Get 20M+ Full-Text Papers For Less Than $1.50/day. Start a 14-Day Trial for You or Your Team.

Learn More →

Possibility theory in hydrology and water management

Possibility theory in hydrology and water management J. Hydrol. Hydromech., 58, 2010, 2, 73­87 DOI: 10.2478/v10098-010-0008-y TEORIE MOZNOSTI V HYDROLOGII A VODNÍM HOSPODÁSTVÍ KAREL NACHÁZEL, PAVEL FOSUMPAUR CVUT, Fakulta stavební, Thákurova 7, 166 29 Praha 6, Ceská republika; Mailto: fosumpaur@fsv.cvut.cz Studie uvádí do problematiky teorie moznosti, jejíz základy polozil Zadeh (1978) s vyuzitím teorie fuzzy mnozin, a objasuje její základní pojmy a principy. Cílem studie bylo ovit metodické postupy teorie moznosti na aktuálních vodohospodáských úlohách. V pípadové studii se zkoumaly moznosti soucasného nastání nkolika pícinných faktor hydrologických situací a jejich dopady na vodní zdroje ve zmnných klimatických podmínkách. Ve druhé úloze byly posuzovány dopady klimatické zmny na zásobní funkci nádrze Sance v povodí Odry. V závru se uvádjí problémy otevené pro dalsí výzkum. KLÍCOVÁ SLOVA: teorie moznosti, teorie fuzzy mnozin, funkce píslusnosti, fuzzy regulátor, míra moznosti, distribucní funkce moznosti, klimatická zmna, klimatický model, nádrz. Karel Nacházel, Pavel Fosumpaur: POSSIBILITY THEORY IN HYDROLOGY AND WATER MANAGEMENT. J. Hydrol. Hydromech. 58, 2010, 2; 40 Refs., 8 Figs, 1 Tab. This study introduces the possibility theory, the foundations of which were laid by Zadeh (1978), using the fuzzy sets theory, and it clarifies its basic concepts and principles. The study was aimed to verify methodological procedures of the possibility theory in current water management tasks. The case study examined possibilities of simultaneous occurrence of several causal factors of hydrological situations, and their impacts on water sources in changed climatic conditions. The second task was focused on the assessment of effects of climatic change on the storage function of the Sance reservoir in the Odra River catchment. In the end, problems open up for further research are outlined. KEY WORDS: Possibility Theory, Fuzzy Sets Theory, Membership Function, Fuzzy Controller, Possibility Measure, Possibility Distribution Function, Climatic Change, Climatic Model, Reservoir. 1. Úvod Teorie moznosti vznikla na konci 70. let minulého století jako jedna z dalsích teorií neurcitosti, která vycházela z teorie fuzzy mnozin. Jejím cílem je odhad nastání rzných neurcitých jev, a to i v pípad, kdy je lze popsat jen lingvisticky. Do nasí literatury pronikala s jistým casovým odstupem, práce se pitom orientovaly spíse na výklad základních teoretických pojm bez sirsí praktické aplikace. Pro vodní hospodáství je tato nová teorie pitazlivá pedevsím tím, ze umozuje formalizovat neurcité úlohy, které byly dosud prakticky neesitelné, a esit je podle pijatých pedpoklad s jistou mírou spolehlivosti. V dosavadním vývoji teorie moznosti lze nalézt cetné souvislosti s teorií fuzzy mnozin, teorií informace a dalsími systémovými disciplínami. Ve vodním hospodáství si pipomeme jen krátce zacátek rozvíjení vodohospodáských soustav od pelomu 60. a 70. let minulého století, kdy bylo teba pipravit podklady pro nové vydání Smrného vodohospodáského plánu. K nejdlezitjsím úkolm výzkumu patily tehdy základní otázky obecné teorie systém, matematického modelování, simulacní a optimalizacní techniky. Tento rozvoj pinesl hydrologii potebu rychle rozpracovat na podklad teorie náhodných proces nové modely pro generování hydrologických ad, a to jak v izolovaných stanicích, tak i v jejich systému a pipravit k tomu i nezbytný software. Uvedené úkoly se zprvu esily na souborech reálných dat, metodické postupy teorie fuzzy mnozin tehdy nebyly jest k dispozici. Základy teorie fuzzy mnozin, která umozuje formalizovat popis vágního svta, polozil Lotfi Zadeh v roce 1965 originálním clánkem (Zadeh, 1965). V nasem vodním hospodáství se zacala vnovat pozornost teorii fuzzy mnozin az v 80. letech minulého století. Výzkum tehdy ukázal nové moznosti esení vodohospodáských úloh, kde se mohou vyskytovat krom reálných dat téz vágn popsané veliciny. Protoze vsak i 73 v této teorii se nelze obejít bez klasické teorie mnozin (Georg Cantor, 1845­1918), uzívají se pro strucné rozlisení obou typ mnozin termíny ,,ostré" (píp. ,,crisp") a ,,fuzzy" veliciny. Pro teorii fuzzy mnozin je pitom píznacná ada operací, které umozují pracovat se soubory mnozin a esit slozitjsí úlohy. Pozoruhodný je rychlý prnik teorie fuzzy mnozin i do jiných obor. Neopominutelné je její siroké vyuzití v teorii ízení, kde se zacaly rozvíjet fuzzy dynamické systémy, fuzzy regulátory a fuzzy procesory, vyuzívané v rzných prmyslových výrobcích, zalozených na fuzzy logice (Japonsko, Cína). S dalsí originální myslenkou pisel Lotfi Zadeh v roce 1978, kdy publikoval základy nové teorie moznosti (theory of possibility). Tato teorie vychází z pvodní teorie fuzzy mnozin a rozsiuje ji o esení moznosti nastání neurcitých jev, které nelze zachytit pomocí pravdpodobnosti. Jde tu o dalsí druh neurcitosti, která se zkoumá tak, ze prbh funkce píslusnosti se ztotozní s rozlozením moznosti (posibilistickým rozlozením) a odhadne se moznost nastání hledané hodnoty. 1) Pro vodní hospodáství je tu lákavý pedevsím odhad nastání extrémních hodnot hydrologických velicin, pro klimatologii pak nap. nastání konkrétního odvozeného typu klimatického scénáe, pro operativní ízení vodních zdroj nastání sledovaných jev (srázky, prtoky a j.), a to v celém systému. Vsimnme si, ze v tchto úlohách selhává odhad pravdpodobnosti, pro kterou nám chybjí data. Teorii moznosti si vsak nelze pedstavovat jako vselék, který zázracn vyesí vsechny problémy ve vodním hospodáství, které pramení z neurcité povahy nkterých velicin, z jejich nejisté predikce nebo z nejistých ci chybjících výchozích podklad nezbytných pro algoritmizaci úlohy. O slozitosti této otázky jsme diskutovali uz díve, teba v píspvku (Nacházel, 2005), kde za výchozí pícinu neurcitosti jsme oznacili nedostatek potebné informace. Teorie moznosti se zatím v nasí vodohospodáské literatue neobjevila. Její pocátky v zahranicí souvisely s výzkumem metodických mozností odhadu výskytu a popisu extrémních jev s katastrofálními následky. Cíl nasí studie je skromnjsí. Zaadili jsme do ní krátký pehled me1) todických princip teorie fuzzy mnozin, teorie informace a teorie moznosti, které spolu souvisejí a ctenái ho mohou vyuzít pi hlubsím studiu speciální literatury i v aplikacích. V pípadové studii jsme pak esili dv související úlohy: 1. moznosti nastání nkolika pícinných faktor hydrologických situací v povodí Labe, 2. dopady klimatické zmny na nádrz Sance v povodí Odry. 2. Dosavadní esení problematiky Teorie moznosti má více nez 30-letou historii, která tsn souvisí s vývojem chápání neurcitosti v pírodních, technických i spolecenských vdách. K jejímu rozvoji pispívalo studium formalizace rzných rozpoznaných typ neurcitosti a úsilí o postupné zobecování teorie informace. Teorie moznosti má nejtsnjsí vztah k teorii fuzzy mnozin, jejíz základy polozil v roce 1965 Zadeh. O 13 let pozdji ukázal vyuzití teorie fuzzy mnozin i v nové teorii moznosti. Mení samotného mnozství neurcitosti se vsak zacalo zkoumat díve. Z dostupné literatury lze usuzovat, ze jako první se touto otázkou zabýval Hartley (1928), který odvodil pro mnozství neurcitosti výraz (funkcionál) na podklad mnoziny mozných alternativ z jejich celkového poctu ve tvaru H(rE) = c logbE, (1) kde H(rE) znamená neurcitost vsech mozných alternativ rE (x) a symbol E pak znamená jejich soucet rE (x). Hartley doporucil pro konstanty b, c hodnoty b = 2, c = 1. Neurcitost se pak mí v bitech, které jsou nejobvyklejsí jednotkou (Klir, 2003). Za dalsí mezník ve vývoji teorie informace lze povazovat práci Shannona z roku 1948, v níz odvodil na statistickém základ základní výraz pro entropii ve tvaru (Shannon, 1948) H(Xi) = ­ P(xi) log2P(xi), i = 1, 2, ..., n. 1 n (2) Prof.George J. Klir z University of New York, Binghamton, USA, rozvíjí dnes tzv. zobecnnou teorii informace, jejímz cílem jsou krom teorie moznosti i dalsí typy neurcitosti, a ukazuje, ze pro kazdý typ lze rozpracovat odpovídající formalizaci. Podrobnji nap. Klir, 2003. Prbh logaritmické funkce (pi základu 2) je na obr. 1. V teorii fuzzy mnozin se casto vyskytuje termín ,,fuzzy míra", kterou se rozumí nezáporná reálná funkce, umozující zmit míru neurcitosti fuzzy mnozin. Tato míra charakterizuje nap. stupe vágnosti daného pojmu, míru nepesnosti esení nebo popisu reality a pod. Piazuje kazdé klasické (crisp) podmnozin A njaké mnoziny X císlo z intervalu [0; 1], vyjadující stupe nasí dvry, ze daný prvek z X patí do podmnoziny A. Obr. 1. Logaritmická funkce (pi základu 2) a její soucin s pravdpodobností. Fig. 1. Logarithmic funkction (for basic 2) and its product with probability. V teorii moznosti se definuje obdobn míra moznosti jako císlo z intervalu [0; 1], které vyjaduje moznost, ze promnná s hodnotami na univerzu X patí práv do A. Tuto míru lze odvodit jako suprémum funkce moznosti, která je numericky ekvivalentem funkce píslusnosti. Úlohu lze esit i pro vícerozmrné pípady. Suprémum se pak hledá z nární distribucní funkce moznosti, jejíz stupn moznosti se dostanou z kartézského soucinu jako prniky stup píslusnosti jednotlivých promnných. Tato zdánliv slozitá úloha odpovídá na otázku, jaká je moznost soucasného nastání nkolika promnných; podrobnji nap. Klir, 1985; Novák, 1990; Rektorys, 1995; Vysoký, 1997 a d.. Teorie moznosti se úspsn rozvíjela v 80. a 90. letech minulého století. V zahranicí byla vydána ada podntných píspvk a spis, které ukazují krom základních otázek i souvislosti s jinými vývojovými smry, nap. s fuzzy systémy, statistickým usuzováním, vyuzitím pocítac v rozhodovacích procesech a d. (Klir, 1985; Dubois, Prade, 1988; Driankov, Hellendorn, Reinfrank, 1996; Spott, 1999; Dubois, 2006 a d.). Cenný syntetický pohled Klira na novou zobecnnou teorii informace byl publikován téz v ceském znní (in: Maík, Stpánková, Lazanský a kol., 2003). Vsechny uvádné práce vycházejí z teorie fuzzy mnozin, do jejíz základ je nezbytné proniknout, abychom pochopili smysl novjsích postup teorie moznosti. V nasí literatue se na pelomu minulého a tohoto století rovnz objevila ada zajímavých prací, které se zabývají nejen teorií fuzzy mnozin, ale upozorují i na jiné typy neurcitosti (nap. Novák, 1990; Pokorný, 1996; Vysoký, 1997; Talasová, 2003 a j.). Moznosti esení neurcitosti povodových prtok v syntetických adách rozvíjí pvodní studie Fosumpaur, Holecek, Nacházel, 2007. V zahranicní casopisecké a konferencní literatue jsme nalezli nkolik píspvk, které se orientují hlavn na aplikace teorie moznosti na výskyt extrémních jev (srázky, prtoky) s katastrofálními následky. Zajímavý píspvek zpracovali Mujumdar a Ghosh (2008) z Indie. Vycházeli z podstaty problému ­ neurcitosti znalostí pícinných geofyzikálních proces globální zmny (neurcitosti GCM) a neurcitosti budoucích scéná. Nesoulad mezi rznými GCMs a scénái pro regionální a lokální zmny (jde tu o známé problémy downscalingu) a odhady zmny hydrologických podmínek v budoucnosti pak pivedl autory k aplikaci teorie moznosti na esení monsunových píval podle tí GCMs a dvou emisních scéná. Pro aplikaci byla zvolena eka Mahanadi v Indii. Ve výzkumu byl na modelu identifikován klesající trend kulminacních prtok, coz se potvrdilo i na historických záznamech. Tento trend autoi pisuzují zvysujícím se teplotám vzduchu. Jacquin a Shamseldin (2007) studovali vyuzití teorie moznosti pro hodnocení neurcitosti predikce pomocí srázkoodtokových model. Zkoumali souvislosti s metodologií GLUE (Generalized likelihood uncertainty estimation) a dopady neurcitosti ve struktue modelu. Ukázala vzájemné vztahy mezi mezemi neurcitosti v metod GLUE a v metod teorie moznosti. Tmto vztahm a dalsím aplikacím doporucili autoi vnovat pozornost v dalsím výzkumu. K dlezitým podkladm esení klimatické zmny a jejích dopad na hydrologický rezim patí transformace meteorologických prvk mených pro velká území (gridy) na pozadované hodnoty v regionálním nebo lokálním mítku. Tripathi a kol. (2006) esili tuto nesnadnou úlohu na pocítaci v podmínkách Indie a pro msícní krok s vyuzitím známého principu umlých neuronových sítí, kde pro vstupní vektor velicin hledali nelineární transformaci s obvyklou nejmensí ctvercovou odchylkou 75 na výstupu. Výzkum pinesl zajímavé výsledky aplikace model umlých neuronových sítí. Autoi doporucují vyuzívat pro pocítacové simulace více nez jeden globální cirkulacní model a rozlisovat simulace