B, + ,) , ) D5 Fro. 8 ((I'., a) e .W~,/q) 38 ALAIN CHENCINER 2) Le lecteur pourra, ~ l'instar du referee, s'Etonner de la conservation des termes Kx t ~-*-~ dam la definition de ~~ et g=:~ : dans g,/,, par exemple, ee terme peut Evidemment ~tre nEgligE devant ] y It ~ t ~+~ = O(t~2~-s+~). On ne les a conserves que parce que l'artieulation des deux parties du bord de ~ se fait alors naturellement suivant la droite 0~ = K x t ~-~-~ qui intervient dans l'EnoneE du (iii) du lemme 7. Ce bord s'Etudie d'ailleurs plus eommodEment dans les coordormEes ~.= ~ -- 4(0t --4~Ka t *-~-~) V, = 2 I' analogues ~ eelles suggErEes par le referee; la definition de ~ devient en effet ~> (~ :F aa+*) * si a I> K x t '-2-~, C~ t~+~ >/ -- si ~ ~< K~ t ~- 2 - ~,. 16~ * 3.2. Dans les iles de hombre de rotation p/q Rappelons que, par definition ([5] w 2-3), P~,.,,. << ressemble >> ~ la forme normale N~,,,a, ,, si les deux diffEomorphismes locaux ont, dam un voisinage uniforme (indEpendant des param6tres) de l'origine, le m~me nombre de courbes fermEes inva- riantes et la m~me decomposition en bassins. Lemme 8. -- (i) 8i (~, a) ~ d~/~ --C~Iq c~ ~./~, P~,a,~* << ressemble >> ~ une forme normale sans courbe invariante. Si (~, a) ~ d~l a n 0C~1~, P~,a,~, ~< ressembIe ~ ~ une forme normale sans courbe inva- riante, ~ l'existence prks d'une unique orbite pgriodique de hombre de rotation p[q. (ii) 8i (~, a)~ gg~ q --C~tq n ~1~, P~,~,e ~ ressemble ~ ~ une forme normale avec deux courbes fermges invariantes, au remplacement prks des deux courbes par les anneaux A+ et A (respectivement positivement et ndgativement invariants). Si (~, a) ~ gg~ ~ n 00~1~, la conclusion est la mgme ~ l'existence prks, entre A+ et A_, d'une unique orbite pgriodique de hombre de rotation p/q. Dgraonstration. ~ I1 suffit de trouver une fonction de Liapunov pour R~-ao P~,,,,,, dam ehaeune des regions B, dEfinies sur la figure 5 : on sera en effet assure de ce que les orbites de R; x o P~,,,j, (et done eelles de P~,,,,,) traversent ees r~gions sans y revenir l'exeeption pros, si (~, a) ~ 0(~/~, des points fixes (qui correspondent exaetement aux orbites pEriodiques de P~,o,~, de nombre de rotation p[q). Cela vient de ce que la Remarque 1) du paragraphe 3.1 exelut toute possibilitE de passage de B, k B~ pour j # i lorsqu'on applique R~-~o P~,,,,,,; si par exemple on a (fig. 8) : V k I> O, (R; ~ o ~ (B,) c B, u DE, (R; 1 o c B, u BIFURCATIONS DE POINTS FIXES ELLIPTIQUES Notons comme prScSdemment 1 P~,o,t,(O,y) = (0~,yx), ol = o + (p/q) + wy = o + (p/q) + o(t,,,~,-~-~), yx =y + nO, y) =y + ~ + 13y + vy ~ + ~(0) + O(t .-~-~') =y + O(tt~/~+~-h) ; on a i rk.,,.CO,y) = (O,,y,), 0, = 0 + i(p/q) + w [~ + (i - l) riO,y ) + (i - 2) n(01,yO + ... + n(o,_~,y,_~)], \y, =y + n0,y) + n(Ol,yz) + ... + n(o,_l,y,_~). De plus, q 6tant fix6, on voit immddiatement par rdcurrence que n(o,,y,) = n(o,y) + o(t,-~-~), donc (66) R;~ o P~.,.,.(O,y)= (o + qw[y + ~--~ II(0,y)+ O(tq-z-~)], y + qII(O,y) + O(t,-*-**)). Une derni6re estimation dvidente montre que le changement de variables d6fini par q--1 (67) x =y + n(o,y) + O(t "-~-~) =y + O(t `'~*'+~-*) conduit h la formule R; 1 o P~.,.,,(O, x) = (0 + qwx, x + qlI(0, x) + O(t~-~-=)) (68) = (o + qwx, x + q[~ + tSx + ~x~ + 8r + c(o, x)]), o,a c(o, x) = c(v., a, t, 0, x) = O(t~-~-~'). Remarquons maintenant que Cv/~ n 8v/q est d6fmi pax inf [8~(~, a, t, 0) + C(~t, a, t, 0, 0)] <~ oc 0 ET z .< sup [~(v., a, t, 0) + C(t,, a, t, 0, 0)] ; 0 ~'l 't on en d6duit que + ~r + c(o, o) < o dans dvt ~ -- (C~/~ m ~v/~), darts ~~ -- (CI,/~ m ~/~). et a + ~(0) + C(0, 0) > 0 40 ALAIN CHENCINER Plus pr6cis6ment, conservant les notations de la figure 5, appelons O, = 0,(~, a, t) ~]~,, a,+A, le point oil la restriction de x + 8~(0) + C(0, 0) A l'intervaUe [d,, d,+x] atteint son maximum si (~, a) c ~r son minimum si (V~, a) ~ 5~~ (fig. 9) ; si (t~, a) ~ 0(~/~, 0~ est l'intersection avec B~ de l'unique orbite p~riodique de hombre de rotation p[q de Pg... t.. Ii existe Kz > 0 poss6dant Ies propri6t6s suivantes : (i) Si (~t, a) ~ ~t'/~ -- int(C~/~ ~ 8~/a), il existe a 0 = ao(tX, a, t) >I 0, ne s'annulant que si (~t, a) r O(~ta, tel que (69) V i e Z, V 0 c [d,, d, + a], ,t + 8~(0) + C(0, 0) <. -- a o -- K, I 8 I(0 - 0,),; (ii) Si (~, a) c ..~~ , -- int(Cv/, c~ 8,/,), il existe ao ----- ao(~, a, t) >I 0, ne s'annulant que si (~t, a) r 0Cv/q, tel que (70) V i c Z, V 0 c [d,, d, + ~], ,t + 8~(0) + C(0, 0) i> a o + K3 [ 8 I(0 - 0,),. r...: graphe de T /~ = + ~(O) + C(0,.O) graphe de --a o-K.[8[(0-0,)' d, . 0, ~,+, / I d , J .~ ,IP d,~ 0, d,+l 0 aphe tie a o + K. [ ~ [" (0 -- 0,) z phe de + ~(0) + C(0, 0) (t~, a) ~ d,1 , - (C,I , ~ ~,i,) Fxo. 9 Consid6rons alors la fonction L, : T 1 � R -+ R ddfmie par (71) L,(0, x) = x (0 -- 0,), Z0 BIFURCATIONS DE POINTS FIXES ELLIPTIQ.UES 41 aG off on a not6 [~x(0) =--~x (0, 0), et calculons (~t l'aide de C68)) L,(R~ -~ o P~,,,,,(0, x)) -- L,(0, x) = x + q[ot + 8~(0) + t2(0, 0)] + ~(~ + ~(0)) x + q(v + ~d0, x)) ~' _ ~ + ~(o,). (o + ~ - o,) - ~ + ~ + ~(o,) (o - o,), /33 LV donc q [-L,(R~-' o P~,~ x)) -- L,( 0, x)] = [~ + ~(o) + c(o, o)] + Iv + v~(o, ~)] x~ + [~,(o) - ~(o,)] ~. Si Ctx, a) ~d~/~--int(~/~o~r~,), et si (0,x) ~B, Cdonc 0 ~]dt, d~+~[), cette expression est major6e par -- ao -- Q,( 0 - 0,, x) + K, t ~-~- ~ I (0 -- 0,) x l, o~ la forme quadratique ~" XZ (72) Q.(0 - 0,, x) = Ks I 8 I( 0 --0,) ~ -- est ddfmie positive eta pour coefficients Ks ~ = 2Ks Icxl t~.~+'+~, ~" = t,~,+~-~ + oct'~ En particulier, K~ t~-'-~ I(0- 0,)xl est, sur tout le domaine B~, une petite perturbation quadratique de Q., et ne d6truit pas sa positivitfi. On en d6duit que, si (IX, a) e d~t ~ -- int(C~l ~ c~ ~rle), et si (0, x) e B,, L,(R;' o P~,.,,,(0, x)) -- L, (0, x) .< -- ao -- ~ O.(0 -- 0,, x) .< -- ao.< 0, l'annulation n'ayant lieu que si a 0 = 0 (i.e. (~t, a) e aO~,l~), et 0 = 0~, x = 0 (i.e. au point flxe de R~Xo P~,,,,, darts B,) 2 Si Cvt, a)E~t q -int(c~/~ n 8~1~), la d6monstration prdcddente ne marche plus car, K s devenant -- Ka, Q. est remplac6e par une forme quadratique inddfmie. La raise sous forrne normale d'une singularit6 de champ de vecteurs du type << Bogdanov ~ (voir la remarque qui suit la d~monstration) sugg~re cependant, si (0, x) e B~, le changement de variables (0, x) ~(0 z= x(1 2T(0--0~))) ' //) qui a la vertu de remplacer essentieUement T par -- y. 42 ALAIN CHENCINER On est ainsi conduit aux fonctions (73) ZO ~ ZO qui v~rifient L,(R~ o P~,,,,,(0, x)) ~,(0, x) = q (~ _ 2r - 0, + q~/t~ + ~(0/+ co0, ol ZO + (~ + ~1(0)) ~ + (v + v~(0, ~)) ~] _2Tqx,~ t3+w~(o,)[( 1 ..... 2Vw (o o,))qw~ ,ovq'w'*~] = q(1 + O(#)) (oc + 8~(0) + C(0, 0)) -- qT(1 + O(#)) x' + q(1 2v(~176 C"l(~176 - 2(~ + ~1(0)) vq' x~ + (~ + ~1(0,)) ~q' ~. On a donc comme prfcfdemment, si (0, x) e Bi, 1 [~,(R~_I o P~.,,,,(0, x)) -- ~,(0, x)] /> ~ (ao + K81 81(0 -- 0,)2) v x" - K, t'-'-~ I (0 -- 0,) ~ I -- K~ t'+~-~ 9 ' 2a o 1 2ao >~ q- + ~ o_Ao - o,, ~) >~ -~- >~ o, l'annulation n'ayant lieu que si (~, a) 0(~/a, 0 = 0~, x ~- 0. Ceci termine la d6mons- tration du lemme 8. Remargv2s. -- (i) I1 existe une unique valeur de (Vt, a) appartenant ~ d~/~ ~ 00~/~ (resp. a~~ n 0{~=/Q) telle que l'unique orbite p~riodique de P~,a.~, de hombre de rota- tion p[q soit de type << Bogdanov >>, c'est-~t-dire qu'en chaque point (0o, 0) de l'orbite, la d6riv6e D(R; z o P~,~,~,) (0o, 0) soit un bloc de Jordan. En effet, cette d6riv6e s'6crit (1 o ) 1 + q(~ + ~10o)) ' le 0 en basb. gauche venant de ce que ~ (~ + ~(0) + C(O, 0)) s'armule pour 0 = 9 o. BIFURCATIONS DE POINTS FIXES ELLIPTIQUES 43 I1 s'agit donc de r~soudre le syst~me + ~(0o) + C(0o, 0) (OH ~ + ~(0o)) ~ 0, + 1~.,(Oo) = o, o~ a (~ + ~(0) + c(0, o)) Io=o. (ou ~ (0o)) = o. Ce syst~me, qui ne distingue pas entre ~:~ et d~~ s'~crit + ~ cos(2~#o) + t ~.2'+8+k ~t(~, ~, t, 0o) = 0, + t ,-~-~ ~(~, ~, t, 0o) = 0, sin(2=#o) + t~ ~(~, ~, t, 0o) = 0. A t fix~, le th~or~me des fonctions implicites fournit ~t et ~ comme fonc- tions de 0o; la troisi~me ~quation d&ermine alors 0 o modulo l/q (le signe de 8-~-2 (0t + ~(0) + C(0, 0)) {o-o. est d&ermin~ par Ia composante de 0(~r/. k IaqueUe O0 ~ appa_,'tient (~, a)). I1 reste k v~rifier que Ies valeurs ainsi obtenues de ~ et ~ correspondent k des couples (F, a) appartenant bien k M=/~ n 0(~/~ ou ~/, c~ d~,, ce qui est ~vident puisque [ ~ [.<< O(t g-~-~) (utiliser (64) et la remarque (iii) t~ la fin du w 2.2). COo, O) ~ / . ~(0o, O) 1~o. 10 44 ALAIN CHENCINER Remarquons que, plus on s'approche de cette situation singuli~re, moins on a le choix des fonctions Li, ~ : pour une telle valeur de ([z, a), la pente (l/w) (} q- ~1(00) ) = 0 en (00, 0) des courbes de niveau de L~ (ou ~,,) est en effet compl6tement d6terminde. I1 existe en fait un a cusp >> invariant par R; 1 opt.,,:, (voir [8]) singulier en (0o, 0), auquel la courbe de niveau de L i (L~) passant par ce point est n6cessairement tangente (fig. I0). Pour les autres valeurs de d~/~ r~ ~,/q (~g~ c~ ~), les orbites correspondantes sont du type nmud-col (saddle-node). (ii) Bas6e sur les mod61es locaux dO -~ =wy di = ~ + "~y~ z~ ~0", .~ < O, ~ > O, la figure 11 montre gfiom~triquement la n6cessit6 de choisir ~ diff~rente de L~. [Les pointill6s reprfisentent les courbes de niveau de L~ ou ~, les traits gras l'ensemble des points off le champ de vecteurs est horizontal. Le cas ~ est hyperbolique, le cas .~ eUiptique]. e,,, | = 0) | (D " | ^ = | Fio. 11 (iii) I1 serait naturel de chercher directement une fonction de Liapunov pour P~, a, J, sur O B~. Dans le cas off ([~, a) ~ d~/~ -- int((~/q c~ 8~/q), on est tent~ de poser, pour (0,y) ~ B~, L(0,y) =y -- (l/w) (~ + [~1(0,)) (0 -- 0,), off 0, est bien choisi. Malheureu- sement, on voudrait que 0,+ 1 = 0, + (I/q), et on se heurte ~ la non (1/q)-p6riodicit~ de l'analogue pour P~,o,,, de la fonction ~1(0). 