Get 20M+ Full-Text Papers For Less Than $1.50/day. Start a 14-Day Trial for You or Your Team.

Learn More →

Topological Charge Detection Using Generalized Contour-Sum Method from Distorted Donut-Shaped Optical Vortex Beams: Experimental Comparison of Closed Path Determination Methods

Topological Charge Detection Using Generalized Contour-Sum Method from Distorted Donut-Shaped... Article  Topological Charge Detection Using Generalized  Contour‐Sum Method from Distorted Donut‐Shaped  Optical Vortex Beams: Experimental Comparison of  Closed Path Determination Methods  1 2, 2 1, Daiyin Wang  , Hongxin Huang  *, Haruyoshi Toyoda   and Huafeng Liu  *    College of Optical Science and Engineering, Zhejiang University, Hangzhou 310027, China;  wangdaiyin@126.com    Central Research Laboratory, Hamamatsu Photonics K. K., Hamamatsu 434‐8601, Japan;  toyoda@crl.hpk.co.jp  *  Correspondence: huanghx@crl.hpk.co.jp (H.H.); liuhf@zju.edu.cn (H.L.)  Received: 30 August 2019; Accepted: 17 September 2019; Published: 20 September 2019  Featured Application: This study will be valuable to researchers working in optical metrology  and  in  the  diagnosis  of  optical  communication  links  through  long‐distance  free‐space  propagation.  Abstract: A generalized contour‐sum method has been proposed to measure the topological charge  (TC)  of  an  optical  vortex  (OV)  beam  using  a  Shack–Hartmann  wavefront  sensor  (SH‐WFS).  Moreover,  a  recent  study  extended  it  to  be  workable  for  measuring  an  aberrated  OV  beam.  However,  when  the  OV  beam  suffers  from  severe  distortion,  the  closed  path  for  circulation  calculation  becomes  crucial.  In  this  paper,  we  evaluate  the  performance  of  five  closed  path  determination  methods,  including  watershed  transformation,  maximum  average‐intensity  circle  extraction,  a  combination  of  watershed  transformation  and  maximum  average‐intensity  circle  extraction, and perfectly round circles assignation. In the experiments, we used a phase‐only spatial  light modulator to generate OV beams and aberrations, while an SH‐WFS was used to measure the  intensity  profile  and  phase  slopes.  The  results  show  that  when  determining  the  TC  values  of  distorted donut‐shaped OV beams, the watershed‐transformed maximum average‐intensity circle  method performed the best, and the maximum average‐intensity circle method and the watershed  transformation method came second and third, while the worst was the perfect circles assignation  method. The discussions that explain our experimental results are also given.  Keywords:  wavefront  sensor;  spatial  light  modulator;  contour‐sum  method;  topological  charge;  orbital angular momentum  1. Introduction  Recently, optical vortex (OV) beams, owing to their unique properties, have attracted more and  more interest and have been utilized in a wide range of fields—from scientific research to advanced  technology applications, such as optical communications [1–4], optical metrology [5–7], and optical  trapping and manipulation [8–10]. Many specialties of OV beams are due to their phase singularity  in  the  wavefront  function,  where  the  intensity  drops  to  zero  and  the  phase  is  undefined  [11,12].  Moreover, the phase along a closed path enclosing the singularity point varies from 0 to 2nπ, where  n is an integer known as the topological charge (TC) or the orbital angular momentum (OAM). OV  beams  with  different  TC  values  perform  diverse  characteristics  and  consequently  are  used  as  Appl. Sci. 2019, 9, 3956; doi:10.3390/app9193956  www.mdpi.com/journal/applsci  Appl. Sci. 2019, 9, 3956  2  of  14  information  carriers  in  state‐of‐art  optical  communication  systems,  which  are  used  to  generate  sufficient  force  to  manipulate  the  molecules  and  so  on.  To  meet  the  requirements  of  these  applications,  the  determination  of  how  to  precisely  measure  the  TC  value  of  an  OV  beam  is  an  important  issue,  and  therefore  many  methods,  such  as  interferometry‐based  methods  [13],  diffraction‐based  methods  [14–16],  and  model  decomposition‐based  methods  [17,18]  have  been  proposed and comprehensively studied.  As one of the key devices used in adaptive optics systems [19], Shack–Hartmann wavefront  sensors (SH‐WFS) have also been utilized to determine the TC value of OV beams [12,20–23]. An SH‐ WFS consists of a lenslet array and an image sensor, and directly measures the phase slope of the  incident wavefront at each lenslet position. TC determination with an SH‐WFS is simple and direct,  and the contour‐sum method (CSM) has been proposed based on the principle that the net TC value  in an area is proportional to the line integral of the phase slope along the closed path circumscribing  the area [12].  The basic form of the contour‐sum method uses the pre‐assigned closed paths, e.g., the closed  path associated with the central 2 × 2 or 3 × 3 lenslet area to calculate the discrete line integral, which  is  employed  to  determine  the  TC  value  of  an  OV  beam  [20,22].  This  approach  is  successful  in  measuring  OV  beams  with  nearly  uniform  or  quasi‐uniform  intensity  distribution.  However,  it  becomes deficient under some conditions, especially when the OV beams to be measured have donut‐ shaped intensity profiles, where phase singularities are embedded in the low‐intensity region (dark  region), and the phase slope measurement could be invalidated. This condition commonly exists in  many OV applications such as OV‐based optical communication and OV‐based optical metrology. In  view of this, in a previous study, we generalized the contour‐sum method to be workable for a closed  path with an arbitrary shape, and proposed a maximum average‐intensity circle (MAIC) method to  extract a closed path with only valid phase slope data from the annular intensity profile [24]. We  experimentally investigated the MAIC method with both aberration‐free OV beams as well as the OV  beams distorted by simulated atmospheric turbulence, and we concluded that the proposed MAIC  method has good robustness against aberrations. Moreover, we found that the closed path used for  circulation calculation has a notable influence on the determined TC value when the OV beams are  severely distorted by aberrations. Considering that the closed path is vital for the CSM, we also briefly  demonstrated the superiority of the MAIC method against the use of perfectly round circles (PRC) as  the closed path [24].  With the aim of further improving the measurement accuracy under the condition of severe  distortion and enriching the discussion of the influence of closed paths in circulation calculations, in  this paper, we compare the performance of several closed path determination methods: perfectly  round circles assignation, watershed transformation, maximum average‐intensity circle extraction,  and  the  combination  of  the  watershed  transformation  with  maximum  average‐intensity  circle  extraction.  This paper is organized as follows. In Section 2, we present a brief of the generalized contour‐ sum method (GCSM), and in Section 3, we describe five closed path determination methods for the  GCSM. In Section 4, we show the optical setup for the proof‐of‐principle experiments. In Section 5,  we  present  some  experimental  results  and  discussions.  The  comparisons  were  conducted  under  scenarios  of  both  aberration‐free  OV  beams  and  OV  beams  distorted  by  simulated  atmospheric  aberrations. A summary and conclusion are given in Section 6.  2. Generalized Contour‐Sum Method  The contour‐sum method was firstly proposed by Fried and Vaughn in 1992 [12] to prove that  there is a branch cut (phase singularity) in the phase function of a light field with strong intensity  variation. Since then, it has been adopted to detect OV beams using the phase slopes measured by an  SH‐WFS [20]. The essence of this method is that the circulation value of the phase gradient along a  closed path enclosing the singularity point has a relationship with the TC value n, which is an integer  and can be expressed as [20]:  Appl. Sci. 2019, 9, 3956  3  of  14  1  nd r ,  (1)   2 dr where C is a closed path,     is the phase gradient, and    is an infinitesimal displacement along  the closed path C.  In practice, in order to determine the TC, we must discretize the line integral according to the  geometrical configuration of sampling points, and accordingly rewrite Equation (1) as:    Cir S l ,  (2)  kk 2 k1 where K is the number of sampling points along the closed path, and Sk and lk are the phase slope and  discretized contour path of the k‐th sampling point, respectively. In Equation (2), a constant A is  introduced to compensate for the error caused by the discretization [24], and Cir is the TC value to  be measured.  Specially, with the use of an SH‐WFS, the discretization is realized by the lenslet array, and the  phase  slopes  are  simply  obtained  by  the  displacements  of  the  focusing  spots  produced  by  the  corresponding lenslets. Thus, the discretized contour paths connect the centers of the lenslet areas,  forming the closed path. Figure 1 illustrates the generalized contour‐sum method. In Figure 1, the  square indicates the lenslet area, and the area marked with downward diagonal lines is the element  forming the closed path. The discretized‐contour path lk is represented by the red vector that connects  the centers of the two adjacent elements in the closed path, and the blue vector Sk is the phase slope,  which is the average of the phase slopes at the two adjacent elements.  Figure 1. Graph illustrating the generalized contour‐sum method.  The raw data from the SH‐WFS measurement consist of a Hartmanngram of multiple focused  spots.  The  five  main  steps  of  the  GCSM  are  (1)  preprocessing  the  Hartmanngram,  including  thresholding and segmentation; (2) calculating the phase slope of the individual lenslet area locations  according to the SH‐WFS working principle; (3) summing the intensity values of all pixels in each  lenslet area to obtain the intensity sum value; (4) extracting a closed path from the intensity sum map;  and (5) calculating the circulation, which is TC value of the OV beam.  In this algorithm, the closed path should be extracted from the intensity sum map, instead of  from the Hartmanngram itself. This is because the intensity distribution behind the individual lenslet  areas reflects the average distortion, but not the intensity distribution of the sub‐wavefront incident  into the lenslets. Since closed path determination is a crucial step, we focus on exploring the most  proper closed path determination method in the rest of this paper.  3. Methods for Closed Path Determination  Basically, there are two strategies to determine a closed path from a given intensity sum map.  One is to adaptively extract the closed path along the ridge of the intensity sum map. The reason why  we search for the ridge elements is to ensure that all the measured phase slope data along the closed  path are valid. Another strategy is to generate a closed path with a perfectly round shape, whose  diameter  and  center  could  be  adaptively  varied  within  a  given  range.  