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/lp/springer-journals/applications-diagonales-groupes-et-alg-bres-de-lie-sDRRB4p1T7
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- Publisher
- Springer Journals
- Copyright
- Copyright © 1965 by Publications mathématiques de l’I.H.É.S
- Subject
- Mathematics; Mathematics, general; Algebra; Analysis; Geometry; Number Theory
- ISSN
- 0073-8301
- eISSN
- 1618-1913
- DOI
- 10.1007/BF02684307
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Abstract
CHAPITRE IV APPLICATIONS DIAGONALES GROUPES ET ALGI~BRES DE LIE X. ALG~BRES DIAGONALES ( I. I) Alg~bres diagonales strictes. (I. I. I) D~finition. -- Soit f2 un anneau commutatif. Nous appellerons ~-alg~bre diagonale stricte la donn& d'une ~-alg~bre suppldmentde Aet d'un homomorphisme (I. I. I. I ) A A : A-+A| Pr&isons que A| est munie de sa structure de ~)-alg~bre suppldment& (son augmentation est r| si ~ ddsigne l'augmentation de A), et l'homomorphisme A A est un morphisme de ~-alg~bres supplgmentges. Pour simplifier, nous dcrirons patrols A au lieu de A x. (x.I.2) Exemple : algkbre d'un monofde. -- Soit Gun monoide multiplicatif (avec ~l~ment neutre not6 x). Appelons A l'alg~bre f2[G] de ce monoide. Ddfinissons l'augmentation ~ de A en posant r pour tout xeG. L'alg~bre ~)[GxG] du monoide GxG s'identifie au produit tensoriel ~2[G]| et l'application diagonale x~(x, x) de G dans GxG se prolonge en un homomorphisme unique AA:A~A| Nous avons ainsi d~fini A comme ~-alg~bre diagonale stricte. Notons la relation (I.I,2.I) AAx=x| , pour tout xeG. (x. z-3) Exemple : algkbre enveloppante d'une alg~bre de Lie. -- Soit L une alg~bre de Lie sur l'anneau commutatif ~. L'augmentation r de son alg6bre enveloppante UL est d~finie par la condition ~o~ = o, ~ ddsignant l'application canonique de L dans UL. L'alg~bre enveloppante U(L xL) s'identifie canoniquement h UL| ([2], w 2, nO 2, prop. 2). L'application diagonale de L dans L xL d&ermine un morphisme de ~-alg~bres suppldment6es UL~U(LxL), c'est-~-dire le morphisme (I.I.3.I) AUL : UL -+ UL@nUL, qui ddfinit UL comme une f2-alg~bre diagonale stricte. 493 xxo MICHEL LAZARD Chap. IV Notons la relation (I.I.3.~') AUL*(X)=*(X)| + I| pour tout xeL. (I.X.4) Morphismes de ~-alg~bres diagonales strictes. -- Soient A et A' deux ~-alg~bres diagonales strictes (I. i. I). Nous appelons morphisme f : A-+A' un morphisme pour les structures de ~-alg~bres suppl/mentdes qui rend commutatif le diagramme A > A' A A ' (x.x.4.x) ~, A| > A'| tc~t Par exemple, ~ [G] devient (I. I. 2) un foncteur covariant ~t valeurs dans la categoric des O-alg~bres diagonales strictes, lorsque G parcourt la cat6gorie des monoides. De m~me la d6finition (I. I .3) fait de UL un foncteur covariant en L. (x. x .5) D/finition de (C et de .~. -- Soit A une O-alg~bre diagonale stricte (I. I. I), d'augmentafion ~. (X.l.5.x) Nous notons (CA l'ensemble des xeA qui vdrifient Ax=x| et r = I. (I.I.5.2) Nous notons .LPA l'ensemble des xeA qui vdrifient Axx = x| i + i | (x. I. 6) Propridtds de (C. -- Pour chaque ~-alg~bre diagonale stricte, (CA est un sous-monofde multiplicatif de A. En effet, si x, x'e(cA, nous avons r i et Axx' = Ax. Ax' =- (x| (x'| = xx'| Si f: A-->A' est un morphisme de fl-alg~bres diagonales strictes (I.I.4) , alors f((CA) c (CA', ce qui montre que ~ est unfoncteur covariant en A (k valeurs dans la catdgorie des monoides). Enfin l'injection de fqA dans A se prolonge en une application ~-lindaire (x. I. 6. x) n [~A] -+A, qui, d'apr~s (I.i.2) et (I.I.4) est un morphisme fonctoriel de Q-alg~bres diagonales strictes. (x.x.7) Proprigtgs de .~. -- Une ~-alg~bre diagonale stricte est, en particulier, une algObre de Lie pour le crochet [a, b] = ab--ba. L'ensemble .WA est une sous-algkbre de Lie de A. De plus, si ~) est un anneau de caractdristique p, A est une alg6bre de Lie restreinte (au sens de Jacobson [13] ) pour la p-application x~--~x p, et s est une sous- alg~bre de Lie restreinte. En effet, si x, x' appartiennent ~ ~A, c'est-~-dire v~rifient (I. i. 5- 2), nous avons (x. x. 7- x) AAxx' = xx'| I + I | + x| + x'| 494 GROUPES ANALYTIQUES p-ADIQUES t t x d'ofi [x, x']~LaA. La linfarit6 en x de la relation (I. I .5.2) montre que .og~ est un sous-~-module de A. Enfin nous avons 0<i<v\z/ ce qui prouve que xPe.g~~ si ~ est de caractdristique p. Tout morphisme f: A-+A' de ~-alg6bres diagonales strictes (I. I. 4) applique 5r dans .o~~ '. Ainsi .Lt'A est un foncteur covariant en A. Les 616ments de SeA appartiennent ~t l'id6al d'augmentation (car la relation (i. x. 5-2) implique ~(x)= 2r et l'injection de s176 dans A se prolonge en un morphisme fonctoriel de f~-algkbres diagonales strictes (x. x. 7.3) USeA-+A. Si f~ est de caract6ristique p, nous avons de m6me un morphismefonctoriel d'alg6bres diagonales strictes (x. I. 7.4) U~q'A~A, o6 UL d6signe l'alg~bre enveloppante restreinte de L ([I3] , th. IS, p. I9x ). (x.x.8) Lemme. -- Soient K un corps commutatif, M un K-espace vectoriel et A : M-+M| une application K-lingaire. Alors les g~ments xeM qui v&ifient x=~o et Ax=xNx sont lingairement indgpendants sur K. Preuve. -- Si ces 61dments n'6taient pas ind6pendants, ils seraient li6s par une relation primordiale de d6pendance lin6aire, que nous pourrions &rire sous la forme (I.I.8.I) x0= ~] ~.ixi. Les x, eM v6rifieraient Axi~xiQx i pour o<.i<.n; ils seraient lin&irement indg- pendants sur K et se trouveraierlt multipligs par des scalaires X~eK tous non nuls pour I <~i<~n. La relation (I. r. 8. I) nous donne (I.I.8.2) AXo= Z XlXi(~Xi; l<<.i<~n (x. x. 8.3) x0| = Y~ )',Xjx,| Comme les 616ments x~| i sont lin6airement ind6pendants dans M| la comparaison de (I.I.8.2) ~t (i.i.8.3) nous donne n=I et ?~=Zt, ce qui prouve le lemme. (x.x.9) Lemme. -- Soient A une alg~bre diagonale stricte sur le corps commutatif K de caract&istique o, et (x,)~e t une famiUe du de .L~'A line'airement ind~pendants sur K. Supposons l'ensemble d'indices I totalement ordonnL Alors les mondmes ordonn& x ~ sont line'airement indlpendants sur K, ~ parcourant l'ensemble NII). 495 II0 MICHEL LAZARD Chap. IV Preuve. -- Notons (m, n) le coefficient binomial (m+n)!/m! n! (m, heN) et posons (~, y)---- I] (~i, Y~) pour ~, y~N (~). i~I Les relations AX i~x i| "@ I@X i (x.x.9.2) conduisent, pour chaque 0~N (~), (x.I.9.3) Ax== Y~ (~,y)x~| v DEmontrons, par recurrence sur n, l'indEpendance linEaire des x ~ pour lesquels [~ I ~ n. Cela est vrai, par hypoth~se, pour n = I. Supposons une relation de dependance linEaire (x.x.9.4) y: Z X x =o. ~ N(x) En calculant l'augmentation ~(y) nous trouvons X 0 ----o. Puis nous 6crivons la relation (I.X.9.5) Ay--y| I-- I | o, c'est-~-dire, d'aprEs (I. i. 9- 3) et (I. I. 9-4), (I.I.9.6) [~,~)0(~ , V)~,~+yX~@X Y=O. Sin est le maximum des [ ~ [ correspondant aux X~ non nuls, la relation (I. I. 9.6) ne fait intervenir que des x 3 et x "r pour lesquels I~1, [~,]<n (si n>o) et notre hypo- thSse de recurrence entraine que ces ElEments x~| "t sont linEairement inddpendants duns A| Nous concluons que X~=o pour I~l#:i, puis pour [~[=i. (i. x .9.7) Remarque. -- Nous avons utilisE essentiellement le fait que K est de caractE- ristique zero, quand nous avons dEduit la relation X~+.t=o de (~, y)X~+.t=o. Si K dtait de caractdristique p, notre lemme resterait valable aprEs la modification suivante : le multidegrg o~ ne devrait pus parcourir N (~ tout entier, mais seulement la partie dlfinie par les relations o~i<p pour tout i~I. (x. x. xo) Lemme. -- Extension des scalaires duns une alg~bre diagonale stricte. Soient A une ~-algSbre diagonale stricte (I. I. I) et f~' un anneau commutatif, extension de ~. Notons A' la f~'-alg~bre supplgmentde fY| (dont l'augmentation ~' est I| Alorsle produit tensoriel A'| s'identifie canoniquement ~t f~'|174 ce qui permet de dEfinir la structure de ~'-alg~bre diagonale stricte de A', en posant A A, ~ I | compte tenu de l'identifieation rappelEe. Preuve. -- Ces assertions sont banales. Plus g5nEralement, si M et N sont deux f~-modules, alors (fl'|174174 s'identifie k fg|174 l'E1Ement (;~|174174 du premier module correspondant ~ l'616ment (X~)|174 du second. 496 GROUPES ANALYTIQUES p-ADIQUES II 3 (I.I.II) Th/or~me. -- Soient ~ un anneau intkgre, K son corps des fractions, et A une f~-alg~bre diagonale stricte ( x . i . I ). (x.x.xI.i) Si nous supposons Aet A| sans torsion, alors le morphisme (I. x.6. x) f~[NA]-+A est injectiJ. (i.x. xI.~,) Si, de plus, nous supposons K de caract/ristique z/ro et U~A sans torsion, alors le morphisme (x . I .7.3) U~g'A~A est injectif. Preuve. -- Si f~ ~tait un corps, les assertions (I. x. ix. i) et (i. i. ix. 2) r&ulteraient respectivement des lemmes (x. 1.8) et (I. 1.9). Les hypoth&es faites ont pour but de ramener les propri6t6s de A ~ celles de la K-alg~bre diagonale stricte K| d6finie en (I. I. IO). Pour 6tablir (x. x. : i. 2), il faut vdrifier que la K-alg~bre de Lie ~A' s'identifie ~ K| , puis que Us176 ' (alg~bre enveloppante en tant que K-alg~bre) s'identifie ~ K| Ce dernier point est trait6 en [2], w n ~ 9. (x. i. x I.3) Remarque. -- Si le corps K fitait de caractfiristique p, nous pourrions modi- tier (I. I. I I. 2). Nous supposerions que UN~ est sans torsion, et nous en ddduirions que le morphisme (x. I. 7.4) U~CA-+A est injectif. (x. 2) Alg~bres dlagonales valu6es. (x .2. x) Insuffsance de la notion d'alg~bre diagonale stricte. -- Reprenons l'exemple (I. I -3) dans le cas o5 Lest un f~-module libre de rang I. Alors UL et UL| s'iden- tifient ~t des anneaux de polyn6mes ~[T] et f~[T, T'], et l'application diagonale A est d6termin~e par la relation (I.2.l.I) AT:T+T'. I1 n'existe pas de prolongement << naturel >> de A & l'alg~bre de s6ries formelles tl[[T]] qui fasse de cette derni~re une alg~bre diagonale stricte. En effet, la formule (I .2.I.I) ddfinit encore un homomorphisme de f~[[T]] dans Y~[[T, T']], mais nous disposons seulement d'un homomorphisme canonique (I .2. I .2) L~[[T]] | f~[ [T]] -+ f2 [[T, T']] qui n'est pas surjectif (ni m~me toujours injectif). (I.2.2) Une notion g/n/rale d'algkbre diagonale. -- Si nous voulons d6finir f~[[T]] comme une alg~bre diagonale par la formule (i.2. i. ~), il nous suffit de remplacer, dans la d6finition (I. I. I), le produit tensoriel ordinaire par un << produit tensoriel compl~td >> (<< compl6t6 >> signifiant parfois << s@ar~-compldtd >>). 