Get 20M+ Full-Text Papers For Less Than $1.50/day. Start a 14-Day Trial for You or Your Team.

Learn More →

A Hybrid Surrogate Model for the Prediction of Solitary Wave Forces on the Coastal Bridge Decks

A Hybrid Surrogate Model for the Prediction of Solitary Wave Forces on the Coastal Bridge Decks Article  A Hybrid Surrogate Model for the Prediction of Solitary Wave  Forces on the Coastal Bridge Decks  Jinsheng Wang, Shihao Xue and Guoji Xu *  School of Civil Engineering, Southwest Jiaotong University, Chengdu 610031, China;   jinshengwangrjc@swjtu.edu.cn (J.W.); xueshihao@my.swjtu.edu.cn (S.X.)  *  Correspondence: guoji.xu@swjtu.edu.cn  Abstract: To facilitate the establishment of the probabilistic model for quantifying the vulnerability  of coastal bridges to natural hazards and support the associated risk assessment and mitigation ac‐ tivities, it is imperative to develop an accurate and efficient method for wave forces prediction. With  the fast development of computer science, surrogate modeling techniques have been commonly  used as an effective alternative to computational fluid dynamics for the establishment of a predictive  model in coastal engineering. In this paper, a hybrid surrogate model is proposed for the efficient  and accurate prediction of the solitary wave forces acting on coastal bridge decks. The underlying  idea of the proposed method is to enhance the prediction capability of the constructed model by  introducing an additional surrogate to correct the errors made by the main predictor. Specifically,  the regression‐type polynomial chaos expansion (PCE) is employed as the main predictor to capture  the global feature of the computational model, whereas the interpolation‐type Kriging is adopted to  learn the local variations of the prediction error from the PCE. An engineering case is employed to  validate the effectiveness of the hybrid model, and it is observed that the prediction performance  (in terms of residual mean square error and correlation coefficient) of the hybrid model is superior  Citation: Wang, J.; Xue, S.; Xu, G.   to the optimal PCE and artificial neural network (ANN) for both horizontal and vertical wave forces,  A Hybrid Surrogate Model for the  albeit the maximum PCE degrees used in the hybrid model are lower than the optimal degrees  Prediction of Solitary Wave Forces  identified in the pure PCE model. Moreover, the proposed hybrid model also enables the extraction  on the Coastal Bridge Decks.   of explicit predictive equations for the parameters of interest. It is expected that the hybrid model  Infrastructures 2021, 6, 170.  https://doi.org/10.3390/  could be extended to more complex wave conditions and structural shapes to facilitate the life‐cycle  infrastructures6120170  structural design and analysis of coastal bridges.  Academic Editor:   Keywords: hybrid surrogate model; wave force prediction; coastal bridges; risk assessment;   Joan Ramon Casas Rius  life‐cycle structural design and analysis  Received: 29 October 2021  Accepted: 30 November 2021  Published: 1 December 2021  1. Introduction  With the development of coastal communities and the tourist economy, the construc‐ Publisher’s  Note:  MDPI  stays  neu‐ tral  with  regard  to  jurisdictional  tion of coastal bridges is indispensable for establishing a complete and efficient transpor‐ claims in published maps and institu‐ tation network to meet the daily commuting needs as well as to facilitate any rescue efforts  tional affiliations.  after an extreme natural disaster. However, coastal bridges are often exposed to severe  natural environmental conditions during their service  life, and  recent extreme  natural  events have demonstrated the vulnerability of coastal bridges to the wave forces gener‐ ated  by  hurricanes  and  tsunamis,  especially  for  the  low‐lying  bridges  that  are  inade‐ Copyright: © 2021 by the authors. Li‐ quately  designed  for  the  storm  surge  and  wave‐induced  forces  [1–4].  Indeed,  many  censee  MDPI,  Basel,  Switzerland.  coastal regions have sustained devastating damages to the bridges under the impact of  This article  is an open access article  extreme waves, e.g., more than 182 bridge spans were completely removed from their  distributed under the terms and con‐ supporting  structures  over  the  gulf  coast  of  Louisiana  and  Mississippi  in  Hurricane  ditions of the Creative Commons At‐ Katrina in 2005 and a total of 252 bridges were washed away in the 2011 Great East Japan  tribution (CC BY) license (https://cre‐ Tsunami. The destruction of bridges may severely impact the recovery and prosperity of  ativecommons.org/licenses/by/4.0/).  Infrastructures 2021, 6, 170. https://doi.org/10.3390/infrastructures6120170  www.mdpi.com/journal/infrastructures  Infrastructures 2021, 6, 170  2 of 13  the coastal communities [5,6], thus it is necessary to evaluate the magnitude of wave forces  and the bridge capacity before appropriate preventive measures are taken. In this regard,  a method that can accurately predict the wave forces on the bridge decks promptly is  essential for the stakeholders to make critical decisions prior to the landfall of hurricanes  [7]. Moreover, an effective prediction method can also facilitate the safety assessment of  the bridge under a probability‐based framework, e.g., structural reliability analysis [8],  and enable the efficient structural analysis under the action of other extreme loads such  as seismic load [9–12].  Over the last two decades, numerous research efforts have been devoted to the use  of computational fluid dynamics (CFD) method for investigating the wave forces acting  on bridge decks [13–17]. The lateral restraining stiffness effect on bridge deck wave inter‐ actions was studied by embedding a custom code into ANSYS Fluent [18]. Based on the  smoothed particle hydrodynamics (SPH) method, the phenomenon of tsunami waves im‐ pinging on bridge superstructures was simulated [19]. Using OpenFOAM, the phenome‐ non of the tsunami‐like wave force on box girder and T girder bridges were compared  [20]. Immersed boundary method was also employed to study wave‐bridge deck interac‐ tions [21]. As a time‐varying dynamic system, the time‐frequency characteristics of waves  play an important role in the wave‐structure interactions, and many scholars also have  carried out relevant studies [22–25]. The influence of different wave frequencies on the  motion of floating bridges was investigated [26]. It is demonstrated that the second‐order  difference‐frequency wave loads contribute significantly to sway motion, axial force, and  strong axis bending moments along floating bridges. The spectral analysis of the vertical  wave forces acting on bridge decks by Fourier, wavelet, and Hilbert‐Huang transform  (HHT) methods were used, and then an empirical formula is proposed to predict the ver‐ tical wave forces [25]. Wavelet transforms was introduced to analyze the local character‐ istics of the incident waves, incline forces and transfer functions between them [27]. It is  demonstrated that the nonlinear wave‐structure interactions are significant for the wave  components  in  the  diffraction  effect  regime.  Although  various  simulation  models  and  analysis methods are available for the investigation of the wave forces exerted on the  bridge deck, it would be time‐consuming or cumbersome to obtain the prediction due to  the intrinsic complicity of the bridge deck‐wave interaction.   With the development of computer science and machine learning theory, the use of  advanced surrogate modeling techniques in coastal engineering has drawn increasingly  more attention in recent years [28–32]. By combining the M5 model tree and nonlinear  regression techniques, the prediction of non‐broken wave run‐up on single piles is inves‐ tigated in [32]. A novel model was proposed based on Extreme Learning Machine (ELM)  and laboratory experiments to estimate the tsunami wave forces on coastal bridges [33].  The effects of three different machine learning techniques in predicting the wave loads on  bridge decks were also compared [34]. It is proved that machine learning techniques can  provide guidance for time‐history prediction requirements. A new data‐driven method  based on the conditional Generative Adversarial Network (GAN) principle was proposed  [35], through which the three‐dimensional nonlinear wave loads and run‐up on a fixed  structure can be predicted accurately. To more efficiently predict the wave forces, the ar‐ tificial neural network (ANN) is employed in [36] to establish the link between model  parameters (i.e., the still‐water level, wave height, and bottom elevation of the girder/su‐ perstructure) and wave forces, through which the prediction of the vertical and horizontal  forces can readily be obtained in seconds. ANN was also used to quantify the loading  effects with multiple surges and wave parameters [37]. Based on a wind‐wave‐bridge sys‐ tem, the effects of non‐stationary winds and waves on the stochastic response of cable‐ stayed bridge girders were investigated using ANN [38]. It is noted, however, that the  above‐mentioned approaches require fine‐tuning of the parameters involved in the neural  network, which is a cumbersome task involving trial and error. To address this issue, a  model that is easy to implement and capable of providing a predictive equation is highly  desirable.  Infrastructures 2021, 6, 170  3 of 13  In this paper, a hybrid surrogate model based on the polynomial chaos expansions  (PCE) and Kriging is proposed to establish the predictive model for the solitary wave  forces acting on coastal bridge decks. The underlying idea of the proposed method is to  enhance the prediction capability of the constructed model by introducing an additional  surrogate to correct the errors made by the main predictor. Specifically, this hybrid model  adopts the regression‐type PCE to capture the global feature of the computational model  and the interpolation‐type Kriging to capture the local variations of the prediction error.  With the availability of the predictive model, the establishment of the probabilistic models  for quantifying the vulnerability of the coastal bridges under natural hazards and the as‐ sociated risk assessment can proceed easily and efficiently.  2. Theoretical Background  2.1. Polynomial Chaos Expansions  The polynomial chaos expansions (PCE) was originally proposed by Wiener to ex‐ pand the stochastic process using a set of Hermite polynomials with the Gaussian random  variables as the input parameters and was later generalized to account for other com‐ monly used distributions other than Gaussian [39]. The PCE has gained its popularity for  uncertainty quantification in the modern engineering community, including the ever‐in‐ creasing application in the field of CFD simulations [40,41]. More recently, it has been  shown that a PCE surrogate model purely trained on a data set can reach point‐wise pre‐ dictions with comparable accuracy to that of other machine learning models, e.g., support  vector regressions and neural networks [42]. This somehow justifies the application of  PCE for wave forces prediction in this study, where the data set is selected a priori.  