Hence,  in  this  section,  we  Appl. Sci. 2019, 9, 3956  4  of  14  explain closed path determination methods, following each strategy in detail. We introduce three  methods that conform to the ridge‐extracting strategy, which are watershed transformation (WT),  MAIC  extraction,  and  the  combination  of  watershed  transformation  and  MAIC  extraction  (WT‐ MAIC), as well as two methods that conform to the perfectly round circle generation strategy, which  are the fixed‐center perfectly round circle method (FC‐PRCM) and the shifting‐center perfectly round  circle method (SC‐PRCM).  3.1. Watershed Transformation Method  Watershed transformation (WT) is a technique to extract ridges from an elevation map. This idea  originated from the field of topography, and was firstly introduced as an image processing method  by Beucher and Lantuéjoul [25]. Since then, many modifications and improvements to the method  have been proposed [26–29]. The kernel of watershed transformation is to treat the two‐dimensional  grayscale input image as a topographic map, as shown in Figure 2, with the grayscale value of each  individual point representing the elevation. After this transformation, the image is intuitively divided  into several catchment basins, each of which corresponds to a regional minimum in the elevation  dimension. The boundaries between diverse catchment basins are considered as the ridges, which  are commonly termed watershed lines.  Figure  2.  A  diagram  to  illustrate  the  topographic  map  of  an  image  after  performing  watershed  transformation. The red curves are the watershed lines.  To  perform  watershed  transformation  on  an  image,  flooding  is  the  most  commonly  used  strategy, and Meyer’s flooding algorithm is the corresponding extensively used algorithm [27]. Its  core idea is to flood the entire topographic map, which is equivalent to raising the zero‐elevation  plane with time. With the flooding, the catchment basin corresponding to the global minimum is first  filled with water, following which the other catchment basins start to fill with water one by one. After  a  certain  amount  of  time,  water  from  different  catchment  basins  meet,  and  we  build  barriers  to  prohibit  this  phenomenon.  The  resulting  barriers  comprise  the  watershed  lines,  which  correspondingly segment the input image into different regions.  Specifically, to apply watershed transformation on an intensity sum map to determine a closed  path, we first perform preprocessing on the intensity sum map, such as thresholding and filtering  [26], and then we perform the watershed transformation using the built‐in function ‘watershed’ of  MATLAB [30]. Moreover, considering that we aim to determine the net TC value in an OV beam, we  should  obtain  only  one  closed  path  out  of  the  multiple  watershed  lines.  This  can  be  realized  by  merging small regions into their neighboring large regions until there is only one region.     Appl. Sci. 2019, 9, 3956  5  of  14  3.2. Maximum Average‐Intensity Circle Extraction  The maximum average‐intensity circle (MAIC) method has been proposed to extract a closed  path from an intensity sum map for TC determination [24], as is briefly explained here. The basic  process is to iteratively search the local peaks from the 2D intensity sum map and to connect these  peak elements to form a closed path. The searching begins with the global maximum in the intensity  sum map. The local maximum element from among several candidates of the eight neighbors of the  current element is selected as the next element.   3.3. Watershed Transformed Maximum Average‐Intensity Circle Extraction  Both WT and MAIC methods are simple and intuitive ways to obtain a closed path for circulation  calculation,  and  they  have  equally  excellent  performance  when  the  OV  beam  has  little  to  no  aberration. However, when the OV beam is severely distorted by aberration, the intensity sum map  of the OV beam will have a shape far from a perfect circle, and may even split into several parts,  resulting in both methods losing their efficiency. To  further improve the performance under this  severe aberration condition, we here propose a new method that combines WT and MAIC. In this  method, we first perform watershed transformation on the intensity sum map, and then search for  the ridge from among the elements on the watershed lines based on the MAIC algorithm. With the  output of watershed transformation previously obtained, the influence of the element along the ridge  and the noise can be significantly reduced, and thereby, a more proper closed path can be extracted.  For simplicity, we named this method the watershed‐transformed MAIC method (WT‐MAICM).   3.4. Perfectly Round Circle Assignation  As mentioned above, besides the ridge‐extracting strategy, adaptively generating an appropriate  perfectly round circle according to the intensity sum profile of an OV beam is also a closed path  determination strategy that is worthy of discussion. In general, the center position and radius are two  integral parameters to generate a perfectly round circle. However, given an intensity sum profile, it  is difficult to directly determine the most appropriate perfectly round circle. Consequently, in our  previous research, we proposed to generate a group of concentric perfect circles, and chose the one  for which the measured TC value had the maximum absolute value as the determined perfect round  circle.  The  center  position  of  the  concentric  perfect  circles  was  determined  as  the  nearest  lenslet  position from the centroid of the intensity sum map, while the lower and upper bounds of the radius  variation range was determined by the radii of the inscribed and circumscribed circles of the intensity  sum profile [24].  The performance of this generated perfectly round circle method (PRCM) as the closed path  determination method to measure the TC value of a distorted OV beam is generally worse than that  of the MAIC method [21,24]. The reasons are listed as follows:   The  method  determining  the  center  position  of  the  generated  perfectly  round  circles  by  the  centroid of intensity sum map is not optimal, because the nonuniformity along the azimuthal  direction in the intensity sum distribution significantly affects the centroid calculation.   The center position as well as the radius are all forced to be integers.   The generated circles restricted to perfectly round shapes will unavoidably go through the low‐ intensity region, which means that invalid phase slope data will be obtained.  Notwithstanding, the generated circle should be fixed to a perfectly round shape to agree with  the annular intensity sum profile and the position. Moreover, the radius should be forced to be an  integer. This is because if we adaptively vary the shape or precisely calculate the position and radius  and determine the phase slopes of the non‐integer position by interpolation, the incurred complexity  will go against our original goal of maintaining simplicity in the calculations. However, regarding  the center position determination, the performance may be improved by shifting the center position  within a proper region, referring to the radius variation. Although this dramatically increases the  Appl. Sci. 2019, 9, 3956  6  of  14  closed  path  determination  time,  we  can  accept  a  tradeoff  between  TC  determination  speed  and  accuracy if such a tradeoff manifests an improvement in the determination performance.  Consequently, in this paper, we propose a new, modified method for the generation of perfectly  round circles based on the previously proposed method, where the modification is merely to shift the  center  position  of  the  concentric  perfectly  round  circles  within  an  advisable  region,  as  is  further  discussed  in  Section  5.  For  the  sake  of  differentiation,  we  named  this  method  the  shifting‐center  perfectly  round  circle  method  (SC‐PRCM)  and  the  previously  proposed  perfectly  round  circle  method the fixed‐center perfectly round circle method (FC‐PRCM).  4. Experimental Setup  To verify the performance of these methods of closed path determination for the GCSM, we built  an experimental setup, as shown in Figure 3 [24]. As shown in Figure 3, a collimated laser beam of  wavelength 632.8 nm passed an aperture with a diameter of 4 mm, and was incident on a liquid  crystal on silicon‐spatial light modulator (LCOS‐SLM). The LCOS‐SLM was used to transform the  incident beams into the optical vortex beams as well as bring aberrations into the beam. The beam  reflected back from the LCOS‐SLM was converged by a lens with a focal length of 2 m, and was split  by a beam splitter into two beams. Finally, we used an SH‐WFS to record the Hartmanngram and a  complementary metal‐oxide semiconductor (CMOS) camera to check and record the intensity profile  of the OV beam. The LCOS‐SLM was set at the front focal plane of the lens, while the SH‐WFS as well  as the CMOS camera were both located at the back focal plane of the lens.  Figure 3. Schematic diagram of the experimental setup.  The LCOS‐SLM (Hamamatsu, X10468‐01) was a pure phase modulator consisting of 792 × 600  pixels with a pixel size of 20 × 20 μm [31]. The SH‐WFS consisted of two elements: a square grid  lenslet array with a pitch size of 200 μm and focal length of 11 mm, and a high‐speed intelligent vision  sensor with 512 × 512 pixels and a pixel size of 20 × 20 μm [32]. The SH‐WFS was mounted on a  mechanical  platform  that  could  be  moved  along  the  horizontal  direction.  The  movement  was  precisely controlled by a stepping motor system. The CMOS camera was 2592 × 2048 pixels and had  a pixel size of 4.8 × 4.8 μm.  5. Results and Discussion  5.1. Performance Comparison Based on Aberration‐Free OV Beams  To  compare  the  above  five  closed  path  determination  methods,  we  first  evaluated  the  performance under the aberration‐free OV beam condition. In the experiments, we displayed various  computer‐generated holograms (CGHs) with a spiral phase structure on the LCOS‐SLM to generate  an OV beam with TC values ranging from ± 1 to ± 20. In order to enrich the data amount as well as  eliminate  the  randomness,  for  each  TC  value,  we  repeatedly  recorded  the  Hartmanngrams  at  15  different SH‐WFS positions by laterally moving the mechanical platform. Hence, we obtained a total  Appl. Sci. 2019, 9, 3956  7  of  14  of 600 Hartmanngrams (40 TC values and 15 SH‐WFS positions). Figure 4 shows an example of the  spiral phase pattern displayed on LCOS‐SLM, and the corresponding Hartmanngram as well as the  intensity profile image respectively recorded by SH‐WFS and CMOS camera.  Figure 4. Example of (a) spiral phase pattern, (b) Hartmanngram, and (c) intensity profile recorded  by the complementary metal‐oxide semiconductor (CMOS) camera. The bar indicates 1 mm.  