Get 20M+ Full-Text Papers For Less Than $1.50/day. Start a 14-Day Trial for You or Your Team.

Learn More →

Ontologiczny dowód Gödla z ograniczoną redukcją modalności

Ontologiczny dowód Gödla z ograniczoną redukcją modalności Przegld Filozoficzny ­ Nowa Seria R. 21: 2012, Nr 3 (83), ISSN 1230­1493 DOI: 10.2478/v10271-012-0061-y Logika Zakres nazwy ,,logika" jest oczywicie spraw konwencji, ale nazywanie logik teorii prowadzcej do mocnych rozstrzygni egzystencjalnych nasuwa powane wtpliwoci. [Lepiej byloby] powiedzie, e dowód Lematu Leibniza [zgodnie z którym istnienie bytu najdoskonalszego nie jest niemoliwe] i dalsze kroki [argumentu ontologicznego] odbywaj si w ramach pewnej teorii formalnej dotyczcej poj modalnych, a nie maj charakter czysto logiczny. J. Woleski, Gaunilon dzisiaj Slowa kluczowe: dowód ontologiczny, K. Gödel, dowód na istnienie Boga, teodycea, formalizacja Wybór rachunku o odpowiedniej mocy dedukcyjnej, na którym chcemy oprze jak teori, oraz wskazanie jej aksjomatów specyficznych s uzalenione od tego, co jestemy gotowi uzna za specyfik charakteryzowanych przez t teori poj w klasie dopuszczalnych jej interpretacji. Od takich rozstrzygni zaley take pragmatyczna warto konstruowanej teorii ­ to one decyduj o kwalifikacjach pragmatycznych aksjomatów, m.in. w zwizku z ich logicznym lub pozalogicznym statusem. Mimo e nie istniej ogólne kryteria ,,odpowiednich" wyborów w tych sprawach, to w niektórych sytuacjach daje si ustali przynajmniej jakie ,,graniczne" przypadki, które trywializuj analizowany problem lub uniemoliwiaj jego rozwizanie, a niekiedy zbdnie rozstrzygaj kwestie z nim zasadniczo niezwizane. Ich wskazywanie jest przy tym o tyle uzasadnione, e mona w ten sposób istotnie zawzi spektrum akceptowalnych formalizacji podnoszonego zagadnienia. Prezentowane rozwaania s efektem poszukiwania ,,odpowiedniej" i zarazem moliwie slabej podstawy formalnej ontologicznego argumentu na konieczne istnienie Boga, naszkicowanego przez K. Gödla. Dotychczasowe modalne rekonstrukcje notatki Gödla z 1970 roku zatytulowanej Ontologischer Beweis odwoluj si najczciej do uzupelnienia D. Scotta i opieraj argumentacj Gödla na rónych kwantyfikatorowych rozszerzeniach logiki modalnej S5 lub B. Bezsporne jest te, e zamierzon przez samego autora charakterystyk modalnoci byl wlanie system S5. Znaczenie funktorów modalnych w S5 (i B) umoliwia okrelon konstrukcj argumentu ontologicznego, jednak z drugiej strony moe by uwaane take za ródlo slaboci opartej na nim teorii Absolutu. Gdy tak teori zechcemy wzbogaci i wzi pod uwag w szczególnoci moliwe egzystencjalne relacje midzy Absolutem a innymi (przygodnymi) indywiduami, modalnoci i wydaj si nie podlega redukcji charakterystycznej dla systemów S5 i B1. Standardowe rozszerzenie S5 lub B do logiki kwantyfikatorowej uwiklane jest w kolejne znane trudnoci. W odpowiednio rozbudowanej standardowej semantyce wiatów moliwych rozstrzyga si, e modele tych logik maj stale uniwersum indywiduów, i to ograniczenie dziedzicz interpretacje opartych na nich teorii2. Tymczasem tego rodzaju rozstrzygnicie nie ma zwizku z zasadniczym problemem rozwaanym w formalizmie Gödla3. W poniej zaproponowanej wersji argumentu Gödla ograniczymy redukcj modalnoci S5 do wybranego specyficznego kontekstu dotyczcego istnienia Absolutu. Logik, która pozwala zachowa konstrukcj argumentacji Gödla, okae si system S4. Otrzyman teori skojarzymy z semantyk wiatów moliwych z moliwie zmiennymi uniwersami. Istnienie indywiduów wyrazimy za pomoc kwantyfikatora zinterpretowanego aktualistycznie, bez uycia pierwotnego predykatu istnienia. 1. Argumentacja Gödla i jej prototyp ­ formalizm C. Hartshorne'a Komentatorzy formalizacji Gödla s zgodni w kwestii filozoficznych odniesie naszkicowanego przez niego argumentu4. Jak powszechnie si uwaa, glówn 1 Odnonie tej redukcji mona próbowa na nowo podj krytyk w stylu Gaunilona ­ tym razem (dla S5) kwestionowalibymy to, e moliwo koniecznego istnienia dowolnego obiektu najdoskonalszego w jakiej klasie (,,Najdoskonalszej Wyspy") pociga za sob jego konieczne istnienie. 2 Tak semantyk dla swoich wersji argumentu Gödla przyjmuj np. J. Czermak (2002) i P. Hàjek (2002). 3 Interpretacje M. Fittinga (2002) i S. Kovaca (2003) dopuszczaj zmienno uniwersum indywiduów. 4 Szczególowe ich omówienie mona znale np. w: Czermak 2002. inspiracj stanowil dla Gödla wyklad Leibnizjaskiej filozofii Boga. Podobnie jak Leibniz, Gödel oparl swój dowód na pierwotnym pojciu pozytywnoci (positiveness), które koresponduje z Leibnizjaskim perfectio, i przejl ide Boga jako subiectum omnium perfectionum. Drugie podobiestwo do koncepcji Leibniza zasadza si na samej strukturze argumentacji, odnotowanej za pomoc wspólczesnej logiki modalnej ju przed Gödlem przez C. Hartshorne'a. Gödel znal próby Hartshorne'a; zachowal te zasadnicz konstrukcj jego formalizmu, ale swoj argumentacj istotnie rozbudowal, uzasadniajc odpowiedniki dwóch zasadniczych aksjomatów Hartshorne'a. Formalizacja Hartshorne'a (1962) jest sformulowana w jzyku zdaniowym z klasycznymi funktorami prawdziwociowymi, operatorami modalnymi , , do którego dodano stal zdaniow: *=: Byt najdoskonalszy istnieje. Za podstaw formaln przyjmuje si zdaniow logik S5, która powstaje przez rozszerzenie klasycznej logiki zdaniowej o aksjomaty o nastpujcych postaciach: (K) (A B) ( A B) (T) A A (5) A A (/) A ¬¬A oraz regul wprowadzania koniecznoci: (Nec) A = A. Hartshorne uywa w swojej formalizacji implikacji cislej (), któr dalej bdziemy eliminowa na podstawie równowanoci: (/) (A B) (A B) Aksjomatami specyficznymi formalizacji Hartshorne'a s nastpujce dwa zdania: (LAH) * * (Lemat Anzelma: Jeeli najdoskonalszy byt istnieje, to istnieje koniecznie) (LLH) ¬¬ * (Lemat Leibniza: Istnienie bytu najdoskonalszego nie jest niemoliwe) Dowód glównej tezy o koniecznym istnieniu bytu najdoskonalszego, korespondujcy z argumentacj Gödla, wyglda nastpujco:5 TH. * 5 Omówienie oryginalnego dowodu Hartshorne'a i logik, na których mona go oprze, prezentuje J. Perzanowski (1994a). Dowód: 1. * 2. (* *) 3. * * 4. * * 5. * * 6. * [LLH, (/)] [LAH, (/)] [2, K] [(5)] [3, 4] [5, 1] Uprzedzajc systematyczn prezentacj Gödlowskiego formalizmu, odnotujmy w nim odpowiedniki Lematu Anzelma i Lematu Leibniza (wyraenie Gx czytamy: x jest Bogiem): (LA) (xGx xGx) (Istnienie Boga pociga za sob Jego konieczne istnienie) (LL) xGx (Istnienie Boga jest moliwe) Podobiestwo argumentacji Gödla i Hartshorne'a w kluczowym fragmencie jest oczywiste. Wykorzystujc aparat logiki zdaniowej S5, moemy uzyska glówn tez argumentacji Gödla w taki sam sposób, jak TH: TG. xGx (Konieczne jest to, e Bóg istnieje) Jak ju powiedzielimy, formalizm Gödla jest pod wieloma wzgldami bogatszy od teorii Hartshorne'a. Gödel uzasadnia lematy LA i LL, chcc w ten sposób zrealizowa znan ide Leibniza. Po pierwsze, stara si naprawi bld w argumentacji Kartezjusza wielokrotnie wskazywany przez Leibniza, a polegajcy na braku uzasadnienia jednej z kluczowych przeslanek, zgodnie z któr idea Boga jako podmiotu wszystkich doskonaloci jest moliwa6. Po drugie, w teorii Gödla zyskuje uzasadnienie take druga przeslanka argumentacji Kartezjaskiej ­ sam lemat Anzelma. Aby uzupelni dowód ontologiczny, Gödel przyjmuje aksjomaty charakteryzujce kluczowe pierwotne pojcie doskonaloci (perfekcji), oraz definicj Boga jako podmiotu wszystkich perfekcji i kwa lifikacji koniecznego istnienia. W struktur dowodów LA i LL s take istotnie uwiklane modalnoci i , jednak nie w zwizku z charakterystycznymi prawami S5 lub B, i ten fakt stwarza okazj do podjcia próby konstrukcji modalnie slabszej wersji formalizmu Gödla. 67­76. Odniesienia ródlowe i komentarz J. Perzanowskiego znale mona w: Leibniz 1994: 2. Wersja S4 formalizacji Gödla ­ teoria TGS4 Prezentowan teori wyrazimy w jzyku, do którego slownika nale: (i) zmienne indywiduowe (IV): x, y, z, ...; (ii) zmienne predykatowe pierwszego rzdu (PV): , , ...; (iii) stale pierwszego rzdu: G, E czytanie odpowiednio: ... jest Bogiem, ... koniecznie istnieje; (iv) stala predykatowa drugiego rzdu P ­ wlasno ... jest pozytywna; (v) symbole logiczne: -, ¬, , , , , , , = (identyczno pierwszego rzdu), , i (vi) nawiasy. Termy predykatowe (PT) i formuly (FOR) s zdefiniowane indukcyjnie: (i) G, E PT, PV PT (ii) jeeli PT, to ¯ PT (iii) jeeli x IV, PT, to x FOR7 (iv) jeeli x, y IV, to x = y FOR (v) jeeli PT, to P() FOR (vi) jeeli A, B FOR, x IV, PV, to: ¬A, (AB), (AB), (AB), (A B), x A, xA, A, A, A, A FOR Do PT i FOR nale wylcznie wyraenia opisane przez powysze warunki. Zbiór wolnych zmiennych indywiduowych w formule A oznaczymy: FIV(A), zbiór wolnych zmiennych predykatowych w A: FPV(A). Logika, na której oprzemy teori TGS4, jest wyznaczona przez: ­ tautologie klasycznej logiki zdaniowej ­ aksjomaty logiki predykatów pierwszego i drugiego rzdu o nastpujcych postaciach: x (APred1) x A Ay (APred2) A A x Wyraenie Ay (odpowiednio: A ) powstaje z A przez wstawienie w miejsce wszystkich wolnych wystpie zmiennej x (odpowiednio: ) zmiennej y (odpowiednio: termu ). (/1) x A ¬x ¬ A (/2) A ¬ ¬ A ­ aksjomaty dla identycznoci pierwszego rzdu: (Aid1) x = x (Aid2) x = y A A [x/y] Kontekst decyduje o przedmiotowym lub metajzykowym uyciu niektórych zmiennych. (Formula A [x/y] powstaje z A w wyniku zastpienia niektórych wolnych egzemplarzy zmiennej x zmienn y). ­ aksjomaty zdaniowej logiki modalnej S4: (K) (A B) ( A B) (T) A A (4) A A (\) A ¬¬A oraz pierwotne reguly wnioskowania: (MP) A, A B = B (RPred1) A B = A x B, gdzie x FIV(A) (RPred2) A B = A B, gdzie FPV(A) (Nec) A = A Do zbioru tez teorii TGS4 zaliczymy ponadto: ­ podstawienia schematu definicyjnego: (C1) ¯ x ¬ x (x posiada dopelnienie wlasnoci wtw, gdy x nie posiada ) (C2) Gx (P() x) (Bóg jest podmiotem wszystkich wlasnoci pozytywnych) (C3) Ex (Ess. x x x) (Ess. x czytamy: wlasno jest istot x-a) (x koniecznie istnieje wtw, gdy kada jego istotna wlasno z koniecznoci przysluguje czemu) Wyraenie Ess. x jest metajzykowym skrótem dla formuly: ­ x (x x(x x)) aksjomaty specyficzne: (A1) P( ) ¬ P() ¯ (Dowolna wlasno albo jej dopelnienie s pozytywne) (A2) P() P() (Bycie wlasnoci pozytywn jest konieczne) (A3) P(E) (Konieczne istnienie jest pozytywne) (A4) (P() x(x x) P()) (Konieczne jest, by kada wlasno, któr z koniecznoci pociga dowolna wlasno pozytywna, byla take pozytywna) (A5) P(G) (Wlasno bycia Bogiem jest pozytywna) (A6) xGx xGx (Jeeli moliwe jest to, e koniecznie istnieje Bóg, to Bóg istnieje z koniecz noci) W komentarzu do naszej formalizacji zwrómy uwag na nastpujce punkty. 1. Przyjmujemy slabsz wersj charakterystyki predykatu identycznoci. Gödel uywa w swojej notatce symbolu = w kontekcie ze zmiennymi indywiduowymi, ale nie wskazuje na preferowane (slabe lub mocne) jego znaczenie (niektóre konsekwencje przyjcia kadego z nich w wersji Scotta opisalam w: witorzecka 2012). 2. Zakladan logik oslabiamy take przez to, e nie bierzemy pod uwag wszystkich podstawie schematu definicyjnego, ale tylko te, które wprowadzaj: ¯, G i E. W naszej slabej wersji nie potrzebujemy operatora i wykluczamy moliwo uzyskania ewentualnego ,,krachu modalnoci" ­ na gruncie naszej teorii nie jest tez kade podstawienie implikacji A A (Kwestia moliwych sposobów otrzymania takiego efektu w rónych uzupelnieniach notatki Gödla jest szeroko dyskutowana za spraw H. Sobela z 1987 roku. W argumentacji Sobela kluczowe jest zastosowanie operatora do formul domknitych przy jednoczesnym braku ogranicze stosowalnoci reguly (Nec); por. Kovac 2003). 