In PCE, the simulator output (model response) is expanded onto a space spanned by  a set of bases consisting of multivariate polynomials that are orthogonal to the joint prob‐ ability density function (PDF) of the input variables 𝜲 , and the model response approxi‐ mated using PCE can be expressed as:  𝑌ℳ 𝑿 𝜂 𝜓 𝑿   𝜶 𝜶 (1) 𝜶∈ℕ where  𝜂 ’s are the unknown coefficients to be determined and the 𝜶 𝛼 ,𝛼 ,… ,𝛼 ∈ ℕ  is a multidimensional index vector that indicates the components of the multivariate  polynomials 𝜓 𝑿 , which is constructed using a tensor product of the orthogonal uni‐ variate polynomials:  (2) 𝜓 𝑿 𝜙 𝑋   where 𝜙 𝑋  is the orthogonal polynomial corresponding to the marginal PDF 𝑓 𝑥 ,  satisfying 𝔼 𝜙 𝑋 𝜙 𝑋 1 if 𝑚𝑘  and 0 otherwise, for all  𝑚 ,𝑘 ∈ℕ . For instance,  if the variable 𝑋  follows a Gaussian distribution, 𝜙 𝑋  is a set of Hermite polynomials  of order 𝛼 , whereas Laguerre polynomials will be used for Gamma distribution. Based  on this definition, the elements of the multidimensional index vector 𝜶  = 𝛼 ,𝛼 ,…,𝛼  of  the multivariate orthonormal polynomials can also be interpreted as the degrees of the  | | univariate  polynomials  and  𝜶 𝛼 𝛼 ⋯𝛼  is  the  degree  of  the  corresponding  multivariate polynomials.  The spectral representation of model response in Equation (1) involves an infinite  number of polynomial bases, which may cause troubles in practical application. For the  computational purpose, a truncation scheme is introduced for Equation (1) such that only  those polynomials with total degree up to p are retained, i.e., 0 |𝛂 |𝑝  [43]:  𝑌ℳ 𝑿 ℳ 𝑿 𝜂 𝜓 𝑿 𝜼 𝜓 𝑿   𝜶 𝜶 (3) |𝜶 | Infrastructures 2021, 6, 170  4 of 13  where  𝜼 𝜂 ,𝜂 ,…,𝜂  is  the  polynomial  coefficient  vector  and  𝝍 𝑿 𝜓 𝒙 ,𝜓 𝒙 ,… ,𝜓 𝒙  is the matrix gathers all the orthonormal polynomial basis  𝜶 𝜶 𝜶 that  satisfies  𝜓 ,0 |𝜶 |𝑝 .  The  above  formulation  leads  to  the  so‐called  full  PCE  model,  where  the  total  number  of  terms  involved  in  the  expansion  is  given  by 𝑃 𝑛𝑝 .  𝑝 ! ! Once the polynomial terms are selected, all that remains is to determine the expan‐ sion coefficients 𝜂  using information contained in the experimental design (data set) gen‐ erated from the simulator. In this study, the regression method in the category of non‐ intrusive approaches is employed and can be formulated as the following least‐squares  minimization problem [44]:  𝜼 arg𝑚𝑖𝑛 𝔼 ℳ 𝑿 𝜼 𝝍 𝑿   (4) Given a data set with the  input vector 𝒳 𝒙 ,𝒙 ,… ,𝒙  and the corresponding  model responses 𝒴 ℳ 𝒙 ,ℳ 𝒙 ,… ,ℳ 𝒙 , the PCE coefficients can be estimated  by solving Equation (4) using the ordinary least‐square method, which gives:  𝑻 𝑻 𝜼 𝜳 𝜳 𝜳 𝓨   (5)  is a collection of the values of polynomial basis at the exper‐ where the data matrix 𝜳 imental design points and has the following form:  𝜓 𝒙 ⋯𝜓 𝒙 𝜶 𝜶 𝜳 ⋮⋱ ⋮   (6) 𝜓 𝒙 ⋯𝜓 𝒙 𝜶 𝜶 It is noted that the size of the data set should be sufficiently large to ensure the above  data matrix is well‐conditioned, such that the regression problem is well‐posed. There‐ fore, it is necessary to use an experimental design whose size N is greater than the total  number  of  terms  P  in  PCE,  i.e., 𝑃𝑁 .  In  practical  applications, 𝑁𝑘𝑃 , 𝑘 2 model  evaluations are generally required to reach an approximation with sufficient accuracy.  2.2. Kriging  Kriging is a stochastic interpolation method where the model response is assumed to  be a realization of a random function, and the Kriging model consists of a regression part  and a stochastic process as follows [45]:  𝐺 𝒙 𝜷 𝒇 𝒙 𝒵 𝒙   (7) where  𝒇 𝒙 𝑓 𝒙 ,𝑓 𝒙 ,⋯ ,𝑓 𝒙  is  a  vector  of  regression  functions,  and 𝜷 𝛽 ,𝛽 ,⋯ ,𝛽  is the vector of the corresponding regression coefficients; 𝒵 𝒙  represents  a Gaussian process with zero mean and the following covariance functions:  𝑐𝑜𝑣 𝒵 𝒙 ,𝒵 𝒙 𝜎 𝑅 𝒙 ,𝒙 ;𝜽   (8) where 𝜎  is the variance of the Gaussian process; 𝑅 𝑥 ,𝑥 ;𝜽 denotes the spatial correlation  function between samples 𝒙  and 𝒙 , and 𝜽  is a vector of hyper‐parameters to be deter‐ mined. The commonly used Gaussian correlation function can be expressed as follows:  𝑅 𝒙 ,𝒙 ;𝜽 exp 𝜃 𝑥 𝑥   (9) where 𝜃  is the k‐th correlation parameter in 𝜽 ; 𝑥  and 𝑥  are the k‐th coordinates of sam‐ ples  𝒙  and  𝒙 ,  respectively.  Given  a  data  set  with  the  input  vector  𝓧 𝒙 ,𝒙 ,… ,𝒙 and the corresponding model responses 𝓨 ℳ 𝒙 ,ℳ 𝒙 ,…,ℳ 𝒙 ,  the  hyper‐parameters  in 𝜽  can  be  calculated  by  the  maximum  likelihood  estimation  method.  Infrastructures 2021, 6, 170  5 of 13  Once  the  correlation  parameters  are  determined,  the  regression  coefficients 𝜷 𝛽 ,𝛽 ,⋯ ,𝛽  and the Gaussian process variance 𝜎  can be obtained as follows:  (10) 𝜷 𝑭 𝑹 𝑭 𝑭 𝑹 𝓨   (11) 𝜎 𝓨𝑭𝜷 𝑹 𝓨𝜷𝑭   where 𝑭  is a matrix with 𝐹 𝑓 𝒙 ,𝑖 1, … ,𝑁 ,𝑗 1, … ,𝑚 ; 𝑹  denotes the correlation ma‐ trix with 𝑅 𝑅 𝒙 ,𝒙 ;𝜽 ,𝑖 ,𝑗 1, … ,𝑁 .  𝒊 𝒋 With the availability of the associated parameters, the best linear unbiased prediction  of the response at a new sample point 𝒙  can be computed as:  ∗ ∗ ∗ 𝜇 𝒙 𝒇 𝒙 𝜷 𝒓 𝒙 𝑹 𝓨𝑭𝜷   (12) ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ 𝜎 𝒙 𝜎 1𝒓 𝒙 𝑹 𝒓 𝒙 𝑢 𝒙 𝑭 𝑹 𝑭 𝑢 𝒙   (13) ∗ ∗ ∗ ∗ where 𝑢 𝒙 𝑭 𝑹 𝒓 𝒙 𝒇 𝒙  and 𝒓 𝒙  is  the  vector  of  correlations  between  the  ∗ ∗ new sample point 𝒙 and the  points in the training data set 𝓧 , i.e., 𝑟 𝑹 𝒙 ,𝒙 ;𝜽 ,𝑖 1, … ,𝑁 .  2.3. Proposed Hybrid Surrogate Model  In the application of surrogate modeling techniques, the relationship between the  observed response y and the predicted one 𝑦  using a specific surrogate model can be ex‐ pressed as:  (14) 𝑦𝑦 𝜀   where 𝜀  is an error term that measures the deviation of the predicted value from the true  one. In general, the surrogate model is first constructed from a training set and then the  prediction is made directly from the model, without considering the error term during  model construction and response prediction. This, however, would introduce large pre‐ diction errors if an unsuitable surrogate model is chosen for the problem at hand, espe‐ cially when the given data set is small. To address this issue, a hybrid surrogate model is  proposed here to establish approximating models for both structural response and pre‐ diction error. Specifically, the PCE is adopted to capture the global feature of the compu‐ tational model and the Kriging model is employed to model the local variations of the  prediction error, i.e.,  𝑦𝑦 𝜀 ̂   (15) In the proposed hybrid model, the first term 𝑦 on the right‐hand side of Equaiton  (15) serves as the main predictor of the structural response due to the excellent global  fitting property of PCE, whereas the second term 𝜀 ̂  aims to remove (reduce) the er‐ rors raised from 𝑦 . Thus, given a training data set  ,  for establishing the PCE, the  corresponding data set for the construction of the Kriging model is  ,𝓨𝒚 . With  the availability of the PCE and the Kriging model, the prediction of the response at a new  sample point can be easily obtained from Equation (15).  In the sequel, the prediction of wave forces on a typical bridge deck‐wave interaction  case will be employed to investigate the applicability and validity of the proposed hybrid  model.  3. Engineering Validation  3.1. Engineering Background and Data Preparation  To investigate the effectiveness of the proposed method for the prediction of wave  forces, a two‐dimensional bridge deck‐wave interaction model as shown in Figure 1 is  considered. The prototype bridge deck of this model is similar to the damaged I‐10 bridge  across Escambia Bay, and the solitary waves are used to represent the tsunamis and storm  𝓨 𝓧 Infrastructures 2021, 6, 170  6 of 13  surge. According to the study performed in [46], the horizontal force 𝐹  and vertical force  𝐹  can be expressed as functions of the involved parameters:  (16) 𝐹 ,𝐹 𝑓 𝑊 ,𝐻 ,𝐶 ,𝑑 ,𝑑 ,𝑑 ,𝐿 ,𝑍 ,𝑍 ,𝜇 ,𝜌 ,𝑔 ,𝛼   where the wave height H, the wave celerity C and the angle of incidence to the structure  𝛼  are the wave variables in the model; the water depth d, the dynamic viscosity 𝜇  and the  water density 𝜌  are the fluid‐related parameters; and the structural parameters are the  deck width W, the deck height 𝑑 , the deck length 𝐿 , the deck clearance 𝑍 , the rail height  𝑑  and the elevation of the bridge girder 𝑍 .  Figure 1. Sketch of the bridge deck‐wave interaction model under solitary waves.  In this study, extensive CFD simulations are performed using ANSYS Fluent, and a  total  of 472  sampling  pairs  are generated  for the  construction  of  the  hybrid  surrogate  model. For training surrogate models, the sampling pairs are generally composed of all  the involved parameters (input) and the associated wave forces (output). However, some  variables are depending on each other and/or may have a negligible effect on the evalua‐ tion of wave forces. Moreover, the required number of samples in PCE increases dramat‐ ically with the number of input parameters. Therefore, similar to the study carried out in  [36], only the three critical parameters, namely the water depth d, the elevation of the  bridge girder 𝑍 , and the wave height H, are used as the input for establishing the pre‐ diction model. More details regarding the data preparation and the assumptions made on  the bridge deck‐wave interaction simulation model can be found in [15,18].  3.2. Surrogate Model Initiation and Assessment Metrics  The three input variables are assumed to follow a uniform distribution with a speci‐ fied supporting range, as illustrated in Table 1. Thus, the normalized Legendre polynomi‐ als are used to derive the PCE, which can easily be achieved using the UQLab toolbox  [44]. The degree adaptive algorithm is employed to automatically select the optimal de‐ gree of PCE according to the available data set. The Kriging module in the UQLab [45] is  also employed to establish the surrogate for the prediction error of the PCE, in which the  ordinary Kriging is selected for modeling the trend.  Table 1. Range of the considered input parameters.  Parameter  Minimum  Maximum  Water depth d (m)  5  9.25  Wave height H (m)  0.87  3  Elevation of the bridge girder 𝑍  (m)  2.7  9.6  The  use  of appropriate  evaluation  metrics  is  important for  evaluating  the  perfor‐ mance of a surrogate model. The commonly used metrics include the mean absolute error  Infrastructures 2021, 6, 170  7 of 13  (MAE), mean squared error (MSE), root mean square error (RMSE), mean relative error  (MRE) and correlation coefficient (R), to name a few. Among these available metrics, MAE  is less biased for higher values, yet it may not adequately reflect the performance when  dealing with large error values. On the contrary, RMSE is better in terms of reflecting  performance when dealing with large error values and is more useful when lower residual  values are preferred. As for the R, it is a useful index that detects the linear correlation  between the true and predicted values, thus can be well‐suited for measuring the perfor‐ mance of a surrogate model. In this regard, only the RMSE and R is employed as the error  metrics in the current study, and they are defined as follows:  (17) RMSE 𝑦 𝑦   𝑦 𝑦 𝑦 𝑦 R   (18) ∑ 𝑦 𝑦 ∑ 𝑦 𝑦 where M is the number of samples in the test data set; 𝑦  and 𝑦  are the true response value  and the response predicted by the surrogate model, respectively; 𝑦 1⁄𝑀 ∑ 𝑦  and 𝑦 1⁄𝑀 ∑ 𝑦 . In the training process, the data set is split into 3 folds, where one fold is left  out as the test set and the other two folds are used as the training set. Thus, three different  values of RMSE (R) can be obtained after the model is trained, and the mean value of  RMSE (R) is then used as the indicator of the model accuracy, i.e., a model with R close to  1 and RMSE close to 0 is deemed as the model with excellent prediction ability.  