4. EXISTENCE DE BONS CHEMINS D'/~JJMINATION I~SONNANTE Nous dtudions darts ce paragraphe la dynamique de P~,a,~, dans les anneaux A+ ct A_ introduits dans Ic Icmmc 7. Afin dc gardcr aux estimations unc formc sufflsammcnt + ..~, .~~ + simple, nous restreindrons tr~s ldg~rcmcnt les domaines ~tq, = ~/q n ~ ~'+ ~'~, ~,~ ~'+ en les rempla~ant respectivement par ~/~, = ~/~ n .~ ddfmis ci-dcssous (on rcmarqucra quc Ics ordrcs dc grandeur nc sont pas modifids : la taiUc dc guSpc sdparant z~tv/~ de ~~ rcstc rcmarquablcmcnt fine (de l'ordrc dc 8t z) par rapport ~ la largcur dc Cv/r (dquivalcntc ~ 2 8) ! o~>_-12o~1 :F J~.[~ , 3[~ si 4-[~0. (~x = (1/4) I Y I P f+~(1 + O(t~)) ---- O(8t ~) est ddfini darts l'Appendiee, formule A8; voir aussi (76)). 9 "xv/~, _V ~," o(~e)/ ., //// ////// ~b.-- f f ~ I I FIo. 12 46 ALAIN CHENCINER Dans la suite du paragraphe nous utiliserons les notations suivantes suggdrdes par le referee : 4~ ' ~= 2lvl' (R) Ivl' Ivl" Darts 8,t,, ~ et ~ sont des O(1) et l'dquation approximative de C,t, devient I ~ -- ~' I z ~, o~ ~ = all v l = ~ t- + o(t~+-). Les dquations de ~#q deviennent ainsi (74 b/s) ~  1 ^ ~/, = (~t, a) e 8~/~, ~/-" ~ 1 ~, Remarquons que les deux premi6res indgalitds impliquent (74 ter) ~ >t ~x. 4.1. Existence des courbes invariantes Nous utilisons ~t nouveau l'approximation de R~ o P~,.,t. par le temps 1 de l'dquation diffdrentielle E~,.,t,, cette fois pour obtenir de suffisamment bonnes approxi- mations des courbes fermdes invariantes que nous cherchons dans A+ ou A_; de telles approximations sont en effet donndes par les orbites pdriodiques y = p+(0) de E.,.,t. dtudides dans l'Appendice. Darts ce qui suit, nous ne nous intdresserons qu'aux courbes invariantes positives (i.e. situdes darts A+) et supposerons donc que (~t, a) ~'+ Le cas 06 (~t, a) e ~ e ~la" et (0,y) e A_ est similaire. ~'+ + Rappelons (Appendice, lemme A 3) que, puisque (~t, a) e &v/a C ~vta, E~,,,t.----E(0c,~ ) poss~de dans Tax R+ une unique orbite pdriodique (en far (1/q)-pdriodique) y = p+ (0), attractante, et situde darts l'anneau ,if+ (0r [~) bordd infdrieu- rement (reap. supdrieurement) par l'unique orbite pdriodique positive y = q~(0) de E~'.~ [~) (resp. l'unique orbite pdriodique positivey ---- ~'(0) de E~"'~ ~), o/~ BIFURCATIONS DE POINTS FIXES ELLIPTIQUES 47 )1/9 " ~+(0) = x + ~ (sin(2=q0) + O(t')) T ~qw =' Iv12', =lvl (75) 0, 2,+(~+~)= sig>10, 2" 1 2, -F (~ -+- ~) ~ si ~< O, =t--2~+(~+~)~ si~>O, (voir (A6), (A7) et (A10)), 2 z et 2~ 6tant tous deux de la forme (76) 2x, 2= = (1 + O(t=)) = ~ + O(t2)) > 0 (volt (AS) et (A9)). On volt en particulier que l'orbite y = p+(0) vit dans l'asmean Tax [y+,y+], o~ l'intervalle [y+,y+], dont le lecteur v~rifiera qu'il contient dam son int~rieur la plus grande racine positive y+ = ~ + ~ du polyn6me n(y) -- = + ~y + vy ~ = -t[(y - ~)2 _ 2], est d~fmi par t ~ It (77) Y+ =~--=x, Y+ =~+2~- Lemme 9. ~ Si (~, a) e gg~l , les inggalit6s suivantes sont vgrifi6es : (i) y+ >1 ~/122 t = O(tk+z); (ii) -~ y+ <~ ~ <~ 2y+; (78) 3 (iii) y+ >>. ~ y+; (iv) Y+--Y+ 2z + = O \--~-+ ] ~< O(ta+k). ~+ pour tout 0 ~ T z Corollaire. ~ Si (~, a) e g#~l~, on a et tout entier g >>. 1, (79) IP~-, ,1 <~ = 0 ~-~-+ ]~< O(t~+a). (,"+1 Remarque. ~ Si dam la d~fmition de ~/~ ~'+ on remplace =t = O(~P) par un ~,+ terme O(~) (par ex. 120 h par (112) ~), on obtient un domaine ~)qC ~/~ darts lequel on v~rifie sans peine quey+/> O(tk), et que p+(0) admet le d~veloppement p+(0) =y+ + z+ sia(2=q0) + o(y+ t'), o~ (80) a ( x+ = 2=qwy-----~ = O(y+ t'). 48 ALAIN CHENCINER En faisant des estimations plus fines, nous avons gagnd un ordre de grandeur et obtenu une rdgion ~ dont la taillc est d'ordre optimal (comparer ~ ce qui se passe pour E~,., t,, off l'analogue des rdgions dr/~ et ~t~~ se rejoint en l'unique point ~ = ~t, ~ = 0 (fig. A3)). Dgmonstration du lemme 9. O) ~ I> (~ -- 1Vi-~,) ~, donc y+ = ~ + V~/> 1Vi-s (ii) (~+A/~)/3~< ~ est 6vident si ~<~0 et dquivaut ~ ~>/~']4 si ~>t0. ~/~ ~ 2(~ + V~) est dvident si ~ 1> 0 et dquivaut ~, a/> 4~' si ~ ~< O. (iii) Si ~ -<< O, on calcule o<.y~_ -y:~ = (~ + V~)~- (~ + ~)~+ ~ + ~ = ~, + 2~[~ - ~] =a,+ r + avff___~.<+ a,+--.<v/~ a,+-2 d'apr~s la demi~re indgalitd de (74 b/s). On en ddduit que, si ~ <~ O, 2~1 2~1 O ~< y+ -- y+ ~< --, ~<--. Y+ +Y+ Y+ Si ~ i> O, on ealeule o~y+ -y; =~ + V~-(~ + ~) v~+v'a-al ~ y+ d'apr~s (ii). Dans les deux cas, 0 <~ y+ --y+ <~y+/4 d~s que 3ady+ <y+/4, c'est-~,-direy+ >/1~/]~ qui est vdrifid d'apr~s (i); on a done ddmontrd (iii). (iv) Les mames calculs qu'en (iii) montrent que si ~ < 0, 0., ~+ -y~ = a= + ~/a - a, + v~ < a, + ~ < a, + a,, ,, al + al donc 0 ~<y+ --y+ 6 --; 2y+ si ~ >/ O, ,, ~2 ~2 3~g O~<Y+ --Y+ ----- vr~ A-~, -4- ~/~< 2--~ ~< 2y---~" On obtient ainsi dans tousles cas ~< O(P +') d'apr~s (i). BIFURCATIONS DE POINTS FIXES ELLIPTIQ.UES 49 Dgraonstration du corollaire. Eerivant que p+ (0) (qu'on notera p pour abrEger) est solution de E(~, ~), on obtient l'identitE (81) wpp' = o~ + f~p + vP" + ~ - II(p) + ~, et par recurrence wpp It) = II'(p) p~t-x) + ~t-1) + wP~(p', ..., p~t-1)) + 7p2(p, ' ...,p~t-~), oi~ Px et P2 sont des polynEmes homog~nes de degrE 2 ~t coefficients entiers universels. D'autre part, II (p) = (~ + 2Vy+) (P --y+) + v(P --Y+)' = 2V ~/~ (P --Y+) + v(P _y+)2, et done I II(p) [ ~< 2 I V I ~/~ (Y+ --Y+) + I V I(Y+ --Y+)' 12 ~t + + IV ~1 + = O(~x) = O(St"); puisque p >_-y+ >t (3/4)y+, on en dEduit IP' I-< o (~-~+) 9 Enfin, II'(p) = 2V~r + 2v(P --y+), done I n'~)l ~< 21 v lv~ + 21 v I(y+ -y+) ~< 4 1 ~'Y+ +y+ 12~t ~< 4Ivy+ + ~< 5Ivy+l, Y+ et par recurrence, I p, t, I ~< o (I vy+ ~<O wy+ wy+ C.Q .F.D. -- 1) Si y+ >I O(t~), on trouve bien que les dErivEes p~(O) sont Remarques. O(# +2) = O(ff+ t2), en accord avec la remarque qui suit l'6noncE du corollaire. 2) Sur le cas ~ = O, oiX p+(O) est connue explicitement, on voit immEdiatement que la majoration obtenue est optimale; remarquons pour finir qu'une Evaluation gros- siSre majorant I n(P) l par O(I x I) auralt donne seulement [p+ [ ~< (1/t =) O (8/wy+) ! "~+ posskde (ngcessairement dans A+) une r Lemme 10. ~ Si (~, a) e ~1~, P~,,,J' fermie invariante attractante rggulikre proche du grapke de p+(0), dont le bassin d'attraction contient le voisinage l Y - P+(o) [ <. t3 y+. [Y------~+ 50 ALAIN CHENCINER DOnonstration. Le ehangement de variables (81) y =p+(0) + transforme P~,,~.t, (d~finie par (63)) en une application de la forme P~,,o,,,(O, 6) = (0, ~), (82) o = 0 + (p/q) + wp+(0) + w., = [1 + n'(p+(0)) -p+(0) w] ~ + w ~ + o(t.-~-~). Le m~me changement de variables transforme E~.~.,, en dO -A = wp+(o) + w~, (83) d~r ' 0 ~/= [n'0~+(0)) --p+( ) w] ~ + w'- Posons ~' p+(o)] ' p+(O) t.O f~ n'(p+(o)) = ts + 2~, dO u = ~, p+(0) (84) h(0) = ~ 0 ' P+( ) (f:u- rI'(p+(o)) + p~_(o) w dO). K(0) = exp wp+(O) I1 est clair que, pour tout 0, h(0 + 1) = h(0) + 1, et h'(0) > 0; h d6fmit donc un diff6omorphisme de T x. Quant h K, c'est une fonction p6riodique strictement positive. Bien entendu, h(0) -- 0 et K(0) sont (1/q)-p6riodiques puisqu'il enest ainsi de p+(0). Lemme 11. ~ Les estimations suivantes sont vgrifiges si (~, a) ~ ggvl~+ : (i) y+ <<. ~, <. y+, 1 9 (85) (ii) 0 >>. -~ VY+ >>- u >t ~ VY+ , (iii) h' = O(1), h 't' = O(t~+2/ya+) <<. O(1) si t >t 2, (iv) K 't' = O(t~+~/y~+) <~ O(1) sit >t 1. Dhnonstration. ~ (i) d~coule de l'in~galit~ analogue pour p+(0) et implique In --y+ I~< sup(y+ -- y'+,y+ -- y+) ~ 3~1[y+ = O(tU+'[y+) BIFURCATIONS DE POINTS FIXES ELLIPTIQUES d'apr~s la demonstration des points (iii) et (iv) du lemme 9. On en dEduit que lu- 2VV'~ I = I"- (~ + 2Vy+)l = 1 2T(<~ --Y+)I ~< 6 I vl ~d:+ ~ ~ I Ty+ I d'apr~s (78 i); (ii) dEcoule alors de (78 ii). Quant ~t (iii) et (iv), ils se dEduisent sans peine de (79) par recurrence. Remarques. ~ 1) L'estimation de ~ peut ~tre amdiorEe par une Evaluation des intEgrales elliptiques ~i~(O) et q~'(O) [oh ~If~(O) et q+ ( ) sont dEfmies en (75)]. On montre ainsi que ([ < ])"2 ~' ~ (1 + oct')), + -- (1 + o(t,)) ~ (86) m I vl ,<r i-~ ,~qw ([ ~<" ~ 1: ~<" ~ (1 + oct')), + -- (] + m IT I =q~ ~ =qw O(,'))J) , oh m[x,y] dEsigne la moyerme arithmEtico-gEomEtrique de x et y. (Merci ~t Lasmes de m'avoir indiquE comment faire ce calcul connu de Gauss.) 2) Si de plus (iz, a) e D~v-~q (voir formule (80)), on a =y+ + O(y+ t'), u = [3 + 2yy+ -k- O(I Yy+ It'), z+ (87) k(0) = 0 + cos(2nq0) + O(t') = 0 + O(f), 2rcqy + K(0) = 1 __ 2Tz+ -- sin(2r~q0) -- 2r~qy-~ cos(2r~q0) + O(t 4) ~ 1 -t- O(t 2) o wy+ Les estimations (85 iii) et (85 iv) montrent qu'en choisissant 1 ~ = h(0), (88) p = K(O) ~, comme nouvelles variables, on transforme P~.a,t, en p~,~,,,(~, p) = (~, it), wh'(h-a(q~) ) (89) ~II = q~ + (p/q) + w~ + K(k-'(q~)) f~ + O(t~-2-~), [ K'(h-'(~)) T ]o~+O(t,_,_z~). R=(I +u) p+ WK(k_~(~)),+K(k_,(~)) 52 ALAIN C_MENCINER Le m6me changement de variables transforme bien entendu E~,., t. en (90) -~ = w~ + KCh_X(~) ) p, dp [ K'Ch-~(~)) v ]~,. = up + w K(k_x(~)), + KCh_X(~) ) Finalement, le changement d'dchelle (91) = ray+ x conduit ~t P~...,.(% x) = (r X), (92) r = q~ + (p/q) + w= + O(wt3y+) x + O(t"-~-~'), X = (1 + u) x + O(wtny+) x' + O(t"-~-~), oh les O sont dans la ct-topologie. Puisque [u [/> (1/6) [yy+ ]et [-([ = O(wt 2) = O(tt"m+a-*), on obtient t P~,o,,,(~, ~) = CO, x), (9~) 9 = ~ + (p/q) + w~ + 0(I u I), R=(1 +.)x+0(lu]), et la mdthode des transform~es de graphes donne une courbe ferm~e de classe C t-~ invariante par P~.=.t., dont le bassin d'attraction contient un anneau ]p]~< At3y+, si test assez petit. Revenant aux variables (0,y), on d6duit de (85 iii et iv) qu'un tel anneau contient, d&s que A est assez grand, l'anneau ]y -- p+(0)] ~< t3y+. Le lemme 10 est doric d6montr~. 