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Über eine Art von Krümmungsinvarianten beliebiger Untermannigfaltigkeiten desn-dimensionalen euklidischen Raums

Über eine Art von Krümmungsinvarianten beliebiger Untermannigfaltigkeiten desn-dimensionalen... 0ber eine Art yon Kriimmungsinvarianten beliebiger Untermannigfaltigkeiten des n-dimensionalen euklidischen Raums Von Ku~T LEICHTW~ISS in Freiburg/Br. w 1. Einleitung Ausgangspunkt der folgenden Uberlegungen war die Suehe nach einer Verallgemeinerung des bekannten Satzes, dab eine flachpunktfreie, drei- real stetig differenzierbare F1/~che des dreidimensionalen euklidischen Raums mit identisch verschwindender Gaul]scher Kriimmung (lokal) eine Terse darstelltl), ftir beliebige m-dimensionale Untermannigfaltig- keiten des n-dimensionalen euklidischen Raums Rn (1 < m < n). Um eine derartige Verallgemeinerung formulieren zu kSnnen, miissen zuni~ehst die Begriffe ,,Terse" und,,Gaul3sehe Kriimmung" fiir eine m-dimensionale Untermannigfaltigkeit Mm des Rn geeignet definiert werden. Die Definition einer m-dimensionalen Terse des R~ bereitet keine Sehwierigkeiten; man versteht darunter, grob gesproehen, eine im R~ eingebettete Mannigfaltigkeit T~, deren Tangentialriiume nur von genau p Parametern abh/ingen (0 < p < m) 3). Anders ist dies jedoeh, wenn es die GauBsche Kriimmung zu ver- allgemeinern gilt. Geht man yon der innergeometrisehen Definition der Gaul~sehen Kriimmung einer Fliiehe mit Hilfe des Riemannschen Krtimmungstensors aus und sueht infolgedessen einen Zusammenhang zwisehen einer Untermannigfaltigkeit Mm des R. mit identiseh ver- sehwindendem Riemannschen Krfimmungstensor (d. h. einer auf den Rm isometrisch abbildbaren oder ,,abwickelbaren" M~) und einer ,,p-Terse" T~ im eben erw/ihnten Sinne herzustellen, so zeigen schon einfache Bei- http://www.deepdyve.com/assets/images/DeepDyve-Logo-lg.png Abhandlungen aus dem Mathematischen Seminar der Universität Hamburg Springer Journals

Über eine Art von Krümmungsinvarianten beliebiger Untermannigfaltigkeiten desn-dimensionalen euklidischen Raums

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Publisher
Springer Journals
Copyright
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Subject
Mathematics; Mathematics, general; Algebra; Differential Geometry; Number Theory; Topology; Geometry
ISSN
0025-5858
eISSN
1865-8784
DOI
10.1007/BF02992785
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Abstract

0ber eine Art yon Kriimmungsinvarianten beliebiger Untermannigfaltigkeiten des n-dimensionalen euklidischen Raums Von Ku~T LEICHTW~ISS in Freiburg/Br. w 1. Einleitung Ausgangspunkt der folgenden Uberlegungen war die Suehe nach einer Verallgemeinerung des bekannten Satzes, dab eine flachpunktfreie, drei- real stetig differenzierbare F1/~che des dreidimensionalen euklidischen Raums mit identisch verschwindender Gaul]scher Kriimmung (lokal) eine Terse darstelltl), ftir beliebige m-dimensionale Untermannigfaltig- keiten des n-dimensionalen euklidischen Raums Rn (1 < m < n). Um eine derartige Verallgemeinerung formulieren zu kSnnen, miissen zuni~ehst die Begriffe ,,Terse" und,,Gaul3sehe Kriimmung" fiir eine m-dimensionale Untermannigfaltigkeit Mm des Rn geeignet definiert werden. Die Definition einer m-dimensionalen Terse des R~ bereitet keine Sehwierigkeiten; man versteht darunter, grob gesproehen, eine im R~ eingebettete Mannigfaltigkeit T~, deren Tangentialriiume nur von genau p Parametern abh/ingen (0 < p < m) 3). Anders ist dies jedoeh, wenn es die GauBsche Kriimmung zu ver- allgemeinern gilt. Geht man yon der innergeometrisehen Definition der Gaul~sehen Kriimmung einer Fliiehe mit Hilfe des Riemannschen Krtimmungstensors aus und sueht infolgedessen einen Zusammenhang zwisehen einer Untermannigfaltigkeit Mm des R. mit identiseh ver- sehwindendem Riemannschen Krfimmungstensor (d. h. einer auf den Rm isometrisch abbildbaren oder ,,abwickelbaren" M~) und einer ,,p-Terse" T~ im eben erw/ihnten Sinne herzustellen, so zeigen schon einfache Bei-

Journal

Abhandlungen aus dem Mathematischen Seminar der Universität Hamburg – Springer Journals

Published: Nov 17, 2008

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