3.3. Results and Discussion  Given  the  available  data  set,  the  PCE  with  different  maximum  degrees  are  con‐ structed to investigate the effects of polynomial degrees on prediction accuracy. The pre‐ dicted wave forces using PCE with degrees varying from 2 to 6 and the true ones in the  test data set are compared in Figures 2 and 3, and the variations of R and RMSE with the  PCE degrees for horizontal and vertical wave forces prediction are listed in Tables 2 and  3, respectively. As is seen from Figure 2, the horizontal wave forces can well be predicted  by the PCE with a maximum degree of 2, and increasing the maximum degree up to 5 can  further improve the prediction accuracy. However, for this particular case, the PCE with  a maximum degree higher than 6 does not necessarily result in a better generalization  ability,  in  that  more  samples  might  be  required  to  accommodate  the  dramatically  in‐ creased number of terms in PCE. This argument is also verified from the results of assess‐ ment metrics (R and RMSE) shown in Table 2, where the R of PCE with degree 7 (R =  0.9855) is even smaller than that with degree 2 (R = 0.9943) and the RMSE of PCE with  degree 7 is the largest among the investigated degrees. Although the performance of PCE  for vertical wave forces prediction is slightly worse than that for horizontal wave forces  prediction, as shown in Figure 3 and Table 3, the overall trend of the prediction accuracy  variation is similar to that observed in Figure 2 and Table 2, except that the optimal PCE  degree is 6 for vertical forces prediction.  Moreover, it is noted that the prediction performance of PCE on the horizontal wave  force is better than that on the vertical force. This might be because impinging force in‐ duced by the entrapped air underneath the bridge deck makes the relationship between  the input parameters and vertical wave force more complicated. A feasible way to im‐ prove the prediction accuracy on the vertical wave force is using more samples with dif‐ ferent wave scenarios, albeit this will require more effort in data preparation.  Infrastructures 2021, 6, 170  8 of 13         Figure 2. Correlation between the predicted horizontal wave forces using PCE with different degrees and the true ones in  the test data set.            Figure 3. Correlation between the predicted vertical wave forces using PCE with different degrees and the true ones in  the test data set.  Infrastructures 2021, 6, 170  9 of 13  Table 2. Variations of R and RMSE with the PCE degrees for horizontal wave forces prediction.  PCE Degree  2  3  4  5  6  7  R  0.9943  0.9945  0.9953  0.9963  0.9955  0.9855  RMSE⁄F   5.63%  5.60%  5.28%  4.58%  5.02%  8.19%  Table 3. Variations of R and RMSE with the PCE degrees for vertical wave forces prediction.  PCE Degree  2  3  4  5  6  7  R  0.9630  0.9846  0.9838  0.9850  0.9865  0.9793  RMSE⁄F   8.12%  5.40%  5.48%  5.31%  4.92%  6.08%  Note: F  and F  are respectively the mean value of the horizontal wave force and vertical  _ _ force in the data set.  The prediction results using the proposed hybrid surrogate model is shown in Figure  4, where the optimal PCE degree for horizontal forces is found to be 2 and that for vertical  forces is found to be 3. Although the maximum PCE degrees used in the hybrid model are  lower than the optimal degrees identified in the pure PCE model (degree 5 for horizontal  wave forces and degree 6 for vertical wave forces), the prediction performance of the hy‐ brid model is superior to the optimal PCE for both horizontal and vertical wave forces.  Specifically,  for  the  horizontal  wave  forces  prediction,  the  R  and  RMSE  of  the  hybrid  model are found to be 0.9975 and 3.70%, respectively; and these two values are found to  be 0.9910 and 4.00% for the vertical wave forces prediction. Moreover, the results of the  optimal ANN reported in [32] are also illustrated here for comparison purposes, as shown  in Figure 5. Obviously, the proposed hybrid model exhibits better performance than the  optimal ANN for horizontal wave forces prediction, and comparable accuracy is achieved  in predicting the vertical forces for both models. Overall, the results verify the effective‐ ness of the error correction term in the proposed hybrid model to reduce the prediction  error made by the PCE. In addition, it should be noted that the proposed hybrid model is  easily implementable, without needing to tune numerous hyper‐parameters and model  structures as required in the ANN.  Figure 4. Correlation between the predicted wave forces using the proposed hybrid surrogate model  and the true ones in the test data set.  Infrastructures 2021, 6, 170  10 of 13  Figure 5. Correlation between the predicted wave forces using the optimal ANN and the true ones  in the test data set.  With the availability of the trained hybrid model, the predictive equations for the  horizontal wave forces and vertical forces are obtained as follows:  𝐹 𝜃 𝛹 𝑑 ,𝐻 ,𝑍 𝜀 ̂ 𝜽 𝝍 𝜀 ̂   𝜶 𝜶 𝜶∈ℕ ,|𝜶 | 𝐹 𝜃 𝛹 𝑑 ,𝐻 ,𝑍 𝜀 ̂ 𝜽 𝝍 𝜀 ̂   𝜶 𝜶 𝜶∈ℕ ,|𝜶 | where  − 3.0658 − 0.1475 0.6793 − 5.6262 − 2.3923 0.4634 − 0.8147 8.4055]; 𝜃  = [12.9545 9.3748    −  154.2690  122.7512  1.0402 −58.9573  25.5081  9.7797 −  8.3700  𝜃  =  [42.9168  28.9734  88.1522 0.8524 − 54.7363 11.3018 − 3.4960 1.0044 1.2990 114.0724 − 0.0104 − 68.5711 0.5590];  𝜀 ̂  = −0.076𝑟 𝑥 𝑅 𝒴 𝜃 𝜓 0.076 ;  𝜀 ̂  = 7.1368𝑟 𝑥 𝑅 𝒴 𝜃 𝜓 7.1368 ;  𝜓  = 𝜓 ,𝜓 ,𝜓 ,𝜓 ,𝜓 ,𝜓 ,𝜓 ,𝜓 ,𝜓 ,𝜓 .  , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , 𝜓  = 𝜓 ,𝜓 ,𝜓 ,𝜓 ,𝜓 ,𝜓 ,𝜓 ,𝜓 ,𝜓 ,𝜓 ,𝜓 .  , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , 𝜓 1;  , , 𝜓 , 𝜓 , 𝜓 ;  , , , , , , √ √ √ 𝜓  =  , 𝜓  =  , 𝜓  =  ;  , , , , , , √ √ √ 𝜓  =  , 𝜓  =  , 𝜓  =  ;  , , , , , , √ √ √ √ √ √ 𝜓  =  , 𝜓  =  , 𝜓  =  ;  , , , , , , √ √ √ 𝜓  =  , 𝜓  =  , 𝜓  =  ;  , , , , , , √ √ √ √ √ √ 𝜓  =  , 𝜓  =  , 𝜓  =  ;  , , , , , , √ √ √ √ √ √ 𝜓  =  .  , , √ √ √ 𝑋 𝑑 5 1 0.4706∗𝑑 3.353;  𝑋 𝑍 2.7 1 0.2899∗𝑍 1.7826;  . . 𝑋 𝐻 0.87 1 0.939∗𝐻 1.8169;    Infrastructures 2021, 6, 170  11 of 13  4. Conclusions  To facilitate the establishment of the probabilistic model for quantifying the vulner‐ ability of coastal bridges to natural hazards and support the associated risk assessment  and mitigation activities, a hybrid surrogate model is proposed for efficient and accurate  prediction of the solitary wave forces acting on coastal bridge decks and the correspond‐ ing predictive equations are obtained from the trained model. Unlike traditional surrogate  models, this hybrid model includes an error correction term to reduce the prediction error  from the main predictor. Specifically,  the regression‐type  polynomial  chaos  expansion  (PCE) is employed as the main predictor to capture the global feature of the computational  model, whereas the interpolation‐type Kriging is adopted to capture the local variations  of the prediction error from the PCE. The prediction of wave forces on a typical bridge  deck‐wave interaction model is carried out and compared with other methods to demon‐ strate the effectiveness of the hybrid surrogate model. According to the obtained results,  the following conclusions can be drawn:  1. The comparison among the predictive results of the PCE, the hybrid model, and those  from the ANN indicates the enhanced performance of the proposed method. In other  words, this hybrid model can capture the underlying physical complexities in the  bridge deck‐wave interaction, and can thus be used to replace the original time‐con‐ suming  CFD  models  for  the  wave  forces  prediction  and  the  associated  life‐cycle‐ based probabilistic modeling.  2. The use of PCE and Kriging in this study offers several desirable advantages, e.g., the  number of tuning parameters can be relatively small. In other words, only the maxi‐ mum polynomial degree 𝑝  needs to be tuned in the PCE, enabling the easy imple‐ mentation of this approach. Moreover, the time required to establish the PCE and  Kriging is only a few seconds on a standard laptop, making the prediction of wave  forces rather efficient. These features distinguish the proposed hybrid model from  other well‐known machine learning approaches such as ANNs, which are known to  be highly sensitive to their hyper‐parameters and require an appropriate and gener‐ ally cumbersome calibration procedure.  3. The prediction performance of PCE on the horizontal wave force is better than that  on  the  vertical  force.  This  might  be  because  impinging  force  induced  by  the  en‐ trapped air underneath the bridge deck makes the relationship between the input  parameters and vertical wave force more complicated. A feasible way to improve the  prediction accuracy on the vertical wave force is using more samples with different  wave scenarios, albeit this will require more effort in data preparation.  The limitations of the current study and future work are as follows:  1. In the proposed hybrid model, only the PCE is used as the main predictor. However,  this choice may not be appropriate when the number of training data is small, espe‐ cially for engineering cases with many input parameters. Thus, the use of other ef‐ fective surrogate models (e.g., support vector regression, radial basis function) or en‐ semble models as the main predictor may further enhance the applicability of the  hybrid model.  2. Since the training data in the engineering case is predefined, the number of samples  in the data set might be too large or too small for the problem at hand, which could  jeopardize the overall performance of the established surrogate model. Thus, the use  of an adaptive algorithm that sequentially adds training samples to refine the surro‐ gate model is a topic worth further exploring.  Author Contributions: Conceptualization, J.W.; methodology, J.W. and S.X.; software, J.W.; valida‐ tion, J.W., S.X., and G.X.; formal analysis, J.W. and S.X.; investigation, J.W. and S.X.; resources, G.X.;  data curation, J.W. and G.X.; writing—original draft preparation, J.W. and S.X.; writing—review  and editing, G.X.; visualization, J.W.; supervision, G.X.; project administration, G.X.; funding acqui‐ sition, G.X. All authors have read and agreed to the published version of the manuscript.  Infrastructures 2021, 6, 170  12 of 13  Funding: This research was funded by NSFC, grant number 52078425.  