4.9,. Recollement des basslns lorsque (Ez, a) ~ ~o/q Utilisant une derni~re lois l'approximation de P~,,,,t. par l'6quation ~0 E~,~, t, = E(~, ~), nous montrons que, lorsque (~z, a) e ~v/q, le bassin d'attraction de la courbe invariante dont l'existence est affirm6e par le lemme I0 contient l'anneau A+ ddfmi dans le lemme 7. Nous prendrons module sur le comportement de l'dquation E~"~ ~) : la fonction K(0,y) = (2/w)H(0,y) e 2'v/w,~ =yZ _ q~(0)z (voir le lemme A2) est une fonction de Liapunov pour E ~'' 0(a, ~); on v6rifie en effet que d (K(O(t)' y(t) ) = -~ yK(O' Y) ) qui est du signe oppos~ ~ celui de K(0,y) lorsquey > 0. Par analogie, consid6rons la fonction K = K~. ~ d~finie par 1~94) K(0,y) = y~ -- p+ (0)2, BIFURCATIONS DE POINTS FIXES ELLIPTIQUES off p+(0) est l'orbite p6riodique positive de E(=, [3) utilis6e dam le paragraphe pr6c6dent. Dam les variables (0, o) d6finies par (81), K s'6crit (95) K(0, 0) = 2p+(0) cr + ~. Un calcul imm6diat montre que ,(96) t ~ [K,(P~, ., ,,(0, 0)) -- K(0, 0)] = w ~ + ([3 + 3v~+(o)) o, + ([3 + 2v~+(o)) ~+(0) o + 0(,, -~-=), alors que le long des courbes int6grales de E(a, [3), ld (97) 2 dt (K(0(t), o(t)) = yo z + ([3 + 3Tp+(0)) o ~ + ([3 + 2TP+(0)) p+(0) 0. Les racines du deuxi~me membre de (97) sont 6videmment o = 0, -p+(0), ~-~ ([3 + 2vp+(0)). Ainsi, le signe de ce deuxi~me membre est -- si o 2> 0, + si o est compris entre -- p+ (0) et 0. ~0 Car, si (~, a) ~ ~, (l[Ivl) ([3 + 2vp+(0)) < -p+(0); en effet, ceci 6quivaut ~t [3 + Tp+(0) ~< 0, or [3 + 7P+ (0) ~< [3 + yy+ ~< [3 + (3/4) VY+, major6 par (3/4) 7Y+ si [~ ~< 0 et par (1[12) yy+ si [3 >/ 0; la derni6re majoration vient de ce que, dans ~I~~ on a 2~ ~< ~v/~, doric 3~ ~< ~ + ~v/~ =y+, qui permet de remplacer (78 ii) par (98) gy+ .< C~.< 2y+ et implique la conclusion puisque [3 + 2yy+ = 27 ~'~. Quant ~ (96), le plus simple est encore de remarquer que, puisque , 5 O(t~/~, + s + k), I [3 + 2vp+(0) Ip+(0) >t I [3 + 2Ty+ [y+ >/g I 7 Ifi/> son second membre est compris entre A et B d~s que a ~< -- t ~m-6-Sk, inf~rieur ou ~gal A d~s que o >1 t c~t2~- 6-8~, off (h fitant une constante positive assez grande) A = yo 3 + ([3 + 3yp+(0)) o ~ + ([3 + 2yp+(0))p+(0) (1 -- ht) o et B = y. 3 + ([3 + 37t0+(0)) 0" + ([3 + 2yp+(0))p+(0) (1 + ht) o ont pour racines 0 et (l/2y) [-- ([3 + 3Tp+(0)) 4- (([3 + Tp+(0)) ~" + O(7~p+(0) ~" t))~/2], c'est-k-dire, 0, --p+(0) (1 + O(t)), (1/1T l) ([3 + 2yp+(0)) (1 + O(t)). ~2,/~ on a On en d~duit que, si (~t, a) I K(P~,,.,,,(0, or)) -- K(0, o) 2> 0 si -- p+(0) (I + O(t)) < 0< -- t '~'*'-"-Sk, (99) K(P~,, ,,, ,,(0, 0)) -- K(0, o) < 0 si 0> t '~2'-"-~. 54 ALAIN CHENCINER Etant donnd que les courbes de niveau de K proches de a = 0 oscillent tr~s peu et que le bassin d'attraction fourni par le lemme 10 est de la forme [al~< t3y+, o~ t3)+ >i O(t k+4) >> t ~/~1-6-8k, nous serons assurds que l'anneau A+ tout entier se trouve dam le bassin d'attraction de la courbe invariante donnde par le lemme 10 (et ce, mgme si (tt, a) appartient seulement ~ ~) d6s que nous saurons que son bord inf6rieur ) =f+(0) est au-dessus d'une courbe de niveau ~ = --p+(0) + ~/p+(0)~ + k o de K, elle-m~me au-dessus de ~ = --p+(0) (1 + O(t)). On peut prendre k 0 = -- (y+)2 (I + O(t2)), ce qui nous laisse ~ montrer (100) f+(0)/> V'p+(0) ~ --y~(1 + O(t~)), qui est impliqud par {101) f+(0) 2 -- q~'(0)2 ~> --y~(1 + O(tS)), c'est-?a-dire, en utilisant (75) et les formules du lemme 7, /~+ + -- + O >/ --y~(1 + O(#)). y \~qw/ Mais k~ = M~. -- -- (1 + O(t')), ~qw et 0~<y+ -- M+ =~ +V'~-- g+ ~ -- ~-~ i t '-2- Kit r 3Kit ~-~-~* ~< <~ Ivlv~ 21vly+ d'apres (98), donc M 2 tq - ~ _ ~, 0.< 1 -- ~ .< 3K1 O(t~_~_3~ ) Y+ I vly~ "< d'apr~s (78 i). Avec (76), on en ddduit que /~ =y~(1 + oct";~l-5-a~)) -- a~(1 + oct')), c'est-~-dire, se rappelant (77), k~ + -- + O =fi_(1 + -y+2(1 + O(t')). 7 \r~qw] Enfm, de la ddmonstration de (78 iv), et de (78 i), on tire y+" << y+ + ~y+3~ (l +O(t'))<~Y+ +ly+ (l +O(t')) =~Y+ ( l + O(t'))" Ainsi, k m +--+O -- >~y~(1 + -- y~(1 +O(t")) 7 \~qw] 17 ~ "1 /> -- giy+( + O(tS)). BIFURCATIONS DE POINTS FIXES ELLIPTIQUES 55 Puisque, d'apr~s (78iii), y~> (36/64)y~_, (101) est Evidemment vErifiEe, ce qu'il fallait dEmontrer. Bien entendu, des rEsultats analogues sont valables dans A_. Rassemblant les rEsultats des w167 3 et 4 qui concernent ~r et ~0, on obtient le thEor~me suivant, qui precise le lemme 8 et la remarque qui cl6t le w 3.1. Cle thEor~me est h comparer au thEor~me 3 de [5] : il montre que les ~ bons ~r rationnels sont presque aussi gentils que les ~ bons, irrationnels, en fait aussi gentils qu'on pouvait dEcemment l'espErer. On conseille au lecteur de se reporter aux figures 19 et 20 qui se trouvent ~t la fin du w 5; il y trouvera la representation d'une ~* bulle avec taille de gu~pe >~ et de la dynamique le long d'un chemin la coupant transversalement au plus Etroit, c'est-~t-dire en passant par les deux points de bifurcation du type Bogdanov dont on a montrE l'existence ~t la fin du w 3.2. Ttdorkme 1. -- (i) Si (~, a) E ~1~ -- C~l~ n ~tq, P~,=,*' ~ ressemble ~ ?tune forme normale sans courbe fermge invariante. Si (~, a) E ~r c~ O0~lq, il en est de mgme ~ t'existence prks d'une unique orbite pgriodique de hombre de rotation p[q. Si (~, a) ~ sd~/q c~ C~l~, il en est de mgme ~ t' extgrieur de la r~union de q 8les disjointes C~ de ~ hombre de rotation Plq ~ (fig. 8). ~o ~ c~ ~, ~ ressemble ~ ~une forme normale avec (ii) Si (v., a) e g$~ -- P=,,.,,, deux courbes ferrnges invariantes. Si (bt, a) ~ ~8o r3 a~, il en est de ndme g~ l'existence prks entre les deux courbes d'une unique orbite pdriodique de hombre de rotation p/q. Si (~, a) ~ g~~ ~ c~ C~t~, it en est de mhne ~ l'extdrieur de la rgunion de q 8les disjointes C, de ~ hombre de rotation p[q ~ situges entre les deux courbes. 5. ORBITES P]~RIODIQUES HYPERBOLIOUES ET LEURS ORBITES HOMOCUNES 5.1. Existence d~orbltes homocUnes Fixons t positif assez petit : pour tout (t~, a) dans l'int~rieur de C~/q, le diff~o- morphisme local P~,a,~, poss~de deux orbites pdriodiques de hombre de rotation p[q dont l'une est << hyperbolique r~elle >> (ses valeurs propres ),1, ),3 vdrifient 0 < )`1 < 1 < )`~). Si (~t, a) eC~/q (~ 8~/~, cette orbite est constitute des points (0~ + (i[q), 0), i = 0, 1, ..., q -- 1, o~ 0 h est l'unique solution de l'dquation 0~ + ~(0) = 0 qui vdrifie ~'(0h) > 0 (rappelons qu'avec les notations de (63), on a dgalement + 8~(Oh) + B(Oh, O) -- 0); la d~riv~e de P~,a,~, en l'un de ces points a pour matrice ( )( o o) 8~'(0h) 1+~ + OB (0 h + (i[q), O) A(0h) Nous noterons H+ ~ H_ l'ensemble des valeurs de (~, a) dans ~=tq pour lesquelles l'orbite pSriodique hyperbolique rdeUe de P~,,,,, de nombre de rotation p/q poss~de (i.e. les vari5tds stables et instables de deux points cons~cutifs des orbites homoclines de l'orbite s'intersectent) ; la signification des indices + et -- se lit sur la figure 13. On ddduit imm~diatement du lemme 4 et du thdor~me 1 que H+ ~ ~_ est contenu dam (~,a) E~+ Cv,., '0 FIG. 13 (situation g&a~rique) D'autre part, nous avions annoncd dans [3] et [4] qu'un voisinage de 0c = 0 rencontre ~+ et ~_. Nous montrons ici un r6sultat plus pr6cis (th~or6me 2) : en parti- culier, ~+ r~ ~ est non vide et contenu darts un petit voislnage ~ de (~, [~) = (0, 0). BIFURCATIONS DE POINTS FIXES ELLIPTIQUES 57 La figure 14 reprdsente la situation gdndrique lorsque (~, a) ~ H+ t~ H; une telle dyna- mique se rencontre lorsqu'un pendule sans frottement est perturbd p&iodiquement, et c'est prdcisdment celle que Zelmder met en dvidence dans le cas conservatif ([15]). (~,~) ~+ c~_ Fio. 14 (situation gdndrique) Lemme 12. --27 existe une constante positive M teUe que H+ u ~I_ ne rencontre pas l'ensemble ~/~ C ~/~ d3fini par ~,,~ = {(~, ~) ~ ~,~, ~ = ~(~, ~), [ ~ [ >-. Mt,-~-~}. Dgmonstration. -- Calculons KI(P~,~.,, (0,y)) -- Kl(0,y), off Kz(0,y ) =y"--q~r (voir (75), (A8)) a pr&isdment pour singularitds de sa surface de niveau 0 les singularit& hyperboliques de E~"'~ [~) qui nous intdressent, c'est-~-dire si a----= ~1(~, ~), les orbites pdriodiques hyperboliques de P~,.,, ~, dont nous voulons &udier le comportement. Posant comme en 3.2 II(0,y) = o~ + [~y + 7Y* + ~(0) +ya(0,y) + B(0,y), et tenant eompte de l'identitd wq~(O) (q~')' (0) = ~1 + 7q~(0) ~ + ~(0), il vient KI(P~,a, t,( 0, Y)) -- KI(0 , Y) = 2y[H(0,y) -- oq -- 7q~(0) 2 -- ~(0)] + II(0,y) s + O(w2y 2) --= 2y[(~ -- ~1) -1- ~Y + 7KI(0,Y) -t- O(tq-z-~e)y] + 2yB(0,y) + nO, y)'. Si 0r = al et K1 = 0, on a done K~(P~,,,,,(0,y)) -- Kl(0,y) = 2[9 + O(tq-2-~)]y 2 + 2yB(0,y) + nO,y)'. De plus, n0,y) = II(0, O) + ~y + yy~ + yO(t q-z-2k) = II(0, 0) -k- O(t'qm+~-~)Y, et n(0, 0) = ~1 + ~(0) + B(0, 0) = ~(eos(2=q0) + O(t2)) .< O(t ~) q~(0) = O(t o'~) ~' + (si~(2,~a0) + o(t')) = o(t ~,2) (1 + si~(2,~q0) + o(t~))/ , II(0,y) = O(U 2) q~r + O(t'~m+x-~)y si ~ = al, donc 8 58 ALAIN CHENCINER et sur K~ = 0, c'est-~-direy = 4- q~(0), I nO,y)] ~< mt '~2'-~. lY [, ott m est une eonstante positive. D'autre part, B(0,y) s'annule sur les orbites p~riodiques de P~,.,t,, et s'~crit done au voisinage d'un point (0 h + (i/q), O) B(0,y) = O(t~) y + O(t ~) (0 -- Oh -- (i/q)). Supposons M assez grand pour que M s [~+O(t ~-z-z~) +m ~t ~-~>/ />-~t ~- - ; il vient Kx(P~,.,,,(0,y)) -- Ka(0,y) >t Mt~-S-~y s -- 2 lYl I B(0,y)I, eertainement positif d~s que lyl > M2 It ~-s-~B(0'y) [ = O(tQ_,+s+~ ) = O(t(~s,_s+8~ ) Si maintenant ]y ] ~< constante, t (~ts~- 5 + s~, on se trouve, puisque K 1 = 0, au voisinage de Fun des points (0~ + (i[q), 0); plus pr6eis~ment, y = (1 + sin(2=~) + O(t')) = O(t ~+1) (0 -- Oh -- (ilq)), donc Kz(P~,, a, ,,(0, y)) -- Ka(0 , y) >>. Mt"-2-~y ~ -- ml tQy s -- m s t a lY[ l0 - 0h - (i/q)l >>. Mtq-2-** yS _ ms t Q-l-~ ys > O. Si nous supposons [~ + O(t~_2_~ ) + mS t~_~ ~< ~ _< M t,_2_~, ~-, - ~- le raisonnement est le m~me avec les in~galit6s inverses. La conclusion se lit sur la figure 15 : = ~1, ~< -- Mt ~-~-2k Fxo. 15 BIFURCATIONS DE POINTS FIXES ELLIPTIQUES 59 Pour mimer le lemme A7 de l'Appendice, notons I. f[. II'I. I~V. les composantes connexes du compldmentaire de ~r u ~/, u ~/~ darts l'ensemble e.,. L,., 191/> Mt"-2-a }" Notons de marne Ple compldmentaire de ag~/, to ~, darts l'ensemble {(~,,a) eO,/, n 8,,q, I 91 < Mt'-s-a} (fig. 16). Tldorkrae 2. -- H+ et H_ sont respectivement contenus dans P u I~I to I~ r et P u ~ to I]'I. Tout chemin allant du bord gauche au bord droit de C~/~ ~ 8~/~ en restant dans C~/~ c~ 8~/~ rencontre ~-I + et ~_ . Enfin, ~-I + r~ ~_ C P n' est pas vide. tO~ ~o ~lq .