v rzných sezónách roku, kde se mohou projevit dopady zmny klimatu na hydrologický rezim rzným zpsobem. I kdyz se v nkterých píspvcích pímo neaplikuje metodologie teorie moznosti, pinásejí cenné podnty k esení rzných otázek neurcitosti, zejména pak zmny klimatu. Nkdy se setkáme i s otázkami, které se esily v jiných oblastech výzkumu z jiného hlediska. Píkladem mze být píspvek Augustina a kol. (2008), ve kterém se zkoumají vícerozmrné autoregresní modely s nkolika vysvtlujícími promnnými, které mají význam pícinných faktor, a to i s úvahou jejich zpozdní. Zajímavou hydrologickou studii, v níz esili otázky neurcitosti v hydrologickém modelování, zpracovali Liu a Gupta (2007). Samuel a Sivapalan (2008) zkoumali variabilitu srázkové cinnosti v Austrálii v krátkodobém i dlouhodobém mítku, vazby na klimatickou zmnu s cílem získat realistické prbhy syntetických casových ad hydrologických velicin. Wei a Hsu (2006) srovnávali manipulace na nádrzi odvozené rozhodovacími stromy, neuronovými sítmi a fuzzy modely. Ntegeka a Willems (2008) z Katolické univerzity v Leavenu (Belgie) zkoumali srázkové extrémy ve 107-leté ad ve stanici Uccle v Belgii. Srázkové intenzity zkoumali pro 10-minutové intervaly v rzných msících a úsecích dané ady. Cílem výzkumu bylo pispt k identifikaci statisticky významných trend a sezónních cykl ve srázkové cinnosti, a to ve spojení s dalsími pícinnými faktory zmny klimatu. Ukázalo se, ze vysoké srázkové extrémy se nevyskytují v case zcela náhodn, ale shlukují se. Do nasí vodohospodáské literatury teorie moznosti zatím nepronikla. Proto mzeme zatím vycházet z pvodních píspvk z oblasti teorie fuzzy mnozin. Po prkopnické práci Becváe (1981) se výzkum v dalsích letech zamil na lingvistický popis hydrologických velicin, otázky vyuzití vodních zdroj nebo ízení vodohospodáských soustav v neurcitých podmínkách, pop. i na dopady klimatické zmny na vodní zdroje (Nacházel, Penosilová, Toman, 1995; Nacházel, Penosilová, 1998; Drbal, 1999; Hladný, Nacházel, 2001 a d.). Sirsí pohled na problematiku klimatické zmny nabízí píspvek Balka (2006). Shrneme-li z dostupné literatury dosavadní výsledky rozvíjení teorie moznosti, zetelný je znacný 76 pedstih teorie ped aplikacemi. V zahranicní vodohospodáské literatue se orientují hlavn na extrémní pírodní jevy a jejich odhady. Nejvtsí potíze zpravidla zpsobuje kvantifikace pícinných faktor a odhad jejich vývoje v case. 3. Základní principy v teorii informace, teorii pravdpodobnosti, teorii fuzzy mnozin a teorii moznosti Vybrané principy tchto teorií jsou zachyceny na obr. 2. Mají ukázat jen odlisné metodické pístupy k esení neurcitých úloh. Ctenáe, kteí budou potebovat dalsí metody, odkazujeme na speciální literaturu. Teorie informace K základním úlohám v teorii informace patí kvantifikace mnozství informace v njaké zpráv. Pro takové mení informace jsme uvedli v pedchozí kapitole jednoduché výrazy. V dnesní technické praxi, zejména v regulacní technice, se esí úlohy slozitjsí, které zahrnují i více promnných. Tyto úlohy vycházejí zpravidla ze sdruzené pravdpodobnosti. Klir ve své práci (Klir, 2003) objasuje, ze rzné typy neurcitosti, které se studují v zobecnné teorii informace, mají své koeny ve dvou klasických teoriích informace. Jedna z nich je zalozena na pojmu moznost, druhá na pojmu pravdpodobnost. Vícerozmrná stední vzájemná informace (oznacovaná téz jako transmise nebo transinformace) se definuje výrazem T(Y:X1, X2, ..., Xn) = T(Y:X) = H(Y)+ + H(X) ­ H(X, Y), (3) kde T je stední vzájemná informace, X = {X1, X2, ..., Xn} ­ vstupy nebo stavy, Y ­ výstupy, H (.) ­ shannonovská entropie, H(X, Y) ­ sdruzená entropie. Rov. (3) lze pevést na tvar T(Y:X) = H(X) - H(X Y) = H(Y) - H(Y X). (4) Podrobnjsí výklad lze nalézt ve speciální literatue (Kotek, Vysoký, Zdráhal, 1990; Vysoký, 1997; Nacházel, 2003 a,b). Praktický pínos tchto metod je v tom, ze umozují nalézt nejmensí strukturu systému, která nese maximální informaci a vyloucí pitom ze souboru dat promnné, jejichz pínos je statisticky nevýznamný nebo nulový. Jinak eceno, dekompozicí se hledá subsystém, který nebude zahrnovat Obr. 2. Základní principy v teorii informace, teorii pravdpodobnosti, teorii fuzzy mnozin a teorii moznosti. Fig. 2. Basic principles in the information theory, in the probability theory, in the fuzzy sets theory and in the possibility theory; a) entropy of the mean monthly discharges in the Sance profile on the Ostravice River (period 1931­1960); b) histogram of the mean June discharges in the Sance profile on the Ostravice River (period 1931­1960); c) membership function for the linguistic value (term) "the big snow store in the river basin"; d) application of the maximum possibilistic distribution to the solution of the crisp output value of the fuzzy set using Mamdani's implication (Vysoký, 1997). zbytecné promnné. Z toho je zejmé, ze tyto metodické postupy se mohou uplatnit krom zmínné teorie ízení nap. v hydrologii pi zkoumání nejvhodnjsího modelu pícinných faktor a výsledného jevu. Z tohoto hlediska je tento pístup vhodnjsí nez klasická regresní analýza. Podrobnjsí výklad o teorii informace lze nalézt v mnoha spisech. V nasí literatue jsou dostupné nap. zmínné práce Kotka, Vysokého a Zdráhala (1990) nebo Vlcka (1994, 2003). Zobecnnou teorii informace zpracoval Klir (2003). Teorie pravdpodobnosti Teorie pravdpodobnosti se od svého vzniku v polovin 17. století rozvinula do velké síe, výsledky bádání jsou zachyceny v mnoha spisech, casopiseckých i konferencních píspvcích. Tato teorie pronikla do ady obor, významn pispla k jejich rozvoji a novým pravdpodobnostním koncepcím esení. Pravdpodobnostní metody se siroce uplatují téz ve vodním hospodáství, aplikacní oblast je rozsáhlá. Teorie pravdpodobnosti má dnes z dosud známých teorií neurcitosti nejsirsí pracovní zábr a také nejsirsí aplikace ve vodohospodáské praxi. Základním pedpokladem aplikací je dostatek spolehlivých (ostrých) dat, zadaných v jistém úseku pozorování. Pro tento výbr se odvozují statistické charakteristiky a z nich se pak odhadují neznámé parametry základního souboru. Dostupnost kvantifikovaných hodnot velicin tu má zásadní význam pro volbu metodických postup zpracování dat. Jsou-li ostré hodnoty k dispozici, pak zdrojem neurcitosti je pouze nahodilost jevu v daném úseku pozorování a pro zkoumání jeho vlastností mzeme vyuzít metody teorie pravdpodobnosti, teorie stochastických proces, statistického odhadu nebo teorie casových ad. Kvantifikované hodnoty vsak nejsou casto k dispozici (píciny tu jsou známé: mení chybí nebo není úplné a spolehlivé, sledované veliciny lze popsat pouze slovn, daný jev není mitelný dostupnými technickými prostedky a j.). K nezanedbatelným zdrojm neurcitosti patí i numerické obtíze pi algoritmizaci a programování úlohy. Vsechny tyto okolnosti mohou vyústit v nutnost aplikovat jiné nez pravdpodobnostní metody, které se dovedou vyrovnat s tímto charakterem neurcitosti. Základním kritériem pro rozlisení toho, zda prvek do klasické mnoziny patí nebo nepatí, jsou hodnoty charakteristické funkce A(X). Tuto funkci mnoziny A definovanou na univerzu X lze zapsat ve tvaru (Vysoký, 1997) A(X ) = 1 jestlize a A 0 jestlize a A (5) a zobrazuje tedy prvky univerzální mnoziny na mnozinu obsahující jen nuly a jednicky, tj. A(X){0, 1}. Teorie fuzzy mnozin K tradicním metodám analýzy neurcitosti vágn popsaných jev patí dnes pedevsím metody teorie fuzzy mnozin. Termín ,,fuzzy" nemá zatím vhodný ceský ekvivalent; pedstavujeme si pod ním mlhavost, rozmazanost ci neostrost jev, které nelze jednoznacn kvantifikovat. Pro fuzzy mnozinu oznacujeme charakteristickou funkci jako funkci píslusnosti (X) mnoziny A definované na univerzu X. Podle toho funkce píslusnosti je zobrazení (6) A : (X)[0, 1]. (7) Tento zápis chápeme tak, ze prvek zcela jist nepatí do mnoziny tehdy, jestlize funkce píslusnosti má hodnotu 0, prvek do mnoziny zcela jist patí pi hodnot funkce píslusnosti 1. U ostatních hodnot mzeme pouze usuzovat, s jakým stupnm prvek patí do píslusné mnoziny (Vysoký, 1997). Teorie fuzzy mnozin má dnes nejsirsí uplatnní patrn v teorii ízení, kde základní úlohou je návrh fuzzy regulátoru. Smyslem tohoto esení je sestavit pro ízení vsechna pravidla potebná pro spolehlivou lingvistickou aproximaci závislosti mezi vstupy, výstupy, pop. i stavy regulátoru. Jakkoliv princip regulátoru je jednoduchý (obr. 3), odvození báze pravidel mze být nárocnou matematickou i technickou úlohou, zejména pak pro rozsáhlé systémy, kterou je teba esit se zetelem k charakteru vsech regulacních zaízení na daném objektu (vodním díle). blok pak upravuje zptn na výstupu (po defuzzifikaci) normovaná data na data potebná pro rozhodování v reálných podmínkách. Inferencní mechanizmus je postup, který umozuje stanovit výstupní fuzzy mnozinu pro danou vstupní fuzzy mnozinu nebo vstupní ostrou hodnotu, a to pi zvoleném zpsobu interpretace implikace v pravidlech (Vysoký, 1997). Fuzzy regulátor lze obecn popsat rovnicí (Vysoký, 1997) u(k) = F(e(k), e(k­1), ..., e( k­), u(k ­ 1), u (k­2), ..., u(k­)), (8) která ukazuje, ze akcní velicina u(k) v k-tém kroku závisí na soucasné i pedchozích hodnotách odchylek e(k) a pedchozích hodnotách akcní veliciny u(k). Z rov. (8) lze odvodit rovnice rzných typ regulátor (regulátory P, PD, PI, PID). Teorie moznosti Dalsí výhodou teorie fuzzy mnozin je, ze se mze vyuzít pro kvantifikaci jiných druh neurcitosti, kde pravdpodobnost selhává. Píkladem mze být kategorie moznosti, kterou nelze ztotozovat s pravdpodobností (v bzném zivot nap. ekneme, ze je docela mozné, ze nás pítel slozí státnici, v odborném svt prohlásíme, ze poslední klimatický scéná je sice mozný, ale pravdpodobnost jeho nastání nelze odhadnout apod.). Nejjednodussím postupem, jak takové moznosti rzných jev nebo událostí odhadnout, je jejich ztotoznní s funkcí píslusnosti fuzzy mnoziny. Pak tzv. distribucní funkce moznosti x = x je numericky definována jako ekvivalent funkce píslusnosti F, tj. x = F . (9) Z toho plyne: moznost, ze X = u, je rovna F(u). Promnnou x(u) nazýváme stupe moznosti (possibility), který mze nabývat jakékoliv hodnoty v intervalu [0, 1]. Je zejmé, ze nejvíce nás budou zajímat hodnoty maximální (na obr. 4 je to horní strana lichobzníka s = 1). Tato maxima possibilistického rozlození se casto hledají pi esení defuzzifikované ostré hodnoty výstupní fuzzy mnoziny pro poteby ízení. Obr. 3. Základní struktura fuzzy regulátoru (Vysoký, 1997). Fig. 3. Basic structure of the fuzzy controller (Vysoký, 1997); 1 ­ controlled system, 2 ­ normalization, 3 ­ fuzzification, 4 ­ inference mechanism, 5 ­ knowledge base, 6 ­ data base, 7 ­ defuzzification, 8 ­ denormalization; y ­ output (regulated variable), w ­ requested value of the regulated variable, e ­ regulation error, u ­ regulating variable, z ­ input. Jen ve zkratce si pipomeme základní funkci jednotlivých blok fuzzy regulátoru. Fuzzifikacní blok pevádí ostrá data na fuzzy data. Defuzzifikacní blok naopak piazuje výstupní fuzzy mnozin urcitou ostrou hodnotu, kterou potebujeme pro rozhodování v reálných podmínkách. Úkolem normalizacního bloku je transformovat hodnoty mených velicin s rzným rozmrem i variacním rozptím na data v jednotném univerzu. Denormalizacní Obr. 4. Fuzzifikace a normalizace promnných v podmínkách klimatické zmny. Fig. 4. Fuzzification and normalization of the variables in the climatic change conditions. Terms: KV ­ positive big value, KN ­ positive above the average value, KS ­ positive mean value, KM ­ positive small value, KB ­ positive near zero. 1 ­ precipitation, 2 ­ discharges, 3 ­ temperature. Expressive points on the horizontal axis of the universe U mean the normalized values of the variables in the interval [0,100]. Na podklad teorie fuzzy mnozin lze odvozovat charakteristiky moznosti pro úlohy slozitjsí, zejména pro fuzzy systémy. V nasem výzkumu jsme pracovali nap. s n-árními distribucemi moznosti 2), které si lze pedstavit jako vícerozmrné charakteristiky moznosti soucasného nastání nkolika jev (nap. v extrémních hydrologických situacích nastání intenzity srázek, pedchozích srázek, teploty vzduchu a pod.). n-ární distribucní funkce je dána vztahem Pravou stranu rov. (10) mzeme podle poteby pepsat s pouzitím symboliky teorie moznosti do tvaru F (u1 ,..., un ) = A1 ( x ) (u1 ) ... An ( x ) (un ) , (11) ( A1 ( X ),..., An ( X )) (u1 ,..., un ) = F (u1 ,..., un ) , kde (u1, ..., un) U. (10) Pro ostré mnoziny X1,X2,...,Xn definujeme jejich kartézský soucin výrazem X = X1 × X2 ×... × Xn, který vyjaduje tídu uspoádaných n-tic (x1,x2,...,xn). Jakoukoliv podmnozinu tohoto soucinu oznacujeme jako n-ární relaci R(X1,X2,..., Xn) X. Nejjednodussí je binární relace, kterou tvoí uspoádané dvojice prvk (x1,x2). Pojem relace lze rozsíit na fuzzy mnoziny. Ve fuzzy relacích nelze jednoznacn rozhodnout, zda mezi danými dvma nebo více objekty existuje vztah nebo ne. Mzeme tu pouze íci, jak je daný vztah silnjsí nebo slabsí. Jestlize jsou dána univerza jednotlivých fuzzy mnozin U1, U2, ..., Un a podmnoziny v tchto univerzech A1U1, A2U2,..., AnUn, pak fuzzy relací rozumíme fuzzy mnozinu R U1× U2× ...