Get 20M+ Full-Text Papers For Less Than $1.50/day. Start a 14-Day Trial for You or Your Team.

Learn More →

Using Maxwell Distribution to Handle Selector’s Indecisiveness in Choice Data: A New Latent Bayesian Choice Model

Using Maxwell Distribution to Handle Selector’s Indecisiveness in Choice Data: A New Latent... Article  Using Maxwell Distribution to Handle Selector’s   Indecisiveness in Choice Data: A New Latent Bayesian   Choice Model  1 2 3,4, 3 3 Muhammad Arshad  , Tanveer Kifayat  , Juan L. G. Guirao  *, Juan M. Sánchez   and Adrián Valverde      Department of Applied Sciences, School of Science, National Textile University, Faisalabad 37610, Pakistan;  muhammadarshad@ntu.edu.pk    Department of Computer Science, SZABIST Islamabad, Islamabad 44000, Pakistan;   tanveerkifayat.qau@gmail.com    Department of Applied Mathematics and Statistics, Hospital de Marina, Technical University of Cartagena,  30203 Cartagena, Spain; juanmasanchezparra@gmail.com (J.M.S.); adrian_valverde12@hotmail.com (A.V.)    Nonlinear Analysis and Applied Mathematics (NAAM)‐Research Group, Department of Mathematics,   Faculty of Science, King Abdulaziz University, P.O. Box 80203, Jeddah 21589, Saudi Arabia  *  Correspondence: juan.garcia@upct.es  Abstract: This research primarily aims at the development of new pathways to facilitate the resolv‐ ing of the long debated issue of handling ties or the degree of indecisiveness precipitated in com‐ parative information. The decision chaos is accommodated by the elegant application of the choice  axiom ensuring intact utility when imperfect choices are observed. The objectives are facilitated by  inducing an additional parameter in the probabilistic set up of Maxwell to retain the extent of inde‐ cisiveness prevalent in the choice data. The operational soundness of the proposed model is eluci‐ dated through the rigorous employment of Gibbs sampling—a popular approach of the Markov  chain Monte Carlo methods. The outcomes of this research clearly substantiate the applicability of  Citation: Arshad, M.; Kifayat, T.;  the proposed scheme in retaining the advantages of discrete comparative data when the freedom of  Guirao, J.L.G.; Sánchez, J.M.;  no indecisiveness is permitted. The legitimacy of the devised mechanism is enumerated on multi‐ Valverde, A. Using Maxwell   fronts such as the estimation of preference probabilities and assessment of worth parameters, and  Distribution to Handle Selector’s   through the quantification of the significance of choice hierarchy. The outcomes of the research  Indecisiveness in Choice Data: A  New Latent Bayesian Choice Model.  highlight the effects of sample size and the extent of indecisiveness exhibited in the choice data. The  Appl. Sci. 2022, 12, 6337.  estimation efficiency is estimated to be improved with the increase in sample size. For the largest  https://doi.org/10.3390/app12136337  considered sample of size 100, we estimated an average confidence width of 0.0097, which is notably  more compact than the contemporary samples of size 25 and 50.   Academic Editors: Zhenglei He,   Yi Man and Kim Phuc Tran  Keywords: Bayesian approach; choices; comparative models; Maxwell distribution; preference   Received: 24 May 2022  ordering  Accepted: 17 June 2022  Published: 22 June 2022  Publisher’s  Note:  MDPI  stays  neu‐ tral  with  regard  to  jurisdictional  1. Introduction  claims in published maps and institu‐ Competent decision making requires a variety of cognitive skills assisting the notion  tional affiliations.  of the search for value information to enhance the working potentials, especially when  dealing with a complex multifaceted environment [1]. This process demands comparing  and mastering the available choices while simultaneously dealing with the practical lim‐ itations [2]. Therefore, the enchanted status of analyzing and modeling choice behaviors  Copyright: © 2022 by the authors. Li‐ in the multidisciplinary research literature is of no surprise. The well‐directed historic  censee  MDPI,  Basel,  Switzerland.  tour  of  [3]  traced the  roots  of the  comparative  notions  in  seventeenth  century  France,  This article is an open access article  where [4] advocated the use of comparative models (in a very abstract form) as a method  distributed under the terms and con‐ to ensure higher levels of fairness in the electoral process. However, it was the seminal  ditions of the Creative Commons At‐ contributions of [5,6] that laid the foundational blocks communicable through mathemat‐ tribution (CC BY) license (https://cre‐ ativecommons.org/licenses/by/4.0/).  ical  rigors  to  encapsulate  individual  differences  and  associated  choice  behaviors.  The  Appl. Sci. 2022, 12, 6337. https://doi.org/10.3390/app12136337  www.mdpi.com/journal/applsci  Appl. Sci. 2022, 12, 6337  2  of  13  aforementioned efforts instigated the idea of paired comparison (PC) experiments and  brought related models into the lime light. Since then, PC methodologies have attracted  the attention of many researchers from diverse fields of enquiry ranging from health sur‐ veillance to sport analysis. For example, in the past, [7] explored the applicability of PC  models to evaluate the  performance  of  industrial  accessories.  Furthermore,  [8,9]  eluci‐ dated the use of the PC approach to analyze sporting events and predict their outcomes.  In the recent past, [10] argued the PC schemes were an alternative to the Likert scale for  the ranking of psychological markers and indicators’ evaluation. Moreover, [11,12] com‐ petently elaborated on the interlinkages coupling the choice modelling strategies and the  numerous variants of rational choice theory governing the preference attitudes in political  science, sociology and criminology. For comprehensive accounts documenting the utility  of PC methodologies in investigative pursuit, one may also consult [13–15].   In general, comparative experiments peruse the complexity of rational decision mak‐ ing by providing comprehension of the vital ingredients, such as attribute‐level combina‐ tions, repeated choices and utility‐based trade‐off, by offering mutually exclusive choice  alternatives to the selectors or judges. The inherent randomness of individual choices is  explained by assuming the probabilistic model, whereas the associated utility is deline‐ ated through the stimuli governing the overall choice dynamics. In its simplest form the  judges, say 𝑛 , are asked about their preferences while pairwise comparing, say 𝑚 , items,  objects or individuals through a simple question, that is, “Do you prefer item 𝑖   over item  𝑗 ?”. One may notice the immediate relevance of the inquiry in all sorts of human behav‐ ioral assessment mechanisms. Thus, in a complete two factorial setup, each judge provides    responses in regard to the above inquiry. Table 1 presents the binary string of com‐ parative choice hierarchy recorded by a single selector or judge while conducting a paired  comparison experiment.   Table 1. Hypothetical choice matrix involving single selector and 𝑚   objects, Y = yes and N = No.  Objects  1  2  3  4  5 ‐  𝒎   1 ‐  Y  Y  Y  N ‐  Y  2 ‐  ‐  N  N  N ‐  N  3    ‐  ‐  N  Y ‐  Y  4     ‐  ‐  Y ‐  Y  5        ‐  ‐  ‐  N  ‐          ‐  ‐  ‐  𝒎            ‐  It is trivial to extend the above reported structure to the incorporation of comparative  information accumulated over 𝑛   selectors.  The numerous delicacies have been introduced through a rich stream of ongoing ef‐ forts in the above given simple structure, enabling choice models to deal with the com‐ plexities of real phenomena. For more recent, interesting and knowledgeable accounts of  the more notable contributions, one may consult [16–19]. This article fundamentally fo‐ cuses on the entertainment of selectors’ indecisiveness in choice reporting, at methodo‐ logical and modeling levels. The issue of handling ties in preference data has long been  debated and remains a primary component of the available literature focusing on the anal‐ ysis of discrete choices. The opinion chaos has rightly been summarized by [20] who noted  “the key point is that modelling of ties explicitly can be important, although there is no  consensus on how this should be done; no approach apart from ignoring ties appears to  be in widespread use”.  This article is mainly divided into five partitions. Section 2 is dedicated to document‐ ing the mathematical foundations of the proposed procedure, whereas Section 3 provides  a rigorous account of the simulation‐based evaluations of the proposal while mimicking  Appl. Sci. 2022, 12, 6337  3  of  13  numerous experimental states. Section 4 delineates the applicability of the suggested ap‐ proach while analyzing drinking water brands’ choice data. Lastly, the main findings are  discussed along with some future possible research avenues in Section 5.  2. Methods and Materials  2.1. Preliminaries  Let us consider that full factorial pairwise comparison set up is launched to generate  comparative information among 𝑚   objects by 𝑛   judges, where pair of stimuli elicits a  continuous discriminal process. The latent preference hierarchy between 𝑖′𝑡ℎ   object and  object 𝑗   is then thought to follow one dimensional Maxwell distribution over the con‐ sistent support in the population, such as  𝑓 𝑥 𝑥 , 𝑥 0,𝜃 0, and  (1) 𝑓 𝑥 , 𝑥 0,𝜃 0.  