As described in Section 2, for each recorded Hartmanngram, we first performed the necessary  preprocessing, and then summed all the pixel values in each lenslet region to obtain the intensity sum  map  and  measured  the  phase  slopes  at  the  lenslet  positions  according  to  the  SH‐WFS  working  principle. After that, we used each of the studied five methods to determine the closed path, and then  utilized the generalized counter‐sum method to calculate the TC value.  Considering that the theoretical TC value is an integer,  for TC  measurement, if the absolute  difference  between  the  measured  TC  value  and  the  theoretical  TC  value  is  lower  than  0.5,  the  measured TC value will be identical to the theoretical TC value after rounding—we define this as a  well‐determined TC measurement. Based on this definition, we introduced a parameter, the well‐ determined  TC  measurement  ratio  (WTCMR),  which  is  the  percentage  of  well‐determined  TC  measurements within a given set of TC measurements, to quantitatively compare the performance of  the diverse closed path determination methods.  The performance evaluation results of the individual closed path determination methods are  given in Figures 5 and 6. In Figure 5, each value is the WTCMR of a group of 30 measurements (15  positions for both positive and negative TC values), while in Figure 6, the WTCMR is the statistical  average of all 600 measurements. Figure 6 also shows the corresponding processing speed of the  individual methods in terms of frames per second, which was measured on an Intel Core i7 computer  with a CPU frequency of 3.7 GHz and 16 GB of RAM.    Appl. Sci. 2019, 9, 3956  8  of  14  Figure 5. Well‐determined topological charge (TC) measurement ratio (WTCMR) distributions of the  five closed path determination methods when the TC value changes from ±1 to ± 20.  Figure 6. TC determination performances of five closed path determination methods in terms of the  WTCRM  (bars)  and  speed  in  frames  per  second  (fps)  (points).  Each  bar  or  point  is  the  statistical  average of all 600 measurements under the corresponding closed path determination method.  As shown in Figures 5 and 6, the WT, MAIC, and WT‐MAIC methods performed perfectly, since  the WTCMR was shown to be 100% for all tested TC values. However, the WTCMR of the FC‐PRCM  and the SC‐PRCM was not always 100%, even when measuring aberration‐free OV beams. Moreover,  the performance of these methods deteriorated with the increase of the TC value. The SC‐PRCM was  the worst method in terms of both the WTCMR and the computing speed.  Considering that the TC determination progress is the same apart from the closed path being  determined  by  diverse  closed  path  determination  methods,  the  reason  for  the  differences  in  performance was exclusively due to the differences in the determined closed paths. To concretely  demonstrate these differences, as well as the origin of the differences and why this factor significantly  changes the TC determination performance, we present some examples in Figure 7. In this figure, the  columns from left to right indicate the results using the WTM, MAICM, WT‐MAICM, FC‐PRCM, and  SC‐PRCM, and the rows from top to bottom are the inputted OV beams of TC values of 10 (top row),  15 (middle row), and 20 (bottom row). In Figure 7, each row has the same intensity sum map, and the  red circle superimposed on the intensity sum map is the closed path extracted by the individual  method.  Appl. Sci. 2019, 9, 3956  9  of  14  Figure 7. Examples showing the differences of the closed paths (the red circles) and the TC values  determined by (a) the watershed transformation method (WTM), (b) the maximum average‐intensity  circle method (MAICM), (c) the WT‐MAICM, (d) the fixed‐center perfectly round circle method (FC‐ PRCM), and (e) the shifting‐center (SC‐PRCM). The theoretical TC values are 10 (top row), 15 (middle  row), and 20 (bottom row). In each image, the background is the intensity sum map, and the red circle  is the closed path determined by the individual methods. The corresponding measured TC value is  labeled in each image.  From the figure, it can be seen that the WTM, MAICM, and WT‐MAICM can properly extract  closed paths passing through the ridge elements, thus obtaining precise TC values. On the other  hand, for the  FC‐PRCM and  SC‐PRCM, the closed path might go through  the low‐intensity sum  regions where the measured phase slopes are invalid. When the TC value of the OV beam varied  from 10 to 15 to 20, the effects of the nonuniformity of the intensity sum map along the azimuthal  direction increased. As a result, the closed path deviated more from the ridge elements and went  through the low‐intensity regions, generating a large error in the measured TC values. As for the SC‐ PRCM, its performance deteriorated more compared with that of the FC‐PRCM. This reveals that  simply shifting the center position of the concentric perfectly round circles does not improve, but  rather  reduces  the  performance.  We  believe  that  this  is  because  shifting  the  center  position  of  perfectly round circles may deviate the centers even further from the real position of the vortex, and  thus  they  become  liable  to  be  affected  by  the  invalid  slope  data  in  the  low‐intensity  regions.  Considering  that  we  chose  the  generated  perfectly  round  circle  with  the  maximum  absolute  calculated TC value as the determined closed path, the SC‐PRCM mostly output a measured TC value  larger than the theoretical value. Moreover, in combination with the poor performance of the FC‐ PRCM, we found that the unified closed path determination criterion in the PRCM strategy, which is  to select the generated perfectly round circle with the maximum absolute calculated TC value as the  determined closed path, is not entirely rational, although it is simple.  The above finding was also supported by analyzing the errors of the measured TC values. Figure  8 shows the histogram distributions of the absolute error (AE) of TC measurements, wherein the x‐ axis is the interval of the AE, which is the absolute difference between the measured TC value and  the  theoretical  TC  value,  and  the  y‐axis  is  the  frequency  of  the  600  measurements.  From  the  distribution, we can view the striking difference between the performances of the WTM, MAICM,  and WT‐MAICM, and those of the FC‐PRCM and SC‐PRCM. Almost all of the AEs of the former  three methods are concentrated within the value interval of 0 to 0.2; on the contrary, the AEs are  distributed in a partly uniform pattern with one‐sixth within the value interval of over 0.5 when using  Appl. Sci. 2019, 9, 3956  10  of  14  the FC‐PRCM, while the majority are in the value interval of over 0.5 when using the SC‐PRCM. This  phenomenon  profoundly  influences  the  correct  rate  of  TC  determination  when  we  shrink  the  confidence interval of the well‐determined TC measurements. For example, when using AE < 0.3 as  a criterion for the well‐determined TC measurement definition, the WTCMR values of the WTM,  MACIM, and WT‐MAICM are still over 99%; however, those of the FC‐PRCM and SC‐PRCM drop  to 63.3% and 19.7%, respectively.  Figure 8. Absolute error (AE) histograms of 600 TC measurements separately using WTM, MAICM,  WT‐MAICM,  FC‐PRCM,  and  SC‐PRCM.  The  number  over  each  bar  indicates  the  number  of  the  measurements whose AE values are within the corresponding interval.  According to the previous discussions, we concluded that the FC‐PRCM and SC‐PRCM are not  appropriate as closed path determination methods, and that generating a perfectly round circle is not  a plausible nor practical closed path determination strategy. Therefore, we started to just involve the  other three closed path determination methods in the following comparison.  5.2. Performance Comparison Based on Distorted OV Beams  Many practical applications of OV beams, e.g., free‐space optical communication and optical  remote metrology, require the determination of the TC value of the OV beam after its propagation  over a certain distance in the atmosphere. Consequently, it is vital to evaluate and compare these  methods for OV beams distorted by atmospheric turbulence. Generally, a turbulent atmosphere can  be treated as an inhomogeneous refractive index media, featured by the structure parameter  C   [33], and its impact on the light beam propagating through it can be accumulated as phase screens  [34]. Supposing the turbulence satisfies the Kolmogorov model, the phase screen can be simulated  through the Zernike polynomial [35]. The coefficients of the Zernike polynomial are related to the  normalized correlation length r0/D, where r0 is the Fried parameter and D is the beam size [36].  In the experiments, considering that the beam size used in our optical system was 4 mm, we  chose r0 to be 1, 2, 3, 4, and 6 mm, and the normalized correlation length r0/D was chosen to be 0.25,  0.5, 0.75, 1, and 1.5. Under each r0/D value, we performed 50 random realizations of phase screens,  which were then separately superposed with the spiral phase pattern (SPPs) whose TC values were  1, 5, and 10. Therefore, we generated 750 phase patterns altogether (three TC values, five r0/D values,  and 50 phase screens). Afterwards, we displayed the phase patterns one by one on the LCOS‐SLM  and recorded the corresponding Hartmanngrams. The SH‐WFS did not move herein, because we had  already  generated  50  diverse  phase  patterns  under  each  condition  for  repeated  testing.  For  each  Hartmanngram,  we  respectively  used  WTM,  MAICM,  and  WT‐MAICM  as  the  closed  path  determination method, and determined the TC value by the generalized contour‐sum method.  Appl. Sci. 2019, 9, 3956  11  of  14  The experimental results evaluated by the WTCMR are given in Figure 9, where Figure 9a–c  corresponds to a set of 50 measurements for the individual TC, and Figure 9d is the mean of these  measurements.  Figure 9. TC determination performance of three methods under different atmospheric turbulence  conditions, where (a) is under TC = 1, (b) is under TC = 5, (c) is under TC = 10, and (d) is the average  of (a), (b), and (c).  Based  on  the  experimental  results,  we  found  that  the  general  tendency  of  TC  measurement  accuracy increased along with the increase of r0/D, which means the atmospheric turbulence becomes  gentler. Moreover, when changing the closed path determination method from WTM to MAICM to  WT‐MAICM, the TC determination accuracy improved, especially when the atmospheric turbulence  was severe. Supposing the accredited WTCMR to be over 0.9, we found that the limitations of r0/D  for  WTM,  MAICM,  and  WT‐MAICM  were  around  approximately  0.75–1,  0.5–0.75,  and  0.25–0.5,  respectively.  Figure 10 is an example specifically illustrating why the WT‐MAICM has a better performance  than the WTM and MAICM. Here, the OV beam to be measured has a TC value of 10 and a turbulence  strength  parameter  r0/D  of  0.25.  The  top,  middle,  and  bottom  rows  show  the  closed  path  determination processes and corresponding results when utilizing WTM, MAICM, and WT‐MAICM  separately.  