-..--.-~ g. f"v O (t,/2 + 1 -J,) X__ ",,_ _/ = o(t,"+') Mt q- ~ 'a~ __ Mtq-~ Fro. 16 DOnonstration. ~ 1) Commen~ons par montrer que ~+ ra (]'to I]'I) et H_ n (~ u I~V) sont vides. Supposons que 9 >I Mt q-2-~ : le calcul qui prdc~de donne KI(P~,.,,,(0,y)) -- Kl(0,y ) = 2y[(~ -- %) -k 9Y q- 7KI(0,Y) + O(t~-2-~)Y] q- 2yB(0,y) q- II(0,y)', o4 n(0,y) = ~ -- ~1 + O(t'/2) q~(0) + O(t'~m+l-k)y. Comme dans le lemme 12, on en ddduit que sur K 1 = 0, KI(P~.,,e(0,y)) -- KI(0,Y) = 2[9 + O(t"-2-~)]j " + 2yB(0,y) q- [2 + O(t'"/s'-~)]y(~ -- ~1) + (~ -- %)2 qul est positif si y(= -- ~1) Pest. On conclut aloes comme dans le lemme A7. Supposons maintenant 9 <<- --Mr"-2-= : la figure A4 rend manifeste la ndcessitd de travaiUer avec P~,.,e, nous laissons ce soin au lecteur minutieux. 2) La deuxi~me pattie du tMor~me se ddmontre comme darts [3], [4] : nous avons obtenu le lemme A7 en remarquant que, le long de tout chemin dans C~t~ ta ~/~ 60 ALAIN CHENCINER allant d'un bord lat6ral ~ l'autre, les vari6tds stable et instable de deux singularit6s hyper- boliques rdelles consfcutives de E~,a, o se traversaient nfcessairement; il suffit donc de montrer que le mSme phdnom$ne se produit lorsque E~,a, t, est remplac6e par P~,.,t,, autrement dit, que, sit est assez petit, les vari6t6s invariantes de P~,,.,t, approchent sur une assez longue distance celles de E~,., t,. Mais ceci est (par exemple) une cons6quence sans myst$re de la m6thode de [15], c'est-$-dire de la recherche, via le th6or6me des contractions, desdites vari~t6s invariantes sous la forme y = gi(0) -k exp(-- K0) u(0), off y ----g+(0) est un paramdtrage sur un intervalle assez long d'une varidt6 invariante de l'~quation diffdrentielle E~,~,t,. On en ddduit que H+ et H_ sont respectivement ~( proches ~ de I-I+ et H_. D~tailler ceci ne pourrait que fatiguer le lecteur et nous nous contenterons d'une remarque qui permet d'6viter toute itfration effective : ainsi que nous l'avons dit dans la remarque (ii) ~ la fin du w 2.1, dans la formule (63) qui fait apparaltre P~,.,t, comme perturbation d'ordre t Q d'un diffdomorphisme local Rvi q o P~,a,t, ayant les mSmes orbites pdriodiques de hombre de rotation p]q, mais de surcrott commutant ~ la rota- tion R~/q, l'entier Q. peut ~tre choisi arbitrairement grand. En particulier, toute m6thode de transform6es de graphes fournissant les vari6tfs invariantes de ces orbites p6riodiques pour Rvt~ o P~,.,t, les fournit dgalement pour P~,.,j,; mais de par sa commutation ~ R~/~, R~/~ o P~,o,o peut ~tre remplacd par P~,~,,,, ce qui transforme les orbites p6riodiques considdr6es en points fixes. 3) La derni~re affirmation du thdor~me se montre par la m~me mdthode; pour changer un peu, considdrons maintenant des chemins verticaux du type de celui repr6sentd sur la figure 17. Aux extrdmitds d'un tel chemin, la dynamique est bien contr61~e par le tMor~me I et implique que les vari~t~s invariantes de E~,,,~, (et donc celles de P~, o,~,) se traversent lorsqu'on va d'un bord ~ l'autre; autrement dit, on rencontre n6cessairement H+, H_, H+, H_. De plus, le chemin vertical [a, d]ne rencontre ~+ (resp. H_) que sur le sous-chemin [a', e] (resp. [e, d']), et le chemin vertical [b, ~] ne rencontre ~+ (resp. ~_) que sur le sous-chemin [f, c'] (resp. [b',f]). On en d6duit que [a', e] et [f, c'] sont cormect6s dans ~+ n ~, et que [e, d'] et [b',f] sont connect6s dans H_ r~ ~, d'o~ il suit que H+ n ~_, forc6ment contenu dans P, n'est pas vide. Remarque. -- Dans [3], [4], nous ne consid6rions que le cas o~ ~ est tr6s voisin de 0, en se limitant ~ un voisinage [y[ .< o(t~+~), ce qui suffit pour voir les vari6t6s inva- riantes qui nous int6ressent. La famille E~,o,~, est alors remplac~e par la famille ~ un param~tre dO dy di= wy, di= ~y -k 8~(0), simple dquation du pendule avec ~ frottement ~ [3. Gette simplicitfi se paie par l'impos- sibilit6 de d~montrer dans ce cadre que ~+ t3 H_ est non vide. BIFURCATIONS DE POINTS FIXES ELLIPTIQUES 61 .~----.~. ,-._ "~,,t. n (],,/. n { 181 ~< M t~-2-~} b' ~ c~ ~ f ~,/q ~,-~ ~+ n~ FlO. 17 On a represent6 la dynamiquc dc P~, a, t" ou R~ o P~t, a, r GoroItaire. ~ 8i les connexions homodines dont il est question dans H+ et H_ ne sont pas dgg&grdes (i.e. si les vari6tgs stables et instabtes s'intersectent transversalement ou avec un contact N t d'ordre fini), le sous-ensemble C~1 q de C~1~, formg des couples (~, a) pour lesquels P~,,,~, posskde une courbe fermde C o invariante de nombre de rotation p[q, n'est pas connexe. composante conncxe de ~t0 Une autre composantc connexe de C~lq F1o. 18 ________/-- 62 ALAIN CHENCINER En particulier, le sous-ensemble C~/q de C~/~ d6fini dans [5], qui est form6 des (~., a) e C~/q pour lesquels la courbe ferrule invariante est un << graphe ~ (i.e. rencontre en un point et un seul tout rayon issu de l'origine de R ~) n'est pas connexe. Ddmonstration. -- L'hypoth6se implique que (H+ u ~_)n C,/~ = 0. Puisque C~,lq n ~vd = C~/~ n ~ = ~/~ n ~ (fig. 18), les deux grosses composantes connexes e~l e~#p de C~/q -- (H+ u H) contiennent chacune une composante au moins de C~/q (a fortiori de C~/q). On comparera les figures 18 et A8. 5.2. Les families g~n~rlques Dans la fin du paragraphe nous indiquons pourquoi, une topologie analytique tr6s fine 6tant ddfinie sur l'ensemble des families ~ deux param~tres du type considdr6 darts cette sdrie d'articles, la dynamique ddcrite dans les th6or6mes 1 et 2 et dans le corol- laJre ci-dessus apparait gdndriquement (au sens de Baire) pour une suite infinie p,,/q,, de <(bons >~ nombres de rotation rationnels. I1 s'agit de paraphraser [15] en remplaqant l'hypoth6se de conservation des aires par la prdsence de param6tres et, bien que (ou sans doute ~ cause de ce que) des diffd- rences sensibles existent dans la deuxi6me partie de la ddmonstration, nous laisserons au lecteur tout le travail technique, ne lui donnant que le squelette de la preuve, d'ofl les guillemets. Une constante K > 0 dtant fixde, #2.x sera l'espace des diffdomorphismes locaux analytiques de (R 2, 0) P(z) = Z Y~jzi~ ~, Poet, [P~j <K ~+j (donc convergeant sur le disque D K de rayon 1/2 K de R ~) ayant les deux propri6t6s suivantes : 1) L'origine 0 est un point fixe eUiptique ne pr6sentant pas de rdsonance forte; autrement dit, le spectre de la d6riv6e DP(0) est contenu dans le cercle unit6 de C et ne contient pas de racine q-i6me de l'unit6 pour q ~< 4. 2) Dans une (et donc toute) mise sous forme normale de P, P = H -1 o (N + 0([ z I')) oH, N(z) ---- z[1 + a 1 [ z r] efr~i(b~ le coefficient a x s'annule. La topologie sur #2,x sera la topologie fine de Whitney sur l'ensemble des coeffi- cients consid6r6 comme application de N ~" dans C : une boule ouverte de centre P~ = Y, z' BIFURCATIONS DE POINTS FIXES ELLIPTIQ.UES est ddfmie par des indgalitds V i,j avec i +j/> 1, I P,~ -- poj ] < *,~, oCa les r sont des hombres positifs quelconques. On obtient ainsi un espace de Baire (une intersection ddnombrable d'ouverts denses est dense). De m~me, #-3, x sera l'ensemble des families locales analytiques h deux param~tres de diffEomorphismes locaux analytiques P,I, v,(z) = ~ P,j('~I, v~) Z i ZJ = Z P, Jkt ~ vt Z' z~, i+J~0 /+J+k+/~>0 P,~kt s C, [ P~j~t I < K*+J+~+t, telles que P0.0 appartienne ~t t~2. K" La topologie, 6galement de Baire, sur #'3, K est dtfmie de mani&re identique ~t celle sur ~2,~r : une boule ouverte est de la forme V i,j, k, t, I P, ju - 1 < I1 est clair que l'application I',,.,, P0.o est continue pour ces topologies. On vtrifie 8galement la continuit6 des injections canoniques i,, : ~2,1r ~ Diff"(DK), I. : ~'2, K -~ ~'am"(DK), dans les espaces de Banach de diff6omorphismes (families de diff6omorphismes) de classe C ~ munis de la topologie de la convergence uniforme des ddriv6es jusqu'~t l'ordre n sur le disque de centre 0 et de rayon 112 K dans R ~ (resp. R4). La seule difference avec [15] est que, n'ayant pas de probl&me de fonctions g6n~- ratrices, nous ne s6parons pas Ie jet d'ordre un (ce qui reviendrait ~t 8crire P = DP(0) o Q. et~ mettre notre topologie sur les Q et celle de SL(2, R) sur les DP(0)) : on obtient une topologie diff6rente mais les deux coincident sur les fibres de P ~ DP(0). TMorkme 3. ~ II existe un G~-dense de #~,~r formd de families P~.~, ayant la propri~t~ suivante : pour une suite infinie p.[q. de <~ bons >> rationnels, la structure de C..ta. et la dynamique de P~, ~, pour (Vl, v2) appartenant ~ ~../~. sont celles dgcrites dans les thdorkmes 1 et 2, les hypo- thkses du coroUaire du thdorkme 2 grant ggalement vgrifides. En particulier, pour tout (vx, vz) dans l'intgrieur de C../a., P~,,~,possMe exactement deux orbites pgriodiques de nombre de rotation p.[q., dont l'une hyperbolique rdelle, et les gventuelles intersections homoclines se font avec un contact d'ordre fini (en fait ~< g/ngriquement >> au sens de la tMorie des singularitds, voir la figure 21). Remarques. -- 1) Notons + 27:% l'argument des'valeurs propres de DP0,0(0 ). On salt (w 1) que la suite p.[q. converge ndcessairement vers %. 