15 xt 4 MICHEL LAZARD Chap. IV Nous parviendrions ainsi ~t la notion gdndrale de ~-alg~bre diagonale. Ce serait la donnde de deux t)-algkbres suppldmentdes A et B, et de deux morphismes A n : A-+B et fa :A| Nous n'~tudierons qu'un cas tr&s particulier de cette notion. (1.2.3) Dgfinition des algabres diagonales valu&s. -- Faisons d'abord une premi&re convention : quand nous parlerons d'une algabre diagonale valude sur un anneau t), nous sous-entendrons que ~ est un anneau de valuation discrate complet, d'indgales caractdristiques avec v(p)=: I (I, 3-i. i). L'anneau t) contient toujours Zp. Une ~-algabre diagonale valuge est constitude par la donnde d'une tl-algabre supplg- mentge valude (I, 2.2.4) et d'un morphisme de f2-alg~bres supplgmentges valuges (x.~,.3.x) A n : A -~ Sat(ANnA ). Rappelons (I, 3.2.8) que Sat(A| est l'alg~bre satur& de l'algabre valu& A| (1.2.4) Morphismes d'algabres diagonales valu&s. -- Soient A et A' deux ~)-alg~bres diagonales valudes (i. 2.3). Un morphisme f : A-+A' est un morphisme pour les structures de ~-algabres supplgmentdes valudes qui rend commutatif le diagramme A > A' (x.2.4. x) ~- Sat(A'| Sat(A| SatIl| (x.2.5) Alg~bre diagonale valu& ddfinie par une algkbre diagonale stricte. -- Soit A une ft-alg~bre suppl6ment6e valu6e, et A A : A~A| un homomorphisme qui d~finit une structure d'alg~bre diagonale stricte (I. i. I). Comme Sat(A| est une extension de ANA, nous pouvons considdrer A A comme un morphisme de ~-alg~bres suppl6ment6es, ~ valeurs dans Sat(ANA). Pour que A devienne ainsi une f2-alg~bre diagonale valude, il faut et il suffit que A A soit un morphisme de f~-modulesfiltr& (I, 2. I. 4). (x.2.6) Proposition. -- Soit A une f2-alg~bre diagonale valu& (i .2.3). Alors chacune des alg~bres ,~ (I, 2.i. I4), divA (I, 2.~.9) et SarA (I, 2.~.II) poss~de une ~tructure de ~-alg~bre diagonale valu&, dgtermin& univoquement par la condition que l'injection canonique de A dans (resp. div A, Sat A) est un morphisme (i. 2.4). Cela signifie que l'application diagonale A nse prolonge naturellement ~t chacune des alg~bres considdrdes. Preuve. -- Si B d~signe l'une des alg~bres .~, div A et Sat A, nous avons vu en (I, 3.2.8) que Sat(B| s'identifie ~t Sat(A| Le prolongement unique de A A ~t B r~sulte alors des propridtds du foncteur Sat (I, 2.2. i i). (x.2.7) Les Z~-alg~bres diagonales associ&s a un groupe p-valuL -- Soient Gun groupe p-valu6 (III, 2.I.2) et A=Zs~[G]. Munissons A de la valuation induite 498 GROUPES ANALYTIOUES p-ADIQUES ~5 par celle de G (III, 2.3.3). Alors la structure de ZFalg~bre diagonale stricte de A (1.1.2) est aussi une structure de ZFalg~bre diagonale valude (1.2.5). Si nous appliquons (I .2.6), nous obtenons les ZFalg~bres diagonales valu~es .~, div A et Sat A. Si G est un groupe p-saturd de rangfini, nous avons vu (III, 3.3.5) que Ala(G� s'identifie au produit tensoriel compl6t~ Ala GQAla G, qui est lui-m~me une sous- alg~bre de Sat(Ala G| G). Nous avons donc une structure de ZFalg~bre diagonale valude sur Ala G. (i.~,.8) Algkbres diagonales valudes construites ~ partir d'une alg~bre associative libre. -- Soit A une fl-alg~bre associative, libre pour la famille de g~ndrateurs (X~)i~ I. Nous consid6rons A comme une alg~bre suppl6ment6e, en posant r pour tout i~I. Nous pouvons ddfinir une structure d'alg~bre diagonale stricte (I. I. i) sur A en nous donnant les ~lfiments AX~ dans A| (ces 616ments doivent seulement ~tre d'augmen- tation nulle). En particulier nous pouvons prendre (I.2.8.I) AXi= Xi| Jr- I| et nous retrouvons l'exemple (1.1-3), car A s'identifie ~t l'alg~bre enveloppante de l'alg~bre de Lie libre engendrde par les X i. Si nous nous donnons une famille de hombres >~o, ('q)~ei, nous pouvons munir A de la borne infSrieure des fltrations pour lesquelles w(Xi)/>%. Cette filtration est une valuation facile ~ expliciter, et nous obtenons A comme alg~bre diagonale valuge (1.2.5). L'alg~bre compl6tde A est l'alg~bre de Magnus dtudide en (II, 3.i.3). Nous utiliserons plus loin (3.2.I) la structure d'alg~bre diagonale valude de Sat A (I.2.6). (I.2.9) Structures d'alg~bre diagonale valuge sur Zp[T] : exercice. -- Prenons sur A---=Zp[T] la structure d'algSbre diagonale stricte ddfinie par AT = T| i + 1 | Les valuations de A pour lesquelles les mon6mes (T"),eN constituent une basefiltrde (I, 2. i. 16) et A une alg~bre diagonale valuge s'obtiennent comme suit. Si (ti)~e M ddsigne une suite de nombres positifs vdrifiant (x.,,.9.x) pt~<~t~+l<~pti+ 1 (i~N), et sin = ~a~p ~ est le d6veloppement de l'entier n dans le syst~me de base p (III, I. I. I), nous posons (I. 2.9- 2) w(T") = ~a~t i. Pour t~=P~to nous retrouvons un cas particulier de (I.2.8). (x .2. IO) Extension des scalaires dans une alg~bre diagonale valu~e : exercice. --- Soient A une f~-algSbre diagonale valude (i .2-3) et f~' un second anneau de valuation discrSte complet, contenant fL Alors l'algSbre fY| valufie comme en (I, 3.2.I), possSde une structure naturelle de ~'-alg6bre diagonale valu6e. 499 ix6 MICHEL LAZARD Chap. 1V (1-3) Propri6t6 fondamentale des alg~bres diagonales satur6es. (I.3.I) D~finition de L~', ~*, f~ el f~* dans les algkbres diagonales valu~es. -- Soit A une f2-alg6bre diagonale valufie (I.2.3). Rappelons que le produit tensoriel saturfi Sat(A| est une extension du produit tensoriel A| Nous pouvons done ddfinir fCA et s176 comme nous l'avons fait en (I. I. 5) pour les alg~bres diagonales strietes, e'est-~-dire par les relations (I.3.I.I) xeNA <~ xeA, z(x)=I et AAx=x| (x.3.x.2) xe.~~ ~:> x~A et AAX:X| Dans (I.3. I. I), la condition e(x)= I pourrait ~tre remplae6e par ~(x)+o, car la derni~re condition entraine que s(x) est un idempotent de f2. D6finissons maintenant ~*A et ~*A, qui sont respectivement des parties de fCA et ~~ (I.3.I.3) x~*A <:~xE~i et w(x--I)>(p--I) -t. (x.3.I.4) x~LP*A~xeLPA et w(x)>(p--I) -1. (x.3.2) Proprigtgs de .oq', ~*, (Yet fr -- l~tendons aux alg~bres diagonales valufies les r~sultats dlfimentaires de (I. I .6) et (i. t .7)- (x.3.2.x) La partie NA (resp. fC*A) de A est un sous-monoide multipticatifde A. Si A est complet, alors f~*A est un groupe. Le sous-f2-module de A engendr6 par ~A (resp. fC*A) est une sous-alg~bre suppl~ment~e. Cette sous-alg6bre poss~de une structure d'alg~bre diagonale stricte, dfifinie par la restriction de A A. (1.3.2.2) La partie 5~ (resp. ~C~~ de A est une sous-f2-alg~bre de L#. Si A est divisible (en particulier si A est satur6e) LPA s'identifie ~ div s176 La sous-alg~bre associative de A engendrfie par 5~A (resp. ~*A) poss~de une structure d'alg~bre diagonale stricte d~finie par la restriction de A~. (I.3.~'.3) Soit f: A~A' un morphisme de ~-alg~bres diagonales valu6es (x.2.4). Alorsfapplique NA, N'A, ooq~A, s176 respectivement dans fgA', N*A', .~A', s ce qui nous permet de parler des foncteurs covariants fg, fr ~ et LP*. Preuve. -- Contentons-nous de prdciser l'application diagonale A~ de l'une des alg~bres diagonales strictes dfifinies en (~ .3.2-t) ou (t-3.2.2). Si M est un sous-module de A, nous savons (I, 3.2.I.4) que M| s'identifie ~ un sous-module de A| done de Sat(A| La restriction A~ de A~ est ainsi d6finie lorsque A~(M)CM| (x.3.3) Application du tMorkme (I. I. x i). ~ Soit A une alg~bre diagonale valufie. Alors les morphismes fonctoriels (x.3.3.x) f2 [~*A] -+ f~ [fca] -+A, et (x.3.3.2) U~*A-+ULPA -+A, sont injectifs. 500 GROUPES ANALYTIQUES p-ADIQUES ~7 Preuve. -- Nous vdrifions Ies hypotheses de (I.I.II). I1 faut savoir que U~fA est sans torsion, et que U~f*A -+ U.s est injectif. Nous ddmontrons plus loin des rdsultats plus forts : (2.2.5) et (2.2.6). (i.3.4) Difinition. -- Une ~-alg~bre diagonale saturge est une f2-alg~bre diagonale valuLe au sens de (i .2.3) , qui est saturge au sens de (I, 2.2. IO). (x.3.5) TMor~me. -- Soit A une ~-alg~bre diagonale saturle. (x. 3.5. x ) La fonction exponentMle (III, I. I. 4) applique s sur ~*A. La fonction logarithme (III, I. I .5) applique N*A sur s Ces fonctions, rgciproques l'une de l'autre, mettent .~V*A et f~*A en correspondance biunivoque et bicontinue. (I.3.5.2) L'alg~bre de Lie .Sf A est saturde. L'alg~bre de Lie s s'identifie aux glgments de valuation >(p--I) -1 de son algObre saturde (ou divisge) ~A. (x .3.5-3) Le monofde N*A est un groupe p-saturd (III, 2. 1.6) pour la filtration o~ induite par la filtration w de A (c'est-a-dire dlfinie en posant co(x)=w(x--i), comme en (II, i. 1.9) ). (i.3.5.4) Les gradugs associds gr ~qf*A et gr ~*A sont canoniquement isomorphes. (i.3.5.5) Les parties s et ff*A engendrent clans A la mgme sous-alg~bre associative saturge. Celle-ci poss~de une structure d'algObre diagonale satur6e, ddfinie par la restriction de A A. Preuve. -- I1 s'agit d'une simple vdrification qui fait intervenir les d6finitions des fonctions exp et Log et leurs propridt5s (III, I. I) ainsi que la d6finition des algSbres diagonales satur6es, et de 5r ~,r N*. Prdcisons cependant la propri6t6 (I. 3.5-4)- Nous munissons s de sa valuation de sous-module; alors gr ~qf*A s'identifie ~ une sous- gr ~-alg~bre de Lie de gr A; par restriction des scalaires, nous consid6rons gr 5~*A comme une F-alg~bre de Lie, o5 F= gr Zp. Le groupe f~*A est muni de sa p-valuation d6finie en (I-3.5.3). D'aprSs (II, I. I-9) et (II, i .