From  the  significantly  different  determined  closed  paths,  we  can  see  that  when  the  turbulence  is  severe,  the  distorted  OV  beam  can  have  extremely  nonuniform  regions.  These  nonuniform regions can trap the MAICM searching process into a local loop (middle row), or lead  the WTM‐determined closed path to be more than one part (top row), which conflicts with the aim  of extracting only one closed path; these results eventually deteriorate the performance of the WTM  and MAICM.  Appl. Sci. 2019, 9, 3956  12  of  14  Figure  10.  Closed  path  determination  processes  and  results  using  the  WTM  (top  row),  MAICM  (middle row), and WT‐MAICM (bottom row).  6. Conclusions  In  this  paper,  we  presented  an  experimental  comparison  of  five  closed  path  determination  methods for the use of GCSM to detect the TC of an OV beam. These five methods are the previously  proposed MAICM and FC‐PRCM, and three newly proposed methods: the WTM, WT‐MAICM, and  SC‐PRCM. These methods come from two strategies: WTM, MAICM, and WT‐MAICM belong to the  strategy  of  ridge  extraction,  and  FC‐PRCM  and  SC‐PRCM  are  derived  from  the  strategy  of  PRC  assignation. The codes for the algorithms are available from the authors by email. The methods were  tested with an optical setup that used a LCOS‐SLM as an OV beam, and an aberration generator and  an  SH‐WFS  located  at  the  far‐field  plane  to  measure  the  OV  beams.  Two  types  of  evaluation  experiments  were  performed.  One  was  under  the  condition  that  the  OV  beam  had  hardly  any  aberration, and the other was under the condition that the OV beam was distorted by simulated  atmospheric turbulence. The experimental results indicate that the methods with ridge extraction  outperform those based on PRC assignation in terms of both the well‐determined detection rate and  the processing speed.  Under  the  condition  of  an  aberration‐free  OV  beam,  the  WTM,  MAICM,  and  WT‐MAICM  performed excellently and achieved WTCMR values of 100%. On the other hand, the WTCMR values  of the FC‐PRCM and SC‐PRCM were not always 100% and the performance was reduced with the  increase of the TC value. What is more, the SC‐PRCM was found to be the worst method in terms of  both the WTCMR and the processing speed. There are a number of reasons that can explain the poor  performance of the PRC assignation strategy, but the major factors are that the generated circle is  prone to deviate from the OV center and go through regions with low intensity as well as invalid  phase slope data, which are caused by nonuniformity in the intensity sum map along the azimuthal  direction. The performance of the SC‐PRCM was worse than that of the FC‐PRCM, indicating that  simply shifting the center of the PRC is not a suitable solution, and the maximum absolute TC value  hunting criterion in the PRC assignation strategy lacks rationality.  In the case of measuring distorted OV beams, the WTM, MAICM, and WT‐MAICM show certain  differences in term of the WTCMR, especially when the turbulent strength is high. Among these three  methods,  the  WT‐MAICM  shows  the  strongest  robustness  against  distortion,  and  the  WTM  was  found to be the weakest. The limits of r0/D to achieve WTCMR > 90% were around 0.75–1, 0.5–0.75,  Appl. Sci. 2019, 9, 3956  13  of  14  and  0.25–0.5  for  the  WTM,  MAICM,  and  WT‐MAICM,  respectively,  in  terms  of  normalized  correlation  length.  Overall,  these  results  reveal  that  adaptively  determining  the  closed  path  is  necessary for GCSM in detecting the TC from a distorted OV beam.  Author Contributions: Conceptualization, D.W. and H.H.; funding acquisition, H.L.; methodology, D.W. and  H.H.;  project  administration,  H.H.;  resources,  H.T.;  supervision, H.L.  and  H.T.;  validation,  D.W.  and  H.H.;  writing—original draft, D.W.; writing—review and editing, D.W. and H.H.  Funding:  Shenzhen  Innovation  Funding  (No:  JCYJ20170818164343304,  JCYJ20170816172431715);  National  Natural Science Foundation of China (No: U1809204, 61525106, 61427807, 61701436); National Key Technology  Research and Development Program of China (No: 2017YFE0104000, 2016YFC1300302).  Acknowledgments: We gratefully acknowledge A. Hiruma and T. Hara for their support and encouragement  throughout this study. Wang thanks the exchange program between Hamamatsu Photonics K.K. and Zhejiang  University. The support from the above funding organizations is also gratefully acknowledged.  Conflicts of Interest: The authors declare no conflict of interest.  References   1. Bozinovic, N.; Yue, Y.; Ren, Y.; Tur, M.; Kristensen, P.; Huang, H.; Willner, A.E.; Ramachandran, S. Terabit‐ scale orbital angular momentum mode division multiplexing in fibers. Science 2013, 340, 1545–1548. 2. Zhang, D.; Feng, X.; Huang, Y. Encoding and decoding of orbital angular momentum for wireless optical  interconnects on chip. Opt. Express 2012, 20, 26986–26995.  3. Wang, J.; Yang, J.Y.; Fazal, I.M.; Ahmed, N.; Yan, Y.; Huang, H.; Ren, Y.; Yue, Y.; Dolinar, S.; Tur, M.; et al.  Terabit free‐space data transmission employing orbital angular momentum multiplexing. Nat. Photonics  2012, 6, 488.  4. Li, S.; Wang, J. Experimental demonstration of optical interconnects exploiting orbital angular momentum  array. Opt. Express 2017, 25, 21537–21547.  5. Chu, S. Laser Manipulation of Atoms and Particles. Science 1991, 253, 861–866.  6. Otsu, T.; Ando, T.; Takiguchi, Y.; Ohtake, Y.; Toyoda, H.; Itoh, H. Direct evidence for three‐dimensional  off‐axis trapping with single Laguerre‐Gaussian beam. Sci. Rep. 2014, 4, 4579.  7. Liphardt,  J.;  Dumont,  S.;  Smith,  S.B.;  Tinoco,  I.;  Bustamante,  C.  Equilibrium  information  from  nonequilibrium measurements in an experimental test of Jarzynski’s equality. Science 2002, 296, 1832–1835.  8. Sato, S.; Fujimoto, I.; Kurihara, T.; Ando, S. Remote six‐axis deformation sensing with optical vortex beam.  In Proceedings of the Free‐Space Laser Communication Technologies XX, San Jose, CA, USA, 19‐24 January  2008.  9. Wang, W.; Yokozeki, T.; Ishijima, R.; Takeda, M.; Hanson, S.G. Optical vortex metrology based on the core  structures of phase singularities in Laguerre‐Gauss transform of a speckle pattern. Opt. Express 2006, 14,  10195–10206.  10. Fujimoto, I.; Sato, S.; Kim, M.Y.; Ando, S. Optical vortex beams for optical displacement measurements in  a surveying field. Meas. Sci. Technol. 2011, 22, 105301.  11. Nye, J.F.; Berry, M.V. Dislocations in wave trains. Proc. R. Soc. Lond. A Math. Phys. Sci. 1974, 336, 165–190.  12. Fried, D.L.; Vaughn, J.L. Branch cuts in the phase function. Appl. Opt. 1992, 31, 2865–2882.  13. Rockstuhl,  C.;  Ivanovskyy,  A.A.;  Soskin,  M.S.;  Salt,  M.G.;  Herzig,  H.P.;  Dändliker,  R.  High‐resolution  measurement of phase singularities produced by compute‐generated holograms. Opt. Commun. 2004, 242,  163–169.  14. Chen, R.; Zhang, X.; Zhou, Y.; Ming, H.; Wang, A.; Zhan, Q. Detecting the topological charge of optical  vortex beams using a sectorial screen. Appl. Opt. 2017, 56, 4868–4872.  15. Hickmann,  J.M.;  Fonseca,  E.J.;  Soares,  W.C.;  Chávez‐Cerda,  S.  Unveiling  a  truncated  optical  lattice  associated with a triangular aperture using light’s orbital angular momentum. Phys. Rev. Lett. 2010, 105,  053904.  16. Prabhakar, S.; Kumar, A.; Banerji, J.; Singh, R.P. Revealing the order of a vortex through its intensity record.  Opt. Lett. 2011, 36, 4398–4400.  17. Schulze, C.; Naidoo, D.; Flamm, D.; Schmidt, O.A.; Forbes, A.; Duparré, M. Wavefront reconstruction by  modal decomposition. Opt. Express 2012, 20, 19714–19725.  Appl. Sci. 2019, 9, 3956  14  of  14  18. Li, S.; Wang, J. Simultaneous demultiplexing and steering of multiple orbital angular momentum modes.  Sci. Rep. 2015, 5, 15406.  19. Platt, B.C.; Shack, R. History and principles of Shack‐Hartmann wavefront sensing. J. Refract. Surg. 2001,  17, S573–S577.  20. Chen,  M.;  Roux,  F.S.;  Olivier,  J.C.  Detection  of  phase  singularities  with  a  Shack‐Hartmann  wavefront  sensor. J. Opt. Soc. Am. A 2007, 24, 1994–2002.  21. Le Bigot, E.O.; Wild, W.J. Theory of branch‐point detection and its implementation. J. Opt. Soc. Am. A 1999,  16, 1724–1729.  Eight‐connected contour method for accurate position  22. Huang, H.; Luo, J.; Matsui, Y.; Toyoda, H.; Inoue, T.  detection of optical vortices using Shack–Hartmann wavefront sensor. Opt. Eng. 2015, 54, 111302–111302.  23. Luo, J.; Huang, H.; Matsui, Y.; Toyoda, H.; Inoue, T.; Bai, J. High‐order optical vortex position detection  using a Shack‐Hartmann wavefront sensor. Opt. Express 2015, 23, 8706–8719.  24. Wang, D.; Huang, H.; Matsui, Y.; Tanaka, H.; Toyoda, H.; Inoue, T.; Liu, H. Aberration‐resistible topological  charge determination of annular‐shaped optical vortex beams using Shack–Hartmann wavefront sensor.  Opt. Express 2019, 27, 7803–7821.  25. Beucher, S.; Lantuejoul, C. Use of watersheds in contour detection. In Proceedings of the International  Workshop Image Processing, Real‐Time Edge and Motion Detection/ Estimation, CCETT/IRISA, Rennes,  France, 17‐21 September 1979.  26. Meyer, F.; Beucher, S. Morphological segmentation. JVCIP 1990, 1, 21–46.  27. Meyer, F. Topographic distance and watershed lines. Signal. Process. 1994, 38, 113–125.  28. Vincent, L.; Soille, P. Watersheds in digital spaces: An efficient algorithm based on immersion simulations.  IEEE Trans. Pattern Anal. Mach. Intell. 1991, 13, 583–598.  29. Osma‐Ruiz,  V.;  Godino‐Llorente,  J.I.;  Sa´enz‐Lecho´n,  N.;  Go´mez‐Vilda,  P.  An  improved  watershed  algorithm based on efficient computation of shortest paths. Pattern Recognit. 2007, 40, 1078–1090.  30. Watershed  Function  in  MathWorks.  Available  online:  https://www.mathworks.com/help/images/ref/watershed.html?s_tid=srchtitle  (accessed  on  11  August  2019).  31. Inoue,  T.;  Tanaka,  H.;  Fukuchi,  N.;  Takumi,  M.;  Matsumoto,  N.;  Hara,  T.;  Yoshida,  N.;  Igasaki,  Y.;  Kobayashi, Y. LCOS spatial light modulator controlled by 12‐bit signals for optical phase‐only modulator.  Proc. SPIE 2007, 6487, 64870Y.  32. Sugiyama, Y.; Takumi, M.; Toyoda, H.; Mukozaka, N.; Ihori, A.; Kurashina, T.; Nakamura, Y.; Tonbe, T.;  Mizuno, Seiichiro. A high‐speed CMOS image sensor with profile data acquiring function. IEEE J. Solid  State Circuits 2005, 40, 2816–2823.  33. Tyson. R. K. Principles of Adaptive Optics; Academic: Salt Lake City, UT, USA, 1991.  34. Kolmogorov, A.N. A refinement of previous hypotheses concerning the local structure of turbulence in a  viscous incompressible fluid at high Reynolds number. J. Fluid Mech. 1962, 13, 82–85.  35. Roddier, N.A. Atmospheric wavefront simulation using Zernike polynomials. Opt. Eng. 1990, 29, 1174– 1180.  36. Fried, D.L. Statistics of a geometric representation of a wavefront distortion. J. Opt. Soc. Am. 1965, 55, 1427– 1435.  © 2019 by the authors. Licensee MDPI, Basel, Switzerland. This article is an open access  article distributed under the terms and conditions of the Creative Commons Attribution  (CC BY) license (http://creativecommons.org/licenses/by/4.0/).  http://www.deepdyve.com/assets/images/DeepDyve-Logo-lg.png Applied Sciences Multidisciplinary Digital Publishing Institute