×Un a kartézským soucinem pak výraz A1(x1)A2(x2) ...An(xn), který je funkcí píslusnosti. V teorii moznosti z nho snadno dostaneme výrazy (10), (11); podrobnji nap. Novák, 1990; Vysoký, 1997. 2) který výstiznji vyjaduje prnik stup moznosti . Tento prnik dostaneme snadno z kartézského soucinu U = U1 × ... × Un jako minimum kazdé podmnoziny (relace) min (u1, ..., un) U. Pro celkové zhodnocení stup moznosti v prostoru se zpravidla doporucuje jejich geometrické zobrazení. To je vsak omezeno nasím tírozmrným prostorem. Proto je teba kombinovat tírozmrné zobrazení s dalsími postupy. Uz samotné tírozmrné zobrazení vsak mze nkdy vést az k bizarním plochám, které dobe ukazují slozitost psobení pícinných faktor pi jejich rzných kombinacích. Druhou dlezitou okolností je tu fyzikální nerealita nkterých kombinací faktor, které mohou vyplynout z mechanické konstrukce kartézských soucin. Tyto nereálné pípady je teba z dalsích úvah vyloucit. Obdobn lze odvodit marginální distribucní funkce moznosti nebo podmínné distribucní funkce moznosti (Zadeh, 1978). 4. Pípadová studie Pro pípadovou studii jsme vybrali zajímavé vícerozmrné úlohy, které esí moznosti soucasného nastání nkolika pícinných faktor odtokového procesu v podmínkách klimatické zmny v povodí Labe. Cílem studie bylo vyhodnotit vsechny kombinace hodnot tchto faktor a ukázat pedevsím nebezpecné výskyty jejich nejvtsích hodnot. Podkladem esení byly stední msícní výsky odtoku, teploty vzduchu a srázky, odhadované pro období 2071­2100 ve studiích VÚV TGM, v.v.i., Praha a VRV Praha, a to pro scénáe A2 a B2. Tyto podkladové materiály byly zpracovány pro poteby celkového hodnocení bilancních zmn v hlavních povodích Cech a Moravy a byly porovnány s pedpokládaným pvodním stavem klimatu (Fridrichová a kol, 2008; Hanel, 2007; Novický a kol., 2008). Dalsím podkladem byla studie stavební fakulty CVUT v Praze, která pipravila pro esení dopadu klimatu syntetické prtokové ady ve vybraných profilech povodí Odry (Fosumpaur, Snebergerová, 2007). Uvedené podklady vycházejí z doporucení Mezivládního panelu pro klimatickou zmnu, kde systém scéná má ctyi hlavní skupiny oznacené jako A1, B1, A2, a B2. Ovlivnné prtokové ady byly generovány za pedpokladu varianty minimálního ovlivnní (regionální klimatický model RCAO + optimistický emisní scéná B2) a varianty maximálního ovlivnní (regionální klimatický model HIRHAM + pesimistický scéná A2). Zpracování ovlivnných dat pak postupovalo v nasí studii v zásad podle metodiky obvyklé pro esení n-árních distribucí moznosti a vyhledání jejich extrémních hodnot. Tato úloha tak odpovídá na otázku, jaká je (zpravidla nejvtsí) moznost soucasného nastání nkolika velicin, definovaných na píslusných univerzech. K tomuto esení je teba odvodit kartézské souciny a prniky fuzzy mnozin (rov. (10), (11)). Posledním krokem bylo geometrické zobrazení vsech mr moznosti. Tento postup tak pipomíná navrhování fuzzy regulátor, které je vsak sirsí vzhledem k pozadavkm ízení o defuzzifikacní a denormalizacní bloky, které v nasem pípad odpadly. Píklad fuzzifikace a normalizace pro klimatické zmny RCAO-A2 a RCAO-B2 v povodí Labe po Dcín je na obr. 4. Smyslem fuzzifikacního bloku je pevést daná ostrá data na fuzzy data. Literatura doporucuje jako jeden z nejjednodussích typ funkci píslusnosti trojúhelníkového tvaru, pop. Lfunkci píslusnosti pro krajní hodnoty univerza. 80 Dlezitým pozadavkem tu je pokrytí univerza jednotlivých fuzzy mnozin, které by mlo obsáhnout celé univerzum beze zbytku. Z toho vyplývá, ze zádný bod by neml mít stupe píslusnosti 0. Stupe pokrytí se zpravidla volí 0,5 (Vysoký, 1997). Smyslem normalizace je pevést vsechny promnné, které mohou mít obecn rzný rozmr i rzné variacní rozptí, na jednotné univerzum. Nejjednodussí je lineární transformace, kterou lze dostat hledaná data pro jednotné univerzum podle výrazu ( ymax - ymin ) ( x - xmin ) , ( xmax - xmin ) (12) kde ymax, ymin ­ krajní hodnoty jednotného univerza, xmax, xmin ­ krajní hodnoty daného intervalu hodnot, x ­ transformovaná hodnota. V nasem pípad jsme zvolili jednotné univerzum v intervalu [0; 100] . Píklad zpracování kartézského soucinu normalizovaných fuzzy mnozin a jejich prnik v povodí Labe po Dcín pro model RCAO-B2 je v tab. 1. Vzhledem k omezené moznosti geometrického vyjádení prniku pouze v tírozmrném prostoru jsme z nho vypustili fuzzy mnozinu odtoku a prniky esili jen pro dv mnoziny ­ srázky a teploty. Odtok jsme pak zahrnuli do esení tak, ze kartézské souciny a prniky podle tab. 1, kde jsme volili Uo = = 0, jsme zopakovali pro dalsí hodnoty univerza odtoku, tj. Uo = {20; 40; 60; 80; 100}. Sestavení tabulky je jednoduché. V prvním sloupci jsou uvedeny zvolené hodnoty obou univerz, pro které byly z obr. 4 odecteny odpovídající hodnoty stup píslusnosti s a t. Prniky se pak dostanou jako jejich minimum. Výsledky jsou zobrazeny na obr. 5 a 6. Poadnice hranol 3) mají v tomto pípad význam mr moznosti soucasného nastání hodnocených velicin. Nejzajímavjsí prbh mají poadnice pro hodnoty univerza odtoku Uo = {0; 80; 100} na obr. 5 (vlevo nahoe), které jsou znacn nepravidelné a nkdy vytváejí az bizarní plochy. Pesto lze v nich postehnout nkteré tendence, které mají logické zdvodnní. Tak nap. nejvtsí moznost nastání srázek 3) V angl. lit. se casto vyskytuje termín corner, který má význam rohu, nározí, koutu, ale téz úhel pohledu, hledisko a j. Nepouzili jsme tu lákavý termín ídicí plocha, protoze by vyzadoval doplnit esení pro poteby rozhodování o výstupy vsech pravidel. a teplot ( = 1) se vyskytuje v rozích hranolu pro nejvtsí a nejmensí hodnoty tchto velicin. To je ovsem do jisté míry zpsobeno metodikou aproximace univerza souborem funkcí píslusnosti, z nichz funkce pro termy KV a KB mají pomrn sirokou oblast s = 1. Podobn lze vysvtlit propad mr moznosti v oblasti podprmrných teplot Ut = {20; 40}, kterým píslusejí v souboru aproxi- movaných funkcí píslusnosti jejich mensí hodnoty. Náhodn zvolené hodnoty univerz uvnit jejich intervalu [0; 100] a piazení stup píslusnosti jednotlivých term je zejm nedostatek metody, který by bylo zádoucí analyzovat podrobnji metodami citlivostní analýzy. Obr. 5. Prostorové zobrazení mr moznosti. Model RCAO A2. Fig. 5. Space projection of the possibility measures. Model RCAO A2. Na obr. 6 jsme dostali pro scéná B obdobné zobrazení. Mírnjsí ovlivnní hydrologického rezimu pi tomto scénái v porovnání se scénáem A2 se tu ovsem prokazuje obtízn. Z obr. 6 je nap. vidt, ze cetnost soucasného nastání extrémních hodnot odtoku, srázek a teplot je ponkud mensí nez v pípad A2. Z toho vsak nelze pímo odvodit dopad na hydrologický rezim. Je zejmé, ze na tuto otázku lze snáze odpovdt pomocí standardních metod esení nádrzí a vodohospodáských soustav, tedy bez vyuzití metod teorie moznosti, tebaze tím nedostaneme moznost nastání daného scénáe. Z dosazených výsledk lze usuzovat, ze metody teorie moznosti mají výhodu pedevsím v tom, ze ve vícerozmrných úlohách pispívají k odhadu míry soucasného nastání pícinných faktor zkoumaného jevu. Nejsou vsak predikcí a nelze ani esit nastání jevu jako celku bez analýzy jeho komponent. Uvázíme-li jiz uvedené problémy aproximace promnných, je zejmé, ze metodické postupy teorie fuzzy mnozin bude úcelné analyzovat podrobnji v dalsím výzkumu. T a b u l k a 1. Kartézské souciny a prniky srázek a teploty vzduchu v povodí Labe po Dcín pro model RCAO-B2 (univerzum odtoku Uo = 0). T a b l e 1. Cartesian products and the intersections of the precipitation and the air temperature in the Elbe basin to the Dcín profile for model RCAO-B2 (runoff universe Uo = 0); 1 ­ Universe values, 2 ­ Precipitation, 3 ­ Temperature, 4 ­ Intersection. Hodnoty univerz1) 0; 0 0; 20 0; 40 0; 60 0; 80 0; 100 20; 0 20; 20 20; 40 20; 60 20; 80 20; 100 40; 0 40; 20 40; 40 40; 60 40; 80 40; 100 60; 0 60; 20 60; 40 60; 60 60; 80 60; 100 80; 0 80; 20 80; 40 80; 60 80; 80 80; 100 100; 0 100; 20 100; 40 100; 60 100; 80 100; 100 Srázky2) s 1,00 1,00 1,00 1,00 1,00 1,00 0,40; 0,61 0,40; 0,61 0,40; 0,61 0,40; 0,61 0,40; 0,61 0,40; 0,61 0,20; 0,80 0,20; 0,80 0,20; 0,80 0,20; 0,80 0,20; 0,80 0,20; 0,80 0,20; 0,80 0,20; 0,80 0,20; 0,80 0,20; 0,80 0,20; 0,80 0,20; 0,80 1,00 1,00 1,00 1,00 1,00 1,00 1,00 1,00 1,00 1,00 1,00 1,00 Teploty3) t 1,0 1,0 0,50 0,10; 0,92 1,00 1,00 1,00 1,00 0,50 0,10; 0,92 1,00 1,00 1,00 1,00 0,50 0,10; 0,92 1,00 1,00 1,00 1,00 0,50 0,10; 0,92 1,00 1,00 1,00 1,00 0,50 0,10; 0,92 1,00 1,00 1,00 1,00 0,50 0,10; 0,92 1,00 1,00 Prnik4) (min) 1,0 1,0 0,50 0,10 1,00 1,00 0,40 0,40 0,40 0,10 0,40 0,40 0,20 0,20 0,20 0,10 0,20 0,20 0,20 0,20 0,20 0,10 0,20 0,20 1,00 1,00 0,50 0,10 1,00 1,00 1,00 1,00 0,50 0,10 1,00 1,00 Obr. 6. Prostorové zobrazení mr moznosti. Model RCAO B2. Fig. 6. Space projection of the possibility measures. Model RCAO B2. Dopad klimatické zmny na zásobní funkci nádrze se dnes nejsnáze posuzuje pomocí rezimových kivek nádrze (píklad pro nádrz Sance je na obr. 7). Porovnáme-li rezimovou kivku pro neovlivnnou prtokovou adu (nejlépe syntetickou) s rezimovými kivkami ovlivnnými (odvozenými opt ze syntetických ad), mzeme snadno dostat rozdíl jak v nadlepsovacích úcincích nádrze, tak v potebných objemech nádrze pro dané nadlepsení. Obr. 7. Rezimové kivky nádrze Sance na Ostravici. Fig. 7. Regime curves of the Sance reservoir on the Ostravice River; 1 ­ uninfluenced curve. systém omezování dodávky vody, mzeme tím zmírnit nebo zcela vyloucit poruchu v dodávce vody. Touto adaptací se tak mzeme piblízit k optimálnímu ízení v podmínkách neurcitosti 4). Pro automatické ízení tu bude uzitecné pipravit bázi pravidel pro vsechny reálné kombinace vstup a vyuzít je pi algoritmizaci úlohy. 5. Diskuse Obr. 8. Schéma adaptivního ízení nádrze v málovodném období. Fig. 8. Scheme of the adaptive reservoir control in dry period; 1 ­ control with constant demand, 2 ­ adaptive control, 3 ­ decision making according to a decision support system (knowledge base). V pípad poteby lze tento postup rozsíit o esení manipulací pro vsechny kombinace rozhodovacích situací. Pi takovém esení se spojují metodické postupy teorie nádrzí, teorie adaptivity a moderní teorie ízení, pop. fuzzy ízení. Princip je naznacen schématicky na obr. 8. Pi ízení na konstantní odbr (bez jeho regulace) hrozí nebezpecí vyprázdnní nádrze a tím i poruchy v dodávce vody. Jestlize vsak simulacními technikami odvodíme 84 Jakkoliv základy teorie moznosti jsou zajímavé a podntné, v aplikacní oblasti je teba jisté opatrnosti. esení úloh tu závisí pedevsím na fuzzifikaci promnných, která není jednoznacným úkolem. I kdyz pipustíme jisté náhodné chyby v dsledku náhodného charakteru velicin, stále nedovedeme odhadnout, zda pi jiné fuzzifikaci nebudou chyby mensí. Je zejmé, ze tento problém bude úcelné prozkoumat metodami citlivostní analýzy, z níz by mohly vyplynout i podrobnjsí návody pro fuzzifikaci v praxi. Dlezitým úkolem v hydrologii je studium vzájemn závislých velicin a jejich vliv na esení v rzn vzdálených územních celcích. Ani tento úkol nemáme zatím zcela ujasnný, a to jak pro Podrobný výklad princip adaptace lze nalézt v mnoha spisech i v nasich studiích (Nacházel, Patera, 1988a; Nacházel, Patera, 1988b a d.). 4) stochastické (kvantifikované), tak i vágní (nekvantifikované) veliciny. O významu tohoto úkolu pitom není pochyb (nap. odhad vývoje srázkové cinnosti na rozsáhlejsích územích i dílcích povodích a pod.). Pro aplikaci metod teorie moznosti tu bude teba odvodit vhodné metodické pístupy a zpsob vyuzití v praxi. Studie ukázala, ze rozvoj teorie moznosti je v zahranicní literatue rychlejsí nez v aplikacní oblasti. V nasí vodohospodáské literatue se zatím tato teorie neobjevila. Jednou z pícin je zejm u nás neuspokojivý stav aplikací teorie fuzzy mnozin. Proto je logické, ze bez základ a praktických poznatk z této teorie nelze rozvíjet ani teorii moznosti. Diskutovat tu lze o nejvhodnjsím zpsobu zavedení základ obou teorií do výuky na vysokých skolách píslusného zamení a o koordinovaném výzkumu nedoesených otázek. 