~. I), la F-algSbre de Lie gr N*A s'identifie une sous-F-algSbre de Lie de gr A. Si x est un 616ment de f~*A (x4: ~) alors le terme dominant de x dans gr fC*A est identifi6 au m~me dldment de gr A que le terme dominant de y = Log x dans gr .o~f*A. (I. 3.6) Remarques. -- Le th6orSme (I. 3.5) ne nous apprend rien sur le monoide NA. Nous aurions pu sans inconvdnient supposer que A coincide avec sa sous-alg&bre ddfinie en (I .3.5.5); nous d~finirons plus loin (3. i-5) les alg~bres diagonales saturdes normales qui vdrifient une condition plus stricte. Nous aurions pu introduire des algSbres diagonales valudes sur un anneau de valuation discrSte complet, de caractgristique zgro ainsi que son corps rgsiduel. Nous avons cru prdfdrable de ne pas allonger l'exposd. La correspondance biunivoque dtablie en (i. 3.5) entre s et N*A nous permettra de transporter ~ l'algSbre oSP*A la structure de groupe de N'A, et de transporter au groupe N*A la structure d'alg~bre de ~Sf*A. C'est ce que nous ferons en (3- e). Cependant, si ~ + Z~, nous renoncerons ~t transporter au groupe ~*A la multiplication de s176 par les ~16ments de f~ (c'est-~t-dire ~ d~finlr les 5lfiments x ~ pour xeN*A, Xef~). Si fl est nne extension algdbrique finie de Z~o, et si la dimension de s est finie, le groupe N*A poss~de 501 xx8 MICHEL LAZARD Chap. IV une structure analytique sur Ie corps des fractions K de fl; nous ne l'6tudierons pas. Avant d'aborder les transports de structure, nous allons d6montrer un th6or6me de Poincar6-Birkhoff-Witt pour les alg~bres de Lie valudes sur un anneau de valuation discrete complet (quelconque) ~. Cela nous permettra de construire le foncteur Sat U. 2. LE TH~ORI~ME DE POINCAR~-BIRKHOFF-WITT (2.x) G6n6ralit6s : le cas gradu~. (,7. I. I ) Algkbre enveloppante : dgfinitions et notations. -- Soit L uric alg~bre de Lie sur l'anneau commutatif f2. Dans l'alg~bre tensorielle TL du ~-module L (I, 3.3.I), consid~rons l'id/al bilat~re J engendr~ par les 616ments (2.x.x.x) x.y--y.x--[x,y], off x,y~L. L'alg~bre quotient UL=TL/JL est l'alg~bre enveloppante de l'alg~bre de Lie L (cf. [2], w 2, n ~ I). Nous avons ainsi la suite exacte (2. x. x. 2) o-+JL-+TL-+ UL-+o. (2. x .2) D~finition de Tn, J, et U n. -- Pour chaque neN, nous notons TnL la somme directe des puissances tensorielles T~L pour o<<.i<<.n : (~.x.2.x) TnL---- I_[ TIL. O~i~n Les sous-modules TnL de TL croissent avec n, et leur rdunion est TL. Nous avons, pour chaque neN*, la suite exacte scindde (2. x. 2.2) o-+Tn_ 1L-~TnL-> T" L--~o. Pour chaque neN, nous notons J,L le sous-f2-module de T,L engendr~ par les dl/ments (2. x. 2.3) a(x.y--y.x--[x,y])b, o~ x, yeL, acT ~, beT j, et i+j+~<~n. Nous avons en pardculier J0L =J1L = o; les modules J,L croissent avec n, et leur r6union est JL : (2. 9 .2.4) 13 J.L =JL. hEN Si nous composons l'injection canonique de J,L dans TnL avec la projection (2. I. 2.2) de T,L sur TnL, nous obtenons une application f : Jn L --~ T"L. L'image parr d'un g6n~rateur de J,L ~crit sous la forme (2. i. 2.3) est nulle si i +j + 2 <n, ou ~gale (2. 9 a(x.y--y.x)b si i-f-j + 2 = n. Cela signifie quef(J,L) est le module InL ddfini en (I, 3- 3- I), ou encore (2. x. ~,. 6) JnL + T,_:L = I"L § Tn_ :L. 50~ GROUPES ANALYTIQUES p-ADIQUES If9 D6finissons enfin le module U.L comme le quotient de T.L par J.L. Nous avons ainsi, pour chaque nelW, la suite exacte (2. x. 2.7) o~J.L~T.L~U.L-+o. Cette d6finition de U.L ne coincide pas toujours avec celle de [2], w 2, n ~ 6. (2. x .3) Les diagrammes D,L et le th/or~me de Pomcar/-Birkhoff-Witt. -- Pour chaque entier nEN*, nous noterons D,L le diagramme commutatif suivant, off les fl&hes repr6- sentent des applications f2-1in6aires. O 0 > T._IL > U,_xL > o o > J._IL 1 1 1 , T.L > U.L ,o o , J.L (D.L) 1 l o > I"L > T"L > S"L > o 0 0 0 Les deux premi6res lignes sont des suites exactes (2.1.2.7), et les morphismes du carrd sup6rieur gauche sont des inclusions. La ligne infdrieure est une suite exacte (I, 3.3. I .4). Nous avons remarqud l'exis- tence du morphisme J~L~I"L, qui entraine celle du morphisme U,L-+S"L. La deuxi6me colonne est une suite exacte scindde. Nous avons donc un diagramme D~ L avec trois lignes et une colonne exactes. De plus, nous savons que l'application J,L~I'L est surjective, ce qui 6quivaut ~ la relation (2., .3. ') Ker(U.L ~ S"L)= Im(U._IL -+ U.L). Les applications U._IL-->U,L nous permettent de construire la limite inductive des U,L. D'apr& (2.I.2.4) , cette derni6re s'identifie ~t UL : (2. x .3.2) lim U,L = UL. La conclusion du thdor&ne de Poincard-Birkhoff-Witt est que tous les diagrammes D,L sont exacts (c'est-~t-dire ont toutes leurs lignes et leurs colonnes exactes, pour chaque heN*). 503 x~o MICHEL LAZARD Chap. IV Quant k l'hypothOse de ce thdor~me, elle peut ~tre que le s sous-jacent ~ L est libre [2], ou, plus g~n~ralement, est une limite inductive de sommes directes de ~2-modules monog6nes [15]. Cette derni~re hypoth~se est v~rifi6e lorsque g2 est un anneau principal. Pour chaque neN*, l'exactitude du diagramme D,L ~quivaut ~t l'une des deux relations suivantes (~.~.3.3) Ker(U,~_tL -+ UnL ) = o; J, LnT,_~L =J,_IL. (~.x.3.4) Si le th6or~me est v5rifi6, les relations (2.1.3.3) nous permettent d'identifier chaque module U,L ~ l'image canonique de T,L dans UL : nous retrouvons alors les notations de [2]. (~,. x.4) Le cas gradug. -- Supposons que ~ soit un anneau gradu5 (I, i. i. i) et L une ~-alg~bre de Lie gradude (I, i. i. 9). Nous avons vu (I, 3.3.2) que TL et SL poss~dent des graduations naturelles. La forme (2. i. 2.3) des gdn6rateurs du module J,L montre que celui-ci est gradu6, ainsi que l'iddal JL. Nous pouvons donc prendre la graduation quotient sur chaque module U,,L, ainsi que sur l'alg~bre UL. Le diagramme D,L devient alors un diagramme dans la catggorie des ~2-modules gradugs (I, I. I .4), et la relation (2. i. 3.2) reste valable dans cette catdgorie. (2.2) Le cas filtr6; alg~bres de Lie valu~es sur un anneau de valuation dlscr~te complet. (z.z. x) Les filtrations canoniques. -- Supposons ddsormais que ~ soit un anneau filtrd (I, 2. i.i) et L une ~-alg~bre de Lie filtrde (I, 2.I. II). Les alg~bres TL et SL sont munies de leurs filtrations canoniques (I, 3-3-3). D5finissons la filtration de JL (resp. de J,L) comme induite (I, 2. I .5) par celle de TL, puis la filtration de UL (resp. de U,L) comme filtration quotient (I, 2.1.7) de TL (resp. de T,L). La filtration de UL peut encore ~tre ddfinie comme la borne infgrieure des filtrations de s pour lesqueUes l'application canonique de L dans UL est un morphisme. Chacun des diagrammes D,L (2. i. 3) devient un diagramme dans la catdgorie des ~-modules filtrds (I, 2.1.4). Pour chaque hombre ,~eR+, nous d~finissons le diagramme (D,L)~ ~ partir de D,L en appliquant le foncteur (( ,~ en indice ,. Autrement dit, nous rempla~ons chacun des modules M figurant dans D,L par le sous-module My des dldments de filtration /> v, les morphismes de D,L 6tant remplac6s par leurs restrictions correspondantes. La formule (2. i. 3.2) reste valable dans la catdgorie des ~-modules filtrds (I, 2. I. 8). (2.2.2) Les morphismes fonctorMs. -- Conservons les notations prScddentes. Nous avons une alg&bre de Lie gradude gr L sur l'anneau gradu~ gr Y/ (I, 2. 3 . II), et nous pouvons construire son aIg~bre enveloppante U gr L ainsi que Ies diagrammes D, gr L dans la eat6gorie des gr ~-modules graduds (2. I .4). 504 GROUPES ANALYTIQUES p-ADIQUES i ~ 1 D'autre part, nous pouvons prendre les gradu6s associds des modules filtrds d6finis en Si nous appliquons le foncteur gr au diagramme D,L dans la catdgorie Fil(~), nous obtenons le diagramme gr D,,L dans la catdgorie Gr(gr ~). Les suites exactes (2. I. I. 2) et (2. I. 2.7) conduisent (I, 2.3- 8) aux suites exactes : (2.2.2. x ) o -+ gr JL --> gr TL ~-~ gr UL; (2.2.2.2) o -+ grJnL -+ gr T,L ~ gr UnL. Le morphismefonctoriel T gr L-+g'r TL nous donne, par restriction, les morphismes fonctoriels (2.2.2.3) J gr L -+ grJL, (2.2.2.,t) Jngr L -+ grLL , puis, en compldtant le diagramme exact o ~JgrL -> Tgr L ~ U grL -~ o i + o~grJL ~grTL ~grUL, le morphisme fonctoriel (2.2.2.5) U gr L -+ gr UL, et, de m4me, les morphismes fonctoriels (2.2.2.6) U, gr L -+ gr UnL. Au moyen de (2.2.2.4) , (2.2.2.6) et des morphismes dfijk d~finis en (I, 3-3. I) nous obtenons les morphismes fonaoriels de diagrammes commutatifs (2.2.2.7) Dngr L -+ gr DnL. (2.2.3) Dgfinition des suites exactement filtrdes. -- Soit (2.2.3.I) 0 ---> M'~ M~ M" -+ o l g une suite de morphismes de ~-modules filtr6s (I, 2. I. 4). Nous disons que la suite (2.2.3. I) est exactementfiltr/e si, pour chaque nombre vER+, la suite des restrictions (2.2.s.2) o M; o est une suite exacte (dans la cat~gorie des f)-modules). (2.2.4) Thdor~me. -- Soient ~ un anneau de valuation discrete complet (I, 3. I. I) et L une ~-alg~bre de Lie valude (I, '2.2.4). Alors, pour chaque n~N*, (2.2.4. x) les lignes et les colonnes du diagramme D,L sont exactement filtre'es ; (2.2.4.2) le diagramme DngrL est exact; 16 i22 MICHEL LAZARD Chap. IV (2.2.4.3) le morphisme fonctoriel D,,gr L ~ gr DnL est un isomorphisme de diagrammes commutatif s. Nous prouverons ce th~or~me, ainsi que les corollaires qui suivent, en (2.3). Remarquons d~jh que (2.2.4:. 2) est v~rifi~ parce que l'anneau gr s est principal (2. I. 3). (2.2.5) CoroUaire. -- Avec les notations pr/c/dentes, l'alg~bre filtrge UL est une f2-alg~bre valuge, et valu/e en tant qu' anneau. Le morphisme fonctoriel U gr L -~ gr UL est un isomorphisme. (2.2.6) Corollaire. -- Si f: L~L' est un homomorphisme et une isom/trie de f2-alg~bres de Lie valu&s, alors Uf: UL~UL' est une isomgtrie. (2.2.7) Corollaire. -- Soit (xi)ie I une famille filtr/e-libre (I, 2.I.I6) dans une f2-algkbre de Lie valu/e L. Si nous ordonnons totalement l' ensemble d'indices I, les monSmes ordonn/s x ~ :orment une famiUe filtr/e-libre dans UL, 0c parcourant l'ensemble N (I). Si les (xi) constituent une base filtr/e (resp. base topologique) de L, alors les (x ~) constituent une base filtrge de UL (resp. une base topologique du compHtg (JL de UL). (2.3) Preuves du th~or~me (2.2.4) et de ses corollaires. (2.3. x) Lemme. -- Soit (2.2.3) o-+M'~M~M"-+o une suite exactement filtrde (sur un anneau filtr/ D quelconque). Alors la suite des gradu/s associds o~gr M'~gr M~gr M"~o est exacte. Preuve. -- Pour chaque v~R+, nous considdrons le diagramme commutatif o o o o > M'§ > M~§ > M'~" > o o > M, > M'~' >o 0 > gr~M' > gr~M > gr~ M" >O 1 1 0 0 0 506 GROUPES ANALYTIOUES p-ADIQUES i23 Les trois colonnes sont exactes, par d6finition du foncteur gr. La seconde ligne est exacte, par la d6finition (2.2.3) ; ]a premiere ligne est exacte (par passage ~ la rdunion, ou limite inductive, des suites exactes pour les nombres v'~v). Par cons6quent la troisi~me ligne est exacte. (2.3" 2) Lemme. -- Soit (2.3.2.i) o-+M'-+M~M"-+o t g une suite de morphismes de ~-modules filtrds. Pour que cette suite soit exactement filtr& (2.2.3), il faut et il suflit que les trois conditions suivantes soient vdrifi&s. (2.3.2.2) La suite (2.3.2. i) est exacte dans la catEgorie des ~-modules (non filtrds). (2.3- 2.3) Le morphisme grf est injectif. (2.3.2.4) Pour chaque veR+, l'application g~ : M~-+M" est surjective. Preuve. -- Ces trois conditions sont ndcessaires. En effet, (2.3.2.2) s'obtient en faisant u=o dans (2.2.3.'2). L'injectivit6 de grfr6suhe de (2.3.I). Enfin (2.3.2.4) est une partie de (2.2.3.2). Rdciproquement si nous supposons v6rifi6es les trois conditions, la seule propridt6 non immddiate relative ~ l'exactitude de la suite o~M~-+M -+M"~o est la relation Kerg~CImf~. Or, si xeKerg~, il existe .yEM' tel que x=f(y), d'aprSs (2.3.2.2) et w(M';y)=w(M;x) d'aprSs (2.3.2.3), ce qui entralne yeM" et x~Im f~. (2.3-3) Lemme. -- Considgrons, dans une catggorie de modules, le diagramme commutatif suivant, dont nous supposons les lignes et les colonnes exactes o o >A' >B' >C' >o >A )B >C (2.3.3.x) o > A" > B" > C" ) o o o Si rintroduction d'un morphisme f: C'-+C (resp. g : C-+C") conserve la commutativitd du diagramme, alors fest injectif (resp. g est surjectif). 