3. Charakterystyka modalnoci w ramach S4 wymaga wzmocnienia oryginalnego aksjomatu: (A04) P() x(x x) P() do jego koniecznociowego domknicia (A4). Pozostale aksjomaty specyficzne oryginalnej wersji formalizmu s równowane swoim koniecznociowym domkniciom ju na gruncie S4. Niech =* oznacza inferencj bez (Nec). Odnotujmy, e: Fakt 1. Dla kadego aksjomatu specyficznego (Ai): TGS4 =* (Ai) (Ai). Dowód: Dla (Ai) =: (A1) mamy:(P( ¯ ) ¬ P()) (P( ¯ ) ¬ P()) Niech A =: P( ¯ ) oraz B =: P(). Wówczas: 1. A ¬B [(A1)] 2. (¬ B A) ( B ¬A) [(A2), (T), (/ ), 1] 3. (¬ BA) (B¬A) [(K), (/ ), 2] 4. (A¬B) [(K), 3] Dla (Ai) =: (A2) mamy: (P() P()) (P() P()) Skorzystamy z tego, e: () P() P() Niech A =: P(). Mamy: 1. A A [(A2)] 2. A A [, 1] 3. A A [S4] 4. A A [S4] 5. A A [2, 3, 4] 6. ¬A A [(/), 5] 7. (¬AA) [(K), 6] 8. (A A) [7] 9. (AA) [, (T), 8] Dla (Ai) =: (A3) i (A5) implikacje postaci (Ai) (Ai) otrzymujemy na podstawie (A2). Dla (Ai)=: (A6) uyjemy tautologicznego schematu S4: () A B (A B) Teraz niech A =: xGx. 1. A A 2. ¬A A 3. (¬ A A) 4. (A A) Mamy: [(A6)] [(K), 1] [, 2] [(K), 3] W zwizku z Faktem 1 zwrómy uwag take na to, e wzmocnienie oryginalnej wersji (A04) do (A4) nie odgrywa roli w dowodzie glównej tezy TG. Do dowodu LL wystarczy (A04) (por. L1), a w dowodzie LA nie korzystamy ani z (A04), ani z (A4). Uzupelnijmy teraz argumentacj Gödla o dowody lematów LL i LA. Lemat LL otrzymujemy z lematu: L1. P() xx Dowód: 1. P() x(P() x) P( ) ¯ ¯ 2. P() x(P() ¬ x)) ¬ P() 3. P() xGx [(A4)] [(A1), 2, (C1) ] [(/), (/1), 2] Na podstawie (L1) mamy: P(G) xGx. Stosujemy (A5) i otrzymujemy LL. W dowodzie LA korzystamy z: L2. Gx GEss. x Dowód: 1. Gx (P() x) [(C2)] 2. P() x(Gx x) [1] 3. P() x(Gx x) [(Nec), 2] 4. P() x(Gx x) [(A2), 3] 5. Gx (P( ) x) ¯ ¯ [1] 6. Gx (x P()) [5, (A1), (C1)] 7. Gx Gx (x x(Gx x)) [4, 6] 8. Gx GEss. x [7] L3. GEssx (Ex xGx) L4. Gx Ex Najpierw dowodzimy: (LA') Dowód: 1. Gx (Ex xGx) 2. Gx xGx 3. xGx xGx i wobec Faktu 1 mamy: (LA) xGx xGx [L2, L3] [1, L4] [2] (xGx xGx)8 [z (C3)] [(C2), (A3)] Na koniec podajmy jeszcze dowód glównej tezy TG, w którym korzystamy z (A6): TG. xGx Dowód: 1. xGx 2. (xGx xGx) 3. xGx xGx) 4. xGx xGx) 5. xGx [LL] [LA] [2, (K), ( / )] [3, A6 (!)] [1, 4] Por. komentarz do Faktu 1. 3. Interpretacja TGS4 w semantyce wiatów moliwych ze zmiennymi dziedzinami W interpretacji naszej teorii skorzystamy z konstrukcji zaproponowanej przez Kovaca (2003). Modyfikujemy w niej pojcie modalnego ultrafiltru i zmieniamy pojcie modelu. Calo upraszczamy i formulujemy jzyku w teorii zbiorów. Przyjmijmy, e ram jest uporzdkowana szóstka K = , gdzie: (1r) W, D s niepustymi i rozlcznymi zbiorami odpowiednio wiatów moli wych i indywiduów, tj. W, D , W D = (2r) Prop (2D)W jest zbiorem funkcji takich, e kada z nich przyporzdkowuje kademu wiatu moliwemu w W podzbiór zbioru D (3r) Q: W 2D jest funkcj, która kademu wiatu moliwemu w W przyporzdkowuje podzbiór zbioru D, przy czym: w Q(w) (4r) R W×W jest relacj dostpnoci wiatów moliwych (5r) jest modalnym ultrafiltrem nad zbiorem D Modalnym ultrafiltrem nad zbiorem D jest funkcja, która kademu wiatu moliwemu w W przyporzdkowuje zbiór funkcji w taki sposób, e: (1u) Niech (w) = D dla kadego w W. Wówczas: wW (w) (2u) Niech N bdzie skoczonym lub nieskoczonym zbiorem indeksów. Mamy: [iN i (w) oraz w' (w' ) = iN i(w' )] (w) (3u) i (w) oraz w' (wRw' i(w' ) j(w' )) j (w) (4u) Niech (w) = D\(w) dla kadego w W. ¯ Wówczas: ¯ (6r) Niech N bdzie zbiorem indeksów oraz iN i (w). Wówczas: jeeli (w) = iN i(w), to: w'w'' (w' Rw'' (w' ) ) w''(w'' ) (7r) (w) w' (wR w' (w' )) (8r) , , Prop. essw, = {d: d (w) oraz (d(w) w' (wRw' (w' ) (w' ))} oraz (w) = {d: (dessw, w' (wRw' d'Q(w' ) d' (w' ))}. Wówczas: w (w). Skomentujmy wprowadzone pojcia. 1. Funkcja Q przyporzdkowuje wiatom moliwym moliwie róne uniwersa indywiduów. 2. Elementy zbioru Prop s ekstensjonalnymi odpowiednikami wlasnoci zrelatywizowanych do wiatów moliwych. Kady z nich jest funkcj, która odnotowuje zmienno dowolnej wlasnoci w rónych wiatach moliwych. Zauwamy, e nie wprowadza si ograniczenia, zgodnie z którym wartoci funkcji nalecej do Prop w dowolnym wiecie w ma by zbiór indywiduów nalecych do jego dziedziny Q(w) (w tym znaczeniu moemy take mówi w danym wiecie moliwym o wlasnociach indywiduów, które nie s w nim aktualne). 3. Modalny ultrafiltr jest korelatem semantycznym ogólu wlasnoci pozytywnych. Dla dowolnej ramy K = okrelimy funkcj waluacji zmiennych v tak, e: (1v) v(x) D dla kadej zmiennej x IV (2v) v() Prop dla kadej zmiennej PV Funkcj v rozszerzymy na termy ¯ i G: (3v) w [v( ¯ )](w) = D\ [v()](w) (4v) w [v(G)](w) = iN i(w), dla kadej funkcji i Gdy v i v' s dwiema waluacjami w K = i maj wszystkie takie same wartoci z moliwym wyjtkiem dla x, bdziemy mówi, e v' jest x-wariantem waluacji v: v =x v'. Podobnie dla waluacji v i v', z jedyn moliw rónic dla : v = v' (odp. v' jest -wariantem waluacji v). Dla formul niezawierajcych predykatu E indukcyjnie okrelimy pojcie spelniania. Wyraenie: (K, w) v A czytamy: formula A jest spelniona w wiecie moliwym w ramie K przez wartociowanie v. Dla dowolnej ramy K = , w W i wartociowania v mamy: (1s) (K, w) v x wtw, gdy v(x) [v()](w) v P (2s) (K, w) wtw, gdy v() (w) (3s) (K, w) v x = y wtw, gdy v(x) = v(y) (4s) (K, w) v ¬ A wtw, gdy (K, w) v A v AB wtw, gdy (5s) (K, w) (K, w) v A lub (K, w) v B (Dla pozostalych spójników prawdziwociowych charakterystyka jest standardowa). (6s) (K, w) v xA v'(x) Q(w) (7s) (K, w) v A (8s) (K, w) v A (Warunki dla formul z