2) Comme darts [15], on a toutes les chances d'obtenir pour les families gtntriques du thtor~me 3 des hombres % <, super-Liouville >> (i.e. extr~mement bien approchts 64 ALAIN CIIENCINER par les nombres rationnels). Cela suffit pour que les conclusions de [5] et [6] s'appliquent ces familles mais, en vue en particulier de la remarque qui cl6t le w 1, il serait intdressant de comprendre la situation gdndrique ~ coo fixd (par exemple satisfaisant ~ uric condition diophantierme !); darts le cas d'un diffdomorphisme prdservant les aires, le problSme est tr~s simple darts la topologie C ~~ (voir par exemple [2 quarto]), mais beaucoup moins darts la topologie analytique ci-dessus. 3) Comme dans [15], on ddduit du thdor~me 3 un thdor~me a~Mogue pour les families locales C ~ dc diffdomorphismcs locaux C". On laissc au Icctcur Ic soin d'dnonccr dcs thdor6mcs dc gdndricitd dans d'autrcs topologies. 4) Ainsi qu'on l'a montrd dans [6], on ddduit du coroUairc du thdor6me 2 quc, pour unc famillc gdndriquc P~ .... , il cxistc unc infmitd dc (<< mauvais >>) irrationncls co tcls quc dcs mcmbrcs dc la famillc P~,,,, poss6dcnt un cnscmblc invariant d'Aubry- Mathcr dc nombrc dc rotation co mais pas dc courbc rdguli6rc invariantc dc cc hombre dc rotation (dans Ics notations dc [6], ccci s'dcrit (~ # ~). Rappclons qu'unc tcllc dvcn- tualitd cst excluc si co cst un << bon >> irrationncl (voir [5]). II cst bon d'intcrprdtcr cc thdor6mc ~t la lumi~rc de la figurc 11 dc [5] : dans la situation gdndrique, une sous-suite convergeant vers (0, O) des ~ bulles ~> qui y sont reprdsentdes rencontre au moins l'un des Cl~n/q n (dventuellement un nombre fini). Une telle << bulle avec taille de gu~pe ,, est reprdsentde sur la figure 19 (tirde de [7]). La dynamique le long d'un chemin traversant cette << bulle ~, au plus dtroit est reprdsentde sur la figure 20 (dgalement tirde de [7]) : on a choisi un chemin tel que la premi&re et la derni&re bifurcation se fassent en un point du type de Bogdanov (voir w 3.2). NB. ~ Darts la figure 20, les n os 1, 2, 8, 9 sont des reprdsentations compl&tes de la dynamique; dans 3 et 7 la dynamique << insulaire ~ n'est pas prdcisde : on verra dans le w 6 qu'il peut exister de petites courbes fermdes invariantes par qn ndes par bifur- VI ~ VS cations dc Hopf. Enfin, dans 4, 5, 6, il pourrait a priori sc trouvcr encore des courbcs fcrmdes rdguli~res invaxiantes par P, .... . Rcmarquons ~ cc propos quc nous avons rcprdscntd sur ]a figure 20 des intersections homoclincs d'un autrc type quc ccllcs dtudidcs dans ce paragraphc. Lc Icctcur couragcux compldtcra notre dtudc, cc qui l'am6ncra ~t cnrichir la figure 16 dc la maniSrc suivantc : FIo. 16' BIFURCATIONS DE POINTS FIXES ELLIPTIQUES 65 Des Etudes numEriques des diffErentes configurations d'intersection ont EtE faites par J. R. Johnson ([10]). << Ddmonstration >>. -- 1) Soit O~ .... un ElEment de ~,k tel que Qo, o s'Ecrive t O~0=Ho6_.00oI~', H(0)=0, (102) ~o.0Cz) = ze 2~'C~.+~l~ + o(1 ~1'). Soit B = B(Q.~,,.,, r une boule ouverte de ~2,, de centre O ..... ; il existe > 0 tel que, pour tout rationnel p[q (Ecrit sous forme irrEductible) distant de moins de r de COo, il existe P.,,., ~ B ayant la propriEtE suivante : apr~s changement de coor- donnEes et de param&rage, P.1, ~, devient une famille P~,~,,I dolmEe par une formule du type (36), (41) avec cx(0 , 0, 0) # 0 et t o assez petit pour que les conclusions des thEor~mes 1 et 2 soient valides pour tousles P~,.,,,, 0 < t ~< t 0. En particulier, la langue de resonance C./a de la famille P ..... est bordEe par deux courbes lisses et les valeurs des param&res situ&s dans son intErieur correspondent ~ des diffEomorphismes locaux qui ont exactement deux orbites pEriodiques de nombre de rotation p[q, dont l'une hyperbolique rEelle. Pour dEmontrer cette affirmation, nous pourrons ne modifier qu'un hombre fini de coefficients Q.~,t du dEveloppement de Taylor de Q. ..... : on commence par plonger Q.~,,~ =Ho(~,,~oH -1 dans la famille k trois param&res Q.~ ....... obtenue en rempla~ant le debut (jusqu'~t l'ordre trois) du dEveloppement de Taylor (en z, i, vi, vg) de Q.~,,~, par le segment homologue du dEveloppement de Taylor de H o Rc~/a>_,o,+., o (~.,,.. o H -1 (en particulier, O ~,,,, = O ........ -~ml)- I1 suit du thEor~me des fonctions implicites qu'une petite translation des coor- dolmEes dependant des param&res nous ram~ne au cas off l'origine est fixEe par tousles ElEments de la famiUe; un nouveau changement de coordonnEes conduit ~t une forme normale du type ,~>o + q(',~,,,~, ',.)~-' + o(1 z I~ avec ao(O, O, 'Js) = a~(O, O, ,~) = O, bo(O, O, "~) = (p/q) + ,~. Par une Eventuelle modification d'un nombre fini de coefficients du dEveloppement de Taylor de la famille initiale Q.*I,*,, on peut s'arranger pour que l'application (~1, ~,) -(a0(~, ~,, 0), al(~l, ~,, 0)) soit un diffEomorphisme local, ce qui permet de choisir [z = a 0 eta = a 1 comme nouveaux param&res. De m6me, on peut obtenir que a~(0, 0, 0) ~ 0, bl(0, 0, 0) ~ 0, 0bo (0, 0, 0) + hi(0, 0, 0) ~ 0, cd0, 0, 0) ~ 0. -- 2a,.(O, O, O) Oaa ~o 4~J ~ ~N BIFURCATIONS DE POINTS FIXES ELLIPTIQUES 67 ; r~ ,;~-,~ ~ [,. ~//'kl .-.~: ;Y "" it' ,.h " (L ], , ',._._/..,~ ~ ,, ! , 1 " A, R = attracteur, r~pulseur, du type de Birkhoff ? t r q P . ! I . s S 7 8 Fm. 20 qn (dynamique de Pv~, v,) On d6fmit alors P ..... ~ partir de la famille k trois param~tres ainsi modifi6e en fixant le troisi6me param6tre/i une valeur assez petite pour que les conclusions des th6or6mes 1 et 2 soient valables. 2) Nous avons donc obtenu, en modifiant 16g6rement un nombre fini de coeffi- cients Qai~t du ddveloppement de Taylor de la famille Q,~,,~, une famiUe P~,~, dont la dynamique associ6e k un rafionnel p/q proche de ~0 est conforme ~t ce qui est dfcrit darts les th6or6mes 1 et 2. I1 nous faut maintenant, par une petite modifcation d'un hombre fmi de coefficients P,~,t du dfveloppement de Taylor de la famille P~,,,, (dans 68 ALAIN CHENCINER ses coordonndes initiales et non apr6s la mise sous forme normale), rendre (( gdn6riques ~ les intersections homoclines associ6es ~t l'unique orbite pdriodique hyperbolique r6elle 6ventuelle de hombre de rotation p/q des 616ments de la famille. Gdndrique signifie ici que les seules configurations rencontrdes au voisinage d'une valeur de (~1, "~) sont les suivantes (fig. 21) : on a dessin6 dans chaque cas la surface obtenue en associant ~t chaque valeur de (vx, v2) la position x des points d'intersection homocline sur l'une des vari6tds choisie comme rdf6rence. On a dessin6 6galement le contour apparent de cette surface sur le plan des param6tres, et les configurations d'inter- section correspondant aux r6gions ainsi ddlimitdes. Rappelons que, comme la transver- Codimension 0 Intersection transversale Codimemi~ l Contact quadratique Codimension 2 (local)~ /" Contact cubique Codimension 2 (global) S x 2 contacts quadratiques ind~pendants oll FIo. 21 BIFURCATIONS DE POINTS FIXES ELLIPTIQUES salit6, toutes les configurations locales g6n6riques sont ddfinies par une condition portant sur un jet d'ordre fini au point d'intersection d'une fonction rep6rant l'une des vari~t6s invariarttes par rapport ~t l'autre. Comme dans [15], on commence par montrer qu'on peut arriver ~t ce rdsultat par une petite perturbation C = ~t support compact disjoint de ((0, 0), (0, 0)) dans l'espace 112 � 112 de coordonn6es z, 5, vl, v~ : la condition sur les supports vient de ce qu'au niveau z, 5 tout se passe dans une couronne contenant l'orbite pdriodique en question, alors qu'au niveau vl, v 2 tout se passe dans C~/~ qui, puisque l'origine est un attracteur faible pour P0,0, ne peut rencontrer (0, 0). Remarquons que, comme prdcddemment, la stabilit6 de la situation permet de ne vdrifier les conditions de non-d6g6n6rescence que sur l'approximation de P~ .... invariante par un groupe isomorphe au groupe engendrd par R~/q, et done de troquer sans it6rer les orbites pdriodiques consid6r6es contre des points fixes. Enfin, on utilise encore une lois cette stabilit6 pour approcher la perturbation C ~ par une perturbation polynomiale dont le jet en ((0, 0), (0, 0)) s'annule ~t un ordre aussi grand que l'on veut. 3) Les points 1) et 2) << montrent >> la densitd du sous-espace ~. de o~'~, K form6 des familles satisfaisant aux conclusions du th6or~me 3 pour au moins un rationnel p/q tel que [ o~ o -- (p/q) l< r La stabilit6 des familles ~ deux param~tres gdn6riques de configurations d'inter- section implique l'ouverture des f~, ce qui termine la ddmonstration du th6or~me 3 : on choisit comme G~-dense l'intersection des f~.. pour une suite e. tendant vers 0. Remarques. -- 1) Les points de contact cubique n'interviennent manifestement pas darts le contour apparent de H+ et H_. Dans la situation g6n6rique, celui-ci a done comme seules singularit6s darts l'intdrieur de (~/, des points anguleux provenant des paires simultandes de contacts quadratiques. 2) Lorsque ~ est suffisamment positif, les bords supdrieurs de Het H+ corres- pondent aux arcs ED et E' D' d6crits darts les pages 332 et 333 de [2]. Lors de cette comparaison, garder en t~te la figure A8 et l'existence du << pli >> le long de r qui ~change les r61es des deux composantes du bord de ~+ (on suppose ici que H+ est cormexe). 3) Ainsi que l'a not6 le referee, on peut d6tailler de la mani~re suivante les conclusions du th6or~me 3 : Si un nombre rationnel p/q est dorm6, il existe un entier g = g(p/q) tel que les familles P.,. vdrifiant pour ce rationnel les conclusions d6sirdes forment un ouvert pour la topologie C t sur les families; il existe done un G 8 pour la topologie C | (et toutes les topologies plus fines, en partieulier celle du texte) tel que les familles qui lui appartiennent v6rifient les conclusions d6sirdes pour une infmit6 de ratiormels; fmalement, cet ensemble G 8 de familles est dense, m~me pour la topologie extr~mement fine considdrde dans le texte. 