Topological Charge Detection Using Generalized Contour-Sum Method from Distorted Donut-Shaped Optical Vortex Beams: Experimental Comparison of Closed Path Determination Methods

Loading next page...
 
/lp/multidisciplinary-digital-publishing-institute/topological-charge-detection-using-generalized-contour-sum-method-from-zF3MtdQCJI

References

References for this paper are not available at this time. We will be adding them shortly, thank you for your patience.

Publisher
Multidisciplinary Digital Publishing Institute
Copyright
© 1996-2019 MDPI (Basel, Switzerland) unless otherwise stated Terms and Conditions Privacy Policy
ISSN
2076-3417
DOI
10.3390/app9193956
Publisher site
See Article on Publisher Site

Abstract

Article  Topological Charge Detection Using Generalized  Contour‐Sum Method from Distorted Donut‐Shaped  Optical Vortex Beams: Experimental Comparison of  Closed Path Determination Methods  1 2, 2 1, Daiyin Wang  , Hongxin Huang  *, Haruyoshi Toyoda   and Huafeng Liu  *    College of Optical Science and Engineering, Zhejiang University, Hangzhou 310027, China;  wangdaiyin@126.com    Central Research Laboratory, Hamamatsu Photonics K. K., Hamamatsu 434‐8601, Japan;  toyoda@crl.hpk.co.jp  *  Correspondence: huanghx@crl.hpk.co.jp (H.H.); liuhf@zju.edu.cn (H.L.)  Received: 30 August 2019; Accepted: 17 September 2019; Published: 20 September 2019  Featured Application: This study will be valuable to researchers working in optical metrology  and  in  the  diagnosis  of  optical  communication  links  through  long‐distance  free‐space  propagation.  Abstract: A generalized contour‐sum method has been proposed to measure the topological charge  (TC)  of  an  optical  vortex  (OV)  beam  using  a  Shack–Hartmann  wavefront  sensor  (SH‐WFS).  Moreover,  a  recent  study  extended  it  to  be  workable  for  measuring  an  aberrated  OV  beam.  However,  when  the  OV  beam  suffers  from  severe  distortion,  the  closed  path  for  circulation  calculation  becomes  crucial.  In  this  paper,  we  evaluate  the  performance  of  five  closed  path  determination  methods,  including  watershed  transformation,  maximum  average‐intensity  circle  extraction,  a  combination  of  watershed  transformation  and  maximum  average‐intensity  circle  extraction, and perfectly round circles assignation. In the experiments, we used a phase‐only spatial  light modulator to generate OV beams and aberrations, while an SH‐WFS was used to measure the  intensity  profile  and  phase  slopes.  The  results  show  that  when  determining  the  TC  values  of  distorted donut‐shaped OV beams, the watershed‐transformed maximum average‐intensity circle  method performed the best, and the maximum average‐intensity circle method and the watershed  transformation method came second and third, while the worst was the perfect circles assignation  method. The discussions that explain our experimental results are also given.  Keywords:  wavefront  sensor;  spatial  light  modulator;  contour‐sum  method;  topological  charge;  orbital angular momentum  1. Introduction  Recently, optical vortex (OV) beams, owing to their unique properties, have attracted more and  more interest and have been utilized in a wide range of fields—from scientific research to advanced  technology applications, such as optical communications [1–4], optical metrology [5–7], and optical  trapping and manipulation [8–10]. Many specialties of OV beams are due to their phase singularity  in  the  wavefront  function,  where  the  intensity  drops  to  zero  and  the  phase  is  undefined  [11,12].  Moreover, the phase along a closed path enclosing the singularity point varies from 0 to 2nπ, where  n is an integer known as the topological charge (TC) or the orbital angular momentum (OAM). OV  beams  with  different  TC  values  perform  diverse  characteristics  and  consequently  are  used  as  Appl. Sci. 2019, 9, 3956; doi:10.3390/app9193956  www.mdpi.com/journal/applsci  Appl. Sci. 2019, 9, 3956  2  of  14  information  carriers  in  state‐of‐art  optical  communication  systems,  which  are  used  to  generate  sufficient  force  to  manipulate  the  molecules  and  so  on.  To  meet  the  requirements  of  these  applications,  the  determination  of  how  to  precisely  measure  the  TC  value  of  an  OV  beam  is  an  important  issue,  and  therefore  many  methods,  such  as  interferometry‐based  methods  [13],  diffraction‐based  methods  [14–16],  and  model  decomposition‐based  methods  [17,18]  have  been  proposed and comprehensively studied.  As one of the key devices used in adaptive optics systems [19], Shack–Hartmann wavefront  sensors (SH‐WFS) have also been utilized to determine the TC value of OV beams [12,20–23]. An SH‐ WFS consists of a lenslet array and an image sensor, and directly measures the phase slope of the  incident wavefront at each lenslet position. TC determination with an SH‐WFS is simple and direct,  and the contour‐sum method (CSM) has been proposed based on the principle that the net TC value  in an area is proportional to the line integral of the phase slope along the closed path circumscribing  the area [12].  The basic form of the contour‐sum method uses the pre‐assigned closed paths, e.g., the closed  path associated with the central 2 × 2 or 3 × 3 lenslet area to calculate the discrete line integral, which  is  employed  to  determine  the  TC  value  of  an  OV  beam  [20,22].  This  approach  is  successful  in  measuring  OV  beams  with  nearly  uniform  or  quasi‐uniform  intensity  distribution.  However,  it  becomes deficient under some conditions, especially when the OV beams to be measured have donut‐ shaped intensity profiles, where phase singularities are embedded in the low‐intensity region (dark  region), and the phase slope measurement could be invalidated. This condition commonly exists in  many OV applications such as OV‐based optical communication and OV‐based optical metrology. In  view of this, in a previous study, we generalized the contour‐sum method to be workable for a closed  path with an arbitrary shape, and proposed a maximum average‐intensity circle (MAIC) method to  extract a closed path with only valid phase slope data from the annular intensity profile [24]. We  experimentally investigated the MAIC method with both aberration‐free OV beams as well as the OV  beams distorted by simulated atmospheric turbulence, and we concluded that the proposed MAIC  method has good robustness against aberrations. Moreover, we found that the closed path used for  circulation calculation has a notable influence on the determined TC value when the OV beams are  severely distorted by aberrations. Considering that the closed path is vital for the CSM, we also briefly  demonstrated the superiority of the MAIC method against the use of perfectly round circles (PRC) as  the closed path [24].  With the aim of further improving the measurement accuracy under the condition of severe  distortion and enriching the discussion of the influence of closed paths in circulation calculations, in  this paper, we compare the performance of several closed path determination methods: perfectly  round circles assignation, watershed transformation, maximum average‐intensity circle extraction,  and  the  combination  of  the  watershed  transformation  with  maximum  average‐intensity  circle  extraction.  This paper is organized as follows. In Section 2, we present a brief of the generalized contour‐ sum method (GCSM), and in Section 3, we describe five closed path determination methods for the  GCSM. In Section 4, we show the optical setup for the proof‐of‐principle experiments. In Section 5,  we  present  some  experimental  results  and  discussions.  The  comparisons  were  conducted  under  scenarios  of  both  aberration‐free  OV  beams  and  OV  beams  distorted  by  simulated  atmospheric  aberrations. A summary and conclusion are given in Section 6.  2. Generalized Contour‐Sum Method  The contour‐sum method was firstly proposed by Fried and Vaughn in 1992 [12] to prove that  there is a branch cut (phase singularity) in the phase function of a light field with strong intensity  variation. Since then, it has been adopted to detect OV beams using the phase slopes measured by an  SH‐WFS [20]. The essence of this method is that the circulation value of the phase gradient along a  closed path enclosing the singularity point has a relationship with the TC value n, which is an integer  and can be expressed as [20]:  Appl. Sci. 2019, 9, 3956  3  of  14  1  nd r ,  (1)   2 dr where C is a closed path,     is the phase gradient, and    is an infinitesimal displacement along  the closed path C.  In practice, in order to determine the TC, we must discretize the line integral according to the  geometrical configuration of sampling points, and accordingly rewrite Equation (1) as:    Cir S l ,  (2)  kk 2 k1 where K is the number of sampling points along the closed path, and Sk and lk are the phase slope and  discretized contour path of the k‐th sampling point, respectively. In Equation (2), a constant A is  introduced to compensate for the error caused by the discretization [24], and Cir is the TC value to  be measured.  Specially, with the use of an SH‐WFS, the discretization is realized by the lenslet array, and the  phase  slopes  are  simply  obtained  by  the  displacements  of  the  focusing  spots  produced  by  the  corresponding lenslets. Thus, the discretized contour paths connect the centers of the lenslet areas,  forming the closed path. Figure 1 illustrates the generalized contour‐sum method. In Figure 1, the  square indicates the lenslet area, and the area marked with downward diagonal lines is the element  forming the closed path. The discretized‐contour path lk is represented by the red vector that connects  the centers of the two adjacent elements in the closed path, and the blue vector Sk is the phase slope,  which is the average of the phase slopes at the two adjacent elements.  Figure 1. Graph illustrating the generalized contour‐sum method.  The raw data from the SH‐WFS measurement consist of a Hartmanngram of multiple focused  spots.  The  five  main  steps  of  the  GCSM  are  (1)  preprocessing  the  Hartmanngram,  including  thresholding and segmentation; (2) calculating the phase slope of the individual lenslet area locations  according to the SH‐WFS working principle; (3) summing the intensity values of all pixels in each  lenslet area to obtain the intensity sum value; (4) extracting a closed path from the intensity sum map;  and (5) calculating the circulation, which is TC value of the OV beam.  In this algorithm, the closed path should be extracted from the intensity sum map, instead of  from the Hartmanngram itself. This is because the intensity distribution behind the individual lenslet  areas reflects the average distortion, but not the intensity distribution of the sub‐wavefront incident  into the lenslets. Since closed path determination is a crucial step, we focus on exploring the most  proper closed path determination method in the rest of this paper.  3. Methods for Closed Path Determination  Basically, there are two strategies to determine a closed path from a given intensity sum map.  