Here, 𝜃   and 𝜃   are scale parameters of the hallmark structure connecting the prob‐ ability density of the particle’s kinetic energies to the temperature of the system while  taking into account the configurational fluctuations of the system [21]. It is noteworthy  that the traditional competency of Maxwell formation in encapsulating the atomic velocity  distribution with the assumption of lacking potentials provides natural foundations to  model preference stimuli while considering utility as a latent phenomenon. In the case of  binary string of choice alternatives, the interest lies in the deduction of preference proba‐ bilities as a function of worth parameters dictating the comparative utility precipitation  of  competing  objects.  Mathematically,  probability  of  preferring  object  𝑖   over  object  𝑗   that  is,  𝑖→𝑗 ,  remains  quantifiable,  such  as  𝑝 𝑃𝑋 𝑋 .  Similarly,  𝑝 . . 𝑃𝑋 𝑋   represents  the  preference  probability  of  𝑗→𝑖 ,  as  a  function  of  estimated  worth parameters [22]. Recently, [23] provided the simplified form of preference proba‐ bilities such as  2 𝜃 𝜃 𝜃 𝜃 𝑝 1 𝑎𝑐𝑡𝑛𝑎𝑟   𝜋 𝜃 and  2 𝜃 𝜃 𝜃 𝜃 𝑝 1 𝑎𝑐𝑡𝑛𝑎𝑟   (2) 𝜋 𝜃 2.2. Proposed Model  In preference data, when ties are permitted, selectors are indeed offered three poten‐ tial responses while confronting the task of choosing  𝑖→𝑗 , those are “yes”, “no” or “no  preference”. Thereby, it is to be noted that in the case of a balanced factorial comparative  experiment, the selector responses distinguishing each pair follow trinomial distribution.  For notational purposes, the preference probability of  𝑖→𝑗   is denoted as 𝑝 , where  𝑝   represents preference for  𝑗→𝑖 . The probability highlighting the extent of indistinc‐ tiveness or indecisiveness while comparing both competing objects is reported as 𝑝 ,  that is  𝑖𝑗   when no preference is given between the paired items under comparison.  The accommodation of ties is proceeded in accordance with [24] proposition ensuring in‐ tact utility of [25] choice axiom allowing the occurrence of imperfect choices as follows  Appl. Sci. 2022, 12, 6337  4  of  13  𝑝 𝜏   (3) . . . where 𝜏 0  is the constant of proportionality representing the tie parameter and inde‐ pendent of the  ,𝑗   pair, whereas preference probabilities, 𝑝   and 𝑝 , are as given in  . . Equation  (2).  Moreover, 𝑝 and 𝑝 0,1  and 𝑝 𝑝 𝑝 1.  It  is  noteworthy  . . . . . that the proportionality functional in Equation (3) ensures that the probability of no pref‐ erence is dependent upon the extent of distinguishability of pairs. Furthermore, the use of  geometric formulation permits representation of the compared item on a linear scale when  logarithmic function is applied.   Thus, by using tie adjusted formation supported by the liberty of imperfect choices  and preference probability sum, it remains verifiable that the preference probability of  𝑖→𝑗   remains simplified as  𝜋𝜃 𝜃 2 𝜃 𝜃 𝜃 𝜃 𝜃 𝜃 𝑝   (4) 𝜃 𝜃 𝜋𝜃 𝜃 𝜏 𝜋𝜃 𝜃 2 𝜃 𝜃 𝜃 𝜃 𝜃 𝜃 2 𝜃 𝜃 𝜃 𝜃 𝜃 𝜃 𝜃 𝜃 Similarly,  governed  by  the  one  dimensional  Maxwell  distribution,  the  preference  probability of  𝑗→𝑖   is calculated as  2 𝜃 𝜃 𝜃 𝜃 𝜃 𝜃 𝑝   (5) 𝜃 𝜃 𝜋𝜃 𝜃 𝜏 𝜃 2 𝜃 𝜃 𝜃 𝜃 𝜃 𝜃 2 𝜃 𝜃 𝜃 𝜃 𝜃 𝜃 𝜃 𝜃 Furthermore, the extent of indistinguishability is estimable such as  𝜃 𝜃 𝜏 𝜃 2 𝜃 𝜃 𝜃 𝜃 𝜃 𝜃 2 𝜃 𝜃 𝜃 𝜃 𝜃 𝜃 𝜃 𝜃 𝑝   . (6) 𝜃 𝜃 𝜋𝜃 𝜃 𝜏 𝜃 𝜃 2 𝜃 𝜃 𝜃 𝜃 𝜃 𝜃 2 𝜃 𝜃 𝜃 𝜃 𝜃 𝜃 𝜃 𝜃 In the case of 𝑚   competing objects and 𝑛   selectors, let 𝒘𝑤 ,𝑤 ,𝑤   repre‐ , , , sent the vector comprehending the observed preferences when object 𝑖   is competing with  object 𝑗 . Additionally, 𝑛   denotes the total number of possible comparisons in 𝑟   repli‐ cations by 𝑛   selectors, where 𝑖𝑗 ;𝑖 1,𝑗𝑚 . Then the likelihood function of realized  choice data generated through the complete factorial set up consists of w trials with the  permission of ties, is written as  . . . . 𝑙 𝒘 ,𝜽 ,𝜏 ∏ 𝑝 𝑝 𝑝 , 0𝜃 1 and 0𝜏 1.  (7) . . . ! ! ! . . . . Here, the issue of identifiability is resolved by ensuring ∑ 𝜃 1, and 𝜃   is asso‐ ciated worth parameter attached with 𝑖′𝑡ℎ   object dictating the degree of preference of the  object, where 𝑖 1, 2,.. .,𝑚 .   2.3. Incorporating Prior Information  In this era of next generation computing hardware, the utility of prior information  for the execution of more sound and knowledgeable policy interventions has gain unprec‐ edented momentum in scientific rigors. It is noteworthy that under the considered for‐ mation, two priors are required, one to explain stochastic behavior of worth parameters  and second for the capsulation of tie parameter. For demonstration, we consider informa‐ tive prior in the form of Dirichlet prior for the elaboration of worth parameters as follows  𝑝 𝜽 𝜃 , 0𝜃 1  (8) 𝑡𝑎𝑛 𝑡𝑎𝑛 𝜋 𝑡𝑎𝑛 𝑡𝑎𝑛 𝜃𝜋 𝑡𝑎𝑛 𝑡𝑎𝑛 𝜃𝜋 𝑡𝑎𝑛 𝑡𝑎𝑛 𝑡𝑎𝑛 𝑡𝑎𝑛 𝑝 𝑝 Appl. Sci. 2022, 12, 6337  5  of  13  Similarly, Gamma prior is considered for the conceptualization of tie parameter as  under  𝑝 𝜏 𝜏 𝑒 , 0𝜏 1  (9) Here, 𝑑 ,  a   and  a   are the hyperparameters of the prior structure. The motivation  behind the use of Dirichlet prior remains intact under the notion of parsimony, as it em‐ ploys fewer number of hyperparameters and thereby is thought to be providing more  concise estimates. Furthermore, the Gamma prior remains attractive for tie parameter as  both distributional spaces are bounded over  0, 1   range, and thus offers natural support  to the estimation efforts.   2.4. Posterior Distribution and Estimation of the Worth Parameters  By using the prior distributions given in Equations (8) and (9) along with likelihood  function of Equation (7), the joint posterior distribution is deducted as below  . . . . 𝑝 𝜃 ,𝜃 ,…,𝜃 |𝒘 𝜃 𝜏 𝑒 𝑝 𝑝 𝑝 ,  (10) . . . where  𝑘 1 1 1 ∑ . . . . … ∏ 𝜃 𝜏 𝑒 𝑝 𝑝 𝑝 𝑑𝜃 …𝑑𝜃 𝑑𝜃   and  1 2 1 . . . 0 0 0 represents the normalizing constant. The deduction of marginal posterior distributions  requires the resolve of complex integrations involved in the expression of joint posterior  distribution. The objective is attained by the launch of Gibbs sampling—popular approach  of Markov chain Monte Carlo methods [26]. In general, Gibbs sampling proceeds by as‐ suming 𝑃𝜃 ;𝑥   be the joint posterior density, where 𝜃 𝜃 ,𝜃 ,…,𝜃 . The conditional  1 2 densities  of  worth  parameters  are  then  given  by  𝑃 𝜃 I𝜃 ,𝜃 …,𝜃 ,𝑃 𝜃 I𝜃 ,𝜃 …,𝜃 …𝑃 𝜃 I𝜃 ,𝜃 …,𝜃 . The Gibbs sampler now initi‐ 1 2 3 2 1 3 1 2 1 0 0 0 ates by assuming initial values upon worth parameters such as  ,𝜃 ,…,𝜃   and  2 3 1 0 0 0 conceptualizes the  conditional  distribution  of  𝜃   such  that  𝑃𝜃 I𝜃 ,𝜃 ,…,𝜃 .  1 1 2 3 The iterative procedure continues until the convergence occurs. For demonstration pur‐ poses, the expression for the marginal posterior distribution of worth parameter associ‐ ated with 𝑚 ′𝑡ℎ   object, that is 𝜃 , is solved as follows   . . . . 𝑝 𝜃 |𝒘 … ∏ 𝜃 𝜏 𝑒 𝑝 𝑝 𝑝 𝑑𝜃 …𝑑𝜃 , . . . (11) 0𝜃 1  The  1𝛼 100%  credible intervals attached with 𝜃 , say 𝐶 , are obtained numeri‐ cally by solving the given expression  𝑝 𝜃 :𝒙 ,𝑤 ,𝜏 𝑑𝜃 1𝛼 ,  (12) which is a subset of 𝜃 ′𝑠   parametric space. Figure 1 below presents the flow diagram  summarizing the working of the proposed scheme along with algorithmic advancements.  Appl. Sci. 2022, 12, 6337  6  of  13  Figure 1. Flow diagram of the proposed scheme.  2.5. Bayes Hypothesis Testing   Now, we proceed towards the evaluation of statistical significance of the underlying  comparative hierarchy. In Bayesian framework, the task is accomplished by quantifying  the posterior probabilities and resultant Bayes factors associated with concerned hypoth‐ esis. The complementary hypothesis streaming pair of objects is given as  𝐻 :𝜃 𝜃 vs. 𝐻 :𝜃 𝜃 . The posterior probabilities deciding upon the existent discrepancies remain calcula‐ ble as  𝜙 𝑃 𝜁 ,𝜂𝛪𝜔 𝑑𝜂𝑑𝜁 ,  (13) Appl. Sci. 2022, 12, 6337  7  of  13  where 𝜂𝜃 , 𝜁𝜃 𝜃 . It is trivial to show that 𝜙 1𝜙 . The Bayes factor now  remains estimable with straightforward operation such that 𝐵𝐹 𝜙 ⁄𝜙 . Generally ac‐ cepted criterion nominating the degree of significance while employing Bayes factor is  given as  𝐵𝐹 1, support 𝐻   10 BF 1, minimal evidence against 𝐻   10 𝐵𝐹 10 , substantial evidence against 𝐻   10 𝐵𝐹 10 , strong evidence against 𝐻   𝐵𝐹 10 , decisive evidence against 𝐻 .  2.6. Limitations of the Proposed Scheme   It is important to note the limitations of the proposed mechanism at this stage. Our  newly developed  model  is  demonstrated  to  be  workable  for  the adjustment  of the  re‐ sponse of “no choice or tie”. However, the existence of ties in comparative data is not the  only challenge. The choice data may suffer from two other sources of contamination that  are: (i) the order of presenting the objects, most commonly known as order effect, and (ii)  the tendency to report socially desirable responses while hiding the true status of the mat‐ ter.  It  is  noteworthy  that  the  origin  of  these  complications  is  different  from  the  docu‐ mented response of no choice. The indecisiveness arises from either indistinguishable na‐ ture of the competing objects or from the judge(s) lacking the capability to distinguish the  objects, whereas desirability bias generates due to the fondness of the respondent(s) to‐ wards being socially acceptable or approved. On the other hand, order effect indicates the  lack of consistency of the judge(s). Keeping the inherent differences in mind, it is antici‐ pated that new post hoc strategy capable of entertaining aforementioned complexities,  one by one or simultaneously, is desirable in future. It can be reported that the devised  scheme  is  capable  of  catering  ties  in  its  present  formation.  However,  the  treatment  of  aforementioned challenges is an attractive future research scope.   