6. ORBITES P]~RIODIQUES ELLIPTIOUES ET LEURS BIFURCATIONS DE HOPF Nous revenons dans ce paragraphe ~t la dynamique des families ~t trois para- m~tres P~,a, ~*- Les 6quations E~,.,~. = E(~, [~) sont hamiltoniennes (dans R ~) pour [5 = 0; ceci vient de la non-prise en compte, ~t ce degr6 d'approximation, de la forme pr6cise des coefficients de y ety 3 dans l'expression (63) de P~,a,t. (voir la formule (103)). On s'attend ~t ce que cette prdcision ait pour effet de ddployer dans l'espace des param6tres la famille de courbes fermdes invariantes qui entoure les points fixes ellip- tiques de E(~, 0) : pour le vdrifier, il suffit de s'assurer de la non-nullit6 (< en gdn6ral >> du terme non lin6aire qui fournit l'attraction (r6pulsion) faible n6cessaire pour chasser lesdites courbes ferm&s de la r6gion [5 = 0. Bien entendu, pour P~,.,,,, il s'agit d'orbites p6riodiques et non de points fixes, mais la remarque d6jA faite A propos de la recherche des varidt~s invariantes des orbites p~riodiques hyperboliques est 6galement valable ici : puisque, dans le reste O(t Q) de (63), l'entier Q.peut ~tre pris arbitrairement grand, les conditions d'attraction (r6pul- sion) faible sont vdrifi&s pour les points fixes elliptiques de Pq ~,.,t, dos qu'elles le sont pour ceux (les m~mes !) de P~,.,t,, off R~/~ o P = P + O(t Q) est la pattie de P com- mutant ~ R~t q. Dans la suite, c'est doric la famille ~,~,~. que nous &udions. Analysant le passage de (59) ~ (63), on constate que (103) yA(tz, a, t, 0,y) = A~(0)y + A2(0)y 2 + (,: + A3(0))y 3 +y~ A(0,y), off ~c = ~c(tz, a, t) et les A,(0) -- A~(tz, a, t, 0) v6rifient les estimations r, ~ 7t ~l~-~-~ = O(t ~-~-~') < O, [A~(O) l < O(t'), (lO4) IA,(0) l < o(t I A.(O)[ ~< O(t~-"-~), I X(0,y) l < o(t en effet, yA(0, y) = ~ a~(t 'qm-8-~)'-ay' + t,q/2)+a +k[~(0 ' t,~/2,-S-~y) __ ~(0, 0)], BIFURCATIONS DE POINTS FIXES ELLIPTIQUES o~ a~ ~ s' (pousser le dfiveloppement de (48)), et ~(o, ~) = ~(o, ~) + o(t 0-~) = cx(l + x)~"/~'-a[2(1 + x) -- qx] cos(2r~q0) + O(t ~) = ~t(O, O) + qx{[((ql2 ) -- 1) 2 + (2 -- q)] cos(2r~q0) + OCt~)} -t- x2 O(1) = ~l(O, O) + xO(t 2) + x ~ O(1). On a donc P~,,.,,,(O,y) = R.,. o P~.,.,,,(O,y) + (0, O(tQ)), P~, ., ,.(0, y) = (| Y), (105) O = 0 + wy, Y = e + ~(0) + [1 + ~ + Ax(0)]y + Iv -t- A~(0)]y ~ + [~ + A~C0)]y' +y' X(0, y), off les points fixes de P~,,,t, dont on 6tudie les bifurcations de Hopf sont les (0o, O) = (Oo(e, ~), O) tels que (106) e + ~(0o) = 0, ~'(0o) < 0. La d6riv6e DP~,o,~,(0o, 0) s'6crit ~,~ o) = 1 + ' (: ~ (107) v = ~'(0o) < 0, = ~ + A~(0o); si ~2+ 4vw < 0, ses valeurs propres sont ,x=a de module 6gal k 1 si et seulement si XX = 1 + ~ -- vw = 1, donc (109) = vw (donc u = %/-- 4~ -- ~ -~ 2 %/~w I ~'(oo)1), c'est-~-dire (109') = - ADO~ + ~w~'(0o). Le passage dam une base propre se falt par l'identification suivante de 11 ~ (coor- donn6es 0, y) ~t C (coordonn~es z) : (110) - iu z ou z = i , =~0+ ~)+~C --z), w ~u wu 72 ALAIN CHENCINER qui, au voisinage de (0o, 0), transforme P~...,. en = z, Z =Xz+A(z+f) 3+B(z+5)(z-5) +C(z--5) 3+D(z+5) a +ECz+f)~(z--f)+F(z+5)(z--5) 3+ GCz--5 3) + o(I z 14), A = -- 2--u 3wz ~"(0~ + wv-A;(0~ + 2-(T + Aa(0o)) , w , B -- ~ Aa(0o) + ~ (y + A~(0o)), iu (Ill) C = ~.(y + A2(0o)), w 2 ~ w~2 ~s ] + ~ A'x'(0o) + ~ A'2(0o) + ~ (K + As(0o) ) ], D = -- 2~ 4'"(0o) ~2 w~ , 3~ ~ A'z'(0o) + -~- A3(0o) + -~- (K + A.(0o)), iu wA~(0o) + ~-(K + As(0o) ) , u ~ G _ 8 (K + As(0o)), qui s'6crit encore i P~.a.,,(z) = ),z + ~ a,5 z * 5 j + ocI z I'), avec (112) a2o = A + B + C, all = 2(A -- C), a02 -- A -- B + C, azl = 3D + E -- F -- 3G. Le calcul standard de formes normales montre que l'61imination par changement de variable z~z+ xZ Y~ z~5j ~+j=2 des termes quadratiques en z, 5 dans (112) transforme le coefficient a2z de z35 en , 2a2o .q_ [ an a2o a n ~ . (113) a21=a21+ 1--X I~--X +xx X(X-- 1) -t- Xz En un point off XX = 1, la condition de non-d6g6n6rescence (attraction ou rdpulsion faibles) suffisant k assurer l'existence d'une bifurcation de Hopf est simplement Re r O, c'est-5~-dire al.........i~l BIFURCATIONS DE POINTS FIXES ELLIPTIQUES 73 1 X 2 i~ 2lao~ (114) [ "}] Re +Re (X-- 1) -- a~~ an +[a~ +X a+x+ I # 0, OU encore 1 + (E--3G) +~(3D--F) + (A S- C ~) (1 -4-O(u*)) (115) _ 4 B(A -- C) (1 + O(u2)) + 2(A -- C) 2 su + [(A + C) ~ -- B ~] (1 + O(u~)) r o; en effet, u 2 (116) = -- ~- (1 + O(u')) = ~w~'(0o) ~< O(tq), X -- 2 1 (1 + O(u')) + 2i (1 + O(u')), done X(?~ -- 1) -- 2 u 1 1 iu 1 2i ..... (1 + o(.2)), X--1 2+2g 2 u t t (1 + O(u')) 2i (1 + O(u')). X 3- I -- 2 --3uu Supposons tout d'abord ct choisi tel que ~"(0o) = 0 [en particulier ~ ~< O(~t~)] et ~ d~flni par (109'). Puisque ~(0) = eos(27rq0) + O(t2), on en ddduit " ~'(0o) = -- 2~q + O(t ~) et ~,,,(0o) ~_ 8~3 q3 _.~ O(t2). Evalu~ ~ partir de (111), le premier membre de (115) est un O(t 2a-2-~) qui s'&rit w 2 (117) ~- [-- ~w~'"(0o) + A'1'(0o) ] + 3~:q ~w~: + O(t2q-~). Supposons maintenant ~ ehoisi tel que ~'(0o) soit tr~s proche de 0 et [~ toujours d~fini par (109') (autrement dit, on est tr~s proehe de l'un des deux points de Bogdanov sur ,~.,,,). Le premier membre de (115) est maintenant un 0 ~~], plus prdcisfiment w~ ~"(0o) t ~- ~ (118) 41 ~'(%),[-- 8w~"(0o) + A' 1(0o) ] -4- O (~), avec ~"(00) = ~z 4~ z q', le signe ddpendant de la composante du bord de (~,/~ dont on s'approehe. Le contr61e des expressions (117) et (I18) n&essite une dvaluation de At(0 ) : il suffit (sic.t) pour cela de pousser d'un cran les calculs de formes normales r&onnantes du w 2.1 en prenant eomme point de ddpart la forme suivante de (40) " (119) P~,,,,(z) = z[(I)'(~, a, t, I z r; 0) + D~ ~ + D2 z ~1 + Y~ ~'-' + O(I z I q+ z). lO 74 ALAIN CHENGINER Nous noterons I D~ = DI(~, a, t) = u~ e ~'~, (120) D~ = D2(~t, a, t) = us e ~', et oublierons systEmatiquement de noter les dependances en t~, a, t des divers coefficients. On obtient, apr~s une rotation des coordonnEes de (l/q)(g(0) -- d~), la precision suivante de la formule (44) : P~, ~, ,(re ~*~ = Re 2"*~ ' 19 = 0 + g(r 2) -- 2r~(1 +f(r~)) [c~ r '-~ sin(2r~(q0 + g(r ~) -- g(0))) + u x r" sin(2~(q0 + g(r ~) -- g(O) + da -- vx) ) (121) + u~ r* sin (2r~(-- q0 +g(r ~) + g(0) -- d x -- v2))] + O(r~+~), R = r[l +f(r ~) + c x r ~-2 cos(2~(q0 + g(r ~) -- g(0))) + ua r" cos(2r~(q0 + g(r ~) -- g(O) + d a -- v~)) + u~ r ~ cos(2r~(-- q0 + g(r ~) + g(O) -- d~ -- vz))] + O(r'+~). Posons maintenant, comme en (45), r = r(Plq)"V/1 + o. Puisque g(r ~) = g(O) + bxr ~" + O(r(plq)" ) etf(r 2) = t~ + a rz + .... O(r(plq) 4) (voir 49-1), on peut remplacer l/(2rc(1 +f(r')) par 1/2~ et g(r')--g(O) par bx r 2 = bx r(p]q) 2 (1 + ~) = x(p]q) (1 + ~). I1 vient P~,,,,(0, ~) = (19, ~), avec 0=0+ ~/q) + ~(p/q) ~ + ~(/,/q), T(~) c 1 2re r(p[q)~-2 (1 + a) ~-2~/~ sin(2~(q0 + "r (1 + ~))) ul o) 0~ sin(2~(q0 (1 ~) 2~ ~(P/q)" (1 + + <P/q) + + dl -- v~) ) u~ o)~/2 2r~ r(p/q)q (1 + sin(2r~(- qO + "r (1 + o) + 2b 0 -- (122) O(r(p[q)q+~), X =,~+ (1 + ~) o + so ~ + r(p/q)" S(~) + 2c~ r(p[q) ~-~ (1 + 0) ~t2 cos(2~(q0 + "r(p/q) r + ~))) + 2u~ r(p/q) ~ (1 + ~),,/2,+~ cos(2~(q0 + .c(p/q) (1 + 0) + d~ -- v~)) 2u~r(plq) ~ (1 + ~r) '~+~ cos(2~(-- qO + "r(p/q) (1 + 0) + 2bo -- d~ -- v,)) O(r(p/q)q+~). Enfin, dans 8,/a (dfifini au debut du w 2.2), It(p/q) 2 -- p~/q I et I ~0/g) - ~,~, I sont au plus d'ordre r3t-~q/2~-l-k), et si F(0, a) est de elasse C ~ et (p/q)-pEriodique en 0, ~kia~/q aF (0, ~) ~p + O(r r + O(0'~,.) r + O(~,,). F(O, E) -- r(O, o) = ff~ BIFURCATIONS DE POINTS FIXES ELLIPTIQUES On en dEduit que le changement de variables (0, a) ~ (0, p) dEfini par (123) p = -- (O -- 0 -- (p/q)), "~ ~l q conduit ~ l'expression suivante qui precise (50) (on a pose -: = %,/a) : P.,=,,,(0, p) = (@, R), O = o + (p/q) + .~, R=v' +(1 +r *+ Z a~p'+2c zt "-~cos(2n(q0+x)) + 2t"[uacos(2n(qO + da -- va)) + u~ cos(Z~(q0 -- 260 + da + v,))] 024) + [2t"[ui cos(2,~(# + 4 - a)) + (q + 1) ,,~ cos(2,~(qo - 2bo + 4 + v,))]] ~ + o(t ~) 0 ~ + o(t ~ ~ + o(t"+~). Les autres changements de variables, ~ l'homothEtie pr6s faisant passer de x ~ y, sont suffisamment tangents ~ l'identitE pour ne pas perturber ces formules. On en ddduit que Az(0 ) n'est autre, ~ O(t ~+2) pr6s, que le coefficient de p dans l'expression ci-dessus de K; autrement dit, puisque d'apr6s (63) et (104) on a : $~ ~_ .~l--(ql2) + S + k, 4(0) = cos(2nq0) + O(#), ": = wt -(~1~)+8+~, 2c a t q-~ ~t (q/~)-8-k, K ,-, yt (q/2)-8-~ on obtient A,(0) = t o r + tl 4'(0) + O(t~+~), o~, t o = 2t~[uz cos(2~(d z -- vz) ) + (q + 1) u~ cos(2n(-- 2b o + dt + v2))], 1 / vt(~/~'-~-"/ (125) t, = ,1 -1 t ~ -[-- -- [U 1 sin(2Tc(a 1 -- Vl) ) -.