6. Závry kých podmínek mze podstatn ovlivnit funkci nádrze. V daném pípad model HIRHAM A2 snizuje dosavadní nadlepsovací úcinek nádrze 2,3 m3 s-1 o 23 %, model RCAO B2 o 11 %. V budoucnu bude proto teba v daném regionu pocítat s posílením zdroj vody pro zabezpecení vodárenského zásobení. 3. V teorii moznosti se ukázaly nkteré nedoesené ci neujasnné otázky, které mají význam pro aplikace v praxi. esíme-li nap. dopad klimatické zmny na vodní zdroje, pak podstatným problémem je kvantifikace pícinných faktor a jejich vývoj v case. Slozitou otázkou jsou i vzájemné vztahy tchto faktor. Pi numerickém esení se ukázaly potíze s fuzzifikací promnných. Je zejmé, ze tento vývojový smr nelze pokládat za uzavený, nezbytný tu bude dalsí výzkum. Podkování. Studie byla zpracována za podpory grantového projektu GA CR reg. c. 103/07/1620 ,,Predikcní a simulacní modely v teorii operativního ízení vodohospodáských soustav". LITERATURA AUGUSTIN N.H., BEEVERS L. and SLOAN W.T., 2008: Predicting river flows for future climates using an autoregressive multinomial logit model. Water Resour. Res., 44, WO 7403, doi: 10.1029/2006 WR 005127. BALEK J., 2006: Hydrological consequences of the climatic changes. J. Hydrol. Hydromech., Vol. 54, No. 4, p. 357­ ­370. BECVÁ V., 1981: Lingvistické hodnocení a vodohospodáské soustavy. Úcelová publikace c. 3, VÚV, Praha, 150 s. DRBAL K., 1999: Operativní ízení povodových prtok v rámci Dyjsko-svratecké vodohospodáské soustavy. [Téze disertacní práce.] VUT-fak.stavební, Brno, 16 s. a píl. DRIANKOV D., HELLENDORN H., REINFRANK M., 1996: An Introduction to Fuzzy Control. Springer, 316 pp. DUBOIS D., 2006: Possibility theory and statistical reasoning. Statistics & Data Analysis, 51, p. 47­69. DUBOIS D., PRADE H., 1988: Possibility Theory. An Approach to Computerized Processing of Uncertainty. Plenum Press. New York and London, 262 pp. FOSUMPAUR P., HOLECEK M., NACHÁZEL K., 2007: esení povodového ízení odtoku z nádrzí v syntetických povodových adách. Cást 1: Metodika esení. J. Hydrol. Hydromech., 55, 2, s. 98­107. FOSUMPAUR P., HOLECEK M., NACHÁZEL K., 2007: esení povodového ízení odtoku z nádrzí v syntetických povodových adách. Cást 2: Výsledky esení. J. Hydrol. Hydromech., 55, 3, s. 156­167. FOSUMPAUR P., SNEBERGEROVÁ J., 2007: Zpracování modelových ad v soustav vybraných profil. Plán oblasti povodí Odry. Fak. stav. CVUT, Praha. FRIDRICHOVÁ R., CIHLÁ J., VYSKOC P., TREML P., 2008: Hodnocení vodních zdroj v podmínkách klimatické zmny. In: Národní dialog o integrované ochran a vyuzití vodních zdroj v Ceské republice, Nové Msto na Morav. Výsledky studie lze shrnout do tchto závr: 1. Teorii moznosti lze vyuzít jako vhodný nástroj pro odhady soucasného nastání nkolika neurcitých jev, které nelze formalizovat pomocí teorie pravdpodobnosti. Teorie moznosti vychází z teorie fuzzy mnozin a aplikuje zejména funkce píslusnosti zkoumaných jev, pro které lze odhadnout jejich nastání. Teorie moznosti byla ovena na nkolika píkladech, které poskytly uspokojivé výsledky. Problémem této teorie, který pvodn vznikl uz v teorii fuzzy mnozin, je vhodný zpsob fuzzifikace promnných. 2. V pípadové studii jsme esili dv úlohy. V první úloze jsme zkoumali promnlivost nastání rzných kombinací pícinných faktor ovlivnného odtoku v povodí Labe. Tyto kombinace se vytváely z kartézských soucin stup píslusnosti pícinných faktor, prniky byly odvozeny podle jejich obvyklé definice jako minimum stup píslusnosti z jejich uspoádaných dvojic. Výsledky tohoto esení byly zobrazeny v grafech, ze kterých lze odecíst míru moznosti v intervalu [0; 1]. Podle této míry lze pak usuzovat na aktuálnost konkrétní n-tice faktor. V druhé úloze jsme posuzovali dopad klimatické zmny na zásobní funkci víceleté nádrze Sance. esení bylo zpracováno pro oba sledované klimatické modely HIRHAM A2 a RCAO B2 a porovnáno s esením nádrze v neovlivnné syntetické (500-leté) prtokové ad pomocí rezimových kivek. Ukázalo se, ze zmna hydrologic- HANEL M., 2007: Posouzení vlivu klimatické zmny na hydrologickou bilanci ve vybraných profilech povodí Odry. VÚV TGM, v.v.i., Praha. HLADNÝ J., NACHÁZEL K., 2001: Historický vývoj, výsledky a perspektivy odhadu charakteristik povodových vln. In: Sborník pednásek ze semináe Vývoj metod pro odhad extrémních povodní. CVTS, CHMÚ, Praha, s.7­23. JACQUIN A.P., SHAMSELDIN A.Y., 2007: Development of a possibilistic method for the evalution of predictive uncertainty in rainfall-runoff modeling. Water Resour. Research, 43, doi: 10.1029/2006 WR 005072. KLIR G.J., 1985: Architecture of systems problem solving. Plenum Press, New York and London, 540 pp. KLIR G.J., 2003: Zobecnná teorie informace. In: Maík V., Stpánková O., Lazanský J. a kol.: Umlá inteligence (4). Naklad. ACADEMIA, 476 s. KOTEK Z., VYSOKÝ P., ZDRÁHAL Z., 1990: Kybernetika. SNTL, Praha 376 s. LIU Y., GUPTA H.V., 2007: Uncertainty in hydrologic modeling: Tovard an integrated data assimilation framework. Water Resour. Research, 43, WO 7401, doi: 10.1029/2006 WR 005756. MUJUMDAR P.P., GHASH S., 2008: Modeling GCM and scenario uncertainty using a possibilistic approach: Application to the Mahanadi River, India. Water Resour. Research, Vol. 44, W 06407, doi: 10 1029/2007 WR 006137. NACHÁZEL K., 2003a: Problematika vzájemných vztah mezi slozitostí, dvryhodností a neurcitostí matematických model ve vodním hospodáství. Cást 1: Formulace problematiky, motivace jejího zkoumání, metodologie. J. Hydrol. Hydromech., 51, 2, s. 85­96. NACHÁZEL K., 2003b: Problematika vzájemných vztah mezi slozitostí, dvryhodností a neurcitostí matematických model ve vodním hospodáství. Cást 2: Aplikace. J. Hydrol. Hydromech., 51, 4, s. 274­280. NACHÁZEL K., 2005: Mzeme v hydrologii sdruzovat neurcité informace a znalosti? J. Hydrol. Hydromech., 53, 1, s. 30­43. NACHÁZEL K., PATERA A., 1988 (a): Moznosti vyuzití principu adaptivity pro ízení nádrzí v reálném case. Vodohosp. Cas., 36, 3, s. 237­285. NACHÁZEL K., PATERA A., 1988 (b): Citlivost adaptivního ízení sezónních nádrzí v reálném case na typ ztrátové funkce a dobu pedstihu pedpovdi. Vodohosp. Cas, 36, 6, s. 608­638. NACHÁZEL K., PENOSILOVÁ E., 1998: Fuzzy pístup ke zkoumání neurcitosti klimatické zmny a jejích dopad na vodní zdroje. Vodohosp. Cas., 46, 4-5, s. 264­287. NACHÁZEL K., PENOSILOVÁ E., TOMAN M., 1995: Neurcitost klimatických zmn a jejich dopad na vodní zdroje. Vodohosp. Cas., 43, 3, s. 173­196. NOVÁK V., 1990: Fuzzy mnoziny a jejich aplikace. SNTL, Praha, 296 s. NOVICKÝ O., VYSKOC P., VIZINA A., KASPÁREK L., PICEK J., 2008: Klimatická zmna a vodní zdroje v povodí Vltavy. VÚV TGM, v.v.i., Praha, 30 s. NTEGEKA V., WILLEMS P., 2008: Trendo and multidecadal oscillations in rainfall extremes, based on a move than 100year time series of 10 min rainfall intensities at Uccle, Belgium. Water Resources Research, vol. 44, W07402, doi: 10.1029/2007 WR 006471, 2008. POKORNÝ M., 1996: Umlá inteligence v modelování a ízení. Naklad. BEN, Praha, 190 s. REKTORYS K. a kol., 1995: Pehled uzité matematiky II. Naklad. Prometheus, Praha, 876 s. SAMUEL J.M., SIVAPALAN M., 2008: A comparative modeling analysis of multiscale temporal variability of rainfall in Australia. Water Resour. Res., 44, WO7401, doi: 10.1029/2007 WR 006373. SHANNON C.E., 1948: A Mathematical Theory of Communication. The Bell system. Technical J., Vol. 27, July, October, p. 379­423. SPOTT M., 1999: A theory of possibility distributions. Fuzzy sets and Systems, 102, p. 135­155. TALASOVÁ J., 2003: Fuzzy metody vícekriteriálního hodnocení a rozhodování. Univerzita Palackého v Olomouci, 180 s. TRIPATHI S., SRINIVAS V.V., NANJUNDIAH R.S., 2006: Downscaling of precipitation for climate change scenarios: A support vector machine approach. J. of Hydrology, 330, p. 621­640. VLCEK J., 1994: Inzenýrská informatika. Vydavat. CVUT, Praha, 281 s. VLCEK J., 2003: Znalostní inzenýrství. CVUT-Fakulta dopravní, Ústav informatiky AV CR, 201 s. VYSOKÝ P., 1997: Fuzzy ízení. Vydavat. CVUT, Praha, 132 s. WEI C.-C., HSU N.-S., 2006: Derived operating rules for a reservoir operation system: Comparison of decision trees, neural decision trees and fuzzy decision trees. Water Resour. Res., 44, WO248, doi: 10 1029/2006 WR 005792. ZADEH L.A., 1965: Fuzzy Sets. Information and Control, 8, p. 338­353. ZADEH L.A., 1978: Fuzzy sets as a basic for a theory of possibility. Fuzzy Sets and Systems, 1, 1, p. 3­28. Doslo 25 septembra 2009 Prijaté 10. marca 2010 POSSIBILITY THEORY IN HYDROLOGY AND WATER MANAGEMENT Karel Nacházel, Pavel Fosumpaur The possibility theory originated in the late 1970's as another uncertainty theory ensuing from the fuzzy sets theory (Zadeh, 1978). Its aim was to estimate the occurrence of various uncertain phenomena, even in the case that they can be described only linguistically. The completed study is predominantly based on fundamental concepts and principles of Zadeh's work mentioned above. The study was aimed to verify methodological procedures of the possibility theory in current water management tasks, above all in the impact of climatic change on the function of water sources. For that purpose, methodological procedures of solution of simultaneous occurrence of several factors were used, e.g. the n-variable distribution function, cartesian products and intersections of fuzzy sets. The theoretical solution was verified in examples of affected hydrological conditions in the Elbe catchment up to the city of Dcín. In this catchment, possibilities of occurrence of air temperature, precipitation, and runoff in various combinations by the degree of the membership function of fuzzy sets, creating cartesian products, were explored. Model RCAO + optimistic emissions scenario B2 and model HIRHAM + pessimistic scenario A2 were selected. The results of the tests were then presented graphically (Fig. 5 and 6); the possibility degree within the interval 0; 1 may be easily read from the figures. The topicality of specific n-tuple of factors may be judged by that degree. The second task involved assessment of climatic change on the storage function of the Sance reservoir in the Odra River catchment. The solution was processed in 500-year synthetic discharge series (with a step equal to 1 month) for both the investigated climatic models HIRHAM with scenario A2 and model RCAO with scenario B2. This solution was compared with the solution in the unaffected 500-year series using regime curves of the reservoir, which express the relation between the improvement effect of the reservoir and the needed storage volume of the reservoir (Fig. 7). In the given case, it has been proved that climatic change has a negative impact on the storage function of the reservoir. In dry periods, major water supply faults than anticipated in the handling rules of the reservoir may arise. Under the condition of model HIRHAM A2, the improvement effect of the reservoir would decrease compared to the current state by 23 %, while in the case of model RCAO it would go down by 11 %. Therefore, development of water sources will have to be assumed in the given case in the future in order to secure water supply. Some unsolved questions have arisen in the possibility theory which are relevant for practical application. For example, if the impact of climatic change on water sources is explored, quantification of causal factors as well as their development in time represent a serious problem. Also mutual relationships of these factors are quite a complex question. Some difficulties with fuzzification of variables have occurred in the numerical solution. As it has turned out, this trend cannot be considered as closed, more research will have to be done. List of symbols GCM H(X) H(rE) ­ General Circulation Model, ­ entropy of the variable X, ­ uncertainty measure of the possibility function rE, H(X,Y) ­ joined entropy, H(X |Y) ­ conditioned entropy, L ­ type of a membership function, P(X) ­ probability of the variable X, ­ possibility distribution associated with the x variable X which takes values in U, T ­ information transmission, U ­ universe, U = U1×...×Un ­ cartesian product U, A1, A2, B1, B2­ climate change scenarios, e(k) ­ regulation error, (x)(u) ­ possibility degree, rE ­ characteristic function (possibility function), u1, ...,un ­ values of the variable X on universe U with respective possibilities = (1,...,n), ­ measure ranges over 0.5, A(X) ­ membership function of the set A. http://www.deepdyve.com/assets/images/DeepDyve-Logo-lg.png Journal of Hydrology and Hydromechanics de Gruyter

Possibility theory in hydrology and water management

Loading next page...
