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(1937)
Analyse de la loi asymptotique de la distribution des nombres premiers ge!ne! ralise! s
H. Koch (1901)
Sur la distribution des nombres premiersActa Mathematica, 24
Abstract En 1914, Littlewood a montré, contre l'opinion courante à l'époque, qu'il existe des valeurs de x pour lesquelles le nombre de nombres premiers inférieurs à x, π(x), dépasse le logarithme intégral de x, li x. Plus précisément, il a établi que, pour un K > 0 convenable, il existe une infinité de valeurs de x pour lesquelles π(x)−li x>K√xlogxlog log log x, et aussi [1] une infinité de valeurs de x pour lesquelles li x−π(x)>K√xlogxlog log log x. En 1937, Beurling a instauré une nouvelle manière de considérer les problèmes sur les nombres premiers, en introduisant les ‘nombres premiers généralisés’ [2]. L'idée est de partir d'une fonction croissante P(x) (x ≥ 0), nulle sur [0, 1], qui joue le rôle de π(x). On lui associe la fonction dzeta et la fonction croissante N(x) (qui joue le rôle de la partie entière de x) selon la formule ζ(s)=∫0∞x−sdN(x)=exp∫0∞log(1−x−s)−1dP(x); l'hypothèse est toujours que les intégrales ci-dessus existent lorque σ > 1 (s = σ + it). Le but de Beurling est, partant de propriétés convenables de la fonction N(x), d'obtenir pour P(x) le ‘théorème des nombres premiers’, P(x) ∼ li x (x → ∞). Nous allons, au contraire, partir d'une hypothèse simple sur P(x) (par exemple, P(x) < li x) et en tirer des conséquences pour la fonction ζ(x), en laissant de côté la fonction N(x). Bien entendu, nous verrons en passant que l'hypothèse P(x) < li x est incompatible avec le fait que ζ(s) soit la fonction dzeta de Riemann. Il sera commode d'associer à la fonction ζ(s) la fonction Z(s)=exp∫0∞x−sdP(x), elle aussi définie pour σ > 1. Ainsi ζ(s)=Πn=1∞(Z(ns))1/n. Nous nous servirons seulement des deux faits suivants. 1991 Mathematics Subject Classification 11M41, 11N80. © London Mathematical Society
Bulletin of the London Mathematical Society – Oxford University Press
Published: Jul 1, 1999
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