One is to adaptively extract the closed path along the ridge of the intensity sum map. The reason why  we search for the ridge elements is to ensure that all the measured phase slope data along the closed  path are valid. Another strategy is to generate a closed path with a perfectly round shape, whose  diameter  and  center  could  be  adaptively  varied  within  a  given  range.  Hence,  in  this  section,  we  Appl. Sci. 2019, 9, 3956  4  of  14  explain closed path determination methods, following each strategy in detail. We introduce three  methods that conform to the ridge‐extracting strategy, which are watershed transformation (WT),  MAIC  extraction,  and  the  combination  of  watershed  transformation  and  MAIC  extraction  (WT‐ MAIC), as well as two methods that conform to the perfectly round circle generation strategy, which  are the fixed‐center perfectly round circle method (FC‐PRCM) and the shifting‐center perfectly round  circle method (SC‐PRCM).  3.1. Watershed Transformation Method  Watershed transformation (WT) is a technique to extract ridges from an elevation map. This idea  originated from the field of topography, and was firstly introduced as an image processing method  by Beucher and Lantuéjoul [25]. Since then, many modifications and improvements to the method  have been proposed [26–29]. The kernel of watershed transformation is to treat the two‐dimensional  grayscale input image as a topographic map, as shown in Figure 2, with the grayscale value of each  individual point representing the elevation. After this transformation, the image is intuitively divided  into several catchment basins, each of which corresponds to a regional minimum in the elevation  dimension. The boundaries between diverse catchment basins are considered as the ridges, which  are commonly termed watershed lines.  Figure  2.  A  diagram  to  illustrate  the  topographic  map  of  an  image  after  performing  watershed  transformation. The red curves are the watershed lines.  To  perform  watershed  transformation  on  an  image,  flooding  is  the  most  commonly  used  strategy, and Meyer’s flooding algorithm is the corresponding extensively used algorithm [27]. Its  core idea is to flood the entire topographic map, which is equivalent to raising the zero‐elevation  plane with time. With the flooding, the catchment basin corresponding to the global minimum is first  filled with water, following which the other catchment basins start to fill with water one by one. After  a  certain  amount  of  time,  water  from  different  catchment  basins  meet,  and  we  build  barriers  to  prohibit  this  phenomenon.  The  resulting  barriers  comprise  the  watershed  lines,  which  correspondingly segment the input image into different regions.  Specifically, to apply watershed transformation on an intensity sum map to determine a closed  path, we first perform preprocessing on the intensity sum map, such as thresholding and filtering  [26], and then we perform the watershed transformation using the built‐in function ‘watershed’ of  MATLAB [30]. Moreover, considering that we aim to determine the net TC value in an OV beam, we  should  obtain  only  one  closed  path  out  of  the  multiple  watershed  lines.  This  can  be  realized  by  merging small regions into their neighboring large regions until there is only one region.     Appl. Sci. 2019, 9, 3956  5  of  14  3.2. Maximum Average‐Intensity Circle Extraction  The maximum average‐intensity circle (MAIC) method has been proposed to extract a closed  path from an intensity sum map for TC determination [24], as is briefly explained here. The basic  process is to iteratively search the local peaks from the 2D intensity sum map and to connect these  peak elements to form a closed path. The searching begins with the global maximum in the intensity  sum map. The local maximum element from among several candidates of the eight neighbors of the  current element is selected as the next element.   3.3. Watershed Transformed Maximum Average‐Intensity Circle Extraction  Both WT and MAIC methods are simple and intuitive ways to obtain a closed path for circulation  calculation,  and  they  have  equally  excellent  performance  when  the  OV  beam  has  little  to  no  aberration. However, when the OV beam is severely distorted by aberration, the intensity sum map  of the OV beam will have a shape far from a perfect circle, and may even split into several parts,  resulting in both methods losing their efficiency. To  further improve the performance under this  severe aberration condition, we here propose a new method that combines WT and MAIC. In this  method, we first perform watershed transformation on the intensity sum map, and then search for  the ridge from among the elements on the watershed lines based on the MAIC algorithm. With the  output of watershed transformation previously obtained, the influence of the element along the ridge  and the noise can be significantly reduced, and thereby, a more proper closed path can be extracted.  For simplicity, we named this method the watershed‐transformed MAIC method (WT‐MAICM).   3.4. Perfectly Round Circle Assignation  As mentioned above, besides the ridge‐extracting strategy, adaptively generating an appropriate  perfectly round circle according to the intensity sum profile of an OV beam is also a closed path  determination strategy that is worthy of discussion. In general, the center position and radius are two  integral parameters to generate a perfectly round circle. However, given an intensity sum profile, it  is difficult to directly determine the most appropriate perfectly round circle. Consequently, in our  previous research, we proposed to generate a group of concentric perfect circles, and chose the one  for which the measured TC value had the maximum absolute value as the determined perfect round  circle.  The  center  position  of  the  concentric  perfect  circles  was  determined  as  the  nearest  lenslet  position from the centroid of the intensity sum map, while the lower and upper bounds of the radius  variation range was determined by the radii of the inscribed and circumscribed circles of the intensity  sum profile [24].  The performance of this generated perfectly round circle method (PRCM) as the closed path  determination method to measure the TC value of a distorted OV beam is generally worse than that  of the MAIC method [21,24]. The reasons are listed as follows:   The  method  determining  the  center  position  of  the  generated  perfectly  round  circles  by  the  centroid of intensity sum map is not optimal, because the nonuniformity along the azimuthal  direction in the intensity sum distribution significantly affects the centroid calculation.   The center position as well as the radius are all forced to be integers.   The generated circles restricted to perfectly round shapes will unavoidably go through the low‐ intensity region, which means that invalid phase slope data will be obtained.  Notwithstanding, the generated circle should be fixed to a perfectly round shape to agree with  the annular intensity sum profile and the position. Moreover, the radius should be forced to be an  integer. This is because if we adaptively vary the shape or precisely calculate the position and radius  and determine the phase slopes of the non‐integer position by interpolation, the incurred complexity  will go against our original goal of maintaining simplicity in the calculations. However, regarding  the center position determination, the performance may be improved by shifting the center position  within a proper region, referring to the radius variation. Although this dramatically increases the  Appl. Sci. 2019, 9, 3956  6  of  14  closed  path  determination  time,  we  can  accept  a  tradeoff  between  TC  determination  speed  and  accuracy if such a tradeoff manifests an improvement in the determination performance.  Consequently, in this paper, we propose a new, modified method for the generation of perfectly  round circles based on the previously proposed method, where the modification is merely to shift the  center  position  of  the  concentric  perfectly  round  circles  within  an  advisable  region,  as  is  further  discussed  in  Section  5.  For  the  sake  of  differentiation,  we  named  this  method  the  shifting‐center  perfectly  round  circle  method  (SC‐PRCM)  and  the  previously  proposed  perfectly  round  circle  method the fixed‐center perfectly round circle method (FC‐PRCM).  4. Experimental Setup  To verify the performance of these methods of closed path determination for the GCSM, we built  an experimental setup, as shown in Figure 3 [24]. As shown in Figure 3, a collimated laser beam of  wavelength 632.8 nm passed an aperture with a diameter of 4 mm, and was incident on a liquid  crystal on silicon‐spatial light modulator (LCOS‐SLM). The LCOS‐SLM was used to transform the  incident beams into the optical vortex beams as well as bring aberrations into the beam. The beam  reflected back from the LCOS‐SLM was converged by a lens with a focal length of 2 m, and was split  by a beam splitter into two beams. Finally, we used an SH‐WFS to record the Hartmanngram and a  complementary metal‐oxide semiconductor (CMOS) camera to check and record the intensity profile  of the OV beam. The LCOS‐SLM was set at the front focal plane of the lens, while the SH‐WFS as well  as the CMOS camera were both located at the back focal plane of the lens.  Figure 3. Schematic diagram of the experimental setup.  The LCOS‐SLM (Hamamatsu, X10468‐01) was a pure phase modulator consisting of 792 × 600  pixels with a pixel size of 20 × 20 μm [31]. The SH‐WFS consisted of two elements: a square grid  lenslet array with a pitch size of 200 μm and focal length of 11 mm, and a high‐speed intelligent vision  sensor with 512 × 512 pixels and a pixel size of 20 × 20 μm [32]. The SH‐WFS was mounted on a  mechanical  platform  that  could  be  moved  along  the  horizontal  direction.  The  movement  was  precisely controlled by a stepping motor system. The CMOS camera was 2592 × 2048 pixels and had  a pixel size of 4.8 × 4.8 μm.  5. Results and Discussion  5.1. Performance Comparison Based on Aberration‐Free OV Beams  To  compare  the  above  five  closed  path  determination  methods,  we  first  evaluated  the  performance under the aberration‐free OV beam condition. In the experiments, we displayed various  computer‐generated holograms (CGHs) with a spiral phase structure on the LCOS‐SLM to generate  an OV beam with TC values ranging from ± 1 to ± 20. In order to enrich the data amount as well as  eliminate  the  randomness,  for  each  TC  value,  we  repeatedly  recorded  the  Hartmanngrams  at  15  different SH‐WFS positions by laterally moving the mechanical platform. Hence, we obtained a total  Appl. Sci. 2019, 9, 3956  7  of  14  of 600 Hartmanngrams (40 TC values and 15 SH‐WFS positions). Figure 4 shows an example of the  spiral phase pattern displayed on LCOS‐SLM, and the corresponding Hartmanngram as well as the  intensity profile image respectively recorded by SH‐WFS and CMOS camera.  Figure 4. Example of (a) spiral phase pattern, (b) Hartmanngram, and (c) intensity profile recorded  by the complementary metal‐oxide semiconductor (CMOS) camera. The bar indicates 1 mm.  