wtw, gdy (K, w) v' A dla kadego v': v =x v' oraz wtw, gdy (K, w) v' A dla kadego v': v = v' wtw, gdy w' (wRw' (K, w') v A) i s standardowe). Zauwamy, e w odrónieniu od aktualistycznej interpretacji kwantyfikatorów wicych zmienne indywiduowe, przyjmujemy possybilistyczn kwantyfikacj wlasnoci. Teraz moemy wyznaczy take waluacj termu E. Niech vd bdzie dowoln waluacj zmiennych, dla której v(x) = d. Wówczas: (5v) w [v(E)](w) = {d D: (K, w') vd (Ess.x xx)} (Teraz moemy powtórzy kroki (1s) ­ (8s)). Pojcie modelu zdefiniujemy tak, aby bylo moliwe uywanie aktualistycznych kwantyfikatorów dla zmiennych pierwszego rzdu bez wprowadzania ogranicze zwizanych z uyciem (APred1) (por. Cresswell 2001): Niech K = . (K, v) jest modelem dla A FOR wtw, gdy (K, w) v A, dla kadego w W, gdzie v(x) Q(w) dla kadego x FIV(A). Na podstawie wprowadzonych definicji odnotujmy, e: Fakt 2. (K, v), w której R jest zwrotna i przechodnia w W, jest modelem teorii aksjomatów logicznych. Dowód jest indukcyjny. Dla C1 ­ C3 bierzemy 3v, 4v, 5v oraz definicje z 4u, 2u i 8r. Fakt 3. Para (K, v), w której R jest zwrotna i przechodnia w W, jest modelem aksjomatów specyficznych (A1) ­ (A6). W dowodzie uywamy: dla (A1) ­ 4u, dla (A2) ­ 7r, dla (A3) ­ 8r, dla (A4) ­ 3u, dla (A5) ­ 2u, dla (A6) ­ 6r. Twierdzenie. Para (K, v), w której R jest zwrotna i przechodnia w W, jest modelem teorii TGS4. x x Zaproponowany formalizm ogranicza siln redukcj modalnoci S5 do wybranego specyficznego kontekstu, ale te nie trywializuje logiki funktorów i . Jak pokazalimy, teoria TGS4 posiada interpretacj w aktualistycznej semantyce wiatów moliwych. Te wlasnoci czyni j by moe podatn na dalsze rozszerzenia, w których bierze si pod uwag nie tylko perfekcje i realizujcy je Absolut, ale i inne kwalifikacje rónych od Niego indywiduów. Zgodnie z intencj Leibniza, teoria Absolutu (teofilozofia), jako skladowa racjonalistycznej metafizyki zachodniej, jest przecie wlaciw czci ontologii (Perzanowski 1994b). Bibliografia Cresswell M.J. (2001), Modal Logic, w: L. Gobble (ed.), Philosophical Logic, Oxford: Blackwell, s. 133­158. Czermak J. (2002), Abriss des ontologischen Argumentes, w: Kurt Gödel. Wah rheit und Beweisbarkeit, Part II. Kompedium zum Werk, red. B. Buldt, E. Köhler, M. Stöltzner, P. Weibel, C. Klein, W. Depauli-SchimanowichGöttig, Wiede: ÖBV et HPT VerlagsgmbH and Co. KG, s. 309­324. Fitting M. (2002), Types, Tableaus, and Gödel's God, Trends in Logic, Dordrecht: Kluwer A. Publ. Hàjek P. (2002), Der Mathematiker und die Frage der Existenz Gottes (betref fend Gödels ontologischen Beweis) w: Kurt Gödel. Wahrheit und Beweis barkeit, Part II. Kompedium zum Werk, red. B. Buldt, E. Köhler, M. Stöltzner, P. Weibel, C. Klein, W. Depauli-Schimanowich-Göttig, Wiede: ÖBV et HPT VerlagsgmbH and Co. KG, s. 325­336. Hartshorne Ch. (1962), The Logic of Perfection, La Salle: Open Court, wyd. IV: 1991. Kovc S. (2003), Some weakened Gödelian ontological systems, ,,Journal of Philosophical Logic" 32, s. 565­588. Leibniz G.W. (1994), Pisma z teologii mistycznej, tlum. i red. Malgorzata Frankiewicz, Kraków: Znak. Perzanowski J. (1994a), O wskazanych przez Ch. Hartshorne'a modalnych krokach w dowodzie ontologicznym w. Anzelma, w: A. Pietruszczak (red.), Filozofia/Logika. Filozofia Logiczna 1994, Toru: Wydawnictwo UMK, s. 77­96. Perzanowski J. (1994b), Teofilozofia Leibniza, w: G.W. Leibniz, Pisma z teo logii mistycznej, tlum. i red. Malgorzata Frankiewicz, Kraków: Znak, s. 243­351. Sobel J.H. (1987), Gödel's Ontological Proof, w: J.J. Thomson (ed.), On Being and Saying. Essays for Richard Cartwright, London, Cambridge, Massachusetts: The MIT Press, s. 241­261. witorzecka K. (2012), Jedyno i tosamo Absolutu w Kurta Gödla teorii summum bonum, w: J. Goliska-Pilarek, A. Wójtowicz (red.), Identycz no znaku czy znak identycznoci? Wokól logiki niefregowskiej, Warszawa: Wydawnictwa Uniwersytetu Warszawskiego, s. 177­188. Woleski J. (2011), Gaunilon dzisiaj, w: S. Wszolek (red.), Dowody ontolo giczne. W 900. rocznic mierci w. Anzelma, Kraków: Copernicus Center Press, s. 21­34. Streszczenie Prezentowane rozwaania s efektem poszukiwania moliwie slabej podstawy formalnej dla modalnej wersji ontologicznego argumentu na konieczne istnienie Boga, naszkicowanego przez K. Gödla. Dotychczasowe modalne rekonstrukcje notatki Gödla Ontologischer Beweis (1970) najczciej opieraj argumentacj Gödla na rónych kwantyfikatorowych rozszerzeniach logiki modalnej S5 lub B. System S5, jako podstawa formalna zamierzona przez samego autora, umoliwia okrelon konstrukcj argumentu ontologicznego, jednak z drugiej strony ten sposób rozumienia modalnoci moe by uwaany take za ródlo slaboci opartej na nim teorii Absolutu ­ redukcja modalnoci S5 (i B) moe dawa okazj do formulowania krytyki w stylu Gaunilona. Standardowe rozszerzenie S5 lub B do logiki kwantyfikatorowej jest uwiklane w dalsze komplikacje: w odpowiednio rozbudowanej standardowej semantyce wiatów moliwych rozstrzyga si, e modele tych logik maj stale uniwersum indywiduów. Tymczasem to rozstrzygnicie nie ma zwizku z zasadniczym problemem rozwaanym w formalizmie Gödla. W proponowanej wersji argumentu Gödla ograniczam redukcj modalnoci S5 do wybranego specyficznego kontekstu dotyczcego istnienia Absolutu. Logik, która pozwala zachowa konstrukcj argumentacji Gödla, okazuje si system S4. Otrzyman teori wi z semantyk wiatów moliwych z moliwie zmiennymi uniwersami. Istnienie indywiduów wyraam za pomoc kwantyfikatora interpretowanego aktualistycznie, bez uycia pierwotnego predykatu istnienia. http://www.deepdyve.com/assets/images/DeepDyve-Logo-lg.png Przeglad Filozoficzny - Nowa Seria de Gruyter