507 z24 MICHEL LAZARD Chap. IV (2.3.4) Preuve du tMor~me (2.2.4). -- Soient f~ un anneau de valuation discrete complet et L une ~-alg~bre de Lie valu6e. (2.3.4. x) Pour chaque n~N*, o -~T,_IL-+T,L -,T" L-.o est une suite exactement filtrde de ~-modules valuds. En effet ces modules sont valuds, d'apr6s le thdor6me (I, 3.2.7) et une suite exacte scind6e (dans la catdgorie des ~-modules filtr6s) est exactement filtrde. (o.3.4.2) Pour chaque n~N, o-+I"L-~T"L~S"L-+o est une suite exactement filtrge de ~-modules valugs. C'est une cons6quence du th6or~me (I, 3.2.7)- (2.3.4-3) Pour chaque nsN*, o -+ J._tL -+J.L ~ I"L ~ o est une suite exactement filtr& de ~-modules valu6s. En effet, la condition (2.3.2.2) du lemme (2.3.2) est v6rifi6e, car le th6or6me de Poincar6-Birkhoff-Witt est valable (l'anneau ~ 6tant principal). La condition (2.3- 2.3) est v6rifi6e puisque J,_IL est un sous-module valu6 de J,L. Enfin, la condition (e. 3.2.4) r6sulte du th6or6me (I, 3-2.7) et de la forme (2. I. 2.3) des g6ndrateurs de J,L. (~'.3.4.4) Pour chaque n~N et chaque ~R+, nous avons les suites exactes o -+ (J.L)v -+ (T.L)~ -+ (U.L)~, et o -+ gr J.L -+gr T.L -+gr U.L. Ces assertions r6sultent de la d6finifion des filtrations canoniques (2.2.I) et de (I, 2.3.8). (2.3.4.5) Ddmontrons maintenant les assertions (2.2.4. I) par r6currence surn. Nous prouvons que la suite o ~ U,_tL ~ U,L ~ S~L ~ o est exactement filtrde en lui appliquant le lemme (2.3.2). La condition (2.3.2.2) rdsulte de la validitd du th6orEme de Poincar6-Birkhoff-Witt (2. I .3)- Pour vdrifier (2.3.2.3), nous montrons que l'application grUn_lL~grU, L est injective, en appliquant le lemme (2.3.3) au diagramme grD, L, compte tenu de (2.3.4.I), (2.3.4.2), (2.3.4.3) , de notre hypoth&se de rdcurrence, et du lemme (2.3. i). Enfin nous vdrifions (2.3.2.4) en appliquant le lemme (2-3.3) au diagramme (D~L)v. Le diagramme (D.L), possSde ainsi trois colonnes et deux lignes exactes, ce qui implique l'exactitude de la ligne restante. Nous venom de prouver (2.2.4. Q. 508 GROUPES ANALYTIQUES p-ADIQUES t25 (2.3.4.6) Les seules assertions de (2.2.4.3) qui ne figurent pas dam l'~nonc6 du thdor&me (I, 3- 3- 7) concernent les isomorphismes J, gr L -~- grJ, L et U, gr L ~ gr U,L. Nous les prouvons par rdcurrence sur n, ~t partir des diagrammes exacts o > J,_tgr L --~ J, gr L ~ I"grL > o + 1 + o > grJ~_tL -+ grJ~L -~ gr I"L > o o ~ U._lgr L -~ U~gr L -~ S"gr L > o 1 1 ! o > grU._lL~grU.L-~grS"L--~o (2.3.5) Lemme. -- Soit o-+ M' ~ M ~ M"-+o ~-modules fzltr~s. Si M' et M" sont valuls, alors M est une suite exactement filtr/e de valug. Preuve. -- Nous v6rifions que M est s6par6. D'apr6s (2.3. I), le module gr M est sans torsion, comme extension de modules sans torsion. (2.3.6) Preuve du coroUaire (2.2.5). -- Nous prouvons que les modules U,L sont valu6s par rdcurrence sur n, en appliquant le lemme (2.3.5) aux suites exactement filtrdes o -+ U,_IL -+ U,L -~ S"L ~o. Le module UL s'obtient alors (2.2. I) comme limite inductive de modules valuds, calculde pour une famille d'isom/tries. I1 est donc valu~ (I, 2.3-9). Nous pouvons passel la limite inductive dans les isomorphismes U, gr L --~ gr U,L, et nous obtenons ainsl l'isomorphisme (2.3.6. x ) U gr L -+ gr UL. Cet isomorphisme vaut pour les structures d'anneaux (ou de gr ~-algSbres) de U gr L et de gr UL. Pour ddmontrer que UL est valu6 en tant qu'anneau, nous sommes donc ramen6s ~ prouver que U gr l, est sans diviseurs de z6ro. Or, pour sa <( filtration crois- sante >> canonique, U gr L a comme gradu~ associ~ S gr L qui est une algSbre de polyn6mes (I, t.2.3). (2.3.7) Preuve du coroUaire (2.2.6). -- D'apr6s le th~or6me (I, 3.3.7), les applications (2.3.7. x) S"f: S"L -+ S"L' 509 ~6 MICHEL LAZARD Chap. IV sont injectives. Nous en d6duisons que Ies applications (2.3.7.x) U,,f: UnL ---> UnL' sont injectives, par rdcurrence surn au moyen des suites exactes o ---> Un_IL ---> U~L ---> S'L ---> o. Cela prouve le corollaire, puisque UL est rdunion (par abus de langage) des U.L. (2.3.8) Preuve du coroUaire (2.2.7). -- Nous prouvons, par rdcurrence sur n, que les (x ~) forment une famille filtr6e-libre pour ] :r ~< n. Cela est vrai pour n = i (rappelons que les x~ sont d'augmentation nulle). Le passage de (n--I) ~t n utilise le thdorSme (I, 3.3-7), et la suite exacte o ---> U~_tL ---> UnL --> SnL ---> o. 3. GROUPES ET ALG~BRES DE LIE (3.I) Le th6or~me de saturation des alg~bres de Lie. (3- x. i ) Les algkbres diagonales valu&s UL et leurs extensions. -- Ddsignons de nouveau par f2 un anneau de valuation discr6te complet, d'indgales caractdristiques, avec v(p) = I. Soit L une fl-alg6bre de Lie valude. Nous avons d6fini en (i.i.3) l'alg6bre envelop- pante UL comme une alg~bre diagonale stricte. D'autre part l'alg~bre UL est valude (2.2.5) et son application diagonale est un morphisme de t2-alg~bres valudes. Nous avons donc une structure de fl-alg~bre diagonale valu~e sur l'alg5bre UL (i .2.5) , ainsi que sur les alg6bres compldtde, divisde ou satur6e de UL (I.2.6). Nous utiliserons surtout l'alg5bre saturde Sat UL. Tout morphisme f: L~L' se prolonge en un morphisme Sat Uf : Sat UL --* Sat UL' (ce qui exprime le caract6re fonctoriel de Sat U) ; sif est une isomdtrie, alors Sat Uf est une isomdtrie, d'apr5s (2.2.6) et (I, 2.2.II). (3. I. 2) Lemme. -- Pour route fi-algkbre de Lie valu& L, le morphisme fonctoriel (3.x.2.I) Sat UL ~ Sat U Sat L, dgduit de l'injection L~Sat L, est un isomorphisme. Preuve. -- L'isomdtrie L~div L se prolonge en une isomdtrie UL-+U div L. Si nous identifions UL hun sous-module de U div L, le quotient est un O-module de torsion, ce qui prouve (I, 2.2.9) que le morphisme (3- x. 2.2) div UL --~ div U div L est un isomorphisme, ainsi que le morphisme des compldtds : (3. I. 2.3) Sat UL ~ Sat U div L. Comme div Lest dense dans Sat L, l'image de divU divL est dense dans div U Sat L, et le morphisme (3.x.2.4) Sat U div L -+ Sat U Sat L est un isomorphisme. Les relations (3.i.2.3) et (3-1.2.4) prouvent notre lemme. 510 GROUPES ANALYTIQUES p-ADIQUES IO 7 (3.x.3) TMorkme de saturation. ~ Soit L une f2-alg~bre de Lie valu&. Dans l'alg~bre diagonale valu& Sat UL nous avons les relations (3. x. 3. x ) Lc Sat UL = Sat L. (3-x .3.2) fr Sat UL = N'Sat UL. Rappelons que les foncteurs ZP, f~, ~* ont dtE dEfinis en (i.3. I), et que nous identifions Sat L ~t un sous-module de Sat UL. D'aprEs le lemme (3- r. 2), nous pouvons supposer que Lest une algEbre saturde. Nous nous ramfnerons au cas off L possEde une base topologique, au moyen des lemmes (3. I. 6) et (3. I. 7), d'ofl rEsulteront respec- tivement des EnoncEs un peu plus precis que (3. x. 3. i) et (3. I. 3. ~). Formulons d'abord un corollaire. (3. x. 4) CoroUaire. ~ Toute f~-algkbre de Lie satur~e L peut s'obtenir sous la forme .s o~t A est une alg~bre diagonale saturLe. I1 suffit en effet de prendre A-= Sat UL. Soit A une f~-algEbre diagonale saturEe. Posons L= ~q'A et B = Sat UL. Le morphisme fonctoriel (I. 3.3. '2) (3.x.4.x) UL--->A se prolonge en un morphisme de ~-alg~bres diagonales satur&s (3.x.4.2) f: B--->A. Comme l'a montrE l'exercice (I.2.9), le rnorphisme f n'est pas nEcessairement une isomEtrie. NEanmoins sa restriction ~ AeB (resp. &a'B, ~*B) est un isomorphisme sur 5eA (resp. Ae*A, if*A). Cela justifie la definition suivante. (3. x .5) Dffinition. ~ Une f2-alg~bre diagonale saturLe A sera dite normale si le morphisme fonctorM Sat UoWA--->A est un isomorphisme. (3- x. 6) Lemme. -- Soit L une f~-alg~bre de Lie valude admettant la base topologique (y~)i e I (I, 2. I. I 7)" Supposons l'ensemble d'indices I totalement ordonnL Notons K le corps des fractions de l'anneau fl, A l'alg~bre diagonale saturle Sat UL, w la valuation de A et A son application diagonale. Posons ":i= w(yi) pour isI. (3.x.6.x) Si xeA, xqSatL, nOUS avons w(Ax--x|174 <~d + I, o?, d= sup w(x--z). zeSatL (3-x. 6.2) Les glgments de fYA s'icrivent univoquement comme des produits ordonngs x = II exp(Z~y~) iEI olt les X~ sont des dllments de K vErifiant les conditions suivantes : pour chaque i e I, 511 128 MICHEL LAZARD Chap. IV V(X~) + v~> (p-- I)- 1, et v(ki) + ":~ tend vers l'b~ini (suivant le filtre des compldmentaires des parties finies de I). Nous en ddduisons (III, x. z .4) ~(x) = w(x--~)= ~n[ (v(~) + ~,), et ~A = ~*A. Si ~ =Zp, les dldments exp(ph~i) constituent une base ordonnde &~ groupe p-saturd ~*A, les entiers hieZ dtant ddterminds par les conditions (p-- ~)-~<~ + h~<.p(p--,) -~ . Preuve.- Posons NcI)=J, et -~= ~-q~ pour ~eJ. D'apr~s (2.2.7) , les iGI monSmes ordonnds y~ (ace J) constituent une base topologique du compl6t~ UL de l'alg6bre enveloppante UL, et nous avons w(y~)-----l:~ (2.2.5). Nous obtenons donc une base topologique de A en divisant lesy ~ par des puissances convenables d'une uniformisante de C2 (I, 3. I. 7). I1 est plus simple d'dcrire les dl~ments de A comme des s6ries (3.x.6.3) x= X X~y ~, ,c~J off les X~ sont des dMments de K qui v6rifient les conditions suivantes : v(X,)+ ve>~o pour tout 0ceJ, et v(x~)+v0c-+oo (suivant le filtre des compMmentaires des parties finies de A). Nous avons alors (3. x. 6.4) w(x) ---- inf (v(X~) + z~). uGJ L'application diagonale A est ddfinie, comme en (i. I .9), par les formules (3.i.6.5) Ay'-- Z (~,y)y~| Pour l'61dment xeA donn6 pal la sdrie (3-1.6.3) , nous obtenons (3.x.6.6) Ax--x|174174 + ,v~>0(~, 7)X~+vY~| 't. La derni6re somme est fitendue aux couples ~, y d'dl~ments de J, avec }>o et y>o. Le nombre d d~fini en (3.1.6. I) est ~gal inf ,z (v(X~) + v~). (3"z'6"7) d=~eJ, I~1 La preuve de (3.I.6.I) s'ach6ve en remarquant que, si 0ceJ avec ](x}>i, il existe [~et y~J, avec ~>o, y>o, ~+y=0c et v((~,y))~<I. Passons ~ la preuve de (3-I .6.2). Pour le m~me 616ment x (3. 1.6.3) , nous avons (3.x.6.8) x| E (X~Xv--(~ , y)X~+v)y~| Pour que cet fiMment appartienne ~ ~A, il faut et il suffit que X o = ~, et que (3- '- 6.9) X0Xv--(} , y)X~ + v = o 612 GROUPES ANALYTIQUES p-ADIQUES 129 pour tous [3, ,(eJ. Ces dquations montrent que les x~ sont ddtermin~s par la seule donn~e des X i-~x~ (rappelons que 8i est l'61~ment ~ de J vdrifiant el= I et 10~l = I). Plus prdcis6ment, les relations (3.1.6.9) 6quivalent, si ?'0= i, (3.