}- (q --+- 1) uz sin(2rc(-- 2b o --I- a, + v2))]. ~q En particulier, (117) et (118) deviennent respectivement (117') 2~8 qa wZ(t z _ ~w) + 3~q ~wyt (~12'-8-k + O(t2~-~), (1189 Ir ~)" Supposons comme d'habitude que ~ et w sont positifs. Si, par exemple, ([ y[ t'ql2)-s-k[(4~* w*)) < 1, et si I uz Iet [ u 2 [ sont assez petits, l x -- 8w sera nEgatif ainsi donc que (liT), (118'), et le second membre de (109') qui vaut t o ~(0o) + (11 -- ~w) I ~'(0o)I. 76 ALAIN CHENCINER Cela signifie sans doute que tout le long de la courbe de bifurcation d~finie par (109'), l~.,~, t, (et done ~galement P~,,.,t,) subit une bifurcation de Hopf supereritique Une telle situation, ainsi d'ailleurs qu'une grande partie de la dynamique d6erite dans ce travail, a ~tfi observ~e numfiriquement dans [11] dont les motivations sont biolo- giques. La figure 22, qui complete la figure 16', est adapt~e de cet article. I~'IG. 22 (adapt8e de [11]) Cependant, si u2 sin(2n(-- 2b0 + dl + v~)) est assez grand, t 1 -- ~/) peut tr~s bien devenir positif, et les signes de (117') et (118') peuvent alors diff6rer; moyennant certaines in6galitfs sur ses coefficients de Taylor, une famille g6n6rique P.l,v, donnfe par le th6or6me 3 peut done prfsenter dans chaeune des langues de r6sonanee de la suite C~./~. des bifurcations de Hopf d6gfn6r6es de P ..... q. (annulation du coefficient Re(a21[~.), ' qui joue le r61e du param6tre a). I1 reste h v6rifier que, quitte ~ restreindre l'ensemble des families g6n6riques, on peut 6galement supposer que toutes nos conditions de non- d6g6n6rescence sont satisfaites (le coefficient Im(a~l/k), par exemple, se ealcule facilement partir de nos formules). Ainsi, de mfme que dans le cas conservatif les lies elliptiques s'embottent, r6p6tant l'infini une dynamique toujours la m~me, il semble que dans nos families h deux para- m~tres le diagramme de bifurcation puisse contenir des r6pliques de lui-m6me de plus en plus petites. Nous laisserons le lecteur poursuivre dans cette voie. Note. -- Tous ces calculs sont bien fastidieux et les causes d'erreur ne manquent pas. On peut, par exemple, v6rifier la coherence de (117) et (118) en remarquant que le terme dominant des deux expressions s'annule bien lorsque P~,o,t, est remplac6 par le diffdomorphisme obtenu ~ partir du ~ temps 1 ~ de l'6quation difffrentielle hamil- tonienne E(a, 0) en effectuant le changement de variables qui transforme | en 0 + wy; on v6rifie en effet qu'alors K = O(v 2) = O(t ~+2-~) et AI(0 ) = 8w~'(0) + O(t~+2). CONCLUSION Nous avions commenc6 cette s~rie d'articles el1 comparant les familles ~ deux param&tres P~,~ que nous dtudions k un diff~omorphisme local H pr~servant les aires de R ~ au voisinage d'un point fixe elliptique. Dans ([5], figure 1) nous indiquions l'ana- logie existant entre la dynamique de H et celle de la famille P~, a << le long ~ de la courbe de non-hyperbolicit6 F. Nous pouvons maintenant enrichir cette comparaison en faisant intervenir la dynamique de P~,a le long de chemins transverses ~ F. Plus prdcis~ment, de m~me que H est une perturbation d'une forme normale N qu'on peut identifier A une famille un param~tre de rotations du cercle, la restriction de P~,~ au voisinage ~r est une perturbation d'une famiUe de formes normales N~,~ qui peut ~tre consid~r6e comme une famille k un param~tre a ~ (~ ~ N~,~) de families k un param&tre, dans chacune des- quelles se produit l'~limination d'un couple de courbes fermdes invariantes ([7] figure 1; c'est ce que dans [7] nous avons appel~ << chemin standard d'dlimination ~). Aux courbes invariantes de H donndes par la thdorie de K. A. M. correspondent les sous-familles ~ un param~tre tz ~ P~,a passant par les points ~ de l'ensemble de Cantor ~ introduit dans [5] (i.e. les familles ne rencontrant aucune << bulle ~) : ces familles ~, ressemblent ~, en un sens que nous avons rappeld dans le w 3.2, ~ un chemin standard d'61imination. Aux ensembles invariants d'Aubry-Mather de H correspondent des sous-familles de P~,~ rencontrant les ensembles Co (voir [6]) et subissant a priori des bifurcations complexes. Enfin, nous venons de montrer qu'aux orbites p6riodiques de Zehnder et~ leurs orbites homoclines correspondent des sous-familles de P~,~ traversant au plus 6troit une ~< bulle avec taille de gu~pe ~. Le long d'une telle famille A un param6tre, la dyna- mique s'approche de celle d'un chemin standard d'dlimination autant que le permet l'apparition d'orbites pdriodiques isoldes entre les courbes invariantes qui d6sirent s'dliminer (fig. 19, 20). De m6me que nous avons montr6 que l'apparition de ces orbites pdriodiques se faisait avant la disparition des courbes ferm~es invariantes, il serait tr6s int6ressant de montrer qu'au moment off apparaissent les premiSres tangences homoclines correspon- dant ~ la travers6e de 0H+ et O~I, il n'existe plus au voisinage aucune courbe ferm6e r6guli6re invariante par P~,~. On en d6duirait qu'avant de s'dliminer, les deux courbes se transforment en une paire d'un attracteur et d'un r6pulseur du type de Birkhoff ([2 b/s]). 78 ALAIN CHENCINER De teUes ~ courbes ~tranges ~) contiendraient des ensembles invariants d'Aubry-Mather dont les nombres de rotation parcourent tout un intervaUe ([10 bis]), ce qui donnerait, par analogie avec le cas des families d'endomorphismes du cercle, une premiere intuition de la faqon dont les diff~rents ensembles G,~ s'intersectent. La figure 23 d~crit, darts ce cadre conjectural, la distribution des nombres de rotation (i.e. des ensembles C,,) rencontres le long du chemin considfir~ dans les figures 19 et 20. Notons que l'existence d'un intervaUe de rotation pour la valeur 5 du param~tre est assur~e par le th~or~me 2 de [2] (voir ~galement [8 b/s]). goo d p/q .-- $3.:; ' 4 ::5 6 ...... 78 ~ ~ param~tre du chemln F~o. 23 Cette question sur les attracteurs de Birkhoff est bien dans la ligne de notre principal propos qui aura 6t6 d'analyser la tension hyperbolique-elliptique qui se manifeste quand on m61ange les influences radiales (coefficients a~ des formes normales, intervenant dans les th6ories du type de la classique bifurcation de Hopf) et angulaires (coefficients b des formes normales, intervenant dans les th6ories du type K.A.M.). Nous retiendrons en particulier le grand pouvoir organisateur qu'a sur la dynamique globale la pr6sence de sous-dynamiques de ~ bon ~ hombre de rotation, rationnel ou irrationnel, d6s que coexistent distorsion et dissipation. APPENDICE : ZOOLOGIE DES ]~QUATIONS DIFF~RENTIELLES E~, o, ~, Cet appendice contient divers r6sultats sur les portraits de phase et les bifurcations des dquations E~,,,,,, rebaptis6es pour la cireonstanee E(~, [3) (t> 0 petit est fixd, et I*, a varient dans 8~t ~ off ~, ~ sont des coordon.n6es ddfinies dans le lemme 6) : = wy (A1) E(0c, [~) dy On trouvera la ddfmition de w, y, 8, ~ dans la formule (63); rappelons en parti- culier que y, 8, ~ ddpendent (peu) de (Ez, a) done de (% [3). En fait, tousles rdsultats que nous ddmontrerons sont identiques ~ ceux que ron obtiendrait en supposant w, y, 8 constants [pour les figures w > 0, y < 0, 8 > 0] et ~(0) dgale ~ cos(2~q0). Le w 4 du texte n'utilise que le lemme A3; le d6tail des bifurcations (en particulier le lemme A7) intervient par contre dans le w 5 off l'on 6tudie les orbites de P~.,,,. homo- clines aux orbites pdriodiques hyperboliques de hombre de rotation p/q. Nous concluons cet appendice par une description du diagramme complet des bifurcations de la famille E(~, [3) dans le cas o~ y, 8 ne d6pendent pas de ~, [~, et ~(0) = eos(2r~q0) (fig. A6); toujours sous ces hypoth6ses, nous d6erivons 6galement la distribution des hombres de rotation du ~ temps 1 >) de E(% [3) sur ses courbes ferm6es invariantes (fig. A8). Les d6monstrations se trouvent dans [7 b/s]. NB. -- La lecture sera grandement facilit6e par la contemplation pr6alable de la figure A6. Notations. -- 1) Nous eommettrons souvent l'abus conslstant ~ rioter (0t, [3) E a/, y = y(0~, [~), ~(0) = ~(~, [~, 0), au lieu de (tL, a) e a/, yC[z, a, t), ~(t*, a, t, 0), etc. 2) E(~, [3) ddsignera 6galement le champ de vecteurs (darts T x � R ou son rev~- tement R ~) d6fi_nissant l'6quation E(~, [3). 3) E="~ [3) d6signera l'dquation dO = wy (a2) E", 0(~, ~) dy , a = + vy' + oft y = y(=, [3), 8 = 8(~, [~), ~(0) = ~(~, [3, 0). (E'"~ [3) ne coincide en g6n6ral avec E(=',0) que si 0~=~' et [~=0). 80 ALAIN CHENCINER 4) On utilisera comme darts le w 4 les notations 4y~ ' (R) 21 ~ 0~1 0~2 a"- Ivl' (~1 et ~ sont ddfinis en (A8) et (A9)). On d6fmit les sous-ensembles suivants de 8~t~ : ~,~ = ((~, ~) ~ a~, ~ - 4~ .< 0 }, ( ( ;-- I':1 ' ~ + ' (A4) .4 Ivl ) ~,~, = { (~, a) ~ ~,/., ~ = ~ }. On a les inclusions ~videntes ^~ "~ [d~/q, o ~ ~/q, ~/q sont d~finis respectivement en (64) et (74).J Dans les notations (R), les d6finitions pr6c~dentes deviennent { (~, a) E ~,/,, a ~ 0 }, "~0 {(~, ~)~ ~.,~, ~ + a,~ (l~t + V~)~}, (A' 3) (~, a) e ~/., +a~>_. (~ + ~)~ si +~.< o =----7~ 2 ~) ~.,,, ~ + ~>: (-I ~ I + V~ + ~.)}, (A' 4) l ~q~~ = {(~' e d~/~, le riot de E(~, 6) dans T 1 x R ne laisse invariante Lemme A1. -- Si (~, ~) aucune courbe fermge C o (orbite pgriodique ou rgunion d'orbites et de singulariHs) homologue T ~ � {0}. BIFURCATIONS DE POINTS FIXES ELLIPTIQUES 81 Ddmonstration. -- Soit .W(0,y) =yZ -- (2a/w) X(0) la fonction d6finie au w 3.1. On constate que [E(~, [~)..~a] (0,y) = 2(= + ~y + VyZ)y est du signe de (--y) d6s que (~, [~) e ~7~/~. Puisqu'aux points off X(0) = infx(0 ) (donc 4(0) = 0), y = 0, le champ a pour composantes (0, ~), on conclut comme dans le corollaire du lemme 7 si 0r 4 = 0; si (% ~) = (0, 0), le r6suttat d6coule du lemme suivant : Lemme A2. -- Multipli/par lefacteur intdgrant exp(-- (2y/w) 0), le champ E="~ ~) (relevd au revgtement universel R ~" de T x � R) devient hamiltonien : wye- ~ _ o _ OH (0,y), 0y _ Lv o OH (~'+yy'+84(0))e " -- 00 (0,y), oth _2"t o ZO H(0,y) = -~ (y' -- U'(0)) e ~ (A6) (sin(2~qO) + t" ~(0)) h"(O) = _ _ + u ~r + 7= ~ q~ w~ __ m .A[_ __ (sin(2~q0) + O(t~)) T r~qw (~(0) = ~(~, [3, 0) est (1/q)-p6riodique et born6e ind6pendamment de t). La figure A1 donne le portrait de phase de E~"~ ~) en fonction de ~'[~, ~ n'inter- viennent pas qualitativement] : c'est le modkIe d'dlimination rdsonnante d'un couple de courbes invariantes. Ddmonstration. -- Elle est 6vidente : H(0,y) = ~ y~ + y w e ~ 4(u) e g" du e--~ Puisque 4(u) = cos(2~qu) + t 2 4t(u), o~ 4z est (1/q)-p~riodique, bornde ind6pendamment de t, et d'int~grale nulle sur une p~riode (voir (63)), un simple d6veloppement en s~rie de Fourier montre que Lv o fo (2a/w) e ~ J A4(u) e -V" du = (alv'v' + q' w"-) - %)) + t'-zdo)], ol) cos(2r~qOo) = -- V/'~/'~ ~" + &" q~ w ~ = O(t~), sin(2rcqOo ) = (~qw)/%/.~2 + r~2 q2 w 2 = 1 + O(t4), d'ofi la conclusion. 11 82 ALAIN CHENCINER s ~ 0t r ._.I--- ~(1 + O(t~)), O, - ~(I + O(t*)) Fxo. AI La figure A 1 est alors facile ~ obtenir: les orbites p6riodiques dam T 1 � R sont de la forme ,(A7) y = q~(0) = + ~(0), et existent done rant que a' I> oq, o~ ~y ~1 = ~1(~, 9) = v'r, + ~, e w, o~f (sm(2~q0) + t, ~(0)) (A8) I~1 -- (1 + O(t")) = O(~t~). ~qw BIFURCATIONS DE POINTS FIXES ELLIPTIQUES On a suppos6 que 8 > 0; dans le cas contraire, le r61e de ~x est tenu par ISvl a~ = ~'(~' {~) = ~r z + ~' q~ w a 0super (sin(2~q0) + t" ~(0)) (A9) - (1 + o(t,)) = ~(1 + o(t,)). 