 
/lp/de-gruyter/possibility-theory-in-hydrology-and-water-management-I04n74GhSp
Publisher
de Gruyter
Copyright
Copyright © 2010 by the
ISSN
0042-790X
DOI
10.2478/v10098-010-0008-y
Publisher site
See Article on Publisher Site

Abstract

J. Hydrol. Hydromech., 58, 2010, 2, 73­87 DOI: 10.2478/v10098-010-0008-y TEORIE MOZNOSTI V HYDROLOGII A VODNÍM HOSPODÁSTVÍ KAREL NACHÁZEL, PAVEL FOSUMPAUR CVUT, Fakulta stavební, Thákurova 7, 166 29 Praha 6, Ceská republika; Mailto: fosumpaur@fsv.cvut.cz Studie uvádí do problematiky teorie moznosti, jejíz základy polozil Zadeh (1978) s vyuzitím teorie fuzzy mnozin, a objasuje její základní pojmy a principy. Cílem studie bylo ovit metodické postupy teorie moznosti na aktuálních vodohospodáských úlohách. V pípadové studii se zkoumaly moznosti soucasného nastání nkolika pícinných faktor hydrologických situací a jejich dopady na vodní zdroje ve zmnných klimatických podmínkách. Ve druhé úloze byly posuzovány dopady klimatické zmny na zásobní funkci nádrze Sance v povodí Odry. V závru se uvádjí problémy otevené pro dalsí výzkum. KLÍCOVÁ SLOVA: teorie moznosti, teorie fuzzy mnozin, funkce píslusnosti, fuzzy regulátor, míra moznosti, distribucní funkce moznosti, klimatická zmna, klimatický model, nádrz. Karel Nacházel, Pavel Fosumpaur: POSSIBILITY THEORY IN HYDROLOGY AND WATER MANAGEMENT. J. Hydrol. Hydromech. 58, 2010, 2; 40 Refs., 8 Figs, 1 Tab. This study introduces the possibility theory, the foundations of which were laid by Zadeh (1978), using the fuzzy sets theory, and it clarifies its basic concepts and principles. The study was aimed to verify methodological procedures of the possibility theory in current water management tasks. The case study examined possibilities of simultaneous occurrence of several causal factors of hydrological situations, and their impacts on water sources in changed climatic conditions. The second task was focused on the assessment of effects of climatic change on the storage function of the Sance reservoir in the Odra River catchment. In the end, problems open up for further research are outlined. KEY WORDS: Possibility Theory, Fuzzy Sets Theory, Membership Function, Fuzzy Controller, Possibility Measure, Possibility Distribution Function, Climatic Change, Climatic Model, Reservoir. 1. Úvod Teorie moznosti vznikla na konci 70. let minulého století jako jedna z dalsích teorií neurcitosti, která vycházela z teorie fuzzy mnozin. Jejím cílem je odhad nastání rzných neurcitých jev, a to i v pípad, kdy je lze popsat jen lingvisticky. Do nasí literatury pronikala s jistým casovým odstupem, práce se pitom orientovaly spíse na výklad základních teoretických pojm bez sirsí praktické aplikace. Pro vodní hospodáství je tato nová teorie pitazlivá pedevsím tím, ze umozuje formalizovat neurcité úlohy, které byly dosud prakticky neesitelné, a esit je podle pijatých pedpoklad s jistou mírou spolehlivosti. V dosavadním vývoji teorie moznosti lze nalézt cetné souvislosti s teorií fuzzy mnozin, teorií informace a dalsími systémovými disciplínami. Ve vodním hospodáství si pipomeme jen krátce zacátek rozvíjení vodohospodáských soustav od pelomu 60. a 70. let minulého století, kdy bylo teba pipravit podklady pro nové vydání Smrného vodohospodáského plánu. K nejdlezitjsím úkolm výzkumu patily tehdy základní otázky obecné teorie systém, matematického modelování, simulacní a optimalizacní techniky. Tento rozvoj pinesl hydrologii potebu rychle rozpracovat na podklad teorie náhodných proces nové modely pro generování hydrologických ad, a to jak v izolovaných stanicích, tak i v jejich systému a pipravit k tomu i nezbytný software. Uvedené úkoly se zprvu esily na souborech reálných dat, metodické postupy teorie fuzzy mnozin tehdy nebyly jest k dispozici. Základy teorie fuzzy mnozin, která umozuje formalizovat popis vágního svta, polozil Lotfi Zadeh v roce 1965 originálním clánkem (Zadeh, 1965). V nasem vodním hospodáství se zacala vnovat pozornost teorii fuzzy mnozin az v 80. letech minulého století. Výzkum tehdy ukázal nové moznosti esení vodohospodáských úloh, kde se mohou vyskytovat krom reálných dat téz vágn popsané veliciny. Protoze vsak i 73 v této teorii se nelze obejít bez klasické teorie mnozin (Georg Cantor, 1845­1918), uzívají se pro strucné rozlisení obou typ mnozin termíny ,,ostré" (píp. ,,crisp") a ,,fuzzy" veliciny. Pro teorii fuzzy mnozin je pitom píznacná ada operací, které umozují pracovat se soubory mnozin a esit slozitjsí úlohy. Pozoruhodný je rychlý prnik teorie fuzzy mnozin i do jiných obor. Neopominutelné je její siroké vyuzití v teorii ízení, kde se zacaly rozvíjet fuzzy dynamické systémy, fuzzy regulátory a fuzzy procesory, vyuzívané v rzných prmyslových výrobcích, zalozených na fuzzy logice (Japonsko, Cína). S dalsí originální myslenkou pisel Lotfi Zadeh v roce 1978, kdy publikoval základy nové teorie moznosti (theory of possibility). Tato teorie vychází z pvodní teorie fuzzy mnozin a rozsiuje ji o esení moznosti nastání neurcitých jev, které nelze zachytit pomocí pravdpodobnosti. Jde tu o dalsí druh neurcitosti, která se zkoumá tak, ze prbh funkce píslusnosti se ztotozní s rozlozením moznosti (posibilistickým rozlozením) a odhadne se moznost nastání hledané hodnoty. 1) Pro vodní hospodáství je tu lákavý pedevsím odhad nastání extrémních hodnot hydrologických velicin, pro klimatologii pak nap. nastání konkrétního odvozeného typu klimatického scénáe, pro operativní ízení vodních zdroj nastání sledovaných jev (srázky, prtoky a j.), a to v celém systému. Vsimnme si, ze v tchto úlohách selhává odhad pravdpodobnosti, pro kterou nám chybjí data. Teorii moznosti si vsak nelze pedstavovat jako vselék, který zázracn vyesí vsechny problémy ve vodním hospodáství, které pramení z neurcité povahy nkterých velicin, z jejich nejisté predikce nebo z nejistých ci chybjících výchozích podklad nezbytných pro algoritmizaci úlohy. O slozitosti této otázky jsme diskutovali uz díve, teba v píspvku (Nacházel, 2005), kde za výchozí pícinu neurcitosti jsme oznacili nedostatek potebné informace. Teorie moznosti se zatím v nasí vodohospodáské literatue neobjevila. Její pocátky v zahranicí souvisely s výzkumem metodických mozností odhadu výskytu a popisu extrémních jev s katastrofálními následky. Cíl nasí studie je skromnjsí. Zaadili jsme do ní krátký pehled me1) todických princip teorie fuzzy mnozin, teorie informace a teorie moznosti, které spolu souvisejí a ctenái ho mohou vyuzít pi hlubsím studiu speciální literatury i v aplikacích. V pípadové studii jsme pak esili dv související úlohy: 1. moznosti nastání nkolika pícinných faktor hydrologických situací v povodí Labe, 2. dopady klimatické zmny na nádrz Sance v povodí Odry. 2. Dosavadní esení problematiky Teorie moznosti má více nez 30-letou historii, která tsn souvisí s vývojem chápání neurcitosti v pírodních, technických i spolecenských vdách. K jejímu rozvoji pispívalo studium formalizace rzných rozpoznaných typ neurcitosti a úsilí o postupné zobecování teorie informace. Teorie moznosti má nejtsnjsí vztah k teorii fuzzy mnozin, jejíz základy polozil v roce 1965 Zadeh. O 13 let pozdji ukázal vyuzití teorie fuzzy mnozin i v nové teorii moznosti. Mení samotného mnozství neurcitosti se vsak zacalo zkoumat díve. Z dostupné literatury lze usuzovat, ze jako první se touto otázkou zabýval Hartley (1928), který odvodil pro mnozství neurcitosti výraz (funkcionál) na podklad mnoziny mozných alternativ z jejich celkového poctu ve tvaru H(rE) = c logbE, (1) kde H(rE) znamená neurcitost vsech mozných alternativ rE (x) a symbol E pak znamená jejich soucet rE (x). Hartley doporucil pro konstanty b, c hodnoty b = 2, c = 1. Neurcitost se pak mí v bitech, které jsou nejobvyklejsí jednotkou (Klir, 2003). Za dalsí mezník ve vývoji teorie informace lze povazovat práci Shannona z roku 1948, v níz odvodil na statistickém základ základní výraz pro entropii ve tvaru (Shannon, 1948) H(Xi) = ­ P(xi) log2P(xi), i = 1, 2, ..., n. 1 n (2) Prof.George J. Klir z University of New York, Binghamton, USA, rozvíjí dnes tzv. zobecnnou teorii informace, jejímz cílem jsou krom teorie moznosti i dalsí typy neurcitosti, a ukazuje, ze pro kazdý typ lze rozpracovat odpovídající formalizaci. Podrobnji nap. Klir, 2003. Prbh logaritmické funkce (pi základu 2) je na obr. 1. V teorii fuzzy mnozin se casto vyskytuje termín ,,fuzzy míra", kterou se rozumí nezáporná reálná funkce, umozující zmit míru neurcitosti fuzzy mnozin. Tato míra charakterizuje nap. stupe vágnosti daného pojmu, míru nepesnosti esení nebo popisu reality a pod. Piazuje kazdé klasické (crisp) podmnozin A njaké mnoziny X císlo z intervalu [0; 1], vyjadující stupe nasí dvry, ze daný prvek z X patí do podmnoziny A. Obr. 1. Logaritmická funkce (pi základu 2) a její soucin s pravdpodobností. Fig. 1. Logarithmic funkction (for basic 2) and its product with probability. V teorii moznosti se definuje obdobn míra moznosti jako císlo z intervalu [0; 1], které vyjaduje moznost, ze promnná s hodnotami na univerzu X patí práv do A. Tuto míru lze odvodit jako suprémum funkce moznosti, která je numericky ekvivalentem funkce píslusnosti. Úlohu lze esit i pro vícerozmrné pípady. Suprémum se pak hledá z nární distribucní funkce moznosti, jejíz stupn moznosti se dostanou z kartézského soucinu jako prniky stup píslusnosti jednotlivých promnných. Tato zdánliv slozitá úloha odpovídá na otázku, jaká je moznost soucasného nastání nkolika promnných; podrobnji nap. Klir, 1985; Novák, 1990; Rektorys, 1995; Vysoký, 1997 a d.. Teorie moznosti se úspsn rozvíjela v 80. a 90. letech minulého století. V zahranicí byla vydána ada podntných píspvk a spis, které ukazují krom základních otázek i souvislosti s jinými vývojovými smry, nap. s fuzzy systémy, statistickým usuzováním, vyuzitím pocítac v rozhodovacích procesech a d. (Klir, 1985; Dubois, Prade, 1988; Driankov, Hellendorn, Reinfrank, 1996; Spott, 1999; Dubois, 2006 a d.). Cenný syntetický pohled Klira na novou zobecnnou teorii informace byl publikován téz v ceském znní (in: Maík, Stpánková, Lazanský a kol., 2003). Vsechny uvádné práce vycházejí z teorie fuzzy mnozin, do jejíz základ je nezbytné proniknout, abychom pochopili smysl novjsích postup teorie moznosti. V nasí literatue se na pelomu minulého a tohoto století rovnz objevila ada zajímavých prací, které se zabývají nejen teorií fuzzy mnozin, ale upozorují i na jiné typy neurcitosti (nap. Novák, 1990; Pokorný, 1996; Vysoký, 1997; Talasová, 2003 a j.). Moznosti esení neurcitosti povodových prtok v syntetických adách rozvíjí pvodní studie Fosumpaur, Holecek, Nacházel, 2007. V zahranicní casopisecké a konferencní literatue jsme nalezli nkolik píspvk, které se orientují hlavn na aplikace teorie moznosti na výskyt extrémních jev (srázky, prtoky) s katastrofálními následky. Zajímavý píspvek zpracovali Mujumdar a Ghosh (2008) z Indie. Vycházeli z podstaty problému ­ neurcitosti znalostí pícinných geofyzikálních proces globální zmny (neurcitosti GCM) a neurcitosti budoucích scéná. Nesoulad mezi rznými GCMs a scénái pro regionální a lokální zmny (jde tu o známé problémy downscalingu) a odhady zmny hydrologických podmínek v budoucnosti pak pivedl autory k aplikaci teorie moznosti na esení monsunových píval podle tí GCMs a dvou emisních scéná. Pro aplikaci byla zvolena eka Mahanadi v Indii. Ve výzkumu byl na modelu identifikován klesající trend kulminacních prtok, coz se potvrdilo i na historických záznamech. Tento trend autoi pisuzují zvysujícím se teplotám vzduchu. Jacquin a Shamseldin (2007) studovali vyuzití teorie moznosti pro hodnocení neurcitosti predikce pomocí srázkoodtokových model. Zkoumali souvislosti s metodologií GLUE (Generalized likelihood uncertainty estimation) a dopady neurcitosti ve struktue modelu. Ukázala vzájemné vztahy mezi mezemi neurcitosti v metod GLUE a v metod teorie moznosti. Tmto vztahm a dalsím aplikacím doporucili autoi vnovat pozornost v dalsím výzkumu. K dlezitým podkladm esení klimatické zmny a jejích dopad na hydrologický rezim patí transformace meteorologických prvk mených pro velká území (gridy) na pozadované hodnoty v regionálním nebo lokálním mítku. Tripathi a kol. (2006) esili tuto nesnadnou úlohu na pocítaci v podmínkách Indie a pro msícní krok s vyuzitím známého principu umlých neuronových sítí, kde pro vstupní vektor velicin hledali nelineární transformaci s obvyklou nejmensí ctvercovou odchylkou 75 na výstupu. Výzkum pinesl zajímavé výsledky aplikace model umlých neuronových sítí. Autoi doporucují vyuzívat pro pocítacové simulace více nez jeden globální