~. 6. ~o) x~ = (~!)- 'x ~ = (~ !)-111 x~,, pour tout ~eJ. Comme v(X,)+-~e doit tendre vers l'infini, nous devons avoir v(Xi)+.:i>(p--i) -1, d'aprSs (III, i.I.2), et v(h)-t-z i tend vers l'infini. Les ~Mments exp(Xcyi) sont done d~finis darts A (III, i. I "4), et leur produit converge vers x. (3.x.7) Lemme. -- Conservons les notations du lemrne (3. I .6). Soit x un dldment de A, d' augmentation I, et ve'rifiant w(x-i)<.(p-~) -~. Nous avons alors la relation (3" I. 7" 9 ) /.0 (x| <<.p(p-- I )-- 1. Preuve. -- Supposons d'abord que la base topologique de L se rdduise au seul dl6ment y, avec w(y)= z. l~crivons x sous la forme (3"I'7"'7) X= X ~'nY" (~,n ~K). nEN Posons, pour chaque n~N, (3. ~. 7.3) c(n) = ~(x,)+ ,n. Pour que x appartienne ~ A, nous devons avoir c(n)>~o pour tout neN, et c(n) doit tendre vers l'infini avec n. Nous avons, par hypoth~se, X0 = I et il existe un neN* tel que (3. x. 7.4) c(n) <<. (p-- I) -- l. Supposons que w(x| -~. D'apr~s la formule (3-I. 6.8), cela 6qui- vaut aux relations (3. x. 7.5) v(X~X,--(m, n)Xm+,) + ":(m + n)>p(p-- I) -1 pour tous m, nsN. Ddsignons par r le plus petit entier n~> i pour lequel c(n) atteint son minimum. Nous avons done r>~I et (3.i.7.6) c(n)>c(r) pour I~n<r. D'apr~s (3. x. 7-4), nous avons (3.I.7.7) c(r)<~(p--I) -t. Supposons d'abord que r ne soit pas de la forme ph, off heN. I1 existe alors m, nEN*, tels que m+n=r et v((m,n))=o. Nous avons, d'apr~s (3.1.7.6) (3. x. 7.8) c(m) Jr- c(n)> ~c(r) >1 c(r). 17 ~3 o MICHEL LAZARD Chap. IV Nous en ddduisons la relation (3" 9 7" 9) v(XmX,)> v(X,) = v((m, n)X,), et les relations (3.1.7.5) et (3. I. 7.7) sont contradictoires. Nous sommes donc ramenEs au cas oft r=p h. Supposons, plus gEn~ralement, que, pour un certain heN, nous ayons la relation (3.I.7.IO) C(~)~<(p--I) -1. Nous en dEduisons, par recurrence sur i, A pardr de (3. I-7.5), c(iph)=ic(p~), pour I ~<i<p, (3. 9149149 puis la relation c(#+ l) =pc(p)- ~ (3- 9 7" x2) Cette derni~re relation s'Ecrit encore (3. x. 7. x3 ) c (ph + l)_ (p_ ~ ) - i =p (c (p~)--(p -- i ) - 1). La relation (3.1.7. Io) reste donc valable si l'on y remplace h par h+ I. Plus gEnEralement, nous obtenons par recurrence sur n~N, (3" I. 7" I4) c(tP+")--(P - I) -t =P"(c(PA)--(P--I)-I), d'oS, puisque c(n) est tou]ours positif, (3.x.7.x5) c(ph+"):(p--I) -1 pour tout n~N, ce qui contredit l'hypoth~se que c(n) tend vers l'infini avec n. Traitons maintenant le cas gEnEral. Soit xeA, avec x = Y~ ),~y~, X 0 : I. Suppo- . . ~EJ sons que w(x| -1. Cela ~quivaut aux relations (3. I. 7- x6) v (),~?,~,-- (~, ~,)X~ +,t) + "~(~ + )>P(P-- I)-1, pour tous ~, yeJ. Nous venons de voir que v(X~)-t--~0~>(p--I) -t pour chaque ~eJ de la forme n~, heN, i~I. Si nous avons w(x--i)<<.(p--i) -1, choisissons ~eJ tel que v(x~)+,o~<~(p--I) -1, et que le hombre d'indices ieI avec ~i>o soit minimum. I1 existe alors ~ et ~.eJ, vErifiant les relations : ~ + y = e, v((}, y)) = o, v(?,~) + "~> (p-- I) -t, v(Xv) + ,u (p--I)-1. Ces relations sont incompatibles avec (3.1.7.16), et notre lemme est prouvE. (3.x.8) Preuve de (3.I.3). -- Supposons l'alg~bre de Lie L saturEe. Si xs=LP Sat UL, xqL, posons (3. x. 8. 9 d = sup w(Sat UL; z--x). Soit M une sous-alg~bre saturde de L, engendrde par une famille finie d'EIEments. Nous pouvons identifier Sat UM ~ une sous-alg~bre de Sat UL (2.2.6). Lorsque M varie, les sous-alg~bres Sat UM forment une famille filtrante croissante de sous-modules 5/4 GROUPES ANALYTIQUES p-ADIQUES x31 divisibles de Sat UL. Leur r~union contient UL, donc div UL, ct est dense dans Sat UL. Nous pouvons done choisir la sous-alg~bre de Lie satur& de type fini M de telle sorte qu'il existe un ~l~ment x'eSat UM, avec (3-x.8.2) w(Sat UL; x--x')>d+ I. La relation (3.I.8.I) implique alors (3. x. 8.3) sup w(Sat UM; z'--x') ~< d, z' ~M et la relation xes Sat UL implique (3. x. 8.4) w(Sat UM; Ax'--x'| I--I | I. Or l'alg6bre de Lie satur~e M poss6de une base topologique, d'apr6s (I, 3. I. IO), et les relations (3. I .8.3), (3. I .8.4) sont incompatibles, d'apr& (3. I .6. I). Cela prouve la premi6re assertion du th6or~me (3- I. 3) ; la seconde s'&ablit par la m6me m6thode, grfice au lemme (3. I. 7). Nous d6montrons un r~sultat plus pr&is que le thdor6me (3.1.3) : les temmes (3.1.6. x) et (3-x. 7) restent valables sans supposer que L poss6de une base topologique. (3" 2) Transport de stx~ctm'es. (3.2. x) Application du tMorkme de saturation ~ une algkbre de Lie libre. -- Soient L la Zv-alg~bre de Lie libre engendr& par deux fil6ments x ety, et tun nombre >t o. L'alg~bre enveloppante UL est une Zv-alg~bre associative libre engendr& par x et y. Munissons L de la borne inffirieure w des filtrations d'alg~bre pour lesquelles w(x)>~t et w(y)>~t (ou encore pour lesquelles tousles fiMments ont une filtration 1> t). Cette filtration est une valuation, et la structure d'alg~bre diagonale valuge de UL d6finie en (3. x. I) coincide avec une de celles dfifinies en (I.2.8). L'alg~bre satur6e Sat UL d~pend de t, mais nous pouvons toujours consid6rer Sat UL comme un sous-anneau de l'alg~bre de Magnus engendr& par x et y sur le corps Qp (II, I. I. IO). Un ~Mment z de Sat UL (resp. de Sat L) s'6crit univoquement comme une s~rie (3.2.x.x) z= Z u,(x,y) nffIq ofa, pour tout n~N, u,(x,y) est un polyn6me associatif (resp. polyn6me de Lie) ~ coe~cients dans Qp homogkne de degrd total nen x et y. Pour chaque hEN, notons h, le plus petit entier (EZ) tel que ph"un(x,y ) soit un polTn6me g~ coeffcients dans Z~ (si u, = o, posons h, =--~). Nous avons alors les relations (3.2.I.2) nt--h,>~o pour chaque hEN; (3.2.x.3) nt--h, tend vers l'infini avec n; (3.~,. x .4) w(Sat UL; Z)= inf(nt--h,). hEN 61g I3~2 MICHEL LAZARD Chap. IV Supposons maintenant t>(p--I) -1. Nous avons alors x, ye.L~~ UL. Nous en d~duisons, d'apr~s (I. 3- 5), exp x, expye N'Sat UL, puis (I. 3- 2) (exp x) (expy) e ~*Sat UL, d'o~, d'apr~s (I.3.5) et (3.I.3), les relations (3-~'. I. 5) z -- Log(exp x)(expy) ~Sat L; (3. o. x. 6) w (Sat UL; z)> (p-- I)- *. L'61dment Log(exp x)(expy) s'dcrit done sous la forme (3.2. I. I), les u, dtant des polyn6mes de Lie. Pour calculer u,(x,y) il suffit de connaltre les termes des sdries logarithme et exponentielle jusqu'au degrd n. Les u,(x,y) sont done des polyn6mes de Lie R coe~cients rationnels. Nous avons ul(x,y)=x+y et u~(x,y)=~[x,y]. Les relations (3.2.1.4) et (3.2.1.6) nous donnent nt--h,>(p--I) -1 pour t>(p--I) -1, (3.2.1.7) c'est-~-dire (3.2.x.8) hn~< [(n--i)(p--I) -t] pour n~N*. (3-2.2) Th/or~me : la formule de Hausdorff, sa majoration p-adique, et son application aux alg~bres diagonales saturdes. -- Dans l'alg~bre des sdries formelles associatives en x et y coeffcients rationnels (alg~bre de Magnus), l' dldment O(x,y) = Log(exp x)(expy) (3.2.2.x) s'dcrit sous la Jbrme (3.2.2.2) O(x,y)=x +y+~[x,y] +... +u,(x,y)+ . . ., o~, pour chaque n~N*, u~(x,y) est un polynOme de Lie en x, y a coeffcients rationnels, homog~ne de degr/ total n. Si nous posons (3.2.12.3) ]/n = [(n-- I) (p-- I)-l], les polyn~mes de Lie ph"un(x,y ) sont a coeffdents p-entiers. Si A est une alg~bre diagonale satur/e (1.3.4) , et si x', y' sont deux gl/ments de s alors u,(x',y') est, pour chaque heN*, un /l/ment de ~'A, et nous avons (3- 2.2.4) Log (exp x') (exp y') ---,~ ~,u~(x', y'), o~ la s/rie du second membre converge dans ~c~~ Preuve. -- Toutes ces assertions ont 6t~ ~tablies en (3-2. I), ~ l'exception de (3.2.2.4). Pour v~rifier cette derni~re formule, posons t = min(w(A; x'), w(A;y')) ; construisons une f2-alg~bre de Lie libre L de g~ndrateurs x et y; valuons L par la borne infdrieure w des filtrations pour lesquelles w(x)>~t, w(y))t. I1 existe alors un morphisme d'alg~bres diagonales satur~es f : Sat ULnA d6fini par f(x) = x' et f(y) =y'. La formule (3" 2.2.4) est v~rifi~e par x ety dans Sat UL; l'existence def montre que cette formule est encore v6rifide par x' et y' dans A. 516 GROUPES ANALYTIQUES p-ADIQUES t33 (3-2-3) Proposition. --Inversion de taformule de Hausdorff (cf. exercice (III, 2. I. IO)). Soient A une alg~bre diagonale saturge, et x, Y deux glgments de N*A. Nous avons alors les relations suivantes : (3.2.3. I ) exp(Log x + Logy) = lim (xP*yPi)P -i. (3.2.3-2) exp [Log x, Logy] = ilim (xP~,yP~)P -~i Les racines pi-i~mes qui figurent darts ces formules doivent gtre calcul&s dans le groupe ~*A o~ elles sont univoquement d/termin/es. Preuve.- Posons Logx=x' et Logy=y'. D'aprbs le th6orbme (3.2.2), nous avons Log(xy) =x' +y' + Y~ u,(x',y'), n~2 et de mfime, pour chaque ieN, 1. ~ pl pi\ (3.2.3.3) LOg(x y ) =pi (x' +y') -Jr- n~2 pm U n (X', y') (3" 2.3-4) Log(xP~Pi) p-~ = x' @y' @pi p(n - 2)iUn(X,,y,). n~2 Nous obtenons la formule (3.2.3. I) en transformant les deux membres de (3- 2.3.4) par la fonction exponentielle, qui est continue, et en passant ~t la limite. Pour d6montrer la formule (3.2.3.2), nous utilisons Ia s6rie donnant le <( commu- tateur de Hausdorff >> (3.2.3.5) ~F(x,y) = Log(e-~e-Ue~e y) = Z v,(x,y). n~>2 Les v,(x,y) sont des polyn6mes de Lie ~ coefficients rationnels, homogbnes de degrd total n. A partir de (3.2.2.2), nous calculons v2(x,y ) qui est 5gal ~ [x,y]. Nous avons, dans l'alg~bre satur6e A Log(x,y) = [x',y'] + Z v,(x',y') n~3 et de m~me, pour chaque iEN, (3.2-3-6) Log( xPl, yp i) = p,i [x~'] -t- Z pni vn ( x', y') , n/>3 (3-2.3" 7) Log(xff, yff)P-~i = [x',y'] ~_pi ~p(n- 3)i Vn (x',y'). Cette derni~re relation nous donne la formule (3.2.3.2). (3.2.4) Corollaire. -- So#nt A une alg~bre diagonale satur& (1.3.4) , et Gun souso groupe p-saturd de N*A pour la filtration induite r (III, 2. i. 6). Alors l'ensemble L des ggments Log x, o~ xeG, est une sous-Zp-algkbre de Lie de .oq~*A, et L s'identifie h l'ensemble des glgmentJ de filtration >(p--I) -~ de l'algkbre Sat L (algkbre satur& de la Zp-alg~bre de Lie L). Preuve. -- Soient x, yeG, x' = Log x et y' = Logy. Nous avons, pour chaque inN, (xP~ pl) >i + (p--I)-1 et o~ ((x pi, yP~))> 2i + 2 (p-- I )- t. Puisque le groupe G est p-satur6, 517 i34 MICHEL LAZARD Chap. IV cela prouve que les ~l~ments (xP~P~)P -~ et (xP~,yP~)P -*~ appartiennent ~ G. Comme ce groupe est fermd, la proposition (3.2.3) nous donne (3.2.4.x) x'+y'eL et [x',y']eL. Nous avons aussi, pour ~Zp, (3.2.4- 2 ) ~x' ----- Log (x x) ~ L. La Zp-alg~bre valu~e L est complete, car isom~trique au groupe eomplet G. Si