3. Simulation‐Based Evaluation  At first, rigorous simulation‐based investigation is launched to explore the dynamics  of the proposed scheme. The performance of the devised mechanism is studied while con‐ sidering a wide range of parametric settings, including varying sample sizes and the pa‐ rameter  defining  the  extent  of  indecisiveness.  We  consider  three  samples  as,  𝑛 25, 50 and 100, for two values of tie parameters, that is, 𝜏 0.1 and 0.2. These states are  then studied for three competing objects, that is, 𝑚 3, under a preset preference order‐ ing where 𝜃 𝜃 𝜃   and 𝜃 0.24,𝜃 0.36  and 𝜃 0.40. Table 2 presents the ar‐ tificially generated data sets resulting from the aforementioned parametric settings.  Table 2. Artificial data under the preset experimental states.  𝒏   𝒘   𝒘   𝒘   𝒘   𝒘   𝒘   𝒘   𝒘   𝒘   𝟏 . 𝟐 .𝟏𝟐 𝟎 .𝟏𝟐 𝟏 . 𝟑 .𝟏𝟑 𝟎 .𝟏𝟑 𝟐 .𝟐𝟑 𝟑 .𝟐𝟑 𝟎 .𝟐𝟑 𝜏 0.10  25  8  16  1  6  18  1  5  19  1  50  11  37  2  9  39  2  16  33  1  100  27  72  1  19  73  8  44  51  5  𝜏 0.20  25  5  18  2  6  17  2  10  12  3  50  15  27  8  12  34  4  19  26  5  100  19  72  9  24  73  3  37  52  11  Tables  3–5  demonstrate  the  relevant  summaries  highlighting  the  various  perfor‐ mance aspects of the schemes. Table 3 provides the Bayes estimates of worth parameters  along with the associated 95% credible intervals.  𝟏𝟑 𝟏𝟐 Appl. Sci. 2022, 12, 6337  8  of  13  Table 3. Estimates of worth parameters and associated 95% credible intervals (in parenthesis) for  pre‐defined experimental settings.  𝒏 𝜽 𝜽 𝜽 𝝉 𝟏 𝟐 𝟑 𝜏 0.10 0.2549   0.3014   0.4437   0.0865   25  (0.2448, 0.2651)  (0.2905, 0.3122)  (0.4301, 0.4571)  (0.0728, 0.1002)  0.2414   0.3403   0.4183   0.0911   50  (0.2330, 0.2498)  (0.3389, 0.3415)  (0.4091, 0.4275)  (0.0806, 0.1016)  0.2491   0.3516   0.3992   0.0986   100  (0.2337, 0.2494)  (0.3508, 0.3603)  (0.3964, 0.4022)  (0.0933, 0.1039)  𝜏 0.20  0.2689   0.3739   0.3832   0.1881   25  (0.2640, 0.2738)  (0.3619, 0.3860)  (0.3610, 0.3954)  (0.1715, 0.2048)  0.2428   0.3510   0.3958   0.2128   50  (0.2327, 0.2528)  (0.3489, 0.3647)  (0.3896, 0.4275)  (0.1956, 0.2199)  0.2421   0.3594   0.3969   0.1926   100  (0.2390, 0.2454)  (0.3556, 0.3624)  (0.3939, 0.4098)  (0.1894, 0.2086)  Table 4. Posterior probabilities and resultant Bayes factors associated with competing hypothesis.  Posterior Probabilities  Bayes Factor  𝑯   𝑯   𝑯   𝑩   𝑩   𝑩   𝟏𝟐 𝟏𝟑 𝟐𝟑 𝟏𝟐 𝟏𝟑 𝟐𝟑 𝜏 0.10 25  0.1085  0.0001  0.0026  0.1217  0.0001  0.0026  50  0.0377  0.0002  0.0234  0.0392  0.0002  0.0240  100  0.0126  0.0001  0.0527  0.0128  0.0001  0.0557  𝜏 0.20 25  0.0006  0.0004  0.3549  0.0006  0.0004  0.5502  50  0.0039  0.0001  0.0414  0.0039  0.0001  0.0432  100  0.0005  0.0001  0.1876  0.0005  0.0001  0.2309  Table 5. Posterior preference probabilities of pairwise competing objects when ties are permitted.  𝒏 𝒑 𝒑 𝒑 𝒑 𝒑 𝒑 𝒑 𝒑 𝒑 𝟏 .𝟏𝟐 𝟐 .𝟏𝟐 𝟎 .𝟏𝟐 𝟏 .𝟏𝟑 𝟑 .𝟏𝟑 𝟎 .𝟏𝟑 𝟐 .𝟐𝟑 𝟑 .𝟐𝟑 𝟎 .𝟐𝟑 𝜏 0.10 25  0.3789  0.5804  0.0405  0.1871  0.7797  0.0330  0.2607  0.7021  0.0370  50  0.2819  0.6782  0.0398  0.1885  0.7766  0.0348  0.3555  0.6022  0.0421  100  0.2802  0.6768  0.0429  0.2201  0.7399  0.0398  0.4001  0.5534  0.0464  𝜏 0.20 25  0.2295  0.6953  0.0751  0.2189  0.7069  0.0740  0.4427  0.4712  0.0859  50  0.3229  0.5846  0.0924  0.2523  0.6607  0.0869  0.3708  0.5344  0.0947  100  0.2757  0.6431  0.0811  0.2197  0.7044  0.0757  0.3857  0.5273  0.0868  The summaries presented in the above table competently indicate the legitimacy of  the proposed model in retaining the predefined underlying ordering of the competing  objects, that is, 𝜃 →𝜃 →𝜃 , when ties in the discrete choice data are permitted. Addi‐ tionally, it is noteworthy that the proposition competently captures the degree of indeci‐ siveness precipitated in the comparative information. This fact is realized regardless of  the varying sample sizes and different values of the tie parameter. However, a more pro‐ found performance of the approach under discussion is witnessed with an increased sam‐ ple size. For example, the closest and most precise estimation of both delicacies, that is,  the worth parameters and tie parameter, are witnessed for the case of 𝑛 100, where the  proposed scheme closely estimates the values of both the worth parameters and tie pa‐ rameter. Moreover, the decreased width of the credible interval shows the precision of the  procedure with which it remains capable of estimating the preset experimental states. This  realization  is  further  highlighted  in  Figure  2  depicting  the  prevalent  variability  in  the  Appl. Sci. 2022, 12, 6337  9  of  13  Bayes estimates through side‐by‐side box plots. One may notice that minimal variation is  attributed with a larger sample size.  (a) 𝜃   (b) 𝜃   (c) 𝜃   (d) 𝜃   (e) 𝜃   (f) 𝜃   Figure 2. Side‐by‐side box plots depicting the extent of variability observed in the estimation of  worth parameters; top panel projects the variation for 𝜏 0.10, whereas lower panel shows the  behavior for 𝜏 0.20. The * indicates the presence of outliers.  The significance of the utility differences of the competing objects are demonstrated  by quantifying the posterior probabilities and related Bayes factors for the complementary  hypothesis. The results are summarized in Table 4. The establishment of a predefined  preference ranking and its associated significance is observable from the calculated pos‐ terior probabilities and Bayes factors. Regardless of the varying sample sizes and the ex‐ tent of indecisiveness, we witnessed maintained ordering such as,  𝜃 →𝜃 →𝜃 ; how‐ ever, with different extents of associated significance. In general, we estimate that for 𝜏 0.10,  substantial  evidence  exists  indicating  that  𝜃 →𝜃 ,  and  decisive  evidence  is  ob‐ served  highlighting  𝜃 →𝜃 ,  whereas  strong  evidence  establishes  the  significance  of  𝜃 →𝜃 . This observation is realized for all considered sample sizes. Furthermore, in the  case  of  𝜏 0.20,  strong  evidence  is  attached  with  𝜃 →𝜃   and  𝜃 →𝜃   along  with  strong indications of the instance of 𝜃 →𝜃 .  The estimated posterior probabilities of the preferences while pairwise comparing all  three objects are assembled in Table 5. The outcomes seal the consistent behavior of the  proposed mechanism.  4. Application—Preference of Drinking Water Brands  We now proceed by demonstrating the applicability of the devised model by study‐ ing the choice data of three drinking water brands commonly available in market. The  pairwise comparative data with permitted ties were collected from fifty local residents of  Islamabad, Pakistan, by inquiring about their preferred brand among (i)—Aquafina (AQ),  (ii)—Nestle (NL) and (iii)—Kinley (KN). One may notice that in this situation 𝑛 50  and  Appl. Sci. 2022, 12, 6337  10  of  13  𝑚 3. Table 6 displays the collected data, whereas Figure 3 depicts the distribution of  counts in the relevant predefined classifications.  Table 6. Preference counts pairwise choices of the drinking water brands.  Pairs  𝒊 ,𝒋 𝒘 𝒘 𝒘 𝒊 . 𝒋 . 𝟎 . AQ, NT 17  27  6  AQ, KL 26  19  5  NT, KL 28  18  4  Figure 3. The distribution of discrete preferences along with counts of indecisiveness for drinking  water brands’ data.  We start the exploration by first eliciting the hyperparameters using confidence lev‐ els by the use of the joint posterior distribution of Equation (10) and defining the prior  predictive distribution as under  . . . . 𝑝𝑤 ,𝑤 𝑄 𝜃 1𝜃 𝜏 𝑒 𝑝 𝑝 𝑝 𝜃    . . . . . Here, 𝑄 . [27]  proposed  the  elicitation  of  hy‐ ! ! ! . . . . perparameters through the function as follows  Ψ 𝒄 𝑎𝑖𝑚𝑛𝑔𝑟 | 𝐶𝐶𝐿 𝐸𝐶𝐿 |, where 𝒄   is the set of elicited hyperparameters, whereas 𝑘   represents the number inter‐ val required to elicit the hyperparameters. Additionally,  𝐶𝐶𝐿   and  𝐸𝐶𝐿   are the con‐ fidence level and elicited confidence level, respectively, characterized with the specific  hyperparameter. By exploiting the joint posterior distribution, the confidence levels are  given as  ∑∑ 𝑝 𝑤 ,𝑤 0.05 ,∑∑ 𝑝 𝑤 ,𝑤 0.07,  . . . . . . . . ∑∑ ∑∑ 𝑝 𝑤 ,𝑤 0.05 , 𝑝 𝑤 ,𝑤 0.07,  . . . . . . . . ∑∑ 𝑝 𝑤 ,𝑤 0.05 ,∑∑ 𝑝 𝑤 ,𝑤 0.07.  . . . . . . . . The elicited values of the hyperparameters for both priors, that is, Dirichlet prior for  worth parameters and Gamma prior for the tie parameter, are 𝑑 2.5012, 𝑑 2.6595,  𝑑 2.7001, 𝑎 2.1086  and 𝑎 5.4596. Table 7 presents the Bayes estimates of the  worth parameters dictating the choice hierarchy of the comparative data gathered from  the drinking water experiment along with the associated evidence of significance. The  proposed scheme establishes the choice ranking as such: 𝜃 →𝜃 →𝜃 , indicating that  most of the individuals selected in the sample preferred the Nestle brand, followed by  Aquafina, whereas Kinley was the least preferred. This hierarchy can also be anticipated  from the observed data. Moreover, the preference ordering is observed to be statistically  significant with strong evidence associated with the instances of 𝜃 →𝜃   and 𝜃 → 𝑑𝜏𝑑 𝒊𝒋 𝒊𝒋 𝒊𝒋 Appl. Sci. 2022, 12, 6337  11  of  13  𝜃 , whereas we witnessed substantial evidence attached with 𝜃 →𝜃 . These realiza‐ tions are further supported by the posterior probability estimates of the comparative pref‐ erences, given in Table 8.  Table 7. Summaries of the analysis of the drinking water choice data.  Estimates  Bayes Factor  𝝉   𝑩   𝜽   𝒊 𝒋 𝒊 𝒋 0.37153  𝜏 ̂   0.12504  𝐵   16.181  𝜃   , , 𝜃   0.32643  𝜏 ̂   0.13252  𝐵   56.306  , , 𝜏 ̂   𝐵   𝜃   0.30204  0.12878  3.062  , , Table 8. Posterior preference probabilities of comparative choices.  