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Über die Transformationsformel von log η(τ) und gewisser Lambertscher Reihen

Über die Transformationsformel von log η(τ) und gewisser Lambertscher Reihen {~ber die Transformationsformel von log V (v) und gewisser Lambertscher Reihen*) Von RAINER BODENDIEK und ULRICH HALBRITTER aus KSln Bekanntlich spielen die Lambertsehen Reihen der Form | 1 F'J+I('c) = -- ~',.=1 e'''"k'= k~l~ ffirj e b~ u {0} und Im(~) > 0 in der Zahlentheorie eine ausgezeichnete RoDe. So entdeckten erst in jiingster Zeit C. MEYER [1511), H. LANG [13] und K. B~NER [3], dab diese Lambertschen Reihen beim Rationalit~tsnachweis eines gewissen Analogons der Bernoullischen Zahlen yon au~erordentlicher Wichtigkeit sind. Es handelt sich hierbei um Bildungen, die zun~chst als Werte yon Zeta- und L-Funktionen reell-quadratischer ZahlkSrper fiir natfir- fiche Argumente erkl~rt sind, deren wirkliehe Berechnung iiberraschender- weise jedoch auf das Transformationsverhalten der Reihen F~+I(T ) bei hyperbolischen Modulsubstitutionen hinausl~uft. Aber auch schon vorher war das Transformationsverhalten yon F~1+1(r ) yon auBerordentlichem Interesse. So entdeckten fiir den Fall j = 0, der auf den wesentlichen Bestandteil m=l k=l ]r yon log ~ (~) ffihrt, verschiedene Mathematiker Transformationsbeweise, fiber deren Zusammenstellung die Arbeit von C. MEYER [16] einen genauen ~ber- blick liefert2). Im Fallj ~ 1 war es zuerst T. M. APoswoL [1], der die yon H. RADEMACHER [19] ffir F 1 (~) entwickelte Methode passend verallgemeinerte. Der zweite der http://www.deepdyve.com/assets/images/DeepDyve-Logo-lg.png Abhandlungen aus dem Mathematischen Seminar der Universität Hamburg Springer Journals

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References (18)

Publisher
Springer Journals
Copyright
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Subject
Mathematics; Mathematics, general; Algebra; Differential Geometry; Number Theory; Topology; Geometry
ISSN
0025-5858
eISSN
1865-8784
DOI
10.1007/BF02996930
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Abstract

{~ber die Transformationsformel von log V (v) und gewisser Lambertscher Reihen*) Von RAINER BODENDIEK und ULRICH HALBRITTER aus KSln Bekanntlich spielen die Lambertsehen Reihen der Form | 1 F'J+I('c) = -- ~',.=1 e'''"k'= k~l~ ffirj e b~ u {0} und Im(~) > 0 in der Zahlentheorie eine ausgezeichnete RoDe. So entdeckten erst in jiingster Zeit C. MEYER [1511), H. LANG [13] und K. B~NER [3], dab diese Lambertschen Reihen beim Rationalit~tsnachweis eines gewissen Analogons der Bernoullischen Zahlen yon au~erordentlicher Wichtigkeit sind. Es handelt sich hierbei um Bildungen, die zun~chst als Werte yon Zeta- und L-Funktionen reell-quadratischer ZahlkSrper fiir natfir- fiche Argumente erkl~rt sind, deren wirkliehe Berechnung iiberraschender- weise jedoch auf das Transformationsverhalten der Reihen F~+I(T ) bei hyperbolischen Modulsubstitutionen hinausl~uft. Aber auch schon vorher war das Transformationsverhalten yon F~1+1(r ) yon auBerordentlichem Interesse. So entdeckten fiir den Fall j = 0, der auf den wesentlichen Bestandteil m=l k=l ]r yon log ~ (~) ffihrt, verschiedene Mathematiker Transformationsbeweise, fiber deren Zusammenstellung die Arbeit von C. MEYER [16] einen genauen ~ber- blick liefert2). Im Fallj ~ 1 war es zuerst T. M. APoswoL [1], der die yon H. RADEMACHER [19] ffir F 1 (~) entwickelte Methode passend verallgemeinerte. Der zweite der

Journal

Abhandlungen aus dem Mathematischen Seminar der Universität Hamburg – Springer Journals

Published: Dec 3, 2013

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