zeL, alors w(L; z)>(p--I) -1 et, si w(L; z)>p(p--I) -a, zest divisible par p dans L. Nous en d~duisons la relation (3.2.4.3) div L = Sat L, et L s'identifie ~t l'ensemble des ~ldments de filtration >(p--i) -1 dans Sat L. (3.2.5) Thgor~me de saturation des groupes. -- Soient Gun groupe p-saturg, et A = Sat Zp[G] la Zp-alg~bre diagonale saturge, dgfinie en (i. 2.8). Alors nous avons la relation (3.2.5.x) /*A=G, et A est une Zp-algkbre diagonale satur/e normale, au sens de (3. I. 5)- Preuve. -- Par ddfinition de l'alg~bre A, nous avons (3.2.5.2) Ocff*A. Soit L l'ensemble des logarithmes des dl~ments de G, calculus dam A. D'apr~s le corollaire (3-2.4), Lest une Zp-alg~bre de Lie, et, si nous appliquons le th~or~me (3. x. 3) ~t l'alg~bre diagonale satur~e B = Sat UL, nous obtenons ]a relation (3.2.5.3) L=~*B. L'injection canonique de L dans A se prolonge en un morphisme de Zp-alg~bres dia- gonales satur&s (3.2.5.4) f: B~A. Si nous posons G'~ if*B, le groupe G' est l'ensemble des exponentielles des ~16ments de L (calcul~es dans B), d'apr~s (3.2.5.3) et le th~or~me (I-3.5). La restriction de f ~ G' est une isom/trie (II, I. 1.3) de G' sur G. D'apr~s (I.3.3), les 616ments de G' sont linfiairement indfipendants dans B, c'est-~-dire qu'ils engendrent la sous-alg~bre B' = Zp [G'] cB. D'apr~s la d6finition de la filtration induite de Zp[G] (III, 2.3. x), la restriction def~ B' est une isom6trie. Comme B= Sat B' (~ .3-5.5), le mor- phisme f est une isom/trie surjective, ce que nous voulions prouver. (3.2.6) Isomorphisme de categories. -- Nous venom de voir que n'importe quel groupe p-satur6 G est de la forme if*A, off A est une Z~-alg6bre diagonale satur~e. Nous pouvons donc d~finir sur le mfime ensemble G une structure d'alg~bre de Lie, au moyen des formules de la proposition (3- 2.3). Rficiproquement, si Lest l'ensemble des filfiments de valuation ~ (p--~)-t d'une Z~-alg~bre de Lie satur~e, nous pouvons d~finir sur le 518 GROUPES ANALYTIQ.UES p-ADIQUES x35 m~me ensemble L une structure de groupe au moyen de la formule de Hausdorff (3- 2.2). Nous obtenons ainsi un isomorphisme de catggories. Rappelons les axiomes qui d~fi- nissent les objets de ces deux catfigories : L'ensemble G est un groupe, et co est L'ensemble L est une alg~bre de Lie, une application de G dans et west une application de L dans R+ u{-k-oo}. R+u{+oo}. Pour tout x e G, co (x) > (p-- z ) - 1; ~0 (x) = oo Pour tout xeL, w(x)>(p--z)-l; w(x)=oo ~quivaut ~t x = I, et o~(x p) --= o~(x) + I ; si fiquivaut ~ x = o, et w(px)-~ w(x) + I ; si co(x)>p(p--I) -1, il existe yeG tel que w(x)>p(p--I) -1, il existe yeL tel que py~x. yP=x. Pour tous x, yeG, nous avons Pour tous x, yeL, nous avons w(x--y) >1 min(w(x), w(y) ), o~(xy -~) >I min(o~(x), o~(y)) et co((x,y))>>.co(x)+~(y). et w([x,y])>.w(x) +w(y). Si G, d~signe l'ensemble des xeG, avec Si L, d~signe l'ensemble des xeL, avec w(x)>>.n, les L, (heN) constituent un sys- o~(x)>~n, les G, (neN) constituent un sys- t~me fondamental de voisinages de x pour t~me fondamental de voisinages de o pour une topologie de groupe. Le groupe G est une topologie d'alg~bre de I,ie. L'alg~bre L est complete pour cette topologie. complet pour cette topologie. (3.2.7) Automorphismes intgrieurs. -- Soient A une alg~bre diagonale saturfie et x un ~ldment de S~ Notons gz (resp. dx) l'endomorphisme de A ddfini par la multipli- cation ~ gauche (resp. ~ droite) par x : (3.2.7.x) gz.y= xy; dz.y=yx. Nous avons, par d6finition du crochet (3.2.7.2) ad x=g~--d~. La multiplication ~ gauche (resp. ~ droite) par l'61~ment expxeff*A s'~erit encore exp gx (resp. exp dz). L'automorphisme int6rieur (3.2.7.3) y~(exp x)y(exp x) -t (yeA), s'~crit done (exp gz)(exp(--dx)), ou encore, puisque g, et dx sont des endomorphismes permutables, exp(ad x). Nous obtenons la formule (3.2.7-4) (exp x)y(exp x)-'= (exp(ad x)) .y, pour tout yeA. Nous avons en particulier, pour ye~*A, (3.2.7.5) Log((exp x) (expy) (exp (--x))) = (exp (ad x)) .y. (3-2-8) Proposition. -- Soient G un groupe p-saturg et Hun sous-groupe p-saturg de G. Alors le normalisateur N de H dans G est un sous-groupe p-saturg. 519 136 MICHEL LAZARD Chap. IV Preuve. -- Soit A la Zfalg~bre diagonale satur~e Sat Zp[G] (3.2.5). Notons Log G (resp. Log H, Log N) l'ensemble des logarithmes des dl6ments de G (resp. de H, de N). D'apr6s (3.2.4), Log Get Log H sont des Zp-alg~bres de Lie completes, et l'alg~bre des endomorphismes du module Log H, valu6e comme en (I, 2.2.4. i), est saturge. Pour qu'un fildment xeLog G appartienne ~ Log N, il faut et il suffit, d'apr~s (3-2.7), que Log H soit stable pour l'endomorphisme exp(ad x). Comme l'alg~bre des endomorphismes de Log H est saturfie, cela ~quivaut ~k dire que Log H est stable pour l'endomorphisme ad x. Autrement dit, Log Nest le normalisateur de la sous-alg~bre Log H dans l'alg6bre de Lie Log G. Notre proposition en rdsulte. (3-3) Les foncteurs Sat et div dans la cat~gorie des groupes p-values. (3.3. x ) Dgfinition du groupe saturg d'un groupe p-valuL -- Soit Gun groupe p-valu6 (III, 2. I. 2). Munissons l'alg~bre Zp[G] de la filtration induite (III, 2.3.3), et construi- sons l'alg~bre diagonale saturde Sat Zp[G], comme en (i.2.7). Nous appelons groupe satur6 du groupe p-valu6 G, et nous notons Sat G le groupe (3.3. x. x) Sat G= ~*Sat Zp[G]. Nous identifions G au sous-groupe de Sat G qui lui est canoniquement isomorphe, et nous notons iQ l'injection canonique de G dans Sat G, qui est donc une inclusion. (3.3- 2) Propri~tgs du.foncteur Sat. (3.3.2. z ) Pour tout groupe p-valu~ G, le groupe Sat G est p-saturg, et l'inclusiou i v : G-+ Sat G est une isomgtrie. C'est une consequence de (III, 2-3-3) et de (I.3.5.3). (3- 3.2.2) Si le groupe G est p-saturg, alors Sat G = G. C'est la relation (3.2.5. i). (3.3.2.3) Soit f : G-~H un morphisme de groupes p-valugs. Alors f se prolonge en un mor- phisme Sat f: Sat G~Sat H, qui ach~ve de d~finir le foncteur Sat dans la catggorie des groupes p-valugs. En effet, fse prolonge en un morphisme des alg~bres de groupes : Zp[G]->Zp[H], d'apr~s (III, 2.3. I. 3), puis en un morphisme d'alg6bres diagonales satur~es (I, 2.2.1 i) : Sat Zp[G] -+ Sat Zp[H], dont la restriction ~ Sat G donne (I. 3.2.3) le morphisme chercM Satf : Sat G -+ Sat H. La relation (~ Satf prolonge f >~ s'~crit encore inof= Sat foil. (3.3.2.4) Soient Gun groupe p-valul, H un groupe p-saturg, et f : G ~ H un morphisme. Alors il existe un morphisme g : Sat G-+It, et un seul, qui prolonge f Nous venons de voir (3- 3- 2.3) la relation iHof= SatfoiG, qui se r6duit h f= Satfoi 0 puisque i~ est l'identit~ sur H (3- 3- 2.2). D'autre part, si g : Sat G-+H est un morphisme v6rifiant f=foio, nous en d~duisons Satf=SatgoSatia, c'est-~-dire SatJ'=g. 520 GROUPES ANALYTIQUES p-ADIQUES x37 La propri~t6 (3.3.2.4) d~finit le foncteur Sat comme solution d'un probI~me d'application universelle. (3.3.2.5) Si f : G--*H est une isomgtrie de groupes p-valugs, alors Sat f: Sat G->Sat H est une isomgtrie. C'est une consequence de (III, 2.3.5) et de (I, 2.2.II). (3-3.3) Proposition. -- Soit Hun sous-groupe du groupe p-valud G, muni de sa filtration induite. Alors Sat H s'identifie ~ un sous-groupe de Sat G. Si H est distingug dans G, Sat H est distingug dans Sat G. Preuve. -- La premiere assertion ~quivaut tt la propridt~ (3.3..0.5). Supposons donc H distingu6 dans G, et soit xsG. Notonsfl'automorphisme intdrieur de G associ~ x, et g la restriction de f ~ H, considdr6e comme application dans H. Alors Satf est l'automorphisme int~rieur de Sat G ddfini par x; la restriction de Satf tt Sat H et la compos~e de Sat g avec l'inclusion de Sat H dans Sat G coincident, d'apr~s (3.3.2.4). I1 en r~sulte que l'61dment x normalise le sous-groupe Sat H. Or le normalisateur de Sat H dans Sat G est p-saturg, d'apr~s (3.2.8)- Comme il contient G, c'est le groupe Sat G, d'apr~s (3.3.2.4). (3.3.4) D~finition du foncteur div dans la catggorie des groupes p-valugs. -- Soit Gun groupe p-valuL Nous notons div G l'intersection des sous-groupes p-divisibles (III, 2. i. 5) de Sat G qui contiennent G. Le sous-groupe div G est p-divisible. Si f : G~H est un morphisme de groupes p-values, alors l'image r6ciproque du sous-groupe div H par le morphisme Satf (3.3-2.3) est un sous-groupe p-divisible de Sat G. I1 existe donc un morphisme divf: div G~div H, dont le prolongement est Satf. (3.3.5) Propri~t~ du foncteur div; remarques. -- Le foncteur div poss~de toutes les propri~t~s analogues tt celles du foncteur Sat ~nonc~es en (3-3-2). Le groupe div G est une extension p-divisible du groupe p-valufi G; si f est un morphisme de G dans un groupe p-divisible H, alors il existe un morphisme unique g : div G--->H qui prolonger. Si f: G-~-H est un isomgtrie de groupes p-valu6s, alors divf est une isomgtrie. Le groupe div G est dense dans Sat G (III, 2. I. 7) et, par consequent, nous obtenons Sat G en compl~tant div G. Contrairement au cas des modules (I, 2.2), nous avons construit le foncteur Sat avant le foncteur div dans la cat~gorie des groupes p-values. J'ignore si les propositions (3.2.8) et (3.3.3) restent valables quand on y remplace ~ satur~ >> par ~ divisible >> et Sat par div. (3.3.6) Lemme. -- Soit Gun groupe p-valu~ complet admettant la base ordonn~e (xi)i~ I (III, 2.2.4). Alors le groupe Sat G admet la base ordonnle (~)~, o~ les -~sont religs aux x~ par des relations (3.3- 6. i ) xi = -Xi ph~ (hi e N, ie I). 18 t38 MICHEL LAZARD Chap. IV Si le groupe G est p-saturd, les dlgments (Log X~)i~ I constituent une base topologique de la Z:alg~bre de Lie valude s176 Zp[G]. Preuve. --- Nous proe~dons comme en (3-1.6). Notons A l'alg~bre diagonale saturde Sat Zp[G] et B l'adh6rence de Zp[G] dans A, c'est-~-dire l'alg6bre compl6t~e de Zp[G]. Posons J=N (I/, zi=co(xi), ze= Z vie,: pour ~eJ. iEI Notons, pour 0~eJ, z = le produit ordonnd Z== 1-I (xi--I)% ~@I (3.3.6.~) La famille (Z=)~ea est une base topologique de B, avec w(z=)=z~. En effet les (z ~) forment une famille filtr6e-libre d'apr6s le thfior~me (III, 2.3.3) , et le sous-module complet-libre engendrd par les z" dans B contient G, donc coincide avec B. Nous obtenons une base topologique de A en divisant les Z ~ par des puissances convenables de p, mais nous pr6ffirons ficrire les 61~ments de A comme des s~ries (3.3.6.3) X Xoz~=y, o/1 X~c Q.p et v(X~)+-~e~>o pour tout eeJ; v(x~)+ve tend vers Hnfini (suivant le filtre des compl~mentaires des parties finies de J), et (3-3-6.4) w(y) = inf (v(x~) + re). etE.I L'application diagonale A est dffinie par les formules e! (3.3.6.5) AZ~= ~ Z ~| (*,--v)! o6 la sommation est ~tendue aux couples ~, y d'dl~ments de J vfirifiant (3.3.6.6) ~<e, y~<e, ~+y~>e. Ces formules rfisultent de l'identit~ n! (3.3.6.7) (x +y + xy)" = ~ x'~ ,,i (n--i) ! (n--j) ! (i +j--n) !