As described in Section 2, for each recorded Hartmanngram, we first performed the necessary  preprocessing, and then summed all the pixel values in each lenslet region to obtain the intensity sum  map  and  measured  the  phase  slopes  at  the  lenslet  positions  according  to  the  SH‐WFS  working  principle. After that, we used each of the studied five methods to determine the closed path, and then  utilized the generalized counter‐sum method to calculate the TC value.  Considering that the theoretical TC value is an integer,  for TC  measurement, if the absolute  difference  between  the  measured  TC  value  and  the  theoretical  TC  value  is  lower  than  0.5,  the  measured TC value will be identical to the theoretical TC value after rounding—we define this as a  well‐determined TC measurement. Based on this definition, we introduced a parameter, the well‐ determined  TC  measurement  ratio  (WTCMR),  which  is  the  percentage  of  well‐determined  TC  measurements within a given set of TC measurements, to quantitatively compare the performance of  the diverse closed path determination methods.  The performance evaluation results of the individual closed path determination methods are  given in Figures 5 and 6. In Figure 5, each value is the WTCMR of a group of 30 measurements (15  positions for both positive and negative TC values), while in Figure 6, the WTCMR is the statistical  average of all 600 measurements. Figure 6 also shows the corresponding processing speed of the  individual methods in terms of frames per second, which was measured on an Intel Core i7 computer  with a CPU frequency of 3.7 GHz and 16 GB of RAM.    Appl. Sci. 2019, 9, 3956  8  of  14  Figure 5. Well‐determined topological charge (TC) measurement ratio (WTCMR) distributions of the  five closed path determination methods when the TC value changes from ±1 to ± 20.  Figure 6. TC determination performances of five closed path determination methods in terms of the  WTCRM  (bars)  and  speed  in  frames  per  second  (fps)  (points).  Each  bar  or  point  is  the  statistical  average of all 600 measurements under the corresponding closed path determination method.  As shown in Figures 5 and 6, the WT, MAIC, and WT‐MAIC methods performed perfectly, since  the WTCMR was shown to be 100% for all tested TC values. However, the WTCMR of the FC‐PRCM  and the SC‐PRCM was not always 100%, even when measuring aberration‐free OV beams. Moreover,  the performance of these methods deteriorated with the increase of the TC value. The SC‐PRCM was  the worst method in terms of both the WTCMR and the computing speed.  Considering that the TC determination progress is the same apart from the closed path being  determined  by  diverse  closed  path  determination  methods,  the  reason  for  the  differences  in  performance was exclusively due to the differences in the determined closed paths. To concretely  demonstrate these differences, as well as the origin of the differences and why this factor significantly  changes the TC determination performance, we present some examples in Figure 7. In this figure, the  columns from left to right indicate the results using the WTM, MAICM, WT‐MAICM, FC‐PRCM, and  SC‐PRCM, and the rows from top to bottom are the inputted OV beams of TC values of 10 (top row),  15 (middle row), and 20 (bottom row). In Figure 7, each row has the same intensity sum map, and the  red circle superimposed on the intensity sum map is the closed path extracted by the individual  method.  Appl. Sci. 2019, 9, 3956  9  of  14  Figure 7. Examples showing the differences of the closed paths (the red circles) and the TC values  determined by (a) the watershed transformation method (WTM), (b) the maximum average‐intensity  circle method (MAICM), (c) the WT‐MAICM, (d) the fixed‐center perfectly round circle method (FC‐ PRCM), and (e) the shifting‐center (SC‐PRCM). The theoretical TC values are 10 (top row), 15 (middle  row), and 20 (bottom row). In each image, the background is the intensity sum map, and the red circle  is the closed path determined by the individual methods. The corresponding measured TC value is  labeled in each image.  From the figure, it can be seen that the WTM, MAICM, and WT‐MAICM can properly extract  closed paths passing through the ridge elements, thus obtaining precise TC values. On the other  hand, for the  FC‐PRCM and  SC‐PRCM, the closed path might go through  the low‐intensity sum  regions where the measured phase slopes are invalid. When the TC value of the OV beam varied  from 10 to 15 to 20, the effects of the nonuniformity of the intensity sum map along the azimuthal  direction increased. As a result, the closed path deviated more from the ridge elements and went  through the low‐intensity regions, generating a large error in the measured TC values. As for the SC‐ PRCM, its performance deteriorated more compared with that of the FC‐PRCM. This reveals that  simply shifting the center position of the concentric perfectly round circles does not improve, but  rather  reduces  the  performance.  We  believe  that  this  is  because  shifting  the  center  position  of  perfectly round circles may deviate the centers even further from the real position of the vortex, and  thus  they  become  liable  to  be  affected  by  the  invalid  slope  data  in  the  low‐intensity  regions.  Considering  that  we  chose  the  generated  perfectly  round  circle  with  the  maximum  absolute  calculated TC value as the determined closed path, the SC‐PRCM mostly output a measured TC value  larger than the theoretical value. Moreover, in combination with the poor performance of the FC‐ PRCM, we found that the unified closed path determination criterion in the PRCM strategy, which is  to select the generated perfectly round circle with the maximum absolute calculated TC value as the  determined closed path, is not entirely rational, although it is simple.  The above finding was also supported by analyzing the errors of the measured TC values. Figure  8 shows the histogram distributions of the absolute error (AE) of TC measurements, wherein the x‐ axis is the interval of the AE, which is the absolute difference between the measured TC value and  the  theoretical  TC  value,  and  the  y‐axis  is  the  frequency  of  the  600  measurements.  From  the  distribution, we can view the striking difference between the performances of the WTM, MAICM,  and WT‐MAICM, and those of the FC‐PRCM and SC‐PRCM. Almost all of the AEs of the former  three methods are concentrated within the value interval of 0 to 0.2; on the contrary, the AEs are  distributed in a partly uniform pattern with one‐sixth within the value interval of over 0.5 when using  Appl. Sci. 2019, 9, 3956  10  of  14  the FC‐PRCM, while the majority are in the value interval of over 0.5 when using the SC‐PRCM. This  phenomenon  profoundly  influences  the  correct  rate  of  TC  determination  when  we  shrink  the  confidence interval of the well‐determined TC measurements. For example, when using AE < 0.3 as  a criterion for the well‐determined TC measurement definition, the WTCMR values of the WTM,  MACIM, and WT‐MAICM are still over 99%; however, those of the FC‐PRCM and SC‐PRCM drop  to 63.3% and 19.7%, respectively.  Figure 8. Absolute error (AE) histograms of 600 TC measurements separately using WTM, MAICM,  WT‐MAICM,  FC‐PRCM,  and  SC‐PRCM.  The  number  over  each  bar  indicates  the  number  of  the  measurements whose AE values are within the corresponding interval.  According to the previous discussions, we concluded that the FC‐PRCM and SC‐PRCM are not  appropriate as closed path determination methods, and that generating a perfectly round circle is not  a plausible nor practical closed path determination strategy. Therefore, we started to just involve the  other three closed path determination methods in the following comparison.  5.2. Performance Comparison Based on Distorted OV Beams  Many practical applications of OV beams, e.g., free‐space optical communication and optical  remote metrology, require the determination of the TC value of the OV beam after its propagation  over a certain distance in the atmosphere. Consequently, it is vital to evaluate and compare these  methods for OV beams distorted by atmospheric turbulence. Generally, a turbulent atmosphere can  be treated as an inhomogeneous refractive index media, featured by the structure parameter  C   [33], and its impact on the light beam propagating through it can be accumulated as phase screens  [34]. Supposing the turbulence satisfies the Kolmogorov model, the phase screen can be simulated  through the Zernike polynomial [35]. The coefficients of the Zernike polynomial are related to the  normalized correlation length r0/D, where r0 is the Fried parameter and D is the beam size [36].  In the experiments, considering that the beam size used in our optical system was 4 mm, we  chose r0 to be 1, 2, 3, 4, and 6 mm, and the normalized correlation length r0/D was chosen to be 0.25,  0.5, 0.75, 1, and 1.5. Under each r0/D value, we performed 50 random realizations of phase screens,  which were then separately superposed with the spiral phase pattern (SPPs) whose TC values were  1, 5, and 10. Therefore, we generated 750 phase patterns altogether (three TC values, five r0/D values,  and 50 phase screens). Afterwards, we displayed the phase patterns one by one on the LCOS‐SLM  and recorded the corresponding Hartmanngrams. The SH‐WFS did not move herein, because we had  already  generated  50  diverse  phase  patterns  under  each  condition  for  repeated  testing.  For  each  Hartmanngram,  we  respectively  used  WTM,  MAICM,  and  WT‐MAICM  as  the  closed  path  determination method, and determined the TC value by the generalized contour‐sum method.  Appl. Sci. 2019, 9, 3956  11  of  14  The experimental results evaluated by the WTCMR are given in Figure 9, where Figure 9a–c  corresponds to a set of 50 measurements for the individual TC, and Figure 9d is the mean of these  measurements.  Figure 9. TC determination performance of three methods under different atmospheric turbulence  conditions, where (a) is under TC = 1, (b) is under TC = 5, (c) is under TC = 10, and (d) is the average  of (a), (b), and (c).  Based  on  the  experimental  results,  we  found  that  the  general  tendency  of  TC  measurement  accuracy increased along with the increase of r0/D, which means the atmospheric turbulence becomes  gentler. Moreover, when changing the closed path determination method from WTM to MAICM to  WT‐MAICM, the TC determination accuracy improved, especially when the atmospheric turbulence  was severe. Supposing the accredited WTCMR to be over 0.9, we found that the limitations of r0/D  for  WTM,  MAICM,  and  WT‐MAICM  were  around  approximately  0.75–1,  0.5–0.75,  and  0.25–0.5,  respectively.  Figure 10 is an example specifically illustrating why the WT‐MAICM has a better performance  than the WTM and MAICM. Here, the OV beam to be measured has a TC value of 10 and a turbulence  strength  parameter  r0/D  of  0.25.  The  top,  middle,  and  bottom  rows  show  the  closed  path  determination processes and corresponding results when utilizing WTM, MAICM, and WT‐MAICM  separately.  