Institutional Review Board Statement: Not applicable.  Informed Consent Statement: Not applicable.  Data Availability Statement: The details of the proposed methodology and of the specific values of  the parameters considered have been provided in the paper. Hence, we are confident that the results  can be reproduced. Readers interested in the source code are encouraged to contact the authors by  email.  Acknowledgments: Constructive comments from the anonymous reviewers are highly acknowl‐ edged.  Conflicts of Interest: The authors declare no conflict of interest. The funders had no role in the  design of the study; in the collection, analyses, or interpretation of data; in the writing of the manu‐ script, or in the decision to publish the results.  References  1. Moideen, R.; Behera, M.R.; Kamath, A.; Bihs, H. Effect of Girder Spacing and Depth on the Solitary Wave Impact on Coastal  Bridge Deck for Different Airgaps. J. Mar. Sci. Eng. 2019, 7, 140. https://doi.org/10.3390/jmse7050140.  2. Okeil, A.M.; Cai, C.S. Survey of Short‐ and Medium‐Span Bridge Damage Induced by Hurricane Katrina. J. Bridg. Eng. 2008, 13,  377–387. https://doi.org/10.1061/(asce)1084‐0702(2008)13:4(377).  3. Padgett, J.; Desroches, R.; Nielson, B.; Yashinsky, M.; Kwon, O.‐S.; Burdette, N.; Tavera, E. Bridge Damage and Repair Costs  from Hurricane Katrina. J. Bridg. Eng. 2008, 13, 6–14. https://doi.org/10.1061/(asce)1084‐0702(2008)13:1(6).  4. Xu, G.; Cai, F.C.S.; Chen, Q. Countermeasure of Air Venting Holes in the Bridge Deck–Wave Interaction under Solitary Waves.  J. Perform. Constr. Facil. 2017, 31, 04016071. https://doi.org/10.1061/(asce)cf.1943‐5509.0000937.  5. Chen, X.; Chen, Z.; Xu, G.; Zhuo, X.; Deng, Q. Review of wave forces on bridge decks with experimental and numerical methods.  Adv. Bridg. Eng. 2021, 2, 1–24. https://doi.org/10.1186/s43251‐020‐00022‐7.  6. Xu, G.; Cai, C.S.; Han, Y. Investigating the Characteristics of the Solitary Wave‐Induced Forces on Coastal Twin Bridge Decks.  J. Perform. Constr. Facil. 2016, 30, 04015076. https://doi.org/10.1061/(asce)cf.1943‐5509.0000821.  7. Xu, G.; Cai, C.S.; Hu, P.; Dong, Z. Component Level–Based Assessment of the Solitary Wave Forces on a Typical Coastal Bridge  Deck  and  the  Countermeasure  of  Air  Venting  Holes.  Pract.  Period.  Struct.  Des.  Constr.  2016,  21,  04016012.  https://doi.org/10.1061/(asce)sc.1943‐5576.0000291.  8. Wang, J.; Li, C.; Xu, G.; Li, Y.; Kareem, A. Efficient structural reliability analysis based on adaptive Bayesian support vector  regression. Comput. Methods Appl. Mech. Eng. 2021, 387, 114172. https://doi.org/10.1016/j.cma.2021.114172.  9. Crespi, P.; Zucca, M.; Longarini, N.; Giordano, N. Seismic Assessment of Six Typologies of Existing RC Bridges. Infrastructures  2020, 5, 52. https://doi.org/10.3390/infrastructures5060052.  10. Crespi, P.; Zucca, M.; Valente, M. On the collapse evaluation of existing RC bridges exposed to corrosion under horizontal loads.  Eng. Fail. Anal. 2020, 116, 104727. https://doi.org/10.1016/j.engfailanal.2020.104727.  11. Novak, M.S.; Lazarevic, D.; Atalic, J.; Uros, M. Influence of Multiple‐Support Excitation on Seismic Response of Reinforced  Concrete Arch Bridges. Appl. Sci. 2019, 10, 17. https://doi.org/10.3390/app10010017.  12. Simon, J.; Bracci, J.M.; Gardoni, P. Seismic Response and Fragility of Deteriorated Reinforced Concrete Bridges. J. Struct. Eng.  2010, 136, 1273–1281. https://doi.org/10.1061/(asce)st.1943‐541x.0000220.  13. Fang, Q.; Hong, R.; Guo, A.; Li, H. Experimental Investigation of Wave Forces on Coastal Bridge Decks Subjected to Oblique  Wave Attack. J. Bridg. Eng. 2019, 24, 04019011. https://doi.org/10.1061/(asce)be.1943‐5592.0001373.  14. Huang, B.; Zhu, B.; Cui, S.; Duan, L.; Zhang, J. Experimental and numerical modelling of wave forces on coastal bridge super‐ structures with box girders, Part I: Regular waves. Ocean Eng. 2018, 149, 53–77. https://doi.org/10.1016/j.oceaneng.2017.11.046.  15. Xu, G.; Chen, Q.; Zhu, L.; Chakrabarti, A. Characteristics of the Wave Loads on Coastal Low‐Lying Twin‐Deck Bridges. J. Per‐ form. Constr. Facil. 2018, 32, 04017132. https://doi.org/10.1061/(asce)cf.1943‐5509.0001128.  16. Xu, G.; Cai, C.S. Wave Forces on Biloxi Bay Bridge Decks with Inclinations under Solitary Waves. J. Perform. Constr. Facil. 2015,  29, 04014150. https://doi.org/10.1061/(asce)cf.1943‐5509.0000644.  17. Yuan, P.; Xu, G.; Chen, Q.; Cai, C.S. Framework of Practical Performance Evaluation and Concept of Interface Design for Bridge  Deck–Wave Interaction. J. Bridg. Eng. 2018, 23, 04018048. https://doi.org/10.1061/(asce)be.1943‐5592.0001260.  18. Xu, G.; Cai, C. Numerical simulations of lateral restraining stiffness effect on bridge deck–wave interaction under solitary waves.  Eng. Struct. 2015, 101, 337–351. https://doi.org/10.1016/j.engstruct.2015.07.031.  19. Sarfaraz, M.; Pak, A. SPH numerical simulation of tsunami wave forces impinged on bridge superstructures. Coast. Eng. 2017,  121, 145–157. https://doi.org/10.1016/j.coastaleng.2016.12.005.  20. Yang, Z.; Huang, B.; Zhu, B.; Zhang, J.; Kang, A. Comparative Study of Tsunami‐Like Wave‐Induced Forces on Medium‐Scale  Models of Box Girder and T‐Girder Bridges. J. Bridg. Eng. 2021, 26, 04020125. https://doi.org/10.1061/(asce)be.1943‐5592.0001671.  21. Zhao, E.; Sun, J.; Tang, Y.; Mu, L.; Jiang, H. Numerical investigation of tsunami wave impacts on different coastal bridge decks  using immersed boundary method. Ocean Eng. 2020, 201, 107132. https://doi.org/10.1016/j.oceaneng.2020.107132.  Infrastructures 2021, 6, 170  13 of 13  22. Roy, S.; Debnath, K.; Mazumder, B.S. Distribution of turbulent eddies behind a monopile for vortex lock‐on condition due to  wave current combined flow. Coast. Eng. 2018, 131, 70–87. https://doi.org/10.1016/j.coastaleng.2017.10.010.  23. Sony, S.; Sadhu, A. Synchrosqueezing transform‐based identification of time‐varying structural systems using multi‐sensor data.  J. Sound Vib. 2020, 486, 115576. https://doi.org/10.1016/j.jsv.2020.115576.  24. Arul, M.; Kareem, A. Applications of shapelet transform to time series classification of earthquake, wind and wave data. Eng.  Struct. 2020, 228, 111564. https://doi.org/10.1016/j.engstruct.2020.111564.  25. Fang, Q.; Zhou, J.; Zhou, P. Spectral Analysis and Prediction of the Wave Forces Acting on Coastal Bridge Decks. KSCE J. Civ.  Eng. 2021, 25, 1826–1836. https://doi.org/10.1007/s12205‐021‐1334‐9.  26. Cheng, Z.; Gao, Z.; Moan, T. Hydrodynamic load modeling and analysis of a floating bridge in homogeneous wave conditions.  Mar. Struct. 2018, 59, 122–141. https://doi.org/10.1016/j.marstruc.2018.01.007.  27. Deng,  Y.;  Yang,  J.;  Zhao,  W.;  Li,  X.;  Xiao,  L.  Freak  wave  forces  on  a  vertical  cylinder.  Coast.  Eng.  2016,  114,  9–18.  https://doi.org/10.1016/j.coastaleng.2016.03.007.  28. Ataei, N.; Padgett, J.E. Fragility surrogate models for coastal bridges in hurricane prone zones. Eng. Struct. 2015, 103, 203–213.  https://doi.org/10.1016/j.engstruct.2015.07.002.  29. Pourzangbar, A.; Brocchini, M.; Saber, A.; Mahjoobi, J.; Mirzaaghasi, M.; Barzegar, M. Prediction of scour depth at breakwaters  due  to  non‐breaking  waves  using  machine  learning  approaches.  Appl.  Ocean  Res.  2017,  63,  120–128.  https://doi.org/10.1016/j.apor.2017.01.012.  30. Brunton, S.L.; Noack, B.R.; Koumoutsakos, P. Machine Learning for Fluid Mechanics. Annu. Rev. Fluid Mech. 2020, 52, 477–508.  https://doi.org/10.1146/annurev‐fluid‐010719‐060214.  31. Pitchforth, D.; Rogers, T.; Tygesen, U.; Cross, E. Grey‐box models for wave loading prediction. Mech. Syst. Signal Process. 2021,  159, 107741. https://doi.org/10.1016/j.ymssp.2021.107741.  32. Bonakdar, L.; Oumeraci, H.; Etemad‐Shahidi, A. Wave load formulae for prediction of wave‐induced forces on a slender pile  within pile groups. Coast. Eng. 2015, 102, 49–68. https://doi.org/10.1016/j.coastaleng.2015.05.003.  33. Mazinani, I.; Ismail, Z.B.; Shamshirband, S.; Hashim, A.M.; Mansourvar, M.; Zalnezhad, E. Estimation of Tsunami Bore Forces  on a Coastal Bridge Using an Extreme Learning Machine. Entropy 2016, 18, 167. https://doi.org/10.3390/e18050167.  34. Yu, E.; Wei, H.; Han, Y.; Hu, P.; Xu, G. Application of time series prediction techniques for coastal bridge engineering. Adv.  Bridg. Eng. 2021, 2, 1–18. https://doi.org/10.1186/s43251‐020‐00025‐4.  35. Pena, B.; Huang, L. Wave‐GAN: A deep learning approach for the prediction of nonlinear regular wave loads and run‐up on a  fixed cylinder. Coast. Eng. 2021, 167, 103902. https://doi.org/10.1016/j.coastaleng.2021.103902.  36. Xu, G.; Chen, Q.; Chen, J. Prediction of Solitary Wave Forces on Coastal Bridge Decks Using Artificial Neural Networks. J. Bridg.  Eng. 2018, 23, 04018023. https://doi.org/10.1061/(asce)be.1943‐5592.0001215.  37. Zhu, D.; Li, Y.; Dong, Y. Reliability‐based retrofit assessment of coastal bridges subjected to wave forces using 3D CFD simula‐ tion and metamodeling. Civ. Eng. Environ. Syst. 2021, 38, 59–83. https://doi.org/10.1080/10286608.2021.1895126.  38. Fang, C.; Tang, H.; Li, Y.; Zhang, J. Stochastic response of a cable‐stayed bridge under non‐stationary winds and waves using  different surrogate models. Ocean Eng. 2020, 199, 106967. https://doi.org/10.1016/j.oceaneng.2020.106967.  39. Xiu, D.; Karniadakis, G.E. The Wiener‐Askey Polynomial Chaos for Stochastic Differential Equations. SIAM J. Sci. Comput. 2002,  24, 619–644. https://doi.org/10.21236/ada460654.  40. Hosder, S.; Walters, R.W.; Balch, M. Michael Point‐collocation nonintrusive polynomial chaos method for sto‐chastic computa‐ tional fluid dynamics. AIAA J. 2010, 48, 2721–2730.  41. Hosder, S.; Walters, R.; Perez, R. A non‐intrusive polynomial chaos method for uncertainty propagation in CFD simulations. In  Proceedings  of  the  44th  AIAA  Aerospace  Sciences  Meeting  and  Exhibit,  Reno,  NV,  USA,  2006,  9–12  January  2006.  https://doi.org/10.2514/6.2006‐891.  42. Torre, E.; Marelli, S.; Embrechts, P.; Sudret, B. Data‐driven polynomial chaos expansion for machine learning regression. J.  Comput. Phys. 2019, 388, 601–623. https://doi.org/10.1016/j.jcp.2019.03.039.  43. Blatman, G.; Sudret, B. Adaptive sparse polynomial chaos expansion based on least angle regression. J. Comput. Phys. 2011, 230,  2345–2367. https://doi.org/10.1016/j.jcp.2010.12.021.  44. Marelli, S.; Sudret, B. UQLab User Manual—Polynomial Chaos Expansions. In Report UQLab‐V0.9‐104; Chair of Risk, Safety &  Uncertainty Quantification; ETH Zürich: Zürich, Switzerland, 2015. https://doi.org/10.13140/RG.2.1.3778.7366.  45. Lataniotis, C.; Marelli, S.; Sudret, B. UQLAB User Manual—Kriging (Gaussian Process Modelling); Chair of Risk, Safety & Uncer‐ tainty Quantification; ETH Zürich: Zürich, Switzerland, 2015. https://doi.org/10.13140/RG.2.1.4827.3120.  46. Sheppard, D.M.; Marin, J. Wave Loading on Bridge Decks; Final Report Submitted to Florida Department of Transportation; Flor‐ ida Department of Transportation: Tallahassee, FL, USA, 2009.  http://www.deepdyve.com/assets/images/DeepDyve-Logo-lg.png Infrastructures Multidisciplinary Digital Publishing Institute