Ontologiczny dowód Gödla z ograniczoną redukcją modalności

Download PDF
14 pages

Loading next page...
 
/lp/de-gruyter/ontologiczny-dow-d-g-dla-z-ograniczon-redukcj-modalno-ci-scYZ3t2pkI

References (1)

Publisher
de Gruyter
Copyright
Copyright © 2012 by the
eISSN
1230-1493
DOI
10.2478/v10271-012-0061-y
Publisher site
See Article on Publisher Site

Abstract

Przegld Filozoficzny ­ Nowa Seria R. 21: 2012, Nr 3 (83), ISSN 1230­1493 DOI: 10.2478/v10271-012-0061-y Logika Zakres nazwy ,,logika" jest oczywicie spraw konwencji, ale nazywanie logik teorii prowadzcej do mocnych rozstrzygni egzystencjalnych nasuwa powane wtpliwoci. [Lepiej byloby] powiedzie, e dowód Lematu Leibniza [zgodnie z którym istnienie bytu najdoskonalszego nie jest niemoliwe] i dalsze kroki [argumentu ontologicznego] odbywaj si w ramach pewnej teorii formalnej dotyczcej poj modalnych, a nie maj charakter czysto logiczny. J. Woleski, Gaunilon dzisiaj Slowa kluczowe: dowód ontologiczny, K. Gödel, dowód na istnienie Boga, teodycea, formalizacja Wybór rachunku o odpowiedniej mocy dedukcyjnej, na którym chcemy oprze jak teori, oraz wskazanie jej aksjomatów specyficznych s uzalenione od tego, co jestemy gotowi uzna za specyfik charakteryzowanych przez t teori poj w klasie dopuszczalnych jej interpretacji. Od takich rozstrzygni zaley take pragmatyczna warto konstruowanej teorii ­ to one decyduj o kwalifikacjach pragmatycznych aksjomatów, m.in. w zwizku z ich logicznym lub pozalogicznym statusem. Mimo e nie istniej ogólne kryteria ,,odpowiednich" wyborów w tych sprawach, to w niektórych sytuacjach daje si ustali przynajmniej jakie ,,graniczne" przypadki, które trywializuj analizowany problem lub uniemoliwiaj jego rozwizanie, a niekiedy zbdnie rozstrzygaj kwestie z nim zasadniczo niezwizane. Ich wskazywanie jest przy tym o tyle uzasadnione, e mona w ten sposób istotnie zawzi spektrum akceptowalnych formalizacji podnoszonego zagadnienia. Prezentowane rozwaania s efektem poszukiwania ,,odpowiedniej" i zarazem moliwie slabej podstawy formalnej ontologicznego argumentu na konieczne istnienie Boga, naszkicowanego przez K. Gödla. Dotychczasowe modalne rekonstrukcje notatki Gödla z 1970 roku zatytulowanej Ontologischer Beweis odwoluj si najczciej do uzupelnienia D. Scotta i opieraj argumentacj Gödla na rónych kwantyfikatorowych rozszerzeniach logiki modalnej S5 lub B. Bezsporne jest te, e zamierzon przez samego autora charakterystyk modalnoci byl wlanie system S5. Znaczenie funktorów modalnych w S5 (i B) umoliwia okrelon konstrukcj argumentu ontologicznego, jednak z drugiej strony moe by uwaane take za ródlo slaboci opartej na nim teorii Absolutu. Gdy tak teori zechcemy wzbogaci i wzi pod uwag w szczególnoci moliwe egzystencjalne relacje midzy Absolutem a innymi (przygodnymi) indywiduami, modalnoci i wydaj si nie podlega redukcji charakterystycznej dla systemów S5 i B1. Standardowe rozszerzenie S5 lub B do logiki kwantyfikatorowej uwiklane jest w kolejne znane trudnoci. W odpowiednio rozbudowanej standardowej semantyce wiatów moliwych rozstrzyga si, e modele tych logik maj stale uniwersum indywiduów, i to ograniczenie dziedzicz interpretacje opartych na nich teorii2. Tymczasem tego rodzaju rozstrzygnicie nie ma zwizku z zasadniczym problemem rozwaanym w formalizmie Gödla3. W poniej zaproponowanej wersji argumentu Gödla ograniczymy redukcj modalnoci S5 do wybranego specyficznego kontekstu dotyczcego istnienia Absolutu. Logik, która pozwala zachowa konstrukcj argumentacji Gödla, okae si system S4. Otrzyman teori skojarzymy z semantyk wiatów moliwych z moliwie zmiennymi uniwersami. Istnienie indywiduów wyrazimy za pomoc kwantyfikatora zinterpretowanego aktualistycznie, bez uycia pierwotnego predykatu istnienia. 1. Argumentacja Gödla i jej prototyp ­ formalizm C. Hartshorne'a Komentatorzy formalizacji Gödla s zgodni w kwestii filozoficznych odniesie naszkicowanego przez niego argumentu4. Jak powszechnie si uwaa, glówn 1 Odnonie tej redukcji mona próbowa na nowo podj krytyk w stylu Gaunilona ­ tym razem (dla S5) kwestionowalibymy to, e moliwo koniecznego istnienia dowolnego obiektu najdoskonalszego w jakiej klasie (,,Najdoskonalszej Wyspy") pociga za sob jego konieczne istnienie. 2 Tak semantyk dla swoich wersji argumentu Gödla przyjmuj np. J. Czermak (2002) i P. Hàjek (2002). 3 Interpretacje M. Fittinga (2002) i S. Kovaca (2003) dopuszczaj zmienno uniwersum indywiduów. 4 Szczególowe ich omówienie mona znale np. w: Czermak 2002. inspiracj stanowil dla Gödla wyklad Leibnizjaskiej filozofii Boga. Podobnie jak Leibniz, Gödel oparl swój dowód na pierwotnym pojciu pozytywnoci (positiveness), które koresponduje z Leibnizjaskim perfectio, i przejl ide Boga jako subiectum omnium perfectionum. Drugie podobiestwo do koncepcji Leibniza zasadza si na samej strukturze argumentacji, odnotowanej za pomoc wspólczesnej logiki modalnej ju przed Gödlem przez C. Hartshorne'a. Gödel znal próby Hartshorne'a; zachowal te zasadnicz konstrukcj jego formalizmu, ale swoj argumentacj istotnie rozbudowal, uzasadniajc odpowiedniki dwóch zasadniczych aksjomatów Hartshorne'a. Formalizacja Hartshorne'a (1962) jest sformulowana w jzyku zdaniowym z klasycznymi funktorami prawdziwociowymi, operatorami modalnymi , , do którego dodano stal zdaniow: *=: Byt najdoskonalszy istnieje. Za podstaw formaln przyjmuje si zdaniow logik S5, która powstaje przez rozszerzenie klasycznej logiki zdaniowej o aksjomaty o nastpujcych postaciach: (K) (A B) ( A B) (T) A A (5) A A (/) A ¬¬A oraz regul wprowadzania koniecznoci: (Nec) A = A. Hartshorne uywa w swojej formalizacji implikacji cislej (), któr dalej bdziemy eliminowa na podstawie równowanoci: (/) (A B) (A