Preference Probabilities  𝑝   0.54696  𝑝   0.59222  𝑝   0.51621  . , . , . , 𝑝   𝑝   𝑝   0.39331  0.34921  0.42357  . , . , . , 𝑝   0.05973  𝑝   0.05856  𝑝   0.06022  . , . , . , 5. Discussion and Conclusions  The realization and confrontation of choices is unavoidable in every aspect of daily  life. Thereby, the methods facilitating the fundamentals of choice dynamics have a long  and well cherished history in the multidisciplinary research literature. It has been compe‐ tently argued in the existing literature that the foundations of rational decision making  stand on the essential elements of (i) utility: the latent factor derived by the choice axiom  [28] and  (ii)  consistency: the  extent  of  judgment  following  the axiom using  inferential  soundness [29]. Therefore, the search for such methods capable of entertaining both fun‐ damentals simultaneously, has attracted noticeable attention in research circles [30]. How‐ ever, the issue of handling the indecisiveness of selector(s) in reporting choice data re‐ mains long standing. There is undoubted consensus over the misleading nature of inde‐ cisive responses, but, unfortunately, the available literature lacks in its ability to demon‐ strate feasible solutions, especially at the methodological level. Motivated by the afore‐ mentioned factors, this article proposes a new choice model in conjunction with the Bayes‐ ian paradigm when the judge or selectors have the opportunity of reporting a “no prefer‐ ence” response. The proposed scheme is fundamentally advantageous in reducing the  forced response bias. It is anticipated that by permitting the occurrence of ties while re‐ porting the preferences, the selector(s) are offered extended flexibility to be able to report  their true status. Moreover, by devising a workable approach, the scheme enables the in‐ vestigator to estimate the influence of ties in the reported data through methodological  sound  pathways.  The  applicability  of  the  suggested  approach  is  affirmed  on  multiple  fronts, such as through mathematically derived expressions, and by the launch of rigorous  simulations and being demonstrated empirically. The outcomes of the research substan‐ tiate the legitimacy of the proposed mechanism, especially on four frontiers. Firstly, it is  witnessed  that  the  newly  suggested  model  delicately  maintains  the  inherent  ordered  structure of the observed choice data. This is observed with respect to all considered sam‐ ple sizes and the varying extent of choice parameters. Secondly, the proposed scheme en‐ ables us to estimate the degree of indecisiveness prevalent in the comparative information.  Furthermore,  in  concordance  with  asymptotic  theory,  the  estimated  subtitles  become  more obvious with an increased sample size. Lastly, the suggested model assists the ra‐ tional decision making notions by providing sound inferential aspects facilitated through  the Bayesian framework.  At this stage, it is obligatory to report the limitations of the newly developed model  that offers attractive research pursuits for the future. Along with ties, the choice data show  numerous concerns of practical significance such as the order of presentation of the com‐ peting objects (order effect) and socially‐motivated preferences (desirability bias). If not  Appl. Sci. 2022, 12, 6337  12  of  13  treated appropriately, the aforementioned contaminations pose serious threats to the va‐ lidity of the modeling strategies by producing misleading results. It is noteworthy that  this research encapsulates the issue of ties and is not capable of entertaining other docu‐ mented complexities. In future, it will be interesting to further elaborate the proposed  procedure for the accommodation of order effects and desirability bias.  Author Contributions: M.A.: model statement; J.L.G.G.: model validation; T.K.: literature search  and review; A.V. and J.M.S.: manuscript writing and editing. All authors have read and agreed to  the published version of the manuscript.  Funding: This research was funded by Primafrio‐UPCT Cátedra.  Informed Consent Statement: Not applicable.  Conflicts of Interest: The authors declare no conflict of interest.  Reference  1. Fischhoff, B.; Broomell, S.B. Judgment and decision making. Annu. Rev. Psychol. 2020, 71, 331–355.  2. Dhami, M.K.; Mandel, D.R.; Mellers, B.A.; Tetlock, P.E. Improving Intelligence Analysis with Decision Science. Perspect. Psychol.  Sci. 2015, 10, 753–757, https://doi.org/10.1177/1745691615598511.  3. Young, H.P. Condorcet’s theory of voting. Am. Pol. Sci. Rev. 1988, 82, 1231–1244.  4. Condorcet, M.D. Essay on the Application of Analysis to the Probability of Majority Decisions; Imprimerie Royale: Paris, France, 1785.  5. Thurstone, L.L. A law of comparative judgment. Psychol. Rev. 1927, 34, 273–286.  6. Bradley, R.A.; Terry, M.E. Rank Analysis of Incomplete Block Designs: I. The Method of Paired Comparisons. Biometrika 1952,  39, 324, https://doi.org/10.2307/2334029.  7. Mazzuchi, T.A.; Linzey, W.G.; Bruning, A. A paired comparison experiment for gathering expert judgment for an aircraft wiring  risk assessment. Reliab. Eng. Syst. Saf. 2008, 93, 722–731, https://doi.org/10.1016/j.ress.2007.03.011.  8. Cattelan, M.; Varin, C.; Firth, D. Dynamic Bradley–Terry modelling of sports tournaments. J. R. Stat. Soc. Ser. C Appl. Stat. 2013,  62, 135–150.  9. Schauberger, G.; Tutz, G. Subject‐specific modelling of paired comparison data: A lasso‐type penalty approach. Statist. Modell.  2017, 17, 223–243.  10. Sung, Y.‐T.; Wu, J.‐S. The Visual Analogue Scale for Rating, Ranking and Paired‐Comparison (VAS‐RRP): A new technique for  psychological measurement. Behav. Res. Methods 2018, 50, 1694–1715, https://doi.org/10.3758/s13428‐018‐1041‐8.   11. Chorus, C.G. Capturing alternative decision rules in travel choice models: a critical discussion. In Handbook of Choice Modelling;  Hess, S., Daly, A., Eds.; Edward Elgar: Northampton, MA, USA, 2014; pp. 290–310.  12. Liebe, U.; Mariel, P.; Beyer, H.; Meyerhoff, J. Uncovering the nexus between attitudes, preferences and behavior in sociological  applications of stated choice experiments. Soc. Methods Res. 2021, 50, 310–347.  13. Elsenbroich, C.; Payette, N. Choosing to cooperate: Modelling public goods games with team reasoning. J. Choice Model. 2020,  34, 100203, https://doi.org/10.1016/j.jocm.2020.100203.  14. Pink, S.; Kretschmer, D.; Leszczensky, L. Choice modelling in social networks using stochastic actor‐oriented models. J. Choice  Model. 2020, 34, 100202, https://doi.org/10.1016/j.jocm.2020.100202.  15. Liebe, U.; Meyerhoff, J. Mapping potentials and challenges of choice modelling for social science research. J. Choice Model. 2021,  38, 100270, https://doi.org/10.1016/j.jocm.2021.100270.   16. Borriello,  A.;  Rose,  J.M.  Global  versus  localised  attitudinal  responses  in  discrete  choice.  Transportation  2019,  48,  131–165,  https://doi.org/10.1007/s11116‐019‐10045‐3.  17. Frith,  M.J.  Model.  Tast.  Heterog.  Regarding  Offence  Locat.  Choices.  J.  Choice  Model.  2019,  33,  100187,  https://doi.org/10.1016/j.jocm.2019.100187.   18. Feinberg, F.; Bruch, E.; Braun, M.; Falk, B.H.; Fefferman, N.; Feit, E.M.; Helveston, J.; Larremore, D.; McShane, B.B.; Patania, A.;  et al. Choices in networks: a research framework. Mark. Lett. 2020, 31, 349–359, https://doi.org/10.1007/s11002‐020‐09541‐9.  19. Leeper, T.J.; Hobolt, S.B.; Tilley, J. Measuring subgroup preferences in conjoin experiments. Polit. Anal. 2020, 28, 207–221.  20. Dras,  M.  Evaluating  Human  Pairwise  Preference  Judgments.  Comput.  Linguist.  2015,  41,  337–345,  https://doi.org/10.1162/coli_a_00222.  21. Su, X.; Fischer, A.; Cichos, F. Towards Measuring the Maxwell–Boltzmann Distribution of a Single Heated Particle. Front. Phys.  2021, 9, 342. https://doi.org/10.3389/fphy.2021.669459.   22. Cattelan, M. Models for Paired Comparison Data: A Review with Emphasis on Dependent Data. Stat. Sci. 2012, 27, 412–433,  https://doi.org/10.1214/12‐sts396.  23. Kifayat, T.; Aslam, M.; Cheema, S.A. Maxwell paired comparison model under Bayesian paradigm using Informative priors.  Commun. Stat. Theory Methods 2022, 51, 301–312.  24. Davidson, R.R. On extending the Bradley‐Terry model to accommodate ties in paired comparison experiments. J. Am. Stat.  Assoc. 1970, 65, 317–328.  Appl. Sci. 2022, 12, 6337  13  of  13  25. Luce, R.D. On the possible psychophysical laws. Psychol. Rev. 1959, 66, 81–95, https://doi.org/10.1037/h0043178.  26. Jones, G.L.; Johnson, A.A. Comment: Gibbs Sampling, Exponential Families, and Orthogonal Polynomials. Stat. Sci. 2008, 23,  183–186.  27. Aslam, M. An application of prior predictive distribution to elicit the prior density. J. Stat. Theory Appl. 2003, 2, 70–83.  28. Huber,  J.;  Payne,  J.W.;  Puto,  C.P.  Let’s  be  Honest  about  the  Attraction  Effect.  J.  Mark.  Res.  2014,  51,  520–525,  https://doi.org/10.1509/jmr.14.0208.   29. Walters, D.J.; Fernbach, P.M.; Fox, C.R.; Sloman, S.A. Known Unknowns: A Critical Determinant of Confidence and Calibration.  Manag. Sci. 2017, 63, 4298–4307, https://doi.org/10.1287/mnsc.2016.2580.  30. Liu, S.; Spiridonidis, C.V.; Abdulrazzqa, M. Cognitive Computational Model Using Machine Learning Algorithm in Artificial  Intelligence Environment. Appl. Math. Nonlinear Sci. 2021, 1–11. https://doi.org/10.2478/amns.2021.2.00112.  http://www.deepdyve.com/assets/images/DeepDyve-Logo-lg.png Applied Sciences Multidisciplinary Digital Publishing Institute