A Hybrid Surrogate Model for the Prediction of Solitary Wave Forces on the Coastal Bridge Decks

Infrastructures , Volume 6 (12) – Dec 1, 2021

Loading next page...
 
/lp/multidisciplinary-digital-publishing-institute/a-hybrid-surrogate-model-for-the-prediction-of-solitary-wave-forces-on-Jta96Yb8d6

References (46)

Publisher
Multidisciplinary Digital Publishing Institute
Copyright
© 1996-2021 MDPI (Basel, Switzerland) unless otherwise stated Disclaimer The statements, opinions and data contained in the journals are solely those of the individual authors and contributors and not of the publisher and the editor(s). MDPI stays neutral with regard to jurisdictional claims in published maps and institutional affiliations. Terms and Conditions Privacy Policy
ISSN
2412-3811
DOI
10.3390/infrastructures6120170
Publisher site
See Article on Publisher Site

Abstract

Article  A Hybrid Surrogate Model for the Prediction of Solitary Wave  Forces on the Coastal Bridge Decks  Jinsheng Wang, Shihao Xue and Guoji Xu *  School of Civil Engineering, Southwest Jiaotong University, Chengdu 610031, China;   jinshengwangrjc@swjtu.edu.cn (J.W.); xueshihao@my.swjtu.edu.cn (S.X.)  *  Correspondence: guoji.xu@swjtu.edu.cn  Abstract: To facilitate the establishment of the probabilistic model for quantifying the vulnerability  of coastal bridges to natural hazards and support the associated risk assessment and mitigation ac‐ tivities, it is imperative to develop an accurate and efficient method for wave forces prediction. With  the fast development of computer science, surrogate modeling techniques have been commonly  used as an effective alternative to computational fluid dynamics for the establishment of a predictive  model in coastal engineering. In this paper, a hybrid surrogate model is proposed for the efficient  and accurate prediction of the solitary wave forces acting on coastal bridge decks. The underlying  idea of the proposed method is to enhance the prediction capability of the constructed model by  introducing an additional surrogate to correct the errors made by the main predictor. Specifically,  the regression‐type polynomial chaos expansion (PCE) is employed as the main predictor to capture  the global feature of the computational model, whereas the interpolation‐type Kriging is adopted to  learn the local variations of the prediction error from the PCE. An engineering case is employed to  validate the effectiveness of the hybrid model, and it is observed that the prediction performance  (in terms of residual mean square error and correlation coefficient) of the hybrid model is superior  Citation: Wang, J.; Xue, S.; Xu, G.   to the optimal PCE and artificial neural network (ANN) for both horizontal and vertical wave forces,  A Hybrid Surrogate Model for the  albeit the maximum PCE degrees used in the hybrid model are lower than the optimal degrees  Prediction of Solitary Wave Forces  identified in the pure PCE model. Moreover, the proposed hybrid model also enables the extraction  on the Coastal Bridge Decks.   of explicit predictive equations for the parameters of interest. It is expected that the hybrid model  Infrastructures 2021, 6, 170.  https://doi.org/10.3390/  could be extended to more complex wave conditions and structural shapes to facilitate the life‐cycle  infrastructures6120170  structural design and analysis of coastal bridges.  Academic Editor:   Keywords: hybrid surrogate model; wave force prediction; coastal bridges; risk assessment;   Joan Ramon Casas Rius  life‐cycle structural design and analysis  Received: 29 October 2021  Accepted: 30 November 2021  Published: 1 December 2021  1. Introduction  With the development of coastal communities and the tourist economy, the construc‐ Publisher’s  Note:  MDPI  stays  neu‐ tral  with  regard  to  jurisdictional  tion of coastal bridges is indispensable for establishing a complete and efficient transpor‐ claims in published maps and institu‐ tation network to meet the daily commuting needs as well as to facilitate any rescue efforts  tional affiliations.  after an extreme natural disaster. However, coastal bridges are often exposed to severe  natural environmental conditions during their service  life, and  recent extreme  natural  events have demonstrated the vulnerability of coastal bridges to the wave forces gener‐ ated  by  hurricanes  and  tsunamis,  especially  for  the  low‐lying  bridges  that  are  inade‐ Copyright: © 2021 by the authors. Li‐ quately  designed  for  the  storm  surge  and  wave‐induced  forces  [1–4].  Indeed,  many  censee  MDPI,  Basel,  Switzerland.  coastal regions have sustained devastating damages to the bridges under the impact of  This article  is an open access article  extreme waves, e.g., more than 182 bridge spans were completely removed from their  distributed under the terms and con‐ supporting  structures  over  the  gulf  coast  of  Louisiana  and  Mississippi  in  Hurricane  ditions of the Creative Commons At‐ Katrina in 2005 and a total of 252 bridges were washed away in the 2011 Great East Japan  tribution (CC BY) license (https://cre‐ Tsunami. The destruction of bridges may severely impact the recovery and prosperity of  ativecommons.org/licenses/by/4.0/).  Infrastructures 2021, 6, 170. https://doi.org/10.3390/infrastructures6120170  www.mdpi.com/journal/infrastructures  Infrastructures 2021, 6, 170  2 of 13  the coastal communities [5,6], thus it is necessary to evaluate the magnitude of wave forces  and the bridge capacity before appropriate preventive measures are taken. In this regard,  a method that can accurately predict the wave forces on the bridge decks promptly is  essential for the stakeholders to make critical decisions prior to the landfall of hurricanes  [7]. Moreover, an effective prediction method can also facilitate the safety assessment of  the bridge under a probability‐based framework, e.g., structural reliability analysis [8],  and enable the efficient structural analysis under the action of other extreme loads such  as seismic load [9–12].  Over the last two decades, numerous research efforts have been devoted to the use  of computational fluid dynamics (CFD) method for investigating the wave forces acting  on bridge decks [13–17]. The lateral restraining stiffness effect on bridge deck wave inter‐ actions was studied by embedding a custom code into ANSYS Fluent [18]. Based on the  smoothed particle hydrodynamics (SPH) method, the phenomenon of tsunami waves im‐ pinging on bridge superstructures was simulated [19]. Using OpenFOAM, the phenome‐ non of the tsunami‐like wave force on box girder and T girder bridges were compared  [20]. Immersed boundary method was also employed to study wave‐bridge deck interac‐ tions [21]. As a time‐varying dynamic system, the time‐frequency characteristics of waves  play an important role in the wave‐structure interactions, and many scholars also have  carried out relevant studies [22–25]. The influence of different wave frequencies on the  motion of floating bridges was investigated [26]. It is demonstrated that the second‐order  difference‐frequency wave loads contribute significantly to sway motion, axial force, and  strong axis bending moments along floating bridges. The spectral analysis of the vertical  wave forces acting on bridge decks by Fourier, wavelet, and Hilbert‐Huang transform  (HHT) methods were used, and then an empirical formula is proposed to predict the ver‐ tical wave forces [25]. Wavelet transforms was introduced to analyze the local character‐ istics of the incident waves, incline forces and transfer functions between them [27]. It is  demonstrated that the nonlinear wave‐structure interactions are significant for the wave  components  in  the  diffraction  effect  regime.  Although  various  simulation  models  and  analysis methods are available for the investigation of the wave forces exerted on the  bridge deck, it would be time‐consuming or cumbersome to obtain the prediction due to  the intrinsic complicity of the bridge deck‐wave interaction.   With the development of computer science and machine learning theory, the use of  advanced surrogate modeling techniques in coastal engineering has drawn increasingly  more attention in recent years [28–32]. By combining the M5 model tree and nonlinear  regression techniques, the prediction of non‐broken wave run‐up on single piles is inves‐ tigated in [32]. A novel model was proposed based on Extreme Learning Machine (ELM)  and laboratory experiments to estimate the tsunami wave forces on coastal bridges [33].  The effects of three different machine learning techniques in predicting the wave loads on  bridge decks were also compared [34]. It is proved that machine learning techniques can  provide guidance for time‐history prediction requirements. A new data‐driven method  based on the conditional Generative Adversarial Network (GAN) principle was proposed  [35], through which the three‐dimensional nonlinear wave loads and run‐up on a fixed  structure can be predicted accurately. To more efficiently predict the wave forces, the ar‐ tificial neural network (ANN) is employed in [36] to establish the link between model  parameters (i.e., the still‐water level, wave height, and bottom elevation of the girder/su‐ perstructure) and wave forces, through which the prediction of the vertical and horizontal  forces can readily be obtained in seconds. ANN was also used to quantify the loading  effects with multiple surges and wave parameters [37]. Based on a wind‐wave‐bridge sys‐ tem, the effects of non‐stationary winds and waves on the stochastic response of cable‐ stayed bridge girders were investigated using ANN [38]. It is noted, however, that the  above‐mentioned approaches require fine‐tuning of the parameters involved in the neural  network, which is a cumbersome task involving trial and error. To address this issue, a  model that is easy to implement and capable of providing a predictive equation is highly  desirable.  Infrastructures 2021, 6, 170  3 of 13  In this paper, a hybrid surrogate model based on the polynomial chaos expansions  (PCE) and Kriging is proposed to establish the predictive model for the solitary wave  forces acting on coastal bridge decks. The underlying idea of the proposed method is to  enhance the prediction capability of the constructed model by introducing an additional  surrogate to correct the errors made by the main predictor. Specifically, this hybrid model  adopts the regression‐type PCE to capture the global feature of the computational model  and the interpolation‐type Kriging to capture the local variations of the prediction error.  With the availability of the predictive model, the establishment of the probabilistic models  for quantifying the vulnerability of the coastal bridges under natural hazards and the as‐ sociated risk assessment can proceed easily and efficiently.  