B) Aksjomatami specyficznymi formalizacji Hartshorne'a s nastpujce dwa zdania: (LAH) * * (Lemat Anzelma: Jeeli najdoskonalszy byt istnieje, to istnieje koniecznie) (LLH) ¬¬ * (Lemat Leibniza: Istnienie bytu najdoskonalszego nie jest niemoliwe) Dowód glównej tezy o koniecznym istnieniu bytu najdoskonalszego, korespondujcy z argumentacj Gödla, wyglda nastpujco:5 TH. * 5 Omówienie oryginalnego dowodu Hartshorne'a i logik, na których mona go oprze, prezentuje J. Perzanowski (1994a). Dowód: 1. * 2. (* *) 3. * * 4. * * 5. * * 6. * [LLH, (/)] [LAH, (/)] [2, K] [(5)] [3, 4] [5, 1] Uprzedzajc systematyczn prezentacj Gödlowskiego formalizmu, odnotujmy w nim odpowiedniki Lematu Anzelma i Lematu Leibniza (wyraenie Gx czytamy: x jest Bogiem): (LA) (xGx xGx) (Istnienie Boga pociga za sob Jego konieczne istnienie) (LL) xGx (Istnienie Boga jest moliwe) Podobiestwo argumentacji Gödla i Hartshorne'a w kluczowym fragmencie jest oczywiste. Wykorzystujc aparat logiki zdaniowej S5, moemy uzyska glówn tez argumentacji Gödla w taki sam sposób, jak TH: TG. xGx (Konieczne jest to, e Bóg istnieje) Jak ju powiedzielimy, formalizm Gödla jest pod wieloma wzgldami bogatszy od teorii Hartshorne'a. Gödel uzasadnia lematy LA i LL, chcc w ten sposób zrealizowa znan ide Leibniza. Po pierwsze, stara si naprawi bld w argumentacji Kartezjusza wielokrotnie wskazywany przez Leibniza, a polegajcy na braku uzasadnienia jednej z kluczowych przeslanek, zgodnie z któr idea Boga jako podmiotu wszystkich doskonaloci jest moliwa6. Po drugie, w teorii Gödla zyskuje uzasadnienie take druga przeslanka argumentacji Kartezjaskiej ­ sam lemat Anzelma. Aby uzupelni dowód ontologiczny, Gödel przyjmuje aksjomaty charakteryzujce kluczowe pierwotne pojcie doskonaloci (perfekcji), oraz definicj Boga jako podmiotu wszystkich perfekcji i kwa lifikacji koniecznego istnienia. W struktur dowodów LA i LL s take istotnie uwiklane modalnoci i , jednak nie w zwizku z charakterystycznymi prawami S5 lub B, i ten fakt stwarza okazj do podjcia próby konstrukcji modalnie slabszej wersji formalizmu Gödla. 67­76. Odniesienia ródlowe i komentarz J. Perzanowskiego znale mona w: Leibniz 1994: 2. Wersja S4 formalizacji Gödla ­ teoria TGS4 Prezentowan teori wyrazimy w jzyku, do którego slownika nale: (i) zmienne indywiduowe (IV): x, y, z, ...; (ii) zmienne predykatowe pierwszego rzdu (PV): , , ...; (iii) stale pierwszego rzdu: G, E czytanie odpowiednio: ... jest Bogiem, ... koniecznie istnieje; (iv) stala predykatowa drugiego rzdu P ­ wlasno ... jest pozytywna; (v) symbole logiczne: -, ¬, , , , , , , = (identyczno pierwszego rzdu), , i (vi) nawiasy. Termy predykatowe (PT) i formuly (FOR) s zdefiniowane indukcyjnie: (i) G, E PT, PV PT (ii) jeeli PT, to ¯ PT (iii) jeeli x IV, PT, to x FOR7 (iv) jeeli x, y IV, to x = y FOR (v) jeeli PT, to P() FOR (vi) jeeli A, B FOR, x IV, PV, to: ¬A, (AB), (AB), (AB), (A B), x A, xA, A, A, A, A FOR Do PT i FOR nale wylcznie wyraenia opisane przez powysze warunki. Zbiór wolnych zmiennych indywiduowych w formule A oznaczymy: FIV(A), zbiór wolnych zmiennych predykatowych w A: FPV(A). Logika, na której oprzemy teori TGS4, jest wyznaczona przez: ­ tautologie klasycznej logiki zdaniowej ­ aksjomaty logiki predykatów pierwszego i drugiego rzdu o nastpujcych postaciach: x (APred1) x A Ay (APred2) A A x Wyraenie Ay (odpowiednio: A ) powstaje z A przez wstawienie w miejsce wszystkich wolnych wystpie zmiennej x (odpowiednio: ) zmiennej y (odpowiednio: termu ). (/1) x A ¬x ¬ A (/2) A ¬ ¬ A ­ aksjomaty dla identycznoci pierwszego rzdu: (Aid1) x = x (Aid2) x = y A A [x/y] Kontekst decyduje o przedmiotowym lub metajzykowym uyciu niektórych zmiennych. (Formula A [x/y] powstaje z A w wyniku zastpienia niektórych wolnych egzemplarzy zmiennej x zmienn y). ­ aksjomaty zdaniowej logiki modalnej S4: (K) (A B) ( A B) (T) A A (4) A A (\) A ¬¬A oraz pierwotne reguly wnioskowania: (MP) A, A B = B (RPred1) A B = A x B, gdzie x FIV(A) (RPred2) A B = A B, gdzie FPV(A) (Nec) A = A Do zbioru tez teorii TGS4 zaliczymy ponadto: ­ podstawienia schematu definicyjnego: (C1) ¯ x ¬ x (x posiada dopelnienie wlasnoci wtw, gdy x nie posiada ) (C2) Gx (P() x) (Bóg jest podmiotem wszystkich wlasnoci pozytywnych) (C3) Ex (Ess. x x x) (Ess. x czytamy: wlasno jest istot x-a) (x koniecznie istnieje wtw, gdy kada jego istotna wlasno z koniecznoci przysluguje czemu) Wyraenie Ess. x jest metajzykowym skrótem dla formuly: ­ x (x x(x x)) aksjomaty specyficzne: (A1) P( ) ¬ P() ¯ (Dowolna wlasno albo jej dopelnienie s pozytywne) (A2) P() P() (Bycie wlasnoci pozytywn jest konieczne) (A3) P(E) (Konieczne istnienie jest pozytywne) (A4) (P() x(x x) P()) (Konieczne jest, by kada wlasno, któr z koniecznoci pociga dowolna wlasno pozytywna, byla take pozytywna) (A5) P(G) (Wlasno bycia Bogiem jest pozytywna) (A6) xGx xGx (Jeeli moliwe jest to, e koniecznie istnieje Bóg, to Bóg istnieje z koniecz noci) W komentarzu do naszej formalizacji zwrómy uwag na nastpujce punkty. 1. Przyjmujemy slabsz wersj charakterystyki predykatu identycznoci. Gödel uywa w swojej notatce symbolu = w kontekcie ze zmiennymi indywiduowymi, ale nie wskazuje na preferowane (slabe lub mocne) jego znaczenie (niektóre konsekwencje przyjcia kadego z nich w wersji Scotta opisalam w: witorzecka 2012). 2. Zakladan logik oslabiamy take przez to, e nie bierzemy pod uwag wszystkich podstawie schematu definicyjnego, ale tylko te, które wprowadzaj: ¯, G i E. W naszej slabej wersji nie potrzebujemy operatora i wykluczamy moliwo uzyskania ewentualnego ,,krachu modalnoci" ­ na gruncie naszej teorii nie jest tez kade podstawienie implikacji A A (Kwestia moliwych sposobów otrzymania takiego efektu w rónych uzupelnieniach notatki Gödla jest szeroko dyskutowana za spraw H. Sobela z 1987 roku. W argumentacji Sobela kluczowe jest zastosowanie operatora do formul domknitych przy jednoczesnym braku ogranicze stosowalnoci reguly (Nec); por. Kovac 2003). 