Using Maxwell Distribution to Handle Selector’s Indecisiveness in Choice Data: A New Latent Bayesian Choice Model

Loading next page...
 
/lp/multidisciplinary-digital-publishing-institute/using-maxwell-distribution-to-handle-selector-rsquo-s-indecisiveness-LuqL4jGkfo

References (25)

Publisher
Multidisciplinary Digital Publishing Institute
Copyright
© 1996-2022 MDPI (Basel, Switzerland) unless otherwise stated Disclaimer The statements, opinions and data contained in the journals are solely those of the individual authors and contributors and not of the publisher and the editor(s). MDPI stays neutral with regard to jurisdictional claims in published maps and institutional affiliations. Terms and Conditions Privacy Policy
ISSN
2076-3417
DOI
10.3390/app12136337
Publisher site
See Article on Publisher Site

Abstract

Article  Using Maxwell Distribution to Handle Selector’s   Indecisiveness in Choice Data: A New Latent Bayesian   Choice Model  1 2 3,4, 3 3 Muhammad Arshad  , Tanveer Kifayat  , Juan L. G. Guirao  *, Juan M. Sánchez   and Adrián Valverde      Department of Applied Sciences, School of Science, National Textile University, Faisalabad 37610, Pakistan;  muhammadarshad@ntu.edu.pk    Department of Computer Science, SZABIST Islamabad, Islamabad 44000, Pakistan;   tanveerkifayat.qau@gmail.com    Department of Applied Mathematics and Statistics, Hospital de Marina, Technical University of Cartagena,  30203 Cartagena, Spain; juanmasanchezparra@gmail.com (J.M.S.); adrian_valverde12@hotmail.com (A.V.)    Nonlinear Analysis and Applied Mathematics (NAAM)‐Research Group, Department of Mathematics,   Faculty of Science, King Abdulaziz University, P.O. Box 80203, Jeddah 21589, Saudi Arabia  *  Correspondence: juan.garcia@upct.es  Abstract: This research primarily aims at the development of new pathways to facilitate the resolv‐ ing of the long debated issue of handling ties or the degree of indecisiveness precipitated in com‐ parative information. The decision chaos is accommodated by the elegant application of the choice  axiom ensuring intact utility when imperfect choices are observed. The objectives are facilitated by  inducing an additional parameter in the probabilistic set up of Maxwell to retain the extent of inde‐ cisiveness prevalent in the choice data. The operational soundness of the proposed model is eluci‐ dated through the rigorous employment of Gibbs sampling—a popular approach of the Markov  chain Monte Carlo methods. The outcomes of this research clearly substantiate the applicability of  Citation: Arshad, M.; Kifayat, T.;  the proposed scheme in retaining the advantages of discrete comparative data when the freedom of  Guirao, J.L.G.; Sánchez, J.M.;  no indecisiveness is permitted. The legitimacy of the devised mechanism is enumerated on multi‐ Valverde, A. Using Maxwell   fronts such as the estimation of preference probabilities and assessment of worth parameters, and  Distribution to Handle Selector’s   through the quantification of the significance of choice hierarchy. The outcomes of the research  Indecisiveness in Choice Data: A  New Latent Bayesian Choice Model.  highlight the effects of sample size and the extent of indecisiveness exhibited in the choice data. The  Appl. Sci. 2022, 12, 6337.  estimation efficiency is estimated to be improved with the increase in sample size. For the largest  https://doi.org/10.3390/app12136337  considered sample of size 100, we estimated an average confidence width of 0.0097, which is notably  more compact than the contemporary samples of size 25 and 50.   Academic Editors: Zhenglei He,   Yi Man and Kim Phuc Tran  Keywords: Bayesian approach; choices; comparative models; Maxwell distribution; preference   Received: 24 May 2022  ordering  Accepted: 17 June 2022  Published: 22 June 2022  Publisher’s  Note:  MDPI  stays  neu‐ tral  with  regard  to  jurisdictional  1. Introduction  claims in published maps and institu‐ Competent decision making requires a variety of cognitive skills assisting the notion  tional affiliations.  of the search for value information to enhance the working potentials, especially when  dealing with a complex multifaceted environment [1]. This process demands comparing  and mastering the available choices while simultaneously dealing with the practical lim‐ itations [2]. Therefore, the enchanted status of analyzing and modeling choice behaviors  Copyright: © 2022 by the authors. Li‐ in the multidisciplinary research literature is of no surprise. The well‐directed historic  censee  MDPI,  Basel,  Switzerland.  tour  of  [3]  traced the  roots  of the  comparative  notions  in  seventeenth  century  France,  This article is an open access article  where [4] advocated the use of comparative models (in a very abstract form) as a method  distributed under the terms and con‐ to ensure higher levels of fairness in the electoral process. However, it was the seminal  ditions of the Creative Commons At‐ contributions of [5,6] that laid the foundational blocks communicable through mathemat‐ tribution (CC BY) license (https://cre‐ ativecommons.org/licenses/by/4.0/).  ical  rigors  to  encapsulate  individual  differences  and  associated  choice  behaviors.  The  Appl. Sci. 2022, 12, 6337. https://doi.org/10.3390/app12136337  www.mdpi.com/journal/applsci  Appl. Sci. 2022, 12, 6337  2  of  13  aforementioned efforts instigated the idea of paired comparison (PC) experiments and  brought related models into the lime light. Since then, PC methodologies have attracted  the attention of many researchers from diverse fields of enquiry ranging from health sur‐ veillance to sport analysis. For example, in the past, [7] explored the applicability of PC  models to evaluate the  performance  of  industrial  accessories.  Furthermore,  [8,9]  eluci‐ dated the use of the PC approach to analyze sporting events and predict their outcomes.  In the recent past, [10] argued the PC schemes were an alternative to the Likert scale for  the ranking of psychological markers and indicators’ evaluation. Moreover, [11,12] com‐ petently elaborated on the interlinkages coupling the choice modelling strategies and the  numerous variants of rational choice theory governing the preference attitudes in political  science, sociology and criminology. For comprehensive accounts documenting the utility  of PC methodologies in investigative pursuit, one may also consult [13–15].   In general, comparative experiments peruse the complexity of rational decision mak‐ ing by providing comprehension of the vital ingredients, such as attribute‐level combina‐ tions, repeated choices and utility‐based trade‐off, by offering mutually exclusive choice  alternatives to the selectors or judges. The inherent randomness of individual choices is  explained by assuming the probabilistic model, whereas the associated utility is deline‐ ated through the stimuli governing the overall choice dynamics. In its simplest form the  judges, say 𝑛 , are asked about their preferences while pairwise comparing, say 𝑚 , items,  objects or individuals through a simple question, that is, “Do you prefer item 𝑖   over item  𝑗 ?”. One may notice the immediate relevance of the inquiry in all sorts of human behav‐ ioral assessment mechanisms. Thus, in a complete two factorial setup, each judge provides    responses in regard to the above inquiry. Table 1 presents the binary string of com‐ parative choice hierarchy recorded by a single selector or judge while conducting a paired  comparison experiment.   Table 1. Hypothetical choice matrix involving single selector and 𝑚   objects, Y = yes and N = No.  Objects  1  2  3  4  5 ‐  𝒎   1 ‐  Y  Y  Y  N ‐  Y  2 ‐  ‐  N  N  N ‐  N  3    ‐  ‐  N  Y ‐  Y  4     ‐  ‐  Y ‐  Y  5        ‐  ‐  ‐  N  ‐          ‐  ‐  ‐  𝒎            ‐  It is trivial to extend the above reported structure to the incorporation of comparative  information accumulated over 𝑛   selectors.  The numerous delicacies have been introduced through a rich stream of ongoing ef‐ forts in the above given simple structure, enabling choice models to deal with the com‐ plexities of real phenomena. For more recent, interesting and knowledgeable accounts of  the more notable contributions, one may consult [16–19]. This article fundamentally fo‐ cuses on the entertainment of selectors’ indecisiveness in choice reporting, at methodo‐ logical and modeling levels. The issue of handling ties in preference data has long been  debated and remains a primary component of the available literature focusing on the anal‐ ysis of discrete choices. The opinion chaos has rightly been summarized by [20] who noted  “the key point is that modelling of ties explicitly can be important, although there is no  consensus on how this should be done; no approach apart from ignoring ties appears to  be in widespread use”.  This article is mainly divided into five partitions. Section 2 is dedicated to document‐ ing the mathematical foundations of the proposed procedure, whereas Section 3 provides  a rigorous account of the simulation‐based evaluations of the proposal while mimicking  Appl. Sci. 2022, 12, 6337  3  of  13  numerous experimental states. Section 4 delineates the applicability of the suggested ap‐ proach while analyzing drinking water brands’ choice data. Lastly, the main findings are  discussed along with some future possible research avenues in Section 5.  2. Methods and Materials  2.1. Preliminaries  Let us consider that full factorial pairwise comparison set up is launched to generate  comparative information among 𝑚   objects by 𝑛   judges, where pair of stimuli elicits a  continuous discriminal process. The latent preference hierarchy between 𝑖′𝑡ℎ   object and  object 𝑗   is then thought to follow one dimensional Maxwell distribution over the con‐ sistent support in the population, such as  𝑓 𝑥 𝑥 , 𝑥 0,𝜃 0, and  (1) 𝑓 𝑥 , 𝑥 0,𝜃 0.  