cirkulacní model a rozlisovat simulace v rzných sezónách roku, kde se mohou projevit dopady zmny klimatu na hydrologický rezim rzným zpsobem. I kdyz se v nkterých píspvcích pímo neaplikuje metodologie teorie moznosti, pinásejí cenné podnty k esení rzných otázek neurcitosti, zejména pak zmny klimatu. Nkdy se setkáme i s otázkami, které se esily v jiných oblastech výzkumu z jiného hlediska. Píkladem mze být píspvek Augustina a kol. (2008), ve kterém se zkoumají vícerozmrné autoregresní modely s nkolika vysvtlujícími promnnými, které mají význam pícinných faktor, a to i s úvahou jejich zpozdní. Zajímavou hydrologickou studii, v níz esili otázky neurcitosti v hydrologickém modelování, zpracovali Liu a Gupta (2007). Samuel a Sivapalan (2008) zkoumali variabilitu srázkové cinnosti v Austrálii v krátkodobém i dlouhodobém mítku, vazby na klimatickou zmnu s cílem získat realistické prbhy syntetických casových ad hydrologických velicin. Wei a Hsu (2006) srovnávali manipulace na nádrzi odvozené rozhodovacími stromy, neuronovými sítmi a fuzzy modely. Ntegeka a Willems (2008) z Katolické univerzity v Leavenu (Belgie) zkoumali srázkové extrémy ve 107-leté ad ve stanici Uccle v Belgii. Srázkové intenzity zkoumali pro 10-minutové intervaly v rzných msících a úsecích dané ady. Cílem výzkumu bylo pispt k identifikaci statisticky významných trend a sezónních cykl ve srázkové cinnosti, a to ve spojení s dalsími pícinnými faktory zmny klimatu. Ukázalo se, ze vysoké srázkové extrémy se nevyskytují v case zcela náhodn, ale shlukují se. Do nasí vodohospodáské literatury teorie moznosti zatím nepronikla. Proto mzeme zatím vycházet z pvodních píspvk z oblasti teorie fuzzy mnozin. Po prkopnické práci Becváe (1981) se výzkum v dalsích letech zamil na lingvistický popis hydrologických velicin, otázky vyuzití vodních zdroj nebo ízení vodohospodáských soustav v neurcitých podmínkách, pop. i na dopady klimatické zmny na vodní zdroje (Nacházel, Penosilová, Toman, 1995; Nacházel, Penosilová, 1998; Drbal, 1999; Hladný, Nacházel, 2001 a d.). Sirsí pohled na problematiku klimatické zmny nabízí píspvek Balka (2006). Shrneme-li z dostupné literatury dosavadní výsledky rozvíjení teorie moznosti, zetelný je znacný 76 pedstih teorie ped aplikacemi. V zahranicní vodohospodáské literatue se orientují hlavn na extrémní pírodní jevy a jejich odhady. Nejvtsí potíze zpravidla zpsobuje kvantifikace pícinných faktor a odhad jejich vývoje v case. 3. Základní principy v teorii informace, teorii pravdpodobnosti, teorii fuzzy mnozin a teorii moznosti Vybrané principy tchto teorií jsou zachyceny na obr. 2. Mají ukázat jen odlisné metodické pístupy k esení neurcitých úloh. Ctenáe, kteí budou potebovat dalsí metody, odkazujeme na speciální literaturu. Teorie informace K základním úlohám v teorii informace patí kvantifikace mnozství informace v njaké zpráv. Pro takové mení informace jsme uvedli v pedchozí kapitole jednoduché výrazy. V dnesní technické praxi, zejména v regulacní technice, se esí úlohy slozitjsí, které zahrnují i více promnných. Tyto úlohy vycházejí zpravidla ze sdruzené pravdpodobnosti. Klir ve své práci (Klir, 2003) objasuje, ze rzné typy neurcitosti, které se studují v zobecnné teorii informace, mají své koeny ve dvou klasických teoriích informace. Jedna z nich je zalozena na pojmu moznost, druhá na pojmu pravdpodobnost. Vícerozmrná stední vzájemná informace (oznacovaná téz jako transmise nebo transinformace) se definuje výrazem T(Y:X1, X2, ..., Xn) = T(Y:X) = H(Y)+ + H(X) ­ H(X, Y), (3) kde T je stední vzájemná informace, X = {X1, X2, ..., Xn} ­ vstupy nebo stavy, Y ­ výstupy, H (.) ­ shannonovská entropie, H(X, Y) ­ sdruzená entropie. Rov. (3) lze pevést na tvar T(Y:X) = H(X) - H(X Y) = H(Y) - H(Y X). (4) Podrobnjsí výklad lze nalézt ve speciální literatue (Kotek, Vysoký, Zdráhal, 1990; Vysoký, 1997; Nacházel, 2003 a,b). Praktický pínos tchto metod je v tom, ze umozují nalézt nejmensí strukturu systému, která nese maximální informaci a vyloucí pitom ze souboru dat promnné, jejichz pínos je statisticky nevýznamný nebo nulový. Jinak eceno, dekompozicí se hledá subsystém, který nebude zahrnovat Obr. 2. Základní principy v teorii informace, teorii pravdpodobnosti, teorii fuzzy mnozin a teorii moznosti. Fig. 2. Basic principles in the information theory, in the probability theory, in the fuzzy sets theory and in the possibility theory; a) entropy of the mean monthly discharges in the Sance profile on the Ostravice River (period 1931­1960); b) histogram of the mean June discharges in the Sance profile on the Ostravice River (period 1931­1960); c) membership function for the linguistic value (term) "the big snow store in the river basin"; d) application of the maximum possibilistic distribution to the solution of the crisp output value of the fuzzy set using Mamdani's implication (Vysoký, 1997). zbytecné promnné. Z toho je zejmé, ze tyto metodické postupy se mohou uplatnit krom zmínné teorie ízení nap. v hydrologii pi zkoumání nejvhodnjsího modelu pícinných faktor a výsledného jevu. Z tohoto hlediska je tento pístup vhodnjsí nez klasická regresní analýza. Podrobnjsí výklad o teorii informace lze nalézt v mnoha spisech. V nasí literatue jsou dostupné nap. zmínné práce Kotka, Vysokého a Zdráhala (1990) nebo Vlcka (1994, 2003). Zobecnnou teorii informace zpracoval Klir (2003). Teorie pravdpodobnosti Teorie pravdpodobnosti se od svého vzniku v polovin 17. století rozvinula do velké síe, výsledky bádání jsou zachyceny v mnoha spisech, casopiseckých i konferencních píspvcích. Tato teorie pronikla do ady obor, významn pispla k jejich rozvoji a novým pravdpodobnostním koncepcím esení. Pravdpodobnostní metody se siroce uplatují téz ve vodním hospodáství, aplikacní oblast je rozsáhlá. Teorie pravdpodobnosti má dnes z dosud známých teorií neurcitosti nejsirsí pracovní zábr a také nejsirsí aplikace ve vodohospodáské praxi. Základním pedpokladem aplikací je dostatek spolehlivých (ostrých) dat, zadaných v jistém úseku pozorování. Pro tento výbr se odvozují statistické charakteristiky a z nich se pak odhadují neznámé parametry základního souboru. Dostupnost kvantifikovaných hodnot velicin tu má zásadní význam pro volbu metodických postup zpracování dat. Jsou-li ostré hodnoty k dispozici, pak zdrojem neurcitosti je pouze nahodilost jevu v daném úseku pozorování a pro zkoumání jeho vlastností mzeme vyuzít metody teorie pravdpodobnosti, teorie stochastických proces, statistického odhadu nebo teorie casových ad. Kvantifikované hodnoty vsak nejsou casto k dispozici (píciny tu jsou známé: mení chybí nebo není úplné a spolehlivé, sledované veliciny lze popsat pouze slovn, daný jev není mitelný dostupnými technickými prostedky a j.). K nezanedbatelným zdrojm neurcitosti patí i numerické obtíze pi algoritmizaci a programování úlohy. Vsechny tyto okolnosti mohou vyústit v nutnost aplikovat jiné nez pravdpodobnostní metody, které se dovedou vyrovnat s tímto charakterem neurcitosti. Základním kritériem pro rozlisení toho, zda prvek do klasické mnoziny patí nebo nepatí, jsou hodnoty charakteristické funkce A(X). Tuto funkci mnoziny A definovanou na univerzu X lze zapsat ve tvaru (Vysoký, 1997) A(X ) = 1 jestlize a A 0 jestlize a A (5) a zobrazuje tedy prvky univerzální mnoziny na mnozinu obsahující jen nuly a jednicky, tj. A(X){0, 1}. Teorie fuzzy mnozin K tradicním metodám analýzy neurcitosti vágn popsaných jev patí dnes pedevsím metody teorie fuzzy mnozin. Termín ,,fuzzy" nemá zatím vhodný ceský ekvivalent; pedstavujeme si pod ním mlhavost, rozmazanost ci neostrost jev, které nelze jednoznacn kvantifikovat. Pro fuzzy mnozinu oznacujeme charakteristickou funkci jako funkci píslusnosti (X) mnoziny A definované na univerzu X. Podle toho funkce píslusnosti je zobrazení (6) A : (X)[0, 1]. (7) Tento zápis chápeme tak, ze prvek zcela jist nepatí do mnoziny tehdy, jestlize funkce píslusnosti má hodnotu 0, prvek do mnoziny zcela jist patí pi hodnot funkce píslusnosti 1. U ostatních hodnot mzeme pouze usuzovat, s jakým stupnm prvek patí do píslusné mnoziny (Vysoký, 1997). Teorie fuzzy mnozin má dnes nejsirsí uplatnní patrn v teorii ízení, kde základní úlohou je návrh fuzzy regulátoru. Smyslem tohoto esení je sestavit pro ízení vsechna pravidla potebná pro spolehlivou lingvistickou aproximaci závislosti mezi vstupy, výstupy, pop. i stavy regulátoru. Jakkoliv princip regulátoru je jednoduchý (obr. 3), odvození báze pravidel mze být nárocnou matematickou i technickou úlohou, zejména pak pro rozsáhlé systémy, kterou je teba esit se zetelem k charakteru vsech regulacních zaízení na daném objektu (vodním díle). blok pak upravuje zptn na výstupu (po defuzzifikaci) normovaná data na data potebná pro rozhodování v reálných podmínkách. Inferencní mechanizmus je postup, který umozuje stanovit výstupní fuzzy mnozinu pro danou vstupní fuzzy mnozinu nebo vstupní ostrou hodnotu, a to pi zvoleném zpsobu interpretace implikace v pravidlech (Vysoký, 1997). Fuzzy regulátor lze obecn popsat rovnicí (Vysoký, 1997) u(k) = F(e(k), e(k­1), ..., e( k­), u(k ­ 1), u (k­2), ..., u(k­)), (8) která ukazuje, ze akcní velicina u(k) v k-tém kroku závisí na soucasné i pedchozích hodnotách odchylek e(k) a pedchozích hodnotách akcní veliciny u(k). Z rov. (8) lze odvodit rovnice rzných typ regulátor (regulátory P, PD, PI, PID). Teorie moznosti Dalsí výhodou teorie fuzzy mnozin je, ze se mze vyuzít pro kvantifikaci jiných druh neurcitosti, kde pravdpodobnost selhává. Píkladem mze být kategorie moznosti, kterou nelze ztotozovat s pravdpodobností (v bzném zivot nap. ekneme, ze je docela mozné, ze nás pítel slozí státnici, v odborném svt prohlásíme, ze poslední klimatický scéná je sice mozný, ale pravdpodobnost jeho nastání nelze odhadnout apod.). Nejjednodussím postupem, jak takové moznosti rzných jev nebo událostí odhadnout, je jejich ztotoznní s funkcí píslusnosti fuzzy mnoziny. Pak tzv. distribucní funkce moznosti x = x je numericky definována jako ekvivalent funkce píslusnosti F, tj. x = F . (9) Z toho plyne: moznost, ze X = u, je rovna F(u). Promnnou x(u) nazýváme stupe moznosti (possibility), který mze nabývat jakékoliv hodnoty v intervalu [0, 1]. Je zejmé, ze nejvíce nás budou zajímat hodnoty maximální (na obr. 4 je to horní strana lichobzníka s = 1). Tato maxima possibilistického rozlození se casto hledají pi esení defuzzifikované ostré hodnoty výstupní fuzzy mnoziny pro poteby ízení. Obr. 3. Základní struktura fuzzy regulátoru (Vysoký, 1997). Fig. 3. Basic structure of the fuzzy controller (Vysoký, 1997); 1 ­ controlled system, 2 ­ normalization, 3 ­ fuzzification, 4 ­ inference mechanism, 5 ­ knowledge base, 6 ­ data base, 7 ­ defuzzification, 8 ­ denormalization; y ­ output (regulated variable), w ­ requested value of the regulated variable, e ­ regulation error, u ­ regulating variable, z ­ input. Jen ve zkratce si pipomeme základní funkci jednotlivých blok fuzzy regulátoru. Fuzzifikacní blok pevádí ostrá data na fuzzy data. Defuzzifikacní blok naopak piazuje výstupní fuzzy mnozin urcitou ostrou hodnotu, kterou potebujeme pro rozhodování v reálných podmínkách. Úkolem normalizacního bloku je transformovat hodnoty mených velicin s rzným rozmrem i variacním rozptím na data v jednotném univerzu. Denormalizacní Obr. 4. Fuzzifikace a normalizace promnných v podmínkách klimatické zmny. Fig. 4. Fuzzification and normalization of the variables in the climatic change conditions. Terms: KV ­ positive big value, KN ­ positive above the average value, KS ­ positive mean value, KM ­ positive small value, KB ­ positive near zero. 1 ­ precipitation, 2 ­ discharges, 3 ­ temperature. Expressive points on the horizontal axis of the universe U mean the normalized values of the variables in the interval [0,100]. Na podklad teorie fuzzy mnozin lze odvozovat charakteristiky moznosti pro úlohy slozitjsí, zejména pro fuzzy systémy. V nasem výzkumu jsme pracovali nap. s n-árními distribucemi moznosti 2), které si lze pedstavit jako vícerozmrné charakteristiky moznosti soucasného nastání nkolika jev (nap. v extrémních hydrologických situacích nastání intenzity srázek, pedchozích srázek, teploty vzduchu a pod.). n-ární distribucní funkce je dána vztahem Pravou stranu rov. (10) mzeme podle poteby pepsat s pouzitím symboliky teorie moznosti do tvaru F (u1 ,..., un ) = A1 ( x ) (u1 ) ... An ( x ) (un ) , (11) ( A1 ( X ),..., An ( X )) (u1 ,..., un ) = F (u1 ,..., un ) , kde (u1, ..., un) U. (10) Pro ostré mnoziny X1,X2,...,Xn definujeme jejich kartézský soucin výrazem X = X1 × X2 ×... × Xn, který vyjaduje tídu uspoádaných n-tic (x1,x2,...,xn). Jakoukoliv podmnozinu tohoto soucinu oznacujeme jako n-ární relaci R(X1,X2,..., Xn) X. Nejjednodussí je binární relace, kterou tvoí uspoádané dvojice prvk (x1,x2). Pojem relace lze rozsíit na fuzzy mnoziny. Ve fuzzy relacích nelze jednoznacn rozhodnout, zda mezi danými dvma nebo více objekty existuje vztah nebo ne. Mzeme tu pouze íci, jak je daný vztah silnjsí nebo slabsí. Jestlize jsou dána univerza jednotlivých fuzzy mnozin U1, U2, ..., Un a podmnoziny v tchto univerzech A1U1, A2U2,..., AnUn, pak fuzzy relací rozumíme fuzzy mnozinu R U1× U2× ...