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Über die Mindestanzahl stationärer Schmiegebenen bei geschlossenen streng-konvexen Raumkurven

Über die Mindestanzahl stationärer Schmiegebenen bei geschlossenen streng-konvexen Raumkurven Über die Mindestanzahl stationärer Schmiegebenen bei geschlossenen streng-konvexen Raumkurven WILHELM BLASCHKE zum 70. Geburtstag gewidmet. Von M.A.RTIN B.A.RNER in Freiburg i. Br. Eine nmalstetig differenzierbare geschlossene Kurve des projektiven n-dimensionalen Raumes Rn heiße streng-konvex, wenn es durch je n -1 Punkte der Kurve eine Hyperebene (der Dimension n -1) gibt, die keinen weiteren Punkt mit der Kurve gemeinsam hat. Dies soll auch für benachbarte Punkte gelten. Die genannten Hyperebenen sollen sich in stetiger Abhängigkeit von den eingehenden Punkten wählen lassen. Ein "räumliches Oval" des Anschauungsraumes gibt ein Beispiel einer solchen Kurve. Fig.l, S. 197 zeigt eine ebene streng-konvexe Kurve. Die einzigen Singularitäten, die streng-konvexe Kurven des Rn be­ sitzen können, sind stationäre Schmiegebenen höchster Dimension. Deren Mindestanzahl entlang einer geschlossenen streng-konvexen Kurve ist n + 1 - so werden wir sehen. Genauer gesagt gilt der Satz: (I) Hat eine Hyperebene k Punkte mit einer streng-konvexen Kurve des R" gemein­ sam, so besitzt die Kurve mindestens k Stellen stationärer Schmieghyper­ ebene. Für n = 2 ist hierin unter engeren Voraussetzungen ein nach MÖBIUS benannter Satz enthalten, für n = 3 ein Satz von H. MOHRMANN, für den ein stichhaltiger Beweis noch fehlP). Der Beweis der Aussage (I) geschieht durch Induktion http://www.deepdyve.com/assets/images/DeepDyve-Logo-lg.png Abhandlungen aus dem Mathematischen Seminar der Universität Hamburg Springer Journals

Über die Mindestanzahl stationärer Schmiegebenen bei geschlossenen streng-konvexen Raumkurven

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Publisher
Springer Journals
Copyright
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Subject
Mathematics; Mathematics, general; Algebra; Differential Geometry; Number Theory; Topology; Geometry
ISSN
0025-5858
eISSN
1865-8784
DOI
10.1007/BF03374558
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Abstract

Über die Mindestanzahl stationärer Schmiegebenen bei geschlossenen streng-konvexen Raumkurven WILHELM BLASCHKE zum 70. Geburtstag gewidmet. Von M.A.RTIN B.A.RNER in Freiburg i. Br. Eine nmalstetig differenzierbare geschlossene Kurve des projektiven n-dimensionalen Raumes Rn heiße streng-konvex, wenn es durch je n -1 Punkte der Kurve eine Hyperebene (der Dimension n -1) gibt, die keinen weiteren Punkt mit der Kurve gemeinsam hat. Dies soll auch für benachbarte Punkte gelten. Die genannten Hyperebenen sollen sich in stetiger Abhängigkeit von den eingehenden Punkten wählen lassen. Ein "räumliches Oval" des Anschauungsraumes gibt ein Beispiel einer solchen Kurve. Fig.l, S. 197 zeigt eine ebene streng-konvexe Kurve. Die einzigen Singularitäten, die streng-konvexe Kurven des Rn be­ sitzen können, sind stationäre Schmiegebenen höchster Dimension. Deren Mindestanzahl entlang einer geschlossenen streng-konvexen Kurve ist n + 1 - so werden wir sehen. Genauer gesagt gilt der Satz: (I) Hat eine Hyperebene k Punkte mit einer streng-konvexen Kurve des R" gemein­ sam, so besitzt die Kurve mindestens k Stellen stationärer Schmieghyper­ ebene. Für n = 2 ist hierin unter engeren Voraussetzungen ein nach MÖBIUS benannter Satz enthalten, für n = 3 ein Satz von H. MOHRMANN, für den ein stichhaltiger Beweis noch fehlP). Der Beweis der Aussage (I) geschieht durch Induktion

Journal

Abhandlungen aus dem Mathematischen Seminar der Universität HamburgSpringer Journals

Published: Aug 1, 1956

References