Here, 𝜃   and 𝜃   are scale parameters of the hallmark structure connecting the prob‐ ability density of the particle’s kinetic energies to the temperature of the system while  taking into account the configurational fluctuations of the system [21]. It is noteworthy  that the traditional competency of Maxwell formation in encapsulating the atomic velocity  distribution with the assumption of lacking potentials provides natural foundations to  model preference stimuli while considering utility as a latent phenomenon. In the case of  binary string of choice alternatives, the interest lies in the deduction of preference proba‐ bilities as a function of worth parameters dictating the comparative utility precipitation  of  competing  objects.  Mathematically,  probability  of  preferring  object  𝑖   over  object  𝑗   that  is,  𝑖→𝑗 ,  remains  quantifiable,  such  as  𝑝 𝑃𝑋 𝑋 .  Similarly,  𝑝 . . 𝑃𝑋 𝑋   represents  the  preference  probability  of  𝑗→𝑖 ,  as  a  function  of  estimated  worth parameters [22]. Recently, [23] provided the simplified form of preference proba‐ bilities such as  2 𝜃 𝜃 𝜃 𝜃 𝑝 1 𝑎𝑐𝑡𝑛𝑎𝑟   𝜋 𝜃 and  2 𝜃 𝜃 𝜃 𝜃 𝑝 1 𝑎𝑐𝑡𝑛𝑎𝑟   (2) 𝜋 𝜃 2.2. Proposed Model  In preference data, when ties are permitted, selectors are indeed offered three poten‐ tial responses while confronting the task of choosing  𝑖→𝑗 , those are “yes”, “no” or “no  preference”. Thereby, it is to be noted that in the case of a balanced factorial comparative  experiment, the selector responses distinguishing each pair follow trinomial distribution.  For notational purposes, the preference probability of  𝑖→𝑗   is denoted as 𝑝 , where  𝑝   represents preference for  𝑗→𝑖 . The probability highlighting the extent of indistinc‐ tiveness or indecisiveness while comparing both competing objects is reported as 𝑝 ,  that is  𝑖𝑗   when no preference is given between the paired items under comparison.  The accommodation of ties is proceeded in accordance with [24] proposition ensuring in‐ tact utility of [25] choice axiom allowing the occurrence of imperfect choices as follows  Appl. Sci. 2022, 12, 6337  4  of  13  𝑝 𝜏   (3) . . . where 𝜏 0  is the constant of proportionality representing the tie parameter and inde‐ pendent of the  ,𝑗   pair, whereas preference probabilities, 𝑝   and 𝑝 , are as given in  . . Equation  (2).  Moreover, 𝑝 and 𝑝 0,1  and 𝑝 𝑝 𝑝 1.  It  is  noteworthy  . . . . . that the proportionality functional in Equation (3) ensures that the probability of no pref‐ erence is dependent upon the extent of distinguishability of pairs. Furthermore, the use of  geometric formulation permits representation of the compared item on a linear scale when  logarithmic function is applied.   Thus, by using tie adjusted formation supported by the liberty of imperfect choices  and preference probability sum, it remains verifiable that the preference probability of  𝑖→𝑗   remains simplified as  𝜋𝜃 𝜃 2 𝜃 𝜃 𝜃 𝜃 𝜃 𝜃 𝑝   (4) 𝜃 𝜃 𝜋𝜃 𝜃 𝜏 𝜋𝜃 𝜃 2 𝜃 𝜃 𝜃 𝜃 𝜃 𝜃 2 𝜃 𝜃 𝜃 𝜃 𝜃 𝜃 𝜃 𝜃 Similarly,  governed  by  the  one  dimensional  Maxwell  distribution,  the  preference  probability of  𝑗→𝑖   is calculated as  2 𝜃 𝜃 𝜃 𝜃 𝜃 𝜃 𝑝   (5) 𝜃 𝜃 𝜋𝜃 𝜃 𝜏 𝜃 2 𝜃 𝜃 𝜃 𝜃 𝜃 𝜃 2 𝜃 𝜃 𝜃 𝜃 𝜃 𝜃 𝜃 𝜃 Furthermore, the extent of indistinguishability is estimable such as  𝜃 𝜃 𝜏 𝜃 2 𝜃 𝜃 𝜃 𝜃 𝜃 𝜃 2 𝜃 𝜃 𝜃 𝜃 𝜃 𝜃 𝜃 𝜃 𝑝   . (6) 𝜃 𝜃 𝜋𝜃 𝜃 𝜏 𝜃 𝜃 2 𝜃 𝜃 𝜃 𝜃 𝜃 𝜃 2 𝜃 𝜃 𝜃 𝜃 𝜃 𝜃 𝜃 𝜃 In the case of 𝑚   competing objects and 𝑛   selectors, let 𝒘𝑤 ,𝑤 ,𝑤   repre‐ , , , sent the vector comprehending the observed preferences when object 𝑖   is competing with  object 𝑗 . Additionally, 𝑛   denotes the total number of possible comparisons in 𝑟   repli‐ cations by 𝑛   selectors, where 𝑖𝑗 ;𝑖 1,𝑗𝑚 . Then the likelihood function of realized  choice data generated through the complete factorial set up consists of w trials with the  permission of ties, is written as  . . . . 𝑙 𝒘 ,𝜽 ,𝜏 ∏ 𝑝 𝑝 𝑝 , 0𝜃 1 and 0𝜏 1.  (7) . . . ! ! ! . . . . Here, the issue of identifiability is resolved by ensuring ∑ 𝜃 1, and 𝜃   is asso‐ ciated worth parameter attached with 𝑖′𝑡ℎ   object dictating the degree of preference of the  object, where 𝑖 1, 2,.. .,𝑚 .   2.3. Incorporating Prior Information  In this era of next generation computing hardware, the utility of prior information  for the execution of more sound and knowledgeable policy interventions has gain unprec‐ edented momentum in scientific rigors. It is noteworthy that under the considered for‐ mation, two priors are required, one to explain stochastic behavior of worth parameters  and second for the capsulation of tie parameter. For demonstration, we consider informa‐ tive prior in the form of Dirichlet prior for the elaboration of worth parameters as follows  𝑝 𝜽 𝜃 , 0𝜃 1  (8) 𝑡𝑎𝑛 𝑡𝑎𝑛 𝜋 𝑡𝑎𝑛 𝑡𝑎𝑛 𝜃𝜋 𝑡𝑎𝑛 𝑡𝑎𝑛 𝜃𝜋 𝑡𝑎𝑛 𝑡𝑎𝑛 𝑡𝑎𝑛 𝑡𝑎𝑛 𝑝 𝑝 Appl. Sci. 2022, 12, 6337  5  of  13  Similarly, Gamma prior is considered for the conceptualization of tie parameter as  under  𝑝 𝜏 𝜏 𝑒 , 0𝜏 1  (9) Here, 𝑑 ,  a   and  a   are the hyperparameters of the prior structure. The motivation  behind the use of Dirichlet prior remains intact under the notion of parsimony, as it em‐ ploys fewer number of hyperparameters and thereby is thought to be providing more  concise estimates. Furthermore, the Gamma prior remains attractive for tie parameter as  both distributional spaces are bounded over  0, 1   range, and thus offers natural support  to the estimation efforts.   2.4. Posterior Distribution and Estimation of the Worth Parameters  By using the prior distributions given in Equations (8) and (9) along with likelihood  function of Equation (7), the joint posterior distribution is deducted as below  . . . . 𝑝 𝜃 ,𝜃 ,…,𝜃 |𝒘 𝜃 𝜏 𝑒 𝑝 𝑝 𝑝 ,  (10) . . . where  𝑘 1 1 1 ∑ . . . . … ∏ 𝜃 𝜏 𝑒 𝑝 𝑝 𝑝 𝑑𝜃 …𝑑𝜃 𝑑𝜃   and  1 2 1 . . . 0 0 0 represents the normalizing constant. The deduction of marginal posterior distributions  requires the resolve of complex integrations involved in the expression of joint posterior  distribution. The objective is attained by the launch of Gibbs sampling—popular approach  of Markov chain Monte Carlo methods [26]. In general, Gibbs sampling proceeds by as‐ suming 𝑃𝜃 ;𝑥   be the joint posterior density, where 𝜃 𝜃 ,𝜃 ,…,𝜃 . The conditional  1 2 densities  of  worth  parameters  are  then  given  by  𝑃 𝜃 I𝜃 ,𝜃 …,𝜃 ,𝑃 𝜃 I𝜃 ,𝜃 …,𝜃 …𝑃 𝜃 I𝜃 ,𝜃 …,𝜃 . The Gibbs sampler now initi‐ 1 2 3 2 1 3 1 2 1 0 0 0 ates by assuming initial values upon worth parameters such as  ,𝜃 ,…,𝜃   and  2 3 1 0 0 0 conceptualizes the  conditional  distribution  of  𝜃   such  that  𝑃𝜃 I𝜃 ,𝜃 ,…,𝜃 .  1 1 2 3 The iterative procedure continues until the convergence occurs. For demonstration pur‐ poses, the expression for the marginal posterior distribution of worth parameter associ‐ ated with 𝑚 ′𝑡ℎ   object, that is 𝜃 , is solved as follows   . . . . 𝑝 𝜃 |𝒘 … ∏ 𝜃 𝜏 𝑒 𝑝 𝑝 𝑝 𝑑𝜃 …𝑑𝜃 , . . . (11) 0𝜃 1  The  1𝛼 100%  credible intervals attached with 𝜃 , say 𝐶 , are obtained numeri‐ cally by solving the given expression  𝑝 𝜃 :𝒙 ,𝑤 ,𝜏 𝑑𝜃 1𝛼 ,  (12) which is a subset of 𝜃 ′𝑠   parametric space. Figure 1 below presents the flow diagram  summarizing the working of the proposed scheme along with algorithmic advancements.  Appl. Sci. 2022, 12, 6337  6  of  13  Figure 1. Flow diagram of the proposed scheme.  2.5. Bayes Hypothesis Testing   Now, we proceed towards the evaluation of statistical significance of the underlying  comparative hierarchy. In Bayesian framework, the task is accomplished by quantifying  the posterior probabilities and resultant Bayes factors associated with concerned hypoth‐ esis. The complementary hypothesis streaming pair of objects is given as  𝐻 :𝜃 𝜃 vs. 𝐻 :𝜃 𝜃 . The posterior probabilities deciding upon the existent discrepancies remain calcula‐ ble as  𝜙 𝑃 𝜁 ,𝜂𝛪𝜔 𝑑𝜂𝑑𝜁 ,  (13) Appl. Sci. 2022, 12, 6337  7  of  13  where 𝜂𝜃 , 𝜁𝜃 𝜃 . It is trivial to show that 𝜙 1𝜙 . The Bayes factor now  remains estimable with straightforward operation such that 𝐵𝐹 𝜙 ⁄𝜙 . Generally ac‐ cepted criterion nominating the degree of significance while employing Bayes factor is  given as  𝐵𝐹 1, support 𝐻   10 BF 1, minimal evidence against 𝐻   10 𝐵𝐹 10 , substantial evidence against 𝐻   10 𝐵𝐹 10 , strong evidence against 𝐻   𝐵𝐹 10 , decisive evidence against 𝐻 .  2.6. Limitations of the Proposed Scheme   It is important to note the limitations of the proposed mechanism at this stage. Our  newly developed  model  is  demonstrated  to  be  workable  for  the adjustment  of the  re‐ sponse of “no choice or tie”. However, the existence of ties in comparative data is not the  only challenge. The choice data may suffer from two other sources of contamination that  are: (i) the order of presenting the objects, most commonly known as order effect, and (ii)  the tendency to report socially desirable responses while hiding the true status of the mat‐ ter.  It  is  noteworthy  that  the  origin  of  these  complications  is  different  from  the  docu‐ mented response of no choice. The indecisiveness arises from either indistinguishable na‐ ture of the competing objects or from the judge(s) lacking the capability to distinguish the  objects, whereas desirability bias generates due to the fondness of the respondent(s) to‐ wards being socially acceptable or approved. On the other hand, order effect indicates the  lack of consistency of the judge(s). Keeping the inherent differences in mind, it is antici‐ pated that new post hoc strategy capable of entertaining aforementioned complexities,  one by one or simultaneously, is desirable in future. It can be reported that the devised  scheme  is  capable  of  catering  ties  in  its  present  formation.  