--'" Pour que l'~ldmenty de (3.3-6-3) appartienne ~ NA, il faut et il suffit que X 0--- I, et que e! (3"3"6"8) X~X~'--~(e--~)] (e--y)! (~+y--e)! x~=~ pour tous ~, yeJ, la sommation s'dtendant aux 0ceJ vdrifiant (3.3.6.6). Les ~quations (3.3.6.8) montrent que les X~ sont ddterminds, quand on connait les Xn~ =- Xi (puisque X 0 = i), par les formules \ocl ~el\e d 522 GROUPES ANALYTIQUES p-ADIQUES t39 Nous sommes ramenls au cas dldmentaire oi, G est isomorphe (comme groupe abstrait) au groupe additif Zp. Pour chaque ieI, nous d6terminons l'entier h~ par la relation (3-3.6. io) (p-- i )-~<'r~--h~< p(p-- i ) -~. Les 6Mments x~ sont alors bien d6terminds dans N*A par la relation (3.3 .6. 1). Pour que l'dl~ment yeA donn6 par (3-3.6.3) appartienne ~ NA= if*A, il faut et il suffit que les X~ soient donnds par (3.3.6.9), oil les ?,ieQp doivent v~rifier (3.3.6.II) v(Xi)+hi~>o pour tout i~I. L'~lfiment y est alors 6gal au produit ordonn6 --'e i (3.3.6.i2) y= II xi, o~ vi=phi)~i, ieI. ieI Si le groupe G est p-satur6, nous avons ~=x~ pour tout ieI. Dans le cas gdndral, les 616ments de ~~ sont les 616mentsy de la forme (3-3.6-3), off les k~ satisfont aux 6quations X 0 = oet (3.3.6. I3) X X~= o ~ej v6rifiant pour tousles couples ~, "~eJ tels que ~>o, y>o, l'indice de sommation (3.3.6.6). Ces 6quations entralnent X~=o sie n'est pas de la forme nS~ (heN, ieI). Nous sommes encore ramenfs au groupe de dimension I, oft nous prouvons la derni~re assertion du lemme. (3.4) Groupes p-valu6s de rang fini; remarques et exemples. (3.4. I) 7Mor~me. -- Soit Gun groupe p-valud complet de rang fini r. Alors le groupe saturg Sat G a le mgme rang r. Six est un glgment de Sat G, xP" appartient gz G dks que l' entier n est assez grand. Le groupe divisg div G coincide avec Sat G. Le groupe G est ouvert dans Sat G. Preuve. -- Le groupe G poss~de une base ordonn6e (xi)l<i~< r (III, 2.2.5). Notre th~or~me est alors une consdquence du lemme (3-3.6)- Celui-ci nous donne m~me un 6nonc6 plus prficis : nous obtenons une base ordonnfie (Yl) en prenant respectivement des racines phi-i~mes des xi, les entiers h i 6tant dfiterminds ~ partir des relations (p-- i)-1< co(x-/) ~<p(p-- i) -1. (3.4.2) Quotients sans torsion de groupes p-valuables : preuve de (III, 3.i.7.6 ). -- Soit Hun sous-groupe ferm6 distingufi du groupe p-valuable G tel que le quotient G/H soit sans torsion. Choisissons une p-valuation co de G, qui devient ainsi un groupe p-valu~ de rang fini r. Construisons le groupe saturfi Sat G, dont Sat H est un sous-groupe distingud, d'apr~s la proposition (3.3.3). Le groupe Sat G est encore de rang r (3.4. I). Le groupe quotient Sat G/Sat H est sans torsion, puisque Sat H est satur6, et nous 523 ~4 o MICHEL LAZARD Chap. IV avons prouv~ (III, 3.3.2.4) que le groupe Sat G/SatH est p-saturd pour la filtration quotient de Sat G. Or nous avons (Sat H)nG=H, d'apr~s (3.4. i), puisque G/H est sans torsion. Le groupe G/H est done isomorphe au groupe p-valug de rang fini (G.Sat H)/Sat H. (3.4.3) Valuations rationnelles : preuve de (III, 3. i. ii). -- Soit G un groupe p-valuable. Choisissons une p-valuation o~ de G, qui devient done p-valu~ de rang r. Construisons le groupe Sat G = H, qui est p-satur~ de rang r. Nous allons prouver que H peut fitre muni d'une p-valuation ~ valeurs rationnelles. La marne proprifit6 vaudra pour son sous-groupe G. D'apr~s le transport de structures (3.'2.6), il revient au m~me de d~montrer que la Zfalg~bre de Lie L associ6e k H (et que nous pouvons 6crire Log H dans l'alg~bre diagonale saturfie Sat Z~[H]) admet une valuation ~ valeurs rationnelles. L'alg6bre de Lie Lest de rang r sur Zp (3.3.6). Soit (x~)l~<~< , une base filtr6e de L. Le crochet de Lie est donnd par les constantes de structure c~ikeZ ~ : [x~, x~]= Z c~x~, (3.4.3.x) l~k~v et les valuations ":~= w(x~) vdrifient les indgalitds (3.4.3 .~') pour tous i, j, k. R6ciproquement, si les -~i sont r nombres /> o v~rifiant les r 3 in6galit6s (3-4-3.2), ils ddfinissent une valuation de la Zp-alg6bre L (I, 3.3.6). Cette alg6bre de Lie devient, par transport de structure, un groupe p-satur6, pourvu que les .:~ v6rifient en outre les r in6galit6s (3.4-3-3) (P--I)-I<v~<~P(P--I) -t. Les relations (3.4.3. '2) et (3.4.3- 3) constituent une famille finie d'indgalitds en les ":~, ~ coeffcients rationnels. Si cette famille admet une solution rdelle, elle admet une solution rationneUe [33]. Cela prouve notre assertion. (3.'t.4) Structures d'alg~bres de Lie sur les groupes p-saturables ; coordonnges ~ de premiere espOce ~. -- Soit Gun groupe p-saturn. Nous avons une structure d'alg~bre de Lie sur G, ddfinie par transport de structure (3- 2.5). Les formules (3.2.3- i) et (3. '2.3.2) qui ddfi- nissent la somme et le crochet ne font intervenir que la structure de groupe topologique de G. Un groupe p-saturable G (III, 3-1.6) poss~de donc une structure d'alg~bre de Lie sur Zp. Notons L* la Zfalg~bre de Lie ainsi associ~e ~ G. Le rang de G est dgal au rang du Zfmodule libre L* (3.3.6). Or un Zp-module libre de rang r poss~de une structure de varigtd analytique taylorienne de type Z~ : le ehoix d'une base d6finit une identification Z~, et les fonctions de passage sont lin6aires, done analytiques tayloriennes. Nous avons ainsi deux structures de varidtd analytique taylorienne sur le groupe p-saturable G : celle d6finie en (III, 3.3.2) au moyen des coordonn~es (< de seconde esp~ce ,, et celle d6finie au moyen de coordonn~es par rapport ~ une base de L" (identifi6 524 GROUPES ANALYTIQUES/,-ADIQUES ~4 ~ G) qu'on appelle encore << coordonnges de premikre esp~ce >>. Ces deux structures de varigtg analytique taylorienne coincident : les coordonnges de premikre (resp. de seconde) esp~ce sont fonctions analytiques tayloriennes des coordonnges de seconde (resp. premikre) espkce. (3.4-5) Preuve de (3.4-4). -- l~non~ons d'abord une gfin~ralisation de la formule de Hausdorff (3. ~. 2). Soit r un entier naturel; posons J =N ~. Nous avons une identitd (3.4-5. I ) Log(exp x,)... (exp x,) = =~au=(xl, ..., Xr) , o~ les u=(xl, ..., x,) sont des polyn6mes de Lie ~ coefficients rationnels, homogknes de multidegrgs respectiJs ~ en (Xl, ... , xr). Si nous posons (3.4.5.2) h~=[(10cl--x)(p--I) -1] lea" polynames de Lie ph=u,(xl, ..., Xn) sont ~ coeffc#nts p-ent#rs. La relation (3.4.5.x) peut 6tre considdrde comme une 6galitd dans l'alg&bre de Magnus engendrde par les x~ sur Q, mais la formule (3.4.5. I) est encore valable quand on y remplace les x~ par des dldments de ~*A (A ddsignant une alg~bre diagonale saturde); les u=(xx, ..., x,) reprdsentent alors des 616ments de ~e*A. Ces assertions s'dtablissent soit par rdcurrence sur r ~ partir du thdor~me (3-2. ~), soit directement comme ce thdor&me. Prenons un groupe G, p-saturd de rang r. Notons A l'alg~bre diagonale saturee SatZ~[G] et L (resp. L*) l'alg~bre de Lie s (resp..oCt*A). Choisissons une base filtrde (x~):~<~<, de L*. Les dldments u=(x,, ..., x,) apparfiennent ~ L* et tendent vers zdro. Nous avons des formules (3.4.5.3) u~(x~, ..., x,)= Y, d,,~x,, off les coefficients d~. ~ appartiennent ~i Zp et tendent vers z6ro (selon le filtre des compl~- mentaires des parties finies de J). Les 616ments (exp xl)~<i~<, constituent une base ordonnde du groupe G, d'apr6s (3.1.6). L'616ment x dont les coordonn~es de second esp6ce par rapport ~i cette base sont (~kl, ..., )~r) EZ; est (3.4.5.4) x---- I-[ (expX, x,). Nous avons, d'apr6s (3-4.5. ~), (3.4.5-5) Logx= Y~ X'u~(xl, ..., x,). Les coordonndes de premi6re esp6ce (ill, ..., ~z,) de l'616ment xeG sont ddfinies par la relation Log x= ~ ~x~. (3.4.5.6) Nous obtenons ainsi ~= E X~d~.~, pour I<<.i<~r. (3.4-5-7) 525 MICHEL LAZARD Chap. IV 14~ Ces derni~res formules signifient que ~ est fonction analytique taylorienne de X. Prouvons maintenant que X est Jbnction analytique taylorienne de ~. Nous proc6dons comme pour le lemme (III, 3.3. i). Posons, pour ~eJ, Z ~ = I] (exp X i- I)ei. l~i~r Nous avons x= (3.4.5.8) et x = exp(~ ~ixi)=~. (n !)- 1( ~ ~zixi)." (3-4-5-9) Pour chaque n~N, posons (3.4.5.I0) r I~[=n O6 les 616ments y~A vdrifient les relations (3.4.5.II) w(y~) >>- ] ~g [ t--v([ ~ l !), t ddsignant le plus petit des nombres w(xl). Comme les z ~, divisds par des puissances convenables de p, constituent une base topologique de A, nous avons = ~ad~,e ~z~' (3.4.5.I2) Y~ avec d' et ~,~eQp (~, ~J), v(d , + w(z >. (3.4.5. I3) Nous parvenons ainsi aux relations pour ~J. si :r (~)se rdduit ~tZi, et nous avons, en posant d~i,~=di',~ : (3.4.5. I5) ?'~ = ~j~ di,~- Nous obtenons, ~ partir de (3.4.5- I I), (3.4.5- I3) et des relations w(xi) <p(p-- I) -t, les in4galitfis (3.4.5.16) v(d,',~)>ll~[(t--(P--1)-l)+(P--x)-l(Schiffl~]--l) -1. La preuve s'ach~ve comme en (III, 3.3.I). (3.4.6) Les grands corps gauches. -- Rappelons ([I3], thdor~me 6, p. 166) que l'alg~bre enveloppante UL d'une alg~bre de Lie L de dimension finie sur un corps poss~de un corps des fractions ~ gauche (ou k droite). Le m~me rdsultat vaut pour une Zp-algkbre de Lie L valude de rang fini. De plus, la valuation de l'alghbre UL (2.2.5) se prolonge au corps des fractions de UL (I, 2.2.5). 