7~qw Dgfinition. -- Si (~, ~) e ~,+,, on note ~r [~) le sous-anneau de T x � R+ bord6 inf6rieurement (resp. sup6rieurement) par l'unique orbite pdriodique positive y = q~(0) de E~"~ [~) (resp. l'unique orbite p6riodique positive y = q~'(0) de E'"'~ ~)), off s >/ ~'/> ~x sont d6fmis par ~' =IriS', ~"=lvl~", ~' =I-2, + (~ + ~v~+~,) ~ si ~.< 0, (AIO) a~ + (~ + ~)' si ~ ~ 0, z,=l ~+(~+~)2 si~.<o, -~, + (~ + ~)~ ~i ~>. o. Lemme A3. -- Si (~, [~) e ~/~, ^+ E(~, 15) posskde dans l'anneau d+(~, ~) une unique orbite pgriodique (en fair (1]q)-pgriodique) y = p+(0). Cette orbite pgriodique est attractante~ On laisse au lecteur le soin de ddfinir ~r ~)C T I � R_ lorsque (~, ~) e ~ et d'6noncer l'analogue du lemme 3. D~monstration. -- Elle est dvidente : cherchons ~t &rire le plus petit sous-anneau de T 1 � R+ dont les bords soient de la forme y = q~+(0), x/> al, dans lequel rentre le champ E(~, ~). Les conditions sur ~' et a" sont manifestement t at ~-~'+~yM.>0 si~<0, ~- +~y;,~0 si~.>0, ~- ~" + ~y~< 0 ~- s + ~fid< 0 t tl i pt ~lw off y,,, y., yM, Y~r sont respectivement les inf et les sup de q~(0) et q+ (0), c'est-~t-dire : Y,, ~/~' ~1, Y.~ ~v/~" -- ^ ' V~7 + ^ tt Des calculs 6vidents mais fastidieux fournissent alors la d6finition de ~qr [3) et les formules (A10). Le cas off (e, ~) s ~, se d6duit du pr&6dent par la transformation (Y, ~) ~ (--y, -- ~). 84 ALAIN CHENCINER Q uant ~ l'unicit6, elle vient de ce que q~(0) ~>y;~= ~/2'-2, =~ + v~- 2~> ~ (~i $>~ 0), qui implique que, pour tout [3, l'anneau ~r [~) se trouve dans la r6gion off le flot de E(~, ~), dont la divergence vaut ~ + 2yy, contracte les aires. Le raisonnement est le m~me pour y < 0, le flot dilatant les aires dans ~_(~, [~). La figure A2 montre les courbes de niveau de la fonction ~'(~, ~) dans ~), (celles de ~" s'obtiennent en les prolongeant respectivement du c6t6 } < 0 et ~ > 0). .Gt = ~1(', ~) - \' ,~/ Iv(,,,, ~) I (,,' = ~,~) / 4v(~, r~) Fzo. A2 (la figure est faite comme si cq, ~, y 6talent constants) Remarque. -- La largeur de d [~) tend vers 0 lorsque [3 tend vers 0. En effet, o~' et o(' tendent tous deux vers a, et 2" -- 2' q~'(0) -- q~(0) = (q~'(0) + q~(0))" Lemme A4. -- Si (~, ~) ~ ~ et ~ >1 l'orbite pdriodique y = p donnde par le lemme A3 est la seule orbite p6riodique de E(~, [3) homologue ~ T ~ � { 0 } dans T ~ � R tout entier. Dgmonstration. -- Supposons quey =f~(0), i = 1, 2, soient deux orbites pEriodiques distinctes de E(~, ~) dans T 1 � R+ pour un couple (~, ~) appartenant ~ M~I~" On a wf~'(0) f(0) = ~ + ~f~(0) + yf~(0)' + 8~(0), i = l, 2, et, par diffdrence, $[~ ~w[+~(0) - +~(0)] = - + v[+l(0) - +~(0)], o~ +4(0) =f~(0) *, i = 1, 2. Mais +1 -- +3 6tant p6riodique, lc premier membre s'annule; il existe donc ~ tel que [3 + y[J~z(0 ~) + ~ = 0, c'est-~-dire fl(~) +fz(~) = -- (~/y). BIFURCATIONS DE POINTS FIXES ELLIPTIQUES 85 I1 ne peut donc exister deux telles orbites pEriodiques dans T ~ � R+ si l'une d'elles est au-dessus de la courbe y = -- (P/V). Mais p+(0) >~y~,/> -- (P/V) d6s que e/> ~1. ~o E(ot, p) posskde exactement deux orbites pgriodiques Lemme A5. ~ Si (~, ~) e ~ ~l~, [qui deviennent << singuli~res >> pour (e, ~) = (ex, 0)], l'une dans T 1 � R+, l'autre darts T i � R_, et pas d'autre courbe ferm[e C O laiss~e invariante par son flot, qui soit homologue a T ~ � {0}. Dgmonstration. -- Soit (~, [3) e ~o/~, (e, [3) 4: (el, 0) ; le lemme A4 montre qu'il y a exactement une orbite pEriodique y = p+(0) darts T 1 x R+ et une orbite pErio- dique y = p_(0) darts T i � R_. I1 reste ~t remarquer que, si Kl(0,y ) =y~--q~(0) ~, on a [E(~, [~). K1] (0,y) = 2y[e § py -t- Vy ~ q- ~(0)] -- 2wyq~(0) (q~)' (0) = 2y[0c -- e� q- PY q- YKx(0,Y)] 9 Le terme entre parentheses est minorE par I Pl I + py + vKx(0,y), donc par IPl 4 Ivl +13q~(O) >~ o sur l'ensemble K 1 = 0. Ajout6 ~t la remarque que E(~, p) ne s'annule pas aux points singuliers de Kx = 0 si (~, p) ~e (~i, 0), ceci montre qu'aucune courbe fermEe C ~ invariante homologue ~t I "1 � { 0 } ne peut rencontrer le sous-ensemble K 1 ~< 0, ni afortioriy = 0, ce qui termine la demonstration. ^o (A4). Supposons maintenant que (~, p) e d~/,, dEfini en Le terme [~ -- ~1 + ~Y + yKI(0,Y)] est major6 par -I 1 + Y----F I + py + vKl(0,y), donc par -- [ P l ~i + ~2 v l-- + pq (0) sur l'ensemble K i = 0. Avec la remarque prdc6dente, ceci montre qu'aucune courbe ferm6e invariante par le flot de E(a, p) ne peut rencontrer le sous-ensemble K 1 = 0, ni afortiori le sous- ensemble y = 0. 86 ALAIN CHENCINER Supposons enfin que (a, [~) 4: (~z, 0) appartienne ~ la courbe #~,/~ ddfmie en (A4). Les singularitds de l'ensemble K~ = 0 sont alors exactement les singularitds hyperbo- liques (*) de E(x, [~), et [E(~, $).Kd (0,y) = 2~y" sur Kz = O. On en d~duit facilement qu'aucune connexion entre singularit~s hyperboliques de E(a, ~) ne peut exister dans ces conditions. On a en particulier d6montr6 le ^0 ^ AO Lemme A6. -- Si (~, ~) E .~1~/~ to t~v/~ to ~/~, (~, ~) # (~, 0), aucune connexion n'existe entre les singularitgs hyperboliques de E(~, ~). Bien entendu, d'apr~s le lemme A1, la conclusion vaut figalement si (~, [~) r ~Tvt~, ?o qui n'est pas entiSrement contenu dans dr/~, Notons I, II, III, IV les quatre composantes connexes du compl~mentaire dans Clv/q c~ 8v~ ~ de "~v/q to "qr162 ^o to "~,/~ to "~o/q ~o (fig. A3). Notons ~galement P le point d~fini par l'6quation (~, ~) =- (0cx, 0), et l I les singularit~s hyperboliques de E(0c, ~) sont I (All) H+ = (~, [~) connect6es dans T z X R Lemme A7. -- H+ et H_ sont respectivement contenus dans P to II to IV et P to I to III; tout chemin allant du bord gauche au bord droit de C~I~ n 8vlq rencontre ~ la fois H+ et H_. Remarque. ~ Si y, 3, ~ sont ind6pendants de (a, p), H+ et H_ sont des courbes connexes s'intersectant en P; l'adh6rence de chacune d'elles rencontre chaque compo- sante du bord de C~/~ en un unique point. F ~,I" ^o 17 ~1~ ,,, ~,1, n (d,i , FIG. A3 (*) On entend ici par singularit~s hyperboliques les singularitds de type col. BIFURCATIONS DE POINTS FIXES ELLIPTIQUES 87 Dgmonstration. ~ Q ue H+ u H_ soit contenue dans la rdunion de P, I, II, III, IV est une simple paraphrase du lemme A6. La ddmonstration des inclusions H_ C P u I w III et H+ C P w II u IV est une consdquence de la formule [E(~, ~). K1] (0,y) = 2y(0c -- ~1 + [~Y) sur K 1 = 0, ddtailldc sur la figure A4 : impossible ---- ~), (I) (B>O , donc InH+ K I ---- 0 impossible done III nH+----O, (m) < o ' done II n H_----O, (II) < 0 ' l; impossible donc IV r~ H_ ~ 0. impossible Fro. A4 La deuxi~me partie du lemme A7 se lit, v/a un argument de continuit6, sur la figure A5 qui montre les positions respectives des varidtds invariantes de deux singula- ritds hyperboliques consdcutives de E(~, ~) pour diffdrentes valeurs de (cr [~) (les dessins ^0 ^0 correspondant aux valeurs de (~, [3) dans d~/~ ou ~/q ne sont pas formellement ndces- saires mais ils aident l'intuition). I~G. A5 k "-.. % " k BIFURCATIONS DE POINTS FIXES ELLIPTIQ.UES L'affirmation de la remarque vient de ce que, si -(, 8, ~ sont ind6pendants de (a, ~), les bords de C~/~ sont de la forme ~ ---- constante, et les d6rivdes par rapport $ ~ des compo- santes de E(a, ~) en un point fixd (O,y) sont respectivement 0 et y. La pente du vecteur E(a, ~) (0,y) crolt donc de faw monotone avec ~ lorsquey est positif (n6gatif). Puisque, dans le cas consid6r6, la position des points singuliers de E(a, ~) est ind6pen- dante de ~, la conclusion est 6vidente. I1 est raisonnable de penser que ceci est en fait la situation g~ndrale. Ce qui suit est une description de la famille E(~, ~) dans le cas off 1) y< 0 et 8> 0 sont ind6pendants de a, ~. 2) = cos(2 q0). Le diagramme de bifurcations est d6crit dans la figure A6, tir6e de [7 b/s]. Pour compl6ter son intuition par des preuves le lecteur pourra consulter ce dernier article (le remplacement de r par 1 est bien entendu totalement inoffensif); il est 6galement recommand6 de consulter [2] et [10]. Lty ~Plq IO plq FIG. A7 12 90 ALAIN CHENCINER Sur la figure AT, on compare le diagramme de bifurcations de la figure A6 avec celui qui correspondrait au cas 8 ----- 0, c'est-~-dire ~ une famille d'6quations invariante par toutes les translations en 0 (analogue des formes normales N~,~ invariantes par tout le groupe des rotations). Le r61e de la courbe F introduite dans ([5] fig. 4) est tenu par une courbe P dont nous ne savons pas si elle est vraiment singuli6re au point P. Enfin, sur la figure A8 on a reprdsent6 dans le cas ~ = 0 (resp. ~ 0) les ensembles C,o (resp. C:o) correspondant ~ l'existence d'une courbe ferm6e C ~ homotope ~t T 1 � { 0 }, invariante par le riot de E(a, ~), sur laquelle le nombre de rotation du temps 1 soit co -- (p/q) (voir dans [7 b/s] la monotonie en fonction de ~ de la pdriode des orbites pdriodiques de E(a, ~)). On voit bien que la connexit6 de Cl~/~ ne tient qu'h un ill, d6truit en g6n~ral dans le passage de E~,~ ~ P~,~ (corollaire du th~or~me 2), ce qu'on a utilis6 dam ([6], fin du w 1). Cp/q Fro. A8 BIFURCATIONS DE POINTS FIXES ELLIPTIOUES 91 BIBLIOGRAPHIE [1] V. I. ARNOLD, Ghapitres suppldrnentaires de la ttgorie des gquations difflrentielles ordinaires, Mir, 1980. [2] D. G. AxONSON, M. A. CHORY, G. R. HALL, R. P. MeGEHEE, Bifurcations from an invariant circle for 2-para- meter families of maps of the plane : a computer assisted study, Commun. Math. Phys., 83 (1983), 303-354. [2 b/s] G. D. 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Publications mathématiques de l'IHÉSSpringer Journals

Published: Aug 30, 2007

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