However,  the  treatment  of  aforementioned challenges is an attractive future research scope.   3. Simulation‐Based Evaluation  At first, rigorous simulation‐based investigation is launched to explore the dynamics  of the proposed scheme. The performance of the devised mechanism is studied while con‐ sidering a wide range of parametric settings, including varying sample sizes and the pa‐ rameter  defining  the  extent  of  indecisiveness.  We  consider  three  samples  as,  𝑛 25, 50 and 100, for two values of tie parameters, that is, 𝜏 0.1 and 0.2. These states are  then studied for three competing objects, that is, 𝑚 3, under a preset preference order‐ ing where 𝜃 𝜃 𝜃   and 𝜃 0.24,𝜃 0.36  and 𝜃 0.40. Table 2 presents the ar‐ tificially generated data sets resulting from the aforementioned parametric settings.  Table 2. Artificial data under the preset experimental states.  𝒏   𝒘   𝒘   𝒘   𝒘   𝒘   𝒘   𝒘   𝒘   𝒘   𝟏 . 𝟐 .𝟏𝟐 𝟎 .𝟏𝟐 𝟏 . 𝟑 .𝟏𝟑 𝟎 .𝟏𝟑 𝟐 .𝟐𝟑 𝟑 .𝟐𝟑 𝟎 .𝟐𝟑 𝜏 0.10  25  8  16  1  6  18  1  5  19  1  50  11  37  2  9  39  2  16  33  1  100  27  72  1  19  73  8  44  51  5  𝜏 0.20  25  5  18  2  6  17  2  10  12  3  50  15  27  8  12  34  4  19  26  5  100  19  72  9  24  73  3  37  52  11  Tables  3–5  demonstrate  the  relevant  summaries  highlighting  the  various  perfor‐ mance aspects of the schemes. Table 3 provides the Bayes estimates of worth parameters  along with the associated 95% credible intervals.  𝟏𝟑 𝟏𝟐 Appl. Sci. 2022, 12, 6337  8  of  13  Table 3. Estimates of worth parameters and associated 95% credible intervals (in parenthesis) for  pre‐defined experimental settings.  𝒏 𝜽 𝜽 𝜽 𝝉 𝟏 𝟐 𝟑 𝜏 0.10 0.2549   0.3014   0.4437   0.0865   25  (0.2448, 0.2651)  (0.2905, 0.3122)  (0.4301, 0.4571)  (0.0728, 0.1002)  0.2414   0.3403   0.4183   0.0911   50  (0.2330, 0.2498)  (0.3389, 0.3415)  (0.4091, 0.4275)  (0.0806, 0.1016)  0.2491   0.3516   0.3992   0.0986   100  (0.2337, 0.2494)  (0.3508, 0.3603)  (0.3964, 0.4022)  (0.0933, 0.1039)  𝜏 0.20  0.2689   0.3739   0.3832   0.1881   25  (0.2640, 0.2738)  (0.3619, 0.3860)  (0.3610, 0.3954)  (0.1715, 0.2048)  0.2428   0.3510   0.3958   0.2128   50  (0.2327, 0.2528)  (0.3489, 0.3647)  (0.3896, 0.4275)  (0.1956, 0.2199)  0.2421   0.3594   0.3969   0.1926   100  (0.2390, 0.2454)  (0.3556, 0.3624)  (0.3939, 0.4098)  (0.1894, 0.2086)  Table 4. Posterior probabilities and resultant Bayes factors associated with competing hypothesis.  Posterior Probabilities  Bayes Factor  𝑯   𝑯   𝑯   𝑩   𝑩   𝑩   𝟏𝟐 𝟏𝟑 𝟐𝟑 𝟏𝟐 𝟏𝟑 𝟐𝟑 𝜏 0.10 25  0.1085  0.0001  0.0026  0.1217  0.0001  0.0026  50  0.0377  0.0002  0.0234  0.0392  0.0002  0.0240  100  0.0126  0.0001  0.0527  0.0128  0.0001  0.0557  𝜏 0.20 25  0.0006  0.0004  0.3549  0.0006  0.0004  0.5502  50  0.0039  0.0001  0.0414  0.0039  0.0001  0.0432  100  0.0005  0.0001  0.1876  0.0005  0.0001  0.2309  Table 5. Posterior preference probabilities of pairwise competing objects when ties are permitted.  𝒏 𝒑 𝒑 𝒑 𝒑 𝒑 𝒑 𝒑 𝒑 𝒑 𝟏 .𝟏𝟐 𝟐 .𝟏𝟐 𝟎 .𝟏𝟐 𝟏 .𝟏𝟑 𝟑 .𝟏𝟑 𝟎 .𝟏𝟑 𝟐 .𝟐𝟑 𝟑 .𝟐𝟑 𝟎 .𝟐𝟑 𝜏 0.10 25  0.3789  0.5804  0.0405  0.1871  0.7797  0.0330  0.2607  0.7021  0.0370  50  0.2819  0.6782  0.0398  0.1885  0.7766  0.0348  0.3555  0.6022  0.0421  100  0.2802  0.6768  0.0429  0.2201  0.7399  0.0398  0.4001  0.5534  0.0464  𝜏 0.20 25  0.2295  0.6953  0.0751  0.2189  0.7069  0.0740  0.4427  0.4712  0.0859  50  0.3229  0.5846  0.0924  0.2523  0.6607  0.0869  0.3708  0.5344  0.0947  100  0.2757  0.6431  0.0811  0.2197  0.7044  0.0757  0.3857  0.5273  0.0868  The summaries presented in the above table competently indicate the legitimacy of  the proposed model in retaining the predefined underlying ordering of the competing  objects, that is, 𝜃 →𝜃 →𝜃 , when ties in the discrete choice data are permitted. Addi‐ tionally, it is noteworthy that the proposition competently captures the degree of indeci‐ siveness precipitated in the comparative information. This fact is realized regardless of  the varying sample sizes and different values of the tie parameter. However, a more pro‐ found performance of the approach under discussion is witnessed with an increased sam‐ ple size. For example, the closest and most precise estimation of both delicacies, that is,  the worth parameters and tie parameter, are witnessed for the case of 𝑛 100, where the  proposed scheme closely estimates the values of both the worth parameters and tie pa‐ rameter. Moreover, the decreased width of the credible interval shows the precision of the  procedure with which it remains capable of estimating the preset experimental states. This  realization  is  further  highlighted  in  Figure  2  depicting  the  prevalent  variability  in  the  Appl. Sci. 2022, 12, 6337  9  of  13  Bayes estimates through side‐by‐side box plots. One may notice that minimal variation is  attributed with a larger sample size.  (a) 𝜃   (b) 𝜃   (c) 𝜃   (d) 𝜃   (e) 𝜃   (f) 𝜃   Figure 2. Side‐by‐side box plots depicting the extent of variability observed in the estimation of  worth parameters; top panel projects the variation for 𝜏 0.10, whereas lower panel shows the  behavior for 𝜏 0.20. The * indicates the presence of outliers.  The significance of the utility differences of the competing objects are demonstrated  by quantifying the posterior probabilities and related Bayes factors for the complementary  hypothesis. The results are summarized in Table 4. The establishment of a predefined  preference ranking and its associated significance is observable from the calculated pos‐ terior probabilities and Bayes factors. Regardless of the varying sample sizes and the ex‐ tent of indecisiveness, we witnessed maintained ordering such as,  𝜃 →𝜃 →𝜃 ; how‐ ever, with different extents of associated significance. In general, we estimate that for 𝜏 0.10,  substantial  evidence  exists  indicating  that  𝜃 →𝜃 ,  and  decisive  evidence  is  ob‐ served  highlighting  𝜃 →𝜃 ,  whereas  strong  evidence  establishes  the  significance  of  𝜃 →𝜃 . This observation is realized for all considered sample sizes. Furthermore, in the  case  of  𝜏 0.20,  strong  evidence  is  attached  with  𝜃 →𝜃   and  𝜃 →𝜃   along  with  strong indications of the instance of 𝜃 →𝜃 .  The estimated posterior probabilities of the preferences while pairwise comparing all  three objects are assembled in Table 5. The outcomes seal the consistent behavior of the  proposed mechanism.  4. Application—Preference of Drinking Water Brands  We now proceed by demonstrating the applicability of the devised model by study‐ ing the choice data of three drinking water brands commonly available in market. The  pairwise comparative data with permitted ties were collected from fifty local residents of  Islamabad, Pakistan, by inquiring about their preferred brand among (i)—Aquafina (AQ),  (ii)—Nestle (NL) and (iii)—Kinley (KN). One may notice that in this situation 𝑛 50  and  Appl. Sci. 2022, 12, 6337  10  of  13  𝑚 3. Table 6 displays the collected data, whereas Figure 3 depicts the distribution of  counts in the relevant predefined classifications.  Table 6. Preference counts pairwise choices of the drinking water brands.  Pairs  𝒊 ,𝒋 𝒘 𝒘 𝒘 𝒊 . 𝒋 . 𝟎 . AQ, NT 17  27  6  AQ, KL 26  19  5  NT, KL 28  18  4  Figure 3. The distribution of discrete preferences along with counts of indecisiveness for drinking  water brands’ data.  We start the exploration by first eliciting the hyperparameters using confidence lev‐ els by the use of the joint posterior distribution of Equation (10) and defining the prior  predictive distribution as under  . . . . 𝑝𝑤 ,𝑤 𝑄 𝜃 1𝜃 𝜏 𝑒 𝑝 𝑝 𝑝 𝜃    . . . . . Here, 𝑄 . [27]  proposed  the  elicitation  of  hy‐ ! ! ! . . . . perparameters through the function as follows  Ψ 𝒄 𝑎𝑖𝑚𝑛𝑔𝑟 | 𝐶𝐶𝐿 𝐸𝐶𝐿 |, where 𝒄   is the set of elicited hyperparameters, whereas 𝑘   represents the number inter‐ val required to elicit the hyperparameters. Additionally,  𝐶𝐶𝐿   and  𝐸𝐶𝐿   are the con‐ fidence level and elicited confidence level, respectively, characterized with the specific  hyperparameter. By exploiting the joint posterior distribution, the confidence levels are  given as  ∑∑ 𝑝 𝑤 ,𝑤 0.05 ,∑∑ 𝑝 𝑤 ,𝑤 0.07,  . . . . . . . . ∑∑ ∑∑ 𝑝 𝑤 ,𝑤 0.05 , 𝑝 𝑤 ,𝑤 0.07,  . . . . . . . . ∑∑ 𝑝 𝑤 ,𝑤 0.05 ,∑∑ 𝑝 𝑤 ,𝑤 0.07.  . . . . . . . . The elicited values of the hyperparameters for both priors, that is, Dirichlet prior for  worth parameters and Gamma prior for the tie parameter, are 𝑑 2.5012, 𝑑 2.6595,  𝑑 2.7001, 𝑎 2.1086  and 𝑎 5.4596. Table 7 presents the Bayes estimates of the  worth parameters dictating the choice hierarchy of the comparative data gathered from  the drinking water experiment along with the associated evidence of significance. The  proposed scheme establishes the choice ranking as such: 𝜃 →𝜃 →𝜃 , indicating that  most of the individuals selected in the sample preferred the Nestle brand, followed by  Aquafina, whereas Kinley was the least preferred. This hierarchy can also be anticipated  from the observed data. Moreover, the preference ordering is observed to be statistically  significant with strong evidence associated with the instances of 𝜃 →𝜃   and 𝜃 → 𝑑𝜏𝑑 𝒊𝒋 𝒊𝒋 𝒊𝒋 Appl. Sci. 2022, 12, 6337  11  of  13  𝜃 , whereas we witnessed substantial evidence attached with 𝜃 →𝜃 . These realiza‐ tions are further supported by the posterior probability estimates of the comparative pref‐ erences, given in Table 8.  Table 7. Summaries of the analysis of the drinking water choice data.  Estimates  Bayes Factor  𝝉   𝑩   𝜽   𝒊 𝒋 𝒊 𝒋 0.37153  𝜏 ̂   0.12504  𝐵   16.181  𝜃   , , 𝜃   0.32643  𝜏 ̂   0.13252  𝐵   56.306  , , 𝜏 ̂   𝐵   𝜃   0.30204  0.12878  3.062  , , Table 8. Posterior preference probabilities of comparative choices.  