From  the  significantly  different  determined  closed  paths,  we  can  see  that  when  the  turbulence  is  severe,  the  distorted  OV  beam  can  have  extremely  nonuniform  regions.  These  nonuniform regions can trap the MAICM searching process into a local loop (middle row), or lead  the WTM‐determined closed path to be more than one part (top row), which conflicts with the aim  of extracting only one closed path; these results eventually deteriorate the performance of the WTM  and MAICM.  Appl. Sci. 2019, 9, 3956  12  of  14  Figure  10.  Closed  path  determination  processes  and  results  using  the  WTM  (top  row),  MAICM  (middle row), and WT‐MAICM (bottom row).  6. Conclusions  In  this  paper,  we  presented  an  experimental  comparison  of  five  closed  path  determination  methods for the use of GCSM to detect the TC of an OV beam. These five methods are the previously  proposed MAICM and FC‐PRCM, and three newly proposed methods: the WTM, WT‐MAICM, and  SC‐PRCM. These methods come from two strategies: WTM, MAICM, and WT‐MAICM belong to the  strategy  of  ridge  extraction,  and  FC‐PRCM  and  SC‐PRCM  are  derived  from  the  strategy  of  PRC  assignation. The codes for the algorithms are available from the authors by email. The methods were  tested with an optical setup that used a LCOS‐SLM as an OV beam, and an aberration generator and  an  SH‐WFS  located  at  the  far‐field  plane  to  measure  the  OV  beams.  Two  types  of  evaluation  experiments  were  performed.  One  was  under  the  condition  that  the  OV  beam  had  hardly  any  aberration, and the other was under the condition that the OV beam was distorted by simulated  atmospheric turbulence. The experimental results indicate that the methods with ridge extraction  outperform those based on PRC assignation in terms of both the well‐determined detection rate and  the processing speed.  Under  the  condition  of  an  aberration‐free  OV  beam,  the  WTM,  MAICM,  and  WT‐MAICM  performed excellently and achieved WTCMR values of 100%. On the other hand, the WTCMR values  of the FC‐PRCM and SC‐PRCM were not always 100% and the performance was reduced with the  increase of the TC value. What is more, the SC‐PRCM was found to be the worst method in terms of  both the WTCMR and the processing speed. There are a number of reasons that can explain the poor  performance of the PRC assignation strategy, but the major factors are that the generated circle is  prone to deviate from the OV center and go through regions with low intensity as well as invalid  phase slope data, which are caused by nonuniformity in the intensity sum map along the azimuthal  direction. The performance of the SC‐PRCM was worse than that of the FC‐PRCM, indicating that  simply shifting the center of the PRC is not a suitable solution, and the maximum absolute TC value  hunting criterion in the PRC assignation strategy lacks rationality.  In the case of measuring distorted OV beams, the WTM, MAICM, and WT‐MAICM show certain  differences in term of the WTCMR, especially when the turbulent strength is high. Among these three  methods,  the  WT‐MAICM  shows  the  strongest  robustness  against  distortion,  and  the  WTM  was  found to be the weakest. The limits of r0/D to achieve WTCMR > 90% were around 0.75–1, 0.5–0.75,  Appl. Sci. 2019, 9, 3956  13  of  14  and  0.25–0.5  for  the  WTM,  MAICM,  and  WT‐MAICM,  respectively,  in  terms  of  normalized  correlation  length.  Overall,  these  results  reveal  that  adaptively  determining  the  closed  path  is  necessary for GCSM in detecting the TC from a distorted OV beam.  Author Contributions: Conceptualization, D.W. and H.H.; funding acquisition, H.L.; methodology, D.W. and  H.H.;  project  administration,  H.H.;  resources,  H.T.;  supervision, H.L.  and  H.T.;  validation,  D.W.  and  H.H.;  writing—original draft, D.W.; writing—review and editing, D.W. and H.H.  Funding:  Shenzhen  Innovation  Funding  (No:  JCYJ20170818164343304,  JCYJ20170816172431715);  National  Natural Science Foundation of China (No: U1809204, 61525106, 61427807, 61701436); National Key Technology  Research and Development Program of China (No: 2017YFE0104000, 2016YFC1300302).  Acknowledgments: We gratefully acknowledge A. Hiruma and T. Hara for their support and encouragement  throughout this study. Wang thanks the exchange program between Hamamatsu Photonics K.K. and Zhejiang  University. The support from the above funding organizations is also gratefully acknowledged.  Conflicts of Interest: The authors declare no conflict of interest.  References   1. Bozinovic, N.; Yue, Y.; Ren, Y.; Tur, M.; Kristensen, P.; Huang, H.; Willner, A.E.; Ramachandran, S. Terabit‐ scale orbital angular momentum mode division multiplexing in fibers. Science 2013, 340, 1545–1548. 2. Zhang, D.; Feng, X.; Huang, Y. Encoding and decoding of orbital angular momentum for wireless optical  interconnects on chip. Opt. Express 2012, 20, 26986–26995.  3. Wang, J.; Yang, J.Y.; Fazal, I.M.; Ahmed, N.; Yan, Y.; Huang, H.; Ren, Y.; Yue, Y.; Dolinar, S.; Tur, M.; et al.  Terabit free‐space data transmission employing orbital angular momentum multiplexing. Nat. Photonics  2012, 6, 488.  4. Li, S.; Wang, J. Experimental demonstration of optical interconnects exploiting orbital angular momentum  array. Opt. Express 2017, 25, 21537–21547.  5. Chu, S. Laser Manipulation of Atoms and Particles. Science 1991, 253, 861–866.  6. Otsu, T.; Ando, T.; Takiguchi, Y.; Ohtake, Y.; Toyoda, H.; Itoh, H. Direct evidence for three‐dimensional  off‐axis trapping with single Laguerre‐Gaussian beam. Sci. Rep. 2014, 4, 4579.  7. Liphardt,  J.;  Dumont,  S.;  Smith,  S.B.;  Tinoco,  I.;  Bustamante,  C.  Equilibrium  information  from  nonequilibrium measurements in an experimental test of Jarzynski’s equality. Science 2002, 296, 1832–1835.  8. Sato, S.; Fujimoto, I.; Kurihara, T.; Ando, S. Remote six‐axis deformation sensing with optical vortex beam.  In Proceedings of the Free‐Space Laser Communication Technologies XX, San Jose, CA, USA, 19‐24 January  2008.  9. Wang, W.; Yokozeki, T.; Ishijima, R.; Takeda, M.; Hanson, S.G. Optical vortex metrology based on the core  structures of phase singularities in Laguerre‐Gauss transform of a speckle pattern. Opt. Express 2006, 14,  10195–10206.  10. Fujimoto, I.; Sato, S.; Kim, M.Y.; Ando, S. Optical vortex beams for optical displacement measurements in  a surveying field. Meas. Sci. Technol. 2011, 22, 105301.  11. Nye, J.F.; Berry, M.V. Dislocations in wave trains. Proc. R. Soc. Lond. A Math. Phys. Sci. 1974, 336, 165–190.  12. Fried, D.L.; Vaughn, J.L. Branch cuts in the phase function. Appl. Opt. 1992, 31, 2865–2882.  13. Rockstuhl,  C.;  Ivanovskyy,  A.A.;  Soskin,  M.S.;  Salt,  M.G.;  Herzig,  H.P.;  Dändliker,  R.  High‐resolution  measurement of phase singularities produced by compute‐generated holograms. Opt. Commun. 2004, 242,  163–169.  14. Chen, R.; Zhang, X.; Zhou, Y.; Ming, H.; Wang, A.; Zhan, Q. Detecting the topological charge of optical  vortex beams using a sectorial screen. Appl. Opt. 2017, 56, 4868–4872.  15. Hickmann,  J.M.;  Fonseca,  E.J.;  Soares,  W.C.;  Chávez‐Cerda,  S.  Unveiling  a  truncated  optical  lattice  associated with a triangular aperture using light’s orbital angular momentum. Phys. Rev. Lett. 2010, 105,  053904.  16. Prabhakar, S.; Kumar, A.; Banerji, J.; Singh, R.P. Revealing the order of a vortex through its intensity record.  Opt. Lett. 2011, 36, 4398–4400.  17. Schulze, C.; Naidoo, D.; Flamm, D.; Schmidt, O.A.; Forbes, A.; Duparré, M. Wavefront reconstruction by  modal decomposition. Opt. Express 2012, 20, 19714–19725.  Appl. Sci. 2019, 9, 3956  14  of  14  18. Li, S.; Wang, J. Simultaneous demultiplexing and steering of multiple orbital angular momentum modes.  Sci. Rep. 2015, 5, 15406.  19. Platt, B.C.; Shack, R. History and principles of Shack‐Hartmann wavefront sensing. J. Refract. Surg. 2001,  17, S573–S577.  20. Chen,  M.;  Roux,  F.S.;  Olivier,  J.C.  Detection  of  phase  singularities  with  a  Shack‐Hartmann  wavefront  sensor. J. Opt. Soc. Am. A 2007, 24, 1994–2002.  21. Le Bigot, E.O.; Wild, W.J. Theory of branch‐point detection and its implementation. J. Opt. Soc. Am. A 1999,  16, 1724–1729.  Eight‐connected contour method for accurate position  22. Huang, H.; Luo, J.; Matsui, Y.; Toyoda, H.; Inoue, T.  detection of optical vortices using Shack–Hartmann wavefront sensor. Opt. Eng. 2015, 54, 111302–111302.  23. Luo, J.; Huang, H.; Matsui, Y.; Toyoda, H.; Inoue, T.; Bai, J. High‐order optical vortex position detection  using a Shack‐Hartmann wavefront sensor. Opt. Express 2015, 23, 8706–8719.  24. Wang, D.; Huang, H.; Matsui, Y.; Tanaka, H.; Toyoda, H.; Inoue, T.; Liu, H. Aberration‐resistible topological  charge determination of annular‐shaped optical vortex beams using Shack–Hartmann wavefront sensor.  Opt. Express 2019, 27, 7803–7821.  25. Beucher, S.; Lantuejoul, C. Use of watersheds in contour detection. In Proceedings of the International  Workshop Image Processing, Real‐Time Edge and Motion Detection/ Estimation, CCETT/IRISA, Rennes,  France, 17‐21 September 1979.  26. Meyer, F.; Beucher, S. Morphological segmentation. JVCIP 1990, 1, 21–46.  27. Meyer, F. Topographic distance and watershed lines. Signal. Process. 1994, 38, 113–125.  28. Vincent, L.; Soille, P. Watersheds in digital spaces: An efficient algorithm based on immersion simulations.  IEEE Trans. Pattern Anal. Mach. Intell. 1991, 13, 583–598.  29. Osma‐Ruiz,  V.;  Godino‐Llorente,  J.I.;  Sa´enz‐Lecho´n,  N.;  Go´mez‐Vilda,  P.  An  improved  watershed  algorithm based on efficient computation of shortest paths. Pattern Recognit. 2007, 40, 1078–1090.  30. Watershed  Function  in  MathWorks.  Available  online:  https://www.mathworks.com/help/images/ref/watershed.html?s_tid=srchtitle  (accessed  on  11  August  2019).  31. Inoue,  T.;  Tanaka,  H.;  Fukuchi,  N.;  Takumi,  M.;  Matsumoto,  N.;  Hara,  T.;  Yoshida,  N.;  Igasaki,  Y.;  Kobayashi, Y. LCOS spatial light modulator controlled by 12‐bit signals for optical phase‐only modulator.  Proc. SPIE 2007, 6487, 64870Y.  32. Sugiyama, Y.; Takumi, M.; Toyoda, H.; Mukozaka, N.; Ihori, A.; Kurashina, T.; Nakamura, Y.; Tonbe, T.;  Mizuno, Seiichiro. A high‐speed CMOS image sensor with profile data acquiring function. IEEE J. Solid  State Circuits 2005, 40, 2816–2823.  33. Tyson. R. K. Principles of Adaptive Optics; Academic: Salt Lake City, UT, USA, 1991.  34. Kolmogorov, A.N. A refinement of previous hypotheses concerning the local structure of turbulence in a  viscous incompressible fluid at high Reynolds number. J. Fluid Mech. 1962, 13, 82–85.  35. Roddier, N.A. Atmospheric wavefront simulation using Zernike polynomials. Opt. Eng. 1990, 29, 1174– 1180.  36. Fried, D.L. Statistics of a geometric representation of a wavefront distortion. J. Opt. Soc. Am. 1965, 55, 1427– 1435.  © 2019 by the authors. Licensee MDPI, Basel, Switzerland. This article is an open access  article distributed under the terms and conditions of the Creative Commons Attribution  (CC BY) license (http://creativecommons.org/licenses/by/4.0/). 

Journal

Applied SciencesMultidisciplinary Digital Publishing Institute

Published: Sep 20, 2019

There are no references for this article.