526 GROUPES ANALYTIQUES p-ADIOUES ~43 Nous obtenons ainsi un corps gauche valul K (commutatif si et seulement si Lest abdlienne). Le corps K contient l'algSbre divisde div UL. Si nous eompldtons le corps K pour la structure uniforme associde h sa valuation, nous obtenons le corps gauche I~, qui contient comme sous-alg~bre valude le complEtE Sat UL de div UL. Soit maintenant Gun groupep-valud de rang fini. Nous construisons (I. 2.7) l'algSbre diagonale saturde Sat Zp[G]=A, et nous prenons l'alg&bre de Lie L=LfA. C'est une Zp-algSbre valude de rang fini (3.3.6), et Sat UL s'identifie h A (3-2.5). Le corps I~ construit h partir de L est dit le grand corps gauche associ6 ~ G. I1 contient la Zp-algSbre Sat Zp[G], et e'est un foncteur covariant en G. (3-4.7) L'extension p-saturable minima d'un groupe p-valuable. -- Soit Gun groupe p-valuable (III, 3.1.6). Pour chaque p-valuation co le groupe G est complet et de rang fini r (III, 3. I .9); il lui correspond alors un groupe p-satur6 que nous notons Sat,oG, qui est de rang r (3.4. I). L'indiee (Sat`oG : G) est done fini. Le groupe Sat,~G depend en gdndral du ehoix de la p-valuation co, comme on le volt sur l'exemple du groupe Zp. Si co et co' sont deux p-valuations de G, telles que (3.4.7.I) co(x)<<.co'(x) pour chaque xEG, alors l'application identique de G se prolonge en un morphisme (3-4-7 .2) Sat,~G ~ Sat`o, G, qui est injectif, d'apr6s (3.4. I). Convenons de dire qu' une p-valuation du groupe G est minimisante si l' entier (Sat,~ G : G) a sa valeur minima (pour routes les p-valuations de G). Soient co une p-valuation minimisante et co' une p-valuation de G. Notons co" la borne inf6rieure de co et co'; c'est encore une p-valuation de G. Nous avons alors deux morphismes canoniques : (3.4.7.3) Sat`o, G -+ Sat`o G (3.4.7.4) Sat,o,, G -+ Sat,o, G. Le premier est b~]ectif (puisque co est minimisante); le second est injectif. Nous pouvons ainsi ddfinir le morphisme injectif (3-4.7.2), sans supposer que co<,.co'. Le groupe Sat`o G est, au sens qui vient d'etre prdcis6, le plus petit groupe p-saturable contenant G. Rappelons (III, 3-i. I2) que la borne infdrieure des p-valuations de G n'est pas une p-valuation (sauf si G se rdduit ~t l'dldment neutre). (3- 4.8) Groupes et algkbres de Lie transportables ; exercice. -- Soit G un groupe p-valuable. Choisissons une p-valuation co de G et construisons la Zp-algSbre diagonale saturde A = Sat Zp[G] (I. 2.7)- La propridt6 suivante (3.4.8. x) (( l' ensemble Log G des gl~ments de la forme Log x, x~G, est une sous-algkbre de Lie de s )~ est ind~pendante du choix de la p-valuation co. Nous dirons que le groupe G est transportable s'il 527 ~44 MICHEL LAZARD Chap. IV poss~de la propri~td (3.4.8. i) et nous dirons qu'une Zp-alg~bre de Lie est transportable si elle s'obtient sous la forme Log G, off G est transportable. Toute la th~orie du transport de structures (3.2) vaut pour les groupes et alg~bres de Lie transportables. Le groupe p-valuable dtudid en (III, 3.2-4) n'est pas transportable pour p= 2. Voici un exemple d'alg~bre de Lie transportable dont le groupe associd n'est pas saturable. Soit p = 3. Construisons une Z3-alg~bre de Lie M, libre pour les g~n6rateurs x, y, z. Munissons M de sa graduation naturelle (les g~n~rateurs ont le degr~ I). Formons l'iddal I de M engendr6 par les fil6ments suivants : (3-4- 8. o) tousles 61~ments de degr6 > 3; (3.4.8.3) les 6 616ments d6duits de [[x,y],y] par permutation des gfin~rateurs x, y, z; (3.4.8.4) l'616ment [Ix, y], z]+ [[x, z],y]. L'algkbre quotient L = M/I est transportable. Cependant L ne correspond pas /tun groupe 3-saturable puisque l'image de [[x,y], z] n'y est pas divisible par 3. (3.4.9) Valuation de ~I~(Z,) ; exercice. -- Pour tout anneau commutatif f~, l'alg~bre de Lie ~I~(~) des matrices 2 � 2 de trace nulle ~ coefficients dans f~ admet la base {X, Y, H}, o~1 (3.4.9.x) X----(: ;); Y=(: :); H=(; _:), Les crochets se calculent par les formules (3.4-9.2) [H, X]= 2X; [H, Y]=--2X; [X, Y]=H. Nous avons repris les notations de [2], exemple, p. 8 5. Prenons d6sormais f~=Z2; notons L ~ l'alg6bre de Lie ~I2(Z~) et A l'alg6bre de matrices M2(Z2). D'apr6s (I, 3.3.6), les formules (3.4.9.2) montrent l'existence d'une valuation w de L ~ pour laquelle {X, Y, H} est une base filtr&, avec (3.4.9.3) w(X) = w(Y) =-~ ; w(H)= x. Cette valuation w peut encore ~tre ddfinie comme la borne inffirieure des filtrations d'alg&bre de L ~ v6rifiant w(x)>>.~ pour tout xeL ~ Elle est donc invariante par chaque automorphisme de L ~ Nous notons L l'alg~bre de Lie divis~e (ou saturfie) de L ~ pour la valuation w. Cette alg~bre a comme base filtr6e les 61dments X, Y et [H. Nous notons L* l'ensemble des ~16ments de L de valuation > I. Cette alg6bre a comme base les ~lfiments 2X, 2Y, 2H, si bien que L*= 2L ~ 528 GROUPES ANALYTIQUES p-ADIQUES ~45 Notons d l'alg~bre associative des endomorphismes du module valug L. L'alg6bre ~, valu6e comane en (I, 2.2.4) est satur6e. (3-4.9.4) L'application ad : L-+~' qui associe gl xeL la ddrivation intdrieure ad x est une isomdtrie, et un morphisme d'alg?bres de Lie (pour le crochet [a, b] = ab--ba de d). Nous notons I" le groupe des automorphismes de L (I'c~), et I'* le sous-groupe de F form6 des u~F v6rifiant w(~C;u--i)>i. (3.4.9"5) A chaque xeL* nous associons l'automorphisme exp(ad x)eF*. L'image de L* par l'applieation exp ad :L*~F* est un sous-groupe de F*, d'apr~s (3.2.2). (3.4.9.6) En fait, P*=exp ad L*, car, si uEI'*, Logusd est une ddrivation de L, donc une dgrivation intlrieure adx, xeL*, d'apr~s [2], corollaire 3, P. 73 et (3-4.9-5)- (3.4.xo) Les groupes GL,(Z2) et SL2(Z2) ; exercice. --- Conservons les notations de (3.4.9). Notons G le groupe GL2(Ze) et S = SL2(Z2) son sous-groupe des filaments de d~terminant I. Le centre C de G est form6 des matrices scalaires, et l'intersection S n C se r~duit au groupe {4-1}. Pour neN*, notons G, le sous-groupe de congruence de G (cf. III, 3-e. 7) ddfini par x~G,-~.xEA et x--I~2".A. (3.4.xo.z) Posons S,,-= S ~ G, et C,=CoG,~. Nous avons C----C1, et la d6composifion classique en produit direct : C={4-I}� le groupe multiplicatif C 2 est isomorphe au groupe additif Z2. A chaque xeG correspond un automorphisme int6rieur y ~->xyz -1 de l'alg6bre A. Cet automorphisme conserve l'alg6bre de Lie L ~ et se prolonge donc en un automorphisme de l'alg6bre de Lie L. Nous obtenons ainsi un homomorphisme (3.4.xo.2) F : G-+F de G dans le groupe des automorphismes de L. Le noyau de F est le centre C de G, si bien que l'image est isomorphe au groupe projectif, G/C--= PGL2(Z2). L'homomorphisme F est surjectif (nous n'utiliserons pas cette propri6t6). Les consid6rations de (III, 3.2.6) s'appliquent ~ l'alg6bre A. Comme la formule (3.4-I~ det exp x = exp Tr x est valable pour tout xe4A et que l'application exponentielle est injective, nous parve- nons au r6sultat suivant. (3.4. xo.4) Les glgments de G2 (resp. de $2) s'obtiennent univoquement sous la forme exp(4x), 0~ xeA (resp. xeL~ Pour x~A, convenons de noter ad x l'application y~o.. Ix, y], off yEL, si bien que ad x~d. 19 x46 MICHEL LAZARD Chap. IV Les considerations de (3-i-7) sont applicables, et nous donnent la formule (3.4-IO.5) F exp(4x ) = exp ad(4x), pour tout xeA. Une base sur Z~ du module A est constitude des trois 61dments X, Y, H (3.4.9. I), et de l'616ment I(H+ I)=Z. Nous avons ad Z= I- ad H, d'ofi (3.4-Io.5) : 2 2 (3.4. io. fi) F exp(4Z ) = exp ad(2H). Remarquons que l'616ment exp 2H n'existe pas dans A ; cette affirmation peut ~tre pr~cis4e comme suit. (3.4 .Io. 7) Le groupe Sne contient aucun gdment x vdrifiant F(x)=exp ad(2H). En effet, l'entier 2-adique exp 4 n'est pas un carr~ dans Z 2 (car v((exp 4)--I)= 2). Par contre les dl~ments X et Y (3-4.9. I) vdrifient X 2 = y2 = o. Pour tout XeZ2, nous pouvons donc calculer exp(XX)= I q-XX (resp. exp(XY)= i q-XY), et nous avons F exp (XX) = exp ad (XX), (3.4-IO. 8) F exp(XY)= exp ad(XY). Notons a et b les dldments t a =--(I + 2X) =--exp(2X) ; (3-4. xo-9) b =--(i q- 2Y) =--exp(~Y). Nous avons a, bsS,, et F(a)=exp ad(2X), F(b)=exp ad(2Y). Notons K le sous-groupe de G engendrd par G~, a et b. (3.4.xo.xo) Le sous-groupe K est distingud dans Get --I CK. En effet, nous avons GazKzG~, et le groupe multiplicatif Ga/G 2 s'identifie au groupe additif de l'alg~bre ~.=A/2A : ~ un 61dment de G1/G2, reprdsent6 par xeG1, associons la classe de I(x--i) modulo 2A. Les dldments de K/G2 sont ainsi associds nous aux 41dments o, i +X, i +Y, Xq-Y de A (nous notons encore X et Y les matrices (3.4.9. i) ~t coefficients dans F~). Nous obtenons alors la d4finition suivante de K, qui montre son invariance dans G, et la relation --I q~K. (3"4 "IO'II ) xcK .r I x6a 2 ou xCG2, x~G1, x--3r et (x--I)2--4~8A. Le sous-groupe exp ad(4 L~ de P* admet comme base ordonnde les 51dments exp ad(4X), exp ad(4Y) et exp ad(SZ). Nous obtenons le groupe 2-saturd exp ad L* (qui est d'ailleurs 6gal ~t P*, d'apr5s (3.4.9.6)) en adjoignant ~t exp ad(4 L~ des racines carrdes des 616ments de cette base ordonnde (3.4. I). Comme le groupe K contient S~, ainsi que les 61dments exp(4Z), a et b, nous avons (3.4.IO.I2) F(K) = exp ad L*= P*. 530 GROUPES ANALYTIQUES p-ADIQUES Le noyau de la restriction de F ~ K est C2, d'apr~s (3.4. io. ~o). Notons U le sous-groupe S n K. (3.4. xo. 13) La restriction de l' homomorphisme F au sous-groupe U est injective. Celui-ci est donc isomorphe au groupe 2-valug F(U), qui est d'indice 2 dans F*. Le groupe U n'est pas trans- portable, au sens de (3.4.8). Le groupe F(U) contient en effet F(a), F(b), F(S2) , mais non exp ad(2H), d'apr6s (3-4-Io-7)- Si le groupe U 6tait transportable, nous pourrions appliquer la formule de Hausdorff ~t l'alg6bre de Lie engendr6e sur Z2 par les 616ments 2X, 2Y et 4 H, ce qui est impossible. Le groupe G/G~ est isomorphe tt GL2(F2) , donc au groupe sym6trique ~3 (le groupe GL2(F2) permute de toutes les six mani~res possibles les trois vecteurs non nuls du plan F~). Le groupe S/Sa est canoniquement isomorphe ~t G/G~. Le groupe S 1 est le produit direct U � {4- r }. Enfin, le groupe S/U est produit semi-direct d'un sous-groupe distingu6 cyclique d'ordre 3 par un sous-groupe (non distingu6) cyclique d'ordre 4. (3-4-zx ) Remarques sur les groupes fibres; exercice. -- Soit o~" le groupe libre pour une famille de g6n6rateurs (xi)l~<~< r. Pour chaque nombre r6el t>(p--I) -1, la (t,p)-filtration fait de o~- un groupe p-valud (III, 3-2.5); notons G(t) le satur6 de o~- pour sa (t, p)-filtration (3.3. i). Pour tout couple t, t', avec (3.4.n.I) (p--I)-l~.t<~t ' nous avons un homomorphisme continu (3"4 "Ix'2) f',t : G(t) ~ G(t') qui prolonge l'identit6 sur o~'. Ces homomorphismes sont bzjectifs, si bien que la limite projective (3.4-Ix-3) G = lim G(t) des G(t) pour les morphismes f'.t est une simple intersection. Le groupe G, muni de sa topologie de limite projective, est compact, et les formules (3-2.3) permettent de ddfinir sur lui une structure de Zp-algbbre de Lie compacte. Le groupe G possfide la propri6t6 universelle suivante : il contient une famille d'61d- ments (xi)l~<~<, , et, pour tout groupe p-satur6 H et toute famille (Yi)l~<~<r d'dl6ments de H, il existe un unique homomorphisme continu f:G-+H qui vdrifie f(xi)=y ~ pour I <~ i<<.r. Cependant aucune filtration ne fait de Gun groupe p-satur6 si r> I.
Journal
Publications mathématiques de l'IHÉS – Springer Journals
Published: Aug 4, 2007