Preference Probabilities  𝑝   0.54696  𝑝   0.59222  𝑝   0.51621  . , . , . , 𝑝   𝑝   𝑝   0.39331  0.34921  0.42357  . , . , . , 𝑝   0.05973  𝑝   0.05856  𝑝   0.06022  . , . , . , 5. Discussion and Conclusions  The realization and confrontation of choices is unavoidable in every aspect of daily  life. Thereby, the methods facilitating the fundamentals of choice dynamics have a long  and well cherished history in the multidisciplinary research literature. It has been compe‐ tently argued in the existing literature that the foundations of rational decision making  stand on the essential elements of (i) utility: the latent factor derived by the choice axiom  [28] and  (ii)  consistency: the  extent  of  judgment  following  the axiom using  inferential  soundness [29]. Therefore, the search for such methods capable of entertaining both fun‐ damentals simultaneously, has attracted noticeable attention in research circles [30]. How‐ ever, the issue of handling the indecisiveness of selector(s) in reporting choice data re‐ mains long standing. There is undoubted consensus over the misleading nature of inde‐ cisive responses, but, unfortunately, the available literature lacks in its ability to demon‐ strate feasible solutions, especially at the methodological level. Motivated by the afore‐ mentioned factors, this article proposes a new choice model in conjunction with the Bayes‐ ian paradigm when the judge or selectors have the opportunity of reporting a “no prefer‐ ence” response. The proposed scheme is fundamentally advantageous in reducing the  forced response bias. It is anticipated that by permitting the occurrence of ties while re‐ porting the preferences, the selector(s) are offered extended flexibility to be able to report  their true status. Moreover, by devising a workable approach, the scheme enables the in‐ vestigator to estimate the influence of ties in the reported data through methodological  sound  pathways.  The  applicability  of  the  suggested  approach  is  affirmed  on  multiple  fronts, such as through mathematically derived expressions, and by the launch of rigorous  simulations and being demonstrated empirically. The outcomes of the research substan‐ tiate the legitimacy of the proposed mechanism, especially on four frontiers. Firstly, it is  witnessed  that  the  newly  suggested  model  delicately  maintains  the  inherent  ordered  structure of the observed choice data. This is observed with respect to all considered sam‐ ple sizes and the varying extent of choice parameters. Secondly, the proposed scheme en‐ ables us to estimate the degree of indecisiveness prevalent in the comparative information.  Furthermore,  in  concordance  with  asymptotic  theory,  the  estimated  subtitles  become  more obvious with an increased sample size. Lastly, the suggested model assists the ra‐ tional decision making notions by providing sound inferential aspects facilitated through  the Bayesian framework.  At this stage, it is obligatory to report the limitations of the newly developed model  that offers attractive research pursuits for the future. Along with ties, the choice data show  numerous concerns of practical significance such as the order of presentation of the com‐ peting objects (order effect) and socially‐motivated preferences (desirability bias). If not  Appl. Sci. 2022, 12, 6337  12  of  13  treated appropriately, the aforementioned contaminations pose serious threats to the va‐ lidity of the modeling strategies by producing misleading results. It is noteworthy that  this research encapsulates the issue of ties and is not capable of entertaining other docu‐ mented complexities. In future, it will be interesting to further elaborate the proposed  procedure for the accommodation of order effects and desirability bias.  Author Contributions: M.A.: model statement; J.L.G.G.: model validation; T.K.: literature search  and review; A.V. and J.M.S.: manuscript writing and editing. All authors have read and agreed to  the published version of the manuscript.  Funding: This research was funded by Primafrio‐UPCT Cátedra.  Informed Consent Statement: Not applicable.  Conflicts of Interest: The authors declare no conflict of interest.  Reference  1. Fischhoff, B.; Broomell, S.B. Judgment and decision making. Annu. Rev. Psychol. 2020, 71, 331–355.  2. Dhami, M.K.; Mandel, D.R.; Mellers, B.A.; Tetlock, P.E. Improving Intelligence Analysis with Decision Science. Perspect. Psychol.  Sci. 2015, 10, 753–757, https://doi.org/10.1177/1745691615598511.  3. Young, H.P. Condorcet’s theory of voting. Am. Pol. Sci. Rev. 1988, 82, 1231–1244.  4. Condorcet, M.D. Essay on the Application of Analysis to the Probability of Majority Decisions; Imprimerie Royale: Paris, France, 1785.  5. Thurstone, L.L. A law of comparative judgment. Psychol. Rev. 1927, 34, 273–286.  6. Bradley, R.A.; Terry, M.E. Rank Analysis of Incomplete Block Designs: I. The Method of Paired Comparisons. Biometrika 1952,  39, 324, https://doi.org/10.2307/2334029.  7. Mazzuchi, T.A.; Linzey, W.G.; Bruning, A. A paired comparison experiment for gathering expert judgment for an aircraft wiring  risk assessment. Reliab. Eng. Syst. Saf. 2008, 93, 722–731, https://doi.org/10.1016/j.ress.2007.03.011.  8. Cattelan, M.; Varin, C.; Firth, D. Dynamic Bradley–Terry modelling of sports tournaments. J. R. Stat. Soc. Ser. C Appl. Stat. 2013,  62, 135–150.  9. Schauberger, G.; Tutz, G. Subject‐specific modelling of paired comparison data: A lasso‐type penalty approach. Statist. Modell.  2017, 17, 223–243.  10. Sung, Y.‐T.; Wu, J.‐S. The Visual Analogue Scale for Rating, Ranking and Paired‐Comparison (VAS‐RRP): A new technique for  psychological measurement. Behav. Res. Methods 2018, 50, 1694–1715, https://doi.org/10.3758/s13428‐018‐1041‐8.   11. Chorus, C.G. Capturing alternative decision rules in travel choice models: a critical discussion. In Handbook of Choice Modelling;  Hess, S., Daly, A., Eds.; Edward Elgar: Northampton, MA, USA, 2014; pp. 290–310.  12. Liebe, U.; Mariel, P.; Beyer, H.; Meyerhoff, J. Uncovering the nexus between attitudes, preferences and behavior in sociological  applications of stated choice experiments. Soc. Methods Res. 2021, 50, 310–347.  13. Elsenbroich, C.; Payette, N. Choosing to cooperate: Modelling public goods games with team reasoning. J. Choice Model. 2020,  34, 100203, https://doi.org/10.1016/j.jocm.2020.100203.  14. Pink, S.; Kretschmer, D.; Leszczensky, L. Choice modelling in social networks using stochastic actor‐oriented models. J. Choice  Model. 2020, 34, 100202, https://doi.org/10.1016/j.jocm.2020.100202.  15. Liebe, U.; Meyerhoff, J. Mapping potentials and challenges of choice modelling for social science research. J. Choice Model. 2021,  38, 100270, https://doi.org/10.1016/j.jocm.2021.100270.   16. Borriello,  A.;  Rose,  J.M.  Global  versus  localised  attitudinal  responses  in  discrete  choice.  Transportation  2019,  48,  131–165,  https://doi.org/10.1007/s11116‐019‐10045‐3.  17. Frith,  M.J.  Model.  Tast.  Heterog.  Regarding  Offence  Locat.  Choices.  J.  Choice  Model.  2019,  33,  100187,  https://doi.org/10.1016/j.jocm.2019.100187.   18. Feinberg, F.; Bruch, E.; Braun, M.; Falk, B.H.; Fefferman, N.; Feit, E.M.; Helveston, J.; Larremore, D.; McShane, B.B.; Patania, A.;  et al. Choices in networks: a research framework. Mark. Lett. 2020, 31, 349–359, https://doi.org/10.1007/s11002‐020‐09541‐9.  19. Leeper, T.J.; Hobolt, S.B.; Tilley, J. Measuring subgroup preferences in conjoin experiments. Polit. Anal. 2020, 28, 207–221.  20. Dras,  M.  Evaluating  Human  Pairwise  Preference  Judgments.  Comput.  Linguist.  2015,  41,  337–345,  https://doi.org/10.1162/coli_a_00222.  21. Su, X.; Fischer, A.; Cichos, F. Towards Measuring the Maxwell–Boltzmann Distribution of a Single Heated Particle. Front. Phys.  2021, 9, 342. https://doi.org/10.3389/fphy.2021.669459.   22. Cattelan, M. Models for Paired Comparison Data: A Review with Emphasis on Dependent Data. Stat. Sci. 2012, 27, 412–433,  https://doi.org/10.1214/12‐sts396.  23. Kifayat, T.; Aslam, M.; Cheema, S.A. Maxwell paired comparison model under Bayesian paradigm using Informative priors.  Commun. Stat. Theory Methods 2022, 51, 301–312.  24. Davidson, R.R. On extending the Bradley‐Terry model to accommodate ties in paired comparison experiments. J. Am. Stat.  Assoc. 1970, 65, 317–328.  Appl. Sci. 2022, 12, 6337  13  of  13  25. Luce, R.D. On the possible psychophysical laws. Psychol. Rev. 1959, 66, 81–95, https://doi.org/10.1037/h0043178.  26. Jones, G.L.; Johnson, A.A. Comment: Gibbs Sampling, Exponential Families, and Orthogonal Polynomials. Stat. Sci. 2008, 23,  183–186.  27. Aslam, M. An application of prior predictive distribution to elicit the prior density. J. Stat. Theory Appl. 2003, 2, 70–83.  28. Huber,  J.;  Payne,  J.W.;  Puto,  C.P.  Let’s  be  Honest  about  the  Attraction  Effect.  J.  Mark.  Res.  2014,  51,  520–525,  https://doi.org/10.1509/jmr.14.0208.   29. Walters, D.J.; Fernbach, P.M.; Fox, C.R.; Sloman, S.A. Known Unknowns: A Critical Determinant of Confidence and Calibration.  Manag. Sci. 2017, 63, 4298–4307, https://doi.org/10.1287/mnsc.2016.2580.  30. Liu, S.; Spiridonidis, C.V.; Abdulrazzqa, M. Cognitive Computational Model Using Machine Learning Algorithm in Artificial  Intelligence Environment. Appl. Math. Nonlinear Sci. 2021, 1–11. https://doi.org/10.2478/amns.2021.2.00112. 

Journal

Applied SciencesMultidisciplinary Digital Publishing Institute

Published: Jun 22, 2022

Keywords: Bayesian approach; choices; comparative models; Maxwell distribution; preference ordering

There are no references for this article.