2. Theoretical Background  2.1. Polynomial Chaos Expansions  The polynomial chaos expansions (PCE) was originally proposed by Wiener to ex‐ pand the stochastic process using a set of Hermite polynomials with the Gaussian random  variables as the input parameters and was later generalized to account for other com‐ monly used distributions other than Gaussian [39]. The PCE has gained its popularity for  uncertainty quantification in the modern engineering community, including the ever‐in‐ creasing application in the field of CFD simulations [40,41]. More recently, it has been  shown that a PCE surrogate model purely trained on a data set can reach point‐wise pre‐ dictions with comparable accuracy to that of other machine learning models, e.g., support  vector regressions and neural networks [42]. This somehow justifies the application of  PCE for wave forces prediction in this study, where the data set is selected a priori.  In PCE, the simulator output (model response) is expanded onto a space spanned by  a set of bases consisting of multivariate polynomials that are orthogonal to the joint prob‐ ability density function (PDF) of the input variables 𝜲 , and the model response approxi‐ mated using PCE can be expressed as:  𝑌ℳ 𝑿 𝜂 𝜓 𝑿   𝜶 𝜶 (1) 𝜶∈ℕ where  𝜂 ’s are the unknown coefficients to be determined and the 𝜶 𝛼 ,𝛼 ,… ,𝛼 ∈ ℕ  is a multidimensional index vector that indicates the components of the multivariate  polynomials 𝜓 𝑿 , which is constructed using a tensor product of the orthogonal uni‐ variate polynomials:  (2) 𝜓 𝑿 𝜙 𝑋   where 𝜙 𝑋  is the orthogonal polynomial corresponding to the marginal PDF 𝑓 𝑥 ,  satisfying 𝔼 𝜙 𝑋 𝜙 𝑋 1 if 𝑚𝑘  and 0 otherwise, for all  𝑚 ,𝑘 ∈ℕ . For instance,  if the variable 𝑋  follows a Gaussian distribution, 𝜙 𝑋  is a set of Hermite polynomials  of order 𝛼 , whereas Laguerre polynomials will be used for Gamma distribution. Based  on this definition, the elements of the multidimensional index vector 𝜶  = 𝛼 ,𝛼 ,…,𝛼  of  the multivariate orthonormal polynomials can also be interpreted as the degrees of the  | | univariate  polynomials  and  𝜶 𝛼 𝛼 ⋯𝛼  is  the  degree  of  the  corresponding  multivariate polynomials.  The spectral representation of model response in Equation (1) involves an infinite  number of polynomial bases, which may cause troubles in practical application. For the  computational purpose, a truncation scheme is introduced for Equation (1) such that only  those polynomials with total degree up to p are retained, i.e., 0 |𝛂 |𝑝  [43]:  𝑌ℳ 𝑿 ℳ 𝑿 𝜂 𝜓 𝑿 𝜼 𝜓 𝑿   𝜶 𝜶 (3) |𝜶 | Infrastructures 2021, 6, 170  4 of 13  where  𝜼 𝜂 ,𝜂 ,…,𝜂  is  the  polynomial  coefficient  vector  and  𝝍 𝑿 𝜓 𝒙 ,𝜓 𝒙 ,… ,𝜓 𝒙  is the matrix gathers all the orthonormal polynomial basis  𝜶 𝜶 𝜶 that  satisfies  𝜓 ,0 |𝜶 |𝑝 .  The  above  formulation  leads  to  the  so‐called  full  PCE  model,  where  the  total  number  of  terms  involved  in  the  expansion  is  given  by 𝑃 𝑛𝑝 .  𝑝 ! ! Once the polynomial terms are selected, all that remains is to determine the expan‐ sion coefficients 𝜂  using information contained in the experimental design (data set) gen‐ erated from the simulator. In this study, the regression method in the category of non‐ intrusive approaches is employed and can be formulated as the following least‐squares  minimization problem [44]:  𝜼 arg𝑚𝑖𝑛 𝔼 ℳ 𝑿 𝜼 𝝍 𝑿   (4) Given a data set with the  input vector 𝒳 𝒙 ,𝒙 ,… ,𝒙  and the corresponding  model responses 𝒴 ℳ 𝒙 ,ℳ 𝒙 ,… ,ℳ 𝒙 , the PCE coefficients can be estimated  by solving Equation (4) using the ordinary least‐square method, which gives:  𝑻 𝑻 𝜼 𝜳 𝜳 𝜳 𝓨   (5)  is a collection of the values of polynomial basis at the exper‐ where the data matrix 𝜳 imental design points and has the following form:  𝜓 𝒙 ⋯𝜓 𝒙 𝜶 𝜶 𝜳 ⋮⋱ ⋮   (6) 𝜓 𝒙 ⋯𝜓 𝒙 𝜶 𝜶 It is noted that the size of the data set should be sufficiently large to ensure the above  data matrix is well‐conditioned, such that the regression problem is well‐posed. There‐ fore, it is necessary to use an experimental design whose size N is greater than the total  number  of  terms  P  in  PCE,  i.e., 𝑃𝑁 .  In  practical  applications, 𝑁𝑘𝑃 , 𝑘 2 model  evaluations are generally required to reach an approximation with sufficient accuracy.  2.2. Kriging  Kriging is a stochastic interpolation method where the model response is assumed to  be a realization of a random function, and the Kriging model consists of a regression part  and a stochastic process as follows [45]:  𝐺 𝒙 𝜷 𝒇 𝒙 𝒵 𝒙   (7) where  𝒇 𝒙 𝑓 𝒙 ,𝑓 𝒙 ,⋯ ,𝑓 𝒙  is  a  vector  of  regression  functions,  and 𝜷 𝛽 ,𝛽 ,⋯ ,𝛽  is the vector of the corresponding regression coefficients; 𝒵 𝒙  represents  a Gaussian process with zero mean and the following covariance functions:  𝑐𝑜𝑣 𝒵 𝒙 ,𝒵 𝒙 𝜎 𝑅 𝒙 ,𝒙 ;𝜽   (8) where 𝜎  is the variance of the Gaussian process; 𝑅 𝑥 ,𝑥 ;𝜽 denotes the spatial correlation  function between samples 𝒙  and 𝒙 , and 𝜽  is a vector of hyper‐parameters to be deter‐ mined. The commonly used Gaussian correlation function can be expressed as follows:  𝑅 𝒙 ,𝒙 ;𝜽 exp 𝜃 𝑥 𝑥   (9) where 𝜃  is the k‐th correlation parameter in 𝜽 ; 𝑥  and 𝑥  are the k‐th coordinates of sam‐ ples  𝒙  and  𝒙 ,  respectively.  Given  a  data  set  with  the  input  vector  𝓧 𝒙 ,𝒙 ,… ,𝒙 and the corresponding model responses 𝓨 ℳ 𝒙 ,ℳ 𝒙 ,…,ℳ 𝒙 ,  the  hyper‐parameters  in 𝜽  can  be  calculated  by  the  maximum  likelihood  estimation  method.  Infrastructures 2021, 6, 170  5 of 13  Once  the  correlation  parameters  are  determined,  the  regression  coefficients 𝜷 𝛽 ,𝛽 ,⋯ ,𝛽  and the Gaussian process variance 𝜎  can be obtained as follows:  (10) 𝜷 𝑭 𝑹 𝑭 𝑭 𝑹 𝓨   (11) 𝜎 𝓨𝑭𝜷 𝑹 𝓨𝜷𝑭   where 𝑭  is a matrix with 𝐹 𝑓 𝒙 ,𝑖 1, … ,𝑁 ,𝑗 1, … ,𝑚 ; 𝑹  denotes the correlation ma‐ trix with 𝑅 𝑅 𝒙 ,𝒙 ;𝜽 ,𝑖 ,𝑗 1, … ,𝑁 .  𝒊 𝒋 With the availability of the associated parameters, the best linear unbiased prediction  of the response at a new sample point 𝒙  can be computed as:  ∗ ∗ ∗ 𝜇 𝒙 𝒇 𝒙 𝜷 𝒓 𝒙 𝑹 𝓨𝑭𝜷   (12) ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ 𝜎 𝒙 𝜎 1𝒓 𝒙 𝑹 𝒓 𝒙 𝑢 𝒙 𝑭 𝑹 𝑭 𝑢 𝒙   (13) ∗ ∗ ∗ ∗ where 𝑢 𝒙 𝑭 𝑹 𝒓 𝒙 𝒇 𝒙  and 𝒓 𝒙  is  the  vector  of  correlations  between  the  ∗ ∗ new sample point 𝒙 and the  points in the training data set 𝓧 , i.e., 𝑟 𝑹 𝒙 ,𝒙 ;𝜽 ,𝑖 1, … ,𝑁 .  2.3. Proposed Hybrid Surrogate Model  In the application of surrogate modeling techniques, the relationship between the  observed response y and the predicted one 𝑦  using a specific surrogate model can be ex‐ pressed as:  (14) 𝑦𝑦 𝜀   where 𝜀  is an error term that measures the deviation of the predicted value from the true  one. In general, the surrogate model is first constructed from a training set and then the  prediction is made directly from the model, without considering the error term during  model construction and response prediction. This, however, would introduce large pre‐ diction errors if an unsuitable surrogate model is chosen for the problem at hand, espe‐ cially when the given data set is small. To address this issue, a hybrid surrogate model is  proposed here to establish approximating models for both structural response and pre‐ diction error. Specifically, the PCE is adopted to capture the global feature of the compu‐ tational model and the Kriging model is employed to model the local variations of the  prediction error, i.e.,  𝑦𝑦 𝜀 ̂   (15) In the proposed hybrid model, the first term 𝑦 on the right‐hand side of Equaiton  (15) serves as the main predictor of the structural response due to the excellent global  fitting property of PCE, whereas the second term 𝜀 ̂  aims to remove (reduce) the er‐ rors raised from 𝑦 . Thus, given a training data set  ,  for establishing the PCE, the  corresponding data set for the construction of the Kriging model is  ,𝓨𝒚 . With  the availability of the PCE and the Kriging model, the prediction of the response at a new  sample point can be easily obtained from Equation (15).  In the sequel, the prediction of wave forces on a typical bridge deck‐wave interaction  case will be employed to investigate the applicability and validity of the proposed hybrid  model.  3. Engineering Validation  3.1. Engineering Background and Data Preparation  To investigate the effectiveness of the proposed method for the prediction of wave  forces, a two‐dimensional bridge deck‐wave interaction model as shown in Figure 1 is  considered. The prototype bridge deck of this model is similar to the damaged I‐10 bridge  across Escambia Bay, and the solitary waves are used to represent the tsunamis and storm  𝓨 𝓧 Infrastructures 2021, 6, 170  6 of 13  surge. According to the study performed in [46], the horizontal force 𝐹  and vertical force  𝐹  can be expressed as functions of the involved parameters:  (16) 𝐹 ,𝐹 𝑓 𝑊 ,𝐻 ,𝐶 ,𝑑 ,𝑑 ,𝑑 ,𝐿 ,𝑍 ,𝑍 ,𝜇 ,𝜌 ,𝑔 ,𝛼   where the wave height H, the wave celerity C and the angle of incidence to the structure  𝛼  are the wave variables in the model; the water depth d, the dynamic viscosity 𝜇  and the  water density 𝜌  are the fluid‐related parameters; and the structural parameters are the  deck width W, the deck height 𝑑 , the deck length 𝐿 , the deck clearance 𝑍 , the rail height  𝑑  and the elevation of the bridge girder 𝑍 .  Figure 1. Sketch of the bridge deck‐wave interaction model under solitary waves.  In this study, extensive CFD simulations are performed using ANSYS Fluent, and a  total  of 472  sampling  pairs  are generated  for the  construction  of  the  hybrid  surrogate  model. For training surrogate models, the sampling pairs are generally composed of all  the involved parameters (input) and the associated wave forces (output). However, some  variables are depending on each other and/or may have a negligible effect on the evalua‐ tion of wave forces. Moreover, the required number of samples in PCE increases dramat‐ ically with the number of input parameters. Therefore, similar to the study carried out in  [36], only the three critical parameters, namely the water depth d, the elevation of the  bridge girder 𝑍 , and the wave height H, are used as the input for establishing the pre‐ diction model. More details regarding the data preparation and the assumptions made on  the bridge deck‐wave interaction simulation model can be found in [15,18].  3.2. Surrogate Model Initiation and Assessment Metrics  The three input variables are assumed to follow a uniform distribution with a speci‐ fied supporting range, as illustrated in Table 1. Thus, the normalized Legendre polynomi‐ als are used to derive the PCE, which can easily be achieved using the UQLab toolbox  [44]. The degree adaptive algorithm is employed to automatically select the optimal de‐ gree of PCE according to the available data set. The Kriging module in the UQLab [45] is  also employed to establish the surrogate for the prediction error of the PCE, in which the  ordinary Kriging is selected for modeling the trend.  Table 1. Range of the considered input parameters.  