×Un a kartézským soucinem pak výraz A1(x1)A2(x2) ...An(xn), který je funkcí píslusnosti. V teorii moznosti z nho snadno dostaneme výrazy (10), (11); podrobnji nap. Novák, 1990; Vysoký, 1997. 2) který výstiznji vyjaduje prnik stup moznosti . Tento prnik dostaneme snadno z kartézského soucinu U = U1 × ... × Un jako minimum kazdé podmnoziny (relace) min (u1, ..., un) U. Pro celkové zhodnocení stup moznosti v prostoru se zpravidla doporucuje jejich geometrické zobrazení. To je vsak omezeno nasím tírozmrným prostorem. Proto je teba kombinovat tírozmrné zobrazení s dalsími postupy. Uz samotné tírozmrné zobrazení vsak mze nkdy vést az k bizarním plochám, které dobe ukazují slozitost psobení pícinných faktor pi jejich rzných kombinacích. Druhou dlezitou okolností je tu fyzikální nerealita nkterých kombinací faktor, které mohou vyplynout z mechanické konstrukce kartézských soucin. Tyto nereálné pípady je teba z dalsích úvah vyloucit. Obdobn lze odvodit marginální distribucní funkce moznosti nebo podmínné distribucní funkce moznosti (Zadeh, 1978). 4. Pípadová studie Pro pípadovou studii jsme vybrali zajímavé vícerozmrné úlohy, které esí moznosti soucasného nastání nkolika pícinných faktor odtokového procesu v podmínkách klimatické zmny v povodí Labe. Cílem studie bylo vyhodnotit vsechny kombinace hodnot tchto faktor a ukázat pedevsím nebezpecné výskyty jejich nejvtsích hodnot. Podkladem esení byly stední msícní výsky odtoku, teploty vzduchu a srázky, odhadované pro období 2071­2100 ve studiích VÚV TGM, v.v.i., Praha a VRV Praha, a to pro scénáe A2 a B2. Tyto podkladové materiály byly zpracovány pro poteby celkového hodnocení bilancních zmn v hlavních povodích Cech a Moravy a byly porovnány s pedpokládaným pvodním stavem klimatu (Fridrichová a kol, 2008; Hanel, 2007; Novický a kol., 2008). Dalsím podkladem byla studie stavební fakulty CVUT v Praze, která pipravila pro esení dopadu klimatu syntetické prtokové ady ve vybraných profilech povodí Odry (Fosumpaur, Snebergerová, 2007). Uvedené podklady vycházejí z doporucení Mezivládního panelu pro klimatickou zmnu, kde systém scéná má ctyi hlavní skupiny oznacené jako A1, B1, A2, a B2. Ovlivnné prtokové ady byly generovány za pedpokladu varianty minimálního ovlivnní (regionální klimatický model RCAO + optimistický emisní scéná B2) a varianty maximálního ovlivnní (regionální klimatický model HIRHAM + pesimistický scéná A2). Zpracování ovlivnných dat pak postupovalo v nasí studii v zásad podle metodiky obvyklé pro esení n-árních distribucí moznosti a vyhledání jejich extrémních hodnot. Tato úloha tak odpovídá na otázku, jaká je (zpravidla nejvtsí) moznost soucasného nastání nkolika velicin, definovaných na píslusných univerzech. K tomuto esení je teba odvodit kartézské souciny a prniky fuzzy mnozin (rov. (10), (11)). Posledním krokem bylo geometrické zobrazení vsech mr moznosti. Tento postup tak pipomíná navrhování fuzzy regulátor, které je vsak sirsí vzhledem k pozadavkm ízení o defuzzifikacní a denormalizacní bloky, které v nasem pípad odpadly. Píklad fuzzifikace a normalizace pro klimatické zmny RCAO-A2 a RCAO-B2 v povodí Labe po Dcín je na obr. 4. Smyslem fuzzifikacního bloku je pevést daná ostrá data na fuzzy data. Literatura doporucuje jako jeden z nejjednodussích typ funkci píslusnosti trojúhelníkového tvaru, pop. Lfunkci píslusnosti pro krajní hodnoty univerza. 80 Dlezitým pozadavkem tu je pokrytí univerza jednotlivých fuzzy mnozin, které by mlo obsáhnout celé univerzum beze zbytku. Z toho vyplývá, ze zádný bod by neml mít stupe píslusnosti 0. Stupe pokrytí se zpravidla volí 0,5 (Vysoký, 1997). Smyslem normalizace je pevést vsechny promnné, které mohou mít obecn rzný rozmr i rzné variacní rozptí, na jednotné univerzum. Nejjednodussí je lineární transformace, kterou lze dostat hledaná data pro jednotné univerzum podle výrazu ( ymax - ymin ) ( x - xmin ) , ( xmax - xmin ) (12) kde ymax, ymin ­ krajní hodnoty jednotného univerza, xmax, xmin ­ krajní hodnoty daného intervalu hodnot, x ­ transformovaná hodnota. V nasem pípad jsme zvolili jednotné univerzum v intervalu [0; 100] . Píklad zpracování kartézského soucinu normalizovaných fuzzy mnozin a jejich prnik v povodí Labe po Dcín pro model RCAO-B2 je v tab. 1. Vzhledem k omezené moznosti geometrického vyjádení prniku pouze v tírozmrném prostoru jsme z nho vypustili fuzzy mnozinu odtoku a prniky esili jen pro dv mnoziny ­ srázky a teploty. Odtok jsme pak zahrnuli do esení tak, ze kartézské souciny a prniky podle tab. 1, kde jsme volili Uo = = 0, jsme zopakovali pro dalsí hodnoty univerza odtoku, tj. Uo = {20; 40; 60; 80; 100}. Sestavení tabulky je jednoduché. V prvním sloupci jsou uvedeny zvolené hodnoty obou univerz, pro které byly z obr. 4 odecteny odpovídající hodnoty stup píslusnosti s a t. Prniky se pak dostanou jako jejich minimum. Výsledky jsou zobrazeny na obr. 5 a 6. Poadnice hranol 3) mají v tomto pípad význam mr moznosti soucasného nastání hodnocených velicin. Nejzajímavjsí prbh mají poadnice pro hodnoty univerza odtoku Uo = {0; 80; 100} na obr. 5 (vlevo nahoe), které jsou znacn nepravidelné a nkdy vytváejí az bizarní plochy. Pesto lze v nich postehnout nkteré tendence, které mají logické zdvodnní. Tak nap. nejvtsí moznost nastání srázek 3) V angl. lit. se casto vyskytuje termín corner, který má význam rohu, nározí, koutu, ale téz úhel pohledu, hledisko a j. Nepouzili jsme tu lákavý termín ídicí plocha, protoze by vyzadoval doplnit esení pro poteby rozhodování o výstupy vsech pravidel. a teplot ( = 1) se vyskytuje v rozích hranolu pro nejvtsí a nejmensí hodnoty tchto velicin. To je ovsem do jisté míry zpsobeno metodikou aproximace univerza souborem funkcí píslusnosti, z nichz funkce pro termy KV a KB mají pomrn sirokou oblast s = 1. Podobn lze vysvtlit propad mr moznosti v oblasti podprmrných teplot Ut = {20; 40}, kterým píslusejí v souboru aproxi- movaných funkcí píslusnosti jejich mensí hodnoty. Náhodn zvolené hodnoty univerz uvnit jejich intervalu [0; 100] a piazení stup píslusnosti jednotlivých term je zejm nedostatek metody, který by bylo zádoucí analyzovat podrobnji metodami citlivostní analýzy. Obr. 5. Prostorové zobrazení mr moznosti. Model RCAO A2. Fig. 5. Space projection of the possibility measures. Model RCAO A2. Na obr. 6 jsme dostali pro scéná B obdobné zobrazení. Mírnjsí ovlivnní hydrologického rezimu pi tomto scénái v porovnání se scénáem A2 se tu ovsem prokazuje obtízn. Z obr. 6 je nap. vidt, ze cetnost soucasného nastání extrémních hodnot odtoku, srázek a teplot je ponkud mensí nez v pípad A2. Z toho vsak nelze pímo odvodit dopad na hydrologický rezim. Je zejmé, ze na tuto otázku lze snáze odpovdt pomocí standardních metod esení nádrzí a vodohospodáských soustav, tedy bez vyuzití metod teorie moznosti, tebaze tím nedostaneme moznost nastání daného scénáe. Z dosazených výsledk lze usuzovat, ze metody teorie moznosti mají výhodu pedevsím v tom, ze ve vícerozmrných úlohách pispívají k odhadu míry soucasného nastání pícinných faktor zkoumaného jevu. Nejsou vsak predikcí a nelze ani esit nastání jevu jako celku bez analýzy jeho komponent. Uvázíme-li jiz uvedené problémy aproximace promnných, je zejmé, ze metodické postupy teorie fuzzy mnozin bude úcelné analyzovat podrobnji v dalsím výzkumu. T a b u l k a 1. Kartézské souciny a prniky srázek a teploty vzduchu v povodí Labe po Dcín pro model RCAO-B2 (univerzum odtoku Uo = 0). T a b l e 1. Cartesian products and the intersections of the precipitation and the air temperature in the Elbe basin to the Dcín profile for model RCAO-B2 (runoff universe Uo = 0); 1 ­ Universe values, 2 ­ Precipitation, 3 ­ Temperature, 4 ­ Intersection. Hodnoty univerz1) 0; 0 0; 20 0; 40 0; 60 0; 80 0; 100 20; 0 20; 20 20; 40 20; 60 20; 80 20; 100 40; 0 40; 20 40; 40 40; 60 40; 80 40; 100 60; 0 60; 20 60; 40 60; 60 60; 80 60; 100 80; 0 80; 20 80; 40 80; 60 80; 80 80; 100 100; 0 100; 20 100; 40 100; 60 100; 80 100; 100 Srázky2) s 1,00 1,00 1,00 1,00 1,00 1,00 0,40; 0,61 0,40; 0,61 0,40; 0,61 0,40; 0,61 0,40; 0,61 0,40; 0,61 0,20; 0,80 0,20; 0,80 0,20; 0,80 0,20; 0,80 0,20; 0,80 0,20; 0,80 0,20; 0,80 0,20; 0,80 0,20; 0,80 0,20; 0,80 0,20; 0,80 0,20; 0,80 1,00 1,00 1,00 1,00 1,00 1,00 1,00 1,00 1,00 1,00 1,00 1,00 Teploty3) t 1,0 1,0 0,50 0,10; 0,92 1,00 1,00 1,00 1,00 0,50 0,10; 0,92 1,00 1,00 1,00 1,00 0,50 0,10; 0,92 1,00 1,00 1,00 1,00 0,50 0,10; 0,92 1,00 1,00 1,00 1,00 0,50 0,10; 0,92 1,00 1,00 1,00 1,00 0,50 0,10; 0,92 1,00 1,00 Prnik4) (min) 1,0 1,0 0,50 0,10 1,00 1,00 0,40 0,40 0,40 0,10 0,40 0,40 0,20 0,20 0,20 0,10 0,20 0,20 0,20 0,20 0,20 0,10 0,20 0,20 1,00 1,00 0,50 0,10 1,00 1,00 1,00 1,00 0,50 0,10 1,00 1,00 Obr. 6. Prostorové zobrazení mr moznosti. Model RCAO B2. Fig. 6. Space projection of the possibility measures. Model RCAO B2. Dopad klimatické zmny na zásobní funkci nádrze se dnes nejsnáze posuzuje pomocí rezimových kivek nádrze (píklad pro nádrz Sance je na obr. 7). Porovnáme-li rezimovou kivku pro neovlivnnou prtokovou adu (nejlépe syntetickou) s rezimovými kivkami ovlivnnými (odvozenými opt ze syntetických ad), mzeme snadno dostat rozdíl jak v nadlepsovacích úcincích nádrze, tak v potebných objemech nádrze pro dané nadlepsení. Obr. 7. Rezimové kivky nádrze Sance na Ostravici. Fig. 7. Regime curves of the Sance reservoir on the Ostravice River; 1 ­ uninfluenced curve. systém omezování dodávky vody, mzeme tím zmírnit nebo zcela vyloucit poruchu v dodávce vody. Touto adaptací se tak mzeme piblízit k optimálnímu ízení v podmínkách neurcitosti 4). Pro automatické ízení tu bude uzitecné pipravit bázi pravidel pro vsechny reálné kombinace vstup a vyuzít je pi algoritmizaci úlohy. 5. Diskuse Obr. 8. Schéma adaptivního ízení nádrze v málovodném období. Fig. 8. Scheme of the adaptive reservoir control in dry period; 1 ­ control with constant demand, 2 ­ adaptive control, 3 ­ decision making according to a decision support system (knowledge base). V pípad poteby lze tento postup rozsíit o esení manipulací pro vsechny kombinace rozhodovacích situací. Pi takovém esení se spojují metodické postupy teorie nádrzí, teorie adaptivity a moderní teorie ízení, pop. fuzzy ízení. Princip je naznacen schématicky na obr. 8. Pi ízení na konstantní odbr (bez jeho regulace) hrozí nebezpecí vyprázdnní nádrze a tím i poruchy v dodávce vody. Jestlize vsak simulacními technikami odvodíme 84 Jakkoliv základy teorie moznosti jsou zajímavé a podntné, v aplikacní oblasti je teba jisté opatrnosti. esení úloh tu závisí pedevsím na fuzzifikaci promnných, která není jednoznacným úkolem. I kdyz pipustíme jisté náhodné chyby v dsledku náhodného charakteru velicin, stále nedovedeme odhadnout, zda pi jiné fuzzifikaci nebudou chyby mensí. Je zejmé, ze tento problém bude úcelné prozkoumat metodami citlivostní analýzy, z níz by mohly vyplynout i podrobnjsí návody pro fuzzifikaci v praxi. Dlezitým úkolem v hydrologii je studium vzájemn závislých velicin a jejich vliv na esení v rzn vzdálených územních celcích. Ani tento úkol nemáme zatím zcela ujasnný, a to jak pro Podrobný výklad princip adaptace lze nalézt v mnoha spisech i v nasich studiích (Nacházel, Patera, 1988a; Nacházel, Patera, 1988b a d.). 4) stochastické (kvantifikované), tak i vágní (nekvantifikované) veliciny. O významu tohoto úkolu pitom není pochyb (nap. odhad vývoje srázkové cinnosti na rozsáhlejsích územích i dílcích povodích a pod.). Pro aplikaci metod teorie moznosti tu bude teba odvodit vhodné metodické pístupy a zpsob vyuzití v praxi. Studie ukázala, ze rozvoj teorie moznosti je v zahranicní literatue rychlejsí nez v aplikacní oblasti. V nasí vodohospodáské literatue se zatím tato teorie neobjevila. Jednou z pícin je zejm u nás neuspokojivý stav aplikací teorie fuzzy mnozin. Proto je logické, ze bez základ a praktických poznatk z této teorie nelze rozvíjet ani teorii moznosti. Diskutovat tu lze o nejvhodnjsím zpsobu zavedení základ obou teorií do výuky na vysokých skolách píslusného zamení a o koordinovaném výzkumu nedoesených otázek. 