3. Charakterystyka modalnoci w ramach S4 wymaga wzmocnienia oryginalnego aksjomatu: (A04) P() x(x x) P() do jego koniecznociowego domknicia (A4). Pozostale aksjomaty specyficzne oryginalnej wersji formalizmu s równowane swoim koniecznociowym domkniciom ju na gruncie S4. Niech =* oznacza inferencj bez (Nec). Odnotujmy, e: Fakt 1. Dla kadego aksjomatu specyficznego (Ai): TGS4 =* (Ai) (Ai). Dowód: Dla (Ai) =: (A1) mamy:(P( ¯ ) ¬ P()) (P( ¯ ) ¬ P()) Niech A =: P( ¯ ) oraz B =: P(). Wówczas: 1. A ¬B [(A1)] 2. (¬ B A) ( B ¬A) [(A2), (T), (/ ), 1] 3. (¬ BA) (B¬A) [(K), (/ ), 2] 4. (A¬B) [(K), 3] Dla (Ai) =: (A2) mamy: (P() P()) (P() P()) Skorzystamy z tego, e: () P() P() Niech A =: P(). Mamy: 1. A A [(A2)] 2. A A [, 1] 3. A A [S4] 4. A A [S4] 5. A A [2, 3, 4] 6. ¬A A [(/), 5] 7. (¬AA) [(K), 6] 8. (A A) [7] 9. (AA) [, (T), 8] Dla (Ai) =: (A3) i (A5) implikacje postaci (Ai) (Ai) otrzymujemy na podstawie (A2). Dla (Ai)=: (A6) uyjemy tautologicznego schematu S4: () A B (A B) Teraz niech A =: xGx. 1. A A 2. ¬A A 3. (¬ A A) 4. (A A) Mamy: [(A6)] [(K), 1] [, 2] [(K), 3] W zwizku z Faktem 1 zwrómy uwag take na to, e wzmocnienie oryginalnej wersji (A04) do (A4) nie odgrywa roli w dowodzie glównej tezy TG. Do dowodu LL wystarczy (A04) (por. L1), a w dowodzie LA nie korzystamy ani z (A04), ani z (A4). Uzupelnijmy teraz argumentacj Gödla o dowody lematów LL i LA. Lemat LL otrzymujemy z lematu: L1. P() xx Dowód: 1. P() x(P() x) P( ) ¯ ¯ 2. P() x(P() ¬ x)) ¬ P() 3. P() xGx [(A4)] [(A1), 2, (C1) ] [(/), (/1), 2] Na podstawie (L1) mamy: P(G) xGx. Stosujemy (A5) i otrzymujemy LL. W dowodzie LA korzystamy z: L2. Gx GEss. x Dowód: 1. Gx (P() x) [(C2)] 2. P() x(Gx x) [1] 3. P() x(Gx x) [(Nec), 2] 4. P() x(Gx x) [(A2), 3] 5. Gx (P( ) x) ¯ ¯ [1] 6. Gx (x P()) [5, (A1), (C1)] 7. Gx Gx (x x(Gx x)) [4, 6] 8. Gx GEss. x [7] L3. GEssx (Ex xGx) L4. Gx Ex Najpierw dowodzimy: (LA') Dowód: 1. Gx (Ex xGx) 2. Gx xGx 3. xGx xGx i wobec Faktu 1 mamy: (LA) xGx xGx [L2, L3] [1, L4] [2] (xGx xGx)8 [z (C3)] [(C2), (A3)] Na koniec podajmy jeszcze dowód glównej tezy TG, w którym korzystamy z (A6): TG. xGx Dowód: 1. xGx 2. (xGx xGx) 3. xGx xGx) 4. xGx xGx) 5. xGx [LL] [LA] [2, (K), ( / )] [3, A6 (!)] [1, 4] Por. komentarz do Faktu 1. 3. Interpretacja TGS4 w semantyce wiatów moliwych ze zmiennymi dziedzinami W interpretacji naszej teorii skorzystamy z konstrukcji zaproponowanej przez Kovaca (2003). Modyfikujemy w niej pojcie modalnego ultrafiltru i zmieniamy pojcie modelu. Calo upraszczamy i formulujemy jzyku w teorii zbiorów. Przyjmijmy, e ram jest uporzdkowana szóstka K = , gdzie: (1r) W, D s niepustymi i rozlcznymi zbiorami odpowiednio wiatów moli wych i indywiduów, tj. W, D , W D = (2r) Prop (2D)W jest zbiorem funkcji takich, e kada z nich przyporzdkowuje kademu wiatu moliwemu w W podzbiór zbioru D (3r) Q: W 2D jest funkcj, która kademu wiatu moliwemu w W przyporzdkowuje podzbiór zbioru D, przy czym: w Q(w) (4r) R W×W jest relacj dostpnoci wiatów moliwych (5r) jest modalnym ultrafiltrem nad zbiorem D Modalnym ultrafiltrem nad zbiorem D jest funkcja, która kademu wiatu moliwemu w W przyporzdkowuje zbiór funkcji w taki sposób, e: (1u) Niech (w) = D dla kadego w W. Wówczas: wW (w) (2u) Niech N bdzie skoczonym lub nieskoczonym zbiorem indeksów. Mamy: [iN i (w) oraz w' (w' ) = iN i(w' )] (w) (3u) i (w) oraz w' (wRw' i(w' ) j(w' )) j (w) (4u) Niech (w) = D\(w) dla kadego w W. ¯ Wówczas: ¯ (6r) Niech N bdzie zbiorem indeksów oraz iN i (w). Wówczas: jeeli (w) = iN i(w), to: w'w'' (w' Rw'' (w' ) ) w''(w'' ) (7r) (w) w' (wR w' (w' )) (8r) , , Prop. essw, = {d: d (w) oraz (d(w) w' (wRw' (w' ) (w' ))} oraz (w) = {d: (dessw, w' (wRw' d'Q(w' ) d' (w' ))}. Wówczas: w (w). Skomentujmy wprowadzone pojcia. 1. Funkcja Q przyporzdkowuje wiatom moliwym moliwie róne uniwersa indywiduów. 2. Elementy zbioru Prop s ekstensjonalnymi odpowiednikami wlasnoci zrelatywizowanych do wiatów moliwych. Kady z nich jest funkcj, która odnotowuje zmienno dowolnej wlasnoci w rónych wiatach moliwych. Zauwamy, e nie wprowadza si ograniczenia, zgodnie z którym wartoci funkcji nalecej do Prop w dowolnym wiecie w ma by zbiór indywiduów nalecych do jego dziedziny Q(w) (w tym znaczeniu moemy take mówi w danym wiecie moliwym o wlasnociach indywiduów, które nie s w nim aktualne). 3. Modalny ultrafiltr jest korelatem semantycznym ogólu wlasnoci pozytywnych. Dla dowolnej ramy K = okrelimy funkcj waluacji zmiennych v tak, e: (1v) v(x) D dla kadej zmiennej x IV (2v) v() Prop dla kadej zmiennej PV Funkcj v rozszerzymy na termy ¯ i G: (3v) w [v( ¯ )](w) = D\ [v()](w) (4v) w [v(G)](w) = iN i(w), dla kadej funkcji i Gdy v i v' s dwiema waluacjami w K = i maj wszystkie takie same wartoci z moliwym wyjtkiem dla x, bdziemy mówi, e v' jest x-wariantem waluacji v: v =x v'. Podobnie dla waluacji v i v', z jedyn moliw rónic dla : v = v' (odp. v' jest -wariantem waluacji v). Dla formul niezawierajcych predykatu E indukcyjnie okrelimy pojcie spelniania. Wyraenie: (K, w) v A czytamy: formula A jest spelniona w wiecie moliwym w ramie K przez wartociowanie v. Dla dowolnej ramy K = , w W i wartociowania v mamy: (1s) (K, w) v x wtw, gdy v(x) [v()](w) v P (2s) (K, w) wtw, gdy v() (w) (3s) (K, w) v x = y wtw, gdy v(x) = v(y) (4s) (K, w) v ¬ A wtw, gdy (K, w) v A v AB wtw, gdy (5s) (K, w) (K, w) v A lub (K, w) v B (Dla pozostalych spójników prawdziwociowych charakterystyka jest standardowa). (6s) (K, w) v xA v'(x) Q(w) (7s) (K, w) v A (8s) (K, w) v A (Warunki dla formul z wtw, gdy (K, w) v' A dla kadego v': v =x v' oraz wtw, gdy (K, w) v' A dla kadego v': v = v' wtw, gdy w' (wRw' (K, w') v A) i s standardowe). Zauwamy, e w odrónieniu od aktualistycznej interpretacji kwantyfikatorów wicych zmienne indywiduowe, przyjmujemy possybilistyczn kwantyfikacj wlasnoci. Teraz moemy wyznaczy take waluacj termu E. Niech vd bdzie dowoln waluacj zmiennych, dla której v(x) = d. Wówczas: (5v) w [v(E)](w) = {d D: (K, w') vd (Ess.x xx)} (Teraz moemy powtórzy kroki (1s) ­ (8s)). Pojcie modelu zdefiniujemy tak, aby bylo moliwe uywanie aktualistycznych kwantyfikatorów dla zmiennych pierwszego rzdu bez wprowadzania ogranicze zwizanych z uyciem (APred1) (por. Cresswell 2001): Niech K = . (K, v) jest modelem dla A FOR wtw, gdy (K, w) v A, dla kadego w W, gdzie v(x) Q(w) dla kadego x FIV(A). Na podstawie wprowadzonych definicji odnotujmy, e: Fakt 2. (K, v), w której R jest zwrotna i przechodnia w W, jest modelem teorii aksjomatów logicznych. Dowód jest indukcyjny. Dla C1 ­ C3 bierzemy 3v, 4v, 5v oraz definicje z 4u, 2u i 8r. Fakt 3. Para (K, v), w której R jest zwrotna i przechodnia w W, jest modelem aksjomatów specyficznych (A1) ­ (A6). W dowodzie uywamy: dla (A1) ­ 4u, dla (A2) ­ 7r, dla (A3) ­ 8r, dla (A4) ­ 3u, dla (A5) ­ 2u, dla (A6) ­ 6r. Twierdzenie. Para (K, v), w której R jest zwrotna i przechodnia w W, jest modelem teorii TGS4. x x Zaproponowany formalizm ogranicza siln redukcj modalnoci S5 do wybranego specyficznego kontekstu, ale te nie trywializuje logiki funktorów i . Jak pokazalimy, teoria TGS4 posiada interpretacj w aktualistycznej semantyce wiatów moliwych. Te wlasnoci czyni j by moe podatn na dalsze rozszerzenia, w których bierze si pod uwag nie tylko perfekcje i realizujcy je Absolut, ale i inne kwalifikacje rónych od Niego indywiduów. Zgodnie z intencj Leibniza, teoria Absolutu (teofilozofia), jako skladowa racjonalistycznej metafizyki zachodniej, jest przecie wlaciw czci ontologii (Perzanowski 1994b). Bibliografia Cresswell M.J. (2001), Modal Logic, w: L. Gobble (ed.), Philosophical Logic, Oxford: Blackwell, s. 133­158. Czermak J. (2002), Abriss des ontologischen Argumentes, w: Kurt Gödel. Wah rheit und Beweisbarkeit, Part II. Kompedium zum Werk, red. B. Buldt, E. Köhler, M. Stöltzner, P. Weibel, C. Klein, W. Depauli-SchimanowichGöttig, Wiede: ÖBV et HPT VerlagsgmbH and Co. KG, s. 309­324. Fitting M. (2002), Types, Tableaus, and Gödel's God, Trends in Logic, Dordrecht: Kluwer A. Publ. Hàjek P. (2002), Der Mathematiker und die Frage der Existenz Gottes (betref fend Gödels ontologischen Beweis) w: Kurt Gödel. Wahrheit und Beweis barkeit, Part II. Kompedium zum Werk, red. B. Buldt, E. Köhler, M. Stöltzner, P. Weibel, C. Klein, W. Depauli-Schimanowich-Göttig, Wiede: ÖBV et HPT VerlagsgmbH and Co. KG, s. 325­336. Hartshorne Ch. (1962), The Logic of Perfection, La Salle: Open Court, wyd. IV: 1991. Kovc S. (2003), Some weakened Gödelian ontological systems, ,,Journal of Philosophical Logic" 32, s. 565­588. Leibniz G.W. (1994), Pisma z teologii mistycznej, tlum. i red. Malgorzata Frankiewicz, Kraków: Znak. Perzanowski J. (1994a), O wskazanych przez Ch. Hartshorne'a modalnych krokach w dowodzie ontologicznym w. Anzelma, w: A. Pietruszczak (red.), Filozofia/Logika. Filozofia Logiczna 1994, Toru: Wydawnictwo UMK, s. 77­96. Perzanowski J. (1994b), Teofilozofia Leibniza, w: G.W. Leibniz, Pisma z teo logii mistycznej, tlum. i red. Malgorzata Frankiewicz, Kraków: Znak, s. 243­351. Sobel J.H. (1987), Gödel's Ontological Proof, w: J.J. Thomson (ed.), On Being and Saying. Essays for Richard Cartwright, London, Cambridge, Massachusetts: The MIT Press, s. 241­261. witorzecka K. (2012), Jedyno i tosamo Absolutu w Kurta Gödla teorii summum bonum, w: J. Goliska-Pilarek, A. Wójtowicz (red.), Identycz no znaku czy znak identycznoci? Wokól logiki niefregowskiej, Warszawa: Wydawnictwa Uniwersytetu Warszawskiego, s. 177­188. Woleski J. (2011), Gaunilon dzisiaj, w: S. Wszolek (red.), Dowody ontolo giczne. W 900. rocznic mierci w. Anzelma, Kraków: Copernicus Center Press, s. 21­34. Streszczenie Prezentowane rozwaania s efektem poszukiwania moliwie slabej podstawy formalnej dla modalnej wersji ontologicznego argumentu na konieczne istnienie Boga, naszkicowanego przez K. Gödla. Dotychczasowe modalne rekonstrukcje notatki Gödla Ontologischer Beweis (1970) najczciej opieraj argumentacj Gödla na rónych kwantyfikatorowych rozszerzeniach logiki modalnej S5 lub B. System S5, jako podstawa formalna zamierzona przez samego autora, umoliwia okrelon konstrukcj argumentu ontologicznego, jednak z drugiej strony ten sposób rozumienia modalnoci moe by uwaany take za ródlo slaboci opartej na nim teorii Absolutu ­ redukcja modalnoci S5 (i B) moe dawa okazj do formulowania krytyki w stylu Gaunilona. Standardowe rozszerzenie S5 lub B do logiki kwantyfikatorowej jest uwiklane w dalsze komplikacje: w odpowiednio rozbudowanej standardowej semantyce wiatów moliwych rozstrzyga si, e modele tych logik maj stale uniwersum indywiduów. Tymczasem to rozstrzygnicie nie ma zwizku z zasadniczym problemem rozwaanym w formalizmie Gödla. W proponowanej wersji argumentu Gödla ograniczam redukcj modalnoci S5 do wybranego specyficznego kontekstu dotyczcego istnienia Absolutu. Logik, która pozwala zachowa konstrukcj argumentacji Gödla, okazuje si system S4. Otrzyman teori wi z semantyk wiatów moliwych z moliwie zmiennymi uniwersami. Istnienie indywiduów wyraam za pomoc kwantyfikatora interpretowanego aktualistycznie, bez uycia pierwotnego predykatu istnienia.

Journal

Przeglad Filozoficzny - Nowa Seria – de Gruyter

Published: Sep 1, 2012

There are no references for this article.