Parameter  Minimum  Maximum  Water depth d (m)  5  9.25  Wave height H (m)  0.87  3  Elevation of the bridge girder 𝑍  (m)  2.7  9.6  The  use  of appropriate  evaluation  metrics  is  important for  evaluating  the  perfor‐ mance of a surrogate model. The commonly used metrics include the mean absolute error  Infrastructures 2021, 6, 170  7 of 13  (MAE), mean squared error (MSE), root mean square error (RMSE), mean relative error  (MRE) and correlation coefficient (R), to name a few. Among these available metrics, MAE  is less biased for higher values, yet it may not adequately reflect the performance when  dealing with large error values. On the contrary, RMSE is better in terms of reflecting  performance when dealing with large error values and is more useful when lower residual  values are preferred. As for the R, it is a useful index that detects the linear correlation  between the true and predicted values, thus can be well‐suited for measuring the perfor‐ mance of a surrogate model. In this regard, only the RMSE and R is employed as the error  metrics in the current study, and they are defined as follows:  (17) RMSE 𝑦 𝑦   𝑦 𝑦 𝑦 𝑦 R   (18) ∑ 𝑦 𝑦 ∑ 𝑦 𝑦 where M is the number of samples in the test data set; 𝑦  and 𝑦  are the true response value  and the response predicted by the surrogate model, respectively; 𝑦 1⁄𝑀 ∑ 𝑦  and 𝑦 1⁄𝑀 ∑ 𝑦 . In the training process, the data set is split into 3 folds, where one fold is left  out as the test set and the other two folds are used as the training set. Thus, three different  values of RMSE (R) can be obtained after the model is trained, and the mean value of  RMSE (R) is then used as the indicator of the model accuracy, i.e., a model with R close to  1 and RMSE close to 0 is deemed as the model with excellent prediction ability.  3.3. Results and Discussion  Given  the  available  data  set,  the  PCE  with  different  maximum  degrees  are  con‐ structed to investigate the effects of polynomial degrees on prediction accuracy. The pre‐ dicted wave forces using PCE with degrees varying from 2 to 6 and the true ones in the  test data set are compared in Figures 2 and 3, and the variations of R and RMSE with the  PCE degrees for horizontal and vertical wave forces prediction are listed in Tables 2 and  3, respectively. As is seen from Figure 2, the horizontal wave forces can well be predicted  by the PCE with a maximum degree of 2, and increasing the maximum degree up to 5 can  further improve the prediction accuracy. However, for this particular case, the PCE with  a maximum degree higher than 6 does not necessarily result in a better generalization  ability,  in  that  more  samples  might  be  required  to  accommodate  the  dramatically  in‐ creased number of terms in PCE. This argument is also verified from the results of assess‐ ment metrics (R and RMSE) shown in Table 2, where the R of PCE with degree 7 (R =  0.9855) is even smaller than that with degree 2 (R = 0.9943) and the RMSE of PCE with  degree 7 is the largest among the investigated degrees. Although the performance of PCE  for vertical wave forces prediction is slightly worse than that for horizontal wave forces  prediction, as shown in Figure 3 and Table 3, the overall trend of the prediction accuracy  variation is similar to that observed in Figure 2 and Table 2, except that the optimal PCE  degree is 6 for vertical forces prediction.  Moreover, it is noted that the prediction performance of PCE on the horizontal wave  force is better than that on the vertical force. This might be because impinging force in‐ duced by the entrapped air underneath the bridge deck makes the relationship between  the input parameters and vertical wave force more complicated. A feasible way to im‐ prove the prediction accuracy on the vertical wave force is using more samples with dif‐ ferent wave scenarios, albeit this will require more effort in data preparation.  Infrastructures 2021, 6, 170  8 of 13         Figure 2. Correlation between the predicted horizontal wave forces using PCE with different degrees and the true ones in  the test data set.            Figure 3. Correlation between the predicted vertical wave forces using PCE with different degrees and the true ones in  the test data set.  Infrastructures 2021, 6, 170  9 of 13  Table 2. Variations of R and RMSE with the PCE degrees for horizontal wave forces prediction.  PCE Degree  2  3  4  5  6  7  R  0.9943  0.9945  0.9953  0.9963  0.9955  0.9855  RMSE⁄F   5.63%  5.60%  5.28%  4.58%  5.02%  8.19%  Table 3. Variations of R and RMSE with the PCE degrees for vertical wave forces prediction.  PCE Degree  2  3  4  5  6  7  R  0.9630  0.9846  0.9838  0.9850  0.9865  0.9793  RMSE⁄F   8.12%  5.40%  5.48%  5.31%  4.92%  6.08%  Note: F  and F  are respectively the mean value of the horizontal wave force and vertical  _ _ force in the data set.  The prediction results using the proposed hybrid surrogate model is shown in Figure  4, where the optimal PCE degree for horizontal forces is found to be 2 and that for vertical  forces is found to be 3. Although the maximum PCE degrees used in the hybrid model are  lower than the optimal degrees identified in the pure PCE model (degree 5 for horizontal  wave forces and degree 6 for vertical wave forces), the prediction performance of the hy‐ brid model is superior to the optimal PCE for both horizontal and vertical wave forces.  Specifically,  for  the  horizontal  wave  forces  prediction,  the  R  and  RMSE  of  the  hybrid  model are found to be 0.9975 and 3.70%, respectively; and these two values are found to  be 0.9910 and 4.00% for the vertical wave forces prediction. Moreover, the results of the  optimal ANN reported in [32] are also illustrated here for comparison purposes, as shown  in Figure 5. Obviously, the proposed hybrid model exhibits better performance than the  optimal ANN for horizontal wave forces prediction, and comparable accuracy is achieved  in predicting the vertical forces for both models. Overall, the results verify the effective‐ ness of the error correction term in the proposed hybrid model to reduce the prediction  error made by the PCE. In addition, it should be noted that the proposed hybrid model is  easily implementable, without needing to tune numerous hyper‐parameters and model  structures as required in the ANN.  Figure 4. Correlation between the predicted wave forces using the proposed hybrid surrogate model  and the true ones in the test data set.  Infrastructures 2021, 6, 170  10 of 13  Figure 5. Correlation between the predicted wave forces using the optimal ANN and the true ones  in the test data set.  With the availability of the trained hybrid model, the predictive equations for the  horizontal wave forces and vertical forces are obtained as follows:  𝐹 𝜃 𝛹 𝑑 ,𝐻 ,𝑍 𝜀 ̂ 𝜽 𝝍 𝜀 ̂   𝜶 𝜶 𝜶∈ℕ ,|𝜶 | 𝐹 𝜃 𝛹 𝑑 ,𝐻 ,𝑍 𝜀 ̂ 𝜽 𝝍 𝜀 ̂   𝜶 𝜶 𝜶∈ℕ ,|𝜶 | where  − 3.0658 − 0.1475 0.6793 − 5.6262 − 2.3923 0.4634 − 0.8147 8.4055]; 𝜃  = [12.9545 9.3748    −  154.2690  122.7512  1.0402 −58.9573  25.5081  9.7797 −  8.3700  𝜃  =  [42.9168  28.9734  88.1522 0.8524 − 54.7363 11.3018 − 3.4960 1.0044 1.2990 114.0724 − 0.0104 − 68.5711 0.5590];  𝜀 ̂  = −0.076𝑟 𝑥 𝑅 𝒴 𝜃 𝜓 0.076 ;  𝜀 ̂  = 7.1368𝑟 𝑥 𝑅 𝒴 𝜃 𝜓 7.1368 ;  𝜓  = 𝜓 ,𝜓 ,𝜓 ,𝜓 ,𝜓 ,𝜓 ,𝜓 ,𝜓 ,𝜓 ,𝜓 .  , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , 𝜓  = 𝜓 ,𝜓 ,𝜓 ,𝜓 ,𝜓 ,𝜓 ,𝜓 ,𝜓 ,𝜓 ,𝜓 ,𝜓 .  , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , 𝜓 1;  , , 𝜓 , 𝜓 , 𝜓 ;  , , , , , , √ √ √ 𝜓  =  , 𝜓  =  , 𝜓  =  ;  , , , , , , √ √ √ 𝜓  =  , 𝜓  =  , 𝜓  =  ;  , , , , , , √ √ √ √ √ √ 𝜓  =  , 𝜓  =  , 𝜓  =  ;  , , , , , , √ √ √ 𝜓  =  , 𝜓  =  , 𝜓  =  ;  , , , , , , √ √ √ √ √ √ 𝜓  =  , 𝜓  =  , 𝜓  =  ;  , , , , , , √ √ √ √ √ √ 𝜓  =  .  , , √ √ √ 𝑋 𝑑 5 1 0.4706∗𝑑 3.353;  𝑋 𝑍 2.7 1 0.2899∗𝑍 1.7826;  . . 𝑋 𝐻 0.87 1 0.939∗𝐻 1.8169;    Infrastructures 2021, 6, 170  11 of 13  4. Conclusions  To facilitate the establishment of the probabilistic model for quantifying the vulner‐ ability of coastal bridges to natural hazards and support the associated risk assessment  and mitigation activities, a hybrid surrogate model is proposed for efficient and accurate  prediction of the solitary wave forces acting on coastal bridge decks and the correspond‐ ing predictive equations are obtained from the trained model. Unlike traditional surrogate  models, this hybrid model includes an error correction term to reduce the prediction error  from the main predictor. Specifically,  the regression‐type  polynomial  chaos  expansion  (PCE) is employed as the main predictor to capture the global feature of the computational  model, whereas the interpolation‐type Kriging is adopted to capture the local variations  of the prediction error from the PCE. The prediction of wave forces on a typical bridge  deck‐wave interaction model is carried out and compared with other methods to demon‐ strate the effectiveness of the hybrid surrogate model. According to the obtained results,  the following conclusions can be drawn:  1. The comparison among the predictive results of the PCE, the hybrid model, and those  from the ANN indicates the enhanced performance of the proposed method. In other  words, this hybrid model can capture the underlying physical complexities in the  bridge deck‐wave interaction, and can thus be used to replace the original time‐con‐ suming  CFD  models  for  the  wave  forces  prediction  and  the  associated  life‐cycle‐ based probabilistic modeling.  2. The use of PCE and Kriging in this study offers several desirable advantages, e.g., the  number of tuning parameters can be relatively small. In other words, only the maxi‐ mum polynomial degree 𝑝  needs to be tuned in the PCE, enabling the easy imple‐ mentation of this approach. Moreover, the time required to establish the PCE and  Kriging is only a few seconds on a standard laptop, making the prediction of wave  forces rather efficient. These features distinguish the proposed hybrid model from  other well‐known machine learning approaches such as ANNs, which are known to  be highly sensitive to their hyper‐parameters and require an appropriate and gener‐ ally cumbersome calibration procedure.  3. The prediction performance of PCE on the horizontal wave force is better than that  on  the  vertical  force.  This  might  be  because  impinging  force  induced  by  the  en‐ trapped air underneath the bridge deck makes the relationship between the input  parameters and vertical wave force more complicated. A feasible way to improve the  prediction accuracy on the vertical wave force is using more samples with different  wave scenarios, albeit this will require more effort in data preparation.  The limitations of the current study and future work are as follows:  1. In the proposed hybrid model, only the PCE is used as the main predictor. However,  this choice may not be appropriate when the number of training data is small, espe‐ cially for engineering cases with many input parameters. Thus, the use of other ef‐ fective surrogate models (e.g., support vector regression, radial basis function) or en‐ semble models as the main predictor may further enhance the applicability of the  hybrid model.  2. Since the training data in the engineering case is predefined, the number of samples  in the data set might be too large or too small for the problem at hand, which could  jeopardize the overall performance of the established surrogate model. Thus, the use  of an adaptive algorithm that sequentially adds training samples to refine the surro‐ gate model is a topic worth further exploring.  Author Contributions: Conceptualization, J.W.; methodology, J.W. and S.X.; software, J.W.; valida‐ tion, J.W., S.X., and G.X.; formal analysis, J.W. and S.X.; investigation, J.W. and S.X.; resources, G.X.;  data curation, J.W. and G.X.; writing—original draft preparation, J.W. and S.X.; writing—review  and editing, G.X.; visualization, J.W.; supervision, G.X.; project administration, G.X.; funding acqui‐ sition, G.X. All authors have read and agreed to the published version of the manuscript.  Infrastructures 2021, 6, 170  12 of 13  Funding: This research was funded by NSFC, grant number 52078425.  