6. Závry kých podmínek mze podstatn ovlivnit funkci nádrze. V daném pípad model HIRHAM A2 snizuje dosavadní nadlepsovací úcinek nádrze 2,3 m3 s-1 o 23 %, model RCAO B2 o 11 %. V budoucnu bude proto teba v daném regionu pocítat s posílením zdroj vody pro zabezpecení vodárenského zásobení. 3. V teorii moznosti se ukázaly nkteré nedoesené ci neujasnné otázky, které mají význam pro aplikace v praxi. esíme-li nap. dopad klimatické zmny na vodní zdroje, pak podstatným problémem je kvantifikace pícinných faktor a jejich vývoj v case. Slozitou otázkou jsou i vzájemné vztahy tchto faktor. Pi numerickém esení se ukázaly potíze s fuzzifikací promnných. Je zejmé, ze tento vývojový smr nelze pokládat za uzavený, nezbytný tu bude dalsí výzkum. Podkování. Studie byla zpracována za podpory grantového projektu GA CR reg. c. 103/07/1620 ,,Predikcní a simulacní modely v teorii operativního ízení vodohospodáských soustav". LITERATURA AUGUSTIN N.H., BEEVERS L. and SLOAN W.T., 2008: Predicting river flows for future climates using an autoregressive multinomial logit model. Water Resour. Res., 44, WO 7403, doi: 10.1029/2006 WR 005127. BALEK J., 2006: Hydrological consequences of the climatic changes. J. Hydrol. Hydromech., Vol. 54, No. 4, p. 357­ ­370. BECVÁ V., 1981: Lingvistické hodnocení a vodohospodáské soustavy. Úcelová publikace c. 3, VÚV, Praha, 150 s. DRBAL K., 1999: Operativní ízení povodových prtok v rámci Dyjsko-svratecké vodohospodáské soustavy. [Téze disertacní práce.] VUT-fak.stavební, Brno, 16 s. a píl. DRIANKOV D., HELLENDORN H., REINFRANK M., 1996: An Introduction to Fuzzy Control. Springer, 316 pp. DUBOIS D., 2006: Possibility theory and statistical reasoning. Statistics & Data Analysis, 51, p. 47­69. DUBOIS D., PRADE H., 1988: Possibility Theory. An Approach to Computerized Processing of Uncertainty. Plenum Press. New York and London, 262 pp. FOSUMPAUR P., HOLECEK M., NACHÁZEL K., 2007: esení povodového ízení odtoku z nádrzí v syntetických povodových adách. Cást 1: Metodika esení. J. Hydrol. Hydromech., 55, 2, s. 98­107. FOSUMPAUR P., HOLECEK M., NACHÁZEL K., 2007: esení povodového ízení odtoku z nádrzí v syntetických povodových adách. Cást 2: Výsledky esení. J. Hydrol. Hydromech., 55, 3, s. 156­167. FOSUMPAUR P., SNEBERGEROVÁ J., 2007: Zpracování modelových ad v soustav vybraných profil. Plán oblasti povodí Odry. Fak. stav. CVUT, Praha. FRIDRICHOVÁ R., CIHLÁ J., VYSKOC P., TREML P., 2008: Hodnocení vodních zdroj v podmínkách klimatické zmny. In: Národní dialog o integrované ochran a vyuzití vodních zdroj v Ceské republice, Nové Msto na Morav. Výsledky studie lze shrnout do tchto závr: 1. Teorii moznosti lze vyuzít jako vhodný nástroj pro odhady soucasného nastání nkolika neurcitých jev, které nelze formalizovat pomocí teorie pravdpodobnosti. Teorie moznosti vychází z teorie fuzzy mnozin a aplikuje zejména funkce píslusnosti zkoumaných jev, pro které lze odhadnout jejich nastání. Teorie moznosti byla ovena na nkolika píkladech, které poskytly uspokojivé výsledky. Problémem této teorie, který pvodn vznikl uz v teorii fuzzy mnozin, je vhodný zpsob fuzzifikace promnných. 2. V pípadové studii jsme esili dv úlohy. V první úloze jsme zkoumali promnlivost nastání rzných kombinací pícinných faktor ovlivnného odtoku v povodí Labe. Tyto kombinace se vytváely z kartézských soucin stup píslusnosti pícinných faktor, prniky byly odvozeny podle jejich obvyklé definice jako minimum stup píslusnosti z jejich uspoádaných dvojic. Výsledky tohoto esení byly zobrazeny v grafech, ze kterých lze odecíst míru moznosti v intervalu [0; 1]. Podle této míry lze pak usuzovat na aktuálnost konkrétní n-tice faktor. V druhé úloze jsme posuzovali dopad klimatické zmny na zásobní funkci víceleté nádrze Sance. esení bylo zpracováno pro oba sledované klimatické modely HIRHAM A2 a RCAO B2 a porovnáno s esením nádrze v neovlivnné syntetické (500-leté) prtokové ad pomocí rezimových kivek. Ukázalo se, ze zmna hydrologic- HANEL M., 2007: Posouzení vlivu klimatické zmny na hydrologickou bilanci ve vybraných profilech povodí Odry. VÚV TGM, v.v.i., Praha. HLADNÝ J., NACHÁZEL K., 2001: Historický vývoj, výsledky a perspektivy odhadu charakteristik povodových vln. In: Sborník pednásek ze semináe Vývoj metod pro odhad extrémních povodní. CVTS, CHMÚ, Praha, s.7­23. JACQUIN A.P., SHAMSELDIN A.Y., 2007: Development of a possibilistic method for the evalution of predictive uncertainty in rainfall-runoff modeling. Water Resour. Research, 43, doi: 10.1029/2006 WR 005072. KLIR G.J., 1985: Architecture of systems problem solving. Plenum Press, New York and London, 540 pp. KLIR G.J., 2003: Zobecnná teorie informace. In: Maík V., Stpánková O., Lazanský J. a kol.: Umlá inteligence (4). Naklad. ACADEMIA, 476 s. KOTEK Z., VYSOKÝ P., ZDRÁHAL Z., 1990: Kybernetika. SNTL, Praha 376 s. LIU Y., GUPTA H.V., 2007: Uncertainty in hydrologic modeling: Tovard an integrated data assimilation framework. Water Resour. Research, 43, WO 7401, doi: 10.1029/2006 WR 005756. MUJUMDAR P.P., GHASH S., 2008: Modeling GCM and scenario uncertainty using a possibilistic approach: Application to the Mahanadi River, India. Water Resour. Research, Vol. 44, W 06407, doi: 10 1029/2007 WR 006137. NACHÁZEL K., 2003a: Problematika vzájemných vztah mezi slozitostí, dvryhodností a neurcitostí matematických model ve vodním hospodáství. Cást 1: Formulace problematiky, motivace jejího zkoumání, metodologie. J. Hydrol. Hydromech., 51, 2, s. 85­96. NACHÁZEL K., 2003b: Problematika vzájemných vztah mezi slozitostí, dvryhodností a neurcitostí matematických model ve vodním hospodáství. Cást 2: Aplikace. J. Hydrol. Hydromech., 51, 4, s. 274­280. NACHÁZEL K., 2005: Mzeme v hydrologii sdruzovat neurcité informace a znalosti? J. Hydrol. Hydromech., 53, 1, s. 30­43. NACHÁZEL K., PATERA A., 1988 (a): Moznosti vyuzití principu adaptivity pro ízení nádrzí v reálném case. Vodohosp. Cas., 36, 3, s. 237­285. NACHÁZEL K., PATERA A., 1988 (b): Citlivost adaptivního ízení sezónních nádrzí v reálném case na typ ztrátové funkce a dobu pedstihu pedpovdi. Vodohosp. Cas, 36, 6, s. 608­638. NACHÁZEL K., PENOSILOVÁ E., 1998: Fuzzy pístup ke zkoumání neurcitosti klimatické zmny a jejích dopad na vodní zdroje. Vodohosp. Cas., 46, 4-5, s. 264­287. NACHÁZEL K., PENOSILOVÁ E., TOMAN M., 1995: Neurcitost klimatických zmn a jejich dopad na vodní zdroje. Vodohosp. Cas., 43, 3, s. 173­196. NOVÁK V., 1990: Fuzzy mnoziny a jejich aplikace. SNTL, Praha, 296 s. NOVICKÝ O., VYSKOC P., VIZINA A., KASPÁREK L., PICEK J., 2008: Klimatická zmna a vodní zdroje v povodí Vltavy. VÚV TGM, v.v.i., Praha, 30 s. NTEGEKA V., WILLEMS P., 2008: Trendo and multidecadal oscillations in rainfall extremes, based on a move than 100year time series of 10 min rainfall intensities at Uccle, Belgium. Water Resources Research, vol. 44, W07402, doi: 10.1029/2007 WR 006471, 2008. POKORNÝ M., 1996: Umlá inteligence v modelování a ízení. Naklad. BEN, Praha, 190 s. REKTORYS K. a kol., 1995: Pehled uzité matematiky II. Naklad. Prometheus, Praha, 876 s. SAMUEL J.M., SIVAPALAN M., 2008: A comparative modeling analysis of multiscale temporal variability of rainfall in Australia. Water Resour. Res., 44, WO7401, doi: 10.1029/2007 WR 006373. SHANNON C.E., 1948: A Mathematical Theory of Communication. The Bell system. Technical J., Vol. 27, July, October, p. 379­423. SPOTT M., 1999: A theory of possibility distributions. Fuzzy sets and Systems, 102, p. 135­155. TALASOVÁ J., 2003: Fuzzy metody vícekriteriálního hodnocení a rozhodování. Univerzita Palackého v Olomouci, 180 s. TRIPATHI S., SRINIVAS V.V., NANJUNDIAH R.S., 2006: Downscaling of precipitation for climate change scenarios: A support vector machine approach. J. of Hydrology, 330, p. 621­640. VLCEK J., 1994: Inzenýrská informatika. Vydavat. CVUT, Praha, 281 s. VLCEK J., 2003: Znalostní inzenýrství. CVUT-Fakulta dopravní, Ústav informatiky AV CR, 201 s. VYSOKÝ P., 1997: Fuzzy ízení. Vydavat. CVUT, Praha, 132 s. WEI C.-C., HSU N.-S., 2006: Derived operating rules for a reservoir operation system: Comparison of decision trees, neural decision trees and fuzzy decision trees. Water Resour. Res., 44, WO248, doi: 10 1029/2006 WR 005792. ZADEH L.A., 1965: Fuzzy Sets. Information and Control, 8, p. 338­353. ZADEH L.A., 1978: Fuzzy sets as a basic for a theory of possibility. Fuzzy Sets and Systems, 1, 1, p. 3­28. Doslo 25 septembra 2009 Prijaté 10. marca 2010 POSSIBILITY THEORY IN HYDROLOGY AND WATER MANAGEMENT Karel Nacházel, Pavel Fosumpaur The possibility theory originated in the late 1970's as another uncertainty theory ensuing from the fuzzy sets theory (Zadeh, 1978). Its aim was to estimate the occurrence of various uncertain phenomena, even in the case that they can be described only linguistically. The completed study is predominantly based on fundamental concepts and principles of Zadeh's work mentioned above. The study was aimed to verify methodological procedures of the possibility theory in current water management tasks, above all in the impact of climatic change on the function of water sources. For that purpose, methodological procedures of solution of simultaneous occurrence of several factors were used, e.g. the n-variable distribution function, cartesian products and intersections of fuzzy sets. The theoretical solution was verified in examples of affected hydrological conditions in the Elbe catchment up to the city of Dcín. In this catchment, possibilities of occurrence of air temperature, precipitation, and runoff in various combinations by the degree of the membership function of fuzzy sets, creating cartesian products, were explored. Model RCAO + optimistic emissions scenario B2 and model HIRHAM + pessimistic scenario A2 were selected. The results of the tests were then presented graphically (Fig. 5 and 6); the possibility degree within the interval 0; 1 may be easily read from the figures. The topicality of specific n-tuple of factors may be judged by that degree. The second task involved assessment of climatic change on the storage function of the Sance reservoir in the Odra River catchment. The solution was processed in 500-year synthetic discharge series (with a step equal to 1 month) for both the investigated climatic models HIRHAM with scenario A2 and model RCAO with scenario B2. This solution was compared with the solution in the unaffected 500-year series using regime curves of the reservoir, which express the relation between the improvement effect of the reservoir and the needed storage volume of the reservoir (Fig. 7). In the given case, it has been proved that climatic change has a negative impact on the storage function of the reservoir. In dry periods, major water supply faults than anticipated in the handling rules of the reservoir may arise. Under the condition of model HIRHAM A2, the improvement effect of the reservoir would decrease compared to the current state by 23 %, while in the case of model RCAO it would go down by 11 %. Therefore, development of water sources will have to be assumed in the given case in the future in order to secure water supply. Some unsolved questions have arisen in the possibility theory which are relevant for practical application. For example, if the impact of climatic change on water sources is explored, quantification of causal factors as well as their development in time represent a serious problem. Also mutual relationships of these factors are quite a complex question. Some difficulties with fuzzification of variables have occurred in the numerical solution. As it has turned out, this trend cannot be considered as closed, more research will have to be done. List of symbols GCM H(X) H(rE) ­ General Circulation Model, ­ entropy of the variable X, ­ uncertainty measure of the possibility function rE, H(X,Y) ­ joined entropy, H(X |Y) ­ conditioned entropy, L ­ type of a membership function, P(X) ­ probability of the variable X, ­ possibility distribution associated with the x variable X which takes values in U, T ­ information transmission, U ­ universe, U = U1×...×Un ­ cartesian product U, A1, A2, B1, B2­ climate change scenarios, e(k) ­ regulation error, (x)(u) ­ possibility degree, rE ­ characteristic function (possibility function), u1, ...,un ­ values of the variable X on universe U with respective possibilities = (1,...,n), ­ measure ranges over 0.5, A(X) ­ membership function of the set A.

Journal

Journal of Hydrology and Hydromechanicsde Gruyter

Published: Jun 1, 2010

References