Institutional Review Board Statement: Not applicable.  Informed Consent Statement: Not applicable.  Data Availability Statement: The details of the proposed methodology and of the specific values of  the parameters considered have been provided in the paper. Hence, we are confident that the results  can be reproduced. Readers interested in the source code are encouraged to contact the authors by  email.  Acknowledgments: Constructive comments from the anonymous reviewers are highly acknowl‐ edged.  Conflicts of Interest: The authors declare no conflict of interest. The funders had no role in the  design of the study; in the collection, analyses, or interpretation of data; in the writing of the manu‐ script, or in the decision to publish the results.  References  1. Moideen, R.; Behera, M.R.; Kamath, A.; Bihs, H. Effect of Girder Spacing and Depth on the Solitary Wave Impact on Coastal  Bridge Deck for Different Airgaps. J. Mar. Sci. Eng. 2019, 7, 140. https://doi.org/10.3390/jmse7050140.  2. Okeil, A.M.; Cai, C.S. Survey of Short‐ and Medium‐Span Bridge Damage Induced by Hurricane Katrina. J. Bridg. Eng. 2008, 13,  377–387. https://doi.org/10.1061/(asce)1084‐0702(2008)13:4(377).  3. Padgett, J.; Desroches, R.; Nielson, B.; Yashinsky, M.; Kwon, O.‐S.; Burdette, N.; Tavera, E. Bridge Damage and Repair Costs  from Hurricane Katrina. J. Bridg. Eng. 2008, 13, 6–14. https://doi.org/10.1061/(asce)1084‐0702(2008)13:1(6).  4. Xu, G.; Cai, F.C.S.; Chen, Q. Countermeasure of Air Venting Holes in the Bridge Deck–Wave Interaction under Solitary Waves.  J. Perform. Constr. Facil. 2017, 31, 04016071. https://doi.org/10.1061/(asce)cf.1943‐5509.0000937.  5. Chen, X.; Chen, Z.; Xu, G.; Zhuo, X.; Deng, Q. Review of wave forces on bridge decks with experimental and numerical methods.  Adv. Bridg. Eng. 2021, 2, 1–24. https://doi.org/10.1186/s43251‐020‐00022‐7.  6. Xu, G.; Cai, C.S.; Han, Y. Investigating the Characteristics of the Solitary Wave‐Induced Forces on Coastal Twin Bridge Decks.  J. Perform. Constr. Facil. 2016, 30, 04015076. https://doi.org/10.1061/(asce)cf.1943‐5509.0000821.  7. Xu, G.; Cai, C.S.; Hu, P.; Dong, Z. Component Level–Based Assessment of the Solitary Wave Forces on a Typical Coastal Bridge  Deck  and  the  Countermeasure  of  Air  Venting  Holes.  Pract.  Period.  Struct.  Des.  Constr.  2016,  21,  04016012.  https://doi.org/10.1061/(asce)sc.1943‐5576.0000291.  8. Wang, J.; Li, C.; Xu, G.; Li, Y.; Kareem, A. Efficient structural reliability analysis based on adaptive Bayesian support vector  regression. Comput. Methods Appl. Mech. Eng. 2021, 387, 114172. https://doi.org/10.1016/j.cma.2021.114172.  9. Crespi, P.; Zucca, M.; Longarini, N.; Giordano, N. Seismic Assessment of Six Typologies of Existing RC Bridges. Infrastructures  2020, 5, 52. https://doi.org/10.3390/infrastructures5060052.  10. Crespi, P.; Zucca, M.; Valente, M. On the collapse evaluation of existing RC bridges exposed to corrosion under horizontal loads.  Eng. Fail. Anal. 2020, 116, 104727. https://doi.org/10.1016/j.engfailanal.2020.104727.  11. Novak, M.S.; Lazarevic, D.; Atalic, J.; Uros, M. Influence of Multiple‐Support Excitation on Seismic Response of Reinforced  Concrete Arch Bridges. Appl. Sci. 2019, 10, 17. https://doi.org/10.3390/app10010017.  12. Simon, J.; Bracci, J.M.; Gardoni, P. Seismic Response and Fragility of Deteriorated Reinforced Concrete Bridges. J. Struct. Eng.  2010, 136, 1273–1281. https://doi.org/10.1061/(asce)st.1943‐541x.0000220.  13. Fang, Q.; Hong, R.; Guo, A.; Li, H. Experimental Investigation of Wave Forces on Coastal Bridge Decks Subjected to Oblique  Wave Attack. J. Bridg. Eng. 2019, 24, 04019011. https://doi.org/10.1061/(asce)be.1943‐5592.0001373.  14. Huang, B.; Zhu, B.; Cui, S.; Duan, L.; Zhang, J. Experimental and numerical modelling of wave forces on coastal bridge super‐ structures with box girders, Part I: Regular waves. Ocean Eng. 2018, 149, 53–77. https://doi.org/10.1016/j.oceaneng.2017.11.046.  15. Xu, G.; Chen, Q.; Zhu, L.; Chakrabarti, A. Characteristics of the Wave Loads on Coastal Low‐Lying Twin‐Deck Bridges. J. Per‐ form. Constr. Facil. 2018, 32, 04017132. https://doi.org/10.1061/(asce)cf.1943‐5509.0001128.  16. Xu, G.; Cai, C.S. Wave Forces on Biloxi Bay Bridge Decks with Inclinations under Solitary Waves. J. Perform. Constr. Facil. 2015,  29, 04014150. https://doi.org/10.1061/(asce)cf.1943‐5509.0000644.  17. Yuan, P.; Xu, G.; Chen, Q.; Cai, C.S. Framework of Practical Performance Evaluation and Concept of Interface Design for Bridge  Deck–Wave Interaction. J. Bridg. Eng. 2018, 23, 04018048. https://doi.org/10.1061/(asce)be.1943‐5592.0001260.  18. Xu, G.; Cai, C. Numerical simulations of lateral restraining stiffness effect on bridge deck–wave interaction under solitary waves.  Eng. Struct. 2015, 101, 337–351. https://doi.org/10.1016/j.engstruct.2015.07.031.  19. Sarfaraz, M.; Pak, A. SPH numerical simulation of tsunami wave forces impinged on bridge superstructures. Coast. Eng. 2017,  121, 145–157. https://doi.org/10.1016/j.coastaleng.2016.12.005.  20. Yang, Z.; Huang, B.; Zhu, B.; Zhang, J.; Kang, A. Comparative Study of Tsunami‐Like Wave‐Induced Forces on Medium‐Scale  Models of Box Girder and T‐Girder Bridges. J. Bridg. Eng. 2021, 26, 04020125. https://doi.org/10.1061/(asce)be.1943‐5592.0001671.  21. Zhao, E.; Sun, J.; Tang, Y.; Mu, L.; Jiang, H. Numerical investigation of tsunami wave impacts on different coastal bridge decks  using immersed boundary method. Ocean Eng. 2020, 201, 107132. https://doi.org/10.1016/j.oceaneng.2020.107132.  Infrastructures 2021, 6, 170  13 of 13  22. Roy, S.; Debnath, K.; Mazumder, B.S. Distribution of turbulent eddies behind a monopile for vortex lock‐on condition due to  wave current combined flow. Coast. Eng. 2018, 131, 70–87. https://doi.org/10.1016/j.coastaleng.2017.10.010.  23. Sony, S.; Sadhu, A. Synchrosqueezing transform‐based identification of time‐varying structural systems using multi‐sensor data.  J. Sound Vib. 2020, 486, 115576. https://doi.org/10.1016/j.jsv.2020.115576.  24. Arul, M.; Kareem, A. Applications of shapelet transform to time series classification of earthquake, wind and wave data. Eng.  Struct. 2020, 228, 111564. https://doi.org/10.1016/j.engstruct.2020.111564.  25. Fang, Q.; Zhou, J.; Zhou, P. Spectral Analysis and Prediction of the Wave Forces Acting on Coastal Bridge Decks. KSCE J. Civ.  Eng. 2021, 25, 1826–1836. https://doi.org/10.1007/s12205‐021‐1334‐9.  26. Cheng, Z.; Gao, Z.; Moan, T. Hydrodynamic load modeling and analysis of a floating bridge in homogeneous wave conditions.  Mar. Struct. 2018, 59, 122–141. https://doi.org/10.1016/j.marstruc.2018.01.007.  27. Deng,  Y.;  Yang,  J.;  Zhao,  W.;  Li,  X.;  Xiao,  L.  Freak  wave  forces  on  a  vertical  cylinder.  Coast.  Eng.  2016,  114,  9–18.  https://doi.org/10.1016/j.coastaleng.2016.03.007.  28. Ataei, N.; Padgett, J.E. Fragility surrogate models for coastal bridges in hurricane prone zones. Eng. Struct. 2015, 103, 203–213.  https://doi.org/10.1016/j.engstruct.2015.07.002.  29. Pourzangbar, A.; Brocchini, M.; Saber, A.; Mahjoobi, J.; Mirzaaghasi, M.; Barzegar, M. Prediction of scour depth at breakwaters  due  to  non‐breaking  waves  using  machine  learning  approaches.  Appl.  Ocean  Res.  2017,  63,  120–128.  https://doi.org/10.1016/j.apor.2017.01.012.  30. Brunton, S.L.; Noack, B.R.; Koumoutsakos, P. Machine Learning for Fluid Mechanics. Annu. Rev. Fluid Mech. 2020, 52, 477–508.  https://doi.org/10.1146/annurev‐fluid‐010719‐060214.  31. Pitchforth, D.; Rogers, T.; Tygesen, U.; Cross, E. Grey‐box models for wave loading prediction. Mech. Syst. Signal Process. 2021,  159, 107741. https://doi.org/10.1016/j.ymssp.2021.107741.  32. Bonakdar, L.; Oumeraci, H.; Etemad‐Shahidi, A. Wave load formulae for prediction of wave‐induced forces on a slender pile  within pile groups. Coast. Eng. 2015, 102, 49–68. https://doi.org/10.1016/j.coastaleng.2015.05.003.  33. Mazinani, I.; Ismail, Z.B.; Shamshirband, S.; Hashim, A.M.; Mansourvar, M.; Zalnezhad, E. Estimation of Tsunami Bore Forces  on a Coastal Bridge Using an Extreme Learning Machine. Entropy 2016, 18, 167. https://doi.org/10.3390/e18050167.  34. Yu, E.; Wei, H.; Han, Y.; Hu, P.; Xu, G. Application of time series prediction techniques for coastal bridge engineering. Adv.  Bridg. Eng. 2021, 2, 1–18. https://doi.org/10.1186/s43251‐020‐00025‐4.  35. Pena, B.; Huang, L. Wave‐GAN: A deep learning approach for the prediction of nonlinear regular wave loads and run‐up on a  fixed cylinder. Coast. Eng. 2021, 167, 103902. https://doi.org/10.1016/j.coastaleng.2021.103902.  36. Xu, G.; Chen, Q.; Chen, J. Prediction of Solitary Wave Forces on Coastal Bridge Decks Using Artificial Neural Networks. J. Bridg.  Eng. 2018, 23, 04018023. https://doi.org/10.1061/(asce)be.1943‐5592.0001215.  37. Zhu, D.; Li, Y.; Dong, Y. Reliability‐based retrofit assessment of coastal bridges subjected to wave forces using 3D CFD simula‐ tion and metamodeling. Civ. Eng. Environ. Syst. 2021, 38, 59–83. https://doi.org/10.1080/10286608.2021.1895126.  38. Fang, C.; Tang, H.; Li, Y.; Zhang, J. Stochastic response of a cable‐stayed bridge under non‐stationary winds and waves using  different surrogate models. Ocean Eng. 2020, 199, 106967. https://doi.org/10.1016/j.oceaneng.2020.106967.  39. Xiu, D.; Karniadakis, G.E. The Wiener‐Askey Polynomial Chaos for Stochastic Differential Equations. SIAM J. Sci. Comput. 2002,  24, 619–644. https://doi.org/10.21236/ada460654.  40. Hosder, S.; Walters, R.W.; Balch, M. Michael Point‐collocation nonintrusive polynomial chaos method for sto‐chastic computa‐ tional fluid dynamics. AIAA J. 2010, 48, 2721–2730.  41. Hosder, S.; Walters, R.; Perez, R. A non‐intrusive polynomial chaos method for uncertainty propagation in CFD simulations. In  Proceedings  of  the  44th  AIAA  Aerospace  Sciences  Meeting  and  Exhibit,  Reno,  NV,  USA,  2006,  9–12  January  2006.  https://doi.org/10.2514/6.2006‐891.  42. Torre, E.; Marelli, S.; Embrechts, P.; Sudret, B. Data‐driven polynomial chaos expansion for machine learning regression. J.  Comput. Phys. 2019, 388, 601–623. https://doi.org/10.1016/j.jcp.2019.03.039.  43. Blatman, G.; Sudret, B. Adaptive sparse polynomial chaos expansion based on least angle regression. J. Comput. Phys. 2011, 230,  2345–2367. https://doi.org/10.1016/j.jcp.2010.12.021.  44. Marelli, S.; Sudret, B. UQLab User Manual—Polynomial Chaos Expansions. In Report UQLab‐V0.9‐104; Chair of Risk, Safety &  Uncertainty Quantification; ETH Zürich: Zürich, Switzerland, 2015. https://doi.org/10.13140/RG.2.1.3778.7366.  45. Lataniotis, C.; Marelli, S.; Sudret, B. UQLAB User Manual—Kriging (Gaussian Process Modelling); Chair of Risk, Safety & Uncer‐ tainty Quantification; ETH Zürich: Zürich, Switzerland, 2015. https://doi.org/10.13140/RG.2.1.4827.3120.  46. Sheppard, D.M.; Marin, J. Wave Loading on Bridge Decks; Final Report Submitted to Florida Department of Transportation; Flor‐ ida Department of Transportation: Tallahassee, FL, USA, 2009. 

Journal

InfrastructuresMultidisciplinary Digital Publishing Institute

Published: Dec 1, 2021

Keywords: hybrid surrogate model; wave force prediction; coastal bridges; risk assessment; life-cycle structural design and analysis

There are no references for this article.